Квант 2009, №2 · Страницы

1

МАРТ

АПРЕЛЬ

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ

2009

©

Ю№2

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

ЖУРНАЛ

ИЗДАЕТСЯ С ЯНВАРЯ 1970 ГОДА

В номере:

2 6

Учредители — Российская академия наук, Фонд поддержки фундаментальной науки и образования (Фонд Осипьяна), ИФТТ РАН

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР

С.С.Кротов

14

Электрические узоры. А.Снарский, К.Слипченко, А.Пальти Задача Эрдеша – Секереша о выпуклых многоугольниках. В.Кошелев, А.Райгородский Этот таинственный слышимый мир. Е.Соколов

19

НОВОСТИ НАУКИ Устроители столкновений

21 22

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» Задачи М2124–М2130, Ф2130–Ф2137 Решения задач М2101–М2110, Ф2118–Ф2122

29 30

К М Ш Задачи Что мы видим в зеркале? А.Толпыго

32

КАЛЕЙДОСКОП «КВАНТА» Замощения плоскости

34

ШКОЛА В «КВАНТЕ» Вневписанная окружность. А.Блинков, Ю.Блинков

38

ЛАБОРАТОРИЯ «КВАНТА» Прыгучий шарик. В.Майер

40 41

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК Разрезания на треугольники. А.Спивак Неравенства и… параллельный перенос. М.Горелов

46 50

ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА «Подводные камни» силы Архимеда. М.Ромашка ЕГЭ-2009 по физике. М.Демидова, А.Черноуцан

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ

А.Я.Белов, Ю.М.Брук, А.А.Варламов, А.Н.Виленкин, В.И.Голубев, С.А.Гордюнин, Н.П.Долбилин (заместитель главного редактора), В.Н.Дубровский, А.А.Егоров, А.В.Жуков, А.Р.Зильберман, В.В.Кведер (заместитель председателя редколлегии), П.А.Кожевников, В.В.Козлов (заместитель председателя редколлегии), С.П.Коновалов, А.А.Леонович, Ю.П.Лысов, В.В.Произволов, Н.Х.Розов, А.Б.Сосинский, А.Л.Стасенко, В.Г.Сурдин, В.М.Тихомиров, В.А.Тихомирова, В.М.Уроев, А.И.Черноуцан (заместитель главного редактора)

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ

А.В.Анджанс, В.И.Арнольд, М.И.Башмаков, В.И.Берник, В.Г.Болтянский, А.А.Боровой, Н.Н.Константинов, Г.Л.Коткин, С.П.Новиков, Л.Д.Фаддеев

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 1970 ГОДА

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР

И.К.Кикоин

ПЕРВЫЙ ЗАМЕСТИТЕЛЬ ГЛАВНОГО РЕДАКТОРА

54

А.Н.Колмогоров

55

Л.А.Арцимович, М.И.Башмаков, В.Г.Болтянский, И.Н.Бронштейн, Н.Б.Васильев, И.Ф.Гинзбург, В.Г.Зубов, П.Л.Капица, В.А.Кириллин, Г.И.Косоуров, В.А.Лешковцев, В.П.Лишевский, А.И. Маркушевич, М.Д.Миллионщиков, Н.А.Патрикеева, Н.Х.Розов, А.П.Савин,И.Ш.Слободецкий, М.Л.Смолянский, Я.А.Смородинский, В.А.Фабрикант, Я.Е.Шнайдер

Бюро

59

Ответы, указания, решения

I II III IV

Иллюстрация к статье «Электрические узоры» Коллекция головоломок Шахматная страничка Прогулки с физикой

НА ОБЛОЖКЕ

Квантум

© 2009, РАН, Фонд Осипьяна, «Квант»

ОЛИМПИАДЫ Региональный этап XXXV Всероссийской олимпиады школьников по математике Региональный этап XLIII Всероссийской олимпиады школьников по физике

В издании журнала «Квант» финансовое участие принимает ОАО «ТЕХСНАБЭКСПОРТ»

6

КВАНТ 2009/№2

Задача Эрдеша – Секереша о выпуклых многоугольниках

В.КОШЕЛЕВ, А.РАЙГОРОДСКИЙ

Напутствие

Задача, о которой мы хотим поговорить в этой статье, по праву считается одной из жемчужин комбинаторной геометрии. Исключительная простота ее постановки делает рассказ о ней доступным школьнику, а нетривиальность ее решения и многочисленные ее связи с другими областями математики сразу же выводят заинтересованного слушателя на передний край современной комбинаторики. Задача эта возникла в 1934 году, и, хотя умение быстро считать не является, вопреки расхожему мнению, отличительной особенностью математика, каждый из нас моментально сообразит, что в этом году исполняется ровно 75 лет со дня ее рождения. Не правда ли, круглая дата? Что ж, давайте ее отметим.

Первые шаги

Постановка задачи

Рассмотрим какое-нибудь конечное множество точек X на плоскости и зададимся, например, таким вопросом: верно ли, что в множестве X всегда найдутся три точки, являющиеся вершинами треугольника? На первый взгляд, вопрос кажется просто нелепым. Ясно же, что если в X одна или две точки, то и говорить не о чем; если же X ³ 3 (мощность X не меньше тройки), то вроде как любые три элемента в множестве служат вершинами треугольника. Так-то оно так, да не совсем: а что если какие-то три точки из множества X лежат на одной прямой? Тогда вряд ли уместно говорить о треугольнике с вершинами в них. И уж вовсе никуда не годится ситуация, в которой все точки нашего множества оказываются «нанизанными» на одну прямую. Короче, ответ на вопрос неожиданно отрицательный. Однако если мы с самого начала допустим, что в множестве X никакие три точки не лежат на одной прямой, то сработает естественная логика и при условии X ³ 3 мы сможем гарантировать наличие треугольников в X. Хорошо, с треугольниками разобрались. А как тогда обстоят дела с $выпуклыми^{1}$ четырехугольниками, вы-

1 Множество называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками оно содержит и весь отрезок, их соединяющий.

пуклыми пятиугольниками и т.д.? Хочется, по идее, получить ответ в той же форме, что и в случае треугольников, а именно: для каждого n О ¥, n ³ 3, желательно отыскать такую «пограничную» величину $g ( n ) О^{¥}$, чтобы в каждом множестве X, не содержащем троек точек на одной прямой и имеющем не менее g ( n ) элементов, нашлись n вершин выпуклого n- угольника и чтобы для g ( n ) - 1 описанное свойство не выполнялось. Вот g ( 3 ) = 3, а чему равны g ( 4 ), g ( 5 ) и пр.? Вообще, существуют ли (вернее, конечны ли) эти величины? Ведь вполне может статься, что, скажем, для любого m найдется множество X размера m, в котором нет вершин выпуклых десятиугольников. Кто знает? Проблема Эрдеша – Секереша, к изучению которой мы теперь переходим, как раз и состоит в отыскании величин g ( n ). Ниже мы расскажем много интересного о ней, а сейчас сделаем небольшое замечание. Для постановки задачи оказалось очень важно предположить, что множества X не содержат троек точек на одной прямой. В действительности, такое свойство очень часто работает в геометрии, и потому для него придуман специальный термин: говорят, что множество X c этим свойством находится в общем положении. Происхождение термина связано с тем, что в некотором естественном смысле «почти все» множества на плоскости находятся в общем положении, – отсюда и общность. Впрочем, мы не станем здесь давать более подробные комментарии, иначе мы уйдем слишком далеко в сторону от нашего основного маршрута. Главное, что отныне, рассматривая множества точек на плоскости, мы будем подразумевать, что они находятся в общем положении: иные множества нас просто не волнуют.

Разберемся с четырехугольниками

Очевидно, что g ( 4 ) > 3 (на трех точках четырехугольнику взяться неоткуда). Может быть, g ( 4 ) = 4? Разумеется, нет. Достаточно посмотреть на рисунок 1, чтобы понять это: изображенные на картинке точки находятся в общем положении, и, тем не менее, среди них нет вершин выпуклых четырехугольников. Итак, g ( 4 ) ³ 5. Покажем, что g ( 4 ) = 5, т.е. убедимся, что в любом

9

ЗАДАЧА

ЭРДЕША

–

СЕКЕРЕША

своих задач он назначал некие суммы денег, ранжируя, тем самым, задачи по «трудности». Кажется, самой большой из когда-либо предложенных им сумм была сумма в 3000 долларов. А о гипотезе 1 он незадолго до своей смерти в 1996 году писал, что, несомненно, заплатил бы за ее доказательство 500 долларов. Забавно и то, что за опровержение гипотезы он денег не предлагал: видимо, свято верил в ее справедливость и не хотел стимулировать движение математической мысли в неверном, с его точки зрения, направлении. С гипотезы 1, попыток доказать ее и возникающей вокруг этого многогранной проблематики начинается по-настоящему серьезная работа над задачей. И в дальнейшем мы поговорим об этом. Прежде всего: а разве мы где-то, вообще, показали, что g ( n ) < ¥ для каждого n?

Так почему же g ( n ) всегда существует?

Несколько слов о теореме Рамсея

В математике все взаимосвязано, и иной раз для решения задачи из одной области приходится применять соображения из областей, которые, на первый взгляд, могут показаться весьма далекими от нее. Так и здесь: мы увидим вскоре, что задача Эрдеша – Секереша имеет непосредственный выход на классическую теорему Рамсея в комбинаторике. Давайте вспомним, что это такое, постепенно переходя от простых частных случаев к несколько более сложным общим ситуациям. Итак, многие читатели, вероятно, слышали такое классическое школьное утверждение: среди любых шести человек есть либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых людей. Это утверждение очень легко доказать, и соответствующее рассуждение каждый без труда проделает сам. Заметим, кстати, что аналогичное утверждение для пяти человек, вообще говоря, не является верным. Описанную ситуацию удобно (и принято) формулировать в терминах графов. Действительно, речь фактическти идет о том, чтобы рассмотреть полный граф на шести вершинах-«людях», раскрасить все его $C_{6}^{2} = 15$ ребер в красный и синий цвета (ребро красное – люди знакомы, ребро синее – люди не знают друг друга) и убедиться в том, что либо в графе есть треугольник, у которого все ребра красные, либо в графе есть треугольник, у которого все ребра синие. При этом, опять же, для полного графа на пяти вершинах такой номер не проходит. А вот и чуть более общее утверждение на языке графов. Для любых натуральных чисел s, t существует наименьшее натуральное число $m_{0}$, обладающее следующим свойством. Каково бы ни было m ³ $m_{0}$ и какова бы ни была раскраска ребер полного графа на m вершинах в красный и синий цвета, либо в графе есть полный подграф на s вершинах, у которого все ребра красные, либо в графе есть полный подграф на t вершинах, у которого все ребра синие. Например, при s = t = 3 имеем $m_{0} = 6$. Теперь заметим, что ребра графа суть, конечно, двухэлементные подмножества множества его вершин.

О

ВЫПУКЛЫХ

МНОГОУГОЛЬНИКАХ

А что если мы отныне станем красить не ребра, но трех-, четырех-,…, k-элементные подмножества данного множества? Чем это хуже? Ничем! И вот, наконец, теорема Рамсея во всей своей полноте. Теорема Рамсея. Для любых натуральных чисел $k, l_{1},^{K}, l_{r}$ существует наименьшее натуральное число $m_{0}$, обладающее следующим свойством. Каково бы ни было m ³ $m_{0}$, если каждое k-элементное подмножество множества {1, …, m} покрашено в один из r цветов с «именами» 1, …, r, то найдется i О { 1, K r } и такое $l_{i}$ -элементное подмножество T М { 1, K, m }, что все его k -элементные подмножества имеют цвет с именем i. Результат про графы вытекает из этой теоремы при $k = 2, r = 2, l_{1} = s, l_{2} = t.$ Есть тут и своя маленькая логическая тонкость, которую пытливый читатель должен, по идее, заметить сразу: а что если $k > l_{i}$ при каком-нибудь i? Скажем, пусть по-прежнему k = 2, r = 2, но $l_{1} = 1, l_{2} = 100.$ В этом случае срабатывает принцип «все крокодилы в реке Тумча красные». Смысл в том, что про отсутствующие элементы можно сказать все что угодно и, стало быть, здесь $m_{0} = 1.$ Аналогичные рассуждения применимы и в других подобных случаях. Доказательство теоремы Рамсея получается с помощью многократной индукции и, будучи элементарным, требует все же чересчур много места для своего изложения в нашей заметке. По счастью, это настолько классический факт, что отыскать его полное доказательство не составляет большого труда. Читатель может обратиться как к оригинальным работам [5] и [2], так и к различным популярным источникам типа [6], [7] и [8]. Заметим, что для величины $m_{0}$, фигурирующей в теореме, используется более или менее стандартное обозначение $R_{k} ( l_{1},^{K}, l_{r} )$. В частности, мы уже говорили, что $R_{2} ( 3, 3 ) = 6$ и $R_{2} ( 1, 100 ) = 1$. Кстати, таких точных равенств известно очень мало. Их перечень проще всего найти в Википедии (см. [9]), откуда есть ссылка на обзор [10]. В следующем параграфе мы применим теорему Рамсея для доказательства того, что g ( n ) < ¥.

Два фокуса

Сейчас мы докажем, что g ( n ) £ $R_{4} ( n, 5 )$. Действительно, пусть X – множество точек, состоящее из не менее чем $R_{4} ( n, 5 )$ элементов. Покрасим все четверки точек в нем в красный и синий цвета: если данные четыре точки являются вершинами выпуклого четырехугольника, объявляем четверку красной; иначе говорим, что она синяя. По теореме Рамсея возможны два варианта. В одном из них в X найдутся пять точек, среди которых все четверки синие, т.е. нет ни одной четверки, которая бы порождала выпуклый четырехугольник. Но это нонсенс, так как противоречит утверждению Кляйн о том, что g ( 4 ) = 5. Значит, остается лишь альтернатива, при которой в X есть n точек без синих четверок. Иными словами, все четырехугольники, порождаемые этими точками, выпуклые. Такое возможно только в случае, если сами эти n точек суть

14

КВАНТ 2009/№2

Этот таинственный слышимый мир

Е.СОКОЛОВ

ХОРОШО ТИХИМ АВГУСТОВСКИМ ВЕЧЕРОМ СИ- деть на высоком крутом берегу Оки и наблюдать за окружающим миром. Дневная жара уже спала, пахнет скошенной травой, в косых солнечных лучах роится мошкара, мысли уносятся далеко-далеко… И вот однажды, когда я в таком благостном настроении любовался закатом, я услышал над своей головой шум самолетного мотора. Некоторое время я смотрел на тучку, из-за которой слышался звук, но самолет не появлялся. И вдруг краем глаза я заметил, что самолет промелькнул в просвете между облаками, но совсем не в том месте, где я ожидал (рис.1).

прошел поезд, до сих пор блуждал бы по лесу? А ведь до железной дороги было всего 50 метров. Только вот ничего видно не было, а слышно было поезд хорошо. – И в океане даже в чистой воде ничего не рассмотришь дальше 20 метров. Если бы не звуковые сонары, подводные лодки заходили бы в чужие порты, как к себе домой. А дельфины? А кашалоты? А летучие мыши? – Итак, подведем итог, – вмешался в спор я. – Все согласны, что слышимый мир может быть настолько же важным и полезным, как и видимый мир? А если так, то давайте выясним, как же устроен этот таинственный слышимый мир. Для этого нам понадобится совсем немного: одна формула и логическое мышление.

Первая формула и логическое мышление

Рис. 1

«Да, дал маху! – подумал я. – Конечно, можно было бы легко сообразить, что точка, в которой мы видим самолет, и точка, в которой мы слышим самолет, – это совсем разные точки. Ведь пока звук дойдет до нас из точки А, самолет уже сместится в точку В». За ужином я рассказал об этом казусе своим подопечным – участникам летнего школьного лагеря – в качестве примера того, что в любом, даже простом, деле следует применять логическое мышление, а не полагаться лишь на привычку. А через некоторое время родился первый Главный вопрос. Как всегда, начал Александр. – Интересно получается: то, чтó мы видим, и то, чтó мы слышим, – это совсем разные вещи. Тогда отсюда вытекает, что Мир, который мы видим, и Мир, который мы слышим, – это совсем непохожие Миры!? – Ну и что, подумаешь, – вмешалась Татьяна. – Мыто живем, полагаясь на зрение. – А кто вчера заблудился в молодняке и, если бы не

Начнем, как обычно, с разумных упрощений. Пусть на некоторой планете Ялмез, плоской как стол, нет ни гор, ни лесов, ни облаков, от которых мог бы отражаться звук, а есть лишь наблюдатель, находящийся в точке Н, и самолет, летящий по прямой с постоянной скоростью v на высоте h (рис.2). За ноль отсчета времени мы примем момент, $ког-_{Рис.} 2$ да самолет будет находиться прямо над наблюдателем. При таком выборе закон движения самолета будет иметь вид

$x_{c} ( t ) = vt$.

Летящий самолет будет теперь для нас просто источником звука, который порождается вибрирующими в работе деталями мотора и турбулентными реактивными струями и распространяется во все стороны со скоростью звука с. Наблюдатель, которого лучше, по примеру подводников, назвать слухачом, внимательно вслушивается в приходящий к нему гул самолета, а мы приступаем к выяснению того, чтó же он слышит. Нашу главную рабочую формулу мы получим, если переведем на математический язык уже сказанные выше слова: «пока звук дойдет до нас из точки А, самолет уже сместится в точку В». Сделаем это так. Пусть самолет в момент времени $\tau$ находится в точке А с координатой $x_{c} = v\tau$. Звук, излученный в этот момент, начинает распространяться во все стороны.

20

КВАНТ 2009/№2

Однако к концу 80-х годов выяснилось, что для завершения проверки стандартной модели и ряда других возникших проблем необходимы энергии частиц на порядок больше – до 10 ТэВ. Начался очередной этап гонки за энергиями. В США проектировался суперколлайдер, было даже начато его строительство, но в 2002 году государственное финансирование было прекращено. И наоборот, в ЦЕРНе 16 декабря 1994 года было принято решение о создании нового коллайдера. В 1999 году началось его строительство, облегчаемое тем, что огромный туннель уже был сооружен – в нем размещался электрон-позитронный ускоритель. Родилось и название нового прибора – Большой адронный коллайдер, сокращенно БАК. Определилась и приблизительная стоимость – 4 миллиарда евро. Началось и успешно происходило финансирование, в котором приняли участие 20 европейских стран. Наше участие в финансировании было сравнительно небольшим и косвенным – 60 миллионов долларов Объединенному институту ядерных исследований в Дубне для оплаты труда российских (и стран СНГ) ученых, присоединившихся к международному коллективу по созданию приборов, в которых должны анализироваться результаты столкновений частиц. Россия входит в проект как страна-наблюдатель (впрочем, в таком же статусе находятся США и Япония). Срок ввода в действие БАКа был нарушен – произошло несколько небольших аварий, причиной которых была недооценка «сопромата», т.е. способности материалов выдерживать большие перегрузки. Ожидается запуск коллайдера нынешней осенью. Основные характеристики коллайдера таковы. Главный туннель, в котором находятся каналы для ускоряющих частиц, это не просто окружность, а четыре дуги, соединенные прямолинейными участками, где происходит ускорение частиц высокочастотными электрическими полями, уточнение их траектории и встреча частиц. На этих участках расположены детекторы – приборы, анализирующие результаты столкновений. Общая длина туннеля приблизительно 27 км, поперечный размер около 8 км, глубина залегания туннеля порядка 100 м (для ослабления мешающего космического излучения). Туннель находится на границе Швейцарии с Францией, вблизи Женевы. Любопытно, что приливы, вызываемые Луной (они есть не только в океане, но и в земной коре), имеют здесь размах колебаний до 0,5 м, что увеличивает длину туннеля на 1 мм. Тем не менее, потребовался учет этого, казалось бы, чрезвычайно малого эффекта. БАК – не протон-антипротонный, а протон-протонный коллайдер. Трудности создания узких антипротонных пучков при необходимых энергиях порядка 7 ТэВ были столь велики, что проще оказалось осуществить в туннеле встречное движение протонов в двух отдельных каналах с противоположными направлениями магнитных полей. Вначале протоны ускоряются до небольшой энергии в малом кольце, диаметром порядка 50 м, потом – в кольце диаметром около километра до энергии 0,45 ТэВ. Затем этот поток протонов раздваивается, и два потока по встречным путям направляются в главный туннель, где им предстоит ускорение до 7 ТэВ (или до скорости, составляющей 0,999999991 скорости света). В четырех местах встреч протонов в огромных подземных залах (высотой до 20 метров) установлены детекторы. Один из этих приборов предназначен для изучения столкновений не протонов, а тяжелых ионов – ионов свинца. В детекторах продукты столкновений рождают, в конечном счете, импульсы токов, передающиеся по миллионам проводов в компьютерные устройства, занимающие огромные помещения уже на поверхности. Количество этой информации – петабайты $( 10^{15}$ байт) в секунду. Компьютерные устройства профильтровывают информацию и только наибо-

лее важную, по их мнению, передают в глобальную сеть, объединяющую десятки тысяч компьютеров на трех континентах. Таким образом, БАК – это не просто туннель, а грандиозная фабрика со многими цехами. Теперь – о характеристиках самого эксперимента. Протоны будут лететь сгустками. Каждый сгусток – это игла, содержащая $10^{11}$ частиц и имеющая длину 3 см и толщину 16 мкм (как самый тонкий волос). При пробном запуске по всему туннелю будет ускоряться всего один такой сгусток, а при выходе на рабочий режим – 2808 сгустков. Это означает, что в детекторах будут сталкиваться 600 миллионов игл в секунду. Для обеспечения движения ускоренных протонов по окружностям необходимы магнитные поля с индукцией до 20 Тл, а в обмотках электромагнитов должны протекать токи силой в десятки тысяч ампер. Такие токи проводники обмоток смогут выдержать только в сверхпроводящем состоянии, для чего необходимо поддержание температуры, лишь немного отличающейся от абсолютного нуля. 60 тонн жидкого гелия будут обеспечивать температуру не выше 1,9 К, но перед этим 10100 тонн жидкого азота понизят температуру до 80 К. Давление в каналах туннеля не должно превышать $10 -^{8}$ Па. В эксперименте уже участвуют 3000 постоянных научных сотрудников и 6500 приглашаемых ученых. Число инженерно-технического персонала – в несколько раз больше. И для чего же это все нужно? Ведущие физики не скупятся на эпитеты (не говоря уж об околонаучных журналистах): «это будет что-то грандиозное», «грядущие революции в физике». А конкретнее? Увы, рамки данной статьи не позволяют рассмотреть эти ожидания на серьезном научном уровне, а упрощающая вульгаризация здесь недопустима. Ограничимся лишь перечислением основных намеченных целей эксперимента. 1) Обнаружение и установление некоторых свойств и параметров фундаментальной частицы, называемой бозоном Хиггса. Эта частица совершенно «необходима» в теоретической стандартной модели микромира. Если она все-таки не будет обнаружена, потребуется серьезный пересмотр всей современной физики. 2) Поиск суперчастиц – главных подозреваемых в качестве основного содержания недавно обнаруженной «темной материи», составляющей 95% всей массы Вселенной. 3) Обнаружение скрытых размерностей геометрии мира сверх привычных трех измерений. В частности, в современной теории микромира число измерений равно 11. С этими исследованиями, возможно, будет связано и нахождение виртуальных черных дыр. Вот это, не без помощи околонаучных журналистов, очень испугало широкую общественность. Но на самом деле бояться совершенного нечего – вопервых, масса этих объектов ничтожна, а во-вторых, они всетаки виртуальные, т.е. находятся в неких пространствах других измерений. 4) Продолжение изучения (в опытах с ускоренными ионами свинца) свойств кварко-глюонного состояния (кваркоглюонной плазмы), в котором находилось вещество Вселенной сразу после своего рождения. А на очереди – мировой (с участием США и Японии) проект по строительству еще более грандиозного ускорителя, на этот раз электрон-позитронного линейного коллайдера, запуск которого планируется к 2020 году. Предварительная оценка его стоимости – не менее 8 миллиардов долларов. Действительно, по меткому замечанию академика Л.Арцимовича, «наука – это способ удовлетворять любопытство ученых за счет общества». Л.Белопухов

29

КМШ

Задачи

В однокруговом турнире по футболу участвовали 4 команды. «Чистое» второе место заняла команда, набравшая 3 очка. Восстановите результаты всех матчей. «Чистое» второе место означает, что больше нет команд, набравших столько же очков, и есть ровно одна команда, набравшая больше очков. За выигрыш дается 3 очка, за ничью – 1 очко, за поражение – 0 очков. А.Блинков

мать через 4 минуты «прямоугольная клякса» размером $6\times 10$ единичных клеток (см. рисунок справа). Е.Соколов

Лена пошла выгулять щенка в парк. Как только она оказалась в начале дорожки длиной 41 м, идущей вдоль парка, в конце этой дорожки показалась ее подруга Катя. Щенок от радости стал бегать от Лены к Кате и назад и бегал несколько раз туда-сюда до тех пор, пока подруги не встретились на расстоянии 13 м от начала дорожки. Всего щенок пробежал 85 м. Какое расстояние он пробежал в одну сторону и какое – в другую? Г.Гальперин

Фабрика выпускает наборы из пяти белых слоников различной величины и массы. Если расставить слоников по росту, то по стандарту разность масс соседних слоников должна быть одной и той же. Сможет ли контролер это проверить с помощью чашечных весов без гирь? А если бы наборы были из четырех слоников? А.Шаповалов

На плоскости расположены два прямоугольника P и Q, пересечением которых является равносторонний восьмиугольник (не обязательно правильный). Докажите, что P и Q – квадраты с общим центром. К.Матвеев

Иллюстрации Д.Гришуковой

Наблюдая за расплыванием чернильных клякс на промокашке, Петя сформулировал закон распространения клякс: каждая точка, до которой дошла клякса, сама становится источником вторичных круглых клякс (см. рисунок слева), причем скорость роста вторичных клякс равна 1 клетке в минуту. Считая этот закон справедливым, найдите, какую площадь будет зани-

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6 – 8 классов.

31

К

низ: в зеркале пол окажется наверху, выше всего, а люди будут по нему ходить вверх ногами. Если же вы хотите, чтобы поменялись местами именно правое и левое, это тоже можно сделать: поставьте зеркало сбоку. Именно так обстояло дело в задаче, с которой началась статья: я ехал поздно вечером в автобусе, и роль зеркала играло боковое стекло автобуса. При этом цифры пошли в обратном порядке: 2051 ® 1502. При отражении двойка превратилась в пятерку, и наоборот, и на часах в зеркале я увидел 12:05. А если бы зеркало стояло перед часами (рис.5)? В этом случае, чтобы увидеть и электронные часы, и изображение в зеркале одновременно, необходимо,

Рис. 5

чтобы часы были прозрачными. Но тогда бы и на часах, и в зеркале были одни и те же цифры. Если же часы непрозрачны, то я либо вообще не увидел бы, чтo они показывают, либо (если бы я сам сидел между часами и зеркалом) мне пришлось бы выворачивать голову, чтобы поглядеть на них с другой стороны. Между тем, в условии сказано только «перевел взгляд». А что же происходит с книгой? И что происходит с человеком «в зазеркалье»? Здесь надо учитывать два фактора: (1) симметрия в пространстве невыполнима, (2) а вот две симметрии одновременно выполнить можно. И настоящая симметрия «лицо-затылок» путем выполнения двух симметрий сразу превращается в симметрию «праволево», которую мы якобы наблюдаем. Вот как это происходит. Книга, в отличие от номерка, непрозрачна. Для того чтобы показать себе в зеркале ее текст, вы должны повернуть ее текстом к зеркалу, т.е. поменять местами ее «перед» и «зад» (вы держите книгу к себе уже не так, как при чтении: не текстом, а раскрытым переплетом). Но мы не можем поменять только перед и зад: в нашем трехмерном пространстве нельзя сделать отражение только в одной плоскости, зато можно сделать его одновременно в двух плоскостях. Отражение сразу в двух, перпендикулярных друг другу, плоскостях есть поворот на $180 ^\circ$. Итак, вместо того чтобы отразить книгу (что невозможно), вы поворачиваете книгу на $180 ^\circ$, причем меняются, во-первых, перед и зад, а во-вторых, правое и левое. В результате человек, который смотрит на текст в зеркало, видит, что перед и зад книги в зеркале расположены нормальным образом: раскрытая страница перед глазами, как ей и положено, – а вот правое и левое в самом деле поменялись местами. Можно

М

Ш

Рис. 6

было бы повернуть книгу и иначе, так чтобы правое осталось справа, но поменялись бы верх и низ (рис.6), однако обычно никто не держит ее вверх ногами. Войди это у нас в привычку, мы бы, пожалуй, склонны были думать, что в зеркале переворачиваются верх и низ. Но – вряд ли. Ведь есть еще главный аргумент: человек в зеркале. У него-то, вроде бы, действительно правая рука оказывается слева? Но и здесь та же история, что с книгой. Человек не может оказаться в зазеркалье. Зато легко себе представить, как обойти зеркало и встать с той стороны. Дальше начинается психология. Человек почти симметричен относительно плоскости, делящей его на правую и левую половины. И несимметричен относительно плоскости, делящей его на переднюю и заднюю половины. Затылок расположен симметрично лицу, но совершенно на него не похож. А вот левая рука достаточно похожа на правую. Представим себе, что Витя стоит перед некой плоскостью, которую мы будем условно называть «зеркалом», но сквозь которую можно пройти, а его братблизнец Митя прошел через эту плоскость. Он стоит точно так же, как Витя (носом на север, затылком к югу). «Но, – думает Витя, – он совершенно не похож на мое отражение: ведь в зеркале я вижу свой нос, а вовсе не затылок». – А ну-ка, повернись! – командует он Мите. Митя поворачивается… Здесь-то и происходит самое главное. Человек не может совершить отражение (так, чтобы сердце оказалось справа), но легко может совершить разом два отражения: ведь результат (композиция) двух отражений и есть поворот, в данном случае – поворот на $180^\circ.$ Итак, Митя поворачивается, т.е. отражается одновременно в двух плоскостях: «перед-зад» (север и юг меняются местами) и «право-лево» (меняются запад и восток). «Вот теперь, – думает Витя, – Митя встал правильно, точно так, как мое отражение. Только правая рука у него находится против моей левой – в зеркале было бы не так. Значит, у моего зеркального двойника меняются местами именно правое и левое». Нет, дорогой Витя! У зеркального двойника меняются местами лоб и затылок; ты же, сравнивая его с Митей, не заметил, что Митя совершил двойное отражение. Отсюда и идет твоя ошибка.

33

Рис. 9

Рис. 12

Рис. 12

Рис. 13

Рис. 10

Рис. 11

угольник, который допускал бы только непериодические замощения, до сих пор никому не удалось!

Знаете ли вы, что:

1. Плоскость можно разбить на одинаковые невыпуклые семиугольники.

2. Если плоскость разбита на выпуклые семиугольники, то среди них найдется либо сколь угодно маленький, либо сколь угодно большой. 3. Есть пример разбиения пространства на равные выпуклые 38-гранники, но никто не знает, можно ли число 38 заменить большим. 4. Существует набор из трех выпуклых многоугольников, которым можно замостить плоскость бесконечным числом способов, но каждый из этих способов является непериодическим. При этом никто не знает, можно ли число 3 уменьшить – это открытая проблема. В пространстве задача решена – существует многогранник, которым можно замостить все пространство, но только непериодически. 5. Неизвестно, какими тетраэдрами можно замостить все пространство. 6. Есть 3 типа выпуклых шестиугольников и 14 типов выпуклых пятиугольников, которыми можно замостить всю плоскость. Про невыпуклые проблема открыта. 7. Никто не знает, существует ли алгоритм, который получает на входе многоугольник, а на выходе говорит, можно ли этим многоугольником замостить всю плоскость. С.Маркелов Комментарии к статье можно послать автору по адресу markelov@mccme.ru.

Материалы этой статьи доступны по адресу www.mccme.ru/ ~markelov. Любой желающий может копировать статью или ее часть любым способом без разрешения автора.