Квант 2010, №5 · Страницы

1

СЕНТЯБРЬ

ОКТЯБРЬ

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ

2010

©

Ю

№5

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

ЖУРНАЛ

ИЗДАЕТСЯ С ЯНВАРЯ 1970 ГОДА

В номере:

2 8 16

Учредитель — Российская академия наук Издатель – ООО НПП ОО «Бюро Квантум»

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР

В.В.Козлов

ПЕРВЫЙ ЗАМЕСТИТЕЛЬ ГЛАВНОГО РЕДАКТОРА

С.С.Кротов

7

НАШИ НАБЛЮДЕНИЯ «Небесные врата»

24 25

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» Задачи М2191–М2198, Ф2198–Ф2204 Решения задач М2169–М2175, Ф2175, Ф2176, Ф2182–Ф2188

32

Цвет

КАЛЕЙДОСКОП «КВАНТА»

К М Ш

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ

А.Я.Белов, Ю.М.Брук, А.А.Варламов, А.Н.Виленкин, В.И.Голубев, С.А.Гордюнин, Н.П.Долбилин (заместитель главного редактора), В.Н.Дубровский, А.А.Егоров, А.В.Жуков, А.Р.Зильберман, П.А.Кожевников, С.П.Коновалов, А.А.Леонович, Ю.П.Лысов, В.В.Произволов, Н.Х.Розов, А.Б.Сосинский, А.Л.Стасенко, В.Г.Сурдин, В.М.Тихомиров, В.А.Тихомирова, В.М.Уроев, А.И.Черноуцан (заместитель главного

34 35 36

Задачи Конкурс имени А.П.Савина «Математика 6–8» Как всегда, на высоте! Г.Филипповский

40

42

ШКОЛА В «КВАНТЕ» О работе, точке приложения силы и точильном круге. В.Птушенко Увеличительная линейка. В.Дроздов

43

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ О теплопередаче и не только. А.Красночуб

47

ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА Два этюда о динамике. Е.Соколов редактора)

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ

А.В.Анджанс, М.И.Башмаков, В.И.Берник, В.Г.Болтянский, А.А.Боровой, Н.Н.Константинов, Г.Л.Коткин, С.П.Новиков, Л.Д.Фаддеев

57 59

ОЛИМПИАДЫ Заключительный этап XXXVI Всероссийской олимпиады школьников по математике Заключительный этап XLIV Всероссийской олимпиады школьников по физике XIV Международный турнир «Компьютерная физика» Московская студенческая олимпиада по физике 2010 года

60

Ответы, указания, решения

50

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 1970 ГОДА

53

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР

И.К.Кикоин

ПЕРВЫЙ ЗАМЕСТИТЕЛЬ ГЛАВНОГО РЕДАКТОРА

Инверсия в цилиндрических зеркалах метро. В.Арнольд Темная энергия во Вселенной. В.Рубаков Теоремы софиста Горгия и современная математика. Д.Фон-Дер-Флаасс

А.Н.Колмогоров

Л.А.Арцимович, М.И.Башмаков, В.Г.Болтянский, И.Н.Бронштейн, Н.Б.Васильев, И.Ф.Гинзбург, В.Г.Зубов, П.Л.Капица, В.А.Кириллин, Г.И.Косоуров, В.А.Лешковцев, В.П.Лишевский, А.И. Маркушевич, М.Д.Миллионщиков, Н.А.Патрикеева, Н.Х.Розов, А.П.Савин, И.Ш.Слободецкий, М.Л.Смолянский, Я.А.Смородинский, В.А.Фабрикант, Я.Е.Шнайдер

Товарный знак «Журнал «Квант» является собственностью ООО НПП ОО «Бюро Квантум» © 2010, РАН, журнал «Квант»

Информация (31, 52) «Квант» улыбается (35)

НА ОБЛОЖКЕ

I II III IV

Иллюстрация к статье В.Рубакова Коллекция головоломок Шахматная страничка Прогулки с физикой

Этот номер журнала «Квант» вышел при финансовой поддержке компании The McGraw-Hill Companies

5

ИНВЕРСИЯ

В

ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ

ЗЕРКАЛАХ

МЕТРО

R радиуса инвертирующей окружности (так что специальная окружность будет пересекать инвертирующую жирную окружность в точках D и E под прямыми углами). По теореме о секущей $OA^{∗} A$ специальной окружности c мы находим $OA^{∗} \cdot OA = OD^{2} = R^{2}$.

Рис.10. Инверсия переводит окружность c в окружность с*, а окружность C в прямую С*

Рис.11. Инверсия окружности C, проходящей через центр O инвертирующей (жирной) окружности

Для случая A = D мы находим $OB \cdot OB^{∗} = R^{2}$. Это доказывает совпадение образа окружности C при инверсии с прямой $C^{∗}$ (соединяющей обе точки пересечения окружности C с инвертирующей окружностью). Случай, когда окружность C слишком мала, чтобы пересечь инвертирующую окружность, сводится к разобранному случаю растяжением (гомотетией с центром O). Когда окружность C подвергается такой гомотетии, растягиваясь в $\alpha$ раз, ее образ при инверсии тоже подвергается гомотетии с центром O, а именно сжатию в a раз. Поэтому сжатый образ – прямая, а значит, и до сжатия образ был прямой (только не пересекающей инвертирующую окружность). Утверждение теоремы об образе окружности c, не проходящей через центр инверсии, особенно легко доказать в том случае, когда эта окружность c не содержит в ограниченном ею круге центр инверсии O (рис.12).

Рис.12. Инверсия окружности c, не окружающей центр инверсии O

В этом случае к окружности c можно провести из точки O две касательные. Их длины одинаковы: OD = = OE. Растягивая (или сжимая) плоскость гомотетией с центром O, мы можем превратить окружность c в гомотетичную специальную окружность, для которой длины касательных OD = OE = R совпадают с длиной

Это тождество означает, что точки A и $A^{∗}$ специальной окружности c переходят при нашей инверсии друг в друга, так что образ специальной окружности совпадает с ней самой. Возвращаясь к исходной окружности сжатием специальной окружности, мы видим, что образ этой сжатой (исходной) окружности при инверсии получается из специальной окружности гомотетичным растяжением. Значит, этот образ $c^{∗}$ – тоже окружность. В случае когда окружность c окружает центр O, теорема тоже верна. Но я не знаю столь простого доказательства. Замечание. Специальная окружность ортогональна $инвертирующей.^{4}$ При инверсии каждая из них переходит в себя. Поэтому угол между ними сохраняется при инверсии. Оказывается, преобразование инвертирования сохраняет и углы между любыми двумя кривыми (с точностью до знака). Это видно, например, из рисунка 13, где окружность C, проходящая через центр инверсии O, пересекает инвертирующую окружность в точке D (и переходит при инверсии в прямую DE).

Рис.13. Сохранение угла (с инвертирующей окружностью) при инверсии

Нормали направлений OD (к инвертирующей окружности) и OB (к инверсированной кривой $C^{∗} )$ в точке пересечения D образуют угол $\alpha = \angle$ DOB. Касательные к инвертируемой окружности в точках O и D образуют равнобедренный треугольник, поэтому углы DOM и ODM равны $\pi 2 - \alpha$. Касательная DB к инвертирующей окружности в точке D проходит через конец B диаметра OB инвертируемой окружности C, так как угол BDO (между касательной и радиусом инвертирующей окружности) прямой. Следовательно, угол BDN (между касательными к инвертирующей и инвертируемой окружностями в точке их пересечения D) – такой же, как угол DOB $= \alpha$

4 Другими словами, пересекается с ней под прямым углом. Говорят, что кривые пересекаются в данной точке под углом $\alpha$, если касательные к ним в этой точке пересекаются под углом $\alpha$. (Прим. ред.)

7

НАШИ НАБЛЮДЕНИЯ

«НЕБЕСНЫЕ ВРАТА»

«Небесные врата» (Cloud Gate) – так называется скульптура, установленная в Чикаго, в центре парка Миллениум. Жители города называют скульптуру «Боб» или «Капля» – и правда, на каплю она похожа

больше всего. Эллипсоидальная «Капля» изготовлена из пластин нержавеющей стали и отполирована до зеркальной гладкости. Она лежит на арках четырехметровой высоты, представляющих собой своеобразные ворота. Автор «Небесных врат» – британский скульптор Аниш Капур. По его словам, он хотел соединить в своем произведении небо и горизонт Чикаго, «чтобы кто-то видел в моей скульптуре отражение плавающих облаков, а кто-то другой – отражение в ней самых высоких зданий в мире. А кроме того, поскольку скульптура сделана в форме ворот, каждый может войти в большое внутреннее углубление-камеру и наблюдать в нем свое зеркальное отражение примерно так же, как он наблюдает зеркально отраженный город в наружной части скульптуры». Помещаем фотографии скульптуры «Небесные врата», сделанные нашим постоянным автором Г.Гальпериным. Нам кажется, что они прекрасно дополняют статью В.Арнольда об отражениях в цилиндрических зеркалах.

8

КВАНТ 2010/№5

На юбилейный для «Кванта» год выпало знаменательное событие и у наших друзей: в октябре выходит 1000-й (тысячный!) номер замечательного научно-популярного журнала «Знание – сила». Взаимные поздравления принято сопровождать подарками, и мы решили обменяться опубликованными материалами, адаптируя их каждый для своей аудитории. Предлагаем вашему вниманию вариант статьи академика Валерия Анатольевича Рубакова, переработанный для журнала «Квант».

Темная энергия во Вселенной

В.РУБАКОВ

ФИЗИКИ ЛЮБЯТ КРАСНОЕ СЛОВЦО. В ИХ СРЕ- де с некоторых пор принято давать «ненаучные» названия вновь открытым сущностям. Взять хотя бы «странный» или «очарованный» кварки. Вот и темная энергия – не синоним темных сил, а термин, придуманный для обозначения необычного свойства нашей Вселенной. Открытие темной энергии было сделано астрономическими методами и стало для большинства физиков полной неожиданностью. Темная энергия – пожалуй, главная загадка современного естествознания. Вполне вероятно, что ее разгадка станет важнейшим событием физики XXI века, сравнимым по масштабу с крупнейшими открытиями недалекого прошлого, такими как открытие феномена расширения Вселенной. Не исключено даже, что произойдет настолько радикальное развитие теории, что оно встанет в один ряд с созданием общей теории относительности, открытием кривизны пространства-времени и связи этой кривизны с гравитационными силами. Мы сейчас находимся в начале пути, и разговор о темной энергии – это возможность заглянуть в «лабораторию» физиков в то время, когда их работа идет полным ходом.

Немного истории

«Маловато будет»

То, что в нашей Вселенной «что-то не так», стало ясно космологам уже к началу 90-х годов прошлого века. Чтобы пояснить, о чем идет речь, начнем с того, что напомним о расширении нашей Вселенной. Удаленные друг от друга галактики разбегаются, причем чем дальше находится галактика, тем быстрее она удаляется от нас. Количественно темп расширения характеризуется параметром (постоянной) Хаббла – коэффициентом пропорциональности между скоростью удаления и расстоянием. Значение параметра Хаббла в современной Вселенной довольно хорошо

измерено: темп расширения Вселенной сегодня таков, что галактики, удаленные от Земли на расстояние 1 миллиард световых лет, убегают от нас со скоростью 22000 километров в секунду. Параметр Хаббла зависит от времени; так, в далеком прошлом Вселенная расширялась гораздо быстрее, чем сейчас, и, соответственно, параметр Хаббла был гораздо больше.

Рис. 1. Расширяющаяся Вселенная. Более далекие галактики удаляются от нас быстрее и выглядят более красными из-за эффекта Доплера. Измерения расстояний до удаленных галактик совместно с измерениями их скоростей позволяют определить значение параметра Хаббла, характеризующего темп расширения Вселенной

В современной теории гравитации – общей теории относительности – параметр Хаббла однозначно связан с двумя другими характеристиками Вселенной: вопервых, с суммарной плотностью энергии всех форм материи, вакуума и т.д., а во-вторых, с кривизной трехмерного пространства. Наше трехмерное пространство, вообще говоря, не обязано быть евклидовым; его геометрия может, например, быть аналогична геометрии сферы; сумма углов треугольника может не

9

ТЕМНАЯ

ЭНЕРГИЯ

равняться $180^\circ$. В таком случае «упругость» пространства, с точки зрения расширения Вселенной, играет ту же роль, что и плотность энергии. Итак, в рамках общей теории относительности параметр Хаббла определяет сумму полной плотности энергии во Вселенной и вклада, связанного с возможной неевклидовостью трехмерного пространства. К началу 90-х годов с неплохой точностью была оценена и плотность энергии «нормальной» материи в современной Вселенной. Нормальная она в том смысле, что испытывает такие же гравитационные взаимодействия, что и обычное вещество. Так, для нормальной материи справедлив закон всемирного тяготения Ньютона. Дело, впрочем, осложняется тем, что большая часть нормальной материи это отнюдь не известное нам вещество (атомы и ионы), а так называемая темная материя. Темная материя, по-видимому, состоит из новых, не открытых пока в земных экспериментах элементарных частиц. В отличие от многих известных частиц, они не несут электрического заряда, а потому не излучают свет; состоящая из них материя действительно темная. Сходство с обычным веществом состоит в том, что силы гравитационного притяжения заставляют темную материю собираться в сгустки – галактики и скопления галактик. Она и сама притягивает вещество и свет – именно по эффекту гравитационного притяжения темная энергия и была обнаружена. Более того, измерения гравитационных сил в скоплениях галактик позволили определить массу темной материи в этих скоплениях, а в конечном итоге – в целом во Вселенной. Таким образом и была найдена полная плотность энергии нормальной материи (для нее справедлива знаменитая формула $E = mc^{2} ).$

Рис. 2. Распределение массы в скоплении галактик. Яркие пятна – галактики. Масса же сосредоточена в основном в темной материи, распределенной по скоплению более равномерно (это распределение условно показано голубым цветом)

ВО

ВСЕЛЕННОЙ

И что же оказалось? Выяснилось, что нормальной материи явно не хватает для объяснения измеренного темпа расширения Вселенной. Причем сильно: «недостача» составляла около 2/3 (по современным оценкам около 72%). Возможных объяснений этому факту было два: либо трехмерное пространство искривлено и недостающий вклад в параметр Хаббла связан с «упругостью» пространства, либо во Вселенной присутствует новая форма энергии, которую впоследствии и стали называть темной энергией. Еще одной трудностью старой доброй космологической модели был возраст современной Вселенной. Эта модель давала для возраста значение около 9 миллиардов лет. В то же время возраст старых звездных скоплений оценивался (и сейчас оценивается) как 13–14 миллиардов лет. Неувязочка! Нужно сказать, что с проблемой не вполне справлялась и модель с искривленным пространством, в ней возраст – около 11 миллиардов лет (в модели с темной энергией – около 14 миллиардов лет, все хорошо). Эту трудность, впрочем, всерьез воспринимали немногие, а большинство рассчитывало, что «как-нибудь рассосется».

Куда ни кинь…

С теоретической точки зрения, обе возможности – и неевклидовость пространства, и темная энергия – выглядели крайне неправдоподобными. Начнем с кривизны трехмерного пространства. В процессе расширения Вселенной пространство разглаживается, его кривизна уменьшается. Если кривизна отличается от нуля сейчас, то в прошлом она была больше, чем сегодня. Однако плотность энергии (массы) материи убывает при расширении Вселенной еще быстрее. Это означает, что в прошлом относительный вклад кривизны в параметр Хаббла был очень мал, а главным, с большим запасом, был вклад материи. Для того чтобы сегодня расширение Вселенной на 2/3 обеспечивалось кривизной, необходимо «подогнать» значение радиуса кривизны пространства в прошлом с фантастической точностью – через одну секунду после Большого взрыва он должен был быть равен одной миллиардной доле от тогдашнего размера наблюдаемой Вселенной, не больше и не меньше! Без такой подгонки кривизна сегодня была бы либо на много порядков больше, либо на много порядков меньше, чем необходимо для объяснения наблюдений. Даже если отвлечься от гипотезы о том, что недостающий вклад в современный параметр Хаббла обеспечивается именно кривизной пространства, проблема кривизны все равно остается: в любом случае необходимо, чтобы кривизна была чрезвычайно мала на ранних стадиях, иначе она была бы слишком велика сегодня. Эта проблема была одним из главных соображений, приведших к представлению об инфляционной стадии эволюции Вселенной. Согласно инфляционной теории (предложенной А.Старобинским и независимо А.Гутом и сформировавшейся благодаря работам А.Линде, А.Албрехта и П.Стейнхардта), Вселенная па самом раннем этапе своей эволюции прошла через стадию чрезвычайно быстрого, экспоненциального расшире-

10

КВАНТ 2010/№5

ния (раздувания, инфляции). По окончании этой стадии Вселенная разогрелась до очень высокой температуры, и наступила эпоха горячего Большого взрыва. Хотя инфляционная стадия длилась, скорее всего, малую долю секунды, за это время Вселенная растянулась настолько, что ее размер стал гораздо больше размера той части, которую мы видим сегодня. Для нас важно, что в результате инфляционного растяжения пространства его радиус кривизны упал практически до нулевого значения. Таким образом, инфляционная теория приводит к предсказанию о том, что пространство современной Вселенной с высочайшей степенью точности евклидово. Это, конечно, идет вразрез с гипотезой о том, что Вселенная расширяется сегодня на 2/3 благодаря кривизне. С темной энергией дело обстоит аналогичным образом, только еще хуже. Мы будем обсуждать различные гипотезы о природе темной энергии ниже, а здесь ограничимся следующим замечанием. Независимо от того, что представляет собой темная энергия, ее плотность может быть охарактеризована единственным параметром размерности энергии. Для соответствия наблюдательным данным значение этого параметра энергетического масштаба темной энергии должно быть примерно равно 0,002 электронвольт. В то же время известные фундаментальные взаимодействия – сильное, слабое, электромагнитное и гравитационное – характеризуются своими энергетическими масштабами. Наименьший из них относится к сильным (ядерным) взаимодействиям и составляет около 200 миллионов электронвольт. Получается нестыковка в 100 миллиардов раз! Хуже всего, что этой нестыковке и вообще чрезвычайно малой величине темной энергии очень трудно найти объяснение. Из-за трудностей с интерпретацией темной энергии более популярной в течение довольно долгого времени была та точка зрения, что за современный темп расширения Вселенной ответственна все же пространственная кривизна. Многие (хотя и далеко не все) физики никак не могли воспринять всерьез возможность того, что темная энергия действительно существует, и считали пространственную кривизну «меньшим из зол». Вопрос, как обычно, был решен экспериментом.

Вселенная расширяется с ускорением

Перелом наступил в 1998–1999 годах, когда две группы из США (одна под руководством А.Райсса и Б.Шмидта, а другая – С.Перлмуттера) сообщили о результатах наблюдений удаленных сверхновых типа 1а. Из этих наблюдений следовало, что наша Вселенная расширяется с ускорением. Такое свойство вполне согласуется с представлением о темной энергии, в то время как неевклидовость пространства к ускоренному расширению не приводит. Тем самым был сделан однозначный выбор в пользу темной энергии, а гипотеза о неевклидовом трехмерном пространстве была отвергнута (мы еще ненадолго вернемся к ней). Несколько слов о сверхновых типа 1а. Это – термоядерные взрывы, которыми заканчивается жизнь не-

которых типов звезд. Детальное теоретическое описание этих взрывов до сих пор отсутствует, но на основании наблюдений ближних сверхновых были установлены эмпирические закономерности, позволяющие определить их абсолютную светимость, т.е. энергию, которую они излучают в процессе довольно короткой вспышки. Иными словами, сверхновые типа 1а представляют собой «стандартные свечи»: зная абсолютную светимость и измеряя видимую яркость (поток энергии, приходящий на Землю), можно определить расстояние до каждой из них – чем больше расстояние, тем меньше видимая яркость. Одновременно можно установить и скорость удаления от нас каждой из сверхновых (используя эффект Доплера). Сверхновые – очень яркие объекты, их видно на огромных расстояниях. Иначе говоря, удаленные сверхновые, которые мы наблюдаем сейчас, взорвались давнымдавно, и поэтому скорость их убегания определялась темпом расширения Вселенной тогда, в далеком прошлом. Тем самым наблюдения сверхновых типа 1а позволяют определить темп расширения на сравнительно ранних этапах эволюции Вселенной (7 миллиардов лет назад и даже несколько раньше) и проследить зависимость этого темпа от времени. Именно это и дало возможность установить, что Вселенная расширяется с ускорением. Сейчас имеется еще несколько наблюдательных результатов, никак не связанных со сверхновыми и независимо свидетельствующих об ускоренном расширении Вселенной. Например, сравнительно быстрое космологическое расширение препятствует формированию вновь образующихся объектов – крупных скоплений галактик. Галактики собираются в скопления под действием гравитационных сил, которыми они притягивают друг друга. Общее растяжение пространства, наоборот, заставляет галактики удаляться друг от друга и тем самым мешает им скучиваться. Ясно, что второй эффект тем сильнее, чем выше темп растяжения. При известной современной скорости расширения (параметре Хаббла) темп расширения в прошлом был меньше в ускоряющейся Вселенной по сравнению со Вселенной, расширяющейся с замедлением, и скоплений должно было образовываться больше. Подсчет количества крупных скоплений на разных расстояниях от нас (и, стало быть, образовавшихся в разное время) показывает, что скопления формировались действительно весьма охотно, в полном согласии с представлением об ускоренном расширении Вселенной и в противоречии с моделью замедляющейся Вселенной без темной энергии, но с пространственной кривизной. Упомянем еще об изучении особенностей в распределении галактик в пространстве – так называемых барионных акустических осцилляций.

Пространство – евклидово

Окончательное доказательство того, что неевклидовость трехмерного пространства, если она и есть, не играет сколько-нибудь существенной роли в расширении Вселенной, было получено путем измерения свойств реликтового излучения. Реликтовое излучение, прони-

11

ТЕМНАЯ

ЭНЕРГИЯ

зывающее сегодня нашу Вселенную, было испущено на довольно ранней стадии космологической эволюции. Дело в том, что Вселенная в прошлом была гораздо более плотной и горячей, чем сейчас. В процессе расширения она стала более разреженной и остыла; современная температура реликтового излучения составляет 2,726 кельвина. На ранних стадиях вещество в горячей Вселенной было в состоянии плазмы – протоны сами по себе, электроны сами по себе. Такая среда непрозрачна для электромагнитного излучения, фотоны все время рассеиваются, поглощаются, излучаются электронами. Когда Вселенная остыла до 3000 градусов, электроны и протоны довольно быстро объединились в атомы водорода, и вещество стало прозрачным для фотонов. Эпоха перехода вещества из плазменного в газообразное состояние и является эпохой последнего излучения реликтовых фотонов. В это время возраст Вселенной составлял 370 тысяч лет (современный возраст – 13,7 миллиардов лет). С тех пор фотоны распространяются по Вселенной свободно, их длина волны увеличивается из-за растяжения пространства, и сегодня эти реликтовые фотоны представляют собой радиоволны.

ВО

ВСЕЛЕННОЙ

Рис. 4. Баланс энергий в современной Вселенной

разные температуры. Иными словами, температура фотонов зависит от направления на небесной сфере, с которого они к нам приходят. Эффект слабый: относительная разница температур в разных направлениях составляет около 1/10000. Тем не менее, этот эффект был надежно измерен. Более того, на рубеже XX–XXI веков впервые был измерен угол, под которым видна «стандартная линейка». Ясно, что этот угол зависит от геометрии пространства: если сумма углов треугольника превышает $180^\circ$, то и этот угол больше. В результате было выяснено, что наше трехмерное пространство с хорошей степенью точности евклидово. Последующие измерения подтвердили этот вывод. С точки зрения расширения Вселенной, существующие результаты означают, что кривизна пространства вносит пренебрежимо малый вклад (менее 1%) в параметр Хаббла. Темп расширения Вселенной на 70% обусловлен сегодня именно темной материей.

Больше не знают о ней ничего

Рис. 3. При температуре 3000 градусов вещество во Вселенной перешло из плазменного состояния в газообразное и стало прозрачным для фотонов. Рекомбинация произошла тогда, когда возраст Вселенной составлял 370 тысяч лет. Желтым цветом схематически изображены фотоны, по горизонтальной оси отложено время

В эпоху излучения реликтовых фотонов Вселенная не была в точности однородной. Имевшиеся тогда неоднородности были зародышами структур – первых звезд, галактик, скоплений галактик. В то время неоднородности плазмы, как обычно для плотных сред, представляли собой звуковые волны. Важно, что в ту эпоху во Вселенной имелся характерный масштаб расстояний, который проявляется сейчас в свойствах излученных тогда реликтовых фотонов. Звуковые волны с большой длиной и, соответственно, малым периодом еще не успели развиться к эпохе излучения реликтовых фотонов, а волны с «правильной» длиной как раз успели попасть в фазу максимального сжатия. Эта правильная длина волны представляет собой «стандартную линейку» эпохи излучения реликтовых фотонов; ее размер надежно вычисляется в теории горячего Большого взрыва. Неоднородность Вселенной эпохи последнего излучения реликтовых фотонов проявляется в том, что фотоны, излученные в разных местах, имеют немного

Какие же свойства темной энергии известны сегодня? Таких свойств немного, всего три. Но то, что известно, может справедливо вызвать изумление. Первое – это то, что, в отличие от нормальной материи, темная энергия не скучивается, не собирается в объекты типа галактик или их скоплений. Насколько сейчас известно, темная энергия «разлита» по Вселенной равномерно. Это утверждение, как и любое, основанное на наблюдениях или экспериментах, справедливо с определенной точностью. Нельзя полностью исключить того, что где-то во Вселенной плотность темной энергии немного больше, а где-то немного меньше средней плотности, где-то темная энергия чутьчуть более густая, а где-то чуть-чуть более разреженная. Однако из наблюдений следует, что такие отклонения от однородности, если они и есть, должны быть весьма малы по величине. О втором свойстве мы уже говорили: темная энергия заставляет Вселенную расширяться с ускорением. Этим темная энергия тоже разительно отличается от нормальной материи. Для нормальной материи справедливо обычное представление о том, как «работают» гравитационные силы: частички вещества, образовавшиеся, скажем, в результате взрыва и разлетающиеся от центра, постепенно замедляют свой разлет из-за гравитационного притяжения к центру. Если бы не темная энергия, так же обстояло бы дело и во Вселенной:

12

КВАНТ 2010/№5

скорость разбегания галактик уменьшалась бы с течением времени. Темная энергия приводит к обратному эффекту – галактики разбегаются все быстрее и быстрее. Два описанных свойства говорят о том, что темная энергия в определенном смысле испытывает антигравитацию, для нее имеется гравитационное отталкивание вместо гравитационного притяжения. Из-за этого расширение Вселенной ускоряется, из-за этого же темная энергия распределена в пространстве равномерно. Области с повышенной плотностью нормальной материи за счет гравитационного притяжения собирают вещество из окружающего пространства, сами эти области сжимаются и образуют плотные сгустки; именно так сформировались первые звезды, а потом галактики и скопления галактик. Для антигравитирующей субстанции все наоборот: области с повышенной плотностью (если они есть) растягиваются из-за гравитационного отталкивания, неоднородности разглаживаются, и никаких сгустков не образуется. Третье свойство темной энергии состоит в том, что ее плотность не зависит от времени. Тоже удивительно: Вселенная расширяется, объем растет, а плотность энергии остается постоянной. Кажется, что здесь есть противоречие с законом сохранения энергии. За последние 8 миллиардов лет Вселенная расширилась вдвое, ее объем увеличился в 8 раз, во столько же раз увеличилась энергия в этом объеме. Несохранение энергии налицо. Разумеется, это относится именно к темной энергии: количество частиц нормальной материи в расширяющемся объеме не изменилось, их полная энергия покоя тоже не изменилась, а плотность энергии покоя упала в 8 раз. На самом деле рост энергии при расширении Вселенной не противоречит законам физики. Темная энергия устроена так, что расширяющееся пространство совершает над ней работу, что и приводит к увеличению энергии этой субстанции в расширяющемся объеме пространства. Правда, расширение пространства само обусловлено темной энергией, так что ситуация напоминает барона Мюнхгаузена, вытаскивающего себя за волосы из болота. И тем не менее, противоречия нет: в космологическом контексте невозможно ввести понятие полной энергии, включающей в себя энергию самого гравитационного поля. Так что и закона сохранения энергии, запрещающего рост или убывание энергии какой-нибудь формы материи, тоже нет. Утверждение о постоянстве плотности темной энергии также основано на астрономических наблюдениях, а потому тоже справедливо с определенной точностью. Чтобы охарактеризовать эту точность, скажем, что за последние 8 миллиардов лет плотность темной энергии изменилась не более чем в 1,4 раза, так что энергия в расширяющемся объеме увеличилась в 6–11 раз. Это мы сегодня можем сказать с уверенностью. Отметим, что второе и третье свойства темной энергии – способность приводить к ускоренному расширению Вселенной и ее постоянство во времени (или, более общо, очень медленная зависимость от времени) – на самом деле тесно связаны между собой. Такая связь

следует из уравнений общей теории относительности. В рамках этой теории ускоренное расширение Вселенной происходит именно тогда, когда плотность энергии в ней или совсем не меняется, или меняется весьма медленно. Таким образом, антигравитация темной энергии и ее сложные отношения с законом сохранения энергии – две стороны одной медали. Этим надежные сведения о темной энергии, по существу, исчерпываются. Дальше начинается область гипотез. Прежде чем говорить о них, обсудим вкратце один общий вопрос.

Почему сейчас?

Если в современной Вселенной темная энергия дает наибольший вклад в полную плотность энергии, то в прошлом это было далеко не так. Скажем, 8 миллиардов лет назад нормальная материя была в 8 раз более плотной, а плотность темной энергии была такой же (или почти такой же), как сейчас. Отсюда несложно заключить, что тогда соотношение между энергией покоя нормальной материи и темной энергией было в пользу первой: темная энергия составляла около 15%, а не 72%, как сегодня. Из-за того что в то время главную роль играла нормальная материя, расширение Вселенной происходило с замедлением. Еще раньше влияние темной энергии на расширение было совсем слабым. Замечательно, что такая картина подтверждается данными по сверхновым типа 1а. Наиболее удаленные из них взорвались более 8 миллиардов лет назад, и измерения их скоростей показывают, что расширение Вселенной тогда действительно замедлялось. Результаты других космологических наблюдений также говорят о том, что на ранних этапах эволюции Вселенной темная энергия была несущественна. Об одной серии таких результатов стоит упомянуть. В период от одной секунды до нескольких минут после Большого взрыва, когда температура во Вселенной менялась от 10 миллиардов до сотен миллионов градусов, в космической плазме активно шли термоядерные реакции. В результате образовались дейтерий, изотопы гелия и лития. В некоторых местах во Вселенной этот первичный состав вещества практически не изменился, и его удалось измерить. С другой стороны, его можно надежно рассчитать, при этом результат, разумеется, зависит от темпа расширения Вселенной в ту далекую эпоху. Так вот, результаты расчета согласуются с наблюдениями, если считать, что темная энергия не играла тогда никакой роли. Точнее, вклад темной энергии (как и других новых, гипотетических форм энергии) в полную плотность энергии в период термоядерных реакций ограничен на уровне около 15%. Точность вроде бы не очень высока, но не надо забывать, что речь идет о первых секундах после Большого взрыва! Итак, влияние темной энергии и вызванное им ускорение расширения Вселенной – явления по космологическим меркам совсем недавние: ускорение началось всего 6,5 миллиардов лет назад. С другой стороны, поскольку плотность нормальной материи убывает со временем, а плотность темной энергии нет, темная

13

ТЕМНАЯ

ЭНЕРГИЯ

Рис. 5. Известные этапы эволюции Вселенной: слева указана температура, справа – возраст Вселенной

энергия вскоре (опять-таки по космологическим меркам) будет полностью доминировать. Значит, современный этап космологической эволюции – это переходный период, когда темная энергия уже играет заметную роль, но расширение Вселенной определяется еще не только ею, но и нормальной материей тоже. Является ли эта выделенность нашего времени случайным совпадением или за ней стоит какое-то глубокое свойство нашей Вселенной? Этот вопрос – почему сейчас? – остается пока открытым.

Кандидаты на роль носителя темной энергии

Энергия вакуума – космологическая постоянная

Если бы не было гравитации, абсолютное значение энергии не имело бы физического смысла. Во всех теориях, описывающих природу, за исключением теории гравитационных взаимодействий, смысл имеет лишь разность энергий тех или иных состояний. Так, говоря об энергии связи атома водорода, мы имеем в виду разность двух величин: суммарной энергии покоя свободных протона и электрона, с одной стороны, и энергии покоя атома, с другой. Именно эта разность энергий выделяется (передается рожденному фотону), когда электрон и протон соединяются в атом. Точно так же под энергией покоя протона мы на самом деле понимаем разность энергий состояния, в котором имеется протон, и состояния без протона – вакуума. Если бы не гравитационное взаимодействие, говорить об энергии вакуума было бы бессмысленно, ее просто не с чем было бы сравнивать. Дело обстоит совершенно иначе, если мы интересуемся именно гравитационными взаимодействиями. Энергия вакуума, как и любая другая энергия, «весит», гравитирует. Вакуум – это состояние с наинизшей энергией (поэтому, кстати, энергию от него отобрать нельзя), однако эта энергия совершенно не обязана быть равной нулю; с теоретической точки зрения, она может быть как положительной, так и отрицательной. Можно ли ее вычислить «из первых принципов» – большой вопрос. Но в любом случае энергия вакуума, если она положительна, имеет как раз те свойства, которыми должна обладать темная энергия. Действительно, вакуум везде одинаков (по крайней мере, в видимой части Вселенной). Предположение об обратном привело бы к противоречиям, например с наблю-

ВО

ВСЕЛЕННОЙ

дениями реликтового излучения: в разных вакуумах свойства космической плазмы в эпоху последнего излучения фотонов были бы сильно разными, сильно различались бы и температуры излученных фотонов. Имелись бы и другие непреодолимые противоречия с наблюдениями. Итак, вакуум везде одинаков. Одинакова и его плотность энергии. Вакуум не может быть где-то более «густым», а где-то более «разреженным», иначе это был бы не вакуум. Стало быть, как и требуется для темной энергии, энергия вакуума распределена равномерно по Вселенной. Далее, при сравнительно медленном расширении Вселенной (а именно так обстоит дело сейчас и обстояло в обозримом прошлом) вакуум остается одним и тем же. Свойства вакуума определяются физикой сверхмалых расстояний и времен, и на них медленное расширение Вселенной не отражается. Поэтому опятьтаки, как и требуется, плотность энергии вакуума не зависит от времени. Как мы уже говорили, в общей теории относительности последнее свойство автоматически означает, что энергия вакуума приводит к ускоренному расширению Вселенной. Таким образом, вакуум – это в самом деле подходящий кандидат на роль носителя темной энергии. Подчеркнем, что отсутствие зависимости плотности энергии от положения в пространстве и от времени — это точные, а не приближенные свойства вакуума, что отличает его от других кандидатов на роль темной энергии. Плотность энергии вакуума — это мировая константа (по крайней мере в той части Вселенной, которую мы наблюдаем). Почему же представление о темной энергии как энергии вакуума не удовлетворяет многих физиков? Это связано с несуразно малым значением плотности энергии вакуума, которое необходимо для согласия теории и наблюдений. В вакууме все время рождаются и умирают виртуальные частицы, в нем имеются конденсаты полей — в общем, вакуум скорее похож на сложную среду, чем на абсолютную пустоту. Это не просто домыслы: особенности вакуума находят свое проявление в свойствах элементарных частиц и их взаимодействий и в конечном итоге определяются, хотя и косвенно, из многочисленных экспериментов. Энергия вакуума в принципе должна была бы «знать» о том, как он устроен, какова его структура и каковы значения характеризующих его параметров (например, конденсатов полей). Теперь представим себе теоретика, который изучил физику элементарных частиц, но ничего не слышал о Вселенной. Попросим этого теоретика предсказать плотность энергии вакуума. Исходя из масштабов энергий, характерных для фундаментальных взаимодействий, и соответствующих масштабов длин, он сделает свою оценку — и ошибется в невообразимое число раз. Мы уже говорили об этом: энергетический масштаб фундаментальных взаимодействий — по крайней мере 200 миллионов электронвольт, а требуемый из наблюдений масштаб, соответствующий энергии вакуума (если темная энергия — это энергия вакуума) — 0,002 электронвольта.

14

КВАНТ 2010/№5

Если темная энергия – это энергия вакуума, то попытаться понять, почему она имеет столь малую величину, можно, следуя, скажем, такой логике. Представим себе, что Вселенная чрезвычайно велика, что она во много раз больше, чем наблюдаемая нами часть. Допустим далее, что в разных весьма обширных частях Вселенной могут реализовываться самые разные вакуумные состояния с самой разной плотностью энергии. Такая возможность, к слову, теоретически не исключена. Области Вселенной, где плотность энергии вакуума слишком велика по абсолютной величине, выглядят совершенно не похоже на нашу область: там, где энергия вакуума велика и положительна, пространство расширяется настолько быстро, что звезды и галактики просто не успевают образоваться; в областях с большой отрицательной энергией вакуума расширение пространства быстро сменяется сжатием, и эти области коллапсируют задолго до образования звезд. В обоих случаях космологическая эволюция несовместима с существованием наблюдателей, подобных нам. И наоборот, мы могли появиться только там, где плотность энергии вакуума очень близка к нулю, – мы там и появились. Здесь напрашивается аналогия с другим, вполне очевидным фактом: мы существуем на планете Земля, более или менее подходящей для жизни, а не в произвольном месте во Вселенной, где условий для жизни нет вовсе. Такой, как говорят, антропный взгляд па проблему энергии вакуума высказывался более 20 лет назад (в работах А.Линде и С.Вайнберга). Сейчас он популярен среди заметной части физиков-теоретиков. Другая часть воспринимает его как способ уйти от вопроса о том, какие физические причины на самом деле обуславливают столь малую наблюдаемую энергию вакуума и не является ли природа темной энергии совсем другой. Наиболее взвешенный подход, наверное, состоит в том, чтобы не исключать антропного объяснения как возможного конечного ответа, но попытаться все же найти альтернативное решение проблем энергии вакуума и темной энергии.

Легкое поле

Альтернативой вакууму как носителю темной энергии может служить какое-то новое поле, «разлитое» во Вселенной. В этом варианте энергия нового поля и является темной энергией. Новым это поле должно быть потому, что присутствие всюду во Вселенной известных полей (например, электромагнитного) слишком сильно влияло бы на поведение вещества и приводило бы к эффектам, которые давно были бы обнаружены. Кроме того, известные поля таковы, что их энергия не обладает перечисленными выше свойствами темной энергии. Гипотетическое новое поле должно характеризоваться энергетическим масштабом 0,002 электронвольта. Хотя это очень малый масштаб, с точки зрения известных взаимодействий, он не выглядит совершенно неправдоподобным. Действительно, мы уже знаем, что масштабы разных взаимодействий сильно различаются между собой. Так, упоминавшийся масштаб сильных

взаимодействий (200 миллионов электронвольт) в $10^{19}$ раз меньше масштаба гравитационных сил. Такое гигантское различие, конечно, само по себе требует объяснения, но это отдельный вопрос. В любом случае существование в природе разных энергетических масштабов – это факт, и введение нового малого масштаба непреодолимым препятствием не выглядит. Новое поле, вообще говоря, изменяется в процессе эволюции Вселенной. Изменяется и его плотность энергии. Чтобы это изменение было не слишком быстрым, кванты нового поля – новые частицы – должны иметь чрезвычайно малую массу; говорят, что это поле должно быть легким. Наконец, новое поле – это новая сила (так же, как гравитационное поле соответствует гравитационным, а электромагнитное – электрическим и магнитным силам). Легкое поле с чрезвычайно малой массой – это сила с большим радиусом действия, подобная гравитации. Чтобы не было противоречия с экспериментами по проверке общей теории относительности, взаимодействие этого поля с обычным веществом должно быть очень слабым, слабее гравитационного. Все эти свойства не выглядят для теоретика привлекательными, но с ними можно смириться. Важно, что гипотеза о новом поле хотя бы в принципе допускает экспериментальную проверку. Во-первых, в результате более точных измерений темпа расширения Вселенной на современном этапе и в прошлом может выясниться, что плотность темной энергии меняется с течением времени. Это однозначно отметет гипотезу о вакуумной природе темной энергии и, наоборот, послужит указанием на существование во Вселенной нового легкого поля. Во-вторых, в перспективе можно надеяться обнаружить неоднородность распределения темной энергии в пространстве. Это стало бы окончательным доказательством того, что темная энергия – это энергия нового поля, а не что-нибудь еще. С другой стороны, сегодня не видно способов зарегистрировать новое легкое поле в лабораторных экспериментах (на ускорителях и т.п.). Причина – чрезвычайно слабое взаимодействие этого поля с веществом. Такой пессимизм, впрочем, может носить временный характер: мы слишком мало знаем о новом поле, чтобы полностью исключить возможность его прямого экспериментального изучения в будущем. Никогда не говори «никогда». Физики обсуждают разные типы гипотетических легких полей, энергия которых могла бы выступать в качестве темной энергии. В наиболее простом, с теоретической точки зрения, варианте плотность энергии нового поля убывает со временем. Для поля такого типа употребляют термин «квинтэссенция» (иногда используют и термин «космон»). Не исключена, однако, и обратная возможность, когда плотность энергии растет со временем; поле такого типа называют «фантомом». Фантом был бы весьма экзотическим полем; ничего подобного до сих пор в природе не встречалось. Различие между квинтэссенцией и фантомом, как мы обсудим ниже, важно с точки зрения удаленного будущего Вселенной.

15

ТЕМНАЯ

ЭНЕРГИЯ

Новая гравитация

Наконец, еще одно возможное объяснение темной энергии состоит в том, что никакой темной энергии на самом деле нет. Темную энергию приходится привлекать для объяснения особенностей расширения Вселенной в том случае, если космологическая эволюция описывается общей теорией относительности. Если же эта теория неприменима на современных космологических масштабах длин и времен, то и в темной энергии нет необходимости. Разумеется, при таком взгляде на темную энергию нельзя не учитывать тот факт, что общая теория относительности хорошо проверена на меньших масштабах расстояний. Поэтому нужно создать новую теорию гравитации, которая переходила бы в общую теорию относительности на сравнительно небольших расстояниях, но иначе описывала бы эволюцию Вселенной на поздних, близких к нашей, стадиях. Это трудная задача, особенно если учесть требование самосогласованности, внутренней непротиворечивости теории. Тем не менее, такие попытки делаются, и некоторые из них выглядят довольно перспективными. Одна из возможностей состоит в том, чтобы перестать считать ньютоновскую постоянную всемирного тяготения постоянной величиной, разрешить ей меняться в пространстве и во времени, подчиняясь определенным уравнениям. К сожалению, наиболее красивые версии теории, реализующие эту возможность, отвергнуты экспериментами по проверке общей теории относительности. Если же за красотой не гнаться, то модели, объясняющие ускоренное расширение Вселенной и согласующиеся со всем, что известно про гравитацию, построить на этом пути можно. Такие модели, как правило, предсказывают отклонения от общей теории относительности, которые хотя и малы, но в перспективе могут быть экспериментально обнаружимы. Отметим еще идею о том, что наше пространство может иметь больше трех измерений, при этом дополнительные измерения на обычных расстояниях ничем себя не проявляют. В то же время на космологических расстояниях в миллиарды световых лет силовые линии гравитационного поля могут «расползаться» в дополнительные измерения, отчего гравитация не будет больше описываться законом Ньютона. Может измениться и закон расширения Вселенной. Вполне удовлетворительной теории, объясняющей таким образом ускоренное расширение Вселенной, до сих пор не построено; в предложенных к настоящему времени моделях эта идея реализована лишь отчасти. Замечательно, тем не менее, что эти модели приводят к предсказаниям, проверяемым экспериментом. Среди них – возможность изменения гравитационного закона Ньютона на малых расстояниях; малые, но обнаружимые поправки к общей теории относительности в Солнечной системе и так далее. Итак, открытые недавно особенности расширения Вселенной поставили новый вопрос: обязаны ли они энергии вакуума, энергии нового легкого поля или новой гравитации на сверхбольших расстояниях? Теоретическое изучение этих возможностей в самом разга-

ВО

ВСЕЛЕННОЙ

ре, а ответ, как обычно в физике, в конечном итоге должны дать новые эксперименты.

Темная энергия и будущее Вселенной

С открытием темной энергии сильно изменились представления о том, каким может быть отдаленное будущее нашей Вселенной. До этого открытия вопрос о будущем однозначно связывался с вопросом о кривизне трехмерного пространства. Если бы, как многие раньше считали, кривизна пространства на 2/3 определяла современный темп расширения Вселенной, а темная энергия отсутствовала, то Вселенная расширялась бы неограниченно, постепенно замедляясь. Теперь же понятно, что будущее определяется свойствами темной энергии. Поскольку мы эти свойства знаем сейчас плохо, предсказать будущее мы пока не можем. Можно только рассмотреть разные варианты. Про то, что происходит в теориях с новой гравитацией, сказать трудно, но другие сценарии возможно обсудить уже сейчас. Если темная энергия постоянна во времени, как в случае энергии вакуума, то Вселенная будет всегда испытывать ускоренное расширение. Большинство галактик в конце концов удалятся от нашей на громадное расстояние, и наша Галактика вместе с немногими соседями окажется островком в пустоте. Если темная энергия – квинтэссенция, то в далеком будущем ускоренное расширение может прекратиться и даже смениться сжатием. В последнем случае вещество во Вселенной вернется в горячее и плотное состояние, произойдет «Большой взрыв наоборот», назад во времени. Еще более драматическая судьба ожидает Вселенную, если темная энергия – фантом, причем такой, что его плотность энергии возрастает неограниченно. Расширение Вселенной будет все более и более быстрым, оно настолько ускорится, что галактики будут вырваны из скоплений, звезды – из галактик, планеты – из Солнечной системы. Дело дойдет до того, что электроны оторвутся от атомов, а атомные ядра разделятся на протоны и нейтроны. Произойдет, как говорят, большой разрыв. Такой сценарий, однако, представляется не очень вероятным. Скорее всего, плотность энергии фантома будет оставаться ограниченной. Но и тогда Вселенную может ожидать необычное будущее. Дело в том, что во многих теориях фантомное поведение – рост плотности энергии со временем – сопровождается неустойчивостями фантомного поля. В таком случае фантомное поле во Вселенной будет становиться сильно неоднородным, плотность его энергии в разных частях Вселенной будет разной, какие-то части будут быстро расширяться, а какие-то, возможно, испытают коллапс. Судьба нашей Галактики будет зависеть от того, в какую область она попадет. Все это, впрочем, относится к будущему, отдаленному даже по космологическим меркам. В ближайшие 20 миллиардов лет Вселенная будет оставаться почти такой же, как сейчас. У нас есть время для того, чтобы разобраться в свойствах темной энергии и тем самым более определенно предсказать будущее, а может быть, и повлиять на него.

16

КВАНТ 2010/№5

В июне этого года безвременно скончался Дмитрий Германович Фон-Дер-Флаасс (1962 – 2010), замечательный математик и педагог, светлый и обаятельный человек. Наши читатели не раз встречали это имя – журнал «Квант» часто публиковал его задачи. Дмитрий Германович успешно работал в большой науке, но это была лишь часть его деятельности. Вторую составляли математические олимпиады школьников: он работал в жюри Всесоюзных и Всероссийских олимпиад, а в последние годы – и Международных. Читал лекции в различных математических лагерях и школах, был одним из тренеров нашей команды на Международной математической олимпиаде. Мы предлагаем вашему вниманию запись (с небольшими сокращениями и с сохранением авторского стиля) лекции, прочитанной Д. Фон-Дер-Флаассом во Всероссийском детском центре «Орленок» в 2009 году.

Теоремы софиста Горгия и современная математика

Д.ФОН-ДЕР-ФЛААСС

БЫЛ ТАКОЙ АНТИЧНЫЙ СОФИСТ ГОРГИЙ. ЗНА- менит он тем, что сформулировал три теоремы. Первая теорема звучит так: ничто в мире не существует. Вторая теорема: а ежели что и существует, то непознаваемо для человека. Третья теорема: а ежели все-таки что-то познаваемо, то непередаваемо ближнему. Другими словами, нет ничего, а ежели что-то есть, то мы об этом ничего не узнаем, а ежели даже что-то и узнаем, рассказать никому не сможем. Я добавил бы к этим трем теоремам еще четвертую: если даже мы и сможем что-то рассказать, то никто не заинтересуется. И вот эти четыре теоремы – это, собственно говоря, основные проблемы современной математики.

Первая теорема Горгия

Начнем с первой – ничто в мире не существует, или, в переводе на язык математики, математика занимается непонятно чем. В некотором смысле это действительно так. Ведь математических объектов в мире не существует. Самое простое, с чего все начинается и чем математики все время пользуются, – это натуральные числа. Что такое натуральные числа, все мы знаем – это 1, 2, 3, 4 и так далее. И вот то, что мы все понимаем смысл слов «и так далее» – это большая загадка. Потому что «и так далее» означает, что чисел «бесконечно много». В нашем мире нет места для того, чтобы было бесконечно много чего-то. Но все мы уверены, что когда мы думаем о натуральных числах, мы все думаем об одном и том же. Если у меня после 7 следует 8, то и у вас после 7 будет следовать 8. Если у меня 19 – простое число, то у вас 19 будет простое число. Вот почему? Вроде бы в мире этого объекта нет, но мы о нем знаем и все знаем

Дмитрий Германович Фон-Дер-Флаасс примерно одно и то же. Это, конечно, загадка не математическая, это загадка философская, и пусть философы ее обсуждают. Нам достаточно того, что, к счастью, мы все-таки имеем представление о математических объектах и оно одно и то же у всех, кто начинает о них задумываться. И поэтому математика возможна. Но большая философская проблема остается. Если, как это принято у математиков, задуматься об этом всерьез, т.е. попытаться как-то строго об этом подумать, то тогда возникают проблемы, о которых я сейчас расскажу. Возникли они на памяти человечества совсем недавно, буквально в последнюю сотню лет.

17

ТЕОРЕМЫ

СОФИСТА

ГОРГИЯ

Кроме натуральных чисел есть еще много чего в математике. Есть наша евклидова плоскость, на которой мы рисуем всякие треугольники, углы, доказываем о них теоремы. Есть действительные числа, есть комплексные числа, есть функции, есть еще что-то более страшное… Где-то на рубеже XIX – XX веков была проделана очень большая работа (хотя началась она, конечно, немного раньше), люди поняли, что все многообразие математических объектов в принципе можно свести к единому понятию – понятию множества. Конечно, если мы просто имеем интуитивное представление о том, что такое множество и что такое «и так далее», мы сможем построить в принципе всю математику. Что такое множество? Ну, это просто множество чего-то. Вопрос в том – что с множествами можно делать? Если у нас есть какое-то множество, то что означает, что оно у нас есть? Это означает, что про любой элемент нашего мира, мира математических объектов, мы можем спросить, а он в этом множестве лежит или не лежит, и получить ответ. Ответ однозначный, совершенно не зависящий от нашей воли. Вот это то первое, базовое, что можно с множествами делать, – узнавать, принадлежит элемент множеству или не принадлежит. Конечно, нужно еще сами эти множества как-то строить. Чтобы из них, в конце концов, построилось все богатство математических объектов. Как их можно строить? Можно, скажем, построить пустое множество: $\emptyset$. Самое первое, самое простое. Про него мы что знаем? Что про какой бы элемент мы ни спросили, принадлежит ли он этому множеству или нет, ответ всегда будет – нет, не принадлежит. И этим пустое множество уже однозначно определено. Все вопросы о нем получают мгновенный ответ. Ура! Теперь у нас уже есть вот это само пустое множество. И мы можем построить множество, которое ничего не содержит, кроме пустого множества: ${ \emptyset }$. Опять же, что значит, что мы имеем это множество? Это значит, что про любой элемент мы можем спросить, он этому множеству принадлежит или нет. И если этот элемент – пустое множество, то ответ будет – «да». А если этот элемент любой другой, то ответ будет – «нет». Итак, это множество тоже задано. С этого все начинается. Можно использовать еще несколько интуитивных операций. Если у нас есть два множества, то мы можем их объединить. Можно сказать, что теперь будет множество, в котором будут элементы из того или из другого множества. Опять же, ответ на вопрос, принадлежит ли элемент полученному множеству или нет, однозначен. Значит, объединение мы можем построить. И так далее. В какой-то момент приходится отдельно объявить, что все-таки у нас есть какое-то множество, в котором элементов бесконечно много. Поскольку мы знаем, что натуральные числа есть, мы верим, что бесконечное множество существует. Объявляем, что множество натуральных чисел у нас тоже доступно. Как только появляется бесконечное множество, так дальше уже можно пуститься во все тяжкие и определять уже все

И

СОВРЕМЕННАЯ

МАТЕМАТИКА

что угодно. Можно определить целые числа. Целое число – это либо ноль, либо натуральное число, к которому приставлен или не приставлен знак минус. Все это, (может, и не так очевидно, как я говорю), можно проделать и на языке теории множеств. Можно определить рациональные числа. Что такое рациональное число? Это пара из двух чисел – числителя и (ненулевого) знаменателя. Нужно только определить, как их складывать, как их умножать между собой. И каковы условия, когда такие пары считать одним и тем же рациональным числом. Что такое действительное число? Вот интересный шаг. Вы можете сказать, например, что это бесконечная десятичная дробь. Вполне хорошее будет определение. А что это значит – бесконечная десятичная дробь? Это значит, у нас есть какая-то бесконечная последовательность цифр, т.е. просто для каждого натурального числа мы знаем, какая цифра стоит на этом месте нашего действительного числа. Все такие последовательности образуют действительные числа. Опять же, мы можем определить, как их складывать, как их умножать, и так далее. Кстати, математики предпочитают определять действительные числа не так, а вот каким образом. Возьмем все рациональные числа – мы их уже имеем. А теперь объявим, что действительное число – это множество тех рациональных чисел, которые его строго меньше. Вот такое очень хитрое определение. На самом деле, оно очень похоже на предыдущее. Например, если у нас есть действительное число 3,1415926… (там дальше идет бесконечная цепочка цифр, которую я наизусть не знаю), то какие, например, будут рациональные числа, меньшие его? Обрежем дробь на втором знаке после запятой. Получим число 3,14, оно меньше нашего. Обрежем дробь на четвертом знаке после запятой – получим 3,1415, еще одно рациональное число, меньшее нашего. Ясно, что если мы знаем все рациональные числа, меньшие нашего числа, то это число единственным образом определено. Наглядно можно представить себе такую картинку, как на рисунке $1._{Рис.} 1$ Прямая – это все действительные числа, среди них где-то наше неизвестное, а слева от него много-много рациональных, которые его меньше. Все остальные рациональные будут, соответственно, его больше. Интуитивно понятно, что имеется единственная щелочка между этими двумя наборами рациональных чисел, и вот эту щелочку мы будем называть действительным числом. Это пример того, как, начиная с понятия множества, вся математика помаленьку раскручивается. Зачем это нужно? Понятно, что на практике, конечно, никто этим не пользуется. Когда математик изучает, скажем, функции комплексного переменного, он не вспоминает каждый раз, что комплексное число – это пара действительных, что действительное – это бесконечное множество рациональных, что рациональное – это пара целых и так далее. Он уже работает с вполне сформированными объектами. Но в принципе все мож-

20

КВАНТ 2010/№5

нет. Утверждения, которые из этих аксиом доказать мы не сможем, и опровергнуть тоже не сможем. Теория множеств сильно развивается, и сейчас она ближе всего к этой проблеме: часто приходится сталкиваться с ситуацией, когда некоторые вопросы звучат вполне естественно, ответ на них получить хочется, но доказано, что ответа мы никогда не узнаем, потому что и тот ответ, и другой ответ из аксиом выведен быть не может. Что делать? В теории множеств как-то пытаются с этим бороться, а именно, пытаются придумывать новые аксиомы, которые по какой-то причине все-таки можно еще добавить. Хотя, казалось бы, все, что человечеству интуитивно очевидно, уже сведено к тем аксиомам теории множеств, которые были выработаны в начале XX века. А теперь оказывается, что хочется все-таки еще чего-то. Математики тренируют свою интуицию дальше, чтобы какие-то новые утверждения вдруг показались почему-то всем математикам интуитивно очевидными, и тогда их можно было бы принять в качестве новых аксиом в надежде, что с их помощью ответы на какие-то из таких вопросов могут быть получены. О том, как все это происходит, конечно, рассказать я не могу, там чрезвычайно сложные утверждения, и нужно очень глубоко вкопаться в теорию множеств, вопервых, для того, чтобы понять, что они утверждают, а во-вторых, чтобы понять, что эти утверждения действительно можно считать интуитивно очевидными и принять за аксиомы. Вот этим занимается сейчас одна из самых загадочных областей математики – теория множеств.

Вторая теорема Горгия

Вторая теорема Горгия звучит так – если что и существует, то непознаваемо для человека. Сейчас я покажу несколько примеров утверждений, которые под эту категорию попадают. С теорией множеств была проблема, имеем ли мы вообще право задавать вопросы вроде такого: «верна ли аксиома выбора?». Если мы хотим просто заниматься математикой, не вступая в противоречия, то мы в принципе можем и принять аксиому выбора, и принять, что она не верна. И в том и в другом случае мы сможем развивать математику, получая одни результаты в одном случае, другие – в другом, но никогда не придем к противоречию. А вот теперь другая ситуация. Есть, видимо, результаты, ответ на которые очевидно существует, и очевидно он однозначно определен, но человечество его, может быть, никогда не узнает. Самый простой пример – это так называемая (3N + 1)-проблема, о которой я сейчас расскажу. Возьмем любое натуральное число. Если оно четно, то разделим его пополам. А если оно нечетно, то умножим его на 3 и прибавим 1. С полученным числом проделаем то же самое, и так далее. Например, если мы начнем с тройки, получится

$3\to 10\to 5\to 16\to 8\to 4\to 2\to 1$

Если мы начнем с семерки, немножко дольше будет продолжаться процесс. Уже начиная с некоторых

маленьких чисел эта цепочка может оказаться достаточно длинной, но все время она будет заканчиваться единичкой. Есть гипотеза, что с какого бы числа мы ни начали, если мы будем такую цепочку строить, то всегда обязательно доберемся до 1. В этом и состоит (3N + 1)-проблема – верна ли эта гипотеза? Мне кажется, что все нынешние математики верят, что она верна. И некоторые самые безрассудные даже пытаются ее доказать. Но ни у кого ничего не вышло. И не выходит уже много десятков лет. Так что это одна из привлекательных задач. Серьезные математики, конечно, относятся к ней свысока – просто как к забавной головоломке. Неизвестно, что там будет, да и кому нужно знать, что там будет. Но несерьезным математикам все-таки интересно, справедлива гипотеза или нет. И пока ее не доказали, совершенно все что угодно тут может произойти. Во-первых, очевидно, что у этого вопроса ответ однозначный: да или нет. Либо правда, что, начиная от любого натурального числа, мы сползем к единице, либо неправда. Интуитивно ясно, что тут уже ни от какого выбора аксиом, ни от какой воли человеческой ответ не зависит. Так вот, есть предположение, что человечество никогда не узнает ответ на этот вопрос. Конечно, если кто-то докажет эту гипотезу, то тогда мы узнаем ответ. Но что значит докажет? Это значит, что он объяснит нам, по каким причинам любое натуральное число сходится к 1, и эти причины окажутся для нас понятными. Может случиться, что кто-то докажет, что некоторое семидесятитрехзначное число обладает именно такими свойствами, что запустив от него эту цепочку, мы обязательно будем получать сколь угодно большие числа. Или докажет, что эта цепочка зациклится где-то в другом месте. Опять же, это будет причиной, почему гипотеза неверна. А вот у меня, например, такой страшный кошмар: а что, если это утверждение верно, но без всякой на то причины? Верно, а причины, которую один человек может понять и объяснить другому, у этого утверждения нет вовсе. Тогда мы никогда не узнаем ответа. Потому что останется только перебрать все натуральные числа и для каждого проверить гипотезу. А это, естественно, вне наших сил. Закон сохранения энергии не позволяет проделать бесконечное количество операций за конечное время. Или конечность скорости света. В общем, физические законы не позволяют нам проделать бесконечное количество операций за конечное время и узнать результат. Очень многие нерешенные задачи как раз относятся именно к этой области, т.е. в принципе их $очень_{Бернхард}$ Риман

22

КВАНТ 2010/№5

Осталась компьютерная часть, которую с тех пор уже тоже проверили не на одном компьютере, переписывая даже программы, просто проделав тот же перебор. Ведь если сказано, что именно следует перебирать, то каждый может написать свою программу и проверить, что результат будет такой, как надо. И мне, например, кажется, что использование таких вот больших компьютерных переборов в доказательстве – это как раз не проблема. Почему? А вот по той же причине, которая на примере проблемы четырех красок уже проявилась – что к компьютерным доказательствам доверия гораздо больше, чем к человеческим, а не меньше. Кричали, что компьютер – это же машина, а вдруг она где-то сломалась, сбилась, что-то там неправильно посчитала… А вот этого как раз быть не может. Потому что если компьютер случайно где-то засбоил, и произошла ошибка – нолик случайно заменился на единичку, – это не приведет к неверному результату. Это приведет к отсутствию результата, просто программа в конце концов сломается. Какая типичная операция, которую компьютер выполняет? Взяли из такого-то регистра такое-то число и передали по нему управление туда-то. Естественно, что если в этом числе произошло изменение в один бит, управление передалось вообще неизвестно куда, там написаны какие-то команды, которые очень скоро просто все разрушат. Может быть, конечно, ошибка в написании программы для компьютера, но это уже человеческая ошибка. Человек может прочитать программу и проверить, правильная она или нет. Так же человек может прочитать чужое доказательство и проверить, правильное оно или нет. Но у человека гораздо больше шансов ошибиться, чем у компьютера. Если вы читаете чужое достаточно длинное доказательство, и в нем есть ошибка, то есть все шансы, что вы ее не заметите. Почему? В первую очередь потому, что раз сам автор доказательства сделал эту ошибку – значит, она психологически обоснована. То есть, он не просто так ее сделал, по случайности – это в принципе такое место, где типичный человек может сделать такую ошибку. Значит, и вы можете сделать ту же самую ошибку, читая это место и соответственно ее не заметив. Поэтому проверка человеком, человеческого же доказательства – это гораздо менее надежный способ проверки, чем проверка результата работы компьютерной программы с помощью запуска ее еще раз на какой-то другой машине. Второе практически гарантирует, что все нормально, а первое – это как повезло. И вот с этой проблемой – найти ошибку в записанном людьми математическом тексте, – становится все труднее, а иногда и вообще невозможно – это серьезная проблема современной математики. С ней нужно бороться. Как – сейчас пока никто не знает. А проблема большая и всерьез возникла именно сейчас – тому несколько примеров существует. Вот, возможно, менее известный, но один из самых современных. Это старинная гипотеза Кеплера. Говорит она об укладывании шариков в трехмерном пространстве. Давайте сначала посмотрим, что происходит в двумерном пространстве, т.е. на плоскости. Пусть у нас

есть одинаковые кружочки. Как плотнее всего нарисовать их на плоскости, чтобы они не пересекались? Есть ответ – надо поместить центры кружков в узлы шестиугольной решетки. Это утверждение не совсем тривиальное, но легкое. А в трехмерном пространстве как бы вы стали плотно упаковывать шарики? Сначала разложим на плоскости шарики так, как показано на рисунке 6. Потом сверху положим еще один такой же слой, вдавливая до упора, как показано на рисунке 7. Потом сверху $еще^{Рис.} 6$ один такой же слой, и так далее. Интуитивно очевидно, что это и есть самый плотный способ уложить шарики в трехмерном пространстве. Кеплер утверждал (и, похоже, первым сформулировал), что эта упаковка должна быть самой плотной упаковкой в трехмерном пространстве. Произошло это в XVII веке, с тех пор эта гипотеза и стоит. В $начале_{Рис.} 7$ XXI века появилось ее доказательство. И любой из вас может его достать и прочитать. Оно в открытом доступе лежит в Интернете. Это статья в двести с чем-то страниц. Она написана каким-то одним человеком, и тоже содержит как некоторые чисто математические рассуждения, так и компьютерный счет. Сначала автор математическими рассуждениями пытается свести задачу к проверке конечного числа случаев. После этого, иногда используя компьютер, он это конечное, но очень большое число случаев проверяет, все сходится, и – ура! – гипотеза Кеплера доказана. И вот проблема с этой статьей – ее никто не может прочитать. Потому что она тяжелая, потому что местами не совсем понятно, что перебор действительно полный, потому что просто скучно ее читать. Двести страниц скучных вычислений. Человек ее прочитать не в силах. Вообще говоря, все верят, что эта статья содержит доказательство этой теоремы. Но с другой стороны, никто до сих пор не проверил это честно, в частности, эта статья не опубликована ни в одном рецензируемом журнале, т.е. никакой уважающий себя математик не готов поставить подпись под $ут-_{Иоганн}$ Кеплер

23

ТЕОРЕМЫ

СОФИСТА

ГОРГИЯ

верждением, что «да, все верно, и гипотеза Кеплера доказана». И это не единственная ситуация, и в других областях математики такое тоже встречается. Совсем недавно я напоролся на список нерешенных проблем в теории множеств, в теории моделей, в разных областях. И вот к одной гипотезе там комментарии такие: она якобы опровергнута в статье вот такой-то, но никто в это не верит. Вот такая ситуация. Человек доказал утверждение, но передать это другому, рассказать это другому он не в силах. Самый страшный пример – это, конечно, классификация конечных простых групп. Я не буду формулировать точно, что это такое, что такое группы, что такое конечные группы, если захотите – узнаете сами. Конечные группы все в некотором смысле собираются из простых блоков, которые называются простыми группами, а те уже нельзя разобрать на более мелкие блоки. Этих конечных простых групп бесконечно много. Полный их список выглядит так: это семнадцать бесконечных серий, к которым еще в конце добавлены 26 отдельных групп, которые построены каким-то отдельным способом и ни в какую серию не входят. Утверждается, что этот список содержит все конечные простые группы. Задача страшно нужная для математики. Поэтому в 70-е годы, когда появились некоторые особенные идеи и надежды на ее решение, на задачу накинулись несколько сот математиков из разных стран, из разных институтов, каждый брался за свой кусочек. Были и, так сказать, архитекторы этого проекта, которые примерно представляли, как все это вместе потом будет собрано в единое доказательство. Понятно, что люди торопились, конкурировали. В результате, кусочки, которые они делали – это в совокупности около 10000 журнальных страниц, и это только то, что опубликовано. А есть еще и статьи, которые существовали или в виде препринтов, или в виде машинописных копий. Я сам одну такую статью читал в свое время, она так никогда и не была опубликована, хотя включает в себя заметный кусочек этого полного доказательства. И вот эти 10000 страниц разбросаны в разных журналах, написаны разными людьми, с разной степенью понятности, и обычному математику, не связанному с этим и не являющемуся одним из архитекторов этой теории, мало того что невозможно прочитать все 10000 страниц, так еще и очень трудно понять само устройство доказательства. К тому же с тех пор некоторые из этих архитекторов просто умерли. Объявили, что классификация завершена, хоть доказательство и существует лишь в виде текста, который никто прочитать не может, и это привело к следующей неприятности. Новые математики с меньшей охотой стали идти в теорию конечных групп. Все меньше и меньше людей этим занимается. И вполне может случиться, что через 50 лет уже вообще на Земле не найдется человека, который будет способен что-то понять в этом доказательстве. Будут ходить легенды: наши великие предки умели доказывать, что все конеч-

И

СОВРЕМЕННАЯ

МАТЕМАТИКА

ные простые группы перечислены вот в этом списке, и что других нет, но сейчас это знание утеряно. Вполне реалистичная ситуация. Но, к счастью, не один я считаю эту ситуацию реалистичной, поэтому с ней борются, и я слышал, что даже организовали специальный проект «Философские и математические проблемы, связанные с доказательством классификации конечных простых групп». Есть люди, которые пытаются это доказательство привести к читаемому виду, и, может быть, когда-нибудь это действительно получится. Есть люди, которые пытаются разобраться, что же делать со всеми этими трудностями. Человечество помнит об этой задаче, и, значит, оно с ней в конце концов справится. Но тем не менее вполне может быть, что будут появляться другие такие же сложные теоремы, которые могут быть доказаны, но доказательство которых никто не способен прочитать, никто не способен никому рассказать.

Четвертая теорема

Ну и теперь четвертая теорема, о которой я немного расскажу, может быть даже самая страшная – «ежели даже и сможет рассказать, то никто не заинтересуется». Некий осколок от этой проблемы уже прозвучал. Людям перестало интересно заниматься конечными группами. Все меньше и меньше людей этим занимаются, и масса знаний, которая сохранилась в виде текстов, уже никому не нужна, ее никто не умеет читать. Это тоже беда, которая грозит многим областям математики. Понятно, что некоторым областям математики везет. Например, та же самая теория графов и комбинаторика. Чтобы серьезно начать ими заниматься, нужно знать совсем немного. Вы немножко узнали, порешали олимпиадные задачки, один шаг – и перед вами уже нерешенная проблема. Есть за что взяться – ура, беремся, интересно, занимаемся… Но есть области математики, в которых даже для того, чтобы почувствовать, что эта область действительно красива, и что ей хочется заниматься, нужно очень многое узнать. И при этом по дороге еще много другого красивого узнаешь. Но тебя не должны эти красоты, встреченные по дороге, отвлечь, и в конце концов ты добираешься вот туда, в самые дебри, уже там видишь красоту, и уже тогда, узнав очень многое, становишься способен заниматься этой областью математики. И вот эта трудность – проблема для таких областей. Чтобы область математики развивалась, нужно, чтобы ею занимались. Достаточному числу людей это должно быть настолько интересно, чтобы они преодолели все трудности, забрались туда и уже после этого продолжили этим заниматься. И сейчас математика доходит до такого уровня сложности, что для многих областей именно это становится основной проблемой. Как человечество со всеми этими проблемами будет справляться – я не знаю, но посмотреть будет интересно. Вот, собственно, и все.

32

…зеленый и голубой усиливают свой цвет в полутени, а красный и желтый выигрывают в цвете в своих освещенных частях, и то же самое делает белый. Леонардо да Винчи

Утверждения Ньютона – чудовищное предположение. Да и как то может быть, чтобы самый прозрачный, самый чистый цвет – белый – оказался смесью цветных лучей? Иоганн Вольфганг Гёте

Свет состоит из лучей всех цветов не только по выходе из призмы, но даже тогда, когда он еще не дошел до призмы, до всякого преломления. Исаак Ньютон

Любой цвет от смачивания водой делается гуще. Почему? Надо подумать. Михаил Ломоносов

Сам факт зависимости показателя преломления от частоты называется дисперсией <от лат. dispersion – рассеяние>, так как именно из-за нее свет раскладывается призмой в спектр. Ричард Фейнман

А так ли хорошо знаком вам

?

цвет

Повседневно мы используем понятие цвета, не особенно задумываясь над его точным определением. Но стоит лишь попытаться установить его меру, как мы столкнемся, скорее всего, с теми же трудностями, что испытывали наши предшественники. Долгое время ученые обходили эту проблему, а как только они за нее брались, так на них обрушивался град критики. Порывшись в справочниках, мы найдем, например, такие высказывания: «цвет – свойство тел вызывать определенное зрительное ощущение в соответствии со спектральным составом и интенсивностью отражаемого или испускаемого ими видимого излучения»; «длина волны света в вакууме… задает количественную меру того, что субъективно воспринимается как цвет монохроматического луча». Стало легче? Тем не менее, несмотря на впечатление неконкретности и даже некоего произвола, можно утверждать, что категория цвета прочно вошла и в науку, и в практику. Многоцветье спектров – мощный инструмент анализа при контроле за плавкой металлов и в изучении структуры и состава звезд, незаменимый помощник инженеров-строителей, дизайнеров и колористов. А оптическая аналогия послужила основанием для выбора названия одной из характеристик мельчайших частиц материи – кварков и глюонов, также снабдив их «цветом». Таким образом, наблюдая за радугой или зарей, полярными сияниями или мыльными пузырями, вспоминайте не только о поэтических образах, но и о существовании «разноцветной» физики.

Вопросы и задачи 1. Как ответить на вопрос М.В.Ломоносова, поставленный в эпиграф? 2. Почему цвета некоторых материалов при дневном и электрическом освещении различны? 3. Если луч белого света направить на треугольную призму, стоящую на столе, не под углом к горизонту, а горизонтально, то часть цветных полосок, наблюдаемых на экране за призмой в первом случае, может исчезнуть. Каких и по какой причине?

4. При повышении температуры вещества происходит как расширение диапазона непрерывного спектра, так и смещение его максимума. В какую именно сторону: красного или фиолетового цвета? 5. Линза дает изображение прямоугольника, верхняя половина которого выкрашена в красный цвет, а нижняя – в синий. Прямоугольник расположен перпендикулярно главной оптической оси линзы. Почему не удается найти такое положение экрана, чтобы на нем одновременно было резкое изображение обеих половин прямоугольника? 6. Если смотреть на разноцветную светящуюся рекламу, например из газоразрядных трубок, то красные буквы всегда кажутся выступающими вперед по отношению к синим или зеленым. Чем это можно объяснить? 7. Почему призматический спектр чаще применяют для изучения состава коротковолнового излучения, а в случае длинноволнового излучения целесообразнее пользоваться дифракционным спектром? 8. Цветное стекло растерто в порошок, который кажется совершенно белым. Как узнать, каков истинный цвет стекла? 9. Получаемый на земле непрерывный спектр излучения Солнца содержит более двух десятков темных линий, т.е. фактически представляет собой спектр поглощения. Чем это объяснить? 10. Что происходит с солнечным спектром во время наблюдения полного солнечного затмения? 11. Какая бумага – синяя, красная, черная – скорее зажигается солнечными лучами, собранными при помощи вогнутого зеркала или линзы? 12. Если смешать синюю и желтую краски, то получится зеленая краска. Но если светом синей и желтой ламп осветить лист чертежной бумаги, то она будет иметь белый цвет (синий и желтый цвета являются дополнительными). Нет ли здесь противоречия? 13. При наблюдении растений в свете синей лампы (вариант: через синие очки) зеленые листья кажутся малиново-красными. Как это объяснить? 14. На пакете с фотопленкой написано: «Обрабатывать при красном свете». Получится ли на этой пленке пиратс-

33

кий флаг, изображенный на рисунке слева? А справа? 15. При слабом освещении синий цвет иногда может казаться ярче красного, однако при хорошем освещении различие в их яркости часто бывает обратным. Почему относительная яркость красного и синего цветов зависит от уровня освещенности? 16. Отчего сигналы опасности подаются красным светом, хотя глаз наиболее чувствителен к желто-зеленому свету? 17. Почему виднеющийся на горизонте лес или дальние горы кажутся подернутыми голубоватой дымкой?

Микроопыт

Наполните неглубокий сосуд водой, вставьте в него плоское зеркало, как показано на рисунке, и пустите на поверхность воды луч солнечного света. На экране Э (стене или потолке) возникнет яркая картинка. Что она собой представляет и как она образова- лась?

Любопытно, что…

…кусок красного стекла кажется красным и в отраженном и в проходящем свете. А вот у цветных металлов эти цвета различаются – так, золото отражает преимущественно красные и желтые лучи, но тонкая просвечивающая золотая пластинка пропускает зеленый свет. …ученые XVII века не считали цвет объективным свойством света. Например, Кеплер полагал, что цвет – это качество, которое должны изучать философы, а не физики. И лишь Декарт, хотя и не мог объяснить происхождение цветов, был убежден в существовании связи между ними и объективными характеристиками света. …созданная Гюйгенсом волновая теория света была большим шагом вперед – так, она дала используемые до сих пор объяснения законов геометрической оптики. Однако главная ее неудача заключалась в отсутствии категории цвета, т.е. она была теорией бесцветного света, несмотря на уже сделанное к тому времени Ньютоном открытие – обнаружение дисперсии света. …призма – главный инструмент в ньютоновских опытах – была им куплена в аптеке: в те времена наблюдение призматических спектров было распространенным развлечением. …многие предшественники Ньютона считали, что цвета зарождаются в самих призмах. Так, постоянный оппонент Ньютона Роберт Гук думал, что в солнечном луче не могут содержаться все цвета; это так же странно, считал он, как утверждать, что «в воздухе органных мехов содержатся все тоны». …опыты Ньютона привели его и к печальному выводу: в сложных приборах с большим количеством линз и призм разложение белого света сопровождается появлением у изображения пестрой цветной каймы. Явление, названное «хроматической аберрацией», удалось впоследствии преодолеть, соединяя несколько слоев стекла с «уравновешивающими» друг друга показателями преломления, что привело к созданию ахроматических линз и подзорных труб с четкими изображениями без цветных бликов и полос. …идея о том, что цвет определяется частотой колебаний в световой волне, впервые была высказана знаменитым математиком, механиком и физиком Леонардом Эйлером в 1752 году, при этом максимальная длина волны соответствует красным лучам, а минимальная – фиолетовым. …первоначально Ньютон различал в солнечном спектре только пять цветов, но позже, стремясь к соответствию между числом цветов и числом основных тонов музыкальной гаммы, добавил еще два. Возможно, здесь сказалось пристрастие к древней магии числа «семь», согласно которой на небе было семь планет, а потому в неделе – семь дней, в алхимии – семь основных металлов и так далее… …Гёте, считавший себя выдающимся естествоиспытателем и посредственным поэтом, горячо критикуя Ньютона, замечал, что выявленные в его опытах свойства света не истинны, поскольку свет в них «замучен разного рода орудиями пыток – щелями, призмами, линзами». Правда, в этой критике вполне серьезные физики позже узрели наивное предвосхищение современной точки зрения на роль измерительной аппаратуры. …теория цветового зрения – о получении всех цветов при помощи смешения трех основных – ведет начало от речи Ломоносова 1756 года «Слово о происхождении света, новую теорию о цветах представляющее…», не замеченной, однако, научным миром. Полвека спустя эту теорию поддержал Юнг, а уж его предположения в 1860-х годах детально развил в трехкомпонентную теорию цвета Гельмгольц. …если какие-либо пигменты отсутствуют в фоторецепторах сетчатки, то человек не ощущает соответствующих тонов, т.е. становится частично цветослепым. Таким был английский физик Дальтон, по имени которого и назван этот недостаток зрения. А обнаружил его у Дальтона не кто иной, как Юнг. …явление, упомянутое в первом эпиграфе и в условии задачи 15, носит название эффекта Пуркине – в честь исследовавшего его знаменитого чешского биолога, также показавшего, что различные среды глаза обладают неодинаковым преломлением, и объяснившего возникновение некоторых зрительных иллюзий. …оптические спектры атомов или ионов – не только богатый источник информации о строении атома, в них заключены сведения и о характеристиках атомного ядра, прежде всего связанных с его электрическим зарядом.

Что читать в «Кванте» о цвете

(публикации последних лет)

1. «Калейдоскоп «Кванта» – 2005, №5, с.32; 2008, №5, с.32; 2. «Загадка «тени от прозрачной пластинки» – 2006, №1, с.30; 3. «Как увидеть невидимку» – 2006, №4, с.9; 4. «Сюрпризы зеленого стекла» – 2007, №5, с.10; 5. «Самая светлая революция и ее творцы» – 2008, №6, с.2; 6. «Опыты с компакт-диском» – 2009, №4, с.44; 7. «Красное небо, синяя луна» – 2010, №1, с.39.

Материал подготовил А.Леонович

34

КМШ

КВАНТ 2010/№5

Задачи

КОЕ – ЧТО = 857. На сколько КТО – ТО больше, чем КОЕ – КТО? (Как обычно, одинаковыми буквами обозначаются одинаковые цифры, а разными – разные.) А.Хачатурян

Зачем машинист длинного товарного поезда, прежде чем тронуться, сдает немного назад? Фольклор

В некотором году количество четвергов равно количеству суббот. Обязательно ли и количество пятниц в этом году такое же? А если год високосный? А.Канель-Белов

– Я нарисовал многоугольник и провел в нем все диагонали. Оказалось, что через середину каждой диагонали проходит какая-нибудь другая диагональ, – сказал Петя. – Это параллелограмм, – сказал Вася. – Нет. – Тогда правильный многоугольник. – Тоже нет. А вы можете нарисовать такой многоугольник? А.Шаповалов

Иллюстрации Д.Гришуковой

На острове живут лжецы (всегда лгут), правдецы (всегда говорят правду) и хитрецы (врут через раз). Однажды встретились три незнакомых друг с другом мудрых островитянина и между ними произошел такой разговор. А: Я не знаю, есть ли среди нас лжецы. Б: Я не знаю, есть ли среди нас правдецы. В: Я не знаю, есть ли среди нас хитрецы. А: Я даже не знаю, есть ли среди вас лжецы. Б: Я даже не знаю, есть ли среди вас правдецы. В: Я даже не знаю, есть ли среди вас хитрецы. Кто из них кто? А.Хачатурян

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6 – 8 классов.

35

К

М

Ш

Конкурс имени А.П.Савина

«Математика 6–8»

Мы продолжаем очередной конкурс по решению математических задач для учащихся 6–8 классов. Решения задач высылайте в течение месяца после получения этого номера журнала по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» или по электронному адресу: math@kvant.info (с пометкой «Конкурс «Математика 6–8»). Не забудьте указать имя, класс и домашний адрес. Как и прежде, мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и математических кружков. Руководителей кружков просим указать электронный адрес или контактный телефон. По традиции, кружки-победители заочного конкурса приглашаются на финальный очный турнир.

6. В единичные треугольники фигуры впишите числа от 1 до 12 так, чтобы сумма четырех чисел в каждом треугольнике со стороной 2 была равна 20. Н.Авилов

7. Квартира представляет собой квадрат $3 \times 3$, разделенный стенами на квадратики $1 \times 1$ – комнаты. Между каждыми двумя соседними по стене комнатами есть дверь, но сейчас все двери заперты. Какое наименьшее число дверей нужно открыть, чтобы кот, сидевший в одной из комнат, мог гулять по всей квартире? Н.Стрелкова

8. Два одинаковых точечных шара движутся с разными скоростями по одной окружности в одну сторону. Запущенные с этими скоростями каждый в отдельности, они делали бы в минуту 7 и 12 оборотов соответственно. При совместном движении они сталкиваются, обмениваясь после удара своими скоростями. Докажите, что шары будут встречаться в конечном числе точек, расположенных в вершинах некоторого правильного многоугольника, и найдите число этих точек. Г.Гальперин

9. На плоскости даны два непересекающихся круга. Найдется ли вне этих кругов такая точка A, что любая прямая, проходящая через A, обязательно «заденет» хотя бы один них (т.е. пересечет или коснется)?

Фольклор

10. Фирма выпускает наборы из 7 теннисных мячиков в двух видах упаковок: длинный цилиндр толщиной в один мячик и плоский цилиндр высотой в 1 мячик, как показано на рисунке. Мячики касаются друг друга и стенок так, чтобы не болтались. Пустое место заполняется пластиковой крошкой. а) На заполнение какой упаковки – длинной или плоской – уходит больше крошки? б*) Сколько граммов крошки уходит на заполнение плоской упаковки, если на заполнение длинной требуется 90 граммов?

Указание. Для решения пункта б) вам понадобится интересный факт, который знал еще Архимед: шар занимает ровно 2/3 объема цилиндра, в который он вписан (шар касается стенок, дна и крышки цилиндра).

Г.Гальперин, А.Шаповалов

«КВАНТ» УЛЫБАЕТСЯ

1. На табло горит верное равенство, только один пиксель сломан (либо горит, а должен быть погашен, либо погашен, а должен гореть):

2. Разгадайте шуточную загадку: 1 см бумаги – 9 метров, 2 см бумаги – 27 метров, а 3 см бумаги – сколько метров?

А.Тарасов

3. Вы находитесь на поляне, окруженной рвом шириной 10 м и глубиной 5 м. В вашем распоряжении только лестница длиной 2 м и неограниченный запас веревки толщиной 3 мм. Как выбраться? Фольклор

Какой пиксель сломан? Участники сообщества www.braingames.ru

4. Зачем ведра делают «скошенными» (нижний диаметр немного меньше верхнего), а не цилиндрическими? Фольклор

43

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ

О теплопередаче и не только

А.КРАСНОЧУБ

Измеряй все, что можно измерить, и делай измеримым то, что не поддавалось измерению! Г.Галилей

ДО ПОСЛЕДНЕГО ВРЕМЕНИ В ИНФОРМАЦИОННОМ МИРЕ, когда необходимо было представить науку, СМИ обычно использовали следующие клише: сложные установки со множеством трубок и проводов, дисплеи, экраны осциллографов и т.п., а ученые, как правило, это умудренные старцы с бородами и потусторонним взглядом. На самом деле реальность, как всегда, сильно отличается от интерпретации журналистов. Так, Томсону, будущему лорду Кельвину, было 24 года, когда он ввел абсолютную шкалу температур. Ньютону было столько же, когда он за два года разработал идеи, которые привели его к созданию дифференциального и интегрального исчисления, изобретению зеркального телескопа, открытию закона всемирного тяготения. И это не единичные примеры, это правило. Науку делают молодые люди, обладающие потрясающей способностью мыслить ясно и просто. А к чему приводят эти два мифа – сложности и старости? К тому, что когда молодой человек к 24–25 годам заканчивает вуз, он боится мыслить самостоятельно. Постоянно пользуясь «костылями» затвердевших знаний, пытается выудить ответы на возникающие в работе вопросы из лекций или учебников, а при обсуждении норовит спрятаться за авторитетное мнение. Эта статья – попытка дать возможность школьнику самому почувствовать и понять, что такое наука и что такое научный поиск. Не хочется ради популяризации сочинять свое определение науки, поэтому интересующимся строгим определением можно порекомендовать ознакомиться с монографиями по основам и методологии науки. Для дальнейшего повествования нам понадобится только то, что наука – это, прежде всего, система знаний, базирующаяся на опыте и имеющая дело с воспроизводимыми явлениями. По крайней мере, это относится к естественным наукам. В строгих определениях науки нет ничего о жажде знаний, незатухающей любознательности и способности удивляться и восхищаться явлениями и их взаимосвязям в окружающем нас мире. К сожалению, эта часть работы и жизни ученых обычно остается на откуп биографам или журналистам. И лишь только если повезет и человек науки оставит после себя помимо научных трудов дневники и мемуары, мы сможем увидеть страсти и эмоции, которые обычно скрываются за точеными формулировками научных статей. Однако, как говорил П.Л.Капица, «научный подход это отсутствие эмоций», поэтому отбросим эмоции и займемся делом.

Что будем рассматривать?

В качестве примера предлагается рассмотреть процесс остывания кружки кипятка. Какой интерес может представлять «банальная» задача охлаждения? С одной стороны, это наиболее подходящий и простой пример, который каждый из вас может повторить и развить самостоятельно. А с другой стороны, если задуматься, то в жизни часто приходится сталкиваться с законами охлаждения и нагрева. Достаточно открыть паспорт на любую бытовую технику (не говоря уже о промышленном оборудовании) – и вы с легкостью найдете ограничения по рабочим температурам и температурам хранения. Так или иначе, иногда весьма полезно уметь заранее что-то предсказать, так почему бы не начать с задачи передачи тепла? Если вы освоите сам подход, то сможете потом заняться любым вопросом, который интересен вам. Итак, мы хотим знать, как остывают нагретые тела. Что значит «знать»? С точки зрения физики, это значит написать уравнение процесса, с точки зрения техники – предсказать температуру тела, помещенного в конкретные условия, через определенный промежуток времени. Что делать, если хотеть-то мы хотим, а ответа не знаем? Наверное, первая мысль – спросить опытного человека. Хотя, что такое опытный человек? К тому же, его может и не оказаться рядом. Другая идея – посмотреть справочник, почитать книги. Да, это так, но только если кто-то уже написал этот справочник или книгу. А если нет? Если вы не собираетесь всю жизнь быть вторым, третьим и т.д., то очевидно, что рано или поздно вы столкнетесь с чем-то, что будет впервые. Неплохо к этому подготовиться. Допустим, что справочников нет, спросить некого, а мы очень хотим разобраться, как быстро остынет кружка кипятка. Что же нам делать? Самое простое решение – взять кружку с кипятком, опустить в нее термометр и фиксировать температуру через определенные промежутки $времени.^{1}$ В результате этого простого опыта мы получим определенную зависимость температуры от времени (рис.1). Теперь для данной конкретной кружки с данным конкретным количе-

Рис. 1

ством кипятка мы можем предсказать, что кипяток остынет до $50 ^\circ C$ примерно за полчаса. Аналогичные кривые можно получить для разных количеств кипятка и при различных температурах окружающей среды. Далее, предположим, что наш чайник готовит только х кг кипятка, а мы хотим получить 2х кг воды при определенной температуре. Сможем ли мы этого добиться? Придется разобраться с тем, как происходит охлаждение.

1 Все описываемые здесь результаты были получены для цилиндрической емкости высотой 5 см, диаметром 14 см и толщиной стенок 2 мм, изготовленной из полиэтилена.

48

КВАНТ 2010/№5

Подведем итог. Примененный здесь метод рассуждений мы будем называть методом «Объединяй и разъединяй». По нашему желанию мы можем считать, что перед нами несколько объектов, а можем считать, что это один объект сложной формы. В некоторых разделах физики, например в теме «Постоянный ток», этот метод применяется в обязательном порядке. В других разделах, в той же «Динамике», его почему-то стесняются вспоминать. А зря. Теперь вам задание – примените этот метод к решению задач конструктора «Объединяй и разъединяй». Что такое конструктор? Обычно это набор готовых деталей: колесиков, плит, стержней, винтиков и гаек. Их не надо самим делать. Их надо просто соединить определенным образом. И тогда получатся машинка, самолет или мельница. В физике конструкторами мы называем такие задания, в которых требуется получить ответы к новым задачам, используя уже известные ответы к стандартным задачам. В нашем конструкторе мы предлагаем считать данными ответы к таким двум известным задачам: 1) Если на нити, перекинутой через невесомой блок, подвешены два тела массами $m_{1}$ и $m_{2}$ (рис.5,а), то их ускорение равно a =

$m_{1} - m_{2} g. m_{1} + m_{2}$

2. Если тело массой m (рис.5,б) движется с ускорением a, направленным по вертикали, вес тела и всегда равная ему по величине сила реакции опоры (сила натяжения нити) равны

Упражнения

1. Найдите ускорения тел и натяжения указанных на рисунке 6,а нитей 1 и 2. Масса каждого тела m = 1 кг. 2. Найдите ускорения тел и натяжение нити в точках А и В (рис.6,б). Найдите также натяжение нити, на которой подвешен блок. Масса каждого тела m = 1 кг. 3. На правый груз массой М ставят перегрузок – груз массой m (рис.6,в). Найдите ускорение и вес перегрузка после начала движения. Принять М = 0,95 кг, m = 0,1 кг. 4. В конструкции, изображенной на рисунке 6,г, массы грузов 1 и 2 равны 4 кг и 1 кг соответственно. Когда эти грузы освобождают и они приходят в движение, груз 3 остается неподвижным. Чему равны масса этого груза, ускорения грузов 1 и 2 и натяжения нитей? 5. Через блок перекинут канат массой m и длиной l. Канат немного смещают так, что часть, которая находится с правой стороны, становится длиннее на x, чем часть, которая находится с левой стороны (рис.6,д). После этого канат отпускают. Найдите ускорение, с которым начинает двигаться канат. Считать, что размер блока намного меньше длины каната.

Этюд 2. Общее и частное

Есть такие слова: общее и частное. Например, люди – это общее, школьники – это частное, а, к примеру, девятиклассники – это частное частного. Общее и частное есть и в математике. Среди геометрических фигур, изображенных на рисунке 7, правильный

Рис. 5

$P = N = T = m ( g \pm a )$.

Предлагаем вам, комбинируя эти формулы, написать ответы к приведенным ниже задачам. Конечно, чтобы сделать это быстро, вам надо уметь жонглировать правилами «объединяй» и «разъединяй». Ускорение свободного падения во всех задачах принять равным g = 10 м $с^{2}$.

Рис. 6

Рис. 7

n-угольник можно считать общим, а квадрат, правильный треугольник, отрезок и круг – частными. Полезно различать общее и частное, потому что формула для общего случая дает ответы и для всех частных случаев. Овладев этими понятиями, вы можете сократить количество формул для запоминания и вместо множества частных формул запомнить лишь одну общую формулу. Есть общее и частное и в динамике. Так, очень популярны задачи, в которых действующими лицами являются два тела, связанные нитью. Эти тела можно поместить на две наклонные плоскости (рис.8) и спросить, чему равны ускорения тел и сила натя- Рис. 8 жения нити. А можно расположить эти тела по-другому, например так, как показано на рисунке 9,а–з, и тогда получатся новые задачи. Поверите ли вы, что все эти девять задач – это одна и та же задача? А между тем, это так. Каждый из рисунков 9,а–е – это частный случай рисунка 8, который получается из общего при некоторых конкретных значениях углов $\alpha$ и $\beta$. Поэтому и ответы к задачам, изображенным на рисунке 9, можно получить из ответа к общему случаю. Рассмотрим конструктор «Общее и частное». В этом

52

КВАНТ 2010/№5

Гальковский Егор – Санкт-Петербург, лицей 533, Деев Родион – Саратов, ФТЛ 1, Коновалов Андрей – Вологда, Вологодский многопрофильный лицей, Южаков Александр – Курган, гимназия 31, Новиков Владислав – Уфа, лицей 60, Косинов Никита – Ульяновск, многопрофильный лицей 20, Кравцов Дмитрий – Белгород, лицей 38, Целищев Антон – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Жевнерчук Антон – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Прудников Андрей – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Френклах Давид – Долгопрудный, ФМЛ 5, Кибкало Владислав – Саров, гимназия 2, Симонов Кирилл – Пермь, школа 9 им. А.С. Пушкина с углубленным изучением предметов физико-математического цикла, Салихов Аяз – Казань, лицей 131, Измайлов Рамиль – Казань, лицей-интернат 7, Бусыгин Игорь – Ижевск, ЭМЛ 29, Осипов Павел – Томск, школа 54, Иванов Даниил – Ульяновск, многопрофильный лицей 20, Кочнев Роман – Снежинск, гимназия 127, Лагутина Ксения – Ярославль, гимназия 2;

по 10 классам – Цыбышев Алексей – Самара, гимназия 1, Гольцова Надежда – Магнитогорск, школа 5 с углубленным изучением математики, Ионов Андрей – Москва, Центр образования «Пятьдесят седьмая школа», Мукосеева Екатерина – Санкт-Петербург, ФМЛ 30, Бесман Дмитрий – Курган, школа 48, Янушковский Владимир – Москва, лицей «Вторая школа», Шкляев Михаил – Королев, лицей научно-инженерного профиля, Решетников Иван – Долгопрудный, ФМЛ 5, Бурова Ольга – Москва, лицей «Вторая школа», Гонин Роман – Московская обл., Раменское, гимназия, Гаража Александра – Москва, школа «Интеллектуал», Осипов Матвей – Ульяновск, многопрофильный лицей 20, Балобанов Арсений – Москва, СУНЦ МГУ, Заводов Алексей – Долгопрудный, ФМЛ 5, Чикин Владимир – Нижний Новгород, лицей 36, Калашников Иван – Пермь, школа 146 с углубленным изучением математики, физики и информатики, Киселев Евгений – Ярославль, школа 58 с углубленным изучением предметов естественно-математического цикла,

Юркин Виктор – Курган, Курганский областной лицейинтернат для одаренных детей, Просанов Роман – Новосибирск, СУНЦ НГУ, Хомутов Никита – Краснодар, лицей НОУ ВПО Институт современных технологий и экономики, Титов Дмитрий – Усть-Лабинск, школа 2;

по 11 классам – Бернштейн Антон – Новосибирск, гимназия 1, Калиниченко Иван – Москва, лицей «Вторая школа», Томас Павел – Москва, СУНЦ МГУ, Кушнир Андрей – Иркутск, лицей 2, Куприянов Александр – Ярославль, школа 33 им. К.Маркса с углубленным изучением математики, Ястребов Игорь – Москва, Центр образования «Пятьдесят седьмая школа», Климовицкий Иосиф – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Бердников Александр – Новосибирск, гимназия 1, Бондаренко Михаил – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Исаак Евгений – Курган, школа 38, Устинов Никита – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Тыщук Константин – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Бояров Игорь – Москва, СУНЦ МГУ, Козачинский Александр – Москва, лицей «Вторая школа», Беляков Сергей – Москва, СУНЦ МГУ, Доледенок Алексей – Москва, СУНЦ МГУ, Ефимов Алексей – Уфа, школа 68, Сапаркин Лев – Казань, лицей-интернат 2, Ладан Екатерина – Набережные Челны, гимназия 26, Пологова Анна – Ижевск, ИЕГЛ «Школа-30», Ламтюгин Алексей – Ульяновск, школа 21, Кондаков Иван – Ярославль, школа 33 им. К.Маркса с углубленным изучением математики, Горбань Степан – Москва, СУНЦ МГУ, Лысенко Николай – Москва, Центр образования «Пятьдесят седьмая школа», Смыкалов Владимир – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Малых Софья – Киров, КФМЛ, Машников Олег – Курган, школа 42, Холодняк Алексей – Майкоп, гимназия 5, Кононов Яков – Улан-Удэ, Российская гимназия 59, Харациди Олег – Набережные Челны, гимназия 26, Попов Максим – Нижнекамск, лицей-интернат 24, Воронов Сергей – Ярославль, школа 33 им. К.Маркса с углубленным изучением математики, Староверов Владислав – Москва, СУНЦ МГУ.

Публикацию подготовили Н.Агаханов, И.Богданов, П.Кожевников, О.Подлипский, Д.Терёшин

ИНФОРМАЦИЯ

Вниманию наших читателей!

Подписка на журнал «Квант» на I полугодие 2011 года принимается во всех почтовых отделениях по ДОПОЛНЕНИЮ к подписному каталогу «Роспечать» (Дополнение вложено в этот каталог). Наш подписной индекс 70465. Подписку также можно оформить по каталогу «Пресса России» по подписному индексу 88275.

56

КВАНТ 2010/№5

ДИПЛОМАНТЫ ОЛИМПИАДЫ

Диплом победителя по 9 классам получили Фещенко Илья – Москва, Рухович Алексей – Москва, Бушмин Иван – Московская область, Гинзбург Лев – Хабаровский край; по 10 классам – Заночкин Андрей – Нижегородская область, Сопенко Никита – Тамбовская область, Паринов Данила – Москва, Чурилов Антон – Тульская область, Арзамасский Лев – Калининградская область; по 11 классам – Горностаев Дмитрий – Республика Мордовия, Кононов Яков – Республика Бурятия, Стройнов Евгений – Москва, Тарасов Артем – Кировская область, Алексеев Алексей – Алтайский край, Карелина Любовь – Свердловская область, Шустикова Анна – Пензенская область, Анаскин Виктор – Алтайский край.

Диплом призера по 9 классам получили Гальковский Егор – Санкт-Петербург, Ивашковский Иван – Москва, Ширкин Михаил – Московская область, Сафонова Оксана – Оренбургская область, Слободсков Игорь – Московская область, Козлов Даниил – Иркутская область, Макаров Эдгар – Нижегородская область, Васильева Александра – Москва, Кибкало Владислав – Нижегородская область, Логинов Николай – Нижегородская область, Синяков Лев – Москва, Лялин Феликс – Ханты-Мансийский автономный округ, Широбоков Михаил – Архангельская область, Косинов Никита – Ульяновская область, Красник Павел – Алтайский край, Оголь Артем – Тамбовская область, Седов Александр – Ульяновская область, Волчкова Анна – Ямало-Ненецкий автономный округ, Сухов Николай – Москва, Варламов Евгений – Республика Коми, Красавина Татьяна – Вологодская область, Дедович Сергей – Московская область, Евсеев Олег – Москва, Жегин Константин – Москва, Силин Игорь – Пермский край, Шишкин Николай – Новгородская область; по 10 классам – Головешкин Александр – Москва, Ноян Алексей – Москва, Шель Егор – Москва, Шуранов Дмитрий – Республика Башкортостан, Акиньщиков Алексей – Новгородская область, Шкляев Михаил – Московская область, Земляков Олег – Республика Чувашская, Тимохин Иван – Москва, Асташкин Роман – Московская область, Ионов Андрей – Москва,

Янушковский Владимир – Москва, Цыбров Федор – Республика Коми, Декань Валентин – Тверская область, Лучников Илья – Кировская область, Прокофьев Вадим – Рязанская область, Семенов Владимир – Вологодская область, Безменова Александра – Москва, Гонин Роман – Московская область, Крайнов Павел – Костромская область, Никитенков Павел – Смоленская область, Циглер Александр – Челябинская область, Базылик Сергей – Санкт-Петербург, Бегун Александр – Приморский край, Голенко Дмитрий – Московская область, Храмцов Игорь – Ульяновская область, Билинский Юрий – Республика Башкортостан, Гамов Артемий – Нижегородская область, Куликов Сергей – Пензенская область, Макаров Даниил – Москва, Ростов Антон – Нижегородская область; по 11 классам – Фролов Федор – Вологодская область, Антоненко Даниил – Ростовская область, Курочкин Никита – Республика Чувашская, Попов Федор – Пермский край, Комендантян Андрей – Самарская область, Артамонов Дмитрий – Нижегородская область, Коновалов Александр – Московская область, Казеев Никита – Санкт-Петербург, Ковалев Кирилл – Ярославская область, Давыдов Иван – Санкт-Петербург, Перевощиков Денис – Кировская область, Лавров Петр – Пермский край, Офенгейм Дмитрий – Санкт-Петербург, Светогоров Александр – Калужская область, Савадян Артем – Москва, Гаврилюк Александр – Пермский край, Бердников Александр – Новосибирская область, Старичков Никита – Калужская область, Шуравин Никита – Свердловская область, Гусач Анастасия – Ростовская область, Ким Александр – Республика Саха (Якутия), Раков Артем – Москва, Смирнов Николай – Новосибирская область, Садков Виктор – Саратовская область, Разумов Дмитрий – Нижегородская область, Костин Петр – Белгородская область, Кукушкин Павел – Московская область, Ефимов Вячеслав – Красноярский край, Николаев Егор – Республика Марий Эл, Усов Роман – Москва, Белянчиков Михаил – Кемеровская область, Новиков Иван – Новосибирская область, Сергеев Александр – Москва.

Публикацию подготовили С.Козел, В.Слободянин

57

ОЛИМПИАДЫ

XIV Международный турнир «Компьютерная физика»

Международный интеллект-клуб (МИК) «Глюон» вновь собрал одаренных школьников и талантливых студентов на свой турнир «Компьютерная физика». Цель турнира – поддержка талантливой молодежи, проявившей интерес к фундаментальной науке и новым информационным технологиям. Задача организаторов турнира – создание временных творческих коллективов для решения современных научных проблем. В такие коллективы входят школьники, учителя, студенты, аспиранты, ученые. Традиционно, турнир проводится в два тура – заочный и очный. Заочный тур XIV Турнира начался в октябре 2009 года рассылкой задания заочного тура «Планетная система» по заявкам в лицеи, школы и гимназии. (Задание было опубликовано в журнале «Квант» № 4 за 2009 год, что значительно увеличило число команд-участниц турнира.) Шесть лучших команд были приглашены на финал – очный тур соревнований. Очный тур XIV Турнира был проведен с 31 января по 7 февраля 2010 года в городе Протвино на базе Института физики высоких энергий при участии и поддержке МГУ им. М.В.Ломоносова, фонда «Династия», компаний «Кирилл и Мефодий», «Физикон», «1С», журналов «Квант» и «Физика в школе» и Издательского дома «Первое сентября». Оргкомитет турнира выражает благодарность всем названным организациям за помощь в проведении турнира и поддержку одаренных школьников и талантливых студентов. Участники очного тура соревновались в решении задачи «Шайба на полусфере». По итогам двух туров абсолютным победителем XIV Турнира стала команда лицея 1511 при Московском инженерно-физическом институте (МИФИ), получившая переходящий приз «Хрустальный глобус», диплом I степени и памятные знаки. Дипломы II степени в этом году получили ФМЛ 1580 при Москоском государственном техническом университете (МГТУ) им. Н.Э.Баумана и Самарский международный аэрокосмический лицей, а диплом III степени – команда из Казахстана. Участникам соревнований было вручено множество призов от спонсоров и организаторов турнира. В рамках турнира был проведен также конкурс компьютерного творчества, включающий три направления: «Виртуальная физическая лаборатория» (разработанная компани-

ей «Физикон»), конкурс научных проектов и командная интеллектуальная компьютерная игра. Международный интеллект-клуб «Глюон» приглашает региональные центры, гимназии и школы, работающие с одаренными детьми, принять участие в XV Турнире «Компьютерная физика» в январе-феврале 2011 года. Заявки на участие присылайте по адресу: 115522 Москва, Пролетарский пр., 15/2, МИК «Глюон» Телефон (495)517-8014, факс: (495) 396-8227 Е-mail: gluon@yandex.ru Сайт: www. gluon.ru Ниже приводится задание заочного тура следующего турнира.

Задание заочного тура XV Турнира

«Комбинационное рассеяние»

Нелинейные оптические явления возникают в среде в результате возбуждения колебаний на частотах, не совпадающих с частотой падающего электромагнитного излучения. Первым было открыто явление комбинационного рассеяния в 1928 году советскими физиками Г.С.Ландсбергом и Л.И.Мандельштамом при исследовании рассеяния света в кристаллах и индийским физиком Ч.Раманом при исследовании рассеяния света в жидкостях. Это явление заключается в том, что при облучении среды светом с частотой $\omega$ в рассеянном свете возникает излучение на частоте Ω $= \omega \pm \omega_{0}$, где $\omega_{0}$ – собственная частота колебаний в среде. В случае среды типа разреженного газа собственная частота колебаний – это частота колебаний электронов в атомах или молекулах. Для разности частот говорят о стоксовом комбинационном рассеянии, а для суммы частот – об антистоксовом комбинационном рассеянии. Спонтанное комбинационное рассеяние (СКР) наблюдается при взаимодействии излучения с атомами и молекулами, совершающими тепловые колебания. Создание мощных лазерных источников излучения привело к открытию в 1962 году эффекта вынужденного комбинационного рассеяния (ВКР), которое возникает вследствие раскачки атомных колебаний воздействующим на среду сильным электромагнитным излучением. Соответственно, сигнал вынужденного рассеяния оказывается существенно сильнее сигнала спонтанного рассеяния. Комбинационное рассеяние представляет собой современный метод изучения структуры и строения среды. Наиболее эффективным является метод когерентного антистоксового рассеяния света (КАРС). Идея этого метода заключается в принудительном возбуждении собственных колебаний среды под действием двух пучков световых волн (волн накачки) с частотами $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ такими, что их разность равна собственной частоте колебаний в среде: $\omega_{1} - \omega_{2} = \omega_{0}$. В этом случае происходит резонансное раскачивание колебаний атомов в молекулах. Исследуется сигнал комбинационного рассеяния, возникающий при прохождении через среду пробной волны с частотой $\omega_{3}$. Обычно в качестве пробной волны используется одна из волн накачки, например с частотой $\omega_{1}$. Излучение в этом случае можно наблюдать на частоте

59

ОЛИМПИАДЫ

площадей всех элементарных трапеций. Для второго интеграла вычисления аналогичны.

Литература равна $\Delta t ( f_{i} + f_{i} +_{1} ) 2$. Значением интеграла будет площадь всей фигуры под графиком подынтегральной функции на интервале интегрирования. Эта площадь является суммой

1. А.И.Фишман. Спектроскопия когерентного антистоксова рассеяния света (Соросовский Образовательный Журнал, т. 7, № 4, 2001) 2. В.С.Горелик. Комбинационное рассеяние света (Соросовский Образовательный Журнал, т. 3, № 6, 1997) 3. Н.Н.Калиткин. Численные методы 4. Л.В.Турчак. Численные методы

Публикацию подготовили В.Альминдеров, А.Кравцов

Московская студенческая олимпиада по физике 2010 года

22 мая в Московском государственном техническом университете (МГТУ) им. Н.Э.Баумана прошел городской (II) тур Всероссийской физической олимпиады студентов технических вузов. По результатам соревнований первые пять команд приглашены для участия в заключительном (III) туре олимпиады. Это команда МГТУ им. Н.Э.Баумана, набравшая 189 баллов, команда Национального исследовательского института «МИСИС» (127 баллов), команда Российского государственного университета нефти и газа им. И.М.Губкина (92 балла), команда Московского энергетического института (66 баллов) и команда Московского государственного университета путей сообщения (57 баллов). Победители в личном зачете (все из МГТУ им. Н.Э.Баумана): Р.Логин – первое место, А.Панфилов – второе место, К.Шириазданов – третье место.

ЗАДАЧИ ОЛИМПИАДЫ

1. Заряд q массой m движется в вязкой среде с коэффициентом сопротивления k в поперечном однородном магнитном поле B с начальной скоростью v. Определите путь, который пройдет заряд, когда вектор его скорости повернется на $360^\circ. 2.$ Сплошной кубик с ребром с и массой m скользит одной гранью по горизонтальной поверхности с коэффициентом трения, равным 1. В начальный момент скорость кубика равна $v_{0}$, и он наезжает на узкую поперечную полоску шириной a ≪ c с коэффициентом трения, равным 5/3. С какой скоростью будет двигаться кубик после преодоления полоски, если известно, что он не перевернулся? 3. Три цилиндра радиусом R лежат друг на друге на гладкой горизонтальной поверхности. Их оси параллельны поверхности и друг другу. Массы нижнего и верхнего цилиндра равны m, а массой среднего можно пренебречь. В начальный момент времени система потеряла устойчивость и стала двигаться так, что средний цилиндр начал выдавливаться вбок. Определите скорость верхнего цилиндра в момент соприкосновения с нижним, если проскальзывание между цилиндрами отсутствует. 4. Определите максимальную температуру, до которой можно нагреть тело, если в распоряжении имеется тепло- вой резервуар бесконечной теплоемкости с температурой Т и идеальная тепловая машина с максимальной степенью сжатия, т.е. отношением максимального объема идеального газа в тепловой машине к минимальному, равной $\varepsilon$. Коэффициент адиабаты газа $\gamma. 5.$ Металлическая сфера радиусом R разделена по диаметральной плоскости, и половинки изолированы друг от друга. Одна полусфера заряжена зарядом q, при этом сила взаимодействия между половинками равна f. Определите, какой будет сила взаимодействия, если вторую полусферу зарядить зарядом Q. 6. Определите напряженность электрического поля во всех точках плоскости, проходящей через границы двух параллельных полуплоскостей, направленных в разные стороны, если расстояние между полуплоскостями равно а и они равномерно заряжены с поверхностной плотностью заряда $\sigma$. Угол между плоскостью и полуплоскостями равен $\alpha. 7.$ Если металлическое тело емкостью С зарядить до потенциала $\phi$, а затем поднести его к другому металлическому телу, емкость которого равна $C_{1}$, и коснуться его, то потенциал второго тела после удаления первого станет $\phi_{1}$. Определите, до какого потенциала можно зарядить второе тело многократным повторением этой операции. 8. Определите силу взаимодействия на единицу длины между двумя частями цилиндрического проводника радиусом R с током, равномерно распределенным по его поперечному сечению с плотностью j, полученными в результате рассечения цилиндрического проводника плоскостью, проходящей через ось цилиндра. 9. Интенсивность первого главного максимума дифракционной картины решетки равна $I_{0}$. Каждую третью щель этой решетки закрыли. Чему стали равны интенсивности первого, второго и третьего главных максимумов новой дифракционной решетки?

Публикацию подготовили В.Голубев, С.Пырлин, М.Яковлев