Квант 1989, №8 · Страницы

КВАНТ
Научно-популярный
физико-математический журнал

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Из «золотого фонда» гидродинамики

1989

1

В номере:

2 И. М. Соколов. Вечная электрическая лампочка?
8 В. Ю. Овсенко. О великом числе Деногардуса и законе Гука
17 В. А. Бронштэн. Трудная задача
22 Удивительные приключения перiodических добей

31 Задачник «Квант»
Задачи M1176—M1180, Ф1183—Ф1187
32 Решения задач M1151—M1154, Ф1163—Ф1167

40 Калейдоскоп «Квант»

«Квант» для младших школьников
Задачи
Я. И. Перельман. Награда

Математический кругжок
Д. В. Фомин. Криминальная геометрия, или Дело принципиа

Лаборатория «Квант»
С. К. Бетлеев. Десять опытов из «золотого фона» гидродинамики

Р — значит пакета
В. С. Авдувеский, Л. В. Лесков. XXI век: энергия из космоса?

Информация
Школа космонавтики
XII Турир юных физиков
Вечерняя физическая школа при МГУ

Игры и головоломки
Амбиграммы

Практикум абитуриента
А. В. Коржуев. Мощность в цепи постояного тока

Вузы мира
Задачи вступительного экзамена по математике в Оксфордский университет

Ответы, указания, решения
«Квант» улыбается (21)
Нам пишут (42, 70, 75)
Смесь (56, 66)

Наша обложка
Фотография обтекания шара водой — прекрасная цлюстрация к одному из «Десяти опытов из «золотого фона» гидродинамики».

Картина юрославского примитивства И. Рабузина «Мой сын». Окажись этот «богатырь» на месте полководача Теренция (см. статью Я. И. Перельмана «Награда»), пришлось бы скупому императору раскошелиться…

Шахматная страница.

Оршами: модель октаэдра.

© Издательство «Наука».
Главная редакция физico-matематической литературы, «Квант», 1989

2

ВЕЧНАЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЛАМПОЧКА?

Кандидат физико-математических наук
И. М. СОКОЛОВ

Давайте поговорим об общковенной электрической лампочке, о физических законах, управляющих ее поведением, и о свойств самой лампочки как технической системы.

Несолько лет назад в магазинах появились лампочки, рассчитанные не на 220 В, а на 235 В. Эти лампочки служат гораздо долше обычных. Причина, неосредственно вызывшей их появление, был дефицит лампочки в магазинах. Производители лампочки здраво (so своей точки зрения) рассудили, что чем долше служат лампочки, тем реже их будут покупать и тем меньше их нужно будет производить.

Проблема удлинения срока службы лампы была решена очень просто — небольшим удлинием нити накаливания. Однако люди, знающие физику, говорили: это расточительство, нельзя так разбазировать электроэнергию. Почему они так говорили, мы почти чуть позже.

Летом 1986 года в «Литературной газете» появилась статья об изобретателье, придумавшем вечную лампочку. Она устроена очень просто. Послеовательно с общной лампочной включением диод (рис. 1), который отсекает, скажет, отрицательные полуперiodы тока. Лампочка работает при эффективном значении напряжения в $\sqrt{2}$ раз меньше, чем напряжение в сети. Идея здесь та же самая: при попеженном напряжении лампочка служит долше. Мы увидим, что такая лампочка действительно является практическим вечной. По каким-то формальным принципам изобретателю отказыли в видече авторского свидетельства. Но и в этом случае, кто знает физику, понимали, что огорчатся не стоит: внедрение вечных лампочек не приведет ни к чем хорошего ему.

И вот, наконец, маленькая заметка из газеты «Известия» от 25 декабря 1987 года. Это заметка о коллекционере, собирающем лампочки. В его коллекции есть и лампочка фирмы «Эдисон», сделанная в 1881 году. Ей больше 100 лет, а она до сих пор работает. Снова вечная лампочка?

За эти 100 лет появились радно и телевидение, самолеты, космические ракеты, шариковые ручки, холодильники и много других технических систем, простых и сложных, больших и малых. Не хочется поверить, что за это время человекство не только не смогло улучшить лампочку, но даже удалилось от идеала, потеря секрет ее вечности. Это, скорее, наводит на вопрос: нужно ли вечная лампочка?

Что бы ответить на него, разберемся в физической стороне дела. Почему лампочка горит? Почему перегорает? Итак,

Почему горит лампочка?

Нить лампочки накаливания излучает свет потому, что нагрета.

Все нагреты тела излучают электромагнитные волны. В тепловом излучении присутствуют волны всевозможных длины, и на каждую компоненту (точнее, на каждый интервал

3

Длин волн) приходит своей доля энергии. В 1900 году Макс Планк вывел закон излучения абсолотно черного тела. (Мы не будем выяснять, что такое «абсолотно черное тело»; для нас важно, что нить лампы накапливания с достаточной точностью можно считать именно таким телом, и потому мы можем пользоваться законом излучения Планка.) Согласно формуле Планка энергия, излучаемая в единицу времени с единицей поверхности нагретого до температуры $T$ тела в интервале длин волн от $\lambda$ до $\lambda + \Delta \lambda$, равна

$$u(\lambda, T) d\lambda = \frac{2\pi h c^2}{\lambda^5} \frac{1}{e^{\frac{h c}{\lambda k T}} - 1} d\lambda.$$

В этой формуле $c$ — скорость света, $h$ — постоянная Планка, $k$ — постоянная Больцмана. Полная излучательная способность тела

$$u(T) = \int_0^\infty u(\lambda, T) d\lambda$$

(t. е. мощность излучения с единицей поверхности во всем диапазоне электромагнитных волн) зависит только от температуры и подчиняется закону Стефана — Больцмана:

$$u = \sigma T^4,$$

где $\sigma = \frac{2\pi^5 k^4}{15 c^2 h^3} \approx 5,67 \cdot 10^{-8} \text{ Bt}/(\text{m}^2 \cdot \text{K}^4)$ — постоянная Стефана — Больцмана. Для ориентировки в порядке величины затемism, что при температуре плавления волфрама 3500 К величины $u$ составляет $9 \cdot 10^6 \text{ Bt}/\text{m}^2$.

Большая часть излучения нити бесполезна для освещения, поскольку лежит в невидимой инфракрасной области. Глаз воспринимает как свет лишь электромагнитные волны с длинами от $\lambda \approx 400$ nm (филотовый свет) до $\lambda \approx 760$ nm (красный свет). Полная мощность, излучаемая с единицей поверхности нагретого тела в диапазоне длин волн, видимых глазом, равна

$$u_{\text{cb}}(T) = \int_{\lambda_\phi}^{\lambda_\kappa} u(\lambda, T) d\lambda,$$

а световой поток, даваемый лампочкой,

$$\Phi(T) \approx A S u_{\text{cb}}(T),$$

где $S$ — площадь излучающего поверхности (поверхности нити), $A$ — коэффициент перевода энергетических величины в фототметрические, связанные с цветотельностью глаза. (Мы оставляем сейчас в стороне все тонкости, обусловленные различной цветотельностью глаза к разным цветам, но заметим, что к красным и филолетовым лучам глаз гораздо менее цветотеллен, чем к желтого-зеленым.)

Сила света лампочки, измеряемая в канделах (или, по-старому, в свечах), равна световому потоку, излучаемому в единицу телефонного угла, т. е. приблизительно равна

$$I(T) \approx \frac{\Phi(T)}{4\pi}.$$

В диапазоне интерсуциших нас длин волн и при температуре, не превышающих температуре плавления волфрама,

$$I(T) \approx \text{const} \left( x^3 - 3x^2 + 6x - 6 \right) e^{-x},$$

где $x = \frac{h c}{\lambda_\kappa k} \frac{1}{T}$.

Поскольку величины $\frac{h c}{\lambda_\kappa k}$ имеет размерность температуры, мы будем обозначать ее $T_{\kappa}$. Она составляет примерно 19 000 К. Конкретоное значениеCONSTANTES ПЕРЕД СКОБОЙ ДЛЯ НАСЕУЩЕСТВЕННО: нас будет интересовать только общий вид зависимости $I(T)$.

Тепер мы должны выяснить следующий вопрос:

Как зависит $T$ и $I$ от $U$?

Зависимость температуры нити от напряжения автор определения экспериментального. Схема определения несложная: при разных значениях напряжения $U$ на лампе изменить ток $I$ через нее и вычислить сопротивления нити $R_U = U/I$; затем воспользоваться формулой, выражающей зависимость сопротивления от температуры —

$$R(T) = R(T_1)(1 + \alpha (T - T_1))$$

4

$(R(T_1) - \frac{R_U(T) - R(T_1)}{\alpha R(T_1)})$

Автор продолжал несколько изменений с 60-ваттной лампочкой, рассчитанной на $U_0 = 220$ В. Сопротивление $R(T_1)$ (его можно изменять ометром) оказалось равным 70 Ом. Чтобы получить значения напряжения на лампочке, последовательно с ней включались различные сопротивления (утог, кипятильник, телевизор, другие лампочки). Напряжение на лампочке изменилось вольтметром, ток через нее — амператором.

Результаты изменений приведены в таблице 1. (В таблице указана и мощность $P_U = UJ$, потребляемая лампочкой при разных напряжениях; эта величины нам пригодится в дальнейшем.) Как видно из таблицы, рабочая температура нити $T_0$ при напряжения $U_0 = 220$ В составляет 2900 К.

Зная, как зависит температура нити от напряжения, мы можем вычислить силу света лампочки при разных напряжениях.

Силу света $I$ (в некоторых относительных единицах) можно очень точно определить экспериментально с помощью фотометра с масляным пятом. Этот замечательный прибор представляет собой установленный вертикально лист бумаги, в середине которого имеет полупрозрачное пятно. С одной стороны лист освещается «эталонной» электрической лампочной. С другой стороны лист помещается исследуемая лампочка (рис. 2), и с этой же стороны ведется наблюдение. Если освещенность листа со стороны наблюдается меньше, чем с противоположной, пятно выгладит светлым на темном фоне листа, если наборот — пятно выгладит более темным. При равенстве освещенности пятно едва различимо.

Освещенность поверхности $E = I/r^2$, где $I$ — сила света источника, $r$ — расстояние до него. При изменении напряжения $U$ на исследуемой лампочке меняется ее сила света $I$. Чтобы освещенность пятна, создаваемая лампкой при разных значениях $U$, была равна освещенности $I_0/r_0^2$ от эталонной лампочки, надо менять расстояния $r$. Таким образом можно найти относение силы света лампочки при напряжения $U$ к силе света ее при равенстве напряжения $U_0$ (на эталонной лампе — такой же, как исследуемая,— напряжение все время $U_0$):

$$I(U)/I_0 = (r/r_0)^2.$$

Результаты таких изменений приведены в таблице 2. Для того чтобы правильно обрабатывать результаты эксперимента, надо построить график зависимости $I_U/I_0$ от $U$ в таких координатах, в которых он будет иметь наболее простой вид. На рисунке 3

5

Рис. 3.

показана зависимость величины $y = \ln \frac{I}{I_0}$ от $z = 1 - \frac{U_0}{U}$ (необходимые данные приведены в той же таблице 2). Экспериментальные точки хорошо лежат на прямую линию. Логарифмический масштаб по оси $y$ выбран потому, что если бы в формуле для $I(T)$ не было стоящего перед экспериментой многочлена, то зависимость $y(T)$ имела бы вид

$$y = \ln \frac{I}{I_0} = \frac{T_{\text{кр}}}{T_0} \left(1 - \frac{T_0}{T}\right),$$

величина же $\theta = 1 - \frac{T_0}{T}$, как можно заключить из данных таблицы 1, с хорошей точностью пропорциональна $z$ (что быогдаться до этого, нужны были некоторые наблюдение сообщения, связанные с балансом энергии в лампочке): $\theta \approx Kz$, где коэффициент

Таблица 2

| $U, \text{B}$ | 220 | 120 | 130 | 150 | 180 | 190 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $U_0/U$ | 1 | 1,81 | 1,66 | 1,47 | 1,14 | 1,12 |
| $z$ | 0 | -0,81 | -0,66 | -0,47 | -0,14 | -0,12 |
| $r, \text{см}$ | 27 | 5,5 | 8 | 13 | 21 | 22 |
| $I/I_0$ | 1 | 0,05 | 0,09 | 0,23 | 0,60 | 0,66 |
| $y$ | 0 | -3,0 | -2,4 | -1,5 | -0,5 | -0,4 |

Рис. 4.

цент пропорциональности $K$ равен примерно 0,3. Наличие многочлена перед экспериментой вызывает отклонение зависимости $y(z)$ от строгой proportionalности, однако эти отклонения невелики.

Почему лампочка перегорает?

Причина перегорания лампочки ясна — это испарение волфрама. Для того чтобы от поверхности ни одного масекла волфрама, необходимо, чтобы кинетическая энергия ее теплового движения $W \sim kT$ стала большше энергии связи молекул с остальным кристаллом $w$. Согласно законам статистической физики, вероятность такого события proportionalна $e^{-w/kT}$. Значит, число молекул, отрывающся от ниги в единицу времени,—

$$n \sim e^{-w/kT}.$$

Величину $w$ можно определить из значения теплоты испарения волфрама при комнатной температуре $Q = 850$ кДж/mоль: $w = Q/N_A \approx 1,4 \times 10^{-18}$ кДж ($N_A$ — число Авогадро); величины $w/k$, имеющая размерность температуры,— около $10^5$ К.

Предположим, что нить перегорает после испарения определенного количества молекул. Это означает, что время службы лампочки тем больше, чем

6

меныше $n$, т. е.

$$t \sim \frac{1}{n} \sim e^{w/kT}.$$

Пусть средний срок службы 60-ваттной лампочки на 220 В (при температуре нити $T_0$) равен $t_0$. тогда относение срока службы лампочки при изменении напряжения $U$ (и температуре нити $T$) к сроку службы при нормальном напряжении —

$$\frac{t}{t_0} = e^{w/kT - w/kT_0} = e^{-w\theta/kT_0},$$

где $\theta = \left(1 - \frac{T_0}{T}\right)$. Мы помним, что эта величины с хорошей точностью пропорциональна $z = 1 - \frac{U}{U}$. Следовательно, $\ln \frac{t}{t_0}$ пропорционален $z$.

Находить зависимость $\ln \frac{t}{t_0}$ от $z$ в «домашнем» эксперименте — занятие долгое и дорогое, надо сжечь очень много лампочки. Поэтому пришлось найти готовые данные. Эти данные приведены в таблице 3, а на рисунке 4 представлен график зависимости $\ln \frac{t}{t_0}$ от $z$. Мы видим, что соответствующие точки неплохо ложатся на прямую линию. Наклон прямой равен —14.

Исходя из известных нам данных мы можем оценить и теоретическую величины этого наклона:

$$\ln \frac{t}{t_0} = -\frac{w}{kT_0} \theta \approx -\frac{wK}{kT_0} z,$$

так что наклон прямой — это $(-wK/kT_0)$, что составляет примерно —10. Учитывая ту невисокую точность, с которой нам известны $K$ и $T_0$, совпадение следует признать неполным.

Не если мы задумаемся над процессом испарения поглубже, то увиим, что ситuation до некоторой степени парадоксальна.

Предположим, что нить испаряется совершенно равномерно, становится все более тонкой. Соответствие нити при этом возвращает, уменьшается выделяемая тепловая мощность и температура нити. Таким образом, при однородном испарении с течение времен лампочка горела бы все тусклее, но никакого бы не перегорела (или, по крайней мере, службы бы очень долго).

Значит, причина перегорания нити в ее недородном испарении. Действительно, пусть в силу какой-то принципы на нити образовалась маленькая перегружка. Соответствие участка нити в области перегружки больше, чем сопротивление любого другого участка нити той же длины. При этом тепловая мощность $J^2R_\pi$, выделяемая в области перегружки, больше, чем в любом другом участке нити той же длины. Значит температура перегружки выше, испарение с нее идет интенсивнее. Чем тонше перегружка, тем выше температура, тем интенсивнее испарение, тем быстрее уtonsается перегружка, тем быстрее растет ее сопротивление. Этот все ускоряющийся процесс приводит в конце концов к перегоранию нити в том месте, где пероначально была даже небольшая перегружка. На деле, конечно, все нить несколько недородна по толщине, но развится в значительную перегружку успевает лишь само сильное уtonsшение: нить обусловлено перегорает только в одном месте.

Ситuations, подобные только что расстояние, встречаются в физике довольно неустойчивыми. Достаточно сказать, что именно неустойчивости плаз-

7

мы делают такой сложной задачу управления термодерного синтеза.

Итак, причиной переограния лампочки является неустойчивость однородного испарения нитки. О том, как можно бороться с этим явлением, мы поговорим чуть позже, а пока

Подсчитаем конецки

Общная осветительная лампочка расчитана на средний срок службы $t_0=1000$ часов. Из наших графиков следует, что

$$\ln \frac{t}{t_0} \approx -14 \left(1 - \frac{U_0}{U}\right),$$

$$\ln \frac{I}{I_0} \approx 3,5 \left(1 - \frac{U_0}{U}\right),$$

т. е.

$$t = t_0 e^{-14 \left(1 - \frac{U_0}{U}\right)}, \quad I = I_0 e^{3,5 \left(1 - \frac{U_0}{U}\right)}.$$

Лампочка должна давать свет. На лиущей лампочной будет та, котораядает свет самый дешевый. Стоимость освещения за большое время складывается из стоимости потребления электрозергии и стоимость лампочки, которые служат в среднем в течение времени $t$, а потом переограют. Один киловат-час электрозергии стоит 4 копейки, новая лампочка — 25 копейк.

Пусть для наших нулевая лампочка с силой света $I_0$. Если силая света будет меньше, нам надоест портить глаза, и мы ввернем более мощную лампочку. Предположим, что в себя с напряжением $U=220$ В включена «усовершенствованная» лампочка с $U_0=235$ В. Срок ее службы $t = t_0 e^{0,95} \approx 2600$ ч, но силая света $I = I_0 e^{-0,25} \approx 0,78 I_0$, т. е. меньше $I_0$, и нам захотется поменять лампочку на более мощную. «Усовершенствованная» лампочка с нулевая нам силой света $I_0$ будет потреблять в 1,2 раза больше мощность, чем обычная лампочка. За 1000 часов (срок службы обычной лампочки) «усовершенствованная» лампочка с нулевая силой света, что у обычной лампочки на 60 Вт, израсходует энергии не 60 кВт·ч, что в денежном изменении составляет 2 р. 40 к., а 72 кВт·ч, т. е. на 2 р. 88 к.

Значит, за время службы обычной лампочки «усовершенствованная» потребляет электрозергии дополнительно на 48 к., что почти равно стюмости двух новых лампочки. Следовательно, повышение срока службы за счет работы при поженном напряжении невьюдно.

Если речь идет о вечной лампочке с диодом, для которого $U_0 / U \approx 1,43$, то срок ее службы примерно в 350 раз больше, чем у обычной, но ее сила $I \approx 0,22 I_0$. Вечная лампочка с силой света $I_0$ потребляет в 2,5 раза больше мощность, чем обычная: вместе лампочки на 60 Вт последовательно с диодом надо включать лампочку на 150 Вт. За 1000 часов работы перерасход энергии составляет 90 кВт·ч, или, в денежном изменении, 5 р. 60 к. — стоимость 22 лампочки. Игра не стоит свеч!

Подробный расчет показывает, что улучшить лампку за счет увеличения $U_0$ нельзя. Это значит, что за 100 лет своего существования обычная лампочка накапливания практической достигается идеally, и чтобы усовершенствовать ее, нужны новые устройства технические решения. Сейчасы поговорим и о них, но вначале отмечим, что на примере лампочки мы столкнулись с довольно типичным техническим противением «стоимость — надежность»: чем надежнее, тем неэффективнее. Если уменьшение надежности не сопряжен с риском, выбирают дешевое и ненадежное — пустые даже однородное. Примеры: бумажные салфетки и стаканчики, фломастеры и т. д.

Итак, лампочка не должна служить вечно. И все же было бы хорошо удлинить ее срок службы или при том же сроке службы поднять ее КПД за счет перекалкини. Единственный способ добиться этого — заставить «залечивать» образовательнее на нити перегружки. Есть несколько простых решений этой задачи. Однако из них — заполнение колбы лампы инертным газом с молекулярной массой, меньше чем у волфрама,— криптоном (конечно, при очень малом (Окончание см. на c. 16)

9

О ВЕЛИКОМ ЧИСЛЕ
ДЕНОГАРДУСА
И ЗАКОНЕ ГУКА

В. Ю. ОВСИЕНКО

Недавно в небольшим немецком городе Штурмгарде состоялся международный математический конгресс. Главной темой, обсуждавшейся на конгрессе, была обгоревшая рукойсь, озаглавленная «Приниццы», средневекового схолеста, алхимика и астроlogа Деногардуса. Она была случайно обнаружена при разборе старинных документов, хранившихся в городской ратуше. Оказалось, что этот манускрипт содержит удивительные факты, имеющие большое значение для современной математики.

Подвергаясь преследованиям инkvизции, Деногардус был вынужден оформлять свои открытия в виде анаграмм ) и чертежей. Инkvизции не удалось найти ученого при его жизни. Однако после его смерти единственный экземпляр рукоицси по доносу пламяника Деногардуса был конфискован и предан огню. Только большая толщина манускрипта спасла его от полного уничтожения. Известно, что астролог постояно занимался вычислением так называемо-то Великого Числа, которое как он считал, управляет движением всех небесных тел (планет, комет и т. д.), входящих в Солнечную систему. Это Число все время меняется. Наблюдая за его изменением, Деногардус предсказывает (в зависимости от характера изменения) различные бедствия: наводнения, пожары, войны и эпидемии. Хотя эти предсказания часто съывались, его утверждение должно время не придавалось должного значения. Например, на 666 странице «Приницпов» предсказана большая астрономическая катстрофа, которое участики конгресса отложствили с падением Тунгусского меторита. Ошибка в предсказании Деногардуса составляет всего 9 лет. Найdenная рукоицсь содержала также ряд строих математических теорем. Деногардус называл их схолями). Приведем их современные формулировки.

Схолия 1. Движение каждой планеты — плоское: ее орбита приадле-

*) Анаграма — зашифрованное краткое изречение.

Рис. 1.

Рис. 2.

2 Квант № 8

10

жит некоторой плоскости, содержащей Солнце.

Две другие схолины были представлены в рукописи в виде чертежей (рис. 1, 2). Их смысл состоит в следующем.

Схоляя 2. Между двумя проходенными циклинами каждого луца OA комета обязана пересечь любой другой луц OB, причемровно один раз.

Схоляя 3. Если комета отталкивается от Солнца, то ее траектория не может пересечь никакую прямую, проходящую через Солнце, более одного раза.

Однако понятие значительной интерес вызывала у участников конкурса так называемая

Великая Теорема Деногардуса: Великое можно найти, наблюдая комету.

Штурмгардский конкурс обратился с запросом в европейскую историю-археологическую ассоциацию «Archeologie» и получил все имеющиеся в наличии скупые сведения о Деногардусе. О его жизни не сохранилось практическими ни одного достоверного свидетельства. В хронике упоминается случай, когда один из горожан, наблюдая солнечное затмение с базними ратуши, был укушен крысой. Однако убедительные доказательств того, что этим горожанном был именно Деногардус, обнаружено не было. Большое известное о воззрениях Деногардуса. Выдающийся автор (вполне естественно для своего времени) считал, что планеты врашают вокруг Солнца, связанные с ним невидимыми рукинами. Кроме прямых указаний, обнаруженных в манускрипте, об этом свидетельствует чертеж, содержащийся в рукописи.

Перед участниками конкурса стояла сложная задача: перевести на язык современной математики утверждение Деногардуса и установить математический смысл его схолей. В результате напряженной совместной работы математиков, физков и историков эта задача была успешно решена.

Согласно Деногардусу, каждое небесное тело связано с Солнцемружиной. Поэтому сила его прияжения к Солнцу пропорциональна расстоянию до него (мы знаем это утверждение, описывающее силы, возникающие в рукинах, как закон Гука; однако Деногардусу оно было известно задолго до Гука). Сила прияжения может быть как положительной — рукина

стремится сжаться, так и отрицательной — рукина стремится распрямиться. Более того, согласно взглядам Деногардуса, жесткость невидимых рукина, на которых подвешены плаететы, меняется с течение времени. Большинство исследователей сошлись на том, что эта жесткость и есть Великое Число, управляющее движением небесных тел.

Деногардус не пользовался математической символькой — ее введение в научный обиход оставалось делом дальнейшего изучения формулирования открытия Деногардуса на привчном нам математическом языке.

Сила, действующая на планету в «модели Деногардуса» (так участники конкурса называли картину движения небесных тел, описанную в ману-

12

из двух фиксированных решений после умножения их на числа и сложения.

Это — сложная математическая теорема, ведь непонятно даже, почему существует хотя одно решение. Однако Деногардус хорошо понимал ее и почти доказал следующее изящным рассуждением. Каждый планета будет как-нибудь дивигаться, значит, ее координаты сразу дают пару решений уравнения (3) (!). Если же предположить существование третього решения, независимо с этим двумя, то мы немедленно столкнемся с противоречением. В самом деле, точка в пространстве, все три координаты которого изменяются как решения уравнения (3), обязана дивигаться в одной плоскости (!!!).

Что бы немного освободся с уравнением (3), предлагаем вам разобраться его простейший частный случай, в котором коэффициент $k(t)$ не зависит от времени.

Уражение 1. Решите уравнение $x''=-x$. Подсказка: рассмотите точку на плоскости, движущуюся равномерно по окружности.

Вторая и третья схоли Деногардуса прибретают смысл удовлетворных теорем, описывающих свойства решений дифференциального уравнения (3).

Между двумя значениями времен $t_1$ и $t_2$, в которых одно решение уравнения $x''=k(t)x$ обращается в нуль, любое другое решение просто obязано хотя один раз обратиться в нуль.

Другими словами, нули двумя решений $x_1(t)$ и $x_2(t)$ черезются.

Что бы вывести эту теорему из второй схоли, рассмотрим на плоскости движения точки, зависимости координат которого от времени задана функциями $x_1(t)$ и $x_2(t)$. Тогда движение этой точки будет удовлетворять уравнению (3), а следовательно, и (2), т. е. будет подчиняться второй схоли Деногардуса. Выберем в качестве луча $OA$ положительное получабcisсс, а в качестве луча $OB$ — положительное. Когда точка пересекает одну ось, ее проекция на другую ось (т. е. второе решение) равно нулю. Поскольку момент пересечения осей должны черезвать, черезются и нули решений $x_1(t)$ и $x_2(t)$.

А как же доказывает вторая схоля? Ее простое геометрическое доказательство читается прямо по чертежу из трактата Деногардуса (см. рис. 1). Если комета дважды пересекает луч $OA$, не пересекает при этом луч $OB$, то в некоторых промежуточный момент времени ее траектория касается неокоторого луча $OC$. В этот момент и скорость кометы, и действующая на нее сила направления вдоль прямой $OC$. Следовательно, сила, стремящаяся сдинуть комету с этой прямой, отсутствует — комета остается на прямой $OC$. Но тогда она больше не пересечет луч $OA$, что противоречит исходному предположению. Это изящное рассужение показывает, как свободно владел Деногардус геометрией.

Аналогично доказывает и третья схоля (см. рис. 2). Если сила, действующая на комету, направлена от Солнца (Деногардус пишет о скатной

13

пружине, стремящаяся распрямить…
), то комета будет вынуждена оставаться по одному сторону от любой касательной к ее траектории и не может больше пересечь луч OA. Выбирая в качестве луча OA получь ordинат, мы получим такую теорему:

Если коэффициент $k(t) \ge 0$ при всех $t$, то никакое решение уравнения $x'' = k(t)x$ не может обратиться в нуль более одного раза.

Выполнить следующое уравнение, вы проверите эту теорему в частином случае.

Упражнение 2. Решите уравнение $x'' = x$. Подсказка: рассмотите функцию $x = e^t$ и $x = e^{-t}$.

Обладая примитивными средствами наблюдания, Деногардус мог изменять лишь углы между небесными телами, но не их расстояние до Солнца. Тем не менее астрологу удалось находить Великое Число $k(t)$ по одному лишь направлению луча, соединяющего Солнце и комету. Ответ на вопрос, как можно это сделать, содержится в современном доказательстве Великой Теоремы Деногардуса.

Это доказательство основано на простом наблюдании.

Упражнение 3. Докажите, что для любых двух решений уравнения $x''(t) = k(t)x(t)$ величина $W(x_1, x_2) = x_1x_2' - x_2x_1'$ не зависит от времени $t$. Подсказка: найдет произвольную $W$ по времени и воспользовную уравнению (3).

Тем, кто выполил это уравнение, может показаться, что успех — результат простого взения. Однако уравнение о постоянстве $W(x_1, x_2)$ имеет физический смысл. Расмотрим движение тела на плоскости с ускорением $\vec{a}(t) = k(t)\vec{r}(t)$. Moment его имплуса построен, так как сила, действующая на тело, всегда направлена к центру. Moment имплуса равен площади параллелограмма, построенного на векторах $\vec{r}$ и $m\vec{v}$. Покажите, что эта площадь равна $m(x_1v_2 - x_2v_1)$. Поскольку $x_2' = v_2$ и $x_1' = v_1$, постоянство момента имплуса равносильно постоянству величины $W(x_1, x_2)$.

Итак, Великая Теорема утверждает, что по направлению радиуса-вектора $\vec{r}(t)$ можно определить коэффициент $k(t)$. Будем задавать направление $\vec{r}(t)$ величины тg $\varphi(t)$, где $\varphi(t)$ — угол между вектором $\vec{r}(t)$ и осью абсцисс. Обозначим функцию тg $\varphi(t)$ через $f(t)$.

Упражнение 4. Докажите, что $k(t) = -\frac{1}{2}\left(f'''/f' - \frac{3}{2}(f'''/f')^2\right)$ (Великая Формула Деногардуса).

Подсказка: по определению тангенса $x_2(t) = f(t)x_1(t)$. Подставим значение $x_2(t)$ в формулу для $W(x_1, x_2)$. После уравнения получим такую формулу: $W = x_1^2f'$. Значит, первая координата тела $x_1(t) = \sqrt{W/f}$ определяется с точностью до постоянного множителя $W$. Из уравнения $x_1'' = k(t)x_1$ находим $k(t) = x_1''/x_1$. Дальнейшее — полезное уравнение на взятие произвольной от сложной функции (см. «Квант» № 4 за 1988 год, с. 36).

Остается загадкой, как мог Деногардус, не владея дифференциальным исчислением, определять свое Великое Число. Возможно, тут сыграли роль интуиция и опыт ученого, а может быть, выдающийся астролог знал много больше, чем он счел возможным изложить в своей трактите. Вопрос остается открытым…

В заключение предлагаем вам еще одну задачу, связанную с модели Деногардуса.

Упражнение 5. Докажите, что если угловая скорость движения кометы относительно

14

но Солнца постояна, то коэффициент $k(t)$ не зависит от времени.

«Прицицы» Деногардуса вызывали большой резонанс в математических кругах. Большинство участников Штургардского контресса сошлись во мнении, что именно Деногардуса надо считать первооткрывателем дифференциального исчисления и основоположником теории дифференциальных уравнений.

Комментарий

Уважаемые читатели, верятно, вы давно договорались, что почти все сказанное — шутка. Великий алхимик и астролог Деногардус — вымышленное лицо. Основоположником же теории дифференциальных уравнений является Исаак Ньюотон*), который, кстати, также защищал свое открытие в виде знаментий анаграммы: «Полезно решать дифференциальные уравнения». Правда, сделал он это по другой причине, нежели Деногардус, — Ньюотон опасался конкуренции.

Что же касается планет «наружина», притягивающих к Солнцу по закону Гука, то здесь Деногардус противоречит Ньюотону. Согласно закону всемирного тяготения, сила при

*) «Ньюотон» (с некоторой натяжкой) можно воспринять как «пеww town» — «новый город».

• «Деногардус» означает почти то же самое: «De noe gardus» — «Из нового города», но не на английском, а на жароне, распространяшемся в Римской империи в VI веке нашей эры в результате смесения с немецким языком. Другие варианты этой же фамилии: «Нейштадт» (нем.) и «Новгородцев» (рус.). Кстати, главный труд Ньюотона называется «Principia».

тяжения между планетой и Солнцем обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Справедливости ради отметим, что движение каждой планеты в отдельности можно описывать законом Гука $F = mk(t)\vec{r}(t)$, но коэффициент $k(t)$ — свой для каждой планеты. Вообще, законы Ньюотона и Гука, в некоторых смысле, двойствены друг другу. Например, траектории тел, подчиняющихся закону Гука с постоянным коэффициентом $k$, будут кривыми второго порядка (эллипсами, гиперболами или параболами), как и траектории объчных небесных тел, подчиняющихся закону Ньюотона. Более того, если падающее тело будет продолжать двигаться внутри Земли, подчиняясь только силе тяжестеки, его движение будет описывать уже законом Гука.

Отношение между Ньюотоном и Гуком был так же непросты, как и между соответствующими законами. Первым о существовании закона «обратных квадратов» договора Гук, о чем сообщил в письме Ньюотону, который сумел с помощью этого закона объяснить наблюдения Кеплера. Некоторые времен между Гуком и Ньюотом продолжались приоритетные споры. Вы можете прочитать об этом и о многих других интересных вещех в книге В. И. Арнольда «Гюйгенс и Барроу, Ньюотон и Гук — первые шаги математического анализа и теории катастроф, от эволюент до квазикристаллов» (издательство «Наука», 1989 г.).

Уравнение $x''(t) = k(t)x(t)$ обычно называется в математике уравнения Штурма — Лиувилля, вторящего сколини Деногардуса — теореми Штурма*. Эти теоремы были доказаны 150 лет назад. Они породили область математики, ставшую классической, — теории Штурма. Число $W(x_1, x_2) = x_1x'_2 - x_2x'_1$ (момент импульса) называется определителем Вронского (вронсканом).

*) Намек на это содержится в названии города, в котором происходит контресс, посвященный Деногардусу.

16

Если коэффициент $k$ не зависит от времени и $k < 0$, то уравнение $x'' = k(t)x$ превращается в известное вам по школьной программе уравнение малых колебаний (решение в примере 1). Оно описывает все на свеже колебания с малыми амплитудами; $x$ — это (мало) отклонение от положения равновесия.

Упражнение 6. Вычислите коэффициент $k$ в случае, изображенных на рисунке 3, если $a) x$ — коэффициент жесткости пружины, $m$ — масса груза; $6) l$ — длина неевесомой нерястимой нити; $b) R$ — радиус ямы, $d$ — диаметр шарика.

Наконец, Великое Число Деногардуса, а вернее — Великая Формула Деногардуса (упражнение 4) носит название произвольной Шварца, или Шварцана. В действительности, эта формула была сообщена в письме Г. А. Шварцу вликом немецким математиком К. Ф. Гауссом. Шварчан — популярий объект современной математики. Он обладает замечательным свойством появляется в самых разных математических теории.

Итак, хотя все сказанное о Деногардuce — не более чем розыгрыш, математическое содержание его работ вполне серbezно. Как говорится: «В каждой шутке есть доля шутки…»

Вечная электрическая лампочка?

(Начало см. на с. 2)

давления, чтобы не слищком возросла теплотдача). При работе лампы в газе внутри баллона устанавливается некоторое распределение температуры: около нити температура гориздо выше, чем около стенок баллона. Полное давление крпитона и паров волфрама в колбе работающей лампы всходу одинаково, однako вблизи нити больше паров волфрама, а у холодной стенки больше крпитона. Такое неоднородное распределение газов связано с явлением, называемым термодиффузей. При этом у оторвашейся от нити молекулы волфрама больше шансов вернуться в наиболее горячие место нити и меньше шансов осестить на стенке.

В галогенных лампах автоматильных фар (здесь остро стоит вопрос о яркости источника) газ, заполняющий колбу, образует с волфрамом летуче соединение, разлагающееся и выделяющее металлический волфрам при контакте с раскаленной нитью. Такие условиянствования оправданы, так как не слищком дороги и почти не сопряжены с увеличением потребляемой мощности.

Размышляя о лампочке, мы говорили о различных важных вещех — об излучении нагретого тела, о температурной зависимости сопротивления, об испарении и неустойчивости, о технических противоречиях и термическом разделении газов. И каждую из этих тем можно было бы делать продолжить. А ведь другие окружающие нас предметы ничуть не менее интересны, чем лампочка…

17

Традиная задача имеетdlительную историю, охватывающую три с половиной столетия. Сформировать ее можно так:

Куда упадет снаряд, выпущенный из ордия вертикального вверх? Начальная скорость снаряда и географическая широта места известны. Вы уже договорались, что на движение снаряда должно влиять вращение Земли. Те, кто получше знает физику, вспомнят еще и о кориолисовых силах. Но вернемся к истории задачи.

За полвека до выхода «Начал» Исаака Ньютона французский ученый М. Мерсенн (1588—1648) задаумал решить эту задачу экспериментальным путем. Надо сказать, что для Мерсенна подобный опыт был не «спортивной» забавой, а попыткой проверсти «мировоззренческий» эксперимент. Мерсенн былревностным поклонником Галилея, распространяется его идеи во Франции. Результаты эксперимента со стрелкой из пушки должны быть, по мнению Мерсенна, подтвердить вращение Земли.

Для осуществления задуманного опыта Мерсенн привлек военного инженера М. Пти. Они установили пушку вертикального и сделали несколько выстрелов. На приведенной здесь граюре, взятой из книги П. Вариньона «Сообжения о причины тяжости» (1690), изображены Мерсенн (в одежде монаха) и Пти, ожидающие, как говорит надпись вверху, «упадет ли обратно?».

Опыты Мерсенна и Пти законились неудачно: они даже не смогли разыскать выпущенные имни снаряды, хотя по расчетам последние должны были упасть в нескольких детях metros от пушки.

В конце XIX века эта задача привлекла внимание известного французского астронома и популяризатора К. Фламмарина (1842—1925). Познакомившись с книгой П. Вариньона и воспроизведя в своей «Астропомии» уже известную нам

Гравюра из книги П. Вариньона (1690), изображая опять М. Мерсенна и М. Пти.

18

гравюру, он дал такое решение задачи: «Если выстрелить из пушки, образив ее прямо вверх, к зениту, то ядро снова упадет в жерло пушки, хотя за время его подьема и низкодження пушки передвинется с Землей к востоку. Причина очевидна. Ядро, поднимаясь вверх, ничего не теряет из скорости, сообщенной ему движением Земли. Полученные им два толчка не противоположны: оно может пройти клометр вверх и в то же время сделать, например, 6 км к востоку. Движение его в пространстве будет совершаться по диагонали параллелограмма, одна сторона которого 1 км, другая — 6 км. Вниз под влиянием тяжесте оно будет дивгаться по другой диагонали (вернее, по кривой, вследствие того, что движение ускоренное) и как раз упадет снова в жерло пушки, которая по-прежнему остается в вертикальном положении».

Дальше Фламмарин пишет о трудностях постановки такого эксперимента, вспоминает о неудачных попытках Мерсенна и Пти…

Три десятилетия спустя советские читатели узнали об этой задаче из книги нашего замечательного популяризатора науки Я. И. Перельман «Занимательная астрономия». Первое издание книги вышло в 1929 году. Вот что там говорится: «Куда упал бы снаряд, пушенный ответно вверх из пушки, установленной на экваторе? Такая задача обсуждалась недавно в одном немецком журнале применительно к воображаемому снаряду, пушенному вертикально в скорость 8000 м/c в первую секунду; снаряд этот должен через 70 минут достичь высоты 6400 км (земного радиуса) *). Вот что писал журнал: «Если снаряд выпущен ответно вверх на экваторе, то он при вылете из орудия обладает еще и круговой скоростью точек экватора по направлению на восток (465 м/c). С этой скоростью снаряд будет переноситься параллельно экватору. Точка на высоте 6400 км, находившаяся в момент встречения книги». Перельман был совершен прав, но с попытками дать свое собственное, верное решение ему просто не повезло.

В первом издании книги Перельман решет задачу так. Вследствие врашения Земли снаряд при выстреле имеет относительное центр Земли составляющего скорсти, направленную по касательной к земной поверхности и равную 465 м/c (вспомним, что по условием задачи дело проискодит на экваторе). За 70 минут снаряд по этой причине сместится на восток вдоль касательной на (70×60×465) м = 1950 000 м = 1950 км. Из центра Земли этот отрезок будет виден под углом, тангенс которого равен относению длины 1950 км к радиусу Земли. Легко подчитать, что этот угол равен 16°57′. Пушка за то же время сместится на восток на угол в (360·70/27·60)° = 17°30′,

19

t. e. операит снаряд (в угловом измерении) на 33′. Этому соответствует расстояние на поверхности Земли в $\frac{2 \cdot 3,14 \cdot 6400 \cdot 33}{360 \cdot 60}$ км ≈ 60 км (из-за неточности в расчете Я. И. Перельман получил угол 46′ и расстояние 80 км).

Это решение, увы, тоже было неверным. На ошибку Я. И. Перельман обращили внимание специализиты, и уже во втором издании (1935 г.) он приводит новое (четвертое по счету) решение задачи:

«Задача, к сожалению, не может быть решена средством элементарной математики. Для этой цели необходимо специализировать расчет, который по моей просбебке был выполнен известным ленинградским физиком профессором М. П. Бронштейном.*) В подробности этого расчета я здесь входить не могу. Поэтому ограничись тем, что приведу здесь окончательный результат.

Если обозначим начальную скорость ядра через $v$, угловую скоростьвращения земного шара через $\omega$, аускорение тяжестеки через $g$, то для расстояния $x$ точки падения ядра к западу от пушки получаются выражения:

на экваторе

$$x = \frac{4}{3} \omega \frac{v^3}{g^2},$$

(1)

а на шипотефе $\varphi$

$$x = \frac{4}{3} \omega \frac{v^3}{g^2} \cos \varphi.$$

(2)»

Подставляя $\varphi = (2\pi/86164) c^{-1}$, $g=9,8$ м/c$^2$, для условий задачи немецкого журнала Перельман получает 50 км, а для опыта Мерсенна и Пти ($v=300$ м/c, $\varphi=48^\circ$) 1,7 м.

И тут Я. И. Перельман не повезло; оба эти значения были записены им в 10 с лишним раз. Возможно, в первом случае Я. И., помня полученное расстояние в 80 км, ожидал

*) Бронштейн Матвей Петрович (1906—1938), выдавшийся физик и астрофизик, приадлежал к кругу Л. Д. Ланду. Вылезаконно репрессирован в 1938 году. В последующих изданиях книги Я. И. Перельма упоминание о М. П. Бронштейне было изъято.

получить близкое число и… допустил вычислительную ошибку, о которой так и не узнал.

Уже после смерти Я. И. Перельмана кто-то из «дотошных» читателей взумал проверить его расчеты и написал редактор книги П. Г. Куликовскому. Начиная с восмого издания книги (1956), оба числа исправлены: первое на 520 км, второе — на 18 м. Текст остался без изменений.

Формулы типа (1) и (2) есть в классических трудах Гаусса, в работах академика А. Н. Крылова и в ряде курсов по теоретической механике. Они выводятся путем решения дифференциальных уравнений движения материалов точки в поле прияжения Земли.

И что же, на этом можно поставить точку? Оба решения найдены? Для примера с опытами Мерсенна и Пти — да: отклонение снаряда у них действительное должно быть составить пример 18 метров к западу. А вот в отношении первоого примера (с ordinem, выстrelивающим снаряд со скоростью 8000 м/c) этого сказать нельзя. И вот почему.

Формулы (1) и (2) выведены при условии, что отношение высоты подъемма снаряда к радиусу Земли $h/R$ — малая величины. В опытах Мерсенна и Пти так оно и было. В самом деле, у них

$$h = \frac{v^2}{2g} \approx \frac{9 \cdot 10^4}{20} m=4,5 km,$$

что в 1400 раз меньше земного радиуса. Но в задаче из немецкого журнала $h=R$, т. е. $h/R=1$, и формула (1) здесь не пригодна. Приходится искать решение задачи заново.

Траектория полета любого тела в поле тяготения Земли (если пребрежь сопротивлением atmosферы) представляет собой одно из конечских сечений — эллипс, парабoly или гипербoly. Форма орбиты зависит только от начальной скорости тела. Если, как в нашем примере, начальная скорость равна первоей космической (8000 м/c), то орбита — эллипс, больше получается которого равна радиусу Земли. Малая получось определяется направле-

20

пнем начальной скорости.*) Посмотрим, чему равна малая получь в нашем случае вертикальной скорости, сообщаемой снаряду при запуске, угол между касательной к траектории (в момент начала полета) и вертикальной линии можно найти из формулы

$$\sin \theta = \frac{465}{8000} = 0,058,$$

откуда $\theta = 3^\circ 20'$. Нетрудно сообщать, что и точка запуска, и точка падания снаряда лежат вблизи концов малой оси описываемого им эллипса (см. рисунок на с. 30). Тогда из геометрических свойств эллипса можно найти его эксцентриситет

$$e = \cos \theta = 0,9983$$

и малую получь

$$b = a \sqrt{1-e^2} = 6378 \cdot 0,058 = 370 \text{ км.}$$

Таким образом, наш снаряд за время полета сметится к востоку на $2b = 740$ км. Но пушка за то же время сметится к востоку на 1950 км. Значит, относительно места запуска снаряд отклонится к западу на 1210 км.

Мы получили новое, уже шестое по счету решения задачи. Оно-то и является окончательным.

В заключение проанализируем причины ошибок предыдущих решений. Начнем с неудачного экспериментального решения Мерсенна и Пти. Самым простым объясением их неудаччи было бы предположить, что ствол пушки был не строго вертикальным. Возможно, так оно и было. Но Мерсенн был довольно опытным экспериментатором, и вряд ли отклонение стволы было большим. А расчетные оценки дают при отклонении в $1^\circ$ разброс дальнейшего снаряда не больше 300 м. Артиллеристы знают, что при стрелбе по дальним целям эллипс рассеяния (т. е. область, куда в основном попадают снаряды) опре-

деляется не только точностью установки ordия. Вращение снаряда, некоторая асимметрия его формы и распределения массы и, конечно, азодинамические силы, действующие на летяший снаряд, могут заметно сказаться на траектории полета. Так что неудачка Мерсенна и Пти была вполне закономерной.

Решение Фламатарона было бы верным, если бы Земля была плоской, поле тяготения — однородным и пушка перемещалась бы по Земле поступательно. Тогда ядро действительного уголло бы прямо в жерло ordия. В этом решении не учтена ни шарообразность Земли, ни изменение ускорения ее прямотenia с расстоянием.

В решении немецкого журнала правильно расчитано только время полета снаряда. Время его полного оборота вокруг центра Земли (при начальной скорости, равной первой космической) $T = 84$ мин 20 с, а время от пуска до падения, согласно второму закону Кеплера, равно

$$T_1 = T \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \right) = 69 \text{ мин}$$

(площадь сектора эллипса, описываемая радиусом-вектором снаряда за время $T_1$, складывается из плоскии треугольника $OAB$, равной $2ab/2$, и площади полуэллипса $ACB$, равной $lab/2$ (см. рисунок на с. 30); из отношения этой площади к площади эллипса $lab$ мы и получим написанную выше формулу). В остальных расчетах немецкого журнала содержится грубая вычислительная ошибка. За 70 минут пушка переместится к востоку на 1950 км, и чтобы снаряд упал на 4000 км к западу от нее, он с самого начала должен двигаться к западу, чего не может быть.

Первый расчет Я. И. Перельмана был чисто kinematически, в нем не учитывалось изменение ускорения свободного падения с расстоянием от центра Земли.

(*) В частном случае горизонтального запуска это будет окружность с радиусом, равным радиусу Земли.

21

Новая сказка о Любопытном Слоненке

Нет, это сказка не о том скверном Слоненке, о котором писал Киплинг, Слоненке, который жил в Африке и которого колошматили его дорогие родственники, пока он не научился колошматить их сам. Это сказка о другом, о хорошоем Слоненке, которое никогда не колошматили родственники и который никогда не жил в Африке, что очень странано, потому что он жил почти во всех странах мира. У этого Любопытного Слоненка с самого рождения был замечательный нос, так что он не нуждался в услугу Старого Крокодила, и so времени он открыл новую эру — Атомную Эру. И у него тоже было много-много дядек и много-много деток, и он был полон несоответного любопытства и ко всем приставал со своим вопросами.

Потом Любопытный Слоненок подрос и стал задавать новые и неслыханные вопросы, которые пулями его родственников. Он спросил своего представителя дядошку философа, почему у него такая логика, и представленный дядошка философом ответил, что это потому, что он знает, что он ничего не знает. А потом — все из-за того же несоответного любопытства — он пересек Северное море и стал ходить по Англии и рассправить всех про Атом. И он спросил волосатого дядуку Джи-Джи*), почему он делает такие групные ошибки, а волосатый дядука Джи-Джи ответил, что это все из-за романтического воображения. И несоответный Любопытный Слоненок направился к дымному городу Манчестеру, гдеросло много физков, чтобы найти Старого Крокодила**) и спросить его про Атом. И он только чуточку-чуточку побавался Старого Крокодила, потому что он был Храбрый Слоненок. И Старый Крокодил оскалил свои страшные зубы и расскаал ему все, что он знал про Атом.

И Любопытный Слоненок пошел домой, неся с собой много разных поступов и принципов, и разбрасвал их по дороге. А за ним шла только маленьких зверешек, которые подбирали эти поступы и принципи и мастерили из них формулы и

*) Дж. Дж. Томсон.

**) Крокодил — произведение Резерфорда, данное ему его ближайшим друзьями и учениками.

философские теории. И они воспевали и славили Слоненка, что, конечно, было очень скверно с их стороны, и уши дядошекшевелились от ярости.

Но Любопытный Слоненок заставил почти всех дядошек поверить почти во все его поступы и принципи и сам стал дядькой, большим, мудрым и мирным, совсем как дикий слон Хати. И он стал курить трубку и разбрасывать вокруггруз золу, а неоторые из малых зверешек стали подражать ему и тоже стали большими и мудрыми. И Слоненок построил больший дом, где он мог жить и приглашать в гости больших зверей и маленьких зверешек. И он охотно играл с маленькими зверешками, если у него было хотя немного времени.

Но заря Атомной Эры насуупала слишком быстро, и у Слоненка было очень много дел: ведь он должен был всем большим зверем обьясить, что им надо делать. И так как неоторые из них начали поступать плохо, Слоненок стал очень грустным. Но Король подарил ему маленького слона, вырезанного из сlonовой кости, чтобы все звереи и все его дорогие родственники все время помнили, какой он добрый и мудрый Слоненок.

Лягушка, маленькая зверешка (Из книги «Физики продолжают шутить». — М.: Мир, 1968.)

23

УДИВИТЕЛЬНЫЕ
ПРИКЛЮЧЕНИЯ
ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДРОВЕЙ

От редакции. Удивительное дело. Наш журнал существует уже 20 лет и никогда не писал нам на эту тему: о свойствах перiodов десятичных дробей. И вдруг — сразу три статьи! Оdnу написал В. Г. Столяр, другую — Э. А. Кураев и З. К. Силозадзе и третью — Г. А. Гальперин и А. В. Корлюков. В конце концов мы решили стать эти статьи в одну, приняя за основу В. Г. Столяр. Вот что из этого вышло.

Рассмотрим примеры…

Вероятно, читатель знает (а если нет — еще лучше: он узнал это из нашей статьи), что всякая обыкновенная дробь представляется периодической десятичной дробью (конечную десятиную дробь мы можем считать периодической с периодом 0 или 9). Но вряд ли многое представляют, сколько неожиданностей заключает в себе эта периодическая дробь. Рассмотрим три примера:

$$\frac{1}{7} = 0,142857142857...$$
$$\frac{1}{12} = 0,08333333333...$$
$$\frac{1}{13} = 0,076923076923...$$

Мы видим, что у чисел $1/7$ и $1/13$ период начинается сразу после запятой и состоит из шести цифр (142857 и 076923 соответственно), а у числа $1/12$ он начинается с третьей позиции после запятой и состоит из единственной цифры: 3. Внимательное рассмотрение периодов чисел $1/7$ и $1/13$ позволяет заметить еще одно обстоятельство. Именно, положим $N=142857$ (period дроби $1/7$) и будем последовать умножать $N$ на 2, 3, 4, ..:

$$2N=285714, 3N=428571,$$
$$4N=571428, 5N=714285,$$
$$6N=857142, 7N=99999.$$

Мы видим, что первые пять из этих чисел получаются из числа $N$ «круговой перестановкой» цифр: сколько цифр из конца числа переезжает в начало; а число $7N$ состоит из одних девяток. Тепер проделаем то же с периодом дроби $1/13$ ($N=076923$):

$$2N=153846, 3N=230769,$$
$$4N=307692, 5N=384615,$$
$$6N=461538, 7N=538461,$$
$$8N=615384, 9N=692307,$$
$$10N=769230, 11N=846153,$$
$$12N=923076, 13N=99999.$$

Здесь дело обстоит несколько иначе, но все равно интересно: пять из выписанных чисел ($3N, 4N, 9N, 10N, 12N$) получаются из числа $N$ круговой перестановкой цифр, другие шесть чисел ($2N, 5N, 6N, 7N, 8N, 11N$) получаются круговой перестановкой цифр друг из друга и, наконец, число $13N$ состоит из одних девяток.

Можно заметить еще вот что. Если взять любое из выписанных выше шести значений чисел, кроме числа 999999, «разломить» его на два трех значения числа и вычислить сумму этих половинок, то получится 999; например, $142+857=999$ и т. д.

Как видите, с периодическими десятичными дробями связано немало загадок. Некоторые из этих загадок остаются не разгадными по секундам, несмотря на многочисленные попытки, предпринимавшиеся на протяжении нескольких веков математики из разных стран, как великими, так и более «скромными». Все же коe-что об этом мы можем рассказать.

Хобби Иоганна Бернулли

Оставим на время периоды и переменся в Швейцарию конца XVIII ве-

24

ка. Мы наблюдаем страную картины: масттий математик Юганн III Бернулли, представитель знаменитой математической семьи Бернулли, удостовившейся, подобно королевским династиям, присоединения порядковых номеров к именам, занимается, можно сказать, детской игрой! Он разлагает на простые множители числа, записьваемые одними единицами: 11=11, 111=3·37, 1111=11·101 и т. д. В 1773 году Бернулли помещает в трудах Берлинской академии таблицу простых делителей чисел, составленных из $n$ единиц, — до $n=31$ (см. рис. 1). Несмотря на то, что ему не удалось найти делители для некоторых чисел этого вида ($n=11, 17, 29$), а для трех чисел ($n=20, 25, 27$) разложение не доведено до простых множителей, несмотря на допущенные им ошибки (для $n=22, 24, 26$), мы сегодня можем только преклониться перед гирантским трудом по вычислению простых множителей этих огромных чисел. Можно предположить, что автором таблицы двигала не только исследовательская жилка ученого, но и подлинная эстетическая страсть художника, входовленного удивительным притягательным миром этой загадочной вереницы единиц. Свои сомнения в правильности разложения в отдельных случаях И. Бернулли отражает звездочек.

В течение первыхста лет, прошедших со времен опубликования таблицы И. Бернулли, в нее не было внесено особойясности. В 1838 году Вестерберг разложил на простые множители число из 11 единиц — и это все. В 1879 году французский математик Эдуард Люка находит простые делители для $n=17$ и признает, что целочка из 19 единиц не поддается разложению. В 1895 году в Париже выходит его книга «Занимательная арифметика», содержащая приведенную ниже таблицу.

Угасший было интерес к числам, составленных из единиц, вовь возрос в последние годы, особенно в связи с развитием теории арифметических кодов, служащей основой для реализации методов помехоустойчивого кодирования в компьютерной технике (см., например, книгу Ю. Г. Дадаева «Teория арифметических кодов», изданную в Москве в 1981 г.). Наши загадочные числа, спустя почти две centuries лет после опубликования первого таблицы их делителей, прибретают, наконец, собственное имя. В «Занимательной теории чисел» (Нью-Йорк, 1964 г.) ее автор А. Бейлер, посвятив этим числом целую главу под названием «111…1111», вводит для них термин «repunit» (сокращение английского repeated unit — повторенная единица). Русского слова «репьюнит» еще не найдится в словарях, но оно уже появляется в рефератах к зарубежным статьям, прибретая силу нового международного термина.

Таблица

$$\begin{array}{l} 111=3 \cdot 37 \\ 1111=11 \cdot 101 \\ 11111=41 \cdot 271 \\ 111111=3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37 \\ 1111111=239 \cdot 4649 \\ 11111111=11 \cdot 73 \cdot 101 \cdot 137 \\ 111111111=3^2 \cdot 37 \cdot 333667 \\ 1111111111=11 \cdot 41 \cdot 271 \cdot 9091 \\ 11111111111=21649 \cdot 513239 \\ 111111111111=3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37 \cdot 101 \cdot 9901 \\ 111111111111=53 \cdot 79 \cdot 265371653 \\ 111111111111=11 \cdot 239 \cdot 4649 \cdot 909091 \\ 111111111111=3 \cdot 31 \cdot 37 \cdot 41 \cdot 271 \cdot 2906161 \\ 111111111111=11 \cdot 17 \cdot 73 \cdot 101 \cdot 137 \cdot 5882353 \\ 111111111111=2071723 \cdot 5363222357 \\ 111111111111=3^2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 37 \cdot 52579 \cdot 333667 \end{array}$$

25

Математики продолжают штурмовать таблицу делительей реьюнитов, и к 1975 году $n$ в таблице уже достигнет 3000 (С. Ейтс), однako в ней еще достигло много пробелов. (К настоящему времени часть этих пробеловLINKвидирована и найдены делители реьюнитов до 162-го включительно). Отдельный интерес представляют простые реьюниты, поиск которых также продолжается. Уже доказано, что 19-й (1918 г.), 23-й (1929 г.), 317-й (1978 г.) и 1031-й (1985 г.) реьюниты простые.

Нас, однako, реьюниты интересуют не сами по себе, а в связи с перiodами десятичных дробей. Существование связи между теми и другими предвидел и Бернулли, который одновременно с уже упоминавшейся таблицей делителья реьюнитов опубликовал обзор известных к тому времени результатов о периодах десятичных дробей, включавший в себя пространную таблицу этих периодов (см. рис. 2). В действительности, эта связь, как мы сейчас увидим, лежит на поверхности.

Делители реьюнитов и представление обикновенных дробей десятичныхми

Начнем с трех простых наблюdenий.

Наблюдение 1. Предположим, что число 999…999, составленное из $n$ девяток, делится на данное натуральное число $m$. Запишем частное от деления в виде $n$-значного числа: $999...999/m = a_1a_2a_3...a_n$ (еще несколько первых цифр $a_i$ могут быть нулями). Тогда $\frac{1}{m} = 0, a_1a_2a_3...a_n a_1a_2a_3...a_n$.

Доказательство.

$$m \cdot 0, a_1a_2a_3...a_n a_1a_2a_3...a_n = 0, 999...999...999...=1.$$

Наблюдение 2. Если число $m$ не делится на 3, то делимость на $m$ числа, составленного из $n$ девяток, равносильна делимость на $m$ числа, составленного из $n$ единиц (т. е. реьюнита).

Это очень удобно.

Наблюдение 3. Если число $m$ не делится на 2 и на 5, то найдется реьюнит, делящийся на $m$.

Доказательство. Будем последовательно находить остатки от деления на $m$ чисел 1, 11, 111 и т. д. Послеовательность этих остатков бесконечно.

DES SCIENCES ET BELLES-LETTRES.

L TABLE

de quelques sommes de la progression géométrique

$$1 + 10^1 + 10^2 + \dots + 10^n = S$$

résolues en nombres premiers.

NB. On n’a pas examiné complètement fi les nombres marqués d’une étoile font premiers.

| t | Valeur de S. |
| :— | :— |
| 1 | 11 |
| 2 | 3.37 |
| 3 | 11.101 |
| 4 | 41.271 |
| 5 | 3.7.11.13.37 |
| 6 | 239.4649 |
| 7 | 11.73.101.137 |
| 8 | 3.37.333667 |
| 9 | 11.41.271.9091 |
| 10 | 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313313131313131313131313131313131331313313133133133133133133133133133133133133313333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333127777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777

28

для простых знаменателей до 1370471 включительно (С. Ейтс, 1975 г.) Былли получены и другие общее результаты, причем оказалось, что большое значение при определении длины перiodа доби 1/p с простым p имеет остаток от деления числа p на … 40. Например, если этот остаток равен 3, 27, 31, 39, то L(p) нечетно, а если p=40k±7, ±11, ±17, ±19, то L(p) четно. Все же задача вычисления чисел L(p) для простых p, видимо, далеко от решения.

Случай непростого знаменателя

Уражение 4. Если p₁ и p₂ взаимно просты между собой и с 10, то L(p₁p₂) есть наименьшее общее кратное чисел L(p₁) и L(p₂).

Поскольку всякое натуральное число есть произведение степени простых, которые между собой взаимно просты, последнее утверждение свидетельствует задачу вычисления длины перiodа к случаяю, когда знаменатель есть степень простого числа. А здесь снова нет ясности: например, L(3)=1, L(9)=1; L(7)=6, L(49)=42; и т. д.

Теперь нам пора оставить длины перiodов и обратиться к обясенной феноменов, обнаруженных в начале статьи.

Эффект крутовой перестановки

Напомним, в чем он состоит. Мы видели, что шестизначный перiod доби 1/7 при умножении на 2, 3, 4, 5, 6 подвергается крутовой перестановке: сколько-то цифр из конца числа переезжает в начало. Несколько иначе ведет себя при умножении на различные числа шестизначный перiod доби 1/13; именно, … Впрочем, что именно с ним произходит, читатель может вспомнить, заглянув в начало статьи, а мы сейчас докажем теорему, более или менее обясняющую это явление.

Теорема 3. Пусть N есть перiod доби 1/m (записанный как число, возможно, начинающееся одним или несколько нулями), где m взаимно просто с 10, и пусть l есть остаток от деления числа 10^k

на m. Тогда число lN получается из числа N перестановкой k цифр из начала числа в конец.

Доказательство. Пусть M есть целая часть числа 10^k/m, т. е. 10^k = Mm+l. Умножим десятичную дробь 1/m на 10^k; при этом запятая переедет на k позиций влево. Целая часть получившегося числа — это M. Отбросим целую часть. Получится число

$$10^k \frac{1}{m} - M = \frac{10^k - Mm}{m} = \frac{l}{m}.$$

Это — периодическая десятичная дробь, период которого получается из перiodа доби 1/m крутовой перестановкой цифр: k цифр переезжает из начала в конец; но в то же время это число в l раз больше числа 1/m, а значит, и его период в l раз больше перiodа числа 1/m, т. е. N. Теорема доказана.

Если число 1/m имеет (m-1)-значный перiod, то доказанная теорема все объясняется. Действительно, крутовыми перестановками цифр из перiodа можно получить m-1 чисел (включая его самого), и все эти числа различны. С другой стороны, умножая перiod на 1, 2, …, m-1, мы тоже получаем m-1 чисел; значит, это в точности те же числа. Если же перiod короче, то крутовые перестановки цифр перiodа N не исчерпывают всех чисел вида lN с 1≤l≤m-1. Все, что можно сказать в этом случае — это что крутовая перестановка цифр числа lN всегда приводит к числу вида l’N — это доказывается точно так же, как теорема 3.

Интересно, что теорема 3 в некоторых областях обясняется:

Теорема 4. Пусть N есть целое число (запись которого, возможно, начинающееся или нескольким нулями), и пусть A есть число, составляемое последним k цифрами числа N. Предположим, что при пересечении k знаков из конца числа N в начало оно превращается в число lN, где l целое. Тогда периодическая десятичная дробь O,NNN… равна $\frac{A}{10^k l-1}$.

29

(Последняя дробь может оказаться сократимой.)

Доказательство. Пусть $n$ — число знаков числа $N$. При переменении $k$ знаков из конца числа $N$ в начало оно превращается в число $\frac{N-A}{10^k} + A \cdot 10^{n-k}$. Таким образом,

$$\frac{N-A}{10^k} + A \cdot 10^{n-k} = lN,$$
$$N-A + A \cdot 10^n = lN \cdot 10^k,$$
$$\frac{N(10^{n-k}l-1)}{A} = 10^n - 1,$$

откуда

$$0,NNN \dots \cdot \frac{10^{n-k}l-1}{A} = 0,999 \dots = 1,$$

что нам и требуется.

Сами того не желая, мы научились решать один тип олимпiadных задач. Вот пример.

Задача. Найти все шестизначные числа, которые увеличиваются в целое число раз при переменении последней цифры из конца в начало.

(Mы будем считать, как это обычно делается, что число начинается не с нуля; решить-то задачу мы можем и без этого предположения, но ответ будет черезурромозок: он будет включать в себя числа 000001, 000002, …, 000009, 000011, 000013… Мы будем также понимать слово «увеличивается» буквально, т. е. исключим случай, когда число остается при переменении цифры неизменным; в противном случае в ответ вошли бы числа 111111, 222222, …, 999999.)

Решение. Пусть $A$ — последняя цифра нашего числа, и пусть при ее переменении в начало число увеличивается в $l$ раз. Таким образом, $1 \leq A \leq 9$, $2 \leq l \leq 9$. В силу теоремы 4 нашей число есть шестизначный период (возможно, сократимой) дроби $A/(10l-1)$. Знаменатель этой дроби до сокращения может быть одним из чисел 19, 29, 39, …, 89; после сокращения на однозначное число знаменатель может превращаться еще в 39:3=13, 49:7=7, 69:3=23. Так как период дроби шестизначный, знаменатель должно делиться делителем числа $999999=3^3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37$ (см. теорему 1). Это оставляет для него только тривозможности: 7, 13, 39. Таким образом, $l$ равно 4 или 5. При $l=4$ наша дроба равна $A/39$, где $A=4, 5, ..., 9$ (дроб должно быть больше 0,1, поскольку период не должен начинаться с нуля). Перiod такой дроби есть $A \cdot 25641$ (перiod дроби 1/39 есть 025641). При $l=5$ дроба равна $A/49$ и должна сокращаться на 7, что оставляет для нее единственный возможность: 1/7; период равен 142857. Итак,

Ответ: 102564, 128205, 142857, 153846, 179487, 205128, 230769.

Уражение 5. Решите аналогичную задачу для 13-значных чисел.

Указание. Воспользовитесь таблицей делительей рельефитов.

Эффект девяток

Теорема 5. Пусть $q$ — простое число, большее 5, и пусть $1 \leq p \leq q$. Предположим, что период дроби $p/q$ есть $2n$-значное число $N$. Далее, обозначим через $N_1$ число, образуемое первым $n$ цифрами перiode, и через $N_2$ число, образуемое его последним $n$ цифрами. Тогда $N_1+N_2 = 999 \dots 999$ (певая ток).

Доказательство. По условия,

$$N = 10^n N_1 + N_2,$$
$$\frac{p}{q} = \frac{N}{10^{2n}-1},$$

и, следовательно,

$$p(10^{2n}-1) = Nq = (10^n-1)N_1q + (N_1+N_2)q,$$
$$(N_1+N_2)q = (10^n-1)((10^n+1)p-Nq).$$

Поскольку $2n$ есть наименьшее $k$, при котором $10^k-1$ делится на $q$, $10^n-1$ не делится на $q$, а так как $q$ прост, то $10^n-1$ взимимо прост с $q$. Значит, $N_1+N_2$ делится на $10^n-1$. Но в то же время $N_1$ и $N_2$ — это $n$-значные числа, которые не оба состоянии из одних девяток. Значит, $N_1+N_2 < 2(10^n-1)$, и, таким образом, $N_1+N_2 = 10^n-1$, что и требовалось.

Заметим, что простота $q$ использованы нами только в одном месте: мы вывели из нее, что $10^n-1$ взимимо прост с $q$. Разумеется, эта взимная простота может наступить и при со-

30

ставном $q$, так что заключение нашей теоремы справедливо и при многохепростых значениях.

Еще один эффект
Рассмотрим снова период дроби 1/7: $N=142857$. Возведем его в квадрат ($N^2=20408122449$), отделим последние шесть цифр и сложим с тем, что останется:

$$122449+20408=142857.$$

Получился снова наш период. Проделаем подобное с периодом числа 1/17:

$$0588235294117647^2=346020761245674671280276816609,$$

Получился, правда, не наш исходный период, но число, отличающее от него на круговую перестановку цифр. Аналогичное для периода дроби 1/19:

$$052631578947368421^2=2770083102493074786703601108033241,$$

$$786703601108033241+2770083102493074=789473684210526315.$$

Уражение 6. Дайте этому объяснение.

Трудная задача

(Начало см. на c. 17)

Во втором расчете, как мы уже говорили, была допущена вычислительная ошибка. Наконец, третий расчет, сделанный по формуле Гаусса, справедлив только при условии $h \ll R$, тогда как по условию задачи $h=R$.

Наш расчет опирался на законы эллиптического движения в центральном поле тяготения. Поэтому он и позволяет получить правильный ответ.

Пожалуйста, на этом можно завершить историю этой задачи, на первый взгляд — такой простой, но оказавшейся неожиданно такой трудной даже для весма подготовленных людей.

Траектория, которую описет снаряд, выпущенный на экваторе вертикально со скоростью 8 км/c. Снаряд будет движаться по полуэллису ACB, оруде — по душе AD. Все масштабы соблюдаются. Например, врашшение Земли указывано стрелкой. Расстояние перцейзма от центра Земли $O$ — 11 км и в данном масштабе неразличимо.

31

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с моментта основания журнала. Публикуемые в нем задания нестандарты, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы.

Найболее трудные задачи отмегаются звездочкой. После формирования задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые.

Решения задачи из этого номера следует отправлять не позднее 1 октября 1989 года по адресу: 103006 Москва К-6, ул. Горького, 32/1, «Квант». Решения задачи из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присLIED в разных конвертах. На конверте в графе «Кому» написите: «Задачник «Кванта» № 8—89» и номера задач, решения которых вы посылаете, например «M1176» или «Ф1183». В графе «…адрес отправителя» фамилию и имя просим писать разборную. В письмо выходите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки решения).

Условие каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присLIED в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с вашим решением этой задачи (на конверте пометьте: «Задачник «Кванта», новая задача по физике» или «…новая задача по математике»).

В начале каждого письма просим указывать номер школа и класс, в котором вы учите. Задача M1180 предлагалась на заключительном этапе XXIII Всегоозной олимпiadы по математике (Рига, 1989).

Задание
M1176 — M1180, Ф1183 — Ф1187

M1176. Два квадрата AKBM и CNDL расположены на плоскости так, что ABCD — выпуклый четырехугольник, причем точки K и L лежат внутри этого четырехугольника. Докажите, что площад этого четырехугольника равна $(MN^2 - KL^2)/4$.

С. А. Столяров

M1177. Докажите, что для положительных чисел $x_1, x_2, ..., x_n$, не превыходящих 1, выполнен неравенство
$$(1+x_1)^{1/x_2}(1+x_2)^{1/x_3}(1+x_3)^{1/x_4}...(1+x_n)^{1/x_1} \geq 2^n.$$
К. П. Кохась, В. М. Телевка

M1178. a) Докажите, что для нетупоугольного треугольника ABC со сторонами a, b, c, радиусом вписанной окружности r и описанной — R выполнен неравенство
$$2(R+r) \leq \sqrt{a^2+b^2+c^2}.$$
6) При каком условия это неравенство обращается в равенство?

З. А. Скопец

M1179. Найдите $a_{1000}$, если $a_1=0$ и при $n=1, 2, 3, ...$

a) $a_{n+1} = \frac{n}{n+1}(a_n+1)$;

b) $a_{n+1} = \frac{n(n+1)}{(n+2)(n+3)}(a_n+1)$;

b) $a_{n+1} = \frac{n(n+1)(n+2)}{(n+3)(n+4)(n+5)}(a_n+1)$.

В. А. Вергезим

M1180. На одной из двух данных пересекающих сфер взяты точки A и B, на другой — C и D. Отрезок AC проходит через общую точку сфера. Отрезок BD проходит через другую общую точку сфера и параллелен прямой, содержащей центры сфера. Докажите, что проекции отрезков AB и CD на прямую AC равны.

И. Ф. Шарыцин

Ф1183. Автобус движется с постоянной скоростью $u=60$ km/ч, подолгу стоя на остановках. На улице ветер и идет дожь. Дождевые капли образованы на боковом стекле автобуса такую картину, как на рисунке 1. Скорость и направление ветра не меняются. Какова скорость падения капель дожья? Что можно сказать о скорости ветра? Дорога прямая, автобус не разворачивается.

А. В. Андранов

Ф1184. Железный прут цилиндрический формы длиной 10 см нагрели в пламени газовой горелки. Температура горячего конца прута оказалась 700 °C, на расстоянии 1 см от него — 500 °C, 2 см — 300 °C, 3 см — 200 °C, 5 см — 150 °C, температура другого

32

конца прутка — 100 °C. Через 1 минуту температура выравнялась и оказалась равной 200 °C. Оценить количество теплоты, которое пруток за это время потребл. Удельная теплимость железа 460 Дж/(кг·К), масса прутка 15 г.

А. Р. Зильберман

Ф1185. Оdnородно заряженный куб создает в своей вершине электрическое поле напряженного $E_0$. Из куба удаляют кубик вдвое меньших размеров (рис. 2). Чему теперь будет равна напряженность поля в точке $A$?

И. Ю. Потеряйко

Ф1186. При какой величины емкости конденсатора $C_x$ в схеме, приведенной на рисунке 3, сдигг фаз между подаваемым напряжением и током во внешней цепи будет равен нулю при любой частоте источника? Индуктивность катушки $L$, сопротивление каждого резистора $R$. Все элементы цепи считать идеальными.

В. Е. Скороваров

Ф1187. Саня длиной $L=2$ м и высотой $H=0,5$ м едут по прямой со скоростью $v=10$ м/c. На расстоянии $d=10$ м от дороги установлен шаттин с фотоаппаратом, и съемку производят в момент максимального слияния.

Фотоаппарат имеет однолизовый объектив с фокусным расстоянием $F=5$ см. Выдержка (т. е. время, в течение которого засвечается каждый участок фотоаппарата) отражается в этом фотоаппарате при помощи щелевого затвора, который работает следующим образом. Вдоль кадара вылизи от пленки движется с постоянной скоростью $v_0=1$ м/c вертикальная щелль, ширину которой можно меньше до получения нужной выдержки. Размер кадара $24\times 36$ мм. Каким оказывается отношение длины к высоте у полученного на пленке достаточно резкого изображения caney?

М. Г. Гаврилов

Решения задач
M1151 — M1154, Ф1163 — Ф1167

a) Это равенство легко доказывается по индукции. При $n=1$ оно верно: $\frac{1\cdot 2!}{2} = \frac{3!}{2} - 2=1$. Предположив, что оно доказано для $n=k$, проверим, что оно верно и для $n=k+1$:

$$\frac{1\cdot 2!}{2} + \frac{2\cdot 3!}{2^2} + \dots + \frac{k(k+1)!}{2^k} + \frac{(k+1)(k+2)!}{2^{k+1}} =$$

$$= \frac{(k+2)!}{2^k} + \frac{(k+1)(k+2)!}{2^{k+1}} - 2 =$$

$$= \frac{(k+3)!}{2^{k+1}} - 2.$$

b) Ответ: $\frac{(n+3)!}{3^n}$ — c. Можно доказать это по ин-

33

Дукции так же, как в п. a), а можно оформить это рассуждение несколько по-другому. Заметим, что каждый член суммы можно записать в виде разности

$$\frac{(k+3)!}{3^k} - \frac{(k+2)!}{3^{k-1}} = \frac{(k+2)!(k+3-3)}{3^k} = \frac{k(k+2)!}{3^k}.$$

Запишем ряд таких равенств для $k=1, 2, ..., n$ и сложим их почленно; получим:

$$\frac{(n+3)!}{3^n} - 3! = \frac{1 \cdot 3!}{3} + \frac{2 \cdot 4!}{3^2} + \dots + \frac{n(n+2)!}{3^n}.$$

Аналогично, при любом натуральном $d$ из равенства

$$\frac{(k+d)!}{d^k} - \frac{(k+d-1)!}{d^{k-1}} = \frac{k(k+d)!}{d^k}$$

можно вывести обобщение результатов задач a) и 6):

$$\frac{1 \cdot d!}{d} + \frac{2 \cdot (d+1)!}{d^2} + \dots + \frac{n(n+d)!}{d^n} = \frac{(n+d)!}{d^n} - d!$$

Н. В. Васильев, В. Н. Жоха

M1152. Пусть $h$ и $l$ — высота и высота, проведенные из вершины $A$ треугольника $ABC$. Продолжим биссертису до пересечения с описанной окружностью в точке $L$ (см. рисунок) и проведем диаметр $LN$ этой окружности. Он перепидикулярен хорде $BC$, так как $L$ — середина дуги $BC$, поэтому $\angle ALN$ равен углу $\varphi$ между $h$ и $l$. Следовательно,

$$h/l = \cos \varphi = AL/LN = (AI+IL)/2R \geq \sqrt{AI \cdot IL}/R,$$

где $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Остается доказать, что $AI \cdot IL = 2rR$.

Опустим из точки $I$ перепидикуляр $ID$ на сторону $AB$, тогда $ID = r$ и $AI = r/\sin(\angle A/2)$. В то же время $IL = LC$, поскольку в треугольнике $LIC$ каждый из углов вершинах $I$ и $C$ равен $(\angle A + \angle C)/2$ (первый как внешний угол треугольника $AIC$, а второй равен $\angle ICB + \angle BCL = \angle C/2 + \angle BAL)$. Но $LC$ — хорда описанной окружности, на котором опирается угол $LAC$, равный $\angle A/2$, поэтому $LC = 2R \sin(\angle A/2)$. Итак,

$$AI \cdot IL = \frac{r}{\sin(\angle A/2)} 2R \sin(\angle A/2) = 2rR.$$

Из решения видно, что нашей неравенство обращается в равенство, когда $AI = IL$, т. е. когда прямая $OI$, соединяющая центры вписанной и описанной окружностей, перепидикулярна биссертисе $l$.

Из других решений видим тригонометрическое, использующее формулу $r = 4R \sin \frac{\angle A}{2} \sin \frac{\angle B}{2} \sin \frac{\angle C}{2}$ и равенство $\varphi = \frac{|\angle B - \angle C|}{2}$. Подробности этого решения оставим читателям.

К. Верчану, В. Н. Дубровский

34

М1153. Какое наиболее число поворот может содержать замкнутый маршрут ладьи, обходящий по одному разу все клетки шахматной доски 8×8 клеток?

Рис. 1.

Рис. 2. Рис. 3.

M1154. Докажите, что если четырехугольник вписан в окружность и описан округой окружности, то прямая, проведенная через центры этих окружностей, проходит через точку пересечения диагоналей четырехугольника.

Ответ: 56 поворотов. Маршрут с 56 поворотами показан на рисунке 1. Докажем, что это число нельзя представить.

Назовем клетку доски коридор для данного маршрута, если в ней ладья не делает поворота. Заметим, что из каждой пары клеток, смежных с угловыми, хотя бы одна является коридором — иначе в клетке, соседней с соответствующей угловой по диагонали, ладья pobывает дважды (рис. 2).

Разобем доску на 4 квадрата 4×4. В каждом из них есть коридор, соседний с угловой клеткой. Покажем, что кроме него есть еще хотя бы один коридор. Расстояние, направер, левый нижний квадрат и допустим, что клетка a2 — коридор. Предположим, что других коридоров в этом квадрате нет. Тогда очевидно, что маршрут последовательно прохит по клеткам b2, b1, a1, a2, a3, b3, b4 (рис. 3). Следующей будет клетка a4, иначе мы в нее никака не попадем (или маршрут не замкнется). Тепер можно аналогично продолжить маршрут в другую сторону: b2, c2, c1, d1, d2, e2. Из полученного рисунка видно, что маршрут должен содержать участок d3_c3_c4, следовательно, одна из клеток — d3 или c4 — коридор (это доказывается так же, как для угловых клеток — см. начало решения).

Итак, число коридоров — не менее 2×4=8, а число поворотов — не больше 64—8=56.

М. Г. Хованов

Введем следующие обозначения: ABCD — данный четырехугольник; 2α, 2β, 2γ, 2δ — величины его углов при вершинах A, B, C, D; O и I, R и r — центры описанной и вписанной окружностей и их радиусы, P — точка пересечения диагоналей (см. рисунок). Для определения будем считать, что углы 2α и 2β — не тупые, а значит, 2γ=π-2α и 2δ=π-2β — не острыe. Покажем, что тогда точки O и I лежат внутри угла APB и отношения расстояний от этих точки до сторона этого угла (диагоналей) одинаковы: ρ(O, BD)/ρ(O, AC) = ρ(I, BD)/ρ(I, AC) (буквой ρ обозначены расстояния). Отсюда, очевидно, будет следовать утверждение задачи.

Точка O лежит по ту же сторону от BD, что и точка A, (или непредседатель на BD), так как угол BCD не острый. Точка I тоже лежит по эту сторону от BD, поскольку угол при вершине I четырехугольника BCDI равен

$$2\pi - \beta - 2\gamma - \delta = \pi - (\beta + \delta) + \pi - 2\gamma = \frac{\pi}{2} + 2\alpha \leq \pi$$

(mы учи, что β+δ=π/2).

Аналогично проверяем, что обе точки — O и I — лежат по одному сторону с точки B относительно AC. Следовательно, эти точки лежат внутри угла APB.

Далее, отношение расстояний от O и I до BD равно отношению площадей треугольников OBD и IBD

$$\frac{S_{OBD}}{S_{IBD}} = \frac{OB \cdot OD \sin \angle BOD}{IB \cdot ID \sin \angle BID}.$$

35

Но $OB=OD=R$, $\angle BOD=2\angle BAD=4\alpha$ (центральный угол вдвое большие соответствующего вписанного), $IB=r/\sin \beta$, $ID=r/\sin \delta=r/\cos \beta$ (см. рисок) и, как мы показали, $\angle BID=\pi/2+2\alpha$. Следовательно,

$$\frac{\rho(O, BD)}{\rho(I, BD)} = \frac{R^2 \sin 4\alpha \sin \beta \cos \beta}{r^2 \sin (\pi/2+2\alpha)} = \frac{R^2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha \sin 2\beta}{r^2 \cos 2\alpha} = \frac{R^2}{r^2} \sin 2\alpha \sin 2\beta.$$

Из симметрии задачи ясно, что и отношение $\rho(O, AC)/\rho(I, AC)$ равно той же величины, поэтому $\rho(O, BD)/\rho(O, AC) = \rho(I, BD)/\rho(I, AC)$, что и требовалось доказать.

Вообщие, «вписанно-описанный» четырехугольник имеет целый ряд красных свойств. Приведем некоторые из них, тесно связанные с данной задачей.

Пусть $Q_1$ — четырехугольник с вершинами в точках касания вписанного-opисанного четырехугольника $ABCD$ с вписанной в него окружностью, а $Q_2$ — четырехугольник, ограниченный перпендикулярами к отрезкам $IA$, $IB$, $IC$, $ID$ в их концах. Тогда 1) диагонали $Q_1$ перпендикуляры и пересекаются в той же точке $P$, что и диагонали $ABCD$; 2) четырехугольники $Q_1$ и $Q_2$ готовятся, причем центр готовится лежит на прямой $PI$; 3) на этой же прямой лежит центр описанной окружности четырехугольника $Q_2$ и центры тяжестей четырехугольников $Q_1$ и $Q_2$.

В. Н. Дубровский

Ф1163. Из-за малого коэффициента треня автоматоль не может двигаться по льду с укоренением, превосходящим по модулю $a=0,5$ м/$c^2$. По условям совершования водителя необходим из точки $A$ за наименьшее время попасть в точку $B$, находящуюся на прямой, перпендикулярной направлению наальный скорости автоматоль (рис. 1). Каково минимальное возможное время, если расстояние $AB=375$ м, а наименьшее скорость $v = 10$ м/$c$? По какой траектории при этом должен двигаться автоматоль? Ответьте на аналогичные вопросы для случая, когда филиш находится в точке $C$, $BC=200$ м.

Перейдем в системе отсчета, в которой автоматоль в начальной момент времени покопится, а точка $B$ движется с постоянной скоростью $v$. В этой системе отсчета автоматоль для скорейшей встречи с точкой $B$, очень длинен, должен движаться по некоторой прямой с постоянным укоренением, равным $a$. Направление прямой определяется тем, что в некоторых точках $D$ должна произойти встречка. Для треугольника $ABD$ (рис. 2), обозначив $AB=b$, имеем

$$b^2 + (vt)^2 = \left(\frac{at^2}{2}\right)^2.$$

Решая это уравнение, находим

$$t = \sqrt{\frac{2v^2}{a^2} + \sqrt{\left(\frac{2v^2}{a^2}\right)^2 + \frac{4b^2}{a^2}}} = 50 \text{ с.}$$

Поскольку оптимальное движение автоматоля является равноскоренным, его траектория в системе отсчета, связанной с землей, будет параболой.

Стратегия для скорейшей встречи с точкой $C$ аналогична разобранной выше. Однако для нахождения времени до встречи в точке $E$ (рис. 3) придетя решать уравнение четырехугольника общого вида

$$b^2 + (vt+c)^2 = \left(\frac{at^2}{2}\right)^2,$$

36

где $c = BC$, или

$$t = \sqrt[4]{\frac{4}{a^2} \left(b^2 + (vt + c)^2\right)}.$$

Это уравнение можно решить приближенно, пользоваться методом интерации, суть которого состоит в следующем. Пусть надо решить уравнение вида $f(t) = t$. В качестве приближенного берем какое-нибудь значение $t = t_0$ и составляем последовательность

$$t_1 = f(t_0), \ t_2 = f(t_1), \ ..., \ t_n = f(t_{n-1}).$$

Если эта последовательность имеет предел $S$ и функция $f(t)$ непрерывна в точке $S$, то $S$ — корень уравнения (*).

В нашем случае при условии $t_0 = 0$ последовательность будет иметь вид

$$t_1 = f(t_0), \ t_2 = f(t_1), \ ...$$

$$..., \ t_n = \sqrt[4]{\frac{4}{a^2} \left(b^2 + (vt_{n-1} + c)^2\right)}.$$

Подставив численные значения, приdem к результату

$$t \approx 59,2 \text{ с.}$$

При этом, как показывает более детальное изучение последовательности, при $n = 4$ достаточно точно в один процент, а каждые два дополнительных шага (вычисление двух последующих членов последовательности) улучшают точность в десять раз.

Для случая произвольного расположения точки физища при интерционном решении уравнения (*), где перед $c = BC$ может быть как знак плюс, так и знак минус, надо соблюдать известную осторожность, связанную с возможной недозначностью решения и правильным выбором нульового приближения iterации.

И еще одно замечание. Движение по параболе с постоянным векторомускорения потребует, конечно, немалой скорости от водителя.

А. Н. Коротков, Е. Н. Юносов

Ф1164. Встроительная использующая так называемые предварительно направленные железобетоны конструкции. Изготовление такой балки производит следующим образом. Стальной стержень длиной $l_1$ растязывают до длины $l_2$, после чего запливают жидким бетоном. После затвердевания бетона стержень освобождают от растязыва-

Пусть длина железобетонной балки после того, как со стального стержня будет снять растяивающее устройство, равна $l_0$ ($l_1 < l_0 < l_2$). При этом стержень растят на величины $\Delta l_1 = l_0 - l_1$, а затвердеший бетон скат на величины $\Delta l_2 = l_2 - l_0$. Согласно закону Гука, для такой деформации стержня необходимо сила

$$F_1 = E_1 S_1 \Delta l_1 / l_1,$$

где $S_1$ — площадь его поперечного сечения, $E_1$ — модуль Юнга стали. Аналогично, для деформации бетона нужна сила

$$F_2 = E_2 S_2 \Delta l_2 / l_2,$$

где $S_2$ и $E_2$ — площадь поперечного сечения и модуль

37

Вационное усилия. Найти длину образовательной железобетонной балки и ее модель Юнга. Площади сечения стержня и балки и модель Юнга стали и бетона считать известными. Чем предварительно направленный железобетон лучше простого железобетона?

Юнга бетонного бруска (без стержня). Естественно, что при отсутствии внешних сил сила скатия бетона уравновешивается слу растяжения стержня:

$$F_1 = F_2.$$

Отсюда, использя предыдущие выражения, найдем искому длину железобетонной балки

$$l_0 = \frac{E_2 S_2 + E_1 S_1}{E_1 S_1/l_1 + E_2 S_2/l_2}.$$

Для определения модели Юнга $E_0$ железобетонной балки расчитаем силу, которая необходима для расстояния балки на величины $\Delta l_0$. При такой деформации стержень будет растут на $\Delta l_1 + \Delta l_0$ (по сравнению с первоначальной длиной $l_1$), и сила растяжения будет равна

$$F'_1 = E_1 S_1 (\Delta l_0 + \Delta l_1)/l_1.$$

Бетонный брус будет скат на $\Delta l_2 - \Delta l_0$ (по сравнению со своей первоначальной длиной $l_2$), и сила его скатя будет равна

$$F'_2 = E_2 S_2 (\Delta l_2 - \Delta l_0)/l_2.$$

(Если $\Delta l_0 > \Delta l_2$, то $F'_2$ будет силой растяжения, а не скатия бетона.) Результирующая сила, необходимая для растяжения железобетонной балки, равна

$$F_0 = F'_1 - F'_2 = E_1 S_1 (\Delta l_0 + \Delta l_1)/l_1 - E_2 S_2 (\Delta l_2 - \Delta l_0)/l_2,$$

или, учитывая равенство $E_1 S_1 \Delta l_1/l_1 = E_2 S_2 \Delta l_2/l_2$, —

$$F_0 = E_1 S_1 \Delta l_0/l_1 + E_2 S_2 \Delta l_0/l_2.$$

Вынесем $\Delta l_0$ за скобки, умножим и разделим на $S_2/l_0$ (считая $S_1 \ll S_2$) и получим

$$F_0 = \left( (E_1 S_1/l_1 + E_2 S_2/l_2) \frac{l_0}{S_2} \right) S_2 \frac{\Delta l_0}{l_0}.$$

Нетрудно видеть, что выражение во внешних скобках и есть модель Юнга железобетонной балки $E_0$. Использовав формулу для $l_0$, найдем

$$E_0 = E_2 + \frac{S_1}{S_2} E_1.$$

Интересно отмечить, что такой же модель Юнга будет и у балки, изготовленной без предварительного растяжения стержня. Примущество предварительного направного железобетона состоит в том, что бетонное основание в таких конструкциях испытывает деформацию скатия, даже если сама конструкция в целом испытывает деформацию растяжения. Поскольку прочность бетона при скатии значительное больше его прочности при растяжении, существенно уменьшается вероятность образования трешин в бетонном основании.

В. И. Клячин

Ф1165. Из бесконечной квадратной проводящей сетки с сопротивлением

Начнем с точек $A$ и $B$. Перерисуем схему так, как изображено на рис. 2. Подключим к точкам $A$ и $B$ схемы (рис. 3) два одинаковых источника точки