Квант 1989, №6 · Страницы

КВАНТ
Научно-популярный
физико-математический журнал

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Возможно ли это?

1989

1

В номере:

2 Г. Л. Коткин. Газ быльярных шаров
6 В. М. Тихомиров. 50 лет линейному программированию
16 А. С. Солодовников. Системы линейных неравенств и их применение
22 А. В. Митрофанов. Пузыри в луже
26 Д. Джоус. Спасительная безликость

Информация
ХIX встреча в Батути

«Задачик «Кванта»
Задачи M1166 — M1170, Ф1173 — Ф1177
Решения задач M1141 — M1145, Ф1153 — Ф1157

«Квант» для младших школьников
Задачи
С. Л. Табачников. У попа была собака…

Калейдоскоп «Кванта»
Школа в «Кванте»
Математика 8, 9, 10:
Избранные школьные задачи
В. Н. Вадутен. Средние линии

Лаборатория «Кванта»
Я. Е. Амстиславский. Цвета толстых пластинок

Р — значит ракета
Д. Фроман. Земля как управляемый космический корабль

Информация и программирование
А. Н. Виленкин, Г. Л. Коткин. Газ на дисплее

Практикум абитуриента
С. А. Гордонин. Закон сохранения энергии в электростатике

Варианты вступительных экзаменов
Ответы, указания, решения
Нам пишут (29, 38)
Наша анкета (79)
Смесь (21)

Наша обложка
Конецно, так переплести карандаши не удостся. А какими вообще могут быть сплетения прямы? Частичный ответ на этот вопрос вы найдете на с. 38.

«Арлекин» — так называется картина французского художника В. Вазарели. Он был основателем теории в живописи и графике 40—60-х годов, получившего название «Оп-арт» (от англ. optical art — оптическое искусство). Ритмическая комбинация геометрических линей и цвета, наша зрительная память — и полная иллюзия объема, движения. А ведь может быть все то же самое — и полная иллюзия отсутствия (см. заметку «Спасительная безликость»).

Шахматная страница.
Многогранник, собранный из трицати одинаковых маленьких фигур «оригими».

© Издательство «Нука».
Главная редакция физико-mатематической литературы, «Квант», 1989

2

Среди многоих применений компьютеров в науке и техническе одно из самых важных и распространенных — моделирование. Создатся компьютерные модели самолетов и морских течений, движения планет и экономических связей между странами…

В этой статье пойдет речь об одной из простейших модели газа. Это «идеальный бильярд»: абсолотно гладкие и упругие шары играют роль молекул газа, бортики бильярдного стола — роль стенок сосуда, поверхность стола абсолотно гладкая. Такого идеального бильярда не существует, однако можно «создать» его с помощью компьютера и наблюдать «жизнь» шаров на экране графического дисплея.

Возможно, «идеальный бильярд» показется вам очень прощеной модели газа. В принципие, на компьютере можно «сконструировать» и более реализную модель — перейти к движению шаров в пространстве, а не на плоскости, ввести взаимодействие шаров-молекул и т. п. Оdnako и «бильярд» — объект не только учебных, студенческих, но и серверных научных исследований.

Ясно, что движение идеальных шаров полностью определяется законами механики. Между тем движение части, составляющих газ, может рассматриваться какxaотическая, случайное*).

В этой статье мы опишем эксперименты с моделью «идеальный бильярд», которые позволяют наблюдать, как движение становитсяxaотическая, и попытаться выяснить при-

*) Картину возникновения «молекулярногоxaosa» в газе шаров исследовал советский физик Н. С. Крылов (1950 г.). Советский математик Я. Г. Синай провел подобное исследование на уровень строности, удовлетворяющим математиков (1963 г.). Научных работ, использованных компьютерную модель «газа шаров», очень много.

Рис. 1.

3

ра его о стенку) — это будут новые начальные данные — и повторим расчет.

Положения шаров будем задаать с помощью декартовых координат их центров, а скорости — с помощью их проекций на те же оси (рис. 1):

$$\vec{r} = (x, y), \quad \vec{v} = (v_x, v_y).$$

Формулы для вычисления оказываются совсем несложными. Пусть ось Y совпадает с левым бортиком бильярда. Тогда время до стокновения шара с этим бортиком —

$$t = -(x-a)/v_x \quad (a \text{ — радиус шара}),$$

причем стокновение состоит только если $v_x < 0$. Пусть это стокновение и есть само решение. При стокновении проекция $v_y$ остается неизменной, а проекция $v_x$ меняет знак:

$$v_x \rightarrow -v_x, \quad v_y \rightarrow v_y.$$

Перемещение каждого шара за время $t$ —

$$\vec{r}_{it} = \vec{r}_i + \vec{v}_i t,$$

т. е. $x_{it} = x_i + v_{ix} t, \quad y_{it} = y_i + v_{iy} t$. Рассеты для случая стокновения шаров, хотя и несколько сложнее, тоже выполня «школьные». Предлагаем вам проверсти их самостояльно (см. задачи в конце статьи).

Описание полной программы, моделирующей движение $N$ шаров на графикском дисплее, приведено в статье «Газ на дисплее» (см. с. 61).

Какова скорость расчетов по подобной схеме? Компьютеры, использемые в студенческом практике физического факультета Новосибирского государственного университета, успешют считать с такой скоростью, что кадры на дисплее меняются так же быстро, как в мультфильме (если шаров не более десяти; с увеличением числа шаров время расчета каждого кадра «мультфильма» быстро расчет)*.

Все вычисления наш компьютер ведет с 7—8 значцами цифрами.

*) Счет идет на ЭВМ «Электронка-60», включенных в «Терминальный руководство системы» (ТЕВУС — разработка Новосибирского государственного университета).

Рис. 2.

4

ры — сначала один, а затем и остальные — «сбились» с пути и пришли совсем не туда, откуда вышили. Таким образом, движение шаров оказывается «неправильным». Почему же?

Весь расчет поизводится по точным формулам, поэтому единственная возможность причина «неправильности» — округление чисел в процессе счета. Но отклонение, связанное с округлением, имеет относительной величины $10^{-7} - 10^{-8}$ (как мы говорили, компьютер работает с 7—8 значениями цифрами), а на экране к моменту времени $2t_0$ шары совсем «забыли» свои исходные положения. Можно ли эту «забывчность» объяснить округлением?

Оценки отклонений

Чтобы получить количественные оценки, представим себе, что из-за округления расчет направление движения одного из шаров отклонилось отправильно на угол $\varphi_0 \sim 10^{-7}$, а дальнейшее движение расчитывается точно.

Сначала рассмотрим случай, когда имеется всего один шар и отклонение произходит при ударе о стенку. Траектория центра шара изображена на рисунке 3, и там же приведено несколько построения, облегчающей расчет. Квадрат со стороны $(b - 2a)$ — область, доступная центру шара $(b - \text{dлина стононы бильярного стола})$. Длина траектории $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 5 \rightarrow \dots$ равна длине луча $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3' \rightarrow 4' \rightarrow 5' \rightarrow \dots$. Если в точке 1 в результате округления значения $v_x$ направление скорости шара после удара отклонилось от точного направления на малый угол $\varphi_0$, то на пути длиной $L$ «накопится» отклонение центра шара на расстояние $\Delta \sim L\varphi_0$. Ограничившись временем $T$, за которое произойдет $v_1 = 1000$ столковенный со стенкой, мы получим отклонение $\Delta_1 \sim v_1 b\varphi_0 \sim 10^{-4}b$. Для наших графических дисплеев толщина линии на экране составляет примерно $0,004b$. Так что за время $T$ накопившееся отклонение не может быть замещенным — оно меньше толщины линии на экране. На заметное расстояние, равное, скажем, диаметр шара $2a$, центр шара отклонится через $v_2 \sim 2a/b\varphi_0$ столковенный. Время, за которое произойдет такое количество ударов о стенки, оценивается в 100 (!) часов.

Очевидно, округлением при расчету ударов о стенки нельзя обязывать «неправильное» движение шаров в нашем эксперименте.

Посмотрим, как сказывается округление чисел при расчете соударений шаров. Вновь применем, что направление движения одного из шаров отклонилось отправильно на угол $\varphi_0 \sim 10^{-7}$, и исследуем, как будет меньше угол отклонения при соударениях. При этом ограничится самыми группы оценками. Будем иметь в виду, что между соударениями шар движется по прямой и проходит в среднем пути $l$, много больший радиуса шара $(l \gg a)$. За время между двумя последовательными столковениями центр шара сместится на расстояние $OO' \sim l\varphi_0$ (рис. 4). Тогда же порядка и смесение точки соприкосновения шаров при ударе. Участок поверхности второго шара в окрестности точки касания играет при ударе роль «зеркала». Это «зеркало» само движалось до удара, при ударе оно отскакивает, поэтому направление, в каком отскакивает наш шар, не определяется правильом «угол падения равен углу отражения». Тем не менее поворот «зеркала» на малый

5

угодл α ведет к изменению направления движения отскочившего шара на угол φ₁ ~ α (может быть, в полтора-два раза больше или меньше — такой уровень точности в данном случае насSTRAИВАЕТ). Так как α ~ (AA’/a) ~ (lφ₀/a), получаем

φ₁ ~ (l/a) φ₀ >> φ₀

— при ударе отклонение скорости резко возросло. После k стольновейный φₖ ~ (l/a) k φ₀.

Если (l/a) ~ 10, то достаточно 8—10 стольновейный, чтобы стало φₖ ~ 1 и направление движения шара перестало иметь какое бы то ни было относение к правильному.

КонтROLНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

Проделанные оценки выглядят убедительно, и тем не менее подвергнем их проверке с помощью компьютерного эксперимента. Для этого проведем два «запуска» шаров с почти одинаковыми начальными условиями, лишь слегка изменив во второй раз начальную скорость (или начальное положение) одного из шаров.*) «Закажем» компьютеру запоминать координаты какого-то шара через равные интервалы времени Δt; при втором запуске будем отмечать координаты того же шара в те же моменты tₖ = k · Δt, а затем определим, как изменяется со временем «расхождения» траекторий этого шара

Δrₖ = √((xₖ - x’ₖ)² + (yₖ - y’ₖ)²),

где xₖ, yₖ — значения координат в моменты tₖ при первом запуске, а x’ₖ, y’ₖ — при втором. Учитывая ожидаемую зависимость, удобно воспользоваться логарифмическим масштабом по оси Δrₖ, т. е. откладывать по этой оси значения lg (Δrₖ). Зависимость вида φₖ ~ (l/a) k φ₀ должна привести к прямолинейному графику

lg (Δrₖ) ~ lg φ₀ + (t/tₖ) lg (l/a).

Результаты экспериментов приведены на рисунке 5. На одном графике изображены точки, полученные при разных отклонениях в начальных условиях. Ожидаемый прямолинейный участок графика виден довольно отчетливо. Спустя время ℭ величина Δrₖ вырастает до предела, задаваемого размером стола, и далее изменяется хаотическая, но, в общем-то, не в миллионы раз (как на участке t < ℭ), так что в логарифмическом масштабе точки при t > ℭ не отклоняются даже от прямой lg (Δrₖ) ~ lg l.

Этот комплютерный эксперимент свидетельствует о разумности сделанных ранее оценок.

*) Разумется, при повторном запуске с теми же самых начальных условиях рассчитанное движение будет точно повторять.

6

«Непредсказуемое поведение» шаров

Итак, исследование приводит к выводу, что движение стальвающихся бильярдных шаров чрезвычайно неустойчиво. Ясно, что дело здесь не в приближности вычислений, а в самом характеристике движения шаров. Грубость оценки позволяет распространить ее и на движение молекул настоящего газа. Только для молекул исходные неопределенности возникают из-за всяческих возмущений, которые во всех остальных отношениях можно пренебречь. (Скажем, влияние электрического поля молнии, ударившей в другом городе, или протеевшей там мужи…) Мы приходим к выводу, что движение шаров (и молекул) является вполне закономерным за относительной маленьей интервалы времени и оказывается случайным за длительный промежуток.

Различие характеристика движения шара при стольновениях лишь со стенками и при стольновях с другими шарами можно считать качественным. В первом случае, лучший точность начального направления в миллион раз, можно получить в миллион раз больший участок правильного пути. Во втором — больший лишь на 5—10 стольновей. Если бы стол же неустойчиво было движение планет, то под влиянием какого-нибудь незаметного нам астроида оно изменилось бы через несколько лет до неузнаваемости.

Рис. 6.

Оdnako движение планет расчитывается на тысячи лет вперед. Расчеты движения в прошлом отлично согласуются с наблюдениями, скажем, древних вариантах. Такие условия механики легли в основе взглядов на мир вообщество, сложившихся в прошлом вке и лучшие всего выраженных замечательным французским астрономом, математиком, физиком Лапласом: «Ум, которое бы извести для какого-либо данного момента все силы, одушевляющие природу, и относительное положение всех ее составных частей, если бы добавок он оказался достаточно общим, чтобы подчинить эти данные анализу, объявл бы в одной формуле движения величины тел Вселенной наравне с движениями легчайших atomов, не осталось бы ничего, что было бы для него недостоеверно, и будущее, так же как и прошедшее, предстояло бы перед его взором».

Наука и практика показали, что такой идеально упорядоченный мир нереален. И причина тому — существование объективной случайности. Расмотренный нами пример движения шаров (при понимании того, что пример этот вовсе не какой-то исключительный) — одно из доказательств решающей роли случайности в жизни сложной (состоящей из множества частц) системы.

Примеры явлений, не поддающихся детальному расчету на длительный срок, встречаются уже никак не реже,

7

чем является, надежно расчитываемых. Турбулентное течение жидкости или газа, движение воздуха на плаете, определяющее погоду… Бездействно и пытается перечислить.

Возможность статистического описания

Итак, движение шаров-молекул из-за случайных отклонений приводит к молекулярномуxaосу. Однако в возникающейxaосе появляются свои закономерности. Вспомним, что состояние газа можно характеризовать с помощью средних величины — температуры, давления. И если газ находится в состоянии равновесия, то эти величины остаются неизменными. Значит, несмотря на множество случайных факторов, система обнаруживает неокторое постоянство. А макроскопические параметры — такие, как температура, давление — связаны с наиболееверятными значениями величины, характеризующих поведение отдельных элементов системы.

Приером вероятностного (статстического) описания системы является так называемые функции распределения. С одной из них познакомимся с помощью следующого компьютерного эксперимента.

Будем отчечать на плоскости с координатами $v_x, v_y$ точки, отвечающие скоростям шаров в разные моменты времени. Эти точки образуют «облако», концентрация точки в котором $n(v_x, v_y)$ определяется все точнее по мере увеличения числа точки $M$ в «облаке». Функция

$$f(v_x, v_y) = \frac{1}{M} n(v_x, v_y)$$

при очень больших $M$ вообще перестает зависит от $M$. Ее и называют функцией распределения в пространстве скоростей. При изменении числа шаров $N$ и их суммарной энергии $E$ получаются новые функции распределения.

В частности, для двух шаров точки равномерно заполняют на плоскости $v_x, v_y$ круг радиусом $\sqrt{2E/m}$ (рис. 6).

Для определения функции распределения в компьютерном эксперименте

Мените разобъем плоскости $v_x, v_y$ на равные маленькие клетки и подсчитаем число точек, попавших в каждой из клеток. Наглядно результат представлен на рисунке 7.

Еще один вид функции распределения — по компоненте скорости $v_x$. Она получается разбиением плоскости $v_x, v_y$ на полосы шириной $\Delta v_x$ и подсчетом числа точек в каждой из полос (рис. 8).

Конечно, все это — лишь начало изучения «газа шаров».

Задание

1. Найти, через какое время столкнутся шары радиусом $a$, если их начальные положения $\vec{r}_1 = (x_1, y_1), \vec{r}_2 = (x_2, y_2)$, а скорости $\vec{v}_1 = (v_{1x}, v_{1y}), \vec{v}_2 = (v_{2x}, v_{2y})$.
2. Два одинаковых упругих шара, движшихся вдоль одной прямой со скоростями $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$, столкнуты. Найти скорости шаров после столкновения.
3. Два одинаковых гладких упругих шара радиусом $a$ столкнутся. Скорости до столкновения $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$, координаты в момент столкновения $\vec{r}_1$ и $\vec{r}_2$, причем $(\vec{r}_1 - \vec{r}_2)^2 = (2a)^2$.

Поправка

В «Кванте» № 3 на с. 45 приведены новые условия и ответ к задаче «Положники целого» (задача взята из книги М. Гарднера «Есть идея», М.: Мир, 1982, с. 124). После четырех продажу у мальчика осталось 11 рыбок. Сначала же рыбок было 59.

9

В 1975 году советский математик Л. В. Канторович и американский экономист Т. Купманс были удостоены Нобелевской премии.

Эти премии получили свое название в честь их учредителя — известного химикка и изобретателя Альфреда Нобеля. Согласно завершению Нобеля, они должны были присуждаться за научные открытия в области физики, химии, физологии или медицинны, за литературные произведения, «отражающие человечестве идеалы», а также тем, кто «внесет весомый вклад в сплошение народов, уничтожение работы, снижение численности существующих армей и соедейные мироной договоренности». Математик premия не предназначалась. Оdnako в 1969 году Шведский bank по служю 300-летия со дня своего образования учредил premio памяты А. Нобеля — по экономическим наукам. Она-то и была присуждана в 1975 году Л. В. Канторовичу и Т. Купмансу за создание новой математической теории (получшей навание линейного программирования) и применения этой теории к экономике.

В авторографии, представленной в Нобелевский комитет, Леонид Витальевич Канторович рассказывает о собственях, слушихся в 1939 году. К нему, 26-летнему профессору-математику, обращались за консультанцией сотрудники laboratorии фанерного треста, который нуждно было решить задачу о наиболее высоком распределении материалов между станками. Эта задача совпадла с нахождению максимума линейной функции, заданной на многограничке. Максимум такой функции достигается в вершине, однako число вершин в этой задаче достигало миллиарда… Поэтому простой перебор вершин не годился.

Леонид Витальевич писал:

«Оказалось, что эта задача не является случайной. Я обнаружил большое число разнообразных по содержанию задачи, имеющих аналогичный математический характер: налучше использование посевных плодадей, выбор загрузки оборудования, расположенный раскрой материала, использование сырья, распределение транспортиных грузопотоков… Это настоящую побудило меня к поиску эффективного метода их решения».

И уже летом 1939 года была сделана в набор книга Л. В. Канторовича «Matематические методы организации и планирования производства», в котором заключалась основания того, чтоbine назвается математической экономикой.

Для того чтобы понять математические задачи, в которых математика смогла оказать существенную помощь, начнем с примера — того самого, с которой начинает свою книгу Леонид Витальевич.

Пусть на произведение нужно изготовить набольшее число комплектов из двух деталей. Имеются станки трех типов I, II и III, данные о которых приведены в таблице.

«Естественное распределение», применявшееся на практике, состоит в том, что на каждой группе станков производили набольшее число комплектов. Станки первого типа могут произвести 20 комплектов (например, так: первый и второй станок производят по 10 первых деталей, а третий — 20 вторых) и не могут произвести больше. Аналогичный смысл имеет число 36 для станков второго типа: первый станок производит только

10

ко первые детали, второй — только вторые, а третий — 4/5 времен производит первый, а 1/5 времен — второй детали. Аналогично — и для станков третього типа.

Как видно из таблицы, оптимальное распределение дает сущеенную выгоду — 9 лишних комплектов! — не требуется никаких дополнительных затрат.

Для того чтобы найти далеко не оченьное оптимальное распределение, надо перевести задачу на язык математики. Итак, в нашем распоряжении имеется семь станков — первый, второй и третий станки образуют первый тип, четвертый, пятый и шестой — второй и, наконец, seventh — третий тип. Требуется указыть доли времени, в течение которых каждый станок должен выработать первый и второй деталь. Пусть $\alpha_i$ — доля времени, в течение которого $i$-ый станок будет выработать первый деталь, а $\alpha'_i$ — доля времени его работы над второй деталью. Тогда $\alpha_i \geq 0$, $\alpha'_i \geq 0$, $\alpha_i + \alpha'_i \leq 1$, $i = 1, 2, \dots, 7$. Число первых деталей, сделанных станками, будет равно

$$10(\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3) + 20(\alpha_4 + \alpha_5 + \alpha_6) + 30\alpha_7.$$

Аналогично, число вторых деталей равно

$$20(\alpha'_1 + \alpha'_2 + \alpha'_3) + 30(\alpha'_4 + \alpha'_5 + \alpha'_6) + 80\alpha'_7.$$

Число первых и вторых деталей должно быть одинаковым и как можно большем. Так мы приходим к задаче:

найти максимальное число $s$ такое, что

$$s = 10(\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3) + 20(\alpha_4 + \alpha_5 + \alpha_6) + 30\alpha_7,$$

и подставим в выражение для $s$. Получим

$$s = \frac{230}{3} + \left(20 - \frac{50}{3}\right)y + \left(30 - \frac{110}{3}\right)z = \frac{230}{3} + \frac{10}{3}y - \frac{20}{3}z.$$

Теперь ясно, что самое большее значение суммы получится, когда $y = 3,$

12

ках тоже имеет такой вид:

$$\begin{cases} s = 10x + 20y + 30z, \\ 10x + 20y + 30z \geq 20(3-x) + 30(3-y) + 80(1-z), \\ 20(3-x) + 30(3-y) + 80(1-z) \geq 10x + 20y + 30z, \\ x \geq 0, 3 \geq x, y \geq 0, 3 \geq y, \\ z \geq 0, 1 \geq z. \end{cases}$$

«Многогранник», заданный системой неравенств, изображен снимм цветом на рисунке 1 — он совпится к плоскому патиугольнику. Вершина, в которой функиция s достигает максимума, помещена красным.

Л. В. Канторович предложил несколько подходов к решению формулированной общей задачи. Один из них основан на идее двойственности. Чтобы понять ее, решим задачу о станках другим способом.

Снова обозначим $\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3$ через $x$, $\alpha_4 + \alpha_5 + \alpha_6$ — через $y$ и $\alpha_7$ — через $z$; введем новые обозначения: $x' = \alpha'_1 + \alpha'_2 + \alpha'_3$, $y' = \alpha'_4 + \alpha'_5 + \alpha'_6$, $z' = \alpha'_7$. Сопоставим каждому набору $(x, y, z, x', y', z')$, где все числа неотрицательны и связаны неравенствами

$$x + x' \leq 3, y + y' \leq 3, z + z' \leq 1,$$

(1) точку плоскости $(a; b)$ с координатами $a = 10x + 20y + 30z$, $b = 20x' + 30y' + 80z'$. (2)

Что же представляет собой множество $C$ всех точек, заданных соотношениями (1) и (2)? Это множество — сумма трех множеств: $C_1$, образованного теми точками $(a; b)$, для которых $a = 10x, b = 20x'$; $C_2$, состоящего из точек $(a; b)$, для которых $a = 20y$, $b = 30y'$; $C_3$, состоящего из точек $(a; b)$, для которых $a = 30z, b = 80z'$. При этом, конечно, выполнен неравенства (1). Множества $C_1, C_2$ и $C_3$ — это треугольники, изображенные на рисунке 2.

Чтобы построить искомое множество $C$, сначала найдем сумму $C_1$ и $C_2$, т. е. множество точек $(a; b)$ с координатами

$$a = 10x + 20y, b = 20x' + 30y'.$$

Для этого треугольник $C_2$ откладывается от верхней вершины треугольника $C_1$, а затем $C_2$ «съезжает с горки», образованной гипотенузой $C_1$. Получается четырехугольник, изображенный на рисунке 3.

Теперь можно построить и множество $C$. Отложим треугольник $C_3$ от верхней вершины на рисунке 3 и даим ему «съезжает с горки», образованной двухзвенной ломаной. Получается пятуюугольник $C$, изображенный на рисунке 4.

А что же требуется в задаче? Требуется найти такую точку $A = (a; b)$, что во-первых, $a = b$, а во-вторых, $a$ имеет наиболее значение. Эта точка лежит на пересечении биссектрисы и ломаной $KLMN$ (см. рис. 4) и имеет координаты $(86^2/3, 86^2/3)$.

Как нам добавиться до точки $A$? Пойдем к ней с двух сторон. Сделаем шаг по отрезку $KL$ из точки $K$ в точку $L$. При этом поднимемся на 80 единиц. Это соответствует тому, что станок треугольного типа должен изготовить 80 вторых деталей. Далее сделаем шаг из точки $N$ в точку $M$. При этом мы сдивимся вправо на 60 единиц. Это

13

соответствует тому, что станки второго типа должны работать лишь над первыми деталями и сделать их 60 штук.

А теперь мы движемся от $L$ к $A$ и от $M$ к $A$. Это соответствует тому, что первый станки работают $2^2/3$ из общих трех единиц времени над первой деталью (и мы сдигаемся впраvo на $26^2/3$) и $1/3$ времени над второй деталью (и мы поднимаемся вверх на $6^2/3$). В итоге мы попадаем в точку $A$.

Кстати, становится ясно, как надо поступать, если у нас не три, а $n$ типов станков. Тогда множество $n$ будет ограниченоломанной из $C$ звеньев, углы наклона которых будут упорядочены от нижней точки к верхней в порядке убывания. И снова надо идти от верхней и нижней точек навстречу друг другу. Все типы станков, кроме одного, будут обработать лишь одну деталь — «верхние» — первую, «низние» — вторую. И лишь на последнем участке одному типу станков придется «поделиться» — часть времени обработать первую, часть — вторую деталь.

В нашем втором решении главную роль играли прямы, на которых лежат звеньяломной KLMN. В самых общих чертах идея двойственности в том и состоит, что многогранник можно задавать набором его вершин, а можно — и как пересечение набора содержащих его полупространств.

Формализовав производенный задачу и указав некоторые решения, Л. В. Канторович увидел также замечательные перспективы в области экономики. Представьте себя на месте мастер, у которого в подчинении находится семь рабочих. Они работают на тех самых станках, с которых мы уже не раз встречались. Вы должны организовать производство так, чтобы изготовить как можно большие комплектов деталей.

Один путь — директивный. Мастер вызывает бригаду и строит головом распоряжается: «Ты, Петр, давай делай вторую деталь на станке третього типа; Иван, Николай и Александр — делайте первую деталь на станке первого типа» и так далее.

Но есть и другой путь, более деликатный. Вы можете вызывать бригаду и сказать так: «Ребята, нужно сделать на ваших станках детали двух видов. Первая стоит 2 рублей, а вторая — 1 рублей; за каждый комплект из деталей двух видов — премия по 10 копеек. Подумайте, как вам заработать побольшие».

Возможно, сначала рабочим в голову придет варант, называемый в нашей таблице «естественным распределением». При этом они заработают 238 рублей 70 копеек. Но потом они,

14

наверное, договорая, что есть и более выгодное — «оптимальное распределение».

Вопрос: Какую наиболее сумму может заработать бригада?

А откуда же взялись цены на детали? Посмотрите на рисунок 4. Прямая LM, на которой лежит оптимальная точка A, имеет уравнение 2a+b=260. Его коэффициенты 2 и 1 — это и есть цены. Если бы не премия за комплектность, то при ценах на детали в 2 и 1 рублей набольший заработок бригады отвецал бы любой из точек отрезка ML. А небольшая премия в 10 копеек делает наиболье выгодной именно точку A. Таково искусство правильного выбора цен!

Но вернемся в 1939 год. Говорят, что истина роздается ересью… Увы, так случайность и с идеями Л. В. Канторовича в области экономики. Они не встретили понятия в момент их зарождания, были объявлены ересью, и его работа была превращена.

Концепции Леонида Витальевича вскоре после конца войны были переоткрыты на Западе. Американский экономист T. Купманс в течение многих лет привлекал внимание математиков к ряду задач, связанных с военной тематикой. Он активно способствовал тому, чтобы был формирован математический коллектив для разработки этих проблем. В итоге было осознано, что надо научиться решать задачи о нахождения экстремумов линейных функций на многогранниках, задаваемых линейными неравенствами. По предложению Купманса этот раздел математики получил название линейного программирования.

Американский математик Д. Данцгг в 1947 году разработал весьма эффективный конкретный метод численного решения задач линейного программирования (он получил название сумплекс-метода). Идей линейного программирования в течение пяты-шести лет получили градинозное распространение в мире, и именно Купманса и Данцгг стали повсюду широкого известны.

Примерно в это время Купманс узнал, что еще до войны в далекой России уже было сделано нечто по-

хожее на разработку начал линейного программирования. Как легко было Данцгг и Купмансу проигнорировать эту информацию! Маленькая книжца, изданная ничтожным трахом, обращенная даже не к экономистам, а к организаторам производства, с минимумом математики, без четко описанных алгоритмов, без доказательных теorem — словом, стоит ли принять такую книжку во внимание… Но Купманс настоявает на переводе и издании на Западе книги Канторовича. Его имя и идеи становятся известными всем. Воздадим должное благородство американского ученого!

А самому Леониду Витальевич — как естественное было бы ему, испытав первыеrozные ударыретоградов, отречься от «грехов» своей молодости, забиты про всю эту экономику и вернуть к математике. Но Л. В. Канторович продолжает писать математические работы, наявные экономические идеями, участует и в конкретих разработках на производстве. При этом (одновременно с Данцггом, но не зная его работ) он разработывает метод, позже названный модифицированным симплеекс-методом. Как только в 50-е годы образуется маленький просвет и кое-что из запретного ранее становится возможным, он организует группу студентов на экономическом факультете ЛГУ для обучения методом оптимального планирования. А начинается 1960 года, Леонид Витальевич занимается только экономикой и связанным с него математическим проблемами. Его включает в эти области был отечелен Ленинской премией в 1965 году (присудена ему совместно с В. С. Немчиновым и В. В. Новожиловым) и, как уже говорилось, Нобелевской премией в 1975 году.

17

СИСТЕМЫ
ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ
И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

Доктор физико-математических наук
А. С. СОЛОДОВНИКОВ

Teория систем линейных неравенств близка школьной математике. У этой теории много приложений, главным образом к линейному программированию, о котором расссказывается в статье В. М. Тихомирова в этом номере журнала. Мы рассскажем о самых азах теории систем линейных неравенств.

Решение системы
linейных неравенств путем последовательного уменшения числа неизвестных
Начнем с примера. Пусть нам нужно решить систему неравенств (точнее — научиться находить все ее решения):
$$\begin{cases} 7x+2y-2z-4 \geq 0, \\ -x-y-z+4 \geq 0, \\ -2x+3y+z-1 \geq 0, \\ 5x-y+z+2 \geq 0. \end{cases}$$

Мы воспользуемся примером, напоминаяшим решение общей системы линейных уравнений. Перепишем систему (1) так:
$$\begin{cases} \frac{7}{2}x+y-2 \geq z, \\ -x-y+4 \geq z, \\ z \geq 2x-3y+1, \\ z \geq -5x+y-2. \end{cases}$$

Из (2), размещется, следует, что
$$\begin{cases} \frac{7}{2}x+y-2 \geq 2x-3y+1, \\ \frac{7}{2}x+y-2 \geq -5x+y-2, \\ -x-y+4 \geq 2x-3y+1, \\ -x-y+4 \geq -5x+y-2. \end{cases}$$

Предположим, что нам известно хотя бы одно решение ($x_0, y_0$) системы (3). Но тогда решение системы (2) будет всякая тройка ($x_0, y_0, z_0$), где $z_0$ — любое число, заключенное между наименшей из левых частей неравенств системы (2) и наибольшей из правых частей неравенств этой системы. Наоборот, если ($x_0, y_0, z_0$) — решение системы (1), то пара ($x_0, y_0$) — решение системы (3).

Систему (3) можно переписать (по аналогии с тем, как мы поступали с системе (1)) так:
$$\begin{cases} y \geq -\frac{3}{8}x + \frac{3}{4}, \\ y \geq \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}, \\ 2x+3 \geq y, \\ x \geq 0. \end{cases}$$

Опять-tаки, если ($x_0, y_0$) — решение системы (4), то $x_0$ удовлетворяет системе
$$\begin{cases} 2x+3 \geq \frac{3}{8}x + \frac{3}{4}, \\ 2x+3 \geq \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}, \\ x \geq 0, \end{cases}$$

которая равnocильна одному-единственному неравенству $x \geq 0$.

Возьем теперь какое-нибудь решение этого неравенства, скажем $x=1$, и подставим это значение $x$ в системе (4):
$$y \geq \frac{3}{8}, y \geq 0, y \leq 5$$

откуда $\frac{3}{8} \leq y \leq 5$. Возьем теперь $y=4$ и подставим $x=1$ и $y=4$ в системе (2). Получим $-1 \geq z \geq -3$. Для таких $z$ любая тройка (1, 4, $z$) удовлетворяет исходной системе.

18

Вообще мы можем взять любое значение $x_0 \geq 0$, подставить это значение в систему (4), получить систему неравенств для $y$, выбрать одно из ее решений $y_0$, подставить $x_0$, $y_0$ в системе (2), после чего найти все возможные значения $z$ для уже выбранных значений $x_0$ и $y_0$.

Итак, мы научились описывать все решения системы (1). Оказывается, что аналогичный примем можно использовать в самом общем случае.

Сопутствующий система линейных неравенств

Пусть дана система линейных неравенств с $n$ неизвестными $x_1, \dots, x_n$ — будем называть ее «система $S$». Условия в дальнейшем рассматривать только неравенства типа $\geq$. Таким образом, система $S$ имеет вид

$$\begin{cases} L_1 \geq 0, \\ L_2 \geq 0, \\ \dots \dots \\ L_m \geq 0, \end{cases}$$

где каждое $L_i$ ($i=1, 2, \dots, m$) — это выражение вида

$$a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n + a.$$

При рассмотрении системы $S$ возникают два основных вопроса:

a) является ли система совместной, т. е. имеет ли она хотя бы одно решение $x_1 = x_1^0, x_2 = x_2^0, \dots, x_n = x_n^0$;

b) если да, то как найти все ее решения?

Рассмотрим любое из неравенств системы $S$. Оно имеет вид

$$a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n + a \geq 0.$$ (*)

Если $a_n = 0$, оставим неравенство (*) без изменений. Если же $a_n \neq 0$, то, в зависимости от знака $a_n$, приведем его к виду $P_n \geq x_n$ (при $a_n \geq 0$) либо $Q \leq x_n$ (при $a_n < 0$). Итак, любое из неравенств системы $S$ приводится к одному из трех видов $R \geq 0, P \geq x_n, Q \leq x_n$, где $R, P$ и $Q$ выражения вида

$$b_1x_1 + b_2x_2 + \dots + b_{n-1}x_{n-1} + b,$$

т. е. линейные многочлены, зависимости уже от $(n-1)$-й переменной.

Таким образом, система $S$ равна сисеме $S_1$:

$$P_1 \geq x_n,$$
$$P_2 \geq x_n,$$
$$P_p \geq x_n,$$

$$x_n \geq Q_1,$$
$$x_n \geq Q_2,$$
$$x_n \geq Q_q,$$

$S_1$

Эта система состоит, вообще говоря, из трех блоков, выделенных рамками. Разумеется, при этом не исключаено, что в системе $S_1$ не будет одного или даже двух блоков. Это зависит от знаков чисел $a_n$.

Построим теперь систему с меньшим числом неизвестных так же, как мы поступили при рассмотрении примера:

$$\begin{cases} P_\alpha \geq Q_\beta, \\ R_\gamma \geq 0, \end{cases}$$

где $\alpha = 1, 2, \dots, p, \beta = 1, 2, \dots, q, \gamma = 1, 2, \dots, r$.

Всего в этой системе $pq + r$ неравенств.

Система $S^{(1)}$ называется conuctвуошей по отношению к исходной системе $S$.

Если окажется, что в системе $S_1$ первый или второй блок отсутствует, то сопутствующая система будет состоять только из неравенств $R_\gamma \geq 0$, если отсутствует третьий блок, то в ней будет только неравенства $P_\alpha \geq Q_\beta$. Наконец, если отсутствует первый и третьий блок или второй и третьий, то сопутствующей системы нет вовсе. Мы будем считать ее в этом случае тоже действенной, т. е. состояние из неравенства $0 \geq 0$ (или, точнее, из неравенства $0 \cdot x_1 + \dots + 0 \cdot x_n + 0 \geq 0$).

Построенная при рассмотрении примера системы (3) — сопутствующая

19

для системы (1), аналогично, система (4) — сопутствующая для системы (3).
Если рассмотреть систему
$$\begin{cases} -3x+3y+z-1 \geq 0, \\ 5x-y+z+2 \geq 0, \end{cases}$$

состоящую из двух последних неравенств системы (1), то ее сопутствующая система тоже действна.

Что значит решить систему линейных неравенств

Связь между решениями исходной системы $S$ и сопутствующей ей системы $S^{(1)}$ мы уже обнаружили на примере. В общем случае эту связь выражает следующая теорема.

Теорема. Если от любого решения системы $S$ отбросить значение последнего неизвестного $x_n$, то получим неокторое решение сопутствующей системы $S^{(1)}$.

Обратно, для любого решения сопутствующей системы $S^{(1)}$ можно найти такое значение неизвестного $x_n$, присоединить кторое, получим решение исходной системы $S$.

Первое утверждение теоремы оченьindo (если какой-нибудь набор значений неизвестных удовлетворяет системе $S$, то он удовлетворяет и системе (2); но тогда для этого же набора выполняются все неравенства системы $S$). Доказем обратную теорему.

Сначала рассмотрим основной случай — когда в сопутствующей системе $S^{(1)}$ имеется хотя бы одно неравенство $P_\alpha \geq Q_\beta$. Пусть
$$x_1 = x_1^0, \dots, x_{n-1} = x_{n-1}^0$$
— какое-нибудь решение системы $S^{(1)}$. Подставив указанные значения неизвестных в выражения $P_1, \dots, P_p, Q_1, \dots, Q_q, R_1, \dots, R_r$, получим неокторые числа $P_1^0, \dots, P_p^0, Q_1^0, \dots, Q_q^0, R_1^0, \dots, R_{1r}$. Для них выполняются неравенства
$$P_\alpha^0 \geq Q_\beta^0, R_\gamma^0 \geq 0$$
($\alpha=1, 2, \dots, p; \beta=1, 2, \dots, q; \gamma=1, 2, \dots, r$).

Мы видим, что каждое из чисел $Q_1^0, \dots, Q_q^0$ не больше, чем любое из чисел $P_1^0, \dots, P_p^0$. Но в таком случае обязаτεно найти число $x_n^0$, которое

заключено между всеми числами $Q_1^0, \dots, Q_q^0$ и всеми числами $P_1^0, \dots, P_p^0$:
$$P_\alpha^0 \geq x_n^0 \geq Q_\beta^0$$
($\alpha=1, 2, \dots, p; \beta=1, 2, \dots, q$).

Отсюда следует, что набор значений неизвестных
$$x_1 = x_1^0, \dots, x_{n-1} = x_{n-1}^0, x_n = x_n^0$$ является решением системы $S^{(1)}$, а следовательно, и $S$.

В исключительном случае — когда сопутствующий система $S^{(1)}$ состоит только из неравенств $R_\gamma \geq 0$ — в системе $S_1$ отсутствует первый или второй блок. Если нет первого блока, в качестве $x_n$ можно взять любое число, удовлетворяющее условием
$$x_n^0 \geq Q_\beta^0 (\beta=1, \dots, q).$$

Аналогично, при отсутствии второго блока $x_n^0$ выбираем, исходя из условия
$$P_\alpha^0 \geq x_n^0 (\alpha=1, \dots, p).$$

Наконец, если отсутствует сразу первый и второй блок, то в качестве $x_n^0$ можно взять какое угодно число. Теорема доказана.

Итак, система $S$ линейных неравенств совместна тогда и только тогда, когда совместна сопутствующая ей система $S^{(1)}$. При этом все решения исходной системы $S$ могут быть получены следующим способом: нужно к каждому решению $x_1^0, \dots, x_{n-1}^0$ сопутствующей системы $S^{(1)}$ присоединить любое из чисел $x_n^0$, заключенных между всеми числами $P_1^0, \dots, P_p^0$ и всеми числами $Q_1^0, \dots, Q_q^0$.

Скажем несколько слов о геометрическом смысле доказанной выше теоремы. Допустим, что $S$ — система неравенств с треями неизвестными $x, y, z$. сопутствующая система $S^{(1)}$ есть система с двумя неизвестными $x, y$. Пусть $M(S)$ — множество решений системы $S$ (это — неокторое множество точек в пространстве), а $M(S^{(1)}$ — множество решений системы $S^{(1)}$ (множество точек на плоскости). Доказанная теорема в переводе на геометрический язык ознакомлена следующей:

Область $M(S^{(1)})$ есть проекция области $M(S)$ на координатную плоскость ху.

Итак, для произвольной системы $S$ линейных неравенств с неизвестными $x_1, \dots, x_n$ мы построили новую, сопутствующую систему $S^{(1)}$, в котором неизвестными являются $x_1, \dots, x_{n-1}$. Для системы $S^{(1)}$ можно, в свою очередь, построить сопутствующую систему

20

му $S^{(2)}$ (с неизвестными $x_1, \dots, x_{n-2}$), для последней — сопутствующую систему $S^{(3)}$ и т. д. Продолжая этот процесс, мы после ряда шагов приdem к системе $S^{(n-1)}$, состоящей из неравенств с одним неизвестным $x_1$. Из сказанного ранее вытекает, что система $S$ совместна в том и только в том случае, когда совместна система $S^{(n-1)}$. Решение же вопроса о совместности или несовместности системы с одним неизвестным не представляется никакого труда. Таким образом, мы получили возможность при помощи весы простых вычислений узнать, совместна исходная система $S$ или нет. Кроме того, как только построены системы $S^{(1)}, S^{(2)}$ и т. д., мы можем найти все допустимые значения неизвестного $x_1$ (из системы $S^{(n-1)}$); затем для любого конкретного допустимого значения $x_0^1$ найти все совместные с ним значения неизвестного $x_+$, т. е. такие значения, которые вместе с $x_0^1$ удовлетворяют системе $S^{(n-2)}$, по $x_0^1$ и $x_0^2$ найти все допустимые $x_3$ и т. д.

Поэтому мы будем считать, что система $S$ решена, если построены системы $S^{(1)}, S^{(2)}, \dots, S^{(n-1)}$.

Применение к линейному программированию

В статье В. М. Тихомирова в этом номере курнала рассказывает о линейном программировании. Мы показем, как можно свести задачу линейного программирования к решению неокоторой системы линейных неравенств. Этот способ решения не самый экономный, но в логическом отношении веса простой.

Итак, пусть нужно найти минимум (или максимум) неокоторой линейной функции $F=a_1x_1+\dots+a_nx_n$ при условиях

$$\begin{cases} L_1 \geq 0, \\ L_2 \geq 0, \\ \dots, \\ L_n \geq 0, \end{cases}$$

где $L_i$ ($i=1, 2, \dots, m$) — линейные функции от $x_1, x_2, \dots, x_n$.

Пусть $M$ — множество всех решений системы $L$, а $d$ — минимум функции $F$ на этом множество. Для каждого из решений $x=(x_1, x_2, \dots, x_n)$ рассмотрим число $F(x)$. Найменьшее из всех чисел $F(x)$, где $x \in M$, и будет $d$.

Однако и само число $F(x)$ при данном $x \in M$ также является наиболее из всех чисел неокоторого множества, а именно — из всех чисел $z$ таких, что $z \geq F(x)$. Поэтому можно определить число $d$ и по-другому: следует рассмотреть систему

$$\begin{cases} L_1 \geq 0, \\ L_m \geq 0, \\ z-F \geq 0 \end{cases}$$

линейных неравенств с $n+1$ неизвестными $z, x_1, \dots, x_n$ и из всех ее решений выбрать такое, для которого $z$ принимает наименьшее значение.

Способ сведения задачи линейного программирования к решению неокоторой системы линейных неравенств, указанный в этом параграфе, позволяет легко доказать следующее теорему (являющийся одной из основных теорем линейного программирования).

Теорема. Если совокупность линейной функции $L$ на множество $M$, заданное с помощью системы $S$ линейных неравенств, ограничена спизу, то в этой совокупности существует наименьшее число ($t$. е. существует минимум $L$ на множество $M$).

Действительно, после исключения из системы $T$ неизвестных $x_n, x_{n-1}, \dots, x_1$ получим систему $T^{(n)}$ неравенств с одним неизвестным $z$. Множество ее решений совпадает с совокупностью значения функции $L$ (на $M$). Отсюда и следует утверждение теоремы.

В заключение предлагаем читательям решить следующее задачу.

Задача. Содержание витаминов $A$ и $C$ в 1 кг вшен и абрикосов данного в следующей таблице:

| A (мг) | C (мг) |
| :— | :— |
| Вишни | 3 | 150 |
| Абрикосы | 24 | 75 |

Сколько граммов вшен и абрикосов следует включить в дневной рацион, чтобы в нем оказалось не менее 6 мг (суточная норма) витамина $A$ и 75 мг витамина $C$ при минимальных затратах, если стоимость и 1 кг вшен, и 1 кг абрикосов составляет 2 р.?

22

ПУЗЫРИ
В ЛУЖЕ

Кандидат физико-математических наук
А. В. МИТРОФАНОВ

Вы, конечно, наблюдали эти «живучие» пузыри. Они возникают на поверхности водоемов или луж во времяливания, когда вода как будто «вскипает» от часто падающих крупных капель. Иnorда такие пузыри бывают и после дождя, если с веток деревьев продолжает капать. Пузыри удивительно устойчивы, их не только можно успеть сформировать, но и наблюдать, как они плывут по воде. Время жизни пузырей несколько секунд, а то и несколько десятиков секунд. В конце концов они лопаются.

На вид все пузыри примерно одинаковые. Оболочка пузыря похожа на polysферу с хорошо заметным ободком около основания. Каждый пузырь — словно круглая произнашивающая шляпка с маленькими темными полями. Наша задача состоит в том, чтобы разобраться, что это за «шляпка» и откуда у нее появились «поляя».

Мы знаем, что молекулы на поверхности жидкости имеют определенную потенциальную энергию, называемую поверхностной энергейой. Величина этой энергии пропорциональна площади поверхности, а коэффициент пропорциональности — свой для каждой жидкости — называют коэффициентом поверхностиного натяжения. Известно, что всякая система при равновесии находится в том (из возможных для нее) состоянии, в котором

23

ее энергия имеет минимальное значение. Применительно к нашим пузырям это означает, что площадь поверхности пузыря должна быть по возможности минимальной. Свообидный мыльный пузырь имеет форму сферы: ведь при заданном объеме тела (воздуха в пузыре) сфера имеет минимальную площадь поверхности (ролы силиты тяжесты для пузыря незначительная, т.к. он очень легкий). Если слегка деформировать пузырь, например подуть на него, то предоставленный самому себе пузырь опять примет форму сферы.

На поверхности воды пузыри по форме уже другие: если пузырь крупный, то он похож на полусферу, а не на сферу. Оболочка пузыря имеет выпуклую форму благодаря избыточному давлению $\Delta p$ воздуха внутри пузыря. Поскольку величина $\Delta p$ постоянная (воздух находится в равновесии), «шапка» пузыря выгнута везде одинаково; иначе говоря, стенки «шапки» имеют вседу и ту же кривизну, т. е. являются частью сферы. Но какая часть сферы расположена над водой?

Будем считать, что основание пузыря (его «донышко», роль которого играет поверхность водоема) плоское. Такое предположение справедливо, конечно, не всегда, и оно тем близке к истине, чем больше размер пузыря (к этому вопросу мы еще вернемся). Нетрудно понять, что такой пузырь при заданном объеме воздуха имеет форму полусферы (полусфера имеет в этом случае минимальную площадь).

Теперь поговорим об «ободке», опоясьивающим «шапку» водного пузыря. Что это такое? Догадаться, пожалей, нетрудно.

Известно, что вода поднимается в узком капилляре, если она смачивает его стенки. Энергетическая это «выгодно». Чем меньше радиус капилляра, тем выше в нем уровень жидкости. Благодаря тем же капиллярным сламом вода поднимается частью формы, например плоской вертикальной пластинки, — лишь бы поверхность смачиваясь водой. Опустите

С изображением фотографии и скорости фотосъемки стали известными многое подробности событий, проссодящих при удале домевой капли о водную поверхность.

Крупная капля должна nadает на водную главь… образуется глубокая borона… borона «схлопывается»… и вот уже на поверхности воды спокойный пузырь с «заточенным» в нем воздухом.

Оdnим из первых, еще в начале нашей века, такое удесное превращение зафиксировал на фотопластике профессионального физики Королевского военно-морского инженерного коллекция в Девонорте А. Уортинстон. Ставшую классическую серию фотосимков Уортинстона можно увидеть в сборнике научной фотографии Дж. Даруша «Недоступное глаза» (M.: Мир, 1986, c. 59).

Иная судьба у более мелких домевых капель. Они тоже образуют увеличения на поверхности воды, но не такие глубокие, и они не «схлопываются». Инодана наблюдательные воды «звезди» — вертикальные тоненные фоначки, возникшие в центре увеличения. Особенно впечать ошибки выглядят воды «звезди» в сильный домель почью при яркой вспышке молнии.

24

вертикальное в воду мокрую дошечку или чистую стеклянную пластинку, так чтобы та выступала из воды. При подходящем освещении вы заметите узкий ободок капиллярного поднятия уровня воды около границ тела, по виду мало чем отличающийся от ободка пузыря, видимого на фотографии. Именно капиллярное поднятие уровня воды у стенок пузыря и создает «ободок» искусленный поверхности (рис. 1).

Тот, кто интересуется расчетами или физических оценками, может вместе с нами подробнее рассмотреть вопрос о капиллярном поднятии воды вблизи гладкой вертикальной стены при полном смачивании ее жидкостью.

Оценим максимальное повышение уровня воды $H$ вблизи границ тела и определим зависимость $H$ от коэффициента поверхностного натяжения $\sigma$. Воспользуемся для этого методом размерностей.

Равновесие жидкости при капиллярном поднятии определяется силими поверхностного натяжения и силой тяжесте. Позному $H$ может зависеть только от $\sigma$, от плотности жидкости $\rho$ и отускорения силиы тяжесте $g$. Будем искать функцию $H=f(\sigma, g, \rho)$ в виде

$$H = \text{const} \cdot \sigma^l \cdot g^m \cdot \rho^n. \quad (*)$$

(Kонецно, не всегда физические величины, определяющие какое-либо явление, связанные степенной зависимости, но очень часто это именно так.) Чтобы получить в явном виде зависимость $H$ от $\sigma, g$ и $\rho$, нам надо найти значения $l, m$ и $n$.

Понятно, что левая и правая части соответственно () имеют одну и ту же размерность. Выпишем размерности входящих в() величины —

$$[H] = L, \quad [\sigma] = MT^{-2}, \quad [g] = LT^{-2}, \quad [\rho] = ML^{-3}$$

(L, M, T — единицы длины, массы и времени) — и запишем соответствующее равенство

$$L = (MT^{-2})^l (LT^{-2})^m (ML^{-3})^n.$$

Отсюда получаем систему линейных уравнений для неизвестных $l, m$ и $n$:

$$l + n = 0, \quad l + m = 0, \quad m - 3n = 1.$$

Система имеет единственное решение

$$l = 1/2, \quad m = -1/2 \text{ и } n = -1/2.$$

Таким образом,

$$H = \text{const} \cdot \sqrt{\frac{\sigma}{\rho g}}, \quad \text{или } H \sim \sqrt{\frac{\sigma}{\rho g}}.$$

Определить метод размерностей неизвестную константу нельзя. Однако в физических формулах, полученных методом теоретического расчета, численные коэффициенты былиют, как правило, близки к единице; во всяком случае, они не влияют на порядок величины. Точное значение $H$ отличается от полученной нами оценки в $\sqrt{2}$ раз: $H = \sqrt{2\sigma/\rho g}$.

Теперь мы можем оценить, как высоко поднимается вода около вертикальной стены. Подставля значения $\sigma$ и $\rho$ для воды ($\sigma \approx 73 \cdot 10^{-3} \text{ H/m}, \rho \approx 10^3 \text{ kr/m}^3$), получим $H \approx 4$ мм. Примерно на столько же поднимается вода у основания стенок сферической части пузыря. Кривая поверхность воды у основания пузыря при надлежащем освещении и выглядит как темный ободок. Ширина ободка у всех больших пузырей такого же порядка, как $H$, т. е. несколько миллиметров.

Внимательный читатель заметит, что пузыри на фотографии — не точные полусферы, а как бы чуть приоплленные в воде, и что ободок внутри пузыря отличается от наружного. (Под джемм, наблюдая пузыри, уловить такую разницу очень трудно.) Почему это так? Дело в том, что, как мы уже говорили, под оболочкой пузыря давление воздуха больше, чем снаружки. Поэтому внутри пузыря

25

в середине уровень воды ниже, чем в водоеме или луже. Найдем, насколько «проседает» пузырь относительно уровня жидкости в водоеме.

Избуточное давление воздуха внутри пузыря равно $\Delta p = 4\sigma/R$. В окружающей пузырь воде такое дополнительное (к атмосферному) давление создается на некоторой глубине $\Delta h$ под поверхностью воды. Понятно, что именно на это $\Delta h$ и будет «проседать» допущено пузыря (рис. 2, a). Из равенства $4\sigma/R = \rho g \cdot \Delta h$ находится $\Delta h$:

$$\Delta h = \frac{4\sigma}{\rho g R}.$$

Для пузырей, которые были нами сформированы, величины $\Delta h$ находились в пределах 1—3 мм.

Таким образом, крупный пузырь имеет вид полусферы, слегка затопленной в жидкости и оказывает у основания внутренний изогнутыми кромками. крупными пузырами мы будем называть те, у которых $R \gg H \approx \sqrt{\sigma/\rho g}$.

А как выглядят пузыри меньше размера? Попробуйте самостояльно разобраться в этом непростом вопросе. Отметим только, что если мы «изготовим» в воде маленький пузыре (радиусом порядка 1 мм или меньше), то он вообще не всплывет над уровнем жидкости, а будет находиться под водой, как будто приклеенный к водной поверхности. Форма маленького пузырька сферическая. На рисунке 2 показано, как выглядят крупный пузырь, т. е. такой, у которого $R \gg \sqrt{\sigma/\rho g}$ (a), пузырь средних размеров, у которого $R \approx \sqrt{\sigma/\rho g}$ (б), и маленький пузыре в форме сферы радиусом $R \ll \sqrt{\sigma/\rho g}$ (б).

Подумайте, почему форма пузыря разная в зависимости от его размера — чем больше пузырь, тем больше он похож на полусферу. И почему во время джедра появляется в основном пузырьке или средних размеров? Объяснение этого факта читатели найдет в замечательной книге Я. Е. Гегузина «Пузыри», выпущенной издательством «Наука» в 1985 году в серии «Библиотечка «Квант»» (выпуск 46).

Перейдем к последнему вопросу. Поговорим об устойчивости водяного пузыря. Нам надо разобраться, почему пузыри «живут» долго только в том случае, если пасмурно или если еще идет джедр.

Кое-что скажет, что во время джедра пузырей может быть очень много, поэтому и какется, что они «долгожители». Доля истинны в этом утверждении есть. Но если попаходить за отдельным пузырем, то легко убедиться, что вопрос наш не является надуманным. Пузыри в джедливую или пасмурную погоду живут действительно значительное долще, чем, скажем, в сухую солнечную погоду (в сухую погоду они «живут» так мало, что их никто и не наблюдают только).

Есть много разных причины, по которым пузыри разрушают. Оболочка пузыря может порвать поверх，《проткнуть》 крупная джедринка и т.д. Она может испариться или стать очень тонкой и неоднородной из-за стекания воды вниз по стенкам пузыря. Присутствие в воде так называемых поверхностно-активных веществ (например, мыла) может, наоборот, продолжить время жизни пузырей вдесятки и сотни раз. (Вспомните пену на реке, которое не так-то легко разрушить.)

26

В 1985 году издательство «Мир» выпустил перевод книги Девида Джоунса «Изобретения Дедала». Расказывать об этой книге мы не станем — во-первых, потому, что трудно расскаазать, о чем эта книга, а во-вторых — потому, что горячо интереснее прочитать книгу, чем расскаазо ней. Но бомится, что сделать это — прочитать книгу — сегодня уже не так просто. Хорошо, если вы найдете ее в библиотеке…
И мы решили дать нашим читателем возможность хотя бы частично познакомиться с «изобретениями Дедала» — мы будем помещать коротенные отрывки из книги Д. Джоунса. Первые такие публикации мы предавляем выдержками из авторского предложения к книге.
«В этой книге собрано (и дополено) 129 «изобретений Дедала», опубликованных в разное время на «страничке Арсадны» в ежедневнике «New Scientist». Все изобретения современного Дедала не уступают по смелости выдумки восковым крыльям его античного предшественника: они оригиналы и остроумны и дают читателю богатую пицу для размышлений. Эти идеи лежат на грани междустроой реальностью и очевидной фантастикой.
…Изобретательская фантация Дедала всегда откликается от научной реальности. И как это ни странно, примерно 17 % изобретений в том или ином виде последствия были восприняты всеbez, запатентованы, реализованы, а неокоторые, как оказалось, были уже осуществлены прежде!…
Для тех, кто захотет более внимательно рассмотреть научную подоплечение этих «изобретений», я добавил раздел «Из записной книжки Дедала», где приведется кое-каске вычисления и разбирается научная сторона вопроса… Прочее замечания, включая и упоминация о realizовании проектах Дедала, обеденены под рубрикой «Комментарий Дедала»…
Дэвид Джоунс
(Ньюкас-апон-Тайн, май 1981 г.)»

Спасибоная безликость

Фотохромные стекла, применяемые в солнцезащищных очках, обладают интересным свойством — они темнеют на свету. Под действием света хлопистое сербро, введенное в состав стекла, разлагается, образуется непрозрачные зерна сербра. Эта реакция обрабатма — при низких уровнях освещенности стекло снова становится прорачным; таким образом, это стекло автоматически регулирует свою прорачность. В этой связи Дедал вспоминает основное правило масировки: избегать контрассов. Многие животные, например, имеют темную спину и светлое брюхо, но, так как спина хорощо освещена, а брюхо остается в теми, их тональности практически сливаются. Фотохромные животные — лягушки и хамелеоны —

27

приспособились еще лучше. Чтобы стать незаметными, они изменяют свою окраску. Но и они не способны варbiровать окраску отдельных участков своего тела так, чтобы полностью слиться с окружающим фоном. Такой прием маскировки настоящего эфективен, что природа, несомненно, им уже воспользовалась, — в полне возможно, что животным с таким камуфляжем до сих пор успешно удалалось избегать знакомства с человека.

Дедал пытается перенести этот принцип на человекае общество. Он давно задумывался над тем, почему когда-то столы пышное мужское платье в Викторианскую эпоху стало весьма уныльим и до наших дней остается таковым, по крайней мере в повседневной и деловой жизни. По мнению Дедала, это обьясняется стремлением людей не привлекать к себе особого внимания со стороны: экспцентрично или броско одетый субъект как бы напрашивается на

28

неприятности. Так появились деловые костюмы и бельыеворотнички. Дедал же разработывает фотохромный костюм, не имеющий себе равных по неприметности. При ярком освещении он темнеет, уменьшая свою отражательную способность; когда же на него падает мало света, он светлеет. Благодаря этому такой костюм будет казаться абсолотно однотонным. Глаз человека особенно чувствуетлен к контрастам. Так что фотохромный костюм, совершенное лишеный контрастности, будет практическим незаменен, и его обладает не привлечет к себе ниччего внимания. Фотохромные крем для рук и лосоон для лица доведут камуфляж до совершенства. Дедал предвидит огромный способ на свою фотохромную продукцию.
(New Scientist, August 16, 1973)

Комментарий Дедала

В фотохромном стекле проискодит классическая фотографическая реакция: AgCl $\xrightarrow{hv}$ Ag+Cl. Atom хлора, освобождавшийся в фотографической эмульсии, тут же необратимо связьвается с железном, а atom серебра становится центром проявления. В стекле хлор не может отойти дальше от atoms серебра, и поэтому реакция обратима. Равновесие реакции зависит от освещенности стекла.

29

Быстродействие галогеносеребряных стекол для солнецащитных очков измеряется минутами. При такой скорости реакции изменение окружки фотохромного костюма не поспевало бы за изменениями освещности, возниккаошими при движении. Но в более совершенных фотохромных системах — например, в стеклах очков для защиты глаз от вспышки, сопровождающей ядерный взрыв, — продолжительность реакции уменьшается до микросекунд. Системы с подобными свойствами прекрасно подошли бы для фотохромного костюма.

Роль светотенения в зрительном восприятии подробно обсуждалась Дж. Беком (Scientific American, Aug. 1975, p. 62); объект, не подчиняющийся общным законом распределения света и тени, очень трудно, а порой невозможно распознать, как бы пристальное мы ни разглядывали его. Глаз не в состоянии определить фактуру поверхности и форму без привычных переходов светотенения. Представьте себе теперь комнату, стены, пол и потолок которого оклеены фотохромными обоями. Каким бы ярким ни было освещение, любой фотохромный объект, помещенный в эту комнату, оказется невидимым, поскольку между ним и фоном не будет контраста. Какой простор для иллюзии!

Новые приближения числа π

Читательм «Кванта» хорошо известно, что задача о квадратуре круга, т. е. построения квадрата, равновелюкого данному кругу, неразрешима посредством циркуля и линейки. Это означает, что, расположая единичным отрезком, невозможно построить отрезок длиной π. Поэтому задача построения отрезков, длины которых хорошо приближают число π≈3,1415926…, давно интересует математиков.

Вот несколько классических приближений π:

22/7=3,1428571… (Архимед, 287—212 гг. до н. э.);
355/113=3,1415929… (А. Меций, Голландия, 1543—1620);

$$\sqrt{\frac{40}{3}-2\sqrt{3}}=3,1415333$$

(A. Коханский, Польша, 1631—1700);

$$\sqrt{9-3\sqrt{6}}+\sqrt{1+\sqrt{6}}=3,1423991$$

(J. Маскерони, Италия, 1750—1800).

Оцените сами точность этих приближений и подумайте, как построить соответствующие отрезки циркуля и линейкой.

Вот несколько приближений π, найденных автором:

$$\sqrt{145}-8,9=3,1415945$$;

$$5\sqrt{2}/2-13/33=3,1415945$$;

$$\sqrt{7\sqrt{2}}=3,1463462$$;

$$\sqrt{2+\sqrt{3}}=3,1462643$$;

$$10\sqrt{2}-11=3,1421356$$

А следующее два приближения π имеют «рекордную» точность:

$$\sqrt{399550}-22=3,1415926$$

$$\sqrt{97+9/22}=3,1415926$$

Несмотря на «ужасающий» вид, соответствующие отрезки нетрудно построить. Подсказка к построению первого отрезка — в равенстве:

$$\sqrt{399550}=\sqrt{5}\sqrt{11^2+1^2}\sqrt{11^2+3^2+1^2}$$

(J. П. Купцов

30

Задчи

M1166 — M1170, Ф1173 — Ф1177

M1166. Докажите неравенство $a^2pq + b^2qr + c^2rp \leqslant 0$, где $a, b, c$ — длины сторона треугольника, $p+q+r=0$.

Я. Ш. Мустафаев, ученик 10 кл., Баку

M1167. Сколько существует перестановок чисел 1, 2, …, $n$, в которых для любого числа $i$, стоящего не на первом месте, хотя бы одно из чисел $i-1$ и $i+1$ находится левее $i$?

А. В. Анджанс

M1168*. В стране 1989 городов и 4000 дорог (каждая дорога соединяет два города). Докажите, что можно выбрать колъевой маршрут, проходящий не более чем через 20 городов.

А. А. Разборов

M1169. Пусть $M$ — точка, лежащая внутри прямоугольника $ABCD$, $S$ — его площадь. Докажите неравенство

$$S \leqslant AM \cdot CM + BM \cdot DM.$$

И. Я. Гольдшейд

M1170. Расстояние разбиения данного выпukлого $n$-угольника на треугольника непересекающихся диагоналями. Изовем перестройкой следующие преобразование: вместо некоторых диагоналей $BC$, служащей общей стороны двух треугольников $ABC$ и $BCD$ разбиения, проводится diагональ $AD$ (рис. 1). Обозначим через $P(n)$ наименьшее число перестроек, за которым можно любое разбиение перевести в любое другое. Докажите оценки:

a) $P(n) \geqslant n-3$,
b) $P(n) \leqslant 2n-7$,
b)* $P(n) \leqslant 2n-10$ при $n \geqslant 13$.

Д. В. Фомин

Ф1173. Длинный игрушный поезд, составленный из большого числа вагонов, едет с постоянной скоростью по горизонтальным рельсам, а потом выздает в «мертвую петлю» (рис. 2). Длина поезда $L$, радиус петли $R$ ($R$ существенно больше размера вагона, но $L > 2\pi R$). При какой начальной скорости поезд преодолёт преятствие так, что во время движения ни один вагон не перестанет давить на рельсы?

А. И. Буздин

Ф1174. В кубическом соусе объемом $V=1$ л находится $m=0,01$ г геля при температуре $T=300$ К. Понаблюдаем за одной из молекул. Сколько раз она удается оверхню стенку соуса за время $t=1$ мин?

А. Р. Зильберман

Ф1175. НЛО проletaет над Землей с постоянной оцень большой скоростью $v$. Какую скорость зафиксируют наземные приборы станции следует в тот момент,

31

когда направление на объект будет составлять угол φ с вертикально (рис. 3)?

С. С. Кротов

Ф1176. На неевесомом коромысле длиной 2L, которое может врашаться без трения вокруг вертикальной оси, закреплены заряды +Q и —Q массой M каждый. Под коромыслом на продолжении оси врашения расположен маленький диополь — заряды +q и —q на расстоянии 2a друг от друга (a≤L). В начальной момент коромысло находится в состоянии устойчивого равновесия (рис. 4).

a) Диполь приводит во врашение с угловой скоростью ω. При каких ω коромысло будет «спровождать» врашение диополя?

b) Диполь неодвижен. Найти перiod малых коромысла.

А. В. Андрианов

Ф1177. Колебательный контур состоит из катушки с индуктивностью L=1 Гн с сопротивлением R=1 Ом и конденсатора емкостью C=1 мкФ. Конденсатор нейделен — сопротивление его изоляции Rx конечно. При какой величины Rx в катушке выделится в виде тепла 1/3 начальной энергии контура?

З. А. Рафаилов

Решения задач

M1141 — M1145, Ф1153 — Ф1157

Как и другие несложные геометрические задачи, эта задача допускает много решений. Приведем три из них.

В первых двух используется неравенство m≥2r, где m — средняя линия трапеции, a r — радиус вписанной окружности, t. e. 2r — высота трапеции (рис. 1).

Если диагональ составляет с основанием угол большие 45°, то ее проекция на основание меньше 2r трапеции. Сумма проекций обиха диагоналей, очень/no, равна сумме оснований, т. е. 2m. Поэтому если утверждение задачи не верно, то 2m<2r+2r=4r, что противоречит неравенству m≥2r.

Другое рассужение: площадь трапеции, равная 2rm, не превыходит d1d2/2, где d1 и d2 — ее диагонали. Если d1≥d2, то d1²/2≥d1d2/2≥2rm≥4r². Следовательно, 2r/d1≤√2/2, а значит, диагональ d1 составляет с основанием угол не более 45° (см. рис. 1).

В третьем решении мы использем то, что боковые стороны трапеции видны из центра O ее вписанной окружности под прямым углом (так как O — точка пересечения биссектрис углов трапеции — рис. 2). Если бы утверждение задачи было неверным, то основания трапеции были видны из точки P пересечения диагоналей под острым углом, а боковые стороны — под тупым. Тогда точка P лежала бы внутри окружностей, построенных на боковых сторонах как на диаметрах,

32

М1142. Таблица $m \times n$ заполнения mn числа так, что в каждой строке и в каждом столбце эти числа составляют агрифметическую прогрессию. Сумма четырех чисел, стоящих в узлах таблицы, равна s. Чему равна сумма всех чисел в таблице?

Ответ: $smn/4$.

Пусть $a_1, a_2, \dots, a_m$ — числа в верхней строке, $b_1, b_2, \dots, b_m$ — в нижней. Тогда $a_1 + a_2 + \dots + a_m = (a_1 + a_m)m/2, b_1 + b_2 + \dots + b_m = (b_1 + b_m)m/2$.

Суммы чисел в столбцах равны $(a_1 + b_1)n/2, (a_2 + b_2)n/2, \dots, (a_m + b_m)n/2$. Сложив эти суммы, мы получим сумму всех чисел в таблице:
$$(a_1 + b_1 + a_2 + b_2 + \dots + a_m + b_m)n/2 = (a_1 + a_m + b_1 + b_m)mn/4 = smn/4.$$
Н. В. Васильев

M1143. Масса каждой из 101 грыbs, расположенных по окружности, — натуральное число, а их общая масса равна 300 г. Доказите, что из этого набора можно выбрать одну из нескольких грыbs, расположенных подряд, с общей массой 200 г.

Отметим на окружности 300 точек, разбивающих ее на 300 равных частей (по $1^\circ 12'$), и каждой грыб массой $m$ поставим в соответствие дуг из $m$ таких частей; концы этих дуг (расположенных по окружности в том же порядке, что и грыbs) называются точками, остальные 300—101=199 точек — черными. Расмотрим все равносторонние треугольники, вписанные в окружность, у которых одна из вершин — красная. Если бы у каждой из них две другие вершины оказались черными, то всего черных точек было бы не менее $2 \cdot 101 = 202$. Поэтому найдет треугольник, у которого две вершины — красные. Бóльшая дуга (в $240^\circ$) с концами в этих красных вершинах соответствует грыбам, в сумме имеющим массу 200 г, меньше ($210^\circ$) — грыбам, имеющим массу 100 г.

В. В. Произвольов

M1144. Пусть $a_1, a_2, \dots, a_n$ — неотрицательные числа. Какое число больше:

$$\sqrt{a_1^{1988} + a_2^{1988} + \dots + a_n^{1988}}$$

или

$$\sqrt{a_1^{1989} + a_2^{1989} + \dots + a_n^{1989}}$$?

Ответ: Первое число больше, если хотя бы два из чисел $a_i$ не равны 0 (что мы и будем предполагать в дальнейшем).

Доказем сразу более общие утверждения: функция $f(\alpha) = (a_1^\alpha + \dots + a_n^\alpha)^{1/\alpha}$, многоночная убывает при $\alpha > 0$, т. е. $f(\alpha) > f(\beta)$ при $0 < \alpha < \beta$.

Не ограничивая общности, можно считать, что $a_1$ — наиболее общая чисел $a_i$, $a_1 > 0$. Положим $x_i = a_i/a_1$, тогда при $\alpha < \beta$

$$f(\alpha) = a_1(1 + x_2^\alpha + \dots + x_n^\alpha)^{1/\alpha} \geq a_1(1 + x_2^\beta + \dots + x_n^\beta)^{1/\beta} = f(\beta),$$

33

поскольку $0 \leqslant x_i \leqslant 1$ при всех $i$ и суммы в скобках больше 1.

Интересно, что часто рассматриваемая величина $(a_1^\alpha + \dots + a_n^\alpha)/n)^{1/\alpha}$ — так называемое степенное среднее число $a_1, \dots, a_n$ степени $\alpha$ — возвращает с ростом $\alpha$.

А. И. Шехорский

M1145*. Из точки $P$ проведены две касательные PB и PC к окружности, причем $\angle BPC > 90^\circ$. На меньше дуги BC взята точка A. Докажите, что площать треугольника, отсекаемого от угла BPC касательной к окружности в точке A, не превысходит площади треугольника ABC.

Рис. 1.

Рис. 2.

Обозначим отсекаемый от угла BPC треугольник через KPL (рис. 1), центр его вписанной окружности через I. Треугольники ABC и ILK подобыны. Действительно, каждый из углов ABC, CAL и ACL равен половине угловой величины дуги AC (первый угол вписан в окружность и опирается на эту дуг, два других образованны хордой, стягивающей эту дуг и касательными в ее концах). Поэтому

$$2\angle ILK = \angle PLK = \angle LAC + \angle LCA = 2\angle ABC,$$

т. е. $\angle ILK = \angle ABC$. Аналогично, $\angle IKL = \angle ACB$. Коэффициент подобия треугольников ILK и ABC равен $KL/BC$, следовательно, отношение их площадей равно $S_{ILK}/S_{ABC} = KL^2/BC^2$.

Пусть, далее, $p$ — полуперimetр, $S$ — площадь, $r$ — радиус вписанной окружности и $h$ — высота, опущенная из вершины $P$ треугольника PKL (рис. 2). Тогда

$$\frac{S_{PKL}}{S_{ILK}} = \frac{h}{r} = \frac{2S}{KL} \cdot \frac{p}{S} = \frac{2p}{KL} = \frac{2BP}{KL},$$

поскольку $BP = CP$ и $BP + CP = AK + KP + PL + LA = 2p$ (мы пользовемся здесь равенством касательных к окружности, проведенных из точки $P$, $K$, $L$). Итак, $S_{PLK}/S_{ABC} = 2BP \cdot KL/BC^2$. Остается доказать, что последнее отношение меньше 1.

По неравенству треугольника $2KL < KL + KP + PL = 2p = 2BP$, т. е. $2BP \cdot KL < 2BP^2$. Но в случае, когда $\angle BPC > 90^\circ$, имеем $2BP^2 < BC^2$, т. е. $2BP \cdot KL/BC^2 < 2BP^2/BC^2 < 1$, что и требовалось доказать.

Эту задачу можно решать и с помощью тригонометрики. Если $\alpha, \beta, \gamma$ — углы при вершинах $A, B, C$ треугольника ABC, то $BC = KL$ cos $\beta$ cos $\gamma$; нужно неравенство приводится к виду 2 cos $(\pi - \alpha)$ cos $\beta$ cos $\gamma > 1$ и вытекает из того, что $\pi - \alpha = \beta + \gamma < \pi/4$.

В. Ю. Прогасов

Ф1153. Жидкий расчет бетона на纵ли в кузов самосвала доверху. Оценить, какая доля растора останется в кузове после резко торможения. Предполагается, что вы хорошо представляют явление, мо-

34

Жете сами задать необходимые для решения величины, выбрать достаточно размерные их числовые значения и получить числовой результат.

Рис. 1.

Рис. 2.

При резком торможении колеса автоматически не钙ятся, а скольяет (только так можно быстро затормить). Тогда из второго закона Ньютона следует

$$ma = F_{\text{тр}} = \mu mg, \quad \text{т. е. } a = \mu g,$$

где $\mu$ — коэффициент треня скольжения.

Возможны два случая, изображенные на рисунках 1 и 2 соответственно. Первый случай: ускорение $a_1$ таково, что часть дна открывается. При оценке будем считать, что кузов прямогольный. Тогда масса бетона в кузове до торможения

$$M = \rho L H d,$$

где $\rho$ — плотность раствора, а $d$, $H$ и $L$ — ширина, высота и длина кузова. Как видно из рисунка 1, $H/l = tg \alpha = a_1/g$, открывается $l = Hg/a_1 \leq L$, т. е.

$$a_1 = \mu_1 g \geq \frac{H}{L} g.$$

Масса оставшегося в кузове бетона

$$m_1 = \rho l \frac{H}{2} d = \rho \frac{H^2 d}{2 a_1} g.$$

Таким образом, доля оставшегося бетона

$$\eta_1 = \frac{m_1}{M} = \frac{\rho H^2 d}{2 a_1 \rho L H d} = \frac{H}{L} \frac{g}{2 a_1} = \frac{H}{L} \frac{1}{2 \mu_1}$$

при $\mu_1 \geq \frac{H}{L}$.

Второй случай (см. рис. 2): ускорение $a_2$ таково, что задний борт освобождается от раствора на глубину $h = L tg \alpha = La_2/g$, а глубина слоя раствора там $H - h = H - La_2/g$. Масса оставшегося в кузове раствора

$$m_2 = \rho L \left( H - L \frac{a_2}{2 g} \right) d,$$

и доля оставшегося раствора

$$\eta_2 = \frac{m_2}{M} = \frac{\rho L \left( H - La_2/(2 g) \right) d}{\rho L H} = 1 - \frac{L}{H} \frac{a_2}{2 g} = 1 - \frac{L}{H} \frac{\mu_2}{2}$$

при $\mu_2 < \frac{H}{L}$.

Сделаем численные оценки. Положим $H = 1$ м, $L = 5$ м, т. е. $H/L = 0,2$. Тогда при $\mu_1 \geq H/L = 0,2$, например при $\mu_1 = 0,5$, имеем

$$\eta_1 = \frac{H}{L} \frac{1}{2 \mu_1} = \frac{1}{5} = 20 \%.$$

При $\mu_2 < H/L = 0,2$, например при $\mu_2 = 0,1$, имеем

$$\eta_2 = 1 - \frac{L}{H} \frac{\mu_2}{2} = \frac{3}{4} = 75 \%.$$

Если же торможение не резкое, т. е. колеса钙ятся, тогда торможение обусловлено тренем качения. В этом случае $\mu \approx 0,02$ и

$$\eta_1 = 1 - \frac{L}{H} \frac{\mu}{2} \approx \frac{19}{20} \approx 95 \%.$$

Итак, в любом случае доверку кузов наполнять нельзя: потери неизбежны.

Г. В. Меледин