Квант 2016, №2 · Страницы

3

О

РАЗЛИЧНЫХ

РАССТОЯНИЯХ

ют асимптотическими оценками. Часто в таких оценках ответ получают с точностью до постоянного множителя, точное значение которого уже не является сильно важным, или с точностью до какого-то слагаемого, которое стремится к нулю при росте параметров. Например, касательно нашей задачи: в своей статье 1946 года Эрдёш придумал способ, как строить множество, для которого D ( P ) ~ n log n (это значит, что при достаточно больших n отношение величин D ( P ) и cn log n стремится к 1, где c – это некоторая константа, не зависящая ни от выбора P, ни от n), и предположил, что это экстремальный случай, т.е. для любого множества P из n точек $D ( P ) \ge cn$ log n. Это как раз тот тип утверждения, о котором мы говорили: существует такая константа c, что $a \ge cb$, где a и b – некоторые переменные величины. Для упрощения записи мы в этом случае будем дальше писать a Ъ b. Заметим также, что приняв договоренность о том, что мы не очень-то интересуемся погрешностями, равными постоянным величинам, мы можем даже не заботиться о том, по какому основанию мы берем логарифм. Можно, конечно, просто договориться брать его, например, по натуральному основанию e, но если мы вдруг захотим перейти от основания a к какому-то другому основанию b, то, как мы знаем, это происходит по следующей формуле: $log_{a} n = ( log_{a} b )$ ◊ $( log_{b} n )$ – значение изменяется в константу раз $log_{a} b$, не зависящую от n. Так что об основании логарифма можно не беспокоиться. Как мы можем убедиться, зазор между n log n и n ( n - 1 ) 2 при больших n достаточно большой, т.е. D ( P ) может изменяться довольнотаки значительно. Пример Эрдёша устроен очень просто, но вот доказать точно, сколько различных расстояний он определяет, дело весьма нетривиальное и требует привлечения техники, находящейся за пределами этой статьи. Опишем же его. Читатель, который уже попытался самостоятельно представить, как должно быть устроено множество на плоскости, чтобы задавать не слишком много различных расстояний, вполне мог прийти к идее того, что это множество должно быть достаточно симметричным и, так сказать, «равномерным». Хороший пример такого множества – это что-то вроде набора из вершин какой-нибудь решетки на плоскости. И в самом деле, давайте рассмотрим квадратный кусок самой обычной целочисленной решетки (рис.2): множество таких точек с целыми координатами ( x, y ), что 0 £ x, y £ n – примерно n точек (на небольшие отклонения от этого числа при конкретных значениях n мы не будем

МЕЖДУ

ТОЧКАМИ

НА

ПЛОСКОСТИ

обращать внимания). Измерим расстояние между какими-то двумя точками из этого множества. По теореме Пифагора его квадрат равен $u^{2} + v^{2}$, где u и v – какие-то неотрицательные целые числа, не большие n. Квадрат расстояния – $целое_{Рис.} 2$ число, и максимально он может быть равен 2n, отсюда различных расстояний уж точно не больше 2n. Чтобы оценить точнее, мы от геометрической задачи о расстояниях между точками приходим к чисто теоретикочисловому вопросу: какие натуральные числа, не превосходящие 2n, представимы в виде суммы двух квадратов целых чисел и сколько их? Ответ на первую половину вопроса достаточно хорошо известен и весьма красив: это в точности те числа, в разложение которых на простые множители любое простое число вида 4k + 3 входит в четной степени (этот замечательный факт называется теоремой Ферма–Эйлера, подробнее о нем см., например, статью В.Сендерова и А.Спивака «Суммы квадратов и целые гауссовы числа» в «Кванте» №3 за 1999 год). А вот чтобы оценить количество таких чисел, требуется очень продвинутая аналитическая техника, которая как раз и дает нам указанную Эрдёшем оценку: cn log n. За все время, прошедшее после появления этой работы, строить множества с меньшим D ( P ) никто так и не научился, так что гипотеза Эрдёша о том, что этот пример наиболее экстремальный, кажется весьма оправданной (тем более с появлением последних результатов). Но вот только и с доказательством того, что меньше не бывает, до самых недавних пор все обстояло не слишком хорошо. И сейчас мы обсудим одну из ключевых идей, с помощью которой несколько лет назад двумя выдающимися математиками Ларри Гутом и Нецем Кацем была получена оценка $D ( P )^{Ъ} n$ log n, что, с точностью до корня в знаменателе, очень похоже на верхнюю оценку из примера Эрдёша. Удивительными жемчужинами в математике являются такие задачи, которые очень просто сформулировать, но очень сложно доказать по каким-то не слишком ясным поначалу обстоятельствам. Задача о расстояниях Эрдёша оказалась именно такой. Она вызвала к жизни целую новую ветвь в комбинаторной геометрии (а именно, так называемый полиномиальный метод), и математики потратили множество усилий на то,

8

КВАНТ 2016/№2

Рис. 6

лежит не более n из них. Сколько точек пересечения может быть у этих прямых? Оказывается, что их все еще может быть порядка $n^{4}$. Рассмотрим поверхность, заданную уравнением z = xy – гиперболический параболоид (рис. 6,а). Эта поверхность содержит очень много прямых. Прямые на ней делятся на два типа – «вертикальные» и «горизонтальные». Для любого вещественного числа b мы обозначим $H_{b}$ горизонтальную прямую вида $( t, b, bt ), t \in R$. Видно, что она и правда лежит на параболоиде. Аналогично, вертикальными прямыми $V_{a}$ мы будем называть прямые вида $( a, t, at ), t \in_{R}$. Несложно заметить, что любые две прямые одного типа не пересекаются, разных типов – пересекаются и никакие две не лежат в одной плоскости. А это значит, что если мы возьмем в качестве L множество из $n^{2} 2$ вертикальных прямых нашего параболоида и $n^{2} 2$ горизонтальных, то мы получим $n^{4} 4$ точек пересечения – снова больше, чем желаемая нами оценка. Что же делать? Гиперболический параболоид в данном случае является примером дважды линейчатой поверхности – алгебраической поверхности (т.е. множества нулей некоторого многочлена от трех переменных в трехмерном пространстве – в данном случае это многочлен z – xy), через любую точку которой проходит ровно две прямые. Условия для поверхности довольно жесткие, и действительно, примечательный факт из науки, которая называется дифференциальной геометрией, говорит нам, что все такие поверхности по существу сводятся как раз к гиперболическим параболоидам или однополостным гиперболоидам (рис.6,б) – поверхностям типа $x^{2} + y^{2} - z^{2} = 1$. Наш пример показывает, что если на какой-то такой поверхности лежит слишком много прямых из нашего множества, то оно легко может оказаться не

слишком удачным. Но и здесь наше конкретное множество L на деле оказывается слишком хитрым. Как вы уже догадались, можно доказать немного видоизмененный аналог предыдущей леммы, а именно: существует такая константа c, что любая дважды линейчатая поверхность содержит не больше, чем cn прямых из нашего множества L. Эту лемму мы, к сожалению, уже не сможем доказать, так как она требует привлечения нетривиальной техники из дифференциальной геометрии. Воистину впечатляющим достижением Гута и Каца оказалось понимание того, что этих условий теперь достаточно, чтобы получить интересующую нас оценку. Теорема (Л.Гут, Н.Кац, 2010). Пусть множество L из $n^{2}$ прямых таково, что любая плоскость содержит не более n этих прямых и любая дважды линейчатая поверхность $содержит^{Щ} n$ их. Тогда $S_{k} ( L )$ Щ $n^{3} k^{2}$ при $2 \le k \le n$. Доказать это утверждение, однако, оказалось все еще очень непросто, и необходимые для этого методы выходят далеко за пределы нашего рассказа. Тем не менее, несколько общих слов о стоящих за всем этим идеях мы в заключение скажем. Как уже упоминалось выше, алгебраической поверхностью в трехмерном пространстве мы называем множество точек вида f ( x, y, z ) = 0, где f – многочлен от трех переменных. Для любого конечного множества точек существует бесконечное число алгебраических поверхностей, которые можно провести через них. В некоторых случаях это могут быть совсем простые поверхности, задаваемые многочленами не слишком высоких степеней – например, все точки могут оказаться лежащими на одной прямой. Оказывается, что если вместо множества точек рассматривать ал-

9

О

РАЗЛИЧНЫХ

РАССТОЯНИЯХ

МЕЖДУ

ТОЧКАМИ

НА

ПЛОСКОСТИ

сом. Это алгебраическая информация, и ее можно эффективно использовать теперь для оценки различных характеристик нашего множества, например его размера. В целом, мы как раз и изложили суть полиномиального метода, оказавшегося очень продуктивным в самых различных ситуациях. Не правда ли, удивительно, как одна простая на вид комбинаторная задача оказалась совершенно иной при другом взгляде на нее и привела к появлению новых прорывных способов смотреть на вещи в комбинаторной геометрии? В таких идеях и кроется истинное эстетическое содержание математики.

Упражнения

Рис. 7

гебраическую поверхность минимальной степени, содержащую это множество, то можно сделать немало полезных выводов. Здесь помогают такие утверждения: например, если прямая пересекает алгебраическую поверхность в слишком большим числе точек, то эта прямая целиком лежит в поверхности (подумайте самостоятельно, почему это так; пример изображен на рисунке 7). Также, если точка на поверхности является точкой пересечения достаточно большого числа прямых, лежащих на этой поверхности, то оказывается, что это некоторая особая точка этой поверхности, про которую мы имеем некоторую нетривиальную алгебраическую информацию. Собрав все подобные факты вместе, мы можем получить следующий очень важный тезис: комбинаторная информация об устройстве множества точек в пространстве влечет некоторую алгебраическую информацию о нем. Говоря менее размыто: вот берем мы множество точек, пусть оно не произвольное, а оно есть множество точек, в которых пересекается большое количество прямых из некоторого конечного набора. Это комбинаторная информация. Возьмем ту самую алгебраическую поверхность минимальной степени, содержащую это множество. Тогда, при помощи хитрых вычислений, можно, во-первых, получить четкую оценку на ее степень, во-вторых, доказать, что многие наши прямые также лежат на этой поверхности, в-третьих, выяснить, что многие наши точки на поверхности обладают некоторым особым стату-

6. Теорема Семереди–Троттера часто формулируется так: есть множество P из n точек на плоскости и множество L из m прямых на плоскости. Определим число инцидентности I ( P, L ) – количество пар ( p, l ), где p – точка из P, l – прямая из L и $p \in l$. Тогда $I ( P, L )^{Щ} m^{2} 3 n^{2} 3 + m + n$. Покажите, что приведенная в тексте формулировка действительно является прямым следствием этого утверждения. 7. Докажите сами, что $I ( P, L ) \le n + m^{2}$ в обозначениях предыдущей задачи. 8. Пусть $f = f ( x, y ) = \sum_{i},_{j} a_{ij} x^{i} y^{j}$ – многочлен от двух переменных. Его степенью называется максимальная степень одночлена $x^{i} y^{j}$, коэффициент при котором ненулевой (а степень одночлена это просто i + j). Обозначим за Z ( f ) = { ( x, y ) f ( x, y ) = 0 } – множество точек плоскости, в которых f равно нулю. Такое множество называется алгебраической кривой (подумайте об известных вам примерах алгебраических кривых). Докажите, что если f имеет степень не больше чем некоторое D, то любая прямая l либо содержится в множестве Z ( f ) целиком, либо пересекает это множество не более чем в D точках. Это пример утверждения, которое обнаруживает связь между комбинаторной и алгебраической структурой множества. 9. В обозначениях предыдущей задачи докажите, что Z ( f ) содержит не более D различных прямых, если f ненулевой.

Список литературы

1. P. Erdхs. On sets of distances of n points. – Amer. Math. Monthly (1946) 53, 248–250. 2. L.Guth, N.H.Katz. On the Erdхs distinct distance problem in the plane. – Адрес в интернете: arXiv:1011.4105. – 2010. 3. L.Guth. Unexpected applications of polynomials in combinatorics. – The Mathematics of Paul Erdхs I., Springer New York, 2013, 493–522. 4. В.В.Прасолов. Задачи по планиметрии. – М: МЦНМО, 2006.

Эффекты размера и формы в молекулярной физике

С.ВАРЛАМОВ, А.ГУДЕНКО ваются соотношения, связывающие макроскопические физические параметры находящегося в газообразном состоянии вещества – температуру T, давление p, объем V и количество вещества $\nu$. Это знаменитые газовые законы, которые объединяются в один закон Менделеева– Клапейрона: $pV = \nu RT$, где R – универсальная газовая постоянная. Справочные данные по конденсированным веществам, т.е. веществам в жидком или твердом состоянии, и по их фазовым переходам в школьных учебниках тоже приводятся, но так, что возникает впечатление произвольного неупорядоченного хаоса. Из соотношений, которые связывают макроскопические параметры вещества в

конденсированном состоянии, в некоторые учебники попадает только закон Дюлонга и Пти. Этот закон утверждает, что молярные теплоемкости всех твердых тел при постоянном внешнем давлении примерно одинаковы и равны 3R в диапазоне не слишком малых и не слишком больших температур. Существуют и менее известные, но не менее интересные соотношения параметров. В данной статье мы рассмотрим явление плавления твердых тел, т.е. перехода веществ из твердого состояния в жидкое, при атмосферном давлении и определенной температуре. В справочниках приводятся температуры плавления и удельные (на единицу массы) теплоты плавления для различных веществ. Простая замена удельной теплоты

Иллюстрация В.Власова

ВШКОЛЬНОЙ ФИЗИКЕ ПОДРОБНО РАССМАТРИ-

11

ЭФФЕКТЫ

РАЗМЕРА

И

ФОРМЫ

В

МОЛЕКУЛЯРНОЙ

ФИЗИКЕ

соседние молекулы, находящиеся рядом в составе конденсированного вещества. Механизмов образования такой потенциальной ямы для разных атомов или молекул несколько, но они в подробностях не рассматриваются. В самой простой модели считается, что взаимодействие молекул «парное», т.е. для двух ближайших молекул существует энергия связи $U_{0}$, и на их взаимодействие наличие других молекул не влияет. Иными словами, молекулы, расположенные в конденсированном веществе не рядышком, в этой модели не взаимодействуют. Тогда при наличии Z ближайших соседей молекула находится в потенциальной яме глубиной $ZU_{0}$. Теплота плавления и теплота парообразования вещества, приходящаяся на одну молекулу, пропорциональны глубине такой ямы и зависят от количества ближайших соседок, которые находятся рядом с каждой молекулой. Логично предположить, что для разрушения кристаллической структуры при переходе из твердого состояния в жидкое для крупных кусков вещества и для кусочков небольших объемов потребуется разное количество теплоты, приходящееся на одну молекулу. Ведь у малых кусочков твердого вещества значительная доля молекул находится на поверхности, где они имеют меньшее число ближайших соседей и, соответственно, находятся в меньших по глубине потенциальных ямах. Эксперименты с измерением температуры плавления тонких пленок разных веществ показали, что температура плавления пленки каждого вещества убывает с уменьшением толщины пленки. Это – так называемый размерный эффект. Выяснилось также, что температура плавления зависит не только от размеров, но и от формы образца, т.е. существует и эффект формы. Связано это с тем, что отношение числа молекул, живущих на поверхности, к общему количеству молекул зависит и от размеров, и от формы кусочка вещества. Если предположить, что температура плавления пропорциональна глубине потенциальной ямы, усредненной по всем молекулам, входящим в состав кусочка вещества, то обнаруженные эффекты можно «объяснить» в рамках модели парного взаимодействия молекул. «Объяснение» это проведем в форме решения задачи.

Таблица 1

плавления на молярную теплоту позволяет сразу увидеть связь между температурой плавления и молярной теплотой плавления. Известны разные вещества, которые имеют подобные химические и физические свойства, в частности – очень близкие отношения молярной теплоты плавления O 0 к температуре плавления T. Примером такой группы веществ могут служить серебро, золото, медь, платина, иридий (табл.1). Все они в твердом состоянии при низких температурах имеют одинаковую структуру кристаллической решетки (гранецентрированную кубическую) и одинаковые (примерно) размеры атомов. Аналогичные одинаковые отношения наблюдаются и для других близких в физическом и химическом смысле веществ. Например, весьма показательна группа веществ, которая называет-

Таблица 2 ся «благородные газы» (табл.2). Они тоже в твердом состоянии образуют гранецентрированную кубическую решетку, но у них (за исключением гелия) отношение молярной теплоты плавления к температуре плавления не такое, как для группы металлов Ag, Au…, а находится в узком диапазоне 14,6–16,5. Гелий при плавлении проявляет квантовые свойства, и для него это отношение сильно отличается от других. Из сказанного можно сделать вывод, что для веществ с похожими химическими свойствами температура плавления пропорциональна теплоте плавления. В молекулярно-кинетической модели вещества для объяснения возможности молекул образовывать конденсированное состояние вводится понятие глубины потенциальной ямы (энергии связи), которую друг для друга создают каждые две

Задача

1. Оцените диаметр D оловянных шариков, которые расплавятся при температуре $t = = 210 q C.^{2)}$ В какой последовательности будут пла-

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Задачи

Найдите какие-нибудь два различных натуральных числа, больших пяти, которые и в сумме, и в произведении дают палиндром. (Напомним, что число называется палиндромом, если цифры в нем идут слева направо в таком же порядке, что и справа налево, например: 717, 55, 3223.) А.Меньщиков

Петя и Вася вписали в круги одного и того же радиуса 5 см по прямоугольнику. Затем каждый из них соединил середины сторон своего прямоугольника и получил ромб (как на рисунке). Докажите, что стороны этих ромбов одинаковы, и найдите их длины. Г.Гальперин

Белоснежка испекла на праздник торт, разграфленный на клеточки и украшенный вишенками, как показано на рисунке. Отрезав себе угловую клеточку (правую нижнюю), она хочет разделить оставшуюся часть торта на 7 одинаковых по размеру и форме кусков так, чтобы каждому из семи гномов досталось по целой вишенке. Помогите Белоснежке это сделать. М.Евдокимов

Иллюстрации Д.Гришуковой

Рыцари двух кланов собрались в замке на переговоры и расселись в каком-то порядке за большим круглым столом. Оказалось, что рыцарей, справа от которых сидит рыцарь из другого клана, столько же, сколько и рыцарей, справа от которых сидит рыцарь из его же клана. Докажите, что общее число рыцарей делится на 4. Г.Гальперин

Один мудрец заметил: «Наконец настал такой год, что количество зерен, равное номеру года, можно разложить по клеткам шахматной доски так, чтобы ни на каких двух клетках не было поровну зерен». В каком году произошла эта история? Е.Бакаев, А.Заславский

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6–8 классов.

26

КВАНТ 2016/№2

Чья площадь больше

К.КОХАСЬ

УСЕНЬКА И ЕЕ ДРУЗЬЯ – МЫШЬ ОГРЫЗА, ТАРА- кан Кузька и уж Ушася – праздновали день рождения дятла Спятла. Занимательные конкурсы, прекрасное угощение и подаренный виновнику торжества торт со слониками сделали праздник интересным и запоминающимся. Как вдруг…

– Спасайся, кто может! – закричал дятел Спятел и выпрыгнул в окно. Гости бросились врассыпную. Огрыза нырнула в подвал, Кузька исчез за шкафом, а Бусенька, схватив Ушасю за что попалось (а попался, естественно, хвост), запрыгнула в сейф дятла Спятла, выкинув из него статуэтку Хрустального Питона. Комната начала заполняться блестящими кольцами питона Уккха. – Где же именинникххх? – поинтересовался Уккх. – И куда пропали госсссти? – продолжал он, осматриваясь, постоянно высовывая длинный раздвоенный язык – принюхиваясь. – А, вот вы куда залезли, – сказал он, заметив сейф. – Вылезайте, – строго сказал Уккх и сквозь замочную скважину посмотрел на Ушасю так, что тому захотелось все бросить и побежать, запрыгать, поползти, протиснуться, полететь и броситься прямо Уккху в пасть. К счастью, Бусенька крепко держала дверь. – Не вылезем! – сказала она. – Дверь закрыта, а площадь сечения замочной скважины – 3 квадратных

сантиметра – слишком мала, чтобы мы через нее пролезли. Уккх проглотил огромный кусок торта («Мммм… какие вкусные слоники!»), отправил в пасть миску витаминного салата из огурцов с остроухом и задумался. Взгляд его немного подобрел. – У замочной скважины довольно сложная форма, – наконец сказал он. – Как же ты подсчитала ее площадь? – Сначала съешь вон ту банку варенья, – сказала Бусенька, не отпуская дверцу, – а после этого поговорим! Уккх схватил кончиком хвоста банку варенья и послушно проглотил ее содержимое. Поморщившись и поискав взглядом по сторонам, он кинул в пасть нераспечатанную упаковку печенья. Бусенька выждала 20 секунд и приоткрыла дверцу сейфа. – Печеные яблоки явно удались! – посоветовала она, показав на блюдо с яблоками. Уккх тут же надкусил одно яблоко и одобрительно кивнул. – Как я подсчитала площадь? Да как обычно. Что такое площадь фигуры? Это такое число. Во-первых, оно неотрицательно. Во-вторых, площадь совсем простой фигуры, например прямоугольника, равна произведению длин его сторон. В-третьих, если маленькая фигура содержится в большой, то площадь маленькой фигуры не может быть больше площади большой

Иллюстрация М.Грицук

Равновеликость и равносоставленность

Теорема (Бойаи–Гервин). Любые два равновеликих многоугольника на плоскости равносоставлены. Основная идея доказательства: каждый из многоугольников свести к равновеликому (равному по площади) квадрату (1). Шаги. Любой многоугольник можно разбить на треугольники (докажите!). Каждый треугольник можно разбить на части, из которых складывается «не очень вытянутый» прямоугольник (2–3), а затем квадрат (4). Несколько квадратов всегда можно перекроить в один квадрат (5).

Литература

В.Г.Болтянский. Равновеликие и равносоставленные фигуры. – М.: Гостехиздат, 1956. В.Ф.Каган. О преобразовании многогранников. – Одесса: Mathesis, 1913. Д.Фукс. Можно ли из тетраэдра сделать куб? – Журнал «Квант», 1990, №11. [Приведено другое доказательство теоремы Бойаи–Гервина]. Г.Линдгрен. Занимательные задачи на разрезание. – М.: Мир, 1977. Журнал «Квант». – 1980, №6, 4-я страница обложки. В.Литцман. Теорема Пифагора. – Одесса: Mathesis, 1912. Математические этюды, http://etudes.ru

41

ЛАБОРАТОРИЯ

Проделаем это для всех клеток, соответствующих числам левого столбца, и вычеркнем отмеченные ряды (все они будут разными, так как в каждом ровно одна клетка выбрана). Так как мы вычеркнем не все, останется «доска» из 8 рядов – скажем, k столбцов и 8 – k строк. Ее площадь тогда равна k ◊ (8 - k ), что не больше 16. Значит, всего выбранных клеток было не более 16 + 8 = 24. Противоречие. 2 (решение 6, вариация решения 5). Отметим для начала произвольные 32 клетки, занумерованные разными числами. Невыбранные клетки будем называть «свободными», а линии (строки или столбцы), где все клетки свободны,— пустыми. Допустим, что какая-то линия, например первая строка, пуста. Следовательно, в ней стоят 8 разных чисел, и в других строках отмечено 8 клеток с соответствующими числами. Мы утверждаем, что одно из этих 8 чисел является не единственным ни в своей строке, ни в своем столбце, и, следовательно, его можно заменить равным ему числом из первой строки, не «обнуляя» других строк или столбцов, т.е. уменьшить число пустых строк. В самом деле, на всей доске, кроме первой строки, свободны только 24 клетки. Поэтому есть не более трех строк, в которых одно из 8 чисел стоит «в одиночестве», и не более четырех таких столбцов. Следовательно, одиноки в своей строке или столбце не более семи чисел, и хотя бы одно из наших 8 чисел действительно можно заменить. Если после этого все еще есть пустые строки или столбцы, действуем аналогично.

3 (решение 7). Всего есть $2^{32}$ выборов 32 клеток с разными числами на них (из каждой пары клеток, занумерованных одинаково, надо выбрать одну). Оценим число плохих выборов. Пусть в первом столбце нет выбранных чисел. Это значит, что в нем все числа различны, поэтому таких выборов $2^{24}$. Всего рядов 16, поэтому общее число плохих выборов не больше 16 ◊ $2^{24} = 2^{28} < 2^{32}$, т.е. хороших выборов много.

P.S. Попробуем слегка изменить условие исходной задачи. Пусть теперь у нас в 64 клетках записаны 16 чисел, каждое по 4 раза. Возникает вопрос: «Можно ли теперь гарантировано отметить по одной клетке с каждым числом так, чтобы в каждой горизонтали и в каж-

«КВАНТА»

дой вертикали было отмечено хотя бы по одной клетке?» И если можно, то какие из наших решений проходят в новой задаче? Оказывается, что и этот факт будет верным. Например, возникает очевидное решение, аналогичное решению 3. Каждая девушка-число будет со степенью 8, так как встречается 4 раза и учитывается каждый раз в 2 рядах, при этом возможно, что какую-то дружбу мы учли до 4-х раз, если число попало четырежды в один ряд. Из теоремы Холла следует, что у нас есть нужные 16 свадеб. Как все оказывается просто и красиво! А если задуматься над решением 2, то… здесь у нас объявится великий Эйлер! В нашем графе теперь каждая вершина имеет степень 4, возможно с кратными ребрами и петлями. Тогда каждая компонента связности будет состоять только из вершин четной степени, значит, выполняется критерий эйлеровости – в каждой компоненте связности будет эйлеров цикл, т.е. цикл, проходящий по всем ребрам один раз, при этом каждая вершина в цикле присутствует дважды и каждый эйлеров цикл будет четной длины. Значит, в каждом из этих эйлеровых циклов можно устроить раскраску ребер в шахматном порядке (белое, черное, белое, черное и т.д.). В результате, например, в графе черных ребер каждая вершина окажется со степенью 2 и здесь сработает уже лемма о хороводах, согласно которой граф черных ребер разбивается на один или несколько непересекающихся циклов, в которых мы по аналогии с решением 2 устроим нужный нам обход. Таким образом, нами доказан уже более сильный факт о том, что в каждом ряду встретится хотя бы по 2 отмеченные клетки. Как полезно менять условие задачи! Сразу «полезут» другие красивые идеи!

ЛАБОРАТОРИЯ «КВАНТА»

Спасем водолаза

А.ПАНОВ

ПРОШЛО НЕСКОЛЬКО ЛЕТ С ПУБЛИКАЦИИ СТАТЬИ «К артезианский водолаз – генерация P» (см. «Квант»

№ 2 за 2012 г.). За это время я узнал несколько новых вещей, о которых хочу рассказать здесь. И еще хочу исправить одну ошибку. Оказывается, изобретателем картезианского водолаза был вовсе не Декарт, а, скорее всего, итальянский монах Рафаэлло Маджотти (Raffaello Magiotti, 1597–1656) – последователь Галилея и друг Торричелли. В 1648 году Маджотти опубликовал трактат о несжимаемости воды, он как раз использовал водолаза для иллюстрации этой несжимаемости. Посмотрите на рисунок 1 (а также на 4-ю страницу обложки), где воспроизведены авторские рисунки Маджотти, – уж двух водолазов вы там точно узнаете.

«Le caraffine di Magiotti» – так называется текст, написанный Бениамино Данесе и расположенный на сайте http://www.reinventore.it/. С итальянского это название переводится очень просто – «Флакончики (или графинчики) Маджотти». Кроме того, на сайте имеется 12-ти минутный ролик (кадр из него приведен на рисунке 2). Я его посмотрел несколько раз с большим удовольствием и всем советую это сделать. Хотя в прошлый раз я рекомендовал использовать в качестве водолаза обычную пипетку, но после просмотра фильма решил вернуться к классическим стеклянным аптекарским флакончикам. Итак, наполним водой пластиковую бутылку, а дальше… …Флакончик, частично заполненный водой, вверх дном опустим в бутылку. При этом количество воды во флакончике должно быть отрегулировано таким образом, чтобы он обладал небольшой положительной плавучестью – при слабом толчке он должен уходить под воду. Теперь поплотнее завинтим пробку, и водолаз готов к действию. При нажатии на пластиковую бутылку объем воздуха внутри флакончика уменьшается, и флакончик опускает-

42

КВАНТ 2016/№2

Рис. 2. Кадр из фильма Бениамино Данесе

Рис. 1. Флакончики Маджотти

ся вниз. Отпускаем бутылку – водолаз плывет вверх… Это фактически небольшая цитата из предыдущей статьи. А теперь займемся новыми экспериментами.

Будем спасать водолаза. Бывает обидно, когда водолаз, опущенный в бутылку, сразу идет на дно. Приходится выливать воду из бутылки, доставать водолаза и снова налаживать его. Давайте попробуем обойтись без этого – спасем водолаза и заставим его подняться наверх самостоятельно. Это можно сделать несколькими способами. Способ 1: согреем. Допустим, водолаз оказался на дне и не хочет подниматься. Отвинтим пробку и поставим бутылку с водолазом в горячую воду. Вода в бутылке согреется, объем воздуха во флакончике увеличится, и водолаз всплывет. Правда, когда вода остынет, водолаз снова утонет. Способ 2: вдохнем. Попробуем сделать что-то вроде искусственного дыхания. Плотно обхватим губами горлышко бутылки и вдохнем в себя часть содержащегося там воздуха. Давление в бутылке уменьшится, объем воздуха во флакончике опять-таки увеличится, и водолаз всплывет. Но и здесь, как только мы отнимем рот от бутылки, водолаз потонет. Способ 3: поднимем. Когда мне в первый раз подарили барометр, я тут же забрался с ним в лифт и поехал на верхний этаж. Стрелка барометра, конечно же, показала, что с высотой давление воздуха уменьшается. Воспользуемся этим фактом и захватим с собой в лифт утонувшего водолаза, находящегося в открытой бутылке. Если подняться достаточно высоко, то давление воздуха существенно уменьшится, воздух внутри флакончика расширится настолько, что водолаз приобретет положительную плавучесть и сам поднимется вверх. Способ 4: сожмем. Пусть водолаз оказался на дне и не хочет подниматься. Отвинтим пробку, сожмем одной рукой бутылку, чтобы из нее вышло побольше воздуха. Не уменьшая сжатия, другой рукой завинтим пробку. После того как мы отпустим бутылку, начнут работать упругие силы, стремящиеся вернуть ей прежнюю форму. Они противодействуют внешнему давлению воздуха и увеличивают объем бутылки, в том числе и объем воздуха во флакончике. Водолаз приобретает положительную плавучесть, всплывает и становится готовым к работе.

Одно? Два? Три! Почему все-таки иногда получается так, что в стакане флакончик плавает, а бросишь его в бутылку – он тонет? Потому, что его не нужно бросать, а надо аккуратненько и потихоньку опустить в бутылку, тогда он будет плавать вверху, как это делал в стакане. Но сам факт утопления достаточно интересен. Не всякий плавающий сверху водолаз утонет, если его толкнуть вниз. Такое возможно, только если он обладает малой положительной плавучестью. Дело в том, что когда водолаз опускается вниз, то гидростатическое давление жидкости на него возрастает, объем воздуха внутри флакончика уменьшается, плавучесть водолаза тоже уменьшается. И если бутылка достаточно высокая, то на некоторой высоте плавучесть станет отрицательной, и водолаз сам собой потонет. Выходит, что у хорошо отрегулированного водолаза с малой положительной плавучестью есть два устойчивых положения равновесия внутри бутылки. Одно, когда водолаз находится в верхнем положении, и другое, когда он покоится на дне. Если он пребывает в одном из этих состояний, то после малого возмущения он туда же и вернется. При этом в верхнем положении его плавучесть положительная, в нижнем – отрицательная. Но тогда получается, что на некоторой промежуточной высоте плавучесть водолаза должна быть равна нулю. И это еще одно положение равновесия водолаза. Только в отличие от первых двух оно неустойчивое. Если водолаз из этого положения чуть сместится вверх, то у него появится положительная плавучесть, и он продолжит свое ускоряющееся восхождение. Если же отклонится чуть вниз, то у него появится отрицательная плавучесть, и он потонет.

43

ЛАБОРАТОРИЯ

Рис. 3. Жмем так (как показано слева), и водолаз тонет, жмем по-другому (как справа) – всплывает

Рис. 4. Сжимаем так (как слева), и площадь сечения уменьшается, сжимаем по-другому (как справа) – увеличивается

Водолаз двойного действия. Хорошо бы иметь водолаза, который по нашему желанию опускался бы на дно и оставался там или – при желании – поднимался бы наверх и там плавал. Вот несколько путей добиться этого. 1: завинтим/отвинтим. Поместим в бутылку водолаза с малой положительной плавучестью. Начнем завинчивать пробку. Ее соединение с бутылкой станет герметичным еще до того, как пробка полностью завинтится. С этого момента и до полного закручивания пробки объем, заключенный внутри бутылки, начнет уменьшаться. Будет уменьшаться и объем воздуха внутри водолаза, и водолаз потонет. Отвинтим пробку – водолаз поднимется. Это и есть первый пример водолаза двойного действия. 2: сожмем и сожмем. Встречаются бутылки овального сечения (рис.3). Если рассечь такую бутылку горизонтальной плоскостью, то в сечении получится что-то вроде изображенного на рисунке 4. Запустим в такую бутылку водолаза с малой положительной плавучестью и двумя состояниями устойчивого равновесия. Если нажать на плоские стороны бутылки (см. рис. 3 и 4, слева), то площадь ее сечения уменьшится, значит, уменьшится объем, и водолаз опустится на дно. Если же теперь нажать на закругленные стороны (см. рис. 3 и 4, справа), то объем увеличится, и водолаз всплывет. 3: наденем хомут. Возьмем червячный хомут большого диаметра, который можно закрепить на пластиковой бутылке (рис.5). Поместим водолаза положительной плавучести в бутылку, завинтим пробку и с помощью отвертки начнем стягивать хомут. Давление воздуха внутри бутылки будет возрастать, и в некоторый момент водолаз опустится на дно. И этот процесс обратимый. Если ослабить хомут, водолаз поднимется наверх.

«КВАНТА»

Рис. 5. Бутылка с хомутом, очень удобная для управления водолазом

4: стукнем. Кто уже пытался создать водолаза с минимальной положительной плавучестью, имеющего два устойчивых состояния равновесия – вверху и внизу бутылки, тот знает, что это трудная задача. Тут нужна предварительная тонкая настройка соотношения воды и воздуха внутри водолаза. Применение червячного хомута упрощает эту проблему. Поместим водолаза положительной плавучести в бутылку и закрутим пробку. Теперь потихоньку начнем стягивать хомут до тех пор, пока нижнее положение водолаза «впервые» не станет устойчивым. У такого водолаза будут два устойчивых состояния – вверху и внизу, а между ними (на небольшой высоте) будет еще неустойчивое состояние равновесия. Сжатием бутылки опустим водолаза на дно. Если теперь ударить дном бутылки о стол, то водолаз подскочит, как на батуте, поднимется выше неустойчивого положения равновесия, после чего приобретет положительную плавучесть и сам поднимется наверх. Вот вам и еще один водолаз двойного действия. Вместо того чтобы стучать бутылкой о стол, можно ударить кулаком по столу – эффект будет таким же. 5: приподнимем. Конечно, стучать кулаком по столу это слишком грубое воздействие. Будем действовать деликатнее. Как в предыдущем случае, создадим водолаза с тремя положениями равновесия. Сжатием бутылки отправим водолаза на дно. Теперь возьмемся за пробку и приподнимем бутылку – водолаз всплывает. Оказывается, что сила тяжести, нескомпенсированная реакцией стола, увеличивает объем высокой круглой бутылки, и давление воздуха в ней падает. 6: наклоним. Опять создадим водолаза с тремя положениями равновесия и опустим его на дно. Он будет находиться там в состоянии устойчивого равновесия. Сильно наклоним бутылку, чтобы высота столба воды над водолазом существенно уменьшилась. На уровне водолаза давление воды уменьшится, воздух в нем расширится, и он начнет подниматься. В некоторый момент поставим бутылку вертикально – и водолаз окажется наверху. Вот, пожалуй, и все. Добавлю еще, что снабдить водолаза червячным хомутом меня научил мой студент Дима Гульев. Мне кажется, это очень удачная идея.

ОЛИМПИАДЫ

Региональный этап XLII Всероссийской олимпиады школьников по математике

Региональный этап XLII Всероссийской олимпиады по математике был проведен 5 и 6 февраля 2016 года. По его результатам формируется состав участников заключительного этапа Всероссийской олимпиады, поэтому в варианты регионального этапа включались, в том числе, и достаточно сложные задачи. Наиболее трудными оказались задачи 8 для 10 класса и для 11 класса.

Задачи

9 класс

Первый день

1. Даны квадратные трехчлены $f_{1} ( x ), f_{2} ( x )$, … $, f_{100} ( x )$ с одинаковыми коэффициентами при $x^{2}$, одинаковыми коэффициентами при x, но различными свободными членами; у каждого из них есть по два корня. У каждого трехчлена $f_{i} ( x )$ выбрали один корень и обозначили его через $x_{i}$. Какие значения может принимать сумма $f_{2} ( x_{1} ) + f_{3} ( x_{2} ) + …^{…} + f 100 ( x 99 ) + f 1 ( x 100 )$? Н.Агаханов

2. Дан равнобедренный треугольник ABC, AB = BC. В окружности Ω, описанной около треугольника ABC, проведен диаметр $CC '$. Прямая, проходящая через точку $C '$ параллельно BC, пересекает отрезки AB и AC в точках M и P соответственно. Докажите, что M – середина отрезка $C ' P$. Б.Обухов

3. Петя выбрал несколько последовательных натуральных чисел и каждое записал либо красным, либо синим карандашом (оба цвета присутствуют). Может ли сумма наименьшего общего кратного всех красных чисел и наименьшего общего кратного всех синих чисел являться степенью двойки? О.Дмитриев, Р.Женодаров

4. У царя Гиерона есть 11 металлических слитков, неразличимых на вид; царь знает, что их массы (в некотором порядке) равны 1, 2, …, 11 кг. Еще у него есть мешок, который порвется, если в него положить больше 11 кг. Архимед узнал массы всех слитков и хочет доказать Гиерону, что первый слиток имеет массу 1 кг. За один шаг он может загрузить несколько слитков в мешок и продемонстрировать Гиерону, что мешок не порвался (рвать мешок нельзя!). За какое наименьшее число загрузок мешка Архимед может добиться требуемого? И.Богданов, К.Кноп

Второй день

5. В классе учатся 23 человека. В течение года каждый ученик этого класса один раз праздновал день рождения, на который пришли некоторые (хотя бы один, но не все) его одноклассники. Могло ли оказаться, что каждые два ученика этого класса встретились на таких празднованиях одина-

ковое число раз? (Считается, что на каждом празднике встретились любые два гостя, а также что именинник встретился со всеми гостями.) И.Богданов

6. Назовем непустое (конечное или бесконечное) множество A, состоящее из натуральных чисел, полным, если для любых натуральных a и b (не обязательно различных и не обязательно лежащих в A) таких, что a + b лежит в A, число ab также лежит в A. Найдите все полные множества натуральных чисел. Н.Агаханов

7. В белой таблице $2016 \times 2016$ некоторые клетки окрасили черным. Назовем натуральное число k удачным, если $k \le 2016$ и в каждом из клетчатых квадратов со стороной k, расположенных в таблице, окрашено ровно k клеток. (Например, если все клетки черные, то удачным является только число 1.) Какое наибольшее количество чисел могут быть удачными? Е.Бакаев

8. Дан выпуклый четырехугольник ABCD, в котором $\angle$ DAB $= 90 ^\circ$. Пусть M – середина стороны BC. Оказалось, что $\angle$ ADC $= \angle$ BAM. Докажите, что $\angle$ ADB $= \angle$ CAM. Е.Бакаев

10 класс

Первый день

1. См. задачу 1 для 9 класса.

2. Петя выбрал 10 последовательных натуральных чисел и каждое записал либо красным, либо синим карандашом (оба цвета присутствуют). Может ли сумма наименьшего общего кратного всех красных чисел и наименьшего общего кратного всех синих чисел оканчиваться на 2016? О.Дмитриев, Р.Женодаров

3. На стороне AB выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки K и L (точка K лежит между A и L), а на стороне CD взяты точки M и N (точка M между C и N). Известно, что AK = KN = DN и BL = BC = CM. Докажите, что если BCNK – вписанный четырехугольник, то и ADML тоже вписан. Т.Зиманов, П.Кожевников

4. Дана клетчатая таблица $100 \times 100$, клетки которой покрашены в черный и белый цвета. При этом во всех столбцах поровну черных клеток, в то время как во всех строках разные количества черных клеток. Каково максимальное возможное количество пар соседних по стороне разноцветных клеток? И.Богданов

Второй день

5. Назовем непустое (конечное или бесконечное) множество A, состоящее из действительных чисел, полным, если

55

ОЛИМПИАДЫ

Задача 4. Три в кубе Куб собран из одинаковых резисторов сопротивлением R. Три резистора заменили на идеальные перемычки, как указано на рисунке 7.

Таблица 3

каких координатных осях экспериментальная зависимость мощности от перемещения линейна? Определите мощность силы в точке с координатой $s_{0} = 10$ см. Найдите значение силы F. З.Гордеев

Задача 2. «Темная материя» Скопления звезд образуют бесстолкновительные системы – галактики, в которых звезды равномерно движутся по круговым орбитам вокруг оси симметрии системы. Галактика NGC 2885 (рис.9) состоит из скопления звезд в виде

Рис. 7

1. Найдите общее сопротивление получившейся системы между контактами A и B. 2) Какие резисторы из оставшихся можно убрать так, что это не изменит общее сопротивление системы? 3) Если известно, что сила тока, текущего через большинство резисторов электрической цепи, равна I = 2 A, то какова сила тока в проводе, подсоединенном к узлу A (или В)? 4) Вычислите силу тока, текущего через идеальную перемычку $AA '$. М.Иванов

Задача 5. Транспортер на боку По шероховатому горизонтальному полу движется лежащий на боку ленточный транспортер так, что плоскость ленты вертикальна (рис.8, вид сверху). Скорость ленты

Рис. 8

транспортера v. Транспортер перемещается по полу с постоянной скоростью u перпендикулярно основным участкам его ленты. За некоторое время транспортер сместился на расстояние s. Транспортер толкает по полу брусок массой m, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда. Пренебрегая прогибом ленты и считая движение бруска установившимся, найдите смещение бруска за время s/u. Определите работу по перемещению бруска, совершаемую силой, действующей на брусок со стороны транспортера (за время смещения транспортера на расстояние s). Коэффициент трения между бруском и полом $\mu_{1}$, а между бруском и лентой $\mu_{2}$. А.Фролов

11 класс

Задача 1. Мощность в пространстве На изначально покоящийся на гладком горизонтальном столе брусок массой m = 2 кг начали действовать постоянной горизонтальной силой F. В результате была получена зависимость мощности N от перемещения s бруска (табл.3). Некоторые измерения могли оказаться не очень точными. В

Рис. 9

шарового ядра радиусом $r_{я} = 4$ кпк и тонкого кольца, внутренний радиус которого совпадает с радиусом ядра, а внешний равен $15r_{я}$. Кольцо состоит из звезд с пренебрежимо малой по сравнению с ядром массой. В ядре звезды распределены равномерно. Было установлено, что линейная скорость движения звезд в кольце не зависит от расстояния до центра галактики: от внешнего края кольца вплоть до края ядра скорость звезд $v_{0} = 240$ км/с. Такое явление может быть объяснено наличием несветящейся массы, или «темной материи», распределенной сферически симметрично относительно центра галактики вне ее ядра. 1) Определите массу $M_{я}$ ядра галактики. 2) Определите среднюю плотность $\rho_{я}$ вещества ядра галактики. 3) Найдите зависимость плотности «темной материи» $\rho_{т}$ от расстояния r до центра галактики. 4) Вычислите отношение массы «темной материи», влияющей на движение звезд в диске, к массе ядра. Примечание: 1 кпк = 1 килопарсек $= 3,086 \cdot 10^{19}$ м, гравитационная постоянная $G = 6,67 \cdot 10^{-} 11$ Н $\cdot м^{2} \cdot кг^{-} 2$. П.Коротков

Задача 3. Четыре в кубе Куб собран из одинаковых резисторов, имеющих сопротивления R. Четыре резистора заменены на идеальные перемычки, как указано на рисунке 10. 1) Найдите общее сопротивление получившейся системы между контактами A и B. 2) Через какие резисторы сила текущего тока максимальна, а через какие минимальна? Найдите эти значения силы тока, если сила тока, входящего в узел А, равна $I_{0} = 1,2$ А. 3) Какова сила тока, текущего через идеальную перемычку $AA '$? М.Иванов

Задача 4. Ромб Циклический процесс, совершаемый над идеальным га-

56

КВАНТ 2016/№2

Задача 5. Колебаниям – нет! В электрической цепи, состоящей из резистора сопротивлением R, катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью $C_{0}$, на конденсаторе находится заряд $Q_{0}$ (рис.12). В некоторый момент времени замыкают ключ K и одновременно начинают изменять емкость конденсатора так, что идеаль-

Рис. 10

зом, на плоскости p, V представляет собой ромб (рис.11). Вершины 1 и 3 лежат на одной изобаре, а вершины 2 и 4 – на одной изохоре. За цикл газ совершил работу А. На

Рис. 12

ный вольтметр показывает постоянное напряжение. 1) Как зависит от времени емкость конденсатора C ( t ) при изменении времени от 0 до $t_{1} = C_{0} L$? 2) Какую работу за время $t_{1}$ совершили внешние силы? Считайте, что $t_{1} = L R = C_{0} L$. Подсказка. Количество теплоты, выделившееся на резисторе за время $t_{1}$, равно t 1

$W_{R} = \int I^{2} ( t )$ Rdt =

0

Рис. 11

$Q_{0}^{2}. 3 C_{0}$

М.Осин сколько отличается количество теплоты $Q_{12}$, подведенное к газу на участке 1–2, от количества теплоты $Q_{3,4}$, отведенного от газа на участке 3–4? В.Сбободянин

Электростатика для умных школьников

(Начало см. на с. 44)

Итак, предположение о том, что поле внутри не осталось тем же самым, этим рассуждением опровергнуто. Мы доказали теорему единственности.

На самом деле, это длинный разговор. Если мне везет с классом, если они готовы такие вещи слушать, я им довольно много всего рассказываю. Пока не наступает явное переполнение, что, впрочем, видно по выражениям лиц и так далее. Мне кажется, что сложные вещи полезно обсуждать. Нужно обязательно, чтобы они развивались, чтобы они росли достаточно быстро – нагрузка должна быть близка (по сложности, не по объему) к некоторому предельному значению. Это значение у всех разное, поэтому я своих учеников гружу поразному. А для того чтобы это не было так уж скучно, я работаю без домашних заданий, это довольно здорово облегчает ситуацию. По крайней мере, дает моральное право мне на уроке активно с учениками работать. И заставлять работать их.

Пользуясь теоремой единственности, мы решаем множество довольно трудных задач. Так, из нее сразу вылезает замечательный метод изображений. В школьной программе его нет, и прекрасно можно обойтись без этого

Публикацию подготовил В.Слободянин метода, но уж очень красивые задачи бывают. Красивые, понятные, трудные, любые. И кстати, один забавный короткий пример. С математически грамотными школьниками перед обсуждением этой темы я решаю такую задачу. Есть два точечных заряда, скажем q и –3q. Как расположены на плоскости точки, имеющие нулевой потенциал? Кроме бесконечно удаленных? Это интересная задача. Она пробивается в лоб, можно написать сложные, довольно противные соотношения. Почему я заговорил про математически образованных школьников? Они знают ответ и не решая этой задачи. Обычно сразу какое-нибудь быстро соображающее дитя кричит: «Окружность Аполлония!» Для того чтобы был у точки нулевой потенциал в нашем случае, она должна быть втрое дальше от большого заряда, чем от малого. Тогда сумма этих потенциалов дает ноль. А такую геометрическую фигуру они в геометрии изучают: как расположены на плоскости точки, которые втрое дальше от точки А, чем от точки В. Это окружность, окружность Аполлония. Значит, в пространстве это будет сфера. А мне это и нужно. Когда мы с ними докажем теорему единственности, мы вернемся к этим вопросам и решим задачу про изображение в сфере. Заряд и заземленная сфера: с какой силой они друг к другу притягиваются?..