Квант 2015, №5-06 · Страницы

4

КВАНТ 2015/№5-6

тах на этих установках было открыто множество новых элементарных частиц, что привело к необходимости теоретического переосмысления полученных результатов. В 1964 году Мюррей Гелл-Манн и Джордж Цвейг предложили кварковую модель для объяснения накопившихся фактов в ускорительных экспериментах и экспериментах с космическими лучами по рождению большого количества (порядка 100) новых сильно взаимодействующих частиц, получивших название «адроны». Для описания всех адронных состояний, известных в то время, оказалось достаточно введения трех кварков: u (up), d (down) и s (strange). Например, хорошо известные адроны протон и нейтрон, из которых состоят ядра окружающих нас атомов, образуются из трех кварков: uud для протона и ddu для нейтрона. Кроме того, чтобы правильно описывать спины и заряды наблюдаемых адронов, кварки должны иметь спин 1/2 и дробный электрический заряд – в единицах заряда электрона заряд u-кварка 2/3, заряд d- и s-кварков –1/3 каждый. Соответственно, и массы u- и d-кварков ожидались порядка 1/3 массы протона, т.е. около 300 МэВ, а масса s-кварка – примерно 500 МэВ. Однако, после обнаружения положительно и отрицательно заряженных дельта-резонансов, кварковый состав которых должен быть uuu и ddd соответственно, возникла серьезная проблема кварковой модели. Чтобы спин гиперона, в соответствии с данными экспериментов, равнялся 1/2, два одинаковых по типу кварка должны находиться в одном и том же спиновом состоянии, что противоречит принципу Паули, согласно которому два фермиона (частицы с полуцелым спином) одного типа не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии. Решение этой проблемы было найдено в работах Николая Боголюбова, Бориса Струминского и Альберта Тавхелидзе, а затем Мойена Хана и Йоитиро Намбу, которые постулировали наличие у кварков нового квантового числа, получившего название «цвет». В дальнейшем эта гипотеза нашла блестящее подтверждение и привела к созданию квантовой теории сильных взаимодействий – квантовой хромодинамики, составной части современной Стандартной модели, о которой пойдет речь дальше. Введение кварковой гипотезы стало очередным шагом в установлении «минимальных кирпичиков», из которых состоит материя, по мере проникновения все глубже и глубже в ее структуру, от молекулы к атому, ядру, протону и нейтрону. Далее, обнаружение в 1974 году нового адрона с массой 3,1 ГэВ было понято как связанное состояние нового кварка, названного c-кварком (charm quark), и соответствующего ему антикварка. Ранее существование этого кварка было предсказано теоретически для интерпретации данных по распадам заряженных K-мезонов. К этому же времени были обнаружены и элементарные частицы другого класса, получившие название лептонов. Помимо хорошо известного электрона, были обнаружены электронное нейтрино $( \nu_{e} ),$ мюон $( \mu )$ и соответствующее ему мюонное нейтрино $( \nu_{\mu} ).$ Лептоны не участвуют в сильных

)

взаимодействиях, но подвержены электромагнитным взаимодействиям и участвуют в слабых радиоактивных распадах. Возникла замечательная симметрия существования двух поколений кварков ( u, d ) ( c, s ) и двух поколений лептонов $( \nu_{e}, e ), \nu_{\mu}, \mu$. Но такая симметрия оказалась нарушенной, когда в 1976 году был обнаружен третий заряженный лептон – тау-лептон $(\tau ),$ а в 1977 году был найден новый мезон – ϒ (ипсилон) с массой порядка 10 ГэВ, который был интерпретирован как связанное состояние нового кварка b (bottom) и соответствующего ему антикварка. Дальнейшие эксперименты показали, что b-кварк обладает спином 1/2 и зарядом –1/3, так же, как d- и s-кварки, при этом его масса порядка 5 ГэВ. Если предположить, что найденные тау-лептон и b-кварк принадлежат к новому третьему поколению, то для сохранения симметрии по аналогии с существующими парами двух поколений нужно было допустить, что существуют еще один кварк, аналогичный u и c, и еще одно нейтрино, аналогичное мюонному и электронному нейтрино. Обе эти частицы были обнаружены в дальнейших экспериментах. Тау-нейтрино $(\nu \tau )$ было обнаружено в прямых наблюдениях в распадах тay-лептонов в 2000 году, а предсказанный шестой кварк, получивший название t-кварка (top quark), был пятью годами раньше обнаружен на коллайдере Теватрон. Отметим, что найденная масса топ-кварка (примерно 173 ГэВ) оказалась во много раз больше, чем те массы кварков, которые предполагались в кварковой модели Гелл-Манна и Цвейга. В отличие от ситуации со всеми предыдущими кварками, не было найдено никаких новых адронов, для интерпретации которых необходимо было бы ввести новый топ-кварк. Открытие топ-кварка и тау-нейтрино завершило целостную картину фундаментальных частиц, составляющих материю и описываемых Стандартной моделью – СМ, являющейся современной теорией элементарных частиц и их взаимодействий: электромагнитного, слабого и сильного. Создание этой модели – одно из основных общих мировых интеллектуальных достижений за последние 60 лет, результат работы большого числа ученых, теоретиков и экспериментаторов. Ее создание было отмечено присуждением более десятка Нобелевских премий по физике. В основе СМ лежит нескольких базовых идей, в частности, калибровочный характер взаимодействий и спонтанное нарушение электрослабой симметрии. Наличие симметрии в природе приводит к закону сохранения соответствующего заряда, и наоборот, существование сохраняющегося заряда говорит о наличии связанной с ним симметрии (теорема Э.Нётер). Так, в основе калибровочной теории электромагнитных взаимодействий лежит сохранение электрического заряда и соответствующая симметрия уравнений относительно калибровочных преобразований так называемой абелевой группы. Симметрия относительно калибровочных преобразований более сложного (неабелевого) типа позволила построить теорию сильных взаимодействий и с единой точки зрения описать электрослабые взаимодействия.

(

)

6

КВАНТ 2015/№5-6

мые массивные частицы имеют энергию значительно больше их массы покоя и летят почти со скоростью света, а их основной характеристикой является 4-мерный импульс в пространстве Минковского. Современные детекторы практически полностью покрывают области разлета частиц $( 4\pi$ -геометрия) и могут регистрировать почти все рождающиеся частицы. Мюонные камеры, расположенные на внешней части детектора, регистрируют мюоны и с высокой точностью определяют их энергию и направление движения. Электромагнитный калориметр регистрирует электроны и фотоны. Сильное магнитное поле в детекторе позволяет определять знак электрического заряда частицы по направлению отклонения, а величина отклонения характеризует энергию частицы. Адронный калориметр поглощает поток заряженных и нейтральных адронов, являющихся вторичными частицами, происходящими от фрагментации и адронизации кварков или глюонов, которые, в свою очередь, являются продуктами столкновения начальных частиц. Поток адронов, летящих в узком конусе, называют адронной струей. Пространственная локализация в узком конусе обусловлена большим импульсом частицы, породившей этот поток адронов. Выделенная в адронном калориметре энергия, локализованная в конусе струи, характеризует импульс начального кварка или глюона, а направление оси конуса характеризует направление вылета кварка или глюона, породившего эту адронную струю. Несмотря на то, что кварки и глюоны в свободном состоянии не наблюдаются, адронные струи с высокой степенью точности характеризуют импульсы порождающих их кварков и глюонов. Более того, с высокой вероятностью можно идентифицировать струи, происходящие от высокоэнергичных b-кварков. B-мезоны, образующиеся в процессе фрагментации, имеют сравнительно большое время жизни и успевают пролететь значительное расстояние (порядка 1 см) до образования адронной струи. Это приводит к сдвигу вершины конуса образующейся адронной струи относительно вершины первичного столкновения, и величина этого сдвига характеризует вероятность идентификации рождения b-кварка в жестком процессе. Для такой идентификации b-кварков важно иметь вершинный детектор, позволяющий локализовать начало треков разлетающихся частиц. Наиболее тяжелый топ-кварк, имеющий массу, сравнимую с массой ядра золота, успевает распасться до образования связанных адронных состояний и хорошо идентифицируется по продуктам распада. Нейтрино слишком слабо взаимодействуют с веществом и требуют значительной массы поглощающего вещества в детекторе для прямой регистрации. Например, нейтринная обсерватория «Ice Cube» использует кубический километр льда в Антарктиде в качестве поглощающего вещества детектора, а детекторы Байкальского глубоководного нейтринного телескопа пронизывают воду озера Байкал примерно на 1 километр. Такие детекторы невозможны в условиях коллайдерных экспериментов. Однако информацию о нейтрино можно получить и с помощью детекторов, ис-

пользуемых в коллайдерных экспериментах. Регистрируются все известные частицы, кроме нейтрино, а суммарный импульс в плоскости, поперечной направлению сталкивающихся пучков, должен быть равен нулю. Таким образом можно определить суммарный поперечный импульс всех нейтрино в событии как векторную сумму всех зарегистрированных в событии частиц, взятую с противоположным знаком. Эту величину называют недостающим, или потерянным импульсом. Массивные векторные и скалярные бозоны распадаются практически в точке первичного взаимодействия и хорошо регистрируются по продуктам распада. Дополнительные косвенные методы и информация о массах частиц, в распадах которых образовались нейтрино, позволяют с использованием измеренного недостающего импульса реконструировать и продольную компоненту импульса нейтрино. При проведении эксперимента проверяются предсказания в рамках существующих теорий, измеряются различные параметры моделей и проводится поиск возможных отклонений от предсказаний, которые могут указывать на существование новых явлений. В рамках Стандартной модели удается с хорошей степенью точности рассчитать основные жесткие процессы, смоделировать получаемые данные и провести соответствующие измерения. Например, достигнутый на 2015-й год уровень точности измерения массы топкварка составляет 0,38% $( m_{top} = 172,38 \pm 0,10$ (стат.) $\pm 0,65$ (сист.) ГэВ, где «стат.» – статистическая погрешность, а «сист.» – систематическая). Достижение такой высокой точности измерений стало возможным благодаря развитию различных эффективных методов на всех этапах исследований, начиная от теоретических методов, компьютерной алгебры и численных вычислений, а также современных методов многомерного анализа и статистической обработки данных. Сложность уравнений, описывающих физику элементарных частиц, не позволяет находить точные аналитические решения. Поэтому используются приближенные методы вычислений, основанные на разложении по степеням малого безразмерного параметра, присущего этой теории, и последующих вычислений методами теории возмущений. В некоторых теоретических подходах не существует малого безразмерного параметра, и такие расчеты требуют масштабных численных вычислений на решетке с использованием суперкомпьютеров. Большое количество вычислений, необходимых для учета всех возможных процессов, проходящих в современных экспериментах, потребовало развития методов символьных алгебраических вычислений, выполняемых автоматически на компьютерах. Точное компьютерное моделирование всех событий, происходящих в современных экспериментах, стало необходимой составляющей проводимых исследований. Большая часть исследований нацелена на обнаружение редких событий и выделение возможного эффекта на фоне большого количества событий, не представляющих интерес (фоновых событий). Такие исследова-

16

КВАНТ 2015/№5-6

(на самом графике могут лежать точки обоих цветов). При каком наименьшем k любой допустимый набор из N точек можно разделить многочленом степени не более k? К.Тыщук

M2404. У нумизмата есть 100 одинаковых по внешнему виду монет. Он знает, что среди них 30 настоящих и 70 фальшивых монет. Кроме того, он знает, что массы всех настоящих монет одинаковы, а массы всех фальшивых – разные, причем любая фальшивая монета тяжелее настоящей; однако точные массы монет неизвестны. Имеются двухчашечные весы без гирь, на которых можно за одно взвешивание сравнить массы двух групп, состоящих из одинакового числа монет. За какое наименьшее количество взвешиваний на этих весах нумизмат сможет гарантированно найти хотя бы одну настоящую монету? С.Берлов, И.Богданов

M2405. Прямая, соединяющая центры описанной и вписанной окружностей треугольника, пересекает одну из его сторон в основании высоты, а другую – в точке ее касания с соответствующей вневписанной окружностью. Найдите угол между этими сторонами треугольника. А.Заславский

Ф2403. Внутри Земли имеется ядро радиусом r = = 3,5 тыс. км, которое гораздо плотнее земной коры. Поэтому ускорение свободного падения внутри Земли начиная от ее центра сначала линейно растет до границы ядра, а затем изменяется мало, оставаясь почти постоянным (и равным g = 10 м $с^{2} )$ вплоть до поверхности Земли (радиус Земли R = 6370 км). Если бы Алиса, жившая в Стране Чудес, упала в пустую дырку, проходящую через середину Земли, то через какое время она вернулась бы обратно к месту падения? С какой скоростью Алиса пролетала бы через центр Земли? А.Чудесова

Ф2404. Ранним утром 4 апреля 2004 года (04-04-04) два полярника одновременно стартовали из своего лагеря ровно в 4 часа (по Московскому времени). Один шел со скоростью 4 км/ч так, что все время наступал на свою собственную тень (шел строго «от солнца»), другой двигался строго на восток со скоростью тоже 4 км/ч. Через 4 часа они встретились (столкнулись). Какими были географические координаты полярного лагеря? На какое максимальное расстояние удалялись друг от друга полярники в течение этих четырех часов? К.Вантов

Рис. 1

Ф2405. В механической системе, изображенной на рисунке 1, трение в осях блоков отсутствует, шкивы блоков невесомые, нити невесомые и нерас-

тяжимые. Не лежащие на шкивах участки нитей вертикальны. С какими ускорениями движутся грузы? А.Старов

Ф2406. Волан для бадминтона имеет массу m = 5 г и площадь поперечного сечения $S = 30 см^{2}$. При движении в воздухе со скоростью v волан испытывает силу сопротивления, направленную против скорости и равную $F = kv^{2} \rho S$, где $\rho = 1$ кг $м^{3}$ – плотность воздуха. После удара ракеткой волан приобрел вертикальную скорость $v_{0} = 20$ м/с и взлетел над местом удара на высоту H = 10 м. Чему равен коэффициент k? Каким было ускорение волана сразу после удара? На какую высоту взлетел бы волан, если бы его начальная вертикальная скорость равнялась 10 м/с? Подсказка. Для нахождения численных ответов воспользуйтесь калькулятором. Д.Сергеев

Ф2407. Оцените по фотографии, приведенной на рисунке 2, размеры стеклянного кубика, лежащего на

Рис. 2

горизонтальной поверхности стекла. Коэффициент поверхностного натяжения воды $\sigma = 7 \cdot 10^{-} 2$ Дж $м^{2}$. В.Стеклов

Ф2408. Влажный воздух с относительной влажностью $\phi =$ 100% находился в сосуде с постоянным большим объемом под давлением $p = 10^{5}$ Па и при температуре $t_{1} = 28 ^\circ C$. Этот воздух охладили до температуры $t_{2} = 10 ^\circ C$, и в сосуде возник туман. Какое количество теплоты пришлось отвести от каждого $1 м^{3}$ объема воздуха? Какое давление установилось в сосуде? Давления насыщенных водяных паров при начальной и конечной температурах равны $p_{н1} = 3,77$ кПа и $p_{н2} = = 1,23$ кПа соответственно. Молярная теплота испарения воды при $100 ^\circ C$ равна $L_{Μ} = 40,6$ кДж/моль. В.Туманов

Ф2409. Два провода ЛЭП (линий электропередач) постоянного тока находятся на одном уровне высоко над землей (представьте, что провода переброшены через Большой Каньон) на расстоянии L = 3 м друг от друга и параллельно местному меридиану. Радиус поперечного сечения каждого провода r = 1 см ≪ L. Потенциалы проводов по отношению к земле имеют одинаковые величины и противоположные знаки. С помощью малогабаритного беспилотного вертолета, несшего на себе измерительную аппаратуру и летевше-

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Задачи

Для ремонта пропеллера Карлсону необходимо купить 3 лопасти и 1 винтик. В магазине продаются лопасти по 120 эре и винтики по 9 эре. Но после покупки не менее чем на 250 эре дают скидку 20% на все следующие покупки. Сможет ли Карлсон отремонтировать пропеллер, если у него с собой только 360 эре? Е.Бакаев

Когда у нас мерзнут пальцы, мы дуем на них, чтобы согреть. Когда обжигаем руку, тоже дуем – чтобы охладить. Чем отличаются положения наших губ в этих ситуациях? Почему в одном случае поток воздуха изо рта согревает, а в другом – охлаждает? Фольклор

На верхней грани кубика $3 \times 3 \times 3$ к центральному квадрату $1 \times 1$ приклеили кубик $1 \times 1 \times 1$. Как разделить получившуюся фигуру на 7 равных? Один из способов записать ответ – нарисовать отдельно каждый слой фигуры (нижний, средний, верхний и самый верхний кубик) и на каждом кубике написать номер части, к которой он относится. Е.Бакаев

Иллюстрации Д.Гришуковой

У каждого из художников творческого объединения «Терпение и труд» свой рабочий график. Шестеро из них пишут по одной картине раз в два дня, а остальные восемь художников – по одной картине раз в три дня. С 22 по 26 сентября они написали в общей сложности 30 картин. Сколько картин они напишут 27 сентября? Е.Бакаев

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6–8 классов. Эти задачи предлагались на XXXVIII Турнире имени М.В.Ломоносова.

На землю положили квадратную раму, в центре квадрата установили вертикальный шест. Когда на эту конструкцию сверху натянули ткань, получилась маленькая палатка. Если положить рядом вплотную две таких же рамы, в центре каждой поставить вертикальный шест той же длины и натянуть сверху ткань, получится большая палатка. На маленькую палатку ушло 4 квадратных метра ткани. А сколько ткани потребуется для большой палатки? М.Раскин

28

КВАНТ 2015/№5-6

Конкурс имени А.П.Савина

«Математика 6–8»

Мы продолжаем очередной конкурс по решению математических задач для учащихся 6–8 классов. Решения задач высылайте в течение месяца после получения этого номера журнала по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» или по электронному адресу: savin.contest@gmail.com (с пометкой «Конкурс «Математика 6–8»). Не забудьте указать имя, класс и домашний адрес. Как и прежде, мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и математических кружков. Руководителей кружков просим указать электронный адрес или контактный телефон. По традиции, кружки-победители заочного конкурса приглашаются на финальный очный турнир.

6. Петя называет натуральное число удачным, если его можно единственным образом разбить в сумму 20 различных натуральных слагаемых (порядок слагаемых не важен). Найдите все удачные числа. Фольклор

7. Рейтинг каждого из 20 шахматистов выражается натуральным числом от 1 до 20, у любых двух рейтинги различны. Шахматисты поделены на две команды по 10 человек так, что суммы рейтингов в командах равны. Команды играют матч-турнир из 100 партий, в котором каждый шахматист играет по одной партии с каждым из 10 шахматистов противоположной команды. В любой партии побеждает шахматист с большим рейтингом, за каждую победу своего игрока команда получает 1 очко. Каков может быть результат матч-турнира? П. Кожевников, по мотивам задачи В. Произволова

8. В «Кванте» № 1 за 1987 год младшим школьникам было предложено расшифровать вот такой ребус, придуманный тогдашним девятиклассником Г.Сафиным, в котором одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, разные буквы – разные цифры и ни одно число не начинается с нуля: ШЕПНУЛ $\times 5 =$ КРИКНУЛ Он имеет два решения, в которых слову ШЕПНУЛ

соответствуют числа 628750 и 682750. Но если пятерку заменить другой цифрой, ребус будет иметь единственное решение. Какая это цифра? И. Акулич

9. Дан квадрат ABCD. Через вершину C провели прямую m, не имеющую других общих точек с квадратом (см. рисунок). Точки E и F – проекции точек B и D соответственно на прямую m. Отрезки BF и DE пересекаются в точке K. Докажите, что прямая AK перпендикулярна прямой m. В. Расторгуев

10. На квадратном клетчатом поле 10 ¥ 10 расположена эскадра из 10 кораблей. Корабли – это не имеющие общих точек прямоугольники 1 ¥ 2 со сторонами по линиям сетки. а) Докажите, что можно сделать 32 выстрела так, чтобы наверняка попасть в какой-нибудь корабль. б) А можно ли обойтись 30 выстрелами? А. Бердников, Д. Кузнецов

Как дятел Спятел планировал отпуск

К.КОХАСЬ

–П

ОЧТИ НЕ ОСТАЛОСЬ МЕСТ, ГДЕ МОЖНО спокойно отдохнуть, – жаловался дятел Спятел. – Чтобы отдохнуть на море – летят на юг, за экзотикой – на восток, к благам цивилизации – на запад. – Суета, толчея, яблоку некуда упасть, – поддакнула мышь Огрыза. – Экстремалы двигают на север – к медведям и тюленям. Но я хочу провести отпуск не в таких условиях! Я ищу неисхоженных путей! Я решил полететь туда, куда никто не летит: на северо-восток! – На северо-восток? – переспросила Огрыза. – Там же ничего нет! – Вот именно! – воскликнул дятел. – Спокойное тихое место. – Кстати, а как быстро ты летаешь? – поинтересовалась Бусенька. – Крейсерская скорость 28 километров в час, – гордо

29

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

сказал дятел. – Я могу лететь с этой скоростью хоть целые сутки. – Любопытно, – сказала Бусенька, – получается, что если ты, к примеру, полетишь прямо сейчас, то через час окажешься в 28 км к северо-востоку отсюда. Это примерно 20 км к северу и 20 км к востоку отсюда. Значит, за час ты смещаешься на 20 км к северу. До северного полюса примерно 3000 км, если будешь лететь по 10 часов в сутки, то недельки через две как раз и доберешься до северного полюса. – Северный полюс? Вообще-то я не планировал оказаться на северном полюсе… С другой стороны, это же ровно то, что мне нужно! Экстремалы, медведи и тюлени так далеко на север не забираются. А я как раз ищу спокойствия и уединения. – Странное место – этот ваш северный полюс, – перебила Огрыза, – там со всех сторон юг. Куда ни пойди – если не сворачивать, окажется, что движешься к южному полюсу! В наших краях не так – если идти по любому северному азимуту, к примеру двигать по курсу норд-вест-вест, как говорила одна моя знакомая корабельная крыса, обязательно придешь на северный полюс! Бусенька нам это вполне убедительно объяснила. Получается, что у нас пути к северному полюсу занимают половину всех возможных направлений, а другую половину – пути к южному! – Просто голова идет кругом, – то ли похвалил, то ли пожаловался дятел. – Еще как идет, – подтвердила Бусенька. – Вот

ШКОЛЬНИКОВ

представь себе, что ты уже почти прилетел на северный полюс, всего несколько километров осталось. Для столь малых расстояний мы можем считать, что земля в этом месте плоская. И вот, к примеру, из точки $A_{1}$ ты за 1 минуту перелетел в точку $A_{2}$, которая в 2 раза ближе к северному полюсу, чем $A_{1}$. – Какой хороший план, – сказал дятел, – пожалуй, именно этим маршрутом я и полечу. – Погоди, допустим, что на моей (весьма приблизительной) картинке угол $A_{1} OA_{2}$ равен $40^\circ$ (кстати, похоже, он примерно этому и равен). Таким образом, приблизившись к северному полюсу в 2 раза, ты при этом повернешься вокруг земной оси приблизительно на $40^\circ$. – Да, именно так все и будет, – согласился дятел, – но я не буду задерживаться в точке $A_{2}$ и полечу дальше. – И через некоторое время ты повернешься вокруг земной оси еще на $40^\circ$, оказавшись при этом в точке $A_{3}$, – сказала Бусенька. – Как ты думаешь, сколько тебе потребуется времени, чтобы добраться до точки $A_{3}$? Дятел Спятел задумался. – Судя по картинке и исходя из здравого смысла, – сказал наконец он, – вот этот кривоватый треугольник $A_{1} OA_{2}$ имеет такую же форму, как треугольник $A_{2} OA_{3}$. Отличаются они только размерами – у второго треугольника сторона $OA_{2}$ в 2 раза меньше, чем соответствующая сторона $OA_{1}$ первого треугольника. Значит, и кривая сторона, вдоль которой мне нужно лететь, у него тоже в два раза меньше. Значит, я пролечу ее за полминуты. – Вот это-то и ужасно! – воскликнула Бусенька. – Бедный дятлушка, – подхватила Огрыза, – ты бы лучше выбрал какое-нибудь другое место для отдыха. Ведь еще через четверть минуты ты прилетишь в точку $A_{4}$, потом еще через 1/8 минуты в точку $A_{5}$ и так далее! – Вы хотите сказать, что я так и не долечу до северного полюса? Что я так и буду плутать по этим точкам – $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}$ … Не путайте меня. Историю о том, как черепаха гналась за Ахиллесом, я уже слышал. Если за одну минуту я пролетел половину расстояния до северного полюса, то еще через минуту я уже буду на месте! – Да, но с какой стороны ты прилетишь? – спросила Бусенька. – С юго-западной. – На северном полюсе нет юго-западной стороны, – строго сказала Огрыза. – Вылетев из точки $A_{2}$, ты через полминуты прилетишь в точку $A_{3}$, повернувшись вокруг земной оси на $40^\circ$, еще через четверть минуты – опять повернешься на $40^\circ$, через 1/8 минуты – опять на $40^\circ$ и так далее. Значит, чтобы достичь северного полюса, тебе придется сделать бесконечно много оборотов! Пару минут назад ты говорил, у тебя голова кружится? – Ох, – сказал дятел, – очень кружится. Кажется, меня укачало. Вернее, укрутило. Опасное это занятие – летать на северо-восток!

ШКОЛА В «КВАНТЕ»

Гольфстрим, или Как Гренландия согревает Европу

слоев атмосферы в том же самом количестве. А вот в приполярной области эта мощность потока приходится на бульшую площадь, равную $\pi r^{2}$ cos $\phi$; следовательно, на каждый квадратный метр попадает меньший, чем у экватора, поток. Вторая причина этого факта тоже очевидна. «Толщина» атмосферы над всей поверхностью Земли приблизительно одинакова (штриховая линия на рисунке 2,а), но скользящие лучи у полюса проходят в атмосфере заметно больший

А.СТАСЕНКО

Гольфстрим – в широком смысле слова мощная система теплых морских течений в Атлантическом океане, охватывающая огромное пространство от Мексиканского залива до берегов Шпицбергена и Кольского полуострова протяжением более 10 тысяч километров… Причина зарождения Гольфстрима еще не установлена. Большая советская энциклопедия, том 12

ОКОЛО ДВУХСОТ ЛЕТ НАЗАД АКАДЕМИК ЛЕНЦ (ЛЕНЦ,

Эмилий Христианович, 1804–1865), участвовавший в замечательных кругосветных плаваниях русских военных кораблей, предложил простейшую схему циркуляции вод мирового океана, считая его слоем воды постоянной толщины (глубины). Принимая во внимание высокую температуру на поверхности тропических вод и их низкую температуру на глубине, куда они приходят из высоких широт, из условия сохранения потока массы он заключил, что должна возникнуть непрерывная циркуляция воды в океане – факт, который уже давно был известен мореплавателям. (Конечно, реальная картина течений осложнена наличием материков, различием глубин, перемещением воздушных масс, вращением Земли.) Можно проиллюстрировать эту первую кинематическую модель циркуляции в мировом океане простым примером, поместив в одном конце наполненной водой ванны большой кусок льда, а в другом конце (под ванной) организовать подогрев (рис.1).

Рис.1. Иллюстрация простейшей кинематической модели циркуляции воды в мировом океане

В системе Солнце–Земля природа тоже позаботилась об энергетике рассматриваемого процесса. Плотность потока излучения от нашего светила на орбите нашей планеты равна q = 1400 Вт $м^{2}$, однако на поверхности планеты за полярным кругом и на экваторе плотности потока существенно различны по двум причинам. Первая причина чисто геометрическая и связана с углом скольжения $\phi$, равным географической широте (рис.2,а). Возьмем два пучка света одинакового диаметра 2r, много меньшего размеров Земли. Понятно, что мощность потока лучистой энергии в этих пучках одинакова и равна $q \pi r^{2}$. Вблизи экваториальной плоскости она доходит до верхних

Рис.2. а) Потоки излучения, идущие от Солнца внутри цилиндров одинакового диаметра (красные стрелки), на экваторе и у полюса приходятся на участки поверхности Земли разной площади. Вот почему у полюсов холоднее. б) Частица воды, первоначально движущаяся по меридиану к северу, вследствие вращения Земли отклоняется вправо

путь, чем у экватора, и, следовательно, сильнее рассеиваются (именно из-за рассеяния мы видим голубое небо), так что до поверхности Земли доходит не более 1000 Вт $м^{2}$. Тоже немало: если при помощи вогнутого зеркала площадью $1 м^{2}$ сфокусировать это излучение на чайник, он непременно закипит. По этим двум причинам льды Гренландии сохраняются, а вода вблизи экватора сильно нагревается. Но почему холодная вода не течет от Гренландии точно на юг вдоль меридиана, а отклоняется в сторону Северной Америки, т.е. вправо? И почему вытесняемая ею теплая вода не течет точно к Гренландии, а отклоняется в сторону Европы, т.е. опять-таки вправо? Этот замечательный факт объясняется инертностью движущейся массы и вращением Земли. Поясним это рисунком 2,б. Пусть в начальный момент времени некая частица находится в точке А, обладая скоростью $u_{A}$ вдоль меридиана. Если бы Земля не вращалась, то через некоторое время эта частица оказалась бы в точке В на том же меридиане. Теперь учтем вращение Земли с угловой скоростью $\omega$, которое приводит к переносу точки А в точку D, а точки В – в С. Понятно, что скорость переноса $v_{A}$ точки А больше, чем скорость переноса $v_{B}$ точки B – просто потому, что точка А отстоит от оси вращения дальше, чем В. Если бы кто-то заставил частицу перемещаться из А в В строго вдоль меридиана, то она через рассматриваемый отрезок времени попала бы в точку С. Однако, поскольку частица воды «свободна», она по инерции стремится сохранить скорость $v_{A}$ и, попав на параллель ВС, оказывается в точке $D '$, лежащей правее С. Похоже на то, как если бы в системе вращающейся Земли на эту частицу в процессе движения подействовала сила, направленная вправо. Это – сила инерции, называемая силой Кориолиса (Кориолис, Гаспар-Гюстав,1792–1843). Легко видеть, что соответствующее ей ускорение $a_{K}$ должно зависеть как от $\omega$, так и от линейной

31

ШКОЛА

скорости частицы $v_{A}$ относительно поверхности; а соображение размерности дает величину, пропорциональную их произведению: $a_{K} \sim \omega v_{A}$. Это стремление движущихся масс отклоняться на вращающейся Земле было отмечено на примере рек и даже получило название закона Бэра (Бэр, Карл, 1792–1876). Действительно, в северном полушарии правые берега рек оказываются крутыми под действием текущей воды, стремящейся отклониться вправо – независимо от того, течет река на север или на юг или даже вдоль параллели. Именно на правых берегах крупных рек с древних времен расцветали города. Легко понять, что в южном полушарии крутыми должны быть левые берега рек. Таким образом, слегка усовершенствованная идея Ленца в применении к теории возникновения Гольфстрима выглядит приблизительно так, как изображено на рисунке 3. В результате получается, что не только излучение Солнца, но и вращение Земли, и льды Гренландии согревают Европу! А если лед растает, то исчезнет Гольфстрим и в Европе наступит ледниковый период?! Конечно, реальная картина гораздо сложнее, и для ее объяснения наверняка написаны тысячи диссертаций и специальных монографий. Из них можно узнать о Ньюфаундлендской банке и холодном Лабрадорском течении, о Флоридском проливе, о восточном пассате, дующем вблизи экватора из Африки и нагнетающем воду в Мексиканский залив. И о том, что Гольфстрим, пересекая Атлантику,

Кулинарные исследования

Е.СОКОЛОВ

НАЧИНАТЬ КУЛИНАРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ В ПРЕДОБЕ- денное время – пропащее дело. Не успел я написать на доске тему занятия, как за моей спиной уже разгорелся спор. – Наверное, сегодня на обед суп будет, с самого утра из столовой вкусно пахнет. – Да нет, это котлетами пахнет, суп так долго не варят. Моя бабушка готовит суп всего за полчаса. – За полчаса суп не приготовишь. – Приготовишь, если использовать кастрюлю-скороварку. – Что это за чудо-кастрюля такая? Может быть, это машина времени?! Все было ясно. Слушатели нашего физического кружка снова не успели пообедать, и поэтому их мысли из области теоретической кулинарии перешли в область практическую. Пора отпускать их домой. – Итак, – вмешался я в разговор, – тема следующего занятия найдена: «Что это за чудо-кастрюля – кастрюляскороварка?» А чтобы наш будущий разговор был содержательным, вот вам задача на эту тему.

Задача про кастрюлю-скороварку Кастрюля-скороварка позволяет поварам Санкт-Петербурга в четыре раза сократить время приготовления мяса: в обычной кастрюле мясо готовится 2 часа, а в кастрюлескороварке – всего 1/2 часа. Во сколько раз использование этой чудо-кастрюли позволит сократить время приго-

В

«КВАНТЕ»

Рис.3. Упрощенная схема Гольфстрима. Показано отклонение вправо как глубинных холодных вод, текущих на юг от Гренландии (синяя линия), так и теплого поверхностного течения в сторону Европы (красная линия)

разделяется на Азорское и Северо-Атлантическое течения; последнее, собственно, и приносит теплые воды к берегам Европы. И … Но нам достаточно того, что это интересное явление дало повод поговорить о некоторых аспектах физики.

товления мяса поварам высокогорного Тибета, где атмосферное давление составляет всего 1/2 атмосферы? Известно, что при повышении температуры приготовления на $10 ^\circ C$ скорость соответствующих химических реакций увеличивается в два раза (т.е. время приготовления сокращается в два раза). Для расчета воспользуйтесь экспериментальным графиком зависимости давления насыщенного водяного пара от температуры (рис.1).

Рис.1. Как меняется давление насыщенного водяного пара в зависимости от температуры

Что есть процесс приготовления пищи? Пока наши школьники обедают, давайте попробуем сами разобраться, в чем секрет кастрюли-скороварки. Ведь это факт, что в ней все быстрее готовится. Вопрос – почему? На рисунке 2 изображена схема устройства кастрюлискороварки. Как видно, она отличается от обычной кастрюли только тем, что снабжена плотно закрывающейся крышкой. – Ну, тогда все ясно, – может кто-то поторопиться с ответом, – под крышкой в кастрюле-скороварке давление больше атмосферного, и поэтому там все быстрее готовится. – Подождите, – ответим мы. – Конечно, давление в кастрюле-скороварке больше атмосферного. Конструкторы учитывают этот факт и устанавливают в ее крышке клапанпредохранитель. Когда давление под крышкой превышает атмосферное давление на некоторую заданную величину, грузик приподнимается, клапан открывается, и часть воздуха и водяного пара выбрасывается в атмосферу. Но само по себе давление не увеличивает быстроту приготовления пищи

32

КВАНТ 2015/№5-6

Рис.2. а) Обычная кастрюля и кастрюля-скороварка; б) устройство кастрюли-скороварки: 1 – корпус, 2 – крышка с затягивающим винтом, 3 – клапан-предохранитель

– как бы вы ни давили на телячью отбивную, она от этого не сварится. Надо искать что-то другое. Обратимся за помощью к химии и спросим ее, в чем заключается процесс приготовления пищи и от чего зависит его скорость. Ответ такой. Процесс приготовления пищи – это химическая реакция, которая заключается в разрыве некоторых химических связей в молекулах белка. Это первое. А второе – скорость химических реакций чрезвычайно сильно зависит от температуры. Для процесса приготовления пищи, а также для очень многих других процессов органической химии этот закон таков: при повышении температуры на $10 ^\circ C$ скорость реакции увеличивается в k раз, где k – некоторое постоянное для данной реакции число. Такая зависимость называется геометрической прогрессией. В школьных учебниках физики она не часто упоминается. Но будьте готовы к тому, что если геометрическая прогрессия встретится нам в жизни, то что-нибудь точно случится. Например, очень быстро скиснет забытый на плите борщ или кто-то некстати заболеет, съев четыре порции холодного мороженого.

Упражнения

1. Вычислите, во сколько раз быстрее скиснет борщ, забытый в жару на кухне $( 35 \infty C ),$ чем это произошло бы в холодильнике $( 5 \infty C ).$ Считайте, что для химических реакций, приводящих к скисанию борща, справедливо то же правило, что и для процесса приготовления пищи (k = 2). 2. Почему мы очень часто заболеваем после того, как промерзнем? Почему во время болезни температура организма увеличивается? В чем смысл такого механизма защиты, предусмотренного для нас природой?

Итак, какова же температура в кастрюле-скороварке, о которой идет речь в нашей задаче, при условии, что k = 2? Если время приготовления в кастрюле-скороварке уменьшается в 4 раза, с 2 часов до 1/2 часа, то температура в ней на $20 ^\circ C$ выше, чем в обычной открытой кастрюле, и составляет $120 ^\circ C$. Мы раскрыли главный секрет кастрюли-скороварки – в ней все быстрее готовится потому, что температура кипящей воды в ней выше, чем в обычной кастрюле.

Что есть кипение?

– Это надо же, температура всего на $20 ^\circ C$ больше – и такой эффект. А что мешает нам увеличить температуру воды в обычной кастрюле? Давайте, например, дадим побольше газу. – Нет, ничего из этого не получится. Да, выкипать вода будет быстрее, а вот температура ее расти не будет. И причина этому – кипение. Когда вода кипит, все получаемое ею тепло идет на парообразование, кипящая вода не нагревается.

Упражнения

3. Неопытная хозяйка жалуется подружке: «Целый час ждала, пока потушится говядина. Под конец отошла всего на минутку, и все подгорело!» Что же произошло в ту минутку, когда хозяйка отлучилась?

4. Ровно в $12^{00}$ Матвей вышел из дома, чтобы отнести Лизе учебник по физике. На половине дороги он вспомнил, что забыл выключить чайник, который поставил в $11^{50}$. Успеет ли Матвей дойти до Лизы и вернуться домой до тех пор, пока чайник не сгорит, или ему нужно не откладывая поворачивать назад? От дома Матвея до дома Лизы 20 минут ходу, поставленный на плиту чайник закипает через 15 минут, начальная температура воды в чайнике $20 \infty C$. Все остальные данные возьмите из справочника.

– Итак, нагреть воду мы можем лишь до температуры кипения. Поэтому скорость приготовления пищи зависит лишь от температуры кипения. А разве температура кипения воды не константа? Разве это не закон природы, что вода всегда закипает при температуре $100 ^\circ C$? – Запомним раз и навсегда – нет такого закона. Конечно, обычный чайник на обычной кухне, когда давление равно одной атмосфере, закипает при температуре $100 ^\circ C$, но может закипеть и холодная вода, а может, наоборот, не кипеть вода, нагретая до $300 ^\circ C$. Чтобы понять, от чего зависит температура кипения, нам надо разобраться с тем, что есть кипение. Оставим для экзамена стандартную фразу о том, что кипение – это процесс парообразования, идущий в объеме жидкости, и поищем что-нибудь более емкое. Кстати, а как бы вы объяснили слова «вода кипит» марсианину, который никогда не видел ни воды, ни кипения? – Я думаю, нам пришлось бы сказать, что при некоторых условиях в жидкостях самопроизвольно начинают образовываться громадные пузыри. Эти пузыри растут, архимедова сила отрывает их от стенок, они всплывают, производя бурление и характерный шум. В этом и состоит процесс кипения. И, конечно, узнав это, марсианин нас спросит: «Откуда берутся в жидкости эти пузырьки? Что у них внутри? Почему эти пузырьки становятся громадными?» Это правильные вопросы. Давайте ответим на них. Откуда берутся в кипящем чайнике пузыри? Они там есть, только при обычных условиях они очень маленькие, поэтому мы их не замечаем. Что у них внутри? Немного воздуха и, конечно, насыщенный водяной пар. А вот для того чтобы объяснить, почему при нагревании эти почти невидимые сначала микропузырьки превращаются в громадные пузыри, нам следует всмотреться в их жизнь более пристально. И поможет нам очень простое утверждение (условие равновесия пузырька): сумма давления воздуха и давления насыщенных паров, находящихся внутри пузырька, всегда остается равной атмосферному давлению:

$p_{возд} + p_{нас} = p_{атм}$.

Уяснив это, проследим, что происходит с каждым из слагаемых при нагревании чайника. – Атмосферное давление, конечно, … – Остается постоянным. – Правильно. Давление насыщенного водяного пара, согласно рисунку 1, при нагревании катастрофически растет. А что остается на долю воздуха? – Его давление должно упасть. – А это означает, что пузырек должен расшириться. Иными словами, мы доказали, что пузырек увеличивает свой объем с ростом температуры воды в чайнике. Но это еще не главное. Главное состоит в ответе на следующий вопрос: «Каким должен стать размер пузырька, когда вода нагреется до температуры, при которой давление насыщенного водяного пара станет равным атмосферному давлению?» – Тогда давление воздуха должно упасть до нуля. А это значит, что объем пузырька должен стать равным …

47

ЛАБОРАТОРИЯ

«КВАНТА»

Рис. 4. Слева – снимок с экрана, снято 25.10.2014 в 12 ч 10 мин; справа – снимок НАСА

Рис. 2. Изображение внешнего мира на стенах и потолке аудитории, на экране и стоящей рядом с ним учебной доске

фицировать эту группу пятен как группу № 2192. Для простоты сравнения наш исходный кадр был переориентирован – отражен сверху вниз и повернут. На следующей фотографии (рис.5), сделанной через минуту, Солнце сместилось, и ветка перекрыла другой край

Рис. 3. Изображение на экране, приближенном к отверстию в окне; внизу видна тень от камеры, установленной на штативе

изображение. А после получасового пребывания в темноте происходит адаптация, и все эти изображения на стенах и потолке становятся видимыми невооруженным глазом. Вот еще фотография, сделанная внутри той же камерыобскуры (рис.3). Используем линзу. В конце прошлого года мы с недельным интервалом прочитали две лекции для школьников. Одна называлась «Камера-обскура – хорошо забытое старое», другая – «Радуга Декарта–Ньютона–Юнга». После каждой лекции мы решили показывать школьникам работу нашей камеры. На лекции записалось много народу, поэтому, во-первых, пришлось разбить посещение камеры-обскуры на сеансы, а во-вторых, не было никакой возможности каждый раз тратить по полчаса на адаптацию к темноте. В связи со всем этим мы заменили миллиметровое отверстие в диафрагме на слабоположительную линзу диаметром 4 см. Яркость изображения при этом значительно возросла, и на адаптацию глаза теперь уходили считанные минуты. 25.10.2014 – наблюдение солнечных пятен. В день, когда была прочитана вторая лекция, нам повезло. Стояла солнечная погода, и с помощью камеры-обскуры с диаметром входного отверстия 3 мм удалось показать школьниками пятна на Солнце. На первой фотографии (рис.4, слева), сделанной с экрана, удаленного от окна на 5 м, видны голая веточка на фоне Солнца и группа солнечных пятен. Представленный на том же рисунке справа снимок НАСА позволяет иденти-

Рис. 5. Слева – снимок с экрана, справа – увеличенный фрагмент, снято 25.10.2014 в 12 ч 11 мин

солнечного диска. Похоже, что в полутени этой ветки угадывается более мелкое пятно – № 2193. Понятно, что все описанные здесь эксперименты легко воспроизводимы. Превратив свою комнату в большую камеру-обскуру, вы сможете провести их, не выходя из дома. Для начала диаметр входного отверстия в диафрагме можно взять равным 3 мм, потом попробовать другие размеры. Если хотите вместо маленького отверстия использовать линзу, а расстояние от окна до противоположной стены у вас составляет L метров, то проще всего взять линзу для очков с оптической силой +1/L диоптрий. Наблюдения лучше проводить в солнечный день. В заключение – несколько ссылок. i Прежде всего, попытайтесь отыскать в интернете ролик под названием «Камера-обскура – отрывок из серии «Гении фотографии» с известным американским фотографом Абелардо Мореллом. i Посмотрите веселый ролик по адресу http:// yellowdog.ru/blog/i/camera_obscura i А на сайте http://sohowww.nascom.nasa.gov/data/ synoptic/sunspots_earth/ можно найти использованную нами фотографию НАСА. i Наконец, рекомендуем прочитать статью В.Сурдина и М.Карташева «Камера-обскура» в «Кванте» №2 за 1999 год (http://kvant.ras.ru/pdf/1999/02/kv0299surdin.pdf)

Чертим кривые второго порядка!

В этом «Калейдоскопе» мы расскажем о некоторых приспособлениях, позволяющих точно чертить кривые второго порядка: параболы, эллипсы, гиперболы.

Параболограф Кавальери

Этот элегантный способ рисования параболы придумал итальянский математик Бонавентура Кавальери (итал. Bonaventura Francesco Cavalieri, лат. Cavalerius, 1598 – 1647) еще в 17 веке. Описание конструкции. По неподвижной относительно листа линейке скользит прямой угол так, что одна из его сторон (горизонтальная) постоянно соприкасается с линейкой (рис.1). У второго прямого угла вершина с грифелем скользит вдоль вертикальной стороны первого, а стороны скользят так, что все время проходят через штыри, один из которых жестко закреплен на линейке, а другой – на горизонтальной стороне подвижного угла.

Рис. 2

Рис. 3

делением параболы (линейка – директриса, красная кнопка – фокус).

Эллипсографы

Рис. 1

Обоснование. Рассмотрим треугольник, образованный сторонами второго угла и линейкой. В нем квадрат длины высоты, опущенной на гипотенузу, равен произведению проекций катетов на гипотенузу. Одна из проекций по конструкции постоянна (красный отрезок на рисунке 1) и является параметром, определяющим параболу (выведите отсюда ее уравнение).

Рисование параболы с помощью нити

Описание конструкции. По неподвижной относительно листа линейке скользит угольник так, что один из катетов (горизонтальный) постоянно соприкасается с линейкой. Один конец нити закрепляется в вершине угольника, не лежащей на линейке, другой конец нити закреплен кнопкой на листе бумаги. Карандаш прижимает нить к катету угольника так, чтобы она всегда была натянута (рис. 2, 3). Обоснование. Допустим, длина нити равна длине вертикального катета (в качестве упражнения предлагаем свести общий случай к этому частному случаю). Тогда грифель всегда равноудален от линейки и кнопки на листе. Это согласуется с геометрическим опре-

Описание конструкции. На линейке закреплены два штыря и грифель, штыри скользят по двум перпендикулярным пазамнаправлениям. На рисунке 4 грифель M делит отрезок между штырями на отрезки длиной a и b (в частном случае a = b получится окружность – см. знаменитую задачу «котенок на лестнице» из книги Рис. 4 Н.Б.Васильева, В.Л.Гутенмахера «Прямые и кривые»), на рисунке 5 грифель К расположен вне отрезка между штырями. К линейке можно прикрепить $тре-^{Рис.} 5$

РЕЦЕНЗИИ И БИБЛИОГРАФИЯ

«Математическая составляющая»

Лауреатом престижной премии «Просветитель» 2015 года за лучшую научно-популярную книгу на русском языке в номинации «Естественные и точные науки» стала книга «Математическая $составляющая»^{1}$. Редакторы-составители книги Н.Н.Андреев, С.П.Коновалов, Н.М.Панюнин; художникоформитель Р.А.Кокшаров. Двое из этого коллектива – члены редколлегии нашего журнала. «Математическая составляющая» – это сборник небольших научно-популярных статей, написанных известными учеными. Книга состоит из трех частей. В первой («синей») части собраны сюжеты, показывающие жизненную необходимость математических открытий и исследований для человечества. Вторая («зеленая») часть – о проявлениях математики в обычных явлениях и вещах. Третья («красная») часть также посвящена прикладным вопросам, но адресована читателю с более серьезной математической подготовкой. Увлекательный стиль изложения и красочные иллюстрации делают книгу доступной для широкого круга читателей, в том числе и для школьников. Ниже мы приводим расширенный вариант одной из статей из сборника «Математическая составляющая».

Спутниковая навигация

Н.ПАНЮНИН

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ О ТОМ, ЧТО ВАШ GPS- ИЛИ ГЛОНАСС- приемник получает ваши же координаты от находящихся на орбите спутников, – ошибочно. Во-первых, спутники их просто не знают, во-вторых, свои сообщения спутники отправляют «в пространство», сразу всем, а не только вашему приемнику. Как же навигатор определяет ваши координаты? В спутниковой навигационной системе можно выделить два основных сегмента: космический и управленческий. Космический сегмент – созвездие спутников, равномерно расположенных вокруг Земли. Управленческий сегмент, находящийся на Земле, обеспечивает, в частности, синхронизацию на всех спутниках «общесистемного» времени и корректировку орбит спутников. Каждый спутник постоянно передает навигационные сообщения, содержащие, в частности, координаты спутника в момент отправки сообщения и время отправки. Приемник, получивший такое сообщение, может рассчитать расстояние до спутника: $d = ( t^{(} пр^{)} - t^{(} отпр^{)} )$ с. В этой формуле время прохождения сигнала (от времени отправки $t^{(} отпр^{)}$ до времени приема $t^{(} пр^{)} )$ умножается на скорость распространения радиосигнала, т. е. скорость света c. С другой стороны, если в прямоугольной декартовой системе координат координаты приемника равны ( x; y; z ), а координаты спутника в момент

1 Книга издана по решению Ученого совета Математического института имени В.А.Стеклова Российской академии наук фондом «Математические этюды». Подробная информация о книге находится на сайте http://www.etudes.ru/

отправки сообщения были равны $( x_{1} ; y_{1} ; z_{1} )$, то квадрат этого же расстояния d равен $( x - x_{1} )^{2} + ( y - y_{1} )^{2} + ( z - z_{1} )^{2}$. Геометрически это означает, что сообщение от одного спутника выделяет часть пространства, в которой вы находитесь, – сферу с центром в спутнике. Информация еще от одного спутника – вторая сфера. Пересечение этих двух сфер, вообще говоря, – окружность. Сообщение от третьего спутника добавляет еще одно ограничение – третью сферу. Вообще говоря, пересечение трех сфер – две точки (рис. 1). Выбрать из них ту, которая соответствует местоположению приемника, можно, например, воспользовавшись информа-

Рис. 1

ОЛИМПИАДЫ

Заключительный этап XLI Всероссийской олимпиады школьников по математике

Заключительный этап XLI Всероссийской математической олимпиады школьников проводился с 23 по 29 апреля 2015 года в столице Татарстана городе Казани. В олимпиаде приняли участие 355 школьников из 50 регионов России, показавших наиболее высокие результаты на региональном этапе. В олимпиаде приняли участие традиционные гости: команды из Болгарии и Китайской Народной Республики. Как и в предыдущие годы, в каждый из двух дней олимпиады участникам было предложено по 4 задачи на 5 часов работы. Несмотря на то, что задачи олимпиады были достаточно трудными, школьники успешно справились с ними. И в каждом классе нашлись участники, решившие все 8 задач. По традиции, после олимпиады школьники участвовали в голосовании, на котором они выбрали наиболее красивые, по их мнению, задачи. Лауреатами в этом соревновании стали: в 9 классе – задачи 6 (I место), 8 (II место) и 7 (III место); в 10 классе – 7 (I место; отметим, что еще в прошлом году ее автор Максим Дидин был победителем Всероссийской, а затем и Международной олимпиады школьников), 3 (II место) и 8 (III место); в 11 классе – 4 (I место), 6(II место) и 3 (III место). Большая часть этих задач включена в «Задачник «Кванта» этого номера. Стоит отметить высокий уровень организации олимпиады, благодаря которому она превратилась в настоящий праздник для лучших юных математиков страны. На церемонии закрытия награды победителям олимпиады и дипломы вручил министр образования и науки Российской Федерации Д.В.Ливанов, с напутствием для одаренных школьников выступил лауреат Филдсовской премии С.К.Смирнов. Кроме традиционных экскурсий в программу олимпиады были включены научно-популярные лекции известных математиков: «Задачи простые и сложные» А.Шеня, «Что такое случайное блуждание?» С.Смирнова, «Сложность вычислений, и почему без нее не прожить» Э.Гирша. Ниже приведены условия задач и список победителей и призеров заключительного этапа XLI Всероссийской олимпиады школьников по математике.

ЗАДАЧИ ОЛИМПИАДЫ

9 класс

1. Числа a и b таковы, что каждый из двух квадратных трехчленов $x^{2} + ax + b$ и $x^{2} + bx + a$ имеет по два различных корня, а произведение этих трехчленов имеет ровно три различных корня. Найдите все возможные значения суммы этих трех корней. С.Берлов

2. Параллелограмм ABCD таков, что $\angle B < 90 ^\circ$ и AB < BC. Точки E и F выбраны на окружности $\omega$, описанной около треугольника ABC, так, что касательные к $\omega$ в этих точках проходят через D. Оказалось, что $\angle$ EDA $= \angle$ FDC. Найдите угол ABC. А.Якубов

3. Натуральные числа a, x и y, большие 100, таковы, что

2

(

)

$y - 1 = a^{2} x^{2} - 1$. Какое наименьшее значение может принимать дробь a x?

В.Сендеров

4. В волейбольном турнире участвовали 110 команд, каждая сыграла с каждой из остальных ровно одну игру (в волейболе не бывает ничьих). Оказалось, что в любой группе из 55 команд найдется одна, которая проиграла не более чем четырем из остальных 54 команд этой группы. Докажите, что во всем турнире найдется команда, проигравшая не более чем четырем из остальных 109 команд. С.Берлов

5. По кругу записаны 100 целых чисел. Каждое из чисел больше суммы двух чисел, следующих за ним по часовой стрелке. Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди записанных? С.Берлов

6. См. задачу М2398 «Задачника «Кванта».

7. Остроугольный треугольник ABC (AB < AC) вписан в окружность Ω. Пусть M – точка пересечения его медиан, а AH – высота этого треугольника. Луч MH пересекает Ω в точке $A '$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника $A ' HB$, касается AB. А.Голованов, А.Якубов

8. См. задачу М2402 «Задачника «Кванта».

10 класс

1. См. задачу М2400,а «Задачника «Кванта».

2. Дан параллелограмм ABCD, в котором AB < AC < < BC. Точки E и F выбраны на окружности $\omega$, описанной около треугольника ABC, так, что касательные к $\omega$ в этих точках проходят через D; при этом отрезки AD и CE пересекаются. Оказалось, что $\angle$ ABF $= \angle$ DCE. Найдите угол ABC. А.Якубов, С.Берлов

3. На соревнованиях по фигурному велосипедированию было 100 судей. Каждый судья упорядочил всех участников (от лучшего по его мнению – к худшему). Оказалось, что ни для каких трех участников A, B, C не нашлось трех судей, один из которых считает, что A – лучший из трех, а B – худший, другой – что B лучший, а C худший, а третий – что C лучший, а A худший. Докажите, что можно составить общий рейтинг участников так, чтобы для любых двух участников A и B тот, кто выше в рейтинге, был бы лучше другого по мнению хотя бы половины судей. И.Богданов

4. Обозначим через S ( k ) сумму цифр натурального числа k. Натуральное число a назовем n-хорошим, если существует такая последовательность натуральных чисел $a_{0}, a_{1},...$

60

КВАНТ 2015/№5-6

Быкова Софья – Москва, Центр образования «Пятьдесят седьмая школа», Урманов Максим – Москва, Центр образования «Пятьдесят седьмая школа», Семенов Никита – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Спиридонов Игорь – Москва, школа 179, Карагодин Никита – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Гилязев Юлиан – Оренбургская обл., Абдулинский р-н, школа 3, Федорец Никита – Москва, школа 1329, Бикеев Артур – Казань, лицей 131, Новиков Михаил – Новосибирск, лицей 9, Фафурин Олег – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Добронравов Егор – Новосибирск, лицей 130 им. академика М.А.Лаврентьева, Лямкин Михаил – Барнаул, гимназия 42, Рябов Егор – Москва, школа 2086, Окопная Евгения – Москва, школа 2007 с углубленным изучением физики и математики, Нефедов Андрей – Иваново, лицей 33, Шеремет Артем – Москва, школа 1329, Югов Василий – Пермь, школа 46 с углубленным изучением математики, физики и информатики, Андреев Яков – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Евсеев Павел – Москва, лицей «Вторая школа», Студеникина Алевтина – Москва, школа 1329, Мухаметшина Камиля – Казань, лицей 131, Евтушевская Ариадна – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Воронов Артем – Серпухов, школа 9 с углубленным изучением отдельных предметов, Кравцова Екатерина – Белгород, лицей 38, Дроздова Александра – Нижний Новгород, лицей 165 им.65-летия «ГАЗ», Иго Андрей – Новосибирск, гимназия 6 «Горностай», Левин Лев – Новороссийск, гимназия 5, Чепасов Анатолий – Ульяновск, гимназия 13;

по 10 классам – Крутовский Роман – Москва, гимназия 1514, Вепрев Георгий – Рыбинск, лицей 2, Губкин Павел – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Рябов Павел – Москва, гимназия 1543, Османкин Евгений – Новороссийск, гимназия 5, Акилбаева Екатерина – Москва, школа 218, Лиждвой Валентин – Москва, лицей «Вторая школа», Алексеев Ярослав – Санкт-Петербург, ФМЛ 30, Ахметов Жанат – Курган, гимназия 47, Фадин Михаил – Москва, Центр образования «Пятьдесят седьмая школа», Цой Никита – Москва, школа 2007 с углубленным изучением физики и математики, Меньшенин Алексей – Москва, лицей 1568 им. Пабло Неруды, Балакин Андрей – Москва, школа 2007 с углубленным изучением физики и математики, Лялина Альбина – Ижевск, ИЭМЛ 29, Азангулов Искандер – Набережные Челны, гимназия 26, Макеев Владислав – Москва, СУНЦ МГУ, Шамсутдинов Булат – Казань, лицей 131, Овечкин Григорий – Ижевск, ИЭМЛ 29, Кора Александр – Набережные Челны, гимназия 26, Бабушкин Егор – Курган, школа 22, Зенкова Яна – Новосибирск, СУНЦ НГУ, Мосеева Татьяна – Ярославль, школа 33 им. К.Маркса с углубленным изучением математики, Лупуляк Ольга – Санкт-Петербург, ФМЛ 239,

Коваленко Кирилл – Москва, Центр образования «Пятьдесят седьмая школа», Ким Раиса – Москва, школа 1329, Горячев Владимир – Москва, гимназия 1514, Чуфаровский Николай – Москва, СУНЦ МГУ, Зайцев Егор – Ижевск, ИЭМЛ 29, Марченко Артемий – Саров, лицей 15 им. академика Ю.Б. Харитона, Файрушин Айдар – Набережные Челны, гимназия 26, Молчанова Вероника – Краснодар, лицей 64, Кошелев Михаил – Москва, Центр образования «Пятьдесят седьмая школа», Терехов Михаил – Ульяновск, Ульяновский городской лицей при УлГТУ, Зосимова Жанна – Ижевск, ИЭМЛ 29, Лычагина Елена – Курган, гимназия 19, Путилин Михаил – Новосибирск, гимназия 6 «Горностай»;

по 11 классам – Гладков Никита – Томск, ФТЛ, Зимин Александр – Ульяновск, школа 52, Лосев Илья – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Новиков Святослав – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Кузнецов Александр – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Макаров Владислав – Санкт-Петербург, школа 450, Куликов Алексей – Санкт-Петербург, ФМЛ 30, Матвеев Александр – Москва, школа 171, Богданов Илья – Москва, школа 2086, Нестеров Никита – Ульяновск, многопрофильный лицей 20, Зубрилина Нина – Москва, Центр образования «Пятьдесят седьмая школа», Монаков Григорий – Санкт-Петербург, лицей 533 «Образовательный комплекс «Малая Охта», Стороженко Андрей – Омск, гимназия 117, Белых Евгений – Вологда, Вологодский многопрофильный лицей, Ходунов Павел – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Тарасов Александр – Иркутск, школа 10 с углубленным изучением отдельных предметов, Васильчишин Сергей – Киров, ФМЛ, Шатский Владимир – Москва, гимназия 1514, Очков Дмитрий – Москва, гимназия 1588, Румянцев Владислав – Москва, школа 179, Ахтямов Данил – Москва, СУНЦ МГУ, Мрыхин Михаил – Ижевск, ИЕГЛ «Школа–30», Пустовойтов Сергей – Югра, Югорский физико-математический лицей-интернат, Хадаев Константин – Новосибирск, школа 83, Мягков Константин – Санкт-Петербург, ФМЛ 30, Мусаткина Дарья – Чебоксары, лицей 3, Басимова Наталья – Москва, школа 2007 с углубленным изучением физики и математики, Шатохин Анатолий – Краснодар, школа 74, Багиров Фарид – Санкт-Петербург, лицей 533 «Образовательный комплекс «Малая Охта», Лукьянов Илья – Ульяновск, Ульяновский городской лицей при УлГТУ, Евтушевский Всеволод – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Тыщук Кирилл – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, Лужецкий Илья – Москва, лицей «Вторая школа», Вахрина Анастасия – Йошкар-Ола, лицей 28, Манучарян Вардан – Магнитогорск, школа 5 с углубленным изучением математики, Валиуллин Артур – Уфа, гимназия 93,

61

ОЛИМПИАДЫ

Якушева Софья – Воронеж, лицей «Многоуровневый общеобразовательный комплекс 2», Бобров Алексей – Кострома, лицей 34, Зайцева Татьяна – Москва, школа 179, Демидов Даниил – Нижний Новгород, гимназия 17, Ипатов Михаил – Москва, СУНЦ МГУ.

Специальные призы за абсолютный результат на олимпиаде получили Иванов Михаил – Санкт-Петербург, ФМЛ 239, 9кл., Салимов Руслан – Москва, школа 1329, 11 кл.;

Юргин Григорий – Москва, лицей «Вторая школа», 10 кл.;

за красивое решение самой сложной задачи олимпиады – Петров Семен – Ярославль, школа 12, 10 кл.;

за красивое решение сложной комбинаторной задачи 8 для 11 класса – Фролов Иван – Москва, школа 1329.

Публикацию подготовили Н.Агаханов, И.Богданов, П.Кожевников, О.Подлипский за решение всех задач олимпиады – Ягудин Амир – Казань, лицей 131, 9 кл.,

Заключительный этап XLIX Всероссийской олимпиады школьников по физике

В этом году заключительный этап Всероссийской олимпиады школьников по физике прошел в Екатеринбурге. В олимпиаде приняли участие 266 школьников из 52 субъектов РФ и 2 школьника из Республики Беларусь. Самые многочисленные команды представили город Москва, Республика Мордовия и город Санкт-Петербург. Участники 34 субъектов не смогли преодолеть квалификационный барьер на региональном этапе (11 класс – 58 баллов, 10 класс – 56,5 балла, 9 класс – 51 балл) и на заключительный этап направили по одному участнику, набравшему наивысшее количество баллов в своем регионе. Как и в прежние годы, каждому участнику заключительного этапа олимпиады было предложено решить пять теоретических задач и выполнить два экспериментальных задания. Анализ работ участников показал, что коэффициент корреляции между теорией и экспериментом наименьший для девятиклассников и почти в три раза больше для одиннадцатиклассников. Это свидетельствует о том, что если в 9 классе умение решать теоретические задачи слабо связано с умением выполнять экспериментальные задания, то к 11 классу уровень участников возрастает настолько, что количество баллов как за теорию, так и за эксперимент больше зависит от степени подготовки участника, чем от случайных факторов. Ниже приводятся задачи теоретического тура и список победителей заключительного этапа XLIX Всероссийской олимпиады школьников по физике.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ТУР

9 класс

Задача 1. Разгон поезда Машинист настроил бортовой компьютер электрички так, чтобы он показывал среднюю скорость v на участке, пройденном между соседними опорами, поддерживающими контактный провод (рис.1). Расстояния между любыми двумя

Рис. 1

соседними опорами одинаковы. Электричка отправляется с платформы «Новодачная» и разгоняется с постоянным ускорением. Через некоторое время машинист увидел, что компьютер показывает скорость $v_{1} = 20$ км/ч. На следующем участке скорость оказалась $v_{2} = 30$ км/ч. Какой была мгновенная скорость u электрички на границе между первым и вторым участками? В.Слободянин

Олимпийцы позируют

Задача 2. Нажали и отпустили Тележка соединена со стеной жестким стержнем (рис.2). К ее упору прикреплена пружина, другой конец

Рис. 2

64

КВАНТ 2015/№5-6

Определите сопротивление $R_{AC}$ между точками A и С. Как изменятся сопротивления $R_{AB}$ и $R_{AC}$, если, не изменяя толщину пластин, увеличить их размеры и размер отверстий в 2 раза? Е.Савинов

Задача 3. Реактивная трубка В середине длинной трубки, открытой с обоих концов, перпендикулярно к ее оси закреплен нагреватель в виде тонкой вольфрамовой сеточки. Система находится в воздухе при температуре $t = 20 ^\circ C$, ее общая масса m = 17 г. В начальный момент трубке сообщается скорость $v_{0} = = 1$ см/с вдоль ее оси, к нагревателю начинает подводиться мощность q = 20 Вт, и трубка начинает разгоняться. Какой скорости достигнет трубка на пути разгона s = = 20 м? Сопротивлением воздуха пренебрегите. Давление внутри трубки считайте одинаковым, силу тяжести и теплообмен через стенку трубки не учитывайте. Считайте, что изменение кинетической энергии потока воздуха при пересечении сеточки мало по сравнению с изменением его внутренней энергии. Считайте воздух двухатомным газом с молярной массой М = 29 г/моль. А.Гуденко

Задача 4. Космический объект Космический объект, движущийся вдоль некоторой прямой с постоянной скоростью, испускает периодические радиоимпульсы. Астроном установил, что за время наблюдения $\Delta t$ видимое направление на этот объект изменилось на малый угол $\Delta \phi$, а период между моментами прихода радиоимпульсов изменился от T до $T + \Delta T$, где $\Delta T$ ≪ T. Найдите расстояние от наблюдателя до объекта. Скорость радиоимпульсов равна скорости света c. И.Воробьев

Задача 5. «Миллиавтомобиль» Очень маленький, размером с муравья, автомобиль едет по ровной горизонтальной поверхности вдоль главной оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием F. На его крыше закреплен точечный источник света S, находящийся на главной оптической оси линзы. Скорость автомобиля изменяется так, что скорость изображения $S_{1}$ точечного источника S остается постоянной и равной $v_{0}$. Определите, на каких расстояниях от линзы возможно такое движение «миллиавтомобиля». Коэффициент трения между его колесами и дорогой равен $\mu$. С.Варламов

Победители заключительного этапа олимпиады

9 класс

Николай Чикин – Москва, Захар Яковлев – Санкт-Петербург, Дмитрий Садыков – Казань, Владимир Малиновский – Санкт-Петербург, Яков Андреев – Санкт-Петербург, Артем Шеремет – Москва, Борис Билич – Жуковский Московской обл., Владимир Голод – Москва, Артем Петров – Санкт-Петербург, Всеволод Пухов – Москва;

10 класс

Максим Елисеев – Республика Мордовия, Илья Зыков – Республика Мордовия,

Дмитрий Норкин – Москва, Антон Малинский – Уфа, Никита Семенин – Югра, Александр Артемьев – Киров, Василий Югов – Пермь;

11 класс

Максим Соколов – Самара, Кирилл Казарновский – Долгопрудный Московской обл., Артем Стоян – Астрахань, Иван Утешев – Республика Мордовия, Кирилл Воронин – Магнитогорск, Никита Гладков – Томск, Кирилл Дубовицкий – Москва, Алексей Красников – Бугульма. Публикацию подготовил В.Слободянин

LVI Международная математическая олимпиада

С 4 по 16 июля 2015 года в городе Чианг Май (Таиланд) прошла LVI Международная математическая олимпиада (ММО). В ней приняли участие 577 юных математиков из 104 стран мира. В нашу сборную вошли четверо выпускников: Иван Бочков (Ижевск), Никита Гладков (Томск), Александр Зимин (Ульяновск) и Александр Кузнецов (Санкт-Петербург), а также двое десятиклассников из Москвы – Руслан Салимов и Иван Фролов. Вариант олимпиады этого года оказался весьма трудным – лишь считанному числу участников олимпиады удалось преодолеть рубеж в 4 решенные задачи. Результаты членов команды России оказались неплохими и достаточно ровными, но в среднем менее успешными, чем в последние годы, – все ребята получили серебряные медали. Одной из причин не самого яркого выступления стала структура варианта нынешнего года: красивым и идейно сложным задачам

3 и 6 в каждом из двух туров олимпиады предшествовала технически трудная задача, на которую требовалось затратить много времени и сил. Приводим таблицу с результатами выступления нашей сборной (каждая задача оценивалась из 7 баллов):

65

ОЛИМПИАДЫ

2. Найдите все тройки ( a, b, c ) целых положительных чисел такие, что каждое из чисел аb – c, bc – a, ca – b является степенью двойки. (Степенью двойки называется число вида $2^{n}$, где n – целое неотрицательное число.) Сербия

3. Пусть ABC – остроугольный треугольник, в котором AB > AC. Пусть $\Gamma$ – окружность, описанная около него, H – его ортоцентр, а F – основание высоты, опущенной из вершины A. Пусть M – середина стороны BC. Пусть Q – точка на окружности $\Gamma$ такая, что $\angle$ HQA $= 90 ^\circ$, а K – точка на окружности $\Gamma$ такая, что $\angle$ HKQ $= 90 ^\circ$. Пусть точки A, B, C, K и Q различны и лежат на окружности $\Gamma$ в указанном порядке. Докажите, что окружности, описанные около треугольников KQH и FKM, касаются друг друга. Украина

Слева направо: Н.Агаханов (руководитель команды), И.Бочков, А.Кузнецов, А.Зимин, И.Фролов, Д.Терёшин (зам. руководителя), Р.Салимов, Н.Гладков

Полная информация о результатах на международных математических олимпиадах есть на официальном сайте олимпиады www.imo-official.org. В этом году летние учебно-тренировочные сборы для команды и ближайшего резерва были проведены в Сочи в рамках первой смены образовательного центра «Сириус» (http://siriusdeti.ru), который был создан по инициативе Президента России В.В.Путина фондом «Талант и успех». Руководители команды благодарны правлению фонда «Талант и успех» и все организаторам центра «Сириус» за прекрасные условия, созданные для проведения занятий и досуга ребят. Благодаря фонду усилилась работа на перспективу: по сравнению с прошлым годом почти вдвое увеличилось число участников сборов – кандидатов в сборные России следующих лет.

ЗАДАЧИ ОЛИМПИАДЫ

1. Конечное множество S точек на плоскости будем называть сбалансированным, если для любых различных точек A и B из множества S найдется точка C из множества S такая, что AC = BC. Множество S будем называть эксцентричным, если для любых трех различных точек A, B и C из множества S не существует точки P из множества S такой, что PA = = PB = PC. а) Докажите, что для любого целого $n \ge 3$ существует сбалансированное множество, состоящее из n точек. б) Найдите все целые $n \ge 3$, для которых существует сбалансированное эксцентричное множество, состоящее из n точек. Нидерланды

2. Пусть Ω – окружность, описанная около треугольника ABC, а точка O – ее центр. Окружность $\Gamma$ с центром A пересекает отрезок BC в точках D и E так, что точки B, D, E и C все различны и лежат на прямой BC в указанном порядке. Пусть F и G – точки пересечения окружностей $\Gamma$ и Ω, при этом точки A, F, B, C и G лежат на Ω в указанном порядке. Пусть K – вторая точка пересечения окружности, описанной около треугольника BDF, и отрезка AB. Пусть L – вторая точка пересечения окружности, описанной около треугольника CGE, и отрезка CA. Пусть прямые FK и GL различны и пересекаются в точке X. Докажите, что точка X лежит на прямой AO. Греция

3. Пусть R – множество всех действительных чисел. Найдите все функции $f : R \to R$, удовлетворяющие равенству f ( x + f ( x + y ) ) + f ( xy ) = x + f ( x + y ) + yf ( x ) для всех действительных чисел x и y.

Албания

6. Последовательность $a_{1}, a_{2}$, … целых чисел удовлетворяет следующим условиям: (i) $1 \le a_{j} \le 2015$ для всех $j \ge 1$; (ii) $k + a_{k} \ne l + a_{l}$ для всех $1 \le k < l$. Докажите, что существуют два положительных целых числа b и N таких, что n

$\sum ( a_{j} - b ) \le 1007^{2}$ j = m + 1 для всех целых чисел m и n, удовлетворяющих условию $n > m \ge N$. Австралия

Публикацию подготовили Н.Агаханов, И.Богданов, П.Кожевников, М.Пратусевич, Д.Терёшин

XLVI Международная физическая олимпиада

В городе Мумбаи (Индия) с 5 по 12 июля 2015 года прошла очередная Международная олимпиада школьников по физике. В олимпиаде приняли участие 84 страны. Участникам олимпиады предлагались три теоретические задачи (теоретический тур) и две экспериментальные задачи (экспериментальный тур). Все задачи оценивались мак- симум по 10 баллов. Таким образом, каждый участник мог набрать максимум 50 баллов. В сборную России вошли пять школьников: Кирилл Воронин (Магнитогорск, Челябинская обл.), Георгий Корепанов (Саранск, Мордовия), Алексей Красников (Бугульма, Татарстан),

ИНФОРМАЦИЯ

Очередной набор в ВЗМШ

Всероссийская заочная многопредметная школа (ВЗМШ), входящая в структуру московского лицея «Вторая школа» и работающая при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова, в пятьдесят второй раз проводит набор учащихся. Эта школа была создана по инициативе академика И.М.Гельфанда в 1964 году. Многие годы И.М.Гельфанд возглавлял Научный совет школы. ВЗМШ – государственное учреждение дополнительного образования, доступное для всех желающих, причем не только для школьников, пополнить свои знания в одной или нескольких из следующих областей науки: математика, биология, филология, физика, экономика, история (перечисление – в хронологическом порядке открытия отделений). Сейчас ВЗМШ совместно с другими научно-педагогическими учреждениями ведет исследовательские работы по разработке новых интерактивных технологий в образовании и переводу части своих учебно-методических комплексов на язык современных телекоммуникаций. За время существования ВЗМШ удостоверения о ее окончании получили несколько сотен тысяч школьников и тысячи кружков – групп «Коллективный ученик ВЗМШ». Обучение в школе ЗАОЧНОЕ, т.е. начиная с сентября– октября 2016 года все поступившие будут систематически получать специально разработанные для заочного обучения материалы, содержащие изложение теоретических вопросов и методов рассуждений, разнообразные задачи для самостоятельной работы, образцы решений задач, деловые игры, контрольные и практические задания. Контрольные работы учащихся будут тщательно проверяться и рецензироваться преподавателями ВЗМШ – студентами, аспирантами, преподавателями и научными сотрудниками МГУ, а также других вузов и учреждений, где имеются филиалы школы. Многие из преподавателей в свое время сами закончили ВЗМШ и поэтому особенно хорошо понимают, как важно указать, помимо конкретных недочетов, пути ликвидации имеющихся пробелов в знаниях, порекомендовать дополнительную литературу, поругать за невнимательность и похвалить за заметный (а иногда – и за самый маленький) прогресс и трудолюбие. Поступившие в ВЗМШ смогут узнать об увлекательных вещах, часто остающихся за страницами школьного учебника, познакомиться с интересными нестандартными задачами и попробовать свои силы в их решении. Для многих станет откровением, что задачи бывают не только в математике, физике и химии, но и в биологии, филологии, экономике и других науках. Решение задач поможет прояснить и сделать интересными многие разделы, казавшиеся непонятными и скучными. Одна из особенностей учебных программ и пособий ВЗМШ – в том, что они созданы действующими на переднем крае науки талантливыми учеными и опытными незаурядными педагогами. Чтобы успешно заниматься в заочной школе, вам придется научиться самостоятельно и продуктивно работать с книгой, грамотно, четко, коротко и ясно излагать свои мысли, а это, как известно, умеют далеко не все. Возможно, наша заочная школа поможет вам выбрать профессию, найти свое место в окружающем мире. Все выполнившие программу ВЗМШ получают дипломы. Хотя формальных преимуществ они не дают, приемные комиссии многих вузов учитывают, что обладатели этих

удостоверений в течение продолжительного времени самоотверженно трудились над приобретением знаний, научились самостоятельно творчески работать, а это значит, что из них получатся хорошие студенты и, в дальнейшем, грамотные, вдумчивые, широко образованные специалисты. Вы сможете получать наши задания как обычной, так и электронной почтой, а также принимать участие в апробации новых интерактивных учебных программ. Для поступления в ВЗМШ надо успешно выполнить вступительную контрольную работу. Приемную комиссию интересует, в первую очередь, ваше умение рассуждать, попытки (пусть поначалу не совсем удачные) самостоятельно мыслить и делать выводы. Преимуществом при поступлении пользуются проживающие в сельской местности, поселках и небольших городах, где нет крупных научных центров и учебных заведений и где получить дополнительное образование можно лишь заочно. Решения задач вступительной работы надо написать на русском языке в обычной ученической тетради в клетку. Желающие поступить сразу на несколько отделений каждую работу присылают в отдельной тетради. На обложке тетради укажите: фамилию, имя, отчество, год рождения, базовое образование (сколько классов средней школы будет закончено к сентябрю 2016 года), полный почтовый адрес (с индексом), откуда узнали о ВЗМШ (из «Кванта», от друзей, из афиш заочной школы и т.п.), на какое отделение хотите поступить. Адрес ВЗМШ: 119234 Москва, Воробьевы горы, МГУ, ВЗМШ, на прием (укажите отделение) Телефон: +7 (495) 939-39-30 Обо всех наших отделениях вы можете узнать на общешкольном сайте ВЗМШ: www.vzmsh.ru На ваши вопросы мы ответим по электронной почте: vzms@yandex.ru Вступительные работы обратно не высылаются. Без вступительной работы, только по заявлению, принимаются на индивидуальное обучение победители областных (краевых, республиканских) туров всероссийских олимпиад по соответствующим предметам, а также участники финальных туров этих олимпиад. Учащиеся ВЗМШ частично возмещают расходы на свое обучение. По просьбе тех, кто не в состоянии внести эту плату, ВЗМШ готова обратиться в школу, в орган народного образования, к другому спонсору с ходатайством об оплате этим благотворителем соответствующих расходов. Помимо индивидуального обучения, на всех отделениях ВЗМШ, кроме экономического и биологического, имеется форма обучения «Коллективный ученик». Это группа учащихся, работающая под руководством преподавателя (школьного учителя, преподавателя вуза, студента или другого энтузиаста), как правило, по тем же пособиям и программам, что и индивидуально. Прием в эти группы проводится до 15 октября 2016 года. Для зачисления группы требуется заявление ее руководителя (с указанием его профессии и должности, со списком учащихся и сообщением о том, в каком классе они будут учиться с сентября 2016 года); заявление должно быть подписано руководителем группы, заверено и подписано руководителем учреждения, при котором будет работать группа. Работа с группами «Коллективный ученик» может оплачиваться школами как факультативные занятия. На Северо-Западе России работает Заочная школа Ленинградского областного Министерства образования, созданная при Санкт-Петербургском государственном университете и имеющая отделения математики, биологии и химии.

74

КВАНТ 2015/№5-6

Желающие поступить на отделение математики, проживающие на Северо-Западе России (в Архангельской, Калининградской, Ленинградской, Мурманской, Новгородской, Псковской областях, Карельской и Коми республиках), высылают вступительные работы по адресу: 197755 Санкт- Петербург, Лисий Нос, Ново-Центральная ул., д.21/7, Северо-западная ЗМШ (на прием). Проживающие в остальных регионах России, дальнем и ближнем зарубежье высылают свои работы по математике в адрес ВЗМШ или соответствующего филиала. Адреса филиалов математического отделения ВЗМШ: 241035 г. Брянск, ул. Мало-Орловская, д. 8, тел.: (4832) 56-18-08, e-mail: brotek@mail.ru 610002 г. Киров, а/я 2039, ЦДООШ, тел.: (8332) 35-15- 03, 35-15-04, e-mail: sms@extedu.kirov.ru, сайт: http:// cdoosh.kirov.ru 150000 г. Ярославль, ул. Советская, д. 14, тел.: (0852) 11- 82-03, e-mail: olimp@olimp.edu.yar.ru

Ниже вы найдете краткие сведения о каждом отделении ВЗМШ и условия вступительных контрольных работ.

Отделение математики

Мы принимаем учиться на все курсы с 0 по 5 (что соответствует 6–11 классам общеобразовательной школы). Всю информацию о работе математического отделения вы можете получить на сайте отделения: http://www.math-vzms.org После зачисления в школу ученик получает пособия по программе ВЗМШ, абсолютное большинство которых написано специально для учащихся математического отделения ВЗМШ. Ученик изучает предложенные темы, решает задачи и выполняет по каждой теме контрольную работу, которая проверяется, рецензируется преподавателем школы и вместе со всеми замечаниями и советами отсылается ученику. За каждым учеником на все годы обучения закреплен один и тот же преподаватель, которому в случае необходимости всегда можно задать вопросы. Мы таким образом помогаем учиться заочно. Кроме того, мы принимаем школьников и на групповую форму обучения – «Коллективный ученик». В этом случае несколько учащихся работают по нашим пособиям под руководством школьного учителя (обычно) и присылают в ВЗМШ одну коллективную работу по каждой теме. Прием в заочную школу на групповое обучение производится по заявлению руководителя группы (школьного учителя) без вступительной работы. Количество экземпляров пособий, которые высылаются в адрес группы «Коллективный ученик», определяется руководителем в соответствии с Договором о научно-педагогическом сотрудничестве, который школа, где работает группа, заключает с ВЗМШ. Если вы хотите учиться индивидуально, то надо выполнить вступительную работу, условия которой представлены ниже. Решения задач, с которыми вам удалось справиться, нужно записать в обычной ученической тетради в клетку и выслать простой бандеролью (пожалуйста, не сворачивайте тетрадь в трубку!) вместе с заявлением о приеме в адрес школы. Вступительные работы и заявления принимаются также по электронной почте: priem@math-vzms.org. В этом случае работа должна быть оформлена в виде файла формата *.doc или *.pdf, можно также отсканировать текст работы и прикрепить его к заявлению о приеме. Заявление о приеме пишется в свободной форме. Укажите: фамилию, имя, отчество, год рождения, базовое образование (сколько классов средней школы будет закончено к сентябрю очередного учебного года; нам было бы удобно

прочесть: «С 1-го сентября 2016 года я буду учиться в… классе»), полный почтовый адрес (с индексом), откуда узнали о ВЗМШ (из интернета, из журналов «Квант», «Наука и жизнь», от друзей или из других источников); сообщите, пожалуйста, адрес своей электронной почты, если она имеется. Не забудьте указать, что вы поступаете на отделение математики. Срок отправки вступительной работы – до 15 июня 2016 года. Во вступительной работе рядом с порядковым номером задачи в скобках указано, ученикам какого класса (имеется в виду тот класс, в котором вы предполагаете учиться с 1 сентября 2016 года) эта задача предназначается. Вы можете, если хотите, дополнительно решать задачи, адресованные более старшим классам. Не торопитесь, и если задачи не получаются, возвращайтесь к ним несколько раз. До 15 июня времени еще достаточно. Возможно, вы не сможете решить все задачи своего класса, тогда присылайте решения тех, которые сделать удалось. Не забудьте обосновать свои решения, «голый» ответ к задаче решением не считается. Все подробности, связанные с порядком поступления, оплатой и процессом обучения, вы можете посмотреть на сайте отделения или задав вопросы по электронной почте или телефону. Электронный почтовый ящик математического отделения: priem@math-vzms.org Телефон: +7 (495) 939-39-30

Задачи

1 (6–7). Существует ли целое число, произведение цифр которого равно 2015? А 2016? 2 (6–8). Привезли 100 одинаковых пар ботинок в магазин, где они перемешались. Сто человек купили по два ботинка, потом 25 из них пришли с жалобой, что ботинки непарные. Докажите, что есть еще хотя бы один покупатель, не дошедший до магазина и имеющий такую же жалобу. 3 (6–10). Замостите плоскость квадратами, среди которых два одинаковых, а остальные все попарно различны. 4 (6–11). Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из пунктов А и Б, встретились в 70 км от А и продолжили двигаться с теми же скоростями. По прибытии в пункты назначения каждый отдохнул одно и то же время и отправился обратно с той же скоростью, что и раньше. Встретились велосипедисты в 90 км от Б. Найдите расстояние АБ. 5 (8–10). Даны целые числа m и n, про которые известно, что 23n = 19m. Докажите, что число n + 2m делится на 13. 6 (8–10). На плоскости нарисованы несколько точек, все расстояния между которыми различны. Каждую точку соединили отрезком с ближайшей к ней точкой. Докажите, что полученные отрезки не пересекаются. 7 (8–10). Найдите все натуральные числа х такие, что $x^{4} + x^{2} + 1$ – простое число. 8 (8–10). Предложите по крайней мере два разных способа с помощью циркуля и линейки (без делений) разделить заданный отрезок на три равные части. 9 (8–11). На столе лежат 2016 спичек. Двое играющих снимают по очереди 1 или 2 спички. Выигрывает тот, кто берет последнюю спичку. Кто выиграет: начинающий или его партнер и как он должен для этого играть? 10 (8–11). Сумма диагоналей четырехугольника заключена между его полупериметром и периметром. Всегда ли верно это утверждение? Любой ответ нуждается в доказательстве! 11 (8–11). При каком натуральном значении а число 3а + 1 делится на число а + 3?

75

ИНФОРМАЦИЯ

12 (9–11). Сумма натуральных чисел $a_{1}, a_{2}$, … $, a_{49}$ равна 999. Какое наибольшее значение может принимать их НОД?

Отделение биологии

Зачисление на отделение проводится на конкурсной основе по результатам приведенной ниже вступительной работы. В конкурсе могут принять участие школьники, которые в этом учебном году занимаются в 8 или 9 классе, независимо от места проживания. Обучение для 8-классников длится 3 года, для 9-классников – 2 года. Учащимся 8 классов необходимо решить задачи 1–3 и одну из задач 4 и 5, а 9-классникам – задачи 2,3 и две из задач 4–6. В ответах можно использовать и факты, найденные в литературе, и собственные идеи. Просим для сведений, почерпнутых из книг, приводить ссылки на источники (для сведений, взятых из интернета, — точный адрес соответствующей страницы). Работу следует выполнить на русском языке в тетради; на обложке тетради укажите свою фамилию, имя, отчество, полный домашний адрес с индексом, номер школы и класс, в котором вы учитесь. Вместе с работой пришлите конверт с маркой и заполненным адресом (для отправки вам решения Приемной комиссии). Кроме этого, работу можно выполнить в электронном виде и выслать в файле формата *.doc, *.docx, *.rtf, *.txt или *.odt на наш электронный адрес: uchenikivzmsh@gmail.com Срок отправки вступительной работы – до 15 июня 2016 года.

Задачи

1. Представьте себе, что вам для ваших исследований нужно содержать животных в неволе. Ваша задача – свести к минимуму ущерб животным, который они будут получать от такого содержания, и обеспечить им максимально комфортное проживание. Также ваши животные должны находиться в таких условиях, чтобы они могли размножаться. В каких условиях вы бы содержали следующих животных: виноградная улитка, морской ангел, осьминог, аксолотль, среднеазиатская черепаха, зебровая амадина, перепелка, крыса, кролики, норки, макаки а) в условиях лабораторного вивария; б) в условиях зоопарка? Учтите, что в условиях зоопарка вы должны размещать животных таким образом, чтобы они были доступны для обзора посетителей. 2. Как вы думаете, зачем человеку нужны молочные зубы? Или это бессмысленный атавизм? 3. Какие свойства микроорганизмов можно изучать без микроскопа? 4. Как вы понимаете — за что присудили Нобелевскую премию по физиологии и медицине осенью 2015 года? Изложите своими словами суть открытия и его значение для дальнейшего развития медицины. 5. Известно, что организмы бывают одноклеточные, многоклеточные и колониальные. Приведите как можно больше различий между этими организмами. Как отличить колониальность от истинной многоклеточности? 6. Какое открытие в области биологии кажется вам наиболее ожидаемым в настоящий момент? Попробуйте объяснить, почему именно выбранное вами открытие важно, какие перспективы оно открывает и почему оно не сделано до сих пор.

Отделение физики

Обучение на отделении одно-, двухи трехгодичное. На трехгодичный поток (курс Ф3) принимаются оканчивающие

в 2016 году 8 классов средней школы, на двухгодичный (курс Ф2) – оканчивающие 9 классов и на одногодичный (курс Ф1) – 10 классов. Учащиеся, оканчивающие десятый класс, могут пройти ускоренно всю программу за один год (курс Ф0). Для поступления на курс Ф3 нужно решить задачи 1–5 приведенной ниже вступительной работы, на курс Ф2 – задачи 4–9, на курс Ф1 – задачи 5–10, на курс Ф0 – задачи 4–10. На обложке тетради следует указать фамилию, имя и отчество, код курса (Ф0, Ф1, Ф2 или Ф3), сколько классов будет закончено к 1 сентября 2016 года, полный почтовый адрес (с индексом), электронный адрес (если есть), телефон. Срок отправки вступительной работы – до 15 июня 2016 года. Группы «Коллективный ученик» принимаются на курсы Ф1, Ф2, Ф3 без вступительной работы, только по заявлению руководителя. E-mail отделения физики: olphys@phys.problems.ru Интернет-сайт: http://phys.problems.ru

Задачи

1. Найдите отношение объемов погруженной в воду части тела человека после выдоха в Мертвом море и после вдоха в пресной воде, если за счет вдоха объем тела человека увеличивается на 8%. Плотность соленой воды в Мертвом море $\rho_{c} = 1,3$ г $см^{3}$, плотность пресной воды $\rho_{п} = 1,0$ г $см^{3}. 2.$ Сопротивление проволочного куба измеряют, присоединив контакты к вершинам, лежащим на одной из больших диагоналей. В какое максимальное число раз можно увеличить значение этого сопротивления, перекусив часть проволочек? 3. При закаливании нагретой до $t_{д} = 800 ^\circ C$ стальной детали массой m = 80 кг ее погружают в ванну с водой объемом V = 50 л и температурой $t_{в} = 20 ^\circ C$. Найдите, какая часть воды испарилась, если в конечном состоянии температура системы равна $t = 80 ^\circ C$. Теплоемкостью ванны и теплообменом с внешней средой пренебречь. Удельная теплоемкость стали $c_{c} = 460$ Дж ( кг $\cdot ^\circ$ С ), воды $c_{в} = = 4200$ Дж ( кг $\cdot ^\circ$ С ), удельная теплота парообразования воды $\lambda = 2256$ кДж кг, плотность воды $\rho = 1000$ кг $м^{3}. 4.$ Автомобиль и мотоцикл равномерно едут по пересекающимся дорогам (рис.1) Если машина выезжает из точки А, то она оказывается на перекрестке на $\Delta t_{1} = 1$ мин раньше мотоцикла, который одновременно начинает движение из точки В. Если автомобиль стартует из точки В, а мотоцикл – из точки А, то машина приезжает на перекресток на $\Delta t_{2} = 4$ мин раньше. Найдите кратчайшее расстояние между $транс-^{Рис.} 1$ портными средствами во втором случае, если в первом оно равно $d_{1} = 100$ м. 5. В аквариум налита вода до уровня h = 40 см. Над аквариумом может двигаться точечный источник света, описывая полуокружность радиусом R = 40 cм в плоскости, перпендикулярной поверхности воды. В той же плоскости на поверхности воды плавает спичка длиной l = 5 см, середина которой совпадает с центром полуокружности. Найдите отношение длин теней от спички на дне аквариума при положениях источника света в верхней точке и на высоте R 2 от поверхности воды. Показатель преломления воды n = 1,33. 6. На перегоне между станциями метро состав должен двигаться с постоянной скоростью v = 70 км/ч в течение 80% времени. Какой максимальной скорости мог достичь поезд, если машинист забыл отключить ускорение при разгоне, но впоследствии смог привести поезд на станцию

77

ИНФОРМАЦИЯ

Обучение на экономическом отделении заочное, все учебные материалы школьники получают через интернет. Учиться на экономическом отделении могут те, кто в 2016 году закончит 7 (или более старший) класс, срок обучения 1 год. Программа экономического отделения включает изучение экономической теории и знакомство с практикой экономики и бизнеса. Это может стать хорошей основой для дальнейшего изучения предпринимательства и менеджмента, бухгалтерского учета и финансов, мировой экономики – профессия экономиста требует широких знаний. Учась на экономическом отделении, вы сможете заочно познакомиться со студентами, выпускниками и преподавателями Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова, узнаете о разнообразных замечательных профессиях в экономике, одну из которых, возможно, вы выберете для себя в будущем. Для поступления на отделение вам нужно выполнить задание приведенной ниже вступительной работы.

Задание

Малый бизнес в России еще недостаточно развит, например, по сравнению со многими европейскими странами или США, но он является очень важной частью рыночной экономики. В связи с этим, создание своей небольшой компании в России для многих молодых людей является еще неизведанным и очень интересным проектом. Может быть, и вы мечтаете реализовать свою бизнес-идею, когда закончите высшее учебное заведение? Сейчас уже можно приступить к саморазвитию в данной области. В этом году мы предлагаем вам порассуждать над высказываниями семьи медведей-бизнесменов из мультфильма «Эрнест и Селестина» (2012).

Медведица: Все просто: если хочешь заработать, надо чтобы от сахара портились чужие зубы, а не твои. Понятно? Медвежонок: Угу… (вздыхает)… да.

Вопросы

Напишите краткое рассуждение, в котором ответьте на следующие вопросы: 1. Какие цели, на ваш взгляд, ставит или должен ставить перед собой владелец малого бизнеса? 2. Какие цели ставят перед собой Медведь и Медведица из мультика? Как бы вы охарактеризовали их стратегию ведения малого бизнеса? 3. Давно ли существует бизнес у семьи Медведей? Долго ли они еще планируют заниматься своим бизнесом? 4. Убедили ли родители Лиона, что ему вредно есть конфеты? Как вы думаете, почему да или почему нет? Ответы присылайте по электронной почте: zadanie@econ4all.ru или обычным письмом. В независимости от того, как вы присылаете ответ, обязательно укажите полный почтовый адрес и индекс, фамилию, имя, отчество и класс (в котором будете учиться осенью 2016 году). Озаглавьте письмо: «Экономика, вступительное задание-2016». Срок отправки вступительной работы – до 1 сентября 2016 года. Наши адреса в интернете: http://econ4all.ru, http://vk.com/econ4all_group

Отделение истории

Медведица – владелец магазина, где продают зубы. Медведь – хозяин лавки со сладостями. Медвежонок Лион – их маленький сын.

За ужином Медведица: Тебе добавить еще горошка, солнышко? Медежонок: Нет, хочу конфет! Медведица: Лион… только не начинай. Мы тебе уже сто раз объясняли, что конфеты кушать тебе нельзя!! Медвежонок: Почему?? Медведь: Это, мой мальчик, в интересах торговли. На одной стороне улицы папа портит зубки… Медведица: … а на другой мама гнилые зубки заменяет. Медведь: А когда ты вырастешь, оба дела перейдут к тебе. Не одно состояние, а целых два, мальчик мой!! Ха! Медведица: Если, конечно, будешь улыбаться клиентам… Медведь: Как говорил мой старик, улыбку красят здоровые зубы.

Обучение на историческом отделении позволит всем, в том числе жителям самых отдаленных городов и деревень, расширить свой кругозор, подготовиться к поступлению в вуз. Успешно прошедшие курс обучения получают диплом ВЗМШ. А зачем нужно изучать историю? Во-первых, это просто интересно. Любопытно знать, как жили когда-то люди, во что одевались, чем питались, что читали, как женились и выходили замуж, за что боролись и «на что напарывались». Во-вторых, это полезно. Только зная прошлое, можно понять настоящее и прогнозировать будущее. Мы поможем вам в этом разобраться. Специально для вас опытные преподаватели пишут книжки. Последние новости из мира истории вы узнаете одним из первых! Мы будем поддерживать с вами постоянную связь. По нашим книжкам вы будете выполнять особые задания и сообщать нам, что вы раскопали. Ведь, в сущности, труд историка и состоит из этих раскопок. Историк-археолог, копая землю и песок, отыскивает крупицы ушедших времен; историк-архивариус копается в груде бумаг и достает из архивов и даже из частной переписки все, что может позволить ему понять образ времени; историктеоретик как увлекательный роман читает археологические

78

КВАНТ 2015/№5-6

таблицы, сухие сводки, статистику и восстанавливает по ним живую ткань ушедшей жизни. У историка особая профессия: он в одном лице следователь, прокурор и адвокат времени. Приведенное ниже задание вступительной работы нужно выполнить на двойном листе бумаги. Срок отправки вступительной работы – до 15 июня 2016 года.

i Его последние слова родственникам: «Берегите галерею». 2. Опишите, не более чем в 7 предложениях, политический портрет второго президента России.

1. Отгадайте, кто это i Русский промышленник, ситцевый магнат, меценат. i Его жена и друг, Вера Николаевна, – урожденная Мамонтова. i Молодой купец с гидом и картой объехал все европейские музеи и сделался тонким знатоком живописи. i В 24 года основал в своем родовом доме частную галерею русской живописи. i В 60 лет передал свою галерею в дар Москве. i Из всех современных ему художников предпочитал передвижников. i Мечтал найти иконы Рублева, но удача улыбнулась другому коллекционеру. i Стал первым директором основанного им музея, тратил на него все свои сбережения, но из скромности никогда не являлся на собственные юбилеи. i Совершенно бескорыстен. Его бумажник всегда был открыт для нуждающихся. i С художниками никогда не торговался. Заказывая картины, платил сполна. i Его именем назван национальный музей и станция метро в Москве. i Его портрет работы Репина украшает залы созданного им музея.

Для старшеклассников, готовящихся сдавать ЕГЭ по обществознанию В 2007 году на отделении «История» открылся курс «Обществознание». Обществознание – это свод общественных дисциплин, изучающих все стороны деятельности человека. Некоторые преподаватели называют его винегретом. Вполне удачное сравнение. Как винегрет – составное блюдо, так и обществознание состоит из разных дисциплин. Перемешиваясь, дополняя друг друга, они создают цельную картину общества. Программа курса рассчитана на 1 год. Обучение носит заочный характер и имеет целью дать выпускникам школ – как крупных городов, так и небольших сел – глубокие знания по общественным дисциплинам, подготовить их к успешной сдаче ЕГЭ. Курс включает следующие дисциплины: философия, социология, политология, теория государства, государственное устройство России, право, экономика. Слушателям будут направляться оригинальные учебные пособия, созданные на основе многолетнего опыта работы авторов курса. Проверка знаний осуществляется с помощью общепринятой системы тестирования. Для записи на курс необходимо отправить заявление до 15 июня 2016 года. В заявлении укажите: фамилию, имя, отчество, свой полный домашний адрес (с индексом!), e-mail, класс, в котором будете учиться с 1 сентября 2016 года. Заявление отправьте по адресу: 119234 Москва, Воробьевы горы, МГУ, ВЗМШ (отделение истории, обществознание) или на адрес электронной почты: vzms@yandex.ru

Заочной физико-технической школе при МФТИ – 50 лет

Программы ЗФТШ являются профильными дополнительными образовательными программами и едины для всех отделений.

Заочная физико-техническая школа (ЗФТШ) Московского физико-технического института (МФТИ) проводит набор в 8–11 классы учащихся 7–10 классов общеобразовательных учреждений (школ, лицеев, гимназий и т.п.), расположенных на территории Российской Федерации. ЗФТШ работает в сфере профильного дополнительного образования детей с 1966 года. За прошедшие годы школу окончили более 95 тысяч учащихся; практически все ее выпускники поступают в ведущие вузы страны, а каждый второй студент МФТИ – ее бывший ученик. Научно-методическое и общее руководство школой осуществляет Московский физико-технический институт (государственный университет). Обучение в школе ведется по трем предметам научнотехнической направленности – физике, математике и информатике. В 8–9 классах изучаются только физика и математика. В 10–11 классах к ним добавляется предмет «Математические основы информатики и ИКТ» (информатика). Учащиеся могут по своему выбору изучать один, два или три (в 10 и 11 классах) предмета. Цель нашей школы – помочь учащимся 8–11 классов общеобразовательных учреждений, интересующимся предметами научно-технической направленности, углубить и систематизировать свои знания по этим предметам, а также способствовать их профессиональному самоопределению. Набор в 8, 9, 10 и 11 классы на 2016/17 учебный год проводится на заочное, очно-заочное и очное отделения.

Заочное отделение (индивидуальное заочное обучение) Тел./факс: (495) 408-51-45, e-mail: zftsh@mail.mipt.ru Прием на заочное отделение проводится на конкурсной основе по результатам выполнения вступительного задания по выбранным для изучения предметам. Полная программа обучения рассчитана на 4 года с 8-го по 11-й классы включительно, но начать обучение можно с любого из указанных классов. В течение учебного года, в соответствии с программой ЗФТШ, ученик будет получать по каждой теме задания по физике, математике и информатике, а затем – рекомендуемые авторские решения этих заданий вместе с проверенной работой. Задания содержат теоретический материал, разбор характерных примеров и задач по соответствующей теме и по 8–12 контрольных вопросов и задач для самостоятельного решения. Это и простые задачи, и более сложные. Задания составляют опытные преподаватели кафедр общей физики и высшей математики МФТИ, а также выпускники МФТИ и другие специалисты. Примеры заданий можно посмотреть на сайте ЗФТШ: http://www.school.mipt.ru. Работы учащихся-заочников проверяют студенты, аспиранты и выпускники МФТИ (из них 80% – выпускники нашей школы). Срок отправки решений вступительного задания – не позднее 1 марта 2016 года. Проверенные вступительные работы обратно поступающему не высылаются. Решение Приемной комиссии будет выслано в июле 2016 года.

Задание