Квант 2014, №3 · Страницы

2

КВАНТ 2014/№3

Реконструкция генома: головоломка из миллиарда кусочков

Ф.КОМПО, П.ПЕВЗНЕР

СОВРЕМЕННАЯ БИОЛОГИЯ ЕЩЕ НЕ НАУЧИЛАСЬ читать последовательности нуклеотидов в больших молекулах ДНК букву за буквой. Вместо этого ученые расшифровывают последовательности коротких (длиной примерно 100–300 нуклеотидов) кусочков ДНК, называемых ридами, не имея ни малейшего представления, из какого места генома был вырезан каждый кусочек. Процесс сборки генома из таких ридов, называемый по-научному секвенированием ДНК, сродни попытке собрать головоломку из миллиарда кусочков. Это серьезная математическая задача, и мы расскажем увлекательную историю ее математического и биологического аспектов.

Секвенирование ДНК – введение

Секвенирование ДНК и задача о перекрывающихся кусочках

Представьте, что целый тираж какой-то газеты лежал в одном ящике, а потом этот ящик взорвался. Допустим, что газеты не сгорели, как это случилось бы в реальной жизни, а разлетелись на маленькие кусочки наподобие конфетти (рис.1). Естественный вопрос:

можно ли по этим обрывкам восстановить то, что было написано в газете? Задача интереснее, чем может показаться на первый взгляд, – она не сводится лишь к склеиванию обрывков друг с другом, как будто это были кусочки пазла. Вопервых, мы вполне могли потерять часть обрывков. Вовторых, в сундуке было много экземпляров газеты, и поэтому какие-то обрывки могут перекрываться между собой и содержать куски одних и тех же фраз. Таким образом, задачу о восстановлении газеты можно назвать задачей о перекрывающихся кусочках. Хоть наша аналогия с обрывками газет несколько притянута за уши, задача восстановления текста газеты по своей сути аналогична задаче сборки ДНК из фрагментов. Напомним, что ДНК можно представлять себе как цепочку из звеньев (нуклеотидов) четырех типов, обозначаемых буквами А, Т, Г и Ц. К сожалению, технология, которая позволила бы нам читать целый геном последовательно, нуклеотид за нуклеотидом, еще не придумана. Тем не менее, ученые научились определять последовательность нуклеотидов в коротких кусочках ДНК. На данный момент самые распространенные технологии имеют дело с ридами длиной всего лишь 100–300 нуклеотидов (рис.2). Прочитывается множество ридов из нескольких копий одного генома, и получается гигантский пазл (в котором кусочки могут перекрываться). Например, геном млекопитающего длиной в 3 миллиарда нуклеотидов потребует сборки пазла из миллиарда кусочков – кажется, это рекорд для головоломок такого рода.

Рис.1. После взрыва ящика с газетами от них останется лишь куча обрывков. Можно ли по ним восстановить содержание газеты?

Перевод статьи с английского Д.Виноградова.

Рис.2. При секвенировании ДНК многочисленные (обычно их больше миллиарда) копии этой молекулы «рвутся» в случайных местах, чтобы получились гораздо более короткие риды

3

РЕКОНСТРУКЦИЯ

ГЕНОМА:

Таким образом, задача секвенирования генома сводится к чтению (т.е. определению последовательности) ридов (биологическая часть) и сборке фрагментов (математическая часть). Первая задача ведет свою долгую и запутанную историю с 70-х годов, когда Уолтер Гилберт (Walter Hilbert) и Фред Сэнгер (Fred Sanger) получили Нобелевскую премию за изобретение первого метода чтения ридов. В начале 1990-х на рынке появились современные секвенаторы (машины для определения кусочков последовательности ДНК), и с этого момента для задачи секвенирования началась новая эра. В 2000 году несколько сотен таких машин, работая без остановки более года, прочитали достаточно большое число ридов, чтобы удалось возможно определить последовательность генома человека. Сборка этого генома потребовала нескольких месяцев работы одних из самых производительных суперкомпьютеров того времени.

Сложности сборки фрагментов

ГОЛОВОЛОМКА

ИЗ

МИЛЛИАРДА

КУСОЧКОВ

Рис.3. а) При восстановлении газеты помогают логические связи между словами: хотя эти два обрывка и не пересекаются, можно предположить, что они должны быть расположены близко друг к другу, потому что слова «murder» («убийство») и «suspect» («подозреваемый») связаны по смыслу. б) В этом случае кусочки «oz» и «zone» скорее всего являются частями слова «ozone» («озон»), и можно эти два обрывка склеить, даже несмотря на то, что они пересекаются всего по одной букве. В задаче секвенирования ДНК, где в алфавите всего 4 буквы, таких подсказок не будет – правила этого «языка» нам пока почти не известны. в) Повторяющиеся фрагменты усложняют задачу, как видно на примере головоломки «Triazzle», в которой каждая рыбка встречается не меньше трех раз. г) Секвенаторы ДНК не идеальны: здесь красный нуклеотид «Т» был определен неправильно, и на самом деле на его месте должен быть «Ц». Ошибка всего в одном нуклеотиде может привести к тому, что мы будем считать два рида пересекающимися, хотя на самом деле они таковыми не являются

Чуть позже мы достаточно подробно расскажем о том, как читают риды, а пока остановимся на вычислительной задаче сборки фрагментов – как, используя полученные риды, определить последовательность всего генома. Хотя и восстановление газеты, и сборка фрагментов сводятся к складывания пазла, задача сборки значительно сложнее, и не только из-за своего гигантского масштаба (напомним, что нам может потребоваться обработать миллиард ридов). Во-первых, газета написана на некотором понятном языке. Его правила будут подсказывать нам, могут ли какие-то два отрывка находиться рядом, вне зависимости от того, перекрываются они или нет (рис.3,а). В то же время правила «языка» ДНК по большей части неизвестны биологам, и исходя из одной только последовательности практически невозможно понять, могут ли два непересекающихся рида располагаться близко или далеко друг от друга. Вторая сложность сборки фрагментов состоит в том, что алфавит последовательностей ДНК состоит всего из 4 букв: А, Т, Г и Ц. Работа с маленьким алфавитом усложняет восстановление исходной последовательности, поскольку большее количество пересечений будет вызвано случайными причинами (рис.3,б). В-третьих, любая последовательность ДНК содержит множество «консервативных участков» – нуклеотидных «слов», которые повторяются много раз подряд практически без изменений. Например, в геноме человека последовательность так называемого Alu- повтора (длиной примерно 300 нуклеотидов) встречается свыше миллиона раз, причем в каждом вхождении изменены всего несколько нуклеотидов. Поэтому для

конкретного фрагмента бывает трудно определить, в каком именно консервативном участке генома он находится. Подходящей иллюстрацией этого затруднения может быть популярная когда-то в США головоломка «Triazzle». Хотя по сути это обычный пазл всего из 16 кусочков, исходное изображение содержит много одинаковых фигурок, повторяющихся на многих кусочках, из-за чего собрать «Triazzle» существенно сложнее, чем обычный пазл (рис.3,в) Наконец, современные секвенаторы далеко не совершенны, и считываемые ими риды содержат много ошибок. Поэтому, например, два рида, находившиеся в геноме далеко друг от друга, могут быть в результате ошибки интерпретированы как пересекающиеся (рис.3,г). Теперь, когда мы выяснили, какие трудности связаны с процессом секвенирования ДНК, можно рассказать о математическом аппарате, с помощью которого можно подойти к задаче сборки фрагментов.

Математика секвенирования ДНК

Исторический экскурс

Перед тем как перейти непосредственно к математике, давайте немного отвлечемся, чтобы лучше представить исторический контекст. Начнем с XVIII века и прусского города Кенигсберга (в настоящее время –

4

КВАНТ 2014/№3

Калиниград). Кенигсберг располагался тогда на двух берегах реки Преголи и двух ее островах. Эти четыре части города соединялись между собой семью мостами (рис.4,а). Жители Кенигсберга любили прогуливаться, и им стало любопытно: можно ли пройти по каждому из семи мостов ровно один раз и вернуться после этого в исходную точку? Этот вопрос стали называть «задачей о Кенигсберских мостах». Окончательный ответ на него дал в 1735 году великий математик Леонард Эйлер (его портрет приведен на рисунке 14). Решение Эйлера, которое мы обсудим чуть ниже, очень любопытно, потому что его можно применить не только к мостам Кенигсберга, но и к любой другой сети мостов. Вторая история случилась в Дублине, где в 1857 году ирландский математик Уильям Гамильтон (его портрет приведен на рисунке 14) изобрел $«Икосаэдрическую^{1}$ игру». Эта «игра», наслаждаться которой довольно непросто даже по современным меркам, состояла из деревянной доски с 20 лунками, некоторые из которых были соединены между собой линиями, и 20 пронумерованных фишек, которые можно было вставлять в эти лунки (рис.5,а). Цель игры заключалась в следующем:

кой 1. Другими словами, если бы мы шли по линиям от фишки к фишке в порядке возрастания номеров, то мы побывали бы у каждой фишки ровно один раз и в конце вернулись бы к исходной.

Графы

Закончив с историческим экскурсом, перейдем к определениям. Назовем графом набор вершин, соединенных ребрами, где каждое ребро связывает две вершины. Абстрактность этого определения может несколько отпугнуть, поэтому поясним, что граф всегда можно представлять себе как карту дорожной сети, где города – это вершины, а дороги, их соединяющие, – ребра. Теория графов (область математики, занимающаяся изучением графов) применима ко многим типам задач. Приложения этой теории включают в себя не только дорожные и телефонные или компьютерные сети, но и менее очевидные примеры, такие как изучение распространения эпидемий или моделирование ссылок между web-страницами в интернете. В частности, мы можем применить теорию графов и к двум нашим историческим задачам. В задаче о Кенигсберских мостах мы получим граф K, если сопоставим каждой из четырех частей города по вершине, а затем проведем между двумя такими вершинами по одному ребру для каждого моста, который связывает две соответствующие части города (рис.4,б). А для «Икосаэдрической игры» мы построим граф I, сопоставив каждой лунке вершину и превратив соединяющие их линии в соответствующие ребра (рис.5,б).

Рис.4. а) Старый Кенигсберг, иллюстрация Йоахима Беринга, 1613 г. б) «Граф мостов Кенигсберга», который получается, если сжать каждый остров в точку, а мосты изобразить линиями

Рис.5. а) «Икосаэдрическая игра». б) Соответствующий граф

расставить фишки по лункам так, чтобы фишка 1 была соединена на доске линией с фишкой 2, та, в свою очередь, соединялась с фишкой 3, и так далее вплоть до фишки 20, которая должна быть связана с фиш-

1 Интересно, что хоть игра и называется икосаэдрической, в действительности в ней приходится совершать обход ребер додекаэдра.

Эйлеровы и гамильтоновы циклы

Теперь мы обобщим две наши исторические задачи на все возможные графы. Предположим, что у нас есть некий граф, который мы обозначим G, и представим, что на какой-то вершине в G сидит муравей. Так же, как жители Кенигсберга, ходившие по мостам между разными частями города, муравей может ползать по ребрам от вершины к вершине. Если муравей вернулся туда, откуда начал, результатом его прогулки будет цикл на G. Мы зададимся двумя вопросами о циклах на G: 1. Существует ли цикл на G, при котором муравей проползет по каждому ребру в точности один раз? 2. Существует ли цикл на G, при котором муравей побывает в каждой вершине ровно один раз? Первый вопрос называется Задачей эйлерова цикла (ЗЭЦ) – заметьте, что решение ЗЭЦ в том случае, когда нашим графом является K, соответствует решению задачи о Кенигсберских мостах. Поэтому мы определим эйлеров цикл на графе G как цикл на G,

6

КВАНТ 2014/№3

улиц с односторонним движением; тогда наш исходный неориентированный граф будет схемой улиц с двусторонним движением. Соответственно, эйлеров цикл в ориентированном графе G – это просто эйлеров цикл, который проходит по улицам в правильном направлении. Гамильтонов цикл в G определяется аналогично (рис.8).

Рис.8. а) Простой пример ориентированного графа. Стрелки определяют ориентацию на ребрах. б) Пример эйлерова цикла в ориентированном графе; ребра пронумерованы в порядке их обхода по циклу. в) Пример гамильтонова цикла (выделен красным) в ориентированном графе

Для каждой вершины v в ориентированном графе G определим входящую степень вершины v как число ребер, входящих в v, а исходящую степень v как число ребер, выходящих из v. Теперь мы готовы сформулировать результат Эйлера применительно к ориентированным графам. Вторая теорема Эйлера. Наличие у ориентированного графа G эйлерова цикла равносильно тому, что у каждой вершины G равны входящая и исходящая степени (напомним, что граф предполагается связным). Доказательство второй теоремы Эйлера приведено в конце этой статьи вместе с обсуждением того, как можно найти эйлеров цикл достаточно «быстро» в смысле теории компьютерных вычислений. Основная идея состоит в том, что нам не надо проверять по очереди все возможные циклы в ориентированном графе G для того, чтобы понять, содержит ли G эйлеров цикл. Достаточно лишь посчитать входящие и исходящие степени всех вершин: если у каждой вершины входящая и исходящая степени совпадают, то эйлеров цикл можно легко построить; если же есть хоть одна вершина, у которой входящая и исходящая степени различны, то провести эйлеров цикл невозможно.

Решаемые и нерешаемые задачи

Вдохновленные теоремой Эйлера, мы можем задаться вопросом, существует ли подобный простой результат для решения ЗГЦ. Но несмотря на то, что выиграть в «Икосаэдрическую игру» не так уж сложно, решение ЗГЦ для произвольного графа остается неизвестным. Главная трудность заключается в том, что если для решения ЗЭЦ у нас есть теорема Эйлера, то для ЗГЦ аналогичное простое условие неизвестно. Конечно, вы всегда можете задействовать для решения ЗГЦ метод «грубой силы», т.е. запрограммировать компьютер перебирать все пути по графу и сообщать, как только он найдет гамильтонов цикл. Понять этот метод довольно легко, но представьте себе огромный граф, в котором нет гамильтонова цикла. Для этого графа компьютеру придется проверить каждый путь по нему, перед тем как сообщить вам, что гамильтонова пути не существует. Катастрофический недостаток этого метода состоит в том, что в среднем графе всего лишь из тысячи вершин разных путей существует больше, чем атомов во вселенной! ЗГЦ была одной из первых алгоритмических задач, которую не удалось решить даже самым блестящим ученым. После многих лет бесплодных усилий специалисты в области computer science начали задумываться, является ли ЗГЦ эффективно разрешимой. Другими словами, не может ли оказаться так, что их неудачи в поисках быстрого алгоритма вызваны не недостатком сообразительности, а тем, что эффективного алгоритма для решения ЗГЦ просто не существует. Более того, в 1970-х годах ученые-компьютерщики обнаружили еще тысячи разных алгоритмических задач с той же судьбой, как у ЗГЦ: несмотря на то, что они чрезвычайно просто выглядят, никто не смог придумать для них эффективного решения. ЗГЦ вместе со многими из этих задач теперь называют $«NP-полными»^{2}$ задачами. Еще больше усилил разочарование, вызванное неудачей всех попыток найти простое условие разрешимости ЗГЦ, такой факт: хотя все NP-полные задачи различны, оказывается, они все эквивалентны друг другу – если найти быстрый алгоритм решения одной такой задачи, то из него автоматически получится быстрый алгоритм для всех остальных! Задача эффективного решения NP-полных задач (или окончательного доказательства того, что такого решения не существует) настолько фундаментальна для computer science и математики, что она вошла в список «Задач Тысячелетия» от Математического Института Клэя, опубликованный в 2000 году: найдите эффективный алгоритм для какой-нибудь NP-полной задачи или докажите, что его нет, и институт вручит вам приз в размере миллиона долларов. С этого момента мы будем называть ЗЭЦ «простой», а ЗГЦ – «сложной». Не забывайте об этом различии, поскольку в скором времени оно станет критичным.

2 NP – от слов non-deterministic polynomial (англ.).

9

РЕКОНСТРУКЦИЯ

ГЕНОМА:

ГОЛОВОЛОМКА

тью рида). Оказывается, мы сможем справиться со сборкой фрагментов и в этом случае. Мы используем для этого практически тот же граф E, с одним лишь изменением: если копийность какогото l-мера равна k, то будем соединять его префикс с суффиксом не одним, а k ребрами. Продолжим разбирать наш пример из рисунка 10: если во время чтения ридов обнаружилось, что у четырех 3-меров ТГЦ, ГЦГ, ЦГТ и ГТГ копийность равна 2, а у шести 3- меров АТГ, ТГЦ, ГГЦ, ГЦА, ЦАА и ААТ копийность равна 1, то мы построим граф, изображенный на

Рис.13. Граф с рисунка 10, в который добавились кратные ребра – было учтено, что копийность некоторых ридов больше 1. К счастью, такое обобщение не усложняет задачу поиска эйлерова цикла, и цикл для нового графа также будет давать кандидата для последовательности «ДНК»

рисунке 13. В общем случае, легко видеть, что граф с ребрами, добавленными согласно копийности, тоже эйлеров, поскольку полустепени исхода и захода вершины (соответствующей (l – 1)-меру) равны числу раз, которое этот (l – 1)-мер встречается в геноме. На практике точную информацию о копийности (l – 1)-меров в геноме с помощью современных технологий секвенирования получить довольно сложно. Тем не менее, ученые-алгоритмисты недавно придумали способ восстановления геномной последовательности даже тогда, когда эти данные отсутствуют. Есть и другие осложнения: машины, секвенирующие ДНК, подвержены ошибкам, длина ридов может различаться и так далее. Однако, в конечном счете, для всех методов сборки фрагментов оказывается очень полезно применить какой-нибудь вариант графов де Брёйна для того, чтобы свести естественное построение гамильтоновых циклов к алгоритмически более простой задаче об эйлеровых циклах.

ИЗ

МИЛЛИАРДА

КУСОЧКОВ

сами при всем желании не смогли бы встретиться друг с другом. Зато в 1988 году встретились пути трех других ученых (рис.15). Радое Дрманац (Radoje Drmanac, Сербия), Андрей Мирзабеков (Россия) и Эдвин Саузерн (Edwin Southern, Великобритания) одновременно и независимо разработали футуристический и на тот момент совершенно невероятный метод чтения ридов с использованием ДНК-чипов. Никто из этих трех биологов не знал о работах Эйлера, Гамильтона и де Брёйна; никто не мог и предположить, что результаты их собственных экспериментов столкнут их лицом к лицу с этими математическими гигантами. В 1977 году Фред Сэнгер (Fred Sanger) с коллегами отсеквенировали первый вирус – крошечный бактериофаг $\phi$ X174 длиной 5375 нуклеотидов. Несмотря на то, что в конце 1980-х биологи регулярно секвенировали вирусы длиной в сотни тысяч нуклеотидов, мысль о секвенировании бактериального генома (не говоря о человеческом) казалась преждевременной и с экспериментальной, и с вычислительной точек зрения. Дрманац, Мирзабеков и Саузерн поняли, что важнейшим недостатком исходной технологии секвенирования ДНК, разработанной в 1970-х, является то, что для более длинных геномов она слишком затратна. В самом деле, чтение одного рида в конце 1980-х стоило более одного доллара и поэтому секвенирование генома какого-нибудь млекопитающего стоило бы миллиарды долларов. Из-за этой высокой цены прочитать все l-меры генома было невозможно, а это непременное условие успешного применения эйлерова подхода. ДНК-чипы были изобретены для того, чтобы удешевить чтение всех l-меров в геноме, пусть и с меньшей, нежели у исходной технологии секвенирования ДНК, длиной рида l. Например, в то время как традиционные технологии секвенирования считывали риды длиной приблизительно 500 нуклеотидов, изобретатели ДНК-чипов ориентировались на чтение ридов длиной около 15 нуклеотидов. ДНК-чипы устроены так: сначала синтезируют все $4^{l}$ возможных l-меров (т.е. все фрагменты ДНК длины l), потом их присоединяют к ДНК-микрочипу, который представляет из себя решетку с отдельной ячейкой для каждого l-мера. Потом берут (неизвест-

Короткая история чтения ридов

Сказка о трех биологах: ДНК-чипы

Хотя математическое наследие Эйлера, Гамильтона и де Брёйна (рис. 14) тесно переплелось, они

Рис.14. Три математика. Слева направо: Леонард Эйлер, Уильям Гамильтон, Николас де Брёйн

14

КВАНТ 2014/№3

зеркале (вы смотрите в зеркало) вместо нейтрино вы видите антинейтрино, а не нейтрино. Вот парадокс, с которым столкнулись физики в 1956–57 годах. Точно так же вы можете сделать, например, такой эксперимент. Рассмотрите поляризованное ядро, которое у вас распадается, вылетают электроны под углом $\theta$, и вы делаете отражение. У вас поляризованное ядро останется поляризовано в ту же сторону, а импульс поменяет знак. Если бы у вас закон сохранения четности выполнялся, то оба процесса были бы одинаковы. А на самом деле оказывается, что при бета-распаде частицы вылетают в основном по или против момента ядра. Вот это и есть знаменитый эксперимент Ву, который был сделан в 1957 году буквально за полгода. И было показано: да, в физике слабого взаимодействия, т.е. в нейтринной физике, нарушается четность. И вот здесь выяснилось, что Нильс Бор был прав. Действительно, Нильс Бор что говорил? Он придирался к закону сохранения энергии, но он был прав в своей логике: на уровне в $10^{-} 13 - 10^{-} 17$ см законы сохранения могут быть другими. И в этом плане его идея как бы ожила заново. Ничего не пропадает, хорошие идеи сохраняются и дальше. Вот сегодняшняя точка зрения: безмассовое нейтрино поляризовано против импульса, а антинейтрино – по импульсу. Мир внутри, в слабом взаимодействии, оказывается несимметричным. В зеркале вы видите не нейтрино, а антинейтрино. И еще одно открытие было сделано вскоре после этого: процессы, связанные с направлением времени, тоже оказались разными. Были открыты процессы в распаде $K^{o}$ -мезонов, которые по времени и против (со сменой знака времени) – разные. Итак, вот что произошло в теоретический период с 1953 по 1967 год. Ли и Янг придумали гипотезу для решения проблемы $\tau - \theta$, т.е. гипотезу о нарушении четности. Оно было экспериментально открыто в 1957 году – сначала в бета-распаде ядер, потом в бета-распаде различных частиц: $\mu$ -мезонов, $\pi$ -мезонов, K-мезонов; ныне это тривиальность. И, наконец, что было действительно новостью для физиков, оно было обнаружено во взаимодействии нуклонов с нуклонами в ядрах. Кстати, это до сих пор некоторая загадка. Мы прекрасно знаем, что есть так называемые нарушающие четность ядерные силы. Эти силы существуют, они экспериментально показаны. К слову сказать, Россия здесь очень много поработала – например Лобашёв (экспериментатор) и Абов Юрий Георгиевич. Но по сию пору эта область явлений никак не связана с остальными, вы не можете рассчитать ее, исходя из элементарных частиц. Элементарная частица живет сама по себе, а ядерная физика с ее нарушением нуклон-нуклонного слабого взаимодействия живет сама по себе. Наконец, было открыто слабое взаимодействие и в атомах тоже – взаимодействие между ядром и электронами, кроме обычного кулоновского, имеет еще некую маленькую добавку. Эта добавка связана с тем, что электрон с нуклонами еще взаимодействует слабым образом. Вот эти процессы были впервые тогда открыты. А теория, после того как было открыто, что нейтрино на самом деле имеет строго определенную поляризацию, а антинейтрино имеет совершенно дру-

гую поляризацию, вернулась к Вейлю, т.е. к тому предельному случаю, который может быть получен из уравнения Дирака и который игнорировался в 1928–29 годах. Оказалось, что нейтрино описывается именно уравнением Вейля. Возьмите уравнение Дирака, положите массу равной нулю, получите нейтрино. Все просто! Но тогда это отрицалось. Отрицалось, потому что нарушение сохранения четности было. Никто не мог в это поверить. И вот теперь такая интересная парадоксальная вещь. Я говорю про 1956 год. Итак, вернулись к двухкомпонентному нейтрино. Была попытка Ландау ввести нарушение четности, но сохранить хотя бы идею о том, что если вы смотрите на нейтрино, то в зеркале у вас антинейтрино, т.е. ввести так называемое CP-сохранение$^{1}$. Это сохранение, к сожалению, тоже оказалось нарушенным, хотя намного в меньшей степени (так, доля распадов нейтральных K-мезонов с нарушением СР-инвариантности составляет примерно $10^{-} 3 ).$ Затем, и это было сформулировано в основном Фейнманом, был реально написан $гамильтониан^{2}$ слабого взаимодействия с нарушением четности (так называемое V-A слабое $взаимодействие^{3} ).$ И еще было открыто нарушение CP-четности (т.е., если хотите, $T-четности^{4} )$ в эксперименте – это следующий момент. И, наконец, приблизительно в 1963–66 годы была сформулирована так называемая Стандартная $модель^{5}$. Это модель, в которой (я немного дальше буду об этом говорить) объединены две вещи: электромагнитное взаимодействие и слабое взаимодействие – то, которое происходит с нейтрино. Стандартная модель была сформулирована именно в это время, но еще потребовалось достаточно большое время, порядка 20 лет, чтобы доказать, что это действительность.

1 CP-симметрия, или комбинированная четность, это инва- риантность физических законов относительно преобразования, при котором происходит одновременно пространственное (P) зеркальное отражение физической системы и замена каждой частицы на соответствующую ей античастицу (C, зарядовое $сопряжение).^{2}$ Гамильтониан – оператор полной энергии системы при квантово-механическом $описании.^{3}$ V-A-теория – универсальная теория слабого взаимодействия, учитывающая нарушение четности (P-симметрии) при слабом взаимодействии. Предложена в 1957 году М.Гелл- Манном, Р.Фейнманом, Р.Маршаком и $Дж.Сударшаном.^{4}$ T-симметрия, или симметрия по отношению к обращению времени, это инвариантность физических законов относительно замены времени t на –t. Поскольку фундаментальным качеством физических законов считается CPT-симметрия (т.е. инвариантность по отношению к одновременному пространственному зеркальному отражению физической системы, зарядовому сопряжению и обращению времени), то нарушение CP-симметрии возможно лишь при одновременном нарушении $T-симметрии.^{5}$ Точнее, здесь идет речь о теории электрослабого взаимодействия, которая была сформулирована к 1967 году С.Вайнбергом, Ш.Глэшоу и А.Саламом и легла в основу (наряду с квантовой хромодинамикой) созданной в течение следующего десятилетия Стандартной модели физики элементарных частиц.

15

ОЧЕРК

ИСТОРИИ

ИССЛЕДОВАНИЙ

Но вот что интересно: несмотря на то что, казалось бы, все сформулировано и все открыто, оставались два островка в это время, которые были не поняты. Первый – это гипотеза Понтекорво о нейтринных осцилляциях, про которые я сейчас скажу, и второй – майорановская гипотеза. Так вот, теперь я хочу сказать несколько слов о Бруно Понтекорво и его гипотезе 1957 года. Это – гипотеза осцилляций, она была опубликована опять в препринте, только теперь в Дубне. Помня про работу Майорана (Понтекорво в какой-то мере был его учеником), он все время думал о том, нейтрино и антинейтрино это одно и то же или нет? Если это одно и то же, то получаются одни процессы, если это разные вещи, то – другие процессы. И вот, размышляя над этим, Бруно Понтекорво сформулировал такую очень любопытную гипотезу. В заключении своей статьи он пишет, что если у вас нет нейтрино и антинейтрино, а есть нарушение сохранения лептонного заряда (т.е. если нейтринный заряд не сохраняется), то при этом возможно превращение нейтрино в антинейтрино в процессе движения, $( \nu$ ´ $\nu ɶ ),$ и тогда будут происходить процессы, похожие на те, которые были открыты в $K^{0} -$ мезонах. А в $K^{0}$ -мезонах в это время были открыты осцилляции, когда $K^{0}$ переходит в анти- $K^{0}$ и анти- $K^{0}$ переходит в $K^{0}$. И Понтекорво написал даже, что, повидимому, этот процесс может быть очень вероятно открыт, как минимум, в астрофизике, в астрофизических масштабах. Больше того, он даже дал оценку длины этих осцилляций. Средняя энергия нейтрино, которые, например, испускает Солнце, это 1 МэВ, и тогда длина осцилляций порядка $10^{3}$ км. А сегодня осцилляции открыты, и их величина порядка 100– 200 км. Иными словами, масса нейтрино не равна нулю (Понтекорво для массы нейтрино предположил величину $10^{-} 11$ эВ). Таким образом, если все в это время увлекались Вейлем и считали, что масса нейтрино ноль и не о чем говорить, то Понтекорво высказал вот такую гипотезу. И я еще раз подчеркиваю, это была на самом деле линия от Майорана: гипотеза Майорана – это 1937 год, 1946 год – размышления Понтекорво относительно нейтринной физики, а в 1957 году, уже в России, он высказывает идею нейтринных осцилляций. В то время нейтрино было одно. Но, кстати, он пишет, что если нейтрино будет не одно, а нескольких типов, то тоже могут быть нейтринные $осцилляции^{6}$. И в 1958 году Понтекорво высказывает идею, что нейтрино на самом деле не одно, а их может быть два, что возможны нейтрино, связанные с электронами, и нейтрино, связанные с мюонами. По его идее в ЦЕРНе был поставлен эксперимент, в котором были открыты два типа нейтрино: нейтрино электронное и нейтрино мюонное (1962 г.). Вот так. А потом нам говорят, что японцы в 1962 году первые сказали: «нейтринные осцилляции». Хорошо. Пойдем дальше. Как видите, все не просто. Стандартная модель есть, а он (Понтекорво) – все свое. Он говорит о том, что у

6 Осцилляции уже не между нейтрино и антинейтрино, а между двумя типами нейтрино.

НЕЙТРИНО

нейтрино могут быть совершенно другие свойства. Это время, приблизительно с 1956 по 1966 год, – «теоретическое» время, время дискуссий, там много чего сложилось, много было высказано всяких идей. После этого теоретики затихли, начали работать экспериментаторы. Экспериментаторы за следующие 20 лет доказывают, что Стандартная модель действительно работает. Возникают три главных – теперь уже научились с нейтрино работать – направления в нейтринной физике. Во-первых, нейтрино низких энергий – реакторные нейтрино в основном или бета-распад. Идут исследования свойств нейтрино, делаются оценки на массу нейтрино, поляризацию нейтрино, ищутся доказательства того, что нейтрино не равно антинейтрино. И, наконец, был открыт так называемый нейтральный канал реакции, когда нейтрино не рождает электрон в обратном процессе, а просто рассеивается. Рассеивается, и все. Причем оно может рассеиваться на нуклонах – ну, на дейтроне, например, и на электронах. При этом оказалось, что в таких процессах физики вынуждены работать с совершенно экстремально малыми сечениями: $10^{-} 43 см^{2}$ – это еще хорошо. Сейчас работают на грани $10^{-} 46 см^{2}$. Фантастически малые величины – ничего ниже мы не сможем мерить. Но именно тогда это было осознано. Второе направление – нейтрино высоких энергий. Оно возникло, в частности, в связи с тем, что физики научились работать с ускорительными пучками. В пучках пи-мезонов, например, у вас нейтрино рождаются от распада пионов, и эти нейтрино имеют энергию, уже гораздо большую – не порядка 1 МэВ, как в реакторной физике, а порядка 1 ГэВ и даже выше. А сечение взаимодействия нейтрино с нуклонами, и вообще всех слабых процессов в этой области, пропорционально квадрату энергии падающего нейтрино. Раз так, то вы теперь можете, беря пучки нейтрино достаточно высоких энергий, выходить на большие сечения. Действительно, это направление развивалось, появились новые методы регистрации нейтрино, в частности – камеры всякие, и было доказано, что нейтрино электронное не похоже на нейтрино мюонное, что нейтрино мюонное не похоже на свое антинейтрино и что существует еще третий тип нейтрино, так называемое тау-нейтрино, от распада тау-мезона. Таким образом, появились три семейства нейтрино. Были исследованы процессы рассеяния нейтрино на электронах и на нуклонах и в параллель с этим были открыты новые кварки, c, b, t, причем была найдена некая аналогия между нейтрино и кварками. Нейтрино есть трех типов, и кварков есть три семейства. Наконец, самым мощным доказательством того, что Стандартная модель реализуется в природе, было два открытия: первое – открытие нейтральных $процессов^{7}$, которые предсказаны только в Стандартной модели, и второе –

7 Нейтральные токи – один из механизмов слабого взаимодействия, осуществляемый за счет обмена виртуальными Z- бозонами между кварками и лептонами без изменения электрического заряда начальных и конечных частиц. Предсказаны в 1973 году А.Саламом, Ш.Глэшоу и С.Вайнбергом, экспериментально подтверждены в 1974 году в ЦЕРНе.

16

КВАНТ 2014/№3

открытие W- и Z-бозонов (элементарных частиц – переносчиков слабого взаимодействия), 1983 год. Причем выясняется, что их масса строго соответствует Стандартной модели. Все, физики должны были успокоиться, Стандартная модель работает. И параллельно возникает третье направление – нейтринная астрофизика. Начинаются поиски нейтрино от Солнца, от звезд, от коллапса сверхновых, возникает идея о том, что во Вселенной существует нейтринное море – нейтрино очень низких энергий, которые образуют некий фон. Начинаются солнечные эксперименты. Один из первых экспериментов как раз велся по реакции, которую предложил Понтекорво: нейтрино падает на хлор, получается аргон. Это эксперимент Дэвиса, который делался в течение 30 лет в Хоумстейке в Америке. И, наконец, возникают подземные лаборатории и первые нейтринные телескопы. Итак, в этот период наше знание о свойствах нейтрино расширяется до процессов рассеяния, идут исследования в рамках Стандартной модели, нейтрино превращается в инструмент исследования, появляются нейтринные пучки и нейтринные детекторы. Выявляется особая роль нейтрино в мировой картине Вселенной. Вот какая любопытная картина возникла, если посмотреть начиная с 30-х годов. Появилась гипотеза нейтральных частиц, 1930 год, произошло открытие нейтрона. Квантовая электродинамика была сформулирована, возникла нейтрон-протонная модель ядра. И параллельно начинаются, с одной стороны, экспериментальные исследования, практически не зависящие от теоретиков, а с другой стороны, теоретические исследования. Экспериментальные исследования – бетараспад ядер, элементарных частиц, новые экспериментальные методы – идут начиная с 1930–32 годов и до конца 1956 года. Здесь возникает та самая проблема $\tau - \theta$, о которой я рассказал. Теоретики тоже, как говорится, не дремлют, развивают свои собственные методы, размышления: Ферми придумал феноменологическую теорию бета-распада; возникает гипотеза Майорана, которая еще висит сама по себе, никто ничего не может про нее сказать. Появляется идея о том, что должна быть симметрия по отношению к пространственным преобразованиям, которая как раз здесь и нарушилась. Вот так сошлись теоретическая и экспериментальная физика. В 1956–58 годы возникает мощный скачок, когда эксперимент нуждается в теории, а теория нуждается в эксперименте. Начинаются опять совершенно независимые процессы, я это подчеркиваю – очень мало влияющие друг на друга: с одной стороны, развитие экспериментальных методов, с другой стороны – развитие теории. Экспериментальные методы – в чистой физике высоких энергий, с астрофизическими объектами. А в плане теории – это структура частиц, Стандартная модель, новые кварки. И к середине 1980-х годов складывается вот такая ситуация: утверждена Стандартная модель и начинается поиск выхода из Стандартной модели. Вопрос – что дальше? Ну нельзя же остановиться, должно быть развитие дальше. Тогда – что? Есть ли что-нибудь вне Стандартной модели? Вот

этот вопрос себе впервые задают физики. Но для того чтобы о нем говорить, я напомню вам, что такое Стандартная модель с сегодняшней точки зрения. Стандартная модель электрослабого взаимодействия, я буду о ней в основном говорить, с точки зрения математики – своеобразная вещь. Время от времени в физике возникают такие модели, в которых объединяются математика и физика. И это как раз особые точки, когда действительно происходит какой-то взрыв нашего понимания. Стандартная модель с точки зрения математики это так называемая SU(2)–U(1) симметрия, которая хорошо изучена математиками уже давно, еще с конца прошлого века. С точки зрения физики: существуют лептоны, которые образуют дублеты левых и синглеты правых $частиц.^{8}$ Соответственно – для электронных, мюонных и тау-семейств. Вот массы этих частиц: 0,5 МэВ у электрона, 105 МэВ у мюона, 1777 МэВ у тау-частицы. Нейтрино же существуют только левые, никаких правых нейтрино нет в Стандартной модели. Есть ли масса у нейтрино? Вот первый вопрос, который возникает. По Стандартной модели, на этом уровне, нет массы, ноль, нейтрино только левые, и никаких вопросов нет. У кварков – то же самое, есть дублеты кварков и есть синглеты, есть правые и есть левые. Есть u- и d-кварки, c- и s-кварки, t- и b-кварки. Вот массы кварков на сегодняшний день: от 2–5 МэВ для u- и d-кварков до 180 ГэВ у t-кварков. Они не так давно открыты, кстати. Оказывается (и это первый вопрос к теории), часть этих кварков, а именно d, s, b, не сами по себе входят в теорию, а смешиваются. И существует чисто феноменологическая, никак не объясняемая пока матрица Кобаяши–Маскавы, которая описывает эти смешивания. Откуда она взялась, что это такое? Вопрос. Но возникает следующий вопрос: а есть ли смешивание нейтрино? Дальше. Все взаимодействия в Стандартной модели устроены очень просто. Есть так называемое калибровочное взаимодействие и есть константы, связывающие различные взаимодействия. В нулевом приближении в теории все безмассовое, ничего нет массивного. Затем включается механизм появления массы, так называемый хиггсовский механизм. Источник массы – вот этот бозон Хиггса, который до сих пор не $открыт^{9}$, а дальше часть из этих частиц, в частности бозонов, получает массы. Гамма-квант остается безмассовый, а Z- и W- бозоны получают определенную массу. Значит, для того чтобы охарактеризовать эти упомянутые константы, достаточно ввести один экспериментальный угол, угол $Вайнберга^{10}$. При этом впервые в физике возникает некий механизм появления массы. Мы до сих пор не знаем, правильный или неправильный механизм

8 Частицы с «левой» спиральностью – это те частицы, у которых спин направлен против направления движения частицы. У «правых» спин направлен по движению $частицы.^{9}$ Бозон Хиггса открыт экспериментально в 2012 году (был предсказан британским физиком П.Хиггсом в $1964 году).^{10}$ Параметр в теории электрослабого взаимодействия, который определяет связь между константами слабого и электромагнитного взаимодействий.

17

ОЧЕРК

ИСТОРИИ

ИССЛЕДОВАНИЙ

предложен, но, во всяком случае, на том уровне, на котором мы сегодня физику понимаем, этот механизм работает. Итак, существуют лептоны и кварки, это частицыфермионы, т.е. частицы с половинным спином. Существуют передатчики калибровочного взаимодействия – $\gamma$ -кванты, W- и Z-бозоны, и взаимодействия происходят универсально: вот у вас летит кварк или лептон, он испускает при взаимодействии один из этих бозонов и переходит в новое состояние. Это схема всех взаимодействий, которые мы сейчас знаем и которые описываются в Стандартной модели. Значит, возникает универсальная взаимосвязь всех полей, т.е. возможно, что есть даже некая общая единая константа, которая постепенно, за счет разных этапов нарушения спонтанной симметрии, переходит в другие, и источником возникновения массы является спонтанное нарушение симметрии вакуума. Вот что сегодня мы знаем. Какие недостатки у этой теории? Прежде всего, непонятно, как эти поколения образовались, почему у них совершенно разные массы и т.п. Дальше. Какова масса нейтрино? Здесь (в Стандартной модели) она ноль, но, может быть, она не ноль? Почему происходит смешивание этих поколений? И, наконец, откуда взялись вот это нарушение и вот эта константа, которая связана с этими нарушениями (т.е. угол Вайнберга)? Здесь я хочу обратить ваше внимание на очень интересную аналогию между ньютоновской теорией, которую все знают, и Стандартной моделью. В Стандартной модели вы имеете безмассовые частицы, в нулевом приближении. Безмассовые частицы – это вещь, которая описывает геометрию. Не нужно никакой физики, чтобы описать безмассовые частицы. Чистая геометрия, с точки зрения современной высшей геометрии. Точно так же в ньютоновской теории вы имеете инерционное движение – если у вас нет никакого взаимодействия, все выключено, то частицы будут двигаться по инерции по прямым. Но прямые – это опять же чистая геометрия. В основу и той, и другой теорий положена чистая геометрия. А дальше включается физика. В ньютоновской механике включаются силы, и все частицы начинают двигаться по некоторым траекториям, т.е. начинается нарушение геометрии. Точно так же в физике элементарных частиц включаются калибровочные взаимодействия, хиггсовский механизм, и у вас все начинается, возникает физика. Физика отличается от математики тем, что в ней есть нарушение симметрии. Вот такие маленькие размышления… Ну, теперь мы переходим, делаем шаг, к современной теории, к современной физике. С 1980-х годов теория начинает искать выход из Стандартной модели. Есть два пути, по которым идет теория. Первая идея была связана с Великим объединением. Давайте в Стандартной модели, где у нас была простейшая симметрия, введем все более и более высокие математические симметрии – вместо SO(2) рассмотрим SO(5) и т.д. Иными словами, математически будем все более и более расширять поле этих частиц. При этом мы начнем объединять между собой электродинамику с физикой слабого взаимодействия, затем присоединим к

НЕЙТРИНО

ним сильное взаимодействие, потом добавим гравитацию, и таким образом у нас будет развиваться теория. Вот общая идея теории Великого объединения. Но возможен другой путь – и, скорее всего, по этому пути пошла Природа: а вдруг у нейтрино (именно у нейтрино в данном случае) есть нестандартные свойства? Например, есть майорановское нейтрино, т.е. нейтрино равно антинейтрино. Или у вас есть осцилляции – переход нейтрино электронного и мюонного в таунейтрино. Или осцилляции в веществе, которые были придуманы немножко позже. У нейтрино есть магнитный момент, а давайте вводить прецессию этого магнитного момента нейтрино в веществе. И так далее, т.е. второй путь – это путь, связанный с нестандартностью нейтрино. И как на это начинают отвечать эксперименты? Надо сказать, что очень интересным моментом, связанным с развитием эксперимента, оказался взрыв сверхновой. В 1987 году, специально для физиков, в Большом Магеллановом облаке взорвалась сверхновая. В день Советской Армии, 23 февраля. Именно по этой причине российские физики не все зарегистрировали этот взрыв. Например, в Красноярске под землей был выходной день в честь 23 февраля. И впервые в истории человечества был наблюден взрыв сверхновой не только в световой области, но и в нейтринной области. А именно, было зарегистрировано приблизительно около двух десятков нейтринных вспышек, нейтринных следов в пяти основных детекторах, которые в это время работали на земле. Но даже и здесь возникла очень забавная ситуация, еще одна загадка нейтрино. Все зарегистрировали эти вспышки приблизительно в одно и то же время. Хотя, надо сказать, возникла фантастическая ситуация – у японцев(!) часы сломались. Причем не просто сломались – там на минуту где-то отличие было, хотя все вспышки в секундах считаются. Но, в конце концов, договорились, сдвинули японские часы в нужное место, и вроде все сошлось. Так вот, за пять часов до этой вспышки – это зарегистрировали пять детекторов – было зарегистрировано еще четыре события. Вот это – загадка, которая существует до сих пор, правда в последнее время мы начинаем ее разгадывать. Никто просто в это не верил в течение всех двадцати лет. Дальше – реакторные нейтрино. К этому времени были померены взаимодействия нейтрино с протонами, с дейтронами, с электронами, измерен магнитный момент нейтрино, и начали искать нейтринные осцилляции в реакторных нейтрино. И, наконец, была придумана совсем интересная вещь. Оказывается, с помощью нейтрино можно диагностировать работу реакторов – на расстоянии 100 м поставить детекторы и смотреть, как работают реакторы. В Иране, например. И сообщать в МАГАТЭ – сегодня они нарабатывают плутоний или не нарабатывают. Это называется нейтринной диагностикой. К сожалению, она пока не реализуется, но принципиально она существует, она возможна. Дальше – солнечные нейтрино. Первые эксперименты, как я уже говорил, это были эксперименты Дэвиса.

18

КВАНТ 2014/№3

Солнечные нейтрино изучались с помощью хлор-аргонового метода, потом был создан большой детектор Камиоканда в Японии, и было доказано, что существует дефицит нейтрино от Солнца. Этот дефицит потом был подтвержден в экспериментах у нас на Баксане, на детекторе Супер-Камиоканда, и, наконец, в Солнечной нейтринной обсерватории в Канаде. Дальше – ускорительные нейтрино. Действительно, в ускорителях начали работать с высокими энергиями, и был найден эффект, который до сих пор остается непонятым. В Америке, на ускорителе в Лос-Аламосе, были зарегистрированы необычные нейтринные осцилляции. Есть они или нет – мы до сих пор не знаем. Может быть, это ошибка, может быть – нет. Наконец, в ускорительных нейтрино на больших расстояниях тоже работают с осцилляциями, сегодня это уже становится тривиальностью. Дальше – атмосферные нейтрино. Нейтрино, которые рождаются в процессах в космических лучах, можно тоже регистрировать, и в 1998–99 годах были найдены осцилляции этих нейтрино. Пока это остается загадкой, хотя идет много исследований по бета-распаду нейтрона. То он влезает в Стандартную модель, то делается следующий эксперимент и оказывается, что там расхождение на несколько $сигма^{11}$. И так до сих пор. До последнего времени мы были уверены, что время жизни нейтрона меряется с точностью одной секунды. А недавно Анатолий Серебров из Ленинграда сделал эксперимент и показал, что у него получилось отличие на 10 секунд. Ну и, наконец, – масса нейтрино. Еще Понтекорво предложил использовать тритий, для того чтобы измерить массу нейтрино. Сейчас эти эксперименты ведутся, и они позволили нам сказать, что масса электронного нейтрино, которое вылетает из трития, во всяком случае меньше чем 2 эВ. Что тоже неплохо. Я заканчиваю свой рассказ об истории развития наших представлений о нейтрино. Как видите, очень много нового и неожиданного, много ключевых для физики идей принесла эта область. Я думаю, что именно в ней нам и в будущем следует ждать сюрпризов, новых идей и поворотных моментов в развитии физики.

Именной комментарий

(расположение – по мере упоминания в тексте статьи )

Чжэндао Ли (род. в 1926 г.) – китайский и американский физик. Лауреат Нобелевской премии по физике (совместно с Ч.Янгом) «за пристальное изучение так называемых законов четности, которое привело к важным открытиям в области элементарных частиц» за 1957 год. Чжэньнин Янг (род. в 1922 году) – китайский и американский физик. Лауреат Нобелевской премии по физике (совместно с Ч.Ли) за 1957 год. Цзяньсюн Ву (1912–1997) – американский физик китайского происхождения, поставила знаменитый «эксперимент Ву», доказавший несохранение пространственной четности в слабых взаимодействиях.

11 Сигма $( \sigma )$ – величина стандартной ошибки измерения.

Владимир Михайлович Лобашёв (1934–2011) – советский и российский физик-ядерщик. Юрий Георгиевич Абов (род. в 1922 г.) – советский и российский физик, открыватель слабого взаимодействия нуклонов в ядрах. Ричард Филлипс Фейнман (1918–1988) – выдающийся американский ученый, один из авторов знаменитых «Фейнмановских лекций по физике», прекрасный популяризатор науки. Лауреат Нобелевской премии по физике (совместно с С.Томонагой и Дж.Швингером) за 1965 год. Раймонд Дэвис младший (1914–2006) – американский химик и физик. Лауреат Нобелевской премии по физике «за создание нейтринной астрономии» за 2002 год. Стивен Вайнберг (род. в 1933 г.) – американский физик. Угол Вайнберга – один из параметров теории электрослабого взаимодействия Глэшоу–Вайнберга–Салама. Лауреат Нобелевской премии по физике (совместно с Ш.Глэшоу и А.Саламом) за 1979 год. Питер Уэйр Хиггс (род. в 1929 г.) – британский физиктеоретик, член Лондонского Королевского общества. В 1960-е годы предсказал существование новой элементарной частицы, называемой теперь бозоном Хиггса. Лауреат Нобелевской премии по физике (совместно с Ф.Энглером) за 2013 год. Анатолий Павлович Серебров (род. в 1944 г.) – российский физик, специалист в области исследования фундаментальных взаимодействий и нейтронной физики.

Рекомендуемая литература

1. История уравнения Дирака и связанные с ним представления и события физики тех лет описаны самим П. Дираком в статье «Релятивистское волновое уравнение электрона» (Успехи физических наук, 1979, т. 129, в. 4, с. 681–691). В русском переводе статья доступна в интернете по адресу: http://ufn.ru/ufn79/ufn79_8/Russian/r798e.pdf 2. Об истории гипотезы Ландау о существовании «плотных звезд», которую можно рассматривать как первое предсказание нейтронных звезд (сделанное до открытия нейтрона), можно прочитать в статье Д.Г.Яковлева, П.Хэнселя, Г.Бейма и К.Петика «Л.Д.Ландау и концепция нейтронных звезд» (Успехи физических наук, 2013, т. 183, в. 3, с. 307–314). Адрес статьи в интернете: http://ufn.ru/ru/articles/2013/ 3/f/ 3. Гипотеза Майорана подробно обсуждается в статье самого Э.Майорана «Симметричная теория электрона и позитрона» (Физика элементарных частиц и атомного ядра, 2003, т. 34, в. 1, с. 242–256), а также в статье Ю.В.Гапонова «Начало майорановской физики. Памяти Э.Майораны» (там же, с. 240–241). Обе статьи доступны в интернете по адресам: http://www1.jinr.ru/Archive/Pepan/v-34-1/ 7.htm; http://www1.jinr.ru/Archive/Pepan/v-34-1/v-34- 1-6.pdf 4. Об эволюции Вселенной, супергравитации и суперструнах, о квантовой хромодинамике, попытках построения единой теории поля и их создателях прекрасно написано в популярной книге Барри Паркера «Мечта Эйнштейна. В поисках единой теории строения Вселенной» (М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1991, перевод с английского В.И. и О.И.Мацарских, под редакцией Я.А.Смородинского). Адрес книги в интернете: http:// www.ega-math.narod.ru/Reid/Parker.htm

23

ЗАДАЧНИК

Пусть точки $I_{a}, I_{b}, I_{c}$ – центры вневписанных окружностей, касающихся сторон BC, CA, AB соответственно (см. рисунок). Так как прямые $CI_{c}$ и $I_{a} I_{b}$ – биссектрисы внутреннего и внешнего угла ACB, то прямая $I_{c} C$ – высота в треугольнике $I_{a} I_{b} I_{c}$. Аналогично, прямые $I_{a} A$ и $I_{b} B$ являются его высотами. Поэтому треугольник ABC является ортотреугольником (т.е. треугольником с вершинами в основаниях высот) треугольника $I_{a} I_{b} I_{c}$. Так как точка I является ортоцентром треугольника $I_{a} I_{b} I_{c}$, то треугольник ABC является также ортотреугольником треугольника $II_{a} I_{b}$. Заметим, что точки $A, B, I_{a}, I_{b}$ лежат на одной окружности (с диаметром $I_{a} I_{b} ),$ поэтому треугольники $II_{a} I_{b}$ и IAB совмещаются преобразованием подобия – симметрией относительно биссектрисы угла AIB с последующей гомотетией с центром I. Следовательно, окружность (ABC) (описанная около ортотреугольника треугольника $II_{a} I_{b} )$ и окружность, описанная около ортотреугольника треугольника AIB, совмещаются тем же преобразованием подобия. Значит, и их центры О и $O_{C}$, и лучи $IO_{C}$ и IO переводятся друг в друга этим же преобразованием. Следовательно, точка $E_{C}$ лежит на прямой IO. Аналогично, точки $E_{A}$ и $E_{B}$ лежат на прямой IO. С.Ильясов

$M2333^{*}$. Граф – это конечное множество вершин, некоторые пары вершин соединены ребрами. Говорят, что граф правильно раскрашен в m цветов, если каждой из его вершин приписан один из m данных цветов так, что любые две вершины, соединенные ребром, окрашены в разные цвета. Вершины некоторого графа разбиты на три множества A, B, C так, что вершины из множества A не связаны ребрами с вершинами из множества C. Известно, что если удалить из графа все вершины множества C (вместе с выходящими ребрами), то полученный граф можно правильно раскрасить в k цветов, а если удалить из него все вершины множества A – то в n цветов. В какое минимальное количество цветов можно с гарантией правильно раскрасить такой граф?

«КВАНТА»

Ответ. k + n – 1. Покажем, что в k + n – 1 цвет правильно раскрасить все вершины можно всегда. Раскрасим B » C в n цветов, назовем один из этих цветов первым, и пусть D – совокупность всех вершин из B, покрашенных в первый цвет. Теперь раскрасим A » D в k цветов (при этом вершины из множества D перекрашиваем), использовав в качестве одного из них первый цвет (а остальные k – 1 цветов взяв отличными от уже использованных n цветов). У вершин, не входящих в A » D, сохраним прежнюю раскраску. Поскольку никакие вершины из A » D не связаны ребрами с вершинами из C, покрашенными в первый цвет (из D – в силу правильности раскраски B » C в n цветов, из A – по условию), получится правильная раскраска графа в k + n – 1 цвет. Теперь покажем, что меньшего числа цветов может и не хватить. Расположим kn точек в виде прямоугольника из n строк и k столбцов. Примем это множество за B. Снизу добавим нулевую строку из k точек, примем ее за A, слева добавим нулевой столбец, примем его за C. Ребрами в B соединим любые две точки, не лежащие ни в одной строке, ни в одном столбце. В A соединим ребрами каждые две точки, в C – тоже. Кроме того, соединим ребрами каждую точку из A со всеми точками из B, не лежащими с ней в одном столбце, и каждую точку из C со всеми точками из B, не лежащими с ней в одной строке. Очевидны правильные раскраски A » B в k цветов (по столбцам) и C » B в n цветов (по строкам). Покажем, что полученный граф нельзя раскрасить меньше чем в k + n – 1 цвет. Допустим, есть правильная раскраска A » B » C в k + n – 2 цвета. Поскольку точки множества A раскрашены в k различных цветов, а точки множества C – в n различных цветов, то имеются $m \ge 2$ цветов (назовем их общими), в которые покрашены точки обоих этих множеств. Отметим строки и столбцы, в которых находятся такие точки; на их пересечении находится $m^{2}$ точек множества B. Заметим, что в каждый из m общих цветов может быть покрашено не больше одной из этих $m^{2}$ точек, а именно, точка, стоящая на пересечении соответствующих столбца и строки. Стало быть, среди этих $m^{2}$ точек есть $m^{2} - m$ точек, раскрашенных в другие цвета. Это не могут быть общие цвета, но не могут быть и другие цвета, использованные при раскраске точек множеств A и С, потому что со всеми точками таких цветов точки из отмеченных строк и столбцов связаны ребрами. Всего при раскраске точек из A и С было использовано k + n – m цветов. Из упомянутых выше $m^{2} - m$ точек можно выбрать m точек, никакие две из которых не лежат в одной строке или одном столбце. Каждые две из этих m точек связаны ребром, поэтому они раскрашены не менее чем в m цветов. Получается, что всего использовано не менее k + n цветов. Противоречие. И.Богданов

27

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

ШКОЛЬНИКОВ

Задачи

Маша хотела купить булочку ценой в целое число рублей. Ровно она заплатить не смогла и приготовила как можно меньшую сумму, но чтобы на булочку хватило. В итоге она дала продавщице 9 рублей и получила сдачу. Сколько стоила булочка? С.Иванов, Б.Дружинин

4. Петя хочет придумать аналог игры «камень –

Велосипедисты Алеша, Боря и Вася одновременно стартуют из одной и той же точки кольцевого трека (скорость каждого постоянна). Первыми после старта проехали друг мимо друга Алеша и Боря (в одну сторону или в разные – неизвестно). Известно, что ножницы – бумага» для 10 предметов. В ней должны выполняться два условия: про любые два предмета можно сказать, какой из них кого бьет; любые два предмета равноправны (т.е. каждый предмет бьет одно и то же число предметов). Сможет ли Петя придумать такую игру? Г.Жуков

Иллюстрации Д.Гришуковой

Алеша едет по часовой стрелке, а Вася – против часовой стрелки. В каком направлении едет Боря? Б.Френкин

3. В ряд слева направо стояли несколько столбов, между каждыми двумя соседними был натянут провод. Подул ветер, все столбы упали влево, но провода при этом не порвались и снова оказались натянутыми. Докажите, что изначально все провода были параллельны земле. С.Дориченко

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6–8 классов.

На старой печатной машинке Незнайки на печать каждой конкретной цифры всегда расходуется одно и то же количество чернил. Незнайка говорит, что на этой машинке нельзя напечатать два натуральных числа, одно в 9 раз большее другого, истратив на каждое число одно и то же количество чернил. Можно ли утверждать, что он наверняка ошибается? Е.Бакаев

28

КВАНТ 2014/№3

Электромагнитное излучение на пальцах

(Урок физики в Колледже Эйнштейна 1 )

В.СЫЩЕНКО

ОБЪЯВЛЕНИЕ НА КЛАССНОЙ ДОСКЕ ВОЗВЕЩАЛО: «СЕ- годняшнее занятие проводит профессор Ван-Теллер». Прозвенел звонок, надпись полыхнула синим пламенем и исчезла, оставив доску безупречно чистой. В тот же момент дверь открылась, и в аудиторию вошел высокий человек с кустистыми бровями. Никки не сразу узнала старого профессора, прошедшего курс омоложения. – Здравствуйте! Коллега Дермюррей уехал на конференцию, и сегодняшний урок проведу я. Судя по программе, вы уже освоили изрядный кусок электродинамики. – Профессор обвел взглядом класс. – Сейчас посмотрим, как вы ее поняли. – Профессор, сколько можно обсуждать результаты позапрошлого века? – с претензией в голосе произнес принц Дитбит. – Первая контрольная, вторая контрольная, коллоквиум… – Да-да, в мое время после трех двоек подряд студент вылетал из колледжа… – по лицу профессора разлилась блаженная улыбка, резко контрастировавшая с недовольной физиономией принца. – Итак, кто из вас скажет, как породить электромагнитную волну? В ответ раздался хор голосов: – Подвигать электрон с ускорением! Покачать тудасюда! – А кто возьмется объяснить, почему ускоренно движущийся заряд излучает? – … уравнения Максвелла … запаздывающие потенциалы … – послышалось с разных сторон, кто-то даже начал перебрасывать через школьный компьютер формулы на доску и стены. – Достаточно, достаточно! – Профессор поднял ладони перед собой. – Я верю, что вы знаете, как все это выводится, иначе бы вы здесь не сидели, – и профессор опять плотоядно улыбнулся. – Но самые внимательные из вас могли заметить, что я задал несколько иной вопрос: кто может ОБЪЯСНИТЬ, почему ускоренно движущийся заряд излучает? Доступно, по рабоче-крестьянски? – По рабоче-как?.. – скривил губы не поверивший своим ушам принц Дитбит. Улыбка сползла с лица профессора. Оказывается, он и без деревянной клюки мог выглядеть весьма грозно. – Крестьянски! – с нажимом повторил Ван-Теллер, вперив в принца такой тяжелый взгляд, что с того

1 Об этом удивительном колледже можно узнать из книги

Н.Горькавого «Астровитянка» (М.: АСТ, 2011). (Прим. ред.)

мигом слетело процентов тридцать обычной наглости. Сквозь истончившуюся оболочку наследный отпрыск династии Дитбитов почувствовал буравящие взгляды своих подпевал, яснее всяких слов говорившие: «Уступишь – значит слабак!» Неизвестно, чем бы все это кончилось, если бы в тот же момент весь остальной класс не повернулся, будто по команде, указывая на девочку с хрустальными волосами: – Никки! Она знает! Она на своем астероиде картошку выращивала! «И баобабы выпалывала!» – проворчала про себя Никки, а вслух произнесла: – Вообще-то помидоры, профессор… – Помидоры тоже пасленовые, тоже неплохо… Итак, мисс Гринвич? – Если электрон движется прямолинейно и равномерно, то всегда можно найти инерциальную систему отсчета, в которой он покоится. А у покоящегося электрона энергия минимальна, ему просто нечего излучать. А так как физика явления не меняется при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую, то и равномерно движущийся электрон излучать не будет. Значит, для возможности излучать остается только ускоренное движение. – Ну что ж, мисс Никки. Все правильно, привлечение

ШКОЛА В «КВАНТЕ»

Сверхзвуковые автобусы, лодки и… деревья

Грибники и автобус Хотя грибники и утверждают, что грибы начинают попадаться как раз тогда, когда опаздываешь на автобус, все-таки лучше не доводить дело до критической отметки. Следует четко следить за временем и рассчитывать свой график движения. Вот классическая задача на такой расчет. Задача 1. По прямому шоссе движется с постоянной скоростью автобус (рис.2). Нарисуйте так называемую

Е.СОКОЛОВ

ВСТАТЬЕ «СВЕРХЗВУКОВЫЕ САМОЛЕТЫ И КОНУС МАХА»

(«Квант» №3 за 2010 г.) было показано, насколько полезно использовать понятие конуса Маха при исследовании кинематики сверхзвуковых самолетов. Напомним, что это такой конус, у которого угол $\alpha$ при вершине определяется соотношением sin $\alpha = c v$, где в числителе и в знаменателе стоят скорости звука и самолета соответственно. Конусы Маха – вполне реальные образования, сопровождающие быстро движущиеся предметы: реактивные самолеты, пули и снаряды, метеориты. Они проявляются как уплотнения воздуха, которые можно видеть на фотографиях. Первую такую фотографию получил сам Эрнст Мах (интересно, что для этого ему пришлось сконструировать особый фотоаппарат). Конусы Маха можно увидеть и в обычной жизни (рис.1), надо только внимательно смотреть. Особенно хорошо они видны на мелкой воде. Например – после дождя по улицам бегут широкие, но мелкие потоки воды. Если на их пути попадает камень, то обтекающая его вода образует на поверхности потока две линии возвышения – конус Маха. А бывает, волна набежит на песчаный берег и при ее отступлении за каждой ракушкой образуется свой личный маленький конус Маха. – А я видел, как ворона шла по мелкой луже, ища место, где попить, и волны от ее лап сложились в конус Маха. – А я видела, как капли воды, падающие с весла, образовывали на поверхности воды конусы Маха. – Это очень хорошие примеры. Добавлю, что еще можно просто провести по поверхности лужи прутиком, и при этом тоже образуется конус Маха. – А то что вершины деревьев имеют коническую форму, это тоже конусы Маха? – Если ботаники подтвердят, что побеги растут с постоянной скоростью, то да. А вот в задачах конусы Маха встречаются не только при движении сверхзвуковых самолетов, метеоритов и пуль, но и при движении обычных автобусов или лодок.

Рис. 1

Рис. 2

область достижимости автобуса, т.е. область, из которой грибник еще может успеть на него. Примите, что скорость грибника в пять раз меньше скорости автобуса. Обсуждение. Прикинем, что нам надо сделать для того, чтобы получить ответ. Во-первых, в каждую точку плоскости (а их бесконечно много) нам надо поместить по грибнику. Во-вторых, нам надо разрешить каждому грибнику двигаться во всех возможных направлениях (а их тоже бесконечно много), чтобы выяснить, сможет ли он хоть при какомнибудь направлении движения успеть на автобус. – Мне лично кажется, что грибнику надо всегда идти по перпендикуляру ОА к дороге (рис.3). Это самый короткий путь, и он займет меньше всего времени. – Да, путь ОА самый короткий, но для грибника он не лучший – ведь у грибника нет цели Рис. 3 выйти на дорогу как можно быстрее, а есть цель выйти на дорогу раньше автобуса. При таком условии путь $OA_{1}$, который идет чуть правее, будет для грибника явно предпочтительнее. – А мне не очень понятно, почему более длинный путь $OA_{1}$ предпочтительнее для грибника. И совсем не понятно, почему это явно видно! – Ну что же, давайте наберемся терпения и послушаем объяснения. В некоторых случаях, когда грибник оказывается совсем рядом с дорогой, ему практически все равно куда идти, лишь бы не в сторону от дороги. Но вот когда он находится далеко от дороги, может случиться так, что, идя по перпендикуляру ОА, он опоздает на автобус, а идя по тропе $OA_{1}$, успеет, хотя и будет идти дольше. Возьмем конкретный пример. Пусть отрезок ОА имеет длину 10 км, а точка $A_{1}$ лежит на 100 м правее точки А, и пусть грибник, идущий по тропе ОА, чуть-чуть опоздал на автобус. А вот у грибника, идущего к точке $A_{1}$, еще есть время – ведь автобусу надо еще проехать до этой точки целых 100 м. – Ну так и грибнику надо больше пройти! – Конечно, но на сколько боль-

(Продолжение см. на с. 34)

…движения друг по отношению к другу тел, заключенных в каком-либо пространстве, одинаковы, покоится ли это пространство или движется равномерно и прямолинейно без вращения. Исаак Ньютон

…центробежные силы неодинаковых тел, движущихся с одинаковой скоростью по равным окружностям, относятся между собой как веса этих тел, т.е. как количества вещества в них… Христиан Гюйгенс

Если в любой момент времени к каждой из точек системы, кроме фактически действующих на нее внешних и внутренних сил, приложить соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет находиться в равно-

весии и к ней можно будет применять все уравнения статики. Жан Лерон Д’Аламбер

Вряд ли можно назвать другую теорему механики, которая вызывала бы столько разного рода недоразумений, как начало Д’Аламбера. Реальны или фиктивны те силы инерции, о которых говорится в этом начале? Евгений Николаи

Чтобы работать с законами Ньютона, [надо] подправить силы, ввести в них добавочный член. Другими словами, появляется кажущаяся, мистическая, новая сила неведомого происхождения… Ричард Фейнман

А так ли хорошо знакомы вам

?

силы инерции

Опять инерция? Ведь совсем недавно – в прошлом выпуске «Калейдоскопа» – о ней уже шла речь. Верно, тематически эти выпуски связаны. Можно сказать, один продолжает другой, но не заменяет его и не повторяет. Обратите внимание на добавление в заголовок лишь одного слова – «силы». Обсудить, как эта добавка расширяет разговор об инерции и выводит его за рамки сформулированного в прошлый раз понятия, и призваны сегодняшние сюжеты. Что же это за таинственные силы, не дающие покоя и теоретикам, и практикам? Можно ли ими управлять, поставить нам на службу, если десятилетиями не удавалось прийти к общему понятийному знаменателю? Не беспокойтесь: и обуздать силы инерции, и научиться обезопасить машины и механизмы, где они могли бы проявить свой «буйный нрав», человек наловчился. И найти им применение в самых современных устройствах микромеханики – от робототехники до систем виртуальной реальности – смог. И объяснить с их помощью многие природные явления – сумел. Более того, дотошный разбор по косточкам казавшихся комуто ясными, а кому-то загадочными вопросов привел к осмыслению самых основ устройства мира и к появлению новых описывающих этот мир фундаментальных теорий. Вот как нас – «по инерции» – далеко занесло! Отдадим же должное этому каверзному, но замечательному понятию, а также и великому ученому, давным-давно затеявшему связанную с этим понятием историю, – Галилео Галилею. Тем более в год его 450- летнего юбилея.

Вопросы и задачи 1. В автомобиле, движущемся с постоянной скоростью, роняют камень. Наблюдатели в автомобиле и на дороге видят, что его движение происходит по разным траекториям. Какая из них является истинной?

2. Человек движется относительно платформы прямолинейно, но неравномерно, а платформа движется относительно земли прямолинейно и равномерно. Какой может быть траектория движения человека относительно земного наблюдателя? 3. На лишенном трения полу движущегося трамвая неподвижно лежит бильярдный шар. Время от времени шар начинает неравномерно кататься по полу. Когда это $происходит?_{r} 4.$ Какая сила F должна действовать на тело массой m, чтобы оно двигалось равномерно и прямолинейно $относительно_{r}$ вагона, движущегося поступательно с ускорением a? 5. Чему равен угол $\alpha$ отклонения от вертикали нити с подвешенным на ней тяжелым грузиком массой m в вагоне, движущемся по горизонтальному пути с ускорением a? Зависит ли этот угол от массы грузика? 6. Сосуд, частично заполненный ртутью, движется с горизонтальным ускорением, из-за чего поверхность ртути наклонена к горизонту под некоторым углом $\alpha$. Изменится ли этот угол, если поверх ртути налить воду? 7. Как будет вести себя воздушный шарик, заполненный гелием, в закрытом автомобиле, ускоряющемся вперед? 8. Сосуд с водой скользит вниз по гладкой наклонной плоскости с углом наклона $\alpha$. Какой угол с горизонтом образует поверхность воды? Изменится ли ответ, если скольжение будет происходить с трением? 9. С некоторой высоты начинает падать сосуд с водой, в котором в начальный момент на некоторой глубине находится кусочек пробки. Как будет двигаться пробка относительно стенок сосуда, если пренебречь сопротивлением воздуха? 10. Опрокинутая пробирка укреплена неподвижно над сосудом с водой, как показано на рисунке. Как изменится

уровень воды в ней, если вся система начнет свободно падать? 11. Период колебаний математического маятника, находящегося в неподвижной ракете, равен T. Каким станет этот период при вертикальном спуске ракеты с ускорением 2g? 12. Самолет летит с постоянной скоростью, описывая окружность на постоянной высоте. Какое направление будет указывать нить отвеса, подвешенного в салоне самолета? 13. Велосипедист движется по горизонтальной, вращающейся вокруг вертикальной оси плоскости в таком направлении и с такой скоростью, что относительно земли он остается неподвижным. Должен ли он наклоняться по направлению к оси вращения плоскости? 14. С помощью рычажных весов взвесили 10 килограммов апельсинов на экваторе. Изменится ли результат взвешивания на полюсе? 15. В цилиндре, наполненном водой и закрытом со всех сторон, находятся пробка, кусочек свинца и некоторое тело A, плотность которого равна плотности воды. Цилиндр приводят в быстрое вращение вокруг его оси. Как будут расположены тела в цилиндре, если ось вращения вертикальна? 16. Воздух из субтропического пояса повышенного давления переходит в экваториальный пояс пониженного давления. В какую сторону – на запад или на восток – он будет отклоняться при своем движении?

Микроопыт Попробуйте раскрутить небольшое ведро с водой в вертикальной плоскости с такой скоростью, чтобы вода не выливалась. Получилось? Тогда объясните явление.

Любопытно, что… …о существовании центробежной силы инерции догадывался еще Аристотель, а Птолемей считал, что если бы Земля вращалась вокруг своей оси, то из-за центробежной силы мы не смогли бы удерживаться на ее поверхности. Кеплер и Галилей опровергли эту точку зрения, однако полагали, что при удалении от центра вращения центробежная сила должна уменьшаться. …изучая движение маятника, Гюйгенс установил, что если массивное тело, подвешенное на нити, движется по окружности, то нить начинает растягиваться как бы еще одной силой, дополнительной к силе тяжести. Он назвал ее центробежным стремлением и привел определяющие ее закономерности, сохранившие свое значение до сих пор. Причем для Гюйгенса это была отнюдь не фиктивная, а вполне реальная сила той же природы, что и сила тяжести. …на то, что в процессе падения на вращающуюся Землю тело должно смещаться на восток, указал еще в 1679 году Ньютон на заседании Лондонского Королевского общества. В обсуждении выступил первый Королевский астроном Джон Флемстид, утверждавший, что этот эффект давно известен в артиллерии. Так, при угле возвышения орудия в $87 ^\circ$ выпущенное ядро падает обратно в жерло, на покоящейся же Земле этот угол должен был бы равняться $90 ^\circ$. …идеально точные, ритмично идущие часы называют инерциальными. Ход всех подобных часов во всех инерциальных системах отсчета одинаков – в мире существует единое, всеобщее и универсальное время, именуемое абсолютным. Это положение – важнейший результат классической механики Галилея–Ньютона, принимаемый в ней в качестве аксиомы. …великий французский ученый Д’Аламбер был широко образованным человеком – математиком, механиком и философом-просветителем. Его избрали во все существующие в то время Академии наук, в том числе и в Петербургскую. Приведенный в эпиграфе знаменитый принцип, позволявший сводить динамические задачи к статическим, Д’Аламбер сформулировал в 1743 году в «Трактате о динамике», когда ему было всего 26 лет. …в неинерциальных системах отсчета при учете сил инерции к ним нельзя применять третий закон Ньютона, так как нет никаких сил противодействия, приложенных к другому телу со стороны данного, да нет и самого «другого» тела. Также в этих системах несправедливы и следствия из третьего закона, в том числе закон сохранения импульса. …споры об истинности или фиктивности сил инерции продолжались более двухсот лет. Действительно, при переходе к инерциальной системе отсчета от них можно просто избавиться. С другой стороны, они вызывают вполне реальные события – разрыв маховиков, сход с рельсов и крушения поездов и так далее. …австрийский физик и философ Эрнст Мах считал источником происхождения сил инерции вращающуюся вокруг наблюдателя Вселенную. При таком подходе инертная масса любого тела была обусловлена влиянием всех тел окружающего мира. Эту точку зрения, названную принципом Маха, первоначально разделял и Эйнштейн, но впоследствии от нее отказался. …в природе действие сил инерции особенно ярко проявляется при движении огромных масс воды и воздуха в океане и в атмосфере. Так, течение Гольфстрим, двигаясь на север в северном полушарии, под действием кориолисовой силы инерции отклоняется вправо, обедняя теплом Канаду и обогревая Европу. Этой же силе обязаны своим появлением гигантские циклонические вихри, закручивающиеся в северном полушарии против часовой стрелки и по часовой – в южном. …без инерциальной навигации немыслимы сегодня как полеты космических кораблей и авиалайнеров, так и плавание судов надводного и особенно подводного флота. Одним из применяемых в инерциальной навигации приборов является чувствительнейший акселерометр, позволяющий измерять ускорения подвижных объектов с точностью до $10 -7 g$.

Что читать в «Кванте» о силах инерции

(публикации последних лет)

1. «Принцип Торричелли и центробежная сила инерции» – 2005, №3, с.35; 2. «Подводные камни» силы Архимеда» – 2009, №2, с.46; 3. «Задачи механики в неинерциальных системах отсчета» – 2010, №2, с.51; 4. «Физический калейдоскоп. Выпуск 3» – 2012, Приложение №3, с.16, 126; 5. «Калейдоскоп «Кванта» – 2014, №1, с.32.

Материал подготовил А.Леонович

34

КВАНТ 2014/№3

(Начало см. на с. 31)

ше? На сколько тропа $OA_{1}$ длиннее перпендикуляра: на 100, на 50, на 20 м? Оказывается, всего на 50 см! (Убедитесь в этом, например, с помощью калькулятора.) Поэтому второй грибник выйдет на дорогу в точке $A_{1}$, может, на полсекунды позже первого. А вот автобусу еще ехать и ехать! А то что путь $OA_{1}$ более выигрышный, для опытного человека сразу очевидно по следующей причине. Перпендикуляр ОА – самый короткий из всех отрезков, ведущих к дороге, и все близкие к нему отрезки лишь чуть-чуть длиннее его. Поэтому, смещая конечную точку тропы перпендикулярно отрезку ОА вправо, мы лишь немного увеличиваем путь грибника, но существенно увеличиваем путь автобуса. Итак, мы показали, что движение перпендикулярно дороге не самый лучший выбор для грибника. А какой же путь лучший? Увы, мы этого пока не знаем, и поэтому стандартный подход остается для нас по-прежнему неприступным. Надо искать что-то нестандартное. Подсказка у нас уже есть – где-то здесь должен появиться конус Маха. Решение. Поступим наоборот – посадим в автобус многомного грибников и повезем их из города в лес. И при этом договоримся, что в каждой точке шоссе много-много грибников (но не все) будут выходить из автобуса и расходиться во все стороны. Таким образом, автобус едет по дороге со

Рис. 5

А теперь – задачи для самостоятельного решения.

Задача 2. Грибники Егор, Петр и Иван возвращались из леса. Егор пошел по левой тропинке (рис.5). Он шел до дороги 30 мин и успел точно к автобусу. Иван пошел правой тропинкой. Шел он 40 мин и тоже успел прямо к автобусу. А Петр пошел по самой короткой тропинке и дошел до дороги за 24 мин. Сколько времени Петр ждал автобуса? Скорости всех грибников одинаковы. Задача 3. А еще был с грибниками Сидор, который рассудил так: «Зачем ходить не оптимальными путями? Я пойду оптимальным путем, а время, которое у меня сейчас есть в запасе, потрачу лучше на сбор грибов. Не зря говорят опытные грибники – чем меньше времени до автобуса, тем больше грибов в лесу!» Скажите: сколько времени есть у Сидора в запасе, если он действительно знает оптимальный путь?

Рис. 4

скоростью v, а от него во все стороны, как звук от самолета, расходятся со скоростью с грибники. И у нас образуется… конус Маха (рис.4) с углом раствора $\alpha =$ arcsin ( c v ), где с – скорость грибника, а v – скорость автобуса. В каждой точке внутри конуса окажется по два грибника, на самом краю – один, а за краем – никого. Конус Маха и будет той областью, из которой путник может успеть на автобус. Доказать? Пожалуйста. Любой путник, находящийся внутри или на краю конуса Маха, может успеть на автобус. Для этого ему достаточно просто пойти в направлении, противоположном тому, по которому в данную точку пришел один из грибников. Причем путник выйдет на дорогу как раз к подходу автобуса. Точно так же нетрудно доказать, что ни один путник, стоящий вне построенного нами конуса Маха, ни за что не успеет на автобус (проведите это доказательство самостоятельно). Итак, ответ к нашей задаче таков: область достижимости автобуса – это конус Маха с вершиной в автобусе и углом при вершине $2 \alpha = 2$ arcsin ( c v ). Каждый путник, находящийся внутри этого конуса, имеет выбор – у него есть два пути, по которым он может выйти на дорогу точно к подходу автобуса, а также он может выбрать любой путь, лежащий между ними. Правда, в этом случае ему придется некоторое время подождать автобус. Для путника же, стоящего на образующей конуса, есть только один вариант возвращения – ему надо идти перпендикулярно этой образующей.

Рис. 6

Задача 4. Постройте область достижимости автобуса, для случаев: а) дорога делает поворот на $90^\circ$ (рис.6,а); б) водитель берет пассажиров строго на остановках O 1, O 2, O 3 (рис.6,б). Число Маха для автобуса и путника считайте равным двум.

Переправа через реку Представим, что мы стоим на берегу быстрой широкой реки (рис.7). Примем, что ширина реки L = 120 м, скорость ее течения v = 4 м/с, а в нашем распоряжении есть весельная лодка, на которой мы можем плыть со скоростью с = = 3 м/с. Итак, с этого момента величины L, v и с фиксированы. Мы свободны лишь в одном – в выборе курса лодки, т.е. в выборе направления, в котором мы будем грести.

Рис. 7

35

ШКОЛА

Хотим сразу же предупредить читателя вот о чем. В спокойной воде (на озере) куда мы направляем лодку (гребем), туда же она и движется. А вот на реке это уже разные направления. На рисунке 7 показано, что происходит на реке с лодкой за одну секунду. Мы гребем (направляем лодку) под углом $\beta$ к берегу и перемещаемся относительно воды на расстояние с. Но кроме этого есть течение, и оно сносит нас за секунду на расстояние v. В результате мы движемся относительно берега под совсем другим углом $\alpha$ и совсем с другой скоростью u.

Вот несколько задач, связаных c переправой через реку. Задача 5. За какое минимальное время наша лодка (см. рис.7) может переправиться через реку? Какой курс (угол $\beta )$ следует при этом выбирать гребцу? На какое расстояние d ее снесет вдоль берега? Каков путь s лодки относительно берега? Обсуждение. Мы думаем, что у излишне самоуверенных ребят есть личный опыт относительно этой ситуации, и они сразу же догадаются, как следует вести лодку, чтобы время переправы было минимальным. «Излишне самоуверенными» мы называем тех ребят, которые, едва научившись плавать в пруду или бассейне, начинают покорять настоящие реки с быстрым течением. Хорошо, если речка маленькая и сил хватает. А если дело принимает нешуточный оборот: силы на исходе, а противоположный берег еще далеко? Вот здесь мы и попадает в ситуацию, когда нам надо как можно быстрее оказаться на другом берегу. Как же надо себя вести? Конечно, плыть перпендикулярно течению, т.е. держать курс $\beta = 90 ^\circ$. И ничего, что течение сносит вниз, главное, чтобы каждый гребок приближал нас к желанному берегу. Итак, мы вместе с вами ответили на самый главный вопрос задачи. Остальные ответы предлагаем вам получить самостоятельно.

А теперь – задача посложнее. Задача 6. Лодочнику надо переправиться через реку так, чтобы снос лодки был минимальным. Какой курс (угол $\beta )$ ему следует для этого выбрать? Какой угол (угол $\alpha )$ образует траектория лодки с берегом? Сколько времени (t) понадобится лодочнику для такой переправы? На какое расстояние (d) снесет лодку? Какой путь (s) проделает лодка относительно берега? В этой ситуации нам уже вряд ли поможет личный опыт. Даже если кто-то и переправлялся через реку, пытаясь плыть с наименьшим сносом, не факт, что он нашел правильный курс. Поэтому при решении этой задачи следует прибегнуть к рассуждениям. А рассуждения лучше проводить, когда перед глазами рисунок, на котором сразу видны все возможные варианты переправы. – А есть ли такой чудо-рисунок? – Есть! И главный его элемент – конус Маха. Начинаем конструирование. Причем не со скорости с, а со скорости v (рис.8). За секунду река снесет лодку вправо на расстояние v. После этого мы сами должны переместить лодку на расстояние с, при этом направить ее мы можем в любую сторону. Поэтому рисуем полуокружность радиусом с. Каждая точка этой кривой соответствует конкретному выбору курса. А скорость лодки относительно берега – это вектор, соединяющий точку О и выбранную нами точку на окружности.

Рис. 8

Рис. 9

В

«КВАНТЕ»

Итак, все варианты налицо. Правда, конуса Маха пока еще на рисунке нет. Поработаем немного с нашим рисунком – поговорим о разных точках на нем (рис.9). – Точка $1 ( \beta = 180 ^\circ ),$ как бы вы назвали ее? – Такой выбор переправы можно назвать самым быстрым способом движения. Скорость лодки в этом случае относительно берега самая большая: $u_{max} = v + c$. Хотя понятно, что при таком выборе направления мы никогда не переправимся через реку. – Точку $2 ( \beta = 0 )$ можно назвать самым медленным удалением от исходной точки. Лодка здесь движется с самой маленькой скоростью: $u_{min} = v - c$. – А точка $3 ( \beta = 90 ^\circ )$ – это точка из предыдущей задачи, т.е. точка наибыстрейшей переправы. – Осталось совсем немного: найти на окружности точку минимального сноса. Ответ становится очевидным, если поместить наш рисунок на карту реки (рис.10). Тогда сразу

Рис. 10

видно, что снос будет минимален, если траектория лодки касается нашей окружности выбора. В результате получается точка 4 – точка переправы с минимальным сносом. Теперь на нашей рисунке появился конус Маха с углом при основании $\alpha =$ arcsin ( c v ). Остальные ответы, связанные с переправой с минимальным сносом, получите сами.

Используя наши полезные рассуждения и рисунки, решите самостоятельно следующие задачи.

Задача 7. При переправе лодочник вел лодку так, чтобы переплыть реку как можно быстрее. А обратно он возвращался так, чтобы снос лодки был минимален. Известно, что на обратный путь он затратил в два раза больше времени. Найдите, во сколько раз скорость течения больше скорости лодки. Во сколько раз путь лодки туда больше, чем путь оттуда? Задача 8. Обычно лодочник переправляется через реку за 12 мин. А когда он выбирает для переправы новый курс, составляющий угол $90^\circ$ по отношению к первому, то он тратит на переправу всего 9 мин. 1) Сколько времени лодочник будет тратить на переправу, если будет держать курс перпендикулярно береговой линии? 2) Чему равно отношение скорости течения к скорости лодки, если и при старом и при новом курсе лодочника сносит на одно и то же расстояние? Задача 9. Два лодочника выбирают разные курсы для своих лодок, но пресекают реку за одно и то же время $t_{0}$. При этом вторую лодку сносит при переправе в n раз дальше, чем первую. 1) За какое минимальное время лодочники могли бы переправляться через реку, если скорость течения в М раз больше скорости лодки? 2) При каком максимальном М это возможно? Скорости обеих лодок в спокойной воде одинаковы.

– А если скорость лодки больше скорости реки, есть такие задачи? – Конечно, есть. Только теперь картинка, на которой видны все варианты нашего выбора, выглядит несколько иначе (рис.11). Но многое на этой картинке остается и от старого случая. Точка 1, по-прежнему, точка самой большой скорости лодки относительно берега, точка 2 – точка самой маленькой скорости лодки, точка 3 – точка наибыстрейшей

42

КВАНТ 2014/№3

рой внутренней точки треугольника до его вершин через p, q, r. Докажите, что p + q + r < b + c. 9. Найдите точку, сумма расстояний от которой до четырех данных точек минимальна (нужно рассмотреть два случая: когда точки образуют выпуклый четырехугольник и когда одна точка лежит в треугольнике из трех других точек).

Хотелось бы расширить свою коллекцию решений замечательной задачи о точке Торричелли. Если вы найдете еще одно красивое решение, присылайте его, пожалуйста, автору по адресу levr78@hotmail.com

Снова о рыцарях и лжецах

Наш вопрос должен быть «индикатором» рыцарей и лжецов: т.е. либо рыцари всегда на него должны отвечать «йа», а лжецы – всегда «ва», либо наоборот. Зададим любому из аборигенов вопрос «Йа – это Да?» Вариант 1. Пусть «йа» означает «да». Тогда рыцарь на такой вопрос должен отвечать «да», т.е. «йа». Лжец же должен ответить на такой вопрос «нет», т.е. «ва». Вариант 2. Пусть «йа» означает «нет». Тогда рыцарь на такой вопрос отвечает «нет», т.е. это опять же «йа»! А лжец должен ответить «да», т.е. снова «ва»! Итак, рыцарь на наш вопрос всегда отвечает «йа», а лжец – «ва». Задача решена.

Л.БОЙКО, М.БОЙКО

НАВЕРНЯКА ЧИТАТЕЛЬ ВСТРЕЧАЛ ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЗА- дачи о рыцарях, которые всегда говорят правду, и лжецах, которые всегда врут. Иногда в подобных задачах появляются и другие персонажи.

Кто такие хитрецы? Задача 1 (XXVIII Турнир городов). Известно, что лжецы всегда врут, рыцари всегда говорят правду, а хитрецы могут и врать, и говорить правду. Вы можете задавать вопросы, на которые возможен ответ «да» или «нет» (например: «Верно ли, что этот человек – хитрец?»). Перед вами трое – лжец, рыцарь и хитрец, которые знают, кто из них кто. Как и вам это узнать? У этой задачи есть несколько решений. Перед тем как прочесть одно из них в следующем абзаце, попробуйте придумать свое! Ключом к решению может стать некоторый вопрос, заданный каждому из трех людей, ответ на который отличит рыцаря от лжеца. Например, спросим у каждого из трех людей: «Вы хитрец?» Рыцарь ответит «нет», лжец ответит «да». Что бы ни ответил хитрец, среди трех полученных нами ответов есть либо единственное «нет», либо единственное «да». В первом случае мы однозначно определяем рыцаря, спрашивая которого далее легко добыть информацию про остальных двух людей. Во втором случае мы однозначно определяем лжеца. Далее, спрашивая его про остальных людей (с учетом того, что ответы лжеца противоположны истине), мы опять узнаем информацию про остальных людей.

Упражнение (XXVIII Турнир городов). Пусть в условиях задачи 1 перед вами четверо – лжец, рыцарь и два хитреца (все четверо знают, кто из них кто). Докажите, что хитрецы могут договориться отвечать так, что вы, спрашивая этих четверых, ни про кого из них не узнаете наверняка, кто он.

Языковые трудности

Но что, если вы не вполне хорошо знаете местный язык? Задача 2. Часть жителей некого острова – рыцари, остальные – лжецы. Островитяне понимают наш язык, а мы про язык островитян знаем лишь, что в нем одно из слов «йа» и «ва» означает «да», а другое – «нет» (но не помним точно, как именно). Пусть мы встретили двух аборигенов, один из которых – рыцарь, а другой – лжец. Сможем ли мы, задав всего один вопрос (предполагающий ответ «да» или «нет», т.е. «йа» или «ва»), узнать, кто из них кто?

Немного истории В 1992 году американский философ и логик Джордж Булос опубликовал задачу, которую он назвал «Cамой сложной логической задачей». Внешне «Самая сложная задача» похожа на разобранную выше задачу 1, но в ней имеется дополнительная сложность, которая была в задаче 2: персонажи понимают наш язык, но отвечают нам исключительно на своем языке, который непонятен нам. Дж.Булос называет персонажей мифическими богами, мы же позволим себе сохранить более привычные персонажи. Кроме того, это кажется нам более естественным, поскольку автором «Cамой сложной задачи» Дж.Булос указывает Рэймонда Смаллиана. Нам неизвестно, действительно ли это так, но безусловно Р.Смаллиан – наиболее известный популяризатор задач такого рода. Авторы настоящей статьи с большим интересом в школе решали логические задачи из книг Р.Смаллиана. В русском переводе этой книги, как правило, использовались именно такие персонажи: рыцари и лжецы.

Постановка «Самой сложной логической задачи» Итак, дадим точную формулировку «Самой сложной логической задачи». Задача 3. На острове Йава люди делятся на три типа: рыцари – те, кто всегда говорят правду; лжецы – те, кто всегда врут; и хитрецы – те, кто могут говорить как правду, так и ложь. Предположим, перед нами три человека – мистер A, мистер Б, мистер В. Мы знаем, что среди них ровно один рыцарь, один лжец и один хитрец, но мы не знаем, кто из них кто. Требуется определить, кто из людей – рыцарь, кто – лжец, а кто – хитрец, задав не более трех вопросов. Вопросы должны быть такими, чтобы на них можно было ответить «да» или «нет». Каждый вопрос задается только одному человеку. Дополнительная сложность состоит в том, что островитяне понимают наш язык, но отвечают нам исключительно на своем языке. Мы знаем, что в этом языке есть два слова «йа» и «ва», которые означают «да» и «нет», но мы не знаем, какое именно слово означает «да», а какое – «нет». Дадим несколько пояснений к формулировке, которые указывает в своей статье Дж.Булос. i Можно задавать одному человеку более чем один вопрос (в таком случае другим людям может быть не задано ни одного вопроса).

43

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

i Каков будет следующий вопрос и кому он будет задан, может зависеть от ответа на предыдущий вопрос. i Нельзя задавать вопросы-парадоксы, на которые можно ответить и «да» и «нет» или никак нельзя ответить. Например, «Ты сейчас ответишь «йа»?» i Хитрец отвечает на вопросы совершенно произвольно. Можно считать, что каждый раз он подбрасывает мысленно монетку и если выпадает орел – он отвечает правду, а если решка – лжет. Добавим к этому, что, конечно же, мистеры А, Б и В знают друг друга и знают, кто из них лжец, кто рыцарь, а кто хитрец. Перед тем как изложить решение, введем две мысленные конструкции.

Мистер Йа, мистер Ва и мистер Хи Выше мы назвали рыцарем человека, который всегда говорит правду. Другими словами можно сказать так: рыцарь – это человек, который отвечает «да», если утверждение, сформулированное в вопросе, истинно. В то же время лжец – это тот, кто отвечает на такое утверждение «нет». Вспомним, что островитяне используют свой язык. Таким образом, на вопрос, в котором сформулировано истинное утверждение, и лжец и рыцарь отвечают либо всегда «йа», либо всегда «ва». Тому, кто отвечает «йа», дадим второе имя – мистер Йа. А того, кто отвечает всегда «ва», будем называть мистер Ва. Наконец, хитреца будем называть мистер Хи. Заметим, что мы не можем знать о мистере Йа, рыцарь он или лжец, но сами островитяне А, Б и В должны знать, кто из них кто. Поэтому мы можем использовать новые имена в вопросах. Например, мы можем спросить у мистера А: «Ты являешься мистером Йа?» или спросить у него же: «Мистер Б – это мистер Ва?»

Колода карт Теперь возьмем три одинаковых листочка бумаги и на первом напишем «мистер Йа», на втором – «мистер Ва», на третьем – «мистер Хи». Получим три карты – карту Йа, карту Ва и карту Хи.

Естественным образом получается соответствие между людьми и картами. Таким образом, если в вопросе встретится понятие «карта мистера А», островитяне должны понимать это так: нужно посмотреть, кто такой мистер А – мистер Йа, Ва или Хи, – и найти карту, на которой написано соответствующее имя. Аналогично надо поступать, если в вопросе присутствует понятие «твоя карта». Теперь сложим эти три карты в колоду: сверху карта Йа, потом карта Ва и нижняя – карта Хи. Если у нас нет бумаги и мы не можем изготовить такую колоду, мы должны попросить островитян сделать мысленный эксперимент: представить эти три карты именно в таком порядке. Почему выбран именно такой порядок карт? Чуть позже мы дадим этому пояснение. В дальнейшем в вопросах будет встречаться понятие «одна карта лежит в колоде на другой». В данном случае мы

КРУЖОК

понимаем это так: карта находится в колоде выше другой, и эти две карты являются соседними в колоде. Таким образом, в нашей колоде карта Йа лежит на карте Ва, а карта Ва лежит на карте Хи. Но карта Йа НЕ лежит на карте Хи. Теперь мы можем перейти непосредственно к вопросам, которые должны определить, кто из островитян кто.

Решение задачи 3

Первый вопрос

Спросим у мистера А следующее: «Лежит ли твоя карта в колоде на карте мистера Б?» Докажем, что в случае ответа «йа» на этот вопрос, мистер Б – не хитрец (он рыцарь или лжец), а в случае ответа «ва» на этот вопрос мистер В – не Хи. Заметим, что если А – мистер Хи, то ни Б, ни В не могут быть Хи, что нам и нужно. Предположим, что мистер А – не Хи, и рассмотрим варианты его ответов на вопрос. Пусть А ответил «йа». Вариант 1: мистер А – это мистер Йа. Тогда утверждение в вопросе истинно, и карта мистера А – это карта Йа. Так как в колоде карта Йа лежит на карте Ва, то мистер Б – это мистер Ва. Вариант 2: мистер А – это мистер Ва. Раз мистер Ва ответил «йа», то утверждение «карта мистера А лежит на карте мистера Б» – ложно. Значит, карта Ва не лежит на карте мистера Б. По определению колоды карта Ва лежит на карте Хи. Значит, мистер Б – не Хи. Пусть А ответил «ва». Вариант 1: мистер А – это мистер Йа. Утверждение в вопросе ложно. Карта Йа лежит в колоде на карте Ва и не лежит на карте Хи. Значит, мистер Б – это Хи, а мистер В – это мистер Ва. Вариант 2: мистер А – это мистер Ва. Утверждение истинно. Карта Ва лежит в колоде на карте Хи. Значит, мистер Б – это Хи, а мистер В – это мистер Йа.

Второй вопрос

Первым вопросом мы из мистеров Б и В определили того, который точно не является хитрецом. Второй вопрос нужно задать именно этому, не являющемуся хитрецом, островитянину. В обоих случаях вопрос будет один и тот же и будет очень похож на предыдущий: «Лежит ли твоя карта в колоде на карте мистера А?» Как мы видели выше, ответ на этот вопрос указывает нам среди двух островитян (тех, которым не адресован текущий вопрос) одного, который точно не является мистером Хи. Для определенности рассмотрим случай, когда вопрос задается Б. Тогда или А, или В – не Хи. Пусть В. Тогда Хи – это мистер А. Аналогично во всех возможных случаях мы узнаем того, кто является мистером Хи.

Третий вопрос

Итак, предыдущими двумя вопросами мы нашли среди островитян мистера Хи. Как и в решении задачи 2, зададим любому из двух оставшихся жителей острова вопрос-«индикатор» рыцарей и лжецов «Йа – это Да?» и тем самым узнаем, кто есть кто. Алгоритм предъявлен и задача решена! Приведенное решение идейно близко к оригинальному решению Дж. Булоса. Однако две мысленные конструкции – новые имена людей и колода карт (отношение среди новых имен) – позволили избежать условных высказываний, а

ОЛИМПИАДЫ

XXII Международная олимпиада «Интеллектуальный марафон»

Международный интеллект-клуб (МИК) «Глюон» в рамках международной программы «Дети. Интеллект. Творчество» при участии МГУ имени М.В.Ломоносова, Института педагогических исследований одаренности РАО (г. Новосибирск) и при поддержке Фонда некоммерческих программ «Династия», компаний «Кирилл и Мефодий», «Физикон», «1С», Издательского Дома «Первое сентября» и журналов «Квант», «Потенциал» провел XXII Международную тестрейтинговую олимпиаду «Интеллектуальный марафон». Олимпиада проходила с 12 по 19 октября 2013 года в Барселоне (Испания) на территории уютного отеля «Golden Palace», который расположен на берегу Средиземного моря. На олимпиаду приехали школьники из разных регионов России и Казахстана. В качестве наблюдателей были представители Испании, Великобритании и Польши. Одаренные школьники, проявившие интерес к фундаментальным наукам, соревновались в командных и индивидуальных турах по математике, физике, истории научных идей и открытий. В одиннадцатый раз участвовали в олимпиаде школьники, интересующиеся экологией и биологией, соревнуясь в командном туре по истории научных идей и открытий и в индивидуальных турах по биологии и экологии. Педагоги и психологи собрались на свою научную сессию в пятый раз. В рамках олимпиады прошел также II Международный математический турнир имени М.В.Ломоносова для учащихся 5–8 классов (олимпийский резерв олимпиады «Интеллектуальный марафон»). Число участников выросло по сравнению с прошлым годом, что усилило накал интеллектуальных соревнований среди младших школьников. Абсолютным победителем олимпиады «Интеллектуальный марафон-2013» по фундаментальным наукам в командном зачете стала команда лицея 4 из Таганрога (Россия). Ей был вручен главный приз соревнований – Суперкубок. Команда была также лучшей в туре по истории научных идей и открытий и призером в турах по математике и физике. Второе место в общем зачете заняла команда Областного центра дополнительного образования одаренных детей из Ростова-на-Дону (Россия). Она также заняла первое место по математике, второе место по истории

научных идей и открытий и третье по физике. Команде были вручены большой кубок за второе место в общем зачете и соответствующие дипломы за успехи в командных соревнованиях. На третье место вышла команда лицея 2 из Альметьевска (Россия). Она также заняла первое место по физике. Ей были вручены кубок и диплом. В индивидуальных соревнованиях абсолютным победителем олимпиады стал Булат Ибрагимов, ученик лицей 2 из Альметьевска. Ему были вручены большая золотая медаль и малая серебряная медаль по физике. Вторым призером в общем зачете стал Кирилл Заруба (лицей 4, Таганрог). Он получил большую серебряную медаль и малую золотую медаль за первое место по физике. Большую бронзовую медаль в общем зачете завоевала Юля Шенщина (лицей 4, Таганрог). Олег Клименко (лицей 13, Ростов-на-Дону) был награжден малой золотой медалью по математике, Камиль Лотфуллин (лицей 2, Альметьевск) получил малую серебряную медаль по математике и Руслан Супрунов (школа 9, Гуково) получил малую бронзовую медаль по математике. Дмитрий Кисель (лицей 4, Таганрог) был награжден малой бронзовой медалью по физике. На II Международном математическом турнире имени М.В.Ломоносова среди учащихся 7 – 8 классов победителем стал Роман Тынянко (Областной центр дополнительного образования одаренных детей, Ростов-на-Дону). Призерами стали Владислав Акавец (лицей «Классический», Ростов-на- Дону), Михаил Борисов (лицей 24, Волгодонск), Динасыл Койлыбай (НИШ, Актобе, Казахстан). Среди учащихся 5–6 классов на турнире победителем стал Евгений Примак (лицей «Классический», Ростов-на-Дону). Призерами стали Степан Шелепов, Арсен Джукусов, Тимур Сарсенбаев, Айша Шень (команда Келешек, Алматы, Казахстан). Все победители и призеры получили различные подарки и призы от организаторов и спонсоров олимпиады. Международный интеллект-клуб «Глюон» приглашает региональные центры, школы, лицеи и гимназии, работающие с одаренными детьми, принять участие в XXIII Международной олимпиаде «Интеллектуальный марафон», которая пройдет в октябре 2014 года в Марокко. Заявки на участие присылайте по адресу: 115522 Россия, Москва, Пролетарский проспект, д.15/6, корп.2, МИК «Глюон» Телефон: (495)517-8014, факс: (495)396-8227 E-mail: gluon@yandex.ru Сайт: http:www.gluon.ru

ЗАДАЧИ ОЛИМПИАДЫ ПО ФУНДАМЕНТАЛЬНЫМ НАУКАМ

Устный командный тур

Математика

Командный тур олимпиады по физике

1. За 2 года завод снизил выпуск продукции на 51%. Каждый год он снижал его на одинаковое количество процентов. На какое? 2. Разрежьте квадрат на 3 части, из которых можно сложить остроугольный неравнобедренный треугольник.