Квант 2017, №4 · Страницы

3

РЕШЕТКИ

И

ПРАВИЛЬНЫЕ

МНОГОУГОЛЬНИКИ

$2^\circ$ (лемма о четвертой вершине параллелограмма). Если три вершины параллелограмма являются узлами некоторой решетки, то и четвертая вершина тоже узел этой решетки. $3^\circ$. Если через произвольные два узла Q и R решетки провести прямую, то эта прямая пройдет через бесконечное количество узлов (см. рис.1). При этом все расстояния между соседними узлами, лежащими на прямой, будут равны. $4^\circ$. Если параллелограмм с вершинами в узлах некоторой решетки не содержит других узлов на сторонах и внутри себя, то он эту решетку порождает.

Упражнения

1. Докажите свойства $1 ^\circ - 4 ^\circ. 2.$ Пусть а и b – любые действительные числа. Докажите, что множество всех точек с координатами (ka, lb), где k и l – целые числа, является решеткой.

Важное свойство решеток отражает следующая задача:

23 апреля 2017 года ушел из жизни Андрей Александрович Егоров, замечательный математик, педагог и человек. Большую часть своей творческой жизни он проработал в журнале «Квант» и в Колмогоровском интернате (ныне СУНЦ), щедро делясь с читателями и учениками глубоким пониманием и ярким видением любимой науки. Более сорока лет Андрей Александрович писал статьи для нашего журнала, четверть века состоял в его редакционной коллегии, без малого двадцать лет руководил отделом математики. Его статьи и книги помогли становлению и развитию многих будущих математиков, школьные учителя и вузовские педагоги еще много лет будут с благодарностью вспоминать Андрея Александровича и активно использовать его творческое наследие. Мы же, работавшие рядом с Андреем Александровичем, будем всегда помнить глубокого профессионала, яркого, остроумного, широко эрудированного челове-

Рис. 3

В некотором узле А решетки находится охотник, а в остальных узлах сидят одинаковые и одинаково расположенные зайцы (рис.3). Охотник наугад стреляет (траектория пули – луч, выходящий из точки А). Вернется ли он домой с добычей? (Зайцы считаются «толстыми».)

Андрей Александрович Егоров (11.10.1939–23.04.2017) ка, который помнил (с точностью до даты) множество историй и всегда был готов их рассказать. Он был настоящим другом, готовым всегда прийти на помощь. Нам будет очень его не хватать. Редакция и редакционная коллегия журнала «Квант»

4

КВАНТ 2017/№4

Понятно, что если траектория пули проходит через узел, отличный от точки А, то заяц, сидящий в этом узле, будет убит. Поэтому интересен только тот случай, когда узел А – единственный на траектории пули; оказывается, что и в этом случае какой-нибудь заяц будет убит. Доказательство содержится в следующей лемме. $5^\circ$ (лемма об охотнике и зайцах). Пусть луч l проходит через узел А некоторой решетки. Тогда найдется такой узел, расстояние от которого до луча l будет меньше любого наперед заданного числа $\varepsilon$.

Доказательство. Обозначим точки пересечения луча l с наклонными прямыми сетки через $A_{0} = A, A_{1}, A_{2},^{…}, A_{n},^{…}$ (см. рис. 3,а). Совместим все параллелограммы, на правых сторонах которых лежат эти точки, с параллелограммом ABCD, тогда каждая точка $A_{n}$ перейдет в некоторую точку $A_{n} '$ на стороне ВС (см. рис. 3,б). Для любого $\varepsilon > 0$ найдутся такие точки $A '_{m}$ и $A '_{m} +_{k}$, что расстояние между ними будет меньше $\varepsilon$.

Докажите теперь, что расстояние от точки $A_{k}$ до одного из узлов решетки меньше $\varepsilon$ (в частности, если $A '_{m}$ совпадает с $A '_{m} +_{k}$, то $A_{k}$ будет узлом решетки). Следствие. Для любого иррационального числа $\alpha > 0$ и любого положительного $\varepsilon$ найдутся такие натуральные m и n, что $m \alpha - n < \varepsilon$.

Доказательство. Выберем на плоскости декартову систему координат и проведем прямую $y = \alpha x$. В силу иррациональности $\alpha$, единственной точкой с целочисленными координатами на этой прямой будет начало координат. Прямая $y = \alpha x$ пересекает каждую вертикальную прямую х = m в точке $( m, m\alpha )$. По лемме $5^\circ$ найдется такой узел ( m, n ) целочисленной решетки, что расстояние (по вертикали) от него до точки $( m, m\alpha )$ будет меньше $\varepsilon$, что и требовалось доказать.

Легко видеть, что среди всевозможных попарных расстояний между узлами любой решетки есть наименьшее (докажите!). Это свойство вместе со свойством $2^\circ$ решетки можно принять за определение решеток.

Теорема. Пусть множество М на плоскости обладает следующими свойствами: а) расстояние между любыми двумя его точками не меньше некоторого положительного числа d; б) если три точки А, В, С множества М являются вершинами некоторого параллелограмма ABCD, то и четвертая вершина D этого параллелограмма принадлежит множеству М. Тогда М – решетка.

Доказательство. Возьмем произвольную точку B, принадлежащую множеству М. Пусть А – ближайшая к В точка из М (рис.4,а; такая точка существует, так как все попарные расстояния между точками множества М больше d).

Рис. 4

Через точки А и В проведем прямую. Среди точек множества М, не лежащих на этой прямой, выберем ближайшую к точке В – точку С – и построим параллелограмм ABCD. В силу свойства б), точка D также принадлежит множеству М. Построим решетку, порождаемую параллелограммом ABCD. Докажем, что множество М совпадает с построенной решеткой. Из свойства б) множества М следует, что все узлы этой решетки ему принадлежат. Упражнение 3. Докажите это. Поэтому нужно только проверить, что ни на границе, ни внутри параллелограмма ABCD нет точек множества М, отличных от его вершин. Это почти очевидно: если точка S лежит внутри параллелограмма (рис.4,б), то хотя бы один из углов ASB, BSC, CSD и ASD будет

Тени сверкающего снега

В.ПТУШЕНКО

ДВА МЕСЯЦА НАЗАД МНЕ ДОВЕЛОСЬ опубликовать фотографии одного необычного природного явления – снежных теней («Наука и жизнь», 2017, №2), которые неожиданно вызвали большой интерес как знакомых, так и незнакомых мне людей. Например, на одном из «научных форумов» в интернете разгорелась бурная дискуссия о природе явления, о чем я узнал от участников форума, разыскавших меня для уточнения деталей – погодных условий, места и времени наблюдения. Мне показалось, что было бы полезно рассмотреть хотя бы некоторые из гипотез, высказанных интересующимся наукой сообществом. Полезно как для понимания самого явления, оказавшегося столь увлекательным, так и в качестве некоторого примера «затравки» для будущих исследований, которые отважатся провести читатели, не удовлетворенные лишь обменом мнениями и готовые потратить соб-

ственное время в поисках научной истины. В качестве источников необходимых для расчетов физических величин будут использованы лишь доступные в интернете издания, чтобы подчеркнуть, насколько не требующим какого-либо подвига является предлагаемый здесь анализ. Многие вариации предложенных участниками обсуждения механизмов формирования «отпечатка» на снегу (см. приведенные в статье и на четвертой странице обложки фотографии) можно свести к четырем основным гипотезам. 1) Картина на снегу – это запечатленная настоящая тень: неожиданно выглянувшее солнце растопило (нагрело) снег на всей поверхности поля, кроме тех участков, на которые падала тень. После этого началась поземка, и снежинки прилипали к более теплому снегу на поле, но не прилипали к холодному снегу в тени. 2) Вторая гипотеза также рассматривает

11

ТЕНИ

СВЕРКАЮЩЕГО

неравномерный прогрев поверхности снега солнцем, но предполагает иной механизм визуализации возникающего распределения температур: на солнце снег спекся, образовав ледяную корочку, и в дальнейшем ее выветривание происходило медленнее, чем не спекшихся участков в тени. 3) Третья гипотеза тоже видит причину в неравномерном нагреве поверхности снега, но в момент снегопада: с двух сторон от затененной поверхности, на границе более теплого и более холодного снега, возникают восходящие конвективные потоки воздуха, которые не дают снежинкам опуститься в область тени. 4) Наконец, четвертая гипотеза приписывает образование этой картины отражению солнечного света от веток и стволов (как солнечный зайчик, который, упав на снег, растапливает его) или же тепловому излучению нагретых солнцем стволов и веток. Первые три гипотезы предполагают механизмы, которые включают один общий элемент: неравномерный нагрев поверхности снега. Вот его, этот нагрев, мы и попытаемся оценить. Для этого нам потребуются следующие данные, которые легко найти в физических справочниках: интенсивность солнечного излучения вблизи поверхности Земли без учета ослабления атмосферой (так называемая солнечная постоянная), степень ослабления излучения в атмосфере, склонение солнца, альбедо снега (доля отраженного им света), а также некоторые характеристики теплообмена для снега, о которых мы скажем ниже. Оценим энергию Е солнечного света, падающую на единицу горизонтальной поверхности земли в единицу времени в безоблачный день в конце февраля на широте Москвы (время и место, когда и где наблюдалось это явление; рис.1): $E = E_{0} a_{атм}$ sin h,

где $E_{0} = 1367$ Вт $м^{2}$ – сол-

СНЕГА

Рис. 1

нечная постоянная, h – угловая высота солнца над горизонтом, $a_{атм}$ – степень ослабления солнечного света при прохождении в атмосфере, зависящая от h. Наибольшая высота, а следовательно, максимальное значение E наблюдается в полдень, когда $h = 90 ^\circ - \phi + \delta$, где $\phi$ – широта места, $\delta$ – склонение солнца. Широта Москвы $\phi = 56 ^\circ$, склонение солнца в момент наблюдения $\delta \approx - 8 ^\circ$ [1], т.е. $h \approx 26 ^\circ$, и при этой высоте $\alpha_{атм} \approx 0,5$ [2]. Таким образом, $E \approx \approx 300$ Вт $м^{2}$. Приняв альбедо снега равным 0,9 [3], получим, что $1 м^{2}$ за 1 с поглощает около 30 Вт солнечной энергии. Эта энергия может приводить к нагреву снежного покрова, который отчасти компенсируется ее оттоком от поверхностного слоя снега за счет теплообмена с нижними слоями и с воздухом. Какую часть энергии способен отвести воздух? Теплопередача на границе сред

14

КВАНТ 2017/№4

освещенной половинки) не будет превышать 5 Вт, что даст около 0,4 Вт $м^{2}$ в области кончика тени – т.е. несравненно ниже, чем интенсивность солнечного излучения! Что же касается направленности, то ее будет недостаточно не только для создания узкой тени с четкими концами, но и вообще для сколько-нибудь структурированного изображения. В завершение выскажу и одну «позитивную» идею – чем, на мой взгляд, все-таки можно было бы объяснить наблюдаемое явление. Мне самому наиболее вероятной кажется такая простая гипотеза: наблюдаемые «тени» – это именно тени от снегопада. В русском языке утвердилось словосочетание «косой дождь» (например, у Маяковского: «По родной стране пройду стороной, как проходит косой дождь»), а вот понятия «косой снег» или «косой снегопад», пожалуй, не встречаются. Тем не менее, мне кажется, это может быть след именно от такого снегопада. Как можно было бы подтвердить или опровергнуть эту гипотезу? Здесь можно двигаться с двух сторон, «встречными путями». Можно попытаться доказать, что такое движение мелких частиц – снежинок – в воздухе (т.е. прямолинейное, или, по крайней мере, лежащее в одной вертикальной плоскости) невозможно ни при каких условиях. А можно, наоборот, попытаться продемонстрировать такое движение хотя бы одним примером. При этом задача распадется на две части. Первая часть, условно назовем ее «физической», – показать, что при некотором наборе физических условий (скорость ветра, размер частиц, температура и т.п.) такое движение возможно. И не менее важная вторая часть, «метеорологическая», – показать, что такие физические параметры в принципе могут реализоваться в природе во время снегопада. Разумеется, эти пути – не заменяющие, а дополняющие друг друга, и на каком из них ждет удача, зависит не от нас, а от действительной природы явления. Однако первый из этих двух путей требует выйти далеко за пределы «школьной» физики, в то время как второй путь, как мне кажется,

может оказаться не только посильной, но и весьма увлекательной задачей даже для школьника. Поэтому для тех, кому это вдруг покажется интересным, я дам несколько советов, как можно было бы провести такую работу и какие проблемы при этом придется решать. Прежде всего, надо понимать, что в реальных условиях домашней лаборатории придется работать, скорее всего, не в точности с той физической системой, которая нас интересует, а с некоторой ее моделью, т.е. с чем-то, что было бы наибольшим образом похоже на нее по основным параметрам. Так, едва ли вам удастся раздобыть снежную пушку. Но даже если вы и станете ее счастливым обладателем, то вряд ли сможете в достаточно широких пределах варьировать создаваемую ею скорость ветра и размер частиц. А значит, вам придется работать с какими-то другими частицами, взвешенными в воздухе. В домашних условиях проще всего экспериментировать с капельками воды – их потоки можно получить с помощью и увлажнителя воздуха, и пульверизатора, и, в крайнем случае, кипящего чайника. Пульверизатор даст более крупные капли, чем увлажнитель, причем по-разному настроенные пульверизаторы дадут разные размеры капель, т.е. в некоторых пределах можно будет подобрать необходимый. «Модельность» эксперимента будет заключаться не только в другом материале частиц, но и в геометрических размерах системы: размеры кустов, деревьев и их теней, показанных на фотографиях, явно превосходят размер если не квартиры, то допустимого для эксперимента рабочего места. Надо будет работать с уменьшенными моделями и нужно будет выбрать правильный размер. От слишком мелких фигурок с использованием относительно крупных капель не удастся получить четкие тени. А большие фигурки потребуют однородности создаваемого вами потока на большей площади и большем расстоянии. Так что нужно будет найти компромиссный размер. Кстати, все перечисленные источники «летящего тумана» дают вовсе не параллельный поток, а расходящийся из

17

ЗАДАЧНИК

Рис. 1

Ф2467. При подведении теплоты количества Q = 600 Дж к смеси гелия и азота при постоянном объеме смесь нагревается на $\Delta T_{1} = 15$ К. А если то же количество теплоты подвести к тому же количеству той же смеси при постоянном давлении, то температура смеси повысится на $\Delta T_{2} = = 10$ К. Найдите отношение числа молекул азота к числу молекул гелия в смеси.

Ф2468. В электрической цепи, изображенной на рисунке 2, все элементы можно

Рис. 2

считать идеальными. В некоторый момент после замыкания ключа тепловые мощности, выделяющиеся на резисторах с сопротивлениями R и 2R, равны $P_{1} = 9$ Вт и $P_{2} = 2$ Вт соответственно. С какой скоростью в этот момент растет энергия конденсатора?

Решения задач М2446–М2449, Ф2453–Ф2456

M2446. а) Десяти ребятам положили в тарелки по 100 макаронин. Есть ребята не хотели и стали играть. Одним действием кто-то из детей перекладывает из своей тарелки по одной макаронине всем другим детям. После какого наименьшего количества действий у всех в тарелках может оказаться разное количество макаронин? б) Тот же вопрос, если ребят 100 и одним действием кто-то из детей перекладывает из своей тарелки по одной макаронине некоторым (кому хочет) из остальных.

«КВАНТА»

а) Ответ. После 45 действий. Оценка. Рассмотрим разность числа макаронин у двух детей, скажем из числа Пети вычитается число Васи. Действие Пети уменьшит эту разность на 10, Васи – увеличит на 10, а действия других детей не меняют ее. Поэтому эта разность будет ненулевой тогда и только тогда, когда Петя и Вася сделают разное количество действий. Следовательно, чтобы у всех детей оказалось разное количество макаронин, необходимо сделать хотя бы 0 + + 1 + 2 + … + 9 = 45 действий. Пример. Первый сделает одно действие, затем второй – 2, третий – 3 и т.д. до девятого включительно. Каждый отдал не более 9 ◊ 9 = 81 макаронины, его исходных 100 макаронин на это хватило. б) Ответ. После 50 действий. Пример. Покажем, как количества макаронин могли стать различными после 50 действий. Занумеруем детей от 1 до 100. Пусть k-й ребенок, где 1 £ k £ 50, переложит по макаронине ребятам с номерами от 51 до 50 + k. После всех действий у детей окажется 99, 98, …, 50, 150, 149, …, 101 макаронина соответственно. Оценка. Предположим, было сделано не более 49 действий. Рассмотрим всех детей, не отдававших макароны, таких детей не меньше 51. У каждого из них количество макаронин не уменьшилось по сравнению с начальным, а увеличиться оно могло не более чем на 49. Значит, у каждого из таких детей конечное количество макаронин заключено в диапазоне от 100 до 149 (50 возможностей), поэтому из них найдутся двое с одинаковым количеством макаронин. С.Дориченко, Н.Чернятьев

M2447. Решение этой задачи см. в статье А.Заславского «О вписанной окружности прямоугольного треугольника».

M2448. На прямой отмечены 100 точек, и еще одна точка отмечена вне прямой. Рассмотрим все треугольники с вершинами в этих точках. Какое наибольшее количество из них могут быть равнобедренными?

18

КВАНТ 2017/№4

Ответ. 150. Пусть l – данная прямая, O – отмеченная точка вне ее, H – основание перпендикуляра, опущенного из O на l. Оценка. Равнобедренные треугольники могут быть двух видов: те, у которых основание лежит на прямой l, и те, у которых не лежит. В первом случае треугольник должен быть симметричен относительно OH, поэтому таких треугольников не больше 50 (для одной вершины X основания вторая определяется однозначно как симметричная точке X относительно OH). Треугольников второго вида с данным основанием OA может быть не более одного, так как вершина определяется пересечением l и серединного перпендикуляра к OA. Поэтому треугольников второго вида не больше 100. Пример. Проведем от луча OH лучи под углом $18\infty$ (см. рисунок). Они пересекут l в точках $A_{1}$ и $B_{1}$, отметим их. Отложим на l в другую сторону от $A_{1} B_{1}$ отрезок $A_{1} A_{2} = A_{1} O$, тогда у треугольника $OB_{1} A_{2}$ углы будут равны $72\infty, 72\infty, 36\infty$. Затем отложим отрезок $A_{2} A_{3} = A_{2} O$, …, отрезок $A_{49} A_{50} = A_{49} O$. Аналогично отметим точки $B_{2}$, … $, B_{50}$. Равнобедренными будут 50 треугольников $OA_{i} B_{i}$, по 49 треугольников $OA_{i} A_{i} +_{1}$ и $OB_{i} B_{i} +_{1}$, а также треугольники $OA_{1} B_{2}$ и $OB_{1} A_{2}$. Другая идея, приводящая к решению, – выполнить инверсию с центром O. При инверсии прямая перейдет в окружность, и мы получим вписанный 101-угольник, одна из вершин которого – точка O. Если X¢ и Y¢ – образы при инверсии точек X и Y, то треугольники OXY и OY ¢ X ¢ подобны. Значит, вопрос задачи переформулируется следующим образом: каково наибольшее количество равнобедренных треугольников среди треугольников вида OXY, где X и Y – вершины 101-угольника? Одним из оптимальных примеров

будет являться правильный 101-угольник. Е.Бакаев, И.Богданов

M2449 *. На прямой сидит конечное число лягушек в различных целых точках. За ход ровно одна лягушка прыгает на 1 вправо, причем лягушки по-прежнему должны находиться в различных точках. Мы вычислили, сколькими способами лягушки могут сделать n ходов (для некоторого начального расположения лягушек). Докажите, что если бы мы разрешили тем же лягушкам прыгать влево, запретив прыгать вправо, то способов сделать n ходов было бы столько же.

Назовем шаблоном последовательность из n команд «Налево» или «Направо», где k-я команда указывает, в каком направлении на k-м ходу должна прыгнуть одна из лягушек. Докажем более общее утверждение: количество способов из данной позиции сделать n ходов (выполняя команды) так, чтобы лягушки не запрыгивали друг на друга, не зависит от шаблона. (Утверждение задачи тогда является частным случаем для шаблона, состоящего из одних команд «Направо», и шаблона, состоящего из одних команд «Налево».) Лемма 1. Изменение последней команды шаблона не меняет количество способов. Доказательство. Рассмотрим произвольную позицию перед последним ходом. Каждая позиция разбивается на группы подряд сидящих лягушек. Количество способов получить из нее финальную позицию независимо от последней команды шаблона равно количеству групп, поскольку из каждой группы только одна лягушка может прыгнуть влево и одна – вправо. Лемма 2. Замена двух соседних команд шаблона не меняет количество способов. Доказательство. Пусть два шаблона отличаются только в ходах k и k + 1, так что в первом шаблоне k-я команда – «Налево» и (k + 1)-я – «Направо», а во втором шаблоне – наоборот: k-я команда – «Направо» и (k + 1)-я – «Налево». Рассмотрим произвольную позицию A перед k-м ходом. Покажем, как сопоставить каждому способу сделать два следу-

28

КВАНТ 2017/№4

Какие бывают опоры

С.ДВОРЯНИНОВ

О– ЛЭП. Пусть столбы такой линии стоят на равных расстояниях один от другого вдоль прямой линии. И вдруг у очередного столба с левой стороны появляется дополнительная наклонная балка (рис.3). Как вы думаете, куда поворачивает в этом месте ЛЭП – направо или налево?

Рис. 1

Рис. 3

(рис.2), порой весьма значительное. Отметим, что плотины и дамбы – это те же опорные стенки. Разнообразные опоры удерживают провода линий электропередачи, сокращенно

Рассмотрим опоры, стоящие вдоль прямой. Каждую такую опору подходящие к ней провода тянут в разные стороны. При этом действующие на опору силы уравновешивают друг друга. Результирующая всех сил, приложенных к опоре, равна нулю. При повороте подвешенные провода создают силу, которая приложена к опоре и направлена в сторону поворота (она получается по правилу параллелограмма и не равна нулю). Дополнительная опора препятствует действию этой силы. Если дополнительная опора появилась слева по ходу, значит, ЛЭП в этом месте поворачивает налево. Опоры бывают и у мостов, соединяющих берега реки. Если река широкая и одного пролета моста не хватает, то два соседних пролета помещают на опору, называемую быком. Бык воспринимает нагрузку от этих пролетов. На рисунке 4 вы видите знаменитый

ПОРЫ БЫВАЮТ РАЗНЫЕ. НАПРИ- мер, подпорная стенка – распространенный элемент многих строительных конструкций. Часто они встречаются в горах (рис.1). Подпорные стенки поддерживают также берега рек и защищают их от размывания. Расположенный выше стенки грунт оказывает на стенку давление

Рис. 2

Природа позаботилась, чтобы деревья не росли до неба. Немецкая пословица

«Почему яблоко всегда падает отвесно вниз, к земле, а не в сторону или вверх?» Исаак Ньютон (по легенде)

… гнилушка светилась…даже ярче, чем «вяленая треска»; к тому же она считала себя последним остатком дерева, которое некогда было красой всего леса. Ханс Кристиан Андерсен

Будем ли мы говорить о питании корня за счет веществ, находящихся в почве, будем ли

говорить о воздушном питании листьев за счет атмосферы… – везде для объяснения мы будем прибегать к тем же причинам: диффузия. Климент Тимирязев

…верхушки корешков…наделены способностью получать сигналы от какого-то чувствительного органа и, подобно мозгу какого-нибудь низшего животного, направлять движение прилегающих частей. Чарльз Дарвин

…растения способны к обработке информации, только совершенно своеобразными способами и в совершенно ином временн ó м темпе. Стэйси Хармер

А так ли хорошо знакомы вам

?

физика+флора

Чем только не обязаны мы растительному миру, т.е. флоре: и насыщением воздуха кислородом, и предоставлением на протяжении тысячелетий крова и пищи животному миру. Человечество всегда искало и совершенствовало способы все более интенсивного овладения природой для удовлетворения все более возрастающих насущных нужд. Однако не только – легендарное ньютоновское яблоко стало плодом с древа познания, растительным символом стремления проникнуть в секреты устройства и функционирования окружающего нас мира. Безусловно, физика – и сама по себе, и в содружестве с другими естественными науками – внесла свой вклад в разгадку тайн природы, кроящихся в обитателях лесов, полей, рек и морей. Ученых вели и любознательность, и все возрастающая тревога за сохранение условий нашего существования, в том числе и флоры. Возможно, вы найдете отражение этих проблем и в сегодняшней подборке «растительных» сюжетов.

Вопросы и задачи

1. В Юго-Восточной Азии кокосовые орехи попадают с острова на остров, «пройдя»

порой десятки километров. Каким образом это им удается? 2. Что позволяет плодам и семенам многих растений преодолевать большие расстояния воздушным путем? 3. Почему все альпийские растения низкорослы? 4. Листья некоторых растений имеют складчатую форму, а лепестки цветов сворачиваются в трубочку. Чем это можно объяснить? 5. Почему в бурю ель вырывается с корнем, а у сосны ломается ствол? 6. Сильный ветер может сломать или вырвать с корнем дерево, но лишь пригибает к земле стебли злаковых, например ржи или овса. Отчего? 7. Стебли подводных растений намного тоньше наземных, однако могут достигать в длину десятки метров. Как они держатся под водой в вертикальном положении? 8. Почему нежелательны всякие ограничения свободной поверхности воды в стоячих водоемах? 9. Какую роль играет восковой налет на поверхности листа и почему стог сена даже при дожде остается сухим? 10. Так что же все-таки препятствует росту деревьев «до неба»?

312,3х208

11. Стоит насекомому присесть на лист растения-хищника, как его створки быстро захлопываются и насекомое становится жертвой хищника. Что способствует быстроте реакции растения? 12. Когда солнце начинает припекать, листья деревьев в верхних ярусах располагаются почти вертикально. Чем это объясняется? 13. Почему перед заморозком рассаду помидоров и огурцов следует обильно поливать? 14. Известно, что в жаркий солнечный день растения не следует поливать – капли воды оставляют на листьях коричневые пятна. Как они возникают? 15. Чем биолюминесценция грибов-гнилушек отличается от свечения животных? 16. Если листья растений наблюдать при свете синей лампы, то зеленые листья кажутся малиново-красными. Почему? 17. Отчего самые глубокие водоросли имеют красный цвет?

Микроопыт

Приложите в жаркий день к щеке лист растения. Что вы почувствуете? Почему?

Любопытно, что…

…еще в XVII веке английский физик и химик Роберт Бойль установил, что свечение гниющей древесины прекращается без воздуха и снова возобновляется в воздушной среде, а именно в присутствии кислорода. …нидерландский ученый Якоб Вант-Гофф, один из основоположников физической химии и первый Нобелевский лауреат по химии, в 1887 году объяснил природу осмоса, распространив законы идеальных газов на разбавленные растворы, что привело к пониманию механизма питания растений почвенными водами. …листья Виктории королевской (семейство кувшинковых), растущей у берегов Амазонки, достигают двух метров в поперечнике и пронизаны множеством толстых жилок, благодаря чему настолько крепки, что могут выдержать вес взрослого человека. …В 1729 году ученый секретарь Парижской академии наук Жан Жак де Мэран сообщил о замечательном наблюдении. Фасоль, опускающая ночью листья, а перед рассветом поднимающая их, продолжала эти циклические движения и в полной темноте. Наличие у растений «внутренних часов» впоследствии было подтверждено множеством опытов и оказалось связанным с внутриклеточными периодическими процессами. …загадка поворота вслед за солнцем молодых подсолнухов получила разрешение в работе калифорнийских ученых. Утренний свет улавливается фоторецептором растения, передающим сигнал «биологическим часам», который управляет попеременным ростом теневой и нагретой стороны ствола. …так называемый «бешенный огурец» – растение, при созревании выстреливающее на 6–8 метров струю липкого сока, смешанного с семенами, – накапливает внутри плода газы, давление которых перед «выстрелом» достигает 3 атмосфер! …стебли бамбука, устремляющиеся ввысь до 35 метров, по своей легкости и прочности не уступают многим строительным материалам. А при использовании современных технологий, придающих ему водостойкость, бамбук может соперничать даже с углеволокном. …одно из недавних важных открытий отечественных ученых состоялось благодаря синезеленым водорослям. Оказалось, что энергия света, захватываемого их фотосинтезирующими молекулами, передается вдоль многоклеточной цепочки за счет электрической связи между клетками. …за год растения суши и океана манипулируют колоссальными количествами вещества и энергии: они усваивают 150 миллиардов тонн углекислого газа, разлагают 120 миллиардов тонн воды, выделяют 200 миллиардов тонн свободного кислорода и запасают около полутораста триллионов мегаджоулей энергии солнца за счет фотосинтеза.

Что читать в «Кванте» по этой теме

(публикации последних лет)

1. «Электричество из фруктов» – 2010, №6, с.38; 2. «Пылевая буря и …» – 2012, №5–6, с.60; 3. «Почему хурма вяжет во рту?» – 2013, №2, 4-я с. обл.; 4. «Физик в гостях у биолога» – 2015, Приложение №1; 5. «Ньютон, яблоки и другие» – 2016, №5–6, с.34.

Материал подготовил А.Леонович

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

Футбольные и волейбольные турниры

А.ЗАСЛАВСКИЙ

Сила мысли на исходе, Рассуждать о новой моде, О футболе, о погоде И о прочих пустяках – Только это и осталось… А.Великий

ИЗВЕСТНО МНОГО МАТЕМАТИЧЕСКИХ задач, в которых речь идет о спортивных соревнованиях. Чаще всего в них говорится об однокруговых турнирах, в которых каждый из n участников один раз играет с каждым из остальных. При этом, как правило, предполагается, что очки начисляются по шахматной системе, т.е. за победу участник получает одно очко, за ничью – полочка, за поражение – ноль очков (в командных видах спорта за победу раньше давали два очка, а за ничью одно, что, с математической точки зрения, принципиально не отличается от шахматной системы). О шахматных турнирах «Квант» рассказывал неоднократно$^{1}$, поэтому здесь мы отметим только два следующих свойства таких турниров. 1. Сумма очков, набранных всеми участниками, равна $n ( n - 1 ) 2$. Действительно, в каждой партии ее участники при любом исходе набирают в сумме одно очко, а общее число партий в турнире равно $n ( n - 1 ) 2. 2.$ Если участник набрал в итоге s очков, то разность между числом его побед и числом его поражений равна 2s – n + 1. Действительно, если участник выиграл w партий, а проиграл l партий, то вничью он

1 См., например, статью А.Заславского «О логичных и нелогичных турнирах» («Квант» №5 за 1997 г.) или статью А.Заславского и Б.Френкина «Математика турниров» («Квант» №1, 2 за 2007 г.).

сыграл n – 1 – w – l раз, т.е. набрал $s = w + + ( n - 1 - w - l ) 2 = ( n - 1 ) 2 + ( w - l ) 2$ очков, что равносильно свойству 2. Из свойств 1 и 2 легко вывести утверждения, сформулированные в следующих упражнениях.

Упражнения

1. Докажите, что если все участники турнира набрали поровну очков, то у каждого из них число побед равно числу поражений. 2. Докажите, что если не все участники турнира набрали поровну очков, то у победителя турнира побед больше, чем поражений, а у участника, занявшего последнее место, побед меньше, чем поражений.

В конце прошлого века в футбольных турнирах за победу стали давать три очка, а за ничью одно. В последние годы в волейболе ввели систему, при которой, если встреча заканчивается со счетом 3:0 или 3:1, то победившая команда получает три очка, а проигравшая – ноль очков; если встреча заканчивается со счетом 3:2, то команды получают два и одно очко соответственно. Очевидно, что при футбольной системе оба свойства 1 и 2 перестают выполняться, а при волейбольной сохраняется только свойство 1. Поэтому можно ожидать, что и утверждения упражнений 1 и 2 перестают быть верными. Соответствующие контрпримеры несложно придумать, если число участников турнира достаточно велико. Однако вопрос о минимально возможном числе участников таких турниров не столь прост и достаточно интересен. Такого рода задачи мы и будем рассматривать в этой статье. Задача 1. В футбольном турнире все n команд-участниц набрали поровну очков. При каком наименьшем n может оказаться, что не у всех команд число побед равно числу поражений? Ответ. n = 8. Решение. Если не у всех команд побед и поражений поровну, то найдется команда, имеющая больше побед, чем поражений, и команда, имеющая больше поражений, чем побед. Предположим сначала, что у обеих команд количества побед и поражений отличаются на 1, т.е. у первой команды x побед и x – 1 поражений, а у второй y побед и y + 1 поражений. Тогда из условия равенства

ЛАБОРАТОРИЯ «КВАНТА»

Наполеонводолаз и Фейнманэкспериментатор

А.ПАНОВ

ЭТОТ МАТЕРИАЛ – НЕБОЛЬШОЕ ДОПОЛ- нение к недавно опубликованной статье «Спасем водолаза» (см. «Квант» №2 за 2016 г.). Напомним, что картезианский водолаз был впервые описан Рафаэлло Маджотти в 1648 году в его трактате о несжимаемости воды. В современной версии картезианский водолаз представляет собой стеклянный флакончик, частично заполненный водой, частично воздухом и плавающий вниз горлышком в герметично закрытой пластиковой бутылке. Если сжать бутылку, водолаз опускается на дно, а если бутылку отпустить – он поднимается. Маджотти использовал водолаза для ис-

Рис. 1. Наполеон-водолаз

следования сжимаемости воздуха и воды, но в скором времени водолаз из физического инструмента превратился в популярную игрушку. Он даже стал «оружием» для политической сатиры. Вот – потешная картинка 1813 года, она изображена на рисунке 1. Подпись к картинке примерно такая: «Это Наполеон прикинулся картезианским дьяволом. Австриец притопил его, а русский смеется – Эй, Эй, Приятель! Это ты правильно сделал, что в бутылку залез». (На рисунке стеклянная бутыль герметично закрыта упругой пленкой.) «Картезианский дьявол» – это другое название картезианского водолаза, может по созвучию diver – devil (водолаз – дьявол). Впрочем, стеклодувы уже давно выдували его в виде забавного чертика (рис.2). Посмотрите – у чертика закрученный хвостик с отверстием на конце. За счет этого чертик не только скачет вверх-вниз, но еще и крутится вокруг своей оси, словно настоящий танцор. Именно так его и называют французы – ludion. При сжатии бутылки порция воды за счет избыточного давления затекает внутрь чертика, а когда бутылку отпускают, вода вытекает из него через отверстие в хвосте и закручивает чертика. Как раз так и устроено сегнерово колесо – небольшая водяная турбина, часто используемая для поливки газонов (рис.3). Вода под давлением подается в S-образную трубку, вытекает из нее и заставляет трубку вращаться с большой скоростью.

Книга Ричарда Фейнмана «Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!» – это собрание рассказанных им историй. Она позволяет узнать, как маленький мальчик-экспериментатор превратился в великого физика-теоретика. Одна из этих историй – как раз о вращающемся разбрызгивателе. Когда осенью 1939 года Фейнман перебрался из Массачусетса в Принстон, он первым

45

ОЛИМПИАДЫ

да). Докажите, что в каждом туре хотя бы одна игра была между земляками. Б.Френкин

2. а) (1) Можно ли нарисовать на клетчатой бумаге многоугольник и поделить его на две равные части разрезом такой формы, как показано на рисунке а?

б) (2) Решите ту же задачу для разреза такой формы, как на рисунке б. в) (4) Решите ту же задачу для разреза такой формы, как на рисунке в. (Во всех пунктах разрез лежит внутри многоугольника, на границу выходят только концы разреза. Стороны многоугольника и звенья разреза идут по линиям сетки, маленькие звенья в два раза короче больших.) Ю.Маркелов, ученик 7 класса

3. Взяли несколько положительных чисел и построили по ним такую последовательность: $a_{1}$ – сумма исходных чисел, $a_{2}$ – сумма квадратов исходных чисел, $a_{3}$ – сумма кубов исходных чисел и т.д. а) (4) Могло ли случиться, что до $a_{5}$ эта последовательность убывает $( a_{1} > a_{2} > a_{3} > > a_{4} > a_{5} ),$ а начиная с $a_{5}$ – возрастает $( a_{5} < a_{6} < a_{7} <^{…}$ )? б) (4) А могло ли случиться, наоборот: до $a_{5}$ последовательность возрастает, а начиная с $a_{5}$ – убывает? А.Толпыго

4. (8) В выпуклом шестиугольнике ABCDEF все стороны равны, а также AD = = BE = CF. Докажите, что в этот шестиугольник можно вписать окружность. Б.Обухов

5. (8) Масса каждой гирьки набора – нецелое число граммов. Ими можно уравновесить любую целую массу от 1 г до 40 г (гирьки кладутся на одну чашку весов, измеряемая масса – на другую). Каково наименьшее число гирек в таком наборе? А.Шаповалов

6. (10) См. задачу М2460 «Задачника «Кванта».

7. а) (6) См. задачу М2461,а «Задачника «Кванта».

б) (3) См. задачу М2461,б «Задачника «Кванта». в) (3) См. задачу М2461,в «Задачника «Кванта». М.Евдокимов

10–11 классы

1. (4) На плоскости даны треугольник и 10 прямых. Оказалось, что каждая прямая равноудалена от каких-то двух вершин треугольника. Докажите, что или две из этих прямых параллельны, или три из них пересекаются в одной точке. С.Маркелов

2. а) (3) См. задачу 3,а для 8–9 классов. б) (3) См. задачу 3,б для 8–9 классов.

3. (7) Вася утверждает, что он разрезал выпуклый многогранник, у которого есть лишь треугольные и шестиугольные грани, на две части и склеил из этих частей куб. Могут ли слова Васи быть правдой? М.Евдокимов

4. (8) Петя раскрасил каждую клетку квадрата $1000\times 1000$ в один из 10 цветов. Также он придумал такой 10-клеточный многоугольник Ф, что при любом способе положить его по границам клеток на раскрашенный квадрат все 10 накрытых им клеток будут разного цвета. Обязательно ли Ф – прямоугольник? Е.Бакаев

5. (9) В треугольнике ABC c углом A, равным $45^\circ$, проведена медиана AM. Прямая b симметрична прямой AM относительно высоты $BB_{1}$, а прямая c симметрична прямой AM относительно высоты $CC_{1}$. Прямые b и c пересеклись в точке X. Докажите, что AX = BC. Е.Бакаев

6. (10) При каких натуральных n для всякого целого $k \ge n$ найдется число с суммой цифр k, кратное n? А.Кузнецов, И.Лосев

7. (12) В Чикаго живут 36 гангстеров, некоторые из которых враждуют между собой. Каждый гангстер состоит в нескольких бандах, причем нет двух банд с совпадающим составом. Оказалось, что гангстеры, состоящие в одной банде, не враждуют, но если гангстер не состоит в какой-то банде, то

46

КВАНТ 2017/№4

он враждует хотя бы с одним ее участником. Какое наибольшее число банд могло быть в Чикаго? Фольклор (предложил Л.Шабанов)

Устный тур для 11 класса

1. В первый день $2^{n}$ школьников играли в пинг-понг навылет: сначала сыграли двое, затем победитель сыграл с третьим, победитель этой пары – с четвертым и т.д., пока не сыграл последний школьник (ничьих в пингпонге не бывает). Во второй день те же школьники разыграли кубок: сначала произвольно разбились на пары и сыграли в парах, проигравшие выбыли, а победители снова произвольно разбились на пары и сыграли в парах и т.д. Оказалось, что наборы игравших пар в первый и во второй день были одни и те же (возможно, победители были другие). Найдите наибольшее возможное значение n. Б.Френкин

2. Сфера касается 99 ребер некоторой выпуклой 50-угольной пирамиды. Обязательно ли тогда она касается и 100-го ребра этой пирамиды? М.Евдокимов

3. См. задачу М2459 «Задачника «Кванта».

4. Клетки доски $100 \times 100$ раскрашены в черный и белый цвета в шахматном порядке. Можно ли перекрасить ровно 2018 различных клеток этой доски в противоположный цвет так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце оказалось одно и то же количество черных клеток? Ю.Чеканов

5. Дан треугольник XBC. Различные точки $A_{H}, A_{I}, A_{M}$ таковы, что X является ортоцентром треугольника $A_{H} BC$, центром вписанной окружности треугольника $A_{I} BC$ и точкой пересечения медиан треугольника $A_{M} BC$. Докажите, что если $A_{H} A_{M}$ и BC параллельны, то $A_{I}$ – середина $A_{H} A_{M}$. Е.Бакаев

6. Для каких натуральных n верно следующее утверждение: для произвольного многочлена P степени n с целыми коэффициентами найдутся такие различные натуральные a и b, для которых P ( a ) + P ( b ) делится на a + b? Г.Жуков

Публикацию подготовили И.Богданов, С.Дориченко, Л.Медников

XXV Международная олимпиада «Интеллектуальный марафон»

Международный интеллект-клуб (МИК) «Глюон» в рамках международной программы «Дети. Интеллект. Творчество» при участии МГУ имени М.В.Ломоносова, Института педагогических исследований одаренности РАО (г. Новосибирск) и при поддержке Международной ассоциации «Педагогика одаренности и таланта», Фонда «1С» и журналов «Квант», «Потенциал» и «Физика для школьников» провел XXV Международную тест-рейтинговую олимпиаду «Интеллектуальный марафон». Олимпиада проходила со 2 по 9 октября 2016 года в городе Протвино Московской области на базе Института физики высоких энергий. На олимпиаду приехали участники из разных городов России. Одаренные школьники 9–11 классов, проявившие интерес к фунда- ментальным наукам, соревновались в командных и индивидуальных турах по математике, физике, истории научных идей и открытий. Педагоги и психологи собрались на свою научную сессию в восьмой раз. В индивидуальных соревнованиях на этот раз победили учащиеся лицея 2 из города Альметьевска (Татарстан). Абсолютным победителем олимпиады стал Эдуард Сабиров, ему были вручены большая золотая медаль, золотая медаль по физике и серебряная медаль по математике. Вторым призером в общем зачете стал Руслан Камалов, получивший большую серебряную медаль и малую золотую медаль по математике. Большую бронзовую медаль завоевал Азат Яманаев, он получил также малую бронзовую медаль по физике.

49

ОЛИМПИАДЫ

Рис. 2

вые стороны сосуда металлизированы и расположены друг от друга на расстоянии l = 1 см. Сосуд заполнен жидким диэлектриком, плотность которого $\rho = 1,4$ г $см^{3}$, а Рис. 3 диэлектрическая проницаемость $\varepsilon = 65$. Диэлектрик и стенки сосуда химически нейтральны. Сосуд подключен к батарее с ЭДС E = 100 В. На нижней грани сосуда открывают отверстие О, через которое начинают откачивать жидкость. Масса откачиваемого в единицу времени диэлектрика $\mu = 100$ г/с. Определите зависимость показаний амперметра от времени. Батарея и амперметр идеальные. 4. Два спутника-зонда движутся по пересекающимся круговым орбитам вокруг малой планеты. Угол между плоскостями орбит $\alpha = 75 ^\circ$ (рис. 4). Масса одного спутника M = 100 кг. При какой массе m другого спутника он может полностью потерять скорость после упругого столкновения с первым спутником и упасть на планету? 5. На торжествен- Рис. 4 ном открытии XXV Интеллектуального марафона на длинном гладком столе выставлены в ряд двадцать пять брусков одинаковой массой m, на каждом из которых написан год работы МИК «Глюон», с равными зазорами длиной l = = 0,2 м между брусками (рис.5). Со словами «25-й юбилейный марафон открыт» Президент МИК «Глюон» запускает слева вдоль линии стоящих брусков брусок массой 3m со скоростью $v_{0} = 10$ м/с, что приводит к столкновениям брусков. Найдите время от цаемы. Температура газа в начальный момент равна $T_{0} = 300$ К. Трением пренебречь. 3. Конденсатор имеет вид пластикового сосуда с тонкими стенками в форме прямоугольного параллелепипеда (рис. 3). Боко-

Рис. 5

нениями и не поддававшуюся усилиям математиков в течение многих столетий. Кто этот математик и о какой теореме идет речь? Назовите какие-нибудь известные вам термины, теоремы и факты, связанные с его именем.

ФИЗИКА

Письменный индивидуальный тур

1. Железнодорожный рабочий массой m = = 60 кг стоит на краю неподвижной тележки массой М = 100 кг (рис.1). Человек хочет, оттолкнувшись от края тележки, запрыгнуть

Рис. 1

на платформу, которая выше тележки на Н = 30 см и находится от тележки на расстоянии l = 1 м. Какую минимальную работу он должен для этого совершить? Какова минимальная скорость такого прыжка? Трением между тележкой и землей пренебречь. 2. В длинной закрытой трубке между двумя поршнями массой m = 1 кг каждый находится $\nu = 0,1$ моль Ar (аргона). В остальном пространстве трубки – вакуум. В начальный момент левый поршень имеет скорость $v_{1} = 15$ м/с, а правый – скорость $v_{2} = 5$ м/с (рис.2). Найдите максимальную температуру газа в процессе движения, если стенки трубки и поршни теплонепрони-

50

КВАНТ 2017/№4

момента первого соударения до момента падения первого бруска, время падения бруска, соответствующего ИМ-2000, а также время последнего столкновения в этой системе, считая все соударения упругими. Упадет ли последний брусок к закрытию олимпиады, которое состоится через 6 дней? 6. На задней стенке аквариума нарисован цветок ромашка. Во сколько раз изменится угловой диаметр ромашки при наполнении аквариума водой, если глаз наблюдателя расположен на расстоянии l = 30 см от передней стенки аквариума? Длина самого аквариума L = 60 см. Толщиной стенок аквариума пренебречь и считать, что размеры ромашки много меньше размеров аквариума. 7. Сферическую оболочку радиусом $R_{1} = = 40$ см, равномерно заряженную зарядом q = 1 мКл, расширили до радиуса $R_{2} = 50$ см. Найдите работу, совершенную при этом электрическими силами.

Устный командный тур 1. Свет вокруг нас. Почему днем небо голубое, солнце желто-белое, а на закате солнце и небо красные? 2. Шахта на полюсе. На Северном полюсе Земли вдоль земной оси вырыли шахту, проходящую через всю Землю и выходящую на Южном полюсе. В шахту отпустили свободно падать небольшой предмет. Опишите движение предмета, укажите основные параметры движения и оцените их значения. 3. Космическое путешествие. Когда мы движемся вокруг Солнца быстрее – днем или ночью? 4. По следам барона Мюнхгаузена. По словам барона Мюнхгаузена, он смог поймать пушечное ядро руками. Пренебрегая тем, что ядро горячее, поясните, мог бы он это сделать в 18 веке и мог бы сейчас. Считайте, что максимальная дальность полета ядра 1 км, а сопротивлением воздуха можно пренебречь. 5. Парадоксы веса. Отличаются ли вес 1 кг платины и вес 1 кг алюминия? 6. Холодильник. Нам нужно остудить банку, наполненную горячей водой. У нас есть лед и даже сухой лед. Как расположить лед относительно банки, чтобы побыстрее охладить воду?

7. Спутник Земли. Спутник, движущийся по круговой орбите вокруг Земли, из-за трения о верхние слои атмосферы медленно теряет энергию. Будет ли при этом изменяться его скорость и если будет, то как? Ответ поясните расчетом.

История научных идей и открытий

1. Нобелевская премия по физике в 1956 году была вручена трем американским ученым за фундаментальные исследования в области физики твердого тела и открытие эффекта, который уже к тому времени стал основой нового направления электронной техники. Приборы, созданные на основе этого эффекта, быстро стали применяться как в «серьезной» электронике, так и в бытовой электронной технике. Электронная аппаратура стала компактной, а при развитии этого направления – и сверхминиатюрной. Один из лауреатов стал единственным физиком, получившим Нобелевскую премию по физике дважды. Второй раз он стал лауреатом в 1972 году за работы в области сверхпроводимости. 1) Назовите лауреатов Нобелевской премии по физике 1956 года. 2) Назовите эффект и прибор, созданный на основе их исследований. 2. Четыре года назад в газете «The New York Times» были опубликованы результаты опроса, проведенного среди выдающихся физиков. Каждый опрошенный должен был назвать десять самых красивых за всю историю физических экспериментов. Назовите эти эксперименты. 3. Физик-теоретик, один из основателей современной теоретической физики, лауреат Нобелевской премии по физике 1921 года, общественный деятель-гуманист. Жил в Германии, Швейцарии и США. Почетный доктор около 20 ведущих университетов мира, член многих Академий наук, в том числе почетный член АН СССР. Автор более 300 научных работ по физике, а также около 150 книг и статей в области истории и философии науки, публицистики и др. Разработал несколько значительных физических теорий, которые нашли экспериментальное подтверждение. Написав в 1939 году письмо Президенту США о необходимости вести исследования в области практического применения ядерной энергии, впоследствии ак-

56

КВАНТ 2017/№4

определенных условиях могут представлять угрозу для жизни на Земле. В качестве наглядного примера он привел фантастический кинофильм «Армагеддон» (США, 1998 г.). В нем повествуется о космической экспедиции, отправленной на приближающийся к Земле огромный астероид, чтобы его уничтожить. Желая, чтобы школьники лучше представляли себе условия, в которых работали участники экспедиции, учитель предложил им следующую задачу: «Астероид имеет форму шара радиусом R = 5 км. Считая астероид однородным с плотностью $\rho = 5,5$ г $см^{3}$, пренебрегая влиянием других небесных тел и приняв гравитационную постоянную равной $G = 6,67 \cdot 10^{-} 11$ Н $\cdot м^{2} кг^{2}$, найдите первую космическую скорость $v_{1к}$ для этого астероида». Какой результат получили школьники? Ответ округлите до одного знака после запятой. 2. На горизонтальной поверхности льда неподвижно лежит круглая шайба. По льду скользит точно такая же шайба и испытывает с покоящейся шайбой абсолютно упругое соударение. Скорость движущейся шайбы перед ударом $v_{0} = 3$ м с. После удара эта шайба проехала по льду расстояние $l_{1} = 1$ м. Определите расстояние L между шайбами после их остановки. Коэффициент трения между шайбами и льдом $\mu = 0,05$. Ускорение свободного падения примите равным g = 10 м $с^{2}$. Боковые поверхности шайб считайте гладкими. Ответ приведите в метрах и округлите до одного знака после запятой. 3. В два одинаковых сосуда налили по m = 500 г воды. Температура воды в первом сосуде $t_{1} = 20 ^\circ C$, а во втором $t_{2} = 40 ^\circ C$. Из второго, более горячего, сосуда в первый переливают $\Delta m = 50$ г воды и перемешивают. Затем воду такой же массой $\Delta m$ переливают обратно во второй сосуд и перемешивают. На этом завершается первый цикл переливаний. Определите разность температур $\Delta t$ воды в сосудах после трех таких циклов, состоящих из переливания воды из второго сосуда в первый и обратно. Теплоемкостью сосудов и теплообменом воды с окружающей средой можно пренебречь. Ответ приведите в градусах Цельсия с точностью до одной десятой.

4. Плоский воздушный конденсатор, длина обкладок которого L, подключен к источнику постоянного напряжения. Во сколько раз k изменится заряд конденсатора, если в конденсатор параллельно обкладкам вдвинуть металлическую пластину на расстояние L n, где n = 3 (рис.6)? Толщина пластины равна половине расстояния между обкладками конденсатора, а ширина такая же, как у Рис. 6 обкладок. Краевыми эффектами можно пренебречь. Ответ округлите до двух знаков после запятой. 5. Тонкая плосковыпуклая линза, имеющая в воздухе фокусное расстояние F = 10 см, соприкасается плоской стороной с поверхностью воды, налитой в цилиндрический сосуд (рис.7). На расстоянии d = = 20 см от линзы на ее главной оптической оси находится точечный источник света S, дающий узкий пучок света. Определите высоту h уровня воды в сосуде, при котором изображение источника будет расположено точно на дне сосуда. Показатель преломления воды примите равным Рис. 7 n = 1,3. Учтите, что для малых значений аргумента x, заданного в радианах, справедливы приближенные формулы sin $x \approx tg x \approx x$. Ответ приведите в сантиметрах, округлив до одного знака после запятой.

Заключительный этап

Проведение заключительного этапа олимпиады было назначено на 24 февраля 2017 года. Для учащихся всех классов этот этап проводился в очной форме на физическом факультете МГУ и на четырех региональных площадках в городах Астана, Белгород, Владивосток и Волгоград. Задание для учащихся 7–8, а также 9 классов состояло из четырех задач по темам, изучаемым в рамках программы по физике для основной общеобразовательной школы. Задания для учащихся 10–11 классов были составлены в полном соответствии с Кодификатором ЕГЭ 2017

60

КВАНТ 2017/№4

живающими плоскостями-планерами, как у липы, благодаря чему ветер может переносить их весьма далеко от «места рождения». 3. Заметные колебания температуры в горах проявляются в меньшей степени в приземном слое, чем на высоте даже нескольких метров. 4. Подобная форма листьев и лепестков придает им дополнительную жесткость и прочность. 5. Корневая система сосны глубже уходит в землю, чем у ели (рис.4). Чтобы вывернуть ель

Рис. 3

Если изначально занятых строк x, а занятых столбцов y, то ладей не более xy. Таким образом, $xy \ge 10$. Перебрав возможные значения x от 1 до 6, несложно проверить, что тогда $s = x + y \ge 7$. В конечном положении все ладьи не бьют друг друга, а это происходит в том и только том случае, когда s = 20. Докажем, что при s < 20 всегда можно сделать ход, увеличивающий s. Из этого будет следовать, что не более чем за 20 – 7 = 13 ходов мы получим расстановку ладей, удовлетворяющую условию. Рассмотрим все ладьи, которые никого не бьют. Ряды, содержащие такие ладьи, зачеркнем. Допустим, что есть незачеркнутый ряд ровно с одной ладьей, пусть это строка. В столбце, в котором стоит эта ладья, есть хотя бы две ладьи, а значит, есть пустой столбец. Тогда ладью можно передвинуть в него. При этом s увеличивается. Осталось рассмотреть вариант, когда такого ряда нет. Тогда все незачеркнутые строки либо пустые, либо в них хотя бы две ладьи, причем и те, и другие строки присутствуют. Рассмотрим пустую строку и строку, в которой хотя бы две ладьи, причем такие, что между ними нет незачеркнутых строк. Тогда передвинем ладьи из одной этой строки в другую. Несложно понять, что такой ход сделать можно и s при этом увеличивается. Можно также показать, что оценка точная, т.е. за 12 ходов можно справиться не всегда (для решения задачи этого не требовалось доказывать).

КАЛЕЙДОСКОП «КВАНТА»

Вопросы и задачи

1. Твердая оболочка ореха не пропускает воду, а внутри ореха имеется воздух, обеспечивающий плавучесть и позволяющий долгое время «мигрировать». 2. Многие плоды и семена снабжены либо пучками волосков, как у одуванчика, либо поддер-

Рис. 4

с корнем, требуется меньший момент силы ветра, чем для сосны. А чтобы вывернуть сосну с корнем, требуется больший момент силы ветра, нежели чтобы поломать ее. 6. Одна из причин – пустотелость стебля. При изгибе внутренняя его область практически не деформируется, в то время как заполняющее эту область вещество лишь увеличивало бы изгибающие и сжимающие силы. Кроме того, стебли злаковых состоят из нескольких полых цилиндров, соединяемых упругими узлами, что сообщает им дополнительную гибкость. 7. В вертикальном положении подводные растения удерживаются силой Архимеда. Ее действие увеличивается за счет воздушных полостей внутри стеблей, играющих роль поплавков. 8. Листья или ряска, покрывающие поверхность воды, могут ограничить диффузионные процессы в снабжении глубоких слоев кислородом, необходимом подводным обитателям. 9. Во всех этих случаях дело в особенностях поверхностей растений, не смачиваемых водой. 10. Чрезмерно высокое дерево не выдержит собственной тяжести – при увеличении его размеров объем и масса растут быстрее, чем площадь основания ствола. Но более жесткое ограничение связано с осмотическим давлением – односторонней диффузией молекул через мембраны клеток, – которое поднимает соки от корней к листьям на высоту не более нескольких десятков метров. Наряду с осмосом подъему