Квант 2008, №4 · Страницы

4

КВАНТ 2008/№4

средств контроля за проведением испытаний атомного оружия иностранными государствами. В итоге Женевская конференция показала, что если будет достигнуто соглашение о прекращении ядерных взрывов, то его нарушение будет обязательно обнаружено техническими средствами. Это способствовало заключению Московского договора о запрещении ядерных испытаний в трех средах: в атмосфере, под водой и в космосе. Договор подписали в 1963 году СССР, США и Великобритания.

По завершении научно-исследовательских работ, проводимых в Институте атомной энергии по обнаружению ядерных взрывов, все методики, разработанная аппаратура, научная и техническая документация были переданы Службе специального контроля Министерства обороны СССР. Сама же работа «Разработка системы обнаружения ядерных взрывов на больших расстояниях» была удостоена в 1959 году Ленинской премии.

НОВОСТИ НАУКИ

Триумф фундаментальной науки

То открытие, которое было удостоено Нобелевской премии по физике за 2007 год, в рубрике «Новости науки», строго говоря, могло появиться уже двадцать лет назад. В 1988 году французский физик Альбер Фер и немецкий физик Петер Грюнберг независимо друг от друга открыли эффект, названный гигантским магнетосопротивлением (на международном научном языке – Giant Magnetoresistance, GMR). Работы этих ученых были по своей сути экспериментальными и проводились группами исследователей. Но будущие Нобелевские лауреаты не только руководили этими группами, но и дали теоретическое обоснование явлению. В физике магнитных явлений есть несколько эффектов, которые имеют большое значение для практики. Это – вращение плоскости поляризации света при взаимодействии с магнитным веществом, гигантская магнитострикция (существенное изменение объема тела при его намагничивании), магнитокалорический эффект (изменение температуры при адиабатическом намагничивании или размагничивании материала во внешнем магнитном поле) и, наконец, явление гигантского магнетосопротивления. Слово «гигантское» не должно вводить в заблуждение. В данном случае оно означает существенное – до 20 раз – увеличение или уменьшение электрического сопротивления вещества при изменении в нем направления магнитного поля. Эффект проявляется в тонких (порядка нанометров) слоях вещества, граничащих со слоями из ферромагнетика, создающими магнитное поле. Суть явления оказалась связанной с наличием у электронов спина, т.е. собственного вращения, характеризуемого механическим и магнитным моментами. Если выбрать какое-то направление, то у спина электрона имеется две возможности ориентации – по этому направлению и против него. Спин элементарной частицы – явление квантовое. Это означает, что представить какую-нибудь геометрическую наглядную модель вращающегося электрона нельзя в принципе. И лишь очень грубая аналогия может быть проведена между спином и, например, витком с током. Общее у спина с витком только то, что оба они стремятся ориентироваться в магнитном поле так, чтобы энергия магнитного взаимодействия стала минимальной. Такие «ориентированные» электроны легче проходят через вещество под действием электрического поля – электрическое сопротивление вещества невелико. Но если направление магнитного поля внезапно изменится на противоположное, то спины электронов окажутся по отношению к нему антиориентированными и будут иметь тенденцию к переориентировке. Согласно классической теории электропроводности, при этом будет возрастать скорость хаотического (теплового) движения электронов, что и увеличит электрическое сопротивление вещества. Но в «правильной», квантовой теории следует говорить об изменении средней длины рассеяния электронных волн или об изменении вероятности

Альбер Фер

Петер Грюнберг взаимодействия электронов с атомами вещества, что и приводит к изменению сопротивления. Исследования Фера и Грюнберга стали пионерскими в вопросе влияния спина электрона на электропроводность вещества. Необходимо отметить, что эти исследования стали возможными только после разработки технологии изготовления тончайших слоев металла – того, что сегодня называется нанотехнологиями. Почему же открытие GMR-эффекта, относящееся к фундаментальной науке, получило столь большое значение и известность, что было признано Нобелевским комитетом достойным этой высокой награды? Дело в том, что на его основе родилось новое научнотехническое направление, использующее в электронике спиновые эффекты, – спинтроника. Разработанные за истекшие годы спинтронные устройства позволили, например, в сотни и даже тысячи раз увеличить эффективную плотность записи информации на магнитных носителях, в частности на жестких дисках. Просто увеличение плотности записи информации было достигнуто и без спинтроники – на основе миниатюрных катушек индуктивности. Но эффективная плотность записи, т.е. возможность считывания информации, с помощью явления электромагнитной индукции принципиально не допускала дальнейшей миниатюризации. А на основе GMR-эффекта и современных нанотехнологий были сконструированы столь миниатюрные считывающие устройства, что емкость жестких дисков выросла до терабайтных величин (тысяч гигабайт). Без этих устройств были бы невозможными как современные суперкомпьютеры, так и ноутбуки и карманные компьютеры. Открытие эффекта гигантского магнетосопротивления стало символом главной особенности современной науки – ее неразрывной и быстрой связи с техническими воплощениями. И мы присоединяемся к словам наших коллег из журнала «Наука и жизнь»: Нобелевская премия по физике за 2007 год – это прежде всего триумф фундаментальной науки! Л. Белопухов

14

КВАНТ 2008/№4

ной окружности треугольника АВС проведем прямую, параллельную биссектрисе угла АМС. Найдем ее точки пересечения со сторонами угла АМВ. Тогда окружность, касающаяся сторон угла АМВ в этих точках, – искомая.

Доказательство теоремы Фейербаха

Настал ключевой момент: переход от Тебо к Фейербаху. С помощью того же приема, которым мы доказали теорему Тебо, мы докажем и теорему Фейербаха. Пусть АВС – данный треугольник, $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ – середины его сторон, $A_{2}, B_{2}, C_{2}$ – основания высот. Последние шесть точек, как мы знаем, лежат на одной окружности – окружности девяти точек. Нужно доказать, что она касается вписанной и всех вневписанных окружностей треугольника АВС. Идея такова: выделим пару окружностей – вписанную окружность треугольника АВС и одну из его вневписанных окружностей, скажем ту, которая касается стороны АС. Попробуем представить эту пару как пару окружностей Тебо для некоторого треугольника, вписанного в окружность девяти точек. Если это удастся сделать, то теорема Фейербаха будет установлена. В самом деле, окружности Тебо (по определению!) касаются описанной окружности треугольника, т.е. нашей окружности девяти точек. Значит, окружность девяти точек касается вписанной и одной из вневписанных окружностей. Проделав то же с другими вневписанными окружностями, получим требуемое. Главный вопрос – какой из треугольников, вписанных в окружность девяти точек, нужно взять? Ни «серединный» треугольник $A_{1} B_{1} C_{1}$ (с вершинами в серединах сторон), ни «ортотреугольник» $A_{2} B_{2} C_{2}$ (с вершинами в основаниях высот) для этой целей не подойдут. Даже если ограничиться только шестью точками $A_{1}, B_{1}, C_{1}, A_{2}, B_{2}, C_{2}$, то существует 20 треугольников с вершинами в этих точках (почему именно столько?). Все они будут вписаны в окружность девяти точек. А подойдет из них только один! Не будем томить читателя, скажем ответ сразу: это треугольник $B_{1} B_{2} A_{2}$ (рис.9). Его вершины это основания двух высот – $A_{2}$ и $B_{2}$ и середина стороны – $B_{1}$.

Рис. 9

В качестве точки М на стороне треугольника берется точка С. Она лежит на продолжении стороны $B_{2} B_{1}$ треугольника $B_{1} B_{2} A_{2}$. Вписанная и вневписанная окружности треугольника АВС, касающиеся стороны АС, являются окружностями Тебо для треугольника $B_{1} B_{2} A_{2}$ и для точки С на продолжении его стороны $B_{1} B_{2}$. При этом возникает случай теоремы Тебо, изображенный на рисунке 8,б (когда точка М берется на продолжении стороны треугольника). Итак, если в теореме Тебо взять точку М не на стороне, а на продолжении стороны треугольника, то получим теорему Фейербаха. Таким образом, обе теоремы – две грани одного и того же утверждения. И обе доказываются с помощью основной теоремы. Теперь нужно доказать, что это действительно так: вписанная и вневписанная окружности являются окружностями Тебо для треугольника $B_{1} B_{2} A_{2}$ и точки С на продолжении его стороны $B_{1} B_{2}$. Для этого воспользуемся основной теоремой. Если мы покажем, что отрезок MN между точками касания вписанной окружности треугольника АВС со сторонами СА и СВ соответственно содержит центр вписанной окружности $I_{1}$ треугольника $B_{1} B_{2} A_{2}$, то все будет сделано. В самом деле, получается, что через центр вписанной окружности $I_{1}$ провели прямую MN, образующую равные углы с прямыми $CA_{2}$ и $CB_{2}$. Тогда из теоремы (точнее, из ее случая, представленного на рисунке 6,а) следует, что окружность, касающаяся этих прямых в точках М и N (это – вписанная окружность треугольника АВС), вписана в криволинейный треугольник $A_{2} CB_{2}$, ограниченный отрезками $CA_{2}, CB_{2}$ и дугой $B_{2} A_{2}$ окружности девяти точек. Значит, она касается окружности девяти точек. Как видим, рассуждения те же, что и при построении в задаче Аполлония. Для вневписанной окружности доказательство совершенно аналогично. Таким образом, осталось доказать, что прямая MN содержит центр вписанной окружности $I_{1}$ треугольника $B_{1} B_{2} A_{2}$. Нам удобнее будет начать с одного вспомогательного утверждения, которое, впрочем, является известной олимпиадной задачкой. Лемма 2. В произвольном треугольнике АВС точка пересечения биссектрисы угла В с прямой, содержащей среднюю линию, параллельную стороне СВ, лежит на одной прямой с точками касания вписанной окружности со сторонами СА и СВ. Доказательство. Пусть I – центр вписанной окружности, М и N – точки ее касания со сторонами СА и СВ,

Рис. 10

26

КМШ

КВАНТ 2008/№4

Задачи

Расставьте все цифры от 1 до 9 по кружочкам левого треугольника так, чтобы выполнялось равенство c 2 = a 2 + b 2, где с – сумма цифр, расположенных на гипотенузе, a, b – суммы цифр, расположенных на катетах.

Окружность с центром на диагонали квадрата проходит через одну из его вершин и пересекает его стороны так, как показано на рисунке. Чему равен угол, отмеченный красной дугой? В.Произволов

Можно ли это сделать для кружочков правого треугольника? М.Ахмеджанова

Среди 999999 автобусных билетов с шестизначными номерами счастливыми считаются те, у которых сумма первых трех цифр совпадает с суммой трех последних. Несчастными будем называть билеты, в номерах которых содержатся ровно три подряд иду-

щие шестерки. Сколько билетов являются одновременно и счастливыми, и несчастными? А.Ряховский

Докажите, что если a, b, c – нечетные числа, то хотя бы одно из чисел ab – 1, bc – 1, ca – 1 делится на 4. В.Сендеров

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6 – 8 классов.

Иллюстрации Д.Гришуковой

Как вы думаете, чем бы отличались часы от ныне существующих, если бы древний изобретатель часов жил не в северном, а в южном полушарии Земли? Е.Соколов

27

К

М

Ш

Конкурс имени А.П.Савина

«Математика 6–8»

Мы начинаем очередной конкурс по решению математических задач для учащихся 6–8 классов. Решения задач высылайте в течение месяца после получения этого номера журнала по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» (с пометкой «Конкурс «Математика 6–8»). Не забудьте указать имя, класс и домашний адрес. Как и прежде, мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и математических кружков. Руководителей кружков просим указать электронный адрес или контактный телефон. По традиции, кружки-победители заочного конкурса приглашаются на финальный очный турнир.

1. Имеются 40 внешне одинаковых монет, среди которых 3 фальшивые. Фальшивые монеты легче, чем настоящие, и имеют одинаковые массы (массы настоящих монет тоже одинаковы). Как с помощью трех взвешиваний на чашечных весах без гирь отобрать 18 настоящих монет? В.Петрашев

2. Докажите, что для любого n-элементного множества (n > 0) количество его подмножеств, каждое из которых содержит четное количество элементов, равно количеству его подмножеств, каждое из которых содержит нечетное количество элементов. В качестве примера на рисунке приведены все подмножества 3-элементного множества шахматных фигур:

3. На бесконечной в обе стороны клетчатой полоске стоят три фишки так, как показано на рисунке. Разрешается добавить в любые три клетки по фишке, если одна из этих клеток находится ровно посередине между двумя другими. Также разрешается убрать по одной фишке из трех клеток, удовлетворяющих тем же требованиям. Можно ли при помощи данных действий убрать все фишки с полоски? А.Грибалко

4. Для каких натуральных $n \ge 2$ существует такое натуральное m, что m делится на n, m + 1 делится на n – 1, m + 2 делится на n – 2, … m + n – 1 делится на 1?

И.Акулич

5. Некоторую точку, лежащую внутри параллелограмма, отразили симметрично относительно его сторон. Четыре новые точки оказались вершинами квадрата. Верно ли, что исходный параллелограмм является квадратом? С.Дворянинов

В.Сендеров

Победители конкурса имени А.П.Савина «Математика 6–8» 2007/08 учебного года

Лучших результатов в конкурсе добились следующие школьники:

Томмер Аргаман – Беэр-Шева (Израиль), школа «Эшель-Ханаси», 8 кл., Сопенко Никита – Тамбов, ФМЛ 14, 6 кл., Цыбышев Алексей – Самара, гимназия 1, 8 кл.

и кружки: Математического клуба при университете им. Д.Бен- Гуриона в Негеве (Израиль), руководители П.Самовол, Й.Хейфец, лицея 130, Новосибирск, руководитель Л.Н.Чусовитина, гимназии 59, Улан-Удэ, руководитель Е.В.Батуева, Центра дополнительного математического образования, Курган, руководители О.И.Южаков, Е.Г.Пушкарева, «Сигнум» при гимназии 5, Чебоксары, руководитель С.А.Иванов, «Эрудит» при ФМШ 32, Астрахань, руководитель Т.М.Сергеева, гимназии 1, Самара, руководитель А.А.Гусев.

28

КВАНТ 2008/№4

Жюри конкурса отмечает также хорошие работы школьницы Галямовой Оксаны, Белорецк, гимназия 14, 8 кл.

и следующих кружков: Центра дополнительного образования, Нижнекамск, руководитель Ф.Г.Калимуллина,

лицея 64, Омск, руководитель Ю.Е.Рязанова.

Все победители конкурса награждаются DVD- дисками – электронным архивом журнала «Квант» с 1970 по 2006 год.

Проблемы дележки

В.УФНАРОВСКИЙ

ВА РАЗБОЙНИКА ДЕЛЯТ ДОБЫЧУ. ГРАБИТЬ БЫЛО ТАК славно и легко, делить оказалось намного сложнее! Каждый из разбойников уверен, что именно он может разделить все поровну, но совершенно не верит в способности коллеги. Наконец, старший из них говорит: – Хорошо. У меня есть идея. Давай я попробую разделить добычу поровну. – Да ты ведь не умеешь! – закричал младший.

Иллюстрация В.Иванюка

29

К

– Подожди немного, – ответил старший и разделил все надвое. – Мне кажется, я поделил как надо. Ты согласен? – Нет, конечно. Это совершенно не равные части! – Пусть так. И какая же из частей, по-твоему, больше? – Вот эта! – не сомневаясь указал более юный грабитель. – Прекрасно! Бери ее. Ты доволен? – Конечно же! А ты? – Вне всяких сомнений. Я уверен, что обе части одинаковые: ведь это я делил их. Разбойники разошлись, довольные дележкой. В следующий раз их было трое. И опять надо было поделить добычу поровну, но уже на троих. Как же это сделать? Вначале старший грабитель попытался использовать ту же идею. Он поделил все на три (как ему казалось) равные части и предложил остальным разбойникам выбрать себе долю. Старший надеялся, что они выберут разные части – тогда он заберет оставшуюся, и все будут довольны. Но оба его коллеги захотели одну и ту же часть. – Ладно, – сказал он. – Раз вы оба считаете, что это самая большая часть, выберите самую маленькую. Я ее возьму себе, а вы между собой как-нибудь разберетесь. Это была хорошая идея, но, как на беду, теперь они выбрали разные части. И больше уже никто не знал, что делать. Пошли споры, потом выстрелы… Полиция появилась удивительно быстро, и разбойники были рады, что успели унести ноги. Но все трое продолжали размышлять: как же все-таки можно было поделить добычу по справедливости, чтобы каждый был уверен, что получил не меньше трети (даже если у всех разные точки зрения на то, что является третью добычи, а что – нет)? На следующий раз грабителей было десять. Но теперь им предстояло разделить добычу на 10 частей! Старший рассказал оставшимся, как сложно было делить даже на три части, и предложил: – Я думаю, надо позвать математика, иначе мы не справимся. У меня есть один хороший знакомый. – Надо будет ему платить? – скривились прочие. – Нет-нет, он это сделает бесплатно. Он очень любит решать сложные задачи. И будет доволен, если сумеет написать математическую статью об этом. – Без наших имен? – Без. – Ну тогда пусть попробует, – нехотя согласились разбойники. Математик и впрямь заинтересовался проблемой. Поразмыслив, он предложил следующее решение. – Разбойники, – начал он, – каждый из вас уверен, что он (и только он) знает, сколько составляет 1/10 часть от этого хлама? – Конечно, – несколько обиженно подтвердили они. – Прекрасно! Тогда ты, – указал он на одного из грабителей, – отдели 1/10 этого. – Тот повиновался. – Теперь ты, – указал он на другого. – Считаешь ли ты, что здесь больше 1/10?

М

Ш

– Нет, – ответил разбойник. – Замечательно! Тогда ты, – указал он на следующего. – Считаешь ли ты, что здесь больше 1/10? – Да, здесь слишком много, – проворчал тот. – Тогда уменьши долю, сделай в точности 1/10! – попросил математик. Разбойник несколько уменьшил кучку. – Вот теперь здесь действительно 1/10, – прокомментировал он. – А вы, – обратился математик к двум первым разбойникам, – теперь можете быть уверены, что в кучке даже меньше 1/10. – Конечно, из нее ведь убрали немного, – подтвердили они. – Ну и отлично! Тогда я спрошу следующего, – и он выбрал нового разбойника, – считаешь ли ты, что здесь больше 1/10? И таким образом математик опросил каждого, предлагая уменьшить долю тем, кто считал, что она слишком велика. Когда последний грабитель был опрошен, математик опять обратился ко всем. – Итак, среди вас не могло остаться никого, кто считает, что в этой кучке сейчас больше 1/10 добычи. – Естественно, – ответили разбойники. Каждый, кто думал, что часть велика, уже уменьшил ее. – Чудесно! И кто же последним уменьшил эту долю? – Я, – отозвался юный разбойник. – Значит, когда ты делил, ты был уверен что это и есть 1/10. – Я и сейчас в этом уверен. Ведь никто не уменьшил ее после меня. – Вот и бери ее себе! Ты считаешь, что это 1/10 добычи, остальные же уверены, что это не больше. – Да! – радостно согласились разбойники. Они начали понимать. – Ну и хорошо! Теперь у нас более простая задача: разделить остаток на 9 частей. Начнем так же. Ты, – указал математик на одного из грабителей, – отдели 1/9 этого… И тем же способом математик выдал долю еще одному грабителю, затем – еще одному, и вскоре уже каждый разбойник довольно улыбался, оказавшись со своей частью добычи. На радостях разбойники достали большую бутыль старого хорошего вина и устроили празднество. Внезапно математик предложил: – А хотите, я и вино разделю поровну? – Нет, это слишком долго. – Не волнуйтесь, я справлюсь быстро. – Как это? – не удержались они от любопытства. – Очень просто. Я сам не пью, поэтому делить надо опять на десятерых. Уверен ли каждый из вас, что он сможет определить, сколько составляет 1/10 часть содержимого этой бутыли? – Никаких проблем! – Тогда я потихонечку начну наливать вино из бутыли в этот кубок. Как только кто-нибудь решит, что это как раз 1/10, он должен немедленно крикнуть и остановить меня. Договорились?

30

КВАНТ 2008/№4

– Попробуем, – ответили разбойники несколько озадаченно. Они никогда еще не пили так странно. Математик начал наполнять кубок. Он становился все более и более полным. Наконец, один из разбойников не выдержал и закричал: – Стоп! Иначе будет слишком много. Сейчас как раз 1/10 часть бутыли! – Но другие так не думают? – спросил математик. – Конечно, нет, – подтвердил разбойник, – они ведь молчали, а значит, считают, что там меньше 1/10. – Ну и пусть! Тогда это твоя доля! А мы продолжим, – сказал математик и начал наполнять следующий кубок. – А если несколько человек крикнут вместе? – заволновался вдруг один из оставшихся. – Отдадим долю любому из них и продолжим делить. Все равно в итоге каждому достанется не меньше 1/10 с его точки зрения, – успокоил всех математик. Разбойники задумались на некоторое время. – Гениально! И так просто, – сказал, наконец, самый сообразительный из них. – А почему мы не могли так делить добычу? – спросил он. А что ты думаешь, читатель?

Комментарии Сказка ложь, да в ней намек. Надеемся, читатель понял задачу и красивое решение, представленное в этой сказке. Алгоритм дележки, который описан в ней, конечно же не единственный. Возможно, читателю удалось придумать свой. Но если нет, пусть следующие задачи помогут ему увидеть другие способы деления. Задача 1. Главная проблема в делении на троих была вот в чем: когда один из разбойников разделил добычу на три части, самую большую часть двое оставшихся указали одинаково, а самую маленькую – по-разному. Выйти из этой ситуации можно так: два оставшихся разбойника делят самую большую часть между собой, и еще каждый из них делит среднюю (со своей точки зрения) часть пополам с первым разбойником. Покажите, что при таком делении каждый должен быть доволен. Задача 2. Убедитесь, что следующий алгоритм тоже решает проблему для троих. Двое делят всю добычу между собой. Затем третий делит долю каждого из первых двух разбойников на три части. Двое первых выбирают по меньшей части из своих трех частей и отдают третьему. Задача 3. Работает ли такой алгоритм для четверых: сначала трое делят все между собой, затем каждый из них делит свою порцию на четыре части, после чего последний разбойник забирает по лучшему куску у каждого? Заметьте, что алгоритм подобен предыдущему, но все же слегка отличается. Задача 4. Сформулируйте и проверьте алгоритм для N разбойников на основе идей из предыдущих задач. Задача $5^{*}$. Предположим, что в шайке есть атаман, выставивший дополнительное условие – он должен

получить не меньше любого другого разбойника (со своей точки зрения). Предложите соответствующий способ дележки: а) для случая трех разбойников; б) для произвольного их числа. Задача $6^{**}$. Удастся ли трем завистникам поделить добычу так, чтобы каждый был уверен, что никто не получил больше, чем он сам? Можно ли придумать способ дележки для любого числа завистников? Заметьте, что эта задача более сложная, чем исходная задача о трех разбойниках или задача об атамане. Для тех, кто хотел бы углубиться в математические тонкости, мы рекомендуем заглянуть в Интернет на страницу http://www.turgor.ru/lktg/1999/razbr.php (где приведен целый исследовательский цикл задач о разбойниках, предлагавшийся в 1999 году участникам XI Летней конференции Турнира городов). Есть еще несколько деликатных вопросов. А что если разбойники начнут жульничать, например, кооперироваться между собой и делить не поровну? Может ли это быть выгодно? Но это тема для отдельного разговора. В предыдущих задачах неявно предполагалось, что добыча безгранично делима (т.е. каждый набор сокровищ может быть разделен на любое число частей, равных с точки зрения данного разбойника). А что делать, если добыча не очень-то делима? Скажем, как делить телевизор или алмаз? Если у разбойников имеются деньги, можно предложить такой элегантный алгоритм. Каждый разбойник оценивает каждый предмет в сумму денег, которую, по его мнению, предмет стоит. Тот, кто дает наибольшую сумму, ее и платит и забирает вещь себе. После этого все выплаченные деньги делятся поровну. Вот другая модификация этой идеи, которую автор с успехом использовал на практике. Есть покупатель и есть продавец. Продавец хочет продать подороже, но не обязан продавать. Покупатель хочет купить подешевле, но не обязан покупать. Вместо того чтобы торговаться, можно предложить такой метод. Продавец пишет на бумажке минимальную сумму А, за которую он готов отдать товар, а покупатель – максимальную сумму B, которую он готов заплатить. Затем они смотрят на бумажки. Если А>В, то сделка не состоится. Иначе ценой будет среднее арифметическое, и оба будут довольны. Разумеется, и в этом, и в предыдущем алгоритме вопрос о жульничестве особо интересен. И последнее. А как на практике разделить действительно поровну полный стакан воды (считая стакан цилиндром)? Очень просто: медленно (чтобы поверхность была плоской) отливать воду, пока не увидишь начало дна. Из соображений симметрии в стакане как раз и останется половина.

31

НАМ ПИШУТ

Физика в «Рассказах о животных»

Недавно вышло очередное издание книги известного писателя и знатока природы Канады и Северной Америки Э.Сетона-Томпсона «Рассказы о животных». В книге как живой предстает перед читателем мир этой далекой от нас части света. Героями его рассказов – то трогательных, то трагических – являются звери, повадки которых прекрасно известны. Но посмотрим на книгу через призму физики – ведь каждое явление природы, в том числе и живой, имеет и физическую сторону, не сводясь, естественно, к ней полностью. Те, кто читал эту книгу (что я всем искреннее советую сделать), конечно, помнят рассказ «Джек – Боевой Конек. История кролика». В нем забавно описывается «соревнование в беге» кролика и собак. Когда собаки начинают настигать кролика в беге по прямой, он приступает к лавированию, резко меняет направление бега, увертываясь от них. На его сторону встает известное свойство тел – инертность. Собака массивнее кролика, поэтому ей труднее быстро изменять величину и направление скорости своего тела, чтобы преследовать кролика, чем он инстинктивно и пользуется. Из других благоприятствующих кролику при такой тактике факторов следует назвать прыжки, как обычный способ передвижения, и трудность предугадывания очередного его маневра. В рассказе о почтовом голубе Арно герой становится жертвой соколов-голубятников. Этот хищник пикирует на свою добычу и, разогнавшись, ударяет ее лапами сверху в спину. Причем убивают птицу не когти, которым противостоит упругое и прочное оперение, а переломы шейных позвонков, причина которых – инертность ее головы. Толчок лап сокола сообщает телу птицы настолько большое ускорение, что ее шея не может передать его голове, так как для этого к шее должна быть приложена сила, превышающая ее прочность в этом направлении. Описывая происходящее, часто говорят: «В то время как туловище птицы получило толчок (ускорение), голова продолжает двигаться по инерции». Это верно только для самого первого момента времени после удара, когда действующая на голову птицы со стороны туловища сила мала и не успела сообщить ей заметное ускорение. В подобной ситуации может оказаться и человек, но угрожают ему уже не хищники, а изобретенные им самим средства передвижения. Это часто происходит с пассажирами, сидящими в автомобиле, при наезде на него сзади другого транспортного средства (так называемый «удар хлыстом»). Спасти шейные позвонки от повреждения в этом случае призваны подголовники, устанавливаемые на спинках сидений. При описании поведения преследуемой собаками лисы Сетон-Томпсон прошел мимо одного небезынтересного для нас факта – а к такому приему прибегают как лисы, так и некоторые другие животные. Он заключается в том, что лиса, уходя от погони и резко меняя для этого направление движения, умело использует свой хвост. Поворачивая в одну сторону, она с силой отводит хвост в противоположном направлении. Однако всякому действию всегда есть противодействие, поэтому хвост в свою очередь действует на заднюю часть туловища животного с силой, такой же по величине, но противоположной по направлению. Благодаря этому, животному удается совершить поворот, не допуская «заноса» задней части тела. Вы скажете, что приведенный в движение хвост не бросают на произвол судьбы. Его нужно остановить и затем заставить двигаться со всем телом в противоположную сторону, для

Рисунок Э.Сетона-Томпсона чего нужно снова приложить к нему силу. Это так. Но дело в том, что рассматриваемый прием позволяет, осуществив быстро поворот, растянуть во времени затрату на него сил, не перегружая мышцы и не превышая предел силы сцепления лап с грунтом. Для этого вначале у хвоста «занимают» некоторое количество движения, а немного погодя «возвращают» ему его. Кроме того, если преследователь сосредоточил внимание на самой близкой к нему части догоняемой жертвы – на ее хвосте, то движение хвоста в сторону, противоположную повороту, сбивает преследователя с толку. Неслучайно кончик хвоста имеет выделяющуюся белую окраску. Этим приемом, облегчающим повороты, пользуются многие животные с относительно массивным (по отношению к массе всего тела) хвостом, в том числе и хищники, например лучший бегун – гепард. И чем значительнее доля массы хвоста по отношению ко всей массе тела, тем лучшие результаты дает этот прием. Натуралисты отмечают, что, пользуясь своим относительно массивным хвостом как рулем, или, точнее, противовесом, тушканчик может изменять направление движения самым неожиданным образом, прыгая по сыпучему песку. В одном из рассказов Сетон-Томпсон описывает, как его спутник – опытный охотник – определяет направление ветра, которое необходимо знать, чтобы незамеченным подойти к зверю. Для этого он смачивает одну сторону указательного пальца и, держа его вертикально, медленно поворачивает влажной поверхностью во все стороны. А затем делает вывод – ветер дует с той стороны, в направлении на которую палец чувствует наибольший холод. Далее автор заключает, что животные, видимо, поступают так же, только для этой цели им служит всегда влажный нос. Обсудим это явление с точки зрения физики. С влажной поверхности происходит испарение жидкости, и при этом она охлаждается. Обдувающий воздух уносит испарившиеся молекулы от поверхности и препятствует возвращению их и унесенной ими энергии. Это усиливает испарение и сопровождающее его охлаждение. Наиболее интенсивно этот процесс происходит с наветренной стороны, т.е. обращенной туда, откуда дует ветер.

Прочитайте и вы эту замечательную книгу. Безусловно, она доставит вам истинное наслаждение. А, может быть, вы подметите и другие примеры использования физических закономерностей. Хорошее знание физики способно открыть перед вами «секреты» не только научно-технических, но и художественных произведений. В.Котов

37

ФИЗИЧЕСКИЙ

использовать без второй, передаваемой обычными методами – со скоростью, не превышающей скорость света. Иными словами, Беннет показал, что в принципе сцепленные частицы могут служить своего рода «транспортом». Посредством присоединения третьей – «информационной» – частицы к одной из сцепленных частиц можно передавать ее свойства другой, причем даже без измерения этих свойств. Пионерами по осуществлению экспериментальной реализации канала такой связи стали работы двух исследовательских групп – группы австрийских исследователей из Института экспериментальной физики университета в Инсбруке, возглавляемой А.Цайлингером, и группы итальянских исследователей из университета в Риме под руководством Ф. Де Мартини. Опыты этих групп доказали выполнимость принципов ЭПР на практике для передачи через световоды состояний поляризации между двумя фотонами посредством третьего на расстояниях до 10 километров, т.е. наблюдалась телепортация квантового состояния на гигантских (в масштабах микромира) расстояниях. Вместо того чтобы использовать отдельный «фотон-посланник», итальянские исследователи предложили рассматривать одновременно две характеристики каждой связанной частицы: поляризацию и направление движения. Это позволяет теоретически описывать их как отдельные частицы и в то же самое время, проводя измерения только с первой частицей, получать характеристики второй, не трогая ее, т.е. осуществлять телепортацию. Аналогичные экспериментальные результаты были получены и в других лабораториях Европы, США и Азии, так что фотонная телепортация теперь стала для физиков вполне привычным делом. Однако до сих пор еще никому не удавалось телепортировать столь тяжелые (по меркам микромира) объекты, как атомы с многонуклонными ядрами. Физики из американского Национального института стандартов и технологии добились успеха с ионами бериллия-9, а их коллеги из у ниверситета Инсбрука работали с еще более массивными ионами кальция-40. Поведение каждой квантовой системы, будь то фотон, элементарная частица, атом или молекула, описывается некоторым набором параметров – квантовых чисел. Такие параметры в своей совокупности обеспечивают всю полноту информации об объекте, достижимую в рамках квантовой механики. Например, одиночный электрон, свободно летящий в пустом пространстве, описывается всего двумя параметрами – импульсом и спином. Для полного описания электрона, входящего в состав атома водорода, нужны уже четыре параметра: главное квантовое число, которое определяет его энергию, орбитальное квантовое число, которое задает величину углового момента электрона, магнитное квантовое число, характеризующее ориентацию этого момента, и, наконец, опять-таки спин. Другие квантовые объекты могут требовать иных квантовых чисел. Полный набор квантовых чисел любого квантового объекта, для простоты назовем его частицей, как раз и называется его состоянием. Оба упомянутых научных коллектива, американский и австрийский, работали с плененными в ловушки ионами, которыми они манипулировали с помощью лазерных импульсов. В этих условиях динамику каждой частицы можно было описывать с помощью лишь одного квантового параметра – спина. Величина спина у каждой частицы была одной и той же, а вот его направление могло меняться. Интересно, что каждый акт телепортации занимал лишь 4 миллисекунды, причем он осуществлялся по командам компьютера. У австрийцев точность переноса информации составила 75%, а у американцев – 78%.

ФАКУЛЬТАТИВ

Телепортация не только фотонов, но и других частиц – электронов, атомов и даже ионов – позволит передавать квантовое состояние от короткоживущей частицы к более стабильной. Таким способом можно будет создавать запоминающие устройства, где информация, принесенная фотонами, будет храниться на ионах, изолированных от окружающей среды. После создания надежных методов квантовой телепортации возникнут реальные предпосылки для создания квантовых вычислительных систем. Телепортация обеспечит надежную передачу и хранение информации на фоне мощных помех, когда все другие способы оказываются неэффективными, и может быть использована для связи между несколькими квантовыми компьютерами. Кроме того, разработанные исследователями методы имеют огромное значение для будущих экспериментов по квантовой механике, для проверки и уточнения целого ряда современных физических теорий. В различных странах обсуждаются программы по применению эффекта квантовой телепортации для создания квантовых оптических компьютеров, где носителями информации будут фотоны. Скорость работы и объемы информации квантовых компьютеров будут на десятки порядков превосходить таковые у существующих компьютеров. Квантовая телепортация может сыграть значительную роль в будущих системах передачи информации. Если когда-либо будет создана квантово-механическая ЭВМ, теоретические основы которой были заложены Р.Фейнманом в конце 70-х – начале 80-х годов прошлого столетия, то информация в ней будет храниться в виде набора квантовых состояний. Эффекты ЭПР и квантовой телепортации позволят вести копирование и обмен информацией внутри квантового компьютера. И не только компьютера – можно будет телепортировать данные в любых цифровых системах. Преимущество телепортационного способа передачи информации заключается в том, что из одной точки пространства в другую переносится точная копия состояния, являющегося элементарной ячейкой памяти. Таким образом, появляется возможность передавать информацию без потерь, со 100-процентной эффективностью. Именно перспектива создания принципиально новых систем связи с абсолютной невозможностью несанкционированного доступа к данным и определяет нынешний научный ажиотаж вокруг квантовой телепортации. Впрочем, что касается инженерных решений этой задачи, то не следует думать, что они будут найдены завтра: технологические проработки только начались. По сути дела, до самого последнего времени физики отрицали возможность телепортации прежде всего потому, что любые частицы являются одновременно и частицами, и волнами. В этом и заключается сложность: чтобы создать точный дубликат какой-либо частицы, необходимо прежде определить ее скорость и ее волновые свойства, в частности импульс. Но это запрещено принципом неопределенности Гейзенберга. Согласно этому принципу, невозможно одновременно определить и волновые, и корпускулярные свойства частицы. А теперь (как уже было сказано) во многих научно-исследовательских лабораториях мира экспериментально разрешается этот «квантовый парадокс». Опыты, проведенные датскими учеными в конце сентября 2001 года, доказали практическую возможность такой телепортации. Экспериментаторы добились квантовой связи между двумя облаками охлажденных почти до абсолютного нуля паров цезия, расположенными на значительном расстоянии друг от друга. Датчанам удалось связать около миллиона атомов цезия, правда на очень короткое время – на доли миллисекунды. Связь должна приводить к взаимному влиянию облаков пара. По версии экспериментаторов, воздей-

38

КВАНТ 2008/№4

ствие на оригинал влечет аналогичное изменение параметров копии. Исследователи планируют изучение свойств полученного канала с целью реализации в будущем возможности передачи копий структур из атомов. Даже при самых успешных разработках именно этого вида телепортации «переносить» человека таким способом не получится – он содержит на 20 порядков больше атомов, а методов считывания структуры такой сложности пока не существует даже в принципе. Летом 2002 года появилось сообщение от физиков из Австралии: им удалось телепортировать луч лазера на расстояние 1 метр. Выглядело это как исчезновение луча в одной точке и появление его в другой. В Японии объявлено о прорыве в области мгновенной передачи данных на неограниченные расстояния, открывающем путь к созданию сверхскоростных квантовых компьютеров и неуязвимых для взломов систем шифровки информации. Группа физиков во главе с профессором Токийского университета А.Фурусавой впервые в мире осуществила квантовую телепортацию между тремя частицами. Физики из Венского университета сумели телепортировать частицы света на расстояние 600 метров – с одного берега Дуная на другой. Для этого эксперимента использовалась канализационная система под руслом реки, по которой был протянут оптоволоконный кабель. Линия, проложенная под Дунаем, соединила между собой две лаборатории, одну из которых назвали «Алиса», а другую – «Боб». Алиса передала три разных квантовых состояния фотонов, а Боб сумел их воспроизвести. При этом процесс телепортации происходил не мгновенно, поскольку он ограничен скоростью света. Ученые говорят, что ценность нынешнего эксперимента заключается в том, что он проведен в условиях, максимально приближенных к реальным. Две любопытные статьи – теоретическая и экспериментальная – были недавно опубликованы в журнале «Nature» («Природа«). Они ведут разными путями, но к одной заветной цели – к созданию квантового компьютера, способного решать задачи, принципиально непосильные современным вычислительным машинам. В теоретической статье профессор Национального института стандартов и технологии США Э.Нилл предложил новую иерархическую архитектуру квантового компьютера. По утверждению автора, эта архитектура позволяет построить квантовый вычислитель на основе уже реализованных в эксперименте компонентов. Главным препятствием на пути создания квантовых компьютеров является быстрое разрушение нежной квантовой информации внешним шумом. Единица квантовой информации, кубит, способная представлять либо логический ноль, либо единицу, либо то и другое одновременно, реализуется в виде квантового состояния фотона, атома, иона или другой микрочастицы. Это – базовый блок квантового компьютера. Пока в научных лабораториях удалость провести квантовые вычисления лишь для нескольких кубитов, чего, разумеется, недостаточно для практических расчетов. И чем больше кубитов в квантовом компьютере, тем быстрее разрушается информация. Чтобы обойти эту трудность, Нилл предложил организовать все кубиты квантового компьютера в простую пирамидальную структуру из небольших блоков кубитов. Квантовые данные будут телепортироваться с уровня на уровень и постоянно проверяться на целостность. При такой иерархической структуре компьютера вычисления можно будет проводить, даже если вероятность ошибки одного кубита за время расчетов составляет три процента. А этот уровень уже достигнут в экспериментах на ионных квантовых компьютерах. Нет проблем и с телепортацией квантовой информации. Сегодня, чтобы обеспечить надежную работу всего пары кубитов, нужно будет создать три уровня иерархии и оперировать с 36

кубитами только на нижнем уровне. Однако это все же лучше, чем ничего. И баланс между избыточностью и надежностью вычислений в схеме Нилла заметно лучше, чем при других подходах. Тем более что требования к избыточности архитектуры компьютера могут быть значительно снижены при уменьшении уровня ошибок. Пока работоспособность новой архитектуры проверена лишь в многомесячных вычислительных экспериментах на обычной рабочей станции. Выводы автора еще нуждаются в строгих математических доказательствах и в экспериментальной проверке. В работе большой группы европейских ученых, координируемой из Венского университета, впервые удалось экспериментально реализовать «однонаправленные» квантовые вычисления, предложенные теоретиками. Однонаправленный квантовый компьютер принципиально отличается от обычного квантового компьютера и даже заставляет ученых переосмыслить саму концепцию квантовых вычислений. В обычном квантовом компьютере сначала приготовляются начальные квантовые состояния кубитов, затем алгоритм вычислений реализуется путем последовательности обратимых во времени манипуляций с состояниями кубитов, а результат вычислений измеряется. Именно осуществление обратимых манипуляций, т.е. «перепутывания» состояний кубитов, которые легко разрушаются любым шумом, и вызывает основные трудности. В однонаправленном квантовом компьютере кластер из квантовых частиц изначально приготовляется в сильно «перепутанном» состоянии, а алгоритм квантовых вычислений сводится к последовательности необратимых измерений состояний кубитов. Необратимость вычислений, которые гораздо меньше портятся шумом, и заставляет называть такой компьютер однонаправленным. Теоретики показали, что однонаправленным способом можно реализовать алгоритм поиска, к которому удается свести все остальные «неподъемные» алгоритмы, решаемые на обычном компьютере лишь прямым перебором всех вариантов ответа. В эксперименте был сооружен однонаправленный компьютер на четырех кубитах, физически реализуемых состояниями поляризации четырех фотонов. Экспериментальная установка представляет собой сложную комбинацию импульсных лазеров, поляризационных фильтров, нелинейных оптических кристаллов и фотоприемников. Четыре фотона были приготовлены в «перепутанном» квантовом состоянии, а затем ряд измерений их поляризации позволил успешно выполнить упомянутый алгоритм. Разумеется, четыре кубита – это немного, но на данном этапе важнее всего экспериментальное подтверждение концепции. Пока сравнительно молодое направление однонаправленных квантовых вычислений развито слабее традиционного. Однако именно с ним ряд специалистов связывают большие надежды на создание в обозримом будущем квантовых компьютеров для практических вычислений. Удастся ли это ученым, сказать трудно, но, судя по тому что постоянно предлагаются новые решения старых проблем, их надежды отнюдь не беспочвенны. В последнее время происходит слияние квантовых компьютеров с квантовой коммуникацией (телепортацией), естественно воображаемое, поскольку ни того, ни другого пока не существует. Поговаривают уже о квантовом Интернете. Дело в том, что в квантовом компьютере очень сложно устроить двухкубитные операции, которые как раз и приводят к запутанным состояниям – основе квантовых вычислений. Может оказаться более простым (дешевым) приемом поставлять потребителю уже готовые запутанные кубиты с некоего суперкомпьтера, подключенного к сети квантовой коммуникации. Схем телепортации квантовых состояний уже было предложено огромное количество. Ученые из Англии, например,

42

КВАНТ 2008/№4

стью до подобия) непрямоугольный треугольник, который можно разрезать на пять подобных ему.

Рис. 9

Итак, задача, поставленная в начале статьи, полностью решена. Просуммируем. На n треугольников, подобных исходному, можно разрезать: g при n = 2, 3 – любой прямоугольный треугольник и никакой другой; g при n = 4 и n ³ 6 – любой треугольник; g при n = 5 – любой прямоугольный треугольник, а также треугольник с углами $120^\circ, 30^\circ, 30^\circ$. Упражнение 1. Для прямоугольных треугольников результат следует из задачи 3. Для равнобедренных и равносторонних он очевиден: проведем высоту. Обратно, пусть треугольник разрезан на два подобных. Они прямоугольны (аналогично решению задачи 3). Два неразрезанных угла либо равны между собой (т.е. треугольник равнобедренный или равносторонний), либо равны двум разным острым углам прямоугольного треугольника. Тогда их сумма равна $90^\circ$, и исходный треугольник – прямоугольный. Упражнение 2. а) Разделим каждую сторону треугольника на n равных частей. Через точки деления проведем прямые, параллельные сторонам треугольника. б) Аналогично упражнению 1 получаем, что малые (полученные при разрезании) треугольники прямоугольные и имеют общий катет. Так как треугольники равны, то вторые катеты тоже равны. Это означает, что в исходном треугольнике одна из высот является медианой, т.е. прилежащие стороны равны. в) Из решения п. б) с учетом задачи 3 видно, что треугольник – равнобедренный и прямоугольный. Такой треугольник, очевидно, допускает требуемое разрезание.

Упражнение 3. Ответ тот же, что в упражнении 1: все прямоугольные, равнобедренные и равносторонние треугольники и только они. Для таких треугольников разрезание на три подобных понятно из предыдущего. Обратно, пусть треугольник разрезан на три подобных. Если разрезаны все три его угла, то получаем конфигурацию с рисунка 8; рассуждая как в п.б) решения задачи 9, получаем, что треугольник равносторонний. Если один из углов не разрезан, то, рассуждая как при решении задач 4 и 3, получаем, что малые треугольники прямоугольные и еще один угол исходного треугольника не разрезан. Тогда либо один из неразрезанных углов прямой, либо два таких угла равны между собой (и треугольник равнобедренный или равносторонний), либо они равны двум разным острым углам малого треугольника. В последнем случае их сумма составляет $90^\circ$, и исходный треугольник прямоугольный. Осталось неисследованным единственное значение: n = 5. Не всякий треугольник разрезается на 5 попарно подобных $треугольников.^{3}$ Из упражнения 1 и задачи 3 видно, что годятся все прямоугольные, равнобедренные и равносторонние треугольники: разрезаем их на два подобных прямоугольных, а затем режем один из них на четыре подобных ему. Заметим, что и треугольник с рисунка 9 – равнобедренный. Тем не менее, в статье C.A.Jones, P.Jones and A.B.Bolt, упомянутой выше, приведены шесть неравнобедренных и непрямоугольных треугольников, допускающих разрезание на 5 попарно подобных. Неизвестно, можно ли расширить этот список. Возможно, кто-то из заинтересовавшихся читателей сумеет это доказать (или опровергнуть). Автор признателен С.В.Маркелову за сведения об указанной статье и о некоторых других публикациях, упомянутых выше.

3 В «Кванте» №7 за 1990 год опубликована задача А.Сойфера (М1234) на эту тему (а два ее решения опубликованы А.Сойфером и Н.Васильевым в №12 за тот же год).

ЛАБОРАТОРИЯ «КВАНТА»

Устоит ли наш кораблик?

С.БОГДАНОВ, О.ПОПОВ, Д.ТАРАСОВ

МНОГИЕ ИЗ НАС МАЛЬЧИШКАМИ МАСТЕРИЛИ КО- раблики – из досок, брусков, коробок, а иногда и из скорлупы ореха или старой калоши. Они получались разными: то легкими и верткими, как индейские каноэ, то тяжелыми и неповоротливыми, как старинные броненосцы. Некоторые были вовсе неказистыми, плавали лишь на боку, с креном, или даже переворачивались. Были и разные книги с рисунками сказочных по красоте судов с замысловатым такелажем, гордыми форштевнями и полным парусным вооружением. Был, наконец, и курс механики в университете – с отточенной простотой формул и емкими формулировками, строго очерчивающими реалии и границы возможного: «судно остойчиво, если метацентр расположен выше центра тяжести». Все доказательно, четко и понятно, и ясны алгоритмы расчета и принципы совершенствования корпусов судов, их обводных линий, киля и шпангоутов. И все же, притягивает то далекое, когда все было впереди и, хотя неопределенно и туманно, все было возможно. Когда чувство гордости мастера и профессионала еще не заменяло безотчетной радости от неожиданных открытий в простых делах, с обычными вещами… А простые вещи по-прежнему дают повод и для удивления, и для маленьких открытий. А иногда позволяют по-новому посмотреть и на сложное. Наш кораблик. Рассмотрим, например, длинный брусок прямоугольного сечения – чем не модель судна, ведь это основа корпуса, а остальное можно довообразить и потом достроить. Как водится, будем даже для простоты считать брусок бесконечно длинным (или, как сказал бы корабел, откажемся от рассмотрения дифферента и возможных продольных ко- Рис. 1

49

ОЛИМПИАДЫ

3. На сторонах АВ и ВС треугольника ABC выбраны точки K и М соответственно так, что KM || AC. Отрезки AM и KС пересекаются в точке О. Известно, что АK = АО и KМ = МС. Докажите, что АМ = KВ. М.Мурашкин

4. Турнир, в котором участвовали 20 спортсменов, судили 10 арбитров. Каждый сыграл с каждым один раз, и каждую встречу судил ровно один арбитр. После окончания каждой игры оба участника фотографировались с арбитром. Через год после турнира была найдена стопка из всех этих фотографий (по фотографии неясно, кто на ней игроки, а кто – арбитр). Оказалось, что не про каждого можно определить, кем он является – спортсменом или арбитром. Сколько могло быть таких людей? Б.Френкин

5. Поставьте на плоскости 9 точек так, чтобы никакие 4 не лежали на одной прямой, но из любых шести нашлись 3, лежащие на одной прямой. (На рисунке проведите все прямые, на которых лежат по три отмеченные точки.) А.Акопян

6. У игрока есть М золотых и N серебряных монет. В начале каждого раунда игрок ставит какие-то монеты на красное, какие-то на черное (можно вообще ничего не ставить на один из цветов, часть монет можно никуда не ставить). В конце каждого раунда крупье объявляет, что один из цветов выиграл. Ставку на выигравший цвет крупье отдает игроку, удваивая в ней количество монет каждого вида, а ставку на проигравший цвет забирает себе. Игрок хочет, чтобы монет одного вида у него стало ровно в три раза больше, чем другого (в частности, его устроит остаться совсем без денег). При каких М и N крупье не сможет ему помешать? А.Чеботарев

9 класс

1. Две команды КВН участвуют в игре из четырех конкурсов. За каждый конкурс каждый из шести судей выставляет оценку – целое число от 1 до 5; компьютер находит среднее арифметическое оценок за конкурс и округляет его с точностью до десятых. Победитель определяется по сумме четырех полученных компьютером значений. Может ли оказаться, что сумма всех оценок, выставленных судьями, у проигравшей команды больше, чем у выигравшей? А.Горбачев

2. Велосипедист путешествует по кольцевой дороге, двигаясь в одном направлении. Каждый день он проезжает 71 км и останавливается ночевать на обочине. На дороге есть аномальная зона длиной 71 км. Если велосипедист останавливается в ней на ночлег на расстоянии у км от одной границы зоны, просыпается он в противоположном месте зоны, на расстоянии у км от другой ее границы. Докажите, что в каком бы месте велосипедист ни начал свое путешествие, рано или поздно он в этом месте заснет или проснется. Г.Колюцкий

3. Пусть AL – биссектриса треугольника ABC, О – центр описанной около этого треугольника окружности, D – такая точка на стороне АС, что AD = АВ. Докажите, что прямые АО и LD перпендикулярны. Р.Женодаров

4. Назовем усложнением числа приписывание к нему одной цифры в начало, в конец или между любыми двумя его цифрами. Существует ли натуральное число, из которого

невозможно получить полный квадрат с помощью ста усложнений? А.Горбачев

5. У Васи есть 100 банковских карточек. Вася знает, что на одной из карточек лежит 1 рубль, на другой 2 рубля, и так далее, на последней 100 рублей, но не знает, на какой из карточек сколько денег. Вася может вставить карточку в банкомат и запросить некоторую сумму. Банкомат выдает требуемую сумму, если она на карточке есть, не выдает ничего, если таких денег на карточке нет, а карточку съедает в любом случае. При этом банкомат не показывает, сколько денег было на карточке. Какую наибольшую сумму Вася может гарантированно получить? И.Митрофанов

6. Покажите, что существует выпуклая фигура, ограниченная дугами окружностей, которую можно разрезать на несколько частей и из них сложить две выпуклые фигуры, ограниченные дугами окружностей. И.Иванов-Погодаев, А.Малистов

10 класс

1. Аудитория имеет форму правильного шестиугольника со стороной 3 м. В каждом углу установлен храпометр, определяющий число спящих студентов на расстоянии, не превышающем 3 м. Сколько всего спящих студентов в аудитории, если сумма показаний храпометров равна 7? А.Каибханов

2. Андрей и Борис играют в следующую игру. Изначально на числовой прямой в точке р стоит робот. Сначала Андрей говорит расстояние, на которое должен сместиться робот. Потом Борис выбирает направление, в котором робот смещается на это расстояние, и т.д. При каких р Андрей может добиться того, что за конечное число ходов робот попадет в одну из точек 0 или 1 вне зависимости от действий Бориса? Д.Баранов

3. Все целые числа от –33 до 100 включительно расставили в некотором порядке и рассмотрели суммы каждых двух соседних чисел. Оказалось, что среди них нет нулей. Тогда для каждой такой суммы нашли число, ей обратное. Полученные числа сложили. Могло ли в результате получиться целое число? И.Богданов

4. Докажите, что если некоторый многочлен с целыми коэффициентами принимает в k целых точках значения среди чисел от 1 до k – 1, то при k ³ 6 эти значения равны. М.Малкин

5. Высоты AA¢ и CC¢ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке Н. Точка $B_{0}$ – середина стороны АС. Докажите, что точка пересечения прямых, симметричных $BB_{0}$ и $HB_{0}$ относительно биссектрис углов ABC и АНС соответственно, лежит на прямой A ¢ C ¢. А.Заславский

6. Натуральные числа покрашены в N цветов. Чисел каждого цвета бесконечно много. Известно, что цвет полусуммы двух различных чисел одной четности зависит только от цветов слагаемых (например, полусумма синего и красного всегда желтая). а) Докажите, что полусумма чисел одной четности одного цвета всегда окрашена в тот же цвет. б) При каких N такая раскраска возможна? А.Шаповалов