Квант 2014, №2 · Страницы

3

ОЧЕРК

ИСТОРИИ

ИССЛЕДОВАНИЙ

Юрий Владимирович Гапонов зике – впервые. После этого был опять большой экспериментальный период, в конце которого было зарегистрировано нейтрино. И снова возникла парадоксальная ситуация: в 1956 году, в тот же год, когда экспериментально было зарегистрировано нейтрино, выясняется, что у него совершенно необычные свойства: то, что мы называем нарушением $четности^{2}$ (временнуй четности). Иными словами, нейтрино в зеркале на себя не похоже, и когда вы обращаете время – нейтринные процессы тоже идут по-другому. Дальше. Формулируется то, что сегодня существует и живет в физике элементарных частиц: так называемая Стандартная модель. И, казалось бы, 20 лет идет только утверждение этой модели, никаких противоречий нет, пока в начале 1990-х годов не появляются факты (в физике нейтрино), которые никак не укладываются в Стандартную модель. И сегодня, последние 2–4 года, мы вообще занимаемся только тем, что открываем явления, которые никуда не укладываются. И теории еще нет, есть только эксперимент, и еще не ясно, куда он будет развиваться дальше. Вот сегодняшняя ситуация. Об этом я вам сейчас буду рассказывать. Давайте сначала вспомним, что было 100 лет назад. Сто лет назад Беккерелем была открыта радиоактивность. Вскоре обнаружилось, что в магнитном поле эти лучи (которые тогда считали просто жесткими рентге-

2 Четность – свойство физической величины сохранять свой знак (или изменять на противоположный) при некоторых преобразованиях, т.е. характеристика симметрии системы уравнений, описывающих какие-либо физические законы, по отношению к этим преобразованиям. Так, пространственная четность P характеризует симметрию системы уравнений относительно знаков координат всех частиц, временнбя четность Т – относительно направления течения времени, зарядовая четность С – относительно замены всех частиц на античастицы.

НЕЙТРИНО

новскими лучами) расщепляются и распадаются на три разные составляющие: одна – положительного заряда (альфа-частицы), вторая – отрицательного заряда (бетачастицы) и третья – нейтральная (гамма-лучи). Итак, было открыто, что бета-лучи (а это и есть начало бетаспектров, нейтринной физики) обладают зарядом. Вслед за этим было выяснено, что это быстрые электроны. А раз вы имеете быстрые электроны и магнитное поле, вы можете построить бета-спектрометр. Бета-спектрометры были построены достаточно быстро, в них сначала использовались фотопластинки, потом счетчики Гейгера. Приблизительно с 1910 по 1914 год было показано, что спектр бета-лучей очень своеобразный – это есть некий непрерывный спектр, на котором торчат пики. Причем эти пики были размыты, и считалось, что это просто экспериментальная аппаратура плохая, а то что мы называем непрерывным спектром, возможно, тоже есть артефакт, связанный с недостатками нашей аппаратуры. И вот в это же время впервые формулируется модель атома. Как известно, сначала эксперимент Резерфорда, а потом теория Бора дали нам первую модель атома, согласно которой атом состоит из точечного ядра и очень большого облака электронов (размеры ядра порядка $10^{-} 14$ м, размеры электронного облака – $10^{-} 10$ м, т.е. на 4 порядка больше). Возник вопрос: откуда берутся бета-электроны? Изнутри или снаружи? Это что – те электроны, которые выбиты из атомной оболочки, или они вышли из ядра? Первый, кто произнес слово «ядро», был Нильс Бор, который сказал: бета-лучи испускаются из ядра. Как исследовать спектры бета-распадов? Резерфорд предложил поразительно интересную идею: давайте развернем ситуацию и гамма-лучами, которые присутствуют в радиоактивном излучении, будем снова облучать это же ядро. Тогда если гамма-лучи падают на ядро, то они могут выбить внешние электроны, и можно измерить энергию гамма-лучей по энергии этих электронов (поскольку в это время не было способов измерения гамма-лучей). Когда эта идея была воплощена в эксперименте, то оказалось, что пики, которые наблюдались в бета-спектрах – они сейчас называются конверсионными линиями, – позволяют померить энергию электронов. И выяснилось, что энергия электронов (точнее, разность их энергий) довольно жестко связана с энергиями атомных спектров. Таким образом, на самом деле электроны, которые наблюдаются в спектре, вот эти пики, связаны с внешними электронами, а не с внутренними. Но каким образом они возникают? Появилась такая модель: гамма-лучи испускаются ядрами, эти гамма-лучи поглощаются электронами, которые выбивают внешние электроны, электроны оболочки. Так возникают электроны, соответствующие линиям, которые в атомной физике известны как K, L, M-линии. Но тогда ядро не является простым: оно тоже сложное, а не точка, как было у Резерфорда; на самом деле это сложное образование. Вот отсюда появляется представление о том, что ядерная физика – вещь гораздо более сложная и что у ядер есть возбужденные состояния. Однако вопрос о том, откуда берутся элек-

4

КВАНТ 2014/№2

троны, остается. И возникла модель (это 1923–25 годы; эту модель особенно сильно развивал Резерфорд), согласно которой ядро состояло из протонов и электронов. Электроны, которые рождаются при бета-распаде, время от времени вылетают наружу, а протоны остаются. Заряд ядра – это есть разность зарядов протонов и электронов. Например, ядро 63 Li состоит из шести протонов и трех электронов. Эта модель существовала достаточно долго, до конца 1930-х годов, и возникали разные интересные вопросы. Например: если ядро испускает бета-лучи и гамма-кванты, то что раньше вылетает – бета-частица или гамма-частица? С современной точки зрения (мы теперь знаем ответ на этот вопрос), если ядро нестабильно, то сначала оно испускает бета-лучи, потом переходит в основное состояние (или в более низкое возбужденное) и испускает гаммакванты. Как видите, идет развитие ядерной физики – и все это через бета-лучи. Наконец, встал такой вопрос: ну хорошо, пики мы объясняем тем, что происходит выбивание электронов в оболочке; а есть ли такие бета-спектры, в которых нет конверсионных линий? Да, есть. Это спектр так называемого радия-Е. Он был известен. В нем нет конверсионных линий. Спрашивается, а как же тогда? Откуда берутся электроны? Вылетают из ядра? Но тогда они что, не квантованы? (К этому времени уже было ясно, что все в мире должно быть квантовано.) Значит, получается, что они непрерывные (в том смысле, что их энергия принимает любые значения). Как это объяснить? В этой области работали две интересные группы. Одна группа – это группа Резерфорда, к которой потом, где-то в конце 1910-х–начале 1920-х годов, присоединился Эллис. Эллис очень забавно попал в физику. Чедвик, который делал эксперименты по бетаспектру и который открыл непрерывную часть этого спектра, в 1914 году попал в Германии в плен. Он был интернирован, и во время плена, чтобы провести както время, он читал лекции. Среди военнопленных, которые вместе с ним сидели, были молодые ребята, в частности был Эллис, который очень заинтересовался этой тематикой и после войны стал одним из ведущих физиков у Резерфорда. Так вот, эта группа не создавала никаких моделей, у них была идея: просто давайте исследовать, а дальше – что получится, то получится. Вторая, немецкая группа состояла тоже из молодых в то время физиков, во главе которых были Лиза Мейтнер и Отто Ган – их знают сейчас как открывателей деления ядра в 1939 году и в честь них названы два новых элемента: хассий и $мейтнерий.^{3}$ У них была

3 Это открытие чаще упоминается в литературе как открытие Гана и Штрассмана – авторов статьи 1939 года о расщеплении ядра урана, а не как результат 30-летнего сотрудничества Гана и Мейтнер. После вынужденного отъезда Лизы Мейтнер из Германии в 1938 году совместные публикации их работ были невозможны по политическим соображениям. Для элемента 108 после синтеза в 1984 году было предложено имя оттоганий, в 1994 году – ганий, а в 1997 году утвердилось название хассий – в честь немецкой земли Гессен (лат. Hassia), в которой был синтезирован этот элемент.

идея, что электрон, когда он вылетает из ядра и летит сквозь электронную оболочку, где-то там теряет энергию, рассеивается на этих электронах, и поэтому получается не дискретный спектр, а непрерывный. Это была идея объяснения. Но как объяснить, что электрон пролетает сквозь практически пустое облако и так сильно рассеивается? Вот это была проблема. Итак, к концу 1920-х годов стало ясно, что есть одна загадка – непрерывный спектр бета-лучей. Почему он непрерывный, как это объяснить? И тогда был сделан совершенно поразительный эксперимент, очень интересный, который заставил физиков серьезно задуматься. Этот эксперимент был такой: давайте померяем полную энергию всех электронов, которые вылетают. Для этого поместим наш бета-источник в термостат, и всю энергию, которая есть там, померяем. Померили. И выяснилось, что энергия бета-лучей составляет приблизительно половину средней энергии, которая выделяется в данном ядре (к этому времени была открыта верхняя граница бета-спектров, поэтому можно было сказать: верхняя граница такая-то, а вот половина этой границы). Как это объяснить? Здесь впервые физики подошли к загадке, которая решалась таким простым, но совершенно необычным способом: пришлось ввести новую частицу. Здесь я кончаю рассказ про первую стадию, экспериментальную стадию. Давайте посмотрим, что было дальше. К концу 1920-х годов мы приходим вот в какой ситуации. С одной стороны, уже родилась квантовая механика, известно уравнение Шредингера. Это уравнение позволяет описать атом, т.е. электрон, скачущий по своим орбитам вокруг ядра. Но никто не знает, годится ли квантовая механика для того, чтобы исследовать ядро, или нет. Кроме того, есть уравнение Дирака (это релятивистское обобщение уравнения Шредингера). Оно имеет нетривиальное свойство: у него есть два решения, одно решение с положительной энергией, другое решение – с отрицательной. Уже тогда была высказана идея, что, может быть, есть две частицы, но в эксперименте ничего не было обнаружено, был только электрон. И еще одна проблема, которая была связана с бетаспектрами: как описать само ядро? Здесь возникают две гипотезы. Одна гипотеза – это гипотеза Нильса Бора. Бор говорил очень мудрые на самом деле слова, как мы сейчас понимаем; но, может быть, немножко подругому они должны быть восприняты. Он говорит: хорошо, атомную физику мы знаем, вот она объясняется с помощью квантовой физики и так далее. А вот что в ядре? Может быть, там все законы нарушаются? И он говорит: я думаю, что, может быть, там нарушается закон сохранения энергии. В этом он был не прав. Но в чем-то, оказывается, он был прав – я об этом дальше скажу. А Паули предложил совершенно новую идею: до сих пор в физике были только заряженные частицы, а почему не может быть нейтральных частиц? Паули высказал эту идею приблизительно в 1929– 30 годы в письмах, причем Бор настолько категорически заявил, что не хочет даже об этом слышать, что

5

ОЧЕРК

ИСТОРИИ

ИССЛЕДОВАНИЙ

Паули с Бором потом не переписывался. Паули писал письма Гейзенбергу, а Гейзенберг, как лучший ученик Нильса Бора, с ним разговаривал. Получал ответ Бора – писал снова Паули. Вот так эта полемика между ними шла, до 1936 года Бор не признавал идею о нейтральных частицах. На самом деле, все оказалось не так просто. Дело в том, что то что предложил Паули, на самом деле это совсем не нейтрино. Паули предложил нейтрон. Он предположил, что в ядре есть нейтрон, который выскакивает в момент бета-распада. Но когда нейтрон был открыт, оказалось, что он тяжелый, а отнюдь не такой легкий. И поэтому, в развитие этой идеи, было сказано дальше следующее: ну хорошо, существует легонький нейтрончик – нейтрино (это Ферми так его назвал), как маленький нейтрон. И вот именно он является той самой нейтральной частицей в бета-распаде. Иными словами, на самом деле была открыта не одна, а две частицы: нейтрон (который, кстати, Резерфорд предполагал в свое время, еще в 1920-х годах, как связанное состояние протона и электрона) и нейтрино. И еще один поворот должен был произойти, прежде чем физики начали выстраивать новую картину. Этот поворот – открытие нейтрона и позитрона в 1932 году. Совершенно потрясающий год в физике, который перевернул физику (физику ядра и физику частиц). В этот год было открыто две вещи: нейтрон (экспериментально было показано его существование) и позитрон. Кстати, позитрон наблюдал, как известно, Скобельцын в России, но он не знал, в какую сторону должен в данном магните лететь этот позитрон. Считалось, что у него другое направление поворота в магнитном поле просто потому, что он идет не сверху, из космических лучей, а из-под $земли.^{4}$ Итак, был, открыт нейтрон. Что это означает? Я вам приводил пример 63 Li, который с точки зрения предыдущей модели – протон-электронной – состоял из шести протонов и трех электронов. А с точки зрения нейтрона? Если есть нейтрон, то в ядре три протона, три нейтрона, и всего частиц – шесть! Это уже разная $статистика^{5}$: в первом случае 63 Li имеет спин полуцелый, а во втором – целый. А это можно проверить в эксперименте. И вот когда это было проверено, стало ясно, что нейтронная гипотеза более вероятна, чем электрон-протонная. Итак, в 1932 году рождается нейтрон-протонная модель. Кстати, в ее рождении участвовали три человека: Гейзенберг, который постоянно переписывался с Паули на эту тему,

4 Действительно, Скобельцын первый наблюдал позитрон, но он думал, что это электрон из земли, так как увидел, что наблюдаемая частица летит от магнита в противоположную сторону, чем летел бы электрон. А с позитроном все в порядке – у него заряд другого $знака.^{5}$ Поведение систем частиц, обладающих целым или полуцелым спином, существенно различается. Так, известный принцип запрета Паули относится только к частицам с полуцелым спином. В квантовой статистической физике частицы, имеющие целый спин (так называемые бозоны), описываются статистикой Бозе–Эйнштейна, а имеющие полуцелый спин (фермионы) – статистикой Ферми–Дирака.

НЕЙТРИНО

Иваненко в России, совершенно независимо, и, наконец, Майорана. Обычно про Майорана никто не знает, а он был учеником Гейзенберга и выдвинул эту идею независимо. После того как был открыт позитрон, начала укладываться в цельную схему идея, связанная с уравнением Дирака, т.е. начала подтверждается квантовая электродинамика. Квантовая электродинамика (и с современной точки зрения, и с точки зрения, которая была сформирована в 1930 году) говорит следующее: когда два электрона рассеиваются друг на друге, между ними проскакивает гамма-квант – виртуально, как мы говорим. Или, иными словами: возникает электромагнитное поле между этими электронами. (Есть, конечно, и другой процесс, когда этот гамма-квант падает, скажем, на атом и может родить электрон-позитронную пару.) Что существенно для этой теории: в ней есть некая константа взаимодействия. Это постоянная слабого $взаимодействия^{6} e^{2} ($ ℏ c ), равная 1 137, знаменитая константа, которая до сих пор правит квантовой электродинамикой и, по-видимому, имеет даже большее значение, но пока мы еще плохо понимаем, где она еще может быть применена. Во всяком случае, квантовая электродинамика полностью объясняется с помощью этой константы. Это – некая фундаментальная константа мира. И тогда в параллель этой идее Ферми предположил похожую – просто аналогичную – модель для бета-распада. Согласно этой модели, бетавзаимодействие, по Ферми, выглядит так. Летит нейтрон, потом он превращается в протон (это есть некое взаимодействие, которое можно описать чисто феноменологически, некой константой) и вылетают электрон и нейтрино:

$- 1 1_{e}^{ɶ}._{0} n \to_{1} p + e + \nu$

Я написал здесь антинейтрино, но это уже сегодняшний день. А в принципе – здесь нейтрино. И константа, которая описывает этот процесс, очень похожа на константу из квантовой электродинамики. Но из-за того что не известно, что здесь находится, она нормирована на массу электрона в квадрате, это $10^{-} 10$. Смотрите, какая маленькая константа: там 1 137, а здесь $10^{-} 10$. Что это означает? Это означает, что сечение взаимодействия – совершенно фантастически маленькая величина. Ну, что такое сечение, вспомним. Возьмем пятак и бросим на него поток частиц. Как часто этот поток частиц будет взаимодействовать с этим пятаком? Все будет зависеть от того, какова площадь этого пятака в проекции на поперечное сечение потока (это и называется словом «сечение»), от величины потока и времени, в течение которого вы наблюдаете. Площадь пятака – аналог сечению взаимодействия, которое используется в физике.

6 Постоянная тонкой структуры, или постоянная Зоммерфельда. Выражение через фундаментальные константы приведено в системе единиц СГСЭ, используемой в квантовой электродинамике. Численное значение не зависит от выбора системы единиц.

6

КВАНТ 2014/№2

Оказалось, что если смотреть процессы взаимодействия вещества с нейтрино, то сечение находится на уровне $10^{-} 43 - 10^{-} 46 см^{2}$. В то время как сечение ядерных реакций это $10^{-} 24 - 10^{-} 28 см^{2}$. Ну, легко понять эти оценки. Если размер ядра $10^{-} 12$ см, то квадрат размера этого ядра – $10^{-} 24 см^{2}$. Вот нормальное ядерное сечение. А $10^{-} 28 см^{2}$ – это очень маленькая величина. Теперь давайте представим себе, что такое $10^{-} 42 см^{2}$. Это значит, что размер области, где идет взаимодействие нейтрино с другими частицами, которые осуществляют слабое взаимодействие, примерно $10^{-} 21$ см. Сегодня мы его немного по-другому оцениваем, как $10^{-} 17 - 10^{-} 18$ см, но все равно получаются очень маленькие сечения – вы должны попасть вашим потоком в монетку размером порядка $10^{-} 20$ см. Ясно, что даже по сравнению с ядерными сечениями это невероятная задача. И вот это была следующая проблема, которую нужно было решать. Но раз так, то вы никогда не сможете зарегистрировать нейтрино. Имея такие маленькие сечения, нейтрино спокойно проходит сквозь земной шар. Один раз взаимодействуя за все время движения через весь земной шар. Один раз! Как вы будете это регистрировать? Вот проблема, с которой столкнулись физики. Чтобы кончить с этим периодом, я покажу основных участников – теоретиков, которые в этот период работали. Дирак в 1928 году пишет свое уравнение (релятивистское волновое уравнение электрона). Кстати, у уравнения Дирака есть один интересный предельный случай: давайте в уравнении Дирака положим массу равной нулю. В результате редукции получается уравнение Вейля. Так вот, самая фантастическая, самая загадочная и странная вещь была в том, что уравнение Дирака, когда вы обращаете массу в ноль, может привести к нарушению P-четности. Вот этот случай, уравнение Вейля (т.е. уравнение движения для безмассовой частицы со спином 1 2, частный случай уравнения Дирака), считался нефизическим. К нему вернулись только через 20–25 лет. Получается, что сразу можно было открыть необычные свойства нейтрино, пожалуйста – Вейль написал это уравнение. Но они были такие необычные, что никто в это не поверил. Скажу больше, был эксперимент в 1929 году, который на самом деле повторил – ну, не повторил, а предшествовал экспериментам 1956–57 годов, где измерялась поляризация электронов (т.е. взаимная ориентация спина и импульса частиц), вылетающих при бетараспаде. Там нашли, что они поляризованы, но в это никто не мог поверить. Эксперимент отставили в сторону и сказали: этого не может быть. И все. Вот такая интересная штука. Дальше – противоречия в протон-электронных моделях ядра, о которых я вам сказал. На них впервые обратил внимание Крониг. Гипотеза о нарушении сохранения энергии была предложена Бором в 1929 году, а гипотеза Паули о нейтроне – в 1930 году. Нейтрон и позитрон были открыты Чедвиком и Андерсоном в

1932 году, а протон-нейтронная модель в этом же году была построена теми тремя людьми, о которых я говорил. Была попытка построить теорию бета-распада с нарушением закона сохранения энергии, была опубликована такая работа. И Бор на нее ссылался! Но – до 1936 года, и она оказалась неправильной. Нейтринная гипотеза Паули – это уже 1933 год. Как видите, сначала нейтрон, а потом нейтрино. Значит, теория Ферми тогда же была построена. Оценка сечения взаимодействия нейтрино, о которой я вам говорил и которая показала, что нейтрино не регистрируется, была проведена Бете и Пайерлсом в 1934 году. Еще хочу вам сказать о двойном бета-распаде (т.е. таком распаде ядра, который сопровождается увеличением заряда ядра на две единицы и излучением двух электронов). Двойной бета-распад был впервые предложен Гёпперт-Майер в 1935 году. И только сегодня мы начинаем им заниматься экспериментально. Нужно было 70 лет ждать, чтобы начать им заниматься. И самое интересное, то что мы сегодня только начинаем изучать – это гипотеза Майорана. Дело в том, что нейтрино как дираковская частица (т.е. то, что было придумано Ферми по аналогии с уравнением Дирака) имело нормальные свойства: было нейтрино, было и антинейтрино – точно так же, как существуют электрон и позитрон, есть нейтрино и антинейтрино. Однако кто вам сказал, что это единственная возможность? И вот Майорана в 1937 году, буквально за несколько месяцев до своей смерти, публикует работу, в которой предлагает следующее: он берет уравнение Дирака, делает некие математические преобразования и показывает, что в нем есть решения, в которых нейтрино может быть тождественно антинейтрино. Тогда нет никакого электронного заряда, точнее – это ноль. И такое нейтрино может существовать. Вот эта эстафета была подхвачена Понтекорво. Понтекорово был тем человеком, который слушал Майорана в 1937 году. Кстати, до сих пор судьба Майорана неизвестна; повидимому, он покончил жизнь самоубийством, буквально через несколько месяцев после того, как написал эту статью. Вот такая загадка осталась нам с 1937 года. Надо сказать, что ее просто игнорировали в то время. Мало того что нейтрино нельзя зарегистрировать, так к тому же еще у него какие-то совсем ненормальные свойства. Итак, с 1932–33 годов начинается совершенно новый период – экспериментальный период изучения бетараспада. До этого времени ядерной физики еще не существовало, и все, что изучали физики, это были радиоактивные ядра, которые давали электроны – т.е. происходили бета-минус распады (с нашей сегодняшней точки зрения). А с 1932 года, после того как был открыт нейтрон, начинается бурное развитие ядерной физики, открывается много разных ядер, можно нейтрон загонять в ядра и смотреть, что будет. Если вы альфа-частицу загоните внутрь ядра с помощью циклотрона, то можно находить и положительные ядра, с избытком протонов, и наблюдать бета-плюс распады. Таким образом, возникают интересные варианты нейтринных процессов. Во-первых, бета-минус распад

8

КВАНТ 2014/№2

трино три типа источников – солнечные нейтрино, реакторные нейтрино и нейтрино от ускорителей. Вот так давно была эта программа сформулирована. И действительно, в 1956 году впервые проведены эксперименты в Америке: Рейнс, был такой физик, на американском реакторе сделал эксперимент и зарегистрировал первое нейтрино от реактора.

Именной комментарий

Вольфганг Эрнст Паули (1900–1958) – австрийский физик, ввел понятие спина элементарной частицы, предсказал существование нейтрино и сформулировал «принцип запрета». Лауреат Нобелевской премии по физике за 1945 год. Нильс Хенрик Давид Бор (1885–1962) – датский физик, один из создателей современной физики (в частности, создатель первой квантовой теории атома и активный участник разработки основ квантовой механики). Лауреат Нобелевской премии по физике за 1922 год. Антуан Анри Беккерель (1852–1908) – французский физик, один из первооткрывателей радиоактивности. Лауреат Нобелевской премии по физике за 1903 год. Эрнест Резерфорд (1871–1937) – британский физик, «отец» ядерной физики, создатель планетарной модели атома. Лауреат Нобелевской премии по химии за 1908 год. Чарльз Друммонд Эллис (1895–1980) – английский физик. Джеймс Чедвик (1891–1974) – английский физик, ученик Резерфорда; открыл нейтрон. Лауреат Нобелевской премии по физике за 1935 год. Лиза Мейтнер (1878–1968) – австрийский физик и радиохимик. Отто Ган (1879–1968) – немецкий химик, «отец ядерной химии», открыл расщепление урана. Лауреат Нобелевской премии по химии за 1944 год. Эрвин Рудольф Йозеф Александр Шредингер (1887– 1961) — австрийский физик-теоретик, один из создателей квантовой механики. Лауреат Нобелевской премии по физике за 1933 год (совместно с Полем Дираком). Поль Адриен Морис Дирак (1902–1984) – английский физик, один из создателей квантовой механики. Лауреат Нобелевской премии по физике за 1933 год (совместно с Эрвином Шредингером). Вернер Карл Гейзенберг (1901–1976) – немецкий физик, один из создателей квантовой механики. Лауреат Нобелевской премии по физике за 1932 год. Энрико Ферми (1901–1954) – итальянский физик, один из основоположников квантовой физики. Лауреат Нобелевской премии по физике за 1938 год. Дмитрий Владимирович Скобельцын (1892–1990) – советский физик-экспериментатор, специалист в области космических излучений и физики высоких энергий. Дмитрий Дмитриевич Иваненко (1904–1994) – советский физик; работы в области ядерной физики, единой теории поля, теории гравитации и др.

Этторе Майорана (1906–1938) – итальянский физик; работы в области ядерной физики и теории нейтрино. Арнольд Иоганн Вильгельм Зоммерфельд (1868— 1951) — немецкий физик-теоретик; работы посвящены квантовой теории атома, спектроскопии, квантовой теории металлов, математической физике. Герман Клаус Гуго Вейль (1885–1955) – немецкий математик; работы во многих областях математики и математической физики. Ральф Крониг (1904–1995) – нидерландский физик; работы в области спектроскопии, квантовой механики, ядерной физики, физики твердого тела и др. Карл Дэвид Андерсон (1905–1991) – американский физик; работы посвящены исследованию рентгеновских и гамма-лучей, физике космических лучей, физике элементарных частиц. Лауреат Нобелевской премии по физике за 1936 год. Ханс Альбрехт Бете (1906–2005) – немецкий и американский физик и астрофизик. Лауреат Нобелевской премии по физике за 1967 год. Рудольф Эрнст Пайерлс (1907–1995) – английский физик; работы по квантовой механике и квантовой электродинамике, ядерной физике, физике твердого тела и др. Мария Гёпперт-Майер (1906–1972) – американский физик. Лауреат Нобелевской премии по физике (одна из двух женщин-лауреатов) за 1963 год (совместно с Хансом Йенсеном). Бруно Максимович Понтекорво (1913–1993) – итальянский и советский физик; работы в области нейтринной физики, астрофизики и др. Лев Давидович Ландау (1908–1968) – выдающийся советский физик-теоретик, основатель научной школы. Лауреат Нобелевской премии по физике за 1962 год. Джон Микаэль Робсон (1920–2000) – канадский физик; работы в области ядерной физики, физики и техники ядерных реакторов. Петр Ефимович Спивак (1911–1992) – советский физик; работы в области ядерной физики и физики слабых взаимодействий. Игорь Васильевич Курчатов (1903–1960) – советсткий физик, «отец» советской атомной бомбы, главный научный руководитель атомной проблемы в СССР. Фредерик Рейнс (1918–1998) – американский физик. Лауреат Нобелевской премии по физике за 1995 год «за экспериментальное обнаружение нейтрино».

(Продолжение статьи – в следующем номере журнала)

Геометрия на паркете

В.ДУБРОВСКИЙ

ВСОВРЕМЕННОЙ ГЕОМЕТРИИ ПАРКЕТЫ, ИЛИ ЗА- мощения, т.е. покрытия плоскости многоугольниками без пробелов и перекрытий, служат предметом самостоятельного изучения. В этой статье мы увидим, как их можно использовать в качестве инструмента для доказательства «обычных», даже классических теорем, изначально не имеющих ничего общего с замощениями. Доказательства, которые мы будем обсуждать, вовсе не единственные и даже не самые короткие. Но они, безусловно, красивы, и я надеюсь, что они доставят читателям такое же удовольствие, как и автору. Начнем с двух простейших паркетов, которые показаны на рисунке 1. Это замощения плоскости параллелограммами и треугольниками. Первое получается,

Рис. 1

если разделить плоскость на параллелограммы двумя семействами параллельных и равноотстоящих прямых. Второе получается, если разрезать все эти параллелограммы параллельными диагоналями. Ясно, что в качестве плиток паркета можно использовать равные параллелограммы любого размера и формы, и то же справедливо для треугольников. (Плитками называют многоугольники, из которых составляется паркет. В паркетах на рисунке 1 все плитки одинаковы; ниже мы встретимся и с паркетом из нескольких разных видов плиток.) Даже самый простой – треугольный – паркет может проиллюстрировать одну из фундаментальных теорем геометрии. Посмотрите еще раз на рисунок 1,б. Понятно ли, о какой теореме идет речь? Уверен, что да. Это теорема о сумме углов треугольника. На рисунке углы шести плиток уложены вокруг их общей вершины без зазоров и наложений. А так как каждый угол плитки встречается дважды среди этих шести углов, то сумма углов плитки равна $180\infty$. Итак, мы сумели обнаружить важный геометрический факт «методом пристального взгляда» на замощение; этот метод еще не раз пригодится нам в дальнейшем. Попутно наш простой пример поясняет, почему замощения оказываются полезными при поиске и доказательстве геометрических фактов: когда фигура окру-

жена своими копиями, то выявляются связи между ее элементами, которые до этого было трудно увидеть. Есть еще одно интересное соображение технического характера; оно требует более подробного объяснения.

Измерение площадей подсчетом узлов

Рассмотрим паркет из параллелограммов и произвольную фигуру на плоскости. Площадь этой фигуры приблизительно равна числу содержащихся в ней плиток, умноженному на площадь плитки. Чем меньше плитки, тем точнее это равенство. Здесь мы считаем, что плитки измельчаются, а фигура фиксирована. Но можно представить, что фиксирован паркет, а фигура раздувается, сохраняя форму. Тогда, считая площадь плитки равной 1, получим, что площадь фигуры примерно равна числу плиток, целиком лежащих внутри нее. И чем больше раздута фигура, тем меньше относительная погрешность такого измерения. Но вместо плиток можно считать точки – вершины плиток! Множество вершин всех параллелограммов нашего паркета называется решеткой, а сами вершины – ее узлами. Каждый узел решетки – это левая нижняя вершина какого-то (и только одного) параллелограмма из соответствующего замощения. Поэтому число узлов внутри фигуры не меньше числа параллелограммов, содержащихся в ней, и не больше числа параллелограммов, которые имеют с ней общие точки. Значит, опять принимая площадь одного параллелограмма за единицу (давайте договоримся и дальше так считать, если специально не оговорено иное), мы можем сказать, что площадь фигуры приблизительно равна числу узлов, которые она покрывает. «Раздувая» фигуру, можно сделать относительную погрешность этого равенства сколь угодно малой, но идеальной точности для всех фигур достичь нельзя. Однако для некоторых типов фигур подсчет узлов позволяет вычислить площадь абсолютно точно. Одну из таких формул дает теорема Пика: площадь многоугольника с вершинами в узлах решетки равна i + b 2 - 1, где i – число узлов внутри многоугольника, а b – число узлов на его границе. Об этой формуле мы еще вспомним (см. также статью Н.Б.Васильева «Вокруг формулы $Пика»^{1} ),$ но здесь будем пользоваться другим способом вычисления площадей. Пусть нам нужно вычислить площадь некоторой фигуры, копиями которой можно замостить плоскость. Наложим это замощение на решетку единичных параллелограммов. Рассмотрим простейший случай, когда

1 Опубликована в «Кванте» №12 за 1974 г. и в выпуске 125 «Библиотечки «Квант».

27

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

ШКОЛЬНИКОВ

Задачи

Дети ходили в лес по грибы. Если Аня отдаст половину своих грибов Вите, у всех детей станет поровну грибов, а если вместо этого Аня отдаст все свои грибы Саше, то у Саши станет столько же грибов, сколько у всех остальных вместе взятых. Сколько детей ходило за грибами? И.Раскина

чают одинаковые цифры, разные – разные, а черточка – это минус! Мориарти едет в поезде № …» Напишите номер поезда и номер вагона. Объясните, как мог рассуждать Холмс. И. Раскина

2. Нарисуйте фигуру, которую можно разрезать на четыре фигурки, изображенные слева, а можно – на пять фигурок, изображенных справа. (Фигурки можно поворачивать.) А.Шаповалов

Иллюстрации Д.Гришуковой

Известный преступник профессор Мориарти долго скрывался от Шерлока Холмса и лондонской полиции. И вот однажды полицейским удалось перехватить телеграмму, которую Мориарти прислал сообщнику: Встречай завтра поезд СТО вагон О Инспектор Лестрейд уже распорядился было послать наряд полиции искать нулевой вагон сотого поезда, но тут принесли еще две перехваченные телеграммы на тот же адрес: СЕКРЕТ – ОТКРОЙ = ОТВЕТ – ТВОЙ СЕКРЕТ – ОТКРЫТ = 20010 Лестрейд задумался. А Холмс воскликнул: «Теперь ясно, какой поезд надо встречать!» Инспектор удивился. «Элементарно, Лестрейд! – пояснил сыщик. – Это же шифр. В этих примерах одинаковые буквы обозна-

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6–8 классов. Эти задачи предлагались на XXV Математическом празднике.

4. Одуванчик утром распускается, два дня цветет желтым, на третий день утром становится белым, а к вечеру облетает. Вчера днем на поляне было 20 желтых и 14 белых одуванчиков, а сегодня 15 желтых и 11 белых.

а) Сколько желтых одуванчиков было на поляне позавчера? б) Сколько белых одуванчиков будет на поляне завтра? Д.Шноль

Два одинаковых прямоугольных треугольника из бумаги удалось положить один на другой так, как показано на рисунке (при этом вершина прямого угла одного попала на сторону другого). Докажите, что заштрихованный треугольник равносторонний. Е.Бакаев

28

КВАНТ 2014/№2

Новые приключения Буратино

Геометрическая сказка

С.ДВОРЯНИНОВ

КОГДА БУРАТИНО БЫЛ СОВСЕМ МАЛЕНЬКИМ, НА прогулки его водил папа Карло. Но вот Буратино подрос и стал ходить в начальную школу. А у старого Карло как раз появилось много заказов на изготовление деревянной мебели, работы прибавилось, а свободное время, соответственно, убавилось. Вот тогда стал Буратино просить отпустить его погулять одного. – Папа Карло, наш городок со всех четырех сторон окружают такие прекрасные леса, рощи и парки, похожие на леса! Там так чудесно! Позволь мне туда отправиться! А чтобы не заблудиться, я возьму с собой компас! – Что ж, – отвечал его отец, – ты у меня не маленький, но я тебе дам не компас, а GPS-навигатор. Вот завтра, для начала, побывай в Квадратном лесу, а навигатор я настрою так, чтобы он тебе показывал направление, перпендикулярное сторонам этого леса. И вот Буратино после школы отправился в Квадратный лес. – Ну, как прогулка? – спросил его папа Карло. Понравилась? – Да, конечно, только я один и тот же путь от края до края прошел дважды, туда и обратно (рис.1,а). Вышел из стартовой точки S и в нее же возвратился. Можно выбрать более интересный маршрут? – Можно. Отправляйся завтра в Четырехугольный лес. А навигатор будет показывать тебе направления вдоль диагоналей этого четырехугольника. Вышел Буратино из городских ворот, тут же оказался на опушке леса и включил навигатор. Дошел до одной стороны четырехугольника, потом до другой и так далее, все время двигаясь параллельно

Рис. 1

диагоналям четырехугольника (рис.1,б). И что удивительно, он оказался вновь в начале своего пути – в стартовой точке S! – Папа Карло, – рассказывал Буратино вечером, – мне сегодня повезло: я начал свое путешествие в замечательной точке, которая совпала с конечной точкой моего пути! – Что ж тут необыкновенного? Если начать путь в любой точке на стороне и двигаться параллельно диагоналям четырехугольника, то ты всегда вернешься в начальную точку. – Ладно, я завтра проверю это утверждение, буду стартовать из другой точки. Посмотрим, вернусь ли я в начало. – Даже если вернешься, то ты лишь подтвердишь мои слова, но утверждение не докажешь. И вообще, сколько бы ни было примеров, подтверждающих утверждение, они ничего не доказывают. Потом еще несколько дней Буратино гулял по Четырехугольному лесу, начинал свой путь в разных точках, но всегда при этом возвращался в точку старта.

Задача 1. Проверьте утверждение папы Карло для своего четырехугольника и попробуйте доказать его.

Через неделю Буратино отправился в Треугольный лес. Название понятное: лес имел форму треугольника. – Папа Карло, настрой навигатор так, чтобы я снова возвращался в начальную точку своего пути. – попросил Буратино. – Я привык к таким путешествиям, да и в песне поется: но так приятно возвращаться под крышу дома своего! – Хорошо, завтра навигатор поведет тебя параллельно сторонам Треугольного леса. Снова Буратино пришел на опушку леса и отправился в путь. После двух поворотов он опять оказался у городской стены, но не там, где он начинал свой путь (рис.1,в). – Наверное, навигатор сбился, – предположил Буратино. – Бывает, что и техника подводит. Что ж, проверю, пройду-ка я по лесу еще разок. Его новый маршрут состоял из трех новых отрезков, параллельных сторонам треугольника. Но тут уже в конце пути его финишная точка совпала со стартовой! – Нет, навигатор исправен. Как и обещал папа Карло, двигаясь параллельно сторонам треугольника, я всегда вернусь в начало пути. Только путь мой

29

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

ШКОЛЬНИКОВ

состоит теперь из шести отрезков! – сделал вывод Буратино. – Ты прав, – подтвердил вечером за ужином папа Карло. – Твое путешествие можно назвать математическим экспериментом. Эксперимент привел тебя к некоторой гипотезе. А теперь докажи, что эта гипотеза верна.

Задача 2. Докажите, что, двигаясь из произвольной точки на стороне треугольника параллельно его сторонам, мы после прохождения шести отрезков обязательно вернемся в исходную точку.

– Однако, – продолжал папа Карло, – на опушке Треугольного леса есть такая точка, что, начав путь в этой точке, ты вернешься в нее, пройдя только три прямолинейных отрезка. – Что ж, завтра я попробую такую точку подобрать-угадать! – Не спеши, – возразил папа Карло. – На отрезке бесконечно много точек. Все их испытать-проверить невозможно. Ты ведь уже изучил азы геометрии? Возьми бумагу, карандаш и найди эту точку! Буратино так и сделал.

Задача 3. Найдите на стороне треугольника точку, из которой выходит замкнутая трехзвенная ломаная с вершинами на сторонах и звеньями, параллельными сторонам треугольника.

Прошло еще несколько дней, и отправился Буратино в Правильнотреугольный лес. Лес этот имел форму правильного, другими словами, равностороннего треугольника. Теперь навигатор указывал направление, перпендикулярное стороне треугольника. – И я снова вернусь в исходную точку? – спросил утром Буратино. – Да, но только для специальной начальной точки, – отвечал папа Карло. – На опушке леса таких точек ровно две. Они делят опушку на три равные части. Из одной ты должен двигаться по часовой стрелке, а из другой – против. Пройдя три прямолинейных отрезка, ты непременно вернешься в начало пути. Буратино так и сделал (рис. 1,г). Он прошелся и по одной трехзвенной ломаной (красного цвета), и по другой (синего цвета). А однажды он решил выяснить, каким окажется путь вдоль перпендикуляров для произвольной начальной точки. И вот, положив в свой школьный ранец кусок пирога и фляжку с водой, – вдруг путь окажется длинным? – он отправился в дорогу. Вначале ничего интересного не было. Пройдя три отрезка (на рисунке 2 они показаны синим цветом), он снова оказался на опушке леса у городской стены. Тут он, не останавливаясь, продолжил движение, следуя указаниям навигатора. Теперь он прошел еще три синих отрезка. Следующие три отрезка его пути – красного цвета. Каждый раз, попадая на опушку, он на песке отмечал точку, в которой он оказывался. И вот, неутомимо двигаясь вдоль ломаной линии по перпендикулярам к сторонам треугольника, Буратино заметил, что путь его пролегал по уже виденным

Рис. 2

им местам! А отметки, которые он делал на опушке, оказывались все ближе и ближе к стартовой точке его треугольного пути, показанного на рисунке 1,г. В конце концов он утомился и вернулся домой. – Папа Карло, а что получилось бы, если б я продолжал и продолжал свой путь по перпендикулярам к сторонам правильного треугольника? – спросил Буратино после того, как рассказал о своих наблюдениях. – Я попал бы на замкнутую треугольную траекторию? Сколько бы я сделал кругов по лесу? – Ответ такой, мой юный путешественник и любитель геометрии, – начал папа Карло. – Если говорить теоретически, то на треугольную траекторию попасть невозможно. Твой путь состоял бы из бесконечного количества звеньев. Но чем дольше бы ты шел, тем ближе три последовательных звена твоего пути располагались бы около сторон треугольника, который ты проходил, двигаясь из специальной точки на опушке. Соответственно, на опушке леса ты оказывался бы все ближе и ближе к специальной стартовой точке, делящей длину опушки в отношении 1:2. – Очень интересно! – воскликнул Буратино. – А я могу доказать это строго математически? – Попробуй! Для этого требуется знание геометрической прогрессии. Так что пока доказательство того, что я тебе сказал, можно отложить. А провести математический эксперимент на бумаге – совсем несложно.

Задача 4. Начертите на бумаге несколько прямолинейных звеньев возможного пути Буратино вдоль перпендикуляров к сторонам правильного треугольника и убедитесь, что они действительно приближаются к одному из треугольных маршрутов на рисунке 1,г.

На этом мы закончим нашу историю о прогулках Буратино по окрестным лесам. Потом в своей жизни он совершит еще много разных увлекательных путешествий, в которых ему всегда будет помогать геометрия. Но о них мы расскажем в другой раз.

30

КВАНТ 2014/№2

Какие бывают рычаги

С.ДВОРЯНИНОВ

ИЗВЕСТНА СТАРАЯ ЗАДАЧА. ИМЕЮТСЯ НЕСКОЛЬКО ЗУБ- чатых колес, каждое следующее сцеплено с предыдущим (рис.1). Первое колесо вращается. Оно приводит в движение второе, второе – третье и так далее. В некоторый

Об этой задаче Толя Втулкин вспомнил в седьмом классе, когда по физике стали изучать рычаги (рис.2) и блоки. Особенно ему нравилось, отвечая на вопрос учителя, говорить: «Неподвижный блок служит для изменения направления действия силы». Три я в конце слов он произносил с особым удовольствием, словно делая на них ударение. Полезность изменения направления силы Толик чувствовал очень хорошо. Одно дело накачивать велосипедное колесо ручным насосом, а другое – ножным. Тут давишь на педаль ногой, по сути просто-напросто встаешь на нее, и все. Легко и удобно. А при пользовании неподвижным блоком надо лишь подтягиваться на нем, как на канате в спортзале. Потом появилось еще одно красивое слово – полиспаст (рис.3). Полиспаст – система подвижных и неподвижных блоков, тут уже получается выигрыш в силе.

Рис. 1. Сцепленные зубчатые колеса

момент в этой цепочке последнее колесо сцепили с первым. Смогут ли теперь все эти колеса вращаться? Ответ на этот вопрос зависит от количества колес – от числа n. Предположим, что количество колес нечетное, например 13. Если первое колесо вращается по часовой стрелке, то второе – против часовой стрелки, третье – по часовой, четвертое – против и так далее. Каждое нечетное колесо вращается по часовой стрелке. Тринадцатое – тоже. Если его соединить с первым, то первое должно вращаться против часовой стрелки. Но это не так. Следовательно, все колеса этой системы одновременно вращаться не смогут. Можно сказать, что вращению мешает арифметическое препятствие, а именно – нечетность числа n.

Рис. 3. Шлюпбалка с полиспастом для спуска на воду и подъема шлюпок на борт

Рис. 2. Архимед, переворачивающий Землю с помощью рычага (старинная гравюра)

– А что если рассмотреть систему рычагов, последовательно связанных друг с другом? Например, так, как на рисунке 4? Будет ли она действовать? Посмотрим. Точка А под действием силы F движется вниз, точка В – вверх, точка С второго рычага – вниз… Вроде бы получается. Однако, нет. Такой полирычаг работать не может. И препятствие здесь – Рис. 4. Система двух связанных рычагов

31

ФИЗИЧЕСКИЙ

геометрическое. Посмотрите на треугольник $О_{1} ВО_{2}$ – в нем заданы длины всех трех сторон. Треугольник – фигура жесткая. Следовательно, никакое движение точки В, а потому и движение обоих рычагов, невозможно. Можно ли спасти эту конструкцию и привести ее в движение? Можно. Например, так. Обычно точка опоры рычага – фиксированная точка. Сделаем теперь точку $O_{2}$ второго рычага переменной. Для этого поместим ее в прорезь на рычаге (она изображена пунктиром на рисунке 4). Тогда

Рис. 5. «Неизвестная» конструкция

ФАКУЛЬТАТИВ

длина отрезка $BO_{2}$ сможет меняться, треугольник $O_{1} BO_{2}$ по двум фиксированным сторонам $O_{1} O_{2}$ и $BO_{1}$ будет определяться неоднозначно, что и обеспечит возможность движения рычагов. Применяется ли где-нибудь такая кон- Рис. 6. Схема «неизвестной» конструкции струкция? Да. Посмотрите на фотографию, приведенную на рисунке 5. На ней видны неподвижная горизонтальная опора, два подвижных рычага, на один из которых сверху давит кнопка. Соответствующая схема конструкции показана на рисунке 6. Здесь верхний рычаг – это рычаг первого рода, а нижний рычаг – второго рода (в отличие от обоих рычагов на рисунке 4). Со стороны кнопки действует направленная вниз сила F. В итоге точка А движется вверх. Тем самым, эта система рычагов служит для изменения направления действия силы. К точке А можно прикрепить некоторый груз, который под действием силы F, приложенной к кнопке и направленной вниз, будет подниматься. Толик Втулкин знает, что такое устройство имеется в очень многих квартирах. Что же это за устройство?

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ

Столкновения нейтронов с атомами

С.ВАРЛАМОВ

«В

ЗАВИСИМОСТИ ОТ НАЧАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ НЕЙТРО- нов их разделяют на 5 групп: сверхбыстрые, с начальной энергией 10–50 МэВ; быстрые, с энергией 100 кэВ – 10 МэВ; промежуточные, с энергией 1–100 кэВ; медленные, с энергией меньше 1 кэВ; тепловые, обладающие энергией теплового движения порядка 0,025 эВ. Основной вклад в ионизацию вещества вносят сверхбыстрые, быстрые и промежуточные нейтроны. В большинстве веществ нейтроны обладают высокой проникающей способностью и, соответственно, низким ионизирующим эффектом. Однако в биологических тканях, где велико содержание атомов водорода, проникающая способность нейтронов невысока вследствие их взаимодействия с протонами. Поэтому в биологических структурах быстрые нейтроны характеризуются высокой плотностью ионизации, что определяет исключительно высокую поражаемость живых объектов нейтронным облучением.» Этот текст, взятый из интернета и слегка исправленный, несет информацию об ионизирующей способности нейтрон- ного излучения. В нем указывается переходный диапазон энергий нейтронов (промежуточных) – от эффективных в смысле ионизации вещества этими нейтронами (быстрых и сверхбыстрых) к не эффективным в смысле ионизации (медленным). Известно, в частности, что существует особый тип ядерного оружия – «нейтронная бомба», предназначенная для поражения живой силы противника. При этом «неживая» материя под воздействием нейтронного излучения такой бомбы не теряет своих свойств. А почему именно диапазон 1–100 кэВ является переходным (промежуточным)? Чтобы ответить на этот вопрос, решим школьными методами такую задачу: К неподвижному атому водорода приближается нейтрон. После лобового столкновения нейтрона с протоном атом водорода оказывается ионизованным. Какой была кинетическая энергия нейтрона до столкновения? Ядерная реакция при таком ударе не состоялась. В этой проблеме-задаче есть две раздельные части: а) удар нуклонов; б) разлет протона и электрона. С ударом нуклонов (нейтрона и протона) при несостоявшейся ядерной реакции все достаточно просто: это абсолютно упругий удар двух тел практически одинаковой массы. В этом случае после взаимодействия протон может приобрести энергию отдачи в диапазоне от нуля (скользящий удар) до энергии, которую до удара имел нейтрон (лобовой удар). Теперь рассмотрим взаимодействие протона и электрона. Известно, что для фотоионизации неподвижный атом водорода должен поглотить квант света с минимальной энергией 13,6 эВ. При этом в результате ионизации потенциальная энергия электростатического взаимодействия электрона и

(Продолжение см. на с. 34)