Квант 2007, №5 · Страницы

9

СОВРЕМЕННАЯ

МАТЕМАТИКА.

Рис.7. Геодезические модели Пуанкаре плоскости Лобачевского

рим группу SDiff M «несжимаемых» диффеоморфизмов многообразия М (т.е. диффеоморфизмов M ® M, сохраняющих некоторый элемент объема $\tau$ на М). Геодезические правоинвариантной метрики на этой группе представляют собой (эйлеровы) течения несжимаемой жидкости вдоль многообразия М. Эйлерова теория устойчивости стационарных движений твердого тела превращается в этом случае в обобщение теоремы Рэлея об устойчивости двумерных течений несжимаемой жидкости, когда профиль скоростей не имеет точек перегиба (рис.8). Течения с точками перегиба оказываются в этом

Рис.8. Теорема Рэлея об устойчивости плоскопараллельных течений несжимаемой жидкости

случае аналогичными стационарным вращениям твердого тела вокруг средней оси инерции – общая теорема устойчивости Эйлера применяется в обоих случаях одинаково, но при переходе от трехмерной группы SO(3) к бесконечномерной группе SDiff M из теоремы Эйлера получается (обобщенная) теорема Рэлея.

ВОСХОДЯЩАЯ

К

ЭЙЛЕРУ

На устойчивость геодезических многообразия оказывает большое влияние его «секционные кривизны по двумерным направлениям». А именно, отрицательность кривизны вызывает экспоненциальное с течением времени разбегание геодезических (с близкими начальными условиями). Теория Эйлера позволяет вычислить эти секционные кривизны (для групп с левоинвариантными или правоинвариантными метриками). Применив эти вычисления к группам несжимаемых диффеоморфизмов поверхностей, я получил много двумерных направлений сильно отрицательной кривизны. Например, применяя эти оценки к двумерной гидродинамике на поверхности тора (и к течениям пассатного типа), я убедился, что первоначально малые возмущения начального поля скоростей вырастают примерно в $10^{5}$ раз (от километрового размера грозы до изменений погоды планетарного масштаба) за время порядка месяца. Это означает, что динамический прогноз погоды на сильно превышающее неделю время будет оставаться невозможным, как бы сильно ни будут усовершенствованы и компьютеры, и методы вычислений, и регистрирующие исходное состояние погоды датчики. Действительно, слегка изменив начальные скорости в каждом кубическом километре (даже так, чтобы средние по соседнему десятку кубических километров при этом не менялись), мы придем к такому новому начальному условию, которое датчики не отличат от старого, но которое приведет тайфун через пару недель не в Новый Орлеан, куда он должен был попасть по старому сценарию, а, скажем, в Бомбей. Можно только поражаться, насколько значительными оказываются приложения фундаментальных теорий и идей Эйлера даже в тех случаях, когда сам он ограничился при их изложении первым содержательным случаем (группы SO(3) в нашем примере), а все далекие обобщения получены лишь недавно.

Вниманию наших читателей!

28 марта 2008 года исполняется сто лет со дня рождения выдающегося физика, академика Исаака Константиновича Кикоина. В связи с этим в нашей стране на высоком государственном уровне запланированы множественные специальные мероприятия. Для нас же Исаак Константинович Кикоин был прежде всего создателем и первым Главным редактором журнала «Квант». Редакционная коллегия, редакционный совет и редакция журнала «Квант» объявляют ближайший год в журнале «Квант» – «годом Кикоина». И вот что под этим подразумевается. Мы планируем в шести ближайших номерах журнала опубликовать разнообразные воспоминания об академике И.К.Кикоине, а в научных статьях и других материалах журнала уделить особое внимание тем областям физики и техники, в которых выдающимся образом раскрылся научный и организационный талант этого удивительного человека, в особенности – атомной и ядерной физике и энергетике. Нами готовится к изданию специальный, посвященный юбилею И.К.Кикоина выпуск серии «Библиотечка «Квант». Те из нас, кто близко знали Исаака Константиновича, с благодарностью хранят в душе его незабываемый светлый образ. Мы очень хотим, чтобы этот образ был запечатлен в памяти и новых поколений наших читателей.

10

КВАНТ 2007/№5

9 октября 2007 года исполнилось бы 100 лет известному ученому и педагогу Валентину Александровичу Фабриканту. За свою долгую творческую жизнь Валентин Александрович сумел многое – сделать замечательные открытия (он – автор работ по параметрическому усилению света, заложивших основу создания лазеров), воспитать плеяду учеников, написать прекрасные книги и статьи. В.А.Фабрикант стоял и у истоков создания журнала «Квант». Являясь бессменным членом редакционной коллегии, он был большим другом читателей и редакции. Мы рады предложить вашему вниманию статью В.А.Фабриканта, опубликованную в «Кванте» №7 за 1978 год и вошедшую в Приложение к журналу «Квант» №4/99, посвященное памяти Валентина Александровича.

Сюрпризы зеленого стекла

В.ФАБРИКАНТ

Какого цвета зеленое стекло? Этот вопрос может вызвать чувство естественного недоумения. Читатель с раздражением скажет: зеленое стекло потому и называется зеленым, что оно… Однако не надо спешить со снисходительными разъяснениями. Нехитрый опыт покажет вам, что вопрос о цвете зеленого стекла совсем не так прост. Если у вас есть кусок зеленого стекла, разбейте его осторожно на несколько не очень маленьких кусочков. Затем посмотрите сквозь один из них на нить лампы накаливания. Как вы и ожидали, нить будет казаться зеленой. Наложите на этот кусочек стекла второй и снова посмотрите на нить. Вероятно, вы не заметите изменения цвета нити, она будет зеленой по-прежнему. Но если наложить на два кусочка стекла третий и посмотреть сквозь все три кусочка на нить, вы увидите ее уже неокрашенной – белесоватого цвета. Сквозь четыре кусочка нить будет казаться красноватой, а сквозь пять кусочков – рубиново-красной! Результат совершенно неожиданный и весьма поучительный. Оказывается, цвет стекла зависит от его толщины, и зеленое в тонком слое стекло становится красным при достаточно большой толщине слоя. Таким свойством обладает, конечно, не каждое зеленое стекло, но как раз наиболее распространенные дешевые сорта зеленых стекол. Любопытно, что это же свойство присуще раствору самого важного красящего вещества на земле – хлорофилла. Как известно, хлорофилл окрашивает листья растений в зеленый цвет. Поместив листья в спирт, можно получить раствор хлорофилла в спирте и провести такой опыт. Поставьте на лист белой бумаги стакан и медленно наливайте в него раствор хлорофилла. Сначала дно стакана на просвет будет казаться

зеленым, а затем, при большой толщине слоя, раствор приобретет насыщенный темно-красный цвет. Вернемся к зеленому стеклу. Можно еще сильнее запутать вопрос о цвете стекла, если после лампочки накаливания посмотреть сквозь кусочки стекла на раскаленный конец кочерги. Уже через три кусочка стекла он будет казаться рубиново-красным. Вот вам и второй неожиданный результат: видимый цвет стекла зависит не только от его толщины, но и от того, на какой светящийся предмет мы смотрим сквозь это стекло. Слой из трех кусочков стекла кажется бесцветным при наблюдении нити лампы накаливания и красным – при наблюдении конца раскаленной кочерги. С кочергой можно сделать еще один опыт, из которого следует практически важный вывод. Вынутая из печки кочерга быстро остывает. Попробуйте проследить сквозь стекло за концом кочерги во время остывания. Как мы уже говорили, конец раскаленной кочерги виден красным сквозь три кусочка стекла. Конец несколько остывшей кочерги кажется красным уже через два кусочка. Подождав еще немного, вы увидите конец кочерги красным даже через один кусочек зеленого стекла. Из этого опыта следует, что чем выше температура раскаленного тела, тем толще должен быть слой стекла, чтобы произошло изменение его цвета. Значит, по толщине слоя стекла, необходимого для изменения цвета, можно судить о температуре раскаленного тела. Опыты с кочергой делают понятным устройство чрезвычайно остроумного и простого прибора, служащего для определения температур раскаленных тел, – пирометрического клина. Он представляет собой действительно клин из зеленого стекла, толщина которого плавно возрастает от одного конца к другому. Клин

11

СЮРПРИЗЫ

ЗЕЛЕНОГО

двигается в металлической оправке с отверстием для наблюдения раскаленного тела. По краю клина нанесена шкала температур, причем температура растет от тонкого конца клина к толстому. Наставив отверстие оправки на раскаленное тело, надо двигать клин в оправке до тех пор, пока не произойдет изменение видимого цвета тела. Тогда на шкале против указателя, соединенного с оправкой, можно прочесть температуру раскаленного тела. Пирометрическим клином особенно часто пользуются для определения температуры расплавленного металла, например в мартеновских печах. Несмотря на свое простое устройство, клин в опытных руках дает высокую точность. Вы познакомились с принципом действия полезного прибора, использующего свойства зеленого стекла, но загадка самого стекла осталась загадкой.

Опыт, не сделанный Ньютоном, и ландшафтная живопись

Наверное, многие из вас помнят знаменитый опыт Ньютона с разложением солнечного луча в разноцветный спектр при помощи стеклянной призмы. Этот опыт показал, что солнечный свет представляет смесь лучей различных цветов: красного, оранжевого, желтого, зеленого, голубого, синего и фиолетового. Ньютон почему-то не попытался несколько усложнить этот опыт: поставить на пути солнечного луча цветное стекло или сосуд с окрашенной жидкостью. Во всяком случае, в своих трудах Ньютон не описывает такого опыта. Опыт с красным стеклом, собственно, ничего интересного и не дал бы. Вместо разноцветной полоски спектра остался бы только участок, соответствующий красным лучам. Результат можно было предсказать заранее: красное стекло потому и красное, что пропускает только красные лучи и поглощает все остальные. Гораздо более интересен опыт с зеленым стеклом или сосудом, наполненным раствором хлорофилла. В этих случаях от спектра останутся уже не одна, а две полоски: зеленая и темно-красная. А это значит, что зеленое стекло и раствор хлорофилла пропускают не только зеленые, но и красные лучи. По поводу хлорофилла очень интересны замечания знаменитого русского ботаника К.А.Тимирязева: «Убедиться в том, что хлорофилл пропускает красные лучи, можно очень легко: стоит на залитый ярким солнечным светом ландшафт посмотреть через особое синее стекло, которое пропускает красные и синие лучи, но задерживает зеленые, для того чтобы перед нашими изумленными взорами вся природа совершенно преобразилась – под обычным синим небом мы увидим кроваво-красную растительность <рис.1>. Не в этой ли особенности цвета хлорофилла лежат те трудности, с которыми, очевидно, приходится бороться ландшафтной живописи? На палитре живописца, по-видимому, нет тех зеленых тонов, которые представляет вблизи ярко освещенная зелень». Оставим, однако, живопись пока в стороне и вернемся к пирометрическому клину. Несколько видоизменим описанный выше опыт. В качестве источника света

СТЕКЛА

Рис. 1

используем нить лампы накаливания и между ней и призмой поместим пирометрический клин (рис.2). На стене мы опять увидим две полоски – зеленую и красную, причем соотношение яркостей этих полосок будет зависеть от толщины клина в месте прохождения светового луча. Если луч проходит сквозь тонкую часть

Рис. 2

клина, зеленая полоска значительно ярче, чем красная, при увеличении толщины клина яркость обеих полосок снижается, а начиная с некоторого момента красная полоска становится ярче зеленой. Когда зеленая полоска ярче красной, нить видна зеленой, при обратном соотношении яркостей полосок – красной. При равенстве яркостей полосок нить кажется бесцветной. Как будто загадка зеленого стекла разъяснена. Однако остается еще объяснить, почему с ростом толщины стекла соотношение яркостей красной и зеленой полосок меняется на обратное. Оказывается, объяснение вытекает из важного закона оптики, открытого одним бравым моряком лет двести тому назад.

Капитан дальнего плавания и геометрическая прогрессия

Капитан дальнего плавания француз Пьер Бугер, живший в первой половине восемнадцатого столетия, не был, пожалуй, простым моряком. Им написаны объемистые трактаты по конструкции судов, по навигации и другим отраслям морского дела. Французская Академия наук присудила Бугеру три премии за работы по морскому делу и избрала его своим членом. Вкус к морской науке Бугер унаследовал от своего отца, профессора гидрологии. Если морем Бугер занимался по наследству, то оптикой он занялся по собственному почину. Бугер первый обратил внимание на проблемы, связанные с изменениями силы света и освещенности. Он придумал первые приборы для измерения силы света и установил, что сила света Солнца в 300 тысяч раз больше

12

КВАНТ 2007/№5

силы света Луны, а в его «Оптическом трактате» содержался очень важный закон ослабления света в поглощающих телах. Чтобы понять смысл этого закона (его называют законом Бугера), воспользуемся не очень правдоподобной, но наглядной аналогией из области спорта. Представим себе, что мы присутствуем на плохо подготовленном массовом состязании в беге на семь километров. Слабая тренировка участников стала сказываться сразу, и болельщики быстро установили следующий любопытный закон – лишь одна треть бегунов, начавших данный километр дистанции, добегает его до конца. Старт приняли 2187 участников, к концу первого километра на дистанции остались 729, к концу второго – 243, к концу третьего – 81, четвертого – 27, пятого – 9, шестого – 3 участника. Наконец, седьмой километр заканчивает только 1 бегун, объявленный победителем. Судьям даже не пришлось воспользоваться секундомером для определения того, кто первым коснулся финишной ленточки. Выпишем в строку числа бегунов, пробежавших различные дистанции:

2187, 729, 243, 81, 27, 9, 3, 1.

Нетрудно видеть, что эти числа образуют убывающую геометрическую прогрессию, в которой каждое последующее число в три раза меньше предыдущего, стоящего слева от него. Вернемся от спорта к оптике. Возьмем кусок окрашенного стекла. Допустим, что он пропускает одну треть падающего на него света. Добавим второй такой же кусок. Он пропустит одну треть светового потока, прошедшего через первый кусок, т. е. одну девятую часть светового потока, падающего на первый кусок. Поставив еще один кусок, получим одну двадцать седьмую часть и так далее. Ясно, что такой же результат получился бы просто при увеличении толщины куска стекла вдвое, второе и т.д. Когда толщина стекла растет, доля пропускаемого света падает по геометрической прогрессии. Это и есть закон, открытый Бугером. В примере с бегунами мы уже видели, как быстро уменьшаются числа в геометрической прогрессии.

Еще немного спорта

Вооруженные законом Бугера, мы можем смело броситься в атаку на загадку зеленого стекла. Однако прежде вспомним опять о спорте и представим себе такую ситуацию. Новички, так неудачно пробежавшие дистанцию в семь километров, самоуверенно вызвали на соревнование команду опытных мастеров. Мастера приняли вызов и даже предложили весьма великодушные условия: на старт выходят все 2187 новичков и только 512 мастеров; победившей считается команда, в которой большее число бегунов добежит до конца седьмого километра. На состязание обе команды явились в цветных майках: новички надели зеленые майки, мастера – красные. После первого километра сторонники новичков

приободрились. Из команды новичков осталось, как и в прошлый раз, 729 бегунов, а у мастеров – 256. Большой численный перевес сохранился на стороне новичков. Поклонники мастеров были несколько обескуражены тем, что в этой команде сразу вышли из строя половина бегунов. Но один из болельщиков, сделав карандашом нехитрые выкладки на папиросной коробке, уверенно заявил, что если дело пойдет так же и дальше, то выиграют наверняка мастера. После второго километра «зеленых» осталось 243, а «красных» – 128. После третьего километра «зеленых» – 81, а «красных» – 64. Настроение сторонников новичков заметно стало падать. После четвертого километра «зеленых» – 27, а «красных» – 32. Все с почтением посмотрели на предсказателя с коробкой папирос. Оставшиеся три километра только усугубили поражение «зеленых». После пятого километра «зеленых» – 9, «красных» – 16, после шестого — 3 и 8. Наконец, к финишу в конце седьмого километра пришли один «зеленый» и четыре «красных». Выпишем друг под другом числа бегунов в обеих командах:

2187, 729,243, 81,

27,

9,

3,

1

512, 256, 128, 64,

32,

16,

8,

Во второй строке отношение последующего числа к предыдущему равно одной второй, а в первой строке, как и раньше, – одной трети. Оказалось, что эта небольшая разница в числах не только была достаточна, чтобы компенсировать большой начальный численный перевес команды «зеленых», но и привела команду «красных» к победе. Нужна была только достаточно длинная дистанция, не менее четырех километров. На более коротких дистанциях победили бы «зеленые». В поведении зеленых и красных лучей и «зеленых» и «красных» бегунов существует полная аналогия (рис.3). Зеленое стекло лучше пропускает темно-красные лучи, чем зеленые, причем, согласно закону Бугера, различие в пропускании этих лучей быстро растет с ростом толщины слоя стекла («длинная дистанция»). Но тогда естественно возникает вопрос: почему в тонком слое стекло кажется зеленым, если оно пропускает темно-красные лучи лучше, чем зеленые? Объясняется это спектральной характеристикой источника света, с которым проводился опыт: зеленый участок спектра гораздо ярче, чем темно-красный (команда «зеленых» многочисленнее «красных»). В тонком слое стекла («короткая дистанция») разница в поглощении

Рис. 3

13

СЮРПРИЗЫ

ЗЕЛЕНОГО

темно-красных и зеленых лучей еще не настолько велика, чтобы перекрыть перевес в начальной яркости зеленых лучей. Основную роль играют зеленые лучи, что и дает соответствующую окраску. С ростом толщины стекла, согласно закону Бугера, пропускание зеленых лучей падает несравненно быстрее, чем темно-красных (числа «зеленых» и «красных» бегунов на больших дистанциях). При достаточно большой толщине разница в пропускании уже так велика, что перекрывает начальный перевес в яркости зеленых лучей, и от всего спектра практически остается только темно-красная полоска. Осталось только объяснить, какую роль играет температура раскаленного тела, на которое мы смотрим сквозь стекло. Известно, что чем сильнее мы раскалим любой металлический предмет, тем белее даваемый им свет. Недаром говорят: «довести $до_{Рис.} 4$ белого каления». Так, при недостаточном накале лампочка накаливания дает красноватый свет, при нормальном накале – гораздо более белый. Объясняется это тем, что с ростом температуры яркость зеленых и синих лучей растет гораздо быстрее, чем красных. Значит, при более высокой температуре разница в яркостях зеленой и темно-красной частей спектра больше, и ее труднее перекрыть поглощением в стекле. Вот почему при более высоких температурах раскаленного тела для изменения цвета наблюдаемого излучения нужно более толстое стекло.

Древнерусские иконы и наблюдения Леонардо да Винчи

На некоторых древнерусских иконах бросается в глаза необычная расцветка одеяний святых. Складки изображены краской, обладающей резко отличным цветом от цвета гладких частей одеяния. Например – красные складки на зеленом плаще (рис.4) или оранжевые складки на синем одеянии. Острый глаз древнерусского богомаза заметил, что некоторые ткани обладают двухцветностью и в складках приобретают другой цвет, чем на ровной поверхности. Причина двухцветности тканей та же, что и в опыте с пирометрическим клином. Если луч света, отраженный от двухцветной ткани, пропустить сквозь призму, то в спектре обязательно останутся две цветные полоски. Для зеленой двухцветной ткани картина будет той же, что с зеленым стеклом: останутся красная и зеленая полоски, остальные лучи поглотятся. Двухцветная зеленая ткань лучше отражает красные лучи, чем зеленые, но при однократном отражении от гладкой поверхности ткани сказывается бóльшая яркость зеленых лучей в падающем свете. Поэтому в однократно отраженном свете все-таки преобладают зеленые лучи. В складках ткани свет испытывает по крайней мере два последовательных отражения. При втором отражении красные лучи отражаются опять сильнее, чем зеленые, и в результате двукратного

СТЕКЛА

отражения происходит то же, что и в зеленом стекле большой толщины: яркость красных лучей становится больше яркости зеленых лучей и ткань меняет цвет. Многократные отражения усиливают этот эффект. Большинство обычных тканей обладает прямо противоположными свойствами. В складках получается более насыщенный, но такой же цветовой тон, что и на ровной поверхности. Объясняется это опять-таки повторными отражениями. Свет, отраженный от таких тканей, после разложения призмой дает только одну полоску в спектре вместо двух полосок у двухцветных тканей. Например, свет, однажды отраженный от желтого бархата, дает в спектре широкую полосу с наибольшей яркостью в желтой части. Кроме желтых лучей в спектре присутствуют еще зеленые и голубые лучи. При двукратном отражении полоса в спектре становится ýже, так как голубые лучи практически исчезают совсем, а зеленые сильно ослабляются. Это работает все тот же закон геометрической прогрессии. В результате желто-оранжевый отраженный свет делается более насыщенным. Один из наиболее разносторонних гениев, живших когда-либо, – Леонардо да Винчи – не только заметил своим глазом художника эту особенность складок тканей, но и как ученый дал вполне правильное объяснение наблюдаемому явлению. В «Трактате о живописи» он пишет: «Отраженные цвета имеют гораздо большую красоту, чем природный цвет этих тел, как это видно на открывающихся складках золотых тканей… когда одна поверхность отражается от другой, стоящей напротив, а эта в ней, и так последовательно до бесконечности». В том же «Трактате о живописи» сказано: «Рефлексы (отражения) от живого тела, получающего свет от другого живого тела, более красны и более превосходно телесного цвета, чем любая другая часть живого тела, какая только может быть у человека». Созерцая с наслаждением в залах «Эрмитажа» изумительные полотна Ван Дейка и Рубенса, нетрудно заметить, что и для этих великих мастеров эффект многократных отражений не был тайной.

14

КВАНТ 2007/№5

Парадокс стола на четырех ножках

ПОЧЕМУ АВТОР ПРЕДЛАГАЕТ ЧИТАТЕЛЯМ РАС- сказ о таком незатейливом предмете, как деревянный стол? Забыл, что живет в двадцать первом веке? Нет, не забыл. Предлагаемый рассказ действительно не содержит ничего неизвестного специалистам. Тем не менее, он весьма поучителен, так как показывает, что даже в простейшем случае при решении физической задачи неизбежно принимаемые на веру те или иные казалось бы правдоподобные предположения могут привести к самым парадоксальным выводам. Это будет показано на примере простого деревянного стола. Первая попытка выяснить, как распределяется меж-

ду ножками стола нагрузка со стороны стоящих на столе предметов, приведет нас к некоторому парадоксу. Разрешив его, мы окажемся лицом к лицу с совершенно новой для нас картиной и новыми задачами. Такой этап исследования – обнаружение парадокса в процессе теоретического исследования и поиски выхода из него – присущ многим физическим задачам, в том числе и некоторым задачам современной физики. Это и побудило автора вспомнить описанную ниже историю. В студенческие годы я прочел воспоминания одного известного русского механика. К сожалению, прошедшие с тех пор семь десятилетий стерли в памяти имя этого ученого. Остался только один рассказанный им яркий эпизод. Автор воспоминаний обнаруживает поразительную вещь – методы статики пасуют перед такой простой задачей, как расчет усилий ножек стола, на котором покоится гиря, если у стола четыре ножки. И это при том, что задача о столе с тремя ножками решается элементарно. В чем же дело? Не нужно думать, что математическая задача о четырехногом столе является настолько сложной, что никто не может ее решить. Наоборот, задача элементарно проста, и, как скажет любой математик, найти ее полное решение не составляет никакого труда. Однако… Приступим к решению задачи о столе о четырех ножках. Помимо сил тяжести (стола и стоящей на нем гири) на стол действуют еще четыре силы, которые не дают провалиться ни одной из четырех ножек. Это реакции опоры (пола), приложенные к ножкам стола в точках их соприкосновения с полом. Все эти силы направлены вертикально. Силы трения отсутствуют, поскольку стол неподвижен и никто не старается

Иллюстрация В.Иванюка

Г.ЛЮБАРСКИЙ

17

ПАРАДОКС

СТОЛА

сматриваемого треугольника – условимся называть его базовым. У каждой из этих фаз есть свой ареал существования, т.е. совокупность тех положений центра тяжести, которые допускают данную фазу. Ареал фазы (1234) обозначим символом $\Gamma_{0}$. Пусть $\Gamma_{3}$ – это ареал фазы (123), а $\Gamma_{4}$ – ареал фазы (124). Воспользуемся изображенными на рисунке осями координат X и Y. Обозначим через x и y прямоугольные координаты центра тяжести системы «стол + гиря». Пусть a – абсцисса точки 2, а b – ордината точки 3. Из законов статики сразу же получаем

$( F_{3} + F_{4} ) b = Py$,

$( F_{2} + F_{3} ) a = Px$,

$F_{1} + F_{2} + F_{3} + F_{4} = P$.

В действительности, из-за сжимаемости ножек, эти равенства являются приближенными. Тем не менее, ими можно пользоваться, если разности длин ножек как в ненагруженном, так и в нагруженном состоянии не превышают нескольких миллиметров, а стороны a и b прямоугольника, соединяющего точки крепления ножек стола, порядка одного метра. Так, например, если разность длин двух ножек, вызванная неточностью изготовления, составляет три миллиметра, то это изменит расстояние между их концами менее чем на одну двухсотую миллиметра. (В этом легко убедиться, воспользовавшись теоремой Пифагора.) Поэтому четырехугольник с вершинами в точках, в которых ножки касаются пола, можно с высокой степенью точности считать равным прямоугольнику 1234. Как следствие этого, отклонения ножек от вертикали оказываются порядка стотысячных долей радиана. Столь же мало и отличие полученных нами последних соотношений от точных соотношений, диктуемых механикой. Предположение, лежащее в основе наших оценок, выполняется, если материал, из которого сделаны ножки стола, является достаточно жестким, а их длины в ненагруженном состоянии достаточно мало отличаются друг от друга. Поэтому в дальнейшем мы не будем интересоваться эффектами, связанными с изменениями расстояний между концами ножек стола. Как найти ареалы возможных фаз? Вид законов статики не зависит от того, в какой фазе находится стол. Отличия сказываются в другом. Так, в фазе (1234) все четыре силы положительны, а в остальных фазах одна из сил равна нулю, поскольку только три ножки касаются пола. Например, в фазе (123)

$F_{i} > 0$ для i = 1, 2, 3 и $F_{4} = 0$.

Другое отличие состоит в том, что для фазы (1234) условие компланарности $\lambda_{1} + \lambda_{3} = \lambda_{2} + \lambda_{4}$ выполняется обязательно, а для всех остальных фаз оно заменяется неравенствами, поскольку в каждой из фаз одна из ножек находится над полом. Скажем, для фазы (123) справедливо неравенство $\lambda_{1} + \lambda_{3} > \lambda_{2} + \lambda_{4}$. Поясним его. Неравенство можно превратить в равенство, если

НА

ЧЕТЫРЕХ

НОЖКАХ

мысленно нарастить ножку 4 так, чтобы концы всех четырех ножек оказались в одной плоскости – плоскости пола. Наше неравенство означает, следовательно, что до наращивания нижний конец ножки 4 находился над полом. Это условие вместе с тремя уравнениями, полученными из законов статики, и позволяет найти ареал фазы (123). Задача о столе показала, что в процессе исследования физического объекта иногда приходится существенно модифицировать описание его свойств, отказываясь от излишне упрощенной модели в пользу более реалистичной. В рассмотренном нами случае исходная простая модель оказалась неполной – она не позволила найти единственно правильное решение. Однако, это только одна сторона медали. Если не посмотреть на другую ее сторону, то можно прийти к глубоко ошибочному убеждению, будто упрощенные представления (модели объектов) – это ловушки для неискушенных исследователей. Размеры статьи не позволяют развить эту мысль сколько-нибудь полно, поэтому ограничимся двумя примерами, чтобы не быть уж совсем голословными. Законы Кеплера дают нам максимально простую картину движения планет вокруг Солнца: планеты движутся по эллипсам. Наличие других планет несколько затуманивает эту картину, но это интересует только астрономов. Если хотите, законы Кеплера очень демократичны. Действительно, если бы эти законы остались в рукописях ученого как сырой материал, как первое приближение обработки результатов наблюдений, а в журналы и учебники попали только уточненные формулы, что бы знала широкая публика о нашей Солнечной системе? Да и самим ученым «пришлось бы не сладко». Вспомним, что планета Нептун была открыта благодаря наблюденным отклонениям от законов Кеплера в движении Урана, которые (отклонения) нельзя было объяснить влиянием всех остальных известных к тому времени планет. Второй пример – это теория малых колебаний. Наука и техника обязаны ей такими фундаментальными понятиями, как собственные частоты и колебания, кратность частот и их расщепление, спектры, обертоны и т.п.. Между тем, все эти понятия невозможно или, по крайней мере, очень трудно, определить, не обращаясь к заведомо приближенной теории малых колебаний. Сама же эта теория возникла в результате линеаризации относящихся к делу систем дифференциальных уравнений, т.е. «бесцеремонного» отбрасывания квадратов, кубов и всех более высоких степеней искомых малых отклонений изучаемой системы от ее равновесного состояния. Вывод – сознательное обращение к приближенным моделям бывает очень плодотворным.

Автор признателен профессору М.И.Каганову за оказанную помощь в процессе работы над статьей.

Задачи

В Солнечном городе образованы три партии коротышек: винтиков, шпунтиков и болтиков. Оказалось, что для любых трех членов партий найдется партия, в которую входят по крайней мере двое из них. Верно ли, что все члены одной из партий являются членами какой-то из двух других партий? Д.Калинин

Колонна солдат-новобранцев выстроилась несколькими одинаковыми шеренгами, составляющими прямоугольник. По команде «смирно» некоторые из солдат с перепугу сделали поворот направо, некоторые – налево, другие – кругом, а кое-кто вообще остолбенел и остался неподвижен. Далее через каждую секунду происходит следующее: каждый новобранец, оказавшийся лицом к лицу с другим солдатом, делает поворот направо. а) Докажите, что рано или поздно такие повороты прекратятся. б) Прекратятся ли повороты, если поворачиваются не оба солдата, оказавшиеся лицом к лицу, а только один из них? И.Акулич

Для любых неотрицательных чисел a, b справедливо неравенство

$2^{3}$

$3^{2}$

$(^{a} +^{b} )$ ³ $(^{a} +^{b} )$.

2

3

Докажите это.

В.Сендеров

В круг площади 1 вписали квадрат, а в него – новый круг, который закрасили в синий цвет. Затем в квадрат площади 1 вписали круг, а в него – квадрат, который закрасили в синий цвет. Чья площадь больше: синего круга или синего квадрата? В.Произволов

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6 – 8 классов.

Иллюстрация Д.Гришуковой

Числа от 1 до 9 расставьте в кружки фигуры так, чтобы сумма трех чисел, расположенных в кружкахвершинах всех белых треугольников, была одной и той же, а во всех зеленых – тоже одной и той же, но на 3 больше. Н.Авилов

30

КВАНТ 2007/№5

Конкурс имени А.П.Савина

«Математика 6–8»

Мы продолжаем очередной конкурс по решению математических задач для учащихся 6–8 классов. Решения задач высылайте в течение месяца после получения этого номера журнала по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» (с пометкой «Конкурс «Математика 6– 8»). Не забудьте указать имя, класс и домашний адрес. Как и прежде, мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и математических кружков. Руководителей кружков просим указать электронный адрес или контактный телефон. По традиции, кружки-победители заочного конкурса приглашаются на финальный очный турнир.

6. Взявшись за руки, 64 танцора водят 4 круговых хоровода с общим центром. В одном хороводе участвуют 16 человек – 8 мальчиков и столько же девочек. Хороводы вращаются равномерно, так что в каждый из 16 одинаковых секторов круга в такт танца попадают 4 танцора – по одному из каждого хоровода. Можно ли распределить мальчиков и девочек таким образом, что в каком бы направлении хороводы ни кружили, в любой такт танца нашелся сектор, содержащий 4 мальчика? К.Каибханов

7. Может ли сумма квадратов трех последовательных целых чисел быть кубом целого числа? В.Сендеров

8. Назовем полосой ширины а часть плоскости между двумя параллельными прямыми с расстоянием а между ними. Три полосы одинаковой ширины в пересечении образуют звездчатый шестиугольник ABCDEFGHIJKL. До-

кажите, что в одной точке пересекаются следующие отрезки: а) AG, CI и EK; б) AG, BH и FL; в) CI, BH и DJ; г) EK, DJ и FL. И.Акулич

9. Первые 100 натуральных чисел написаны так, что из каждой пары чисел с суммой 101 одно число написано красными чернилами, а другое – синими, при этом сумма всех красных чисел равна сумме всех синих. Весом числа любого цвета назовем количество чисел другого цвета, которые меньше этого числа. Докажите, что сумма квадратов весов красных чисел равна сумме квадратов весов синих чисел. В.Произволов

10. В каждую клетку квадратной таблицы n ѣ n записывают некоторое действительное число, при этом сумма всех чисел в любом квадрате $3 \times 3$ отрицательная, а в любом квадрате $5 \times 5$ – положительная. Существует ли такая таблица для а) n = 6; б) n = 7? Д.Левин, П.Самовол

Три орешка путешествующего математика

Н.ШИЛОВ

ЧЕМ ЗАНИМАЮТСЯ МАТЕМАТИКИ ВО ВРЕМЯ НАУЧНЫХ командировок? Чаще всего они знакомятся с новыми научными результатами и – что еще важнее! – с новыми методами получения новых научных результатов. Ну, а чем занимаются математики, пока они собираются в командировку, летят в самолетах или едут в поездах? Я, например, придумываю задачи и очень надеюсь, что кому-нибудь будет интересно их решить. Из последней поездки из Новосибирска во Франкфурт я вернулся с тремя новыми «орешками»-задачками. Попробуйте их раскусить! Во всех задачах мы будем считать, что наша родная планета Земля – шар.

31

К

Первый орешек На плоскости кратчайшее расстояние между двумя точками – это отрезок прямой, соединяющей эти точки, а на сфере (поверхности шара) – это отрезок дуги большого круга, соединяющей эти точки. Однако пассажирские самолеты от пункта вылета до пункта назначения летят не по дуге большого круга, а по некоторой ломаной линии. В первом приближении можно считать, что эта линия состоит из дуг окружностей, соединяющих соседние наземные диспетчерские пункты. Такие пункты находятся в крупных аэропортах. А крупные аэропорты «привязаны» к большим городам. Ну, а большие города расположены на Земле вовсе не в строгом геометрическом порядке. Предположим, что на идеально круглой Земле диспетчерские пункты расположены очень равномерно. Например, так. Выберем 24 меридиана через $15 ^\circ$ друг от друга. Вдоль каждого меридиана поставим диспетчерские пункты через $15 ^\circ$ от экватора до каждого из полюсов. Вопрос 1. Сколько диспетчерских пунктов окажется на Земле? Сколько получится участков, соединяющих соседние диспетчерские пункты вдоль параллелей и меридианов?

Второй орешек Как только математик справится с этим заданием, он задумается над планами дальнейших путешествий. Пусть в таком идеальном мире пассажирские самолеты летают от пункта вылета до пункта назначения не «напрямик» по дуге большого круга, а только по ломаной линии, состоящей из участков (дуг окружностей), соединяющих два соседних диспетчерских пункта вдоль одной параллели или одного меридиана. Другими словами, самолет может менять направление только над диспетчерскими пунктами. Вопрос 2. Можно ли облететь всю Землю, т.е. пролететь над всеми диспетчерскими пунктами, так, чтобы пролететь по каждому участку и только один раз? Если такое путешествие осуществимо, то имеет ли значение, откуда его начинать? Вопрос 3. Можно ли облететь всю Землю так, чтобы пролететь над каждым диспетчерским пунктом и только один раз? Если такое путешествие осуществимо, то имеет ли значение, откуда его начинать?

Третий орешек Пожалуй, этот орешек самый трудный, но он дает представление о тех проблемах, с которыми имеет дело современная прикладная математика. Вопрос 4. Пусть заданы два произвольных диспетчерских пункта своими координатами, например пункт А (30 $^\circ$ северной широты, $60 ^\circ$ восточной долготы) и пункт Б (75 $^\circ$ северной широты, $75 ^\circ$ западной долготы). Как найти маршрут перелета из первого пункта во второй наименьшей длины, и какой она будет? (Считайте, что радиус Земли равен 6400 км.)

Как расщелкать первый орешек Вдоль каждого меридиана располагается 13 диспетчерских пунктов: 2 на полюсах и еще 11 на других

М

Ш

широтах. Но если просто умножим это число 13 на число меридианов 24, то диспетчерские пункты на полюсах будут посчитаны 24 раза вместо одного. Поэтому надо умножить количество 11 диспетчерских пунктов на других широтах на число меридианов 24 и к результату добавить 2 диспетчерских пункта на полюсах: 11 ѣ 24 + 2 = 266 диспетчерских пунктов. Число участков, соединяющих соседние диспетчерские пункты вдоль параллелей или меридианов, можно подсчитать разными способами. Например, так. Вдоль каждого меридиана располагается 12 участков. Поэтому число участков вдоль всех меридианов равно 12 ѣ 24 = 288. Вдоль каждой из параллелей располагается 24 участка. Так как таких параллелей 11, то число участков вдоль параллелей равно 11 ѣ 24 = 264. Поэтому общее число участков между соседними диспетчерскими пунктами равно 288 + 264 = 552. Но есть и другой способ подсчитать число участков. Назовем степенью диспетчерского пункта число участков, которые «начинаются» в этом пункте. Тогда все 264 пункта, кроме двух полярных, имеют степень 4, а два полярных пункта имеют степень 24 каждый. Так как каждый участок между соседними пунктами вносит «вклад» по единице в степень двух пунктов, расположенных по концам участка, то можно заметить, что сумма степеней вообще всех пунктов равна удвоенному числу всех участков. Но сумму степеней всех пунктов найти легко: она равна 4 ѣ 264 + 24 ѣ 2 = 1056 + 48 = = 1104. Поэтому число участков равно 1104/2 = 552, что совпадает с результатом непосредственного подсчета.

Как расщелкать второй орешек

Ответ на вопрос 2. Такое путешествие осуществимо, и начать его можно из любого пункта. Но сначала разберемся с возможным маршрутом такого путешествия, начинающегося и заканчивающегося на Северном полюсе. Если начинать путешествие на Северном полюсе, то, можно, например, «спуститься» до Южного полюса по первому меридиану, потом – «подняться» от Южного полюса к Северному полюсу по второму меридиану. Затем повторить эти спуски и подъемы на следующих меридианах вплоть до двадцать второго. Осталось пролететь только те участки, которые расположены вдоль двух последних меридианов, и все участки вдоль параллелей. Это можно сделать так, как схематично показано на рисунке 1. Таким образом на Северном полюсе будет завершен облет Земли, который прошел по всем участкам ровно один раз. Описанный маршрут называется циклом, так Рис. 1

(Продолжение см. на с. 34)

32

Изменения скоростей, происходящие также в противоположные стороны, будут обратно пропорциональны массам тел, ибо количества движения получают равные изменения. Исаак Ньютон

…при действии сил, равнодействующая которых пропорциональна массе точки, точка переменной массы… движется так же, как движется точка постоянной массы при действии тех же сил и при тех же начальных данных. Иван Мещерский

Я разработал некоторые стороны вопроса о поднятии в пространство с помощью реактивного прибора, подобного ракете. Константин Циолковский

Механизм действия ракетного двигателя в точности сходен с явлением отдачи ружья; здесь не нужен воздух, чтобы отталкиваться от него. Ричард Фейнман

А так ли хорошо знакомо вам

?

реактивное движение

Этот вопрос вполне уместен сейчас, когда отмечается 50-летие запуска первого искусственного спутника Земли – события, ознаменовавшего начало новой эры, эры освоения человеком космического пространства. Осуществление давней мечты стало возможным благодаря развитию реактивной техники. Долгая, насчитывающая тысячелетия ее история совершила необыкновенно быстрый рывок, перейдя от предсказаний и расчетов к прямой реализации идеи безопорного движения за пределами Земли. И здесь, без сомнения, можно гордиться решающим вкладом в теорию и практику космонавтики отечественных ученых, инженеров и конструкторов. Проходит время, и казавшиеся чудом достижения – первый спутник, первый облет человеком Земли, первый выход в открытый космос – становятся рутинными, многократно повторяемыми эпизодами. Теперь на орбитальную станцию отправляются как на работу и даже… в турпоездку. Однако новые планы, связанные с межпланетными перелетами, с предупреждением астероидной опасности, со строительством индустриального пояса вокруг Земли и лунных баз, с совершенствованием спутниковых средств связи и выводом за атмосферу астрономических приборов, словно открыли второе дыхание космонавтики. И ни одно из возникающих ее направлений не обойдется без этих необычных машин – ракет. Со многими вопросами реактивного движения можно не только познакомиться, но и всерьез разобраться, опираясь на хорошо знакомые законы механики. К чему мы вас сегодня и приглашаем.

Вопросы и задачи

1. Сможет ли вращаться в пустоте (например, в сильно разреженном воздухе под колоколом воздушного насоса) сегнерово колесо, изображенное на рисунке? 2. С площадки заднего вагона движущегося поезда человек бросает камень против движения поезда так, что камень отвесно падает на землю. На что же была затрачена работа, совершенная человеком при броске, если в результате камень потерял кинетическую энергию, которой он обладал, двигаясь вместе с поездом? 3. По рельсам в горизонтальном направлении катится тележка с песком. Через отверстие в дне песок ссыпается между рельсами. Как изменяется при этом скорость тележки? 4. Во время прыжка через болото барон Мюнхгаузен, заметив, что не допрыгнет до противоположного берега, прямо в воздухе «усилием воли» повернул обратно и вернулся на берег, с которого прыгал. Почему невозможен этот «правдивый случай»? 5. Можно ли отнести к реактивному движению: а) откат орудия при выстреле; б) подъем воздушного шара после сбрасывания балласта? 6. В каком случае орудие могло бы приобрести при выстреле бóльшую скорость, чем вылетевший из него снаряд? 7. На железнодорожной платформе, которая может двигаться по рельсам, укреплены две одинаковые пушки, стволы которых направлены вдоль рельсов в противоположные стороны. При одновременных выстрелах оба снаряда попадают каждый в свою цель. Попадут ли снаряды в цели, если одна из пушек выстрелит немного раньше другой? 8. При пуске реактивного снаряда, установленного в хвосте самолета для защиты от нападения сзади, было обнаружено, что снаряд разворачивался и догонял самолет. Как это можно объяснить? 9. Космонавт, находясь в состоянии невесомости, «повис» внутри кабины спутника Земли. Каким образом он может развернуться вокруг своей продольной оси? 10. Космонавт находится на некотором расстоянии от космического корабля, имея при себе два одинаковых однозарядных пистолета. Он может стрелять одновременно из двух пистолетов или использовать их по очереди. Как должен поступить космонавт, чтобы быстрее вернуться на корабль? 11. Космический корабль движется вокруг Земли так, что все время находится в точке, где силы притяжения Луны и Земли компенсируют друг друга. Работают ли при этом двигатели корабля?

12. Двигатель ракеты работает в импульсном режиме, выбрасывая равными порциями с одинаковыми скоростями продукты сгорания и тем самым как бы ступеньками увеличивая скорость ракеты. Будут ли изменяться величины этих приращений скорости по мере сгорания топлива? 13. Если ракета движется относительно наблюдателя так, как показано на рисунке, то в каком направлении движутся при этом выхлопные газы? 14. Скорость истечения газов относительно стартующей ракеты составляет не более четырех километров в секунду. Каким же образом ракета может достичь первой, а тем более второй космической скорости? 15. Можно ли превратить Землю в гигантский космический корабль, используя для этой цели современные ракетные двигатели?

Микроопыт

Сверните из очень тонкой проволоки небольшую спираль, слегка смажьте ее маслом или вазелином и аккуратно положите на воду с помощью пинцета либо обычной вилки. Затем наберите несколько капель мыльного раствора пипеткой или соломинкой для питья и роняйте по капельке раствора в центр спирали. Как станет вести себя спираль? Почему?

Любопытно, что…

…возможность использовать реактивную силу струи пара, хотя бы в виде игрушки, была открыта еще в первом веке новой эры Героном Александрийским. А в 1750 году венгерский ученый Янош Сегнер изобрел на этом принципе одну из первых реактивных гидравлических турбин – «сегнерово колесо». Его действие сегодня можно наблюдать на лужайках, орошаемых с помощью насадок, вращающихся на водопроводных колонках. …известные в Китае еще с XI века пороховые ракеты применялись не только для фейерверков, но и в военном деле – как зажигательные и разрывные снаряды, а также как осветительные средства. Однако понастоящему боевые реактивные снаряды были созданы в 1817 году русским ученым-артиллеристом, генералом А.Д.Засядко и успешно применены при обороне Севастополя в 1854–55 годах во время Крымской войны. …явление отдачи, вызывавшее откатывание назад старинных пушек, со временем научились использовать для перезарядки огнестрельного оружия, например в пулеметах, автоматических пистолетах и скорострельных пушках. …в теории многоступенчатых ракет, разработанной К.Э.Циолковским в 1926 году, было показано, что последняя ступень ракеты способна достичь первой космической скорости. Из теории следовало, что целесообразно с расходом топлива отбрасывать баки, трубопроводы и двигатели отработавших ступеней, а в идеале – непрерывно избавляться от ненужной уже массы ракеты, что пока, увы, конструктивно неосуществимо. …гигантом среди многоступенчатых ракет и сейчас остается «Сатурн-5», который вывел на орбиту космический корабль «Аполлон-11», доставивший 20 июля 1969 года на Луну американских астронавтов.

Стартовая масса системы 2950 тонн, ее высота 111 метров. …помимо мощных маршевых двигателей в ракетнокосмической технике используется так называемая детонационная автоматика, решающая с помощью «ювелирных» по массе и габаритам зарядов взрывчатых веществ задачи мгновенного разделения элементов конструкций, разрезание электрических кабелей, отстрел парашютов и запуск различных приборов. …погасить скорость при посадке космического аппарата на Землю помогает атмосфера: торможение в ней позволяет использовать на конечном этапе снижения парашют. Такая возможность полностью отпадает при спуске на Луну – отсутствие атмосферы на ней заставляет гасить скорость лишь реактивными импульсами, а последние метры пути аппарат садится на струе газа из сопла. …переноситься с континента на континент со скоростью свыше десяти тысяч километров в час в разреженных слоях атмосферы, выводить на околоземную орбиту полезные грузы с обычных аэродромов должны летательные аппараты нового поколения с гиперзвуковыми воздушно-реактивными двигателями, создаваемыми сегодня зарубежными и отечественными специалистами. …разгадкой неожиданно больших скоростей у новорожденных сверхплотных нейтронных звезд, достигающих 1500 километров в секунду, вероятно, может быть природный реактивный двигатель – излучение нейтрино, уносящих огромную энергию и способных создать необходимый импульс отдачи. …идеальной для межзвездных полетов была бы гипотетическая ракета, роль газовой струи в которой играл бы пучок фотонов, иначе говоря, скорость истечения «струи» равнялась бы скорости света. Однако мощность подобной ракеты массой всего лишь в одну тонну при движении с ускорением, равным g, должна была бы превосходить мощность крупной электростанции типа Братской ГЭС примерно в 1000 раз. …очередной прорыв в космос готовят в ближайшие пятнадцать лет все космические державы. Это, прежде всего, череда лунных экспедиций. Наша соседка уже рассматривается как полигон для испытания технологий, необходимых для покорения Марса, как база на пути к другим планетам, как новая астрономическая обсерватория и даже… как музей под открытым небом для посещения космическими туристами.

Что читать в «Кванте» о реактивном движении

(публикации последних лет)

1. «Почему вращается вертушка?» – 2002, Приложение №4, с. 121; 2. «Сколько стоит запуск спутника?» – 2002, №5, с. 30; 3. «Великое уравнение механики» – 2003, №5, с. 35; 4. «Опыты с пластиковыми бутылками» – 2004, №4, с. 20; 5. «Калейдоскоп» Кванта» – 2004, №5, с. 32; 6. «Булава» – 2005, №1, с. 29; 7. «Почему именно ракета» – 2005, Приложение №6, с. 142; 8. «Как Студент думал Землю остановить» – 2006, №5, с. 28.

Публикацию подготовил А.Леонович

ШКОЛА В «КВАНТЕ»

Практическая задача по механике

Ю.НОСОВ

ВОЗЬМЕМ ДЕРЕВЯННЫЙ БРУСОК РАЗМЕРОМ 2 ѣ 3 ѣ 10 СМ.

Зажмем брусок в тиски, как показано на рисунке, и начнем распиливать его вдоль длинной стороны на две части. В процессе работы будем следить за тем, чтобы ножовкой не задеть винт тисков. Полностью распилим брусок от края до края, ослабим тиски и вынем два новых более тонких бруска. Подчеркнем, что вся операция производится при одном и том же исходном сжатии тисков и не делается никаких перестановок или передвижек бруска. Как же получается, что тиски – несмотря на то, что сжимают брусок, – не мешают разрезать его на две части?

Разумеется, эта задача представляет собой практическую (лабораторную) работу по механике, для которой строгого решения дать нельзя. Но вполне можно удовлетвориться следующими качественными рассуждениями. В нашем эксперименте удержание деревянного бруска обеспечивается силой сжатия тисков F, создаваемой винтом (см. рисунок). Чтобы сдвинуть брусок вниз, надо приложить силу $F_{вниз}$, превышающую силу трения покоя

$F_{тр} = kF$, где k – коэффициент трения между губками тисков и бруском. Величина силы F столь велика, что сдвинуть брусок рукой в сжатых тисках не удается. Почему же нам удается перемещать полотно пилы вверх – вниз при продольном разрезании бруска? Оказывается, что для этой пары материалов (полотно пилы – дерево) сила трения покоя $F_{тр1}$ существенно меньше $F_{тр}$, и, как следствие, сила, необходимая для перемещения пилы, существенно меньше $F_{вниз}$. Для этой пары

$F_{тр1} = k_{1} F_{1}$,

где $k_{1}$ – коэффициент трения между полотном пилы и бруском, $F_{1}$ – сжимающая сила. Сила сжатия полотна пилы $F_{1}$ во столько раз меньше полной силы сжатия тисков F, во сколько раз площадь сжатого полотна пилы меньше полной площади губок тисков, т.е.

$F_{1} =$ l F, L где l – ширина полотна пилы и L – полная ширина губок тисков. Чтобы уменьшить силу $F_{1}$, в нашем эксперименте мы применяем пилу с малой шириной полотна l, например полотно ножовки по металлу. Используя примерные размеры l = 15 мм и L = 150 мм, получим $F_{1} = 0,1 F$. Коэффициент трения покоя (и скольжения) $k_{1}$ также много меньше k, так как в случае пилы в контакт с деревом вступает в основном гладкая поверхность стального полотна, а не гофрированная поверхность губок тисков. Таким образом, в нашем опыте $F_{1} = F$ и $k_{1} = k$, что приводит к выводу

$F_{тр1} = F_{тр}$.

Однако в проводимом эксперименте мы не только перемещаем пилу вверх – вниз, но и разрушаем древесные волокна при распиливании. Это требует приложения дополнительной силы $F_{2}$ вдоль направления разрезания. Уменьшить величину силы $F_{2}$ можно, используя пилу с очень мелким зубом, например опять же ножовку по металлу или лобзик. Одно замечание. На первый взгляд может показаться, что при распиливании бруска область В, где уже распил осуществлен, перестает принимать участие в удержании бруска в тисках. Это не так. В силу упругости дерева и малой толщины полотна пилы (: 0,5 - 0,7 мм ) область В сжата практически с такой же силой, как и область А, где распила еще нет. Таким образом, при действии пилы брусок всегда сжат по всей ширине губок тисков. Реальный успех в проведении обсуждаемого опыта показывает, что рука экспериментатора вполне может развить силу, превышающую $F_{тр1}$ и $F_{2}$, и успешно провести распиливание бруска, сжатого тисками. Хочется надеяться, что приведенное решение задачи позволит вам самостоятельно ответить (на качественном уровне) на следующие вопросы. Как влияет на результат эксперимента: сила сжатия тисков; ширина полотна пилы; породы дерева бруска; силы, прикладываемые к пиле?

Информацию о журнале «Квант» и некоторые материалы из журнала можно найти в ИНТЕРНЕТЕ по адресам:

Редакция журнала «Квант» kvant.info Московский центр непрерывного математического образования kvant.mccme.ru Московский детский клуб «Компьютер» math.child.ru Костромской центр дополнительного образования «Эврика» ceemat.ru

51

ОЛИМПИАДЫ

5. См. задачу 5 для 9 класса. 6. Существуют ли ненулевые числа a, b, c такие, что при любом n > 3 можно найти многочлен вида $P_{n} ( x ) = x^{n} + K K + ax^{2} + bx + c$, имеющий ровно n (не обязательно различных) целых корней? Н.Агаханов, И.Богданов

6. Дана треугольная пирамида. Леша хочет выбрать два ее скрещивающихся ребра и на них, как на диаметрах, построить шары. Всегда ли он может выбрать такую пару, что любая точка пирамиды лежит хотя бы в одном из этих шаров? А.Заславский

8. В стране есть N городов. Некоторые пары из них соединены беспосадочными двусторонними авиалиниями. Оказалось, что для любого $k ( 2^{£} k^{£} N )$ при любом выборе k городов количество авиалиний между этими городами не будет превосходить 2k – 2. Докажите, что все авиалинии можно распределить между двумя авиакомпаниями так, что не будет замкнутого авиамаршрута, в котором все авиалинии принадлежат одной компании. И. Богданов, Г. Челноков

Призеры олимпиады

Дипломы I степени по 8 классам получили Ивлев Федор – Москва, гимназия 1543, Матдинов Марсель – Оренбург, гимназия 1;

по 9 классам – Ерохин Станислав – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Брагин Владимир – Снежинск, гимназия 127;

Янушевич Леонид – Москва, дистанционная школа «i- школа», Поляков Владимир – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Бажов Иван – Екатеринбург, гимназия 9, Андреев Михаил – Москва, Московская государственная Пятьдесят седьмая школа;

по 11 классам – Есин Алексей – Краснодарский кр., ст.Старонижестеблиевская, школа 55.

по 11 классам – Волков Владислав – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, 10 кл., Илюхина Мария – Москва, лицей «Вторая школа», Матвеев Константин – Омск, лицей 66, Дроздов Сергей – Санкт-Петербург, лицей «ФТШ», Митрофанов Иван – Коломна, гимназия 2, Лысов Михаил – Москва, лицей «Вторая школа», Сафин Станислав – Краснодар, лицей «ИСТЭК», Лишанский Андрей – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Логунов Александр – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Сеплярскмя Анна – Черноголовка, школа 82, Ярушин Дмитрий – Челябинск, лицей 31, Арутюнов Владимир – Москва, гимназия 1543.

Дипломы II степени

Дипломы III степени по 8 классам получили Медведь Никита – Москва, лицей «Вторая школа», Мокин Василий – Саратов, ФТЛ 1, Блинов Андрей – Москва, школа-интернат «Интеллектуал»;

по 8 классам получили Бондаренко Михаил – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Юдин Сергей – Вологда, Вологодский многопрофильный лицей, Голова Анна – Краснодар, школа 74, Исаак Евгений – Курган, школа 38, Печина Анна – Долгопрудный, школа 5, Пивень Никита – Майкоп, школа 8, Беляков Сергей – Омск, лицей 64, Кондратьев Михаил – Майкоп, гимназия 22, Курносов Артем – Нижнекамск, лицей-интернат 24, Сергиенко Ярослав – Краснодар, лицей «ИСТЭК», 7 кл., Степанов Борис – Екатеринбург, гимназия 9, Южанин Денис – Киров, ФМЛ, Довгалюк Екатерина – Нижний Новгород, лицей 165;

по 10 классам – Ардинарцев Никита – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Горинов Евгений – Киров, ФМЛ, Кевер Михаил – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Омельяненко Виктор – Белгород, лицей 38, 8 кл., Бабичев Дмитрий – Долгопрудный, школа 5, Кудык Никита – Омск, школа 117;

по 9 классам – Ненашев Глеб – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Погорелов Дмитрий – Нижний Новгород, лицей 165, Гусев Даниил – Дзержинск, школа 2, Орлов Олег – Пермь, школа 146, Шабалин Филипп – Киров, ФМЛ, Бочкарёв Михаил – Пермь, школа 9, Глюз Борис – Майкоп, гимназия 22, Нижибицкий Евгений – Краснодар, школа 73, Русских Марианна – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Семенов Александр – Белорецк, Белорецкая компьютерная школа, Царьков Олег – Москва, лицей «Вторая школа», Кондакова Елизавета – Москва, лицей «Вторая школа», Попов Леонид – Пермь, школа 146, Черкашин Данила – Санкт-Петербург, лицей 533, Кушнир Андрей – Иркутск, лицей 2, 8 кл., Савенков Кирилл – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, 8 кл., Савчик Алексей – Москва, Московская государственная Пятьдесят седьмая школа;

по 9 классам – Климовицкий Иосиф – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, 8 кл., Лукьянец Евгений – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Горбачева Ирина – Краснодар, школа 64, 8 кл., Гусев Антон – Омск, лицей 64, Кузнецов Ростислав – Киров, ФМЛ, Радонец Алексей – Краснодар, лицей «ИСТЭК», Тыщук Константин – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, 8 кл., Устинов Никита – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, 8 кл.;

по 10 классам – Бойкий Роман – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, по 10 классам – Машковский Артем – Челябинск, лицей 31,

55

ОЛИМПИАДЫ

когда напряжение на конденсаторе максимально, его емкость скачкообразно уменьшают на долю $\varepsilon^{=} \Delta C C$. Через четверть периода $\pi LC 2$ емкость скачком увеличивают до прежнего значения, еще через четверть периода емкость вновь скачкообразно уменьшают на долю $\varepsilon$ и так далее. При определенных условиях в схеме могут возбудиться незатухающие электрические колебания. В схему включен нелинейный элемент (лампочка накаливания Л), вольт-амперная характеристика которой представлена на рисунке 12. Найдите минимальное значение $\varepsilon_{min}$, при котором в схеме возбуждаются незатухающие колебания, если L = 0,1 Гн, С $= 10^{-} 7$ Ф. Найдите также амплитуду $U_{0}$ установившихся колебаний напряжения на лампочке, если $\varepsilon^{=}$ 3%. Примечание. Необходимые построения следует выполнять непосредственно на данном рисунке. С.Жак

Рис. 12

Призеры олимпиады

Дипломы I степени по 9 классам получили

Соболев Антон – Санкт-Петербург, Григорьевых Даниил – Удмуртская Республика, Землянов Владислав – Ханты-Мансийский автономный округ, Кравчук Петр – Санкт-Петербург, Бычин Андрей – Алтайский край, Бычина Ольга – Алтайский край;

по 10 классам – Зеленеев Андрей – Кировская область, Плешаков Руслан – Приморский край, Степанов Евгений – Москва, Мельников Игорь – Челябинская область, Самойлов Леонид – Саратовская область, Сашурин Александр – Москва;

по 11 классам – Кулиев Виталий – Кировская область, Дроздов Илья – Санкт-Петербург, Ефимов Сергей – Алтайский край, Мыльников Дмитрий – Самарская область, Пех Павел – Красноярский край.

Дипломы II степени по 9 классам получили

Лисицкий Дмитрий – Республика Башкортостан, Мосунова Дарья – Нижегородская область, Старков Григорий – Ямало-Ненецкий автономный округ, Либерзон Даниил – Кировская область, Берсенев Никита – Москва, Горностаев Дмитрий – Республика Мордовия, Мельников Михаил – Санкт-Петербург, Толмачев Лев – Москва, Кузнецов Иван – Москва, Усманова Динара – Челябинская область, Чернышов Иван – Москва;

по 10 классам – Матвеев Харитон – Москва, Павлов Артем – Республика Коми,

Шалашугина Елена – Свердловская область, Шульчевский Дмитрий – Москва, Ларченко Илья – Брянская область, Фейзханов Рустем – Москва, Анисимов Кирилл – Саратовская область, Барсков Кирилл – Омская область, Кузьмин Александр – Новосибирская область, Малышев Евгений – Санкт-Петербург;

по 11 классам – Белан Сергей – Республика Адыгея, Бельтюков Ярослав – Санкт-Петербург, Власов Владислав – Красноярский край, Соловьева Ксения – Пермский край, Будкин Григорий – Санкт-Петербург, Пестременко Максим – Санкт-Петербург, Поташёв Александр – Москва, Дербышев Андрей – Ярославская область, Котов Андрей – Москва, Еловиков Андрей – Алтайский край, Кострыгин Анатолий – Санкт-Петербург, Проскурин Михаил – Ханты-Мансийский автономный округ.

Дипломы III степени по 9 классам получили

Кудряшова Нина – Алтайский край, Корольков Андрей – Московская область, Дорошенко Андрей – Омская область, Галашин Павел – Санкт-Петербург, Куняев Дмитрий – Московская область, Трегубов Дмитрий – Кировская область, Матросов Михаил – Воронежская область, Рунов Борис – Санкт-Петербург, Лебедев Вадим – Санкт-Петербург, Штенников Михаил – Пермский край, Даниленко Иван – Москва, Захаров Дмитрий – Московская область, Алюшин Алексей – Тамбовская область, Булдашев Иван – Челябинская область, Казеев Александр – Камчатская область;

по 10 классам – Маслов Ярослав – Кемеровская область,