Квант 2017, №8 · Страницы

6

КВАНТ 2017/№8

лов $kx_{0} 1 4$ (рис.13). Это такой же вылов, как при максимально жестком плане отлова. Большая производительность в этом случае невозможна. Но при жестком плане система теряет устойчивость и гарантированно самоуничтожается, а обратная связь стабилизирует ее, и небольшие изменения коэффициента k не ведут к катастрофе. Было бы совсем неплохо, если бы лица, принимающие ответственные решения, были ознакомлены с подобными моделями и другими правилами выбора стратегических социальных решений. Более простые математические соображения – тот факт, что законы природы описываются дифференциальными уравнениями, – позволяют понять некоторые кажущиеся парадоксальными явления в нашей жизни. В течение нескольких десятилетий состояние нашей экономики вызывало тревогу специалистов: милитаризация, монополия и общая некомпетентность руководства привели к тому, что сделалась устойчиво отрицательной вторая производная (стали систематически замедляться темпы развития). Не понимающего математику это не слишком пугало, так как первая производная все же была положительна (благосостояние росло). Но математики знают, что постоянно отрицательная производная (даже высокого порядка) в конце концов приведет к отрицательности первой производной, т.е. к падению производства и благосостояния общества, причем этот процесс ухудшения, когда он сделается заметным, будет ускоряться. Вследствие инерционности системы мгновенно изменить положение в такое время нельзя уже никакими средствами, так как всякого рода изменения влияют лишь на знак старшей производной (для нашей перестройки – третьей или даже четвертой). Таким образом, наблюдаемая экономическая деградация вызвана не столько неправильными новыми решениями, сколько давними ошибками, сделанными еще во время роста производства.

К сожалению, эти элементарные математические факты очень трудно объяснить ограбленному народу, склонному приписывать все ухудшение реформам. Любые реформы, конечно, должны приводить к ухудшению, даже если они самые правильные. Планы обычно составлялись так, чтобы оптимизировать продукцию на 20 лет вперед («на наш век хватит»). Математику ясно, что оптимальное планирование этого рода должно привести к полному уничтожению всех ресурсов к концу срока (иначе оставшиеся ресурсы можно было бы использовать и, значит, план не был бы оптимальным). К счастью, планы эти «корректировались» и не исполнялись. Но все же основные тенденции выдерживались, и мы к началу перестройки, грубо говоря, съели все, что у нас было. Попытки составить детальные «программы» экономической реформы по дням подобны попыткам планирования всей экономики и аналогичны попытке составить программу для водителя автомобиля, который должен доехать от Москвы до Санкт-Петербурга (на такой-то минуте поверни направо, на такой-то – налево). Успех может быть достигнут только за счет обратной связи, т.е. нужна не программа (траектория), а, говоря математическими терминами, векторное поле в пространстве состояний системы – механизм принятия решений в зависимости от реально достигнутого состояния, а не от календарной даты. Кое-что из сказанного следует иметь в виду и при реформировании системы образования. Наши примеры показывают, что «нет ничего практичнее хорошей теории». Нужно, чтобы работники образования не гнались за сиюминутной практической потребностью, а всегда видели перспективные цели общества.

Поверхность и что на ней происходит

Л.АШКИНАЗИ

Проявить твердость

Для многих практических применений имеет значение то, что мы называем твердостью. Вроде бы всем понятно, что это такое. Например, твердость характера: «Не учусь и не буду учиться!» Способов измерения твердости в технике используется несколько, и все они так или иначе имитируют условия эксплуатации – внедрение в материал чего-то, сделанного из другого, способного внедряться в него, т.е. более твердого, материала. В качестве внедряемого объекта, его называют индентором, выбирают либо стальной шарик (который, как вы понимаете, не во все можно внедрить), либо алмазная пирамидка. В разных случаях шарики, пирамидки и прилагаемые усилия разные, но критерием твердости всегда яв- ляется размер остающегося отпечатка. В минералогии используют другой метод измерения твердости – царапают один материал другим. Обратите внимание, что если попытаться связать твердость с основными параметрами, характеризующими твердое тело, то окажется, что она связана с ними неоднозначно. Для пластичных материалов твердость опирается на предел текучести, а для хрупких – на предел прочности. Сказать, какой материал является самым мягким, очевидно, невозможно – в мягкое все эти шарики и пирамидки будут просто проваливаться. Из металлов самый мягкий, наверное, цезий Cs, особенно в жаркую погоду (он плавится при $28,4 \infty C ).$ Самым твердым на сегодня является алмаз, следующий за ним – нитрид бора BN (одна из модификаций). Разные грани монокристалла алмаза имеют разную твердость, но BN уступает, хотя и немного, даже менее твердой из них. Согласно публикациям одной группы авторов, был получен материал тверже алмаза – фуллерит, материал на основе молекул фуллерена C60. Однако это пока что темный вопрос… Что касается практических применений, например в качестве абразива, то важны и другие свойства: теплопроводность (зона обработки греется); химическая стойкость, причем именно в тех условиях, которые создаются в зоне реза; стоимость. Так что применяются далеко не только указанные рекордсмены. Кроме твердости существуют еще такие понятия, как микротвердость

8

КВАНТ 2017/№8

и, естественно, нанотвердость. Это те же твердости, но измеренные при малых нагрузках и охватывающие меньшую площадь поверхности. Для неоднородных материалов, например если мы имеем более твердые включения в менее твердую матрицу, микрои нанотвердость могут быть разными – в зависимости от того, попали ли мы индентором, т.е. тем, что внедряем, в мягкое или в твердое место. И во втором случае результат будет выше, чем при измерении просто твердости, т.е. на относительно большом участке поверхности. Но будет ли он соответствовать твердости «истинно твердого» включения – вопрос.

Прижмись ко мне покрепче

Раз уж мы заговорили об абразивах, то пришла пора вспомнить про трение, износостойкость и адгезию. Все эти три процесса происходят на поверхности, что немедленно делает задачу на ступень сложнее, и более того – на границе двух материалов, т.е. сложность поднимается еще на ступень вверх. Формально – просто потому, что для описания ситуации требуется больше параметров: в список войдут параметры не одного материала, а двух, да еще и параметры взаимодействия (например, скорость взаимного перемещения и сила прижатия). Чтобы представить себе, во что выльется этот ужас, рассмотрим простенькую ситуацию. Пусть материал характеризуется пятью параметрами, принимающими по пять значений каждый. В этом случае у нас, во всей нашей вселенной, будет $5^{5} = 3125$ материалов – согласитесь, что это весьма скромно, в реальности их порядка на три больше. Одних только сталей человечество придумало более тысячи! А сплавов других металлов, а неметаллов, а композитов – не счесть. Ну ладно, пусть мы такие несчастные и в нашей маленькой вселенной, находящейся то ли в стагнации, то ли в стагфляции, есть всего 3125 материалов. Но сочетаний из двух материалов будет уже 9765625 – почти 10 миллионов. А с учетом параметров взаимодействия – скоро-

сти и силы прижатия – аж 39062500. Впрочем, 10 миллионов или 40 – уже разницы нет. И это еще далеко не все. Потому что, если говорить серьезно, у поверхности любого материала параметров существенно больше, чем у объема. Хотя причина этого не вполне честна… Казалось бы, у поверхности параметров может быть и меньше, чем у объема. Например, возьмем плотность или удельный вес – этот параметр есть у объема, но его нет у поверхности. Расстояние между атомами – это есть и у него, и у нее. Дислокации – они есть у него и в некотором смысле (отклонения структуры от идеальной) у нее, но не факт, что у нее их больше, скорее наоборот. Так что вроде бы победитель не очевиден. Но беда в том, что поверхность – это некое идеальное, геометрическое понятие, а с точки зрения физики поверхность – это и объем! Потому что приповерхностные слои принимают участие во всех поверхностных процессах. Например, некая реакция идет на поверхности, но материал для нее подается диффузией из объема. И более того, в результате этих самых поверхностных реакций и процессов (например, испарения) состав материала вблизи поверхности изменяется, формируется приповерхностный слой, который всегда молчаливо причисляют к «поверхности». Поэтому не удивляйтесь словам Вольфганга Паули, который сказал: «Поверхность придумал дьявол». Но изучать и исследовать поверхность и процессы на ней вообще, а трение, износ и адгезию – в частности, конечно, надо. Потому что в мире более трети энергии идет на преодоление сил трения, а четверть металла расходуется на восстановление потерь, связанных с износом деталей и узлов в машинах. Самые совершенные двигатели внутреннего сгорания тратят от 12 до 20% углеводородного горючего на преодоление своих собственных внутренних механических потерь плюс не менее 10% теряется в трансмиссии, итого – до 30% горючего расходуется на преодоление трения. А если вспомнить, что тре-

9

ПОВЕРХНОСТЬ

И

ЧТО

ние существенно и для работы компьютера, и для работы вашего уважаемого организма (а кстати, где именно?)… Очень упрощенно картина трения выглядит так – материалы соприкасаются, контактируют по маленьким площадкам «истинного контакта», успевают образовать мостики единого материала, которые при движении тут же срезаются. Второй механизм трения – более твердый материал врезается своими микровыступами в менее твердый и начинает при движении пропахивать в нем борозды. Если мы хотим ослабить трение, надо прежде всего применить жидкую смазку – она частично или полностью разделит поверхности. А если такой смазки нет, то для уменьшения трения надо использовать твердые материалы (чтобы меньше «врезались» и были меньше площадки истинного контакта) и разнородные (чтобы хуже образовывался или был менее прочен «единый материал»). Отчасти это подтверждается. Так, коэффициент трения у твердых веществ в паре алмаз/алмаз равен 0,1, в парах сапфир/сапфир $( Al_{2} O_{3} )$ и карбид вольфрама/ карбид вольфрама (WC) – 0,2, а у мягких веществ в паре алюминий/алюминий (Al) или серебро/серебро (Ag) – 1,4. Но это на воздухе, когда на поверхности есть окисленная пленка, сорбировавшая влагу и вообще все на свете. Если же поверхности очистить и поместить в вакуум, не давая загрязниться, то для алмаза мы получим коэффициент не 0,1, а 0,4, для сапфира – 0,6. Пара никель (Ni)/вольфрам (W) на воздухе имеет коэффициент трения 0,3, в вакууме – 0,6. Пары никель/никель (Ni) и медь/ медь (Cu) на воздухе имеют коэффициент 0,5, а в вакууме – 4,8! Бульших цифр я не встречал. Однако человечество интересуется в основном уменьшением трения. В качестве рекордсменов обычно называют фторопласт-4, он же тефлон; в паре с тефлоном же или с металлами их коэффициент трения составляет 0,03–0,04. Если нужна большая термостойкость, то к нашим услугам «твердые смазки» – графит (С) и

НА

НЕЙ

ПРОИСХОДИТ

дисульфид молибдена $( MoS_{2} ),$ обеспечивающие коэффициент трения 0,03–0,04. Он зависит от скорости и давления, так что может быть и заметно больше; это же относится и к тефлону. Низкое трение графит и дисульфид молибдена обеспечивают потому, что распадаются на микрочешуйки, т.е. на плоскости, сложенные шестиугольниками из атомов углерода. Эти плоскости слабо связаны друг с другом и легко друг по другу скользят. Правда, графит перестает быть хорошей смазкой в вакууме, его коэффициент трения возрастает катастрофически – до 0,8. Причина этого такова – чтобы быть хорошей смазкой, чешуйки графита должны хорошо держаться на обеих трущихся поверхностях, дабы на самом деле терлись чешуйки по чешуйкам, а не чешуйки по металлу. Графит хорошо держится на металле за счет дипольного момента, который возникает, если он окислен по краям, т.е. если плоскости обрамлены кислородом. На воздухе это так и есть, а в вакууме и после прогрева кислород улетает. У чешуек же дисульфида дипольный момент (связь Mo–S) есть и так, кислород им для этого не нужен. Впрочем, фторированный графит, т.е. с «обрамлением» из фтора (F), работоспособен и в вакууме. Иногда как пример низкого трения приводят лед – при скольжении конька коэффициент трения составляет 0,015. В качестве объяснения обычно называют понижение температуры плавления льда при повышении давления. Температура плавления льда (как и нескольких других веществ) действительно понижается при повышении давления, но, согласно некоторым оценкам, этого понижения недостаточно для плавления. Поверхностный слой льда и сам по себе обладает свойствами, отличающимися от свойств объема, причем эти отличия зависят от температуры. В паре лед/лед коэффициент трения около 0,5 при низких температурах (порядка $- 50 \infty C )$ и 0,05–0,1 при высоких (выше $- 20 \infty C ).$ Вы можете со временем попытаться решить эту задачу самостоятельно.

10

КВАНТ 2017/№8

Но есть в области трения задача важнее катания на коньках. Например, трение в протезах суставов, причем в так называемых «физиологических условиях». С одной стороны, это хорошо – со смазкой. С другой стороны, принципиально важным оказывается износ – ибо продукты износа попадают в организм, который не знает, что с ними делать. Возможно, что оптимальное решение дает пара полиэтилен/керамика с коэффициентом трения 0,01. Если и есть что-то туманнее и запутаннее трения, так это его братец – износ. В литературе рассматривается более десяти механизмов износа, и все они зависят от материалов и режима трения (скорости, давления, температуры, смазки). В целом и общем можно лишь сказать, что износ обычно меньше, если меньше трение, потому что чем меньше сила, тем меньше разрушение. Кроме того, износ уменьшается с увеличением прочности – при прочих равных условиях прочный материал медленнее разрушается. Например, есть успешные попытки создать износостойкие покрытия на основе карбидов TiC, WC, SiC. В литературе встречается выражение «безызносное трение». В рекламных публикациях оно означает желание привлечь покупателя. В тех же случаях, когда за ним что-то стоит, это может означать следующее. Первый вариант – это создание на поверхности структур (например, пористости или лунок), которые удерживают смазку, действительно уменьшая трение и, в какой-то мере, износ. Второй вариант, более интересный, когда происходит разделение компонентов материала (например, сплава) и один, более прочный, компонент формирует пористую структуру, а второй, более мягкий, заполняет поры или лунки, начиная играть роль смазки. Наконец, третий вариант – формирование на поверхности мягкого материала (из исходного материала и компонентов смазки слоя), который сам по себе играет роль смазки, уменьшает трение и, в какой-то мере, износ. Заметим, что если трущиеся поверхности не имеют

выхода «наружу» и могут лишь обмениваться материалом, то действительно можно получить отсутствие износа. Однако в реальной эксплуатации такие условия встречаются не всегда. И учтите, что не только капля точит камень, но и рука человека способна изнашивать металл (см. заставку к статье). Ну и два вопроса для размышления: что в данном случае изнашивала рука и почему капля точит камень? Ой! А есть еще трение качения, у которого совершенно другой механизм, нежели у трения скольжения (хотя дольше всего будет катиться – при прочих равных условиях – алмазный шар по алмазной плоскости), и трение верчения (что вы думаете про его механизм?).

Адгезия и клеи

Если мы посмотрим вокруг себя, то увидим, что почти все вещи сделаны из нескольких контактирующих материалов. Единственное очевидное исключение – лист бумаги, и то лишь до того, как на нем что-то будет написано. Причем количество разных материалов в одной вещи может измеряться и десятками, и сотнями. Техника все время развивалась по пути создания новых материалов и совмещения их в изделиях, и вряд ли она от этой возможности откажется. Поэтому восторженные слова насчет новой эры 3D- принтеров, что завтра сделаем компьютер, завтра сделаем двигатель, завтра то, завтра се… – все это могут писать только журналисты, не понимающие, из чего сделано то, чем и на чем они пишут. Полагающие, что мир устроен, как песок, песочница, формочки и куличики. Техника состоит из великого множества материалов. Многие из них «просто контактируют», т.е. они не должны ни взаимодействовать, ни разрушать друг друга. Но многие должны крепко друг за друга держаться: краски – на бумаге, лыжные крепления – на лыжах, изоляция – на проводах, уплотнения – на дверце холодильника… с едой. И все эти соединения должны иметь определенную прочность на отрыв. Способность проти-

11

ПОВЕРХНОСТЬ

И

ЧТО

востоять попыткам отделить один материал от другого называется адгезией. Она определяет капиллярность, смачиваемость, поверхностное натяжение, она существенна для трения, склеивания, пайки, сварки, нанесения покрытий. Адгезия матрицы и наполнителя композитов влияет на их прочность. После всего сказанного вас не должно удивить, что с теорией адгезии дело обстоит не очень хорошо. Сложности проистекают от того, что это поверхностный эффект, и от того, что если мы соединяем два разных материала, то имеем «бонус трек» – удвоенное количество параметров и умноженное во много раз количество сочетаний их значений. Существуют по крайней мере четыре механизма адгезии. Прежде всего, между материалом и адгезивом происходит молекулярное взаимодействие, которое в некоторых случаях переходит в химическую реакцию. Электрическая теория адгезии основывается на образовании двойного электрического слоя при контакте двух тел. В этом случае влияние на прочность склеивания оказывает наличие в молекулах клеящего вещества и объекта склеивания полярных групп, и адгезия обуславливается притяжением зарядов. Диффузионный механизм – это процесс диффузии клеящего вещества в материал, в результате чего исчезает резкая граница между склеиваемой поверхностью и клеящим веществом, а переходной слой оказывается достаточно прочен. И наконец, механическое сцепление клея и материала – проникновение жидкого клея в поры склеиваемых материалов и образование (после затвердевания клея) мостиков, «заклепок». Этот процесс идет, только если хотя бы один из склеиваемых материалов пористый. Во многих случаях от соединения нужна не просто прочность, а прочность в конкретных условиях эксплуатации – например виброили ударопрочность. Иногда принципиально важно что-то другое, например герметичность или низкая газопроницаемость. В вакуумной технике го-

НА

НЕЙ

ПРОИСХОДИТ

ворят «вакуумная плотность», и там требования обычно жестче – если вы не разрабатываете бактериологическое или токсинное оружие. В вакуумной технике важно давление пара материала образующегося соединения – оно не должно быть слишком велико. Это требование ограничивает, например, выбор припоев – легкоплавкие припои часто дают шов, материал которого имеет высокое давление пара. Иногда важны электрические свойства соединения – оно должно иметь низкое сопротивление, как соединяемые металлы. Особая проблема – если мы хотим соединить пайкой два сверхпроводника. Или наоборот, высокое сопротивление, если мы соединяем диэлектрики и хотим сохранить диэлектрические свойства. В некоторых случаях важна способность пережить дальнейшие технологические процессы – например, если материалы соединяются, а потом как-то обрабатываются. Часто есть какие-то существенные ограничения на сам технологический процесс – когда соединяемые детали, скажем, нельзя сильно нагревать или когда сам процесс соединения должен происходить под водой (и нечего удивляться, существуют и подводная сварка, и склеивание под водой). При соединении хрупких материалов, т.е. стекла и керамики, с металлами должны быть согласованы коэффициенты термического расширения, иначе при охлаждении (от температуры, при которой происходит соединение) спай сам по себе разрушится – прилагать внешние усилия и не придется. Классифицировать ситуации соединения двух материалов или деталей непросто – многие методы плавно переходят один в другой, а некоторые накладываются, порождая гибриды. Наверное, первым следует признать деление ситуаций на такие соединения: детали и материала, двух материалов и, наконец, двух деталей. Соединение детали и материала – это нанесение всяческих покрытий (окраска), изменение поверхностного слоя посредством взаимодействия с газом или жидкостью (азотирование стали, анодирова-

12

КВАНТ 2017/№8

ние алюминия). Вопрос о прочности нанесенного или измененного слоя возникает и в этом случае – он может отслаиваться из-за термических напряжений, возникающих при изменениях температуры, из-за вибраций и ударов. Соединение двух материалов – это, скажем так, некоторая экзотика, но она тоже возможна: представьте себе, что вы распыляете одновременно два разных вещества, а получающиеся частички тут же слипаются и образуют единый композиционный материал. Если говорить о соединении двух деталей, то рассмотрим только неразборные, точнее – не предназначенные для разборки, соединения. Болты, винты, гайки и т.п. – побоку. А заклепки? Они тоже «неразборные», хоть их зачастую и разбирают пытливые юные «неестественноиспытатели». Наверное, надо выделить ситуации, когда между материалами возникает существенное химическое взаимодействие (межмолекулярные связи) или только физическое взаимодействие, например трение. Но, согласно современным теориям, трение тоже обязано химическому взаимодействию (механизм «сваривание–срез»). В общем, попытка дать точное определение заводит в такой лес, в такую чащу… Так что сделаем вид, что мы забыли про заклепки, и пойдем дальше. Ситуации неразборного соединения двух деталей принято делить на случаи, когда в зону соединения не вносятся какие-либо третьи вещества, кроме двух соединяемых, и когда вносятся. Первый случай – это сварка, второй – пайка, если есть нагрев до плавления этого третьего вещества, и склейка, когда нагрева нет. Эта классификация, как и, наверное, все инженерные классификации, не жесткая; важны еще роль первооткрывателя (кто первый придумал, назвал и внедрил) и традиции. Например, есть «термокомпрессионная сварка» – детали нагреваются и сильно сжимаются, но не плавятся. И есть сварка «под флюсом», когда вещество вносится, но не становится потом частью детали, как при пайке, а лишь

(хорошенькое лишь!) защищает детали от окисления в процессе сварки. В целом технология сварки и пайки усовершенствована достаточно, чтобы проблемы собственно прочности были решены. Иными словами, во многих случаях материал шва не менее прочен, чем более слабый из соединяемых материалов, и уж во всяком случае удовлетворяет требованиям по прочности. Сложнее обстоит дело с вибростойкостью и возможностью дальнейшей обработки. Переходные слои, которые образуются при сварке, иногда состоят из «интерметаллидов» – соединений металлов, которые бывают хрупкими. Ну, в этом случае применяют пайку. Сегодня техника сварки и пайки достигла состояния, когда большинство материалов так или иначе соединить удается и прочность соединения не уступает самим соединяемым материалам. Но есть несколько особо сложных случаев. Один из них – соединение полиэтилена и фторопласта. И это не случайно: материалы с самым низким трением – это материалы с самой низкой адгезией. Только после сложной обработки поверхности («активирования») удается получить прочность склейки 14 МПа – это лишь вдвое меньше, чем у самого фторопласта. Другой сложный случай – клеи для склеивания под водой. Вообще-то они существуют, но обеспечивают довольно скромную прочность склейки – 10 МПа. Каракатицы и мидии создали такой клей давным-давно – для этого у них есть специальные клетки, да и не только они. И биологи пытаются создать подводный клей на основе клея мидий. Скорее всего, это у них получится, Интересно бы его попробовать на суше и на полиэтилене с фторопластом. Вдруг мидия и с этим справится?

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: math@kvant.ras.ru и phys@kvant.ras.ru соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задача М2476 предлагалась на VIII Международной олимпиаде Romanian Master in Mathematics, а задача М2477 – на XXIV Международной олимпиаде «Туймаада». Автор задач Ф2481–Ф2484 – Д.Александров.

Задачи М2474–М2477, Ф2481–Ф2484

M2474. Натуральные числа x, y, z таковы, что x y y z z x x y z. Докажите, что они являются длинами сторон некоторого треугольника. В.Сендеров

M2475. Дан квадрат ABCD. Переменный квадрат KLMN расположен так, что K лежит на отрезке AD, B лежит на отрезке LM, а C лежит на отрезке MN (см. рисунок). Найдите геометрическое место точек T пересечения прямых AL и DN. В.Расторгуев

M2476. На координатной плоскости построены графики $G_{1}$ и $G_{2}$ квадратичных функций $f_{1} x p_{1} x^{2} q_{1} x r_{1}$ и $f_{2} x p_{2} x^{2} q_{2} x r_{2}$, причем $p_{1} 0 p_{2}$. Графики $G_{1}$ и $G_{2}$ пересекаются в двух различных точках A и B. Четыре касательные к $G_{1}$ и $G_{2}$, проведенные в точках A и B, образуют выпуклый четырехугольник, в который можно вписать окружность. Докажите, что графики $G_{1}$ и $G_{2}$ имеют общую ось симметрии. А.Заславский

M2477. Имеется 25 масок, каждая своего цвета. k мудрецов играют в игру: им показывают все маски, потом они договариваются между собой, после чего им надевают маски таким образом, что каждый из них видит маски всех остальных (но не знает на ком они надеты) и не видит свою. Никакие формы взаимодействия при этом не разрешаются.Все мудрецы одновременно называют по одному цвету, пытаясь угадать цвет своей маски. При каком наименьшем k они могут так заранее договориться, чтобы хотя бы один из них непременно угадал? С.Берлов

Ф2481. Камень брошен со скоростью $v_{0} = 17$ м c под углом $A = 60 \infty$ к горизонту. С какой угловой скоростью поворачивается вектор скорости камня через t = 1 с после броска? Принять g = 10 м $с^{2}$, сопротивление воздуха не учитывать. Результат выразите в радианах в секунду и округлите до десятых.

Ф2482. На гладкой горизонтальной поверхности находятся неподвижный шарик

18

КВАНТ 2017/№8

ственно? Известно, что скорость Саши не превышала 80 км ч.

Пусть начальные расстояния между гонщиками были l. Рассмотрим их движение с точки зрения ехавшего медленнее всех Егора. Возможны два варианта начального расположения гонщиков. 1) Расстояние (по ходу движения) от Вовы до Егора l, а от Саши до Егора 2l. Тогда до встречи с Егором Вова должен проехать расстояние l со скоростью $v_{2} - v_{1}$, а Саша за это же время, имея скорость $v - v_{1}$, должен преодолеть расстояния 2l, 5l, 8l… в зависимости от своей скорости движения. Так как по условию $v_{2} - v_{1} = 10$ км ч, то $v - v_{1} = 20, 50, 80$ … км ч. Значит, v = 30 или 60 км ч. Бульшая скорость противоречит условию задачи. 2) Расстояние от Вовы до Егора 2l, а от Саши до Егора l. Тогда до встречи с Егором Вова должен проехать расстояние 2l со скоростью $v_{2} - v_{1}$, а Саша за это же время, имея скорость $v - v_{1}$, должен преодолеть расстояния 4l, 7l, 10l, 13l… в зависимости от скорости движения. Так как $v_{2} - v_{1} = 10$ км ч, то $v - v_{1} = 20, 35, 50, 65$ … км ч. Следовательно, v = 30, 45, 60 или 75 км ч. Бульшая скорость противоречит условию задачи. Объединение множеств полученных величин дает следующие значения возможных скоростей Саши:

v = 30, 45, 60 или 75 км ч.

М.Замятнин

Ф2470. В соленом океане плавают три небольших айсберга 1, 2 и 3, как показано на рисунке (масштабы соблюдены не везде). Каждый из них имеет форму прямоугольного параллелепипеда. На айсберге 1 стоит человек. Площади поверхностей верхних граней у айсбергов одинаковы, а высоты надводных частей равны $h_{1} = 5$ см $, h_{2} = 10$ см и $h_{3} = 12$ см соответственно. Когда человек перешел с

айсберга 1 на айсберг 2, то при равновесии поверхности айсбергов 1 и 2 оказались на одинаковой высоте над уровнем воды. После этого человек перешел с айсберга 2 на айсберг 3. Определите, какими стали высоты надводных частей каждого из айсбергов, когда вновь наступило равновесие.

Для каждого айсберга сила тяжести, действующая на него, плюс вес человека (если на айсберге стоит человек) уравновешиваются силой Архимеда, действующей на подводную часть айсберга. Сила Архимеда равна $F_{Арх} = R gV$, где R – плотность воды, g – ускорение свободного падения, V – объем подводной части айсберга. Этот объем подводной части можно выразить формулой V = SH, где S – площадь верхней грани айсберга, H – высота его подводной части. По условию задачи площади верхних граней у всех айсбергов одинаковы. Отсюда следует, что масса каждого из айсбергов плюс масса человека (если на айсберге стоит человек) пропорциональны высоте подводной части айсберга. Поэтому когда человек переходит с первого айсберга на второй, то второй айсберг погружается в воду на столько же, на сколько всплывает первый. Когда человек перешел с первого айсберга на второй, поверхности этих двух айсбергов оказались на одинаковом уровне. Это означает, что первый айсберг всплыл на 2,5 см, а второй погрузился на 2,5 см. Высоты надводных частей айсбергов над уровнем моря стали равными 7,5 см, 7,5 см и 12 см соответственно. Когда человек перешел со второго айсберга на третий, высота надводной части второго айсберга вернулась к исходному значению 10 см, а третий айсберг погру-

20

КВАНТ 2017/№8

Видно, что условию задачи удовлетворяет только третий случай. Таким образом, малое сопротивление имеет вольтметр, включенный в центральную часть цепи, а два других вольтметра имеют большие сопротивления. Напряжение 24 В показывает первый вольтметр, а два остальных вольтметра показывают напряжения 0 В и 12 В. Возможное решение 2 Воспользуемся «методом наложения», который основан на принципе суперпозиции. Рассмотрим схемы двух вспомогательных цепей (рис. 3), в каждую из которых включена только одна из батарей,

можных положений вольтметра с малым сопротивлением. Получается, что меньшим сопротивлением обладает третий вольтметр, напряжение 24 В показывает первый вольтметр, а два остальных вольтметра показывают напряжения 0 В и 12 В. Возможное решение 3 Предположим, что напряжение 24 В показывает правый вольтметр. Тогда средний вольтметр показывает 36 В, а вольтметр слева показывает 0 В. Такого, очевидно, быть не может, так как вольтметр слева обязательно что-нибудь да показывает, поскольку он подключен к батарейке с большей ЭДС.

Рис. 3

а ЭДС другой батареи считается равной нулю (в общем случае внутренние сопротивления удаленных из цепи источников включают в соответствующие участки цепей, а число вспомогательных цепей равно числу источников в исходной цепи). Искомые напряжения (или силы токов) на участках цепи находят, суммируя напряжения (токи) на этом участке во всех вспомогательных цепях. Этот метод подходит только для цепей, не содержащих нелинейных элементов. Во вспомогательных цепях показания вольтметров подсчитываются очень просто – при помощи закона Ома для участка цепи, с учетом известных сопротивлений участков цепей. При этом нужно помнить о знаках вычисляемых величин. Заполним для каждой цепи таблицу показаний вольтметров для различных воз-

Теперь предположим, что напряжение 24 В показывает средний вольтметр. В этом случае правый вольтметр показывает 12 В, и вольтметр слева тоже показывает 12 В. Но в какое бы место цепи мы ни включили вольтметр с меньшим сопротивлением, алгебраическая сумма токов для узла, в котором соединены все три вольтметра, при таких показаниях вольтметров не может быть равной нулю. Действительно, вычислим указанную сумму для возможных вариантов расположения вольтметра с меньшим сопротивлением. Пусть он а) находится слева: $12 2 - 24 - 12 \pi 0$; б) находится в центре: $12 - 12 - 24 2 \pi 0$; в) находится справа: $12 - 24 - 12 2 \pi 0$. Остается последний вариант: напряжение 24 В показывает левый вольтметр. Тогда средний вольтметр показывает 12 В, а вольтметр справа показывает 0 В. В этом

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Задачи

1. а) Расставьте по одному разу циф- ры от 1 до 6 на места пропусков в тексте так, чтобы не возникло математических противоречий. Окончания слов можно менять. б) Сколько есть способов это сделать? Однажды слоны сорвали ___ кокосов и ___ бананов, треть этих плодов съели, а остальное взяли с собой на прогулку. Каждый из этих ___ слонов нес по ___ плодов. Встретив ___ слоних, они отдали им все свои плоды. При этом каждой слонихе досталось по ___ плодов. Е.Бакаев, Д.Шноль

1 s 1. Какое наибольшее количество квадратов можно закрасить так, чтобы они не соприкасались даже углами? А.Шаповалов

3. Петя записал несколько различ- ных натуральных чисел с суммой 92, используя только две различные цифры. Какое наибольшее количество чисел мог записать Петя? Е.Бакаев, Н.Чернятьев

2 s 2 2 разбита на четыре квадрата

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6–8 классов. Эти задачи предлагались на XXIII Турнире математических боев имени А.П.Савина.

Иллюстрации Д.Гришуковой

2. s Каждая грань кубика размером

Шестиугольник (не обязательно выпуклый), все стороны которого разной длины, разрезали на равносторонние треугольники. Какое наименьшее количество треугольников могло получиться? Е.Бакаев

Трисекторы

В задаче о трисекции угла требуется при помощи циркуля и линейки разделить данный угол на три равные части (или, что равносильно, построить угол, равный трети данного угла). Как и во всех классических задачах на построение, циркуль и линейка предполагаются идеальными: при помощи циркуля можно строить окружности любого радиуса (и откладывать равные отрезки на прямой), а при помощи линейки (односторонней и без делений) можно проводить прямые линии. Эта задача, наряду с двумя другими известными задачами на построение – удвоением куба и квадратурой круга, не поддавалась математикам с античных времен. Только в XIX веке было доказано, что ни одна из этих трех задач не разрешима в общем случае. Впрочем, некоторые конкретные углы разделить на три части при этом можно. Например, не составляет труда сделать это с прямым углом.

Упражнение 1. Приведите пример угла, градусная мера которого не кратна $15\infty$ и который можно разделить на три равные части при помощи циркуля и линейки.

Доказательство невозможности трисекции произвольного угла дал в 1837 году французский математик Пьер Лоран Ванцель. Как ни странно, доказательство это вовсе не геометрическое, а алгебраическое.

Если сильно упростить, то идея в следующем. Во-первых, переведем все с геометрического языка на алгебраический: любое построение циркулем и линейкой сводится к последовательному решению систем, состоящих из линейных и квадратных уравнений (так как прямая задается уравнением первой степени, а окружность – уравнением второй степени). Во-вторых, заметим, что построение угла равносильно построению двух отрезков, отношение длин которых равно косинусу этого угла. Из этого, применяя формулу косинуса тройного угла, можно получить, что угол A поддается трисекции, если уравнение $x^{3} - 3 x - - 2$ cos A = 0 разрешимо в квадратных радикалах, а это происходит далеко не всегда.

Упражнение 2. Обоснуйте утверждение «вовторых» и сведение к указанному кубическому

уравнению в приведенной выше идее доказательства. Можно ли выполнить трисекцию угла $60\infty$?

Тем не менее оказывается, что если использовать нетрадиционные для задач на построение инструменты, то трисекцию угла вполне можно «строить». Ниже приведено несколько примеров таких конструкций.

Транспортир

Если у кого-нибудь есть идеальный транспортир (рис.1), который способен абсолютно

Рис. 1

точно измерять углы, то счастливый обладатель этого прибора сможет с легкостью производить трисекцию любых углов. Далее мы рассмотрим более серьезные (во всех отношениях) способы выполнить трисекцию.

Невсис

Невсисом называется способ геометрического построения, целью которого является вписывание данного отрезка между двумя данными кривыми так, чтобы отрезок или его продолжение приходили через данную точку. Для этого используется линейка, на которой можно делать пометки. Эту линейку с отмеченным на ее краю отрезком располагают так, чтобы один из его концов попал на одну из данных кривых, а край линейки проходил через данную точку. После чего, поворачивая линейку вокруг данной точки с проскальзыванием, можно добиться того,

Рис. 2

35

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Но вспомним еще, как создается давление: импульс молекулы i до нормального столкновения с поверхностью тела после упругого столкновения становится равным –i, так что каждая молекула сообщает телу импульс i i 2 i. Значит, пар, не возвращающийся на одинокую каплю, лишает ее части внешнего давления. В результате при испарении в вакуум не нужно совершать работу по расширению пара. Таким образом, в уравнении (1) в знаменателе правой части вместо L окажется величина L a, меньшая L. Даже не решая это новое уравнение, можно видеть, что интенсивность убыли массы капли увеличится. Значит, теперь новая кривая температурной зависимости массы капли пройдет ниже прежней. Она изображена на рисунке 2 красной кривой. Но тут всякий здравомыслящий отличник может воскликнуть: «Позвольте, а что же произойдет, когда температура капли достигнет значения $T_{к} = 273$ K?!» Тут надо еще поразмышлять. Если вода капли абсолютно чистая, капля может оставаться жидкой даже при дальнейшем охлаждении – это так называемое метастабильное состояние. Если же в ней окажется соринка или электрический заряд, может начаться кристаллизация. При этом температура капли будет оставаться постоянной, так что убыль массы можно изобразить вертикальным отрезком. Масса

КРУЖОК

будет уменьшаться до тех пор, пока теплота кристаллизации не будет унесена испаряющимися молекулами. Наконец, когда вся оставшаяся масса охладится до температуры кристаллизации, продолжится дальнейшее уменьшение массы и температуры за счет сублимации льда. Очевидно, что этот процесс можно описать теми же соотношениями, что и при испарении жидкой капли, подставив вместо теплоты испарения и теплопроводности воды теплоту сублимации и теплоемкость льда. Соответствующий график для такой «грязной» капли изображен на рисунке 2 синей линией. Что же получается – капля не может сама себя полностью испарить?! Даже барон Мюнхгаузен, известный своей изобретательностью, не решился утверждать, что может сам себя разорвать в мелкие клочья. Однако вернемся к постановке проблемы. Увы, в реальной вселенной нет абсолютной пустоты и абсолютного нуля температуры. Есть, по крайней мере, реликтовое излучение с температурой $T \sim 3$ К. И хотя бы оно (не говоря уже об излучении звезд или о потоках частиц) не дает одинокой капле жить вечно. Впрочем, эпиграф возвращает оптимизм. Тем более что, поступив в Московский физико-технический институт, вы сможете проанализировать все рассмотренные процессы гораздо подробнее.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

Антипараллели и коники

П.КОЖЕВНИКОВ

ОБРАТИМСЯ К СТАТЬЕ О.ИВАНОВА, НА- печатанной в этом номере журнала, и посмотрим еще раз на конструкции из упражнения 7 (рис.1) и из задачи 4 (рис.2). Сходство не только внешнее: как мы видели, координатные решения этих задач похожи, как близнецы. Но поговорим еще немного о

Рис. 1

геометрическом и алгебраическом родстве этих конструкций. Для начала обсудим, как решить упражнение 7 геометрически. По условию, на рисун-

36

КВАНТ 2017/№8

когда KM и LN антипараллельны относительно пары прямых a и b.

Упражнения

Рис. 2

ке 1 биссектрисы l и m углов между парами прямых перпендикулярны. Прямые c и d составляют равные углы с осью симметрии (биссектрисой) l угла между a и b. Пары прямых с таким свойством называют антипараллелями, или антипараллельными относительно пары прямых a и b. Прямые a и b получаются из прямой l поворотом на равные углы по часовой стрелке и против часовой стрелки, поэтому соответствующие углы между прямыми a и c и между прямыми b и d равны. Отсюда по известному признаку следует вписанность четырехугольника в пересечении прямых a, b, c, d. (Заметим, что эти рассуждения и вывод сохраняются и для других конфигураций антипараллелей; рис.3.) Нетрудно обратить рассуждения и

1. Пусть a и b – пара пересекающихся прямых, точки K и L лежат на прямой a и точки M и N – на прямой b (точки K, L, M, N различны). Докажите, что прямые KN и LM антипараллельны относительно пары прямых a и b тогда и только тогда, когда KM и LN антипараллельны относительно пары прямых a и b. 2. Докажите, что если прямые c и d антипараллельны относительно пары прямых a и b, то и наоборот, прямые a и b антипараллельны относительно пары прямых c и d. 3. Пусть прямые d и da симметричны относительно биссектрисы l угла между прямыми a и b. Докажите, что прямые c и d антипараллельны относительно пары прямых a и b тогда и только тогда, когда c и da параллельны (или совпадают). 4. Пусть a и b – пара прямых, точки K, L, P лежат на прямой a и точки M, N, Q – на прямой b (все указанные точки различны) (рис.4). Дока-

Рис. 4

жите, что если K, L, M, N лежат на одной окружности и K, M, P, Q лежат на одной окружности, то LN P PQ.

Рис. 3

доказать, что если окружность пересекает прямую a в точках K и L, а прямую b – в точках M и N, то пара прямых KM, LN (как и пара KN, ML) – это пара антипараллелей относительно пары прямых a и b. Итак, получается следующий критерий антипараллельности: Пусть a и b – пара пересекающихся прямых, точки K и L лежат на прямой a и точки M и N – на прямой b (точки K, L, M, N различны). Точки K, L, M, N лежат на одной окружности тогда и только тогда,

В следующих двух упражнениях пересечение окружности и прямой «вырождается» в касание.

5. Пусть a и b – пара пересекающихся прямых, точки K и L лежат на прямой a и точка M – на прямой b. Докажите, что прямые KM и LM антипараллельны относительно пары прямых a и b тогда и только тогда, когда описанная окружность треугольника KLM касается прямой b (рис.5). 6. Пусть ABCD – трапе- Рис. 5

38

КВАНТ 2017/№8

9. Пусть даны две антипараллели к параболе, одна касается параболы в точке M, а другая пересекает параболу в точках K и L (точки K, L, M различные). Докажите, что описанная окружность треугольника KLM касается параболы в точке M (рис.9). 10 (С.Маркелов, Турнир городов, 2004 г.). На плоскости даны парабола и окружность, имею-

ние антипараллелей для большого класса K кривых, задаваемых уравнением вида $px^{2} qy^{2} rx sy t 0$

(где коэффициенты p и q одновременно не обращаются в 0). 1 Как мы видели, в $класс^{K}$ входит и объединение любой пары антипараллельных прямых y = kx + b, y = –kx + + c. Предлагаем читателю обобщить утверждения, которые мы встретили для пар прямых и парабол. В частности, предлагаем доказать следующие утверждения: Теорема о пересечении. Пусть A и B – две различные кривые $класса^{K}$, имеющие четыре общие точки (рис.11). Тогда эти точки лежат на одной окружности.

Рис. 9

щие с параболой ровно две общие точки: K и M. Оказалось, что касательные к окружности и параболе в точке M совпадают. Обязательно ли тогда касательные к окружности и параболе в точке K также совпадают? Ответ: не обязательно. Указание. Рассмотрим две антипараллели к параболе, одна антипараллель m касается параболы в точке M, а другая проходит через M и вторично пересекает параболу в точке K (рис.10). Тогда окружность, проходящая через K и касающаяся прямой m в точке M, – требуемая.

Рис. 11

Обобщенный критерий антипараллельности. Пусть дана кривая A из класса K, не являющаяся окружностью, и различные точки K, L, M, N на этой кривой такие, что A не содержит целиком ни прямую KM, ни прямую LN. Точки K, L, M, N лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда KM и LN антипараллельны (рис.12).

Рис. 10

11. Сформулируйте и докажите аналог утверждения упражнения 6 для двух параллельных секущих параболы.

Аналогично можно определить антипараллели относительно других кривых второго порядка (коник) – эллипса, гиперболы. При работе в данной прямоугольной системе координат получается одно и то же определе-

Рис. 12

1 Кривые класса K – в точности кривые второго порядка, у которых главные направления параллельны осям координат.

43

ОЛИМПИАДЫ

на боковой стороне AB – точка E так, что 1 AE AL CD. Докажите, что LE = LD. 2 А.Кузнецов

6. Обозначим через S n сумму натуральных делителей числа n. Дано натуральное число $N 2^{r} b$, где r и b – натуральные числа, причем b нечетно. Известно, что S N 2 N 1. Докажите, что числа b и S b взаимно просты. Дж.Анталан, Дж.Дриз

7. Равносторонний треугольник со стороной 20 разбит тремя семействами параллельных прямых на 400 равносторонних треугольничков со стороной 1. Какое наибольшее количество этих треугольничков можно пересечь (во внутренних точках) одной прямой? А.Голованов

8. Дан граф с вершинами $A_{1}, A_{2}$, … $..., A_{2017}, B_{1}, B_{2}$, …, $B_{2017}$ и ребрами $A_{i} B_{i}, A_{i} A_{i} 1, B_{i} B_{i} 17$ (в циклической нумерации). Верно ли, что при любом начальном расположении в вершинах графа 4 полицейских смогут поймать вора? (Сначала делает ход каждый полицейский, потом вор, потом снова полицейские, потом снова вор и т.д. Ход состоит в том, что персонаж либо остается в той вершине, где был, либо перемещается в соседнюю вершину. Все видят, где находятся остальные, полицейские могут координировать свои действия. Вор пойман, если он окажется в одной вершине с полицейским.) Т.Болл, Р.Белл, Дж.Гузман, М.Хансон- Колвин, Н.Шоншек

9. См. задачу 6 младшей лиги.

10. На продолжении стороны AD прямоугольника ABCD за точку D выбрана точка E (рис.3). Луч EC вторично пересекает окружность W, описанную около треугольника

Рис. 3

ABE, в точке F. Лучи DC и AF пересекаются в точке P. На прямую l, проходящую через точку E параллельно прямой AF, опущен перпендикуляр CH. Докажите, что прямая PH касается окружности W. А.Кузнецов

8. На плоскости даны две точки A и B. Назовем точку X их нелепой серединой, если на плоскости существует такая декартова система координат, что точки A и B имеют в ней неотрицательные координаты, причем абсцисса точки X в этой системе равна среднему геометрическому абсцисс точек A и B, а ордината – среднему геометрическому ординат A и B. Найдите геометрическое место всех нелепых середин точек A и B. К.Тыщук

СТАРШАЯ ЛИГА

Первый день 1. См. задачу 1 младшей лиги.

2. См. задачу 2 младшей лиги.

3. См. задачу 4 младшей лиги.

4. См. задачу М2477 «Задачника «Кванта».

Второй день 5. Существует ли такой квадратный трехчлен f x, что f 1 2017 1 2018 и f 1 2018 1 2017 и два его коэффициента целые? А.Храбров

ФИЗИКА

Участники олимпиады по физике соревновались как обычно в двух лигах: старшей и младшей (жюри распределяет участников по лигам в зависимости от их возраста и класса). Олимпиада в каждой лиге состояла из двух туров: теоретического и экспериментального. Согласно программе олимпиады по физике, участникам могут быть предложены задачи на

44

КВАНТ 2017/№8

любые темы, содержащиеся в углубленной школьной программе (в младшей лиге – за исключением тем, относящихся к выпускному классу). Авторы оригинальных задач (как теоретических, так и экспериментальных) могут присылать их методической комиссии (achudn@mail.ru) – лучшие задачи войдут в итоговый комплект и после олимпиады будут опубликованы в образовательных журналах. Статья подготовлена на основании методического пособия: А.В.Чудновский, Р.Е.Аванесян, А.Б.Акимов, А.И.Бычков, С.Д.Варламов, В.В.Ефимов, А.Р.Зильберман, В.И.Плис, Г.М.Тарнопольский. XXIV Международная олимпиада «Туймаада». Физика. Теоретический тур. Методическое пособие / под ред. А.В.Чудновского – М.-Якутск, 2017.

Теоретический тур

СТАРШАЯ ЛИГА

Задача 1. Катер и баржа Катер, равномерно тянущий баржу на длинном тросе, движется с ней в A раз медленнее, чем без нее, при той же силе тяги винта. Если, двигаясь с баржей, катер выключит двигатель, то баржа до полной остановки пройдет в B раз большее расстояние, чем катер. Во сколько раз масса баржи больше массы катера? Сила сопротивления воды прямо пропорциональна скорости. В.Ефимов

Задача 2. Капля в трубке между сосудами Два одинаковых жестких сосуда наполнены разными идеальными газами, имеющими температуры $T_{1}$ и $T_{2}$ (причем $T_{1} T_{2} ),$ и соединены тонкой горизонтальной цилиндрической трубкой длиной L, посередине которой находится в равновесии капля ртути, не смачивающая стенки трубки. Объем газа в трубке составляет очень малую долю от объема одного сосуда. Как изменится положение капли, если увеличить температуру в обоих сосудах на одинаковую величину T? С.Варламов

Задача 3. Конденсаторы и катушка Изначально незаряженные конденсаторы емкостями $C_{1}$ и $C_{2}$ и идеальный источник ЭДС E соединили последовательно, а затем в нулевой момент времени параллельно кон-

денсатору емкостью $C_{1}$ подключили катушку индуктивностью L. 1) В какой момент времени $t_{1}$ сила тока через катушку впервые будет максимальной? 2) Найдите максимальную силу тока $I_{0}$ через катушку. 3) В какой момент времени $t_{2}$ напряжение на конденсаторе емкостью $C_{2}$ впервые будет максимальным? 4) Найдите максимальное напряжение $U_{2}$ на конденсаторе емкостью $C_{2}$. А.Зильберман

Задача 4. Деревянный сердечник На цилиндрическую часть длинного остро заточенного осесимметричного деревянного карандаша намотали плотно в один слой много витков тонкого провода, а его концы замкнули между собой. Карандаш с проводом можно считать однородным цилиндром массой m и поперечным сечением S. Карандаш аккуратно поставили грифелем вниз на горизонтальную шероховатую поверхность, включили внешнее однородное вертикальное магнитное поле индукцией B, затем охладили провод, переведя его в сверхпроводящее состояние, после чего карандаш вышел из положения неустойчивого равновесия. 1) Найдите угол $J_{0}$ отклонения карандаша от вертикали в положении устойчивого равновесия. 2) Найдите период малых колебаний карандаша в вертикальной плоскости, проходящей через ось симметрии карандаша в положении устойчивого равновесия, если известно, что эти колебания возможны. А.Чудновский

Задача 5. Уголковый отражатель и осколок линзы Два полубесконечных плоских зеркала расположены взаимно перпендикулярно и касаются друг друга своими краями, образуя уголковый отражатель. Больший из осколков тонкой собирающей линзы радиусом R с фокусным расстоянием 2r, расколотой точно вдоль хорды, проходящей на расстоянии r от центра линзы, расположен так, что его главная оптическая ось перпендикулярна первому зеркалу, линия раскола параллельна второму зеркалу, а оптический центр удален от первого и второго зеркал на расстояния 5r и

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Олимпиада «Покори Воробьевы горы!»

ФИЗИКА

Олимпиада «Покори Воробьевы горы!» по физике в 2016/17 учебном году проходила в два этапа: отборочный (дистанционно)) и заключительный (для 10–11 классов – очно в МГУ и в регионах, для остальных классов – дистанционно). Задание отборочного тура состояло из тестовой части (проверялись только ответы) и творческой части (проверялись и оценивались решения). На заключительный этап приглашались победители и призеры отборочного этапа, а также победители и призеры прошлогодней олимпиады. Ниже приводятся примеры заданий обоих туров олимпиады для 10–11 классов.

ОТБОРОЧНЫЙ ЭТАП

Часть I (тестовое задание) 1. (10 баллов) На горизонтальной поверхности лежит однородный кубик. Чтобы заставить его скользить по поверхности, надавив в горизонтальном направлении на центр его боковой грани (перпендикулярно этой грани), нужно приложить силу не менее 14 Н. На некотором расстоянии от него ставят второй однородный кубик. Масса этого кубика в 2 раза больше, чем у первого, а коэффициент трения о поверхность точно такой же. Обращенные друг к другу грани кубиков параллельны и перпендикулярны линии $O_{1} O_{2}$, соединяющей их центры. Между кубиками вставили невесомую пружину, ось которой совпадает с $O_{1} O_{2}$. Пружина изначально не деформирована (ее длина в точности равна расстоянию между кубиками). С какой минимальной постоянной силой нужно давить на центр боковой грани первого кубика в направлении второго (сжимая пружину), чтобы в результате этого воздействия второй кубик сдвинулся с места? Пружина не изгибается, кубики не отрываются от поверхности. Ответ запишите в ньютонах, при необходимости округлив до целого значения. 2. (7 баллов) Два сосуда объемами $V_{1} =$

= 6 л и $V_{2} = 14$ л соединены небольшой узкой трубочкой с вентилем. Первоначально вентиль закрыт и в первом сосуде находится влажный воздух с относительной влажностью $r_{1}$ 70%, а во втором – с относительной влажностью $r_{2}$ 50%. Температура воздуха в обоих сосудах одинакова. Затем вентиль открывают. Какой будет относительная влажность воздуха после установления равновесия, если температура останется прежней? Ответ запишите в процентах. 3. (8 баллов) На рассеивающую линзу с фокусным расстоянием F = 12 см падает сходящийся пучок света. Пройдя линзу, пучок сходится на оптической оси в главном фокусе линзы. На каком расстоянии от линзы соберется пучок, если рассеивающую линзу заменить собирающей с тем же по величине фокусным расстоянием? Ответ запишите в сантиметрах, при необходимости округлив до целого значения.

Часть II (творческое задание) Опыты профессора Вагнера

1. Горка профессора Вагнера Однажды летом на своей даче профессор Вагнер соорудил горку. Наклон горки к горизонту был невелик, $A_{=} 10^{o}$, но скатываться с нее нужно было с помощью приспособления из двух цилиндрических тонкостенных труб и ровной тяжелой доски (рис.1). Трубы устанавливались на наклонную плоскость горки так, что их оси были горизонтальными и лежащая на них доска тоже была горизонтальной. На доске размещался груз,

Рис. 1

47

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ

и затем система отпускалась без начальной скорости. В одном из случаев небольшой груз был размещен над осью меньшей по диаметру трубы. При этом расстояние по горизонтали до оси большей трубы равнялось L = 1,46 м. Профессор измерил время от старта до того момента, когда груз оказался над осью большей трубы. Какой результат он получил (его секундомер отсчитывает время с точностью 0,1 с)? Масса одной из труб в k = 2 раза, а другой – в n = 3 раза превосходит массу доски. Ускорение свободного падения считать равным g 9,8 м $с^{2}$. В процессе скатывания в пределах исследуемого интервала времени доска не отрывалась от труб и не скользила по ним, груз не скользил по доске, а трубы не скользили по горке. Трение качения не учитывать.

2. Поиски холодильника В одной из своих установок по изучению процессов образования топологически нетривиальных жидкокристаллических структур профессор Вагнер для плавного вращения резервуара использовал в качестве двигателя тепловую машину. Рабочим телом этой машины были несколько молей неона. Цикл рабочего тела показан на рисунке 2 в

МАТЕРИАЛЫ

гольников, вставленных на место граней тетраэдра, смещаться вдоль плоскости грани или внутрь тетраэдра, но совершенно не мешали им выскальзывать наружу. На каждую из четырех пластин был равномерно нанесен заряд q < 0, а в центре тетраэдра профессор закрепил маленький непроводящий шарик с зарядом Q > 2|q|. Вагнер вложил пластины в грани каркаса. Затем он начал медленно закачивать внутрь тетраэдра воздух, повышая его давление. При какой разности давлений внутри и снаружи шкатулка рассыпалась? Электрическая постоянная равна $E_{0}$.

4. На перегибе В старых лабораторных журналах профессор Вагнер нашел отчет об одном из своих экспериментов. В этом эксперименте изучалось скатывание маленькой шайбы по однородному пластиковому профилю без начальной скорости (рис.3). В журнале была таблица зависимости тормозного пути шай-

Рис. 3

бы s на горизонтальном участке профиля от высоты точки старта h на наклонном участке при некотором значении угла наклона A (табл. 1). Кроме того, там также была табли-

Таблица 1

Рис. 2

координатах давление – объем. Укажите участки цикла, на которых газ отдает тепло холодильнику, т.е. определите координаты точек, которые являются началом и концом такого участка (или участков, если их несколько). Пренебрегая всеми потерями (кроме передачи тепла холодильнику), найдите КПД этой тепловой машины.

3. Электростатическая шкатулка Как-то профессор Вагнер решил собрать оригинальную электростатическую шкатулку. Из гладких непроводящих «уголков» он изготовил каркас в форме правильного тетраэдра с длиной ребра a. «Уголки» не позволяли пластинам в форме правильных треу- ца зависимости s от угла наклона A при h = 20 см (табл. 2). На основании данных профессора определите: при каком значении A проводилась серия опытов, результаты которой приведены в таблице 1, и чему равен коэффициент трения шайбы о поверхность

Таблица 2

57

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

Из этого равенства видно, что числа b и S b не могут иметь общих делителей. 7. 39. Прямая, проходящая параллельно стороне большого треугольника на расстоянии 0,1, пересекает 39 треугольничков, примыкающих к этой стороне. Докажем, что больше 39 треугольничков пересечь невозможно. Пусть прямая l пересекает стороны AB и AC большого треугольника на расстояниях x и y b x от вершины A соответственно (рис.16). Если ¨ © $x \cdot$ ¸ m, можно ограни-

Рис. 16

читься рассмотрением треугольника AB a C a со стороной m, разбитого на $m^{2}$ единичных треугольничков (здесь Ba и Ca – точки, лежащие на расстоянии m от вершины A на сторонах AB и AC соответственно). Пусть прямая l пересекает ACa в точке D, а внутри отрезков AD и C a D содержится r и s вершин треугольничков соответственно. Тогда r s b m 1. Прямая l пересекает m – 1 границ треугольничков, параллельных AC, r границ, параллельных AB, и s границ, параллельных BC. Поэтому общее количество пересечений прямой l с границами треугольничков равно r s m 1 b 2 m 2, следовательно, количество треугольничков, которые пересекает l, не больше 2 m 1 b 39. 8. Да. В предлагаемом алгоритме первая пара полицейских гонит вора по часовой стрелке, а вторая пара – против часовой стрелки. Скажем, что вершины $A_{i}$ образуют в нашем графе слой A, а вершины $B_{i}$ – слой B. Если полицейский $C_{1}$ (или вор R) находится в вершине $A_{i}$ или $B_{i}$, скажем, что его координата $x_{1} i$ (соответственно, $x_{R} i ).$ В любой момент мы можем для удобства уменьшить или увеличить любую из координат полицейских на 2017. Мы будем, однако, аккуратно следить за

РЕШЕНИЯ

изменением координаты вора при его движении, так что возможно, что через какое-то время вор окажется в вершине $A_{i}$, но мы будем считать, что, скажем, $x_{R} i 2017$, поскольку вор сделал полный оборот. Стратегия полицейских $C_{1}$ и $C_{2}$ состоит из двух частей. Часть I. Полицейский $C_{2}$ просто стоит в некоторой вершине слоя A. Полицейский $C_{1}$ движется по слою A по часовой стрелке. Его цель – добиться, чтобы его координата $x_{1}$ была сравнима по модулю 17 с координатой вора $x_{R}$. Рассмотрим остаток от деления разности $x_{R} x_{1}$ на 17. Если вор ходит по ребрам слоя B, по ребру $A_{i} B_{i}$ или просто стоит на месте, остаток не меняется, а полицейский $C_{1}$ на следующем ходу сможет уменьшить остаток на 1. Если вор ходит по ребру $A_{i} A_{i} 1$, после следующего хода $C_{1}$ остаток не изменится, но бесконечно это продолжаться не может из-за полицейского $C_{2}$. Наконец, если вор идет по ребру $A_{i} 1 A_{i}$, полицейский $C_{1}$ стоит на месте. Таким образом, после нескольких ходов будет выполнено условие $x_{1} y x_{R}$ mod17. Более того, следующим ходом полицейский $C_{1}$ может сделать так, чтобы сохранилось условие $x_{1} y x_{R}$ mod17 и он оказался в одном слое с вором. Часть II. Выберем $x_{1}$ так, что $x_{1} y x_{R}$ mod17 и $x_{1} x_{R}$. Пусть при этом $x_{R} x_{1} 17 k$. Теперь полицейский $C_{1}$ должен сохранять сравнение $x_{1} y x_{R}$ mod17 и оставаться в одном слое с вором. Он должен также стараться уменьшить разность $x_{R} x_{1}$. Для этого он будет просто «копировать» ходы вора: если вор ходит по слою A, полицейский $C_{1}$ делает такой же ход в слое A; если вор остается в своей вершине или ходит из слоя в слой, $C_{1}$ делает то же самое; если вор ходит по слою B по часовой стрелке, $C_{1}$ делает такой же ход в слое B. Но если вор ходит по слою B против часовой стрелки (назовем такой ход критическим), $C_{1}$ остается на месте, и в этот момент разность $x_{R} x_{1}$ уменьшается на 17. Ясно, что в этой части игры вор может сделать не более k критических ходов. Что касается полицейского $C_{2}$, то в начале мы выбираем (прибавлением кратного 2017) значение $x_{2} x_{R}$, и $C_{2}$ просто движется вдоль слоя A по часовой стрелке. Докажем, что координата $x_{R}$ будет расти неограниченно. Действительно, она не увеличивается только в трех случаях: 1) вор переходит из слоя в слой или остается на месте (тогда разность $x_{R} x_{2}$ уменьшается в результате следующего хода $C_{2} ),$