Квант 2016, №4 · Страницы

10

КВАНТ 2016/№4

relative to physical optics»), прочитанной в 1803 году. (Бейкеровская лекция – награда, ежегодно присуждаемая Лондонским Королевским обществом за вклад в развитие естествознания. Юнг был удостоен этой награды три раза.) Световые пучки и волновые фронты. В геометрической оптике одним из основных объектов исследования является точечный источник, от которого в разные стороны расходятся световые лучи. Говоря современным языком, это что-то вроде маленького светодиода, на который мы смотрим с расстояния в несколько метров, не различая его размеров. Важна и другая ситуация, когда источник ограниченных размеров удален от нас на гигантское расстояние. Тогда лучи, идущие от него, практически параллельны. Такой источник называется бесконечно удаленным, а пучок лучей, исходящих от него, является параллельным. Именно такие пучки приходят к нам от удаленных звезд, и почти такой пучок приходит от солнца. Волновым фронтом в геометрической оптике называется поверхность (в плоском случае – кривая), которая перпендикулярна всем лучам из данного светового пучка. Для пучка параллельных лучей волновой фронт плоский. В случае точечного источника волновой фронт представляет собой сферу (окружность), центр которой совпадает с местом положения источника. На рисунке 20 видно, что для каждого и этих световых пучков любые два фронта эквидистантны,

Рис. 21. Световая волна, соседние фронты эквидистантны, расстояние между ними равно длине волны

ка распространяется в пространстве, то это сферическая волна. Но на тот же рисунок можно взглянуть и по-другому. Можно считать, что начальный волновой фронт – это прямая, перпендикулярная плоскости рисунка и проходящая через его центр. Тогда мы имеем дело с цилиндрической волной. Интерференция. Рисунок 21 крайне прост. А что получится при наложении двух таких рисунков со сдвигом? Иными словами, что происходит при наложении двух монохроматических волн с одной и той же длиной волны? Оказывается, картина мгновенно преображается – мы наблюдаем интерференцию. На рисунке 22 два источника смещены друг относительно друга на несколько длин волн по горизонтали. Уже при небольшом удалении точки наблюдения от обоих источников волновые фронты приходят в нее почти параллельными. А вблизи точки, куда фронты приходят со сдвигом в целое число длин волн, они просто совпадают. С одной стороны, амплитуда волны там возрастает вдвое, с другой стороны, вблизи этой точки мы видим много белого цвета. Окрашенные в белый

Рис. 20. Пучки и фронты перпендикулярны, фронты эквидистантны

т.е. отрезки световых лучей, заключенные между этими фронтами, равны между собой. Монохроматическая световая волна. Если у нас имеется монохроматический пучок световых лучей, то можно сказать, что соответствующая световая волна – это совокупность волновых фронтов, удаленных друг от друга на одно и то же расстояние, равное длине волны. Для точечного источника это будет что-то вроде рисунка 21. Если считать, что световая волна распространяется в плоскости рисунка, то ее естественно назвать круговой. Если волна от точечного источни-

Рис. 22. Интерференция (опыт Юнга, кольца Ньютона, дуги высших порядков)

11

РАДУГА

ДЕКАРТА–НЬЮТОНА–ЮНГА

цвет области – это области конструктивной интерференции, где интенсивность света возрастает. Если же в некоторую точку наблюдения волновые фронты приходят со сдвигом в нечетное число полуволн, то там волны гасят друг друга, а плоскость оказывается целиком окрашенной в красный цвет. Здесь мы наблюдаем области с деструктивной интерференцией. Можно сказать, что на рисунке 22 области конструктивной интерференции кодируются белым цветом, а области деструктивной интерференции – красным.

Упражнение 8. Покажите, что на рисунке 22 области конструктивной и деструктивной интерференции расположены вдоль гипербол, фокусами которых служат два точечных источника, от которых расходятся круговые волны. Для доказательства этого факта воспользуйтесь геометрическим определением гиперболы.

В лекциях Юнга, изданных в 1807 году, есть подобный рисунок, который он использует одновременно и для описания интерференции волн на воде, и для описания интерференции световых волн. Двухщелевой опыт Юнга и кольца Ньютона. Это два известнейших интерференционных эксперимента, объяснение которым дал Юнг и которые мы проиллюстрируем с помощью рисунка $22._{i}$ Можно представить себе, что две щели в эксперименте Юнга – это две прямые, перпендикулярные плоскости рисунка 22, от которых распространяются две цилиндрические волны. В пространстве расположим плоский экран, который перпендикулярен плоскости рисунка и параллелен прямой, соединяющей источники. Цилиндрические волны интерферируют, и, как показывает рисунок 22, на экране должно возникнуть чередование светлых и темных $полос._{i}$ Теперь представим себе, что мы имеем дело с двумя точечными источниками, от которых распространяются две сферические волны. Плоский экран расположим перпендикулярно прямой, соединяющей источники. На этот раз интерферируют две сферические волны, и, как показывает рисунок 22, на экране должно возникнуть чередование светлых и темных колец. Примерно так образуются кольца Ньютона. Только там интерферируют не расходящиеся сферические волны, а сходящиеся – каждая в своем центре. Радуга Юнга – дуги высших порядков. На самом деле радуга тоже представляет собой некоторый фрагмент рисунка 22. Сейчас мы покажем это. Сначала вернемся к рисункам 7 и 8 (см. первую часть статьи) и запустим на каплю не 101 луч, а

Рис. 23. Лучи и фронты перпендикулярны, фронты эквидистантны

всего 11. И сразу же нарисуем волновые фронты, перпендикулярные световым лучам (рис.23). На входе в каплю единичного радиуса мы имеем пучок параллельных лучей и, соответственно, семейство параллельных между собой фронтов, отстоящих друг от друга на расстояние длины волны. Входя в каплю, лучи преломляются, а фронты искривляются. Причем внутри капли расстояние между фронтами уменьшается в n раз, где n = 4/3 – показатель преломления воды. Но ровно во столько же раз уменьшается и длина световой волны. Так что и в воде волновые фронты тоже эквидистантны и расстояние между ними тоже равно длине световой волны. Теперь посмотрим на волновые фронты по выходе из капли. Каждый такой фронт состоит из двух дуг (см. рис.23). Большая дуга перпендикулярна тем выходящим лучам, которые имеют высоту входа в каплю от 0 до 0,86 от радиуса капли (см. рис.7). А меньшая дуга перпендикулярна выходящим лучам с высотой входа от 0,86 до 1 (см. рис.8). Система больших дуг похожа на дуги окружностей с общим центром, расположенным справа от капли. Система меньших дуг тоже похожа на дуги окружностей, но с общим центром, расположенным внизу капли. Таким образом, выходящие фронты образуют фрагмент некоторый картины, аналогичной изображенной на рисунке 22, и должны интерферировать. Единственная причина, по которой мы не наблюдаем интерференцию, – та, что на рисунке мы взяли слишком большую длину волны. Стоит уменьшить длину волны, и сразу же возникает интерференционная картина (рис.24). Тут светлая интерференционная полоса, прилегающая к угловым точкам волновых фронтов, идет под углом $42^\circ$ и определяет направление первой

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач из этого номера следует отправлять по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присылайте в разных конвертах. На конверте в графе «Кому» напишите: «Задачник «Кванта» №4–2016» и номера задач, решения которых Вы посылаете, например «М2429» или «Ф2435». В графе «От кого» фамилию и имя просим писать разборчиво. В письмо вложите конверт с написанным на нем Вашим адресом и необходимый набор марок (в этом конверте Вы получите результаты проверки решений). Решения задач по математике и физике можно присылать также по электронным адресам: math@kvant.ras.ru и phys@kvant.ras.ru соответственно. Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присылайте в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с Вашим решением этой задачи (на конверте пометьте: «Задачник «Кванта», новая задача по физике» или «Задачник «Кванта», новая задача по математике»). В начале каждого письма просим указывать номер школы и класс, в котором Вы учитесь. Задачи М2429–М2432, М2433а, М2434, М2435 предлагались на заключительном этапе XLII Всероссийской олимпиады школьников по математике. Задача Ф2440 предлагалась на XXIII Международной олимпиаде «Туймаада» (физика).

Задачи М2429–М2435, Ф2435–Ф2442

M2429. В Национальной баскетбольной ассоциации 30 команд, каждая из которых проводит за год 82 матча с другими командами в регулярном чемпионате. Сможет ли руководство Ассоциации разделить команды (не обязательно поровну) на восточную и западную конференции и составить расписание игр так, чтобы матчи между командами из разных конференций составляли ровно половину от общего числа матчей? А.Грибалко

M2430. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составлены девять (не обязательно различных) девятизначных чисел; каждая из цифр использована в каждом числе ровно один раз. На какое наибольшее количество нулей может оканчиваться сумма этих девяти чисел? Н.Агаханов

M2431. Окружность $\omega$ касается сторон угла BAC в точках B и C. Прямая l пересекает отрезки AB и AC в точках K и L соответственно. Окружность $\omega$ пересекает l в точках P и Q. Точки S и T выбраны на отрезке BC так, что KS P AC и LT P AB. Докажите, что точки P, Q, S и T лежат на одной окружности. И.Богданов, П.Кожевников

M2432. Квадрат разбит на $n^{2} \ge 4$ прямоугольников $2 ( n - 1 )$ прямыми, из которых n – 1 параллельны одной стороне квадрата, а остальные n – 1 – другой. Докажите, что можно выбрать 2n прямоугольников разбиения таким образом, что для любых двух выбранных прямоугольников один из них можно поместить в другой (возможно, предварительно повернув). С.Берлов

M2433. Дан кубический многочлен f ( x ). Назовем циклом тройку различных чисел ( a, b, c ) таких, что f ( a ) = b, f ( b ) = c и f ( c ) = a. Известно, что нашлись

восемь циклов $( a_{i}, b_{i}, c_{i} ), i = 1, 2,$ …, 8, в которых участвуют 24 различных числа. Докажите, что среди восьми чисел вида $a_{i} + b_{i} + c_{i}$ есть хотя бы: а) три различных; б) четыре различных. А.Голованов, Ф.Петров

M2434. Окружность $\omega$ вписана в треугольник ABC, в котором AB < AC. Вневписанная окружность этого треугольника касается стороны BC в точке $A '$. Точка X выбирается на отрезке $A ' A$ так, что отрезок $A ' X$ не пересекает $\omega$. Касательные, проведенные из X к $\omega$, пересекают отрезок BC в точках Y и Z. Докажите, что сумма XY + XZ не зависит от выбора точки X. И.Митрофанов

M2435. Внутри выпуклого 100-угольника выбрана точка X, не лежащая ни на одной его стороне или диагонали. Исходно вершины многоугольника не отмечены. Петя и Вася по очереди отмечают еще не отмеченные вершины 100-угольника, причем Петя начинает и первым ходом отмечает сразу две вершины, а далее каждый своим очередным ходом отмечает по одной вершине. Проигрывает тот, после чьего хода точка X будет лежать внутри многоугольника с отмеченными вершинами. Докажите, что Петя может выиграть, как бы ни ходил Вася. С.Берлов, Ф.Петров

Ф2435. Камень бросают с начальной скоростью $v_{0}$ под углом $\alpha$ к горизонту, и он всегда удаляется от точки броска. При каких углах $\alpha$ это возможно? Трения нет. А.Зильберман

Ф2436. Мост между берегами реки в профиль имеет форму выпуклой вверх дуги радиусом R = 200 м. Расстояние между крайними опорами моста на берегах реки составляет R/2 = 100 м. Дорога на берегах плавно сопрягается с поверхностью моста. Коэффициент тре-

20

КВАНТ 2016/№4

Футбольные турниры и арифметические прогрессии

В 2012 году на LXXV Московской математической олимпиаде была предложена следующая задача. В однокруговом футбольном турнире (победа – 3 очка, ничья – 1, поражение – 0) участвовали 75 команд. Каков минимально возможный разрыв в очках между первой и последней командами, если никакие две команды не набрали поровну очков? Поскольку минимальный разрыв между командами, занявшими соседние места, равен одному очку, очевидно, что разрыв между первой и последней командами не может быть меньше 74 очков. Однако понять, достижима ли эта оценка, довольно сложно. Чтобы это выяснить, естественно для начала рассмотреть турниры с небольшим числом участников. Перебрав все турниры с 2 или 3 участниками, легко убедиться, что искомых среди них нет. Но для 4 команд такой турнир построить удается (табл.1).

Таблица 1

Успешными оказываются попытки и при нескольких следующих значениях числа команд n. Поэтому возникает предположение, что соответствующие турниры существуют для всех n > 3. Это действительно так, точнее, верно следующее утверждение. Для любого $n \ge 4$ существует круговой турнир из n команд, в котором команды набирают n – 2, n – 1, n, …, 2n – 3 очков. Докажем его по индукции. Для n = 4 искомый турнир мы уже построили. Предположим, что у нас есть такой турнир для n команд, и покажем, как добавить к нему одну новую команду. Упорядочим старые команды по убыванию очков и пусть новая команда выигрывает у первой, проигрывает второй и третьей, выигрывает у четвертой, проигрывает пятой и шестой и т.д. (с периодом 3), пока ей не останется сыграть с одной, двумя или тремя командами (в зависимости от остатка n при делении на 3). В первом случае новая команда играет с последней вничью. Во втором – играет вничью с предпоследней и проигрывает последней, в третьем – играет вничью с последней, проигрывает предпоследней и выигрывает у третьей с конца. Непосредственным вычислением убеждаемся, что во всех трех случаях получится нужное нам распределение очков.

натуральных d набранные командами очки могут образовать арифметическую прогрессию с разностью d? Для полноты можно позволить d быть равным 0, и тогда нужный турнир, очевидно, существует (например, если все игры заканчиваются вничью). При всех n возможен случай d = 3 (если первая команда выигрывает у всех, вторая – у всех, кроме первой, и т.д.). Ясно также, что больше 3 разность быть не может (почему?). Таким образом, далее нам остается исследовать случай d = 2. Начнем опять с малых значений n. При n = 2 и n = = 3 искомых турниров нет, при n = 4 есть (табл.2).

Таблица 2

Но при n = 5 построить турнир не получается. Докажем, что это действительно невозможно. Если набранные очки образуют арифметическую прогрессию с разностью 2, то их сумма делится на 5. Поскольку общее количество игр в турнире пяти команд равно десяти, получаем, что сумма набранных очков равна 30, если все игры завершились победой одной из команд, а каждая ничья уменьшает эту сумму на 1. Следовательно, вничью должно завершиться 0, 5 или 10 игр. Если ничьих нет, то количество очков у каждой команды кратно 3 и разность 2 невозможна, а при 10 ничьих все команды набирают по 4 очка. Рассмотрим случай 5 ничьих. Тогда общая сумма равна 25, т.е. команды должны набрать 9, 7, 5, 3 и 1 очко. Но набрать в четырех играх 9, 7, 5 и 1 очко можно единственным способом: соответственно, три победы и одно поражение; две победы, одна ничья и одно поражение; одна победа, две ничьи и одно поражение; одна ничья и три поражения. Так как суммарное количество побед должно равняться суммарному количеству поражений, у оставшейся команды побед и поражений должно быть поровну, что при 3 очках невозможно. Продолжив рассматривать малые значения n, убеждаемся, что при n = 6, n = 7 и n = 8 искомые турниры существуют (табл. 3, 4, 5).

Таблица 3

Упражнение 1. Проверьте это.

Теперь обобщим задачу и поставим следующий вопрос. М2419. В однокруговом футбольном турнире участвует n команд. За победу команда получает 3 очка, за ничью – 1 очко, за поражение – 0 очков. При каких

Поэкспериментировав еще с несколькими значениями n, можно сформулировать следующую гипотезу. 1) При всех четных n = 2m, $m \ge 2$, существует турнир, в котором команды набирают m – 1, m + 1, m + 3, …, 5m – 3 очков.

21

ЗАДАЧНИК

«КВАНТА»

Таблица 4

Таблица 5

Таблица 7

Операцию добавления двух команд можно провести для любого нечетного n. Пусть все старые команды, кроме двух последних, набирают против новых по 3 очка, а две последние – по одному, причем если остаток от деления n на 3 равен 0 или 2, то обе эти команды набирают свои очки против одной из новых команд, а если 1, то против разных команд. Тогда можно распределить очки между новыми командами так, что одна из них окажется на первом месте, а другая – на третьем с конца.

Упражнение 3. Докажите это.

2. При всех нечетных $n = 2m + 1, m \ge 3$, существует турнир, в котором команды набирают m – 1, m + + 1, m + 3, …, 5m – 1 очков. Докажем, что это действительно так. Начнем с четного случая. Поскольку мы уже построили турниры для 4, 6 и 8 команд, достаточно показать, как добавить к турниру 2k команд шесть новых команд. Пусть каждая из верхних k старых команд проигрывает первой новой команде и выигрывает у остальных пяти новых, а каждая из нижних k старых, наоборот, выигрывает у первой новой команды и проигрывает остальным пяти новым. Между собой новые команды играют, как в примере для 6 команд. Нетрудно убедиться, что в результате получится нужное распределение очков.

Упражнение 2. Сделайте проверку.

Перейдем к нечетному случаю. Для начала покажем, как добавить к турниру из семи команд еще две. Пусть новые команды играют со старыми так, как показано в таблице 6 (в верхней строчке очки, набранные старыми командами в играх между собой).

Таблица 6

Тогда у старых команд становится 17, 15, 13, 11, 9, 5 и 3 очка, а у новых – 19 и 4 очка. Если теперь первая новая команда A проиграет команде B, то получится искомый турнир для 9 команд. Добавим теперь к этому турниру еще две команды (табл.7). И опять пусть первая новая команда C проигрывает второй новой команде D. В результате получаем искомый турнир 11 команд.

Однако, поскольку у нас уже есть турниры для 7, 9 и 11 команд, проще действовать аналогично четному случаю и добавлять к турниру для 2k + 1 команды еще шесть новых команд. Пусть каждая из верхних k старых команд проигрывает первой новой команде и побеждает остальных, а каждая из k нижних, наоборот, выигрывает у первой новой и проигрывает пяти остальным. Наконец, пусть средняя старая команда проигрывает первым трем новым и выигрывает у трех остальных новых. Между собой новые команды пусть сыграют так, как показано в таблице 8.

Таблица 8

В результате получаем нужное распределение очков. Утверждение полностью доказано.

Упражнение 4. Убедитесь в этом.

Теперь можно подвести итог и дать полный ответ на поставленный вопрос: при d = 0 и d = 3 искомый турнир существует для всех n, при d = 1 – для всех n, кроме 2 и 3, при d = 2 – для всех n, кроме 2, 3 и 5. В заключение предлагаем подумать над тем, как изменится ответ, если вместо футбольных рассматривать турниры по другим видам спорта, например по волейболу, где при победе одной из команд со счетом 3:0 или 3:1 выигравшая и проигравшая команды получают 3 и 0 очков соответственно, а при счете 3:2 – 2 и 1. А.Заславский

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Задачи

Имеются 4 детали, каждая склеена из четырех кубиков и окрашена в свой цвет. Из них сложили кирпич размером 2 ¥ 2 ¥ 4 без дырок (как показано на рисунке). Как выглядит белая деталь? Фольклор

Семь девочек стоят в ряд, как показано на рисунке, и держат в руках конфеты. У девочек, которых вы видите справа от Тани, 13 конфет, справа от Ксюши – 33, справа от Ани – 23, справа от Иры – 8, справа от Вали – 27, справа от Нади – 16. Сколько конфет у Кати? Фольклор

Мальвина велела Буратино разрезать квадрат на 7 прямоугольников (не обязательно различных), у каждого из которых одна сторона в два раза больше другой. Выполнимо ли это задание? Фольклор

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6–8 классов. Задачи 1–3 публикуются совместно с журналом «Квантик», задачи 4 и 5 взяты из XIV Московской устной олимпиады по математике для 6–7 классов.

Иллюстрации Д.Гришуковой

Две гоночные машины – красная и зеленая – выехали из города А в город Б по одной и той же дороге, стартовав и финишировав одновременно. При этом зеленая машина ни разу не обгоняла красную. Могло ли быть так, что не менее 90% времени зеленая машина ехала быстрее красной? Фольклор

В магазине продают коробки карандашей. Среди них есть не менее пяти коробок разной цены (никакие две из них не стоят одинаково). Какие бы две коробки ни купил Вася, Петя всегда сможет также купить две коробки, потратив столько же денег. Какое наименьшее количество коробок карандашей должно быть в продаже? Н.Мартынова

23

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

ШКОЛЬНИКОВ

XXII Турнир математических боев имени А.П.Савина

XXII Турнир имени А.П.Савина прошел с 26 июня по 2 июля 2016 года на базе отдыха «Берендеевы Поляны» (Костромская область) для школьников, закончивших 6–9 классы. Подробнее об этих турнирах мы писали, например, в «Кванте» №1 за 2015 год. С вопросами об участии обращайтесь к председателю оргкомитета А.Д.Блинкову по электронной почте blinkov@mccme.ru.

Избранные задачи

1 (7). Стопку из девятнадцати листов бумаги согнули пополам и сшили двумя маленькими скрепками так, что получилась тетрадка. На «обложке» Саша нарисовал вертикальные и горизонтальные линии (от края до края, не задевая скрепок). Когда он разрезал тетрадку по этим линиям, она распалась на 2016 отдельных частей. Какое наименьшее количество линий мог провести Саша? А.Хачатурян

2 (7–8). Начав с некоторого натурального числа, Петя каждым шагом увеличивает или уменьшает его на какую-нибудь из его цифр (возможно, на цифру 0), строго чередуя сложение и вычитание. Первая операция – сложение. Из какого наименьшего натурального числа Петя может так получить 2016? А.Шаповалов

3 (8). В квадрат АВСD вписана окружность, которая касается сторон АВ и AD в точках K и М соответственно. Прямая CK вторично пересекает окружность в точке N. Найдите угол BMN. М.Волчкевич

4 (8). В остроугольном треугольнике ABC проведена биссектриса $BB '$. Точка N – пересечение описанной окружности треугольника ABB $'$ и внешней биссектрисы угла A, точка M – пересечение описанной окружности треугольника $BB ' C$ и внешней биссектрисы угла C. Прямая NM пересекает отрезок $BB '$ в точке K. Докажите, что описанные окружности треугольников ANK и CMK пересекаются на $BB '$. Л.Попов

В скобках после номера задачи указаны классы, в которых она предлагалась.

5 (8). В равностороннем выпуклом шестиугольнике шесть диагоналей между собой равны. Обязательно ли равны между собой все его углы? М.Евдокимов

6 (7–8). Можно ли разрезать куб на кубики 2016-ти различных размеров так, чтобы кубиков каждого размера было поровну? А.Шаповалов, И.Раскина

7 (7). Какое наименьшее количество полей шахматной доски нужно испачкать смолой, чтобы на чистые клетки нельзя было поставить пять не бьющих друг друга ладей? Е.Бакаев

8 (7–8). Клетки доски размером $10 \times 10$ заполнены числами. Четырехклеточный уголок назовем упорядоченным, если в этом уголке каждое из двух чисел, имеющих двух соседей, больше одного из своих соседей и меньше другого. Какое наибольшее количество упорядоченных уголков (возможно, перекрывающихся) может оказаться на доске? Е.Бакаев

9 (6–7). На столе лежит кучка из 55 орехов. Петя и Вася ходят по очереди, начинает Петя. За ход надо разделить одну из имеющихся кучек на две меньшие и добавить еще две кучки орехов, равные одной из полученных (запас дополнительных орехов неограничен). Кто не может сделать ход, платит штраф. Сможет ли кто-то из мальчиков играть так, чтобы наверняка не платить штраф? А.Шаповалов

10 (8). Равносторонний треугольник со стороной N разбит линиями, параллельными сторонам, на равносторонние треугольники со стороной 1. В вершине исходного треугольника стоит фишка. Петя и Вася играют в игру (начинает Петя). Каждым своим ходом разрешается сдвинуть фишку в соседний (находящийся на расстоянии 1) узел треугольной сетки, в котором фишка до этого не была. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто из мальчиков может гарантировать себе победу? Р.Крутовский

Материал подготовил А. Блинков

24

КВАНТ 2016/№4

Конкурс имени А.П.Савина

«Математика 7–9»

Мы начинаем очередной конкурс по решению математических задач. Они рассчитаны в первую очередь на учащихся 7-9 классов, но мы будем рады участию школьников всех возрастов. Высылайте решения задач, с которыми справитесь, не позднее 1 декабря 2016 года электронной почтой по адресу: savin.contest@gmail.com или обычной почтой по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» (с пометкой «Конкурс имени А.П.Савина»). Кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором вы учитесь, а также обратный почтовый адрес. Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в таком случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы. Желаем успеха!

1. Можно ли разложить несколько яблок по 10 тарелкам так, чтобы на любых двух тарелках было вместе либо 5, либо 8, либо 11 яблок, и все три варианта встречались? Если да, то сколько всего могло быть яблок? Укажите все возможности. О.Зайцева-Иврии

2. В трапеции ABCD точка M – середина боковой стороны CD. Докажите, что если точка M лежит на биссектрисе угла A, то она лежит и на биссектрисе угла B. Е.Бакаев

прежнем месте. Обязательно ли каждая вершина куба оказалась там, где была вначале? б) Тот же вопрос для правильного тетраэдра (все четыре грани – равносторонние треугольники). Фольклор

5. а) У каждого из 12 пиратов есть некоторое количество золотого песка. Они могут встречаться по двое или по трое; при встрече весь имеющийся у участников встречи песок делится поровну. Докажите, что пираты могут добиться, чтобы после нескольких встреч у всех было поровну песка.

6. Четыре логика A, B, C и D сидят за круглым столом в таком порядке (если двигаться по часовой стрелке). Девять карт одной масти (шестерка, семерка, …, король, туз) перемешали и четыре из них раздали логикам (каждому по карте). Все логики знают это, но каждый видит лишь свою карту. Логикам задали один и тот же вопрос: «Ваша карта старше, чем у вашего соседа справа?» После этого A, B, C и D по очереди (именно в таком порядке) сказали «не знаю». Какая карта у D? (Логики слышат ответы друг друга.) М.Евдокимов

7. а) Куб перекатывают по плоскости, поворачивая его вокруг ребер (без проскальзывания). После нескольких перекатываний куб оказался в точности на

Конкурс проводится совместно с журналом «Квантик».

б) Верно ли аналогичное утверждение для 13 человек, если разрешается встречаться в любом составе, только не всем вместе, и делить песок поровну? Фольклор

ИНФОРМАЦИЯ

Дни физики в Дубне

С 27 по 29 марта 2016 года в ДК «Мир» подмосковной Дубны проходили Дни физики, организованные Межшкольным физико-математическим факультативом и Учебно-научным центром Объединенного института ядерных исследований. Первое впечатление от происходящего в залах Дома культуры – хаотическое, броуновское движение. Очень много посетителей, в основном детей, перемещающихся, любопытствующих, переливающих жидкости, запускающих металлические шарики, наблюдающих оптические эффекты. Среди них можно заметить (по одинаковым футболкам) организаторов и волонтеров. К ним, как к магнитам, притягиваются стайки зрителей – подходят, слушают, пытаются повторить, переходят к следующим. И только после более детального знакомства с участниками праздника возникает аналогия с нейронной сетью – все так или иначе связаны с физической наукой, но каждый пришел к ней своим путем. Вот один из алгоритмов вовлечения в дубненский экспериментариум. Учитель физики московской школы 2086 В.В.Щавелев, осенью прошлого года побывавший на Школе для учителей в ЦЕРНе, приехал со своими учениками в Дубну демонстрировать опыты. Один из его учеников, Дима Григорьев, рассказал: «Мы с классом решили сделать неньютоновскую жидкость. Это крахмал, который смешан с водой в определенной пропорции. Молекулы крахмала скрепляются между собой, и если воздействовать на поверхность нашей жидкости, то возникает ощущение того, что соприкасаешься с твердым телом. А если опустить в жидкость руку, то она погружается. Получается интересный эффект». А на сцене малого зала расположились гости из Чехии, одной из гимназий Остравы. Восемь учеников девятых классов и с ними две учительницы русского языка демонстрировали опыты с плазменным шаром, объясняли процессы,

рассказывали о гимназии и заодно практиковались в русской речи. По общему мнению, инициатором Дней физики признан М.С.Нитишинский, преподаватель Факультатива. В этом году ему удалось вовлечь в круговорот математических задач и физических опытов школы Дубны, клуб будущих ученых, музей ОИЯИ, математический кружок, международную компьютерную школу, университет «Дубна», универсальную библиотеку. В программе праздника – демонстрация опытов старшими школьниками и «Тропа исследователей», где опыты предстоит делать ребятам самостоятельно, научное шоу с жидким азотом и математические бои, лекция по истории ускорителей, прочитанная вице-директором ОИЯИ членом-корреспондентом РАН Г.В.Трубниковым, и турнир по робототехнике. Ближайшие соратники М.С.Нитишинского – дубненские преподаватели физики И.А.Ломаченков и А.А.Леонович. По их мнению, с каждым годом на празднике появляются все новые и новые эксперименты, в работу вовлекаются все больше и больше волонтеров. Эта площадка не только помогает школьникам усваивать знания по предмету, здесь и учителя могут поделиться наболевшим, посоветоваться, «подсмотреть» новые приемы и методы. Дни физики в этом году проходили под эгидой 60-летия ОИЯИ. Большое число посетителей, дубненских и приезжих участников, разнообразных экспериментов свидетельствуют о том, что найден правильный вектор, правильная форма общения со школьниками. В каком-то смысле Дни физики – это проекция деятельности ОИЯИ на мир детей и подростков, знакомство с моделью международного научного центра, когда научный поиск происходит в содружестве ученых из разных организаций. Материал подготовила Г.Мялковская, фото представила Е.Пузынина

46

КВАНТ 2016/№4

к прямой $BC '$, проведенный через точку L, и прямая AB образуют треугольник $\Delta$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника $\Delta$, касается окружности Ω.

М.Кунгожин

11 класс

1. См. задачу 1 для 10 класса.

2. В пространстве даны три отрезка $A_{1} A_{2}, B_{1} B_{2}$ и $C_{1} C_{2}$, не лежащие в одной плоскости и пересекающиеся в одной точке P. Обозначим через $O_{ijk}$ центр сферы, проходящей через точки $A_{i}, B_{j}, C_{k}$ и P. Докажите, что прямые $O_{111} O_{222}, O_{112} O_{221}, O_{121} O_{212}$ и $O_{211} O_{122}$ пересекаются в одной точке.

П.Кожевников

3. На клетчатый лист бумаги размера $100 \times 100$ положили несколько попарно неперекрывающихся картонных равнобедренных прямоугольных треугольничков с катетом 1; каждый треугольничек занимает ровно половину одной из клеток. Оказалось, что каждый единичный отрезок сетки (включая граничные) накрыт ровно одним катетом треугольничка. Найдите наибольшее возможное число клеток, не содержащих ни одного треугольничка.

Д.Храмцов

4. В координатном пространстве провели все плоскости с уравнениями $x \pm y \pm z = n$ (при всех целых n). Они разбили пространство на тетраэдры и октаэдры. Пусть точка $( x_{0}, y_{0}, z_{0} )$ с рациональными координатами не лежит ни в одной проведенной плоскости. Докажите, что

найдется натуральное k, при котором точка $( kx_{0}, ky_{0}, kz_{0} )$ лежит строго внутри некоторого октаэдра разбиения.

А. Глазырин

5. Пусть n – натуральное число. На 2n + 1 карточках написано по ненулевому целому числу; сумма всех чисел также ненулевая. Требуется этими карточками заменить звездочки в выражении ∗ $x^{2} n +$ ∗ $x^{n} -^{1} +$ … + ∗ x + ∗ так, чтобы полученный многочлен не имел целых корней. Обязательно ли это можно сделать?

И.Богданов

6. В стране есть n > 1 городов, некоторые пары городов соединены двусторонними беспосадочными авиарейсами. При этом между любыми двумя городами существует единственный авиамаршрут (возможно, с пересадками). Мэр каждого города X подсчитал количество таких нумераций всех городов числами от 1 до n, что на любом авиамаршруте, начинающемся в X, номера городов идут в порядке возрастания. Все мэры, кроме одного, заметили, что их результаты подсчетов делятся на 2016. Докажите, что и у оставшегося мэра результат также делится на 2016.

Ф.Петров

7. См. задачу 8 для 9 класса.

8. В треугольнике ABC медианы $AM_{A}, BM_{B}$ и $CM_{C}$ пересекаются в точке M. Построим окружность $Ω_{A}$, проходящую через середину отрезка AM и касающуюся отрезка BC в точке $M_{A}$. Аналогично строятся окружности $Ω_{B}$ и $Ω_{C}$. Докажите, что окружности $Ω_{A}, Ω_{B}$ и $Ω_{C}$ имеют общую точку.

А. Якубов

Победители олимпиады

9 класс

Абдрахманов Марат – Челябинск, ФМЛ 31, Крымский Станислав – Санкт-Петербург, Академический лицей ФТШ, Ложкин Михаил – Ижевск, ИЭМЛ 29, Герасименко Артур – Москва, школа 2086, Рябов Егор – Москва, школа 2086;

10 класс

Дмитриева Мария – Москва, лицей «Вторая школа», Вирачев Арсений – Санкт-Петербург, Президентский ФМЛ 239, Мигрин Виктор – Санкт-Петербург, Президентский ФМЛ 239, Жуков Матвей – Санкт-Петербург, Президентский ФМЛ 239, Ягудин Амир – Казань, лицей 131, Богданова Екатерина – Москва, Школа 1329, Глуховский Даниил – Москва, Центр образования «Пятьдесят седьмая школа», Долгих Сергей – Рыбинск, лицей 2, Новиков Михаил – Новосибирск, лицей 9,

Рыбин Дмитрий – Екатеринбург, Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н.Ельцина, Шубин Яков – Набережные Челны, гимназия 26, Ярцев Дмитрий – Челябинск, ФМЛ 31, Добронравов Никита – Новосибирск, Лицей 130 имени академика М.А. Лаврентьева;

11 класс Фролов Иван – Москва, школа 1329, Салимов Руслан – Москва, школа 1329, Османкин Евгений – Новороссийск, гимназия 5, Юргин Григорий – Москва, лицей «Вторая школа», Вепрев Георгий – Рыбинск, лицей 2, Карагодин Никита – Санкт-Петербург, Президентский ФМЛ 239, Алексеев Ярослав – Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский губернаторский ФМЛ 30.

Публикацию подготовили Н.Агаханов, И.Богданов, П.Кожевников, О.Подлипский

52

КВАНТ 2016/№4

Рис. 4

ней), определите среднюю дистанцию s между автомобилями при скорости потока v и постройте график зависимости s ( v ). Для упрощения можете считать, что все машины следуют с одинаковой скоростью и имеют одинаковую длину L = 4 м. Примечание. Интенсивностью движения n называется количество автомобилей, проезжающих мимо неподвижного наблюдателя в единицу времени.

М.Замятнин

8 класс

Задача 1. Велосипед и катер От пристани А к пристани Б вниз по течению реки стартует катер, а одновременно с ним по берегу стартует велосипедист, который движется неравномерно. Расстояние между пристанями L = 5 км. Капитану катера передается информация о скорости велосипедиста, и он, моментально реагируя, поддерживает скорость катера относительно воды равной скорости велосипедиста. Доплыв до пристани Б, катер быстро разворачивается и встречает велосипедиста на расстоянии s = 4 км от пристани А. На сколько дольше катер плыл по течению реки, чем против течения до встречи с велосипедистом? Скорость течения реки u = 5 км/ч.

Д.Подлесный

Задача 2. График с вареньем При производстве варенья в большой бак постепенно наливают сироп. В первую порцию, имеющую плотность $\rho_{1}$, добавляют вторую, плотность которой $\rho_{2}$, затем третью с плотностью $\rho_{3}$. На графике (рис.5) показано, как изменяется средняя плотность находящегося в баке

Юный экспериментатор сиропа по мере заполнения бака. К сожалению, на график капнули готовым вареньем, и часть информации пропала. Найдите массу каждой порции сиропа. До какого объема $V_{0}$ был заполнен бак к тому моменту, когда средняя плотность содержимого составила $\rho_{0} = 1250$ кг $м^{3}$?

М.Замятнин

Задача 3. Эврика Говорят, что однажды Архимед, найдя точку опоры, приподнял себя вместе с ванной, используя систему блоков (рис.6). Масса ванны с водой M = 120 кг, масса Архимеда m = = 90 кг. Чему равна «сила Архимеда» – сила, которую Архимед прикладывал к веревке при подъеме? Какая $ми-^{Рис.} 6$ нимальная часть объема Архимеда могла при этом находиться над водой? Считайте среднюю плотность Архимеда примерно равной плотности воды. Трением в осях блоков, массой блоков и веревки можно пренебречь. Ускорение свободного падения g = 10 Н/кг.

М.Замятнин

Рис. 5

Задача 4. Термоглюк Черникова Экспериментатор Глюк собрал демонстрационный термометр (рис.7). Для этого он взял стеклянную колбу с вставленной в нее тонкой трубкой, площадь поперечного сечения которой $S = 25 мм^{2}$. Колбу экспериментатор заполнил до самого верха подкрашенным спиртом, имеющим комнатную температуру $t_{0}$. После погружения $в_{Рис.} 7$