Квант 2014, №5-06 · Страницы

17

ХИЩНИК

И

ЖЕРТВА:

УРАВНЕНИЯ

щего из хищников одного вида, питающихся только одним видом жертв. А это бывает крайне редко. Обычно на одной территории проживают несколько видов хищников, питающихся несколькими видами животных, в том числе и хищниками. Каждая система «хищник–жертва» имеет свою собственную частоту и свою собственную фазу колебаний. Если таких систем много и они перекрываются между собой, то колебания численности животных становятся меньше. Механизм гашения здесь такой же, как в случае маятников, колеблющихся с разными периодами. И все же бывают такие случаи, когда на большой территории один вид хищников противостоит только одному виду жертв. В результате численность этих видов претерпевает со временем очень большие изменения, что полностью согласуется с моделью Вольтерра–Лотка. Классическим примером этого может служить сообщество «рысь– заяц» в районе Гудзонова залива в Северной Америке. На рисунке 3 показано,

Рис.3. Данные промысла зайца (синяя кривая) и рыси (красная кривая) в Гудзоновом заливе в течение второй половины XIX века

как изменялся ежегодный отлов рысей и зайцев (в тысячах единиц) одной из североамериканских компаний в течение последовательных 50 лет. Неужели мы «попали в десятку» и, даже не побывав в Гудзоновом заливе, прекрасно разобрались во взаимоотношениях рысей и зайцев, обитавших там сотню лет тому назад? А может, это случайное совпадение? Ведь только что описанная модель очень груба. По установленным в ней правилам хищники умирают только от голода, а их жертвы – только в пасти хищников. Но мы-то знаем, что и тех и других ждет еще смерть от старости. Да и животные обрисованы в модели очень примитивно. Где вы видели животных, которые не умнели бы с возрастом? Кроме того, в компьютере хищники и жертвы перенумерованы и двигаются не одновременно, а по очереди. А вдруг результат моделирования изменится, если животных перенумеровать по-другому? Или, например, поместить особей не на прямоугольную сетку, а на треугольную? Или, может быть, нельзя использовать плоскую модель, а нужно поместить хищников и жертв в узлы пространственной сетки? Можно убедиться, что подобные «технические» видоизменения модели не влияют заметным образом на результаты. Однако если правила поведения жертв и хищников изменить более существенно, последствия

СОСУЩЕСТВОВАНИЯ

могут быть весьма значительными. На рисунке 2,е показаны результаты моделирования, если полагать, что рыбы стали «осторожными», т.е. перед тем как сделать очередной свой шажок, они оглядываются вокруг. И если рядом обнаружится акула, рыба поплывет в противоположную от хищника сторону. При таком алгоритме поведения рыб значительные и регулярные колебания численности особей возникают гораздо реже. Вопросы о корректности модели возникают почти всегда, когда пытаются моделировать сложные процессы в природе и обществе. С одной стороны, всякое моделирование невозможно без упрощения процесса, без пренебрежения второстепенными деталями. С другой, есть риск «переупростить» модель, отбросив важные черты явления, – ведь довольно трудно понять, какая черта процесса второстепенна, а какая нет, пока он не изучен. Поэтому задача исследователя – найти золотую середину, создать модель процесса, не лишая его первостепенных черт. И здесь нельзя дать никаких «верных» рекомендаций – приходится надеяться только на опыт и интуицию. Попробуйте и вы, читатель, изменяя параметры описанной модели, вдохнуть в нее больше жизни. Удачи вам!

Экология и физика (вместо заключения) Тому читателю, который добрался до конца наших рассуждений, будет интересно и приятно узнать, что, наблюдая за захватывающими приключениями акул и скумбрий, он одновременно и совершенно бесплатно приобрел представление, например, о… кинетике химических и ядерных реакций. (Кинетика описывает развитие процесса во времени.) Частицы – назовем их реагентами – за счет диффузии движутся, встречаясь друг с другом, вступают в реакции, в которых они «гибнут», производят новые частицы и т.д. Размножение рыб соответствует, например, цепной ядерной реакции, их умирание – поглощению частиц в реакторе. Для решения таких задач обычно используют как раз один из описанных нами приемов. Записывая уравнения, похожие на уравнения (1), получают более грубое, усредненное понимание того, как меняется со временем количество частиц в системе. Другой подход – компьютерное моделирование системы – позволяет получить более подробное (с учетом пространственных неоднородностей) описание процессов, но требует гораздо больших затрат компьютерною времени. Решая эти задачи, физики активно используют качественный экспресс-анализ, моделируют систему на современных компьютерах, ломают голову над тем, какие «правила игры» больше соответствуют реальной системе. Словом, делают то же самое, что делали мы с вами, решая «чисто экологическую» задачу – исследуя численность популяций в животном мире. А казалось бы – что общего между физикой и экологией?

ИЗ ИСТОРИИ НАУКИ

Каким я запомнил П. Л. Капицу

Ю.ЦИПЕНЮК

ВОСЬМОГО ИЮЛЯ 2014 ГОДА ИСПОЛНИЛОСЬ 120 ЛЕТ СО дня рождения выдающегося ученого Петра Леонидовича Капицы. Мне посчастливилось более 20 лет работать рядом с ним в созданном им Институте физических проблем (ИФП), который сейчас носит его имя. Институт физических проблем очень небольшой – в нем около 50 научных сотрудников, и, став сотрудником ИФП, я, естественно, часто встречался с Петром Леонидовичем. Общение с ним оставило очень яркое впечатление, так как он был мудрым человеком, его поступки и суждения были всегда неординарными. У Петра Леонидовича нет учеников в обычном понимании, когда руководитель постоянно обсуждает с учеником методы решения поставленной задачи, полученные результаты и пути дальнейшего развития исследований. Но реально у него очень много учеников – тех, кто унаследовал стиль его работы, умение критически анализировать как свои результаты, так и результаты других ученых, тех, для которых его активная гражданская позиция стала и своей позицией. Портрет Петра Леонидовича Капицы для меня складывается как пазл из множества эпизодов. Некоторые из них приведены ниже.

• • • Я впервые появился в ИФП в 1960 году, будучи еще студентом IV курса Московского физико-технического института (МФТИ). Дело в том, что обучение студентов на старших курсах в научно-исследовательских институтах было заложено создателями МФТИ, одним из которых был и П.Л.Капица. Он считал, что для воспитания творческих молодых исследователей надо, чтобы как можно раньше они приобщились к научной работе под руководством активно работающих в науке ученых. Я попал в группу его сына Сергея Петровича, который набирал студентов для работы на созданном им электронном ускорителе – микротроне. Вначале я занимался вопросами измерения высокочастотных полей в ускоряющих резонаторах, а в качестве дипломной работы С.П.Капица предложил мне рассмотреть вопрос о том, как можно на микротроне изучать открытый недавно эффект Мёссбауэра. Прошло 3 месяца изучения этого явления, но я не смог предложить какие-либо разумные эксперименты. Сергей Петрович призвал на помощь академика Ю.М.Кагана, который высказался категорично: «У вас ничего не получится». Создалась патовая ситуация. Сергей Петрович поговорил с отцом, который сказал: «Он же сделал хорошую работу на V курсе, пусть и защищает ее досрочно. Уже был прецедент с Андреевым, учеником Ландау. Почему теоретики могут защищаться досрочно, а экспериментаторы нет?» Вот так я успешно защитился, и меня оставили работать в институте. В связи с этим надо отметить, что Петр Леонидович всегда очень внимательно относился к дипломным работам студентов. Он считал, что начало пути у молодого человека обязательно должно быть успешным, чтобы он

Петр Леонидович Капица поверил в свои силы. Надо в качестве тем дипломных работ давать только те, о которых заведомо известно, что они могут быть сделаны.

• • • В 1960 году в Москву приехал Нильс Бор, и, естественно, он посетил Институт физических проблем, с директором которого, П.Л.Капицей, он был связан долгими годами дружбы. Было опасение, что на выступление Бора захотят прийти очень многие, и на входе был устроен «face-контроль», т.е. пропускались только знакомые научные сотрудники. Конференц-зал был, конечно, заполнен, но ажиотажа не было. Когда это стало ясно, нам, студентам, разрешили сесть в задних рядах. Я навсегда запомнил добрую улыбку на лице Нильса Бора, искрометное остроумие Капицы, фантастически дружелюбную обстановку в зале. Представляя аудитории Бора, Петр Леонидович сказал: «Каждый школьник знает, что атом Бора это не атом бора, а атом водорода». Мне особенно запомнился один эпизод из этого семинара. Капица спросил Бора, почему молодые люди со всего мира так стремятся поработать в его Институте теоретической физики в Копенгагене. Переводил всю дискуссию Евгений Михайлович Лившиц. Как перевел Лившиц, Бор ответил: «Мы никогда не боимся сказать молодому человеку, что он говорит чушь». И тут зал взорвался, послышалось: «Женя, ты неправильно перевел». Лившиц переспросил Бора и, извиняясь, поправился: «Нильс сказал, что они никогда не боятся показаться дураками». На это мгновенно отреагировал Капица, сказав, что разница между Бором и Ландау заключается в том, что, когда собеседник неправ, Ландау говорит: «Вы дурак», а Бор говорит: «Это удивительно».
• • • В 60-е годы на телевидении появилась новая молодежная развлекательная передача «3+2», в которой соревновались в эрудиции вначале на местах, а на окончательном этапе прямо в студии. Участники должны были отвечать на вопросы по различным областям знаний – биологии, физике, химии, радиотехнике и т.д. Петра Леонидовича попросили быть членом жюри по физике, но он, конечно, отказался и порекомендовал меня (я не знаю, почему он так решил). Когда на следующее утро я появился в Институте, меня разыскал референт Капицы и сообщил, что в кабинете у

24

КВАНТ 2014/№5-6

Петра Леонидовича собралась команда молодых ученых, которые хотят организовать новый журнал для школьников «Квант», и что он просит меня прийти. Когда я зашел в кабинет, все были в сборе, и Капица сказал: «А вот и наша телевизионная звезда». Я засмущался и ответил: «Ну какая же я звезда», на что Капица мгновенно отреагировал: «Но я же не сказал, звезда какой величины!»

• • • В начале 60-х годов в Институте появилось довольно много молодых инициативных сотрудников, и, что совершенно естественно, у них было желание как-то проявить себя, показать свой молодой задор. Так, например, возникла идея организовать специальный молодежный физический семинар, на котором можно было бы обсуждать не только законченные работы, но и те, которые «буксуют». Основание для этого, казалось бы, были разумные: на взрослом семинаре молодой человек часто смущается высказать свои суждения. Когда об образовании молодежного семинара попросили Капицу, он не возражал, но ненавязчиво сказал: «Конечно попробуйте, но эта идея мне кажется нежизнеспособной. Наука не может быть взрослой и молодежной, ее критерии одинаковы для всех возрастов. А участвовать в научных дискуссиях молодым людям надо учиться, дискуссия – это движущая сила науки, она запрограммирована в самой ее природе». Такой семинар был организован, но, как и предсказал Капица, просуществовал недолго.
• • • Петр Леонидович неизменно подчеркивал первостепенную важность эксперимента. По его мнению, эксперимент нужно стремиться поставить так, чтобы он привел к обнаружению новых фактов, на основании которых можно сделать утверждения, не зависящие от существующих представлений. Особенно ценной является такая работа, результаты которой противоречат имеющимся представлениям. Экспериментальную работу, только подтверждающую существующие предсказания теории, Петр Леонидович часто в шутку называл «закрытием».
• • • Разрабатывая теорию генераторов коротких волн нового типа, Капица, в частности, выдвинул свою гипотезу о природе шаровой молнии. Основной проблемой был вопрос, почему шаровая молния так долго существует, откуда берется энергия для поддержания высокой температуры. Петр Леонидович высказал предположение, что энергия поступает из облаков по каналу разряда, как по волноводу. Молодые сотрудники Института во главе с инициативным Е.Л.Косаревым предложили проверить это предположение, для чего была организована экспедиция в горы Армении. Если прав Капица, то во время грозы должно наблюдаться мощное электромагнитное излучение в области сверхвысоких частот. Излучение практически не обнаружили, но по результатам этой экспедиции была написана статья для публикации в журнале технической физики. В соавторы статьи, как это обычно принято, был включен и Капица – он поддержал эту работу, достал деньги для экспедиции, был фактически ее идейным вдохновителем. Текст статьи передали Капице для ознакомления. Через несколько дней референт Петра Леонидовича возвратил статью, из соавторов которой был исключен Капица, и сказал: «Петр Леонидович не подписывает работы, в которых он непосредственно не участвовал. В данном случае, так как он действительно принимал участие в организации экспедиции, он написал короткую вступительную статью о цели и задаче экспедиции, которая и послана одновременно с вашей статьей в печать».

• • • В 1974 году наш институт готовился отмечать 80-летие Капицы. Готовилось специальное шоу, в котором запрещались официальные и неофициальные восхваления. Все сотрудники придумывали различные шутки и розыгрыши. В один из дней я проходил мимо комнаты, где трудился А.И.Шальников. Увидев меня, он пригласил зайти и показал вырезанную откуда-то карикатуру. На ней был изображен кентавр, который, не умещаясь в кабине грузовика, сидел в кузове, а руки его были просунуты на руль через окна кабины (в древнегреческой мифологии кентавр – это существо с конским туловищем и человеческой головой, грудью и руками). Я, ничего не понимая, спросил Шальникова, что это значит. Александр Иосифович был очень эмоциональным человеком, он выхватил у меня из рук эту карикатуру со словами: «Дуракам не понять!» Лишь потом я узнал, что Капицу называли кентавром и что А.И. хотел предложить мне использовать эту карикатуру в готовящемся капустнике.
• • • В конце 70-х годов я написал докторскую диссертацию и собирался защищать ее в Объединенном институте ядерных исследований в Дубне. Для защиты надо было представить с моего места работы характеристику. Когда я обратился с такой просьбой, мне ответили – сам напиши, а мы подпишем. Как раз в это время я зашел к Капице в кабинет по какомуто делу, и он меня спросил, как продвигаются дела с моей защитой диссертации. Я ему пожаловался, что сам должен писать, какой я хороший, умный и творческий работник. Тут у Петра Леонидовича сверкнули глаза, и он говорит: «Так принято, это правило игры. Разве, когда вы пишете “Дорогой Иван Иванович”, он вам действительно дорогой? Идите и не дергайтесь».
• • • Еще работая в Кембридже (Англия), Петр Леонидович организовал семинар, на котором докладывались все новые научные результаты. Приехав в Москву, он в Институте физических проблем организовал такой же семинар, известный всем как «капишник». Преимущественно на этом семинаре выступали физики, но иногда и ведущие ученые из других областей науки. Так, я помню, как на капишнике рассказывал о достижениях в биофизике Е.А.Либерман, а об автоколебательных химических реакциях – А.М.Жаботинский. Однажды на капишнике выступил известный философ Г.И.Наан с докладом «Единица так же неопределенна, как бесконечность». Капица всегда предупреждал докладчика, что должно остаться 10 минут для обсуждения. Когда Наан закончил свое выступление, Петр Леонидович заметил: «То, что единица так же неопределенна, как бесконечность, это достаточно очевидно. Но у меня к Вам такой вопрос: для чего физикам нужны философы?» В зале воцарилось молчание, но Наан, не смущаясь, ответил: «Мы должны предостерегать вас от скатывания в идеализм, наивный материализм и субъективизм». На это Петр Леонидович заметил: «Очень жаль, что вы взяли на себя функции милиции».
• • • В любом коллективе случаются раздоры, произошло это и у нас, и один из участников конфликта вынужден был перейти на работу в университет. Через несколько лет он написал докторскую диссертацию, в которую вошли и результаты, полученные им в нашем институте. Соавтором этих работ был другой участник конфликта, и на заседании Ученого совета он выступил с заявлением, что эти результаты не могут быть включены в диссертацию, так как роль диссертанта в их получении не была решающей.

25

ИЗ

ИСТОРИИ

Реакцию Капицы на это заявление я запомнил навсегда. Петр Леонидович сказал следующее: «Я хочу рассказать вам по этому поводу следующую притчу. По берегу реки шли трое друзей и собака. И тут один из них сказал: “Смотрите, на противоположном берегу лежит какой-то пакет, там может быть что-то ценное”. Тогда другой спутник сказал: “Пусть наш третий друг, собака которого идет с нами, прикажет ей переплыть реку и принести пакет”. Так и сделали, и в пакете действительно оказались ценные вещи. И вот тут начались споры. Первый говорит: “Я увидел пакет, и мне полагается большая часть”, на что второй возразил: “Но я придумал, как достать этот пакет”, а третий заметил: “Что бы вы делали без моей собаки!” Это типичная ситуация в науке. Теоретик предсказал некое явление, экспериментатор придумал, как можно проверить его, а другой экспериментатор поручил провести измерения своему аспиранту. Когда результат получил признание, начинаются споры, кто внес основной вклад. Аналогичная ситуация возникает во многих областях человеческой деятельности. Я спрашивал у английских юристов, как они поступают в этих случаях, ответ был однозначным – успех разделяется между участниками поровну. Поэтому и в нашем случае все соавторы равноправны и могут при необходимости использовать полученные результаты».

• • • Петр Леонидович считал, что он должен знать о жизни своих сотрудников все, и, если мог, никогда не отказывал в решении различных бытовых проблем. В этой связи я вспоминаю следующий случай. С одним из молодых сотрудников случилась беда – через несколько месяцев после свадьбы у него умерла жена от рака. Его друзья все время обсуждали, как можно было бы смягчить это горе. Вспомнили, что он очень хочет побывать на Дальнем Востоке, но поехать молодому человеку не по карману. Выход есть – поехать туда в командировку, но как это можно сделать? Когда Петр Леонидович узнал об этом печальном случае, он очень обиделся, что ему об этом не сказали раньше, а вопрос с командировкой решил очень просто. В то время его сын Андрей Петрович Капица был председателем Президиума Дальневосточного научного центра Академии наук, и Петр Леонидович послал молодого сотрудника, с которым случилось такое несчастье, в командировку на Дальний Восток «для ознакомления с работой Дальневосточного филиала».
• • • В СССР обычной практикой были поездки работников научных учреждений для уборки урожая в колхозы, работы на овощных базах по сортировке овощей, их погрузке и разгрузке. Считалось, что научная работа от этого не пострадает. Иногда раздавалась команда «Аврал!» – не успевают что-то сделать какие-то городские службы. Так, однажды из райкома партии пришло требование, чтобы Институт выделил пять сотрудников для работы на мусоросжигающем заводе, который строители не успевают сдать в срок. Узнав об этом требовании райкома партии, Капица твердо сказал: «Нет! Они не могут нам указывать, это не наша вышестоящая академическая либо государственная организация!» В ответ на такое непослушание Капицы в райкоме сказали: «Раз так, пусть ваши сотрудники работают на стройке в выходные дни». Когда об этом сообщили Петру Леонидовичу, он среагировал на это весьма своеобразно: «Я не разрешаю своим сотрудникам работать в выходные дни. Что ж получается – они так устанут за эти дни, что, придя в понедельник на работу, будут спать. Я не могу этого допустить». Закончилась эта эпопея тем, что Институт выделил для работ автомашину.

НАУКИ

• • • Петр Леонидович никогда никому не позволял относиться к себе неуважительно. Я вспоминаю один случай в его жизни, который полностью характеризует его с этой стороны. Петру Леонидовичу пришло от руководства страны письмо, в котором его извещали, что он включен в состав весьма представительной делегации для участия в Международной конференции. До начала конференции оставалась одна неделя, но Капицу уверяли, что все проблемы по получению визы и билетов будут успешно решены. Конечно, участвовать в такой конференции и быть в составе делегации от нашей страны было достаточно почетно, но ответ Капицы был неожиданным. Петр Леонидович поблагодарил за приглашение, но при этом написал: «Я вынужден отказаться от участия в конференции. Если руководство делегации хотело моего участия и мне заранее сообщили бы об этом, я бы подготовил выступление, в котором смог бы выразить свой взгляд на обсуждаемые проблемы. Мне предоставили слишком мало времени, чтобы сделать это, а быть в составе делегации для декора я не гожусь». Вот так!
• • • О роли науки в развитии и функционировании общества П.Л.Капица так рассуждал в своем докладе на Международном симпозиуме, посвященном 100-летию со дня рождения Альберта Эйнштейна: «История неизменно показывает, что практически любое крупное научное открытие или теория влияет на развитие цивилизации нашего общества. В особенности это хорошо видно из следующих примеров. Казалось, небольшие по своим масштабам и вначале малоэффектные открытия, сделанные в продолжении прошлых двух веков Франклином, Гальвани, Эрстедом или Фарадеем в области электричества, и их теоретическое обобщение, сделанное Максвеллом, привели к современной электротехнике, на которой в основном зиждется быт и промышленное производство современной цивилизации. Не менее ярко роль науки проявилась в изучении радиоактивности, открытом Беккерелем в 1896 году. Сперва его открытие воспринималось как любопытное, но мало значащее явление природы. Научные исследования Кюри и Резерфорда показали, что это явление имеет фундаментальный характер и связано с процессами, происходящими в ядрах атомов. Со дня открытия этого явления прошло менее 100 лет, а оно уже дало человечеству наиболее мощный источник энергии. Ядерная энергия также дала в руки людям оружие такой уничтожающей силы, что боязнь его применения заставляет государства в корне изменить свое отношение к военным конфликтам».
• • • В заключение я хочу привести слова о П.Л.Капице замечательного советского физика Г.А.Аскарьяна: «Скольким он помог через журналы, которыми руководил, своими лекциями, книгами, деятельностью в МФТИ, в организацию которого он вложил много души и времени. Вот почему его так любили и студенты, и художники, и скульпторы, и поэты, которых он поддерживал в самые тяжелые для них периоды, организуя у себя в институте выставки, выступления. И все это делал просто – как должное, потому что любил науку, человечество, цивилизацию, творчество, искусство и Россию, величию которой он посвятил всю свою жизнь, победоносную и трагическую, среди друзей, поклонников и волков, и прошел по терниям к звездам неба истории. Его звезда будет сиять вечно и ярко. Чаще смотрите на нее, вспоминайте и благодарите свою судьбу за то, что были современниками ее земного восхождения».

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач из этого номера следует отправлять по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присылайте в разных конвертах. На конверте в графе «Кому» напишите: «Задачник «Кванта» №5-6–2014» и номера задач, решения которых Вы посылаете, например «М2356» или «Ф2363». В графе «От кого» фамилию и имя просим писать разборчиво. В письмо вложите конверт с написанным на нем Вашим адресом и необходимый набор марок (в этом конверте Вы получите результаты проверки решений). Решения задач по математике и физике можно присылать также по электронным адресам: math@kvant.ras.ru и phys@kvant.ras.ru соответственно. Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присылайте в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с Вашим решением этой задачи (на конверте пометьте: «Задачник «Кванта», новая задача по физике» или «Задачник «Кванта», новая задача по математике»). В начале каждого письма просим указывать номер школы и класс, в котором Вы учитесь. Задачи М2357, М2358, М2360–М2364 предлагались на заключительном этапе XL Всероссийской олимпиады школьников по математике.

Задачи М2356–М2365, Ф2363–Ф2372

M2356. В клетку на клетчатой плоскости посадили вирус. Вирус живет одну минуту, через минуту он исчезает, но оставляет после себя потомство – в каждой из четырех клеток, соседних по стороне с его клеткой, появляется по новому вирусу. На рисунке показаны стадии размножения вирусов (количество и местоположение) в моменты времени t = 0, 1, 2, 3 мин. Вычислите количество вирусов в начальном поле при t = 10 мин. В.Расторгуев

M2357. Назовем натуральное число хорошим, если среди его делителей есть ровно два простых числа. Могут ли 18 подряд идущих натуральных чисел быть хорошими? О.Подлипский

M2358. а) Трапеция ABCD с основаниями AB и CD вписана в окружность Ω. Окружность $\omega$ проходит через точки C, D и пересекает отрезки CA, CB в точках $A_{1}, B_{1}$ соответственно. Точки $A_{2}$ и $B_{2}$ симметричны точкам $A_{1}$ и $B_{1}$ относительно середин отрезков CA и CB соответственно. Докажите, что точки $A, B, A_{2}$ и $B_{2}$ лежат на одной окружности. б) Сфера $\omega$ проходит через вершину S пирамиды

SABC и пересекает ребра SA, SB и SC вторично в точках $A_{1}, B_{1}$ и $C_{1}$ соответственно. Сфера Ω, описанная около пирамиды SABC, пересекается с $\omega$ по окружности, лежащей в плоскости, параллельной плоскости ABC. Точки $A_{2}, B_{2}$ и $C_{2}$ симметричны точкам $A_{1}, B_{1}$ и $C_{1}$ относительно середин ребер SA, SB и SC соответственно. Докажите, что точки $A, B, C, A_{2}, B_{2}$ и $C_{2}$ лежат на одной сфере. И.Богданов

M2359. На доске нарисован правильный 1001-угольник, вершины которого занумерованы числами 1, 2, ……, 1001. Из картона вырезали такой же правильный 1001-угольник. Можно ли в вершинах картонного 1001-угольника расставить числа 1, 2, …, 1001 (каждое число – по одному разу) так, чтобы при любом наложении 1001-угольников в какой-то вершине оказались равные числа (картонный многоугольник можно переворачивать)? В.Сендеров

M2360. В республике математиков выбрали число $\alpha > 2$ и выпустили монеты достоинствами в 1 рубль, а также в $\alpha^{k}$ рублей при каждом натуральном k. При этом $\alpha$ было выбрано так, что достоинства всех монет, кроме самой мелкой, иррациональны. Могло ли оказаться, что любую сумму в натуральное число рублей можно набрать этими монетами, используя монеты каждого достоинства не более 6 раз? И.Богданов, С.Берлов

M2361. Треугольник ABC (AB > BC) вписан в окружность Ω. На сторонах AB и BC выбраны точки M и N соответственно так, что AM = CN. Прямые MN и AC пересекаются в точке K. Пусть P – центр вписанной окружности треугольника AMK, а Q – центр вневписанной окружности треугольника CNK, касающейся

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Задачи

Когда в Братске полдень – в Гусеве 6 часов утра, а в Комсомольске-на-Амуре 14 часов. А когда в Златоусте полдень – в Елизове 18 часов, а в Гусеве 9 часов утра. Который час в Комсомольске-на-Амуре, когда в Елизове полдень?

Даниил посмотрел рисунок и сказал: – Почему не бывает. Я думаю, что иногда и так может быть. Какую звездочку имела в виду бабушка? Кто прав – бабушка или Даниил?

Существует ли число, которое делится ровно на 50 чисел из набора 1, 2, 3,…, 100?

Разрежьте фигуру на рисунке на три одинаковые части.

В яркий солнечный день свет попадает в окна квартир, и во всех комнатах, окна которых обращены к солнцу, светло. Однако прохожим с улицы окна кажутся темными на фоне стен зданий. Почему? (Предполагается, что стекла в окнах – обычные, без затемнения.)

– Посмотрите, наш Миша сделал на компьютере замечательный рисунок фрагмента звездного неба с неполной Луной. Но одну звездочку он разместил принципиально неправильно. На самом деле так не бывает, – сказала бабушка.

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6–8 классов. Задачи 1, 2, 4, 5, 6 предлагались в этом году на XXXVII Турнире имени М.В.Ломоносова. Авторы задачи 3 – Михаил Коршков, ученик 4 класса, и Даниил Коршков, ученик 6 класса.

Иллюстрации Д.Гришуковой

Лесник считал сосны в лесу. Он обошел 5 кругов, изображенных на рисунке, и внутри каждого круга насчитал ровно 3 сосны. Может ли быть, что лесник ни разу не ошибся?

39

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

ШКОЛЬНИКОВ

Конкурс имени А.П.Савина

«Математика 6–8»

Мы продолжаем очередной конкурс по решению математических задач для учащихся 6–8 классов. Решения задач высылайте в течение месяца после получения этого номера журнала по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» или по электронному адресу: savin.contest@gmail.com (с пометкой «Конкурс «Математика 6–8»). Не забудьте указать имя, класс и домашний адрес. Как и прежде, мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и математических кружков. Руководителей кружков просим указать электронный адрес или контактный телефон. По традиции, кружки-победители заочного конкурса приглашаются на финальный очный турнир.

6. На доске написаны все натуральные числа от 1 до 2015 – некоторые из них красным маркером, остальные – синим. Наибольшее синее число равно количеству синих чисел, наименьшее красное число в два раза меньше количества красных чисел. Сколько красных чисел написано на доске? С. Дворянинов

7. В некоторые 15 точек окружности поставили по фишке. Фишки занумеровали числами 1, 2,…, 15 последовательно по часовой стрелке. За одну операцию разрешается переставить одну из фишек в любую точку окружности, в которой в этот момент нет фишки. За какое наименьшее количество операций можно добиться, чтобы фишки стояли в обратном порядке? Фольклор

8. Три положительных числа x, y, z таковы, что для любого треугольника со сторонами a, b, c существует треугольник со сторонами ax, by, cz. Найдите все такие числа x, y, z. С. Дворянинов

9. Из кубиков 1 ¥ 1 ¥ 1 сложен кирпич 6 ¥ 10 ¥ 15. Кирпич проткнули иглой вдоль его большой диагонали. Сколько кубиков проткнула игла? Фольклор

10. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB и AC в точках M и N. Через середину стороны BC проведена прямая $l_{A}$, перпендикулярная MN. Аналогично определяются прямые $l_{B}$ и $l_{C}$. Докажите, что прямые $l_{A}, l_{B}$ и $l_{C}$ пересекаются в одной точке. Р. Гордин

Как Бусенька училась умножать на одиннадцать

Д.КОХАСЬ, К.КОХАСЬ

БУСЕНЬКА ШЛА ПО ЛЕСУ И НЕОЖИДАННО ПОЧУВ- ствовала что-то необычное. Вернее сказать, не почувствовала, а унюхала. Запах был слегка кисловатый и немного страшный, с легкими цветочными оттенками. Бусенька подозрительно осмотрелась, еще раз принюхалась и с громким визгом бросилась к ближайшей березе. За березой послышалось шуршание, потом урчание, и из-за ствола выглянула симпатичная, но очень зубастая голова какого-то чудища. Монстропитек! – А, Горгулий, это ты. А я уж испугалась, – облегченно вздохнула Бусенька.

Эта статья публикована в журнале «Квантик» №9 за 2014 год.

– Да, это я, извините, – приветливо ответил Горгулий. – Не хотел вас пугать, но по-другому просто не умею. Мы, монстропитеки, ужасно страшные. – Да уж, – согласилась Бусенька. – Но вы еще при этом, как я знаю, очень умные. – Ужасно умные, – подтвердил Горгулий, – а еще мы ужасно вежливые. – Расскажи, Горгулий, как вы, ужасно умные и вежливые монстропитеки, обычно умножаете числа на 11, – попросила Бусенька. Горгулий поморщился. От этого пасть его слегка приоткрылась, и стало видно, что во рту у него не два, а скорее три ряда ужасно острых зубов. Или даже больше. – Не очень-то мы любим умножать на 11, – сказал

40

КВАНТ 2014/№5-6

Горгулий. – Мы вообще не очень любим умножать. Мы предпочитаем делить. – Но ведь умножение – это очень полезная операция, – не смотря на зубы, возразила Бусенька. – Полезная. Но деление все равно лучше. Чтобы умножить число на 11, мы поступаем так. Сначала мы его делим на 9. – Делите? На 9? – Да, на 9. Причем деление мы выполняем с точностью до двух знаков после десятичной запятой. Обратите внимание, мы не округляем частное, а просто отбрасываем все последующие знаки. – И при чем тут умножение на 11? – не поняла Бусенька. – При умножении на 11 число должно увеличиться, а вы делите – значит, оно уменьшается. – Нет, вы меня сначала дослушайте, – сказал Горгулий. – Я же описал только самый первый шаг. Давайте я лучше буду объяснять на примере. Что вам умножить на 11? – Умножь мне 25 на 11. – Хорошо. Первое действие я вам уже объяснил: делим 25 на 9 с двумя знаками после запятой, получаем 25: 9 = 2,77. Теперь второе действие: запоминаем целую часть. В нашем случае это 2. Дальше третье действие: берем частное и записываем его без десятичной запятой. Получается 277. И наконец, последнее, четвертое дейст-

вие – вычитаем из этого результата целую часть, которую мы запомнили на втором шаге. Получилось 275! – Не может быть, – сказала Бусенька, вытаращив свои и без того немаленькие глазки. – Это какое-то шаманство! – Это наиужаснейшее монстрошаманство! – гордо подтвердил Горгулий. – Но вы можете и сами попробовать. – Хорошо. Умножим 90 на 11. Для этого сначала делим 90 на 9 – получается 10. Дальше… – Нет-нет, – вмешался Горгулий, – нужно оставить два знака после запятой. У вас разделилось нацело, значит, после запятой нули. Получается 10,00. – Ага, 10,00. Целая часть – это 10. Теперь пишем предыдущий результат без запятой – 1000 – и вычитаем целую часть, которую запомнили, то есть 10, получается 990. Вау!!! А на другие числа вы тоже так странно умножаете? – Во-первых, не странно. Во-вторых, умножаем и на другие числа. Это любой монстропитенок умеет. – Умножь мне 1000 на 137! – Запросто. Делим 1000 на 73 с четырьмя знаками после запятой… – На 73? – недоверчиво залепетала Бусенька. – С четырьмя знаками?? – С четырьмя, с четырьмя. Вот смотри, 1000: 73 = = 13,6986301… Оставляем четыре цифры после запятой, получается 1000: 73 = 13,6986… Целую часть запоминаем – это 13. Пишем частное без запятой – получается 136 986. Прибавляем к этому результату целую часть, увеличенную на 1, т.е. 14. Итого 137 000. – И Горгулий улыбнулся во все свои три ряда зубов, при этом ужасно радостно подмигнув Бусеньке. Бусенька временно лишилась дара речи. Воздух ушел из легких, и сил оставалось только на частое моргание. Но, наконец, она все-таки пересилила себя и спросила: – И на 17 вы тоже так умножаете? На этот раз монстропитек почему-то смутился. Он посмотрел сначала направо, потом налево, потом опять куда-то направо и произнес: – Ну, ээээ… в общем-то тоже так. – И сколько же будет, если 2 умножить на 17?! – с победными интонациями спросила Бусенька. – Поделим 2 на 588 235 294 117 647 с шестнадцатью знаками после запятой… – стал уныло объяснять Горгулий…

Вежливые гости

Хотя Горгулий и утверждает, что не любит умножать…

Иллюстрация М.Грицук

– Да, я так утверждаю! Ужасно не люблю умножать!

…Но незаметно для читателя он все-таки выполнил одно умножение. В своем первом вычислении он умножил число на 100 в тот момент, когда отбросил десятичную запятую у промежуточного результата.

– Нет-нет, это не считается! Какое же это умножение. Это вычеркивание запятой!

Разберем подробнее, что делает Горгулий. Пусть ему

Я считаю нелепостью допущение, будто тело, находящееся на некотором расстоянии от другого тела, может действовать на него через пустое пространство без всякого посредства. Исаак Ньютон

Многие силы очевидным образом обнаруживаются на расстоянии; их физическая природа для нас непостижима, все же мы… можем до известной степени уяснить себе состояние пространства… между двумя взаимодействующими телами. Такие силы представляются нам в явлениях тяготения, света, электричества, магнетизма и т.д. Майкл Фарадей

Электромагнитное поле – это часть пространства, которая содержит в себе и окружает тела, находящиеся в электрическом или магнитном состоянии. Джеймс Клерк Максвелл

Теория электрического поля Фарадея – Максвелла представляет, очевидно, наиболее глубокое превращение, которое основание физики претерпело со времен Ньютона… Альберт Эйнштейн

Поле оказалось первичным понятием. Элементарные частицы возникают в результате его квантования. Аркадий Мигдал

А так ли хорошо знакомы вам

?

действия полей

В этой подборке эпиграфов – словно конспект почти двухсотлетней истории зарождения и формирования одного из основополагающих физических понятий. Но почему в заглавии упоминаются не просто «поля», а именно «действия полей»? Тому не одна причина. Определить наличие того или иного поля можно прежде всего по тому, как оно влияет – действует – на помещенное в него тело. Хорошо известно такое влияние гравитации, электричества и магнетизма. С ними в первую очередь вы сталкиваетесь и довольно подробно изучаете в школьном курсе физики. Но ими не исчерпываются открытые на сегодня физические поля и их свойства. И вот если от слова «действие» мы перейдем к «взаимодействию», то понятие поля раздвинется, наполнится представлением о нем уже как о посреднике, переносчике, транспортирующем силы от одного тела к другому. Затем естественно задуматься о том, что может играть роль этих переносчиков и нет ли общего в различных видах взаимодействий. Далее развитие идеи поля прямиком приведет нас в современную науку, где к старым знакомым добавятся более новые – сильное и слабое взаимодействия. А позже – и такие весьма экзотические персонажи, как, например, «волновые квантованные поля элементарных частиц». Но не будем торопиться и обсудим сначала те типы полей, с которыми мы уже имели дело, в том числе и в «Калейдоскопе». Однако если раньше они выступали порознь, то теперь соберутся вместе «на одном поле».

Вопросы и задачи

1. По каким орбитам может двигаться космическое тело (планета, комета, спутник, зонд и т.д.), находящееся в поле тяготения другого космического тела? 2. Изменятся ли характер движения Земли и, в частности, период ее обращения вокруг Солнца, когда Солнце станет красным гигантом, т.е. существенно увеличит свои размеры? 3. Как доказать, что Луна движется под действием притяжения Земли?

2. Приливное воздействие гравитационного поля Луны тормозит вращение Земли. Тормозит ли Земля вращение Луны? 5. Бесконечно протяженная тонкая массивная плоскость притягивает материальную точку, находящуюся на определенном расстоянии от нее. Изменится ли сила притяжения, если это расстояние увеличить вдвое? 6. Часто можно встретить утверждение, что силовые линии электростатического поля не пересекаются в пустом пространстве. Вполне ли верно это утверждение? 7. Могут ли силовые линии электростатического поля касаться друг друга в какой-либо точке? 8. Верно ли, что силовые линии электростатического поля – это траектории, по которым двигался бы положительный заряд, если бы его, внеся в это поле, предоставили самому себе? 9. На расстоянии r > R от центра металлической изолированной сферы радиусом R находится заряд Q. Сила, действующая на заряд или на сферу, равна нулю. Заряжена ли сфера? 10. Электростатическое поле образовано двумя разноименными точечными зарядами, равными по модулю. Как направлена напряженность поля во всех точках, одинаково удаленных от обоих зарядов? 11. Как будет действовать поле наэлектризованной палочки на стальную магнитную стрелку? 12. Почему магнитная стрелка вне однослойного достаточно длинного соленоида, по которому протекает постоянный ток, устанавливается поперек его длины? 13. Каково расположение линий магнитной индукции поля замкнутой кольцевой катушки, изображенной на рисунке? 14. К востоку или к западу от магнитного меридиана будет отклонен магнитным полем Земли прямолинейный проводник с идущим по нему сверху вниз током?

15. По проводнику, расположенному в плоскости, как показано на рисунке, течет ток. Найдите индукцию магнитного поля в произвольной точке линии АВ, являющейся осью симметрии проводника. 16. Два круговых проводника расположены перпендикулярно друг к другу. Будет ли возникать индукционный ток в одном контуре при изменениях тока в другом? 17. От каких характеристик частицы зависит форма ее траектории: а) в гравитационном поле; б) в электрическом поле; в) в магнитном поле? 18. Выполняется ли принцип независимости движений для заряженных частиц, движущихся одновременно в электрическом и магнитном полях? 19. В ядре изотопа бора 115 B энергии связи нейтрона и протона заметно различаются. Чем объяснить причину этого различия? 20. Отчего в камере Вильсона $\beta$ -частицы от одного и того же радиоактивного изотопа не обладают одинаковой длиной пробега?

Микроопыт

Если коснуться пальцем стержня заряженного электроскопа, то электроскоп разрядится. Разместите вблизи электроскопа заряженное тело и повторите опыт. Произойдет ли теперь то же самое? Почему?

Любопытно, что…

…задолго до появления термина «поле» Ньютоном было введено представление о силе, присущей данному месту пространства, под названием «ускорительной величины» силы. …использование термина «ускорение свободного падения» зачастую смущает тем, что эта величина позволяет найти вес тела, которое подвешено или неподвижно лежит и вовсе не испытывает ускорения. С точки зрения «полевого подхода», эту величину с равным успехом можно назвать напряженностью поля тяготения. …приливные ускорения на Луне, вызываемые гравитационным полем Земли, примерно в 20 раз больше, чем приливные ускорения на Земле, порождаемые Луной. …десятилетиями в науке продолжались споры либо о существовании неких «агентов» – посредников, передающих «по цепочке» действие от одного тела к другому, либо о прямом, непосредственном воздействии одного тела на другое через пустоту. Приверженность лишь одной из этих концепций – близкодействия или дальнодействия – зачастую некритически приписывалась даже таким ученым, как Ньютон и Фарадей. …провозвестием нынешних попыток объединения физических взаимодействий могут служить устремления ученых первой половины XIX века. Так, Фарадей, будучи «убежден в том, что все силы природы находятся во взаимной связи», искал подобную связь между электричеством и тяготением, между светом и электричеством. А немецкий ученый Вильгельм Вебер создал популярную теорию, объединившую воззрения того времени на электричество и магнетизм. Но метод, успешно примененный Ньютоном для гравитации, при распространении на электромагнетизм приводил к противоречиям. …переменное магнитное поле, как открыл Фарадей, порождает электрическое. Не существует ли в природе обратный процесс, предположил Максвелл. Гипотеза о переменном электрическом поле, возбуждающем магнитное поле и названном Максвеллом «током смещения», была последним принципиальным звеном в построении количественной теории электромагнитного поля. Впервые же экспериментально токи смещения были обнаружены русским физиком Александром Александровичем Эйхенвальдом в 1903 году. …теория Максвелла составила основу классической электродинамики. Согласно ей, электромагнитное поле хотя и отлично от физических тел, но обладает некоторыми их свойствами. Например, оно может характеризоваться импульсом и энергией и распространяться в пространстве. …созданная Эйнштейном специальная теория относительности наиболее полно выявила роль системы отсчета в электродинамике. Электрическое и магнитное поля предстают в ней лишь как частные проявления единого электромагнитного поля, зависящие от выбора системы отсчета. .…в 2012 году на Большом адронном коллайдере в Женеве была открыта новая частица – бозон Хиггса, свидетельствующая о существовании в природе еще одного поля. Оно заполняет все пространство и отвечает за появление массы у элементарных частиц. Авторы теории, ожидавшие ее подтверждения почти полвека, уже через год после открытия новой частицы были удостоены Нобелевской премии. …энергия, выделяющаяся при сгорании одной спички, во много раз больше энергии волн гравитационного поля, излучаемых за то же время всей Солнечной системой. Однако в этом году астрофизикам, видимо, удалось с помощью установленной в Антарктиде аппаратуры зарегистрировать свидетельства наличия этих волн, причем порожденных расширяющейся Вселенной в самые первые ее мгновения.

Что читать в «Кванте» о действиях полей

(публикации последних лет)

1. «Как управлять светом с помощью магнитного поля» – 2010, №1, с.12; 2. «Как устроена пустота?» – 2011, №1, с.2; 3. «Майкл Фарадей и рождение физики поля» – 2012, №1, с.2; 4. «Физический калейдоскоп» – 2012, Приложение №3, с.59, 74, 79, 84, 126, 131, 136; 5. «К открытию бозона Хиггса» – 2012, №5–6, с.2; 6. «Первая и единая теория поля» – 2013, Приложение №3, с.73; 7. «Удивительные свойства электронов» – 2014, №1, с.7; 8. «Премия теоретикам за эксперимент» – 2014, №1, с.16; 9. «На берегу океана непознанного: иллюзия простоты» – 2014, Приложение №2, с.124; 10. «Постоянная Планка – символ квантового века»– 2014, Приложение №2, с.166; 11. «Электромагнитное излучение на пальцах» – 2014, №3, с.28.

Материал подготовил А.Леонович

62

КВАНТ 2014/№5-6

2. Петя и Вася играют в игру на клетчатой доске $n \times n$ (где n > 1). Изначально вся доска белая, за исключением угловой клетки – она черная, и в ней стоит ладья. Игроки ходят по очереди. Каждым ходом игрок передвигает ладью по горизонтали или вертикали, при этом все клетки, через которые ладья перемещается (включая ту, в которую она попадает), перекрашиваются в черный цвет. Ладья не должна передвигаться через черные клетки или останавливаться на них. Проигрывает тот, кто не может сделать ход; первым ходит Петя. Кто выиграет при правильной игре? Н.Полянский

3. Положительные рациональные числа a и b записаны в виде десятичных дробей, у каждой из которых минимальный период состоит из 30 цифр. У десятичной записи числа a – b длина минимального периода равна 15. При каком

наименьшем натуральном k длина минимального периода десятичной записи числа a + kb может также оказаться равной 15? А.Голованов

4. См. задачу М2360 «Задачника «Кванта».

5. Натуральное число n назовем хорошим, если каждый его натуральный делитель, увеличенный на 1, является делителем числа n + 1. Найдите все хорошие натуральные числа. С.Берлов

6. См. задачу М2358,б «Задачника «Кванта».

7. См. задачу М2362 «Задачника «Кванта».

8. См. задачу М2363 «Задачника «Кванта».

ДИПЛОМАНТЫ ОЛИМПИАДЫ

Диплом победителя по 9 классам получили Петров Семен – Ярославль, школа 12, Юргин Григорий – Москва, лицей «Вторая школа», Вепрев Георгий – Рыбинск, лицей 2, Губкин Павел – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Киракосян Александр – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Новиков Святослав – Новосибирск, гимназия 3 в Академгородке, Панаетов Александр – Курган, гимназия 47, Салимов Руслан – Москва, школа 1329, Сафронов Руслан – Гуково, Экономический лицей, Тыщук Кирилл – Санкт-Петербург, ФМЛ 239;

по 10 классам – Лосев Илья – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Богданов Илья – Москва, школа 2086, Гладков Никита – Томск, физико-технический лицей, Ибраева Алина – Москва, школа 179, Селянин Федор – Москва, Центр образования «Пятьдесят седьмая школа», Сергунин Андрей – Новосибирск, гимназия 1;

по 11 классам – Волгин Андрей – Москва, гимназия 1543, Волостнов Алексей – Казань, гимназия 122 имени Ж.А. Зайцевой, Дидин Максим – Переславль-Залесский, гимназия.

Диплом призера по 9 классам получили Карагодин Никита – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Файрушин Айдар – Набережные Челны, гимназия 26, Филиппова Мария – Ижевск, ЭМЛ 29, Ягудин Амир – Казань, лицей 131, Бабушкин Егор – Курган, школа 22, Макеев Владислав – Москва, школа-интернат «Интеллектуал», Соколов Игнат – Курган, гимназия 31, Балакин Андрей – Москва, ФМШ 2007, Крутовский Роман – Москва, гимназия 1514, Нефедов Андрей – Иваново, лицей 33, Жуков Матвей – Санкт-Петербург, ФМЛ 239,

Зайцев Егор – Ижевск, ЭМЛ 29, Овечкин Григорий – Ижевск, ЭМЛ 29, Плюшкин Максим – Краснодар, лицей «ИСТЭК», Хадаев Константин – Новосибирск, гимназия 1, Ахметов Жанат – Курган, гимназия 47, Вирачев Арсений – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Зенкова Яна – Куйбышев, школа 10, Лупуляк Ольга – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Лучкин Вадим – Москва, Центр образования «Пятьдесят седьмая школа», Мосеева Татьяна – Ярославль, школа 33 им. К.Маркса с углубленным изучением математики;

по 10 классам – Макаров Владислав – Санкт-Петербург, школа 450, Фролов Иван – Москва, школа 1329, Ходунов Павел – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Мягков Константин – Санкт-Петербург, ФМЛ 30, Блохина Полина – Москва, СУНЦ МГУ, Куликов Алексей – Санкт-Петербург, ФМЛ 30, Мрыхин Михаил – Ижевск, ИЕГЛ «Школа-30», Очков Дмитрий – Чебоксары, лицей 3, Тарасов Александр – Ангарск, школа 10 с углубленным изучением отдельных предметов, Стороженко Андрей – Омск, гимназия 117, Евтушевский Всеволод – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Думанский Илья – Новосибирск, гимназия 1, Басимова Наталья – Москва, ФМШ 2007, Ипатов Михаил – Москва, СУНЦ МГУ, Зайцев Дмитрий – Москва, школа 2086, Кузнецов Александр – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Белова Татьяна – Нижний Новгород, школа 187 с углубленным изучением отдельных предметов, Зайцева Татьяна – Москва, школа 179, Кудрявцев Дмитрий – Москва, Центр образования «Пятьдесят седьмая школа», Лукьянов Илья – Ульяновск, лицей при УлГТУ, Серков Константин – Челябинск, лицей 31, Фирсов Никита – Долгопрудный, ФМЛ 5, Азанов Михаил – Ульяновск, многопрофильный лицей 20, Васильчишин Сергей – Киров, ФМЛ, Зубрилина Нина – Москва, Центр образования «Пятьдесят седьмая школа», Козлинский Евгений – Краснодар, лицей «ИСТЭК», Румянцев Владислав – Москва, школа 179, Терешко Сергей – Пенза, гимназия 44;

63

ОЛИМПИАДЫ

по 11 классам – Гвоздевский Павел – Апатиты, школа 6 с углубленным изучением английского языка, Данилюк Алексей – Екатеринбург, СУНЦ УрГУ, Клюев Даниил – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Креков Дмитрий – Москва, Центр образования «Пятьдесят седьмая школа», Чернега Никита – Казань, гимназия 122 имени Ж.А. Зайцевой, Яровиков Юрий – Казань, лицей имени Н.И.Лобачевского при КФУ, Зайков Александр – Краснодар, лицей «ИСТЭК», Коротких Сергей – Москва, Центр образования «Пятьдесят седьмая школа», Аникеев Дмитрий – Омск, гимназия 117, Зайцева Юлия – Москва, школа 179, Нарышкин Петр – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Кочкин Иван – Киров, ФМЛ, Зимин Александр – Ульяновск, школа 52, Гаркавый Андрей – Москва, школа 218, Дмитриев Илларион – Москва, школа 179,

Ершов Станислав – Воронеж, школа 1 с углубленным изучением отдельных предметов, Малышева Светлана – Ижевск, ЭМЛ 29, Якубов Ален – Краснодар, лицей «ИСТЭК», Якутов Дмитрий – Пермь, школа 9 имени А.С.Пушкина с углубленным изучением предметов физико-математического цикла, Печатнов Юрий – Барнаул, гимназия 42, Щелчков Дмитрий – Москва, СУНЦ МГУ, Агеева Мария – Ижевск, лицей 41, Зерцалов Андрей – Москва, школа 218, Тихоновская Татьяна – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Власова Надежда – Ярославль, школа 36, Гущенко-Чеверда Иван – Москва, Центр образования «Пятьдесят седьмая школа», Захаров Никита – Магнитогорск, школа 5 с углубленным изучением математики, Киселев Сергей – Омск, лицей 64, Назаренко Вячеслав – Уфа, гимназия 93, Плетнев Никита – Омск, гимназия 117, Стрельцова Елизавета – Москва, лицей 8.

Публикацию подготовили Н.Агаханов, И.Богданов, А.Гарбер, П.Кожевников, О.Подлипский

Заключительный этап XLVIII Всероссийской олимпиады школьников по физике

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ТУР

9 класс

Задача 1. Экстремальная гонка Гоночный автомобиль (болид) преодолевает контрольный прямолинейный участок трассы со средней скоростью $v_{cp}$, причем на всем этом участке он движется в одну и ту же сторону равноускоренно. Вычислите максимально и минимально возможные скорости болида $( v_{max}$ и $v_{min}$ соответственно) в середине контрольного участка трассы. В.Слободянин

Задача 2. На балконе Экспериментатор Глюк бросает шарик от пинг-понга массой m с балкона 17-го этажа вертикально вверх со скоростью $v_{0}$. При полете на шарик действует сила сопротивления, прямо пропорциональная скорости. Перед падением на землю шарик двигался с постоянной скоростью $v_{2}$. Найдите скорость шарика $v_{max}$, при которой его кинетическая энергия меняется быстрее всего в процессе движения. М.Замятнин

Рис. 1

Задача 3. Подводные работы Водолазный колокол в форме цилиндра без дна, частично заполненный воздухом, находится под водой (рис.1). Чтобы колокол не всплывал, его прикрепили тросом к дну водоема. На веревке к колоколу привязан груз, находящийся в воде. Площадь горизонтального сечения колокола $S = 4 м^{2}$, объем воздуха в нем V =

$= 8 м^{3}$ при давлении $p = 1,5 \cdot 10^{5}$ Па. Когда груз в колоколе поднимают над уровнем воды, давление возрастает на $\Delta p = = 250$ Па, при этом трос остается натянутым. Найдите изменение натяжения троса и веревки. Плотность воды $\rho = 10^{3}$ кг $м^{3}$, ускорение свободного падения g = 10 м $c^{2}$. Воздух в колоколе подчиняется закону Бойля–Мариотта: pV = const, где p – давление, V – объем воздуха в колоколе. И.Воробьев Задача 4. Сосулька на нити Через тонкое отверстие, проходящее вдоль вертикальной оси цилиндрической сосульки, продета нить, на конце которой закреплен шарик из материала с очень высоким значением теплопроводности. В начале эксперимента шарик нагрет до некоторой температуры $t_{1}$, а температура сосульки равна температуре окружающего воздуха $t_{0} = 0 ^\circ C$. Из-за таяния льда сосулька опускается вниз (рис.2), а талая вода вытекает в виде капель при температуре $t_{0}$. При этом за шариком остается цилиндрический канал площадью $S = = 2 см^{2}$. 1) Найдите начальную температуру Рис. $2 t_{1}$ шарика, если в процессе эксперимента сосулька перестала опускаться тогда, когда шарик проплавил канал глубиной H = 10 см. 2) Определите скорость $v_{0}$ сосульки на начальной стадии эксперимента, если в момент времени, когда она опустилась на две трети H, ее скорость равнялась $v_{2} = 0,1$ мм/с.

66

КВАНТ 2014/№5-6

Данилюк Алексей – Екатеринбург, СУНЦ УрГУ, Дидин Максим – Переславль-Залесский, гимназия, Федотов Никита – Москва, СУНЦ МГУ, Шишкин Евгений – Пермь, школа 9 имени А.С.Пушкина с углубленным изучением предметов физико-математического цикла.

Диплом призера по 9 классам получили Грудинин Дмитрий – Санкт-Петербург, Президентский физико-математический лицей 239, Байтенов Егор – Рыбинск, лицей 2, Ходаева Ульяна – Железнодорожный Московской области, гимназия 2, Егерев Артем – Саранск, Республиканский лицей – Центр для одаренных детей, Зыков Илья – Балашиха Московской области, школа 9 имени Героя Российской Федерации А.В.Крестьянинова, Окладников Сергей – Москва, лицей 1303, Сикалов Никита – Краснодар, лицей «ИСТЭК», Халайджи Александр – Москва, школа 179, Семенин Никита – Урай, гимназия, Югов Василий – Пермь, школа 146 с углубленным изучением математики, физики, информатики, Артемьев Александр – Киров, ФМЛ, Малинский Антон – Уфа, лицей 153, Москалев Степан – Ижевск, экономико-математический лицей 29, Зикрацкий Гордей – Саранск, Республиканский лицей – Центр для одаренных детей, Андреев Яков – Санкт-Петербург, Президентский физикоматематический лицей 239, Безносиков Александр– Сыктывкар, Республиканский физико-математический лицей-интернат, Каргаполов Иван– Новосибирск, гимназия 6 «Центр Горностай», Тарусов Александр – Москва, школа 853, Раффаэле Делла Пиетра – Москва, лицей «Вторая школа», Лемихов Александр – Петропавловск-Камчатский, школа 33 с углубленным изучением отдельных предметов, Белаковский Михаил – Москва, лицей «Вторая школа», Крымский Станислав – Санкт-Петербург, школа «Плюс»;

по 10 классам – Овчаров Глеб – Саранск, Республиканский лицей – Центр для одаренных детей,

Асриян Норайр – Москва, лицей 1568 имени Пабло Неруды, Гладков Никита – Томск, ФТЛ, Ходунов Павел – Санкт-Петербург, Президентский физикоматематический лицей 239, Бодров Денис – Обнинск, гимназия, Корепанов Георгий – Сибай, гимназия, Солоненко Иван – Новосибирск, СУНЦ НГУ, Утешев Иван – Саранск, Республиканский лицей – Центр для одаренных детей, Карасев Иван – Саранск, Республиканский лицей – Центр для одаренных детей, Воронин Кирилл – Магнитогорск, школа 8, Татаркин Дмитрий – Саранск, Республиканский лицей – Центр для одаренных детей, Стоян Артем – Астрахань, технический лицей, Казарновский Кирилл – Долгопрудный, ФМЛ 5, Мурзин Дмитрий – Челябинск, лицей 31, Максимов Антон – Челябинск, лицей 31, Монаков Григорий – Санкт-Петербург, лицей 533 «Малая Охта», Крюкова Екатерина – Москва, школа-интернат «Интеллектуал», Ляпин Михаил – Москва, Центр образования 1329, Тясин Виктор – Саранск, Республиканский лицей – Центр для одаренных детей, Железнов Николай – Белгород, лицей 38, Заруба Кирилл – Таганрог, лицей 4;

по 11 классам – Захаров Роман – Москва, лицей «Вторая школа», Абашева Анна – Москва, СУНЦ МГУ, Крайнев Виктор – Москва, школа 192, Прокошев Никита – Пермь, школа 9 имени А.С.Пушкина с углубленным изучением предметов физико-математического цикла, Иванов Артем – Москва, лицей «Вторая школа», Ковалев Дмитрий – Королев Московской области, лицей научно-инженерного профиля, Мозоленко Вячеслав – Югра, физико-математический лицей-интернат, Вахрамеев Даниил – Ижевск, лицей 41, Андрейчев Григорий – Новосибирск, СУНЦ НГУ, Волгин Андрей – Москва, гимназия 1543, Калинин Николай – Нижний Новгород, лицей 40, Чердинцев Антон – Оренбург, гимназия 4, Семененко Павел – Москва, СУНЦ МГУ, Толмачев Дмитрий – Екатеринбург, гимназия 9.

Публикацию подготовили С.Козел, В.Слободянин

LV Международная математическая олимпиада

С 3 по 13 июля 2014 года в Южной Африке проводилась LV Международная математическая олимпиада (ММО). Местом проведения олимпиады стала практически самая южная точка Африканского континента – город Кейптаун. Замечательные экскурсии на Столовую гору, к мысу Доброй Надежды, в ботанический сад позволили участникам увидеть неповторимые красоты природы, познакомиться с разнообразной местной флорой и фауной. ММО является одним из самых крупных интеллектуальных соревнований школьников. В 2014 году в олимпиаде приняли участие 560 победителей национальных олимпиад из 101 страны мира. В этом году в сборную России вошли выпускники школы Даниил Клюев из Санкт-Петербурга (ФМЛ 239), москвичи Андрей Волгин (гимназия 1543) и Дмитрий Креков (Центр образования «Пятьдесят седьмая школа»), Максим Дидин из Переславля-Залесского (гимназия), Алексей Волостнов и Никита Чернега из Казани (оба из гимназии 122 имени Ж.А.Зайцевой). Российская сборная выступила достаточно успешно. По

72

КВАНТ 2014/№5-6

оси x описывается формулой

$I_{э} ( x ) = C_{1} e + A_{2}$, где $A_{1}, A_{2}, C_{1}$ – некоторые постоянные. B1. Найдите $A_{1}, A_{2}$ и выразите их через $Z_{ион}, \alpha, e, L, S.$ (2 балла)

$A_{1} x$

Изменение ионного тока $I_{и} ( x )$ вдоль оси x описывается формулой $I_{и} ( x ) = C_{2} + B_{1} e^{B} 2^{x}$, где $B_{1}, B_{2}, C_{2}$ – некоторые постоянные. B2. Найдите $B_{1}, B_{2}$ и выразите их через $Z_{ион}, \alpha, e, L, S, C_{1}$. (0,6 балла) B3. Запишите условие для тока $I_{и} ( x )$ в точке x = L. (0,3 балла)

B4. Запишите условие для токов $I_{и} ( x )$ и $I_{э} ( x )$ в точке x = 0. (0,6 балла) B5. Найдите полный ток I и выразите его через $Z_{ион}, \alpha, \gamma, e, L, S.$ Считайте, что полный ток остается конечной величиной. (1,2 балла)

Пусть коэффициент Таунсенда $\alpha$ постоянен. При длине разрядного промежутка, большей некоторого критического значения: $L > L_{кр}$, внешний ионизатор может быть отключен, т.е. разряд становится самостоятельным. B6. Найдите $L_{кр}$ и выразите его через $Z_{ион}, \alpha, \gamma, e, L, S.$ (0,5 балла)

Публикацию подготовили С.Козел, В.Слободянин

ИНФОРМАЦИЯ

Очередной набор в ВЗМШ

Всероссийская заочная многопредметная школа (ВЗМШ), входящая в структуру московского лицея «Вторая школа» и работающая при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова, в пятьдесят первый раз проводит набор учащихся. Эта школа была создана по инициативе академика И.М.Гельфанда в 1964 году. Многие годы И.М.Гельфанд возглавлял Научный совет школы. ВЗМШ – государственное учреждение дополнительного образования, доступное для всех желающих, причем не только для школьников, пополнить свои знания в одной или нескольких из следующих областей науки: математика, биология, филология, физика, экономика, история (перечисление – в хронологическом порядке открытия отделений). Сейчас ВЗМШ совместно с другими научно-педагогическими учреждениями ведет исследовательские работы по разработке новых интерактивных технологий в образовании и переводу части своих учебно-методических комплексов на язык современных телекоммуникаций. За время существования ВЗМШ удостоверения о ее окончании получили несколько сотен тысяч школьников и тысячи кружков – групп «Коллективный ученик ВЗМШ». Обучение в школе ЗАОЧНОЕ, т.е. начиная с сентября– октября 2015 года все поступившие будут систематически получать специально разработанные для заочного обучения материалы, содержащие изложение теоретических вопросов и методов рассуждений, разнообразные задачи для самостоятельной работы, образцы решений задач, деловые игры, контрольные и практические задания. Контрольные работы учащихся будут тщательно проверяться и рецензироваться преподавателями ВЗМШ – студентами, аспирантами, преподавателями и научными сотрудниками МГУ, а также других вузов и учреждений, где имеются филиалы школы. Многие из преподавателей в свое время сами закончили ВЗМШ и поэтому особенно хорошо понимают, как важно указать, помимо конкретных недочетов, пути ликвидации имеющихся пробелов в знаниях, порекомендовать дополнительную литературу, поругать за невнимательность и похвалить за заметный (а иногда – и за самый маленький) прогресс и трудолюбие. Поступившие в ВЗМШ смогут узнать об увлекательных вещах, часто остающихся за страницами школьного учебни- ка, познакомиться с интересными нестандартными задачами и попробовать свои силы в их решении. Для многих станет откровением, что задачи бывают не только в математике, физике и химии, но и в биологии, филологии, экономике и других науках. Решение задач поможет прояснить и сделать интересными многие разделы, казавшиеся непонятными и скучными. Одна из особенностей учебных программ и пособий ВЗМШ – в том, что они созданы действующими на переднем крае науки талантливыми учеными и опытными незаурядными педагогами. Чтобы успешно заниматься в заочной школе, вам придется научиться самостоятельно и продуктивно работать с книгой, грамотно, четко, коротко и ясно излагать свои мысли, а это, как известно, умеют далеко не все. Возможно, наша заочная школа поможет вам выбрать профессию, найти свое место в окружающем мире. Все выполнившие программу ВЗМШ получают дипломы. Хотя формальных преимуществ они не дают, приемные комиссии многих вузов учитывают, что обладатели этих удостоверений в течение продолжительного времени самоотверженно трудились над приобретением знаний, научились самостоятельно творчески работать, а это значит, что из них получатся хорошие студенты и, в дальнейшем, грамотные, вдумчивые, широко образованные специалисты. Вы сможете получать наши задания как обычной, так и электронной почтой, а также принимать участие в апробации новых интерактивных учебных программ. Для поступления в ВЗМШ надо успешно выполнить вступительную контрольную работу. Приемную комиссию интересует, в первую очередь, ваше умение рассуждать, попытки (пусть поначалу не совсем удачные) самостоятельно мыслить и делать выводы. Преимуществом при поступлении пользуются проживающие в сельской местности, поселках и небольших городах, где нет крупных научных центров и учебных заведений и где получить дополнительное образование можно лишь заочно. Решения задач вступительной работы надо написать на русском языке в обычной ученической тетради в клетку. Желающие поступить сразу на несколько отделений каждую работу присылают в отдельной тетради. На обложке тетради укажите: фамилию, имя, отчество, год рождения, базовое образование (сколько классов средней школы будет закончено к сентябрю 2015 года), полный почтовый адрес (с индексом), откуда узнали о ВЗМШ (из «Кванта», от

73

ИНФОРМАЦИЯ

друзей, из афиш заочной школы и т.п.), на какое отделение хотите поступить. Адрес ВЗМШ: 119234 Москва, Воробьевы горы, МГУ, ВЗМШ, на прием (укажите отделение) Телефон: (495) 939-39-30 Обо всех наших отделениях вы можете узнать на общешкольном сайте ВЗМШ: www.vzmsh.ru На ваши вопросы мы ответим по электронной почте: vzms@yandex.ru Вступительные работы обратно не высылаются. Без вступительной работы, только по заявлению, принимаются на индивидуальное обучение победители областных (краевых, республиканских) туров всероссийских олимпиад по соответствующим предметам, а также участники финальных туров этих олимпиад. Учащиеся ВЗМШ частично возмещают расходы на свое обучение. По просьбе тех, кто не в состоянии внести эту плату, ВЗМШ готова обратиться в школу, в орган народного образования, к другому спонсору с ходатайством об оплате этим благотворителем соответствующих расходов. Помимо индивидуального обучения, на всех отделениях ВЗМШ, кроме экономического и биологического, имеется форма обучения «Коллективный ученик». Это группа учащихся, работающая под руководством преподавателя (школьного учителя, преподавателя вуза, студента или другого энтузиаста), как правило, по тем же пособиям и программам, что и индивидуально. Прием в эти группы проводится до 15 октября 2015 года. Для зачисления группы требуется заявление ее руководителя (с указанием его профессии и должности, со списком учащихся и сообщением о том, в каком классе они будут учиться с сентября 2015 года); заявление должно быть подписано руководителем группы, заверено и подписано руководителем учреждения, при котором будет работать группа. Работа с группами «Коллективный ученик» может оплачиваться школами как факультативные занятия. На Северо-Западе России работает Заочная школа Ленинградского областного Министерства образования, созданная при Санкт-Петербургском государственном университете и имеющая отделения математики, биологии и химии. Желающие поступить на отделение математики, проживающие на Северо-Западе России (в Архангельской, Калининградской, Ленинградской, Мурманской, Новгородской, Псковской областях, Карельской и Коми республиках), высылают вступительные работы по адресу: 197755 Санкт- Петербург, Лисий Нос, Ново-Центральная ул., д.21/7, Северо-Западная ЗМШ (на прием). Проживающие в остальных регионах России, дальнем и ближнем зарубежье высылают свои работы по математике в адрес ВЗМШ или соответствующего филиала. Адреса филиалов математического отделения ВЗМШ: 241035 г. Брянск, ул. Мало-Орловская, д. 8, тел.: (4832) 56-18-08, e-mail: brotek@mail.ru 610002 г. Киров, а/я 2039, ЦДООШ, тел.: (8332) 35-15- 03, 35-15-04, e-mail: sms@extedu.kirov.ru, сайт: http:// cdoosh.kirov.ru 150000 г. Ярославль, ул. Советская, д. 14, тел.: (0852) 11- 82-03, e-mail: olimp@olimp.edu.yar.ru

Ниже вы найдете краткие сведения о каждом отделении ВЗМШ и условия вступительных контрольных работ.

Отделение математики

Изначально ВЗМШ была математической школой (и буква М в аббревиатуре означала «математическая»). Постепен-

но школа расширилась и превратилась в многопредметную, однако отделение математики остается в школе самым многочисленным и востребованным. Нашей основной задачей является углубленное изучение наиболее важных вопросов школьного курса математики, мы расширяем школьные знания и помогаем готовиться к экзаменам. Мы принимаем учиться на все курсы с 0 по 5 (что соответствует 6–11 классам общеобразовательной школы) по результатам вступительной работы. После зачисления в школу ученик получает пособия по программе ВЗМШ, абсолютное большинство которых написано специально для учащихся математического отделения ВЗМШ. Ученик изучает предложенные темы, решает задачи и выполняет по каждой теме контрольную работу, которая проверяется, рецензируется преподавателем школы и вместе со всеми замечаниями и советами отсылается ученику. За каждым учеником на все годы обучения закреплен один и тот же преподаватель, которому в случае необходимости всегда можно задать вопросы. Возможность постоянного поддержания контакта между школьником и его преподавателем в большой степени облегчает сложности, неизбежно связанные с заочной формой обучения. Если вы хотите учиться индивидуально, то надо выполнить вступительную работу, условия задач которой представлены ниже. Решения задач, с которыми удалось справиться, нужно записать в обычной ученической тетради в клетку и выслать простой бандеролью (пожалуйста, не сворачивайте тетрадь в трубку!) в адрес школы. Вступительные работы принимаются также по электронной почте: priem@math-vzms.org. В этом случае работа должна быть в виде файла формата doc или PDF, можно также отсканировать текст и выслать его по электронной почте. На обложке тетради (или в начале работы, высланной электронной почтой) укажите: фамилию, имя, отчество (печатными буквами), год рождения, базовое образование (сколько классов средней школы будет закончено к сентябрю очередного учебного года). Рядом с порядковым номером задачи в скобках указано, ученикам какого класса (имеется в виду тот класс, в котором вы предполагаете учиться с 1 сентября) эта задача предназначается. Вы можете, если хотите, дополнительно решать задачи, адресованные более старшим классам. Не торопитесь, а если задачи не получаются, возвращайтесь к ним несколько раз. Возможно, вы не сможете решить все задачи своего класса, присылайте решения тех, которые сделать удалось. Не забудьте обосновать свои решения, «голый» ответ к задаче решением не считается. Срок отправки вступительной работы – до 1 июня 2015 года. Группы «Коллективный ученик» (на все курсы) принимаются без вступительной работы. Все подробности, связанные с порядком поступления, оплатой и процессом обучения, вы можете посмотреть на сайте отделения или задав вопросы по электронной почте или по телефону. Сайт математического отделения: www.math-vzms.org Электронный почтовый ящик математического отделения: priem@math-vzms.org

Задачи

1 (6–7). Сто человек выстроились в шеренгу. Всегда ли можно их расставить по росту, если за один ход разрешается переставлять только двух людей, стоящих через одного?

74

КВАНТ 2014/№5-6

2 (6–7). Каждая монета весит целое число граммов. Имеется 10 настоящих монет и 11 фальшивых, которые на 1 грамм легче настоящих. Отметили одну монету. Как с помощью одного взвешивания на весах со стрелкой узнать, какая это монета: настоящая или фальшивая? (На вид монеты одинаковые, класть на весы можно любое число монет, весы показывают общий вес.) 3 (6–7). Буратино расставляет по кругу все целые числа от 1 до 100 в каком-то порядке. За каждое число, которое больше обоих своих соседей, он получает монетку. Какое наибольшее число монет может получить Буратино? 4 (6–7). Кот Базилио предложил Буратино игру: сколько бы монет Буратино ни подарил коту, кот в ту же минуту подарит ему вдвое больше монет. Если кот не выполнит обещание, то заплатит Буратино 10 монет, а если выполнит, то Буратино заплатит коту 10 монет. Допустим, что условие игры соблюдается. Может ли Буратино выиграть? 5 (8–9). В 2014 году в школе № 1 доля мальчиков равнялась 50%, а в школе № 2 – 80%. В 2015 году в каждой из школ доля мальчиков не изменилась, однако в двух школах вместе доля мальчиков стала больше, чем в 2014 году. Приведите пример, как такое могло произойти. 6 (8–9). Кузнечик выбирает длину прыжка – целое число сантиметров, а затем прыгает по числовой прямой направо, начиная с нуля. Придумайте, как раскрасить натуральные числа в 2 цвета – красный и синий – так, чтобы кузнечик не мог прыгать сколь угодно долго ни по красным, ни по синим числам, как бы он ни выбирал длину прыжка. 7 (8–9). В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при основании равна одной из сторон. Определите углы треугольника. 8 (8–9). Два города А и В расположены на берегу реки на расстоянии 10 км друг от друга. Пароход может проплыть из А в В и обратно за один час. Больше или меньше времени понадобится ему, чтобы проплыть 20 км по озеру? 9 (10–11). На столе лежат книги, которые нужно упаковать. Если их связывать по 4, по 5 или по 6 в пачку, то каждый раз остается одна лишняя книга, а если связывать по 7 книг в пачку, то лишних книг не остается. Сколько книг могло быть на столе? 10 (10–11). Докажите, что в произвольном треугольнике: а) сумма длин медиан меньше периметра; б) сумма длин медиан больше трех четвертей периметра.

11 (10–11) Известно, что $x_{+}$ что тогда $x_{+}^{8}$

1 – целое число. Докажите, x

1 – тоже целое число. $x^{8}$

12 (10–11) а) Найдите целые числа, удовлетворяющие уравнению x + y = xy; б) найдите целые положительные числа, удовлетворяющие уравнению x + y + z = xyz.

Отделение биологии

Зачисление на отделение проводится на конкурсной основе по результатам приведенной ниже вступительной работы. В конкурсе могут принять участие школьники, которые в этом учебном году занимаются в 8 или 9 классе, независимо от места проживания. Обучение для 8-классников длится 3 года, для 9-классников – 2 года. Учащимся 8 классов необходимо решить задачи 1–3 и одну из задач 4,5, а девятиклассникам – задачи 2,3 и две из задач 4–6. В ответах можно использовать и факты, найденные в литературе, и собственные идеи. Просим для сведений,

почерпнутых из книг, приводить ссылки на источники (для сведений, взятых из интернета, — точный адрес соответствующей страницы). Работу следует выполнить на русском языке в тетради; на обложке укажите свою фамилию, имя, отчество, полный домашний адрес с индексом, номер школы и класс, в котором вы учитесь. Вместе с работой пришлите конверт с маркой и заполненным адресом (для отправки вам решения приемной комиссии). Кроме того, работу можно выполнить в электронном виде и выслать в файле формата doc, docx, rtf, txt или odt на наш электронный адрес: uchenikivzmsh@gmail.com Срок отправки вступительной работы – до 15 июня 2015 года.

Задачи

1. На приусадебных участках выращивают множество растений, завезенных из дальних стран. И большинство из них благополучно выживает в наших условиях. Ясно, что эти растения имеют все шансы распространиться и жить уже независимо от человека. Но лишь незначительная часть из них в достоверно приличном количестве представлена в «дикой» природе. Какие причины могут ограничивать распространение таких иноземных растений? Если можете, для подтверждения ваших соображений используйте конкретные примеры. 2. Объясните, являются ли генетическими клонами: а) все яблоки с одной яблони; б) все картофелины с одного куста; в) все семечки из одного арбуза. В подтверждение своей точки зрения опишите биологические процессы, обеспечивающие генетическое разнообразие (или единообразие) в каждом случае. 3. Опишите возможные механизмы действия противоядий (веществ, которые вводятся в организм, чтобы свести к минимуму негативные последствия отравления тем или иным ядом). 4. Обычный анализ крови, который вам делают при периодических обследованиях в поликлинике, включает определение стандартного набора параметров. Какие болезни и физиологические расстройства могут быть выявлены на основании этого анализа? Перечислите, для каких диагностических целей необходимо определение дополнительных характеристик состава крови. Какие параметры следует измерять в каждом из этих случаев? 5. Как вы понимаете — за что присудили Нобелевскую премию по биологии и медицине осенью 2013 года? Изложите своими словами суть открытия и его значение для дальнейшего развития медицины. 6. От чего зависит время жизни тех или иных клеток человека или другого многоклеточного организма? Объясните, что может вызывать необходимость их гибели и когда она происходит. Постарайтесь предложить как можно больше вариантов ответа.

Отделение физики

Обучение на отделении одно-, двухи трехгодичное. На трехгодичный поток (курс Ф3) принимаются оканчивающие в 2015 году 8 классов средней школы, на двухгодичный (курс Ф2) – оканчивающие 9 классов и на одногодичный (курс Ф1) – 10 классов. Учащиеся, оканчивающие десятый класс, могут пройти ускоренно всю программу за один год (курс Ф0). Для поступления на курс Ф3 нужно решить задачи 1– 5 приведенной ниже вступительной работы, на курс Ф2 – задачи 4–9, на курс Ф1 – задачи 5–10, на курс Ф0 – задачи 4–10.

76

КВАНТ 2014/№5-6

Группы «Коллективный ученик» принимаются без вступительной работы. Если вопросы, предложенные нами, для вас пока сложны, но вы хотите у нас учиться, пришлите информацию о себе, и мы постараемся помочь. Наш e-mail: filologiyvzmsh@mail.ru

Вопросы

1. Перед вами кусочек пушкинской прозы: Марья Гавриловна была воспитана на французских романах и, следственно, была влюблена. Предмет, избранный ею, был бедный армейский прапорщик, находившийся в отпуску в своей деревне. Само по себе разумеется, что молодой человек пылал равною страстию и что родители его любезной, заметя их взаимную склонность, запретили дочери о нем думать, а его принимали хуже, нежели отставного заседателя. а) Попробуйте с позиции носителя современного русского языка проанализировать лексические, морфологические и синтаксические особенности текста. Все ли понятно сегодняшнему юному читателю? б) Подберите 5 эпитетов, которые, с вашей точки зрения, точно охарактеризуют язык и стиль Пушкина-прозаика. 2. Вспомните «говорящие имена» героев Фонвизина, Грибоедова, Гоголя, Чехова, Булгакова… Какие вам особенно полюбились и запомнились и почему? 3. Продолжите синонимический ряд: «убежать» – «дать деру» – … Используйте и слова, и фразеологизмы. В скобках отмечайте, к какому стилю речи принадлежат предлагаемые лексические единицы. 4. Слово (НА)ВСТРЕЧУ может относиться к разным частям речи. Придумайте 3 предложения, чтобы доказать и проиллюстрировать это утверждение.

Отделение экономики

Вся актуальная информация (вступительное задание, условия обучения и пр.) об этом отделении постоянно находится на сайте http://econ4all.ru

Отделение истории

Отделение истории объявляет набор на курс дистантного обучения. Обучение на отделении позволит всем, в том числе жителям самых отдаленных городов и деревень, расширить свой кругозор, подготовиться к поступлению в вуз. Успешно прошедшие курс обучения получают диплом ВЗМШ. Образование в нашей школе можно продолжить, занимаясь на спецкурсах. А зачем нужно изучать историю? Во-первых, это просто интересно. Любопытно знать, как жили когда-то люди, во что одевались, чем питались, о чем думали, что читали, как женились и выходили замуж, за что боролись и «на что напарывались». Во-вторых, это полезно. Только зная прошлое, можно понять настоящее и прогнозировать будущее. Мы поможем вам в этом разобраться. Специально для вас опытные преподаватели пишут книжки. Последние новости из мира истории вы узнаете одними из первых! Историческое образование в конверте – современная форма дополнительного образования. По нашим книжкам вы будете выполнять особые задания и сообщать нам, что вы раскопали. Мы же подскажем, как действовать дальше. Ведь, в сущности, труд историка и состоит из этих раскопок. Историк-археолог, копая землю и песок, отыскивает крупицы ушедших времен; историк-архивариус копается в груде бумаг и достает из архивов и даже из частной переписки все, что может позволить ему понять образ времени; историктеоретик как увлекательный роман читает археологические

таблицы, сухие сводки, статистику и восстанавливает по ним живую ткань ушедшей жизни. У историка особая профессия: он в одном лице следователь, прокурор и адвокат времени. Как к нам поступить? Мы берем тех, кто выполнит приведенное ниже вступительное задание. Срок отправки вступительного задания – до 15 июня 2015 года. Группы «Коллективный ученик» принимаются без вступительного задания.

Задание

1. Отгадайте кто это i Ветеран российского революционного движения. i Занимал высшие государственные должности. i Дважды летал на бомбардировщике через линию фронта. i Дважды попадал в опалу в послевоенное время. i Был исключен из коммунистической партии, но вновь получил партбилет в самом конце своей долгой жизни. i Получил на Западе прозвище «Мистер «Нет». i Брат – известный композитор. Жена три года провела в ссылке. i В честь него были названы города, села, горы, заводы, институты. 2. Опишите, не более чем в 7 предложениях, исторический портрет последнего первого секретаря ЦК КПСС.

Для старшеклассников, готовящихся сдавать ЕГЭ по обществознанию, отделение истории объявляет набор на курс «Обществознание». Обществознание – это свод общественных дисциплин, изучающих все стороны деятельности человека. Некоторые преподаватели называют его винегретом. Вполне удачное сравнение. Как винегрет – составное блюдо, так и обществознание состоит из разных дисциплин. Перемешиваясь, дополняя друг друга, они создают цельную картину общества. Программа курса рассчитана на один год. Обучение носит заочный характер и имеет целью дать выпускникам школ – как крупных городов, так и небольших сел – глубокие знания по общественным дисциплинам, подготовить их к успешной сдаче ЕГЭ. Курс включает следующие дисциплины: философия, социология, политология, теория государства, государственное устройство России, право, экономика. Слушателям напрявляются оригинальные учебные пособия, созданные на основе многолетнего опыта работы авторов курса. Проверка знаний осуществляется с помощью общепринятой системы тестирования. Для записи на курс необходимо отправить заявление до 15 июня 2015 года. В заявлении укажите: фамилию, имя, отчество, свой полный домашний адрес (с индексом!), e- mail, класс, в котором будете учиться с 1 сентября 2015 года. Заявление отправьте по адресу: 119234 Москва, Воробьевы горы, МГУ, ВЗМШ (курс «Обществознание») или на адрес электронной почты: vzms@yandex.ru Для школьников 7–10 классов мы предлагаем два спецкурса по граждановедению. 1. Беседы о правах человека, нравственности, праве, законе и государстве. В этом годовом курсе даются современные представления об основных понятиях, связанных с правом, законом и государством, рассказывается об основах российского законодательства, правах человека. Разбираются примеры судебных процессов, приводятся общекультурные примеры, связанные с направленностью курса. 2. Беседы об основах демократии. Это – полуторагодовой курс.

78

КВАНТ 2014/№5-6

Для получения ответа на вступительное задание и для отправки вам первых заданий обязательно вложите в тетрадь два одинаковых бумажных бандерольных конверта размером $160 \times 230$ мм. На конвертах четко напишите свой домашний адрес.

Очно-заочное отделение (обучение в факультативных группах) Тел./факс: (498) 744-63-51, e-mail: zftsh@mail.mipt.ru Факультативные группы могут быть организованы в любом общеобразовательном учреждении двумя или тремя преподавателями – физики, математики и информатики, в отдельных случаях разрешается обучение только по одному предмету. Руководители факультатива принимают в него учащихся, успешно выполнивших вступительное задание ЗФТШ. Группа (не менее 7 человек) принимается в ЗФТШ по заявлению директора, написанному на бланке общеобразовательного учреждения (образец можно посмотреть в разделе «очно-заочное отделение» сайта ЗФТШ), в котором должны быть указаны фамилии, имена, отчества руководителей факультативной группы и поименный алфавитный список обучающихся (Ф.И.О. полностью с указанием класса текущего учебного года и итоговых оценок за вступительные задания по выбранным предметам, адрес, телефон, факс и e-mail школы). Заявление и конверт для ответа о приеме в ЗФТШ с обратным адресом одного из руководителей следует выслать до 25 мая 2015 года на адрес ЗФТШ (с пометкой «Факультатив»). Адрес ЗФТШ: 141700 Московская область, г.Долгопрудный, Институтский пер., д.9, ЗФТШ. Тетради с работами учащихся проверяются учителями физики, математики и информатики и в ЗФТШ не высылаются. Работа руководителей факультативов может оплачиваться общеобразовательным учреждением как руководство профильными факультативными занятиями по предоставлении ЗФТШ соответствующих сведений. Руководители, работающие с учащимися, в течение учебного года будут получать учебно-методические материалы (программы по физике, математике и информатике, задания по темам программ, решения заданий с краткими рекомендациями по оценке работ учащихся); приглашаться на курсы повышения квалификации учителей физики и математики, проводимые на базе МФТИ. Работы учащихся проверяют и оценивают руководители факультативных групп, а в ЗФТШ ими высылаются ведомости с итоговыми оценками по каждому заданию и итоговая ведомость за год.

Очное отделение (обучение в вечерних консультационных пунктах) Тел.: (499) 755-55-80, e-mail: zftsh@mail.mipt.ru Для учащихся Москвы и Московской области по программе ЗФТШ работают вечерние консультационные пункты. Набор в них проводится по результатам вступительных экзаменов по физике и математике и собеседования, которые проходят в сентябре. Обучение ведется по трем предметам (информатика – по желанию учащегося).

Программы ЗФТШ являются профильными дополнительными образовательными программами и едины для всех отделений. Кроме того, ученикам всех отделений будет предложено участвовать в физико-математической олимпиаде «ФИЗТЕХ-2015», которая, как правило, проводится на базе МФТИ и в ряде городов России в марте, в других очных и заочных олимпиадах МФТИ и его факультетов. Для учащихся 9–11 классов работает субботний online-лекторий по физике и математике по программе ЗФТШ. Лекции

читают преподаватели института (как правило, авторы заданий). Подробнее об этих мероприятиях можно прочитать на сайте ЗФТШ: http://www.school.mipt.ru По окончании учебного года учащиеся, успешно выполнившие программу ЗФТШ, переводятся в следующий класс, а выпускники (одиннадцатикласники) получают свидетельство об окончании школы с итоговыми оценками по изучавшимся в 11 классе предметам. Ученикам, зачисленным в ЗФТШ, будет предложено оплатить безвозмездный целевой взнос для обеспечения учебного процесса. Сумма взноса может ориентировочно составлять для учащихся заочного отделения 1200–1800 руб. за каждый предмет в год, для очного 2100–3000 руб. за каждый предмет в год, для очно-заочного 1600 – 2500 руб. за каждый предмет (с каждой факультативной группы) в год. Для учащихся Украины работает УЗФТШ при ФТННЦ НАН Украины (обучение платное). Желающим поступить туда следует высылать работы по адресу: 03680 Украина, г.Киев, б-р Вернадского, д.36, ГСП, УЗФТШ. Телефон: 8- (10-38-044)424-30-25, 8-(10-38-044)422-95-64. Сайт УЗФТШ: www.mfti.in.ua, e-mail:ftcsch@imp.kiev.ua. Для учащихся из зарубежных стран возможно только платное обучение на заочном и очно-заочном отделениях.

Ниже приводятся вступительные задания по физике, математике и информатике. Номера задач, обязательных для выполнения (заочное и очно-заочное отделения), указаны в таблице (номера классов даны на текущий 2014/15 учебный год):

Вступительное задание по физике

1. Поезд из 15 вагонов и локомотива проходит по мосту длиной L = 300 м. От момента, когда поезд заехал на мост, до момента, когда он с него съехал, прошло $t_{1} = 50 c$. За это время пассажир, возвращавшийся в свой вагон, прошел расстояние, равное длине четырех вагонов. Определите скорость поезда, если известно, что пассажир шел со скоростью v = 1 м/c относительно вагона. Длина локомотива равна длине вагона. 2. По длинному прямолинейному участку шоссе двигаются автобус и мотоцикл. В 12:10 они, двигаясь навстречу друг другу, сближались и находились на расстоянии $L_{1} = 10$ км друг от друга. В 12:50 автобус и мотоцикл уже удалялись друг от друга и находились на расстоянии $L_{2} = 30$ км друг от друга. Определите показания часов в момент их встречи. Автобус и мотоцикл находились в движении все указанное время и не изменяли направление движения. 3. На горизонтальном дне сосуда с вертикальными стенками лежит стальной кубик с ребром l = 4 см. В сосуд налили воды столько, что уровень воды совпал с верхней гранью кубика. Площадь дна сосуда $S = 25 см^{2}$. Кубик начинают поднимать вертикально вверх со скоростью v = 1 мм/с. Через какое время после начала движения кубик окажется вне воды?