Квант 2008, №6 · Страницы

3

САМАЯ

СВЕТЛАЯ

РЕВОЛЮЦИЯ

гом и трудном пути был достигнут общими усилиями американских, русских, японских, немецких исследователей и технологов. А началось все в далеком 1922 году, когда Олег Лосев, девятнадцатилетний лаборант Нижегородской радиолаборатории, занялся кристаллическими детекторами… Но прежде – необходимое отступление.

О том, как мы видим, и о световых измерениях

Свет воспринимается сетчаткой, устилающей глазное дно, именно на нее линзой-хрусталиком фокусируется изображение окружающих предметов (рис.1). Сетчатка содержит около 125 миллионов нервных фоторецепторов, которые из-за их продолговатости называют

Рис. 1. Глаз человека в разрезе

палочками, и примерно 6–7 миллионов колбочек, получивших свое название из-за конической формы. Палочки сконцентрированы в основном на краях сетчатки, а колбочки располагаются в небольшой центральной зоне. Колбочки в сотни раз менее чувствительны, чем палочки, но зато «различают» цвета, а палочки реагируют лишь на изменения яркости света. Кавычки приходится использовать потому, что зрительный образ формируется в затылочных областях головного мозга, а глаз – это лишь фотоприемник, принимающий внешнюю информацию, преобразующий ее и по нервным волокнам передающий в мозг. Иными словами, «смотрим» мы глазами, а «видим» затылком. Глазная автоматика отлажена Природой так, что днем активны только колбочки, а в сумерках активны только палочки. Поэтому утверждение «ночью все кошки серы…» имеет вполне научное обоснование. Цветовосприятие – уникальная способность человека; по-видимому, оно доступно исключительно высокоорганизованному мозгу. Видят все животные, многие зорче нас, некоторые почти в полной темноте, но практически все они пребывают в вечных серых сумерках (отличает ли собака сыр от мяса по цвету – до сих пор предмет дискуссии ученых). А нам, пожалуй, просто невозможно представить жизнь без красок, на уровне подсознания психика коррелирует с цветовой средой: лирическое настроение «окрашено» в голубой цвет и, наоборот, голубое погружает нас в лирику; драма – «фиолетова», оранжевое вызывает мажорный

И

ЕЕ

ТВОРЦЫ

энтузиазм, мягкие охристо-коричневые тона ассоциируются с ностальгической грустью. Обычный человек различает до двухсот цветовых оттенков, художники – до нескольких тысяч (так они утверждают, но, возможно, что-то здесь примешано другое), а в специальных технических цветовых атласах (например, в текстильной промышленности) перенумерованны миллионы цветов. Где еще можно найти такое многообразие – в звуках, запахе, во вкусовых ощущениях? Смешно даже пытаться сравнивать. Физиологически наше цветовосприятие основано на наличии трех видов колбочек, избирательно чувствительных к красному, зеленому и синему цветам (трихроматное зрение). Используя технические аналогии, можно сказать, что каждый светочувствительный «пиксел» глаза образован R-G-B триадой, как в цветной видеокамере (R,G,B – первые буквы соответствующих английских слов red, green, blue). Создатели светодиодов стремятся в максимальной степени удовлетворить «требования» глаза. Для освещения нужен белый свет с непрерывным спектром, как у солнца, – этим обеспечивается идеальная цветопередача, естественность окраски окружающих предметов. Для отображения информации надежнее использовать спектрально однородные цвета. Иными словами, в первом случае глаз реагирует на вид и цвет освещенных предметов, во втором – на сам источник света. Световые измерения также подстраиваются под физиологию глаза, его резко изменяющуюся спектральную чувствительность (рис.2). Одинаковыми считаются воздействия, вызывающие одинаковые зрительные

Рис. 2. Спектральная чувствительность человеческого глаза

ощущения, хотя физически они могут сильно различаться. Мощность световой волны называется световым потоком и измеряется в люменах (лм). Для примера укажем, что «физическая цена» 1 лм в зеленой области составляет 1/680 Вт, в фиолетовой – 1/62 Вт, в красной – 1/6 Вт, точные пересчетные коэффициенты есть для каждой спектральной точки. Шестидесятиваттная лампочка излучает 500 лм, люминесцентная трубка – 5000 лм, уличный натриевый светильник – 10–30 тыс. лм. Светоотдача (лм/Вт) характеризует эффективность преобразования «электричество – свет», у лампочки накаливания это 10–11 лм/Вт, у лампы дневного света 80 лм/Вт.

4

КВАНТ 2008/№6

Светильники, освещающие какую-то площадку (например, настольная лампа), характеризуют силой света (пространственной плотностью светового потока), измеряемой в канделах (1 кд = 1 лм/стер), и углом излучения. Для примера, светодиодный светофор обеспечивает силу света 300–500 кд в угле 20 градусов. Световой поток в 1 лм создает освещенность площадки в $1 м^{2}$, равную 1 люксу (1 лк); для чтения вполне комфортно 500 лк, в операционной иногда хотят иметь и 50000 лк. Яркость – это отношение силы света к площади излучения, у светофора она составляет 10 тыс.кд $м^{2}$, а у домашнего ТВ экрана – 500 кд $м^{2}$.

«Свечение Лосева»

Вернемся к нашей истории. Лосев, 1922 год… Поначалу он и лаборантом-то не был, его взяли посыльным, т.е. никем и с никакой зарплатой, но главное – разрешили заниматься радиотехникой. Тогда это было «болезнью» любознательного юношества, как в 30-е годы – авиация, в 50-е – атомная физика, сейчас – бизнес. Олег родом из Твери, в Нижнем Новгороде у него не было «ни кола, ни двора», он ночевал в здании лаборатории на предчердачной лестничной площадке, голодал (как все) и работал, работал, работал до восторга и изнеможения. Неожиданно и вопреки всякой логике он обнаружил, что некоторые кристаллические детекторы не только детектировали, но и усиливали радиосигналы – объяснение этому эффекту дали лишь через три десятилетия, после изобретения транзистора. Сконструированный на таком детекторе радиоприемник – кристадин – принес Лосеву мировую известность и место в истории техники. Но здесь речь о его другом, еще более значимом открытии. Олег заметил, что карбидокремниевые детекторы при пропускании через них тока испускают слабый зеленоватый свет, и с 1927 года он занялся этим явлением специально, посвятив ему всего себя. (Увы, жизнь его оказалась обидно короткой – Олег Владимирович Лосев скончался от истощения и холода в блокадном Ленинграде в январе 1942 года.) Его эксперименты показали, что свечение не было связано ни с поверхностными электрическими разрядами, ни с разогревом, «холодный свет» шел из самого кристалла. Уже в 1930 году Лосев дал удовлетворительную теоретическую трактовку своим опытам на основе существующих квантовых представлений. Говоря сегодняшним языком, он открыл инжекционную люминесценцию полупроводников, тогда на Западе названную «свечением Лосева» (Losev Light). Его мировому признанию открыло дверь то обстоятельство, что он оперативно публиковался в немецких научных журналах. По-видимому, существенно и то, что по жизни с ним рядом оказывались такие замечательные ученые, как В.Л.Лёвшин, В.К.Лебединский, М.А.Бонч-Бруевич, А.Ф.Иоффе. Они не были его научными руководителями в общепринятом понимании, но несомненно оказали огромное влияние на его личность и на его признание. («Юноше, обдумывающему житье», подскажем, что попасть в подобную «компанию» не менее

важно, чем родиться с талантом.) Характерно, что никто из мэтров не приписывался к Лосеву в соавторы – тогдашняя этика научного сообщества была щепетильна. Для практических целей «свечение Лосева» было слишком слабым, тогда наука еще не знала, как его усилить, а тем временем грянула вторая мировая война, и интерес к занятному явлению фактически пропал. Лишь спустя почти два десятилетия, уже после изобретения транзистора (1948) и разработки американцем У.Шокли теории p–n-перехода (1949) вновь обратились к объяснению люминесценции полупроводников. При протекании тока через диод часть электронов полупроводника «забрасывается» с равновесного нижнего энергетического уровня на более высокий уровень возбуждения, решающую роль при этом играет наличие р–n-перехода, потенциальный барьер которого и преодолевают электроны. А обратные переходы электронов с высокого квантового уровня на более низкие сопровождаются выделением энергии в виде фотонов, поток которых образует световое излучение (рис.3). Максимальный энергетический зазор $E_{з}$ определяется самой природой полупроводника $( E_{з} = = E_{п} - E_{в}$, где $E_{п}$ и $E_{в}$ – границы зоны проводимости и валентной зоны соответственно) и называется шириной запрещенной зоны, положение других уровней $E_{1}, E_{2}, K$ определяется видом вводимых легирующих примесей и Рис. 3. Схема генерации света в неконтролируемыми полупроводнике дефектами. Чем значительнее энергетический «скачок» электрона $\Delta E$, тем меньше длина волны излучения $\lambda ,$ предельные возможности реализуются при $\Delta E = E_{з}$. Нетрудно видеть, что для генерации «синих» фотонов $(\lambda = 465$ нм) пригоден только нитрид галлия GaN, тогда как красно-желтую часть спектра успешно могут «закрыть» тройные соединения GaAsP и GaAlAs. Отметим, что нередко переходы электронов верхнего уровня на нижний происходят не прямо, а через множество промежуточных уровней с испусканием такого же множества квантов, соответствующих инфракрасному (ИК) излучению. Но это – безызлучательные переходы, которые с точки зрения генерации света представляют собой бесполезное растрачивание энергии. Развитая теория (1951) объяснила, в частности, низкую интенсивность «свечения Лосева» – «вина» полностью ложилась на карбид кремния, где преобладают безызлучательные переходы. Разобрались, что не подходят транзисторные германий и кремний, «вычислили», что именно нужно для эффективной люминесценции, но… таких полупроводников в природе не существовало.

6

КВАНТ 2008/№6

арсенид галлия и арсенид-фосфид галлия – идеальные полупроводники для реализации «свечения Лосева». Тогда же ученые всего мира устремились в новую область физики и техники – квантовую электронику – и сосредоточились на разработке лазеров. В 1960 году были созданы рубиновый и газовый лазеры, а в сентябре 1962 года – полупроводниковый лазер на основе арсенида галлия, правда излучал он в ближней инфракрасной области. В ноябре того же года один из не самых удачливых участников «лазерного проекта» американец Ник Холоньяк сообщил о создании светодиодов красного свечения на основе соединения арсенид-фосфид галлия и о начале их полупромышленного выпуска. Светодиод (рис.5) родился как бы сам собой, легко и просто, едва был

Рис. 5. Миниатюрные светодиоды

создан необходимый полупроводник. Его презентацию озаглавили «Свет надежды», вроде бы обычный журналистский штамп, а оказалось – пророчество. (И вновь мы упустили свой приоритет: на полгода раньше в одном из « почтовых ящиков» был организован выпуск довольно-таки ярких карбидокремниевых светодиодов для ядерной техники, но все засекретили, и первопроходцем в историю вполне оправдано вошел Холоньяк, получивший в 2003 году российскую премию «Глобальная энергия».) Так фактически совместились второй и третий этапы «светодиодного проекта», успешно завершившегося к середине 1960-х годов. Разумеется, жизнь на этом не остановилась, расширялись производство и применение светодиодов, совершенствовались их устройство и характеристики, порой – принципиально. В 1970-е годы ученые ленинградского Физтеха, возглавляемые Ж.И.Алферовым, предложили технологию гетороструктур – геторосветодиоды оказались значительно ярче и долговечнее своих предшественников. (О гетероструктурах, за которые Ж.И.Алферов удостоен Нобелевской премии 2000 года, написано предостаточно, так что не будем здесь повторяться.)

Японский вызов

Все это замечательно, но в завершенном «светодиодном проекте» был существенный изъян – он охватил лишь красную область спектра и отчасти оранжевую и

желтую, зеленого и синего света не получилось, а без этого невозможно реализовать белый свет. В световом пространстве нельзя довольствоваться частью, сделанное наполовину – это не младенец, который со временем повзрослеет, это – одноногий инвалид. Что-то вроде настенной живописи не знавших синего ацтеков – огненно-рыжий окрас, искажение пропорций, бешеная энергетика. Постоишь у стены минут десять – во рту пересыхает. Как получить недостающие цвета спектра, наука прекрасно знала еще в 1970-е годы – надо просто использовать широкозонный полупроводник (см. таблицу на рисунке 3). Хорошо смотрелся нитрид галлия – замещая в нем частично галлий индием, можно было надеяться получить любые цвета свечения от фиолетового до зеленого. Все бы хорошо, да вот незадача – удавалось синтезировать GaN только n-типа, и ни при каких обработках он не превращался в полупроводник р-типа. А без этого нет р–n-перехода и нет светодиода. Родился даже тезис о принципиальной недостижимости этого – неудачникам как-то надо было оправдаться. На нитриде галлия фактически поставили крест. К счастью, не все. В 1991 году японец Судзи Накамура опубликовал статью о создании сверхпрецезионной установки для выращивания тончайших и совершенных слоев GaN (InGaN), через полгода – о получении р–n-переходов и их ярком голубом свечении, а с 1993 года фирма «Ниче», где работал Накамура, начала производить на продажу голубые светодиоды силой света 1 кд! (Заметим, что этой условной границы суперяркости «красные» светодиоды тогда уже достигли благодаря использованию соединения AlInGaP– это было «круто», но вполне ожидаемо и в освоенной спектральной области.) «Японский вызов» стал шоком для светодиодного мира: фирма «Ниче» занималась люминофорами для осветительных ламп, гигантам электроники «эти химики» вообще не были известны, а золушки становятся принцессами только в сказках и при обязательном содействии доброй феи. Фея для «Ниче» нашлась … Накамура пришел на фирму в 1979 году, ему было 25 лет, и он сумел убедить руководство в перспективности светодиодов. За три года он разработал отличную технологию «красного» светодиода, включая и соответствующий полупроводник, но продать разработку электронной промышленности не удалось – в традиционных направлениях уже наступило насыщение. Та же судьба постигла и два последующих проекта. Однако Накамура был упорен, к тому же за 10 лет приобрел важный опыт: решающей для светодиодов является технология исходного полупроводника. Фирма поставила на него еще раз, дала 3 млн долларов на изготовление установки, но сотрудников не выделила, так что он делал все своими руками. И стену, перед которой остановилась высокая наука, пробила технология. (Забегая вперед, отметим, что на успехе Накамуры фирма стала зарабатывать по 200 млн долларов прибыли ежегодно – такова цена удачной инновации.)

7

САМАЯ

СВЕТЛАЯ

РЕВОЛЮЦИЯ

В 1989 году некий стажер одного из японских университетов, изучая воздействие электронного луча на GaN- пленки, как-то раз забыл выключить установку на ночь, а утром обнаружил необычайно яркое свечение образца – активация примеси, превращающей GaN в полупроводник р-типа, состоялась. (Как часто в истории науки случаются открытия, сделанные по нерадивости, забывчивости, неграмотности, лености их авторов! Это не призыв забывать выключать установки на ночь, важно другое – не проглядеть счастливую случайность.) Несколькими годами раньше похожий результат получили и исследователи из Московского университета. Однако обе публикации научный мир не заметил, нитрид галлия был уже не в моде, все разом переключились на селенид цинка, а вскоре так же дружно отвернулись и от него. (Удивляет, как глубокие независимые умы вдруг словно по команде бросают все и бегут на какую-нибудь яркую вспышку, которая частенько оборачивается миражом. А может они в массе не такие уж «глубокие и независимые»?) Накамура увидел в публикациях главное – активация нитрида галлия и превращение его в полупроводник р-типа возможны. Этой процедуре он нашел удачное технологическое воплощение, которое и стало основой производства «синих» светодиодов в 1993 году. А вскоре он изящно использовал традиционные наработки фирмы «Ниче»: если на «синий» чип нанести подходящий люминофор, то, благодаря преобразованию части светового потока в зелено-желто-красные тона, можно, как итог, получить белый свет. Тем самым, светодиоды сделали серьезную заявку на вторжение в осветительную технику, и начиная с 2000–2001 годов светодиодная революция получила колоссальное ускорение. Напомним, что «героем» всех этих пафосных событий является скромный, миниатюрный светодиодный чип площадью 2–4 $мм^{2}$ и толщиной в доли миллиметра. Но его внутренняя структура – это букет супердостижений физики и технологии твердого тела. Нитрид галлия удается получать только в виде тонких пленок, поэтому в качестве подложки берут пластину карбида кремния (он структурно близок к GaN) и на ней выращивают несколько десятков слоев состава GaN и его производных InGaN и AlGaN. Некоторые из них имеют вспомогательное технологическое назначение, а в активной зоне, т.е. там, где рождается свет, чередуются попеременно излучающие пленки InGaN и барьерные пленки чистого GaN (рис.6). Такие образо-

Рис. 6. Чередование слоев в активной зоне светодиода с квантовыми точками

И

ЕЕ

ТВОРЦЫ

вания называют сверхрешетками, в них состав пленки изменяется на расстояниях, соизмеримых с размерами атомов, и ни одна из областей фактически не является однородной и независимой от соседей. Свойства сверхрешеток существенно отличаются от свойств тех же полупроводников в виде массивных образцов или в виде толстых пленок. Технология сверхрешеток открыла неисчерпаемые возможности перед создателями новых материалов, неизвестных и недоступных природе. Излучающий слой при ближайшем рассмотрении оказывается существенно неоднородным по площади, добавки индия скапливаются в небольших образованиях, занимающих не более 10% пленки. Это так называемые квантовые точки – «последний писк» полупроводниковой моды, которой, правда, уже лет двадцать. Именно через квантовые точки протекает ток светодиода, в них же рождается излучение, все остальное в кристалле – наподобие постамента под статуей, вроде бы и не обязателен, а без него нельзя. Современные светодиоды – ярчайшая иллюстрация могущества нанотехнологии, только благодаря ей эффективность преобразования электричества в свет приблизилась к 50% по белому свету, а по спектральнооднородным цветам она еще выше. Вернемся к земным делам, здесь было множество занимательных событий. Несколько лет фирме «Ниче» удавалось никого не подпускать к своей технологии и получать сверхприбыль, торгуя готовыми чипами, но когда на кону миллиарды долларов, ни патенты, ни суды не спасают от промышленного шпионажа, и секреты разглашаются. Накамура перебрался в США, и начались судебные разборки фирмы с перебежчиком, а в сентябре 2006 года Накамура получил престижную премию Миллениум (1 млн евро) – мир признал его лидерство.

Эпилог

Неблагодарное дело писать историю революции во время самой этой революции. Только-только автор придумает какую-то схему изложения событий, как вдруг – бац! – появляется открытие, перечеркивающее все его построения. Если отдаться безудержной фантазии, то можно ожидать многого. Например, создания полупроводниковых структур с таким многообразием энергетических уровней, которые позволят получать любое свечение и внешними командами управляемо изменять его. Тогда отпадет необходимость в люминофорах, повысится светоотдача, улучшится «качество» света, возрастет долговечность и температурная стабильность светодиодов. Быть может, завтра эту фантазию превратит в реальность кто-то из наших читателей. Так что не будем подводить итоги, тема остается открытой…

8

КВАНТ 2008/№6

Арифметические треугольники

В.ТИМОРИН ли квадраты длин всех его сторон – целые числа. Возможно, что такие треугольники называются как-то по-другому, но я не встречал никакого названия и поэтому придумал название сам. Тем не менее, арифметические треугольники чрезвычайно важны для теории чисел (и в этой статье мы увидим некоторые их применения). Дело просто в том, что обычно пользуются другим языком, более алгебраическим. Вообще, теория чисел изучает числа, а не фигуры. Поэтому многие рассказы про теорию чисел оперируют формулами и почти не содержат рисунков. Но, с другой стороны, очень полезно представлять себе математические объекты наглядно. Поэтому мы будем говорить про треугольники. На геометрическом языке, наша задача состоит в описании классов арифметических треугольников. Дадим несколько определений. Заметим, что в любом параллелограмме каждая его диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Все эти треугольники мы будем называть половинками данного параллелограмма. Два треугольника называются соседями, если они равны половинкам одного и того же параллелограмма, причем первый

получается при проведении одной из диагоналей этого параллелограмма, а второй – при проведении другой диагонали (рис.1). Рис.1. Переход к соседнему треуголь- Другими слованику. Треугольник ABC соседний для ми, сосед данного треугольника DBC треугольника получается так. Сначала мы выбираем одну из сторон треугольника. Затем достраиваем треугольник до параллелограмма так, что выбранная сторона будет его диагональю. После этого проводим в этом параллелограмме другую диагональ. Она делит параллелограмм на два равных треугольника – это один и тот же сосед для исходного треугольника (мы не делаем различия между равными треугольниками). Докажем, что любой сосед арифметического треугольника тоже будет арифметическим. Достаточно показать, что если квадраты сторон и одной из диагоналей данного параллелограмма целые, то квадрат другой диагонали – тоже целый. Это вытекает из известной геометрической теоремы о том, что сумма

Иллюстрация М.Сумниной

ТРЕУГОЛЬНИК НАЗОВЕМ АРИФМЕТИЧЕСКИМ, ЕС-

12

КВАНТ 2008/№6

ник (a, b, c) имеет дискриминант 4. Следовательно, он эквивалентен треугольнику (1, 2, 1). В частности, квадрат любой стороны треугольника (a, b, c) имеет вид $x^{2} + y^{2}$, где x и y – взаимно простые целые числа. Например, a имеет такой вид, что и требовалось доказать. W Следующее упражнение довольно сложное и предполагает хорошее знание свойств взаимно простых чисел.

Упражнение 3. Пусть $a = x^{2} + y^{2}$, где x и y взаимно просты. Тогда все натуральные делители числа a тоже представляются в таком виде. Выясните, верны ли аналогичные утверждения для $x_{+}^{2} 2 y^{2}, x_{+}^{2} 3 y^{2}, x_{+}^{2} 5 y^{2}$.

Теория, которую мы затронули в этой статье, классическая и обязана своим существованием Лагранжу и Гауссу. Лагранж и Гаусс, правда, пользовались другим языком. Они изучали свойства целых чисел, представимых данной квадратичной формой, т.е. представимых в виде $Ax^{2} +$ Bxy $+ Cy^{2}$ для заранее заданных целых значений A, B, C и для некоторых (произвольных) целых значений x и y. Квадратичной формой называется само выражение $Ax^{2} +$ Bxy $+ Cy^{2}$, в котором x и y рассматриваются как переменные. Началось все с Ферма, который описал значения квадратичных форм $x^{2} + y^{2}, x^{2} + 2 y^{2}$ и $x^{2} + 3 y^{2}$.

Упражнение 4. Можно ли число 7 представить в виде

$x_{+}^{2} y^{2}$ для некоторых целых x и y? А число 1007? Если a и b можно представить в таком виде, то всегда ли это верно для ab? А для a + b?

Выяснилось, что есть большие классы квадратичных форм, которые представляют одни и те же числа. Лагранж и Гаусс разработали теорию, позволяющую эффективно перечислять эти классы и работать с ними.

Упражнение 5. Докажите, что число a представляется в виде $x_{+}^{2} y^{2}$ для некоторых целых x и y тогда и только тогда, когда оно представляется в виде $5 u^{2} + 6 uv + 2 v^{2}$ для некоторых целых u и v.

Связь между арифметическими треугольниками и квадратичными формами такая. Треугольнику (a, b, c) сопоставляется квадратичная форма

$ax^{2} + ( a + c - b ) xy + cy^{2}$.

Попробуйте понять, почему именно такая квадратичная форма и в чем ее смысл. Для этого полезно замостить плоскость треугольниками, равными данному. Эквивалентность арифметических треугольников имеет естественное описание на языке квадратичных форм. Намек на это описание содержится в следующем непростом упражнении.

Упражнение 6. Докажите, что существует арифметический треугольник со стороной d, эквивалентный треугольнику (a, b, c), тогда и только тогда, когда $d_{=} ax_{+}^{2} ( a_{+} c_{-} - b ) xy_{+} cy^{2}$ для некоторых взаимно простых целых чисел x и y.

Интереснейший материал о квадратичных формах, схеме Конвея и еще о многом другом можно найти в замечательной книге Джона Конвея «Квадратичные формы, данные нам в ощущениях» (М.: МЦНМО, 2008).

В заключение мы укажем, в каком направлении может развиваться дальнейшая теория. Это направление действительно активно развивается, но люди, в основном, пользуются другим языком, более алгебраическим. Оказывается важным рассмотрение не просто арифметических треугольников, а арифметических треугольников с ориентацией. Это означает, что треугольники, получающиеся друг из друга отражением, считаются разными. Треугольники, полученные друг из друга вращением или параллельным переносом, попрежнему отождествляются. Мотивируется это тем, что отражение нельзя осуществить, не выходя из плоскости. В наших обозначениях, треугольник (a, b, c) – это то же самое, что треугольники (b, c, a) и (c, a, b), но, вообще говоря, не то же самое, что треугольник (b, a, c). Понятия эквивалентности и классов легко переносятся на ориентированные арифметические треугольники. Из результатов Гаусса следует, что ориентированные арифметические треугольники одинакового дискриминанта можно, в некотором смысле, перемножать. Результат умножения зависит только от классов эквивалентности сомножителей, а не от самих сомножителей. Этот результат определен лишь с точностью до эквивалентности. Таким образом, умножение является на самом деле операцией над классами ориентированных арифметических треугольников, а не над самими треугольниками. Умножение обладает привычными свойствами: переместительным (коммутативность) и сочетательным (ассоциативность). Кроме того, можно делить треугольники друг на друга, т.е. существует операция, обратная к умножению. Заметим, что число классов ориентированных арифметических треугольников данного дискриминанта по-прежнему конечно. Таким образом, имеется естественная, и обладающая хорошими свойствами, операция умножения на конечном множестве. Эта операция очень важна для теории чисел. Но ее подробное обсуждение уже не вписывается в формат этой статьи. Вот только одно замечательное свойство умножения треугольников: умножим класс треугольника со стороной a на класс треугольника со стороной b. Тогда полученный класс содержит треугольник со стороной ab! Отсюда вытекает такое утверждение (попробуйте его доказать): если числа a, b и c являются сторонами трех эквивалентных арифметических треугольников, то число abc тоже является стороной некоторого арифметического треугольника, эквивалентного данным. Вместо списка литературы для дальнейшего чтения (который был бы слишком велик), я просто перечислю важнейшие ключевые слова. Как уже упоминалось, понятие арифметического треугольника не используется. Вместо этого, говорят про классы квадратичных форм. Операция умножения этих классов называется композицией. Также говорят, что классы образуют группу, называемую группой классов. Есть много книг и статей, в которых объясняется смысл этих терминов и развивается дальнейшая теория.

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач из этого номера следует отправлять не позднее 1 марта2009 года по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присылайте в разных конвертах. На конверте в графе «Кому» напишите: «Задачник «Кванта» №6–2008» и номера задач, решения которых Вы посылаете, например «М2111» или «Ф2118». В графе «От кого» фамилию и имя просим писать разборчиво. В письмо вложите конверт с написанным на нем Вашим адресом и необходимый набор марок (в этом конверте Вы получите результаты проверки решений). Решения задач по математике и физике можно присылать также по электронным адресам math@kvant.info и phys@kvant.info соответственно. Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присылайте в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с Вашим решением этой задачи (на конверте пометьте: «Задачник «Кванта», новая задача по физике» или «Задачник «Кванта», новая задача по математике»). В начале каждого письма просим указывать номер школы и класс, в котором Вы учитесь. Задачи М2112 и М2115 предлагались на XLIX Международной математической олимпиаде, а задача М2113 предлагалась на XXIX Турнире городов.

Задачи М2111 – М2115, Ф2118 – Ф2122

М2111. Одна из клеток бесконечной клетчатой полоски окрашена. Вначале фишка находится на расстоянии n клеток от окрашенной. Бросается игральная кость, и, в случае выпадения k очков ( k О { 1,2,3,4,5,6 } ), фишка перемещается на k клеток по направлению к окрашенной клетке. Процесс продолжается, пока фишка не попадает в окрашенную клетку (выигрыш) или пока она не проскочит окрашенную клетку (проигрыш). При каком натуральном n вероятность выигрыша $p_{n}$ наибольшая? Найдите это наибольшее значение вероятности. В.Лецко

М2112. Пусть Н – точка пересечения высот остроугольного треугольника ABC. Окружность с центром в середине стороны ВС, проходящая через точку Н, пересекает прямую ВС в точках $A_{1}$ и $A_{2}$. Аналогично, окружность с центром в середине стороны СА, проходящая через точку Н, пересекает прямую СА в точках $B_{1}$ и $B_{2}$, и окружность с центром в середине стороны АВ, проходящая через точку Н, пересекает прямую АВ в точках $C_{1}$ и $C_{2}$. Докажите, что точки $A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2}, C_{1}, C_{2}$ лежат на одной окружности. А.Гаврилюк

М2113. Многочлен степени n >1 имеет различные вещественные корни $x_{1}, x_{2}, K, x_{n}$, а его производная – корни $y_{1}, y_{2}, K, y_{n} -_{1}$. Докажите, что среднее арифметическое чисел $x_{1}^{2}, x_{2}^{2}, K, x_{n}^{2}$ больше, чем среднее арифме- тическое чисел $y_{1}^{2}, y_{2}^{2}, K, y_{n}^{2} -_{1}$.

М.Мурашкин

М2114. Докажите, что существует бесконечно много точных квадратов, не оканчивающихся нулем, в которых любая отличная от нуля цифра – нечетная. В.Сендеров

$М2115^{*}$. Пусть ABCD – выпуклый четырехугольник, в котором BA № BC. Обозначим окружности, вписанные в треугольники ABC и ADC, через $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ соответственно. Предположим, что существует окружность $\omega$, которая касается продолжения отрезка ВА за точку А, продолжения отрезка ВС за точку С и касается прямых AD и CD. Докажите, что общие внешние касательные к окружностям $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ пересекаются на окружности $\omega$. В.Шмаров

Ф2118. Тележка едет по горизонтальному столу под действием привязанной к ней нерастяжимой нити. Нить переброшена через маленький блок, закрепленный на высоте Н над плоскостью стола. Свободный конец нити вытягивают с постоянной скоростью $v_{0}$, направленной горизонтально. Найдите скорость тележки и ее ускорение в тот момент, когда угол между нитью и горизонтом составляет $45^\circ$. М.Учителев

Ф2119. В длинной трубе, наполненной водой, сделана поперечная перегородка из пробки толщиной 1 см, перегородка делит трубу на две части. Если температуры воды в частях трубы отличаются на 1 градус, поток тепла через перегородку составляет 2 Дж/с. Добавим еще одну перегородку – толщиной 2 см, теперь перегородки «выделяют» в трубе цилиндрическую полость. Слева от этой полости будем поддерживать температу-

32

Бесконечность в задачах

В каждой задаче этого калейдоскопа речь идет так или иначе о чем-то бесконечном (например, о плоскости или десятичной дроби). Разумеется, можно придумать сколь угодно много задач, в которых участвует нечто бесконечное. Мы же ограничимся очень небольшим числом тем, и в каждой приведем несколько красивых примеров.

Фигуры на плоскости

1. Можно ли покрыть плоскость бесконечным числом квадратов, среди которых ровно два одинаковых? Квадраты не могут перекрываться.

Ответ: да, можно. Нарисуем квадрат со стороной 1, приставим к нему слева квадрат со стороной 1, чтобы получился прямоугольник 1 ѣ 2, к этому прямоугольнику приставим снизу квадрат со стороной 2, чтобы получился прямоугольник 2 ѣ 3, к нему приставим справа квадрат со стороной 3 и так далее: будем заполнять плоскость «по спирали», каждый раз приставляя к имеющейся фигуре квадрат так, чтобы его сторона совпала с одной из сторон фигуры. Ясно, что любая точка плоскости будет покрыта одним из квадратов. Кстати, длины сторон этих квадратов образуют последовательность Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …– подробно о ней рассказано в этом номере журнала в рубрике «Математический кружок». Подумайте над более сложным вопросом: можно ли покрыть плоскость бесконечным числом неперекрывающихся квадратов, среди которых нет одинаковых?

2. Можно ли покрыть плоскость конечным числом а) внутренностей парабол; б) внутренностей углов, сумма которых меньше 360 o?

Приведем решение пункта а). Ответ: нельзя. Предположим, что такие параболы найдутся. Заметим, что внутренность параболы пересекается с прямой по бесконечному куску только в случае, если прямая параллельна оси параболы. Проведем прямую, не параллельную ни одной из осей наших парабол (это возможно, так как их конечное число). Тогда каждая парабола пересечет эту прямую по отрезку, а так как отрезков будет конечное число, то даже эта прямая не будет покрыта.

Бесконечные графы 3. Пусть известно, что человечество бессмертно, а каждый человек смертен. Число людей в каждом поколении конечно. Докажите, что найдется бесконечная цепочка мужчин, начинающаяся с Адама (каждый следующий в цепочке – сын предыдущего).

Построим такую картинку. На первом этаже разместим одну точку – она будет изображать Адама. Из нее выпустим

столько стрелок, сколько было у Адама сыновей, на второй этаж (концы стрелок соответствуют сыновьям Адама). Из каждой точки–человека второго этажа выпустим стрелки на третий этаж (стрелки опять соответствуют сыновьям), и так далее. Получим систему точек и стрелок из бесконечного числа этажей (так как человечество бессмертно), но на каждом этаже будет конечное число точек. Ясно, что есть бесконечное количество конечных путей, идущих по стрелкам, с началом в точке первого этажа. Надо доказать, что есть бесконечный путь. Объясним, как его найти. Первой в нем будет точка первого этажа. Так как есть бесконечно много путей, ведущих из точки первого этажа, то на втором этаже найдется точка, через которую проходит бесконечно много путей. Эта точка будет второй в нашем пути. Рассмотрим все пути, проходящие через выбранные две точки, – их бесконечно много, и значит, на третьем этаже найдется точка, через которую проходит бесконечно много из них. Выберем ее третьей. Каждый раз мы сможем достраивать наш путь, увеличивая его длину, и в итоге получится бесконечный путь.

4. Имеется язык с конечным алфавитом. Словом в этом языке называется любая (конечная или бесконечная) последовательность букв из алфавита этого языка. Часть слов (конечной длины) в языке – неприличные. Назовем слово абсолютно приличным, если в нем нет неприличных подслов. Известно, что существуют сколь угодно длинные абсолютно приличные слова. Докажите, что существует бесконечно длинное абсолютно приличное слово.

Преследования на плоскости 5. Игра происходит на плоскости. Играют двое: первый передвигает одну фишку-волка, второй – 99 фишек-овец. После хода волка ходит одна из овец, затем после следующего хода волка – опять какаянибудь из овец и т.д. И волк, и овцы передвигаются за один ход в любую сторону не более чем на один метр. Верно ли, что при любой первоначальной позиции волк поймает хотя бы одну овцу (окажется с ней в одной точке)?

Ответ: неверно. Нарисуем на плоскости 100 параллельных прямых так, чтобы расстояние между соседними прямыми равнялось 3 метрам. Разместим овец на разные прямые, каждая в дальнейшем будет двигаться только по своей прямой. Волка поместим на сотую прямую. Приведем алгоритм поведения овец, при котором расстояние от волка до любой овцы перед ходом волка всегда будет больше метра. Если расстояние от волка до каждой из овец больше метра, двигаем любую овцу (вдоль ее прямой) так, чтобы она удалилась от волка. Как только волк приближается к какой-то из овец на расстояние 1 метр или ближе (такая овца может быть ровно одна), сдвигаем овцу по ее прямой в одну из сторон на 1 метр так, чтобы расстояние между ней и волком стало больше метра.

6. Город представляет собой бесконечную клетчатую плоскость (линии – улицы, клеточки – кварталы). На одной из улиц через каждые 100 кварталов на перекрестках стоит по милиционеру. Где-то в городе есть бандит (его местонахождение неизвестно, но перемещается он только по улицам). Цель милиции – увидеть бандита. Есть ли у милиции алгоритм наверняка достигнуть своей цели? Максимальные скорости милиции и бандита – какие-то конечные, но неизвестные нам величины (у бандита скорость может быть больше, чем у милиции). Милиция видит вдоль улиц во все стороны на бесконечное расстояние.

Выберем систему координат так, чтобы милиционеры стояли на улице y = 0 в точках (0; 0), (100; 0), (–100; 0), (200;0), (–200;0) и т.д. Пусть милиционеры, стоящие в точках вида (200k; 0), где $k = 0, \pm 1, \pm 2, K$, останутся на месте. Тогда бандит окажется внутри некоторой полосы между прямыми x = 200m и x = 200(m + 1); он сможет двигаться внутри это полосы, но не сможет выбраться за ее пределы. Остальные милиционеры (назовем их патрульными) пусть движутся по улице y = 0 в направлении точки (0; 0) до ближайшего к ней перекрестка, до которого еще не доходил никто из патрульных. Дойдя до перекрестка (n; 0), патрульный сворачивает на перпендикулярную улицу и движется по ней до точки (n; n) и там останавливается. В результате постепенно патрульные будут занимать все перекрестки на прямой y = x. Докажите, что, действуя таким образом, милиционеры через некоторое время смогут увидеть бандита.

7*. В городе из предыдущей задачи трое полицейских ловят вора (местонахождение вора неизвестно, но перемещается он только по улицам). Максимальные скорости у полицейских и вора одинаковы. Вор считается пойманным, если он оказался на одной улице с полицейским. Как полицейским поймать вора?

Бесконечные десятичные дроби

8. Докажите, что любое действительное положительное число можно представить в виде суммы девяти чисел, десятичная запись каждого из которых состоит только из цифр 0 и 8.

Легко представить любое положительное число в виде суммы девяти чисел, запись которых состоит только из нулей и единиц (проверьте). Теперь решим исходную задачу. Пусть нам надо представить число a. Представим сначала число a/8 в виде суммы девяти чисел, записи которых состоят только из нулей и единиц, а затем домножим каждое из этих чисел на 8 – получим искомые 9 чисел, сумма которых равна a.

9. Докажите, что в любой бесконечной десятичной дроби можно так переставить цифры, что полученная дробь станет периодической (возможно, с предпериодом).

Если в записи дроби есть цифры, встречающиеся в этой записи конечное число раз, то перенесем их все в начало (запишем подряд сразу после запятой). Остальные цифры встречаются бесконечное число раз. Пусть это, например, цифры 2, 5, 7 и 8. Тогда можно переносить их последовательно в начало так, чтобы они шли в порядке 257825782578… В итоге получится периодическая дробь.

Роботы на клетчатой плоскости Робот – это машина с конечной памятью, способная выполнять программу конечной длины. У робота есть несколько флажков. Робот может выполнять следую- щие действия: – попав в клетку, проверить, есть ли там флажок; – сдвинуться на одну из соседних клеток (на плоскости – влево, вправо, вверх, вниз); – установить или снять флажок в клетке, где робот находится. 10. Робот с двумя флажками стоит на одной из клеток бесконечной клетчатой полоски шириной в одну клетку. Как ему действовать, чтобы обойти всю полоску, т.е. побывать на каждой ее клетке хотя бы раз?

Ставим в клетку флажок, сдвигаемся влево, ставим в клетку второй флажок. Далее действуем по очень простому алгоритму: сдвигаемся вправо, пока не дойдем до флажка, снимаем флажок, сдвигаемся еще на клетку вправо, ставим флажок и движемся влево до флажка, передвигаем его на клетку влево и возвращаемся в начало алгоритма (движемся вправо до флажка и т.д.).

11. Как роботу с четырьмя флажками обойти клетчатую плоскость? Можно ли обойтись тремя флажками?

Алгоритм «обходить плоскость по спирали», чередуя ходы влево, вверх, вправо и вниз, периодически увеличивая длину хода на 1 клетку, не годится: роботу придется запоминать все бóльшие и бóльшие числа, а его память конечна. Расположим четыре флажка в клетках квадрата 2 ѣ 2. Далее будем «расширять» квадрат, например так. Сдвигаем левый верхний флажок влево и вверх, идем из этой клетки вправо, проверяя, нет ли под нами флажка. Если есть, сдвигаем его вправо и вверх, затем из этой клетки идем вниз, проверяя, нет ли слева от нас флажка, и так далее. В результате мы будем обходить плоскость, двигаясь «по спирали». Оказывается, достаточно даже трех флажков (подсказка изображена на рисунке).

12. Сможет ли робот обойти клетчатое трехмерное пространство, имея всего три флажка? 13. Как роботу обойти клетчатую полуплоскость, имея всего один флажок? Граница полуплоскости является стенкой. Изначально робот стоит у стенки. Робот видит стенку, когда оказывается рядом с ней. 14. На плоскость высадили двух совершенно одинаковых роботов. У каждого есть несколько флажков. Робот отличает свои флажки от чужих. Как им встретиться? Программы у них должны быть одинаковыми.

Если бы у роботов могли быть разные программы, то организовать встречу было бы легко: один робот стоит на месте, а другой обходит плоскость, используя три флажка. Но роботы сделаны на одном конвейере, и программы поведения у них одинаковые. Попробуйте придумать программу, позволяющую роботам встретиться, используя как можно меньше флажков.

Материал подготовили С.Дориченко, А.Николаев

42

КВАНТ 2008/№6

XXXIX Международная физическая олимпиада

В этом году во Вьетнам на Международную олимпиаду по физике прибыли 376 школьников из 82 стран мира. В сборную команду России вошли: Зеленеев Андрей – Киров, физико-математический лицей, учителя-наставники Заграй Владимир Сергеевич, Гырдымов Михаил Владимирович, Буслаев Павел – Санкт-Петербург, «Физико-техническая школа» при Физико-техническом институте им. А.Ф.Иоффе, учителя-наставники Савельев Артем Владимирович, Иванов Михаил Георгиевич, Матвеев Харитон – Москва, лицей 1581, учителя-наставники Бучнева Лидия Викторовна, Зильберман Александр Рафаилович, Киселев Александр Михайлович, Самойлов Леонид – Саратов, физико-технический лицей 1, учителя-наставники Правдина Людмила Вениаминовна, Татарков Гарри Николаевич, Мельников Игорь – Челябинск, лицей 31, учителя-наставники Иоголевич Иван Александрович, Карманов Максим Леонидович, Лисицын Сергей Григорьевич. Нашу команду возглавили профессор Московского физико-технического института (МФТИ) Станислав Миронович Козел и доцент МФТИ Валерий Павлович Слободянин. В составе российской делегации в качестве наблюдателей были доцент МФТИ Дмитрий Анатольевич Александров и Заслуженный учитель России Иван Александрович Иоголевич. Участие в олимпиаде наблюдателей состоялось благодаря поддержке Русского фонда содействия образованию и науке и Попечительского совета лицея 31 города Челябинска. Подготовка команды уже многие годы начинается более чем за год и проводится по стандартной схеме на базе Московского физико-технического института. На олимпиаде участникам были предложены три теоретические задачи и два экспериментальных задания. Каждая теоретическая задача оценивалась из 10 баллов, а экспериментальные – из 9,5 и 10,5 баллов. Таким образом, максимальное количество баллов, которое мог набрать каждый из участников олимпиады, равнялось 50. Сравнительные результаты выступления на олимпиаде 16 лучших команд таковы:

№

Страна

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Китай Тайвань Южная Корея Вьетнам Индия Таиланд США Россия Индонезия Франция Канада Сингапур Румыния Германия

Количество медалей золото серебро бронза

5 5 4 4 4 3 3 3 2

1 1

1

1 1 1 2 2 1 2 4 1 3 3 1

1 1 1 3 1 2 3

Сумма баллов

197,5 185,01 176,31 169,34 168,55 165,45 163,38 155,60 150,31 144,55 137,55 136,21 136,00 131,80

15 Гонконг 16 Иран

1

4 5

128,33 117,38

Из таблицы видно, что, как и в прошлые годы, лидирует группа стран из Юго-Восточной Азии. Команды этих стран устойчиво добиваются высоких результатов в Международных олимпиадах и по другим предметам. Это может означать лишь одно: в этих странах уделяется исключительное внимание образованию и, в частности, работе с одаренными детьми – интеллектуальным потенциалом нации. Члены сборной команды России показали следующие результаты:

Участник

Самойлов Леонид Матвеев Харитон Буслаев Павел Мельников Игорь Зеленеев Андрей

Теория

Эксперимент Сумма баллов Медаль

17,70

18,20

35,90 золото

17,80

16,45

34,25 золото

15,65

17,45

33,10 золото

9,80

18,20

28,00 серебро

8,00

16,35

24,35 бронза

Следует отметить, что объем заданий олимпиады от года к году возрастает, причем этот рост связан в основном с увеличением расчетной части. В этом году на олимпиаде перегруженность вычислениями заданий теоретического тура превысила все разумные пределы. Это привело к тому, что большинство участников получили за теорию менее трети от максимального количества баллов. На экспериментальном туре участникам было предложено освоить дифференциальный термометрический метод, широко используемый в технике прецизионных измерений. В первой части эксперимента дифференциальный термометрический метод применялся для определения температуры затвердевания чистого кристаллического вещества, предоставленного в количестве 20 мг. В случае такой малой массы вещества обычный метод дает слишком большую ошибку. При выполнении задания необходимо было провести несколько предварительных экспериментов и построить ряд графиков для определения параметров установки и оценки погрешностей. Во время тренировочных сборов наши ребята хорошо подготовились к заданиям такого рода. За первую часть эксперимента они набрали 97% возможных баллов. Это чрезвычайно высокий результат. Во второй части экспериментального задания участники исследовали работу солнечного элемента и с помощью дифференциального термометрического метода определяли его коэффициент полезного действия. При выполнении этой части задания участникам нужно было продемонстрировать знание законов термодинамики и умение обрабатывать результаты эксперимента. С помощью графиков требовалось доказать, что теоретические формулы правильно описывают работу установки, и выполнить ряд сложных фотометрических измерений. В целом наши ребята успешно

51

ИНФОРМАЦИЯ

грузов представляет собой мешок с песком. В некоторый момент песок начинает высыпаться с постоянной скоростью, и через промежуток времени T = 1 мин мешок оказывается пустым. За какое время сила давления нити на ось блока становится вдвое меньше исходного значения? Массой мешка можно пренебречь, нить и блок идеальные. 8. Прописная буква А сделана из однородных деревянных палочек общей массой m = 200 г. Наклонные палочки равны по длине и составляют друг с другом угол $\alpha = 30 ^\circ$, третья палочка соединяет их середины. Растянута или сжата окажется эта палочка в направлении своей оси и с какой силой, если букву: а) подвесить за точку соединения наклонных палочек; б) поставить на гладкую горизонтальную поверхность? 9. В комнате с высотой потолка H = 2,2 м бросают сверху вниз маленький мячик со скоростью v = 9 м/с с расстояния h = 1 м от пола. Сколько произойдет ударов мячика о потолок, если при каждом ударе о пол или потолок доля $\alpha =$ 25% кинетической энергии мячика переходит в тепло? 10. Над газом совершают циклический процесс 1–2–3–4– 1. В начальном состоянии 1 давление, объем и температура газа равны $p_{1}, V_{1}$ и $T_{1}$ соответственно. В процессе 1–2 газ изобарически расширяется в полтора раза. На участке 2–3 давление газа линейно уменьшается с увеличением объема до значения $p_{1} 2$. Процесс 3–4 – изобарический, а 4–1 – изохорический. Найдите температуру газа в точке 3, если известно, что работа, совершенная газом за цикл, равна $A = p_{1} V_{1} 3$.

Отделение химии

На отделение принимаются учащиеся, имеющие базовое образование в объеме 8, 9 и 10 классов средней школы. Полная программа обучения на отделении – три года. Программа включает следующие одногодичные курсы: g общая химия (с элементами неорганической химии); g неорганическая химия; g органическая химия; g химия окружающей среды (полгода). Если вы хотите научиться решать задачи, вам будет полезен курс «Методы решений задач по химии». Его можно совмещать с другими курсами. Более подробные сведения о программе и порядке обучения высылаются вместе с извещением о решении Приемной комиссии. Задачи вступительной работы, помещенные ниже, – общие для всех поступающих, независимо от базового образования. Срок отправки вступительной работы – до 15 июня 2009 года. Группы «Коллективный ученик» принимаются без вступительной работы. Наш сайт: http://www.chem-dist.ru

Задачи

1. Некоторая соль содержит 46,43% калия, 14,29% углерода, 38,10% кислорода (по массе). Найдите брутто-формулу соли. Как называется эта соль? 2. Давайте обсудим процесс

SrO $+ CO_{2}$ € $SrCO_{3} + Q$.

А) Как сдвинуть равновесие этой реакции вправо? Перечислите все возможные способы. Б) Как увеличить скорость этой реакции? Перечислите все возможные способы. 3. К 200 г 16,56%-го раствора нитрата свинца (II) добавили 80 г 28%-го раствора гидроксида калия. Был получен прозрачный раствор. Затем в этот раствор при $25^{о}$ С пропустили

7,34 л хлороводорода. Выпал белый осадок. Установите его состав. Рассчитайте массу осадка. Напишите уравнения реакций. 4. Какие продукты могут образовываться при взаимодействии 3-фенилпропена-1 с бромом? Укажите условия реакций. 5. Какие процессы будут происходить, если аминоуксусную кислоту поместить: а) в кислый раствор; б) в щелочной раствор? Напишите уравнения реакций. Постройте на одном графике качественную зависимость концентраций разных форм аминоуксусной кислоты от рН. 6. Как хранить универсальный растворитель (который растворяет ВСЕ)?

Отделение филологии

За время существования отделения подготовлено и издано большое количество уникальных учебных пособий по русскому языку, общему языкознанию, истории и теории литературы. На отделение принимаются все желающие, имеющие базовую подготовку в объеме 7 классов. Отделение предлагает на выбор 18 учебных программ. Подробно о них рассказано на нашем сайте. Также сведения о программах и порядке обучения высылаются вместе с извещением о решении Приемной комиссии. При оценке вступительной работы учитывается, в каком классе вы учитесь. Вы хотите исправить грамотность? Познакомиться с любопытными проблемами теории и практики русского языка? Освоить приемы лингвистического или литературоведческого анализа? Узнать кое-что о журналистике и оценить свои творческие способности? Приобрести навыки, необходимые для успешной сдачи экзаменов в вуз? Тогда выполните и пришлите нам вступительное задание. Внимание! На первой странице укажите следующие данные: Ф.И.О., какой класс заканчиваете, полный (с индексом!) почтовый адрес, телефон. Вместе с выполненным заданием пришлите, пожалуйста, стандартный конверт с маркой и заполненным вашим адресом (с индексом) для ответа Приемной комиссии. Срок отправки вступительной работы – до 15 мая 2009 года. Группы «Коллективный ученик» принимаются без вступительной работы. Если вопросы, предложенные нами, для вас пока сложны, но вы хотите у нас учиться, пришлите информацию о себе, и мы постараемся помочь. Наш e-mail: filologiyvzmsh@mail.ru Наш сайт: http://philologist.su

Вопросы

1. Помните историю дуэли Онегина и Ленского? Автор утверждает, что «пружина чести», сработав, как всегда, безотказно, заставила Онегина принять вызов. При этом сам герой недоволен собой: он чувствует, что повел себя не как следует «мужу с честью и умом». Итак, Онегин стрелялся, следуя закону чести или вопреки ему? 2. Прокомментируйте правку, осуществленную М.Н.Катковым при первой публикации романа «Отцы и дети» в его журнале «Русский вестник». Вот, например, описание лица Базарова: «Длинное и худое, с широким угреватым лбом». Из фразы Евгения об отце («презабавный старикашка и добрейший») были выброшены слова «и добрейший». Что такие изменения привносили в роман и зачем это понадобилось редактору? 3. Откуда берется «музыка поэзии»? Проиллюстрируйте свои размышления любым поэтическим текстом.

52

КВАНТ 2008/№6

4. В русском языке много пословиц, поговорок, устойчивых выражений, в которых упоминаются собаки, щенки. Попробуйте вспомнить как можно больше выражений, содержащих слова корова, бык, теленок и все их производные. 5. Раскройте скобки, вставьте пропущенные буквы, расставьте недостающие знаки препинания: Старик хозяин показал зва(н, нн)ым гостям к…(л, лл)екцио(н, нн)ые стари(н, нн)ые серебря(н, нн)ые монеты собра(н, нн)ые им (в)течени… всей его жизни которые были продума(н, нн)но систематизирова(н, нн)ы и уложе(н, нн)ы в карто(н, нн)ные коробочки с прикле…(н, нн)ыми стекля(н, нн)ыми крышечками на которых масл…(н, нн)ыми красками начерта(н, нн)ы номера в соответстви… с простра(н, нн)ыми ко(м, мм)ентариями напечата(н, нн)ого на машинке многостраничного к…т…лога.

Отделение экономики

Обучение на отделении проводится по двум основным программам: «Прикладная экономика» и «Экономика и география». Программа «Прикладная экономика» включает изучение основ экономической теории, а также знакомство с практикой бизнеса в деловой игре по переписке. Учащиеся программы «Экономика и география», помимо изучения основ экономической теории, знакомятся с физической и экономической географией, участвуют заочно в увлекательных путешествиях по странам мира. Окончившим одну из основных программ предлагается специализация по выбору: «Основы предпринимательства и менеджмента», «Бухгалтерский учет и финансовый анализ», «Мировая экономика», «Экономика России: прошлое, настоящее и будущее». На отделение принимаются все желающие с образованием не ниже 7 классов средней школы. Обучение проводится либо индивидуально, либо в небольших группах (2–4 человека). Формы обучения «Коллективный ученик» на отделении нет. Учащимся 10–11 классов, желающим подготовиться одновременно к вступительным экзаменам на экономические факультеты МГУ им.М.В.Ломоносова и других экономических вузов, предлагается специальная программа «Экономика ПЛЮС», включающая, наряду с экономическими дисциплинами, углубленное изучение нескольких дополнительных предметов: математики, обществознания, русского языка и литературы. Программа включает подготовку к ЕГЭ по тем предметам, по которым экономические вузы принимают результаты ЕГЭ в качестве вступительных экзаменов. Для школьников, интересующихся географической наукой и собирающихся поступать на географический факультет МГУ или другого вуза, существует программа «География ПЛЮС», созданная преподавателями ОЛ ВЗМШ и географического факультета МГУ на основе опыта подготовительных курсов по географии Московского университета. Вступительная работа для учащихся дается в форме теста. Решения присылайте только на открытках с указанием полного почтового адреса и индекса, фамилии, имени и отчества (все – печатными буквами); обязательно укажите источник информации об ОЛ ВЗМШ и напишите «Экономика, вступительный тест-2009». На открытке достаточно записать в строчку номера вопросов и под каждым написать букву, соответствующую ответу, который вы считаете правильным. Ответы на большую часть вопросов вы можете найти, внимательно изучив научно-популярные журналы «Квант» и «Наука и жизнь» за 2008 год. Правильно ответившие на все вопросы получат из букв своих ответов

зашифрованное слово, являющееся названием страны – крупного экспортера природных ресурсов, развитие которой все больше связывается со становлением экономики знаний. Срок отправки вступительной работы — до 1 июня 2009 года.

Тест

1. Как называется одна из универсальных закономерностей в развитии современного общества, представляющая собой объективный процесс универсализации, упорядочивания социальных институтов, связей и отношений, становления единых общепланетарных структур в различных сферах жизни общества: Т) волюнтаризм; Р) глобализация; К) интернационализация; З) провиденциализм; П) урбанизация? 2. Берега какой из перечисленных стран не омываются водами Северного Ледовитого океана: У) Дания; О) Исландия; А) Канада; Е) Норвегия; И) США? 3. Укажите ОШИБКУ в перечне мер государственной экономической политики, направленных на борьбу с инфляцией: Р) снижение импортных пошлин; Н) сокращение социальных расходов; В) повышение ставок подоходного налога; С) осуществление деноминации; М) введение государственного контроля за уровнем цен. 4. Примером народа, некогда населявшего территорию современной России, но ушедшего в историческое небытие, являются: Ц) курды; А) нивхи; Е) саами; С) скифы; Б) таты. 5. Укажите ОШИБКУ в перечне факультетов МГУ им. М.В.Ломоносова: Д) факультет глобальных процессов; Й) факультет мировой политики; И) факультет нанотехнологий; Ш) факультет почвоведения; Р) факультет фундаментальной медицины. 6. В связи с тяжелым транспортным положением в столице правительство Москвы приняло решение о строительстве нового (пятого) транспортного кольца, протяженностью 541 км. Допустим, строительство начинается 1 июня 2008 года, причем через каждый месяц протяженность готового дорожного полотна будет увеличиваться вдвое. Строительство планируется завершить к Дню города (4–5 сентября) 2009 года. Когда протяженность построенного полотна будет составлять половину от запланированной протяженности: К) 1 января 2009 года; Т) 31 августа 2009 года; А) 1 июня 2009 года; Я) 1 августа 2009 года; И) невозможно определить?

53

ИНФОРМАЦИЯ

Отделение «Нравственность, право, закон» (право и граждановедение)

Школьникам 8–11 классов и группам «Коллективный ученик» предлагаются два курса. 1) Годовой курс «Беседы о правах человека, нравственности, праве, законе и государстве». В курсе даются современные представлений об основных понятиях, связанных с правом, законом и государством, рассказывается об основах российского законодательства, о правах человека. Разбираются примеры судебных процессов, приводятся общекультурные примеры, связанные с направленностью курса. 2) Полуторагодовой курс «Беседы об основах демократии». Мы предлагаем проходить курсы именно в таком порядке. И только старшеклассники, если они не успевают пройти оба курса подряд, но обязательно хотят пройти именно второй курс, могут начинать прямо с него. Желающие учиться должны сообщить свой полный почтовый адрес (адрес электронной почты, если есть), фамилию, имя и отчество, сколько классов закончено. При оценке вступительной работы мы учитываем возраст (базовое образование) поступающего. В письмо обязательно вложите обычный конверт с маркой и вашим адресом (чтобы мы могли вам ответить) и ответы на приведенные ниже вопросы. Срок отправки вступительной работы – до 1 июня 2009 года. Группы «Коллективный ученик» принимаются без вступительной работы.

Вопросы

1. Зачем нужны партии, представляющие заведомое меньшинство населения? 2. Почему, несмотря на возмущение большинства пассажиров трамвая (или другого общественного транспорта), водитель ожидает, пока откроется возможность безопасного проезда мимо мешающего проезду автомобиля, в котором могут быть и всего-то 1–2 человека? 3. Сравните понятия «право» и «законодательство». Какое из них кажется вам более широким? 4. Какая из перечисленных ниже фамилий попала сюда «по ошибке»: Кони А.Ф.; Корнилов Л.Г.; Плевако Ф.Н.; Александров П.А.; Спасович В.Д.? 5. Упорядочите по трудности (лично для вас) заданные выше вопросы.

Отделение истории

Обучение на отделении позволит всем, в том числе жителям самых отдаленных городов и деревень, расширить свой кругозор, подготовиться к поступлению в вуз. Успешно прошедшие курс обучения получают диплом. А зачем нужно изучать историю? Во-первых, это просто интересно. Любопытно знать, как жили когда-то люди, во что одевались, чем питались, что читали, как женились и выходили замуж, за что боролись и «на что напарывались». Во-вторых, это полезно. Только зная прошлое, можно понять настоящее и прогнозировать будущее. Мы поможем вам в этом разобраться. Специально для вас опытные преподаватели пишут книжки. Последние новости из мира истории вы узнаете одними из первых! Мы будем поддерживать с вами постоянную связь. По нашим книжкам вы будете выполнять особые задания и сообщать нам, что вы раскопали. Ведь, в сущности, труд историка и состоит из этих раскопок. Историкархеолог, копая землю и песок, отыскивает крупицы ушедших времен; историк-архивариус копается в груде бумаг и

достает из архивов и даже из частной переписки все, что может позволить ему понять образ времени; историк-теоретик как увлекательный роман читает археологические таблицы, сухие сводки, статистику и восстанавливает по ним живую ткань ушедшей жизни. У историка особая профессия: он в одном лице следователь, прокурор и адвокат времени. Вступительное задание на отделение выполняется на двойном листе бумаги. Срок отправки вступительной работы – до 1 июня 2009 года. Группы «Коллективный ученик» принимаются без вступительной работы по заявлению руководителя.

Задание

1. Отгадайте кто это: $\cdot$ Над его гробом воздвигнут храм. $\cdot$ Ему посвящена икона Андрея Рублева «Троица» и картина Нестерова «Видение отроку Варфоломею». $\cdot$ Сын бедного ростовского дворянина. $\cdot$ В детстве имел необычный для XIV века интерес – страсть к грамоте. $\cdot$ В XX веке о нем бы сказали «не от мира сего, белая ворона». $\cdot$ Возможная карьера для такого юноши в Древней Руси – книгочей в храме, переписчик книг, составитель летописного свода… если бы не его подвижническая натура. $\cdot$ В молодости – отшельник. В лесу на крутом холме поставил келью и уединился, дав обет молчания, иночества, безбрачия. $\cdot$ Основатель и настоятель Троице-Сергиева монастыря. $\cdot$ Установил на Руси праздник Троицы (в годы ига – символ единства Руси). $\cdot$ Личным примером увлек массы русских людей на неосвоенные земли. $\cdot$ Способствовал переселению в края, недоступные для ордынских набегов. $\cdot$ Один за другим его ученики уходят в глухие места на пустоши и ставят монастыри – духовные и культурные центры Руси. $\cdot$ Его ученики поставили 40 монастырей, ученики учеников – $60. \cdot$ Его последователи – Савва Сторожевский, Кирилл Белозерский и др. 2. Опишите, не более чем в 7 предложениях, политический портрет председателя первого советского правительства.

Внимание! ОЛ ВЗМШ проводит набор на курс «Обществознание». Курс включает следующие дисциплины: философия, социология, политология, теория государства, государственное устройство России, право, экономика. Слушателям направляются оригинальные учебные пособия, созданные на основе многолетнего опыта работы авторов курса. Проверка знаний осуществляется с помощью общепринятой системы тестирования. Программа курса рассчитана на 1 год. Обучение носит заочный характер и имеет целью дать выпускникам школ – как крупных городов, так и небольших сел – глубокие знания по общественным дисциплинам, подготовить их к успешной сдаче ЕГЭ и поступлению в гуманитарные вузы. Для записи на курс (как по индивидуальной программе, так и по программе «Коллективный ученик») необходимо отправить заявление до 1 июня 2009 года. В заявлении укажите фамилию, имя, отчество, свой полный домашний адрес (с индексом!), класс, в котором вы будете учиться с 1 сентября 2009 года.

54

КВАНТ 2008/№6

Заявление отправьте по адресу: 119234 Москва, Воробьевы горы, МГУ, ОЛ ВЗМШ (курс «Обществознание»).

Отделение информатики

Прием ведется на курс «Программирование для начинающих». На отделение принимаются все желающие с образованием не ниже 7 классов средней школы. Для успешного выполнения практических заданий должна быть возможность работы на компьютере. За год обучения учащиеся освоят основные конструкции языка Паскаль, изучат простейшие алгоритмы и в качестве итоговой работы напишут игровую программу. Для зачисления необходимо прислать анкету с ответами на приведенные ниже вопросы. Внимание! Ответы на вопросы анкеты присылайте на двойном тетрадном листе, указав на первой странице важные для нас данные: Ф.И.О., класс, который вы заканчиваете, полный (с индексом!) почтовый адрес, e-mail (если есть). Пишите развернутые ответы на вопросы. Срок отправки анкеты – до 15 мая 2009 года.

Федеральная заочная физикотехническая школа при МФТИ

Федеральная заочная физико-техническая школа (ФЗФТШ) при Московском физико-техническом институте (МФТИ) проводит набор учащихся общеобразовательных учреждений (школ, лицеев, гимназий и т. п.), расположенных на территории Российской Федерации, на 2009/10 учебный год. ФЗФТШ при МФТИ как государственное образовательное учреждение профильного дополнительного образования детей работает с 1966 года. За прошедшие годы школу окончили более 80 тысяч учащихся; практически все ее выпускники поступают в ведущие вузы страны, а каждый второй студент МФТИ – ее выпускник. Финансирует школу Федеральное агентство по образованию. Обучение для учащихся, проживающих в Российской Федерации, в рамках утвержденного плана приема – бесплатное. Научно-методическое руководство школой осуществляет Московский физико-технический институт (государственный университет), который готовит высококвалифицированных специалистов по современным направлениям науки и техники. В их подготовке принимают участие ведущие отраслевые и академические научно-исследовательские институты и научно-производственные объединения страны (базовые организации МФТИ). Преподавание в МФТИ ведут известные педагоги и ученые, среди которых около 100 членов Российской академии наук. Физтеховское образование позволяет не только успешно работать в науке, но и хорошо ориентироваться в жизни. Цель нашей школы – помочь учащимся, интересующимся физикой и математикой, углубить и систематизировать свои знания по этим предметам, а также способствовать профессиональному самоопределению учащихся. Набор в 8, 9, 10 и 11 классы на 2009/10 учебный год проводится на заочное, очно-заочное и очное отделения.

Заочное отделение (индивидуальное обучение) Тел./факс: (495) 408-51-45, e-mail: zftsh@pop3.mipt.ru Прием на заочное отделение проводится на конкурсной основе по результатам выполнения вступительного задания

Вопросы

1. Изучаете ли вы в школе информатику? Какие темы вы изучили? 2. Что такое информатика? Что изучается в разделе «Программирование»? 3. Изучали ли вы какие-нибудь языки программирования? Какие? 4. Какие операционные системы вы знаете? 5. Какие программы установлены на компьютере, за которым вы работаете? 6. Есть ли у вас возможность выхода в Интернет? 7. Знаете ли вы, что такое: а) циклы; б) массивы; в) функции; г) условия? 8. Что такое рекурсия, индукция? В чем различия между ними? 9. По кругу выложены 15 камушков, в порядке увеличения веса. Внешне все камушки отличаются друг от друга: состоят из разных пород, имеют различную окраску, форму, вес, объем и т.д. Как при помощи чашечных весов без стрелок и гирек найти самый тяжелый камень, сделав при этом как можно меньше взвешиваний?

по физике и математике, приведенного ниже. Полная программа обучения рассчитана на 4 года, т.е. на 8 – 11 классы, но поступать можно в любой из этих классов. В течение учебного года, в соответствии с программой ФЗФТШ, ученик будет получать задания по физике и математике по каждой теме (4 задания по каждому предмету для 8 класса, 6 – 7 заданий по каждому предмету для 9, 10 и 11 классов), а затем – рекомендуемые авторские решения этих заданий вместе с проверенной работой. Задания содержат теоретический материал, разбор характерных примеров и задач по соответствующей теме и 8 – 12 контрольных вопросов и задач для самостоятельного решения. Это и простые задачи, и более сложные (на уровне конкурсных задач в МФТИ). Задания составляют опытные преподаватели кафедр общей физики и высшей математики МФТИ. Работы учащихся-заочников проверяют студенты, аспиранты и выпускники МФТИ (из них 80% – бывшие выпускники нашей школы). Срок отправления решения вступительного задания – не позднее 1 марта 2009 года. Вступительные работы обратно не высылаются. Решение приемной комиссии будет сообщено не позднее 1 августа 2009 года. Вне конкурса в ФЗФТШ принимаются победители областных, краевых, республиканских, окружных и всероссийских олимпиад по физике и математике 2008/09 учебного года. Им необходимо до 15 мая 2009 года выслать в ФЗФТШ выполненную вступительную работу по физике и математике вместе с копиями дипломов, подтверждающих участие в перечисленных выше олимпиадах. Тетрадь с выполненными заданиями (по физике и математике) высылайте по адресу: 141700 г. Долгопрудный Московской области, Институтский пер., д.9, ФЗФТШ при МФТИ. Вступительное задание по физике и математике ученик выполняет на русском языке самостоятельно в одной школьной тетради, сохраняя тот же порядок задач, что и в задании. Тетрадь нужно выслать в конверте простой бандеролью (только не сворачивайте в трубку). На внутреннюю сторону обложки тетради наклейте справку из школы, в которой учитесь, с указанием класса. На лицевую сторону обложки наклейте лист бумаги, четко заполненный по приведенному ниже образцу.

55

ИНФОРМАЦИЯ

На конкурс ежегодно приходит более 4 тысяч вступительных работ. Пожалуйста, обратите внимание на правильность заполнения анкеты! Пишите аккуратно, лучше печатными буквами. Для получения ответа на вступительное задание и для отправки вам первых заданий обязательно вложите в тетрадь два одинаковых бандерольных конверта размером 160 ѣ 230 мм. На конвертах четко напишите свой домашний адрес.

Образец

1. Республика, край, область 2. Фамилия, имя, отчество 3. Класс, в котором учитесь 4. Номер школы 5. Вид школы (обычная, лицей, гимназия, с углубленным изучением предмета) 6. Подробный домашний адрес (с указанием индекса), телефон, e-mail 7. Место работы и должность родителей: отец мать 8. Адрес школы, телефон, факс, e-mail 9. Фамилия, имя, отчество преподавателей: по физике по математике

Кемеровская область Чистова Галина Сергеевна восьмой 35 лицей

654041 г. Новокузнецк, ул. Волжская, д.74,кв.3, e-mail:dio@rdsc.ru доцент врач 654041 г. Новокузнецк, ул. Циолковского, д.65

Григорьева Алена Михайловна Горшенина Нина Анатольевна

10. Каким образом к вам попало это объявление?

Очно-заочное отделение (обучение в факультативных группах) Тел./факс: (495) 409-93-51, e-mail: zftsh@pop3.mirt.ru Факультативные группы могут быть организованы в любом общеобразовательном учреждении двумя преподавателями – физики и математики, в отдельных случаях разрешается обучение по одному предмету. Руководители факультатива принимают в них учащихся, успешно выполнивших вступительное задание ФЗФТШ. Группа (не менее 8 человек) принимается в школу, если директор общеобразовательного учреждения сообщит в ФЗФТШ фамилии, имена, отчества ее руководителей и поименный алфавитный список обучающихся (Ф.И.О. полностью, с указанием класса текущего учебного года и итоговых оценок за вступительное задание по физике и математике, домашний адрес учащихся, с указанием индекса, телефон и e-mail), телефон, факс и e-mail общеобразовательного учреждения. Все эти материалы и конверт для ответа о приеме в ФЗФТШ с обратным адресом одного из руководителей следует выслать до 25 июня 2009 года по адресу: 141700 г. Долгопрудный Московской области, Институтский пер., д. 9, ФЗФТШ при МФТИ (с пометкой

«Факультатив»). Тетради с работами учащихся не высылаются. Работа руководителей факультативов может оплачиваться общеобразовательным учреждением как руководство профильными факультативными занятиями по предоставлении ФЗФТШ при МФТИ соответствующих сведений. Руководители, работающие с учащимися, будут получать в течение учебного года учебно-методические материалы (программы по физике и математике, задания по темам программ, решения заданий с краткими рекомендациями по оценке работ учащихся), приглашаться на курсы повышения квалификации учителей физики и математики, проводимые на базе МФТИ. Работы учащихся проверяют и оценивают руководители факультативных групп, а в ФЗФТШ ими высылаются ведомости с итоговыми оценками по каждому заданию и итоговая ведомость за год.

Очное отделение (обучение в вечерних консультационных пунктах) Тел.: (495) 409-95-83, e-mail: zftsh@pop3.mipt.ru Для учащихся Москвы и Московской области по программе ФЗФТШ работают вечерние консультационные пункты, набор в них проводится по результатам вступительных экзаменов по физике и математике и собеседований, которые проходят во второй половине сентября.

Программы ФЗФТШ при МФТИ являются профильными дополнительными образовательными программами и едины для всех отделений. Кроме того, ученикам всех отделений будет предложено участвовать в физико-математической олимпиаде «ФИЗТЕХ-2009», которая проводится на базе МФТИ и в ряде городов России в конце марта и в середине мая, в других очных и заочных олимпиадах МФТИ и его факультетов, а также в конкурсах, турнирах и конференциях. Для учащихся 9 – 11 классов на базе МФТИ работает субботний лекторий по физике и математике по программе ФЗФТШ. Лекции читают преподаватели института, как правило авторы заданий. Подробнее об этих мероприятиях можно прочитать на сайте ФЗФТШ: http://www.school.mipt.ru По окончании учебного года учащиеся, успешно выполнившие программу ФЗФТШ, переводятся в следующий класс, а выпускники (одиннадцатиклассники) получают свидетельство об окончании школы с итоговыми оценками по физике и математике, которое учитывается на собеседовании при поступлении в МФТИ. Ученикам, зачисленным в ФЗФТШ в рамках утвержденного плана приема, будет предложено оплатить безвозмездный целевой взнос для обеспечения учебного процесса в соответствии с уставными целями школы. Сумма взноса ориентировочно будет составлять для учащихся заочного отделения 1300 – 2000 руб. в год, для очного 2000 – 3000 руб., для очно-заочного 2000 – 3500 руб. (с каждой факультативной группы за год). Для учащихся Украины работает Киевский филиал ФЗФТШ при МФТИ (обучение платное). Желающим в него поступить следует высылать работы по адресу: 03680 Украина, г. Киев, б-р. Вернадского, д. 36, ГСП, Киевский филиал ФЗФТШ при МФТИ. Телефоны: 8(10-38044) 424- 30-25, 8(10-38044) 422-95-64. Для учащихся из зарубежных стран возможно только платное обучение на заочном и очно-заочном отделениях. Условия обучения для прошедших конкурсный отбор будут сообщены дополнительно. Ниже приводятся вступительные задания по математике и физике. Номера задач, обязательных для выполнения