Квант 2010, №2 · Страницы

1

2010

©

МАРТ

ЮАПРЕЛЬ

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ

№2

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

ЖУРНАЛ

ИЗДАЕТСЯ С ЯНВАРЯ 1970 ГОДА

В номере:

Учредители — Российская академия наук, Фонд поддержки фундаментальной науки и образования (Фонд Осипьяна), ИФТТ РАН Издатель – ООО НПП ОО «Бюро Квантум»

2 10 14

Многогранный Делоне (окончание). Н.Долбилин Что может электростатика. К.Богданов Геометрия звездного неба. В.Протасов

23

НАНОТЕХНОЛОГИИ Как рассмотреть нанообъект в оптический микроскоп. А.Ежов

26 27

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» Задачи М2169–М2175, Ф2175–Ф2182 Решения задач М2146–М2152, Ф2160–Ф2167

32

КАЛЕЙДОСКОП «КВАНТА» Цепные дроби вокруг нас

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР

С.С.Кротов

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ

А.Я.Белов, Ю.М.Брук, А.А.Варламов, А.Н.Виленкин, В.И.Голубев, С.А.Гордюнин, Н.П.Долбилин (заместитель главного редактора), В.Н.Дубровский, А.А.Егоров, А.В.Жуков, А.Р.Зильберман, В.В.Кведер (заместитель председателя редколлегии), П.А.Кожевников, В.В.Козлов (заместитель председателя редколлегии), С.П.Коновалов, А.А.Леонович, Ю.П.Лысов, В.В.Произволов, Н.Х.Розов, А.Б.Сосинский, А.Л.Стасенко, В.Г.Сурдин, В.М.Тихомиров, В.А.Тихомирова, В.М.Уроев, А.И.Черноуцан (заместитель главного

К М Ш

36 37 40

Задачи Мыльные пузыри и хорды. А.Шень Тепловые явления глазами пассажира автобуса. В.Котов

42

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ Физики в тумане. С.Варламов

44

НАШИ НАБЛЮДЕНИЯ Синицы и… физика

45

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК Об одной забытой задаче. А.Толпыго

49

ЛАБОРАТОРИЯ «КВАНТА» Обтекание вращающихся тел. С.Бетяев редактора)

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ

А.В.Анджанс, В.И.Арнольд, М.И.Башмаков, В.И.Берник, В.Г.Болтянский, А.А.Боровой, Н.Н.Константинов, Г.Л.Коткин, С.П.Новиков, Л.Д.Фаддеев

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 1970 ГОДА

51

ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА Задачи механики в неинерциальных системах отсчета. В.Шутов

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР

58

ОЛИМПИАДЫ Региональный этап XXXVI Всероссийской олимпиады школьников по математике Региональный этап XLIV Всероссийской олимпиады школьников по физике Всероссийская студенческая олимпиада по физике

60 60

ИНФОРМАЦИЯ Всероссийский конкурс научных работ школьников «Юниор» Заочная школа МИФИ

61

Ответы, указания, решения

I II III IV

Рисунок Ю.А.Ващенко Коллекция головоломок Шахматная страничка Прогулки с физикой

И.К.Кикоин

ПЕРВЫЙ ЗАМЕСТИТЕЛЬ ГЛАВНОГО РЕДАКТОРА

А.Н.Колмогоров

Л.А.Арцимович, М.И.Башмаков, В.Г.Болтянский, И.Н.Бронштейн, Н.Б.Васильев, И.Ф.Гинзбург, В.Г.Зубов, П.Л.Капица, В.А.Кириллин, Г.И.Косоуров, В.А.Лешковцев, В.П.Лишевский, А.И. Маркушевич, М.Д.Миллионщиков, Н.А.Патрикеева, Н.Х.Розов, А.П.Савин,И.Ш.Слободецкий, М.Л.Смолянский, Я.А.Смородинский, В.А.Фабрикант, Я.Е.Шнайдер

Товарный знак «Журнал «Квант» является собственностью ООО НПП ОО «Бюро Квантум» © 2010, РАН, Фонд Осипьяна, журнал «Квант»

01-.p65

54

55

НА ОБЛОЖКЕ

2

КВАНТ 2010/№2

Многогранный Делоне

Н.ДОЛБИЛИН

Метод пустой сферы и триангуляции Делоне

Борис Николаевич Делоне был замечательным популяризатором науки. При этом он придерживался принципа: каждая популярная статья о математике должна содержать доказательство хотя бы одного утверждения. Мы последуем этому принципу и приведем с доказательствами основные идеи очень полезной геометрической теории – теории разбиений Делоне. Эта теория была изложена им в начале 20-х годов в работе «О пустой сфере». В ряде специальных случаев идея такого разбиения уже встречалась, например, в работах Вороного. Заслуга Бориса Николаевича состояла в том, что он с присущей ему ясностью и прозрачностью описал эту простую геометрическую конструкцию для весьма общего класса множеств. Мы сейчас объясним основные идеи этой науки – для простоты лишь на плоскости, хотя эта теория легко переносится на пространство любой размерности. Рассмотрим на плоскости некоторое множество X точек. Точки множества X, чтобы отличать их от других точек плоскости, не принадлежащих X, будем именовать узлами. Предполагается, что множество X узлов удовлетворяет следующим двум условиям. Существуют два положительных числа r и R, такие что (1) любой круг радиуса r содержит внутри себя не более одного узла из X; (2) любой круг радиуса R содержит внутри себя или на границе не менее одного узла из X. Делоне назвал такое множество X (r, R)-системой. Сейчас это, кстати не очень удачное, название сменилось на множество Делоне (с параметрами r и R). Понятно, что условия (1) и (2) эквивалентны условиям $( 1 ' )$ расстояние между узлами не менее 2r и $( 2 ' )$ расстояние от любой точки плоскости до ближайшего к ней узла из X не превосходит R. Довольно часто оказывается полезным еще одно эквивалентное определение множества Делоне. Будем рассматривать круги с центрами только в узлах из X. Тогда условия (1) и (2) можно переформулировать: $( 1 '' )$ круги радиуса r с центрами в узлах из X попарно не перекрываются, т.е. образуют упаковку (рис. 1); $( 2 '' )$ круги радиуса R с центрами в узлах из X покрывают всю плоскость, т.е. образуют покрытие. Другими словами, любая точка плоскости принадлежит хотя бы одному из этих кругов. Легко видеть, что в силу условия (2) число всех узлов во множестве Делоне бесконечно.

Окончание. Начало см. в «Кванте» №1.

01-.p65

Заметим, что параметры r и R задаются неоднозначно: из условий (1) и (2) очевидно вытекает, что множество X удовлетворяет тем же условиям (1) и (2) при любых значениях $r '$ и $R '$, если $0 < r ' \le r$ и $R ' \ge R$. Теперь вслед за Борисом Николаевичем приступим к $по-^{Рис.} 1$ строению некоторого особого разбиения плоскости на многоугольники, однозначно связанного с множеством X. Разбиение плоскости – термин несколько новый, хотя смысл этого термина тот же, что и у известного с детства события: разбивания стекла. Целое стекло разбивается на осколки, из которых можно составить целое, при этом отдельные осколки не налегают друг на $друга.^{1}$ Разбиением плоскости на многоугольники называется множество многоугольников $M_{1}, M_{2}$ и т.д., так расположенных на плоскости, что (а) никакие два многоугольника не налегают друг на друга (условие упаковки), а (б) многоугольники, взятые вместе, покрывают всю плоскость (условие покрытия). Паркет на полу, кафельная плитка на стене, мозаика Пенроуза (рис.2) – все это ограниченные фрагменты разбиения (бесконечной) плоскости. Изложим теперь идею «пустой сферы», принадлежащую Борису $Ни-^{Рис.} 2$ колаевичу Делоне. 0-й шаг. Возьмем на плоскости, где расположено множество X, маленький кружок, скажем радиуса меньше r, который ни внутри, ни на границе не

1 Эта аналогия, как и любая аналогия вообще, далека от совершенства.

3

МНОГОГРАННЫЙ

содержит узлов из X. Такой кружок существует, потому что расстояние между узлами не меньше 2r. 1-й шаг. Оставляя центр $O_{1}$ круга неподвижным, увеличиваем его радиус, оставляя его пустым от узлов внутри, до тех пор, пока граница раздуваемого круга не наткнется на какой-нибудь узел x из X. Такой момент обязательно наступит, так как по условию (2) радиус пустого круга не превышает R (рис.3).

ДЕЛОНЕ

Заметим, что после третьего шага на граничной окружности круга расположено некоторое число k узлов, $k \ge 3$. Построим k-угольник с вершинами в данных k узлах (рис.6). Ясно, что этот мноугольник

Рис. 6

Рис. 3

2-й шаг. Теперь, не снимая круг с узла x, отодвигаем от узла x по прямой $xO_{1}$ центр расширяющегося круга до тех пор, пока он не наткнется еще на один узел y (рис.4). Такой момент обязательно наступит вследствие опять же условия (2). Обозначим центр этого круга через $O_{2}$.

Рис. 4

3-й шаг. Не снимая круг с узлов x и y, будем удалять его центр от узлов x и y по срединному перпендикуляру к отрезку xy, пока расширяющийся круг не наткнется еще на один узел z (рис.5).

Рис. 5

На этом процесс расширения круга завершен. Обозначим окончательно полученный круг через K, а его центр – через O.

01-.p65

вписан в круг, который других узлов из X ни внутри, ни на границе не $содержит.^{2}$ Многоугольник M назовем многоугольником Делоне для заданного множества X узлов, если его вершины – это узлы из X и он вписан в некоторый круг K, который ни внутри, ни на границе никаких других узлов, кроме вершин, не содержит. Полученный в результате описанной выше «четырехходовки» k-угольник является многоугольником Делоне. Таким образом, множество многоугольников Делоне не пусто. Более того, нетрудно видеть, что, применяя «четырехходовку» к маленьким кружкам, взятым в разных частях плоскости, можно получить бесконечно много многоугольников Делоне. Заметим, что любой узел из X является вершиной по крайней мере одного из многоугольников Делоне. Такой многоугольник можно построить посредством четырехходовки, примененной к маленькому кругу, достаточно близко расположенному к данному узлу. Борис Николаевич доказал не очень сложную, но важную теорему: Теорема. Множество всех многоугольников Делоне для данного множества X узлов образует разбиение плоскости. Доказательство. Напомним, что множество узлов X удовлетворяет условиям (1) и (2). Докажем сначала, что никакие два многоугольника Делоне $M_{1}$ и $M_{2}$ не перекрываются, т.е. не имеют общих внутренних точек. Возьмем «пустые» круги $K_{1}$ и $K_{2}$, описанные вокруг $M_{1}$ и $M_{2}$ соответственно. Никакой из этих кругов не содержится в другом, так как каждый из них внутри пуст от узлов из X и каждый из них содержит некоторое число узлов на границе. Если круги $K_{1}$ и $K_{2}$ не перекрываются, то многоугольники $M_{1}$ и $M_{2}$, в них содержащиеся, тем более не перекрываются. Пусть круги перекрываются по некоторой «линзе» (рис.7), составленной из дуги $a_{1}$ первой окружности, входящей внутрь второго круга

2 Внимательный читатель мог заметить, что уже на первом шаге расширяющийся круг мог наткнуться не на один, а на два, а то и большее количество узлов. Заметим, что в этом случае мы могли бы перейти с 1-го шага сразу к 3-му, а то и вообще могли бы получить окончательный круг K.

6

КВАНТ 2010/№2

мо, в котором, по словам самого Делоне, он сообщил о том, что эти разбиения им были изучены еще в 1920-е годы. В 1924 году Делоне попросил академика $В.А.Стеклова^{4}$, который направлялся на международный конгресс математиков в Торонто, доложить его, Делоне, работу. Позднее, в 1928 году, эта работа была опубликована в трудах конгресса. При этом в письме Борис Николаевич не преминул упомянуть, что конгресс проходил в родном городе Кокстера, в Торонто. Ответ Кокстера был очень корректен. Он нашел в материалах математического конгресса 1924 года упоминание о работе Делоне. Кокстер в письме просил Делоне извинить его, тем более что в 1924 году он, Кокстер, был столь юн, что еще, опять же со слов Бориса Николаевича, «ходил под стол в коротких штанишках». Тогда же Кокстер написал в Кембридж профессору К.А.Роджерсу, который заканчивал свою ставшую своего рода математическим бестселлером книгу «Укладки и покрытия». Роджерс вставил в книгу упоминание о разбиении Делоне. Скорее всего, термин – разбиение Делоне (в вычислительной геометрии – триангуляции Делоне) – впервые появился именно в этой книге. В 1980-е годы он стал распространенным на Западе, откуда в конце прошлого века пришел в Россию. В 1990-е мне довелось встречаться с профессором Кокстером и выступать у него на семинаре в Торонтском университете. Я попросил мэтра рассказать об этой истории. Кокстер в целом подтвердил историю, рассказанную Борисом Николаевичем, за исключением «ходьбы под стол в коротких штанишках». В 1924 году Кокстеру (1907–2003) было уже 17 лет. А фраза о «ходьбе под стол» была характерным для Бориса Николаевича проявлением экспрессии и юмора – качеств, которыми Делоне обладал сполна.

4 Владимир Андреевич Стеклов (1864–1926) – знаменитый российский математик, академик. В 1920-е годы организовал Физико-математический институт Академии наук и был первым его директором. Позднее, в 1934 году, этот институт разделился на два академических института: Математический институт им.В.А.Стеклова и Физический институт им. П.Н.Лебедева.

Ленинградский период (1922–1934) Работа о разбиениях пространства обозначила сдвиг исследований в сторону геометрии. Он был постепенным и естественным. Определенную роль здесь сыграло соприкосновение при исследовании неопределенных уравнений с работами Вороного. Но основная причина геометризации исследований Бориса Николаевича заключалась в нем самом, в его исключительно образном, художественном восприятии мира. Характерно, что Борис Николаевич не жалел сил и времени на то, чтобы довести понимание уже законченного математического результата до уровня, на котором результат оформлялся бы в геометрический образ. «Что это означает попросту?» – любимый вопрос, который он задавал и себе и коллегам всякий раз, когда обсуждалась очередная работа. Признание научных заслуг не заставило себя долго ждать: в 1929 году Б.Н.Делоне выбирают в членыкорреспонденты Академии наук. К этому моменту он уже 7 лет профессорствует в Ленинградском университете. Его предельно ясные и продуманные лекции вызывают большой интерес у студентов. Популярность его была столь велика, что на первых лекциях его специальных (факультативных) курсов собиралось несколько сотен студентов, желавших увидеть легендарного лектора. Надо сказать, что Делоне никогда не упускал возможности рассказать студентам о трудной нерешенной проблеме. Борис Николаевич руководствовался известным принципом, принадлежащим, кажется, Плутарху: «Ученик – не сосуд, который нужно наполнить, а факел, который нужно зажечь». А зажечь может тот, кто сам горит. Высокий научный авторитет, преданное и вместе с тем эстетическое отношение к науке, личное обаяние – все это притягивало к нему молодых людей. Неудивительно, что у него было много учеников, среди которых несколько выдающихся математиков: академики Александр Данилович Александров (1912–1999) и Игорь Ростиславович Шафаревич (1923 г.р.), членкорреспондент Академии наук Дмитрий Константинович Фаддеев (1907–1989).

Б.Н.Делоне читает лекцию

01-.p65

7

МНОГОГРАННЫЙ

Весной 1934 года в Ленинграде Борис Николаевич организовал первую школьную олимпиаду по математике, с которой начались математические олимпиады в нашей стране. Участники первой ленинградской олимпиады еще долго потом вспоминали, какое ошеломляющее впечатление произвели на них встречи с Б.Н.Делоне (см., например, «Квант» №9 за 1984 г., с.52).

А.Д.Александров

Б.Н.Делоне и И.Р.Шафаревич (конец 1940-х годов)

Московский период (1934–1980)

В 1934 году в Ленинграде был образован Математический институт им.В.А.Стеклова, в котором Борис Николаевич работал с момента основания. До 1960 года он заведовал отделом алгебры, а затем до конца жизни отделом геометрии. Вскоре после создания Математический институт (точнее бульшая его часть) переводится вместе с другими ведущими научными учреждениями Академии наук в Москву. С 1935 года Делоне работает профессором в Московском университете, в течение многих лет руководит кафедрой геометрии, теперь это – кафедра высшей геометрии и топологии на мехмате. В МГУ он создает весьма оригинальный курс аналитической геометрии, выделявшийся исключительным богатством геометрических идей. В этом нетрудно убедиться, открыв двухтомник по аналитической геометрии, написанный им в соавторстве с Д.Е.Райковым. Студенты, имевшие счастье слушать его лекции, вряд ли подозревали, что за их великолепием скрывалась тщательнейшая подготовка. На подготовку двухчасовой лекции у него уходило два полных дня, в дальнейшем – день. Он отшлифовывал каждую идею, каждый рисунок. И, как следствие, во

01-.p65

ДЕЛОНЕ

время лекции на доске легко и быстро появлялись четкие додекаэдры и икосаэдры, элегантные параболоиды и гиперболоиды, симпатичные «аффинные коты», которых он ввел в свой курс аналитической геометрии для иллюстрации того, что происходит с фигурой при аффинном преобразовании. У студентов мехмата МГУ одно время была в моде серия весьма остроумных анекдотов о своих профессорах на тему: «Кто (из профессоров) в чем варит суп?» По студенческой версии, не лишенной иронии, Борис Николаевич варил суп в n-мерной $решетке^{5}$: суп, правда, вытекал, зато оставалась геометрическая наглядность. Борис Николаевич был начисто лишен какого-либо резонерства, занудства. Приведу эпизод, о котором мне рассказал Н.Я.Виленкин, учившийся у Делоне. Однажды Борис Николаевич появился на лекции с каким-то злым выражением лица и начал строить неприятные гримасы и даже рычать. Студенты, привыкшие видеть Делоне всегда слегка хитро улыбающимся, были ошеломлены: что случилось с Борисом Николаевичем? Это продолжалось секунд десять-пятнадцать, а затем гримаса исчезла, все увидели знакомую улыбку и услышали объяснение случившемуся: «По дороге к вам встретил вашего куратора. Она мне очень жаловалась на вас, пропускаете занятия, многие не сдали коллоквиумы и т.д., и очень просила вас попугать…» Относительно научной работы в московский период назову лишь некоторые основные направления, в которых Борис Николаевич упорно работал и получил важные результаты. Это – прежде всего геометрия положительных квадратичных форм и ее приложения к теории так называемых решетчатых покрытий и упаковок пространства. Были получены принципиально новые результаты в теории правильных и кристаллографических разбиений многомерного пространства, а также в геометрии чисел. Ряд результатов 1960–70 годов был получен совместно с коллегами и учениками. Б.Н.Делоне был выдающимся популяризатором математики и вообще науки. Его популярные лекции, рассчитанные на широкую аудиторию, собирали сотни слушателей. У него были заранее заготовленные «экспромты» – приемы, при помощи которых он делал лекцию живой, увлекательной и незабываемой. Например, в 1940-е годы он несколько раз читал лекцию на тему «Теорема Н.Е.Жуковского о поддерживающей силе крыла самолета». Свою лекцию в знаменитой Большой аудитории Политехнического музея в Москве перед несколькими сотнями собравшихся Борис Николаевич начинал так. Б.Н.: «Вы, наверное, знаете знаменитого математика академика Павла Сергеевича $Александрова^{6}$ ?» Отдельные голоса: «Да, конечно».

5 Решетка здесь означает множество точек с целыми координатами. 6 П.С.Александров (1896–1982) – выдающийся математик, один из создателей отечественной топологической школы, академик, профессор мех-мата МГУ.

8

КВАНТ 2010/№2

Б.Н.: «А знаете ли вы, что знаменитый математик академик Александров никогда не летает самолетом?» Легкий гул, аудитория недоумевает. Б.Н.: «А знает ли вы, почему академик Александров боится летать самолетами?» Гул нарастает. Б.Н. (с хитрой улыбкой) завершает: «Академик Александров никогда не летает самолетами, потому что не знает теоремы Жуковского. А я вот знаю и летаю много. Сегодня я познакомлю вас с этой теоремой, и вы никогда не будете бояться полетов». К этому моменту аудитория «разогрета» и готова слушать рассказ о такой важной теореме.

Не только наука

01-.p65

Вершина Белуха и пик Делоне

Среди многочисленных нематематических увлечений Бориса Николаевича особое место занимал альпинизм. Это, бесспорно, самое сильное увлечение прошло через всю жизнь. Зародилось оно, как уже говорилось, в детские годы во время летних выездов семьи в Швейцарию. В альпинизме его особенно влекла красота далеко открывающихся панорам, геометрически выразительных силуэтов хребтов и пиков. И, конечно, азарт победить высоту во что бы то ни стало. Занимался альпинизмом он вполне профессионально. В Альпах он еще в 1910 году поднялся на вторую по высоте после Монблана, но технически несложную вершину Монте- Роза. Затем был Кавказ с многочисленными сложными восхождениями, в том числе и первовосхождениями. Но особенно Борис Николаевич любил Алтай. В 1926 году бывал и на горе, теперь носящей его имя. Пик Делоне находится на плече, ведущем на высшую вершину Алтая – Белуху. Путешествуя по Алтаю вместе $И.Е.Таммом^{7}$, они открыли изумительное по красоте место: озеро Шавло, в чистейшей воде которого отражались две покрытые снегами великолепные вершины. Одну из них Делоне назвал Красавицей, другую Тамм назвал Сказкой. По мнению Делоне, красота этого места превосходит все знаменитые места в Альпах. В наше время маршрут к Красавице и Сказке – один из самых привлекательных на Алтае. В 30-е – 40-е годы прошлого века Борис Николаевич активно занимался организацией массового альпинизма в нашей стране. Летом 1931 года он организовал на Кавказе первый в стране альпинисткий лагерь для

рабочих ленинградского путиловского завода и проводил в нем занятия по технике альпинизма, вместе с инструкторами анализировал восхождения. В 1934 году ему было присвоено звание мастера альпинизма. В это время альпинизм становился массовым видом спорта, и стало необходимым создать систему класси-

7 Игорь Евгеньевич Тамм (1895–1971) – выдающийся физиктеоретик, лауреат Нобелевской премии (1958).

Нижнее Шавлинское озеро и белоснежные вершины Сказка и Красавица

9

МНОГОГРАННЫЙ

фикации спортивных достижений. Делоне разработал принципы классификации горных восхождений (пять ступеней) и в соответствии с ними расклассифицировал более 200 маршрутов на вершины Кавказа, Средней Азии и Алтая. В 1938 году написал первый путеводитель для альпинистов «Вершины Западного Кавказа» (часть Кавказского хребта, расположенная к западу от Эльбруса). В нем описаны несколько десятков основных вершин этого района и пути восхождений на них. Описание сопровождалось рисунком каждой вершины вместе с кроками восхождения на нее. В книге на вклейке была помещена панорама всего западно-кавказского хребта, которую сделал Борис Николаевич, перемещаясь с вершины на вершину на параллельном хребте. С возрастом на смену альпинистским восхождениям пришли туристские походы. Не прогулки на 5–10 километров, а именно настоящие 30–40-километровые походы, иногда очень трудные, проходившие неизменно по самым красивым местам Подмосковья. Борис Николаевич был физически исключительно закаленным человеком. И все равно было не по себе наблюдать в конце зимы быстро идущего с рюкзаком обнаженного по пояс пожилого человека. Падающий снег таял и, стекая по седой голове, застывал в виде крупных сосулек. Борис Николаевич очень любил природу и восторгался ее красотой всегда молча, словно стараясь впитать в себя все и вся. Его восхищение невольно передавалось спутникам. Общение с природой походило на таинство, и ему было неприятно, хотя он и не подавал виду, когда это таинство нечаянно нарушалось чьими-то разговорами. Зато у костра или в электричке его спутники становились слушателями многочисленных историй, одна другой интересней. Рассказчиком Б.Н.Делоне был замечательным… «Вы, конечно, не знаете, что моя сестра святая (пауза, лукавый взгляд рассказчика, недоумение слушателей). Да-да, совершенно серьезно, святая…» …Дальше начинался интереснейший рассказ о двоюродной сестре и подруге детства Елизавете Пиленко (в замужестве Кузьмина-Караваева), поэтессе (ее стихи высоко ценил Александр Блок). После революции 1917 года она эмигрировала во Францию, стала монахиней (мать Мария – таково было монашеское имя, так же назывался у нас художественный фильм, посвященный ей). Во время оккупации Франции фашистами мать Мария вступила в ряды Сопротивления, была арестована и погибла в немецком концлагере. После войны была официально канонизирована католической церковью.

«Вечер жизни»

В приветственном адресе по случаю 80-летия Германская академия естествоиспытателей «Леопольдина» пожелала члену этой академии Б.Н.Делоне «спокойного вечера жизни». «Вечер жизни» продолжался десять лет. В эти годы он вместе со своими учениками получил важные результаты по теории оптимальных покрытий пространства шарами, по локальной теории так назы-

01-.p65

ДЕЛОНЕ

ваемых правильных структур, являющихся своего рода математическими моделями кристаллов. Борис Николаевич был главой и опорой большой семьи. Он очень любил своих внуков, которые обожали своего деда. Борис Николаевич заботился о них, но особенно он беспокоился за судьбу старшего внука – Вадика. Вадим Делоне (см. http://vadim-delaunay.org), талантливый поэт, красавец, обладал нежным сердцем и отзывчивой душой. В 18 лет стал диссидентом, правозащитником. В 19 лет был осужден за организацию политической демонстрации в Москве. Через год после освобождения, 25-го августа 1968 года, вышел в составе знаменитой «семерки» на Красную площадь в знак протеста против введения советских войск в Чехословакию. За лозунг «За вашу и нашу свободу», который он держал в течение нескольких секунд, Вадим получил 3 года «несвободы». Борис Николаевич делал все, чтобы облегчить судьбу внука. Собирал подписи известных людей в защиту Вадима, с этими письмами посещал «высочайшие» кабинеты на Лубянке. Уже после суда ездил к нему, как только получал разрешение, на свидание в лагерь на севере Тюменской области. Другим объектом особой заботы была жена, которая долго болела и нуждалась в уходе. После отъезда Вадима за границу и смерти жены он, уже 86- летний, «бросился во все тяжкие»: работа, лекции, поездки, два похода в неделю по 20–40 км каждый. В один из наиболее активных дней его постиг удар: инсульт, почти полная потеря речи, памяти, ограниченная подвижность. Принимая во внимание возраст, врачи были предельно скупы в оценке перспектив. Однако Борис Николаевич начинает бороться за полноценную жизнь и одерживает последнюю, но, может быть, самую важную победу в жизни (не без помощи своих близких, учеников и коллег). У него восстанавливаются утерянные функции, и он возвращается к настоящей жизни. Разумеется, длинные походы сменились прогулками «всего» на какие-то 10–15 километров, и не по глухим лесам, а по местам с «индустриальным пейзажем», и не дважды, а только раз в неделю. Конечно, работоспособность не была столь высокой, но это была полноценная яркая жизнь. Однако «вечер жизни» подошел к своей естественной границе. Никогда не забуду, как однажды серым мартовским днем (это было месяца за четыре до конца) Борис Николаевич достал из книжного шкафа книгу и прочитал одно замечательное место у Пуанкаре. Дыхание от волнения прерывалось, голос дрожал: «… жизнь есть лишь беглый эпизод между двумя вечностями смерти и… в этом эпизоде прошедшая и будущая длительность сознательной мысли – не более чем мгновение. Мысль – только вспышка света посреди долгой ночи. Но эта вспышка – все».

10

КВАНТ 2010/№2

Что может электростатика

К. БОГДАНОВ

…Все предсказания электростатики следуют из двух ее законов. Но одно дело высказать эти вещи математически, и совсем другое — применять их с легкостью и с нужной долей остроумия. Ричард Фейнман

ЭЛЕКТРОСТАТИКА ИЗУЧАЕТ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ неподвижных зарядов. Ключевые эксперименты электростатики были проведены в XVII – XVIII веках. С открытием электромагнитных явлений и той революции в технологиях, которые они произвели, интерес к электростатике на некоторое время был утерян. Однако современные научные исследования показывают огромное значение электростатики для понимания многих процессов живой и неживой природы.

Электростатика и жизнь

В 1953 году американские ученые С.Миллер и Г.Юри показали, что одни из «кирпичиков жизни» – аминокислоты – могут быть получены путем пропускания электрического разряда через газ, близкий по составу первобытной атмосфере Земли, состоящей из метана, аммиака, водорода и паров воды. В течение последующих 50 лет другие исследователи повторили эти опыты и получили те же результаты. При пропускании коротких импульсов тока через бактерии в их оболочке (мембране) появляются поры, через которые внутрь могут проходить фрагменты ДНК других бактерий, запуская один из механизмов эволюции. Таким образом, энергия, необходимая для зарождения жизни на Земле и ее эволюции, действительно могла быть электростатической энергией разрядов молний (рис.1).

Рис. 1. Разряд молнии

01-.p65

Как электростатика вызывает молнии

В каждый момент времени в разных точках Земли сверкает около 2000 молний, в каждую секунду примерно 50 молний ударяют в Землю, каждый квадратный километр поверхности Земли поражается молнией в среднем шесть раз в году. Еще в XVIII веке Бенджамин Франклин доказал, что молнии, бьющие из грозовых облаков, это электрические разряды, переносящие на Землю отрицательный заряд. При этом каждый из разрядов снабжает Землю несколькими десятками кулонов электричества, а амплитуда тока при ударе молнии составляет от 20 до 100 килоампер. Скоростная фотосъемка показала, что разряд молнии длится лишь десятые доли секунды и что каждая молния состоит из нескольких более коротких. С помощью измерительных приборов, установленных на атмосферных зондах, в начале XX века было измерено электрическое поле Земли, напряженность которого у поверхности оказалась равной приблизительно 100 В/м, что соответствует суммарному заряду планеты около 400000 Кл. Переносчиком зарядов в атмосфере Земли служат ионы, концентрация которых увеличивается с высотой и достигает максимума на высоте 50 км, где под действием космического излучения образовался электропроводящий слой – ионосфера. Поэтому можно сказать, что электрическое поле Земли – это поле сферического конденсатора с приложенным напряжением около 400 кВ. Под действием этого напряжения из верхних слоев в нижние все время течет ток силой 2–4 кА, плотность которого составляет ( 1 - 2 ) ◊ $10^{-} 12$ А $м^{2}$, и выделяется энергия до 1,5 ГВт. И если бы не было молний, это электрическое поле исчезло бы! Получается, что в хорошую погоду электрический конденсатор Земли разряжается, а при грозе – заряжается. Грозовое облако – это огромное количество пара, часть которого сконденсировалось в виде мельчайших капелек или льдинок. Верх грозового облака может находиться на высоте 6–7 км, а низ – нависать над землей на высоте 0,5–1 км. Выше 3–4 км облака состоят из льдинок разных размеров, так как температура там всегда ниже нуля. Эти льдинки находятся в постоянном движении, вызванном восходящими потоками теплого воздуха, поднимающегося снизу от нагретой поверхности земли. Мелкие льдинки легче, чем крупные, и они увлекаются восходящими потоками воздуха и по дороге все время сталкиваются с крупными. При каждом таком столкновении происходит электризация, при которой крупные льдинки заряжаются отрицательно, а мелкие – положительно. Со временем положительно заряженные мелкие льдинки собирают-

12

КВАНТ 2010/№2

ственное происхождение. Все, что помогает спасти жизнь, во благо – доказывал молодой адвокат. Он выиграл процесс и снискал большую известность. Адвоката звали… Максимилиан Робеспьер. Ну, а сейчас портрет изобретателя громоотвода – самая желанная репродукция в мире, ведь она украшает известную всем стодолларовую купюру.

Электростатика, возвращающая жизнь

Энергия разряда конденсатора не только привела к возникновению жизни на Земле, но и может вернуть жизнь людям, у которых клетки сердца перестали синхронно сокращаться. Асинхронное (хаотичное) сокращение клеток сердца называют фибрилляцией. Фибрилляцию сердца можно прекратить, если пропустить через все его клетки короткий импульс тока. Для этого к грудной клетке пациента прикладывают два электрода, через которые пропускают импульс длительностью около десяти миллисекунд и амплитудой до нескольких десятков ампер. При этом энергия разряда через грудную клетку может достигать 400 Дж (что равно потенциальной энергия пудовой гири, поднятой на высоту 2,5 м). Устройство, обеспечивающее электрический разряд, прекращающий фибрилляцию сердца, называют дефибриллятором. Простейший дефибриллятор представляет собой колебательный контур, состоящий из конденсатора емкостью 20 мкФ и катушки индуктивностью 0,4 Гн. Зарядив конденсатор до напряжения 1–6 кВ и разрядив его через катушку и пациента, сопротивление которого составляет около 50 Ом, можно получить импульс тока, необходимый для возвращения пациента к жизни.

Электростатика, дающая свет

Люминесцентная лампа может служить удобным индикатором напряженности электрического поля. Чтобы убедиться в этом, находясь в темном помеще-

Рис. 5. Свечение люминесцентных ламп, воткнутых в землю под высоковольтными линиями электропередач

01-.p65

нии, потрем лампу полотенцем или шарфом – в результате внешняя поверхность лампового стекла зарядится положительно, а ткань – отрицательно. Как только это произойдет, мы увидим всполохи света, возникающие в тех местах лампы, к которым мы прикасаемся заряженной тканью. Измерения показали, что напряженность электрического поля внутри работающей люминесцентной лампы составляет около 10 В/м. При такой напряженности свободные электроны обладают необходимой энергией для ионизации атомов ртути внутри люминесцентной лампы. Электрическое поле под высоковольтными линиями электропередач – ЛЭП – может достигать очень высоких значений. Поэтому если в темное время суток люминесцентную лампу воткнуть в землю под ЛЭП, то она загорится, и довольно ярко (рис.5). Так с помощью энергии электростатического поля можно освещать пространство под ЛЭП.

Как электростатика предупреждает о пожаре и делает дым чище

В большинстве случаев при выборе типа детектора пожарной сигнализации предпочтение отдается дымовому датчику, так как пожар обычно сопровождается выделением большого количества дыма и именно этот тип детектора способен предупредить людей в здании об опасности. Дымовые датчики используют ионизацию или фотоэлектрический принцип для обнаружения дыма в воздухе. В ионизационных детекторах дыма имеется источник $\alpha$ -излучения (как правило, америций-241), ионизирующий воздух между металлическими пластинами-электродами, электрическое сопротивление между которыми постоянно измеряется с помощью специальной схемы. Образующиеся в результате $\alpha$ -излучения ионы обеспечивают проводимость между электродами, а оказывающиеся там микрочастицы дыма связываются с ионами, нейтрализуют их заряд и увеличивают таким образом сопротивление между электродами, на что реагирует электрическая схема, подавая сигнал тревоги. Датчики, устроенные на этом принципе, демонстрируют весьма впечатляющую чувствительность, реагируя еще до того, как самый первый признак дыма обнаруживается живым существом. Следует отметить, что используемый в датчике источник радиации никакой опасности для человека не представляет, так как альфа-лучи не могут пройти даже через лист бумаги и полностью поглощаются слоем воздуха толщиной в несколько сантиметров. Способность частичек пыли к электризации широко используется в промышленных электростатических пылеуловителях. Газ, содержащий, например, частицы сажи, поднимаясь вверх, проходит через отрицательно заряженную металлическую сетку, в результате чего эти частицы приобретают отрицательный заряд. Продолжая подниматься вверх, частицы оказываются в электрическом поле положительно заряженных пластин, к которым они притягиваются, после чего частицы падают в специальные емкости, откуда их периодически удаляют.

14

КВАНТ 2010/№2

Геометрия звездного неба

В.ПРОТАСОВ

НЕБО НАД ГОЛОВОЙ – САМЫЙ ДРЕВНИЙ УЧЕБ- ник геометрии. Первые понятия, такие как точка и круг, – оттуда. Скорее даже не учебник, а задачник. В котором отсутствует страничка с ответами. Два круга одинакового размера – Солнце и Луна – движутся по небу, каждый со своей скоростью. Остальные объекты – светящиеся точки – движутся все вместе, словно они прикреплены к сфере, вращающейся со скоростью 1 оборот в 24 часа. Правда, среди них есть исключения – 5 точек движутся как им вздумается. Для них подобрали особое слово – «планета», погречески – «бродяга». Сколько человечество существует, оно пытается разгадать законы этого вечного движения. Первый прорыв произошел в III веке до н.э., когда греческие ученые, взяв на вооружение молодую науку – геометрию, смогли получить первые результаты об устройстве Вселенной. Об этом и пойдет речь. Чтобы иметь некоторое представление о сложности задачи, рассмотрим такой пример. Представим себе светящийся шар диаметром 10 см, неподвижно висящий в пространстве. Назовем его S. Вокруг него на расстоянии чуть больше 10 метров обращается маленький шарик Z диаметром 1 миллиметр, а вокруг Z на расстоянии 6 см обращается совсем крохотный шарик

Е.Н.Конева, М.В.Перепухов. Через тернии к звездам

01-.p65

L, его диаметр – четверть миллиметра. На поверхности среднего шарика Z живут микроскопические существа. Они обладают неким разумом, но покидать пределы своего шарика не могут. Все, что они могут, – смотреть на два других шара – S и L. Спрашивается, могут ли они узнать диаметры этих шаров и измерить расстояния до них? Сколько ни думай, дело, казалось бы, безнадежное. Мы нарисовали сильно уменьшенную модель Солнечной системы (S – Солнце, Z – Земля, L – Луна). Вот такая задача стояла перед древними астрономами. И они ее решили! Более 22 веков назад, не пользуясь ничем, кроме сбмой элементарной геометрии – на уровне 8 класса (свойства прямой и окружности, подобные треугольники и теорема Пифагора). И, конечно, наблюдая за Луной и за Солнцем. Над решением трудились несколько ученых. Мы выделим двух. Это математик Эратосфен, измеривший радиус земного шара, и астроном Аристарх, вычисливший размеры Луны, Солнца и расстояния до них. Как они это сделали?

Как измерили земной шар

То, что Земля не плоская, люди знали давно. Древние мореплаватели наблюдали, как постепенно меняется картина звездного неба: становятся видны новые созвездия, а другие, напротив, заходят за горизонт. Уплывающие вдаль корабли «уходят под воду», последними скрываются из вида верхушки их мачт. Кто первый высказал идею о шарообразности Земли, неизвестно. Скорее всего – пифагорейцы, считавшие шар совершеннейшей из фигур. Полтора века спустя Аристотель приводит несколько доказательств того, что Земля – шар. Главное из них: во время лунного затмения на поверхности Луны отчетливо видна тень от Земли, и эта тень круглая! С тех пор постоянно предпринимались попытки измерить радиус земного шара. Два простых способа изложены в упражнениях 1 и 2. Измерения, правда, получались неточными. Аристотель, например, ошибся более чем в полтора раза. Считается, что первым, кому удалось сделать это с высокой точностью, был греческий математик Эратосфен Киренский (276–194 до н. э.). Его имя теперь всем известно благодаря решету Эра-

36

КМШ

КВАНТ 2010/№2

Задачи

Число КУБ является кубом. Докажите, что число ШАР кубом не является. (Как обычно, разные заглавные буквы обозначают разные цифры.) А.Хачатурян

Круги радиуса 1 (и значит, площади $\pi )$ наложены друг на друга так, что их границы образуют кружевную салфетку (см. рисунок). Найдите площадь фигуры, являющейся объединением этих кругов. Н.Авилов

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Низкую температуру, нужную для хранения продуктов, люди издавна умели получать без холодильников. Для этого они зимой закладывали в подвалы лед, а летом размолотый лед смешивали с солью. При перемешивании льда с солью температура смеси может опуститься до $-^{21} \infty^{C}$ (проверьте это на опыте), как в современных морозильных камерах. А зачем дворники зимой посыпают дорожки солью? Они что, хотят температуру на улице понизить? Е.Соколов

У мудрого ламы было два ленивых ученика. Както лама решил их проучить и предложил сыграть в старинную игру. Они сели за круглый стол, на который было высыпано 999 спичек. Ученику, который сел по левую руку от ламы, разрешается за ход брать либо 1, либо 3, либо 5 спичек. Ученик, который сидит по правую руку от ламы, берет за ход либо 2, либо 4, либо 6 спичек. Лама, в силу своей мудрости, всегда берет ровно 1 спичку. Первый ход делает лама, затем ходы делаются по очереди по часовой стрелке. Тот, кто не может сделать ход, пропускает его. Выигрывает тот, кто возьмет последнюю спичку. Кто выиграет? Фольклор

Иллюстрации Д.Гришуковой

Саша взял ручку с тонким пером и красиво, как его учили, по клеточкам написал слово (рис.1). Артем взял толстый фломастер и тоже красиво написал другое слово (рис.2). А Маша взяла широкое-широкое плакатное перо и написала третье слово (рис.3). Какое слово написала Маша? Е.Соколов

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6 – 8 классов.

39

К

М

Ш

Рис. 14

Рис. 17

По той же теореме, но уже для окружности 3, равенство можно продолжить:

$AO \cdot OB = CO \cdot OD$, и дальше (окружность 1)

$CO \cdot OD = EO \cdot OF '$.

Рис. 15

Планиметрическое решение

Вернемся к исходной задаче и рассмотрим три пересекающихся окружности (1, 2 и 3 на рисунке 16). Проведем две общие хорды: одну – для окружностей 1 и 3 и вторую – для окружностей 2 и 3. Точки на первой хорде имеют, как мы видели, одинаковую степень относительно окружностей 1 и 3, а точки на второй хорде имеют одинаковую степень относительно окруж-

Рис. 16

ностей 2 и 3. Значит, общая точка этих двух хорд имеет одинаковую степень относительно всех трех окружностей. Поэтому она также лежит на общей хорде окружностей 1 и 2. Что и требовалось доказать. Это решение можно пересказать так, чтобы оно стало совсем «школьным» и не использовало понятие степени (рис.17). Проведем две общие хорды AB (окружности 2 и 3) и CD (окружности 1 и 3). Пусть O – их точка пересечения. Проведем прямую через точку O и одну из двух точек пересечения окружностей 1 и 2 (скажем, верхнюю на рисунке) – точку E. Если утверждение задачи неверно, то эта прямая пересечет окружности 2 и 1 в различных точках. Назовем их F и $F '$. Теперь заметим, что

Сравнивая начало и конец этой цепочки равенств, получаем

$EO \cdot OF = EO \cdot OF '$, т.е. F и $F '$ – одна и та же точка, что и требовалось доказать.

Вопросы и задачи

1. Обратите внимание, как расположена пленка, разделяющая мыльные пузыри. В какую сторону она изогнута? В каком из пузырей давление больше? (На наших фотографиях эта пленка видна плохо, так что стоит посмотреть настоящие пузыри.) 2. Чему равна степень точки, находящейся на расстоянии d от центра окружности радиуса r, относительно этой окружности? 3. Мы определили степень для точек внутри окружности. Дайте геометрическое определение для точек вне окружности, чтобы формула задачи 2 оставалась верной. 4. Рассмотрим две окружности (пересекающиеся или нет). Найдите геометрическое место точек, которые имеют одинаковую степень (в смысле предыдущей задачи) относительно этих двух окружностей. Ответ: это прямая; она называется радикальной осью пары окружностей. 5. Найдите радикальную ось для пары касающихся окружностей. 6. Имеются три попарно касающиеся окружности. Через каждую из точек касания проведена общая касательная к соответствующей паре. Докажите, что три эти прямые проходят через одну точку. 7. Во всех наших рассуждениях мы неявно предполагали, что окружности не только попарно пересекаются, но и все три перекрываются (есть точка, лежащая внутри всех трех). Если такой точки нет, наши рассуждения уже не проходят. Покажите, что, тем не менее, и в этом случае три общие хорды (точнее, их продолжения) пересекаются.

$EO \cdot OF = AO \cdot OB$

по теореме об отрезках двух секущих (в окружности 2).

41

К

М

Ш

Ледяные узоры на стекле

Лед на стеклах. Зимой окна автобуса часто бывают покрыты инеем или разрисованы изнутри морозными узорами. Их вид зависит от температуры и влажности воздуха в салоне. При малой влажности и постепенном охлаждении от 0 до –6 $\infty^{C}$ на поверхности стекла отлагается однородный слой непрозрачного рыхлого льда. В этом случае все стекло имеет температуру ниже точки росы, и влага из воздуха одновременно конденсируется по всей поверхности стекла, покрывая его слой за слоем и образуя аморфное непрозрачное состояние льда. Если же охлаждение стекла происходит при большой влажности воздуха, а в процессе охлаждения проходится точка росы, то конденсирующаяся на стекле вода закристаллизовывается в виде морозных узоров, похожих на еловые лапы или ветки диковинных растений, отбирая при этом тепло от близлежащих участков стекла. Такие узоры называют дендритами. При дальнейшем охлаждении стекол между дендритами, а затем и на самих дендритах происходит отложение тонкого слоя инея. Иногда температура и влажность таковы, что протертое стекло замерзает прямо на глазах, покрываясь ледяными кристаллами. Как-то после оттепели резко похолодало, и узоры из более крупных дендритов покрыли нижнюю часть оконных стекол, вверху же кристаллы были заметно мельче. Почему? Объяснить нетрудно. Кристаллы образуются из сконденсировавшейся на стекле воды, а она, вследствие действия силы тяжести, течет и скапливается внизу. Зимой холодный воздух может проникать в салон автобуса через щели рам и открытые форточки. С ним приходит в соприкосновение теплый и влажный воздух салона, который при этом охлаждается, теряя излишнюю влагу. Почему же в местах проникновения наружного воздуха стекла не запотевают и не замерзают? В данном случае внутри салона происходят два процесса: не только теплый воздух охлаждается, но и холодный воздух, попадая в салон, нагревается и поглощает воду, так как его влагоемкость увеличивается. Это легко подтвердить экспериментально.

Если вы носите очки, то знаете (впрочем, это все знают), что зимой при входе с улицы в теплое помещение они запотевают. Но мало кто обращал внимание на следующее: стоит, не протирая очков, снова выйти на холод, как влага с них полностью испарится. Проделайте такой опыт с куском стекла, который лучше держать не в руке, а за какую-нибудь оправу. Приведу еще ряд наблюдений. Один раз я подышал на протертый в замороженном окне участок, и он быстро покрылся пушистым инеем, причем с более длинными иголками, чем на остальном стекле. В другой раз при наружной температуре –25 $\infty^{C}$ на протертом участке за 5–7 минут нарос более толстый слой инея, чем на непротертом стекле, причем дышать на стекло в этот раз не пришлось. По-видимому, процесс наращивания слоя инея на стекле зависит от сочетания определенных условий: температуры и влажности в салоне и за окном. Появлялись на стекле, вырастая на глазах, и ледяные кристаллы в виде ледяных волокон (трихитов) или ледяных узоров в виде еловых лап (дендритов). Интересно, что во время роста они были окружены небольшим свободным от инея пространством стекла. Как и предполагалось ранее, выделяющаяся энергия кристаллизующейся воды влияет на условия в окружающем дендрит пространстве, препятствуя возникновению других кристаллов вблизи и вокруг растущих. Согласно измерениям ученых, осаждение льда на поверхность сопровождается колебаниями температуры вблизи нее величиной до +5 $\infty^{C}$, что оказывает на существование в этой области ощутимого выделения тепла и передачи его путем конвекции. Сказанное подтверждается следующим наблюдением за стоящим в депо электропоездом. Оконные стекла поезда были двойные, наружная температура воздуха была около –12 $\infty^{C}$. На внешней поверхности внешних стекол имелись крупинки льда – от замерзших редких капель воды. Внутреннее же стекло со стороны салона было покрыто слоем белого инея с округлыми пятнами чистого стекла, центры которых совпадали с расположением замерзших капель снаружи.

43

ФИЗИЧЕСКИЙ

провести простой эксперимент, в котором цифровые фотографии одних и тех же геометрических размеров формируются разными количествами светлых и темных пятен, т.е. их «размер в пикселях» (или в колбочках) постепенно увеличивается (рис.2). Начиная с некоторого количества пятен,

Рис. 2

можно, при небольшой доле фантазии, «узнать» изображенного человека (знакомого нам по портретам). На светлом фоне тумана вся фигура человека и его лицо естественно выглядят темными. Максимальная относительная яркость пятен на лице определяется коэффициентом отражения света и составляет около 0,5. Есть и более темные участки изображения лица на сетчатке глаза – вплоть до контрастности 1,0, которая определяется как отношение разности максимальной и минимальной яркостей пятен к максимальной яркости. Можно выражать эту величину в процентах, тогда максимальная контрастность будет 100%. Диапазон от 0,5 до 0,1 по степени яркости (или от 0 до 80% по контрастности) можно разбить на несколько частей. Причем для надежного распознавания деталей нужно, чтобы на границах пятен яркость скачком изменялась на заметную величину. Если изменение яркости составляет 20%, то достаточно всего четырех уровней для «заполнения» всего диапазона (80/20 = 4 = 2 бита). В результате минимальное количество информации (в битах), необходимое для распознавания лица человека, равно примерно $30 \times 30 \times 2 = 1,8 \times 10^{3}$. Тогда при отсутствии тумана и при нормальном освещении человека с характерным размером головы 20 см можно узнать по лицу с расстояния, равного 0,3 м $\times ( 20$ см 4 см $) \times \times ( 800 30 ) = 40$ м. Здесь 0,3 м – это расстояние наилучшего зрения, множитель (20 см/4 см) обеспечивает «размещение» изображения лица человека на центральной ямке, а множитель (800/30) «доводит» размер изображения в колбочках до величины $30 \times 30$. В условии задачи указанное расстояние – 10 шагов или 7 м – гораздо меньше, чем 40 м, т.е. не это обстоятельство (уменьшение размеров изображения на сетчатке глаза) мешает узнать человека в тумане. При наличии между глазом наблюдателя и рассматриваемым объектом «подсвеченного» тумана контрастность изоб-

ФАКУЛЬТАТИВ

ражения на сетчатке глаза убывает по мере удаления от объекта наблюдения, постепенно уменьшаясь до нуля. Это обусловлено двумя процессами, идущими одновременно. Вопервых, по мере удаления от источника свет постепенно рассеивается, но это не самое главное. А главное то, что (вовторых) по мере увеличения толщины слоя тумана между источником света и глазом растет так называемая подсветка. Доля света, идущего напрямую в глаза наблюдателя от источника света (фотографии), падает, а доля света от других источников, рассеянного каплями тумана и тоже попадающего в глаза, растет. На серии фотографий (рис.3), приведенных для иллюстрации этого явления (подсветки), отчетливо видно, что яркость окружения не меняется, светлые пятна на картинках становятся еще светлее, а темные пятна постепенно светлеют, пока и те и другие не сравниваются по яркости с окружением. Переход от первой пары фотографий (слева) ко второй и так далее (вправо) соответствует увеличению «плотности» тумана в определенное число раз. Постепенно фотографии становятся настолько светлыми, что по лицам уже узнать кого-либо затруднительно, а вот подписи к рисункам все еще продолжают читаться. Это говорит о том, что для распознавания образов, в частности лиц людей, важны резкие темные линии. Такие линии характеризуют форму глаз, бровей, рта, носа. Вот по этим линиям мы и узнаем тех, кто изображен на рисунке или на фотографии. Вернемся к нашей задаче. Когда говорят об узнавании на расстоянии, то обычно предполагают, что для этой операции достаточно «одного взгляда». Поэтому мы облегчим задачу, указав в качестве минимальной контрастности величину 20%. Капельки тумана диаметром 10 мкм значительно больше, чем длины всех видимых глазами световых волн, поэтому можно считать, что рассеивание света не зависит от длины волны, т.е. свет всех цветов рассеивается такими шариками одинаково и практически не поглощается. Поскольку на капельки, находящиеся между двумя людьми, свет падает со всех сторон, каждая капелька является шаровым источником света с определенной яркостью или силой света. Белая стена тумана – это сплошная стена из таких шариков, так как в каком бы направлении мы ни смотрели, луч зрения на некотором расстоянии обязательно «упрется» в какой-нибудь из шариков. Если на пути к объекту наблюдения 80% площади картинки будет покрыта шариками, то в этом случае контрастность видимой картинки не превысит 20 %. Таким образом, можно будет найти связь между размерами капелек-шариков $D_{к}$, их концентрацией в воздухе $n_{к}$ и расстоянием L, на котором человека в тумане узнать невозможно. Рассмотрим слой тумана площадью S с малой толщиной x. В объеме Sx находится $n_{к} Sx$ капелек. Они закрывают собой $\pi D_{к}^{2} n_{к} \times x 4$ -ю долю площади,

(

) т.е. незакрытой остается только

$( 1 - \pi D n \times x 4 )$ -я доля площа-

2 к к ди. Если таких слоев много, то по мере увеличения количества слоев доля незакрытой площади становится все меньше и меньше. При общей толщине слоя

Рис. 3

45

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

Об одной забытой задаче

А.ТОЛПЫГО

А бывает еще и так иногда: бьешься ты над какойнибудь задачкой, а она не выходит, и тогда ты придумываешь какой-нибудь новый, очень хитрый способ, чтобы ее решить. И представь себе, опять у тебя не выходит! Вот от этого, казалось бы, совершенно бесполезного труда нередко получается неожиданная польза…

С.Бобров. Волшебный двурог

Для начала сформулируем две задачи. Задача A. Докажите, что из любых n целых чисел можно выбрать несколько, сумма которых делится на n. Задача B. Докажите, что из любых (2n – 1) целых чисел можно выбрать n чисел, сумма которых делится на n. Задача А широко известна и решается с помощью принципа Дирихле («если (n + 1) кроликов требуется рассадить по n клеткам, то хотя бы в одной клетке будет не менее двух кроликов»). А именно, надо рассмотреть числа $S_{0} = 0, S_{1} = a_{1}, S_{2} = a_{1} + a_{2}, S_{3} = a_{1} + a_{2} + a_{3}$, …, $S_{n} = a_{1} +^{…} + a_{n}$. Роль «клеток», по которым нужно рассадить этих «кроликов», играют остатки от деления числа на n. По принципу Дирихле, какие-то два из «кроликов» попадают в одну «клетку», т.е. дают одинаковый остаток от деления на n. Поэтому их разность делится на n, а это и есть то, что требуется. Напротив, задача В (когда-то она была опубликована в журнале «Квант» за 1970 год под номером М45) сейчас незаслуженно забыта. А между тем тут имеется не только замечательный математический факт, но и ряд красивых идей вокруг ее решения. Правда, как будет видно дальше, некоторые из них ведут к доказательству, другие нет. Тем не менее, полезны и те, и другие: если некоторые из них недостаточны для решения этой задачи – пригодятся в другой раз. Ниже будет обсуждаться именно задача В. Но предварительно рассмотрим еще пару задач аналогичного типа.

1. Еще две задачи

Задача C. Даны N – 1 натуральных чисел $a_{1},^{…}, a_{N} -_{1}$. Все они больше нуля и меньше N. Известно, что если выбрано любое k, 0 < k < N, и любые k чисел из этого набора, то их сумма не делится на N. Докажите, что все числа в наборе равны между собой. Задача D. Дано 100 чисел, каждое из которых больше 0 и меньше 94. Докажите, что из них можно выбрать несколько чисел, сумма которых при делении на 101 дает остаток 95. Решение задачи C. Предположим, что $a_{1} \ne a_{2}$. Рассмотрим суммы $S_{0} = a_{1}, S_{1} = a_{2}, S_{2} = a_{1} + a_{2}, S_{3} = a_{1} + a_{2} + a_{3},...$

…, $S_{N} -_{1} = a_{1} + a_{2} +$ … $+ a_{N} -_{1}$. (Первые две суммы равны первым двум членам, остальные – суммы от первого до соответствующего). По предположению, ни одна из этих сумм не дает остаток 0 при делении на N. Следовательно, две из них дают одинаковый остаток, причем это не первая и вторая. Но тогда разность двух соответствующих сумм делится на N, а это противоречит условию. Решение задачи D. Сразу признаемся, что мы ограничились числом 101, отчасти чтобы облегчить формулировку, а отчасти – чтобы немного «замутить воду» и слегка прикрыть идею. На самом же деле факт верен в достаточно общей ситуации. А именно, заменим число 101 на любое простое p, а число 95 – на любое число между нулем и p и докажем, что из (p – 1) чисел, дающих ненулевой остаток от деления на p, можно составить сумму, которая дает любой наперед заданный ненулевой остаток при делении на p. Упорядочим данные числа произвольным образом. Выберем любое $k, 0 \le k \le ( p - 1 )$, и возьмем первые k наших чисел. Составим из них всевозможные суммы (одно число или ни одного – тоже сумма; сумма пустого множества чисел предполагается равной 0) и запишем все различные получившиеся остатки от деления этих сумм на p. В частности, на первом шаге (если k = 0) есть единственная сумма, и она равна 0. При произвольном k получились некоторые числа $M_{1}$, … $, M_{n}$. Если среди них уже есть все возможные остатки, то доказывать нечего. Пусть это не так. Добавим к уже выбранным (k + 1)-е число (пусть оно равно r) и опять выпишем все суммы и все остатки. В результате получатся, во-первых, числа $M_{1}$, … $, M_{n}$ (ведь последнее число можно и не брать), а во-вторых, остатки от деления чисел $M_{1} + r$, … $, M_{n} + r$ на p. Теперь мы утверждаем, что во второй группе есть хотя бы одно число, не встречающееся в первой. В самом деле, допустим противное. Тогда получается, что если остаток N совпадает с одним из $M_{i}$, то и остаток N + r также совпадает с каким-то другим числом из множества ${ M_{i} }$. Но тогда также и остаток N + 2r = (N + r) + r также совпадает с какимто другим числом из множества ${ M_{i} }$, то же верно для N + + 3r = (N + 2r) + r, и так далее. Отсюда легко следует, что среди ${ M_{i} }$ уже встречаются все возможные остатки от деления на p, а мы предположили, что это не так. Таким образом, до тех пор, пока выписаны не все остатки, число различных чисел увеличивается на каждом шаге. Поскольку число шагов равно p, то не позднее чем на последнем шаге число разных остатков будет не меньше чем p, что и требуется. Поскольку нулевая сумма возникла на первом шаге (там, где чисел не было вовсе), то нет гарантии, что можно получить сумму с остатком 0. И действительно, если взять все числа равными между собой, то остаток 0 не получается (и это, согласно задаче С, единственный случай, когда этот остаток не получается). Все остальные суммы получаются так или иначе.

2. Задача В. Составные числа

Вернемся теперь к задаче В. Для удобства обозначим ее утверждение как BC ( n ) («выбор суммы»); таким образом, запись BC ( 21 ) есть сокращение утверждения «верно, что из любых 41 целых чисел можно выбрать 21, сумма которых делится на 21».

46

КВАНТ 2010/№2

Заметим, прежде всего, что оценку нельзя улучшить. В самом деле, если взять только 2p – 2 числа, то легко строится контрпример: достаточно взять p – 1 нулей и p – 1 единиц. Можно также нули и единицы заменить другими числами (если n простое – любыми двумя различными, случай составного n мы предоставляем разобрать читателям). Для краткости ниже мы будем называть «набором» совокупность данных нам (2p – 1) чисел, а «группой» – его подмножество из нескольких чисел, сумма которых делится на p. Требуется доказать, что существует группа из p элементов. Полное решение задачи (иначе говоря, утверждение BC ( n ) для любого n) мы приведем в конце статьи, начнем же с доказательства несложного утверждения: если BC ( p ) и BC ( q ), то BC ( pq ). Доказательство. Пусть n = pq, и дано 2n – 1 чисел ${ a_{k} }$; согласно BC ( p ), из них можно выбрать группу из p чисел, сумма которых делится на p. Отложим эту группу в сторону и рассмотрим оставшиеся числа. Поскольку остались неиспользованными более чем (2p – 1) чисел, из них можно выбрать еще одну группу, сумма которых также делится на p. Действуя так и дальше, мы получим много групп по p чисел, сумма каждой из которых делится на p; легко убедиться, что можно получить (2q – 1) групп. Пусть $S_{1} = p \cdot r_{1}, S_{2} = p \cdot r_{2}$, … $S_{2} q_{-} 1 = p \cdot r_{2} q_{-} 1$ – их суммы. Поскольку ${ r_{k} }$ – целые числа, из них, согласно BC ( q ), можно выбрать q чисел, сумма которых делится на q. Тогда и сумма соответствующих ${ S_{k} }$ делится на pq, причем в этой сумме ровно столько чисел ${ a_{k} }$, сколько требуется. Существенно заметить, что в этом доказательстве неважно, будут ли числа p и q взаимно просты или нет. Поэтому достаточно доказать BC ( n ) для случая, когда n = p – простое число. Только этим случаем мы и будем заниматься в дальнейшем. Докажем теперь утверждение BC ( p ) для некоторых значений p. Заметим, что хотя мы будем излагать доказательство для конкретного числа, однако факты будут верны для разных чисел. Поэтому читателю рекомендуется всякий раз прикидывать: проходит ли данное рассуждение только для данного p или его можно обобщить.

3. Доказательство для p = 7

3.1. Повышение кратности нуля. Если среди данных чисел встречаются все 7 возможных остатков, то доказывать нечего, так как 0 + 1 + 2 + … + 6 делится на 7. Поэтому можно считать, что среди наших 13 чисел встречается не более 6 разных остатков. Но тогда какой-то из них встречается не менее трех раз. Количество раз, которое тот или иной остаток встречается в нашем наборе, мы назовем его кратностью. Будем считать, что кратность три (или более) имеет остаток 0. (В п. 3.3 мы покажем, как общий случай свести к этому). Если кратность нуля не меньше 7, то доказывать опятьтаки нечего. В противном случае есть не менее 7 ненулевых остатков, и, согласно задаче А, из них можно выбрать несколько (скажем, k), сумма которых делится на 7. Правда, нет оснований думать, что k = 7. Пусть k < 7; рассмотрим два случая. а) Если k > 3, то мы можем взять эти числа и добавить к ним несколько нулей (от одного до трех); получится группа из 7 чисел, и утверждение доказано. б) Пусть теперь $k \le 3$. Здесь надо поступить до-другому. Заменим данный набор новым. В нем k чисел, сумма которых

равна нулю, все заменены нулями, как в таблице:

Исходный набор

0 0 0 2 2 3 1 …

Измененный набор

0 0 0 0 0 0 1 …

(Поскольку 2 + 2 + 3 делится на 7, мы заменили эти числа нулями, а остальные оставили без изменения.) Допустим, что для нового набора утверждение задачи проверено: в нем есть группа из 7 чисел, сумма которых делится на 7. Тогда то же верно и для старого набора. В самом деле, пусть в этой группе есть несколько нулей (скажем, r нулей, $r \ge 0 ).$ Если $r \le 3$, то мы берем те же числа из старого набора (ведь там есть три нуля); если же r > 3, то мы можем взять вместо трех нулей три числа старого набора, замененных нулями (сумма от этого не изменится), а прочие числа – те же, что в новом наборе. Итак, мы свели дело к новому набору, где нулей больше, чем было (назовем это так: «прием повышения кратности нуля»). Дальше уже понятно: либо у нас уже набралось 7 нулей, либо можно повторить то же рассуждение. Мы либо получим нужный набор сразу, либо опять увеличим число нулей, и так далее. Впрочем, для семи ясно, что дальше второго шага двигаться не придется. Можно ли применить такое же рассуждение для произвольного p? Ответ понятен: можно, но только в том случае, если нулей достаточно много: не менее чем (p – 1)/2. Для больших p мы, конечно, на это рассчитывать не можем, так что придется искать другие пути. Тем не менее, «прием повышения кратности» нам пригодится и дальше; только там одного его недостаточно. Пока же закончим доказательство для случая p = 7. 3.2. Индукция? Очевидно, приведенное в п. 3.1 рассуждение естественнее было бы строить методом индукции. Что же принять за ее параметр? Удобнее всего считать n (параметр индукции) равным (p + 1 – k), где k – кратность нуля (или того остатка, который встречается чаще всего): «если $n \le 1$, то один из остатков встречается не менее p раз, и утверждение очевидно; поэтому если удалось доказать, что наивысшую кратность можно увеличить (как мы делали в п. 3.1), то все доказано». Тем не менее применять индукцию нам неудобно, и вот почему. Для произвольного p индукция, к сожалению, не проходит: если бы удалось доказать, что наивысшую кратность можно увеличить, все было бы в порядке, но доказать этого мы не можем. А в случае p = 7 применение индукции вполне корректно, но… было бы «стрельбой из пушек по воробьям»: какая же индукция, если все заканчивается максимум за два шага? 3.3. Сведение общего случая к частному: транзитивность. Наше рассуждение из п. 3.1. предполагало, что наивысшую кратность имеет остаток 0. Пусть теперь чаще всего встречается, например, остаток 2. Тогда вычтем 2 из всех 13-ти данных чисел; теперь чаще всего встречается 0. При этом смысл нашей задачи не изменился: если какая-то группа из 7 чисел имела сумму, делящуюся на 7, то послевычитания двоек из суммы вычтено 14, т.е. она по-прежнему делится на 7. Таким образом, предположение, что наивысшую кратность имеет именно такой-то остаток (нам было удобно считать, что это – остаток 0), никак не нарушает общности рассуждения: вычитая из всех данных чисел одно и то же, мы