Квант 2015, №2 · Страницы

4

КВАНТ 2015/№2

Три планеты – три физики ка и – отчасти – раздел «Электричество» в учебниках. Размышление на тему, как выглядит физика цивилизации электрических скатов и угрей, существующей в глубинах океана, предоставляется сухопутному читателю в качестве легкого домашнего упражнения. А дельфины и летучие мыши проводят совместные конференции по акустике (меня однажды пригласили). Некоторые законы физики изменять до какой-то степени можно, пока мы не вступаем в противоречие с чем-то принципиальным, например с законом сохранения энергии. Скажем, заменить закон Ома – ток пропорционален напряжению – на закон «ток растет с напряжением, но очень медленно» можно, и ничего принципиально не изменится. Более того, можно придумать и создать условия, в которых этот закон будет в некотором диапазоне величин соблюдаться. А вот сделать (без использования внешних источников энергии) так, чтобы в законе Ома сменился знак, нельзя. При изменении системы единиц во всех физических законах должны измениться коэффициенты. А отсутствие коэффициента говорит о том, что именно этот закон был когда-то применен для определения единиц величины, о которой он говорит. Есть законы, которые действуют только при определенных условиях, например закон Ома. Можно придумать такую хитрую среду, что в законе Кулона заряд окажется не в первой степени, хотя привычнее будет сказать, что это нелинейная среда с зависимостью диэлектрической проницаемости от напряженности поля. Но ни при каких условиях не могут при зарядах (как и при массах в законе всемирного тяготения) оказаться разные степени – это означало бы, что результат вычислений может зависеть от того, какой заряд мы назовем «первым», а какой «вторым». Любой физический закон выполняется в некоторых условиях и с некоторой точностью, причем эти пределы либо проверены экспериментально, либо следуют из каких-то связей с другими законами. И во многих случаях мы вправе спросить: а что будет, если в следующем знаке будет обнаружено то-то и то-то? Спросить это можно и про самые фундаментальные законы. Например: что будет, если закон сохранения энергии будет нарушаться в неком далеком знаке? А что будет, если сменить знак коэффициента трения или

массы? Или если увеличить размерность пространства или времени? Что произошло бы, если бы какая-то из мировых констант была другой – например, масса электрона или постоянная Больцмана? Сильно изменить константы нельзя – в измененном мире не будут образовываться атомы, молекулы и так далее. Если такой мир возможен и если законы физики там будут те же, то в нем не сможет быть сложных систем, а значит, и человека, наблюдателя. Отсюда делается вывод: возможно, последовательных Вселенных было более одной, но мы видим именно такую, потому что другие некому видеть. Подобное рассуждение лежит на границе области сегодняшней человеческой науки, хотите углубиться – спросите в интернете «фундаментальные константы» и «антропный принцип». Параметры объектов и материалов можно изменять в довольно широких пределах, принципиальные противоречия возникают не скоро. Можно спросить, как изменится мир, если в десять раз увеличатся (или уменьшатся) у всех или у некоторых материалов какие-то их параметры. Например, прочность, модуль Юнга, электропроводность, теплопроводность, электропрочность, коэффициент преломления, температура плавления и так далее. Вполне интеллектуальное физическое и инженерное развлечение. Можете над этим подумать и вы. При определении возможных вариаций величин, законов и констант надо следить за непротиворечивостью. Прогноз развития невозможной по существующим взглядам ситуации может и сам оказаться невозможным, потому что законы науки, аппарат понимания и прогнозирования, создавался путем исследования возможных ситуаций. Однако не во всех системах это так – например, в шахматных задачах можно анализировать и позиции, которые не могли получиться в реальной игре. Здесь уместно процитировать Ричарда Фейнмана: «Еще одно очень интересное развлечение – спрашивать себя, что бы произошло, если бы я мог как-то изменить природу, изменить физический закон? Прежде всего, если бы я мог что-то изменить, это изменение должно согласовываться с кое-какими другими вещами. А еще придется продумать все последствия

5

ФИЗИКА

–

МАТЕРИАЛЫ,

ПАРАМЕТРЫ,

Ричард Фейнман такого измененного закона и понять, что произойдет в результате с миром. Интересная работа. Большая. Я разок попробовал – захотел посмотреть, какая вышла б физика, если бы она была двухмерная, а не трехмерная. Два измерения – евклидова плоскость, плюс время. /…/ А потом я вот так еще развлекался. Представьте, что существует два времени. Два пространственных измерения, два временных. Что это будет за мир – с двумя временами?» Впрочем, об этом писал – позже Фейнмана, но независимо от него – и автор этой статьи (спросите в интернете «Три взгляда на часы»).

Альтернативные географии, геологии, техники

Альтернативной может быть не только физика. В научно-фантастической литературе есть примеры альтернативности географии и геологии. Это мир без нефти (Евгений и Любовь Лукины, «Миссионеры», «Благие намерения»), многочисленные разнообразные миры Хола Клемента, миры с жизнью, построенной не на кислороде, а на фторе (Иван Ефремов, «Сердце Змеи»), мир с вечным источником механической энергии (торчащие из земли вечно вращающиеся стержни) и мир с избытком изотопов. Альтернативная география – особенно география распределения нефти или мест произрастания конопли – влечет альтернативную политику, важно также распределение урана и алмазов. Большинство авторов рассматривают социальные последствия, нас же интересуют физика и техника. Имеющаяся человеческая цивилизация для передачи энергии использует перемещение топлива (уголь по железной дороге, нефть по трубе) либо электричества (по проводам). Для работы с информацией используется электричество – механические компьютеры были в реальности, а нынче упоминаются в некоторых фантастических произведениях (стимпанк). Есть ли разумные основания для рассуждений об альтернативной цивилизации без электричества вообще, или без электроэнергетики, но с информационным электричеством (связь и компьютеры), или, наконец, с электроэнергетикой, но без информационного электричества? Первый вариант – это цивилизация без проводников

АЛЬТЕРНАТИВНОЕ

(металлов, углерода). Энергетика механическая и тепловая, информационная сфера – механическая (в частности, пневмои гидромеханическая). Второй вариант – проводники есть, но только плохие, например тот же углерод. Энергию по углеродным проводам не прокачаешь, но компьютер или приемник сделать можно. Правда, с передатчиком будут проблемы. Разве что использовать генератор Ван де Граафа и искровой разряд? Третий вариант – проводниковые материалы есть, но за окном есть и молнии (раз в секунду). Электромагнитная помеха такая, что котлеты сами разогреваются без СВЧ-печи, ни о какой электромагнитной информатике речи нет. Мягкий вариант – без ферромагнетизма за счет проблем с некоторыми элементами или из-за жары. Самая же простая, но уже полезная для расширения кругозора, альтернативная физика – это попытки представить, как мог бы выглядеть курс физики на Юпитере, Венере, Меркурии и, для простоты, Луне. Иными словами, при сохранении всех величин, законов, и параметров – каковы были бы отличия? Отличия в порядке и значимости разделов: на Меркурии меньше внимания было бы уделено ферромагнетизму, а на Луне – вообще магнетизму; на Юпитере физика газов начиналась бы не с идеальных газов, а с газа Ван дер Вальса; осьминоги Земли детально рассматривали бы законы гидродинамики, а первый закон Ньютона шел бы в их учебнике мелким шрифтом. Заметим, что физика иномира серьезно рассматривается в научной фантастике редко, но рассматривается. Это романы Хола Клемента и книга Бориса Штерна «Прорыв за край мира».

А зачем еще?

Рассуждения о том, что можно сделать из материалов с новыми свойствами, в литературе встречаются. Чаще всего это рассуждения о сверхпрочных материалах и о сверхпроводимости при комнатной температуре. Но почему-то никто не задумывается о том, что изменится, если будет создан, например, идеальный теплоизолятор. Попробуйте представить себе, как можно было бы использовать такие материалы и к чему бы это привело. Рассуждения о варьировании параметров материалов и о достигнутых предельных значениях полезны для тренировки мозгов и развития фантазии, но не только. Во-первых, сегодня у нас есть какой-то определенный материал, а завтра будет лучший – как мы его применим? Полезно знать это, хотя бы отчасти, заранее. Во-вторых, если мы сумели придумать, для чего мы его применим, и видно, что применение будет полезным, откроет новые возможности и так далее, то имеет смысл именно на разработку такого материала направить усилия. В-третьих, такие рассуждения полезны – возможно, это покажется вам удивительным – для развития физики. Потому что решение любых задач полезно для развития. Задач из ваших задачников – для развития ваших мозгов, а серьезных физических задач – для развития самой физики. И вполне вероятно, что через некоторое время эти два развития окажутся связаны…

7

СОБЕРИ

цепей из последовательно и параллельно соединенных резисторов! На самом деле, каждому разрезанию можно сопоставить электрическую цепь и использовать физические законы для решения нашей задачи. Этим мы сейчас и займемся.

Рис. 5. Условимся считать, что в таком разрезании один горизонтальный и два вертикальных разреза

Сначала построим по разрезанию граф. На вертикальных $разрезах^{1}$ (на рисунках 5 и 6 они окрашены в оранжевый цвет) и на вертикальных сторонах боль-

КВАДРАТ

жение батарейки возьмем равным длине горизонтальной стороны большого прямоугольника (почему – станет ясно позже). Электрическая цепь построена. Оказывается, отношение сторон большого прямоугольника всегда можно выразить через отношения сторон маленьких. В этом нам поможет такая теорема. Теорема о сопротивлении цепи и отношении сторон прямоугольника. Сопротивление электрической цепи, построенной по разрезанию, равно отношению горизонтальной стороны большого прямоугольника к вертикальной. Наша ближайшая цель – доказать эту теорему. Но как это сделать, если в ее формулировке участвуют физические, а не математические понятия? Ведь решаем-то мы математическую задачу о разрезании! Придется дать строгое математическое определение электрической цепи и ее сопротивления. А физическая интуиция будет помогать нам.

Математическая модель электрической цепи

Рис. 6. Построение электрической цепи по разрезанию

шого прямоугольника отметим по красной точке. Это будут вершины графа. Для каждого маленького прямоугольника соединим ребром две красные вершины, которые лежат на разрезах, содержащих стороны прямоугольника. Ребер получится столько, сколько маленьких прямоугольников. Также соединим ребром крайние (слева и справа) вершины. Граф построен. Вдоль каждого ребра, кроме последнего, припаяем резистор, сопротивление которого равно отношению горизонтальной стороны соответствующего прямоугольника к $вертикальной.^{2}$ Припишем концам последнего ребра знаки плюс и минус и вдоль этого ребра припаяем батарейку. Напря-

1 Дадим точное определение разреза. Покрасим все горизонтальные стороны маленьких прямоугольников, не лежащие на периметре большого, в зеленый цвет. Они объединятся в несколько зеленых отрезков, которые мы назовем горизонтальными разрезами. Вертикальные стороны маленьких прямоугольников, не лежащие на периметре большого, покрасим в оранжевый цвет. Полученные оранжевые отрезки делятся горизонтальными разрезами на части, именно эти части мы и назовем вертикальными разрезами (см. рис. $5).^{2}$ Конечно, отношение сторон – величина безразмерная, а сопротивление имеет размерность. Поэтому, чтобы говорить о равенстве, мы раз и навсегда фиксируем систему единиц: длины будем измерять в сантиметрах, сопротивления – в килоомах, напряжения – в вольтах, токи – в миллиамперах. В дальнейшем единицы измерения указывать не будем.

Определение. Электрической цепью мы называем связный плоский граф (возможно, с кратными ребрами, но без петель), в котором: • каждому ребру сопоставлено положительное число; • одно из ребер выделено, его концы отмечены знаками «+» и «–»; • при удалении любого ребра граф остается связным. Требование связности после удаления ребра нужно для того, чтобы в цепи не было «лишних» участков (по которым ток не течет). Может возникнуть вопрос, почему мы требуем, чтобы граф был плоский – ведь электрическую цепь можно спаять из проводов, как угодно расположенных в пространстве. Объяснение такое: для нашей задачи нам достаточно плоских электрических цепей, а для них некоторые определения формулируются проще. Определение. Выделенное ребро называется батарейкой, остальные – резисторами. Число, сопоставленное батарейке, называется напряжением батарейки, а числа, сопоставленные резисторам, – их сопротивлениями. Вершины, отмеченные знаками «+» и «–», называются клеммами батарейки. Изобразим цепь на плоскости так, чтобы отрицательная клемма батарейки была правее положительной и концы каждого ребра не лежали на одной вертикальной прямой. Нарисуем на каждом резисторе стрелку слева направо, а на батарейке – справа налево, т.е. от отрицательной клеммы к положительной (рис. 7). Определение. Силы токов через резисторы и батарейку – это числа на ребрах графа, которые удовлетворяют правилам $Кирхгофа^{3}$ (рис.8, 9 и 10). Справедливы три важные теоремы.

3 Их формулировку можно найти, например, в статье «Разрезания металлического прямоугольника» в «Кванте» №3 за 2011 год. Желающим подробно разобраться в физике происходящего рекомендуем еще статью «Правила Кирхгофа» в Кванте №1 за 1985 год.

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Задачи

На простейшем калькуляторе цифры обычно изображаются так:

Какое наибольшее а) восьмизначное; б) семизначное число можно набрать на этом калькуляторе, которое будет выглядеть точно так же, если калькулятор повернуть на $180 ^\circ$ (т.е. «вверх ногами»)? Л.Штейнгарц

Математик с пятью детьми зашел в пиццерию. Маша: Мне с помидорами и чтоб без колбасы. Ваня: А мне с грибами.

а) Впишите в каждый кружочек на рисунке по цифре, отличной от нуля, так, чтобы сумма цифр в двух верхних кружочках была в 7 раз меньше суммы остальных цифр, а сумма цифр в двух левых кружочках – в 5 раз меньше суммы остальных цифр. б) Докажите, что задача имеет единственное решение. А. Шаповалов

Разрежьте изображенный на рисунке шестиугольник на четыре одинаковые фигуры. Резать можно только по линиям сетки. Е. Бакаев

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6–8 классов. Задачи 2 – 5 предлагались в этом году на XXVI Математическом празднике.

Иллюстрации Д.Гришуковой

Даша: Я буду без помидоров. Никита: А я с помидорами. Но без грибов! Игорь: И я без грибов. Зато с колбасой! Папа: Да, с такими привередами одной пиццей явно не обойдешься… Сможет ли математик заказать две пиццы и угостить каждого рeбенка такой, какую тот просил, или все же придется три пиццы заказывать? Е.Бакаев

Обезьяна становится счастливой, когда съедает три разных фрукта. Какое наибольшее количество обезьян можно осчастливить, имея 20 груш, 30 бананов, 40 персиков и 50 мандаринов? Обоснуйте свой ответ. А. Шаповалов

25

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

ШКОЛЬНИКОВ

Ребусы про «Квант»

Л.ШТЕЙНГАРЦ

ПРЕДЛАГАЕМ ВАМ НЕОБЫЧНУЮ ПОДБОРКУ ЗА- дач-ребусов – во всех присутствует название нашего журнала. Как и всегда, в каждом ребусе надо заменить каждую букву некоторой цифрой (разные буквы – разными цифрами) так, чтобы ребус превратился в верное равенство. Если в задаче есть дополнительные условия, они оговариваются отдельно. Некоторые из ребусов довольно трудны и потребуют немало усилий для своего решения. Ребусы подобраны так, что в каждом есть только один ответ. Попробуйте найти эти ответы, а если интересно, то и доказать их единственность. Желаем удачи!

1. Решите ребус при условии, что число КВАНТ простое:

9. Решите ребус при условии, что число КВАНТ делится на 3:

11. Решите ребус при условии, что число ВОЛНА делится на 4:

14. Решите ребус при условии, что число КВАНТ делится на 4:

17. Решите ребус при условии, что число КВАНТ а) четное; б) нечетное:

18. Решите ребус при условии, что число КВАНТ простое:

19. Решите ребус при условии, что число КВАНТ делится на 4:

20. Решите ребус при условии, что число КВАНТОР а) четное; б) нечетное:

21. Решите ребус при условии, что число КВАНТ делится на 4:

26

КВАНТ 2015/№2

Буратино и его научная работа

И.БОЯРИНОВ

ОДНАЖДЫ БУРАТИНО ВЕРНУЛСЯ ДОМОЙ ИЗ ШКО- лы явно озадаченным. Вместо того чтобы как обычно пойти немного погулять и отдохнуть, он уселся за стол и положил перед собой чистый лист бумаги. – Учитель сказал, что скоро у нас в школе пройдет научно-практическая конференция, на которой ученики должны рассказать о результатах своей научноисследовательской работы, – пояснил Буратино, отвечая на недоуменный взгляд Папы Карло. – А что это за работа такая? Я ею никогда не занимался! Вот окончу школу, университет, потом найду себе место младшего научного сотрудника в лаборатории – тогда и начну проводить исследования. А что я сейчас могу? Да и знаю я сейчас так мало! – Дорогой мой Буратино, не надо так долго ждать! Математика такая большая, что всегда можно найти новые и доступные задачи! Вы уже прошли подобные треугольники? – Прошли. – Вот и придумай про них что-нибудь новое, – предложил Папа Карло. – А что тут может быть нового? Есть три признака подобия… Стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого… – Так-то оно так, а если одну сторону треугольника увеличить в 25 раз, другую – в 15 раз, а третью – в 9 раз, то может ли новый треугольник быть подобным исходному? – спросил Папа Карло. Пусть это будет твоя задача 1. – Нет, никак не может новый треугольник оказаться подобным исходному, – уверенно возразил Буратино.

Есть формула для сторон подобных треугольников:

AB BC CA = = = K. A 1 B 1 B 1 C 1 C 1 A 1

Стороны должны быть пропорциональны. А если одну сторону увеличить в 25 раз, другую – в 15, то никакой пропорциональности сторон не получится. Какое тут может быть подобие? Никакое, – уверенно заключил Буратино. – Можно сказать, пожалуй, что ты запутался в трех соснах, точнее – в трех сторонах! – улыбнулся Папа Карло. Давай-ка в таком случае упростим ситуацию и рассмотрим всего две стороны подобных фигур. Вот тебе Задача 2. Две противоположные стороны прямоугольника ABCD увеличили в 2 раза, а две другие стороны – в 8 раз. Может ли новый прямоугольник быть подобным исходному? – Только предупреждаю, не торопись с ответом, чтобы не ошибиться. Подумай! Теперь Буратино проявил осмотрительность, не стал спешить, сосредоточился и через несколько минут нарисовал на бумаге в клетку два прямоугольника – один 1 ¥ 2, второй 4 ¥ 8. Эти прямоугольники ясно показывали, что описанная в задаче 2 ситуация вполне возможна. Если у первого стороны длины 2 увеличить в 2 раза, стороны длины 1 – в 8 раз, то в аккурат второй прямоугольник и получится. Этот пример заставил Буратино насторожиться. – Хорошо, – одобрительно сказал Папа Карло. – Теперь ты убедился, что иногда действительность противоречит нашим привычным представлениям. Рассмотрим обобщение задачи 2, пусть это будет для тебя тренировочная Задача 3. Две противоположные стороны прямоугольника ABCD увеличили в p раз, а две другие стороны – в q раз. Может ли новый прямоугольник быть подобным исходному и если да, то при каком условии? Буратино справился и с этой задачей. Вы тоже можете ее решить, сверив свой ответ с приведенным в конце журнала. Воодушевленный таким началом, Буратино вернулся к задаче 1. Как к ней подступиться, с чего начать?.. – Начнем с известного, – посоветовал Папа Карло. Для двух подобных треугольников со сторонами a, b, c и A, B, C обычно рассматривают сходственные стороны:

( a, b, c ) ֏ ( A, B, C ) = ( Ka, Kb, Kc ).

Будем считать, что длины сторон перечислены в порядке их возрастания. А в каком порядке перечислены

29

НАШИ

НАБЛЮДЕНИЯ

Нет, она всего лишь собирается обменяться телами с Черной Королевой (рис.2). 2. Возможно, все, что случилось с Алисой в Зазеркалье, – всего лишь приснилось ей. Вот небольшой отрывок, где речь идет о сне Черного Короля. – Милый, правда? – спросил Траляля. Алисе трудно было с ним согласиться. На Короле был красный ночной колпак с кисточкой и старый грязный халат, а лежал он под кустом и храпел с такой силой, что все деревья сотрясались. – Так можно себе и голову отхрапеть! – заметил Труляля. – Как бы он не простудился, – забеспокоилась Алиса, которая была очень заботливой девочкой. – Ведь он лежит на сырой траве! – Ему снится сон! – сказал Траляля. – И как по твоему, кто ему снится?! – Не знаю, – ответила Алиса. – Этого никто сказать не может. – Ему снишься ты! – закричал Траляля и радостно захлопал в ладоши. – Если б он не видел тебя во сне, где бы, интересно, ты была? А вот комментарий Гарднера к этому отрывку: Алиса видит во сне Короля, который видит во сне Алису, которая видит Короля, и так далее, словно два зеркала, поставленные друг перед другом… Что-то наподобие того, что изображено на рисунке 3.

Рис. 4

Рис. 3

Конечно, сон Алисы и сон Черного Короля – это чрезвычайно запутанные состояния, которые не так-то легко распутать. 3. И еще один сюжет. Все время от начала до конца истории Черный Король проспал без движения (на одном поле шахматной доски), а Алиса прошла весь путь до последней горизонтали, превратившись из Белой Пешки в Белую Королеву. Естественно, что в разные моменты времени она находилась по разные стороны от Черного Короля. Судя по всему, сейчас Алиса находится спереди (рис.4). Или это только иллюзия (рис.5)?

Рис. 5

В заключение предлагаем вам посмотреть два ролика, связанные с последним сюжетом: http://www.youtube.com/watch?v=oJb9RnAVDuE http://www.youtube.com/watch?v=GAmWs6zfTj8 Как по-вашему: кто из присутствующих на первом ролике исполняет роль Безумного Шляпочника, а кто – Мартовского Зайца?

Все, что видно, видно по прямой.

Евклид

…из всех лучей, падающих из данной точки и отражающихся в данную точку, минимальны те, которые от плоских и сферических зеркал отражаются под равными углами. Герон Александрийский

…отскакивать все от вещей заставляет природа. И отражаться назад под таким же углом, как упало. Тит Лукреций Кар

Не являются ли лучи света очень маленькими телами, испускаемыми светящимися веществами? Ибо такие тела будут проходить сквозь однородные среды без загибания в тень соответственно природе лучей света. Исаак Ньютон

Сформулировав задачу математически, легко подсчитать пути всех лучей. Ричард Фейнман

А так ли хорошо знакомы вам

?

геометрия и оптика

Ну зачем понадобилось разделять эти понятия, если ясно, что речь пойдет о всем известном разделе курса физики – о геометрической оптике? Однако не все так просто. Если мы обратимся к месту ее зарождения – Древней Греции и ко времени – III век до н.э., то окажется, что там и тогда только формировался понятийный аппарат той части математики, которая изучает пространственные отношения и формы тел, т.е. собственно геометрии. Оптика же, как дисциплина, исследующая свойства света, именовалась «зрительным искусством», словно намекая на ее менее знатное происхождение. Конечно, уже тогда эти два познавательных направления в поисках связи между наблюдаемой реальностью и способами ее описания сильнейшим образом влияли друг на друга. Задачи, которыми они обменивались, способствовали созданию языка строгой науки и проверяли эффективность и работоспособность этого языка. Но лишь к XVII веку были установлены и отшлифованы законы геометрической оптики, единовластно воцарившейся на следующие два столетия и воплощавшей в себе синтез двух наук. Наконец, XIX век отделил ее от оптики физической (волновой) и поставил на свое место в сохранившейся до сих пор «табели о рангах». История геометрической оптики – один из интереснейших примеров переплетения и обогащения друг другом разнообразных областей физики и математики. Естественно начать сегодняшний разговор с первых открытых законов геометрической оптики – прямолинейного распространения и отражения света. А к другим закономерностям, связавшим оптику и геометрию, мы обратимся в следующем выпуске «Калейдоскопа».

Вопросы и задачи

1. Можно ли устроить фотоаппарат без объектива? 2. Как нужно держать карандаш над столом, чтобы получить резко очерченную его тень, если источником света служит закрепленная у потолка лампа дневного света, имеющая форму длинной трубки? 3. Можно ли получить от непрозрачного предмета четыре полутени без тени?

2. Электрическая лампа накаливания помещена в матовый стеклянный шар, подвешенный у потолка. Под лампой держат мяч, диаметр которого в 2 раза меньше диаметра шара. На какой высоте следует поместить мяч, чтобы его тень на полу исчезла? Каким должен быть диаметр мяча, чтобы размеры его тени были одинаковы при любых расстояниях мяча от пола? 5. Непрозрачный куб закреплен так, что одна из его вершин находится на горизонтальной плоскости, а центр куба лежит на одной вертикали с этой вершиной. Сверху на куб вертикально падает широкий параллельный пучок света. Какова форма тени куба на плоскости? 6. Как изменится расстояние между предметом и его изображением в плоском зеркале, если зеркало переместить в то место, где было изображение? 7. Человек, стоящий на берегу озера, видит на гладкой поверхности воды изображение Солнца. Как будет перемещаться это изображение при удалении человека от озера? 8. Солнечные лучи составляют с горизонтом угол $48 ^\circ$. Как надо расположить плоское зеркало, чтобы направить лучи горизонтально? 9. На поверхности озера видна сверкающая лунная дорожка. Как она образуется? Будет ли наблюдаться дорожка на идеально гладкой спокойной поверхности воды? Почему дорожка всегда ориентирована на наблюдателя? 10. Луч света падает на плоское зеркало, вращающееся с некоторой скоростью против часовой стрелки. В каком направлении и с какой скоростью вращается отраженный луч? 11. Свет исходит из источника А, отражается от зеркала и приходит в точку В, как изображено на рисунке. Покажите, что путь АСВ, определенный по закону отражения, является кратчайшим из всех других возможных путей луча. 12. Определите графически, при каких положениях глаза наблюда-

тель сможет одновременно увидеть в плоском зеркале конечных размеров изображение точки А и отрезка BC. 13. Известны положения оси $MM_{1}$ сферического зеркала, светящейся точки А и ее изображения $A_{1}$. Найдите построением положения вершины зеркала и его центра. 14. Когда смотрят в вогнутую сторону блестящей ложки, то видят перевернутое изображение своего лица. Когда же смотрятся в вогнутое зеркало для бритья, то видят свое увеличенное прямое (неперевернутое) изображение. Почему? 15. Может ли изображение светящейся точки в вогнутом зеркале находиться на его оси между зеркалом и главным фокусом?

Микроопыт Найдите простой способ определить «рост» одиноко стоящего высокого дерева, если вы располагаете лишь плоским зеркалом и рулеткой.

Любопытно, что… …в знаменитых «Началах», подытоживших достижения древнегреческой математики, Евклид, пытаясь логически построить геометрию, часто опирался на интуицию и доверялся глазу. По всей видимости, понятие о прямой линии возникло из представления о прямолинейном распространении света в однородной среде – о так называемых «зрительных лучах». Само же слово «луч» соотносят по смыслу со словом «стрела». …Архимед занимался как «чистой» математикой, так и ее приложениями, в том числе военными. Исследуя свойства зеркал, он изучал построение в них отражений, особенно в «зажигательных» зеркалах, чьи свойства были связаны с коническими сечениями. Так, им было доказано, что лучи, вышедшие из фокуса эллиптического зеркала, после отражения собираются в другом его фокусе. …геометрические построения с помощью циркуля и линейки, без которых часто невозможно обойтись при решении задач по оптике, древнегреческие ученые считали наиболее изящными и ценили выше, чем построения с помощью других инструментов. …наряду с математикой и астрономией средневековые арабские ученые усердно изучали оптику, возбуждавшую, по их мнению, интерес к геометрии. Например, прославленный автор оптического трактата Альхазен повествует в нем не только о плоских, но и о сферических, цилиндрических и конических вогнутых и выпуклых зеркалах; получает в них изображения, определяя их положение и величину. Также он разбирает способность параболоида вращения отражать лучи, исходящие из его фокуса, параллельным пучком. …английский философ и естествоиспытатель XIII века Роджер Бэкон, положивший начало катакаустике – учению о зажигательных приборах, полагал, что оптика – «украшение всей философии». Однако за резкую критику трудов Аристотеля и занятия такими непонятными современникам вещами, как камераобскура, чье изобретение ему приписывала легенда, он был обвинен в ереси и магии и брошен в тюрьму.

…строгие правила построения изображений в сферических зеркалах были установлены в конце XVII века Христианом Гюйгенсом и графом Эренфридом фон Чирнхаусом, известным как изобретатель европейского белого фарфора. Кроме того, этим ученым, благодаря исследованию свойств «зажигательных» кривых, были созданы чрезвычайно большие фокусирующие линзы и зеркала, при помощи которых удалось продемонстрировать горючесть алмаза. …знаменитый математик Карл Фридрих Гаусс оставил заметный след и в геодезии, усовершенствовав для ее нужд оптическую сигнализацию и изобретя специальный прибор – гелиотроп, и в физике, где, в том числе, развил метод зеркального отсчета, применяемый в чувствительных электромагнитных приборах. …выдающийся естествоиспытатель Герман Гельмгольц, впервые давший математическую трактовку закона сохранения энергии, был и конструктором оригинальных измерительных приборов. Так, ему принадлежит изобретение офтальмоскопа – глазного зеркала, позволяющего наблюдать дно человеческого глаза. …особенность кошачьих глаз светиться в темноте связана с отражением от них света почти параллельным пучком. На этом эффекте в 30-е годы XX века было разработано устройство под названием «кошачий глаз». Оно устанавливалось на опасных участках дорог, предупреждая водителей отраженным светом фар их же приближающихся автомобилей. …при строительстве сложных инженерных сооружений – мостов, тоннелей, высотных зданий, крупных научных установок – требуется контролировать расстояния до нескольких километров с точностью до долей миллиметра. Справиться с этой задачей позволяют лазерные дальномеры – их лучи расходятся очень слабо. Компактным примером такого прибора может служить лазерная указка. …несколько лет назад был создан телевизор с жидкокристаллическим экраном, исполняющим в выключенном состоянии функции зеркала. Разработка современных оптиков и инженеров, признанная одним из самых смелых изобретений начала XXI века, привела к новому дизайну домашнего пространства, успешно конкурируя с зеркалами из стекла и амальгамы.

Что читать в «Кванте» о геометрической оптике

(публикации последних лет)

1. «Отражение от тонких цилиндрических зеркал» – 2009, №1, с.47; 2. «Что мы видим в зеркале?» – 2009, №2, с.30; 3. «Каустики на плоскости и в пространстве» – 2010, №3, с.48; 4. «Оптические явления в автобусе» – 2012, №2, с.42; 5. «Физический калейдоскоп. Выпуск 3» – 2012, Приложение №3, с.112; 6. «Геометрия световых лучей» – 2013, №1, с.55; 7. «Многоликая тень» – 2013, №2, с.43; 8. «Цилиндрическое зеркало-трубка» – 2014, №1, с.40; 9. «Между зеркалами» – 2015, №1, с.42.

Материал подготовил А.Леонович

50

КВАНТ 2015/№2

выбирал одного ребенка, одну маму и одного папу из трех разных семей и катал их в санях. Оказалось, что у него было ровно 3630 способов выбрать нужную тройку людей. Сколько всего могло быть детей на этом вечере? С.Волчёнков

3. Продолжения медиан $AA_{1}, BB_{1}$ и $CC_{1}$ треугольника ABC пересекают его описанную окружность в точках $A_{0}, B_{0}$ и $C_{0}$ соответственно. Оказалось, что площади треугольников $ABC_{0}, AB_{0} C$ и $A_{0} BC$ равны. Докажите, что треугольник ABC равносторонний. А.Якубов 4. См. задачу 4 для 10 класса.

Второй день

5. Квадратный трехчлен f ( x ) имеет два различных корня. Оказалось, что для любых чисел a и b верно неравенство

(

)

$f a^{2} + b^{2} \ge f ( 2 ab )$. Докажите, что хотя бы один из корней этого трехчлена – отрицательный. А.Храбров

6. Есть полусферическая ваза, закрытая плоской крышкой. В вазе лежат четыре одинаковых апельсина, касаясь вазы, и один грейпфрут, касающийся всех четырех апельсинов. Верно ли, что все четыре точки касания грейпфрута с апельсинами обязательно лежат в одной плоскости? (Все фрукты являются шарами.) Л.Емельянов

7. По кругу расставлено 300 положительных чисел. Могло ли случиться так, что каждое из этих чисел, кроме одного, равно разности своих соседей? С.Берлов

8. Петя хочет выписать все возможные последовательности из 100 натуральных чисел, в каждой из которых хотя бы раз встречается число 4 или число 5, а любые два соседних члена различаются не больше чем на 2. Сколько последовательностей ему придется выписать? И.Богданов

Публикацию подготовили Н.Агаханов, И.Богданов, П.Кожевников, О.Подлипский

Региональный этап Олимпиады имени Максвелла

Теоретический тур

Справочные данные (могут понадобиться для любой из задач) Ускорение свободного падения g = 9,8 м $с^{2}$

Плотность дерева (сосны) $\rho_{д} = 400$ кг $м^{3}$

Плотность воздуха $\rho_{0} = 1,3$ кг $м^{3}$

Плотность воды $\rho_{в} = 1000$ кг $м^{3}$

Плотность льда $\rho_{л} = 917$ кг $м^{3}$

7 класс

Задача 1. Скорость света Экспериментатор Глюк исследовал движение солнечного зайчика, который изначально покоился, затем с постоянной скоростью перемещался вдоль прямой, а в конце пути опять замер. Глюк раз в минуту записывал в таблицу координату зайчика:

Правда, несколько раз он отвлекался и пропустил несколько измерений (в таблице – прочерки). Помогите экспериментатору определить, в какой момент зайчик начал движение. С какой скоростью зайчик перемещался? Как долго он перемещался? Кроме этого, заполните пропуски в таблице. М.Замятнин

Задача 2. Который путь длиннее? Первую треть пути автомобиль ехал со скоростью $v_{1}$, а последнюю треть времени – со скоростью $v_{3}$. На втором участке пути его скорость равнялась средней скорости движения на всем пути. Известно, что $v_{1} > v_{3}$. Какой из участков самый короткий, а какой самый длинный? На каком участке автомобиль находился дольше всего, а на каком – меньше всего? В.Слободянин

Задача 3. Коробка с сахаром (1) Кубики сахара-рафинада плотно упакованы в коробку, на которой написано: «Масса нетто (m) 500 г, 168 штук». Длина самого длинного ребра коробки с = 98 мм. Вдоль самого короткого ребра коробки укладывается ровно 4 кусочка сахара. Чему равна плотность сахара-рафинада? Примечание. «Нетто» – это масса продукта без учета массы упаковки (тары). С.Кармазин

Задача 4. С одним велосипедом Группа туристов из трех человек направилась из пункта А в пункт Б, расстояние между которыми L = 22 км. Попутных машин нет. В распоряжении группы есть один велосипед, на котором одновременно могут ехать не больше двух человек. Скорость движения пешим ходом составляет $v_{0} = 5$ км/ч, при езде на велосипеде одного человека его скорость равна $v_{1} = 20$ км/ч, а при езде вдвоем – $v_{2} = 15$ км/ч. Как должны действовать туристы, чтобы за минимальное время добраться до пункта Б? Найдите это время. С.Варламов 8 класс

Задача 1. Равновесие Планка массой m и два одинаковых груза массой 2m каждый с помощью легких нитей прикреплены к двум блокам (рис.1). Система находится в равновесии. Определите силы натяжения нитей и силы, с которыми планка действует на грузы. Трения в осях блоков нет. М.Замятин

Задача 2. Неизвестное в неизвестном Экспериментатор Глюк проводил интересный опыт по погружению кубика, изготовленного из неизвестного материала, в жидкость неизвестной плотности (рис.2). В таб-

51

ОЛИМПИАДЫ

Рис. 2

Рис. 1

лицу он занес показания динамометра, соответствующие различным глубинам погружения кубика. Некоторые значения силы он забыл и не стал их вносить в таблицу. По результатам измерений определите плотность кубика и плотность жидкости. М.Замятин

Задача 3. Коробка с сахаром (2) Кубики сахара-рафинада плотно упакованы в коробку, на которой написано: «Масса нетто (m) 500 г, 168 штук». Протяженность самого длинного ребра коробки с = 112 мм. Вдоль самого короткого ребра коробки укладывается ровно 3 кусочка сахара. Чему равна плотность сахара-рафинада? Примечание. «Нетто» – масса продукта без учета массы упаковки (тары). Достоверно известно, что плотность сахара-рафинада не превышает $4 \cdot 10^{3}$ кг $м^{3}$. С.Кармазин Задача 4. Лед на чашке весов В одной чашке на равноплечных весах лежит кусок льда, который уравновешен гирей массой 1 кг, находящейся в другой чашке. Когда лед растаял, равновесие нарушилось. Груз какой массы и на какую чашку следует добавить, чтобы восстановить равновесие? М.Осин Публикацию подготовил В.Слободянин

Региональный этап XLIX Всероссийской олимпиады школьников по физике

Теоретический тур

9 класс

Задача 1. Постоянная планка При каких значениях массы M возможно равновесие грузов на массивной однородной планке (рис.1)? Нити и блоки невесомы. Трения нет. Масса m известна. М.Замятин

Задача 3. Амперметры Из четырех одинаковых амперметров собрали цепь (рис.2), которую подключили к источнику с небольшим напряжением. Определите силу тока, текущего через перемычку АВ

Рис. 2

Рис. 1

Задача 2. Карлсон уже не тот Однажды у Карлсона заглох моторчик, и он стал падать вертикально вниз с постоянной скоростью $v_{1} = 6$ м/с. После ремонта мотор стал развивать постоянную силу тяги. Из-за этого при вертикальном подъеме Карлсон выходил на скорость $v_{2} = 3$ м/с. С какой постоянной скоростью он двигался в горизонтальном полете? Cилу сопротивления воздуха cчитать пропорциональной квадрату скорости. Карлсон, будучи в меру упитанным, одинаково обтекаем во всех направлениях. М.Замятнин

(сопротивление перемычки и соединительных проводов много меньше сопротивления амперметра), если сумма показаний всех амперметров $I_{0} = 49$ мА. М.Замятнин Задача 4. Полет Скорость камня, брошенного с горизонтальной плоскости под углом к горизонту, через время $\tau = 0,5$ с после броска составляла $\alpha =$ 80% от начальной скорости, а еще через $\tau$ она составляла $\beta =$ 70%. Найдите полное время полета камня. На каком расстоянии от места броска упал камень? Ускорение свободного падения g = 9,8 м $с^{2}$, сопротивлением воздуха пренебречь. Н.Аполонский Задача 5. Положение Солнца На листе с приведенной фотографией (рис.3) восстановите положение солнца и верхнего края забора. Все построения проводите непосредственно на этом листе, а в своей тетради приведите необходимые пояснения. С.Варламов

55

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

z = 2,…, z = 14 – $N_{z} = 14$ точек пересечения. Трудность в том, что среди всех этих точек есть совпадающие, и это надо учесть, чтобы не посчитать их по несколько раз. Рассмотрим пока только плоскости вида y = k и z = m. Любая точка на прямой OA имеет вид ( 6 t, 10 t, 15 t ). Поэтому, чтобы последние две координаты y, z этой точки были целыми, должно выполняться равенство z: y = 15: 10, откуда y = 2k, z = 3k, где k – целое. Таких точек на диагонали четыре: при k = = 1,2,3,4. Значит, среди точек пересечения диагонали с плоскостями вида y = k и z = m мы посчитали дважды $N_{yz} = 4$ точки. Аналогично находим $N_{xy} = 1$ и $N_{xz} = 2$. Кроме того, заметим, что на диагонали ОА нет точек (кроме ее концов О и А), у которых все три координаты одновременно целые (так как НОД(6, 10, 15) = 1). Поэтому ни одну из точек пересечения диагонали с плоскостями мы не посчитали трижды. Тем самым, $N = N_{x} + N_{y} + N_{z} - N_{xy} - N_{yz} - N_{xz} =$

= 5 + 9 + 14 - 1 - 4 - 2 = 21.

Значит, диагональ OA протыкает 22 кубика. 10. Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC. Тогда AI – биссектриса угла BAС и AI ^ MN, значит, $l_{A} P AI$. Пусть A¢, B¢, C¢ – середины сторон ВС, СА и АВ соответственно. Так как AB P A ¢ B ¢ и AC P A ¢ C ¢, то $l_{A}$ – биссектриса угла B ¢ A ¢ C ¢. Аналогично, $l_{B}$ и $l_{C}$ – биссектрисы углов C ¢ B ¢ A ¢ и A ¢ C ¢ B ¢. Тем самым, $l_{A}, l_{B}$ и $l_{C}$ пересекаются в центре вписанной окружности треугольника A ¢ B ¢ C ¢.

РЕБУСЫ ПРО «КВАНТ»

1. Указание: разложите число 2015 на простые множители. Задача имеет единственное решение:

РЕШЕНИЯ

Задача имеет единственное решение:

9. Указание: сначала подумайте, какой может быть цифра Н. Задача имеет единственное решение:

10. Указание: сначала подумайте, какой может быть цифра Н. А затем цифра Т. Задача имеет единственное решение:

11. Указание: сначала выясните, какой может быть цифра Н. А затем цифры А и Т. Задача имеет единственное решение:

12. Указание: сначала выясните, какой может быть цифра В. Затем многое прояснится. Задача имеет единственное решение:

13. Указание: запишите равенство в виде ФАНАТЫ ¥ 5 = КВАНТА и определите цифру А. Задача имеет единственное решение:

14. Указание: рассмотрите степени цифр, которые близки к числу 2015. Задача имеет единственное решение:

15. Указание: запишите данное равенство «в столбик» в таком виде: 2015 ¥ T = КВАН. Задача имеет единственное решение:

16. Указание: запишите данное равенство «в столбик» в таком виде: ФАКТ ¥ 3 = КВАНТ. Задача имеет единственное решение:

17. Указание: подумайте, каким наибольшим числом может быть число слева. Каждое задание имеет единственное решение:

18. Указание: начните с проверки того, что получится, если A = 1, затем A = 2 и т.д. Задача имеет единственное решение:

19. Указание: запишите пример «в столбик». Задача имеет единственное решение:

20. Указание: сначала объясните, что цифра А – четная. А цифра K может быть и нечетной (почему?).

21. Указание: запишите число КВАНТ поразрядно: 10000K + + 1000В + 100А + 10Н + Т. Каждое задание имеет единственное решение:

22. Указание: запишите «в столбик» выражение и слева, и справа. Задача имеет единственное решение:

БУРАТИНО И ЕГО НАУЧНАЯ РАБОТА

Ответ к задаче 3. Да, если отношение сторон прямоугольника ABCD равно p q. В таблице 5 самая короткая сторона переходит в самую длинную, средняя – в самую короткую: ( a, b, c ) ֏ ( C, A, B ).

Таблица 5