Квант 2015, №1 · Страницы

2

КВАНТ 2015/№1

Два графа

Е.СОКОЛОВ

ГРАФ ЛЕВ НИКОЛАЕВИЧ ТОЛСТОЙ В СВОЕЙ ПО- вести «Хаджи-Мурат» так описывает летнее российское разнотравье: «Есть прелестный подбор цветов этого времени года: красные, белые, розовые, душистые, пушистые кашки; наглые маргаритки; молочно-белые с ярко-желтой серединой «любишь-не-любишь» с своей прелой пряной вонью; желтая сурепка с своим медовом запахом; высоко стоящие лиловые и белые тюльпановидные колокольчики; ползучие горошки; желтые, красные, розовые, лиловые, аккуратные скабиозы; с чуть розовым пухом и чуть слышным приятым запахом подорожник; васильки, ярко-синие и голубые на солнце и в молодости и краснеющие вечером и под старость…»

щаяся. На самом деле, солнечный свет – это смесь семи ярчайших цветов, семи цветов радуги. Вы помните их названия? Если нет, то вам поможет фраза: «Каждый Охотник Желает Знать, Где Сидит Фазан». Буква К –

Во всех музеях мира мы встретим натюрморты с цветами

– Как так? Разве васильки бывают красными? – удивился я, откладывая книгу. – Да, нет! Красных васильков не бывает! Однако я был не прав – красные васильки есть! Пришло лето, и в музее-усадьбе «Ясная поляна», где жил и творил великий писатель, я нашел их среди ярко синих полевых васильков. Лев Николаевич был прав!

Как рождается цвет

Мир дан нам в цвете. Физика так объясняет появление цвета. Приходящий к нам от Солнца свет – белый. Мы даже иногда говорим беcцветный. Но эта беcцветность кажу-

В «Ясной поляне» у Льва Николаевича всегда много цветов

3

ДВА

ГРАФА

это красный цвет, О – оранжевый, Ж – желтый, З –… (продолжите этот ряд самостоятельно). – А где в этом ряду черный цвет? А где пурпурный, малиновый, салатный и все те тысячи оттенков, которые наш глаз различает в повседневной жизни?

Это не китайские драконы, а две главные молекулы растительного и животного царств – хлорофилл и гем

Вы не замечали, что в красном всегда есть немного синего?

– Все цвета, которые мы видим вокруг, возникают при смешении семи чистых цветов. Так, линия «алыйпурпурный-лиловый-синий», широко представленная в окраске цветов, соответствует смешению в разных пропорциях красного и синего цвета. А вот черный цвет – это отсутствие света вообще. Так, например, сажа черна именно потому, что поглощает все, что на нее падает.

Упражнение 1. Почему нам всегда видятся черными зрачок глаза и дырочки в розетке? Почему если на покрашенной поверхности есть глубокая ямка, то, как ни заливай ее краской, она всегда будет видна нам как черное пятно? Упражнение 2. А из каких цветов состоит серый цвет?

Итак, приходящий к нам от Солнца свет не имеет цвета. Цвет появляется у него лишь после взаимодействия с веществом. Разные молекулы поглощают разные цвета солнечного света. Поэтому после отражения или прохождения света через вещество в нем остаются только те цвета, которые молекулы отказалась «есть». При соприкосновении с веществом свет становится окрашенным. Если вещество, входящее в состав краски, поглощает все, кроме красного, цвета, то мячик, покрашенный такой краской, на свету будет казаться нам красным, и такую краску, конечно, назовут красной.

Упражнение 3. А каким мы будем видеть этот мячик, при освещении его синим светом?

А если молекулы поглощают шесть цветов из семи: красный, оранжевый, желтый, голубой, синий, фиолетовый, то такую краску назовут… – Конечно, зеленой! А вот вопрос посложнее.

Упражнение 4. Как назовут краску, которая поглощает пять цветов из семи: красный, оранжевый, зеленый, голубой и фиолетовый?

Краски Природы

Молекулы, которые Природа использует в качестве красок, называются пигментами. Самый заметный пигмент на нашей планете – это, несомненно, $C_{55} H_{72} O_{5} N_{4} Mg$, т.е. хлорофилл (от греч. «зеленый» и «лист»). Живой организм, имеющий такие молекулы, мы называем растением.

Атом магния, который находится в центре чудесного кружева из атомов углерода, азота и водорода, поглощает весь падающий свет, кроме зеленого. Этот, оставшийся «несъеденным», отраженный зеленый свет и придает лесам и полям их изумрудный цвет. А сама же молекула хлорофилла после поглощения света приобретает волшебную способность – она начинает синтезировать углеводы из углекислого газа и воды:

$CO_{2} + H_{2} O \to ( CH_{2} O )_{n} + O_{2}$.

Благодаря этой постоянно идущей реакции, на Земле поддерживается жизнь. Если в молекуле хлорофилла атом магния заменить атомом железа, то измененная молекула будет поглощать все цвета, кроме красного. Такую молекулу химики называют «гем» (от греч. «кровь»). Она является главной частью молекулы гемоглобина (от греч. «кровь» и лат. «шар»), которую организм животных, обладающих кровообращением, использует для транспортировки кислорода. Именно эта молекула придает красный цвет крови животных. – Так что же, самые главные молекулы растительного и животного царства близнецы-сестры? – Да, это так! И даже виноградная улитка (Helix pomatia), у которой аристократическая голубая кровь, оригинальна лишь в одном – вместо магния и железа в ее молекуле гемоглобина – медь.

Упражнение 5. Какие цвета поглощает гемоглобин (точнее, гемоцианин) виноградной улитки?

Заканчивается лето, и наступает «золотая» осень. Хлорофилл распадается, и главными поставщиками красок Природы становятся каротин и ликопин. Молекула каротина (от лат. «морковь») $C_{40} H_{56}$ представляет собой длинную цепочку атомов углерода и водорода (углеводородов), которая заканчивается двумя бензольными кольцами. Такая конструкция очень хорошо поглощает весь свет, кроме желтого. Поэтому морковь, хурма и плоды манго, содержащие много каротина, имеют красивый желто-оранжевый цвет. «Углеводородный» скелет молекулы каротина очень стабилен. Но вот ее концы, бензольные кольца, могут изменяться, реагируя на химическое окружение. При этом изменяются и «вкусы» молекулы – она начинает «есть» уже другие цвета, и предметы, содержащие такие модифицированные молекулы, приобретают новую окраску. Например, если бензольные кольца раскроются, то модифицированная молекула вместо жел-

4

КВАНТ 2015/№1

мости от сорта белка, который присоединился к молекуле ретиналя, родопсин будет чувствителен к разным цветам. В нормальном глазе человека есть три типа родопсина: один воспринимает красный, другой – зеленый и третий – синий цвет. В организме человека ретиналь производится с помощью деления молекулы каротина. И если поступление каротина (он еще называется витамином А) в организм прекращается, то люди начинают страдать «куриной слепотой» – плохо видят в темноте.

Упражнение 6. Предложите простой способ восстановления зрения в этом случае.

Краска для цветов Для цветов Природа приготовила особые краски – антоцианиды (от греч. «цветок»). Эта группа состоит из трех молекул: пеларгонидина $C_{15} H_{11} O_{5}$, цианидина

Коллекция пигментов-каротиноидов того будет оставлять «несъеденным» красный свет. Вот почему спелые помидоры, при созревании которых происходят именно такие изменения в структуре каротина, имеют красный свет. Химики называют такую

Антоцианы – специальные «краски» для цветов

Продукты, окрашенные каротиноидами, не только полезны, но и приятны на вид модифицированную молекулу каротина ликопином. Свои собственные названия получили у них и другие модификации каротина – зеаксантин $C_{40} H_{56} O_{2}$ и астаксантин $C_{40} H_{52} O_{4}$. Первый придает желтый цвет кукурузе, яичному желтку и апельсину, а второй отвечает за розово-красный цвет вареных раков и креветок. Природа – непревзойденный изобретатель. Она имеет в своем распоряжении миллионы молекул-красителей, но, даже используя всего-навсего одну конструкцию, она способна раскрасить наш мир сотнями цветов! А самое удивительное, что конструкцию типа «каротин» Природа использовала и для создания нашего цветового зрения! Вот как современная наука объясняет механизм зрения. Главной светочувствительной молекулой у всех позвоночных (люди, звери, птицы…), а также у осьминога является молекула ретиналя $C_{20} H_{28} O$. Вы узнали ее? Это разделенная пополам молекула каротина, к которой присоединен атом кислорода. С помощью атома кислорода молекула ретиналя соединяется с белком и образует светочувствительное вещество нашего глаза – зрительный пурпур, или родопсин. При поглощении света ретиналем сигнал об этом воспринимается зрительным нервом: мы видим свет. В зависи-

$C_{15} H_{11} O_{6}$ и дельфинидина $C_{15} H_{11} O_{7}$. Пеларгонидин поглощает все, кроме красного, цвета. Поэтому он дает алую окраску. Свое название этот пигмент получил от латинского названия герани (Pelargonium), из которой был первоначально выделен. Дельфинидин поглощает все, кроме синего, цвета и дает синюю окраску. Первоначально дельфинидин был выделен из растения живокость. Поэтому в его имени закрепилось латинское название живокости – дельфиниум (Delphinium). Цианидин (от лат. «голубой») определяет окраску черной смородины, ежевики, вишни. Натуралисты определяют цвет цианидина как фиолетовый. И здесь они повторяют распространенную ошибку! В быту название «фиолетовый» мы обычно используем неправильно. Мы называем этим словом цвет, который получается при смешении красной и синей красок. Например, мы называем фиолетовыми чернила, которые получаются при смешении красных и синих чернил. Это привычно, но неправильно. Поэтому давайте в нашем разговоре о молекулах использовать правильные термины и говорить, что цианидин имеет красно-синий цвет. Отметим, что настоящий фиолетовый цвет мы видим в природе очень редко. Не потому, что его мало, как раз его в природе очень даже много, а просто потому, что этот цвет лежит на границе нашего восприятия и мы, в отличие от пчел, не замечаем его в окраске цветов.

5

ДВА

Настоящий фиолетовый цвет иногда можно увидеть как очень красивый фиолетовый отлив черного оперения грача. Но это пример второго способа окраски, который использует Природа, – структурной окраски. Структурная окраска возникает за счет интерференции света при отражении от поверхностей с микрострукту-

Примеры структурной окраски в художественных миниатюрах рой (крылья насекомых, перья птиц, раковины молюсков), а также при рассеянии света в объеме вещества (цвет нашего голубого неба).

Упражнение 7. Ученые научились выделять красящие пигменты из растений, а вот выделить те замечательные краски, которые окрашивают крылья некоторых тропических бабочек, у них не получилось, хотя многие пытались это сделать. В чем причина их неудачи?

Итак, пеларгонидин поглощает все, кроме красного, цвета, дельфинидин – все, кроме синего, а цианидин – оставляет «непоглощенными» красный и синий цвета. Теперь становится понятным, почему мак красный, а василек синий: в маке содержится пеларгонидин, а в васильке – дельфинидин. Остается непонятным одно – откуда синий василек берет алый пеларгонидин, чтобы покраснеть? Разгадать эту загадку нам помогут абстрактное мышление и физические принципы. Взглянем еще раз на рисунок с антоцианами. Что перед нами? Можно, следуя традиции, сказать: «Три молекулы». А можно сказать иначе: «Это одна система атомов, находящаяся в трех разных состояниях». Правильный ход! Назовем нашу систему атомов «супермолекулой», а ее состояния – «нейтральным» (цианидин), «водородным» (пеларгонидин) и «гидроксильным» (дельфинидин). Если бы наша супермолекула жила изолированно, то ее состояние оставалось бы все время неизменным. Но в живых организмах она находится в водяном растворе. А в водяном растворе всегда присутствуют химически активные части молекул воды – атом водорода Н и гидроксильная группа ОН. Состояние (и цвет) нашей супермолекулы изменяется тогда, когда этим блуждающим частицам удастся сменить своих «антиподов» в химических связях. Вы ухватили главное? В васильке уже есть супермолекулы! Только они находятся в «гидроксильном» состоянии. Чтобы они покраснели, их нужно перевести в «водородное» состояние. Выяснить, как это можно сделать, нам поможет принцип Ле Шателье: в устойчивых системах под действием внешнего воздействия происходят такие изменения, которые стремятся конпенсировать результаты внешнего воздействия. В применении к нашей ситуации этот принцип работает так. Представим, что мы («внешнее воздействие») добавляем в раствор, в котором находится наша супермолекула, дополнительное количество атомов водоро-

ГРАФА

да (химики скажут – мы увеличиваем кислотность среды). Тогда наша молекула, согласно принципу Ле Шателье, будет пытаться хоть как-нибудь скомпенсировать это увеличение. Сделать это она может только одним способом – отдать в раствор свою гидроксильную группу и присоединить к себе атом водорода. Одним атомом водорода в растворе станет меньше (правильнее сказать: двумя, поскольку освободившаяся гидросильная группа свяжет еще одид атом водорода, образовав молекулу воды), частичная компенсация произошла! Итак, в кислом растворе наша супермолекула переходит в «водородное» состояние и окрашивает раствор в красной цвет.

Упражнение 8. Смешайте варенье из черной смородины с уксусом или лимонным соком (эти оба ингредиента являются кислотами). Понаблюдайте за изменением окраски варенья.

При добавлении в раствор гидроксильных групп (химики скажут – раствор становится щелочным) молекула пожертвует одним атомом водорода и на освободившееся место присоединит группу ОН. Так она внесет свой маленький вклад в компенсацию внешнего воздействия, а мы сразу увидим это – раствор станет синим!

Упражнение 9. Смешайте варенье из черной смородины (растерев его) с раствором питьевой соды (раствор соды является щелочным раствором). Понаблюдайте за изменением окраски варенья.

Гортензия меняет цвет своих цветов в зависимости от кислотности полива. По-видимому, ее сок совсем нейтральный, что позволяет легко переводить нашу супермолекулу в разные состояния

Итак, объяснение механизма работы «красно-синей» линии окраски растений построено. Наша супермолекула изменяет свою красно-синюю окраску в зависимости от кислотности сока растения. В кислотной среде (мак, герань, роза) она отдает в раствор гидросильную группу и на ее место присоединяет атом водорода. При этом она становится красной. В щелочной среде (василек, дельфиниум, незабудка) она на место водорода присоединяет к себе гидроксильныю группу и становится синей. Поэтому, согласно нашей теории, синий василек начинает краснеть тогда, когда за счет какихто причин начинает увеличиваться кислотность его сока. Василек становится сначала сине-красным, а затем – полностью красным.

6

КВАНТ 2015/№1

В доказательство правильности нашей теории мы проделали следующий опыт. Алые лепестки розы мы поместили в раствор питьевой соды (щелочной раствор), а синие цветки василька – в раствор уксуса (кислотный раствор). Произошло то, что и предсказывает наша теория, – окраска лепестков поменялась.

Упражнение 10. Природные пигменты, в том числе и сок васильков, всегда использовались в пищевой промышленности для окраски продуктов. Поясните суть старинного рецепта, который непосвященному кажется абсурдным: «Для придания шампанскому розового оттенка добавить ложку сока синего василька в десятиведерную бочку отбродившего виноградного сока…»

Лондонское Королевское общество

Один из несомненных плюсов научной работы – участие в научных конференциях. Их всегда стараются проводить в самых интересных местах, что позволяет совместить полезное с приятным. Если место проведения конференции – Лондон, то будьте уверены, что вас ждет экскурсия по маршруту «Букингемский дворец – Вестминстерское аббатство – Парламент – Трафальгарская площадь – Национальная галерея – Тауэр». На пути экскурсии находится здание Королевского общества (The Royal Society). Королевское общество – это английская академия наук, первая в мире академия, основанная в 1662 году. При академии есть музей «Центр истории науки», в котором хранятся архивы сэра Исаака Ньютона, научные инструменты сэра Генри Кавендиша и даже квадрант сэра Френсиса Дрейка – первого англичанина, совершившего кругосветное путешествие. Но мой взгляд всегда останавливается на небольшом кусочке бумаги розового цвета. Это – лакмусовая бумага, то, с чего для всех нас в школе начиналась химия. Не знаю как вас,

но меня всегда чрезвычайно интересовал вопрос о том, как делают эту волшебную бумагу. Сегодня я знаю ответ на этот вопрос и хочу поделиться им с вами. Изобретатель лакмуса – Роберт Бойль (1627–1691). Сэр Роберт Бойль был совершенно необычным человеком. Тринадцатый ребенок Ричарда Бойля, графа Коркского, он уже в возрасте восьми лет стал студентом Итонского университета. К тридцати годам он становится известным в Европе ученым-энциклопедистом. Он – и философ, и физик, и химик, и богослов, и поэт. Его самые известные открытия и изобретения – это лакмусовая бумага, современные чернила, откачивающий насос, получение вакуума, наблюдение холодного кипения, создание аналитической химии, анализ минеральных вод, получение белого фосфора, открытие газового закона. Он – инициатор создания и президент Лондонского Королевского общества, директор Ост-Индской торговой компании, меценат (весь свой капитал Бойль завещал на развитие науки в Англии). Бойль проводит и оптические исследования, в частности – изучает вопрос о появлении цвета в природе. Он формирует те понятия, которые сегодня нам кажут-

Места, связанные с именем Роберта Бойля: Замок Лисмор, Итон, Оксфорд, Лондон ся простыми и понятными, но которые в его время были крайне революционными. Заметив зависимость цвета сока растений от кислотности среды, он создает первый химический прибор – индикатор кислотности среды. Для этого он пропитывает полоску бумаги сине-красным соком лакмусова лишайника. Так появилась первая лакмусовая бумага. Это был первый шаг от древней алхимии к современной химической науке. И сделал этот шаг ГРАФ РОБЕРТ БОЙЛЬ.

В этом музее царит дух семнадцатого века

НОВОСТИ НАУКИ

Да будет свет!

Л.БЕЛОПУХОВ

НОБЕЛЕВСКУЮ ПРЕМИЮ 2014 ГОДА ПО ФИЗИКЕ ПОЛУ- чили японские инженеры-физики Исаму Акасаки, Хироши Амано и Сюдзи Накамура «за изобретение эффективных синих светодиодов, приведших к появлению ярких и энергосберегающих источников белого света». Ключевое слово формулировки «светодиод» говорит о том, что это изобретение – из области полупроводниковой техники. А другие, простые и всем понятные, слова отражают факт огромного значения этого достижения для нашей жизни, или, говоря словами завещания Альфреда Нобеля, достижения, «принесшего наибольшую пользу человечеству». Светодиодами занимались многие. Впервые свечение некоторых природных полупроводников было зафиксировано радиотехниками – в 1907 году сотрудником компании Г.Маркони Генри Раундом, а в 1923 году – Олегом Лосевым в Нижегородской радиолаборатории. Почти 40 лет этот эффект назывался «свечением Лосева». Но только после создания к середине XX века современной квантовой теории физики твердого тела пришло понимание этого явления. Первый светодиод, излучающий красный свет, был изобретен в 1961 году в США Ником Холоньяком и быстро нашел использование в индикаторных и сигнальных устройствах. Но достоточно яркие красные светодиоды были вначале очень дорогими. Начиная с 1980 года в ряде стран (США, Япония, Россия) продолжались работы по созданию светодиодов всех цветов радуги – от красного до голубого. Однако их стоимость продолжала оставаться высокой, а эффективность была недостаточной для того, чтобы создать осветительные устройства, конкурирующие с лампами накаливания или газоразрядными лампами. Возможность получения многочисленных световых оттенков стала широко использоваться в дизайне, шоу-бизнесе и дорогих игрушках. Но две группы японских исследователей продолжали упорную работу по созданию эффективных светодиодов не для зрелищного удовольствия, а для освещения улиц и помещений. Главную трудность при этом представляли достаточно интенсивные светодиодные источники синего цвета. Только они в комбинации с уже созданными источниками красного, желтого и зеленого цветов могли дать источник белого света. Вспомним основные положения теории полупроводников, существенные для понимания процессов в светодиодах и

трудностей, стоявших перед исследователями. Достаточно рассмотреть только кристаллические полупроводники, в которых атомы связаны друг с другом парами обобществленных валентных электронов (так называемая ковалентная связь). Например, элементы четвертой группы периодической системы – кремний, германий. Каждый атом таких элементов имеет 4 электрона, находящихся в среднем дальше от ядра, чем другие электроны. Эти электроны являются валентными, т.е. способными на связь с соседними атомами. Когда атомы находятся близко друг к другу, устанавливается симметричная картина – атомы связаны друг с другом четырьмя парами электронов. Эта ковалентная связь достаточно прочная, что означает невозможность валентному электрону получить малую порцию энергии, чтобы оторваться от своей связи. Согласно квантовой физике твердого тела, ковалентный электрон не может, слегка увеличив свою энергию, остаться частично привязанным к атому. У него могут быть только два состояния – или сильно связанное, или свободное. Иное природой (квантовыми законами) запрещено. Поэтому минимально необходимая для освобождения электрона энергия получила в физике твердого тела название ширины запрещенной зоны энергий. Такую энергию электрон иногда может получить от соседнего атома, когда тот в своем колебательном движении будет иметь амплитуду, значительно отличающуюся от средней. Колебательное движение атомов кристаллической решетки твердого тела существует при любой температуре (согласно квантовой теории, даже при абсолютном нуле). При температуре порядка 300 К (комнатная температура) средняя энергия колебательного движения атомов составляет 0,025 эВ. А ширина запрещенной зоны энергий в полупроводниках по крайней мере в 50 раз больше. Чтобы валентному электрону приобрести такую энергию и стать свободным, один из соседних атомов должен испытать очень сильное колебание, энергия которого будет значительно отличаться от средней. Это – событие крайне редкое, поэтому оторвавшихся электронов мало. Но зато эти электроны способны к более или менее свободному хаотическому перемещению по кристаллу. А в электрическом поле их перемещение становится ориентированным, похожим на направленное движение свободных электронов проводимости в металле. Кристалл проводит ток, хотя и достаточно слабый. Удельная проводимость таких веществ в $10^{12}$ раз меньше, чем у проводников (металлов). Поэтому они получили название полупроводников. Но у полупроводников есть очень важное качественное отличие от металлов – образование «дырок». Вакантное место в конструкции связей, образовавшееся после освобождения одного из электронов, долго не остается таким – оно замещается каким-нибудь валентным электроном от одного из соседних атомов. Этот процесс может повторяться снова

Японские инженеры-физики Исаму Акасаки, Хироши Амано и Сюдзи Накамура

14

КВАНТ 2015/№1

и снова. Каждый освободившийся электрон рождает освободившуюся «квартиру» – дырку в стройной структуре ковалентных связей. Перемещения электронов из одного положения в другое хаотичны – дырка хаотично перемещается по кристаллу. Но в электрическом поле эти перемещения становятся ориентированными. Перемещение отсутствия отрицательного заряда эквивалентно перемещению положительного заряда. Ток, соответствующий этому перемещению, является током положительных зарядов – дырок, а связанная с ними проводимость называется дырочной. Число дырок соответствует числу освободившихся электронов, поэтому электронная и дырочная проводимости полупроводника имеют примерно одинаковую величину. Эта суммарная проводимость чистого полупроводника получила название собственной проводимости. Отличие собственной проводимости полупроводников от чисто электронной проводимости металлов – не только количественное. Совершенно по-другому меняется проводимость полупроводников, например, при изменении температуры. При повышении температуры резко (экспоненциально) увеличивается вероятность отрыва электронов от атомной связи, а значит, резко увеличивается концентрация электронов и дырок. Проводимость полупроводников экспоненциально увеличивается с температурой, тогда как у металлов при нагревании она, напротив, уменьшается (по линейному закону). Очевидно, что на проводимость полупроводников может влиять и наличие посторонних примесей и с помощью примесей полупроводник можно целенаправленно «испортить». Например, сделать так, что его проводимость станет почти чисто электронной – без образования дырок. Для этого нужно к четырехвалентному элементу добавить некоторое строго контролируемое количество пятивалентного элемента – мышьяка или фосфора. При охлаждении и кристаллизации атомы примеси будут встраиваться в конструкцию четырехвалентных атомов, но при этом у каждого атома примеси остается «бесхозный» пятый электрон. В электрическом поле эти электроны будут такими же электронами проводимости, как и собственные свободные электроны полупроводника. Но, во-первых, их будет значительно больше (обычно в $10^{6}$ раз больше), а во-вторых, при этом не образуется дырок. Такой примесный полупроводник будет почти на 100% обладать только электронной проводимостью и лишь на малые доли процента – дырочной проводимостью. Он называется полупроводником n-типа (от negative – отрицательный), а примесь называется донорной (дающей). Но можно сделать наоборот – добавить к четырехвалентному элементу примесь трехвалентного – галлия или индия. Когда его атомы будут встраиваться в структуру четырехвалентных атомов, им для образования четырех парноэлектронных связей с соседями будет не хватать одного электрона – образуется дырка. Так же, как и в случае собственной проводимости, дырка начнет замещаться электронами соседних атомов и перемещаться по кристаллу. В электрическом поле это перемещение будет носить характер тока положительных зарядов. Такой примесный полупроводник будет почти на 100% обладать только дырочной проводимостью и лишь на доли процента – электронной. Он называется полупроводником р-типа (от positive – положительный), а примесь называется акцепторной (принимающей). Главное применение примесных полупроводников – это создание полупроводниковых приборов, основанных на свойствах р–n-перехода – контакта полупроводников n- и р-типа. При контакте начинается диффузия электронов проводимости из полупроводника n-типа в область контакта и диффузия дырок из полупроводника р-типа в область контакта. Но

диффузия быстро заканчивается – ее обрывает то, что полупроводник n-типа, потеряв часть электронов, приобретает избыточный положительный заряд, а полупроводник ртипа – избыточный отрицательный заряд. На пути дальнейшего перемещения электронов и дырок возникает потенциальный барьер. Внутреннее электрическое поле этого барьера направлено от полупроводника n-типа к полупроводнику р-типа, тем самым препятствуя дальнейшему перемещению электронов и дырок. Поэтому р–n-контакт часто называют запирающим слоем. Но если этот контакт подключить к источнику тока так, чтобы в запирающем слое появилось электрическое поле, противоположное по направлению внутреннему полю потенциального барьера (для этого нужно положительный полюс источника тока подсоединить к полупроводнику р-типа), то потенциальный барьер на пути зарядов значительно ослабнет. По цепи пойдет ток, сила которого будет экспоненциально увеличиваться с увеличением приложенного напряжения. При одном и том же напряжении она в тысячи раз будет больше силы тока через чистый (беспримесный) полупроводник. Такое подключение р—n-перехода называют прямым. Если же источник тока подключить в противоположном направлении, то потенциальный барьер, наоборот, возрастет, и тока через контактную область практически не будет (вернее, он будет очень слабеньким). Такое подключение называют обратным. Таким образом, через р–n-переход проходит ток практически только одного направления. Переменный ток «выпрямляется» (при этом в течение полпериода переменного синусоидального тока контакт ток не пропускает). По аналогии с первыми радиолампами, появившимися на рубеже ХХ века, устройство было названо диодом. Главное достоинство полупроводниковых выпрямителей по сравнению с ламповыми – это их компактность. Полупроводниковый диод стал быстро усложняться добавлением других электродов для целей усиления и генерирования сигналов, комбинация р–n-переходов (получившая название транзистора) стала основным элементом полупроводниковых радиосхем и многих других приборов, в которых применение радиоламп из-за их громоздкости было затруднено или вовсе невозможно. Создатели первых полупроводниковых устройств Уильям Бредфорд Шокли, Джон Бардин и Уолтер Хаузер Браттейн в 1956 году стали Нобелевскими лауреатами « за исследования полупроводников и открытие транзисторного эффекта». Полупроводниковая революция так сильно изменила лицо человеческой цивилизации, что этого не могли предположить и самые смелые фантасты. В 1961 году началось исследование еще одного свойства р– n-перехода – генерирование им света. И действительно, в области контакта должно возникать электромагнитное излучение – рождение квантов лучистой энергии. Ведь при прямом подключении р–n-перехода к источнику тока интенсивное движение в области контакта свободных электронов и дырок навстречу друг другу должно приводить к случайному (вероятностному) замещению дырок электронами. В физике этот процесс называется рекомбинацией электрона и дырки. Электрон при этом скачком приобретает отрицательную потенциальную энергию (отрицательную потому, что это энергия сил притяжения). И точно так же, как и при рекомбинации электрона и иона, при этом должен появиться квант излучения, энергия которого равна величине появляющейся у электрона потенциальной энергии связи. Это – процесс, обратный освобождению электрона при разрушении ковалентной связи. Поэтому квант излучения, возникающий при рекомбинации электрона и дырки, имеет энергию, равную ширине запрещенной зоны.

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач из этого номера следует отправлять по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присылайте в разных конвертах. На конверте в графе «Кому» напишите: «Задачник «Кванта» №1–2015» и номера задач, решения которых Вы посылаете, например «М2366» или «Ф2373». В графе «От кого» фамилию и имя просим писать разборчиво. В письмо вложите конверт с написанным на нем Вашим адресом и необходимый набор марок (в этом конверте Вы получите результаты проверки решений). Решения задач по математике и физике можно присылать также по электронным адресам: math@kvant.ras.ru и phys@kvant.ras.ru соответственно. Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присылайте в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с Вашим решением этой задачи (на конверте пометьте: «Задачник «Кванта», новая задача по физике» или «Задачник «Кванта», новая задача по математике»). В начале каждого письма просим указывать номер школы и класс, в котором Вы учитесь. Задачи М2366 – М2369, М2370а, М2373 предлагались на XXXVI Турнире городов, задачи М2371, М2372 – на XVIII Кубке памяти А.Н.Колмогорова.

Задачи М2366–М2373, Ф2373–Ф2379

M2366. С начала учебного года Андрей записывал свои оценки по математике. Получая очередную оценку (2, 3, 4 или 5), он называл ее неожиданной, если до этого момента она встречалась реже каждой из всех остальных возможных оценок. (Например, если бы он получал с начала года подряд оценки 3,4,2,5,5,5,2,3,4,3, то неожиданными были бы первая пятерка и вторая четверка.) За весь учебный год Андрей получил 40 оценок – по 10 пятерок, четверок, троек и двоек (неизвестно, в каком порядке). Можно ли точно сказать, сколько оценок были для него неожиданными? Е.Бакаев

M2367. Докажите, что в любом описанном около окружности многоугольнике найдутся три стороны, из которых можно составить треугольник. Т.Казицына, Б.Френкин

M2368. Внутри прямоугольного треугольника построили две равные окружности так, что первая касается одного из катетов и гипотенузы, вторая касается другого катета и гипотенузы, а еще эти окружности касаются друг друга. Пусть M и N – точки касания окружностей с гипотенузой. Докажите, что середина отрезка MN лежит на биссектрисе прямого угла треугольника. Е.Бакаев

M2369. Гриша записал на доске 100 чисел. Затем он увеличил каждое число на 1 и заметил, что произведение всех 100 чисел не изменилось. Он опять увеличил каждое число на 1, и снова произведение всех чисел не изменилось, и так далее. Всего Гриша повторил эту процедуру k раз, и все k раз произведение чисел не менялось. Найдите наибольшее возможное значение k. И.Богданов, Г.Гальперин

M2370. Можно ли все натуральные делители числа 100! (включая 1 и само число) разбить: а) на две группы; б) на 100 групп так, чтобы в группах было одинаковое количество чисел и произведение чисел первой группы равнялось произведению чисел второй группы? в) Найдите все натуральные n, для которых можно разбить все делители числа n на две группы так, чтобы в группах было одинаковое количество чисел и произведение чисел первой группы равнялось произведению чисел второй группы. М.Малкин

M2371. а) Назовем центром трехклеточного уголка точку, принадлежащую всем трем его клеткам. Шахматную доску $99 \times 99$ полностью покрыли трехклеточными уголками без наложений, после чего каждый уголок повернули вокруг своего центра на $90^\circ$ (в любом направлении). Докажите, что при этом какая-то клетка доски оказалась непокрытой ни одним уголком. б) Решите ту де задачу, если каждый уголок разрешается повернуть вокруг своего центра на $90^\circ$ или на $180^\circ$. А.Грибалко

$M2372^{*}$. Дана сфера Ω и точка P внутри нее. Через P проводятся три попарно перпендикулярные хорды $AA ', BB '$ и $CC '$. Точки $X, X '$ – проекции точки P на плоскости ABC и $A ' B ' C '$. Докажите, что все прямые $XX '$ проходят через одну точку. А.Заславский

$M2373^{*}$. В некотором государстве ценятся золотой и платиновый песок. Золото можно менять на платину, а платину – на золото по курсу, который определяется натуральными числами g и p так: x граммов золотого песка равноценны y граммам платинового, если xg = yp (числа x и y могут быть нецелыми). Сейчас у банкира

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Задачи

Можно ли число 2015 представить в виде суммы пяти последовательных натуральных чисел? Т.Волосникова

У нас во дворе растут две березы и две рябины. Когда Вася смотрит из своего окна, то он видит две березы, стоящие между двумя рябинами. Когда Петя смотрит из своего окна, то он видит две рябины, стоящие между двумя березами. Как такое может быть? С.Дворянинов

На какое наименьшее количество фигурок можно полностью разрезать квадрат $7 \times 7,$ если фигурки – трехклеточные уголки и пятиклеточные фигурки, как на рисунке? Фигурки можно поворачивать и переворачивать. Н.Агаханов, О.Подлипский

Боря, Валя и Гера сочинили теорему: Даны два многоугольника, имеющие равные площади. Тогда один из них можно разрезать на 100 частей, из которых можно сложить другой. Верна ли теорема Бори, Вали и Геры? П.Кожевников

Иллюстрации Д.Гришуковой

Вокруг круглого стола сидят одиннадцать человек – каждый либо рыцарь, либо лжец. Рыцарь всегда говорит правду, а лжец всегда лжет. Каждого из них спросили: «Кто сидит справа от тебя?» Могли ли все одиннадцать ответить «лжец»? Н.Агаханов, О.Подлипский

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6–8 классов.

28

КВАНТ 2015/№1

Про волчок и гироскоп

C.ДВОРЯНИНОВ

ВПРЕЖНИЕ ВРЕМЕНА, КОГДА ЧАСЫ-БУДИЛЬНИКИ БЫЛИ МЕ- ханические, многие ребята с нетерпением ждали, когда же такое нужное в повседневной жизни устройство … сломается. Тогда можно было снять корпус часов и увидеть его механизм – систему связанных одна с другой шестеренок. Они отличались количеством зубьев. Покрутишь одну шестеренку, не очень быстро, а соседняя с ней в ответ может вращаться очень даже быстро. Все зависит от передаточного числа – от отношения числа зубцов на каждой шестеренке. А потом, если часы починить не удавалось, наступал следующий этап – механизм разбирался на отдельные части. И вот на столе десяток маленьких волчков – ось и на ней шестеренка. Можно было взять ось двумя пальцами и закрутить ее в вертикальном положении. После этот волчок еще долго крутился на столе и не падал. Почему название такое – волчок? Возможно, маленькие волчата кружатся подобным образом, пытаясь поймать себя за собственный хвост и падая потом в изнеможении от усталости. Есть еще такая игрушка – юла. Она раскручивается периодическим нажатием ручки. Обычный волчок со временем падает, потому что из-за трения скорость его вращения уменьшается. А у юлы идет постоянная энергетическая подпитка, которая компенсирует потери кинетической энергии. Удивительное это все-таки явление: стоит волчок на одной ножке и не падает! Если мы попытаемся вращающийся волчок наклонить, то сделать это не удастся. В ответ волчок лишь уйдет немного в сторону и продолжит вращаться, как ни в чем не бывало. Это его свойство лучше почувствовать своими руками, и вот как. Когда будете менять камеру или покрышку на своем велосипеде, не спешите ставить колесо на место. Возьмите ось колеса в обе руки, расположите ее горизонтально и попросите товарища это колесо раскрутить. Так, колесо крутится, вы ощущаете его вес. А теперь попробуйте колесо наклонить влево или вправо, наклоняя ось, или повернуть колесо влево-вправо. Вы сразу заметите, что сделать это ой как нелегко. При малейшей попытке изменить положение оси колеса давление на ваши

пальцы увеличивается. Однако вы без особых усилий можете перемещать колесо вперед-назад или вверх-вниз – при таких перемещениях ось колеса сохраняет свое первоначальное направление. А вот при поворотах или наклонах это направление меняется. Этот простой опыт наглядно показывает основное свойство волчка – сохранять в пространстве направление оси вращения неизменным. Продолжим наши эксперименты с волчком. Раскрутив волчок на листе картона, его можно подбросить вверх. Покрутившись в воздухе и снова оказавшись на картонке, волчок продолжит свое вращение. Картонку можно немного наклонить – ось вращения останется вертикальной. Правда, при этом точка опоры волчка потихоньку начнет скользить по наклонной плоскости вниз. Чтобы этого не происходило, в картонке можно сделать небольшое углубление – лунку, в которую помещается опора. Тогда картонку можно наклонять в разные стороны довольно значительно, а ось волчка будет оставаться вертикальной. А теперь – самое интересное. Вообразим, что мы, находясь на Северном полюсе Земли, раскрутили наш волчок вокруг вертикальной оси и поместили его на горизонтальную картонку. На картонке указаны направления на север и на юг, на запад и на восток, и картонку можно располагать согласно этим направлениям. Закроем наш волчок, например, бумажным колпаком. Пусть он там вращается, оставаясь невидимым для нас. По компасу отправимся теперь из указанной точки вдоль меридиана в сторону экватора, держа картонку с волчком перед собой. В каждой точке земной поверхности вертикаль направлена вдоль радиуса Земли; соответственно, в каждой точке – своя горизонтальная плоскость. Так вот, когда мы будем двигаться вдоль меридиана с севера на юг, нам будет казаться, что наша горизонтальная картонка сохраняет неизменным свое горизонтальное положение. Но когда мы пройдем половину пути до экватора и попадем на параллель, соответствующую $45 ^\circ$ северной широты, картонка повернется в пространстве от своего начального положения на угол в $45 ^\circ$. Но для нас это изменение пройдет абсолютно незаметным. Уберем теперь колпак, скрывавший наш волчок. Как вы думаете – каким окажется направление оси вращения? Будет ли ось по-прежнему располагаться вертикально? Нет, теперь ось волчка вертикальной не будет. Она будет сохранять направление вертикали на Северном полюсе. А угол между этой старой вертикалью и новой вертикалью в достигнутой нами точке будет равен $45 ^\circ$. Именно на такой угол в северном направлении будет теперь отклонена ось волчка от вертикали (рис.1). Итак, при движении вдоль меридиана к югу ось волчка отклоняется к северу. Будем наблюдать за этим отклонением. Пусть в некоторой точке нашего пути отклонение оси от вертикали составило, скажем, $30 ^\circ$.

31

«КВАНТ»

7 класс

III

8 первая 8 высшая 8 высшая 8 высшая 8 высшая

I I III III III

9 класс 9 класс 9 класс

I II II

ФМЛ 30-7 (Санкт-Петербург) Сборная ЛМШ 179-8 (Москва) 1543-8А (Москва) 2007-8 (Москва) ЮМШ-8 (Санкт-Петербург) 1543-9 (Москва) Черноголовка 2007-9 (Москва)

ДЛЯ

МЛАДШИХ

А.В.Садовников

И.С.Коломеец С.А.Дориченко А.В.Антропов Е.Г.Лысенок А.А.Солынин

К.А.Скопцов Л.Н.Головко В.В.Трушков

В один из дней для участников были организованы экскурсии, но главным событием этого дня стала личная олимпиада. Во всех параллелях лучшими стали школьники из Москвы. Гран-при личной олимпиады получили в 6 классе Алеся Иванова (5 класс школы 2007), в 7 классе – Борис Шаповал, в 8 классе – Тимофей Зайцев (оба из школы 179). В 9 классе гранпри не присуждался, а первое место разделили Андрей Балакин и Никита Цой (оба из школы 2007). Организаторами турнира в этом году выступили Фонд математического образования и просвещения, а также образовательная программа «Большая перемена». Отбором задач и составлением вариантов занималась методическая комиссия в следующем составе: А.Д.Блинков, А.В.Шаповалов, И.В.Раскина, Э.А.Акопян, Ю.С.Котельникова, П.В.Чулков, В.В.Трушков, Е.В.Бакаев, О.А.Заславский, А.В.Хачатурян, А.В.Грибалко, А.Г.Банникова, М.А.Артемьев, В.В.Арутюнов, А.А.Заславский, А.П.Зерцалов, А.А.Гаркавый. Приятно отметить, что этот список ежегодно пополняется новыми людьми, и те, кто еще совсем недавно приезжали на турнир в качестве участников, уже являются полноправными членами жюри. Наиболее интересные задачи турнира приведены ниже.

ЗАДАЧИ

Арифметика и алгебра

1. Коля написал натуральное число, все цифры которого различны. Если поменять местами любые две цифры этого числа, отличающиеся на 1, то оно увеличится, а если поменять местами любые две цифры, отличающиеся на 2, то оно уменьшится. Какое наибольшее число мог написать Коля? Н.Чернятьев

2. В записи натурального числа ровно 2014 цифр, причем центральные четыре цифры это 2, 0, 1, 4 (именно в таком порядке). Может ли это число быть точным квадратом? А.Шаповалов

3. В одиночных камерах сидят 4 друга-математика. Каждому из них сообщили, что их номера в списке различны, двузначны и один из этих номеров равен сумме трех других. Но, даже узнав номера троих других, никто из них не смог вычислить свой номер. Так какие же у них были номера? А.Шаповалов

ШКОЛЬНИКОВ

4. Вокруг стола с метровыми промежутками стоят p блюдец (p – простое), на каждом лежит по одному печенью. Карлсон проходит вокруг стола k метров, останавливается и берет печенье с блюдца. Затем Малыш, стартовав из того же места, проходит вокруг стола m метров, останавливается и берет там печенье с блюдца. Потом Карлсон от места своей остановки идет k метров и берет печенье с блюдца (если оно там еще осталось) и т.д. Все переходы они делают в одном направлении. Кому из них достанется больше печенья и на сколько, если k и m – натуральны, различны и оба меньше p? М.Шаповалов

5. Саша написал программу, которая последовательно вычисляет сумму натуральных чисел, начиная с 2014, убирая при этом в каждом слагаемом произвольно одну цифру в десятичной записи (разрешается убирать и первую цифру, даже если после нее стоит ноль). Программа должна закончить работу, как только полученная на очередном шаге сумма будет нацело делиться на 3. Может ли так случиться, что программа будет работать бесконечно? А.Грибалко

6. Петя написал на доске натуральное число, а потом стер последнюю цифру и написал ее чуть выше, в показателе степени. Оказалось, что результат делится на первое написанное число. Какое максимальное число мог первоначально написать на доске Петя? А.Шаповалов

Геометрия

7. Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Известно, что AB = BC = CD и – AOD $= 120 \infty$. Докажите, что AO = DO. Е.Бакаев

8. На сторонах BC и CD квадрата ABCD отмечены точки E и F соответственно. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точки A на EF, из точки B на AE и из точки D на AF, пересекаются в одной точке. А.Гаркавый

9. На сторонах выпуклого четырехугольника построены правильные треугольники во внутреннюю сторону. Оказалось, что треугольники, построенные на одной паре противоположных сторон, имеют общую вершину. Докажите, что треугольники, построенные на другой паре противоположных сторон, имеют общий центр. Е.Бакаев

10. Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон AB, BC, CA в точках $C_{1}, A_{1}, B_{1}$ соответственно, BH – высота треугольника ABC. Докажите, что ортоцентры треугольников $AC_{1} B_{1}$ и $CA_{1} B_{1}$, а также точки H и $B_{1}$ лежат на одной окружности. Д.Швецов

11. На доске нарисованы три прямые, проходящие через одну точку и образующие попарно углы в $60\infty$, а

(Продолжение см. на с. 34)

Калейдоскоп в калейдоскопе

Калейдоскоп «Кванта» этого номера посвящен… калейдоскопу! Название происходит от греческих слов $\kappa \alpha \lambda ος$ – красивый, $\varepsilon \iota \delta ος$ – вид, $\sigma \kappa ο\pi \varepsilon \omega$ – смотрю, наблюдаю. Этот оптический прибор-игрушка был придуман в начале XIX века и быстро стал любимой забавой во многих странах, включая Россию.

Внутри цилиндрической тубы калейдоскопа расположены три длинных прямоугольных зеркала, образующих зеркальную призму. За треугольником в основании призмы расположена «засыпка». При вращении калейдоскопа она пересыпается, составляя случайную картинку. Образовавшаяся в треугольнике картинка отражается в зеркалах и заполняет все поле зрения красивым узором.

В обычных калейдоскопах используются одинаковые зеркала, а значит, треугольник в основании призмы равносторонний.

Отразим треугольник, расположенный на плоскости, относительно его сторон, затем новые треугольники отразим относительно получившихся сторон и т. д. (каждое отражение эквивалентно переворачиванию треугольника). Постепенно получится изображение, которое и наблюдается в калейдоскопе.

34

КВАНТ 2015/№1

(Начало см. на с. 30)

также 2014 различных точек. Петя выписал на доске все расстояния от этих точек до прямых. Могли ли числа на доске образовывать в некотором порядке арифметическую прогрессию? А.Грибалко

12. Из 6 палочек разной длины сложили два треугольника одинакового периметра. Длины палочек отличаются не более чем в 7 раз. Всегда ли из них можно сложить два треугольника разного периметра? А.Шаповалов

Комбинаторные задачи

13. В пещере лежали в ряд 100 мешков массами 1 кг и 2 кг. В некоторых мешках разбойники хранили золото, в остальных – серебро. Рядом с каждым двухкилограммовым мешком лежали два мешка с серебром, а рядом с каждым килограммовым – хотя бы один мешок с серебром. Али-Баба унес из пещеры все золото. Какое наибольшее количество золота ему могло достаться? А.Шаповалов

14. Алиса и Базилио делят добытую кучу из 100 кошельков, в которых лежат 1, 2, …, 100 золотых соответственно. Ходят по очереди, начинает Алиса. За один ход можно вынуть из кучи любой кошелек и либо взять его себе, либо отдать напарнику. Как только у кого-то наберется 50 кошельков, другой забирает из кучи все остальные. Какое наибольшее количество золотых может обеспечить себе Алиса, как бы ни действовал Базилио? А.Шаповалов

15. Петя отметил на окружности 20 красных и 20 синих точек. Затем Вася проводит хорды так, чтобы концы каждой хорды были одного цвета и чтобы эти хорды не пересекались (даже в вершинах). Какое наибольшее количество хорд Вася гарантированно сможет провести, как бы ни отметил точки Петя? Е.Бакаев

16. Есть $n^{3}$ единичных кубиков. Петя раскрашивает их в два цвета (возможно, по-разному), причем каждую грань – в один цвет. Вася победит, если сможет сложить из всех кубиков куб со стороной n, у которого каждая грань одноцветна. При каком наименьшем n Петя не сможет ему помешать? А.Шаповалов

17. В каждую из n одинаковых пробирок налито не более половины пробирки раствора разной концентрации. Химик знает, где что, и может перелить из одной пробирки в другую любое нужное ему количество раствора (лишь бы пробирка не переполнилась). За какое наименьшее число переливаний он гарантированно может добиться, чтобы раствор в каждой пробирке был одинаковой концентрации (при этом некоторые пробирки, возможно, опустеют)? А.Шаповалов

18. В королевстве Кривых Весов запрещены чашечные весы, показывающие равновесие при равенстве масс грузов на чашах. Однако для любого a > 1 разрешены неравноплечие весы, показывающие равновесие, если вес груза на левой чаше в a раз больше веса на правой. Имея всего одни весы, Толя за два взвешивания может из 8 монет выявить одну фальшивую (более легкую). Чему равно a у Толиных весов? (Все настоящие монеты весят одинаково.) А.Шаповалов

19. Шесть команд в однокруговом турнире набрали 10, 7, 6, 6, 3 и 3 очка. Сколько очков (не обязательно целое число) начислялось за победу, если за ничью давали 1 очко, а за поражение 0? А.Шаповалов

20. В шахматном турнире участвуют 14 игроков. В каждом туре они разбиваются на пары случайным образом, но два шахматиста, игравшие друг с другом раньше, второй раз играть не могут. Турнир заканчивается, когда такое разбиение произвести невозможно. Найдите минимально возможное число туров. А.Блинков

21. Клетчатая полоска 1 ¥ n разбита на единичные клетки. Можно ли стороны клеток раскрасить в три цвета так, чтобы при выкидывании отрезков любого из цветов по оставшимся отрезкам можно было пройти из каждой вершины в любую другую? А.Шаповалов

22. Андрей закрасил некоторые клетки квадрата 100 ¥ 100. Далее ему разрешается закрашивать клетки по следующему правилу: если в квадрате 2 ¥ 2 закрашены три клетки, то он закрашивает четвертую. Какое наименьшее количество клеток Андрей должен закрасить изначально, чтобы в дальнейшем он сумел закрасить весь квадрат? А.Гаркавый

23. Квадратная таблица 5 ¥ 5 заполнена числами. Петя переставил ее столбцы так, что никакой столбец не остался на месте. В получившейся таблице Вася переставил строки так, что никакая строка не осталась на месте. В итоге получилась исходная таблица. Каково наибольшее возможное количество различных чисел в ней? Б.Френкин

24. На клетчатой доске 100 ¥ 100 стоит невидимая ладья. За один вопрос можно указать любой набор клеток и узнать, сколько из них побиты ладьей. Сколько таких вопросов нужно, чтобы наверняка узнать положение ладьи? (Считается, что ладья бьет поле, на котором стоит.) А.Шаповалов

Публикацию подготовили Л.Медников, А.Грибалко

45

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

C > 0 такое, что сумма чисел в любом столбце не меньше C, а сумма чисел в любой строке не больше C. Тогда можно из каждого столбца выбрать клетку с положительным числом так, что выбранные клетки будут стоять в различных строках. Таким образом, можно выбрать представителей столбцов из клеток с положительными числами. То, что числа неотрицательные, важно: для произвольных чисел утверждение задачи 4а неверно. Проверьте это. Классической задачей о представителях является задача о свадьбах. Задача 5. Рассмотрим некоторое конечное множество юношей, каждый из которых знаком с несколькими девушками. Спрашивается, при каких условиях можно женить юношей так, чтобы каждый из них женился на знакомой ему девушке? Теорема (Филип Холл, 1935). Решение задачи о свадьбах существует тогда и только тогда, когда любые K юношей из данного множества из N юношей знакомы в совокупности по меньшей мере с K девушками $( 1 \le K \le N ).$ Необходимость очевидна. Если какие-то K юношей знакомы с менее чем K девушками, то кому-то из них не найдется пары. Докажем достаточность от противного. Пусть N – наименьшее натуральное число, для которого теорема неверна. Очевидно, что N > 1. Может быть так, что каждые K юношей $( 1 \le K < N )$ знакомы более чем с K девушками, а может быть, что есть подмножество из K юношей, знакомых ровно с K девушками. В первом случае первый юноша может жениться на любой знакомой девушке, и тогда условие теоремы по-прежнему будет выполняться для оставшихся юношей и девушек. Действительно, пусть каждые K юношей знакомы более чем с K девушками. Одна из этих девушек, возможно, вышла замуж за первого юношу. Но без нее юношам знакомы не менее K девушек. Значит, после женитьбы любой пары остается N – 1 юноша и M – 1 девушка (где М – начальное число девушек), для которых условие теоремы по-прежнему выполняется. Но N было самым маленьким, для которого теорема неверна, значит, всех юношей можно женить. Во втором случае есть K юношей, знакомых ровно с K девушками. Так как K < N, мы можем женить этих юношей на этих девушках. Покажем, что остальных юношей тоже можно женить. Рассмотрим произвольное подмножество из оставшихся N – K юношей. Пусть в нем L юношей. Тогда, по условию теоремы, K женатых юношей плюс эти L юношей знакомы не менее чем с K + L девушками. Так как K женатых юношей не знакомы с незамужними девушками, остальные L юношей должны быть знакомы с не менее чем L незамужними девушками. Значит, для оставшихся N – K юношей выполнено условие теоремы, и они смогут жениться. Теорема доказана. Теорема Холла позволяет решить задачу 4 другим способом. Назовем школьников юношами, а тарелки – девушками. Знакомыми школьника будем считать тарелки, на которых лежит кусочек пирога, который принес школьник. Условие теоремы Холла выполнено, так как любые K школьников принесли не менее K килограммов пирогов и для них потребуется не менее K тарелок. Теорема (Д.Кёниг, 1931). Пусть задана прямоугольная таблица, в клетках которой стоят нули и единицы. Линией в таблице назовем как строку, так и столбец этой таблицы. Тогда минимальное число линий, содержащих все единицы, равно максимальному числу единиц, которые могут быть выбраны так, чтобы среди них не нашлось двух, расположенных на одной и той же линии. Существуют прямые способы доказать теорему Кёнига, но проще воспользоваться теоремой Холла. Пусть m –

КРУЖОК

минимальное число линий, содержащих все единицы, а M – максимальное число единиц, никакие две из которых не лежат на одной линии. Очевидно, что $m \ge M$. Докажем, что $m \le M$. Пусть минимальное покрытие m линиями состоит из r строк и s столбцов, где r + s = m. Так как перестановка строк и столбцов не влияют на m и M, можно так переставить строки и столбцы, чтобы линии покрытия были первыми r строками и s столбцами. Назовем юношами первые r строк таблицы, а девушками – столбцы с номерами, большими s (рис. 2). Юношу и девушку будем считать знакомыми, если на пересечении соответствующих строки и столбца стоит единица. Условия теоремы Холла выполнены в силу минимальности числа линий, иначе можно заменить какие-то K строк покрытия на K – 1 столбцов и все единицы останутся вычеркнутыми. Следовательно, можно женить юношей, т.е. выбрать в каждой из первых r строк по единице так, что никакие две единицы не лежат в одном столбце и ни одна не лежит в первых s столбцах. Рассуждая аналогично, мы можем выбрать s единиц в первых s столбцах, которые лежат в разных строках и не лежат в первых r строках. Итак, мы доказали существование m единиц, никакие две из кото-

Рис. 2

рых не лежат на одной линии. Следовательно, $m \le M$, и доказательство завершено. В свою очередь, из теоремы Кёнига следует теорема Холла. Действительно, пусть таблица из M строк и N столбцов содержит единицы в клетках, если юноша, имеющий номер столбца, знаком с девушкой, имеющей номер строки. Ясно, что все единицы в такой таблице нельзя вычеркнуть менее чем N линиями, так как после вычеркивания K столбцов в оставшихся N – K столбцов останутся единицы не менее чем в N – K строках.

Задачи для самостоятельного решения

1. На шахматной доске $8 \times 8$ пометили 16 клеток так, что на каждой вертикали и каждой горизонтали оказалось по две помеченные клетки. Докажите, что на помеченных клетках можно расставить 8 белых и 8 черных фигур так, чтобы на каждой вертикали и горизонтали стояло по одной белой и одной черной фигуре. 2. Школьники на кружке решали задачи. Оказалось, что каждый решил по 4 задачи и каждая задача решена четырьмя школьниками. Докажите, что можно организовать разбор задач так, чтобы каждый школьник рассказал ровно одну задачу и все задачи были разобраны. 3. Пусть каждый юноша знаком не менее чем с m девушками, а каждая девушка – не более чем с m юношами (m – произволь-

(Продолжение см. на с. 53)

ОЛИМПИАДЫ

XXXVI Турнир городов

ЗАДАЧИ ОСЕННЕГО ТУРА (2014 ГОД)

Базовый вариант

8 – 9 классы

1. (3) Есть 99 палочек с длинами 1, 2, 3,…, 99. Можно ли из них сложить контур какого-нибудь прямоугольника? Е.Бакаев

1

2. Существуют ли такие десять попарно различных натуральных чисел, что их среднее арифметическое больше их наибольшего общего делителя: а) (2) ровно в шесть раз; б) (2) ровно в пять раз? И.Акулич

3. (5) На стороне AB квадрата ABCD отмечена точка K, а на стороне BC – точка L так, что KB = LC. Отрезки AL и CK пересекаются в точке P. Докажите, что отрезки DP и KL перпендикулярны. Е.Бакаев

4. (5) См. задачу М2366 «Задачника «Кванта»

5. Даны N прямоугольных треугольников. У каждого выбрали по одному катету и нашли сумму их длин, затем нашли сумму длин оставшихся катетов и, наконец, нашли сумму длин всех гипотенуз. Оказалось, что три найденных числа являются длинами сторон некоторого прямоугольного треугольника. Докажите, что у всех исходных треугольников одно и то же отношение большего катета к меньшему, если: а) (2) N = 2; б) (3) N – любое натуральное число, большее 1. Е.Бакаев

10 – 11 классы

1. а) (1) См. задачу 2,а для 8–9 классов. б) (2) См. задачу 2,б для 8–9 классов.

2. (4) Вершины треугольника обозначены буквами A, B, C по часовой стрелке. Треугольник последовательно поворачивают по часовой стрелке: сначала вокруг вершины A на угол, равный $\angle A$, потом – вокруг вершины B на угол, равный $\angle B$, и так далее по циклу (каждый раз поворот делают вокруг текущего положения очередной вершины). Докажите, что после шести поворотов треугольник займет исходное положение. В.Расторгуев

3. (5) Даны 15 целых чисел, среди которых нет одинаковых. Петя записал на доску все возможные суммы по 7 из этих чисел, а Вася – все возможные суммы по 8 из этих чисел. Могло ли случиться, что они выписали на доску одни и те же наборы чисел? (Если какое-то число повторяется несколько раз в наборе у Пети, то и у Васи оно должно повторяться столько же раз.) И.Богданов

4. (5) См. задачу 5,б для 8–9 классов.

1 В скобках после номера задачи указано максимальное количество баллов, присуждавшихся за решение. Итог подводился по трем задачам, в которых достигнуты наилучшие результаты.

5. (5) На столе лежала кучка серебряных монет. Каждым действием либо добавляли одну золотую монету и записывали количество серебряных монет на первый листок, либо убирали одну серебряную монету и записывали количество золотых монет на второй листок. В итоге на столе остались только золотые монеты. Докажите, что в этот момент сумма всех чисел на первом листке равнялась сумме всех чисел на втором. Е.Бакаев

Сложный вариант

8–9 классы

1. (4) Дана квадратная таблица. В каждой ее клетке стоит либо плюс, либо минус, причем всего плюсов и минусов поровну. Докажите, что или в каких-то двух строках, или в каких-то двух столбцах одинаковое количество плюсов. Б.Френкин

2. (5) См. задачу М2367 «Задачника «Кванта».

3. (6) См. задачу М2370,а «Задачника «Кванта».

4. (7) На кольцевой дороге через равные промежутки расположены 25 постов, на каждом стоит полицейский. Полицейские пронумерованы в каком-то порядке числами от 1 до 25. Требуется, чтобы они перешли по дороге так, чтобы снова на каждом посту был полицейский, но по часовой стрелке за номером 1 стоял номер 2, за номером 2 стоял номер 3,…, за номером 25 стоял номер 1. Докажите, что если организовать переход так, чтобы суммарное пройденное расстояние было наименьшим, то кто-то из полицейских останется на своем посту. Е.Бакаев

5. (8) См. задачу М2368 «Задачника «Кванта».

6. (8) Назовем натуральное число ровным, если в его записи все цифры одинаковы (например: 4, 111, 999999). Докажите, что любое n-значное число можно представить как сумму не более чем n + 1 ровных чисел. А.Шаповалов

7. Паутина имеет вид клетчатой сетки $100 \times 100$ узлов (другими словами, это сетка $99 \times 99$ клеток). В каком-то ее углу сидит паук, а в некоторых 100 узлах к паутине приклеились мухи. За ход паук может переместиться в любой соседний с ним узел. Может ли паук гарантированно съесть всех мух, затратив не более: а) (5) 2100 ходов; б) (5) 2000 ходов? И.Богданов

10–11 классы

1. (4) См. задачу М2367 «Задачника «Кванта».

2. (5) См. задачу 4 для 8–9 классов.

3. (6) См. задачу М2369 «Задачника «Кванта».

4. (7) Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC, CA, AB в точках $A ', B ', C '$ соответствен-