Квант 1989, №12 · Страницы

КВАНТ
Научно-популярный
физико-mатематический журнал

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Прямы на кривых поверхностей

1989

В номере

2 В. В. Шикин. Заряжение поверхность жизни
7 Д. В. Фукс. Прямы на крывых поверхности
12 С. Л. Табачников. Сколько корней у многочлена?
18 В. Е. Белонукин. Приливные силы

Задачник «Квант»
23 Задачи M1196—M1200, Ф1203—Ф1207
24 Решения задачи M1171—M1175, Ф1183—Ф1187
31 Разбийния многоугольников и… неевклидова геометрия

«Квант» для младших школьников
35 Задачи
36 Какой день недели?

40 Калейдоскоп «Квант»
42 Лаборатория «Квант»
42 М. М. Цыпин. Высокочастотный генератор

Практикум абитриента
52 В. А. Мукушев. Метод графических оценок

Олимпiadы
57 XXX Международная математическая олимпиада
59 XX Международная физическая олимпиада
64 I Международная олимпиада по информатике

Информация
46 Летняя физико-mатематическая школа в США
68 Заочная физико-техническая школа при МФТИ
71 Игры — дело серbezное

72 Ответы, указания, решения
76 Напечатано в 1989 году
79 Анкета 12—89
Смесь (45)
Реклама (67)

Наша обложка
1 Так выглядит тень гиперболюда, освещенного лучами света, паралельными одной из его образующих. Гиперболюд — искусственная поверхность, составленная из прямы линей (см. статью на с. 7).
2 Какие ассоциации возникают у вас при взгляде на картину итальянского художника Джорджо de Kiriko «Гектор и Андромаха»? У нас она ассоциуется со статьей «Разбийния многоугольников и… неевклидова геометрия» (с. 31).
3 Шахматная страница.
4 Загадочные знаки на рисунке — запирофрованное поздравление с Новым годом.

© Издательство «Нука».
Главная редакция физико-mатематической литературы, «Квант», 1989

2

ЗАРЯЖЕННАЯ
ПОВЕРХНОСТЬ ЖИДКОСТИ

Доктор физико-математических наук
В. В. ШИКИН

Кому из нас не приходилось наблюдать рябь на поверхности озера или «волны» в стакане… Возбудения эти, случайно возникнуть (от дуновения ветра, от слабого толчка), постепенно затухают — свободная поверхность жидкости возвращается в равновесное состояние. Иными словами, равновесное состояние свободной поверхности оказывается устойчивым. Однако так бывают не всегда. В ряде интересных случаев амплитуда случайно возникших малых колебаний самопроизвольно нарастает со временем. Подобное состояние диамической системы (свободная поверхность жидкости — частный случай системы) называется неустойчивым. Изучение деталей развития неустойчивости очень интересно с точки зрения понимания физики этого фундаментального явления. При этом оказывается, что процессы, происходящие в различных системах, во многом аналогичны. В этой статье мы рассмотрим наиболее известные виды неустойчивости свободной поверхности жидкости.

I. Простейшую возможность проследить за развитием неустойчивости свободной поверхности жидкости жидкости дают наблюдания за стреуей воды, вытекающий из водопроводного крана или, что лучше, из тонкой пипетки. Неустойчивость здесь проявляется в том, что пероначально гладкая цилиндрическая поверхность струи на некотором расстоянии от края пипетки становится «гофрированной», а еще ниже — распадается на отдельные капли. Пример такого поведения струи — на рисунке 1.

Суть этого явления была понята еще в конце прошло века благодаря работам извлечного английского физика лорда Рэлея. Распад струпи исходит тогда, когда энергия поверхности натяжения жидкого цилиндра $W_\pi$ оказывается больше, чем энергия $W_\kappa$ капель, которые могут из него образоваться:

$$W_\pi > W_\kappa.$$ (*)

В самом процессе «деления» струи на капли решающего роль играют силы поверхности натяжения. Кроме этих сил в задаче о вытекании струи из отверстия участуют силы тяжесте. Однако они в данном случае направлены вдоль поверхности струи и потому не принимают активного участия в развитии неустойчивости (ситуация меняется, если граница нормальная направления силы тяжесте; об этом случае мы поговорим позже).

Посмотрим, при каких условиях соответствуют неустойчивие (*).

Итак, пустыли невозмщенного цилиндра равна $l$, а его радиус — $r_\pi$. В этом случае поверхности энергия цилиндра —

$$W_\pi = 2\pi r_\pi l\sigma,$$

где $\sigma$ — коэффициент поверхности натяжения. Если цилиндр распадается на $n$ примерно одинаковых капель с радиусом $r_\kappa$, то поверхности энергия всего наората этих капель равна

$$W_\kappa = 4\pi r_\kappa^2 n\sigma.$$

Суммарный объем капель равен объеме цилиндра (полный объем жидкости сохранется). Из этого условия мы можем найти связь капли с радиусом цилиндра:

$$\pi r_\pi^2 l = \frac{4}{3} \pi r_\pi^3 n,$$

таким образом, неравенство (*) выполняется, когда

$$r_\pi l > 2n \left(\frac{3}{4} r_\pi^2 \frac{l}{n}\right)^{2/3},$$

3

t. е. цилиндр становится неустойчным, если его длина в несколько раз больше радиуса $r_\pi$:

$$\frac{l}{n} > \frac{9}{2} r_\pi.$$

При $n=1$ это условие выполняется для $l > 4,5$ $r_\pi$.

Более точное рассмотрение, принимающее логическое Рэлею, показывает, что события в данной задаче развиваются следующим образом. На поверхности гладкого жидкого цилиндра, падающего вниз из отверстия пипетки, возникают по разным случайным причины слабые колебания. Длины волн $\lambda$, соответствующие этим колебаниям, могут быть различными. Если $\lambda$ меньше некоторого критического значения $\lambda^*$ ($\lambda < \lambda^*$), колебания оказываются затухающими — спонтанно возникнуть, они быстро гаснуть. Однако «длинноволновые» колебания — с $\lambda > \lambda^*$ — с лучейно возникнуть, начинают наращивать свою амплитуду. Критическая длина волны, разделяющая всю совокупность возможных колебаний на два качественного разных класса — устойчивых и неустойчивых, оказывается равной $\lambda^* = 2\pi r_\pi$.

Это несколько больше значения $\lambda^* = 4,5r_\pi$, полученного с помощью наших элементарных расчудений, нотракает те же физические принципы возникновения неустойчивости. В тот момент, когда амплитуда нарастающих колебаний становится сравнимой с радиусом жидкого цилиндра, начинается распад цилиндра на отдельные капли. Время развития неустойчивости нетрудно оценить, зная скорость вытекания жидкости из пипетки и измеряя длину невозмщенной части жидкого столба.

II. Распад жидкой струи можно значительноускорить, вводя в задачу дополнительные силы электрического проискождения.

Если в жидкости имеются одноменное заряженные частицы, они в результате кулоновского отталкивания будут скапливаться на «вершинах» гофа, покидая его «долины» (рис. 2). Подобное неоднородное распределение поверхностиного заряда дополнительно детабилирует обстановку,ускоряя процесс развития неустойчивости.

Введение зарядов в струю осуществляется по схеме, изображенной на рисунке 3. Источник выскокого напри挛ения $U$ включает между объемом жидкости, заполняющей резервуар, и цилиндрической проводящей поверхности, охватывающей падающий струю. В результате весь столбец жидкости вплоть до границ его распада на капли оказывается подверженным воздействию радиального симметричного электрического поля, стремящемся разорвать струю. К чему

Рис. 1. Струя воды, вытекающая из пипетки (диаметр 1,1 мм).
Рис. 2. Кулоновские силы отталкивания стимулируют неустойчивость струи.
Рис. 3. Схема эксперимента по стимулирунию неустойчивости струи электрического поля.

это приводит, видно из рисунка 4: это фотографию той же струп, что и на рисунке 1, но заряженной.

Полная теория электрических эффектов в задаче о распаде струпов весма сложна, и мы не будем ее обсуждать. Что же касается приложений этого явления, то они весма обширны. Электрическая стимуляция распада жидкой струпи используется в технике для улучшения качества азрозолей, более интенсивного разбрызгивания горючего в формуках мощных энергетических установок, в технологически получения металлических порошков, использемых современной порошковой металлургей, и т. д.

III. Задача о неустойчивости заряженной поверхности жидкости стала «знаменитой» в связи с исследованием источников тяжелых атомных ядер. Этаfundamentальная проблема в определениях предположениях свойства к задаче об источников заряженной капли. Аналогия между явлением спонтанного деления тяжелых ядер и распадом заряженной капли жидкости настоящего красива и произнача, что имеет смысл познакомиться хотя бы с историей этой проблемы.

В 1939 году немецкие физики О. Ган и Ф. Штрассман открыли деление ядер урана в результате бомбардировки их нейтранами — ядро урана, поглотившее нейtron, распадается на две примерно равные части. (Позже оказалось, что этим свойством обладает не только уран. Год спустя советские физики Г. Н. Флеров и К. А. Петряк обнаружили самопроизвольное деление ядер урана.) Объяснение этого эффекта последовало практическими сразу же в работах классиков современной физики — советского теоретика Я. И. Френкеля, датчанина Нильса Бора и американца Дж. Уилера. В этих работах деление ядра описывалось как разрыв капли заряженной жидкости.

Дело в том, что с интересующей нас точностью свойства ядра определяются, в основном, двумя различными взаимодействиями между частицами, входящими в его состав, — ядерным взаимодействием, которое по природа своей короткойствующее, и кулоновским, которое относится к разряду дальнействуюших. Ядерные силы, посредством которых взаимодействуют друг с другом все нуклоны ядра, намного больше электрических сил отталкивания, действующих между протонами; благодаря этому нуклоны и удерживаются в ядре, которое можно представить как каплю заряженной жидкости (с огромной плотностью). Поверхность натяжение такой капли-ядра определяется силами ядерного взаимодействия. Как и у обыкновеной капли, поверхности капли-ядра может колбаться. Будут ли случайно возникшие колбации

5

затухать, или их амплитуда начинает увеличиваться — зависит от соответствия поверхности поверхности энергии капли-ядра и энергии кулоновского взаимодействия протонов. Различие в природе ядерных и кулоновских сил приводит к тому, что с ростом порядового номера ядра в таблице Менделеева (с ростом числа протонов) энергия электростанческого взаимодействия натяжения капли-ядра. В результате существует некоторый критический номер элемента периодического системы Менделеева, начиная с которого ядра оказываются неустойчивыми — под влиянием поверхности кулоновского процесса разрыв капли-ядра, т. е. деление ядра.

Теория Френкеля, Бора, Уилера и ее дальнейшие уточнения позволяют найти этот критический номер — он отвечает положению урана в таблице Менделеева.

Классическая формула, определяющая область устойчивости загруженной сферической капли, была получена в 1882 году лордом Рэлеем:

$$Q^2 < 16\pi r_k^3 \sigma$$

(Q — полный загрязнющий между силими поверхности поверхности энергии, удерживающими каплю радиусом $r_k$ в «сферическом» состоянии, и кулоновскими силими, стремящимся придать капле форму гангели (см. рис. 5).

IV. Остановимся на еще одном варианте задачи об устойчивости загруженной поверхности энергии жидкости — когда поверхности горизонтальная и присутствуют силилы тяжесте. В этом случае гравица принимает активное участие в формировании избитовной энергии при деформации свободной поверхности жидкости, и задача о поведении кулебания загруженной поверхности жидкости становится заметно богате, чем в вариантах без гравицы, которые мы do схх пор рассматривали.

Описание конкретных эффектов удобно найти с обслуживания сравнительно простой формулы, определяющей связь между частотой $\omega$ и длиной волны $\lambda$ колебаний загруженной поверхности жидкости.

$$\omega^2 = \frac{2\pi}{\lambda} \left( \varrho g + \frac{4\pi^2 \sigma}{\lambda^2} - \frac{8\pi^2 \alpha}{\lambda} \right).$$

Первый член (в скобках) отражает влияние сил gravитации (g — ускорение силы тяжесте), второй — сил поверхностиного натяжения, третий — сил электросектора проискождения (α — поверхностиная плотность загрязнения).

Формула (**) впервые получена Я. И. Френкелем (1935). (Кстати, становится ясно, что Френкель интерсовался проблемами устойчивости еще в 1935 году. Поэтому, когда в 1939 году возникла задача о распаде тяжеклы ядра, быстро сравотали нужные ассоциации.)

В случае $\alpha = 0$ (жидкость не загрязнена) $\omega^2 > 0$ для любых значений $\lambda$. В этих случаях существуют незначительные малые колебания свободной поверхности жидкости, известные еще lorsду Рэлею. Поверхность жидкости устойчива.

Посмотрим, что происходит с колебаниями загруженной поверхности жидкости, т. е. при $\alpha \neq 0$. Как видно из (**), с ростом $\alpha$ частота колебаний с заданной длиной волны $\lambda$ уменьшается и при неокоторая критической

6

При котором заряженная поверхность наименее устойчива. Величина $\alpha^*$ и ответающая ей длина волны $\lambda^*$ определяются соответствиями

$$\left(2\pi \alpha^*\right)^4 = \frac{\rho g}{\sigma}, \quad \frac{2\pi}{\lambda^*} = \left(\frac{\rho g}{\sigma}\right)^{1/2}.$$

Длина волны $\lambda^*$ получила название капиллярной. Напомним в связи с этим, что в случае жидкого цилиндра и сферической капли «опасные» флуктуации развились на длине волны, сравним с размерами цилиндра или сферы.

Эксперименты, выполненные в последнее время на заряженной поверхности жидкого гелия, полностью подтверждают предсказания, следующие из формулы (**). На рисунке 6 приведены результаты таких экспериментов.

Каково же дальнейшее поведение заряженной поверхности жидкости? Если в обсуждавшихся ранее случаях нарушение критических условий приводило к нестандартным явлениям — распаду жидкой структуры, разрыву заряженной капли, — то в «плоком» варианте задачи при осторожном переходе в закритическую область возникнет новое, «реконструированное» состояние заряженной поверхности жидкости — так называемый луночный кристалл. На поверхности жидкости установливается стоячая волна деформации, имеющая перiodическую структуру с характерным периодом, равным капиллярной длине волны $\lambda^*$. Вид свободной поверхности жидкости в этом случае представлен на рисунке 7.

Естественно, что при дальнейшем увеличении $\alpha$ Staционное реконструированное состояние заряженной поверхности жидкости также становится неустойчивым. Описание этой стадии развивается собственный практический отсутствует ввиду сложности управления, определенных dinamикку поверхности в области $\alpha \gg \alpha^*$. Что касается реального поведения жидкой поверхности, то общее представление об этом дает рисунок 8 — это fotografия свободной поверхности жидкой меди в сильном электрическом поле, нормальном к границе.

7

ПРЯМЫЕ НА КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ

Доктор физико-математических наук
Д. В. ФУКС

Бывают поверхности, с виду весы искривленные, которые тем не менее вмешают в себя цельные прямы. В этой статье мы поговорим о тех поверхностях, на которых эти прямы осьенно много.

Статья состоит из двух частей; первая перед вами, а второй будет на печатана в одном из ближайших номеров журнала. В первой части мы проделаем несколько любопытных геометрических экспериментов, второй адресована любительям более серьезной математики: в ней среди прочего мы попытаемся обозреть все поверхности, через каждую точку которых проходят две лежащие в них прямы.

Часть первая:
гиперболид мастера Самодельника
Поверхность из ботиночных шнуров.
Возьмите два одинаковых объекта и свяжите их дожиной шнуров одинаковой длины, как показано на рисунке 1. Если поднять получившееся сооружение за один обруч, держа этот обруч горизонтально, то шнуры составят поверхность — прямой круговой цилиндр. Если после этого, удерживая шнуры в натянутом состоянии, повернуть один обруч относительно другого (на угол не очень маленький, но и не очень большой — скажем, около четырёх оборота), то шнуры составят новую поверхность—см. рисунок 2. Мы сейчас подробно обсуждим устройство этой поверхности, но сразу заметим главное: она настолько искривлена, что просто трудно поверить, что она сделана из совершенного прямых шнуров.

Эта поверхность называется zunep-bolouodom, и вот почему. Если смотреть на нее сбоку (лучше сказаны, если проектировать ее на плоскость), то мы увидим фигуру, заключенную между двумя ветрами гиперболы (рис. 3). Кроме того, наша поверхность может быть получена путемвращения гиперболы вокруг одной из ее осей симметрии (той, что ее не пересекает) — см. рисунок 4. Пересекая нашу поверхность различными плоскостями, мы также можем получить в течение гиперболу (рис. 5, а, б), как, впрочем, и эллипс (рис. 5, с), парабoly (рис. 5, д), пару пересекающих прямы (рис. 5, e). Все же наша поверхность имеет очень много общERO и заслуживает название «гиперболид». Впрочем, ее передано называют однополостным гиперболoidом, чтобы отличить от двуполостного гипербо-

Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3.

8

лонда, получающегося при врашении гиперболы вокруг другой оси (рис. 6). Двуполостный гиперболид заменяет, главным образом, тем, что состоит (как и гипербола) из двух несоприкасающих частей; мы его в дальнейшем не рассматриваем, и слово « гиперболид» всегда будет ознакомиться у нас однополостный гиперболид.

Сказанное в предыдущем абзаце мы оставим без доказательства, поскольку для нас все это не особенно важно. Кто пожелает воспользоваться гиперболидом, может пойти по пути составления уравнения; уравнение нашего гиперболода в подходящей системе координат имеет вид $x^2+y^2=r^2+a^2z^2$, где $r$ и $a$ зависит от размеров объекта, длин шурков и угла поворота. Для тех, кто не хочет возить с доказательствами, я скажу вещею очередную, в доказательстве, в существии, не нуждающийся: наш гиперболид есть также поверхности врашения прямой относительной другой, скрещивающейся с ней прямой (рис. 7).

Два семейства. Мы уже знаем, что наш гиперболид состоит из прямых. Кстати, в математике прямая, целком содержащая в неплоской по-верхности, называется ее прямолинейной образуошей (или просто образуошей). Поверхность, через каждую точку которого проходит прямолинейная образуошая, называется линейчатой. В частности, наш гиперболид является линейчатой поверхности, но на самом деле верно больше: он является двояколиччатой поверхности, т. е. через каждую точку проходят две различные прямолинейные образуошие.

Понять это нетрудно. Вернемся к нашему опыту с обручами и представим себе, что мы повернули тот же обруч на тот же угол в противоположную сторону. Очевидно, мы получим ту же самую поверхности, но по-другому замошенную образуошии: новые образуошие являются

10

Тогда существует единственная прямая, проходящая через A и не скрещивающая ни с одной из прямых $l_1$, $l_2$.

Доказательство (рис. 11). Проведем плоскость $P_1$ через точку A и прямую $l_1$ и плоскость $P_2$ через точку A и прямую $l_2$. Эти плоскости не параллельны (они имеют общую точку A) и не совпадают (примыles $l_1$ и $l_2$ не лежат в одной плоскости). Линия $l$ пересечения этих плоскостей — искомая прямая: она проходит через A и лежит в одной плоскости с каждой из прямых $l_1$, $l_2$. Единственное такой прямой следует из того же рассудения: она должна лежать в каждой из плоскостей $P_1$ и $P_2$.

Наблюдение 2. Пусть $l_1$, $l_2$, $l_3$ — попарно скрещивающей прямые. Тогда существует единственная прямая, параллельная $l_3$ и не скрещивающая ни с одной из прямых $l_1$, $l_2$.

Доказательство (рис. 12). Проведем через $l_3$ плоскость $P_1$, параллельную $l_1$, и плоскость $P_2$, параллельную $l_2$. Линия пересечения плоскостей $P_1$ и $P_2$ — искомая прямая.

Доказательство теоремы 3. Что образующая второго семейства не скрещивается ни с одной образующей первого семейства, мы уже знаем (теорема 2). Теорема будет доказана, если мы убедимся, что каждой из прямых, не скрещивающихся с $l_1$, $l_2$ и $l_3$ — образующая второго семейства. Нам известно, что через каждой точку образующей $l_3$ проходитровно одна образующая второго семейства и еще одна образующая этого семейства параллельна $l_3$. Но в то же время через каждой точку образующей $l_3$ проходитровно одна прямая, не скрещивающая ни с $l_1$, ни с $l_2$ (наблюдение 1), и еще есть одна прямая, параллельная $l_3$ и не скрещивающая ни с $l_1$, ни с $l_2$ (наблюдение 2). Следовательно, прямые, о которых идет речь в наблюдаемых 1 и 2, являются образующими второго семейства.

Итак, наш гиперболид устроен очень просто: достаточно взять любые три образующие одного семейства и проведсти все прямые, которые не скрещиваются ни с одной из выбранных прямых. В совокупности они и составят наш гиперболид. Возникает интересная идея: взять три произвольные попарно скрещивающие прямые и рассмотреть поверхность, заметаему все прямыми, которые ни с одной из взятых прямых не скрещиваются. Процчем, нет, мы забежали вперед: это же — главная идея второй части статьи! А мы должны вернуться сейчас к нашему гиперболюду.

Teатр теней. Представим себе, что мы находимся в темной комнате и у нас в руках модель гиперболюда, сделанная из тонких спиц. Эти спиц — образующие обихих семейств, расположенные с одинаковой частотой (рис. 8). Мы освещаем модель при помощи точного источника света или параллельным лучом лучей и рассматриваем тени, отбрасываемые на шипами спицами на плоский экран.

Прежде чем вникать в устройство получающей картины, попробуем представить себе чисто умозрительное, какой она могла бы быть*).

*) См. также «Калейдоскоп «Кванта» в предыдущем номере журнала.

Пусть у нас есть точный источник света и экран. Тогда прямая $l$, проходящая через источник света и не параллельная экрану, изображается на нем в виде точки (обозначим ее через $A$) — см. рисунок 13. Прямы, пересекающие $l$ (и не проходящие через источник света), проектируют в прямые, проходящие через $A$. Точнее говоря, тень прямой, не параллельной экрану — это не прямая, а полупрямая, концом которого служит точка пересечения прямой с экраном. Если точка пересечения расматривается прямой с $l$ лежит между источником света и экраном, то точка $A$ лежит на этой полупрямой, в противном случае — на ее продолжении (рис. 13). Если же прямая $l$, проходящая через источник света, параллельна экрану, то сама эта прямая никакой тени на экран не отбрасывает, а прямые, которые пересекают прямую $l$ (и не параллельны экрану) отбрасывают тени в виде полупрямы, параллельных $l$ (рис. 14).

Вернемся к нашей модели гиперболюда. Мы ограничимся расмотренем двух теней. Во-первых, расположим гиперболюд так, что его ось будет параллельна экрану, а источник света помещим в наиболее удаленной от экрана точке горловой окружности (самой маленькой окружности, опоясьющей гиперболюд) — см. рис. 15. Во-вторых, мы осветим гиперболюд пучком луче, параллельных одной из образующих, а экран расположим параллельно краевым окружностью гиперболюда («обручам») — см. рисунок 16. Тени показаны на рисунках 17 и 18.

В первом случае тени образующих каждого семейства будут параллельны между собой; они будут параллельны образующим гиперболюда, проходящим через источник света. Во втором случае две образующие (выбранная нами образующая, который параллелен пучок света, и параллельная ей образующая другого семейства) дадут точные тени, а тенями остальных образующих тени будут служить отрезки прямых, проходящих через точки.

Все это прямо вытекает из скзаанного выше о тенях прямых и взаимном расположении образующих, детали мы оставляем читателю.

Уражнение. Как будет выгладеть теня нашей модели, если точный источник света расположен на поверхности гиперболюда, но экран не обязательно параллелен оси, а образующие, проходящие через источник света, не обязательно параллельны экрану?

13

Два удивительных факта

Уточним вопрос, поставленный в заглавии статьи: сколько действительных корней может быть у многочлена $n$-й степени с действительными коэффициентами? Большинство читателей сразу ответят: корней у многочлена не больше, чем его степень, т. е. не больше $n$ (идея доказательства: если $a$ — корень многочлена $f(x)$, то $f(x)$ делится на $(x-a)$…). Большое искусственное читатель добавляет, что если все такие считать и комплисные корни, да еще с их кратностью, то корней будетровно $n$ (это утверждение настоящего важного, что называется «основной теоремой алгебры»). Наконец, некоторых вспомнить, что обще формулы в радиакалах для корней многочлена существуют только при $n \leq 4$; а при больших $n$ корни выражаются лишь (как говорили в назад) в «высших трансцендентных функциях».

Но не об этом讶дет речь в статье. Я расскажу о двух менее известных и довольно неожиданных фактах:

1. число корней многочлена зависит не столько от его степени, сколько от числа и знаков его ненулевых коэффициентов;
2. хотя определить значения корней многочлена, вообще говоря, невозможно, существует простой способ узнать, сколько корней имеет любой многочлен на любом отрезке числовой прямой.

Под «корнями» в этой статье подразумеваются только действительные корни (так что многочлен $x^2+1$ вовсе не имеет корней, а многочлен $x^3+x^2+x-3$ имеет единственный корень $x=1$).

Teорема Ролля

В «Кванте» не раз упоминалась теорема Большано о промежуточных значениях:

если неперивная функция имеет на концах отрезка значения протоположных знаков, то в некоторых точке отрезка она обращается в ноль

(cm. рис. 1). Менше повезло на страницах «Кванта» следующего, столже очевидной, теореме Ролля:

если на концах отрезка дифференцируемая функция имеет равные значения, то в некоторых точке отрезка ее производная равна нулю

(cm. рис. 2). Доказательство очень простое: если бы на всем отрезке производная была положительной, то функция возрастала бы (а если отрицательной, то убывала бы), и значения на концах отрезка не были бы равны*).

Teорема Ролля, конечно, не утверждает, что производная равна нулю только в одной точке отрезка — например, на рисунке 2 таких точек две. Из теоремы Ролля следует, что если многочлен $f(x)$ имеет $k$ корней, то у его производной $f'(x)$ корней не меньше чем $k-1$ (хотя может быть и больше). В частности, если многочлен $n$-й степени имеет максимальное число корней $n$, то и его производная имеет максимальное число корней.

Упражнения

1. Пусть $f(x)=x(x-1)(x-2)...(x-n)$. Сколько корней у многочлена $f'(x)$?

*) В этом рассудении используется неперивность производной, но теорема Ролля верна и без этого предположения.

14

2. Докажите, что многочлен $x^5 - 2x^4 + 2x^3 + ax^2 + bx + c$ при любых $a, b, c$ не может иметь больше трех корней.

3*. Докажите, что между корнями многочлена $f(x)$ найдется корень многочлена $f'(x) + af(x)$ (а — произвольное число).

Геометрический смысл теоремы Ролля

В теореме Ролля идет речь о функция и ее произвольной. Изображим эти «действующие лица» на одной картине. Для этого нарисуем на плоскости $xOy$ кривую, заданную параметрическим: $x = f(t), y = f'(t), t$ пробегает числовую прямую (рис. 3). Точки пересечения кривой с осью $Oy$ отвечают корням уравнения $f(t) = 0$, а с осью $Ox$ — корням уравнения $f'(t) = 0$.

Предположим, что $f$ и $f'$ не имеют общих корней. Если $f$ — многочлен, то это означает отсутствие $y$ кратных корней (идея доказательства: если $a$ — кратный корень многочлена $f(x)$, то $f$ делится на $(x-a)^2$; тогда $f'$ делится на $(x-a)$…). Поскольку $f(t)$ и $f'(t)$ не обращаются в нуль одновременно, кривая на рисунке 3 не проходит через начало координат $O$. Поэтому на кривой из точки $O$.

Если в тот момент, когда $f(t) = 0$, произвольная $f'(t) > 0$ (рис. 4), то кривая пересекает луч $Oy$ слева направо (см. рис. 3). Если же при $f(t) = 0$ произвольная $f'(t) < 0$, то кривая пересекает отрицательную полуось справа налево. В обих случаях движение произходит по часовой стрелке относительно точки $O$. Поэтому между двумя пересечениями оси $Oy$ кривая обязательно пересечет ось $Ox$. Т. е. между двумя корнями уравнения $f(t) = 0$ найдется корень уравнения $f'(t) = 0$.

Упражнение 4. может ли кривая касаться оси $Oy$ (рис. 5)?

Малочки

«Малочки — это не математический термин. Так называются многочлены довольно высокой степени, у которых сравнительно мало неулевых коэффициентов. Например,

15

Оценка числа корней, которую мы получили, является точной: для любого $k$ найдется многочлен, у которогоровно $k$ ненулевых коэффициентов и $2k-1$ корней.

Упражнения
5. Построите такой многочлен.
6*. Сколько корней может иметь уравнение $a_1e^{\lambda_1x} + a_2e^{\lambda_2x} + \dots + a_ne^{\lambda_nx} = 0$ ($a_1, \dots, a_n, \lambda_1, \dots, \lambda_n$ — постоянные)?

Правило Декарта

Утверждение предыдущего пункта о том, что $k$-член имеет не более $2k-1$ корней, становится слишком группы, если интересовать только положительные корнями (например, любой многочлен с неотрицательными коэффициентами вовсе не имеет положительных корней!). Более точным является следующее правило Декарта:

число положительных корней многочлена не больше, чем число переменных знаков в последовательности его (ненулевых) коэффициентов.

В частности, многочлен, у которого $k$ ненулевых коэффициентов, не может иметь больше $k-1$ положительных корней — ведь в последовательности из его $k$ ненулевых коэффициентов, конечно, не больше чем $k-1$ перемен знаков.

Упражнения
7. Докажите, что многочлен $f(x)=x^3-2x+a$ при любом $a$ имеет на интервале $(1; \infty)$ не больше одного корня.

8. Выведите с помощью правил Декарта оценку из предыдущего пункта стати для числа корней многочлена.

Для доказательства правила Декарта посмотрим, что произходит с коэффициентами многочлена при появлении нового положительного корня. Пусть $f(x)=(x-b)g(x)$, где $g(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_{n-1}x+a_n$ и $b>0$. Последовательность коэффициентов $f(x)$ выглядит так:

$$a_0, a_1-ba_0, a_2-ba_1, \dots, a_n-ba_{n-1}, -ba_n.$$

Изображим коэффициенты

$$a_0, a_1, \dots, a_n$$

многочлена $g(x)$ схематически (рис. 6). Каждый овал на рисунке 6 обозначает группу подряд идущих коэффициентов одного знака. Посмотрим, что получается при перехождение (2) к последовательности (1) (рис. 7). Мы видим, что на грани две выходов, т. е. в каждом месте перемены знаков последовательности $a_0, a_1, \dots, a_n$, возникает тот же знак, что в правом овале. Кроме того, в начале последовательности (1) стоит то же число, что в последовательности (2), а в конце последовательности (1) стоит число, знак которого противоположен знаку последнего числа в последовательности (2) — см. рисунок 8.

Итак, что бы ни стояло в новой последовательности на месте точек на

16

рисунке 8, число перемен знаков в ней больше, чем в старой. Это и значит, что каждый новый положительный корень многочлена увеличивает число перемен знаков в последовательности его коэффициентов.

Для завершения доказательства мы запишем произвольный многочлен $f(x)$ в виде $(x-b_1)(x-b_2) \dots (x-b_k) \times g(x)$, где $b_1 > 0, \dots, b_k > 0$, а $g(x)$ уже не имеет положительных корней. Число перемен знаков коэффициентов $f(x)$ не меньше числа перемен знаков коэффициентов $g(x)$, увеличенного на $k$, т. е. не меньше $k$.

Упражнения

9*. Докажите, что число положительных корней многочлена отличается от числа перемен знаков его коэффициентов на четное число (кратные корни считаются с их кратностью).

10*. Докажите правило Декарта для функции $f(x)=a_1e^{\lambda_1}x + \dots + a_ne^{\lambda_n}x$: если $\lambda_1 < \lambda_2 < \dots < \lambda_n$, то число корней уравнения $f(x)=0$ не превыходит числа перемен знаков в последовательности $a_1, a_2, \dots, a_n$.

Теорема Штурма

Пришло время выполнить данное вначале статьи обещание и расссказать о том, как определить число корней любого многочлена $f(x)$. Для того чтобы перечислять корни многочлена, мы конструкируем своеобразный счетчик. При движении переменной $x$ вдоль числовой оси этот счетчик будет сравнять каждый раз, когда $x$ проходит через корень многочлена. К сожалению, я не умело обьяснять, как можно допусться до конструкции этого счетчика; я просто показуку, как он устроен, и мы убедимся, что он действительно перечисляется корни многочлена. Счетчик появится на сцене как «деus ex machina»*.

Итак, возьмем многочлен $f(x)$, не имеющий общих корней со своей произвольной (как уже упоминалось, это значит, что $f(x)$ не имеет кратных

*) «Вог из машины» (лат.) — это выражение употребляется, когда в затруднительной ситуации появляется неожиданное обстоятельство, разрешенное все затруднения. В античном театре, когда у героев возникали непредодолимые трудности, в действие временались боги, которые спускались на сцену сверху с помощью специального устройства, т. е. «машины».

Построим последовательность многочленов убивающих степени $p_0(x), p_1(x), p_2(x), \dots, p_n(x)$. Эта последовательность будет обладать третья свойствами:

1. $p_0(x)=f(x), p_1(x)=f'(x)$;
2. если $p_k(x)=0$ при некотором $x$, то числа $p_{k-1}(x)$ и $p_{k+1}(x)$ отличаются от нуля и имеют разные знаки;
3. последний многочлен $p_n(x)$ вовсе не имеет корней.

Такая последовательность многочленов называется рядом Штурма*. Как строитьряд Штурма, мы видим чуть ниже. А пока предположим, что такойряд у нас уже есть.

Мы хотим определить число корней многочлена $f(x)$ на интервале $(a; b)$ (не исключается, что $a=\infty$ или $b=\infty$). Начнем двигаться из точки $a$ в точку $b$ и будем (в уже правила Декарта!) следить за изменениями знаков в последовательности чисел

$p_0(x), p_1(x), p_2(x), \dots, p_n(x)$.

Знаки могут меняться, лишь если $x$ проходит через корень одного из многочленов $p_i(x)$. Посмотрим, как влияет такое событие на число переменных в последовательности (3). Если $x$ — корень исходного многочлена $f(x)=p_0(x)$, то, как видно из рисунков 3 и 4, произходит одно из двух: в начале последовательности знаки $(- +)$ меняются на $(+ +)$ или $(+ -)$ — на $(- -)$. В обихах случае число перемен знаков уменьшается на единицу. Если же $x$ проходит через корень одного из многочленов $p_k(x)$, где $0<k<n$, то в соответствии со свойством 2 ряда Штурма, знаки чисел $p_{k-1}(x)$ и $p_{k+1}(x)$ различаются. Поэтому изменение знака $p_k(x)$ не меняет числа перемен знаков в последовательности (3). Это выглядает так:

$(- + +) \leftrightarrow (- - +)$ или $(+ + -) \leftrightarrow (+ - -)$.

Итак, число перемен знаков в ряду Штурма уменьшается на единицу тогда и только тогда, когда $x$ проходит

17

Дит через корень исходного многочлена. Ряд Штурма — это и есть нужный нам счетчик! Чтобы найти число корней $f(x)$ на интервале $(a; b)$, мы выписываем две последовательности:

$$p_0(a), p_1(a), p_2(a), \dots, p_n(a);$$
$$p_0(b), p_1(b), p_2(b), \dots, p_n(b);$$

вычисляем число перемен знаков в каждой из них и находим разность первого и второго чисел. Это и есть искомое число корней. (Конечно, если $a$ или $b$ равно $\pm\infty$, то под $p(a)$ или $p(b)$ тоже подразумевается $\pm\infty$. Если $p(x)$ имеет четную степень, то $p(\pm\infty)=+\infty$, а если степень $p(x)$ нечетна, то $p(\pm\infty)=\pm\infty$.)

Нам остается построить ряд Штурма, исходя из многочлена $f(x)$. Для этого нужно уметить делить многочлены с остатком. Если вы умеете делать это — очень хорошо, а если нет, скажу, что это ничего не труднее, чем «уголком» делить числа. Как это делается, показывает пример на рисунке 9. Обратите внимание на то, что степень остатка всегда меньше степени делителя.

Ряд Штурма $p_0(x), p_1(x), p_2(x), \dots$ строится последовательно. Первые два члена $-f(x)$ и $f'(x)$. Чтобы построить его очередной член $p_{k+1}(x)$, разделим два предыдущего друг на друга:

$$p_{k+1}(x)=q(x)p_k(x)-p_{k+1}(x).$$

Следующий член $p_{k+1}(x)$ — это остаток от деления, взятый с противоположным знаком (а $q(x)$ — частное, которое нам не понадбится). Поскольку степени многочленов $p_k(x)$ все время уменьшаются, деление не может продолжаться бесконечно долго, и на некотором шаге остаток $p_{n+1}(x)$ становится равным нулю.

Способ, который строится последовательность $p_0, p_1, p_2, \dots$, очень похож на находжение наибольшего, общего делителя двух чисел посредством алгоритма Евклида. И результат у него тот же: последний из многочленов $p_n(x)$ — наиболее общий делитель многочленов $f(x)$ и $f'(x)$. Доказывается это точно так же, как и в случае объчного алгоритма Евклида (попробуйте proveсти рассудение сами!). Отсюда, кстати, следует, что $p_n(x)$ вовсе не имеет корней — ведь каждый корень $p_n(x)$ был бы общим корнем многочленов $f(x)$ и $f'(x)$, а таких корней по предположению нет.

Осталось убедиться в том, что если $p_k(x)=0$, то числа $p_{k-1}(x)$ и $p_{k+1}(x)$ отличны от нуля и имеют противоположные знаки. Если $p_{k+1}(x)=0$, то из уравнения (4) следует, что и $p_{k-1}(x)=0$. Применяя это рассудение к тому же уравнению, но с заменой $k$ на $k-1$, мы увидим, что $p_{k-2}(x)=0$, $p_{k-3}(x)=0$ и т. д. Значит, $p_1(x)=p_0(x)$, т. е. $f'(x)=f(x)=0$, а этого быть не должно.

Следовательно, $p_{k-1}(x)$ и $p_{k+1}(x)$ отличны от нуля. Но тогда из уравнения (4) следует, что они имеют разные знаки — для этого мы и поставили в этом уравнение знак минус перед остатком!

Итак, все три свойства ряда Штурма выполнены, и счетчик корней построен. Его конструкция как бы специально предназначается для вычисления с помощью компьютера, для которого деление многочленов с остатком не представляется проблемами.

Если вы хотите поработать с рядом Штурма, возможно с помощью многочлен $f(x)=x^3-3x+1$.

Уражение 11. Построите ряд Штурма и найти число корней многочлена $f(x)=x^3-3x+1$ на отрезках $[-3; 0]$ и $[0; 3]$.

А если вы хотите узнать больше о теореме Штурма и ее приложениях (в том числе, в электроннике!), то рекомендуруем вам книгу М. М. Постникова «Устойчивые многочлены» (М.: Hayka, 1981).

19

ПРИЛИВНЫЕ СИЛЫ

Канддат физико-mатематических наук
В. Е. ВЕЛОНУЧКИН

От малых причины вывают веса важные последствия.

К. Прутков

Кто не знает, что в приливах виновата Луна? И Кеплер говорил: «ТяжестЬ есть взаимное стремление всех тел». И Ньюотон свой четвертый закон называют «семирно тяготения». Объчно мы воспринаем силу тяжестии как силу прияжения к Земле. Не вдаваясь в подробный разбор различий между этими двумя силиами, обратим внимание лишь на одно обстоятельство: и нас с вами, уважаемый читатель, и «свободно падающее тело», и воды мирового океана приятивает не только Земля, но и Луна. Правда, Луна в 81 раз легче Земли (точнее, масса у нее в 81 раз меньше), да и находится она от нас подальше. Чтобы оценить это «подальше», надо сравнить расстояние до Луны с расстоянием до центра Земли (с радиусом Земли) — разница в 60 раз. Так что сила прияжения Луны чуть не в 300 тысяч раз меньше «силы тяжестии».

Может быть, эта цифра дает нам ключ к оценке высоты прилива? Только вот с чем бы сравнить эту высоту? Напрашиваются два естественных масштаба.

Первый масштаб — глубина океана. Она в среднем «всего» 4 километра. Если поделить на 300 тысяч, получим чуть большие сантиметра — маловаго.

Второй масштаб — радиус Земли. Но тут получается около 20 метров — опять не то, теперь слишком много.

Так что же, совсем не помогут нам сообщения размерности, которые мы пытались сейчас воспользоваться? Да нет, помогут, если мы чуть аккуратнее размерся, что же такое приливные, или, как их еще называют, приливообразующие силы.

Между прочитим, 20 метров — не такая уж бессмысленная цифра. Именно таким был бы «прилив», если бы нам удалось какими-то посторонними силиами заключить на месте Землю и Луну. Правда, картина была бы совсем не такой, как в действительности, а такой, как на рисунке 1: со стороны Луны — прилив, на противоположной стороне — отлив. А ведь мы знаем, что и там и там — прилив, и действительная картина, наверное, такая, как на рисунке 2.

Дело в том, что Луна приглядует не только океан, падающее на Землю или находящемся на ней тела, но и саму нашу планету. Земля падает на Луну сускорением как раз в 300 тысяч раз меньше, чем g —ускорение «свободного» падения тел на Землю. И оканда падет на Луну с таким жеускорением, но только в среднем: те его части, которые полыже к Луне, имеют чуть большие «ускорение свободного падения на Луну»; те, которые подальше, падают с меньшимускорением. Отличие этихускорений от среднего есть приливное (приливообразующие)ускорение.

Рис. 1.

Рис. 2.

20

Попробуем это ускорение расшиита. Положим, Земля находится на расстоянии $R$ от Луны, масса Луны — $m$. Тогда ускорение padения Земли на Луну $a_0 = Gm/R^2$. Какая-то часть Земли (океана) близке к Луне — примерно на радиус Земли, так что расстояние до Луны для этой части $R - r$. Ее ускорение $a_1 = Gm/(R - r)^2$. Разность ускорений (приливное ускорение) —

$$a_n = a_1 - a_0 = Gm(r/2R) / R^2 (R - r)^2 \approx \frac{2Gmr}{R^3}.$$

Пусть $M$ — масса Земли. Преобразуем немного полученную формулу и прием к выражению

$$a_n = 2g \left( \frac{m}{M} \right) \left( \frac{r}{R} \right)^3.$$

В нашей модели это максимальное значение привобразующего ускорения.

Такое ускорение будет испытывать вода в точке $A$ на рисунке 2; нетрудно показать, что и в точке $C$ ускорение будет таким же. Там оно направлено от Луны, т. е. тоже создает прилив. Точки $B$ и $D$ «падают» со средним ускорением, с ускорением $a_0$.

Максимальное приливное ускорение, оказывается, меньше $g$ не в 300 тысяч, а в 9 миллионов раз! И вот если радиус Земли поделить на это число, то мы получим как раз то, что надо — чуть меньше трех четвертей метра. Примерно такова высота прилива в открытом окане.

Заметим, что мы все же рассматриваем довольно грубую модель. Если все делать аккуратно, то картина получается несколько иной. Приливное ускорение оказывается постоянным по величины, равным $\frac{3}{2} g \left( \frac{m}{M} \right) \left( \frac{r}{R} \right)^3,$

а направление его меняется так, как показано на рисунке 3.

Но это еще полебды. Хуже другое. Приходится признаться, что рисунок 2 не намного правдивее, чем рисунок 1. Действительная картина — на рисунке 4: все повернуть почти на 90 градусов!

Вoceше говоря, понятно, что прилив должен отставать от Луны. Действительно, когда некоторая точка Земли находится в положении $A$ (рис. 2), приливные силы максимальны, ускорение воды вверх максимально. Но Земля вращается, и эта точка движется к положению $B$, где ускорение падает, но еще направлено вверх. Так что с фазой приливов тоже надо бы разобраться по подробнее.

Верную картину дает диапазонская модель приливов, суть которых такое. Вода океана под действием приливных сил совершает вынужденные колбания. Фаза таких колбаний зависит от соответствия между собственной частотой колбаний системы и частотой изменения вынужденной силы.

Неокторое представление о влиянии частоты силы на соответствие фаз можно получить на обычных детских качелях. Раскчаем качели и посмотрим, как они ведут себя, когда мы их не трогаем, т. е. попавлоаем за собственными колбаниями качелей. Перiod этих колбаний, как правило, одна-две секунды. Теперь будем очень медленно отклонять качели от положения равновесия. К примеру, 5 секунд ведем их в одну сторону, те же 5 секунд возврашаем их к положению равновесия, 5 секунд отводим в другую сторону и так далее. Ясно (и мы это почувствуем), что усили наши тем больше, чем больше

21

отклонение, и направлены они в ту сторону, куда мы отклоняем качели. В конце концов, если все это происходит очень медленно, квазистатические, мы фактически в каждый момент просто удерживаем качели в том положении, в котором они в данной момент находится. Полная аналогия со статистической модель приливов — отклонение в фазе с внешней силой.

А вот если мы попробуем «трасти» качели так, чтобы направление силы менялось пять раз в секунду, все будет по-другому. Качели только собирались двигаться влево, куда мы их потянули в предыдущей момент, а мы их уже только вправо. Сразу сдвинуть их вправо не удается, надо сначала приормозить их «левый уклон», потом они будут набрать «правую» скорость, а мы их уже снова тянем влево. Тут проследить за соответствием фаз с силой и отклонения труднее, но очень похоже, что теперь эти две величины находится в противофазе.

Рассмотрим другую модель. Ее, может быть, не так удобно трактивать на языке приливных сил, хотя внешне она гораэдо больше напоминает океан на Земле. Зато уже наверняка в этой модели наглядно видна смена фазовых соответствий при переходе через резонансную часть.

Нальем в произначную банку воды и пометим ее уровень. Подвесим банку (рис. 5) и будем медленно (частота внешней силы меньше собственной частоты колебаний мятника) отклонять ее от положения равновесия. Поверхность воды будет оставаться практическими горизонтальными. На стороне банки, близней к положению равновесия, — прилив, на противопо-
Рис. 5.

22

океану. Только Земля врашается слишком быстрого, и период внешней силы — приливобразующей силы Луны — всего 12 часов 25 минут. Ну, что это скорее полусуток, чем сутки, мы уже разобрались. А лишние 25 минут? Так ведь Луна образуется вокруг Земли, причем в том же направлении, в каком врашается сама Земля. Луна старается догнать точку А, когда та от нее убегает в положение B. Не очень-то это удается, но 50 минут лишку набегает. На эти 50 минут время прохождения Луны через определенный meridian больше суток.

Итак, частота приливобразующей силы больше частоты собственных колебаний океана, приливы в противофазе с силой: там, где Луна сильнее всего тянет воду вверх,— отлив, а там, где гонит к центру Земли,— прилив. Правда, злопамятный читатель, наверное, вспомнить, что было сказано о действительной картине приливов и отливов: «все повернуть почти на 90 градусов», т. е. почти в противофазе. Это объясняется тем, что точно в фазе или в противофазе с внешней силой колебания бывают только при полном отсутствии потерь энергии, отсутствии треня. А если трене почти отсутствует, то и колебания почти в фазе или почти в противофазе.

С фазой теперь все в порядке. Это неожиданное возникают осложнения с амплитудой. Вот если бы частота внешней силы была заметно меньше собственной, тогда амплитуда просто обязана была бы быть близкой к той, которая приuchaется из статического модели. А так нам приходится считать согласие расчета с реальной величи-ной в значительной степени счастливым совпадением. Хорошо еще, что не получилось резонанса, а то без учета треня амплитуда должна была бы возрастить до бесконечности…

Насоклько важны резонансные явления в организации сверхвысоких приливов, можно увидеть из экологической экспертизы проектов приливных электростанций.

На четырехкотилометровом фронте от восточной Мельвиллом столцы китобов Нантакета до не менее знаменитого Ярмута океанский прилив стандартной метровой высоты втекает в залив Мэн (рис. 6). Разогнашись в более узком заливе Фанди, набрав четырехметровую высоту, приливная волна вывается в тесные заливчики Шигнекто и Майнас бейсин. В этом последнем амплитуда прилива достигаетrekордной для всей Земли величины — 6 метров. Разность уровней в приливе и отливе — 12 метров. Где же и строить приливные электростанции, как не тут?

В одном из вариантов проекта предполагается отделить плотиной от Шигнекто бухту Шеподи — меньше 0,2% площади залива Мэн. Второй вариант — перегородить Майнас бейсин, отрезать часть большей полпроцента залива.

Электростанции отбирают энергию, приливная волна возле плотины уменьшается в первом случае на 20—25 сантиметров, во втором — на 30—35 сантиметров («В мире науки», 1988, № 1). А как это скажется в масштабах залива Фанди, всего залива Мэн? Разольем «недостатку» по просторам заливов и получим оценки: для залива Фанди — 0,2 миллиметра в первом варианте, около сантиметра во втором; а в заливе Мэн изменение надо искать с микросоком. Не так ли?

Ничего подобного. Можно даже сказать — все наоборот. Дело в том, что меняется резонансная часть колебаний водной массы залива Мэн. Вместо 13 часов 20 минут период колебаний становится равным 13 часов 10 минутам.

(Окончание см. на с. 34)

23

Задание
M1196—M1200, Ф1203—Ф1207

M1196. Дано несколько (не менее двух) ненулевых чисел. Разрешаетсястерть любые два числа a и b и записать вместе их числа a+b/2 и b-a/2. Доказите, что после нескольких таких операций нельзя получить исходный набор чисел.

M1197. В треугольнике ABC точка M лежит на стороне AB, точка N — на стороне BC, O — точка пересечения отрезков CM и AN. Известно, что AM+AN=CM+CN. Доказите, что AO+AB=CO+CB.

M1198*. Наозовем словом строчку из 10 цифр 0 и 1. Два слова будем считать синонимами, если одно можно получить из другого нескольких операций следующего вида: из слова вычеркивается несколько подряд и душих цифр, сумма которых четна, и на их место вписываются те же цифры, но в обратном порядке. Каково максимальное число слов, среди которых нет синонимов?

M1199*. Доказите, что если уравнение ax²+(c-b)x+(e-d)=0 имеет корень, большей 1, то уравнение ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0 имеет хотя бы один корень.

M1200*. Для каких k можно расположить на окружности a) 10; 6) 100; в) n дуг так, чтобы каждая из них пересекаласьровно с k другими?

С. А. Генкин

Ф1203. На шероховатой железнодорожной платформе стоит равномерно заполненный контейнер высотой H и шириной L, имеющий с одной стороны маленькие колеса (рис. 1). При разгоне поезда контейнер начинает сползать вправо по платформе, если ускорение разгона превышает a₀. С каким минимальным ускорением должен затормить поезд, чтобы контейнер начал сползать впевно? Треннем качения пренебречь.

Д. Ю. Григорьев

Ф1204. Небольшой пругий брусок массой m может двигаться без трения внутри прямогольной коробки такой же массы. Коробка находится на столе, покрытом тонким слоем масса (рис. 2). Сила трения коробки о стол зависят только от скорости u движения коробки по столе и равна F=-γu. В начальной момент времени коробка поконтся, а брусок находится у ее левой стены и имеет скорость v₀, направленную вправо. Сколько ударов о коробку совершит брусок, если длина коробки L много больше размеров бруска?

Д. Ю. Григорьев

24

Ф1205. При прочих равных условий в какой шубе больше потери телла на излучение — в белой или в черной?

О. Ю. Никшина

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

Ф1206. Две длиные и широкие полосы равномерно заряжены с плотностью зарядов +σ (верхняя) и —σ (низняя). Найти величины и направление направности электрического поля в точке M, которая находится на высоте h над краем полос на оси, лежащей в их плоскости симметрии (рис. 3). Расстояние между полосами d мало по сравнению с h.

А. И. Семенов

Ф1207. Растор электропита налиит в цилиндрический сосуд, помещенный в вертикальное магнитное поле. Между электродом, проходящим вдоль оси цилиндра, и вторым электродом, который является боковая поверхность сосуда, все время поддерживается разность потенциальов (рис. 4). Что вы можете сказать о поведении растора в описанной ситуации?

А. И. Вуздин

Решения задач
M1171—M1175, Ф1183—Ф1187

Заметим, что при k ≥ 2
$$\frac{1}{h_{k-1}} - \frac{1}{h_k} = \frac{1}{kh_{k-1}h_k} > \frac{1}{kh_k^2}.$$
Суммируя эти неравенства по k=2, 3, …, n, получим неравенство
$$\frac{1}{2h_2^2} + \frac{1}{3h_3^2} + \dots + \frac{1}{nh_n^2} < \frac{1}{h_1} - \frac{1}{h_n} < 1$$
($h_1 = 1$). Остается добавить к обеим частям 1/h₁² = 1.
Л. Д. Курляндчик

25

М1172. Какой наиболее удоб может стать между собой отрезки АО и OB, выhodищите из начала О прямогольной системы координат в пространстве, если точка А имеет координаты (x, y, z), а точка B — координаты (y, z, x)?

$$\sin \frac{\angle AOB}{2} = \frac{AB}{2OA} \leq \frac{AB}{2AP} = \sin 60^\circ$$

М1173*. Через одну точку внутри треугольника площади S проведены три прямые так, что каждую сторону треугольника пересекают две из них (рис. 1). Докажите, что для площадей $S_1, S_2, S_3$ трех образовательных при этом треугольников выполено неравенство

$$\frac{1}{S_1} + \frac{1}{S_2} + \frac{1}{S_3} \geq \frac{9}{S}$$

Мы докажем два неравенства, по-разному усиливающих неравенство задачи.

1. Покажем, что неравенство задачи справедливо для любых трех треугольников с общей вершиной O внутри данного треугольника ABC, основания которых лежат на его сторонах (рис. 2).

Ясно, что для заданной точки O наименьшее значение левой части неравенства будет достигается для треугольников OAB, OBC и OCA. Тогда $S = S_1 + S_2 + S_3$ и в силу неравенства $a + 1/a \geq 2$ при $a > 0$

$$\frac{S}{S_1} + \frac{S}{S_2} + \frac{S}{S_3} = 3 + \left( \frac{S_2}{S_1} + \frac{S_1}{S_2} \right) + \left( \frac{S_3}{S_1} + \frac{S_1}{S_3} \right) + \left( \frac{S_3}{S_2} + \frac{S_2}{S_3} \right) \geq 3 + 3 \cdot 2 = 9$$

Равенство достигается, когда $S_1 = S_2 = S_3$, т. е. O — точка пересечения медиан.

2. Тепер покажем, что для трех треугольников, расматриваемых в условия задачи, справедливо более

26

сильное неравенство:

$$\frac{1}{S_1} + \frac{1}{S_2} + \frac{1}{S_3} \geq \frac{18}{S}.$$

Соединим концы данных отрезков так, чтобы образовались еще три треугольника (рис. 3); пусть их площади равны $T_1, T_2, T_3$. Выражая площади всех шести треугольников через их стороны, выходящие из вершины $O$, и углы между этих сторонами, мы легко получим, что $S_1S_2S_3 = T_1T_2T_3$. Тепер воспользуемся тем, что среднее арифметическое нескольких чисел не меньше их среднего геометрического:

$$\frac{1}{S_1} + \frac{1}{S_2} + \frac{1}{S_3} \geq \frac{3}{\sqrt[3]{S_1S_2S_3}} = \frac{3}{\sqrt[6]{S_1S_2S_3T_1T_2T_3}} \geq \frac{3 \cdot 6}{S_1 + S_2 + S_3 + T_1 + T_2 + T_3} \geq \frac{18}{S}$$

(общая площадь всех шести треугольников, конечно, не больше $S$). Равенство здесь достаточно, когда $S_1 = S_2 = S_3 = T_1 = T_2 = T_3 = S/6$, т. е. когда данные отрезки — медианы треугольника (рис. 4).

Г. Н. Зайцев, В. Н. Дубровский, В. В. Прасолов

*M1174. Последовательность целых чисел $a_1, a_2, a_3, \dots$ задается условиями $a_1=1, a_2=12, a_3=20, a_{n+3}=2a_{n+2}+2a_{n+1}-a_n$ ($n=1, 2, \dots$).

Докажите, что для любого номера $n$ число $1+4a_na_{n+1}$ — квадрат целого числа.

| $a_n$ | $4a_na_{n+1}+1$ | $q_n$ |
| :— | :— | :— |
| 1 | 49 | 7 |
| 12 | 961 | 31 |
| 20 | 5041 | 71 |
| 63 | 39409 | 197 |
| 154 | . . . | . . |

Выписав несколько первых членов последовательности, как это сделано на полях, можно доказать, что $1+4a_na_{n+1}=q_n^2$, где $q_n=a_{n+2}-a_{n+1}-a_n$; например, при $n=1$ и $n=2$ получаются такие равенства: $1+4 \cdot 12=(20-12-1)^2, 1+4 \cdot 12 \cdot 20=(63-20-12)^2$.

Воспользуемся методом индукции: доказем, что из предположения $1+4a_{n-1}a_n=q_n^2$- вытекает равенство $1+4a_na_{n+1}=q_n^2$ (при $n=2, 3, \dots$). Как следует из условия задачи, $q_n=a_{n+2}-a_{n+1}-a_n=a_{n+1}+a_n-a_{n-1}=q_{n-1}+2a_n$. Поэтому

$$1+4a_{n-1}a_n=q_{n-1}^2=(q_n-2a_n)^2=q_n^2-4a_n(a_{n+1}+a_n-a_{n-1})+4a_n^2=q_n^2+4a_na_{n-1}-4a_na_{n+1},$$

откуда $1+4a_na_{n+1}=q_n^2$.

Из нашей решения ясно, что при любых начальных членах для последовательности сrekурентным условием $a_{n+2}+a_n=2(a_{n+1}+a_n)$ величины $(a_{n+2}-a_{n+1}-a_n)^2-4a_na_{n+1}$ постоянна и не зависит от $n$.

Н. В. Васильев

*M1175. При каких натуральных $n$ верно следующее утверждение: как бы

27

ни были разложены на плоскости несколько непересекающих правильных п-угодников, один из них можно выдвинуть по некоторому направлению, не задевая остальных? (Поворачивать п-угодник нельзя, т. е. все лучи, выходящие из точек выбранного п-угодника в нужном направлении, не должны задавать остальных п-угодников.)

Рис. 1.

Рис. 2.

Ф1183. Автообус движется с постоянной скоростью u=60 km/ч, подолгу стоя

направлению d), не задевая остальных. Такой многоугольник найдется для каждой направления d.

Рассмотрим «проекции» многоугольников на прямую l, перpendикулярную направлению d, причем при изображении проекций будем указывать, какой из многоугольников расположен выше (d мы считаем направлением «вверх», рис. 1); здесь существует выпуклость многоугольников.

Тепер достаточно доказать следующие — лемму о коврах: если отрезок-«коридор» покрыт несколькими отрезками-«коврами», то обязательно найдется ковер, никакая часть которого не покрыта другим — верхний ковер.

Очевидно, мы можем считать, что нет ковра, у которого имеет два открытых участка, разделенных закрытым: иначе мы могли бы рассмотреть лишь те ковры, которые лежат сверху на этом закрытом участке, и среди них искать верхний ковер. Точно так же можно исключить из рассмотрения (убрать) целиком закрытые ковры.

Предположив, что «верхнего» ковра нет, т. е. что на каждой ковре есть и открытый, и закрытый участки, мы тут же придем к противоречию: к левому концу коридора примыкает ковер, у которого открытый участок — левый; примыкая к этому участку на этом ковре, лежит другой «открытый слева» ковер, и так далее. Эта цепочка не может оборваться (между тем к правому концу коридора примыкает, конечно, ковер, «открытый справа»).

Лемма о коврах доказана. Ясно, что многоугольник, соответствующий «верхнему» ковру, можно без помех двигать в направлении d.

По поводу этой задачи сделаем несколько замечанный.

1. Аналог «леммы о коврах» для фигур на плоскости, очевидно, неверен. Неверен и аналог утверждение для выпukлых многоугольников: Г. А. Гальперин указыл пример нескольких «плит», ни одну из которых нельзя выполнить, не сдигая остальных (в этом примере «наружные» грани 12 плит образуют додекадр, а «швы» — грани, которые они «почти соррикаются»,— выбраны так, что у каждой плиты по крайней мере два неседних «шва» образуют снаружной граью угол большие 90°).

2. В первоначальной формулировке авторов задачи В. Г. Ильчева и Д. А. Терешина была еще дополнительная оговорка: n-угодник разрешено дивигать лишь в направлении, перpendикулярном его стороны; при этом меняется и ответ: например, нетрудно придумать семейство 5-угодников, ни один из которых нельзя таким образом (рис. 2).

Н. В. Васильев

Картина, образованная джедевыми каплями на стекле, симметрина относительно вертикали. Из этого можно сделать вывод, что ветер способит капли в направле-

28

на остановках. На уличе ветер и идет домбдь. Должные капли образованы на боковом стекле автобуса такую картину, как показано на рисунке. Скорость и направление ветра не меняются. Какова скорость падения капель домбдя? Что можно сказать о скорости ветра? Дорога пряма, автобус не разворачивается.

Ф1184. Железный пруток цилиндрической формы длиной 10 см нагрели в пламени газовой горелки. Температура горячей конца оказалась 700 °C, на расстоянии 1 см от него — 500 °C, 2 см — 300 °C, 3 см — 200 °C, 5 см — 150 °C, температура другого конца прутка — 100 °C. Через одну минуту температура выравнялась и оказалась равной 200 °C. Оценить количество теплоты, которое пруток за это время потерял. Удельная тепломкость железа 460 Дж/(кг·К), масса прутка 15 г.

Если потеря телла нет, то установится температура $t_{0\text{бц}} = \frac{1}{10} (t_1 + t_2 + \dots + t_{10})$,

где $t_i$ — средние температуры кусочков прутка длиной

по одному сантиметру (см. рисунок). В нашем случае $t_{0\text{бц}} = \frac{1}{10} (600 + 400 + 250 + 180 + 150 + 150 + 130 +$
$+ 110 + 100 + 100) = 218 °C$.

Это означает, что потеря телла $Q = cm (t_{0\text{бц}} - t_{200}) \approx 0,12$ кДж.

Число получено, конечно, приближено, и оно может быть несколько иным — в пределах ±10 %.

А. Р. Зильберман

29

Ф1185. Оdnородно заряженный куб создает в своей вершине электрическое поле направенно $E_0$. Из куба удалют кубик вдвое меньших размеров (см. рис.ок). Чему теперь будет равна направенно поля в точке А?

Найдем, как зависит направность поля, созданного однородно заряженным кубом в своей вершине, от линейных размеров куба. Из сообщений симметрия ясно, что эта направность направлена вдоль соответствующей большой диагонали куба. Поэтому можно записать

$$E = \sum_i \frac{\rho \Delta V_i}{r_i^2} \cos \alpha_i,$$

где $\rho$ — плотность заряда, $\Delta V_i$ — малые объемы, на которых мысленно разбиается весь куб, $r_i$ — расстояние от $i$-го объема до расматриваемой вершины куба, $\alpha_i$ — угол между направлением из объема на вершину и большой диагонали куба.

Для куба с ребром $l$

$$\Delta V_i \sim l^3, \quad r_i^2 \sim l^2,$$

а $\alpha_i$ для всех кубов одинаковы; следовательно,

$$E \sim \frac{l^3}{l^2} = l$$

— направность поля в вершине куба прямо пропорциональна его линейным размером.

Очевидно, что куб вдвое меньших линейных размеров создает направность тоже вдвое меньшую. Поэтому если вначале направность в точке А была равна $E_0$, то после удаления малого кубика направность станет вдвое меньшей:

$$E_A = E_0 - \frac{E_0}{2} = \frac{E_0}{2}.$$

Направление направности при этом не изменится.

И. Ю. Погеряко

Ф1186. При какой величины конденсатора $C_x$ в схеме, приведенной на рисунке 1, сбыт фаз между подаваемым направлением и током во внешней цепи будет равен нулю при любой частоте источника? Индуктивность катушки $L$, сопротивление каждого резистора $R$. Все элементы цепи считать идеальными.

Эту задачу можно решать различными способами, но наиболее простой и понятный — это метод векторных диаграмм$^*$).

Основная идея этого метода состоит в том, что переменные направления и точки избражаются в виде векторов соответствующих длины и складываются по правым векторной алгебры. В резисторе ток совпадает по фазе с направлением, и $U_R = I_R R$, где $U_R$ — модель вектора направления на резисторе, $I_R$ — модель вектора ток в резисторе, $R$ — сопротивление резистора. Например, на катушке индуктивности опережает ток на $90^\circ$, и $U_L = I_L \omega L$, где $U_L$ — модель вектора направления на катушке индуктивности, $I_L$ — модель вектора ток, $L$ — индуктивность катушки, $\omega$ — частота пере-

*) См., например, статью А. Р. Зильбермана «Цепи переменного тока» («Квант», 1986, № 9). (Примеч. ped.)

30

менного тока. Напряжение на конденсаторе от тока на 90°, и $U_C = I_C \frac{1}{\omega C}$, где $U_C$ — модель вектора напряжения на конденсаторе, $I_C$ — модель вектора тока через конденсатор, $C$ — емкость конденсатора.

А теперь вернемся к нашей задаче. Пусть во внешней цепи протекает ток $I_0$. Тогда для контура, содержащого катушки индуктивности и резистор, векторная диаграмма будет иметь вид, показанный на рисунке 2, при этом

$$\vec{I}_0 = \vec{I}_{LR} + \vec{I}_L, \quad U_{LR} = I_{LR}R \quad \text{и} \quad I_{LR}R = I_L\omega L.$$

Для контура, содержащого конденсатор и резистор, векторная диаграмма будет аналогичной (рис. 3):

$$\vec{I}_0 = \vec{I}_C + \vec{I}_{CR}, \quad U_C = I_{CR}R \quad \text{и} \quad I_{CR}R = I_C \frac{1}{\omega C}.$$

Для того чтобы вектор $\vec{U}_0$ совпадал по фазе с вектором $I_0$, необходимо, чтобы углы между векторами $\vec{I}_0$ и $\vec{I}_{LR}$, а также между $\vec{I}_0$ и $\vec{I}_C$ были равны (рис. 4). Тогда

$$\frac{I_L}{I_{LR}} = \frac{I_{CR}}{I_C},$$

откуда следует, что

$$\frac{\omega L}{R} = \omega CR, \quad \text{или} \quad C = \frac{L}{R^2}.$$

Очевидно, если выбрать $C = L/R^2$, то ток будет совпадать по фазе с напряжением при любой частоте, и можно легко показать, что при этом $U_0 = I_0R$.

В.Е. Скороваров

Ф1187. Сани дилиной $L = 2$ м и высотой $H = 0,5$ м едут по прямой со скоростью $v = 10$ м/с. На расстоянии $d = 10$ м от дороги установлен шаттб с фонопаратом, и съемку производаят в момент максимального слияния.

Фотоаппарат имеет одноплиновый объектив с фокусным расстоянием $F = 5$ см. Выдержка (т. е. время, в течение которого засечивается каждый участок фоноплеки) отражается в этом фонопарате при помощи щелевого затвора, который работает следующим образом:

Обозначим длину мгновенного изображения canей на фоноплеке через $l$, а высоту через $h$. Тогда, учитывая, что $d \gg F$, получим

$$l = \frac{F}{d}L, \quad h = \frac{F}{d}H.$$

Однако во время экспозиции изображение движется по ленке со скоростью $u = (F/d)v$, что приводит к из-

32

шины, а вершин всего $n$. Следовательно, в среднем на вершину приходит $2(n-3)/n$ диагоналей. Поэтому среднее суммарное число диагоналей первого и второго разбиения, выходящих из одной вершины, равно $4(n-3)/n$. При $n \geq 13$ это число больше трех, значит, нужная нам вершина $n$-угольника действительно существует.

Триангуляция сферы и шара
Прежде чем приступить к изложению результатов Слейтора, Тарьяна и Терстона, необходимать несколько определений.

Триангуляция сферы будем называть разбиение сферы на несколько областей, получаемое следующим образом: на сфере отмещается несколько точек — они называются вершинами триангуляции — и некоторые из них соединяются несаморесекаюшимся кривыми, которые могут пересекаться друг с другом только в вершинах. При этом каждая из области, которая разбиается сфера, должна иметьровно три стороны, т. е. ее должны ограничиватьровно три кривых.

Таким образом, при триангуляции сфера разбиается на несколько кривых треугольников. Пример показан на рисунке 3.

Специальный триангуляция шара будем называть та-

Рис. 2.
Шце один треугольник разбиения BCD (рис. 2). Заменим диагональ BC на AD. Повторяя аналогичные перестройки, мы добавляем того, что у всех треугольников разбиения с вершиной A противоположная ей сторона будет одной из сторон n-угольника. А также разбиение, очевидно, коничское.

Мы доказали даже более сильный факт: количество перестройки, необходимых для того, чтобы получить из данного разбиения коничское разбиение с вершиной A, не превыходит $n-3-x$, где $x$ — число диагоналей данного разбиения, выходящих из вершины A. Если выбрать вершину A так, чтобы из нее выходила по крайней мере одна диагональ исходного разбиения, то нам потребуется не более чем $n-4$ перестройки для того, чтобы получить из этого коничского разбиения второе разбиение. Тем самым доказано неравенство 6): $P(n) \leq (n-4) + (n-3) = 2n-7$.

Теперь, чтобы доказать последнее неравенство в) $P(n) \leq 2n-10 = (n-3) + (n-3) - 4$ при $n \geq 13$, нам достаточно

Рис. 3.

но для любых двух разбиений найти такую вершину $A$, что суммарное количество выходящих из нее диагоналей первого и второго разбиений не меньше 4. Подсчитаем среднее число диагоналей произвольного разбиения, выходящих из одной вершины. Все диагоналей $n-3$, каждая из них соединяет две вершины $A$. Такое разство $n-3-x$, где $x$ — число диагоналей данного разбиения, выходящих из одной вершины, равно $4(n-3)/n$. При $n \geq 13$ это число больше трех, значит, нужная нам вершина $n$-угольника действительно существует.

Триангуляция сферы и шара
Прежде чем приступить к изложению результатов Слейтора, Тарьяна и Терстона, необходимать несколько определений.

Триангуляция сферы будем называть разбиение сферы на несколько областей, получаемое следующим образом: на сфере отмещается несколько точек — они называются вершинами триангуляции — и некоторые из них соединяются несаморесекаюшимся кривыми, которые могут пересекаться друг с другой только в вершинах. При этом каждая из области, которая разбиется сфера, должна иметьровно три стороны, т. е. ее должны ограничиватьровно три кривых.

Таким образом, при триангуляции сфера разбиается на несколько кривolineных треугольников. Пример показан на рисунке 3.

Специальный триангуляция шара будем называть та-

34

Приливные силы

(Начало см. на с. 18)

А период приложений силы, как мы помним, — 12 часов 25 минут. Система становится «более резонансной». А во втором варианте сказывается еще и изменение режима течение на выходе из Майнас бейсин: изменяется трене.

И вот результаты. Плотина Шеподи, почти не изменяя высоту приложения в заливе Фанди, увеличивает приложению волну в гигантском заливе Мэн

мощь неевклидова геометрия Лобачевского. Дело в том, что внутренность шара при соответствующем определении расстояния между точками превращается в модель пространства Лобачевского. Есть даже два способа это сделать. При одном способе прямыми служат хорды шара — это «модель Клейна», при другом — дуги окружностей, перепедикулярных поверхностей шара, — это «модель Пуанкаре» («Квант» рассказывавал о ней в одноменной стате К. Л. Самарова и В. М. Уроева в № 6 за 1984 г.). Неевклидов объем всего шара (т. е. всего пространства Лобачевского), естественно, бесконечен, а у тетради—a ограничен неокоторой постоянной $V_0$. А это то, что нам нужно.

Осталось только одно: найти такого гамильтонову триангляцию сферя, что соответствующий ей многогранник с $n$ вершинами будет иметь объем, не меньше чем $(2n - 10)V_0$. Это удается с помощью красивой конструции. Возьмем один из пяти правильных многогранников — икасдр (рис. 7, а), у которого 20 треугольных граней, 12 вершин и 30 ребер, вписанный в нашу сферу, и разобем каждую из его граней на $k^2$ маленьких равно

на 3—4 сантиметра, а это больше 2% от нынешней амплитуды. Во втором же варианте прилож на всем пространстве от Бостона до входа в Майнас бейсин возвращает на 15—20 сантиметров — больше, чем на 10%! И воapy строить новые приложы, нарушится миграция рыб, в обшем, последствия весы существенные!

Ну что же, даже такие проекты, несомненно экологически города более чистые, чем теплые или atomные электростанции, надо тщательно обрабатывать с точки зрения воздействия на природу.

35

Задания

1. Ученики 3 «А» класса пришли в театр. В антраkte все они побежали в буфет. Каждый мальчик купил проежок, а каждый девочка — булочек. Если бы каждый мальчик купил булочек, а каждый девочка — проежок, то они (вместе) потратили бы на одну копейку меньше. Мальчиков больше, чем девочек. На сколько?

2. Число КУБ является кубом неокоторого числа, а число БУК — простое. Найдите эти числа.

3. Решите арифметический ребус, который вы видите на рисунке. Один наковым буквам соответствует один наковые цифры, разным — разные.

4. Показите, что в параллелограмме ABCD площадь, окруженная в красный цвет, в два раза больше площади, окруженной в желтый цвет (см. рисунок). Точки K и E — середины соответствующих сторон.

5. Может ли число
   n!=1·2·3·…·n
   (онно читается en факторial) иметь вид 111…100…0? А найдется ли число такого вида — начинашеся с единиц и заканчивающейся нулями, — которое делится на 1990?

Эти задания нам предложили Н. Ю. Нечеветаев, Н. К. Антонович, П. В. Джанджлава, А. И. Демидов, ученики из п. Чернологовка Московской области. И. Соловьев и Д. Фельдман.

36

КАКОЙ ДЕНЬ
НЕДЕЛИ?

Читатель, конечно, знает день своего рождения: год, месяц и число. А день недели? Может быть, это была среда, а может быть, суббота или понедельник? Как ответить на этот вопрос, не прибегая к помощи старых календарей, расссказывает в этой статье.

Давайте занутерем дни

Для этого просто присвоим какому-нибудь дня № 1, а дальней будем numerовать дни по порядку: № 2, № 3 и т. д. Какой именно день взят за первый, все равно, пуст его, например, будет

1 января 1-го года.
Тогда 2 января 1-го года получит № 2, 3 января 1-го года — № 3 и т. д., 31 января 1-го года становится № 31, 1 февраля — днем № 32, 1 марта — днем № 60 (в февраля 1-го года было 28 дней, потому что год не високоный). Всего в 1-м году было 365 дней, так что 1 января 2-го года будет днем № 366, 1 января 3-го года — днем № 731, 1 января 4-го года — днем № 1096, а 1 января 5-го года — днем № 1462 (4-й год содержал 366 дней). Таким образом, каждый день получит свой номер.

Как узнать день недели, зная номер дня?

Например, какой день недели придется на миллионный день? Ответить на этот вопрос мы пока что не можем. Но если мы знали день недели, соответствующий дню с каким-нибудь номером, то мы смогли бы определить день недели, отвечающий дню с любым другим номером. Возьмем, ска-

Воспону статьи положены материалы, приспланные в редакцию доктором физико-математических наук Н. М. Вескиным, и глава из книги O. Оре «Приглашение в теорию чисел» (M.: Наука, Библиотека «Квант», 1980).

37

Жем, день № 100 000. Между ним и миллионным днем должно пройти 1 000 000—100 000=900 000 дней. Поделим 900 000 на 7 с остатком: 900 000=128 571·7+3, т. е. между рассматриваемыми днями должно пройти целое число недель и еще три дня. Число недель для нас совершено не важно, значение имеет только эти три дня. В частности, если 100 000-й день был попедельник, то 1 000 000-й день — четверг, если 100 000-й день — вторник, то 1 000 000-й день — пятница и т. д.

Тепер программа действия ясна. Сначала определяем номер каждого дня, для которого день неделли нам известен. Эту работу можно проделать раз и навсегда. Затем мы определяем номер интересующего нас дня. Сравнивая два полученных номера, мы определяем день неделли, отвечаюший второй.date — как объяснялось выше.

Как найти номер дня?

Пусть нас интересует

k-й день m-го месяца N-го года.

Годы, как известно, былиют високосные и невисокосные. Невисокосные годы содержат 365 дней, невисокосные — 366 дней. Невисокосными являются, во-первых, годы, номера которых не делятся на 4, и, во-вторых, годы, номера которых делятся на 100, но не делятся на 400. (Таким образом, 2000-й год будет високосным, но 1900-й год не был високосным, в отличие, скажем, от 1904-го года. Эта оговорка отличает «григорианский календарь», или «новый стиль», от «юлианского календаря», или «старого стиля». Подробнее о старом и новом стилях мы поговорим ниже.)

Вернемся к рассматриваемому дню. После дня № 1, т. е. 1 января 1-го года, прошло N-1 лет, m-1 месяц и k-1 день. Пусть средние N-1 лет было N₁ високосных и N₂ невисокосных. Потом мы подумаем, чему равны N₁ и N₂, а пока запишем, что эти годы содержат 366N₁+365N₂ дней. Числа дней в 1-м, …,

12-м месяц мы обозначим через a₁, …, a₁₂. Таким образом, a₁=a₃=a₅=a₇=a₈=a₁₀=a₁₂=31, a₄=a₆=a₉=a₁₁=30, а a₂=29 или 28, в зависимости от того, високосный или невисокосный N-й год. Итак, номер нашего дня равен

366N₁+365N₂+a₁+…+aₙ-1+k.

Тепер найдем N₁ и N₂. Представим N-1 в виде 100P+R, где 0≤R≤99 (если N-1 — четЫрезначное число, как это на практике обещано былоет, то P и R — двумячные числа, записываемые perвыми двумя и последними двумя цифрами числа N-1). Далее, поделим P и R на 4 с остатком: P=4p+q, R=4r+s (0≤q≤3, 0≤s≤3). Нашему году предшествовал P полных столей. В каждом 99 лет, номера которых не делятся на 100, из них 24 года високосных и 75 лет невисокосных. Из P лет с номерами, делящимися на 100, високосных было p, а невисокосных P−p=3p+q. Наконец, из R последних лет было r високосных и R−r=3r+s невисокосных. Итак,

N₁=24P+p+r=97p+24q+r,
N₂=75P+3p+q+3r+s=303p+
+76q+3r+s.

Okончательная формула для номера нашего дня такова:

366(97p+24q+r)+365(303p+76q+
+3r+s)+a₁+…+aₙ-1+k=
=146 097p+36 524q+1461r+365s+
+a₁+…+aₙ-1+k.

38

Например, пусть интересующая насdata
1 марта 1989 года.
Для этого дня $P=19, R=88, p=4, q=3, r=22, s=0, m=3, a_1=31, a_2=28, k=1$, и его номер равен 726 162.

Нам нужен только остаток от деления на 7

Номер дня интересует нас лишь с точностью до любого числа, делящейся на 7 (ибо день нас интересует лишь с точностью до целого числа недель). Поэтому уместно заметить, что 146 097=20 871·7 делится на 7, так что первое слагаемое в нашей сумме можно просто отбросить. Далее, 36 524=5217·7+5, так что вместе коэффициента 36 524 можно взять 5; точно так же вместе 1461 и 365 можно взять 5 и 1. Наша огромная сумма превращится в
$$5(q+r)+s+a_1+\dots+a_{m-1}+k,$$
к тому же и для $a_1,\dots,a_{12}$ значения 28, 29, 30, 31 можно безболезенно заменить их остатками от деления на 7, т. е. значениями 0, 1, 2, 3 соответственно. Тогда для 1 марта 1989 года наш номер заменится числом
$$5(3+22)+0+3+0+1=129,$$
которое завершимо имеет такой же остаток от деления на 7, как номер нашей дня (действительно, проверка показывает, что у общих чисел этот остаток равен 3). Кстати, наиболее трудоемкая часть последнего вычисления — это нахождение суммы $a_1+\dots+a_{m-1}$ или, вернее, остатка от деления этой суммы на 7. Этот остаток зависит от $m$ и от того, является ли год високоным. Имеет смысл вычислять его раз и насегда и записьть результат в таблице 1.

Например, сумма, отвечающая августа високосного года, есть 31+29+31+30+31+30+31, ее остatok от деления на 7 совпадет с остатком числа 3+1+3+2+3+2+3=17, т. е. равен 3; это и записано в таблице 1.

Тепер посмотрит в календарь и убедитесь, что 1 марта 1989 года — среда. Выше мы обнаружили, что остatok от деления номера этого дня на 7 равен 3. Значит, если остatok от деления номера дня на 7 равен 3, то день — среда. Соответствие, если остatok равен 4, 5, 6, 0, …, то день — четверг, пятница, суббота, воскресенье, … . Как видим, нам немного повезло: остatok от деления получившегося числа на 7 просто равен номеру дня недели:

1 — понедельник 4 — четверг
2 — вторник 5 — пятница
3 — среда 6 — суббота
0 — воскресенье.

(Везение состоит в том, что научд взятый нами первый день — 1 января 1-го года — оказался попедельником. Если бы не это, нам пришлось бы в окончательную формулу кровотную поправку.) Тепер мы можем написать окончательную формулу.

Формула
Рассмотрим

$$k-й день m-го месяца N-го года.$$
Обозначим через $R$ двумя значениями число, составленное из двух последних цифр числа $N-1$, и через $P$ — число, составленное из остальных цифр числа $N-1$. Далее, подelim числа $P$ и $R$ с остатком на 4: $P=4p+q, R=4r+s$. Затем найдем число

$$D=5(q+r)+s+b+k,$$

Таблица 1

39

где $b$ зависит от места и «високосности» $N$-го года и находится из таблицы 1. Остаток от деления числа $D$ на 7 — это и есть номер дня недели.

Пример. Великая Отечественная война началась 22 июня 1941 года. Какой это был день недели? Вычислляем: $P=19=4\cdot 4+3$, $R=40=4\cdot 10+0$, $b=4$ (ионь невисокосного года),

$$D=5(3+10)+0+4+22=91,$$

остаток от деления числа $D$ на 7 равен 0. Значит, это было воскресенье.

Старый стиль и новый стиль

Способ определения високосности года, изложенный на с. 37, введен в употребление в XVI веке; до этого високосными считались все годы, номера которых делятся на 4. Необходимость исправления была вызвана тем, что период обращения Земли вокруг Солнца фактически на несколько минут меньше 365 $\frac{3}{4}$ суток. Поэтому с течение времен Новый год приближался к весне, и если бы не нововведение, то уже к 12 000-му году он пришел бы на время цветения подснежников. В России новый стиль был введен только в января 1918 года. Поэтому многие исторические события принято назвать по старому стilio.

Различие между старым и новым стилями появляется благодаря тому, что в старом стиле есть даты, от-

Таблица 2

| Даты (по новому стilio, включительно) | Число дней, на которых новый стиль операжет старь |
| :— | :— |
| 13 марта 1900 г. — 13 марта 2100 г. | 13 |
| 12 марта 1800 г. — 12 марта 1900 г. | 12 |
| 11 марта 1700 г. — 11 марта 1800 г. | 11 |
| 10 марта 1500 г. — 10 марта 1700 г. | 10 |
| 9 марта 1400 г. — 9 марта 1500 г. | 9 |

40

Калейдоскоп “Клама”

Имеется огромное количество фактов, заставляющих нас думать, что атомы вещества каким-то образом одарены электрическими силами или связанны с ними и им они обязаны своим наиболее замечательными качествами.

М. Фарадей

…электрический ток заключет в себе переменение.

Дж. Максвелл

А так ли хорошего вам электрический ток

Fig. 17.

Извилистая история исследований электрических свойств самых различных сред, когда трудно было признать, что ток, текущие по металлическому проводу и в жидкости, проходящие через газы и вакуум, являются близкими «родственниками», с необходимостью привела к электриной теории. Эта теория позволяет использовать многое — и не только электрические — свойства материалов, была шагом к более тонкому пониманию структуры вещества и взаимодействия, управляющих его поведением. А это, в свою очередь, позволяет за собой цельном технических открытий, кардиального изменений облик окружащего нас мира.

Сверхпроводники и солнечные батареи, МГД-генераторы и полупроводниковые элементы вычислительной техники — это лишь немоче примеры из тех области физики и техники, где принципально важно знать, как протекает ток через то или иное вещество. Этот вопрос — главный в сеодняшем «Калейдоскопе».

Вопросы и задачи

1. Длину проводки вытягиванием увеличили вдвое. Как изменилось ее сопротивление?

2. Где больше средняя скорость упорядного движения электрической электриов: в нити лампы или в проводах, подводящих к ней ток?

3. Две квадратные металлические пластны одинаковой толщи—

ны включены в цепь. Одинаковое ли сопротивление оказывают они току?

4. Можно ли стекло проводить электрический ток?

5. Плоский конденсатор заполнен средой диэлектрической проницаемостью ε и удельным сопротивлением q. Чему равно сопротивление конденсатора, если его емкость равна C?

6. В полупроводниках концентрация заряженных части много меньше, чем в металлах. Отчего же при последовательном соединении полупроводника и металлического проводника с равными поперечными сечениями丝а тока в них одинакова?

7. Различются ли чем-нибудь «дырка» и положительный ion в полупроводниках?

8. Почему изменения электрироводности полупроводников проводят при очень слабом освещении или в темноте?

9. В цепь включена

41

14. Будет ли работа в космосе радиолампа с разбитым стеклом?

открытая металлическая трубка T. Как изменится показание ампература, если трубку заполнить водным раствором медного купороса?
10. Одинаковое ли количество меди выде-
ляется на катодах 1, 2 и 3?
11. Чем отличается образование инов в электролитах от ионизации газа?
12. К каким полосам источника тока нужно приединить электроды в форме диска и острия, расположенные на некотором расстоянии друг от друга, чтобы возникший пробой произошел при меняшей разности потенциалов между электродами?
13. Почему в дымоходных трубах частицы угля в дыме обладают положительным зарядом?

14. Будет ли работа в космосе радиолампа с разбитым стеклом?

усковиях, то окажется, что электронный газ в металле как бы сжат давлением в 1200(!) атмосфер.

…сейчас нам представляется совершено оченьным, что молния — это искра, которая проскаивает М. В. Ломоносову и Б. Франклину пришлось положить немало сил, а Г. В. Рихману это стоило жизни.

…археологические нахождения относится к временам Парфянского царства, позволяют допустить, что уже две тысячи лет назад производилось галваническое золочение и серебренное изделий.

Любопытно, что…
…электродинамика Максвелла была фактически теорей электромагнитных явлений в вакууме. Для ее приложения к свойством вещества приходилось вводить множествоCONSTANT, полученных путем…
…величины проводимости проводников и изоляторов разница в отромное число раз, изменяемое единицу с двадцатью двумя нулями.
…если сравнить концентрацию электронов проводимости, например, в меди, с концентрацией молекул газа при нормальных условиях,

между обlakами и землей. Однако в своей время для доказательства этого факта Об этом же говорят и находки, сделанные в гробницах езипетских фараонов.

Что читать в «Кванте»
об электрическом токе в различных средах (публикации последних лет)

1. «О числе Фарадея и удельном заряде заряженной частицы» — 1985, № 2, с. 25;
2. «Полевые трансисторы» — 1985, № 10, с. 46;
3. «Биполярные трансисторы» — 1985, № 11, с. 48;
4. «Ионы в растворах» — 1986, № 7, с. 22;
5. «Как в металле протекает электрический ток?» — 1988, № 3, с. 41;
6. «Сверхпроводимость: история, современные представления, последние успехи» — 1988, № 6, с. 2;
7. «За пределами закона Ома» — 1989, № 4, с. 2;
8. «Симметрия, анизотропия и закон Ома» — 1989, № 10, с. 12.

42

ВЫСОКОЧАСТОТНЫЙ
генератор

М. М. ЦЫПИН

О многох физических явлениях мы слышим или читаем в книгах, но почти никогда их не видим. Между тем ничего так не помогает пониманию физического мира, в котором мы живем, как непосредственный опыт общения с ним. Поставленный своим руками эксперимент, увиденное и исследованное явление, размышления по поводу того, что действительное происходит в природе, — все это обычно оказывается разнообразнее и сложнее написанного в книгах.

В этой статье будет описан генератор высокочастотных колебаний, который можно сделать самостояльно в школе или дома. Генератор позволяет поставить много интересных опытов, связанных с электрическими разрядами, познакомиться со свойством переменного тока и электромагнитного поля.

Генератор, схема которого приведена на рисунке 1, создает высокое напряжение (3—4 тысячи волт) высокой частоты (около 5 МГц). Колебательный контур, определяющий частоту генератора, состоит из катушки $L_1$ и конденсатора $C_1$ (емкость конденсаторов указаны в пикофарадах). Поддержание в нем незначующих колебаний обеспечивается с помощью дополнительной катушки $L_2$ иусилителя, собранного на лампе $J_1$: часть энергии контура забирается этой катушки, подается на сетку лампы,усиливается и через конденсатор $C_2$ подается обратно в контур. Цепочка $R_1C_3$ обеспечивает (подумайте, как) отпечатное постоянное напряжение на сетке лампы, необходимое для ее нормальной работы. Еще одна катушка — из-за ее роли в схеме называемая по радиотехнической традиции дросселем (Др) — разделяет

43

участки цепи, где высокочастотное напряжение есть (анод лампы) и где его нет («плюс» источника питания). Это происходит благодаря большому сопротивлению дросселя переменному току высокой частоты. Вторая сетка лампы соединена с анодом, в результате лампа работает как триод. Катушка $L_1$, $L_2$ и $L_3$ индуктивно связаны друг с другом и образуют высокочастотный трансформатор.

Было бы ошибкой думать, что собрать такой генератор и заставить его работать под силу только многоопытному экспериментатору. Генератор практически не требует настройки, а нужные детали легко купить или добиться из старого лампового приемника или телевизора.

Что касается катушка, их довольно просто сделать самим. Катушка $L_1$ и $L_2$ наматывается на общий цилиндрический каркас диаметром 3,5 см и длиной 7 см, который проще всего склеить из плотной бумаги (рис. 2). Первая катушка состоит из 6 витков медного провода диаметром 2—3 мм (в любой изоляции), расстояние между витками равно 1 см. Вторая содержит 10 витков провода (в эмалевой изоляции) диаметром 0,5 мм, намотанных вплотную виток к витку. (Вопрос для теоретическов: как должны быть согласованы направления намотки $L_1$ и $L_2$, чтобы обратная связь способствовала возникновению колебаний в контуре, а не наоборот? Иначе, оченьindo, генератор работает не будет.) Катушка $L_3$, намотанная в один слой на бумажный каркас диаметром 2,7 см и длиной 8,5 см, содержит 190 витков провода ПЭЛШО (в эмалевой изоляции)

Рис. 1.

Рис. 2.

ляции и шелковой оплетке) диаметром 0,35 мм. Она обернута несколько слоями полиглленовой пленки и вставлена внутри катушка $L_1$ и $L_2$. Дроссель Др содержит 70 витков провода диаметром 0,3 мм, намотанных в один слой на каркас диаметром 2,5 см.

Все конденсаторы в схеме слюдяные, расчитанные на напряжение 500 волт.

Лампа $J_1$ должна, во-первых, быть достаточно мощной, а во-вторых, иметь достаточно маленькое внутреннее сопротивление. Этими свойства

44

ми обладают, например, лампы 6П31С или 6П36С (применяемые в выходных касадах стройной развертки телевизоров).

Для генератора нужен источник питания, дающий два напряжения: постоянное 200—250 В и переменное 6,3 В. Можно взять подходящий готовый блок питания, имеющийся в школьном физическом кабинете, воспользоваться блоком питания любого лампового приемника или собрать свой собственный по схеме, изобразенной на рисунке 3. В нем можно использовать, например, имеющийся в продаже сливой трансформатор для радиол «Рекорд-353» и «Рекорд-354». На рисунке 4 приведена схема управления блока питания. С ним генератор будет работать только какый второй полуперiod, когда напряжение на аnode положительное. Его средняя мощность уменьшится вдвое, и это даже хорошо: лампа и катушка будет меньше нагревается.

Вопрос о конструкции генератора каждой может решить на свой вкус. Человек с практическим складомума придумает и сделает корпус и плату для размещения деталей; теоретически тем, что разложит детали на столе и придает их друг к другу. К счастью, «форма» генератора не влияет на его «содержание».

Несколько замечаний о техническом безопасности. По-настоящему описая весь (чERO ни в коем случае не следует делать!) — это использование схем, в которых детали генератора оказываются неисредственно

Graph of generator output

Рис. 4.

44

45

Форма разряда довольно интересным образом зависит от напряжения и частоты. Понаблюдайте, как она меняется по мере прогрева генератора, когда напряжение постепенно возрастает. Часто «пламя» оказывается нестабильным (фотография на рисунке 5). Иногда, чтобы разряд загорелся, его нужно «поджчь», коснувшись острия лезвием отвертки с изолированной ручкой.

При низкой частоте (меее 1 МГц) электронский разряд околоостиры выглядит как рассеяное холодное свечение (так называемый коронный разряд), сопровождающее шипением и образование озона. Но наш разряд — компактный и горячий, в чем легко убедиться, поднеся к нему конец деревянной линейки. Разряд может даже прочечь насквозь баллон неоновой лампочки, если ее поднести слишком близко.

Обсуждение оптовов с высокочастотным генератором мы продолжим вследующем выпуске «Лаборатории «Кванта». А пока — несколько вопросов для самостоятельных исследований.

— Оцените индуктивность катушки $L_1$.

— Оцените емкость между верхимом концем катушки $L_3$ и вашей рукой, держащей неоновую лампочную ку. Оцените ток, текущий по руке. Почему не стоит слишком долго держать руку близко к катушке?

— Неоновая лампочка светится рядом с генератором, хотя она ни к чему не подключена. Откуда береется энергия? Как она попадает в лампочку?

— Если удалить из схемы катушки $L_3$, неоновая лампочка все равно светится. Правда, ее теперь надо подносить вплотную к $L_1$. Изменя индуктивность катушки и емкость конденсаторов, можно менять частоту генератора. Зависит ли цвет свечения неоновой лампочки от частоты?

Вниманию наших читателей

Магазин № 6 Московги (103031, Москва К-31, Кузнецкий мост, 18, маг. № 6 Московги) высылает наложенный платежом следующее книга:

Математика

Алебра и начала анализа. Ч. 1. Изд. 3-е, переработ. (Математика для технических описаний. — 1987. — 95 к.

Васильев Н. Б., Егоров А. А. Задачи Всесоюзных математических описаний. — 1988. — 70 к.

Воробьев Н. Н. Пriznakи делимости. Изд. 4-е, испр. (Популярные лекции по математике). — 1988. — 20 к.

Задачи по математике. Уравнения и неравенства. (Справочное пособие). — 1987. — 85 к.

Зарбежные математические описания. — 1987. — 1 р. 50 к.

Клейн Ф. Лекции о развитием математики в XIX столетии. Т. 1. Пер. с нем. — 1989. — 2 р. 50 к.

Понтрягин Л. С. Дифференциальные уравнения и их приложения. (Знакомство с высшей мат.) — 1988. — 40 к.

Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. (Б-ка мат. кружка). — 1989. — 75 к.

Сазанов А. А. Четырехмерный мир Минковского. (Пробл. науки и техн. прогресса). — 1988. — 70 к.

Успенский В. А. Машина Поста. Изд. 2-е,стер. (Популярные лекции по математике). — 1988. — 20 к.

Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних учебных заведений. Изд. 4-е, переработ. и доп. — 1988. — 1 р. 70 к.

Цыпкин А. Г., Пинский А. И. Справочник по методам решения задачи по математике для средней школи. Изд. 2-е, переработ. и доп. — 1989. — 2 р.

Физика, астрономия

Веркинбит М. Б., Глаголева Е. Г. Электричество в живых организмах. (Б-чка «Квант»). — 1988. — 70 к.

ВLEXман И. И. Что может выбраться? О «выбрационной механике» и выбрационной техническке. (Пробл. науки и техн. прогресса). — 1988. — 80 к.

(Окончание см. на c. 66)

46

Летняя физико-mатематическая школа в США

В соответствии с программой сотрудничества между журналом «Квант» (СССР) и фирмой «Международная образовательная сеть» (США) этим летом впервые были проведены советской американские физико-mатематические летние школы — в США и в СССР.

Приехавшие в г. Тарту ЭССР 47 американских школьников прошли серверный конкурсный отбор (на основе тестов). Среди советских школьников — участников школы в Тарту — были победители конкурса «Задачник «Кванта», Турнира городов, Московской городской олимпiadы по математике и физике. В Эстонии роль хозяйина взял на себя Тартуский научный парк (директор Я. Липпаа). Учебная программа обеспечила преподавателями и научными сотрудниками МГУ. Среди лекторов были известны советский математик профессор Ю. Манин.

А в Америке отправилась группа из 15 советских школьников. Делегация состояла, в основном, из победителей конкурса «Задачник «Кванта», а непреемными условиями участия является английским языком и коммуникальность. Руководители группы были ученый секретарь серии книг «Библиотека «Квант» доктор физико-mатематических наук А. Буздин и член редколлегии журнала «Квант»

Советские преподаватели А. Вуздин и…

Иван Аржанцев (Киев, ФМШ № 45 при КГУ). Нашей поездке в Америке предшествовала двухнедельная летняя школа в Молдежном центре ЦК ВЛКСМ «Олимпиц». Ежедневно проводились занятия по физике, математике на английском языке, мы практиковались и в английской разговорной речи. Летняя школа в «Олимпиц» оказалась не только полезной, но и приятной. Состоялись интересные встречи с членами редколлегии «Кванта», с американскими учеными и даже с бизнесменом.

Из 26 кандидатов для поезда в Америке были отбранны 15 школьников. Ребята, не вошедшие в эту группу, получили возможность поехать на советско-американскую школе в г. Тарту ЭССР.

Предолевшие же этот первый барер перешли ко

47

второму, для многих не менее трудному,— оформленную документов в Бюро Международного молодежного туризма «Спутник»…
11 июля после одинакового перелета мы оказались в Вашингтоне, где нас встречали представители Американской ассоциации преподавателей физики. И поздно ночью мы уже были в летней международной школе в Лонг-Айленде (штат Нью-Йорк).
Занятия в школе проводились по тем предметам — математике, физике, биологии. Математику преподавал доктор А. Сойфер (университет штата Колорадо); по физике занятия проводили доктор Э. Лозанский, директор летней школи, и доктор физика - математических наук А. Буздин; и, наконец, по молекулярной биологии лекции читал доктор Э. Трифонов (Институт Вейцимана, Израиль). Занятия по математике были посвящены комбинаторной геометрии и теории графов. Помимо традиционных заданий, нам было предложено несколько задач, представляющих неокоторый научный интерес, и тех, кто их решит, ожидало материальное вознаграждение. Вот эти задачи. Расмотрим выпуклый четырехугольник площадью 1 и точку внутри него. Вершины этого четырехугольника и внутриняя точка образуют 10 треугольников. Выберем из них треугольник с минимальной площадью. Требуется найти максимальное возможное значение этой площади. Решения этой и аналогичной задачи для выпуклого пятуугольника оценивались в 20 долларов каждой. В следующей задаче рассматривались выпуклые многоугольники. На занятиях мы показали, что если на границе произвольного выпуклого многоугольника площадью 1 взять 6 точек, то всегда можно выбрать из них три также, что площадь треугольника с вершинами

…А. Сосинский в американской летней школе.

в этих точках меньше 1/4 (условие 1). Также было доказано, что в произвольном выпуклом многоугольнике единной площади можно так расположить 4 точки, что площадь любого треугольника с вершинами в этих точках будет больше 1/4. Осталось определить, для каждой выпуклых многоугольников наименьшим необходимым числом точки для выполнения условий 1 является 5, а для каждой — 6. Решение этой задачи оценивалось в 50 долларов. Однако нам не удалось до конца решить ни одну из этих задач*).

На занятиях по физике решали задачи из многих разделов элементарной физики, был проведен

*) Мы предложаем читательм решить эти задачи. (Примеч. ped.)

внутриклеточного строения. Лекции были очень интересные и неформальные. Вообщество изучения биологии в американских шкoles в среднем выше, чем в советских, чего нельзя сказать однозначно об уровне изучения физики и математики.

Нам также был прочитан цикл лекций на самые разнообразные физические темы, обведенный названем «Силы в природа». Лекции читал лауреат Нобелевской премии профессор Ш. Глэшoy, и взгляды на физку такого крупного специализаста были интересны всем. Другой nobelевский лауреат, доктор Ш. Проин проел лекцию о методах определения структуры молекул, но эта лекция понравилась нам куда меншше.

В последние дни работы шкoles были проведены

48

математическая и физическая олимпiadы, победители которых*) смотут поехать следующим летом по бесплатным путешекам либо в США, либо во Францию (это общеали организаторы школы).

Помимо выполнения обширной учебной программы, мы просто хорошо отдохнули в течение этих двух недель, участвуя в теннисном и шахматном турирах, играя в волейбол и катаясь на каноз по реке. В школе занимались ребята из четырех стран: СССР, США, Франции и Швейцарии. Обще–

Лекцию читает лауреат Нобелевской премии Ш. Глэшоу.

седневным разговором на улице, в столовой, в магазине. К тому же даже ребята, усердно изучавшие английский язык в школе, как правило, читали, переводили, готовили на уроках определенные темы, но не имели разговорной практики и не могли воспринать быстрый английский речь на слух. Таким образом, стала очень общоность направленности школьного курса английского лишь на политические и географические темы.

Во время пребывания в летней школе мы съез_

Идут занятия по физике.

нице было самое тестное, так как состав всех комнат был интерациональным.

Многие из нас столнулись с языковыми проблемами, несмотря на то, что перед поездкой все занимались английским очень активно. Сразу стали видны слабые стороны нашего школьного преподавания языка. В первую очень лексика школьных учебников абсолютоно неприменима к пов-

*) Оба из советской группы — Ивар Мартин по физике и Иван Аржанцев по математике. (Примеч. ред.)

Встреча с Ю. Оспльяном в посольстве СССР в США.

50

ми» жаловаться не приходилось — мы разговарили с продавцами, прохожими, с попутками по протулке на пароходе. Очень приятно было встретиться с таким жизнирадостными и привлекательными людьми.

Маша Дорохова (п. Черноголовка Московской обл., с. ш. № 82). Выездная из Нью-Йорка в Вашингтон, мы побывали в Бруклине, точнее в Нью-Одесе. Население здесь составляют в основном русские эмигранты. Позотому волне естественных был интерес к этому району советских школников — все мы сокучились по русской речи. «Одесситы» тоже были рады пообшаться с людьми «только что оттуда». Их интерес к нашей стране — это уже не просто любопытство… Бруклин на вид — типичный район Нью-Йорка. Та-

кие же яркие вывески, маленькие магазинки. На особенно поразило то, что многие, особенно старшее поколение, так и не научились говорить поанглійски, все необходимое они покупют в «русских» магазинах. Обедали мы в русском ресторане. Сбылись мечты: черный хлеб, пельмени, борщ!. Михаил Гулько пел для нас русские песни. Большиество из них было о том, как трудно эмигрантам вдали от Родины… Мы, хотя и не были эмигранты, нечего пожоже наностальрю почувствовали и сами. Позотому разговоры про Нью-и просто Одессу еще долго не прекрашались.

Ивар Мартин (Ленинград, ФМШ № 45 при ЛГУ) и Павел Михеев (Москва, ФМШ № 18 при МГУ). Одно из наиболее сильных печателей произведелла на нас обыкновенная американская High School*. Эта школа находится в штате Нью-Йорк, на острове Long Island. Ее полное название Smithtown High School West.

Рассказ об этой школе можно найти с того, что учится в ней 1100 человек (15—25 человек в классе), но по размерам эта школа в 3—4 раза больше, чем средняя советская школа. На территории школи 4 тенисных корта, 2 футбольных поля и одно поле для американского футбола. Интервершы не уступает ее внешнему виду. Прекрасно оборуданные кабинеты, огромный спортивный зал — одним словом, все то, что не хвадает большим стуну наших школ. Также можно отметить, что в этой школе имеются 3 буфета,

*) Аналог старших классов нашей школи. (Причеч. ред.)

51

в которых качество и ассортимент пищи несколько выше, чем в наших школах. Но все эти яркие картины отступили, когда мы увидели школьную библиотеку. Поразило даже не количество книг, которое соответствует ресурсам наших районных библиотек, а сама организация работы. Каждый ученик, чтобы найти необходимый материал, может воспользоваться одним из многочисленных компьютеров, нахождения здесь же. Введение документации производится с помощью 2-х центральных компьютеров. Там же можно получить информацию о периодическом печати, которая поступает в библиотеку даже летом.

И еще один интересный момент: каждый ученик имеет свой собственный металлический шкафчик, закрывающийся на замок, который, как это ни странно, нельзя открыть ни ответкой, ни шпилькой, поэтому каждый ученик может положить внутри этого «сейфа» любую ценную вешь с полным способием.

Трудно заканчивать наш рассказ словами, полными скрытой завистсти. Поэтому скажем вам, по секрету, что тех, кто вынужден учиться даже летом, у американцев не меняше, а может, даже и больше, чем у нас.

Волода Барановский (Омск, с.ш. № 115). Мне больше всего понравились прогулики по Капитолю — это значение контресса США в Вашингтоне (кстати, купол Капитолия венчает американский индец). В одном из залов увидел статуи наиболее известных народных трибунов из разных штатов Америки. Интересно было взглянуть и на комнату, в котором в прошломве заседал Верховный Суд. Жалко только, что Конгресс начинает работу с сентября, не удалось посмотреть съезд их «депутатов».

Диар Чокин (Алма-Ата, РФМШ). Я хотел бы поделиться своим впечателями о физических lekциях в Мэрилендском университете. Есличество, то они показались мне (а может быть, не я один такой) не очень интересными. В lekциях рассказывалось о довольно сложных вещех, о которых я и на русском языке, не говоря уже об английском, не все бы понял. При всем при этом ложились мы очень поздно, аставать должны были очень рано. И поэтому большая часть энергии, которая должна быть идти на переваривание lekций, шла на борбу со сном. Но это, когда лектор начинаал показывать слабые или ползовальные другие оборудованием из богатого арсенала вспомогательных средств, зал заметно ожидался. Да, оснашенноести университетских аудитории можно позавидовать. Это и компьютер, выводящий данные на громадный экран, и автоматизированные доски, и врашащиеся сцены. Конечно, очень хочет, чтобы все это было у нас. И еще мне очень понравился памятник Альберту Эйнштейну в Вашингтоне. Я думало, что это генеральное производение искусства современности.

Юля Великина (Днепропетровск, с.ш. № 45). Перед отъездом в Штаты всем нам говорили, что американцы очень рецептные люди, и мы смогли убедиться в этом самом. Их набожность, правда, совершенно не заметна с первого взгляда. Религия здесь никомуник не называывается, люди сами приходит к Богу, причем многое уже в зрелом возрасте. По воле случае мы познакомились с членами одной из христIANских общин. Они приходит к нам несколько вечеров подряд, читали Библию, рассказывали о себе. Эти люди помогом не пытались обратить нас в свою веру, они просто говорили с нами о Боге и людах, о добре и зле.

Борис Дубров (Минск, с.ш. № 107). Очень интересным оказался заключенный пункт нашей программы — посещение NASA. Нас проверил по современному научному центру, показали новейшее оборудование для исследования лекций о работе NASA, об использовании океана, полезных американского корабля «Вояджер» и работе одного из крупнейших в мире телекопов, рассказного на околоземной орбите. За ленчем мы встретились со специалистами по кибернетике и долго беседовали о компьютерной науке.

Катрин Каарли (Тарту, с.ш. № 2). Если меня спросят, что меня больше всего поразило в Америке, я ответу — лоди. Благодаря этим лодям, нашей путешествие было прекрасным и незабываемым. И, прошаясь, мы говорили друг другу: «We’ll surely meet soon!» («Мы обязаательно скоро встретились!»).

Редакция благодарит Татьяну Лозанскую, любезно предостающейую фотографию для этой статьи.

52

Метод графических оценок

В. А. МУКУШЕВ

Известно множество различных методов в исследовании физических явлений и процессов. Один из них — метод графических оценок. Он применяется и при решении конкретных физических задач.

Графический способ, с одной стороны, делает наглядным различные этапы решения задачи, а с другой — дает возможность быстрый оценки полученного решения, что особенно важно в случае громоздкого анализического решения или при его невозможности.

Поскольку графический метод относится к приближенным методам вычисления, результаты получаются не точными. Впрочем, точность всегда можно увеличить, используя таблицы, микрокалькуляторы, ЭВМ. Построив соответствующие графики, вы можете быстро получить приближенный результат и проверить, насколько он реален и имеет ли физический смысл.

Предлагаемые в статье задачи вряд ли давались на вступительных экзаменах вузы, хотя близкие к ним задачи, имеющие громоздкое анализческое решение, вам, несомненно, могут встретиться.

Задача 1. На закрепленный шаг радиусом R сверху поставлена игрушка «Ванька-Встанька» (рис. 1). Нижняя поверхность игрушки — сферическая с радиусом r, центр тяжестеи игрушки — точка C — расположен на середине радиуса сферы. До какого предельного угла β_max можно отклонить игрушку, чтобы она возвращалась в начальное положение, если R/r=4?

53

При отклонении игрушки, например, вправо, центр тяжести смещается (см. рис. 1). Если при этом он оказывается левее вертикали $AB$, проходящей через точку опоры $A$, то момент силы тяжести будет возвращать игрушку в положение равновесия. Если же центр тяжести оказывается правее $AB$, игрушка упадет.

Обозначим $\alpha$ — угол поворота игрушки, $\beta$ — угол поворота радиуса $O'A$. Други $LA$ и $KA$ равны (нет проскальзывания), т. е. $\alpha r = \beta R$, откуда $\alpha = \beta \frac{R}{r}$.

Из треугольника $OAB$ имеем

$$\frac{OB}{\sin \beta} = \frac{AO}{\sin (\pi - \alpha - \beta)} = \frac{r}{\sin (\alpha + \beta)} = \frac{r}{\sin (\beta (1 + R/r))},$$

или

$$OB = \frac{r \sin \beta}{\sin (\beta (R/r + 1))}.$$

Игрушка возвраится в исходное положение, если $OC = \frac{1}{2} r > OB$, т. е.

$$\frac{1}{2} r > \frac{r \sin \beta}{\sin (\beta (R/r + 1))},$$

или, с учетом соотношения $R/r = 4$, $\sin 5\beta > 2 \sin \beta$.

Чтобы найти предельный угол $\beta_{\max}$, нам предстоит решить трионометрическое уравнение

$$\sin 5\beta_{\max} = 2 \sin \beta_{\max}.$$

Для этого построим графики функции $y = \sin 5\beta$ и $y = 2 \sin \beta$ и из пересечения этих графиков (рис. 2) найдем

$$\beta_{\max} \approx 0,42 \text{ рад} \approx 23,9^\circ.$$

Значит, при $-23,9^\circ < \beta < 23,9^\circ$ игрушка возвращается в начальное положение.

Задача 2. На покоящся на главкой поверхности кубик массой $m$, соединенный со стенкой пружиной, налетает справа второй кубик массой $M$ (рис. 3). Происходит абсолотно упругий удар, после чего первый кубик начинает колбаться. Какая часть перiodа колбаный пройдет до момента

$$Mv_0 = mv_1 + Mv_2, \quad \frac{Mv_0^2}{2} = \frac{mv_1^2}{2} + \frac{Mv_2^2}{2},$$

откуда

$$v_1 = v_0 \frac{2}{1 + \gamma}, \quad v_2 = v_0 \frac{1 - \gamma}{1 + \gamma}.$$

54

Последе соударения второй кубик будет двигатся равномерно, и его координата со временем будет изменяться по закону

$$x_2 = v_2 t = v_0 \frac{1-\gamma}{1+\gamma} t.$$

Первый же кубик начинает колебаться по закону

$$x_1 = x_m \sin \omega t.$$

Частота гармоничских колебаний

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}},$$

где $k$ — жесткость пружины. Амплитуду колебаний $x_m$ найдем из закона сохранения энергии:

$$\frac{m v_1^2}{2} = \frac{k x_m^2}{2} \Rightarrow x_m = \frac{v_1}{\omega} = \frac{2 v_0}{(1+\gamma) \omega}.$$

Таким образом,

$$x_1 = \frac{2 v_0}{(1+\gamma) \omega} \sin \omega t.$$

Второе соударение кубиков произойдет при условии $x_1 = x_2$, т. е.

$$\frac{2 v_0}{(1+\gamma) \omega} \sin \omega t = v_0 \frac{1-\gamma}{1+\gamma} t.$$

Отсюда

$$2 \sin \omega t = (1-\gamma) \omega t,$$

или

$$2 \sin \left(2 \pi \frac{t}{T}\right) = (1-\gamma) 2 \pi \frac{t}{T},$$

где $T = 2 \pi/\omega$ — период колебаний, $t/T$ — искомая частота периода.

Обозначим $\pi t/T = z$. Тогда предыдущое уравнение прибретет вид

$$\sin 2z = (1-\gamma) z.$$

При $\gamma = 1/2$ получаем

$$\sin 2z = \frac{z}{2}.$$

Начертим графики функций $y = \sin 2z$ и $y = z/2$ (рис. 4) и из их пересечения найдем

$$z \approx 1,24$$ рад, $\pi \frac{t}{T} \approx 1,24$, $\frac{t}{T} \approx 0,39$.

Если $m \ll M$, т. е. $\gamma \to 0$, то получаем уравнение

$$\sin 2z = z.$$

Его решением будет (см. рис. 4)

$$z \approx 0,95$$ рад, или $\frac{t}{T} \approx 0,30$.

Второго соударения кубиков не произойдет, если их координаты больше не совпадают, т. е., говоря на языке графиков, если прямая, выражающая график зависимости координаты второго кубика от времени, не пересечет второй раз синусоиду. Этому соответствует все прямые линии, выходящие из точки $O$ и нахождения ващитхованной области между линиями $I$ и $II$. Линия $I$ соответствует случаю $m/M \to \infty$ (масса налетающего кубика очень мала). Осталось найти $\gamma$ для линии $II$ — касательной к синусоиде. Как видно из рисунка 4, этой линии соответствует значению $z \approx 2,24$ рад. Отсюда

$$\gamma = 1 - \frac{\sin 2z}{z} \approx 1,44.$$

Итак, чтобы не произило второго столкновения, должно выполнять условие

$$1,44 < \gamma < \infty.$$

Задча 3. Поршневой насос при каждом качании захватывает определенный объем воздуха. При откачке воздуха из сосуда насос совершил четые качания. Начальное давление внутри сосуда было равно атмосферному $p_0$. Затем этот насос начал нанести воздуха в сосуд из атмосферы и совершил также четые качания. При этом давление в сосуде стало в сосуде