Квант 2015, №3 · Страницы

4

КВАНТ 2015/№3

притяжения, на меньших расстояниях преобладают силы отталкивания. На упомянутом рисунке 3,а красная линия отображает график потенциальной энергии взаимодействия двух

тных молекул, или, что одно и то же, изменению (уменьшению) поверхности этого вещества. Математически эту мысль можно записать таким соотношением: $\Delta U \sim \Delta S$. Для перехода от пропорциональности к равенству введем числовой коэффициент, отражающий связь между величинами:

$\Delta U = -\sigma \Delta S$.

Рис. 3

молекул – минимум потенциальной энергии как раз соответствует точке равновесия. А на рисунке 3,б проведено построение тех же графиков сил и энергии на компьютере. Подчеркнем, что нас интересуют расстояния, на которых действуют именно силы притяжения. Здесь потенциальная энергия отрицательна и определяется в основном электростатическим взаимодействием. Внутри жидкости потенциальную энергию для выделенной молекулы можно оценить как сумму энергий взаимодействия всех граничащих с ней молекул. На поверхности соседей будет почти в два раза меньше, следовательно, результирующая энергия поверхностной молекулы станет почти в два раза больше (не забудем, что энергия взаимодействия здесь отрицательна). В результате поверхностные молекулы становятся активнее внутренних – их дальнейшее поведение направлено на уменьшение своей энергии любым способом: либо уйти в глубину вещества, либо выгодным образом присоединить к себе молекулу чужого вещества. Чем больше поверхность жидкости, тем больше ее активность. Применяя эти же рассуждения к твердому веществу, скажем: при одном и том же объеме вещество будет активнее при большей доли в нем поверхностных молекул – т.е. при большей степени его размельчения. Так, если вещество раздробить на кубики, содержащие 27 молекул, то оно будет содержать всего одну внутреннюю молекулу и может, например, раствориться всего в одну стадию – достаточно раствориться (вступить в реакцию) верхнему слою из 26-ти активных молекул. Легко посчитать таким же образом, во сколько раз дольше будет растворяться кубик из 1000 молекул. Вот мы и начинаем понимать одну из главных идей нанотехнологии – даже простое измельчение вещества изменяет его активность. Теперь мы можем записать главную формулу, описывающую явление поверхностного натяжения. Действительно, при отсутствии химических реакций изменение энергии взаимодействия некоторого объема вещества пропорционально изменению числа поверхнос-

Этот коэффициент $\sigma$ называют коэффициентом поверхностного натяжения. Его вычисление представляет сложную теоретическую задачу, для решения которой необходимы сведения о форме молекул. В практических приложениях его определяют экспериментально, особенно если речь идет о жидкостях. Для некоторых жидкостей его ориентировочное значение можно найти в таблицах. Так, для ртути $\sigma = 470$ мДж $м^{2} = 470$ мН м; для воды $\sigma = 71$ мН м; для глицерина $\sigma = 64$ мН м; для керосина $\sigma = 29$ мН м. Воспользовавшись соображениями размерностей, основную формулу можно переписать следующим образом: $F = \sigma L$, где L – длина границы жидкости с твердым телом, а F – сила, действующая на этой границе перпендикулярно линии границы на каждом из участков. Здесь просто произведено сокращение ширины изменяемой области в записи для работы потенциальной силы и в выражении уменьшения площади. Почему в справочниках приводится коэффициент поверхностного натяжения только для жидкостей? В основном потому, что для кристаллов его значение будет зависеть от расположения плоскости скола – раскалывая кристалл по разным направлениям, мы обнажаем разное число молекул или атомов на единицу его поверхности. Как видим, от силы упругости силу поверхностного натяжения отличает то, что она всегда определяется только свойствами вещества, силами взаимодействия его молекул между собой и не зависит ни от степени растяжения поверхности, ни от площади и толщины слоя жидкости.

Опыты с шариками

Примеров использования формулы для силы поверхностного натяжения можно найти довольно много. Особенно в старых задачниках. Мы же рассмотрим малоизвестный опыт с плавающими в воде $шариками.^{1}$ Опыт состоит в следующем. Если шарик плавает в стакане с жидкостью, налитой не до самых краев, то он стремится приблизиться и «прилипнуть» к стенке стакана. Если же стакан долить водой выше краев, то шарик тут же уходит от края к центру стакана. Очевидно, здесь на шарик, кроме силы Архимеда и силы тяжести, действуют еще силы поверхностного

1 Я увидел этот опыт на сайте моего друга Константина Юрьевича Богданова. Описание, фото и расчеты проделаны мной – А.К.

6

КВАНТ 2015/№3

К.Ю.Богданова мы встретили иную попытку объяснения эффекта с мелкими частицами. Там обсуждалось медленное переливание чая из сосуда с носиком (рис.7). По центру и по краям образовались два встречных течения (стрелки черного цвета). Эти течения можно увидеть по чаинкам, движущимся в них. И вот какое $там^{1}$ предлагается объяснение: «Довольно легко плывут против течения чаинки чая мате, когда в него наливают чистую воду с небольшой высоты. Причина необычного явления – стремление всей жидкости (мате + струя + вода в верхней чашке) уменьшить свою поверхностную энергию. Поверхностное натяжение мате ниже, чем у чистой воды. Поэтому поверхностно-активные вещества из мате устремляются вверх по струе, увлекая с собой чаинки. По-видимому, то же произойдет, если вместо мате взять мыльный раствор с чаинками». Значение коэффициента поверхностного натяжения для данного чая не оценивается и не приводится.

1 Адрес: http://www.sciencenews.org/view/generic/id/

351383/description Particles_defy_gravity_float_upstream

Между тем, подобное поведение можно наблюдать не только с чаем мате, но и с кофе, и с обычным чаем, и просто с мутной водой. По-видимому, автор обратил внимание на такое поведение именно в этих обстоятельствах. На наш взгляд, явление можно объяснить, проследив за движением чаинок. Наши стрелки, показывающие движение чаинок (а не воды!), на рисунке 7 выделены красным цветом. Основная причина такая же, что и у описанного нами явления. Действительно, в данном течении можно выделить два взаимно перпендикулярных направления: вдоль течения и поперек него. Поперек течения мениск обусловлен смачиваемостью жидкости, и поэтому чаинки уходят к краям сосуда. В продольном направлении чаинки сносит течение, но мениск у самого края – выпуклый. Чаинки, хотя и сопротивляются течению, но стремятся уйти назад – от выпуклости. Поэтому при аккуратном сливании жидкости и наблюдается обратное течение. А какое объяснение можете предложить вы, уважаемые читатели?

Владимир Алексеевич Лешковцев (16.08.1922–25.05.2015)

25 мая 2015 года ушел из жизни старейший сотрудник нашего журнала Владимир Алексеевич Лешковцев. Идее создания журнала «Квант» более полувека, однако вышел в свет он лишь после нескольких лет интенсивной подготовки и тщательного подбора редакционной коллегии и сотрудников редакции. Чтобы «Квант» «излучался» регулярно, месяц за месяцем, потребовались не только творческие усилия его авторов и членов редколлегии, но и умение сотрудников редакции обеспечить бесперебойность издательского процесса. Одним из тех, кто с первого номера журнала на протяжении двадцати лет отвечал за его выпуск, был Владимир Алексеевич Лешковцев, штатный заместитель главного редактора. Трудно сказать, кого Владимир Алексеевич не знал в Академии наук СССР и Академии педагогических наук СССР – учредителях журнала. Его близкие, буквально «на ты» контакты с огромным числом ученых и педагогов очень помогали в решении сложных проблем издания журнала. Однако Владимир Алексеевич занимался не только «текучкой» – его статьи по истории советской физики, рецензии и обзоры научно-популярных книг, связанные с памятными датами передовицы неоднократно появлялись на страницах «Кванта». Коньком же Владимира Алексеевича была рубрика «Уголок филателиста», представившая целую коллекцию марок научно-технической тематики. Нельзя не сказать и о его активной деятельности в качестве одного из лучших лекторов Всесоюзного общества «Знание», сотрудникам «Кванта» выпала удача постоянно убеждаться в его ораторском мастерстве, не сходя с рабочего места. Те, кого судьба тесно свела с Владимиром Алексеевичем Лешковцевым, не забудут совместную работу, доверительное общение с ним, его уроки мудрости, ценность которых лишь возрастает со временем.

12

КВАНТ 2015/№3

где $\alpha, \beta$ и $\gamma$ — некоторые постоянные. Эта формула неплохо описывает экспериментальную кривую зависимости удельной энергии связи от массового числа, хотя мы и оставили вне нашего рассмотрения несколько других, менее значимых, вкладов в эту энергию. Эта кривая наглядно показывает, что сначала с ростом массового числа А энергия связи быстро растет. Где-то в средней части таблицы Менделеева она достигает максимума, а затем начинает медленно уменьшаться.

График зависимости удельной (в расчете на один нуклон) энергии связи от массового числа

Рассмотрим теперь процесс деления ядра. Пусть ядерная «капля», поглотив попавший в нее извне нейтрон, начинает колебаться и в какой-то момент вытягивается. Минимальную поверхность при заданном объеме имеет сферическая капля. У вытянутой капли поверхностная энергия увеличивается, а энергия связи ядра соответственно уменьшается. С другой стороны, при растяжении ядра возрастает среднее расстояние между нуклонами, и энергия их электростатического отталкивания уменьшается, в результате чего энергия связи должна увеличиться. Если в этой борьбе победит электростатическое взаимодействие, ядро разорвется; если же поверхностное натяжение— ядро вернется в исходное состояние.

Деление тяжелого ядра в результате бомбардировки его нейтроном

Из полученного выражения для $E_{св}$ понятно, что судьба ядра во многом зависит от числа протонов Z и общего числа нуклонов А. С ростом порядкового номера элемента энергия электростатического отталкивания возрастает быстрее поверхностной энергии, поэтому делиться могут только тяжелые ядра. Причем деление тяжелых ядер может быть как спонтанным, так и под воздействием бомбардировки нейтронами. Спонтанные деления за время существования

Земли привели к тому, что в природе не осталось трансурановых элементов, теперь их можно получать только искусственно. А вот в процессе деления ядра в результате бомбардировки его нейтроном всегда испускается еще несколько нейтронов (для урана обычно 2—3). Эти нейтроны, в свою очередь, могут вызвать дальнейшие деления ядер, появится еще больше свободных нейтронов и так далее – произойдет нарастающая цепная реакция. Именно реализация на практике такой цепной ядерной реакции деления, сопровождающейся выделением огромного количества тепловой энергии, и опровергла пессимистическое предсказание Резерфорда. Однако этот самоподдерживающийся процесс происходит только в том случае, если масса уранового образца превышает некоторую «критическую» величину. Действительно, если масса выбранного образца невелика, то у каждого излучаемого при расщеплении ядра нейтрона, прежде чем столкнуться с другим ядром и вызвать новое деление, высока вероятность выйти из его объема. Если же масса образца превышает критическую величину, то цепная реакция «разгоняется»: в единицу времени происходит все большее и большее число делений ядер, которые приводят ко все большему и большему выделению тепла. При отсутствии контроля тепловыделения вскоре неизбежно происходит взрыв. Оценка критической массы урана-235, необходимой для возникновения цепной реакции, стала важнейшей задачей для физиков по обе стороны фронта во время Второй мировой войны. Кажется, немцы, в том числе и великий Вернер Гейзенберг, эту величину сильно завысили – получающаяся бомба им казалась слишком тяжелой, чтобы быть доставленной к цели самолетом. Возможно поэтому их атомный проект оказался лишь одним из нескольких направлений создания «чудесного оружия» (wunder waffe). По другую сторону Ла-Манша физик немецкого происхождения Рудольф Пайерлс, эмигрировавший из Германии в Великобританию с приходом к власти Гитлера в 1933 году, в своей оценке величины критической массы пришел к гораздо более оптимистичным выводам. Он даже опубликовал свои расчеты, однако без указания возможности военного применения этих результатов. Последнее, при чтении работы Пайерлса, пришло в голову Отто Фришу, австрийскому физику, который также эмигрировал в Великобританию. В 1940 году Фриш и Пайерлс написали меморандум, на этот раз строго конфиденциальный, который был представлен британским властям. В этом документе авторы описали основные этапы процесса создания атомной бомбы и оценили ее разрушительную силу. Вскоре союзники всерьез взялись за дело, и была разработана грандиозная программа ядерных исследований – Манхэттенский проект. Он стартовал в США в 1942 году и был реализован в течение трех лет в результате усилий большого коллектива ученых, среди которых, кроме Фриша и Пайерлса, были такие выдающиеся умы, как Энрико Ферми, Роберт Оппенгеймер, Ричард Фейнман и многие другие. Взрывом двух атомных бомб в Хиросиме и Нагасаки в августе 1945 года была завершена Вторая мировая война и начата атомная эра в истории человечества. В настоящее время деление ядер находит свое мирное применение в энергетике многих стран. Преобразование ядерной энергии в уже легко используемую электрическую энергию происходит, как правило, следующим образом. В реакторе ядерное топливо, обычно уран, при бомбардировке нейтронами распадается на ядра более легких элементов таблицы Менделеева. При каждом акте такого деления выделяется значительная энергия – и в этом суть процесса.

15

ЗАДАЧНИК

Ф2389. Концы однородной цепочки длиной L и массой M закреплены, и цепочка, состоящая из множества звеньев, свободно висит в воздухе. Касательные к цепочке в местах крепления концов составляют с горизонтом углы $\alpha$ и $\beta ( \alpha > \beta ).$ Каково натяжение цепочки в самой нижней ее точке? Какова разность уровней (по вертикали) точек, в которых находятся самое верхнее и самое нижнее звенья цепочки? Ц.Почкин

Ф2390. Горизонтальная плоская поверхность разделена прямой линией на две части. По одну сторону от прямой поверхность абсолютно гладкая, по другую – шероховатая, причем коэффициент трения $\mu$ в каждой ее точке пропорционален расстоянию от этой точки до разделительной прямой. Две одинаковые маленькие шайбы движутся поступательно по гладкой части поверхности перпендикулярно разделительной прямой и одновременно пересекают ее. Какая шайба остановится раньше, если скорость первой шайбы в 10 раз больше скорости второй? И.Акулич

Ф2391. Два проводящих диска, заряженных зарядами q и –q, могут двигаться без трения в длинном непроводящем цилиндре, расположенном горизонтально (см. рисунок). Между дисками находится некоторое количество гелия, за дисками газа нет. Заряды дисков мгновенно уменьшают вдвое, после чего ожидают прихода системы в равновесие. Пренебрегая теплообменом, найдите, во сколько раз изменятся температура газа и расстояние между дисками. А.Черноуцан

Ф2392. На столе на высокой непроводящей подставке закреплен маленький шарик с зарядом Q. На другой подставке такой же высоты, которая находится на расстоянии L от первой, закреплен шарнир. В шарнир вставлен и может свободно вращаться невесомый стержень, длина которого много меньше L. На концах этого стержня закреплены два маленьких шарика массой m каждый с зарядами +q и –q. Расстояния от шариков до оси вращения одинаковы. Диполь – два шарика с разными по знакам зарядами на стержне – раскрутили, и он начал быстро вращаеться. Период обращения диполя равен T. Заряд Q и заряды +q и –q всегда находятся в одной и той же горизонтальной плоскости. С какой средней по времени силой взаимодействуют точечный заряд и диполь? С.Варламов

Ф2393. Вася получил такое задание: на длинный диэлектрический цилиндр с внешним радиусом R намотать тонкую проволоку фиксированной длины так, чтобы в одной из точек на оси симметрии цилиндра можно было создать максимальную индукцию магнитного поля при пропускании по проволоке фиксированного постоянного тока. Когда задание было выполнено,

«КВАНТА»

оказалось, что максимальная толщина h всех слоев проволоки на цилиндре равна R. Каким при этом оказалось максимальное расстояние между витками намотки вдоль оси цилиндра? В.Максимов

Ф2394. Симметричная тонкая собирающая линза с оптической силой D = 1 дптр сделана из стекла с показателем преломления n = 3/2. Линза стоит на подставке посредине оптической скамьи, длина которой L = 4 м. На каком максимальном расстоянии от линзы на ее главной оптической оси нужно поместить на скамью очень маленький источник света, чтобы одно из его действительных изображений попало в один из фокусов линзы? Подсказка. На границе раздела воздух–стекло происходит частичное отражение света. В.Сергеев

Решения задач М2366–М2373, Ф2373–Ф2379

M2366. С начала учебного года Андрей записывал свои оценки по математике. Получая очередную оценку (2, 3, 4 или 5), он называл ее неожиданной, если до этого момента она встречалась реже каждой из всех остальных возможных оценок. (Например, если бы он получил с начала года подряд оценки 3,4,2,5,5,5,2,3,4,3, то неожиданными были бы первая пятерка и вторая четверка.) За весь учебный год Андрей получил 40 оценок – по 10 пятерок, четверок, троек и двоек (неизвестно, в каком порядке). Можно ли точно сказать, сколько оценок были для него неожиданными?

Решение см. в статье Е.Бакаева «Мальчики, девочки, таблицы, графы …» в этом номере журнала. M2367. Докажите, что в любом описанном около окружности многоугольнике найдутся три стороны, из которых можно составить треугольник.

Пусть наибольшая сторона AB многоугольника касается вписанной окружности в точке K, а BC и AD – соседние стороны (см. рисунок), пусть они касаются окружности в точках L и M соответственно. Тогда BC > > BL = BK, AD > > AM = AK, значит, BC + AD > BK + + AK = AB. Получается, что наибольший из отрезков AB, AC и BC меньше суммы двух других, и, значит, из отрезков AB, AC и BC можно составить треугольник. Т.Казицына, Б.Френкин

M2368. Внутри прямоугольного треугольника построили две равные окружности так, что первая касается одного из катетов и гипотенузы, вторая каса-

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Задачи

В аквариуме живет три вида рыбок: золотые, серебряные и красные. Если кот съест всех золотых рыбок, то рыбок станет на 1 меньше, чем 2/3 исходного числа. Если кот съест всех красных рыбок, то рыбок станет на 4 больше, чем 2/3 исходного числа. Каких рыбок – золотых или серебряных – больше и на сколько? И.Высоцкий, И.Раскина

Постарайтесь распутать данные три ребуса, которые никак между собой не связаны. Но все они расположены вместе, так как в каждом левом слове «скрывается» правое. Буквы должны быть заменены соответствующими цифрами, причем отличными от нуля. Отметим, что каждый из этих ребусов имеет единственное решение. 1) ШУТКА: 17 = УТКА 2) АРБУЗ: 17 = ЗУБР 3) БУЛКА: 17 = КЛУБ Л.Штейнгарц

Во дворе, где проходят четыре пересекающиеся тропинки, растет одна яблоня (как показано на рисунке). Посадите еще три яблони так, чтобы по обе стороны от каждой тропинки было поровну яблонь. Е.Бакаев

Иллюстрации Д.Гришуковой

Володя бежит по круговой дистанции с постоянной скоростью. В двух точках дистанции стоит по фотографу. После старта Володя сначала некоторое время был ближе к первому фотографу, затем в течение 3 минут – ближе ко второму фотографу, а потом снова ближе к первому. За какое время Володя пробежал весь круг? В.Ковальджи

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6–8 классов. Задачи 1, 2, 5 предлагались на XXVI Математическом празднике, а вариация задачи 3 – на LXXVIII Московской математической олимпиаде.

Смешарики живут на берегах пруда в форме равностороннего треугольника со стороной 600 м. Крош и Бараш живут на одном берегу в 300 м друг от друга. Летом Лосяшу до Кроша идти 900 м, Барашу до Нюши – тоже 900 м. Докажите, что зимой, когда пруд замерзнет и можно будет ходить прямо по льду, Лосяшу до Кроша снова будет идти столько же метров, сколько Барашу до Нюши. Е. Бакаев, А. Хачатурян

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Эксперимент не удался

И.АКУЛИЧ

ВПРОШЛОМ ГОДУ В ОДНОМ ЛИЦЕЕ ОРГАНИЗОВАЛИ МАТЕ- матический вечер, на котором всем школьникам предложили проделать следующий опыт: «Возьмите год своего рождения, запишите его цифры в обратном порядке и сложите с исходным числом. Цифры полученной суммы также запишите в обратном порядке и вычтите из большего числа меньшее. Результат должен делиться на 99». Троечник Петя так и сделал, но перепутал порядок действий и сначала нашел разность, а уж потом – сумму. Поэтому эксперимент не удался. Какой результат у него получился?

• • • Начнем с примера. Пусть Петя родился, скажем, в 1999 году. Если бы он выполнял действия в нужном порядке, то сначала он получил бы сумму 1999 + 9991= = 11990. Это число в обратном порядке даст 09911, т.е. 9911, и искомая разность – 11990 – $9911 = 2079 = 99 \cdot 21$ – и вправду делится на 99. А если действия перепутаны, сначала Петя получит число 9991 – 1999 = 7992, а потом число 7992 + 2997 = = 10989. Но это число равно $99 \cdot 111$, т.е. тоже делится на 99. Пока непонятно, ни почему эксперимент удается при правильном порядке, ни почему он мог не сработать у Пети, когда тот действия перепутал.

Предлагаем желающим ответить на вопросы самостоятельно, а потом свериться с нашим объяснением.

• • • Решение задачи (как и планета Земля) держится на трех китах – вспомогательных теоремах. Вот они. 1-й кит. Если цифры четырехзначного числа записать в обратном порядке и сложить с исходным числом, то результат будет делиться на 11. Доказательство таково. Обозначим цифры четырехзначного числа (слева направо) буквами a, b, c и d. Тогда оно равно 1000a + 100b +10c + d, «обращенное» число равно 1000d + 100c +10b + a, а их сумма составит 1001a + 110b +110c + 1001d, что явно делится на 11 (ибо каждое слагаемое делится на 11). (А вообще-то утверждение верно для любого числа из четного количества цифр, но нам другое количество цифр не понадобится.) 2-й кит. Если цифры числа, делящегося на 11, записать в обратном порядке, то результат тоже будет делиться на 11. Доказательство этого кита базируется на следующем признаке делимости на 11: число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммами его цифр, стоящих на четных и нечетных местах, кратна 11 (доказывать этот признак здесь не будем – он широко известен и часто встречается в литературе). Очевидно, суммы цифр, стоящих на четных и нечетных местах, при записи цифр в обратном порядке не изменятся, и потому разность между ними как была кратна 11, так и останется. 3-й кит. Если переписать цифры числа в любом другом порядке и вычесть из исходного числа, то результат будет делиться на 9. Эта теорема моментально вытекает из признака делимости на 9, поэтому и здесь задерживаться не будем. Итак, сначала разберемся, почему должен был непременно получиться требуемый результат, если все действия выполнять как полагается. В самом деле, год рождения любого школьника – четырехзначное число, поэтому после сложения его с «обращенным» годом получится число, делящееся на 11 (1-й кит!). Далее, если цифры этого числа записать в обратном порядке, то результат тоже будет делиться на 11 (2-й кит!). Поэтому после вычитания из большего числа меньшего разность также поделится на 11. Кроме того, она поделится и на 9 (3-й кит!). Поэтому окончательный результат действительно должен делиться на $11 \cdot 9 = 99$.

Каскады из правильных многогранников

Правильные многогранники (рис. 1) с древних времен привлекали к себе внимание ученых, строителей, архитекторов и многих других. Их поражали красота, совершенство, гармония этих многогранников.

Рис. 4

Рис. 5

В куб можно вписать тетраэдр, при этом вершины тетраэдра будут лежать в вершинах куба (рис. 6). В свою очередь, куб можно вписать в додекаэдр так, чтобы вершины куба лежали в вершинах додекаэдра (рис. 7).

Рис. 1

Здесь мы расскажем, как правильные многогранники можно вписывать друг в друга. Вписывая один многогранник в другой, другой – в третий и т.д., можно получать красивые «каскады» правильных многогранников. В куб можно вписать октаэдр (рис. 2). Центры граней куба образуют вершины вписанного в него октаэдра.

Рис. 2

Рис. 6

Рис. 7

При вписывании одного правильного многогранника в другой вершины первого могут лежать на серединах ребер второго. Так в правильный тетраэдр можно вписать октаэдр (рис. 8).

Рис. 3

В свою очередь, центры граней октаэдра образуют вершины вписанного в него куба (рис. 3). Многогранники, обладающие таким свойством, называются взаимно двойственными. Другим примером взаимно двойственных правильных многогранников являются додекаэдр и икосаэдр (рис. 4, 5).

Рис. 8

Рис. 9

Более сложным способом в куб вписывается икосаэдр: середины ребер икосаэдра лежат в центрах граней куба (рис. 9). Попробуйте вычислить отно-

шение ребер куба и икосаэдра в этой конфигурации. Аналогичным образом в куб можно вписать додекаэдр (рис. 10).

Рис. 11

Рис. 12

Рис. 10

Оказывается, комбинируя рассмотренные случаи, в любой правильный многогранник можно вписать все остальные правильные многогранники. Скажем, из рисунков 11 и 12 видно, как в додекаэдр вписать тетраэдр и октаэдр. Это означает, что из правильных многогранников можно сделать «каскады», вписывая их друг в друга

Рис. 14

Рис. 17

Рис. 15

Рис. 18

Рис. 13

в любом порядке. Например, на рисунке 13 изображен каскад «тетраэдр – октаэдр – додекаэдр – куб». Еще несколько каскадов изображено на рисунках 14–19.

Рис. 16

Рис. 19

Материал подготовили И.Смирнова, В.Смирнов

36

КВАНТ 2015/№3

витка перпендикулярно его плоскости. На рисунке 9 показаны два семейства магнитных линий этой системы. Линии одного семейства обвивают прямой провод, а линии второго – круговой виток. Видно, что магнитные линии имеют винтовую структуру. Попробуем понять, почему это так.

провода не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. В этом случае имеется три семейства магнитных линий (рис.10): линии, охватывающие первый провод, охватывающие второй провод и охватывающие оба провода. Все магнитные линии не замкнуты и уходят своими концами в бесконечность. Пусть теперь у нас имеются неплоские токовые системы конечных размеров, например два взаимно перпендикулярных круговых витка с током (рис.11). Здесь картина магнитных линий радикально изменяется: она теряет ка-

Рис. 9. Магнитные линии в системе кругового и прямого токов

Рассмотрим сначала магнитную линию вблизи кругового витка. Если ток в прямом проводе равен нулю, то магнитное поле создается только круговым током. Магнитные линии этого поля являются простыми петлями, навитыми на круговой виток и замыкающимися за один оборот. В другом предельном случае, когда равен нулю ток в круговом витке, источником магнитного поля является ток в прямом проводе. Магнитные линии этого поля – окружности, перпендикулярные прямому проводу. Теперь понятно, что если оба тока отличны от нуля, то магнитные линии вблизи кругового витка будут винтовыми и каждая из линий будет многократно огибать круговой виток (см. рис.9). Интересно, что лишь в редких случаях винтовая линия замыкается, чаще всего она плотно заполняет некоторую тороидальную поверхность («бублик»), не имея ни начала, ни конца. Так, если мы из некоторой точки начнем рисовать винтовую магнитную линию, то она, совершив полный оборот вокруг прямого провода, не попадет в исходную точку. Так же будет происходить и на каждом следующем обороте. В результате получим полубесконечную винтовую линию, исходящую из заданной точки. Но аналогичным образом мы можем достроить эту магнитную линию, стартуя из исходной точки в обратном направлении. Вот и получим линию, не имеющую ни начала, ни конца и плотно заполняющую поверхность тора. Рассмотрим теперь магнитное поле двух прямых длинных скрещивающихся под углом $90^\circ$ проводов с током – эти

Рис. 11. Хаотические магнитные линии

кую-либо структуру и «запутывается». Так, если начинать строить две магнитные линии из двух близко расположенных точек, то лишь на начальном участке эти линии проходят близко друг к другу, а затем они расходятся на большое расстояние. Такая сверхчувствительность к начальным условиям характерна для хаотических процессов: небольшие различия в начальных условиях рождают огромные различия в конечном состоянии. Теоретическое предсказание в этом случае становится невозможным. Удивительно, что хаотическое поведение магнитных линий происходит при строго определенных (детерминированных) внешних условиях, которые определяются конфигурацией проводников и токов. Подобные явления относятся к так называемому детерминированному, или динамическому, хаосу. Хаотический характер магнитных линий не является исключением, а характерен для большинства токовых систем, и лишь в некоторых простейших случаях магнитные линии являются простыми замкнутыми кривыми. Но даже в случае простейших систем, например кругового витка с током, картина магнитных линий существенно изменяется с учетом слабого практически однородного магнитного поля Земли.

Заключение Завершая статью, попробуем выделить главное, что хотелось бы оставить себе «на заметку» о магнитных линиях: i Магнитные линии не имеют истоков и стоков, однако это не означает, что магнитные линии всегда являются замкнутыми кривыми. i Вблизи проводов магнитные линии близки к окружностям, но не обязательно геометрически точно замыкаются. i В дальней зоне, на большом расстоянии от проводов с токами, картина магнитных линий имеет простой вид. i В промежуточной области, при умеренных расстояниях от проводов с токами, магнитные линии часто имеют запутанный, хаотический вид и лишь в редких случаях замыкаются. При этом достаточно малого нарушения исходной симметрии, чтобы линии разомкнулись и «запутались».

Рис. 10. Магнитные линии двух одинаковых токов в скрещенных проводах

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

Мальчики, девочки, таблицы, графы…

серебряных и золотых монет соответственно), соответствует возможное положение на столе (количество серебряных и золотых монет) (рис.1). С каждым действием точка, соответ-

Е.БАКАЕВ

ВЭТОЙ СТАТЬЕ МЫ ПОПРОБУЕМ ОБЪЕДИНИТЬ В ОДИН сюжет несколько красивых комбинаторных задач. Начнем с такой: Задача 1. В ряд стоят m мальчиков и d девочек в какомто порядке. Каждого мальчика спросили, сколько справа от него стоит девочек, а каждую девочку – сколько слева от нее стоит мальчиков. Докажите, что сумма чисел, названных мальчиками, равна сумме чисел, названных девочками. Решение. Пусть все мальчики смотрят вправо, а все девочки смотрят влево. Тогда если мальчик видит девочку, то эта девочка видит его. Таким образом, сумма всех чисел, названных мальчиками, и сумма всех чисел, названных девочками, это одна и та же величина: количество пар «мальчик-девочка», видящих друг друга. Эту задачу мы встретим в основе нескольких последующих. Задача 2 (XXXVI Турнир городов, 2014 г.). На столе лежала кучка серебряных монет. Каждым действием либо добавляли одну золотую монету и записывали количество серебряных монет на первый листок, либо убирали одну серебряную монету и записывали количество золотых монет на второй листок. В итоге на столе остались только золотые монеты. Докажите, что в этот момент сумма всех чисел на первом листке равнялась сумме всех чисел на втором. Первое решение. Параллельно действиям с монетами будем выписывать последовательность букв С и З: при добавлении золотой монеты будем писать букву З, при убирании серебряной – букву С. Теперь вместо подсчета монет можно считать буквы в получившейся строке. Когда мы писали очередную букву С, мы записывали на листок количество золотых монет, которые уже лежали на столе, т.е. количество букв З слева от этой буквы С. А когда писали очередную З, то записывали на листок количество серебряных монет, которые еще лежали на столе и которые предстояло убрать, – т.е. количество букв С справа от этой буквы З в итоговой строчке. Заменим теперь строку букв С и З на ряд из мальчиков и девочек – и получим в точности задачу 1. Осталось перефразировать ее решение: если серебряная монета посчитана при добавлении золотой, то эта золотая посчитана при убирании этой серебряной, т.е. серебряную монету убрали после того, как добавили золотую. Таким образом, сумма чисел на обоих листках – количество таких пар «серебряная монета – золотая монета», которые в какой-то момент обе находились на столе. Второе решение. Рассмотрим координатную плоскость, на которой вертикальная ось соответствует количеству серебряных монет, а горизонтальная – количеству золотых. Каждой целочисленной точке, лежащей в прямоугольнике S ¥ G (где S и G – наибольшее возможное количество

Рис. 1

ствующая текущему положению, сдвигается либо на единичный отрезок вниз (когда убираем серебряную монету), либо на единичный отрезок вправо (когда добавляем золотую), начальному положению соответствует точка (0, S) на вертикальной оси, а конечному – (G, 0) на горизонтальной (рис.2).

Рис. 2

Когда мы идем из точки (x, y) вправо по отрезку, первая координата увеличивается, а мы записываем на первый листок y, т.е. количество клеток под этим отрезком. Аналогично, когда мы идем из (x, y) вниз, то записываем на второй листок x – количество клеток слева от отрезка. Выходит, мы учтем каждую клетку под ломаной дважды: один раз на первом листке, когда будем проходить над ней, и один раз на втором листке, когда будем проходить справа от нее (рис.3). Значит, суммы чисел на листках будут одинаковыми и будут равны количеству клеток под ломаной.

Рис. 3

Основная идея второго решения – рассмотрение множества всех возможных положений системы, в этой статье мы воспользуемся этим приемом еще не раз. В математике такое множество называют фазовым пространством системы. (Но обычно этот термин употребляется в другом контексте.) Задача 3. В ряд стоят m мальчиков и d девочек в какомто порядке. Каждого ребенка спросили, сколько слева от него стоит детей другого пола. Чему равна сумма чисел, названных детьми? Ответ: md.

52

КВАНТ 2015/№3

При каком угле $\alpha$ между стержнем и стеной произойдет отрыв стержня от вертикальной стены и каковы будут в этот момент скорости концов стержня по стене и по полу? 2. Из цилиндра радиусом r = 2 см выдавливают поршнем текучую пасту (рис.6). Она растекается по поверхности

Рис. 6

слоем толщиной h = 2 мм, образуя круговое пятно. Скорость движения поршня u = 6 см/с. Какова скорость v расширения границы пятна при радиусе пятна R = 30 см? 3. В комнате объемом $V = 75 м^{3}$ температура воздуха такая же, как на улице, т.е. $t_{1} = - 20 ^\circ C$. Включают электрокамин, и он медленно прогревает воздух в комнате до $t_{2} = + 23 ^\circ C$. Часть воздуха при этом выходит наружу через плотно закрытую форточку. Найдите изменение внутренней энергии воздуха в комнате и работу, которую совершает воздух при расширении наружу. Атмосферное давление принять равным $p_{a} = 10^{5}$ Па. 4. Построите график зависимости сопротивления цепи, изображенной на рисунке 7, от сопротивления r каждого из одной пары резисторов. Сопротивление другой пары резис-

Рис. 7

торов неизменно и равно R = 50 Ом у каждого. Диод считайте идеальным, т.е. его сопротивление в прямом направлении пренебрежимо мало, а в обратном – очень велико. 5. Груз висящий на нити длиной L = 1,1 м, привязанной к гвоздю, толкнули так, что он поднялся и затем попал в гвоздь. Какова его скорость в момент удара о гвоздь? Ускорение свободного падения g. 6. В полдень через небольшое окошко на южной стене темной комнаты в нее попадает пучок солнечного света, параллельный западной и восточной стенам. После отражения от плоского зеркала, лежащего на горизонтальном столе, пучок падает на северную стену. Какой площади тень отбросит на северной стене вертикально стоящий на зеркале непрозрачный круг радиусом r = 10 см, если плоскость зеркала параллельна южной стене? 7. Протон, ускоренный разностью потенциалов U = 500 кВ, пролетает сквозь поперечное однородное магнитное поле с индукцией В = 0,51 Тл (рис.8). Толщина области с полем d = 10 см. Найдите смещение и угол отклонения скорости протона от первоначального направления на выходе из этой области.

Рис. 8

История научных идей и открытий

Математика

1. Двадцатое предложение IX книги Евклида «Начала» утверждает: «Первых чисел существует больше всякого предложенного количества их». Сформулируйте в современных терминах это утверждение и докажите его. 2. Архимед, Евклид, Аполлоний Пергский и другие великие математики древности называли параболой геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки и данной прямой. Убедитесь в том, что график функции $y = x^{2}$ является параболой. 3. В 1202 году Леонардо Пизанский (Фибоначчи) в «Книге об абаке» рассмотрел последовательность, каждый член которой равен сумме двух предыдущих, т.е. последовательность $\phi_{1} = \phi_{2} = 1, \phi_{n} +_{2} = \phi_{n} +_{1} + \phi_{n}$ при $n \ge 1$. В дальнейшем числа Фибоначчи часто возникали в различных разделах математики – теории чисел, алгебре, комбинаторике, математической логике и др. Обнаружены многие замечательные свойства этих чисел. Например, можно доказать, что для любого натурального m найдется число Фибоначчи, делящееся на m. Выясните, может ли какое-нибудь число Фибоначчи быть степенью числа 7. 4. Один из величайших всемирно известных математиков Л.Эйлер в 1752 году доказал теорему, которая считается первой в истории одного из самых глубоких разделов математики – топологии. Теорема Эйлера гласит, что число вершин В, число ребер Р и число граней Г произвольного выпуклого многогранника удовлетворяют равенству В – Р + + Г = 2. Пользуясь этой теоремой, выясните, существует ли выпуклый многогранник, все грани которого – шестиугольники. 5. Еще один гениальный математик К.Ф.Гаусс доказал замечательную «теорему об индексе»: если р – простое число, то существует натуральное число g такое, что его степени $g, g^{2}$, …, $g^{p} -^{1}$ дают различные остатки при делении на р, причем $g^{p} -^{1} - 1$ делится на р (малая теорема Ферма); и тем самым в выписанной последовательности степеней присутствуют числа, дающие все возможные остатки от деления на р. Например, для р = 17 можно взять g = 3, так как, выписывая последовательно остатки степеней тройки при делении на 17, имеем

3, 9, 10, 13, 5, 15, 11, 16, 14, 8, 7, 4, 12, 2, 6, 1

– все остатки различны. Пользуясь теоремой Гаусса, докажите, что для всякого простого числа р найдется натуральное число х такое, что произведение $x^{2} - 2 x^{2} - 3 x^{2} - 6$ делится на р.

(

)(

)(

)

Физика

1. Нобелевская премия 1904 года была вручена «за исследования плотностей наиболее распространенных газов и за открытие аргона в ходе этих исследований». Ученый, получивший эту премию, был английским аристократом. Он учился в Тринити-колледже. После смерти Дж.К.Максвелла стал вторым Кавендишским профессором и директором Кавендишской лаборатории. Был секретарем Лондонского Королевского общества, Президентом Кембриджского университета. Основные его работы относятся к теории колебаний, одним из основоположников которой он является. Он исследовал колебания струн, стержней, пластин, оболочек. В 1873 году сформулировал ряд фундаментальных теорем

53

ОЛИМПИАДЫ

линейной теории колебаний, позволяющих делать качественные заключения о собственных частотах колебательных систем. В его фундаментальном труде «Теория звука» впервые отчетливо проявился единый подход к изучению колебательных и волновых процессов, имеющих различную физическую природу. Он рассмотрел сложение колебаний со случайными фазами и получил функцию распределения по частотам для результирующей амплитуды. Эта функция распределения получила его имя. Оказалось, что распределение плотности энергии абсолютно черного тела по длинам волн описывается тоже этой функцией (это распределение носит одновременно имя этого ученого и его коллеги Д.Джинса, в 1905 году независимо получившего этот результат). Крупным его открытием явилась теория поверхностных упругих волн (получивших его имя) – упругих возмущений, распространяющихся в твердом теле вдоль его свободной границы и затухающих с глубиной. Он объяснил различие между групповой и фазовой скоростями, установил соотношения между ними, заложил основы теории молекулярного рассеяния света (объяснив при этом голубой цвет неба), создал теорию разрешающей способности оптических приборов. Во всех этих разделах физики существуют формулы, процессы и теории, названные его именем. а) Кто этот ученый? б) Назовите другие, не упомянутые в тексте, физические приборы, модельные числа и критерии, названные в честь этого ученого. 2. В третьем веке до н.э. был проведен выдающийся эксперимент – впервые в истории человечества был измерен радиус Земли. В мерах длины, принятых в то время, он составил 252 тысячи стадиев. К сожалению, автор исследования не указал, пользовался ли он греческим стадием или стадием, принятым для измерений в стране, где он родился и работал. В зависимости от этого погрешность измерения по современным оценкам составила или 1,5%, или 10% (меньшее значение погрешности получается в предположении, что ученый пользовался «родным» для него стадием). а) Назовите имя ученого, первым в истории человечества измерившим радиус Земли. б) В каком государстве жил и работал этот ученый? в) В каких городах ученый проводил измерения и какая особенность географического положения этих городов позволила провести этот изящный эксперимент? 3. В третьем веке до н.э. был открыт очень важный закон гидростатики. Открытию закона предшествовала большая работа по выяснению, целиком ли из золота сделана царская корона или ювелиры подмешали в корону серебро. История сохранила имя не только автора открытия, но и заказчика работы – царя (а если быть точным в титулах – тирана, тогда это слово не несло негативной окраски) Гиерона. Было обнаружено серебро в короне или нет, точных данных нет. Да и для истории науки это не так важно. а) Назовите имя ученого и сформулируйте закон, получивший его имя. б) Назовите город и территорию, где происходили описанные события. в) Оцените абсолютную погрешность измерений. Мог ли ученый, пользуясь измерительными средствами того времени, получить достоверный результат? 4. Известна история о том, что итальянский ученый, живший и работавший в XVI–XVII веках, для доказательства гипотезы о независимости скорости свободно падающего тела от его массы бросал шары с Пизанской башни. Однако и он сам, и мы сейчас понимаем, что этот эксперимент имеет ограниченную точность. Ученый поставил серию более тонких экспериментов и получил экспериментальное

доказательство этой гипотезы. Он также сформулировал принцип, на котором базируется вся классическая механика. а) Кто этот ученый? б) Какие эксперименты он поставил для доказательства гипотезы? в) Сформулируйте указанный в условии принцип. 5. В 1818 году на одном из заседаний Французской Академии рассматривалась работа о дифракции света. Один из членов Академии, известный ученый, усомнился в правомерности считать свет волновым процессом. Председатель заседания предложил провести опыт и предсказал парадоксальный результат, который однозначно свидетельствовал бы в пользу волновой теории света. Опыт был поставлен. Была получена предсказанная дифракционная картина, которую назвали именем усомнившегося оппонента. а) Кто был автором работы? б) Какой результат был получен? в) Чьим именем был назван результат? г) Кто председательствовал на собрании Академии?

III Международный математический турнир имени М.В.Ломоносова для учащихся 5–8 классов

Устный командный тур

5–6 классы

1. Сколько существует четырехзначных чисел, записываемых цифрами 1 и 2? 2. Какой угол образуют часовая и минутная стрелки часов в 10 часов 12 минут? 3. В копилке находилось 10000 монет по одному центу. Каждый месяц тратится по 30% от содержимого копилки. Сколько монет останется в копилке через четыре месяца? 4. В квадрате ABCD точка K – середина стороны AB, точка L – середина стороны AD, отрезки CL и DK пересекаются в точке M. Докажите, что треугольник BCM равнобедренный.

Штрафные задачи

Ш1. Допишите к числу 987 две цифры справа так, чтобы полученное пятизначное число делилось на 5, 6, 7. Ш2. Найдите два натуральных числа, разность квадратов которых равна 37. Ш3. Туристу на подъем в гору с постоянной скоростью требуется 6 часов, а на спуск с постоянной скоростью – 2 часа. Через какое время после начала подъема турист вернется к основанию горы, если станет спускаться через 4 часа после начала подъема? Ш4. Найдите площадь $фигуры,_{Рис.} 9$ изображенной на рисунке 9.

7–8 классы

1. Найдите наименьшее натуральное число n, для которого произведение ( n + 1 )( n + 2 )( n + 3 )( n + 4 ) делится на 1000. 2. В прямоугольный треугольник с катетами a и b вписан квадрат, у которого одна из вершин совпадает с вершиной прямого угла треугольника, а противоположная вершина квадрата лежит на гипотенузе треугольника. Найдите площадь квадрата. 3. Может ли четырехзначное число вида aabb быть квадратом целого числа?