Квант 2010, №6 · Страницы

1

НОЯБРЬ

ДЕКАБРЬ

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ

2010

©

Ю№6

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

ЖУРНАЛ

ИЗДАЕТСЯ С ЯНВАРЯ 1970 ГОДА

В номере:

2 5 13

Учредитель — Российская академия наук Издатель – ООО НПП ОО «Бюро Квантум»

17 19 25

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» Задачи М2199–М2205, Ф2205–Ф2212 Решения задач М2176–М2183, Ф2190–Ф2195 О покрытии целых чисел прогрессиями

27 28 28

К М Ш Задачи Конкурс имени А.П.Савина «Математика 6–8» Летний турнир имени А.П.Савина.

32

КАЛЕЙДОСКОП «КВАНТА» Стереометрия для всех

35

ШКОЛА В «КВАНТЕ» Метод изогональных прямых. И.Кушнир

37

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК Чудеса инверсии. Т.Емельянова

38

ЛАБОРАТОРИЯ «КВАНТА» Электричество из фруктов. Э.Марчук

40

ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА Движение заряженных частиц в магнитном поле. А.Черноуцан

44 45

ОЛИМПИАДЫ LI Международная математическая олимпиада XLI Международная олимпиада школьников по физике

49 55 58 59

ИНФОРМАЦИЯ Очередной набор в ОЛ ВЗМШ Федеральная заочная физико-техническая школа при МФТИ Новый прием в школы-интернаты при университетах Конкурс «Свободный полет» в 2011 году

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР

В.В.Козлов

ПЕРВЫЙ ЗАМЕСТИТЕЛЬ ГЛАВНОГО РЕДАКТОРА

С.С.Кротов

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ

А.Я.Белов, Ю.М.Брук, А.А.Варламов, А.Н.Виленкин, В.И.Голубев, С.А.Гордюнин, Н.П.Долбилин (заместитель главного редактора), В.Н.Дубровский, А.А.Егоров, А.В.Жуков,

А.Р.Зильберман, П.А.Кожевников,

С.П.Коновалов, А.А.Леонович, Ю.П.Лысов, В.В.Произволов, Н.Х.Розов, А.Б.Сосинский, А.Л.Стасенко, В.Г.Сурдин, В.М.Тихомиров, В.А.Тихомирова, В.М.Уроев, А.И.Черноуцан (заместитель главного редактора)

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ

А.В.Анджанс, М.И.Башмаков, В.И.Берник, В.Г.Болтянский, А.А.Боровой, Н.Н.Константинов, Г.Л.Коткин, С.П.Новиков, Л.Д.Фаддеев

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 1970 ГОДА

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР

И.К.Кикоин

ПЕРВЫЙ ЗАМЕСТИТЕЛЬ ГЛАВНОГО РЕДАКТОРА

А.Н.Колмогоров

Л.А.Арцимович, М.И.Башмаков, В.Г.Болтянский, И.Н.Бронштейн, Н.Б.Васильев, И.Ф.Гинзбург, В.Г.Зубов, П.Л.Капица, В.А.Кириллин, Г.И.Косоуров, В.А.Лешковцев, В.П.Лишевский, А.И. Маркушевич, М.Д.Миллионщиков, Н.А.Патрикеева, Н.Х.Розов, А.П.Савин, И.Ш.Слободецкий, М.Л.Смолянский, Я.А.Смородинский, В.А.Фабрикант, Я.Е.Шнайдер

Товарный знак «Журнал «Квант» является собственностью ООО НПП ОО «Бюро Квантум» © 2010, РАН, журнал «Квант»

Над пожаром – самолет. В.Вышинский, М.Кудров, А.Стасенко Разбиения на домино и функции высоты. Е.Карпов, К.Кохась О муарах, оживших иллюстрациях и пользе моделей. З.Пятакова, А.Пятаков

60 63

Ответы, указания, решения Напечатано в 2010 году Памяти А.Р.Зильбермана (25)

НА ОБЛОЖКЕ

I II III IV

Иллюстрация к статье З.Пятаковой и А.Пятакова Коллекция головоломок Шахматная страничка Прогулки с физикой

Этот номер журнала «Квант» вышел при финансовой поддержке компании The McGraw-Hill Companies

2

Над пожаром – самолет

В.ВЫШИНСКИЙ, М.КУДРОВ, А.СТАСЕНКО

« Т

О ЛЕТО БЫЛО ГРОЗАМИ ПОЛНО,/ ЖАРОЙ И ДУ- хотою небывалой, /…/И солнце даже в полдень было ало» (Н.Гумилев). В таких условиях высока вероятность страшных лесных пожаров. Вот художественное описание одного из них: «Огонь шел торопливой, рокочущей лавиной, бешено неся всему смерть. Деревья, будто собираясь бежать, пытались сорваться с места, раскачиваясь и тревожа корни. Но тщетно гудели они вершинами, тщетно роняли смолистые слезы. Еще мгновение – и враз вспыхивает, подобно оглушительному взрыву, целая стена ужаснувшихся деревьев, с треском одеваются хвои в золото, и все тонет в огне. Дальше и дальше, настойчиво и властно плывет пылающая лава, и нет сил остановить ее» (из повести «Тайга» В.Я.Шишкова). Оказывается, сила, способная остановить пожар, есть. Это – авиация. И действительно, кто кроме противопожарного самолета сможет за несколько секунд набрать десяток тонн воды из реки, озера или моря и сбросить их на пылающую полосу леса с безопасной высоты? Конечно, чем больше высота, тем безопасней. Но если забраться слишком высоко – то что долетит до земли? Рассеянное облако капель? Благодаря многолетнему опыту уже выработана минимальная норма: для тушения крупного лесного пожара перед его фронтом нужно создать полосу орошения порядка десяти метров шириной, причем на каждый квадратный метр площади орошения должен выпасть примерно один литр воды. Понятно, что существует оптимальная высота работы самолета такая, что, с одной стороны, ширина падающей массы воды успеет вырасти до десяти метров за счет деформации и дробления ее первоначального объема, а с другой – еще не вся масса превратится в капли, легко уносимые ветром. Можно оценить и длину полосы орошения. Если самолет сбросит, например, три тонны воды (или $3 \cdot 10^{3}$ л), то при норме поверхностной плотности 1 л $м^{2}$ и требуемой ширине полосы 10 м получим длину порядка 300 м. Но это если бы вся вода долетала до этой полосы и оседала равномерно. А если долетает только половина, то эта длина сокращается вдвое, а если треть, то… И тут уже нужно строить физикоматематическую модель процессов, происходящих со сброшенной водой. Для начала обратимся к эксперименту. В летных условиях трудно что-либо измерить внутри падающей массы воды (разве что посадить туда аквалангиста с парашютом и приборами). Однако, кое-что дают и внешние впечатляющие киносъемки (рис.1). Прежде

Рис. 1. Противопожарный самолет, сбрасывающий воду

всего, видно, что жидкость через некоторое время после «выпадения» из люка распадается на части (рис.2). Этот распад происходит из-за воздействия набегающего (со скоростью $u_{0} )$ потока воздуха, который сплющивает жидкость в поперечном направлении.

Рис. 2. Дробление жидкости при падении на землю

Жидкость дробится на части на расстоянии порядка 10 м по вертикали от самолета. В этот момент скорость падения жидкости составляет приблизительно 10 м/с, а горизонтальная скорость относительно земли почти равна скорости самолета.

3

НАД

ПОЖАРОМ

Конечно, в этом процессе «почти вертикального» падения происходит интенсивный сдув поверхностного слоя воды. Экспериментаторы установили, что до момента дробления основного объема жидкости в виде капель уже потеряны 20–30% от начальной массы. В результате образуется широкий спектр размеров «кусков» воды – от крупных фрагментов, продолжающих разрушаться под напором воздуха, до мелкой водяной пыли, далеко простирающейся за самолетом, которая будет унесена ветром или восходящим горячим потоком от пожара. Разумеется, нас прежде всего интересует судьба тех фрагментов первоначальной массы воды, которые должны попасть в нужное место на поверхности земли. Это похоже на проблему бомбометания, которая была решена изобретением приборов, учитывающих скорость и высоту полета, ветер, а также расстояние до цели. Только в рассматриваемом случае «бомба» имеет переменную массу и непредсказуемую форму. А как заманчиво было бы сделать этакое бортовое устройство, которое вычисляло бы, с учетом всех определяющих факторов, тот момент, когда нужно нажать кнопку сброса воды. Или еще лучше – чтобы оно само нажало такую кнопку. В принципе, современный уровень развития аэрогидродинамики позволяет численно решить такую задачу, да вот беда – долго ждать, пока даже самые современные компьютеры проведут вычисления. Но попробуем исследовать отдельные черты явления, пользуясь теми подсказками, которые уже представил нам летный эксперимент. Прежде всего, выделим в струе воды, вытекающей из самолета, горизонтально-плоский фрагмент воды, который первоначально имел форму прямоугольного люка. Рассматриваемая нами жидкость обдувается встречным потоком воздуха. Используя современный пакет программ численного исследования, получим

–

САМОЛЕТ

характерную картину (рис.3), соответствующую определенному моменту времени. В нашем случае выбраны скорость полета $u_{0} = 70$ м с и момент времени t = = 0,27 с. Конечно, на рисунке приведена только половина «вида сверху» этого слоя (в целях экономии места) – поскольку имеется вертикальная плоскость симметрии. Под рисунком приведена принятая декартова система координат: ось х направлена вдоль скорости «обдува» слоя воды (она равна скорости полета с противоположным знаком), ось z – перпендикулярна ей и лежит в горизонтальной плоскости, ось y – вертикальна. Здесь же дана цветная оцифровка значений скорости и геометрический масштаб. Стрелками показано направление скоростей воздуха. Видны истонченные концевые области сильно деформированного «прямоугольника», с которых должны особенно интенсивно срываться более мелкие фрагменты и капли. За бывшим прямоугольником видно образование вихрей, которые способствуют удержанию капель вблизи падающей массы воды. Но эта модель плоского слоя предполагает, что ктото насильно удерживает воду между двумя фиксированными плоскостями. В реальности уже через короткий промежуток времени оставшаяся масса воды будет сплющена набегающим потоком воздуха и станет скорее похожа на вертикальный блин, который далее развалится на части; эти части, в свою очередь, сплющатся и развалятся и так далее – вплоть до падения на землю или полного распыления на мелкие капли (в случае очень большой высоты полета). И тут возникает другая модель постадийного дробления (см. рис.2). Пусть на некотором этапе процесса – его номер j – водяной фрагмент имеет форму шара радиусом r j. Сплющиваясь под напором воздуха, он превращается в блин (по-научному, эллипсоид вращения) с отношением осей $\Delta x \Delta y = 1 10$, после чего

Рис. 3. Распределение скорости и образование вихря в падающем фрагменте воды

10

КВАНТ 2010/№6

Рис.20. Три вида кирпичей для крепости Янга

Докажите это самостоятельно. Заметим, кстати, что конструкции, с помощью которых мы задавали функции высоты, не являются единственно возможными. Например, если мы уже придумали трехмерную модель, ничто не мешает повернуть ее в пространстве. В результате высуты всех точек изменятся довольно хитро и комбинаторное правило, задающее функцию высоты, может стать совершенно неудобоваримым. Теперь, когда функция высоты задана, мы можем сконструировать «кирпичи», соответствующие флипам. Как и в предыдущем параграфе, рассмотрим фигуру (квадрат из двух доминошек или ромб из четырех доминошек), в которой выполняется флип, и для каждого узла этой фигуры построим точку в трехмерном пространстве, у которой z-координата равна значению функции высоты в этом узле. Построенные точки определяют некоторый многогранник. Флипу первого вида соответствует тетраэдр, а флипам второго вида – четырехугольная пирамида (рис.20). Итак, выполнение флипа – это добавление или вынимание кирпича из некоторой коробки, где под коробкой мы, как и раньше, понимаем график минимальной функции высоты. Разбиение на домино, соответствующее пустой коробке, показано на рисунке 21 слева; полной коробке (т.е. максимальной функции высоты) соответствует разбиение на рисунке 21 справа. Как видим, у нашей коробки две противополож-

Рис.21. Пустая и заполненная коробки

ные вершины крепости расположены низко (на высоте 0), а две другие – высоко (на высоте 3). Таким образом, коробка для кирпичей по форме близка к тетраэдру (сравните с рисунком 20,а). Несколько примеров заполнения коробки показаны на рисунках 23–27.

Опишем процесс заполнения пустой коробки по слоям на примере коробки $5 \times 5$. Самое низкое место в пустой коробке – это диагональ, идущая слева снизу вправо вверх (рис.21, слева). Положим вдоль этой диагонали 5 тетраэдров, верхние ребра тетраэдров находятся на высоте 1 (рис.22,а; на рисунке 25 показано, как выглядит коробка, когда добавлен один тетраэдр). На диагонали осталось 6 точек, находящихся на высоте 0. С крайними мы ничего сделать не сможем, а остальные 4 точки накроем перевернутыми пирамидами (кирпичи третьего вида, см. рис.20,в), получится большая плоская площадка на высоте 1 (рис.22,б). На этой площадке мы можем поставить 6 пирамид (кирпичи второго вида, см. рис.20,б), вершины пирамид должны находиться над отмеченными узлами. Другое размещение пирамид тут невозможно, потому что, как мы отмечали, центр ромба, где происходит соответствующий флип, должен лежать на базовой квадратной сетке; если же, к примеру, сделать флип в ромбе с центром на рассматривавшейся диагонали, то это приведет к удалению одной из только что уложенных перевернутых пирамид (рис.26). Итак, добавив 6 пирамид, мы получили картинку, изображенную на рисунке 22,в. Добавленные пирамиды соприкасаются друг с другом и с коробкой ребрами на высоте 1, положим на эти ребра тетраэдры: 9 тетраэдров на ребра, идущие в одном диагональном направлении, и 4 – на ребра второго диагонального направления; результат показан на рисунке 22,г. Оставшиеся внутри площадки вершины на высоте 1 накроем 6 перевернутыми пирамидами, получится большая плоская площадка на высоте 2 (рис.22,д). На эту площадку мы ставим 4 пирамиды с вершинами, расположенными над отмеченными узлами, результат показан на рисунке 22,е. Если теперь закрыть ребра, лежащие на высоте 2, пятью тетраэдрами, получится заполненная коробка (см. рис. 21, справа). Вся эта конструкция напоминает укладывание яиц в коробку: сначала кладут подложку с лунками для яиц, потом кладут сами яйца, а сверху их закрывают перевернутой подложкой и т.д. Для подсчета количества флипов нам понадобится следующая лемма.

Лемма $2. 1 \cdot ( n - 1 ) + 2 \cdot ( n - 2 ) + 3 \cdot ( n - 3 ) +^{…}$

… $+ ( n - 2 ) \cdot 2 + ( n - 1 ) \cdot 1 = ( n - 1 ) n ( n + 1 ) 6$.

13

О муарах, оживших иллюстрациях и пользе моделей

З.ПЯТАКОВА, А.ПЯТАКОВ

ВНАШЕ ВРЕМЯ ЭЛЕКТРОННЫЕ КНИГИ ВСЕ СИЛЬ- нее теснят своих бумажных собратьев, но те так просто сдавать позиции не намерены. Недавно появились книжки с картинками, «оживающими» в тот момент, когда читатель начинает перелистывать их страницы (рис.1). От старой доброй книги подобных

читатель может легко найти их в Интернете по ключевому слову Scanimation. В наши руки попал экземпляр такой книги, оживляющей героев сериала «Звездные войны», и мы не смогли удержаться, чтобы не посмотреть, что там внутри. С помощью лезвия бритвы мы разделили слои, из которых была склеена страница книги (рис.2,а). Оказалось, что под прозрачной пленкой с нанесенной на ней решеткой из вертикальных черных линий скрывается рисунок, в котором можно угадать первоначальный образ иллюстрации, но при пристальном разгля- б)

Рис. 1. Книжки с «оживающими» картинками

способностей, казалось бы, никак нельзя ожидать. Неудивительно, что за рубежом эти книги уже стали лидерами продаж. На полках наших книжных магазинов книжки такого типа пока еще не появились, но а) в)

Рис. 2. Как же устроена «оживающая» картинка?

14

КВАНТ 2010/№6

дывании становится заметно, что он состоит из серий вертикальных полос (рис.2,б; вставка). Эти серии полос соответствуют различным фазам движения объекта. Если снова наложить прозрачную пленку с вертикальной штриховкой на рисунок и начать двигать ее (рис.2,в), то картинка оживет, и фигуры начнут свое движение. Вам ничего это не напоминает? Отвлечемся от космических баталий и зайдем в тихую комнату, на окнах которой висят легкие тюлевые занавески. Посмотрите, что будет, если наложить шторы одна на другую, – возникнет переменчивая картина из светлых и темных областей. Такие картины называются муарами – от красивого французского слова moire, означающего ткань с разводами, переливающуюся на свету различными оттенками. Муары возникают всегда, когда накладываются друг на друга периодические структуры, будь то нити полотна, решетки изгороди или зубья расчески (рис.3).

б) а)

наты, в нашем же случае мы рисуем решетки с резкими краями и изменение происходит только в пространстве. Но в принципе нам ничто не мешает нарисовать и синусоидальное распределение интенсивности – картина муаров существенно не изменится, только станет менее резкой. Ну, а теперь приступим к опытам. Распечатаем периодические системы штрихов (рис.4,а) или концентрических колец (рис.4,б) сначала на прозрачной

Рис.4. Периодические структуры штрихов и колец

пленке, а затем на бумаге. Наложим эти две распечатки – прозрачную и непрозрачную – друг на друга под различными углами, и мы увидим неоднородное распределение плотности штрихов (рис.5).

Рис.3. Возникновение муаров

Муары могут наблюдать и пользователи компьютера – при рассматривании в мелком масштабе полосатых рисунков откуда ни возьмись появляются кольца, причем при изменении масштаба рисунка размеры колец меняются. Для дизайнеров и фотографов муары превращаются в досадную помеху, с которой они стараются разными методами бороться. Мы предлагаем читателю создать свои узоры и поэкспериментировать с ними, а чтобы это не было пустой забавой, заодно промоделировать с помощью муаровых узоров явления интерференции волн. Действительно, у муаров и электромагнитных волн есть одно общее свойство – периодичность. Так, в электромагнитной волне периодически меняются в пространстве и во времени электрическое и магнитное поля, а для муара характерна периодичность в пространстве. Если в некоторой области пространства встречаются две волны, то происходит наложение волн друг на друга, подобно тому, как накладываются друг на друга две гребенки (см. рис.3,б). И при определенных условиях возникает интерференционная картина с характерным чередованием максимумов и минимумов интенсивности. Таким образом, для объяснения интерференции можно пользоваться моделью муаров. Правда, здесь нужно сделать небольшую оговорку – обычно для света характерна гармоническая, т.е. синусоидальная зависимость напряженности поля от времени и коорди-

Рис.5. Муаровая модель интерференции плоских и сферических волн

Те же самые опыты можно проводить даже без печати картинок на пленке, а просто разглядывая их на экране компьютера в каком-либо графическом редакторе, позволяющем работать с отдельными объектами и прозрачностью. Поворачивая решетки друг относительно друга, можно наблюдать, как меняется картина. Отметим, что случай параллельных линий моделирует интерференцию плоских волн, а системы концентрических окружностей – интерференцию сферических волн. На этих моделях легко увидеть, как зависит интерференционная картина от угла между плоскими волнами (см. рис.5,а) и от расстояния между точечными источниками (см. рис.5,б). Чем ближе друг к другу направления распространения волн или места расположения точечных источников, тем шире интерференционные полосы (рис.6). Этот факт хорошо известен, но, тем не менее, не очень хорошо укладывается в сознании человека, только начавшего изучать явление интерференции волн. Муаровая модель позволяет прочувствовать эти закономерности «на кончиках пальцев». Заметим еще одно свойство муаров (см. рис.6): муаровые узоры намного крупнее, чем породившая их структура. Это обстоятельство с успехом используется

15

О

МУАРАХ,

ОЖИВШИХ

ИЛЛЮСТРАЦИЯХ

И

ПОЛЬЗЕ

МОДЕЛЕЙ

Рис.6. Взаимное расположение источников света и ширина интерференционных полос

в современной микроскопии сверхвысокого разрешения. Представим себе, что мы хотим изучить поверхность с таким мелким рельефом, что в обыкновенный оптический микроскоп увидеть ее уже нельзя. И тут на помощь приходит эффект муаров: если осветить объект излучением с периодическим распределением интенсивности в пространстве, т.е. так, чтобы световое пятно само образовывало решетку из темных и светлых полос, то эти две решетки (рельеф и подсветка) дадут крупную муаровую картину, которую легко увидеть в микроскоп. Правда, нужно еще уметь отделить само изображение от муаров. Однако, зная структуру подсветки, а также сняв кадр при однородном освещении, с помощью вычислений можно получить изображение поверхности с разрешением, вдвое превосходящем возможности микроскопа. Конечно, объем вычислений при обработке изображений будет значителен, но в наш цифровой век это никого не смущает. А можно ли с помощью муаров делать количественные расчеты интерференционных картин? К сожалению, здесь все не так просто. Электромагнитная волна, в отличие от муаров, меняется и в пространстве и во времени, и разности хода двух волн в одной точке пространства нельзя однозначно поставить в соответствие какое-либо расстояние на картине муаров. В то же время для понимания качественных закономерностей интерференционных картин муары вполне помогают. Наконец, муары позволяют разобраться в одном из самых сложных вопросов физической оптики: в понятии когерентности. Напомним, что волны называются когерентными, если разность фаз возбуждаемых волнами колебаний остается постоянной во времени. Попробуем сопоставить понятию когерентности наглядные образы с помощью все той же муаровой модели. Нарисуйте на прозрачной пленке (или в графическом редакторе) несколько коротких элементов решеток со случайным расстоянием между ними (рис.7,а) или повернутыми на небольшой случайный угол друг относительно друга (рис.7,б). Здесь важно, чтобы рассто-

яние между системами решеток или угол, на который они повернуты, были именно случайными величинами, т.е. не подчинялись никакому заранее заданному закону. Если наложить такие решетки друг на друга, то уже не будет видно четкой интерференционной картины с определенным периодом, а получится некоторое среднее распределение освещенности (рис.7,в, г). В таком случае говорят, что волны являются некогерентными, причем определить на глаз причину некогерентности нельзя. Но в случае с рисунками 7,в и 7,г все же понятно, что причины, вызвавшие некогерентность, разные.

Рис.7. Иллюстрация нарушения когерентности на модели муаров

Обычно выделяют два вида когерентности – пространственную и временнэю. Пространственная когерентность означает, что разность хода волн, излученных разными точками протяженного источника в один и тот же момент времени, остается постоянной во времени. Временнбя когерентность означает, что разность хода волн, излученных одной точкой источника в разные моменты времени, остается постоянной во времени.

16

КВАНТ 2010/№6

Иллюстрацией нарушения временнуй когерентности будет случайное распределение расстояний между системами решеток (см. рис.7,а), а иллюстрацией нарушения пространственной когерентности – случайное распределение углов наклона решеток (см. рис.7,б). При этом можно считать, что по горизонтальной оси на этих рисунках представлено время. Как же количественно охарактеризовать когерентность? Для этого существуют понятия длины и времени когерентности. (В школьном курсе физики эти понятия не вводятся, более подробно с ними можно ознакомиться в учебниках для вузов, например – в «Курсе общей физики» И.В.Савельева.) Длина когерентности – это максимальная разность хода волн, излученных источником, при которой еще наблюдается устойчивая интерференционная картина. Время когерентности – это максимальная разность времен прихода волн в данную точку пространства, при которой еще наблюдается устойчивая интерференционная картина. Для света, распространяющегося в вакууме, длина когерентности l связана со временем когерентности $\tau$ следующим образом: $l = c \tau$, где с – скорость света. Время когерентности для точечного источника можно определить как длительность одного импульса, или, как говорят, цуга излучения. За это время случайное изменение фазы колебаний достигает значения порядка $\pi$. Длина отдельного элемента периодической структуры на рисунке 7,а как раз и характеризует время когерентности. Если мы будем рассматривать части муара размером меньше этой длины, то увидим четкую картину, а если будем рассматривать в более крупном масштабе – увы, видно будет только нечто среднее. Для пространственной когерентности вводится радиус когерентности – характерный размер источника, при котором волны, излучаемые им, можно считать когерентными. Радиус когерентности определяется как $r = \lambda / \phi$, где $\lambda$ – длина волны излучения, $\phi$ – диапазон углов, в котором наблюдатель может зарегистрировать излучение источника. В случае пространственной когерентности максимальный угол, на который повернуты решетки друг относительно друга на рисунке 7,б, и характеризует радиус когерентности. Для каждого источника света ограничения пространственной и временнуй когерентности действуют одновременно, только могут проявляться в разной мере. Например, для источников малых размеров, излучающих разные длины волн (таких, как лампочка накаливания ), сильнее проявляется ограничение временнуй когерентности, а для протяженных источников, излучающих в узком диапазоне длин волн, сильнее проявляется ограничение пространственной когерентности. На пространственных масштабах меньше длины когерентности или на временнѣ ых интервалах меньше времени когерентности интерференцию волн наблюдать можно, а если мы рассматриваем большую область пространства или большой интервал времени, то в среднем распределение энергии будет однородным. Именно такую картину мы и наблюдаем при наложении света, например, двух лампочек накаливания. Для лампочки время когерентности составляет около $10^{-} 8 c$,

и наш глаз, конечно, не замечает быстрых мельканий интерференционной картины – ведь характерное время реакции глаза приблизительно 0,1 с. Получается, что за время реакции глаза интерференционная картина успевает измениться десятки миллионов раз! Большинство природных источников света имеют малое время когерентности, и поэтому мы не наблюдаем интерференции независимых источников. Чтобы побороть временнэю некогерентность, «делают» два источника из одного. Например, в классическом опыте Юнга два небольших отверстия в экране освещались одной световой волной. В таком случае эти источники-отверстия уже будут связаны друг с другом по времени, т.е. будут когерентными. Для борьбы с пространственной некогерентностью необходимо уменьшить размер источника, т.е. выделить из него малую часть. В том же опыте Юнга, если отверстия расположить слишком далеко друг от друга или сделать их слишком крупными, вступит в действие ограничение пространственной когерентности, и интерференционная картина размажется. Но существуют и такие источники света, которые без всяких дополнительных ухищрений могут давать интерференционную картину. Это – лазеры. Для лазера время когерентности оказывается порядка $10^{3}$ с, а длина когерентности составляет приблизительно $10^{11}$ м – больше диаметра земной орбиты! Однако и в лазерах часто вступает в действие ограничение пространственной когерентности. Например, если внимательно посмотреть на пятно, даваемое обычной лазерной указкой (только не заглядывайте прямо в сам лазер, это опасно для глаз), там можно увидеть постоянно изменяющуюся структуру из множества точек. Эти точки действуют как независимые источники, и такой свет не обладает пространственной когерентностью, что связано с большим углом расходимости обычной лазерной указки. О лазерах можно рассказывать долго, но о них можно прочитать в других статьях и книгах. Наша же статья подходит к завершению, и мы надеемся, что сравнение таких, казалось бы, далеких вещей – света и муаров – позволит вам лучше понять и то и другое.

Рис.8. Что же здесь изображено?

Напоследок попробуйте отгадать, что изображено на рисунке 8. Догадались? А сможете подобрать такую решетку, чтобы оживить эту картинку?

27

КМШ

Задачи

В фотоателье есть правило: если фотографий меньше ста, то напечатать одну фотографию стоит 3 руб. 50 коп., а если фотографий 100 или больше, то печать одной фотографии стоит 3 руб. Получается, что выгоднее отдать в печать 100 фотографий по 3 руб., чем 99 по 3,5 руб. При каком наименьшем числе фотографий можно добавить еще несколько фотографий, чтобы после этого плата за печать уменьшилась? А.Ковальджи

Саша, Дима и Федя коллекционируют кусочки пазла «Крошка Енот». Пазл – это картинка, разрезанная на кусочки хитрой формы, среди которых нет одинаковых. Если бы у Феди был желтый кусочек с носом Енота, у Саши был зеленый кусочек с хвостом, а у Димы был синий кусочек с лапкой, то оказалось бы, что любые два мальчика, собравшись вместе, могли бы из своих кусочков составить картинку целиком. Докажите, что уже сейчас втроем мальчики cмогут целиком составить пазл. Ф.Бахарев

Иллюстрация Д.Гришуковой

Спичками изображена фигура, представляющая собой объединение четырех одинаковых кубиков. На изображении четвертый кубик не виден, он спрятан за тремя видимыми кубиками. Переложите девять спичек так, чтобы все четыре кубика этой фигуры можно было увидеть. Н.Авилов

Разрежьте по клеточкам квадрат размером $10 \times 10$ клеток на 5 прямоугольных частей по схеме, показанной на рисунке, так, чтобы площадь прямоугольника A была больше площади каждой из остальных частей и при этом периметр прямоугольника B был больше периметра каждой из остальных частей. К.Кохась

Придумайте четырехзначное число, которое не делится на 2010, но если его запись повторить 15 раз, то полученное многозначное число будет делиться на 2010. Н.Кушпель

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6–8 классов. Задачи 3, 4, 5 предлагались на районном туре 77-й Санкт- Петербургской олимпиады школьников по математике.

28

КВАНТ 2010/№6

Конкурс имени А.П.Савина

«Математика 6–8»

Мы продолжаем очередной конкурс по решению математических задач для учащихся 6–8 классов. Решения задач высылайте в течение месяца после получения этого номера журнала по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» или по электронному адресу: math@kvant.info (с пометкой «Конкурс «Математика 6–8»). Не забудьте указать имя, класс и домашний адрес. Как и прежде, мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и математических кружков. Руководителей кружков просим указать электронный адрес или контактный телефон. По традиции, кружки-победители заочного конкурса приглашаются на финальный очный турнир.

11. Настольные часы с часовой и минутной стрелками имеют форму куба с круглым циферблатом в центре одной из граней. На часах нет чисел и каких-либо пометок, показывающих, где у них верх. Поэтому можно случайно поставить их на бок или даже вверх ногами. а) Какое время показывают часы на рисунке? б) Есть ли в сутках хотя бы один такой момент, когда нельзя будет определить, какое время показывают эти часы? Н.Стрелкова

12. По кругу стоят 10 бочек с водой. Сначала половину воды из первой бочки перелили во вторую, потом треть воды из второй бочки перелили в третью, затем четверть воды – из третьей бочки в четвертую,…, после чего 1/10 из девятой бочки перелили в десятую и, наконец, долили воду из десятой бочки в первую до ее исходного уровня. Могло ли в каждой бочке оказаться столько же воды, сколько было в ней вначале? Г.Гальперин

13. Пусть N – натуральное число. Каких треугольников с целыми длинами сторон больше – разносторон-

них, у которых длины стороны не меньше 1 и не больше N + 3, или всевозможных, у которых длины сторон не меньше 1 и не больше N? А.Эвнин

14. 60 детей построились парами и пошли в музей. По пешеходному переходу они шли толпой, а после него снова построились парами (но некоторые пары могли стать другими). Докажите, что в музее детей можно разбить на три равные группы так, чтобы дети в одной группе ни разу не были в одной паре. И.Богданов

15. Угол C при вершине равнобедренного треугольника ABC равен $120^{o}$. Из вершины C выпустили внутрь треугольника два луча, которые, отразившись от основания AB в точках M и N (по закону «угол падения равен углу отражения»), попали соответственно на боковую сторону AC в точку P и на боковую сторону BC в точку Q. Известно, что AP = CQ. Пусть отрезок PQ пересекает CM в точке X, а CN – в точке Y. Докажите, что треугольники PMX, XCY и QNY равны. В.Произволов

Летний турнир имени А.П.Савина

С наступлением лета школьники разъезжаются отдыхать. Но для некоторых ребят увлекательный отдых – решение математических задач. А также общение с теми, у кого такая же горячая любовь к математике. Каждый год в конце июня проходит турнир математических боев памяти А.П. Савина. В 2010 году он состоялся в 16-й раз. Как и раньше, он проходил на берегу живописного озера, на базе отдыха «Берендеевы Поляны» около Судиславля (Костромская область). В соревнованиях приняли участие 38 команд из Москвы, Санкт-Петербурга, Костромы, Тамбова, Черноголовки, Харькова и Киева. Инициаторы проведения турнира – Григорий Вячеславович Кондаков и образовательная программа «Большая Перемена». В первый день турнира прошла игра «Математическая абака».

Это увлекательное соревнование, где ребятам надо выбирать задачи как по сложности, так и по темам. Так, например, семиклассникам предложили задания по логике и теории чисел, арифметике и алгебре, а также задания, объединенные в группу с расплывчатым названием «Числа». Из победителей назовем команды, занявшие первые места. Среди 6 классов – это команда кружка «Квантик» (Москва). Среди семиклассников – первая команда гимназии 1514 (Москва). Команда школы 82 из Черноголовки (Московская область) стала лучшей в 8 классах. Команда «А» ЦО 218 (Москва) заняла 1 место среди 9 классов. На следующий день команды 6–8 классов участвовали в командной олимпиаде, по результатам которой они были разделены на лиги. А девятиклассники уже начали сражаться: 6 команд составили отдельную лигу и за 5 дней провели полный круговой

29

К

турнир. Команды 6–8 классов разделились на подгруппы лиг 6 классов, 7 классов, 8 классов, а также смешанной лиги 7–8 классов. Турнир математических боев – это не только борьба с задачами. Каждый вечер группы ребят и руководителей собираются возле листочков с результатами очередного тура, долго обсуждают итоги и пытаются делать прогнозы на следующий тур. Но надо признать, что в большей части групп лиг интриги не получилось: команды в итоге выстроились в таком порядке, когда команда, оказавшаяся в итоге выше, выигрывала у команды, оказавшейся ниже. Сложно было делать прогнозы в 9 классе: здесь три команды настойчиво выигрывали у остальных трех. Все шло к тому, что первые три команды выиграют друг у друга по кругу, и так же произойдет среди оставшихся трех команд. Неужели команды не распределятся по местам? Все ждали последний тур. В итоге неожиданная «ничья» определила 3 и 4 места, а 1 и 2 место определились по личной встрече между командами. В лиге 6 классов лучшей стала команда московской гимназии 1514, выиграв в финальном бою у шестиклассников школы 179. Зато семиклассники школы 179 заняли первое место, победив прошлогоднего победителя – команду кружка «Фрактал» из Санкт-Петербурга. Первое место в лиге 8 классов заняла сборная команда кружка А.В.Спивака, в которой играл только один ученик 8 класса, а остальные игроки – семиклассники. В результате упорной борьбы в лиге 9 классов лучшей стала команда кружка Т.П.Зориной с названием «Москва-Юг». Заметим, что эта команда выиграла не только два летних турнира – осенью 2009 года они увезли кубок турнира «Kostroma Open 8–9». Cписок всех призеров турнира представлен на странице 30. Один день турнира ребята отдыхают от математических боев. В это время проходит личная олимпиада, а точнее – целых четыре (по каждой из параллелей 6, 7, 8 и 9 классов). Среди шестиклассников лучшими стали Степан Петров из Санкт-Петербурга (школа 30) и пятиклассница Дарья Николаева (школа 464, Москва). Результат Юли Зайцевой (школа 179, Москва) в олимпиаде 7 классов был отмечен «гран-при», а первые дипломы получили два ее одноклассника Илларион Дмитриев и Саша Ватузов, а также Андрей Зерцалов из ЦО 218 Москвы. Но на этом дипломы, заработанные семиклассниками, не закончились – Андрей Волгин (7 класс, гимназия 1543, Москва) стал одним из лучших в олимпиаде 8 классов. Дипломы I степени также получили двое киевлян Никита Щеглов и Данил Хилько (оба – лицей 208) и москвич Ваня Зверев (школа 853, Москва). Команды киевского лицея 208, впервые приехавшие на турнир, увезли еще один диплом первой степени – его получил Максим Чаудхари в олимпиаде 9 классов. Вместе с ним такой результат

Сборная команда кружка А.В.Спивака

М

Ш

Математический бой показали Саша Корочкин (гимназия 1514, Москва) и Лев Синяков (школа 350, Москва). Обладателями дипломов II степени стали: Зайцева Татьяна (6 кл., школа 179, Москва), Ипатов Михаил (6 кл., гимназия 1, Кострома), Виленский Самуил (6 кл., школа 57, Москва), Ионица Георгий (7 кл., гимназия 1543, Москва), Петренко Иван (7 кл., лицей 17, Кострома), Лебедева Дарья (7 кл., лицей 533, Санкт- Петербург), Лукашевич Дмитрий (7 кл., гимназия 28, Кострома), Чистопольская Алиса (7 кл., гимназия 1543, Москва), Белугина Виктория (7 кл., лицей 533, Санкт-Петербург), Гудков Сергей (8 кл., гимназия 1514, Москва), Райко Арсений (8 кл., школа 179, Москва), Зуев Антон (8 кл., школа 179, Москва), Мельниченко Петр (8 кл., школа 315, Москва), Мукин Тарас (8 кл., лицей 14, Тамбов), Князева Алиса (8 кл., ФМЛ 27, Харьков), Кулаков Петр (8 кл., школа 82, Черноголовка), Любчик Евгений (8 кл., УВК 45 АГ, Харьков), Хачатурян Марина (8 кл., гимназия 1543, Москва), Никитин Игорь (8 кл., гимназия 1543, Москва), Харитонова Елена (8 кл., лицей 208, Киев), Заславский Олег (8 кл., гимназия 1543, Москва), Ситкин Александр (8 кл., школа 179, Москва), Меньшов Сергей (9 кл., лицей 20, Междуреченск), Ефимов Андрей (9 кл., ЦО 218, Москва), Сандрикова Мария (9 кл., ЦО 218, Москва), Феклина Анастасия (9 кл., школа 179, Москва), Королев Андрей (9 кл., школа 1345, Москва), Кульчицкий Юрий (9 кл., лицей 208, Киев), Попов Сергей (9 кл., ЦО 218, Москва). Дипломами III степени награждены Пучка Тарас (6 кл., школа 179, Москва), Шибанкова Екатерина (6 кл., школа 179, Москва), Шатский Владимир (6 кл., гимназия 1514, Москва), Волков Виктор (6 кл., школа 622, Москва), Гришутин Александр (6 кл., школа 827, Москва), Тукачинский Владислав (6 кл., гимназия 1514, Москва), Золотов Борис (6 кл., школа 3, Гатчина), Румянцев Влад (6 кл., школа 179, Москва), Семин Иван (6 кл., школа 30, Санкт-Петербург), Полевой Сергей (7 кл., «Интеллектуал», Москва), Некрасова Татьяна (7 кл., школа 179, Москва), Исхаков Тимур (7 кл., ЦО 218, Москва), Смирнова Ирина (7 кл., лицей 17, Кострома), Махлина Екатерина (7 кл., гимназия 1543, Москва), Ванчурина Антонина (7 кл., школа 179, Москва), Бакунов Никита (8 кл., ФМЛ 27, Харьков), Савостьянов Антон (8 кл., лицей 14, Тамбов), Уруев Андрей (8 кл., лицей 34, Кострома), Щербань Яков (8 кл., школа 82, Черноголовка), Котельникова Юлия (8 кл., гимназия 1543, Москва), Говорухин Ярослав (8 кл., школа 179, Москва), Добровольская Анна (9 кл., гимназия 1514, Москва), Погорелов Иван (9 кл., гимназия 1514, Москва), Попеску Андрей (9 кл., гимназия 1514, Москва), Сафронов Кирилл (9 кл., гимназия 1514, Москва), Сердюк Ярослава (9 кл., лицей 208, Киев), Преображенский Анатолий (9 кл., ЦО 218, Москва). Также многие ребята были награждены похвальными грамотами. Отбором задач и составлением вариантов занималась методи-

30

КВАНТ 2010/№6

Лига

Диплом

Команда

Капитан

Руководитель

Лига 9 кл. Лига 9 кл. Лига 9 кл. Лига 8 кл. Лига 8 кл. Лига 8 кл.

I диплом II диплом III диплом I диплом II диплом II диплом

Сборная «Москва-Юг», Москва ЦО 218, Москва Лицей 208, Киев МММФ-8, Москва «Эврика-8», Харьков Гимназия 1543, Москва

Л.Синяков А.Ефимов М.Чаудхари О.Заславский Е.Любчик М.Грачева

Лига 8 кл. Лига 8 кл. Лига 7 кл. Лига 7 кл. Лига 7 кл. Лига 7 кл. Лига 7 кл. Лига 6 кл. Лига 6 кл.

III диплом III диплом I диплом II диплом II диплом III диплом III диплом I диплом II диплом

Лицей 14, Тамбов Лицей 208, Киев Школа 179, Москва Кружок «Фрактал», Санкт-Петербург ЦО 218, Москва Школа 179, Москва Гимназия 1514, Москва Гимназия 1514, Москва Школа 179, Москва

Т.Мукин Н.Щеглов А.Ватузов Е.Цейтина А.Зерцалов Е.Гаврилец И.Брауде-Золотарев В.Шатский Т.Зайцева

Лига 6 кл. Лига 6 кл. Лига 6 кл.

II диплом III диплом III диплом

А.Рыбина В.Волков И.Семин

Лига 7-8 кл. Лига 7-8 кл.

I диплом II диплом

Гимназия 1514, Москва Кружок «Квантик» Москва сборная лицея 30 (Санкт-Петербург) и кружка ДНТТМ (Москва) Гимназия 1514, Москва Школа 179, Москва

Т.П.Зорина А.Д.Блинков, Е.С.Горская Т.Д.Тимошкевич А.В.Спивак, Е.Б. Пронина А.Л.Берштейн Т.В.Караваева, И.В.Раскина, М.А.Берштейн, А.В.Хачатурян А.В.Бурмистрова Т.Д.Тимошкевич Д.В.Швецов, А.Ю.Юрков, Г.А.Кузнецов А.П.Храпкина, А.П.Погода Ю.А.Блинков, О.А.Карпов Д.В.Швецов, А.Ю.Юрков, Г.А.Кузнецов Л.О.Бычкова Л.О.Бычкова, Н.Т.Гребенник Д.В.Швецов, А.Ю.Юрков, Г.А.Кузнецов Л.О.Бычкова, А.Горденко И.А.Николаева А.В.Садовников, Т.П.Зорина

Лига 7-8 кл. Лига 7-8 кл. Лига 7-8 кл.

II диплом III диплом III диплом

ДНТТМ, Москва Школа «Интеллектуал», Москва Школа 179, Москва

Г.Ионица А.Иглина С.Фельдшеров ческая комиссия под общим руководством А.В.Шаповалова. Варианты лиги 9 классов составляли М.А.Берштейн, М.В.Прасолов, А.А.Заславский, 8 классов – А.В.Хачатурян, Н.Т.Гребеник, П.В.Мартынов, 7 классов – Д.В.Прокопенко, Ю.А.Блинков, А.И.Сгибнев, 6 классов – И.В.Раскина, А.П.Пагода, Н.Л.Чернятьев, варианты лиги 7–8 классов собирали Д.А.Калинин, Э.А.Акопян. Кроме них, в методкомиссии работали А.Д.Блинков, Е.С.Горская, Т.В.Караваева, Д.В.Швецов, А.Ю.Юрков, О.А.Карпов. Книги и другие призы для победителей предоставили журнал «Квант», компании «Яндекс», «ABBYY» и Фонд математического образования и просвещения. Конечно, такой турнир должен быть представлен не только участниками и победителями. Запоминаются яркие эмоции от побед (а порой и от неудач), но остаются в памяти яркие задачи. Приведем некоторые из задач турнира. У каждой задачи указано, для каких классов она наиболее подходит, а если известно, то и автор.

Избранные задачи турнира

1 (6–8). Произведение двух последовательных натуральных чисел может оканчиваться на 1000. Например, $1000 \cdot 1001 = 1001000$ или $8999 \cdot 9000 = 8999 \cdot 9 \cdot 1000 = =...1000.$ а) Может ли произведение четырех последовательных натуральных чисел оканчиваться на 1000? б) Может ли произведение шести последовательных натуральных чисел оканчиваться на 1000?

Д.Шноль

2 (6–7). Нарисуйте 6-угольник и проведите прямую через две его вершины, которая разбивает его на два пятиугольника.

В.Гуровиц

3 (6–7). 2010 шариков раскрасили в 7 цветов радуги. На каждом шаре написали общее количество шаров такого же

Т.Григорьев А.Райко

Т.В.Житникова Д.В.Швецов, А.Ю.Юрков, Г.А. Кузнецов, Т.П. Зорина Т.П.Зорина, А.В.Спивак А.И.Сгибнев М.В.Прасолов цвета, как и этот. Чему может быть равна сумма чисел, обратных написанным?

Г.Гальперин

4. а) (6–8) В 10 кошельках лежали монеты. Достоинства любых двух монет из одного кошелька отличались не более чем на 1 берендейку. Монеты смешали и положили в непрозрачный мешок. Саша про монеты заранее ничего не знает. Он вынимает по одной монете из мешка, смотрит на нее и кладет в одну из 19 имеющихся коробок. Положив монету в коробку, потом ее уже нельзя переложить. Докажите, что Саша может действовать так, чтобы в каждой коробке достоинства любых двух монет отличались не более чем на 1 берендейку. б) (7–8) В 10 кошельках лежали монеты так, что веса любых двух монет из одного кошелька отличались не более чем на 1 г (массы монет могут быть нецелыми). Монеты смешали и положили в непрозрачный мешок. Саша про массы монет заранее ничего не знает. Он вынимает одну монету из мешка, взвешивает, затем кладет монету в одну из имеющихся 20 коробок, вынимает следующую монету и т.д. (Положив монету в коробку, потом ее уже нельзя переложить.) Докажите, что Саша может действовать так, чтобы в каждой коробке массы любых двух монет отличались не более чем на 1 г. в) Условие задачи такое же, как в п. б), но коробок 19.

А.Шаповалов

5 (6–7). У двух восьмизначных чисел произведения цифр положительны и равны. В каждом из чисел все цифры различны. Докажите, что у этих чисел равны и суммы цифр.

А.Шаповалов

6 (8–9). а) При каком наименьшем n найдется n- угольник, который можно разрезать на 13 равных частей?

А.Заславский

34

КВАНТ 2010/№6

(Начало см. на с. 28)

взвешивания на чашечных весах без гирь проверить, есть ли среди этих девяти монет хотя бы одна фальшивая монета? (Настоящие монеты весят одинаково, фальшивые тоже весят одинаково и тяжелее настоящих).

А.Шаповалов

24 (9). Дан вписанный четырехугольник ABCD. Еще одна окружность, проходящая через точки B и C, касается отрезка AD в точке $M_{AD}$. Аналогично определяются точки $M_{AB}, M_{BC}, M_{CD}$. Докажите, что прямые $M_{AB} M_{CD}$ и $M_{AD} M_{BC}$ перпендикулярны. А.Волчкевич, Д.Швецов

25 (9). Внутри остроугольного треугольника ABC выбрана точка N, а на сторонах AB и BC – точки P и Q соответственно. Отрезки NP, NQ и NA делят треугольник ABC на треугольник и два четырехугольника. Оказалось, что упомянутые четырехугольники – две равные трапеции. Как относятся их основания?

А.Хачатурян

26 (8–9). Есть клетчатый бильярдный стол размером $101 \times 99$. По углам стола расположены лузы. Можно ли запустить шар таким образом, чтобы на своем пути он прошел по всем вершинам всех квадратиков сукна, расположенных внутри стола?

А.Юрков

27 (9). Правильным маршрутом на бесконечной клетчатой плоскости назовем маршрут ладьи, который имеет начало, не имеет конца и ровно по одному разу проходит через каждую клетку плоскости (ладья каждым ходом перемещается в соседнюю клетку по вертикали или горизонтали). Можно ли во всех клетках плоскости расставить натуральные числа так, чтобы каждое число встре-

чалось ровно один раз и на некотором правильном маршруте числа только возрастали, а на другом правильном маршруте все время чередовалось возрастание и убывание чисел?

Б.Френкин

28 (7–9). Петя и Вася играют на шахматной доске в следующую игру. Каждым ходом игрок выбирает некоторую свободную клетку и проводит в ней обе диагонали – одну красным цветом, другую синим. Запрещается проводить диагональ так, чтобы она имела общий конец с уже проведенной диагональю такого же цвета. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Первым ходит Петя. Кто из них может выигрывать, как бы не играл противник?

А.Шаповалов

29 (7–9). На клетчатой доске $8 \times 8$ часть клеток отмечена. Известно, что ладья может пройти от любой отмеченной до любой другой, не перепрыгивая через неотмеченные клетки, причем единственным маршрутом (иначе говоря, нет замкнутых маршрутов ладьи по отмеченным клеткам). Какое наибольшее число клеток может быть отмечено?

Б.Френкин

30 (9). Через вершину С ромба АВСD проведена прямая, пересекающая отрезки АВ и BD в точках М и K соответственно. Окружность, проходящая через точки А, М и K, пересекает прямые BD и AD в точках Р и L соответственно. Докажите, что ортоцентр треугольника СKР совпадает с центром описанной окружности треугольника СМL. Ю.Блинков

Публикацию подготовили Д.Калинин, А.Шаповалов

ГОЛОВОЛОМКИ

Танграм

(Начало см. на 2-й странице обложки)

«Квант» уже писал о танграме в №5 за 1989 год. В этом номере мы предлагаем еще несколько заданий. Ниже вы видите 13 выпуклых многоугольников. Чтобы сложить каждый из них, потребуется весь набор из семи танов. Попробуйте сделать это. Оказывается, что другие выпуклые многоугольники из семи танов сложить невозможно. Это установили китайские математики в 1942 году. В заключение сформулируем одну забавную задачу. Аня подарила на Новый Год своим младшим братьям Боре и Вите по танграму. Задание для них было одно: сложить квадрат, использовав для этого все части. Через несколько дней, после многих тщетных попыток решить головоломку, Боря убедился, что из его набора это сделать невозможно. Посмотрев на Борин набор, Аня догадалась, в чем дело: она ошиблась и положила две детали не в ту коробку! В итоге одному брату достался набор из пяти частей, а второму – из девяти. Боря предложил рассказать об этом Вите, но Аня немного поразмыслила и поняла, что из Витиного набора все равно можно сложить квадрат. Так какие же части Аня упаковала неправильно? Е.Епифанов

39

ЛАБОРАТОРИЯ

аноде и катоде, которая определяется выбором материалов электродов, а также электролитом, содержащимся в соке. Немаловажную роль при этом играет чистота поверхности электродов, поэтому перед проведением экспериментов необходимо с помощью мелкой наждачной бумаги тщательно удалить с поверхности электродов оксидную пленку. Удаление оксидной пленки позволит также уменьшить так называемый поляризационный эффект, который уменьшает фактическую ЭДС источника. Из закона Ома для полной цепи следует, что сила тока максимальна в режиме короткого замыкания источника, когда сопротивление внешней нагрузки стремится к нулю. Миллиамперметр обладает ничтожно малым внутренним сопротивлением, и при подключении прибора непосредственно к клеммам фруктовой батарейки можно с большой точностью говорить о коротком замыкании. Измерение силы тока при этом необходимо провести как можно быстрее, поскольку источник быстро разряжается. Рассчитать максимальную мощность имеющихся у вас фруктовых источников тока можно по формуле $P_{max} = UI_{max}$. На рисунке 2 приведена сравнительная диаграмма мощностей различных фруктовых батареек с медно-цинковой парой электродов. Значения, приведенные на диаграмме, не следует воспринимать как абсолютные, но у вас должна получиться примерно такая же картина. Таким образом, мощность

Рис. 2. Сравнительная диаграмма максимальных мощностей батареек

лимонной батарейки выше, а значит, из перечисленных фруктовых источников тока она обладает наилучшими электрическими характеристиками. Отсутствие тока внутри отключенной фруктовой батарейки объясняется особенностями окислительно-восстановительных химических реакций, за счет которых возникает напряжение на электродах. В результате химической реакции под действием фруктового сока ионы цинка покидают поверхность цинкового электрода, и цинковый электрод приобретает отрицательный потенциал относительно раствора. Химическая реакция не зависит от присутствия в соке другого электрода. С медным электродом происходит аналогичная реакция, но, согласно электрохимическому ряду, с меньшей интенсивностью. Таким образом, между цинковым и медным электродами устанавливается разность потенциалов. При замыкании клемм источника электроны устремляются через внешнюю цепь от цинка к меди. Именно поэтому во всех случаях медный электрод являлся анодом, а цинковый – катодом.

35-.p65

«КВАНТА»

Рис. 3. Иллюстрация работы электронного термометра от фруктовых батареек

Вырывание в ходе химической реакции из металла ионов соответствующего химического элемента неизбежно приводит к разрушению электродов, которое в данном случае не может быть обратимо. Этим обстоятельством обусловлена невозможность подзарядки фруктовых батареек и, тем самым, невозможность изготовления на их основе аккумуляторов. Максимальная мощность фруктовой батарейки мала и составляет десятые доли милливатта. Поэтому фруктовая батарейка может быть использована для питания только маломощных приборов, таких как электронные часы, калькулятор, маломощный светодиод и т.п. Возьмите, например калькулятор и вашу батарейку. Если на калькуляторе имеется встроенная солнечная батарея, то ее необходимо заклеить непрозрачной бумагой. Соедините последовательно в батарею два источника из лимона или яблока и подсоедините к ней (соблюдая полярность) калькулятор. Вы увидите, что калькулятор работает. На рисунке 3 представлена фотография электронного термометра, работающего от батареи источников тока из двух яблок. Для питания более мощных приборов необходимо будет соединять фруктовые источники тока в батарею. Подумайте, сколько необходимо фруктовых батареек и как их надо соединить для обеспечения работы нетбука Aspire One (с характеристиками 19 В и 1,58 А) или сотового телефона и можно ли сэкономить на количестве фруктов при соединении их в батарею. Эксперименты с фруктовыми батарейками вы можете продолжить самостоятельно. Попробуйте, скажем, установить зависимость напряжения на клеммах и мощности элемента от площади поверхности электродов или попытайтесь построить разрядные характеристики различных фруктовых источников. Желаем успехов!

49

ИНФОРМАЦИЯ

Очередной набор в ОЛ ВЗМШ

Открытый лицей «Всероссийская заочная многопредметная школа» (ОЛ ВЗМШ) Российской академии образования, работающий при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова, в сорок седьмой раз проводит набор учащихся. ОЛ ВЗМШ – государственное учреждение дополнительного образования, причем не только для школьников. «ОТ- КРЫТЫЙ» – значит доступный для всех желающих пополнить свои знания в одной или нескольких из следующих областей науки: математика, биология, филология, физика, экономика, химия, правоведение, история, информатика (перечисление – в хронологическом порядке открытия отделений). Сейчас ОЛ ВЗМШ совместно с другими научно-педагогическими учреждениями ведет исследовательские работы по разработке новых интерактивных технологий в образовании и переводу части своих учебно-методических комплексов на язык современных телекоммуникаций, в частности – по организации Интернет-отделения ОЛ ВЗМШ. За время существования ВЗМШ удостоверения о ее окончании получили несколько сотен тысяч школьников и тысячи кружков – групп «Коллективный ученик ВЗМШ». Обучение в школе ЗАОЧНОЕ, т.е. начиная с сентября– октября 2011 года все поступившие будут систематически получать специально разработанные для заочного обучения материалы, содержащие изложение теоретических вопросов, методов рассуждений, разнообразные задачи для самостоятельной работы, образцы решений задач, деловые игры, контрольные и практические задания. Контрольные работы учащихся будут тщательно проверяться и рецензироваться преподавателями ВЗМШ – студентами, аспирантами, преподавателями и научными сотрудниками МГУ, а также других вузов и учреждений, где имеются филиалы школы. Многие из преподавателей в свое время сами закончили ВЗМШ и поэтому особенно хорошо понимают, как важно указать, помимо конкретных недочетов, пути ликвидации имеющихся пробелов в знаниях, порекомендовать дополнительную литературу, поругать за невнимательность и похвалить за заметный (а иногда – и за самый маленький) прогресс и трудолюбие. Поступившие в ОЛ ВЗМШ смогут узнать об увлекательных вещах, часто остающихся за страницами школьного учебника, познакомиться с интересными нестандартными задачами и попробовать свои силы в их решении. Для многих станет откровением, что задачи бывают не только в математике, физике и химии, но и в биологии, филологии, экономике и других науках. Решение задач поможет прояснить и сделать интересными многие разделы, казавшиеся непонятными и скучными. Одна из особенностей учебных программ и пособий ВЗМШ – в том, что они созданы действующими на переднем крае науки талантливыми учеными и опытными незаурядными педагогами. Недаром на X Всемирном конгрессе по математическому образованию, который прошел летом 2004 года в Дании, рассказ о 40-летней работе математического отделения ОЛ ВЗМШ вызвал неподдельный интерес и одобрение участников. Чтобы успешно заниматься в заочной школе, вам придется научиться самостоятельно и продуктивно работать с книгой, грамотно, четко, коротко и ясно излагать свои мысли, а это, как известно, умеют далеко не все. Возможно, наша заочная школа поможет вам выбрать профессию, найти свое место в окружающем мире.

Все выполнившие программу ОЛ ВЗМШ получают дипломы. Хотя формальных преимуществ они не дают, приемные комиссии многих вузов учитывают, что обладатели этих удостоверений в течение продолжительного времени самоотверженно трудились над приобретением знаний, научились самостоятельно творчески работать, а это значит, что из них получатся хорошие студенты и, в дальнейшем, грамотные, вдумчивые, широко образованные специалисты. Если у вас имеется такая возможность, вы будете частично общаться с нашей школой с помощью Интернета – чем дальше, тем больше. Для поступления в ОЛ ВЗМШ надо успешно выполнить вступительную контрольную работу. Приемную комиссию интересует, в первую очередь, ваше умение рассуждать, попытки (пусть поначалу не совсем удачные) самостоятельно мыслить и делать выводы. Преимуществом при поступлении пользуются проживающие в сельской местности, поселках и небольших городах, где нет крупных научных центров и учебных заведений и где получить дополнительное образование можно лишь заочно. Решения задач вступительной работы надо написать на русском языке в обычной ученической тетради в клетку (на некоторые отделения – на открытке или на двойном тетрадном листе; см. ниже). Желающие поступить сразу на несколько отделений каждую работу присылают в отдельной тетради. На обложке тетради укажите: фамилию, имя, отчество, год рождения, базовое образование (сколько классов средней школы будет закончено к сентябрю 2011 года), полный почтовый адрес (с индексом), откуда узнали об ОЛ ВЗМШ (из «Кванта», от друзей, из афиш заочной школы и т.п.), на какое отделение хотите поступить. Вступительные работы обратно не высылаются. Без вступительной работы, только по заявлению, принмаются на индивидуальное обучение победители областных (краевых, республиканских) туров всероссийских олимпиад по соответствующим предметам, а также участники финальных туров этих олимпиад. Учащиеся ОЛ ВЗМШ частично возмещают расходы на свое обучение. По просьбе тех, кто не в состоянии внести эту плату, ОЛ ВЗМШ готов обратиться в школу, в орган народного образования, к другому спонсору с ходатайством об оплате этим благотворителем соответствующих расходов. Помимо индивидуального обучения, на всех отделениях ВЗМШ, кроме экономического и биологического, имеется форма обучения «Коллективный ученик». Это группа учащихся, работающая под руководством преподавателя (школьного учителя, преподавателя вуза, студента или другого энтузиаста), как правило, по тем же пособиям и программам, что и индивидуально. Прием в эти группы проводится до 15 октября 2011 года. Для зачисления группы требуется заявление ее руководителя (с указанием его профессии и должности, со списком учащихся и сообщением о том, в каком классе они будут учиться с сентября 2011 года); заявление должно быть подписано руководителем группы, заверено и подписано руководителем учреждения, при котором будет работать группа. Работа с группами «Коллективный ученик» может оплачиваться школами как факультативные занятия. Обо всех наших отделениях вы можете узнать на общешкольном сайте ОЛ ВЗМШ: www.vzmsh.ru На ваши вопросы мы ответим по электронной почте: vzms@yandex.ru На Северо-Западе России работает Заочная школа Ленинградского областного Министерства образования, созданная

53

ИНФОРМАЦИЯ

2. Вместе с героями «Евгения Онегина» читатель посещает несколько балов. Найдите описание танца, особенности исполнения которого в столице и в провинции поэт мастерски передает при помощи аллитерации. Назовите танец и главу книги. 3. Исправьте и объясните $ошибки:^{i}$ Оптимистические настроения в стихотворениях поэта позволяют отнести его к $декадентам.^{i}$ В школах необходимо постоянно дискредитировать здоровый образ жизни. i Пришлось согласиться скрипя сердцем. i Находясь в пути, всегда вспоминается дом. 4. Кит – млекопитающее. Укажите, какой частью речи является выделенное слово, каким способом оно образовано, разберите по составу, дайте фонетическую транскрипцию и определите синтаксическую функцию в данном предложении. 5. Возьмите небольшое интервью у инопланетянина.

Он стал рассуждать. Во всем мире люди за все платят. Никто не позволит тебе сорвать овощи с чужой грядки – их надо купить на рынке. Так же и другие ресурсы – например, золото это простой металл, а люди так дорого за него платят. Даже за воду и то приходится платить! А воздух человеку жизненно необходим! Может быть, люди просто привыкли к тому, что воздух достается бесплатно? Раз Тёпа первым догадался его продавать, то пусть все гуляющие по парку платят ему! По выходным, когда в школе нет уроков, он будет стоять в парке и собирать деньги со всех желающих подышать свежим воздухом. Правда, нужно еще найти деньги, чтобы заделать дыры в заборе парка (нельзя же допустить, чтобы мальчишки лазали туда бесплатно) и напечатать квитанции, но тут Тёпа рассчитывал на помощь бабушки, которая держит в деревне корову и летом продает молоко дачникам.

Отделение экономики

Оцените рассуждения Тёпы Экономова, скажите, прав ли он и почему. Постарайтесь изложить свои мысли коротко, в нескольких предложениях. Найти ответ на наш вопрос вам помогут Интернет, учебники и справочники, научно-популярные журналы (например, «Наука и жизнь»), друзья и учителя. Свои ответы присылайте по электронной почте econ@vzms.ru или обычным письмом с указанием полного почтового адреса и индекса, фамилии, имени и отчества (в письме всю информацию о себе пишите, пожалуйста, печатными буквами). Озаглавьте письмо: «Экономика, вступительное задание-2011». Укажите класс, в котором вы сейчас учитесь. Пожалуйста, укажите источник информации об ОЛ ВЗМШ – «Квант», «Наука и жизнь», афиша, другое (например, узнал от учителя, друзей). Срок отправки вступительной работы – до 31 мая 2011 года. Наш адрес в Интернете: www.vzmsh.ru/page/econ.

Хотите научиться разбираться в экономике? Узнать изнутри работу маркетологов, банкиров, предпринимателей? Открыть свою собственную фирму, пока – в экономической игре? Тогда эта информация для вас! Обучение на отделении заочное, все учебные материалы школьники получают по почте (часть материалов учащиеся могут получить по Интернету и электронной почте для тех, у кого они есть). Учиться на экономическом отделении могут те, кто в 2011 году закончит 7–10 класс, срок обучения от 1 года до 4 лет. Обучение индивидуальное (формы учебы «Коллективный ученик» на экономическом отделении нет). Программа экономического отделения включает изучение экономической теории и знакомство с практикой экономики и бизнеса. Сначала все учащиеся познакомятся с основами экономики, а далее вы сможете выбрать такие предметы, как предпринимательство и менеджмент, бухгалтерский учет и финансы, мировая экономика и география, экономическая история. Учащиеся 10–11 классов в дополнение к курсу экономики получат необходимую подготовку по русскому языку и литературе, математике, обществознанию, что поможет лучше сдать ЕГЭ, успешно участвовать в предметных олимпиадах и поступить в лучшие вузы страны. Учась на экономическом отделении, вы сможете заочно познакомиться со студентами, выпускниками и даже преподавателями МГУ им. М.В.Ломоносова, узнаете о разнообразных замечательных профессиях в экономике, одну из которых, возможно, вы выберете для себя в будущем. Во время обучения ученики становятся участниками увлекательной бизнес-игры, которая будет вестись по переписке (а также через Интернет). Для поступления на отделение вам нужно выполнить вступительное задание.

Прочитайте текст:

Прошлое лето выдалось жарким, иногда чувствовалась гарь лесных пожаров, и школьнику Тёпе Экономову иногда казалось, что ему просто нечем дышать. Но даже в это время он не бросал думать о том, как ему разбогатеть и к окончанию школы начать свой бизнес. Однажды, когда он отдыхал в деревне у своей бабушки Настасьи (ах, как там хорошо и легко дышалось!), ему пришла в голову отличная идея: он будет продавать воздух! Ведь воздух нужен всем, особенно в загазованном городе, где он живет. Он вспомнил, что в городском парке рядом с его домом тоже дышалось свежо. Хорошо, что до него никто не догадался продавать воздух в парке, так что идея принадлежит именно ему. Парк-то ничей!

44-.p65

Внимание: задание

Отделение государства и права

Школьникам 8–11 классов и группам «Коллективный ученик» предлагаются два курса. 1) Годовой курс «Беседы о правах человека, нравственности, праве, законе и государстве». В курсе даются современные представления об основных понятиях, связанных с правом, законом и государством, рассказывается об основах российского законодательства, правах человека. Разбираются примеры судебных процессов, приводятся общекультурные примеры, связанные с направленностью курса. 2) Полуторагодовой курс «Беседы об основах демократии». Мы предлагаем проходить курсы именно в таком порядке. И только старшеклассники, если они не успевают пройти оба курса подряд, но обязательно хотят пройти именно второй курс, могут начинать прямо с него. Желающие учиться должны сообщить свой полный почтовый адрес, адрес электронной почты (если есть), фамилию, имя и отчество, сколько классов закончено. При оценке вступительной работы, вопросы которой приведены ниже, мы учитываем возраст (базовое образование) поступающего. В письмо обязательно вложите обычный конверт с маркой и вашим адресом (чтобы мы могли вам ответить) и ответы на приведенные ниже вопросы. Срок отправки вступительной работы – до 1 июня 2011 года. Группы «Коллективный ученик» принимаются без вступительной работы.

54

КВАНТ 2010/№6

Вопросы

1. Вот несколько тем из тех, которые мы будем проходить в наших курсах: 1) государство; 2) право и правда; 3) права человека; 4) примеры судебных процессов в России в разные времена; 5) демократия в России и в США; 6) альтернативные демократии; 7) история человечества… Что из названных разделов вам интереснее? 2. Читали ли вы дополнительную литературу по какимнибудь вопросам из этого списка? Или, может быть, какуюто дополнительную литературу, связанную с обществознанием? 3. Что вас больше интересует: философия, политика, экология, история, что-то еще? 4. Каковы, по-вашему, различия и сходство между обычаем и традицией?

Отделение истории

Обучение на историческом отделении позволит всем, в том числе жителям самых отдаленных городов и деревень, расширить свой кругозор, подготовиться к поступлению в вуз. Успешно прошедшие курс обучения получают диплом. А зачем нужно изучать историю? Во-первых, это просто интересно. Любопытно знать, как жили когда-то люди, во что одевались, чем питались, что читали, как женились и выходили замуж, за что боролись и «на что напарывались». Во-вторых, это полезно. Только зная прошлое, можно понять настоящее и прогнозировать будущее. Мы поможем вам в этом разобраться. Специально для вас опытные преподаватели пишут книжки. Последние новости из мира истории вы узнаете одними из первых! Мы будем поддерживать с вами постоянную связь. По нашим книжкам вы будете выполнять особые задания и сообщать нам, что вы раскопали. Ведь, в сущности, труд историка и состоит из этих раскопок: историкархеолог, копая землю и песок, отыскивает крупицы ушедших времен; историк-архивариус копается в груде бумаг и достает из архивов и даже из частной переписки все, что может позволить ему понять образ времени; историк-теоретик как увлекательный роман читает археологические таблицы, сухие сводки, статистику и восстанавливает по ним живую ткань ушедшей жизни. У историка особая профессия: он в одном лице следователь, прокурор и адвокат времени. Вступительное задание, приведенное ниже, нужно выполнить на двойном листе бумаги. Срок отправки вступительной работы – до 1 июня 2011 года.

Задание

1. Отгадайте, кто это i С легкой руки Фридриха II его прозвали «русский Гамлет». i Его отец – внук Петра I по материнской линии и внучатый племянник Карла XII по отцовской. i Его мать, немецкая принцесса, приехала в Россию в 15 лет; пришла к власти в 33 года; правила 34 года, не имея на трон законных прав. i Придя к власти в 42 года, он отменил указ Петра I о престолонаследии, которым чуть не воспользовалась его мать, желавшая передать власть внуку, минуя сына. i Православный царь, глава католического Мальтийского ордена. i Главная черта его правления – мелочный деспотизм. i Во время военных смотров мог отправить в Сибирь прямо с плаца за нечеткий шаг, оторвавшуюся пуговицу или плохо напудренные букли.

44-.p65

i Проверял преданность придворных внезапной ночной тревогой, требуя явиться ко двору без всякого промедления, хоть бы и в ночной рубахе. i При нем за ношение одежды на французский манер и использование одновременно трех цветов – красного, синего и белого – подвергали аресту. i Чтобы ослабить Англию, отправил 22 тысячи казаков завоевывать Индию, и только его смерть вернула воинов с дороги. i Боясь заговора, этот император построил себе замок и в нем был убит. i Его старший сын мечтал о конституции для России, а дал ее Польше. 2. Опишите, не более чем в 7 предложениях, портрет русского правителя, образ которого воплощен в трагедии А.С.Пушкина, заканчивающейся строкой «…народ безмолвствует».

Внимание! ОЛ ВЗМШ проводит набор на курс «Обществознание». Курс включает следующие дисциплины: философия, социология, политология, теория государства, государственное устройство России, право, экономика. Слушателям направляются оригинальные учебные пособия, созданные на основе многолетнего опыта работы авторов курса. Проверка знаний осуществляется с помощью общепринятой системы тестирования. Программа курса рассчитана на 1 год. Обучение носит заочный характер и имеет целью дать выпускникам школ – как крупных городов, так и небольших сел – глубокие знания по общественным дисциплинам, подготовить их к успешной сдаче ЕГЭ. Для записи на курс необходимо отправить заявление до 1 июня 2011 года. В заявлении укажите: фамилию, имя, отчество, свой полный домашний адрес (с индексом), класс, в котором вы будете учиться с 1 сентября 2011 года. Заявление отправьте по адресу: 119234 Москва, Воробьевы горы, МГУ, ОЛ ВЗМШ (курс «Обществознание»).

Отделение информатики

Отделение приглашает школьников, интересующихся информатикой, с образованием не ниже 6 классов средней школы. В 2011/12 учебном году мы набираем школьников для обучения программированию на языке Паскаль. Для успешного выполнения практических заданий должна быть возможность работы на компьютере. Для зачисления необходимо прислать анкету с ответами на приведенные ниже вопросы. В письмо вложите сложенный пополам длинный $( 110 \times 220$ мм) конверт с обратным адресом. Пожалуйста, не пытайтесь «впихнуть» конверт внутрь письма целиком – он будет поврежден при вскрытии. Внимание! Ответы на вопросы анкеты присылайте на двойном тетрадном листе или на листе А4, сложенном пополам. На первой странице обязательно должны быть следующие данные: фамилия, имя, отчество; класс, в котором вы будете учиться с 1 сентября 2011 года; полный (с индексом!) почтовый адрес; телефон с кодом города; e-mail (если есть); есть ли у вас возможность регулярного выхода в Интернет; как вы узнали о нашей школе. На этой странице больше ничего не должно быть. Ответы на вопросы нужно уместить на следующих трех страницах. Старайтесь писать развернуто, но в то же время коротко. Не пытайтесь искать ответы на вопросы в книжках и в Интернете – это не повлияет на ваше зачисление, но не даст нам возможности понять, кто приходит к нам учиться, познакомиться с вами. Можно присылать ответы на вопросы по электронной почте на адрес vzms@programming-school.ru, однако в этом

55

ИНФОРМАЦИЯ

случае вы получите ответ также по электронной почте. Если вы посылаете электронное письмо, ответы на вопросы должны быть прямо в тексте письма (а не в отдельном файле!). Срок отправки анкеты – до 15 мая 2011 года. Наш сайт: http://vzms.programming-school.ru

Вопросы

1. Есть ли у вас какие-то достижения в области информатики на олимпиадах, конференциях? 2. Нравится ли вам заниматься математикой? Какие темы вам интересны? 3. Изучаете ли вы в школе информатику? Какие темы вы изучили?

Федеральная заочная физико-техническая школа при МФТИ

Федеральная заочная физико-техническая школа (ФЗФТШ) при Московском физико-техническом институте (МФТИ) проводит набор в 8–11 классы учащихся 7–10 классов общеобразовательных учреждений (школ, лицеев, гимназий и т.п.), расположенных на территории Российской Федерации. ФЗФТШ при МФТИ как государственное образовательное учреждение профильного дополнительного образования детей работает с 1966 года. За прошедшие годы школу окончили более 80 тысяч учащихся; практически все ее выпускники поступают в ведущие вузы страны, а каждый второй студент МФТИ – ее выпускник. Финансирует школу Министерство образования и науки РФ. Научно-методическое руководство школой осуществляет Московский физико-технический институт (государственный университет). Обучение в школе ведется по двум предметам – физике и математике. Цель нашей школы – помочь учащимся 8–11 классов общеобразовательных учреждений, интересующимся физикой и математикой, углубить и систематизировать свои знания по этим предметам, а также способствовать их профессиональному самоопределению. Набор в 8, 9, 10 и 11 классы на 2011/12 учебный год проводится на заочное, очно-заочное и очное отделения.

Заочное отделение (индивидуальное обучение) Тел./факс: (495) 408-51-45, e-mail: zftsh@mail.mipt.ru Прием на заочное отделение проводится на конкурсной основе по результатам выполнения приведенного ниже вступительного задания по физике и математике. Полная программа обучения рассчитана на 4 года, т.е. с 8 по 11 классы включительно, но начать обучение можно с любого из указанных классов. В течение учебного года, в соответствии с программой ФЗФТШ, ученик будет получать по каждой теме задания по физике и математике (5 заданий по каждому предмету для 8 класса, 6–7 заданий по каждому предмету для 9, 10 и 11 классов), а затем – рекомендуемые авторские решения этих заданий вместе с проверенной работой. Задания содержат теоретический материал, разбор характерных примеров и задач по соответствующей теме и 8–12 контрольных вопросов и задач для самостоятельного решения. Это и простые задачи, и более сложные. Задания составляют опытные преподаватели кафедр общей физики и высшей математики МФТИ, а также выпускники МФТИ. Работы учащихся-заочников проверяют студенты, аспиранты и выпускники МФТИ (из них 80% – выпускники нашей школы). Срок отправления решения вступительного задания – не позднее 1 марта 2011 года. Проверенные вступительные

44-.p65

4. Изучали ли вы какие-нибудь языки программирования? Какие? 5. Какие операционные системы вы знаете? 6. Какими компьютерными программами вы регулярно пользуетесь? 7. Знакомы ли вам следующие конструкции и приходилось ли вам писать программы с их использованием: а) условия; б) циклы; в) массивы; г) функции? 8. Знаете ли вы, что такое рекурсия, индукция, в чем различия между ними? Приходилось ли вам применять эти методы при решении задач?

работы обратно поступающему не высылаются. Решение приемной комиссии будет сообщено не позднее 1 августа 2011 года. Вне конкурса в ФЗФТШ принимаются победители областных, краевых, республиканских, всероссийских олимпиад по физике и математике 2010/11 учебного года. Им необходимо до 15 мая 2011 года выслать в ФЗФТШ выполненную вступительную работу по физике и математике вместе с копиями дипломов, подтверждающих участие в перечисленных выше олимпиадах. Тетрадь с выполненными заданиями (по физике и математике) высылайте по адресу: 141700 Московская область, г. Долгопрудный, Институтский пер., д. 9, ФЗФТШ при МФТИ. Вступительное задание по физике и математике ученик выполняет самостоятельно в одной школьной тетради на русском языке, сохраняя тот же порядок задач, что и в задании. Тетрадь нужно выслать в конверте простой бандеролью (только не сворачивайте в трубку). На внутреннюю сторону обложки тетради наклейте справку из школы, в которой учитесь, с указанием класса. На лицевую сторону обложки наклейте лист бумаги, четко заполненный по приведенному ниже образцу.

Образец

1. Республика, край, область 2. Фамилия, имя, отчество

2. Класс, в котором учитесь 4. Номер школы 5. Вид школы (обычная, лицей, гимназия, с углубленным изучением предмета) 6. Подробный домашний адрес (с указанием индекса), телефон, e-mail 7. Адрес школы и телефон, факс, e-mail

3. Каким образом к вам попало это объявление?

Кемеровская область Чистова Галина Сергеевна восьмой 35 лицей

654041 г. Новокузнецк, ул. Волжская, д.74, кв.3, e-mail: dio@rdsc.ru 654041 г. Новокузнецк, ул. Циолковского, д. 65, тел.(3843)35-19-72, must@yandex.ru

56

КВАНТ 2010/№6

На конкурс ежегодно приходит более 3 тысяч вступительных работ. Пожалуйста, обратите внимание на правильность заполнения анкеты! Пишите аккуратно, лучше печатными буквами. Для получения ответа на вступительное задание и для отправки вам первых заданий обязательно вложите в тетрадь два одинаковых бандерольных конверта размером $160 \times \times 230$ мм. На конвертах четко напишите свой домашний адрес.

Очно-заочное отделение (обучение в факультативных группах) Тел./факс:(498) 744-63-51, e-mail: zftsh@mail.mipt.ru Факультативные группы могут быть организованы в любом общеобразовательном учреждении двумя преподавателями – физики и математики, в отдельных случаях разрешается обучение по одному предмету. Руководители факультатива принимают в них учащихся, успешно выполнивших вступительное задание ФЗФТШ. Группа (не менее 7 человек) принимается в школу, если директор общеобразовательного учреждения сообщит в ФЗФТШ фамилии, имена, отчества ее руководителей и поименный алфавитный список обучающихся (Ф.И.О. полностью с указанием класса текущего учебного года и итоговых оценок за вступительное задание по физике и математике), адрес, телефон, факс и e-mail школы. Все эти материалы и конверт для ответа о приеме в ФЗФТШ с обратным адресом одного из руководителей следует выслать до 25 июня 2011 года по адресу: 141700 Московская область, г. Долгопрудный, Институтский пер., д. 9, ФЗФТШ при МФТИ (с пометкой «Факультатив»). Тетради с работами учащихся не высылаются. Работа руководителей факультативов может оплачиваться общеобразовательным учреждением как руководство профильными факультативными занятиями по предоставлении ФЗФТШ при МФТИ соответствующих сведений. Руководители, работающие с учащимися, будут в течение учебного года получать учебно-методические материалы (программы по физике и математике, задания по темам программ, решения заданий с краткими рекомендациями по оценке работ учащихся), приглашаться на курсы повышения квалификации учителей физики и математики, проводимые на базе МФТИ. Работы учащихся проверяют и оценивают руководители факультативных групп, а в ФЗФТШ ими высылаются ведомости с итоговыми оценками по каждому заданию и итоговая ведомость за год.

Очное отделение (обучение в вечерних консультационных пунктах) Тел.: (498) 744-65-83, e-mail: zftsh@mail.mipt.ru Для учащихся Москвы и Московской области по программе ФЗФТШ работают вечерние консультационные пункты. Набор в них проводится по результатам вступительных экзаменов по физике и математике и собеседования, которые проходят во второй половине сентября.

Программы ФЗФТШ при МФТИ являются профильными дополнительными образовательными программами и едины для всех отделений. Кроме того, ученикам всех отделений будет предложено участвовать в физико-математической олимпиаде «ФИЗТЕХ-2011», которая, как правило, проводится на базе МФТИ и в ряде городов России в конце марта, в других очных и заочных олимпиадах МФТИ и его факультетов. Для учащихся 9–11 классов на базе МФТИ работает субботний лекторий по физике и математике по программе ФЗФТШ. Лекции читают преподаватели института (как правило, авторы заданий). Подробнее об этих мероприятиях можно прочитать на сайте ФЗФТШ:

44-.p65

http://www.school.mipt.ru По окончании учебного года учащиеся, успешно выполнившие программу ФЗФТШ, переводятся в следующий класс, а выпускники (одиннадцатиклассники) получают свидетельство об окончании школы с итоговыми оценками по физике и математике. Ученикам, зачисленным в ФЗФТШ, будет предложено оплатить безвозмездный целевой взнос для обеспечения учебного процесса в соответствии с уставными целями школы. Сумма взноса может ориентировочно составлять для учащихся заочного отделения 2000–3000 руб. в год, для очного 3500–6000 руб. в год, для очно-заочного 2800–4500 руб. (с каждой факультативной группы) в год. Для учащихся Украины работает Киевский филиал ФЗФТШ при МФТИ (обучение платное). Желающим в него поступить следует высылать работы по адресу: 03680 Украина, г. Киев, б-р Вернадского, д. 36, ГСП, Киевский филиал ФЗФТШ при МФТИ. Телефоны: 8-(10-38-044) 424- 30-25, 8-(10-38-044) 422-95-64. Для учащихся из зарубежных стран возможно только платное обучение на заочном и очно-заочном отделениях. Внимание! Прислав нам решенное вступительное задание, вы даете согласие на обработку ваших персональных данных (в соответствии с Федеральным законом от 27.07.2006 г. №152-ФЗ), которые будут использованы исключительно для отправки вам материалов по почте и учета вашей успеваемости.

Ниже приводятся вступительные задания по физике и математике. Номера задач, обязательных для выполнения (заочное и очно-заочное отделения), даны в таблице (номера классов указаны на текущий 2010/11 учебный год). Таблица 7 класс 8 класс 9 класс 10 класс Физика 1 – 5 6 – 10 8 – 13 11 – 16 Математика 1 – 5 5 – 10 6 – 12 10 – 16

ВСТУПИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО ФИЗИКЕ 1. Ученик начинает наполнять водой первоначально пустой сосуд с вертикальными стенками, измеряя при этом уровень воды. Скорость поступления воды в сосуд $m_{0} = = 50$ г с. По результатам измерений учеником был построен график зависимости уровня воды в сосуде от времени (см. рисунок). Определите: 1) скорость поднятия уровня воды; 2) площадь поперечного сечения сосуда. 2. Катер, поднимавшийся вверх по реке, встретился у моста с плотом и продолжил движение. Повернув назад через время $\tau_{=}$ 1ч, катер догнал плот на расстоянии L = 4 км от моста ниже по течению. Определите скорость течения реки. Скорость катера относительно воды (скорость катера в стоячей воде) остается постоянной во время всего движения. 3. Стержень состоит из двух цилиндрических стержней одного и того же сечения. Первый стержень изготовлен из материала плотностью $\rho_{1}$ и имеет длину $l_{1}$. Второй стержень изготовлен из материала с большей плотностью. Если отрезать от первого стержня часть длиной $\Delta l = 0,5 l_{1}$, то масса всего стержня уменьшится на 10%. Как изменилась бы масса всего стержня, если бы только от второго стержня отрезали часть, равную половине его длины?