Квант 1989, №3 · Страницы

КВАНТ
Научно-популярный
физико-математический журнал

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Задания, модели и ЭВМ

1989

В номере:

2 М. И. Каданов. Взглянув на термометр…
8 Г. А. Гальперин, А. М. Степин. Перiodические движения бильярдного шара
16 Н. Я. Виленкин. От нуля до декаллиона
22 И. Ф. Акулич. Как убегать от джда?

Задачник «Кванта»
Победители конкурса «Задачник «Кванта»
Задачи M1151—M1155, Ф1158—Ф1162
Решения задач M1125—M1130, Ф1137—Ф1142

Калейдоскоп «Кванта»

«Квант» для младших школьников
Задачи
С. А. Тихомирова. О давлении

Школа в «Кванте»
Физика 8, 9, 10:
Сила Лоренца и эфефект Холла
Альфа-частицы и опыты Резерфорда
Matematika 8, 9, 10:
Геометрические преобразования.
Часть II: Преобразования подобия

Matематический кругжок
Л. Д. Курляндчик. Прямогольный треугольник

Информация и программирование
А. Г. Гейин, А. К. Ковалджи, М. В. Сапир. Задачи, модели и ЭВМ

Варианты вступительных экзаменов
Ответы, указания, решения
Нам пишут (55, 58)
Наша анкета (79)
Смесь (45)
Наша обложка
Проблема четкой математической постановки реальных задач весьма сложна. Как к ней подходить, обсуждается в статье «Задачи, модели и ЭВМ» на примере простой задачи о разрезании подковы на наиболее число частей.

Архимед — один из величайших древнегреческих математков, внесший важный вклад также в механику, физку и астрономию. В статье «От нуля до декаллиона» рассказано, как он придумал записьать очень большие числа. Разумеется, нет ни одного достоверного портрета Архимеда. Вот каким представлял его altaяянский живописцей Доменiko Фетти (ок. 1588—1623).

Шахматная страница.
Бикуб.

2

В прошлом году наши читатели могли познакомиться со статей извесного физика-теоретика, специализающая по физике твердого тела, профессора М. И. Казанова, которая называется «Много или мало? Рассуждая физика-теоретика о числах» (см. «Квант» № 1, 1988). Сезодня мы предложаем читателем статью М. И. Казанова, которое можно, в каком-то смысле, считать продолжением предыдущей и которого можно было бы назвать «Размышления физика-теоретика о смысле чисел в физике». Как и первая, эта статья написана в системе edinцц СГСЭ (сантиметр — грамм — секунда, а Э — от «электричества»). Профессиональные физики обычно пользоваются его (а не знакомой школьником СН). В этой системе неокоторые формулы выглядают несовсем так, как в приведной для нашей читателя СН.

ВЗГЛЯНУВ НА ТЕРМОМЕТР…

Доктор физико-математических наук
М. И. КАГАНОВ

Однажды утром я почувствовал, что в квартиле холоднее, чем обычно. Взглянув на термометр, увидел: действительное, вместе привычных 20 °С было 19 °С. Посетовав на несабильность коммунальных служб, собрался и пошел на работу. В метро мыслевyerлась к показанию термометра, и возникло ошибение, что что-то тут не так…

Термпература — мера теплового движения молекул. Средняя энергия теплового движения молекул (скажем, газа в воздухе, наполняющем комнату) равна $\frac{3}{2} kT$, где $k \approx 1,4 \times 10^{-16}$ эрг/град — постоянная Больцмана, а температуру, правда, надо изменять не в градусах Цельсия, а по абсолотной шкале — шкале Кельвина, сдиниутой относительно шкалы Цельсия на $-273,16^\circ$. Другими словами, температура в моей квартиле была около 300 К. И я почувствовал изменение температуры $\Delta T$ порядка $\frac{1}{300} T$, т. е. ошибил, что энергия теплового движения молекул изменяла на 0,3 %! Волее того, без каких-либо сложных приборав, с помощью простого настоящего термометра я проверил свое ошибение — измерил факт изменения на 0,3 % энергия теплового движения молекул… У меня даже мелкнула гордая мысль об эволюции, создавшей столчить чувственные механизмы ошибения температуры. Хорошо известно, каким важным параметром для живых ормизмов является температура: изменение температуры тела человека на 1 градус — признак болезни, а интервал допустимого изменения температуры тела — менее 10 градусов. Естественно, ошибать температуру живому организму необходимо очень точно… Но каким образом?

Подсказкой мне послужил все тот же настоящий термометр. Поэтому разберемся сначала с ним. Как нам удается изменить изменение температуры на 1 градус? а медицинским термометром — на 0,1 градус? Измеритель служит изменение объема жидкости (для определения — ртути). При повышении или попежении температуры ее объем $V$ изменяется на $\Delta V$, причем

$$\frac{\Delta V}{V} = \alpha \cdot \Delta T.$$

Множитель $\alpha$ носит название коэффициента теплового расширения. По порядку величины он составляет $10^{-3} - 10^{-4} K^{-1}$. «Увидеть» $\Delta V/V \sim 10^{-4}$ удается только с помощью простого приема — «загнав» ртуть в тонкий капилляр. Тогда $\Delta V = s \cdot \Delta l$, где $s$ — площадь секунды капилляра, а $\Delta l = \frac{V}{s} \alpha \cdot \Delta T$ — изменение высоты столбика ртути. Сделав $s$ достаточно малым, можно добиться необходимого разрешения. Капилляр служит усилителем. Если $V \sim 1$ см$^3$, то для того, чтобы при $\alpha \cdot \Delta T \sim 10^{-4}$ получить $\Delta l \sim 1$ мм=0,1 см, надо иметь капилляр с пло-

3

шадью сечения $s=10^{-3}$ см$^2$. Очень простой успешель!

Разобравшись с термометром, перейдем к живому организму. Что в нем служит успешелем? Определяющая роль температуры в жизни нажных процессов связана с тем, что скорости $W$ большинства химических реакций (без которых жизнь была бы невозможна) зависит от температуры очень резко — по экспоненциальному закону:

$$W \sim e^{-U/kT}.$$

Величина $U$, носящая название энергии активизации, для каждой реакции своего, но, как правило, $U$ значительное превышает $kT$. Не слишком углубляясь и не заглядивая в справочники, я рассуждал так. Химические реакции — это всегда перестройка электронных состояний. Например, соединение атомов Na и Cl в молекулу NaCl происходит так: atom Na отделяет электрон atomу Cl. Ионы Na$^+$ и Cl$^-$ пригravитаются друг к другу и создают молекулу NaCl, но электrons в молекULE NaCl распределены вокруг ядер не так, как в atomах Na и Cl. Для изменения энергии электронов в atomе создана специальная шкала энергий — электрон-вольт, а 1 эВ=1,6·10$^{-12}$ эрг. Так вот, характерное значение энергии активизации $U$ порядка 1 эВ.

Относительное изменение скорости химического реакции $\Delta W/W$ при изменении температуры $T$ на величины $\Delta T$ такое$^*$):

$$\frac{\Delta W}{W} \approx \frac{U}{kT} \frac{\Delta T}{T}.$$

При $\Delta T/T \approx 1/300$ относительное изменение скорости химического реакции $\Delta W/W \approx 1/10$, т. е. вполне ощутимо.

*) $W(T+\Delta T)$ пропорционально

$$e^{-\frac{U}{k(T+\Delta T)}} = e^{-\frac{U}{kT(1+\Delta T/T)}} \approx e^{-\frac{U}{kT}} \left(1-\frac{\Delta T}{T}\right),$$

позетом

$$W(T+\Delta T) = W(T) \cdot e^{\frac{U}{kT} \Delta T/T} \approx W(T) \left(1+\frac{U}{kT} \frac{\Delta T}{T}\right),$$

если $U \cdot \Delta T/kT^2 \ll 1$. Выписьвая приближенные равенства, я предполагаю учитательу умение обращаться с малыми величиными.

1*

4

1 градус в хорошего изобилированном помещении размером 4 м×5 м×5 м = 100 м³. Приближенный расчет очень прост. Энергия газа

$$E = \frac{3}{2} NkT,$$

где $N$ — число частц газа, а изменение энергии —

$$\Delta E = \frac{3}{2} Nk \cdot \Delta T.$$

Число частц газа в помещении определяют несколько. Каждый molь газа при нормальных условиях занимает объем $V_0 = 22,4$ л = 22,4×10⁻³ м³; значит в помещении содержится 100/(22,4·10⁻³)≈5×10³ molей. А число молекул в каждой molle (число Авогадро) — $N_A \approx 6 \cdot 10^{23}$ molь⁻¹. Значит в помещении $N \approx 3 \cdot 10^{27}$ molекул, и $\Delta E \approx 6 \times 10^{11}$ эрг. Теперь вычислим искому массу по формуле $\Delta E = Mgh:M \approx 6 \times 10^6$ г, или 6 тонн(!). Ответ заставил меня трижды проверить расчет. Поверив в правильность ответа, я вспомил и объясно не затрагивающее сознание признавы с телеэкрана беречь телло, и недавно услышанное в научно-популярином фильме «Жизнь на Земле» утверждение, что большую часть потребляемой пищи теплокровные животные траят на поддержание в теле постоянной температуры. Тепло — дорогое удобствие!

Примечение

To, что вы прочли до этого момента, можно считать следующим при написании потоком сознания: думал, прикидвал, практические все выкладки производил вume. Написав и перечитав, я подумал: школьников, как мне кажется, часто отпугвает от физики ощущение того, что она (физика) — набор разнообразных, на первый взгляд не связанных фактов, величины, соответствий. А я «вывалил» на них еще несколько. И мне захотелось довести до сознания читатель еще одну важную, на мой взгляд, мысль.

Современная физика так глубоко проникла в суть вещей, что она может оценить, а во многих случаях и точно вычислить по сути бесконечное число разнообразных параметров, постоянных, всего того, что входило в научку на разных этапах ее развития (часто в виде величины, добавых из опыта). При этом для расчетов достаточно

5

использовать всего несколько значений физических величины, носящих высокое имя мировыхconstants. Это заряд электрона $e \approx 1,6 \cdot 10^{-10}$ ед. заряда СГСЭ, массы электрона и протона $m_e \approx 10^{-27}$ г и $m_p \approx 1,67 \cdot 10^{-24}$ г, постоянная Планка $h \approx 6,6 \times 10^{-27}$ эрг·с (физики, как правило, постоянной Планка называют величины $\hbar = h/2\pi \approx 10^{-27}$ эрг·с), скорость света $c \approx 3 \cdot 10^{10}$ см/с. Только вдумайтесь: все величины, которые можно измерить, занимаясь макро-скопической физикой*), в принципиме могут быть выражены через пять мировых constants! Такие расчеты получили даже специальное название — расчеты из первых принципов. Конечно, отпюдь не всегда теория столбецно, отпюдь не всегда теория столбецно.

*) Ограничение макросопперской физикой не случайно. Например, мы не умеем пока вычислять массы элематриных частиц — разнообразных методов, адронов и т. д. (см. книгу Л. В. Окуня «αβγ…Z», выпущенную издательством «Наука» в 1985 году в серии «Виблотечка «Квант»).

6

детально разработана, что подобный расчет с необходимой точностью удалется довести до конца (позному мы и говорим «в принципе»). Но совершенно ясно, что расчет возможен и нетниких оснований ожидать, что мы столькося с принципально неразрешимой задачей.

Все упомянутые в этой заметке физические величины, значения которых автор либо помилил, либо брал из справочника, могут быть получены как результат расчета из первых принципов. Мы попробуем это показать на примере двух величины: энергии активизации $U$ и коэффициент теплового расширения $a$. При этом мы не будем доходить до основ, считая, что размер атома $a$ зависит можно выразить через перечисленные выше мировые constants. Например, размер атома водорода $-a_H = \hbar^2/m_e e^2$. Об этом можно прочесть в любой популярной книжке, излагающий квантовую механику.

Начнем с энергии активизации $U$. Так как мы не предполагаем строить теорию скоростей химических реакций, а только хотим продемонстрировать, как выражаются интересующие нас величины через мировые constants, то мы ограничимся расчетом энергии иннзации атома водорода $U_{нон}$, т. е. ответим на вопрос, сколько энергии надо потратить, чтобы оторвать электрон от протона.

Энергия электрона в atomе водорода —

$$E = m_e v^2 / 2 - e^2 / a,$$

но

$$m_e v^2 / a = e^2 / a^2,$$

и, следовательно,

$$E = -e^2 / 2a$$

(надеюсь, эти равенства понятны?). Подставив значение $a = a_H$, получим:

$$U_{нон} = \frac{m_e e^4}{2\hbar^2} \approx 13,6 \text{ эВ.}$$

Энергия, которое надо затратить на перестройку электронных состояний, как правило, меньше $U_{нон}$. Поэтому мы при оценке относительной изменения скорости химических реакций $U \sim 1$ эВ.

Расчет коэффициента теплового расширения сложнее. Он требует знания строения того тела, которое испытывает расширение. Нам придется ограничиться простейшим подходом, учитывающим главное — то, что теплое расширение — результат зависимости среднего равновесного расстояния между частицами от температуры.

Итак, две частицы в теле находится на расстоянии $d + x(t)$ друг от друга, причем $d$ — расстояние между ними, когда эти частицы покояются (при абсолотном нуле температуры), а $x(t)$ — это мгновенное (в момент времени $t$) отклонение частицы от положения равновесия. Сила $F$, действующая на частицу, напоминает упругую силу, действующую на грузик, привязанный кружине, — она пропорциональна отклонению частицы от положения равновесия: $F = -\chi \cdot x(t)$. Но средняя сила $F$ (за достаточно большой промежуток времени) должна быть равна нулю $^*$). А это означает, что $x(t) = 0$, т. е. среднее расстояние между частицами равно $d$ и не зависит от количества atoms и, следовательно, от температуры. Этот результат на научном жаргоне звучит так: гармоническое приближение не может описать теплое расширение тел.

Мы привели это строение на научное утверждение, чтобы появилось слов «приближение». Дело в том, что выражение для силы, которое мы пользовались, приближенное. Попробуем его уточнить — учесть нелинейные по смесению $x(t)$ слагаемые:

$$F = -\chi \cdot x(t) + \beta \cdot x^2(t) + \dots$$

Теория, основанная на этой формуле или на подобных формулах, носит название ангармонической, а коэффициент $\beta$ называют ангармонической коэффициентом. Из этой формулы следует, что $\bar{x} = \frac{\beta}{\chi} \bar{x}^2$, т. е.

$$\frac{\Delta V}{V} = \frac{(d + \bar{x})^3 - d^3}{d^3} \approx \frac{3\bar{x}}{d} = \frac{3\beta}{d\chi} \bar{x}^2$$

*) Если бы средняя сила $F$ была отлична от нуля, то частицы тела должны были бы под ее воздействием куда-то перемешаться.

7

(коэффициент 3 появился из-за того, что тело может расширяться по тем направлениям). В этой формуле $V$ — объем тела при $T=0$ К. Итак, чтобы закончить расчет, мы должны уметы вычислять величины $\beta$, $x$ и $x^2(t)$. Начнем с последнего. Так как ангармоничское слагаемое $\beta x^2$ — малая поправка (ее пришлось включить в выражение для силы только потом, что без нее ответ оказался равным нулю), то можно считать, что потенциальная энергия движения есть $x \cdot x^2(t)/2$, а полная энергия равна

$$E = \frac{M(x')^2}{2} + \frac{xx^2}{2}.$$

Но в среднем кинетическая $(M(x')^2/2)$ и потенциальная $(xx^2/2)$ энергии равны. Поэтому

$$\bar{x}^2 = \frac{1}{\alpha} \bar{E}.$$

А средняя энергия колбатального движения есть $kT^*$). Итак,

$$\frac{\Delta V}{V} = \frac{3\beta}{dx^2} kT.$$

Осталось научиться вычислять множество $3\beta/x^2$. Конечно, именно это — самая сложная часть задачи. Но и ее мы предельно упростим (хотя даже при таком способе изложения вам придется в одном месте попросту поверить автору).

Пусть мы имеем дело с понами, заряды которых $+e$ и $-e$ и расстояние между которых $r$. Между понами действует сила электростанческого притяжения, равная $e^2/r^2$. Но эта сила не может быть единственной — под действием такой силыоны упали бы друг на друга. Когда они сликом близко приближаются друг к другу, они откливаются, причем закон откливания может быть выясен с помощью уравнения квантовой механики.

И здесь мы подошли к тому месту, где читатель придется довериться авторам с энергий $^3/2kT$ для частицы в газе: частица свободна, т. е. потенциальная энергия ее равна нулю, поэтому на каждую степень свободы «приходится» $^4/2kT$, а не $kT$. Степеней свободы три. Но три степени свободы мы уже учели.

$$F = \frac{e^2}{r^2} - \frac{A}{r^{10}}.$$

При $r=d$ сила должна быть равна нулю. Поэтому $A=d^8e^2$, и окончательно

$$F = \frac{e^2}{r^2} - \frac{e^2d^8}{r^{10}}.$$

Подставив сюда $r=d+x$, разложим $F$ по степеням $x$, ограничившись двумя первыми слагаемыми. Коэффициент при $x$ дает нам значение величины $x$, а при $x^2$ — значение $\beta$. Проделайте, пожалуйста, эти вычисления самостояльно, и вы убедитесь, что

$$\frac{\Delta V}{V} = \frac{3 \cdot 52}{64} \frac{kdT}{e^2},$$

т. е. $\alpha = \frac{3 \cdot 52}{64} \frac{kd}{e^2}$.

Расстояние между atomами $d$ приближительно равно размеру atom—a $d \approx a \approx 3 \cdot 10^{-8}$ см = 3 Å, — и подставляя значения $k$, $e$ и $d$, получим

$$\alpha \approx 5 \cdot 10^{-5} \text{ град}^{-1}.$$

После приведения, и вы убедитесь, что полученная нами (при столу упрощенном рассмотрении) оценка совсем неплюха.

Ну вот, это, пожалуйста, уже совсем все. Отметим только, что порядок величины коэффициента теплового расшириния $a$ мы могли бы и угадать. Взгляните на последнюю формулу для $\Delta V/V$. Из нее видно, что безразмерное отношение $\Delta V/V$ приближительно равно отношению тепловой энергии (в расчете на одну частцу) $kT$ к энергии связи между частцами (здесть $\sim e^2/d$). Отсюда вывод: чем более сльно связаны молекулы в теле, тем меньше у них коэффициент теплового расшириния. Эту закономерность легко устотеть из таблицы, в которых нарушено со значениями $a$ приведены температуры плавления для твердых тел или температуры кипения для жидкости. Но, конечно, подобное утверждение не есть закон природы. Из него возможны исключения…

8

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ
БИЛЬЯРДНОГО ШАРА

Кандидат физико-математических наук
Г. А. ГАЛЫПЕРИН,
доктор физико-математических наук
А. М. СТЕПИН

Читатель, по-видимому, хорошо знаком с бильярдной игрой. Игра эта, родиной которого считается Китай, имеет многоvekову историю. Первые известия о появлении бильярда в Европе относятся к XVI веку. Сохранились свидетельство о том, что французский король Карл IX в Варфоломеевскую ночь 24 августа 1572 года играл на бильярде, когда со стороны парикзского собора Сен-Жермен д‘Акселерya раздался условный звон колоколов, признавающий католков к истреблению гугенотов. Придцать пять лет спустя У. Шексир в трагедии «Антоний и Клеопатра» заставли-
В заставке к статье использован рисунок А. Оберландера.

ет египетскую царицу Клеопатру играть на бильярде со своим придворным. В 1760 году английский король Георг II издал указ, запрещаюший бильярдную игру в общественных местах под страхом штрафа в 10 футов. В России бильярд известен со времен Петра I.

Подобно тому, как игра в косты вызвала к жизни «исчисление вероятностей», бильярдная игра послужила источником серbezных научных исследований по механике и математике.

В математических исследованияхrealный бильярд заменяют его моделью, носящей название «математический бильярд» — рисунок 1. Если граница бильярдного стола имеет угловые точки, то рассматривают только-

10

Рис. 4. Трехзвенная бильярдная траектория в остроугольном треугольнике — это вписанный треугольник наименьшего перimetра.

Рис. 5. Метод выпрямления. «Выпрямления» траектория пересекает стороны угла не более чем $\pi/\alpha$ раз, где через $\Gamma$ изображено наименьшее целое число, больше или равное $x$.

тория. Это рассужждение «проходит» для любого числа звеньев; $n$-угольник, имеющий наименьший перimetр среди вписанных в $Q$ $n$-угольников, является перiodической бильярдной траекторией.

Задание 1. Докажите, что среди вписанных в окружность $n$-угольников наименьший перimetр имеет равный.

Минимизация перimetра

Если граница бильярдного стола имеет точки излома, то метод Биркгофа пересекает «работать» — вершины вписанного многоугольника наименьшего перimetра могут попасть в угловые точки границ. Например, среди треугольников, вписанных в данной треугольник $ABC$, наименьший перimetр имеет сам $\triangle ABC$. Как же искать периодические бильярдные траектории в треугольнике?

Для остроугольного треугольника выход состоит в том, чтобы заменить максимальный перimetр на минимальный. Впишем в данной треугольник $ABC$ треугольник $XYZ$ наименьшего перimetра с вершинами на сторонах $AB, BC$ и $CA$ (рисунок 4). Мы утверждаем, что $XYZX$ — бильярдная траектория. Однако из доказательств этого факта вы сможете прочитать ниже в разделе «Механическая интерпретация», а другое — предмет первой из следующих задач.

Задание 2. Используя рассудение, сопровождающее рисунок 3, докажите, что $\angle AYZ = \angle CYX$.

3. Докажите, что треугольник, вершины которого — основания высот данного треугольника $ABC$, является бильярдной траекторией в $\triangle ABC$.

Задание 3 показывает, как построить трехзвенную бильярдную траекторию в остроугольном треугольнике. Единственное такое траекторию будет доказана ниже.

Идея рассматривается вписанной треугольник наименьшего перimetра применима и к фигурам, ограниченным несколькоми гладкими кривыми. К сожалению, этот способ не сравняется для тупоугольных треугольников — для них вписанный треугольник наименьшего перimetра вырождается в высоту, опущенную из вершины тупого угла. Более того, бильярд в тупоугольном треугольнике не имеет трехзвенных периодических траекторий (попробуйте это доказать). Однако это не означает, что идея минимизации перimetра бесполезна для построения периодических бильярдных траекторий в тупоугольных треугольниках; ее надо лишь соединить с методом выпрямления, который излагается в следующем разделе.

И еще одно общее замечание. До сих пор мы искали бильярдные траектории среди вписанных ломаны, имеющих максимальное число минимального длину. Это отражает след-

12

Рис. 8. Пучок паралельных траекторий. Декуратно проделенный траекторник XYZ — перiodическая бильярдная траектория. Для близкой точки $X_1$ получается паралельная XYZ траектория $X_1Y_1Z_1X_2Y_2Z_2X_1$.

му координат, прикрепленную к многоугольнику $Q$, соответствует наложение «зармошкой» коридора (который полезно представлять произчный), на исходную фигуру $Q$; при этом ось $Oy$ переходит в расматриваемую бильярдную траекторию в $Q$.

На рисунке 6 приведено доказательство того, что трехвеняная перiodическая траектория в остроугольном траекторнике ABC единственная.

Задание 4. а) Построите перiodическую траекторию в квадратном бильярде, у которого число звенев больше любого направления единственного числа.

6. Решите ту же задачу для бильярда в правильном траекторнике. (Подсказка — рисунок 7.)

По теореме Биркгофа в выпukлой фигуре с главной существуют перiodические траектории с любым числом звенев. А вот для траекольников дело обстоит современное значение: двухзвеняных перiodических траекторий в траекольниках вообще не бывают, а четырехзвеняные бывают только в равноведенных траекольниках. Более того, для любого натурального числа $n$ можно построить такой траекольник, в котором каждая перiodическая траектория имеет больше $n$ звенев. Для этого в траекольнике $ABC$ углы $\alpha$ и $\beta$ при основании $AC$ достаточно взять очень малыми и несоизмерными с $\pi$ (т. е. $k\alpha+l\beta \neq m\pi$ для любых целых $k, l, m$). У перiodической траектории в таком траекольнике обязательно найти значение от одной боковой стороны к другой (доказательство этого факта с использованием неравенства $k\alpha+l\beta \neq m\pi$ мы оставляем настоящимому читателю). В силу малости углов это звено почти паралельно основанию $AC$ и поэтому число отражений нашей periodической траектории от сторона $\triangle ABC$ больше наименьшего из чисел $\left[\frac{\pi}{\alpha}\right], \left[\frac{\pi}{\beta}\right]$. А эти числа при достаточно малых $\alpha$ и $\beta$ больше любого направления заданого $n$.

Если вершины траекольника сладить, то в получившейся фигуре (по теореме Биркгофа) найдется «малозвеняная» periodическая траектория. Однако при уменьшении сглаживания эта траектория будет стремиться к ломаной, прохождение через вершину траекольника, т. е. в пределе перестановбы periodической траектория.

Механическая интерпретация

Наденем на каждую из сторон остроугольного траекольника $ABC$ по малому колечку и пропустим через них натягнутую резиночку $XYZX$ (см. рис. 4). Резиночка стремится скаться, поэтому колечки займут положения в вершинах вписанного в $ABC$ траекольника $XYZ$ наименьшего периметра. Расмотрим колечко на стороне $AB$. Поскольку оно не движется вдоль стороны траекольника, равноведущая сил натяжения $\vec{T}_1$ и $\vec{T}_2$ перpendикулярна этой стороне. Кроме того, векторы $\vec{T}_1$ и $\vec{T}_2$ имеют одинаковую длину, так как натяжение вдоль резинки постоянно. Следовательно, векторы $\vec{T}_1$ и $\vec{T}_2$ образуют взаимно дополнительные углы с отрезком $AB$. Значит, $XYZX$ —bilярдная траектория. Итак, мы доказали, что вписанный траекольник наименьшего periodического траектория в $\triangle ABC$.

С траекторией $XYZX$ можно связать семейство «паралельных» periodических траектория, изображенное на рисунке 8. Если траекольник $ABC$ считать плоской пластинкой, то каждую траекторию построенного пучка можно представлять себе как упругую замкнутую нить, обвиваю-

13

шую эту пластинку и попеременно переходящую с одной ее стороны на другую 6 раз.

Но если $\triangle ABC$ — тупоугольный, то эта конструкция периодических траекторий не сравывает — упругая нить сокочит с пластинки через вершину тупого угла. Так что найти периодические бильярдные траектории в тупоугольных треугольниках совсем не просто.

Две конструкции для тупоугольных треугольников

Если намотать нить на пластинку способом, изобразенным на рисунке 9, то сокока не произойдет. Внимательное рассмотрение этого рисунка подсказывает идею, как строить более сложные периодические траектории для специальных классов тупоугольных треугольников. Эти построения изображены на рисунках 10 и 11.

Устойчивые траектории

Только что построенные периодические траектории имеют один существенный недостаток — при сколь годуно малом изменении углов треугольника они разрушаются (в том смысле, что влизися исходной траектории нет периодических траекторий в деформарованном треугольнике). Сейчас мы построим периодическую траекторию в тупоугольном треугольнике, свободную от этого дефекта.

Пусть острыые углы $\alpha$ и $\beta$ тупоугольного треугольника $ABC$ связаны неравенствами

$$\frac{\pi-\beta}{2} < k\alpha < \frac{\pi}{2} \leqslant (k+1)\alpha,$$

$$\frac{\pi-\alpha}{2} < l\beta < \frac{\pi}{2} \leqslant (l+1)\beta,$$

где $k$ и $l$ — неокоторые натуральные числа. Как и на рисунке 10, $a$, сделаем $k-1$ зеркальных отражений треугольника $ABC$ вокруг вершины $A$ против часовой стрелки и $l-1$ отражений вокруг вершины $C$ по часовой стрелке — рисуок 12, $a$. Крайние лучи $AN$ и $CN$ образуют с основанием $AC$ острыые углы $k\alpha$ и $l\beta$. Как мы

14

Рис. 11. Перiodическая траектория в тупо-
угольном треугольнике с острыми углами α и β,
удовлетворяющими условиям α+kβ=π/2 и 2α+β>π/2 (k — натуральное число).

знаем, в остругольном треугольнике
ANC существует трехвеняная периодическая траектория $H_1H_2H_3H_1$, соединяющая основания его высот. Можно проверить (мы предоставляем это читателью), что отрезок $H_2H_3$ пройдет ниже вершины $B$. Тогда при наложении «гармошкой» на треугольник $ABC$ коридора, составленного из $\triangle ABC$ и $k+l-2$ отраженных треугольников (как в предыдущем разделе), наша траектория перейдет в $2(k+l)-1$-звенную периодическую траекторию в $\triangle ABC$, изображенную на рисунке 12,6. Эта траектория — устойчива: в треугольнике, достаточно близком к $\triangle ABC$, существует близкая к ней периодическая траектория. Это — следствие устойчивости трехвеняной периодической траектории в остругольном треугольнике.

Задча 5. Докажите, что отрезок $H_2H_3$ проходит ниже вершины $B$ (рис. 12, а) тогда и только тогда, когда $(1-\text{ctg} k\alpha \cdot \text{tg} \alpha)(1-\text{ctg} l\beta \cdot \text{tg} \beta)>1-\text{tg} \alpha \cdot \text{tg} \beta$.

В простейшем случае, когда $k=l=2$, траектория имеет 7 звенев.

Задча 6. Докажите, что в тупоугольном треугольнике не существует устойчивой периодической траектории, у которой меньше 7 звенев.

Итоги

Подведем некоторые итоги проведенного исследования периодических траекторий в треугольных бильярдах.

С точноью до подобия треуголь-

15

числа, существуют периодические траектории. Как доказал недавно американский математик Г. Мазур, звенья периодических траекторий в таких треугольниках даже могут образовать сколь уголно малый угол с любой направной прямой.

Кроме того, в произвольном прямогольном треугольнике существуют периодические траектории со сколь уголно большим числом звенев. Для остроугольных треугольников это неизвестно, хотя и доказано, что для любого направного числа $N$ найдется остроугольный треугольник, в котором имеется периодические траектории с более чем $N$ звенями.

В заключение повторим, что периодические траектории в треугольных бильярдах всегда существует к форме треугольника. Причина разрушения или розделения периодической траектории при деформации треугольника — прохождение через угловую точку границы. Этот obstructionом объясняется замысловатый характер желтой фигуры на рисунке 13,6.

Тех читатель, кто занимаетсовался теории математических бильярдов, мы приглашаем подумать над задачей М1155 (см. с. 27), а также найти какие-нибудь еще типугольные треугольники с устойчивыми периодическими траекторями. В этой связи предлагаем вам такую задачу:

Задача 7. Построите периодическую траекторию из 15 звенев в типугольном треугольнике с углами $\alpha$ и $\beta$, удовлетворяющими условиями:

$$\frac{\pi}{8} - \frac{1}{1000} < \alpha < \frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{3} < \beta < 3\alpha.$$

Кроме того, советум прочитать § 9.4 книги М. Берже «Геометрия» и издавемуо в серии «Библиотечка «Квант» книгу Г. А. Гальперина и А. Н. Землякова «Matематические бильярды», а также следующие статьи, опубликованные в разное время в «Кванте»: 1. А. Земляков. Математика бильярда (1976, № 5); 2. А. Земляков. Арифметика и геометрия столковеней (1978, № 4); 3. А. Земляков. Бильярды и поверхности (1979, № 9); 4. Г. Гальперин. Бильярд (1981, № 4).

Рис. 13. Множество треугольников, для которых построены периодические траектории. Ostроугольные треугольники представлены синею области $\alpha + \beta > \pi/2$, прямоугольные — красной диагона $\alpha + \beta = \pi/2$. Треугольники из раздела «две конструки»: а) — зеленьй beep; б) — красные отрезки. Треугольники из раздела «устойчивые траектории» — желтая область на рисунке b).

17

обозначала число 10 000, называвшееся мирда. Извъявшееся мирда. Извъявьте то греки могли и мириду и даже мириду мириад мириад (т. е. число $10^{12}$), только записать это число они не могли. Впрочем, с таким большими числами грекам и не приходилось иметь дело. Но все же один из величайших греческих математиков Архимед задаумался над вопросом, а как же называть очень большие числа?

В своем сочинении «Исчисление песчинок» («Псаммит») он поставил себе цель показать, что существует «числа, превышающее число песчинок, которые можно вместе… в пространстве, равном объему… целого мира». Смысл этого высказывания становится если, если учет, что Архимед в отношении устройства мира придерживался взглядов своего старшего современника, выдающегося греческого астронома Архистарха Самосского. По Архистарху, мир представляет собой шар, в центре которого расположено Солнце(!), а границей которого служит «сфера неподвижных звезд». Земля обращается вокруг Солнца по круговой орбите, диаметр которого относится к диаметру Земли так же, как диаметр сферы неподвижных звезд относится к диаметру орбиты Земли. Отправляясь от гипотез современных ему астрономов (которые с теперьней точки зрения

представляются весы наивными), Архимед полагает диаметр сферы неподвижных звезд не превосходящим ста мирид мириад мириад стадий (что составляет примерно полтора световых года). Песчинку Архимед считает очень мало: в маковом зернище, по его предположению, содержится мирида песчинок.

Как же называл Архимед очень большие числа? Он называл обичную единицу «единицей чисел perвых», а мирид мириад таких единиц, т. е. число 10 000 000 — «единицей чисел вторых». Мирид мириад чисел вторых он называл «единицей чисел третьих», и так вел счет до мириды мирид «чисел мирида-мириадных». Это громадное число. Достаточно сказать, что мы бы записали его в виде единиц с 800 000 000 нулями! Но и здесь не останавлился великий ученый. Все названные им числа он объявил «числами первого периода», а мирид мириад чисел мириадомиридных — «единицей второго периода». Так он должен миридомиридного периода. Конечно, он мог идти и дальше, назвав число, следующее за названным им, единицей первой эпохи или эры — звучный греческий язык давал ему большие возможности. Но и так число Архимед было подавляющее большим. Ведь оно записывает в виде еди-

18

ницы, за которой идет невообразимый хвост из нулей — чтобы записать, сколько в нем нулей, надо написать цифру 8 и поставить после нее 16 нулей. А ведь это не само число Архимеда, а только число нулей в нем!

Хватило ли этих чисел для решения поставленной Архимедом задачи? Оказывается, для этого нужны были лишь числа восъимые первого периода. Теперь мы знаем, что Вселенная неизмеримо больше, чем думал Архимед, и что существуют частицы (например, нейтрино), горячдо меняше по размеру, чем самая маленькая песчанка, который мог вообразить себе древнегреческий ученый. И все же, если попробовать сосчитать, сколько нейтрино помещится в шаре, центр которого совпадает с центром Солнца, а радиус равен расстоянию до самой удаленной туманности, то оказывается, что и здесь с избытком хватит чисел первого периода.

Но хотя названия громадных чисел у Архимеда уже были, обозначать их он еще только не умел. Неxbaitало ему самой малости, такой, что меняше ее и не былает: Архимед, один из генциальнейших математikов за всю историю человека, не допумался до… нуля! Сейчас школьники знакомятся с нулем в первом классе и, конечно, вдля отдалот себе отчет в том, что это одно из важнейших изобретений в математике. Только после того, как люди научились обозначать пропущенные разряды в записи чисел, обозначать, что счет ведется не единцами, а миллионами или сотнями тысяч, они получили в руки могучее ordine позначения природы — позиционную систему численения. Без нуля не было бы всей современной математики, не было бы и таких достинений человекаского разума, как космические корабли, электронные вычислительные машины, atomная энергия.

Удивительнее всего то, что при всей важности этого открытияник не знает его автора. Вавилонне более трех тысячелетий пользовались своей позиционной системе численения, не употребляя нуля. Из-за этого они не могли сказать точно, что ознакомят запись ▼▼▼▼ — то ли это число 60+24, т. е. 84, то ли это 60·60+24, т. е. 3624, а то ли это 60·60+24·60, т. е. 5040. А если учесть, что они применяли и шестидесятеричные дроби, то эта же запись могла обозначать и какую-нибудь дробь, например 84/60 или 3624/3600.

Разумеется, такая многозначность записи была очень неудобна, и в конце концов уавилонских ученых по-

20

ния. Миллион они называли «коти», сто миллионов — «врнда», а в легендах о Будде рассказывалось, как он давал имена еще большим числом — вплоть до числа, записьваемого единицей с пятьюдесятю нулями.

Но в Европе после padения античной науки не зали названный разрядов чисел, следующих за тысячей. Число 999 999 европейские математики еще могли прочесть, а дальше они считать не умели. В 1271—1275 годах венецанский купец Марко Поло совершил несъханное для той поры путешествие. Пройдя северным побережьем Черного моря, он переекВолгу, бескрайные азиатские степи и Великим шелковым путем добрался до Китая. Здесь он прожил много лет, наблюдая то, о чем тогдашие европейцы и понятия не имели: полеты пороховых ракет, книгопечание, изготовление фарфора.

Когда он снова оказался в Венеции, расскаазам не было конца. И чаще всего в расскаазах Марко Поло повторялось слово «миллионе» — большая тысяча. Так он назвал тысячу тысяч. Недоверчные венецанцы произвали путешествияка Марко Миллионе и думали, что он их обманывает. Только через несколько столей, когда венецайы лучше познакомились с Китаем, они узнали, что расскаазы Поло были правдивыми.

В XV веке французский математик Никола Шюке по созданию с миллионом ввел слово «биллион», которое обозначает миллион миллионов. Чтобы записать биллион, надо после единицей поставить 12 нуля. Приставка «би» по-латными означала «второй» (в театрах кричат «бис», когда хотят повторения). Поэтому «биллион» можно прочесть и так: «второй миллион». Миллион биллионов называли «триллионом», а миллион триллионов получили название «квадриллион» (от латинского слова «кварта» — «четыре»).

В США, Англии и Германии принята иная система названный чисел. По этой системе тысячу миллионов называют миллиарdom или биллионом, тысячу биллионов — триллионом, тысячу триллионов — квадриллионом. Эти системы названный использот и в нашей стране. Вот название некоторых громадных чисел с указанием числа нуля после единицей в двух системах:

| | Франция | СССР, США, Германия, Англия |
| :— | :— | :— |
| Миллион | 6 | 6 |
| Биллион | 12 | 9 |
| Триллион | 18 | 12 |
| Квадриллион | 24 | 15 |
| Квинтиллион | 30 | 18 |
| Секстиллион | 36 | 21 |
| Септиллион | 42 | 24 |
| Окталлион | 48 | 27 |
| Нонакаллион | 54 | 30 |
| Декаллион | 60 | 33 |

В школе этих названной не изучают, да они и не слишком нужны. В газетах мы часто читаем, что та или иная фабрика выпустила столко-то миллионов метров ткани или такая-то гидросанция для столко-то миллиаров киловатт-часов электрозерни. Триллионы встречаются в газетах, когда пишут о бюджетах крупнейших государств. А вот название «квадриллион» в газетах не попадает — вряд ли есть что-нибудь на земном шаре, что исчисляется бы квадриллионами.

Только в науке оказавются нужны также большие числа. В 16 граммах воздуха содержится примерно сentin-

21

лionн частичек вещества, которые ученыные называют молекулами. Возьмем шар с центром в центре Земли и радиусом, равным расстоянию до самых далеких туманностей на небе (это расстояние луч света проходит за десяток миллиардов лет, а он пробегает в секунду 300 000 км). Если набить этот шар самыми маленькими частицами, которые известны сейчас физикам, то и тогда попадбится число, которое не превозходит единицы с сотней нулей. Есть лишь одна область науки, где встречаются еще боблые числа. Это наука о числе различных комбинаций — комбинаторика. Подсчитано, например, что число различных возможных шахматных партий выражается единицей с 120 нулями!

Но страшные названия громадных чисел не нужны и еще по одной причине. Их можно проще обозначать, использую понятие степени. Например, запись $10^8$ означает произведение всех десятиоктавок, т. е. это миллионов. С помощью степени декаллion можно записать так: $10^{33}$. А число мелчайших частичек в громадном шаре, о котором говорилось раньше, никак не больше чем $10^{100}$.

Страная веще математика! Как только математик получает в руки способ коротко записывать что-нибудь, он тут же использует этот способ.

соб для получения чего-нибудь ужесовсем невообразимого. Казалось бы, получив записи вида $10^{100}$, можно и успокопиться. Но нет, математик сразу думает, а что получится, если использовать знак степени дважды и написать такое число:

$$10^{100}$$

Эта запись означает, что сначала надо возвести 10 в десятию степени. Получится ни много ни мало, а десять миллиардов. Ну а теперь надо возвести 10 в десятиимл리ардную степень. Для этого следует написать 1, а потом десять миллиардов нулей. Если запись это число, отводя на каждую цифру по 5 мм, то попадится бумажная лента длиной в 50 000 км. Такой лентой можно опоясать весь земной шар по экватору, да еще остanetся кусок, чтобы протянуть его на Северный полюс. Но вот если бы мы попробовали записать число Архимеда мириад-мирiadного периода, то тут попадилась бы лента еще в 8 миллионов раз длинее. Она была бы в 2600 раз больше расстояния от Земли до Солнца! Такие большие числа никогда не встречаются не только в практических, но и в научных вопросах, но обозначать их, и даже большие числа, например $10^{10100}$, математики умеют.

22

КАК УБЕГАТЬ ОТ ДОЖДЯ?
(Совершенно серьеное исследование)
И. Ф. АКУЛИЧ

Введение
Представьте себе, что вы идете по улице в пасмурную погоду, не имея при себе ни зонтка, ни плаща, ни накидки… Вдруг нежданно-негадано на вас обрушивается сильнейший ливень, да еще и с ветром.
Что делать?
Подавляющее большое инструмент (и автор в том числе) ответит так: немедленно бежать под ближайшее укратие и чем быстрей, тем лучше. Истина, казалось бы, неоспоримая. Оdnako встречаются люди, рассуждающие и так: «Безусловно, надо направиться под укратие. Но вот бежать при этом как можно быстрее не имеет

22

23

Рис. 1.

смысла: если я быстро бегу, я, конечно, меняше время нахождения под джем, и, следовательно, на меня упадет меняше капель сверху. Но это я собью своим телом большие тех капель, которые находятся перед мной. Я меняше намокну сверху, заго больше намокну спереди. Так какая мне выгода от быстроого бета? Никакой.» И такие люди спокойно идут под джем, невизаря наудивление окружащих.

Как же трактовать такое рассуждение? Как заблудение? Пожалуйста. Но… вдруг это не заблудение, а, наоборот, интуция, и люди, рассужданные таким образом, правы?

Вот сообщение в их пользу. Представьте себе, что ветер дует в направлении от вас к укрытию и настолько сильен, что джедь практичнее горизонтален. Тогда лучше всего убегать от джедя со скоростью ветра: все капли будут движаться параллельно вам и ни одна на вас не упадет. Невыгодно движаться медленнее, но невыгодно движаться и быстрее: вы намокните больше! Конечно, не так-то просто движется со скоростью (далее попутного) сильного ветра, но все же это рассуждение побуждает нас вникнуть в задачу.

Постановка задачи
и необходимые упрощения

Сформулируем условия задачи:

На улице стоит человек. Внезапно начинается дождь. Человек направляется к ближайшему укрытию, находящемуся на расстоянии l от него. С какой скоростью он должен перебивать, чтобы намокнуть как можно меньше?

Рис. 2.

Задча поставлена, но в таком виде, пожалый, нам ее не решить. Действительно, человек — существо сложное по форме, а при движении он к тому же непрерывно свою форму изменяет (переставляет ноги, размахивает руками…). Так что совершить точный расчет — задача немноговерно трудная. Поэтому ничего не остается, как решать ее приближение, в связи с чем переформулируем задачу:

Примугодный параллеленед, площади граней которого равны $S_B$, $S_B$ и $S_J$ (от слов «боковая», «верхняя» и «лицевая») движется со скоростью и перепедикулярно грани $S_J$. В то же самое время идет дождь, каждая капля которого имеет скорость v (рис. 1) (вектор v не обязательно направлен вертикально вниз — дождь может быть и косым). Количество дождевых капель в единице объема равно k. Спрашивается: сколько капель N попадет на параллеленед за то время, что он передвиется на расстояние l, и при каком значении скорости i эта величины N будет наименьшей?

Приступаем к решению

Введем в пространстве системы координат $Oxyz$: ось $Oz$ направим вертикально вниз, ось $Ox$ — по направлению вектора $\bar{u}$, а ось $Oy$ — перепедикулярно плоскости $Oxz$, причем так, чтобы проекция вектора скорости падающих дождевых капель v на ось $Oy$ была неотрицательна (рис. 2). Так как вектор v задан, можно считать, что известны проекции вектора v на оси координат. Обозначим их $v_x$, $v_y$ и $v_z$. Что можно сказать об этих проекциях? Разумеется, $v_y \geq 0$ (так выбра-

24

на ось $Oy$). Кроме того, $v_z > 0$ (должь может идти только сверху вниз). А вот величины $v_x$ может быть как положительной (попутный дохдь), так и отрицательной (встречный дохдь), а то и вообще равнять нулю.

Будем решать задачу в системе отсчета, связанной с параллелепидом, т. е. будем считать параллелепид неодвижным: тогда должен be计 на этой системе отсчета получат скорость $\bar{w} = \bar{v} - \bar{u}$. Проекции вектора скорости $\bar{w}$ на оси координат будут $w_x = v_x - u, w_y = v_y, w_z = v_z$ (u — это длина вектора $\bar{u}$). Требуется определить, сколько капель $N$ упадет на параллелепид за время $\tau = l/u$ и при каком $u$ значение $N$ будет минимальным.

Понятно, что за время $\tau$ на параллелепид упадут все капли, отсюда еще от граней параллелепида на расстояние, не большее, чем $\tau \cdot |\bar{w}|$, в направлении, противоположном вектору $\bar{w}$, т. е. все капли, расположенные внутри объема тела, обведенного красными линиями на рисунке 3. Как найти объем этого тела? Нетрудно заметить, что это тело состоит из трех прisms, площади оснований которых равны $S_\pi, S_B$ и $S_B$, а высоты — абсцилтовым величинам проекций вектора $\tau \cdot \bar{w}$ на оси $Ox, Oy$ и $Oz$ соответственно. Поэтому объем этого тела равен

$$\tau(|w_x|S_\pi + |w_y|S_B + |w_z|S_B) = \tau(|v_x - u|S_\pi + v_y S_B + v_z S_B),$$

Рис. 3.

Рис. 4.

а искомое количество капель $N$ равно $\tau k(|v_x - u|S_\pi + v_y S_B + v_z S_B)$.

Учитывая, что $\tau = l/u$, получаем зависимость $N$ от $u$:

$$N = kl \frac{|v_x - u|S_\pi + v_y S_B + v_z S_B}{u}.$$

Теперь найдем такое $u > 0$, при котором $N$ будет минимально.

Продолжаем решение

Поскольку величины $k$ и $l$ постоянны, будем для удобства операровать величины

$$\psi = \frac{N}{kl} = \frac{|v_x - u|S_\pi + v_y S_B + v_z S_B}{u}.$$

Рассмотрим два случая:

1. $v_x \leq 0$ (встречный дохдь).

В этом случае $v_x - u < 0$, и функция $\psi$ принимает вид:

$$\psi = \frac{(u - v_x)S_\pi + v_y S_B + v_z S_B}{u} = S_\pi + \frac{-v_x S_\pi + v_y S_B + v_z S_B}{u}.$$

Поскольку $v_x \leq 0$, численель дроби положительен, и функция $\psi(u)$ убивает на интервале $(0; +\infty)$. График зависимости функции $\psi$ от $u$ изображен на рисунке 4. Мы видим, что хотя $\psi$ и убивает с ростом $u$, все же всегда $\psi > S_\pi$, причем $\psi \rightarrow S_\pi$ при $u \rightarrow \infty$. Так что в случае встречного дохдя стороники теории «неопешания» вроде бы ошибаются: чем быстрее бежшь, тем меньше намокнешь. Одана-

25

ко тут же открывается и другой, довольно неожиданный на первый взгляд факт: так как $\psi > S_{\pi}$ для любого $u$, $N = kl\psi$ всегда больше $klS_{\pi}$. Это значит, что с какой скоростью ни беги (хоть лети со скоростью пуля), все равно «минимальная доза» должна равная $klS_{\pi}$, гарантирована. Так что неоторая логика в рассуждании тех, кто не любит спешить, здесь вроде бы имеется.

2. $v_x > 0$ (попутный дождь).

Здесь необходимо рассмотреть два интервала:

1. $0 < u \leq v_x$. Тогда $|v_x - u| = v_x - u$, и

$$\psi = \frac{v_x S_{\pi} + v_y S_B + v_z S_B}{u} - S_{\pi}.$$

Эта функция убивает на интервале $(0; v_x]$ и достигает минимума при $u = v_x$:

$$\psi |_{u = v_x} = \frac{v_y S_B + v_z S_B}{v_x}.$$

2. $u > v_x$. Тогда $|v_x - u| = u - v_x$, и

$$\psi = \frac{-v_x S_{\pi} + v_y S_B + v_z S_B}{u} + S_{\pi}.$$

Здесь уже нельзя сразу сказать, как ведет себя $\psi$ с возрастанием $u$. Это зависит от числителя дроби $A = -v_x S_{\pi} + v_y S_B + v_z S_B$. Если $A > 0$, то $\psi(u)$ – убивающая функция на участке $(v_x; +\infty)$, если $A < 0$ – то возрастющая на этом интервале, а если $A = 0$, то $\psi = S_{\pi}$ const на этом интервале.

Графики зависимости $\psi(u)$ для всех $u \in (0; +\infty)$ приведены на рисунке 5. Видно, что на участке от 0 до $v_x$ кривые имеют одинаковый вид для всех трех случая $(A > 0, A = 0$ и $A < 0)$, а после излом при $u = v_x$ – различны.

Что из этого следует? А то, что аргументы сторонников рассматриемой неправодополобной теории «медленной ходьбы» при попутном доске оказываются в некоторых случаях неожиданно сильными и осмысленными, но подробнее об этом – ниже.

Выводы

Проанализировав результаты расчетов и графики на рисунках 4 и 5, мы можем обстоятельно ответить на вопрос, как убегать от доски.

Итак, если доскь встречный, то надо бегать к укратию как можно быстрее. Если же доскь попутный, то сначала необходимо мысленно оценить величины $A = -v_x S_{\pi} + v_y S_B + v_z S_B$. Если окажется, что $A > 0$, то и в этом случае желательно поторопиться. Если $A = 0$, можно передвигаться с любой скоростью, превышающего $v_x$, — намокнете вы одинаково. Ну а если $A < 0$ – надо бегать строго со скоростью, равной $v_x$ – тогда вы намокнете меньше всего.

Если, скажем, $v_y = 0$ (случай попутного ветра), то неравенство $A < 0$ равносильно неравенству $v_x S_{\pi} > v_z S_B$. Поскольку для высокого худого человека $S_{\pi}$ значительно больше $S_B$, это неравенство может выполнять при относительной небольших, «пешеходных» $v_x$. Такой человек, если он будет движаться к укратию так, чтобы траектории капель казались ему вертикальными, имеет шанс вообществу остаться сухим. Это называется «проскочить между капельками».

Редакционный совет, редакционная коллекция и редакция «Кванта» с глубоким приспособлением извещают читателей о том, что 3 января 1989 года на 81-м году жизни скончался член редакционного совета академик Сергей Львович Соболев.

26

Победители конкурса
«Задачик «Кваита»

Ежегодно наш журнал проводит конкурс среди школьников по решению задачи из «Задачика «Кваита». Объявляем именно победителем конкурса «Задачик «Кваита» 1988 года.
Надраждаются Дилломом и знаком журнала «Кваит» и получают право участвовать сразу в четвертом (преpublikанском) туре Всегоизной олимпиады 1989 года:

По математике
А. Акимов — Евпатория, с. ш. № 6, 9 кл.
А. Акопян — Евреан, ФМШ при ЕрГУ, 9 кл.
Ю. Великина — Днепропетровск, с. ш. № 45, 9 кл.
П. Григорьев — Рига, с. ш. № 13, 10 кл.
Ю. Гринифельд — Москва, с. ш. № 57, 10 кл.
Х. Джафаров — с. Тюркоба АзССР, 9 кл.
В. Дубров — Минск, с. ш. № 107, 9 кл.
В. Жилинскаяйте — Вильнюс, с. ш. № 43, 11 кл.
И. Зеленко — Саратов, с. ш. № 13, 10 кл.
И. Иопле — Москва, с. ш. № 57, 10 кл.
В. Калошин — Харьков, ФМШ № 24, 10 кл.
Л. Каминштейн — Киев, с. ш. № 145, 9 кл.
Н. Капуткина — Москва, с. ш. № 648, 10 кл.
С. Коваценко — Винница, с. ш. № 6, 8 кл.
Г. Кроинн — Ленинград, с. ш. № 30, 9 кл.
С. Лесик — Донецк, с. ш. № 17, 10 кл.
Е. Ломовцева — Белорецк, с. ш. № 14, 10 кл.
В. Марченко — Минск, с. ш. № 50, 10 кл.
А. Морозова — Одеcca, с. ш. № 100, 9 кл.
И. Опульский — Киев, с. ш. № 145, 10 кл.
И. Поляк — Ленинград, с. ш. № 239, 10 кл.
Н. Путинайте — Таураге, с. ш. № 1, 11 кл.
Г. Тер-Сааков — Баку, с. ш. № 200, 10 кл.
С. Тер-Сааков — Баку, с. ш. № 200, 10 кл.
С. Тихонов — Воронеж, с. ш. № 58, 9 кл.
Д. Турсунов — Караганда, с. ш. № 3, 10 кл.
В. Фельдшеров — Алима-Ата, ФМШ, 10 кл.
М. Хасидовский — Ташкент, с. ш. № 110, 10 кл.
А. Цинкер — Ташкент, с. ш. № 110, 10 кл.

По физике
А. Ахмаджанов — с. Алимбек Андджанской обл., 10 кл.
Н. Баллонас — Вильнюс, с. ш. № 45, 10 кл.
О. Бельй — Баку, с. ш. № 56, 10 кл.
С. Бобровник — Черновцы, с. ш. № 24, 10 кл.
Э. Бязрова — Тбилиси, с. ш. № 128, 11 кл.
В. Гавенский — Баку, с. ш. № 46, 10 кл.
Г. Гершанок — Рига, с. ш. № 52, 10 кл.
В. Головко — Старый Оскол, с. ш. № 16, 8 кл.
О. Гуар — Канев, с. ш. № 4, 8 кл.
В. Дейч — Харьков, ФМШ № 24, 10 кл.

М. Дорохова — п. Черноголовка Московской обл., с. ш. № 82, 9 кл.
В. Дядечко — Винница, с. ш. № 17, 10 кл.
В. Завадский — Минск, с. ш. № 50, 10 кл.
С. Казенас — Алима-Ата, ФМШ, 10 кл.
М. Капустин — Львов, с. ш. № 50, 9 кл.
С. Карапетян — Севан, с. ш. № 3, 10 кл.
С. Касаманян — Ереван, ФМШ при ЕрГУ, 10 кл.
М. Ковалев — Губкин, с. ш. № 2, 9 кл.
А. Кожевников — Калуга, с. ш. № 24, 10 кл.
Г. Колесницкий — Тбилиси, ФМШ им. В. М. Комарова, 11 кл.
М. Колпаков — п. Почет Краснойрского края, 8 кл.
А. Комник — Старый Оскол, с. ш. № 16, 10 кл.
О. Кондратьев — Брест, с. ш. № 1, 10 кл.
А. Крайский — Москва, с. ш. № 2, 10 кл.
М. Лысянский — Новосибирск, с. ш. № 130, 10 кл.
Р. Мизок — Ровно, с. ш. № 13, 9 кл.
С. Михайлов — Наманган, с. ш. № 1, 10 кл.
Ш. Нурматов — Наманган, с. ш. № 31, 10 кл.
Е. Пивоваров — Ленинград, с. ш. № 566, 9 кл.
С. Польшин — Харьков, с. ш. № 27, 8 кл.
В. Розенблит — Рига, с. ш. № 79, 10 кл.
Н. Рябова — Харьков, ФМШ № 24, 9 кл.
А. Серебряков — Москва, с. ш. № 57, 10 кл.
М. Субботин — Старый Оскол, с. ш. № 16, 9 кл.
В. Тамошонас — Вильнюс, с. ш. № 45, 10 кл.
С. Тимашов — Алима-Ата, ФМШ, 9 кл.
М. Турlakов — Фрунзе, с. ш. № 61, 10 кл.
С. Храпов — Коломна, с. ш. № 30, 10 кл.
Д. Чокин — Алима-Ата, ФМШ, 9 кл.
О. Шведов — Москва, с. ш. № 7, 10 кл.
А. Швороб — Баранович, с. ш. № 11, 10 кл.

Задания

M1151 — M1155, Ф1158 — Ф1162

M1151. а) Докажите равенство (где $n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$):

$$\frac{1 \cdot 2!}{2} + \frac{2 \cdot 3!}{2^2} + \dots + \frac{n(n+1)!}{2^n} = \frac{(n+2)!}{2^n} - 2.$$

6. Найдите сумму

$$\frac{1 \cdot 3!}{3} + \frac{2 \cdot 4!}{3^2} + \dots + \frac{n(n+2)!}{3^n}.$$

В. Н. Жоха

M1152. Пусть $h$ и $l$ — высота и высесktrиса, проведенные из одной вершины треугольника, $R$ и $r$ — радиус его описанной и вписанной окружности. Докажите herавенство $h/l \geq \sqrt{2r/R}$.

Корнел Берчану, Иштван Варда (Румыния)

M1153. Какое наиболее число поворотов может содержать замкнутый маршрут ладьи, обходящий по одному разу все клетки шахматной доски $8 \times 8$ клеток?

M. В. Хованов

M1154*. Докажите, что если четырехугольник вписан в окружность и описан околой другой окружности, то прямая, проведенная через центры этих окружностей, проходит через точку пересечения диагоналей четырехугольника.

В. Ю. Протасов

M1155. Точка движется в треугольнике, отражая от его сторон по закону «угол padения равен углу отражения». Перiodический называется также траектория этой точки, которая является замкнутой ломаной и не проходит через вершины треугольника. (Примеры перiodических траекторий с 3-мя и 6-ю звеньями в треугольнике приведены на рисунке 8 на с. 12. а) Докажите, что ни в каком треугольнике с различными сторонами нет четырехзвеневной periodической траектории.

Существует ли остроугольный треугольник, имеющий periodический траекторию 6) из 5 звенев? в) из 7 звенев?

Г. А. Гальперин, А. М. Стгенин

Ф1158. Автомобиль повышенной проходимости может использовать в качестве ведущих либо передние, либо задние колеса. Водитель хочет буксировать трехмяный груз. Какую максимальную силу тягги $T$ (безрывка) может разить автономиль, если коэффициент треяния колес о дорогу $\mu=0,4$, масса автономиль $M=2$ т, расстояние между центрами колес $l=4$ м, радиус колес $R=0,3$ м? Передняя и задняя оси расположены в одной горизонтальной плоскости; центр масс автономиль лежит в этой плоскости на равном расстоянии от осей; в этой же плоскости лежит трос. Какие колеса должны ведущими? Зависит ли от этого $T$?

А. И. Буздин

28

Ф1159. Представьте, что вы находите в движущейся сускорением электричке и идете с постоянной относительной вагона скоростью вперед по ходу поезда. Весьма оценимая сила толкает вас назад, и вы, несомненно, совершаете работу против этой силы. На что же расходуется ваша работа? Видимо, она не может идти на дополнительный разгон электрички — ведь вы толкаете ее назад. В чем же здесь дело? не нарушается ли закон сохранения энергии?

А. Н. Коротков

Ф1160. В цилиндре радиусом $R$ и высотой $H$ находится $N$ электровов. Параллельно оси цилиндра приложено постоянное магнитное поле индукцией $B$. Предполагается, что все электровы имеют одинаковые по величины скорости $v$, лежащие в плоскости, перpendicularной магнитному полю, а удары электровов о стенки цилиндра абсолютою упругие, оцените, чем равно и как зависит от магнитного поля давление на стенки цилиндра, которое создает такой «электронный газ» (давление можно найти с точностью до постоянного коэффициента, не зависит от магнитного поля). Заряд электрона $e$, масса $m$. Считать, что $(mv/eB) \ll R$ («сильное» поле $B$). Взаимодействием электровов друг с другом пренебречь.

Д. А. Купцов

Ф1161. В архитектурной акустике хорошо известно является «шпучшие» галереи. В крупных соборах (например, в соборе Святого Петра в Риме) по окружности основания купола устроена огороденная площадка (galерея), куда разрезен доступ туристам. Давно было заменено, что негромкая резь в точке $A$ (рис. 1) хорошо слышна в точке $B$, если говорящий смотрит вдоль стены галереи. Но если говорящий смотрит в направлении на точку $B$, то при такой же говорости речи в точке $B$ ничего не слышно. Почему это происходит?

В точке $A$ ненаправленный источник звука испускает достаточно громкий импульс длительностью $\tau_1$. Какова будет длительность импульса, принято в точке $B$? Диаметр галереи $d$.

В. И. Клячин

Ф1162. Под водой на глубине $h$ находится точный источник света. Где расположено изображение этого источника для наблюдателя, смотрящего вдоль поверхности воды (рис. 2)? Показатель преломления воды $n$.

С. С. Кротов

29

Решения задач
M1125 — M1130, Ф1137 — Ф1142

Обозначим $k$-е слово через $w_k$. По правилу, указанному в условиям, из слова $w_k$ получается слово $w_{k+1}$. Пользовать этим, можно доказать метод индукции, что при $k > 1$ слово $w_{k+1}$ состоит из повторенного дважды слова $w_k$ и $w_{k-1}$ (для $k = 2$ и $k = 3$ это показано на полях):

$$w_{k+1} = w_k w_{k-1}.$$

В самом деле, применяя наше правление к соответствию (*), мы из $w_k$ получим $w_{k+1}$, а из $w_{k-1}$ получаем $w_k$, поэтому если это соответствие выполнен для некоторого $k$, то выполнен и аналогичное соответствие для $k+1$:

$$w_{k+2} = w_{k+1} w_{k+1} w_k.$$

Тем самым, соответствие (*) доказано для всех $k > 1$.

Отсюда, в частности, следует утверждение a): каждое слово $w_k$ является началом слова $w_{k+1}$; тем самым все $w_k$ — это начальные отрезки бесконечного слова $w = AABAABAAAB$…

Пусть $a_k$ и $b_k$ — число букв $A$ и $B$ в слова $w_k$, $s_k = a_k + b_k$ — число всех букв в слова $w_k$. Из правила перехода и равенства (*) вытекают соответствия

$$b_{k+1} = a_k, a_{k+1} = 2a_k + b_k,$$

(1)

$$a_{k+1} = 2a_k + a_{k-1} (a_1 = 1, a_2 = 2),$$

(2)

$$s_{k+1} = 2s_k + s_{k-1} (s_1 = 1, s_k = 3).$$

Они дают возможность найти первые члены последовательностей $a_k$, $b_k = a_{k-1}$ и $s_k$ ($k = 1, 2, 3, \dots$) — см. таблицу.

Обозначим через $N_A(m)$ номер места, на котором встречается $m$-я буква $A$. Если $a_n \leq m < a_{n+1}$, то впервые $m$-я буква $A$ появляется в слова $w_{n+1}$, причем, как легко увидеть из (*),

$$N_A(m) = \begin{cases} s_n + N_A(m - a_n), & \text{ если } m \leq 2a_n; \\ 2s_n + N_A(m - 2a_n), & \text{ если } 2a_n < m \leq a_{n+1}. \end{cases}$$

Пользовать эти правила равенства, находим ответ на вопрос 6):

$$N_A(1988) = 2 \cdot 1393 + N_A(1988 - 2 \cdot 985) = 2786 + N_A(18) = 2786 + 17 + N_A(18 - 12) = 2803 + 7 + N_A(1) = 2811.$$

(Здесь использованы значения $a_9 = 985$, $s_9 = 1393$; $a_4 = 12$, $s_4 = 17$; $a_3 = 5$, $s_3 = 7$; $N_A(1) = 1$.)

Доказать неперiodичность $w$ помощью геометрической представления этой последовательности (см. рисунок на с. 30). На клетчатой бумаге строим ломанную, звенья которой соответствует последовательности буква $w$; букве $A$ — отрезок, направленный вверх, букве $B$ — вправо. Видно, что точки $(b_k; a_k)$, лежащие на этой ломанной и соответствующей словам $w_k$ — начальные отрезки $w$ ($k = 1, 2, 3, \dots$),— лежат влизи одной прямой, проходящей через начальную точку. Доказем это и найдем угловой коэффициент $\tau$ (наклон) этой прямой.

Положим $t_k = a_k/b_k = a_k/a_{k-1}$ (наклон $\tau$ будет равен пределу последовательности $t_k$). Из формулы (2) следует

30

дует, что при $k > 1$
$$t_{k+1} = \frac{a_{k+1}}{a_k} = 2 + \frac{a_{k-1}}{a_k} = 2 + \frac{1}{t_k}.$$
(4)

Обозначим через $\tau$ положительный корень уравнения
$$\tau = 2 + \frac{1}{\tau} \Leftrightarrow \tau^2 - 2\tau - 1 = 0,$$
т. е. $\tau = \sqrt{2} + 1$. Тогда
$$t_{k+1} - \tau = t_{k+1} - 1 - \sqrt{2} = \frac{1}{t_k} + 1 - \sqrt{2} = \frac{1}{t_k} - \frac{1}{\tau} = \frac{\tau - t_k}{t_k\tau},$$
откуда
$$a_{k+1} - \tau b_{k+1} = (t_{k+1} - \tau) a_k = \frac{(\tau - t_k) a_k}{t_k\tau} = \frac{\tau b_k - a_k}{\tau} = \frac{\tau b_k - a_k}{\sqrt{2} + 1},$$
позотому
$$|a_{k+1} - \tau b_{k+1}| < |\tau b_k - a_k|/2.$$

Таким образом, расстояние по вертикали от точки $(b_k; a_k)$ до прямой $y = \tau x$ убивает более чем вдвое при перехождение от $k$ к $k+1$ (а знаки величины $a_k - \tau b_k$ через дюйма). Если бы последовательность $w$ была (хотя бы начинаная с некоторого места) периодической, причем в периоде встречалось бы $p$ букв $A$ и $q$ букв $B$, то все построенная ломанная содержалась бы в некоторой полосе, края которой имелы бы наклон $p/q$. Но прямая $y = \tau x$ завершено выходит из этой полосы и удаляется от нее, поскольку число $\tau = 1 + \sqrt{2}$ irrationalно и не равно $p/q$. Тем самым точки $(b_k; a_k)$ ломанной, начинаная с некоторого $k$, завершено не лежат в такой полосе. Отсюда следует, что последовательность $w$ не имеет периода.

Это доказательство можно изложить и без помощью клетчатой бумаги и ломанной. Коротко говоря, если среди первых $n$ букв $w$ имеется $\alpha(n)$ букв $A$ и $\beta(n)$ букв $B$, то для периодической последовательности $w$ предел $\lim \frac{\alpha(n)}{\beta(n)}$ должен равнять рациональному числу; с другой стороны, для ее последовательности $t_k = \alpha(s_k)/\beta(s_k) = a_k/b_k$ из формулы (4) следует, что предел может равнять лишь $\sqrt{2} + 1$ (из (5) легко видеть, что этот предел существует).

Заметим, что можно усмотреть более глубокую связь числа $\sqrt{2} + 1$ с последовательностью $w$ (и словами $w_k$) из букв $A$ и $B$. Дело в том, что в силу (4)

$$t_k = \frac{a_k}{b_k} = 2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \dots + \frac{1}{2}}},$$

т. е. $t_k$ — это так называемые «подходящие дроби» бесконечной цепной дроби

$$\tau = 1 + \sqrt{2} = 2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \dots}};$$

позотому точкам $(b_k; a_k)$ ответают узлы решетки, прилежащие к прямой $y = \tau x$ близке, чем узлы с меньшим координатами (см. «Квант», 1983, № 5; 1971,

31

№ 11). Более того, клетки, через которые проходят луч $y=\tau x$ (они закрашены на рисунке 3), образуют цепочки, повторяющий конфигурацию красной ломаной. Это позволяет обнаружить новые свойства ломаной и последовательности $w$; например, она «почти равномерна»: среди любых $N$ букв подряд число букв $A$ может отличаться не более чем на одну (для каждого $N$), т. е. равно $[\tau N]$ или $[\tau N+1]$.

Н. В. Васильев

M1126. В трапецii ABCD с основанием BC и AD на сторонах AB и CD выбраны точки K и M. Доказите, что если $\angle BAM=\angle CDK$, то $\angle BMA=\angle CKD$.

Пусть $O$ — точка пересечения продолжений боковых сторон $AB$ и $CD$ данной трапеции (см. рисунок). Выполним последовательное симметрию $S$ относительно биссектрисы угла $AOD$ и готовению $H$ с центром $O$ и коэффициентом $OD/OA$. При этом точка $A$ перейдет в $D$ (см. рисунок), а точка $B$ — в $C$ (поскольку $OC/OB=OD/OA$), угол $OAM$ — в равный ему по условию угол $ODK$. Следовательно, точка $M$, лежащая на пересечении прямых $AM$ и $OD$, перейдет в точку пересечения образов этих прямых — $DK$ и $OA$, т. е. в точку $K$. Итак, точки $A$, $M$, $B$ переходит, соответственно, в $D$, $K$, $C$, а значит, $\angle AMB=\angle DKC$.

Другое решение основано на том, что вокруг четырехугольника $AKMD$, а следовательно, и вокруг $BKMC$, можно описать окружность.

В. Н. Дубровский, А. С. Меркурьев

M1127. Микрокалькулятор «Чебурашка» имеет складывать, вычитать и находить по данному числу $X$ обратное число $1/X$. Можно ли с помощью этого микрокалькутора получить единицу, имея исходным числом $a)$ $\sqrt{19}+88$; б) $\sqrt{19}+88$; с) $\sqrt{19}+88$? (Вводить в микрокалькулятор числа, отличные от исходного или полученных в результате вычислений на нем, запрещается.)

a) Ответ: можно. Сначала вычислим

$$a = \frac{1}{\sqrt{19}+88} = \frac{88-\sqrt{19}}{88^2-19},$$

затем получим последовательное числа $88-\sqrt{19}$ (как сумму $88^2-19$ слагаемых $a$), $176=(88+\sqrt{19})+(88-\sqrt{19})$, $1/176$ и $1$ (сумму $176$ слагаемых $1/176$).

b) Ответ: можно. Воспользовемся тождеством

$$\frac{1}{x} - \frac{2}{\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1/x-y}} = xy^2.$$

Его левую часть можно вычислять на «Чебурашка». Поэтому из числа $x$ можно получить $x^3$ (при $y=x$), $x^5=x^3 \cdot x^2$, $x^7=x^5 \cdot x^2$, …, $x^{19}$, т. е. из $\sqrt{19}88$ можно получить $88$, затем $1/88$ и $1$.

b) Ответ: нельзя. Примена разрешенные операции к числам вида $a\sqrt{19}+b\sqrt{88}$ с разнональными $a$ и $b$, мы снова будем получить числа того же вида (в частиности, $1/(a\sqrt{19}+b\sqrt{88})=(a\sqrt{19}-b\sqrt{88})/(19a^2-88b^2))$. Поэтому из числа $\sqrt{19}+88$ единицу получить невозможно.

Можно доказать, что 1 получается из числа $a$ в том и только том случae, когда $a$ — корень многочлена

33

Теперь рассмотрим лес $M_1$, состоящий из одной елки и десяти берез на расстоянии 1 км от нее. Для него относение $n/k=0,1$. Построим по $M_1$ описанным способом лес $M_2$, по лесу $M_2$— лес $M_3$ и т. д. Для леса $M_{11}$ это относение будет равно 0,1+10·0,1=1,1>1, и условие Монхгагузена выполняется. Правда, этот лес состоит из $10^{11}$ берез и $11\cdot 10^{10}$ елок, что многоготово даже для легендарного барона. Однако имеется другой пример, подтверждающий, что барон никогда не лжет.

Пусть лес $F_1$ состоит из двух елок и двух берез, расположенных в диаметрально противоположных вершинах квадрата. Расстоянием последовательность $F_1$, $F_2$, …, в которой лес $F_{k+1}$ является обединиемем леса $F_k$ и леса $F'_k$, полученного из $F_k$ переносом на некоторый вектор $\vec{v}_k$ «общого положения» (исключающего пересечения) длиной 1 км и заменой елок на березы и наоборот (рис. 2). Очевидно, лес $F_9$, состоящий из $2^9=512$ елок и такого же числа берез, удовлетворяет условию Монхгагузена. Применяя к нему конструкцию, описанной в начале решения, получим вполне реальный лес из $21\cdot 512=10752$ деревьев, также удовлетворяющий этому условию, для которого относение числа елок к числу березов 1,1>1.

Ф. Л. Назаров

M1130. На плоскости дан выпуклый n-угольник, у которого длина к-й стороны равна $a_k$, а длина проекции многоугольника на прямую, содержащую эту сторону, равна $d_k$ (k=1,2,…,n). Доказите неравенство
$$2 < \frac{a_1}{d_1} + \dots + \frac{a_n}{d_n} \leq 4.$$

Рис. 1.

Очевидно, что длина проекции выпуклого многоугольника на любую прямую равно двое меньше суммы длины проекций его сторона на эту прямую (рис. 1), и следовательно, меньше половины его перimetра $p$. Поэтому
$$\frac{a_1}{d_1} + \dots + \frac{a_n}{d_n} > \frac{2a_1}{p} + \dots + \frac{2a_n}{p} = 2 \cdot \frac{a_1 + \dots + a_n}{p} = 2.$$

Улучшить эту оценку нельзя, как показывает пример «сплоскотого» многоугольника, у которого $d_i=p/2$ при всех $i$.

Для доказательства верхней оценки построим некоторый вспомогательный многоугольник. Отложим от одной точки $n$ пар противоположных векторов, каждый из которых равен по длине и параллелен одной из сторона данного $n$-угольника $M$, и занумерцем эти векторы по часовой стрелке: $\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_{2n}$ (рис. 2); оценindo, $\vec{v}_i = -\vec{v}_{i+n}, i=1, 2, \dots, n$. От конца $B_1$ вектора $\vec{v}_1$ отключим вектор $\overrightarrow{B_1}B_2 = \vec{v}_2$, от его конца $B_2$ — вектор $\overrightarrow{B_2}B_3 = \vec{v}_3$ и т. д. (рис. 3). Последняя точка $B_{2n}$ совпадает с началом $\vec{v}_1$. Легко видеть, что полученный $2n$-угольник $N=B_1B_2...B_{2n}$ выпуклый, имеет центр симметрии $O$ и каждые две его противоположные стороны равны и параллельны одной из сторона многоугольника $M$. В силу приведенного в начале решения утверждения длина проекции $N$ на любую прямую равна сумме длини проекций векторов $\vec{v}_1, \dots, \vec{v}_n$ на эту прямую, т. е. вдвое