Квант 2017, №11 · Страницы

9

НАМ

на угол $90\infty$, поэтому B = ( - y, x ). Тогда вектор скорости муравья ( x ¢, y ¢ ) пропорционален вектору AB ( - y - x, x - y ). Получаем систему дифференциальных уравнений x ¢ = k ( - y - x ),

ПИШУТ

Решать эту систему мы не будем (это не очень просто), а вот систему, возникающую в упражнении 7, вполне можно решить.

Как все, оказывается, просто, когда умеешь решать дифференциальные уравнения! Нашел решение, подставил в него необходимые данные и ответил на все вопросы. Зачем же мы тогда так сложно все делали в первых четырех разделах? Неужели зря? Нет, не зря! На практике во многих задачах получаются очень сложные дифференциальные уравнения, которые не удается решить в явном виде. А свойства решения, тем не менее, нужно узнать. В этом случае ученые вынуждены анализировать свойства решений, не имея точных формул. Эта наука называется качественной теорией дифференциальных уравнений. Именно по ней мы с вами краешком прошлись.

Упражнение 10. Получите систему дифференциальных уравнений на траекторию муравья из упражнения 7 и постарайтесь решить ее.

Авторы благодарны редколлегии, в особенности В.М.Тихомирову, за вдохновляющее обсуждение текста статьи.

y ¢ = k ( x - y ), где k = v

(

$2 x^{2} + y^{2}$

)

.

НАМ ПИШУТ

Об элементарном доказательстве теоремы Фейербаха

И. КУШНИР, О. ЧЕРКАССКИЙ

Напомним, что в любом треугольнике середины сторон, основания высот, а также середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами, лежат на одной окружности. Эта окружность носит название окружности девяти точек или окружности Эйлера (см., например, статью И.Шарыгина и А.Ягубьянца «Окружность девяти точек и прямая Эйлера» в «Кванте» №8 за 1981 г.). Одним из самых красивых результатов классической геометрии по праву считается теорема Фейербаха, утверждающая, что окружность девяти точек касается окружности, вписанной в треугольник, и трех вневписанных окружностей (рис 1). Большинство известных доказательств теоремы Фейебраха сложны и неэлементарны (используют инверсию и т.д.). Мы же приведем здесь совсем короткое элементарное доказательство, основанное на известных формулах и несложных вычислениях. Будем использовать следующие обозначения для элементов данного треугольника ABC: a, b,

Рис. 1

c – длины сторон BC, CA, AB соответственно, R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей, I – инцентр (т.е. центр вписанной окружности), O – центр описанной окружности, H – ортоцентр (т.е. точка пересечения высот). Как известно, радиус окружности Эйлера равен R 2, а ее центр E является серединой отрезка OH. Утверждение теоремы Фейербаха о касании вписанной окружности и окружности девяти точек будет доказано, если мы установим, что IE = R 2 - r. Это равенство соответствует внутреннему касанию рассматриваемых окружностей (на самом деле, можно показать, что R 2 всегда не меньше чем r).

10

КВАНТ 2017/№11

Рассмотрим треугольник OHI (рис. 2). Отрезок IE является медианой этого треугольни-

Рис. 2

ка. По формуле длины медианы имеем

$4 IE^{2} 2 OI^{2}$

$2 IH^{2}$

$OH^{2}$.

Воспользуемся известными формулами:

$OI^{2} R^{2}$

$IH^{2} 4 R^{2}$

2 Rr,

1 2 a 2

$2 r^{2}$

$OH^{2} 9 R^{2}$ a

2

$b^{2}$

$b^{2}$

$c^{2}$,

$c^{2}$.

Объединив все четыре формулы, получаем

$4 IE^{2} 2 R^{2}$

8 R

2

4 Rr

$4 r^{2}$

$4 IE^{2} R^{2}$ a

2

$b^{2}$

$c^{2}$

2

2

9R a

4 Rr

$b^{2}$

$c^{2}$

,

$4 r^{2}$, откуда

2 IE R что и требовалось!

2 r,

Вниманию наших читателей!

Издательство Московского центра непрерывного математического образования (МЦНМО) выпустило в свет две книги серии «Библиотечка «Квант». В книге В.М.Тихомирова «Рассказы о максимумах и минимумах» (выпуск 56, издание третье) прослеживается история методов нахождения наибольших и наименьших величин; излагаются решения многих замечательных задач на максимум и минимум, принадлежащие великим математикам прошлых эпох; говорится о зарождении многих идей, заложивших основания современного анализа; объясняются связи экстремальных задач с проблемами естество-

Читатель может, применив аналоги формул для центра вневписанной окружности, провести доказательство касания окружности девяти точек с вневписанными окружностями по той же схеме.

От редакции Теорема Фейербаха своей красотой привлекала внимание многих любителей геометрии и поэтому имеет много разных доказательств. Журнал «Квант» также неоднократно обращался к этой теореме. Например, в статьях В.Дубровского «Момент инерции в геометрии» (№7, 1984 г.), В.Протасова «Вокруг теоремы Фейербаха» (№9, 1992 г.), В.Дубровского и В.Сендерова «Ловушка для треугольника» (№3, 1999 г.), В.Протасова «Касающиеся окружности: от Тебо до Фейербаха» (№4, 2008 г.). В отличие от многих известных доказательств, рассуждения, которые предлагают И.Кушнир и О.Черкасский, действительно выглядят прозрачно и доступно. Конечно, существенная трудность – доказательство используемых формул – здесь остается за кадром. Впрочем, эти формулы известны и содержатся во многих источниках. Формула для $OI^{2}$ часто употребима и известна как формула Эйлера, формула для вычисления длины отрезка IH имеется, например, в упомянутой статье В.Дубровского, а в статье А.Заславского, Д.Косова и М.Музафарова «Траектории замечательных точек треугольника Понселе» (№2, 2003 г.) есть общий рецепт получения формул для длин IX и OX для произвольных точек X.

знания, техники и экономики. Книга рассчитана на школьников старших классов, учителей, студентов, преподавателей. Из книги В.Б.Алексеева «Теорема Абеля в задачах и решениях» (выпуск 137) читатель узнает, как решать алгебраические уравнения третьей и четвертой степени с одним неизвестным, познакомится с двумя важными разделами современной математики – теорией групп и теорией функций комплексного переменного. Книга представляет интерес для широкого круга читателей, интересующихся серьезной математикой, может служить пособием для работы математического кружка.

Спринтеры и стайеры

А.МИНЕЕВ

Будь ты спринтер, будь ты стайер, Трижды чемпионом, Не упустим, не отстанем, Все равно догоним. Песня

ЗАДАДИМСЯ ТАКИМ ВОПРОСОМ: КАКО- вы максимальная скорость и мощность, которые развивают легкоатлеты при беге? Воспользуемся данными нынешних мировых рекордов (раздел – легкая атлетика, бег) и построим график зависимости скорости лучших бегунов мира от дистанции пробега. Там же отложим по оси абсцисс и время забега. На рисунке 1 приведены рекорды бега мужчин и женщин на 100 м, 200 м, 400 м, 800 м, 1609 м (1 миля), 2 км, 3 км, 5 км, 10 км, 20 км, 25 км, 30 км и 100 км. Данные марафонского бега помечены звездочками. Взгляд на эти кривые позволяет заметить несколько важных особенностей: i у спринтеров (дистанция 100–200 метров) скорость бега достигает 10 м/с; столь

Рис. 1. Зависимость максимальной скорости и времени бега от расстояния для мужчин (М) и женщин (Ж)

высокая скорость может поддерживаться в течение 20–30 секунд; i у стайеров (1–10 км) средняя скорость бега составляет около 6–7 м/с; с такой скоростью они могут бежать в течение получаса; i у бегунов на сверхдальние расстояния

14

КВАНТ 2017/№11

скоростью 7 м/с: 3 МДж = 1500 с = 25 мин. 2 кВт

Стайеры и марафонцы. Роль окисления жиров

Полный запас энергии в жировой ткани спортсмена массой 75 кг составляет более 300 МДж, и он очень далек от исчерпания. Но для того чтобы существенно истратить запас жиров, требуется много времени. Это могут подтвердить все, кто старается похудеть. На стайерской дистанции затрачивается мощность 1–1,5 кВт, а затраты энергии составляют 4–5 МВт за каждый час бега. Рекордсмены потребляют в день около 5000 ккал энергии ( ª 20 МДж). Если принять, что половину этой энергии допустимо затратить в ходе бега, то доступными являются только 10 МДж энергии. Как видно из наших оценок, такая энергия тратится примерно за два часа быстрого бега. На рисунке 1 это соответствует длительности марафонского забега. И действительно, марафонцы, не говоря уже о бегунах на более длинные дистанции, вынуждены пополнять запасы энергии в ходе бега смесями, богатыми углеводами. Обязательно ли марафонцу пить воду? Конечно. Поскольку для испарения литра воды требуется 2,3 МДж, то часовому бегу соответствует испарение около 2 литров воды. Но нужно ли полностью восполнять потери воды? Нет, это опасно. Вода может не успеть усвоиться организмом стайера во время бега, и задачу восполнения потерь решают уже после финиша. А как чемпионы среди людей по бегу выглядят на фоне быстроты передвижения других млекопитающих? Скажем прямо – весьма посредственно. Во многом это плата за прямохождение и связанный с этим бег на двух ногах. Четвероногие бегут быстрее. Чемпион среди них – гепард, у которого зафиксирована максимальная скорость бега 35 м/с в течение 10 секунд. Скорее всего, больше ему и не нужно для удачной охоты. Остальное время он отдыхает или перемещается с существенно более низкой и экономной «крейсерской»

скоростью в поисках очередной жертвы. Да и строение тела гепарда более приспособлено для быстрого бега, и относительная масса мышц повыше. Наиболее быстрые спринтеры – хищники (типа кошачьих) и копытные. Как выглядит человек на их фоне, показано на рисунке 3. А на рисунке 4 приведена

Рис. 3. Спринтеры: зависимость максимальной скорости бега млекопитающих от массы тела

Рис. 4. Стайеры: зависимость максимальной скорости длительного бега млекопитающих от массы тела

соответствующая информация для стайеров – тех, кто способен на быстрый длительный бег. Из этих рисунков видно, насколько сильно человек уступает животным, особенно в спринте.

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: math@kvant.ras.ru и phys@kvant.ras.ru соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2486–М2489 предлагались на XXXIX Турнире городов. Задачи Ф2493–Ф2496 предлагались на олимпиаде «Шаги познания физики» (г.Пенза). Автор этих задач – А.Сеитов.

Задачи М2486–М2489, Ф2493–Ф2496

M2486. Аналитик сделал прогноз изменения курса доллара на каждый из 12 ближайших месяцев: на сколько процентов (число, большее 0% и меньшее 100%) изменится курс за октябрь, на сколько – за ноябрь,…, на сколько – за сентябрь. Оказалось, что про каждый месяц он верно предсказал, на сколько процентов изменится курс, но ошибся с направлением изменения (т.е. если он предсказывал, что курс увеличится на x%, то курс падал на x%, и наоборот). При этом через 12 месяцев курс совпал с прогнозом. В какую сторону в итоге изменился курс? А.Заславский

M2487. Вписанная окружность касается сторон AB, BC и AC треугольника ABC в точках N, K и M соответственно (рис.1).

Прямые MN и MK пересекают биссектрису внешнего угла B в точках R и S соответственно. Докажите, что прямые RK и SN пересекаются на вписанной окружности треугольника ABC. М.Евдокимов

M2488. Город представляет из себя клетчатый прямоугольник, в каждой клетке стоит пятиэтажный дом. Закон о реновации позволяет выбрать две соседние по стороне клетки, в которых стоят дома, и снести тот дом, где меньше этажей (либо столько же). При этом над вторым домом надстраивается столько этажей, сколько было в снесенном доме. Какое наименьшее число домов можно оставить в городе, пользуясь законом о реновации, если город имеет размеры: а) 20 s 20 клеток; б) 50 s 90 клеток? М.Мурашкин

M2489. Покажите, что для любой последовательности $a_{0}, a_{1}$, … $, a_{n}$, …, состоящей из единиц и минус единиц, найдутся такие n и k, что $a_{0}$ – $a_{1}$ – … – $a_{k} a_{1}$ – $a_{2}$ – … – $a_{k} 1$ …

$... + a_{n}$ – $a_{n} 1$ – … – $a_{n} k 2017$. И.Митрофанов

Рис. 1

Ф2493. На протяженной гладкой горизонтальной поверхности вдоль вертикальной

16

КВАНТ 2017/№11

оси скачет небольшой абсолютно упругий гладкий шарик. Максимальная скорость его равна v. На той же горизонтальной поверхности на расстоянии от места ударов этого шарика, равном максимальной высоте его полета, расположен второй такой же шарик. Ему сообщают горизонтальную скорость v в направлении первого. Шарики столкнулись так, что в момент соударения линия, проходящая через их центры, была горизонтальна и совпадала по направлению со скоростью второго шарика до удара. 1) Найдите максимальную высоту полета первого шарика. 2) Найдите период движения первого шарика до удара со вторым. 3) На какой высоте находился первый шарик в момент старта второго? 4) Найдите скорость первого шарика сразу после удара со вторым. 5) На каком расстоянии от места удара можно поставить вертикальную стенку так, чтобы после отражения от нее первый шарик вновь ударился о второй? Временем ударов можно пренебречь.

Ф2494. В системе, изображенной на рисунке 2, трения нет, пружина упругая и

Рис. 2

невесомая, небольшие шары одинаковые и упругие. Правая часть стержня плавно переходит в дугу окружности радиусом R, расположенную в вертикальной плоскости, а в месте перехода находится правый шар. Расстояние между шарами равно R. Если, не снимая шаров и не удерживая их внешними силами, систему расположить так, что прямолинейная часть стержня примет вертикальное положение, то в состоянии равновесия пружина сожмется на величину R. Из положения, показанного на рисунке, правый шар отклоняют так, что его угловое смещение вдоль дуги невелико и равно B ( B ≪ 1 ).

1. Найдите время, в течение которого правый шар первый раз вернется в указанное на рисунке начальное положение. 2) Найдите модуль скорости правого шара на горизонтальном участке. 3) Найдите максимальную величину сжатия пружины после удара шаров. 4) Найдите время движения левого шара между первыми двумя ударами шаров. 5) Найдите период колебаний этой системы.

Ф2495. В горизонтальной трубке длиной L постоянного сечения S, запаянной с одного конца, заперт жидкостью плотностью R столб воздуха при абсолютной температуре $T_{0}$ (рис.3). Если воздух в

Рис. 3

трубке нагреть до абсолютной температуры Т, то вся жидкость вытечет из трубки. Трубку поворачивают на $90\infty$ открытым концом вверх, жидкость при этом вниз не протекает и температура поддерживается постоянной. Атмосферное давление $p = R gH_{0}$, где $H_{0} > L$. 1) Найдите длину воздушного столба в горизонтальной трубке. 2) Сколько молекул газа находится в трубке? 3) Найдите давление воздуха в трубке в вертикальном положении. 4) Найдите длину воздушного столба в вертикальной трубке. 5) Найдите максимальную длину столба жидкости, которую можно получить после добавления жидкости в вертикальную трубку. Капиллярные эффекты не учитывать.

Ф2496. В однородном магнитном поле с индукцией, равной В и направленной от нас (рис.4), покоится вертикальный контур с дву-

Рис. 4

24

КВАНТ 2017/№11

Сказка про Буратино и его глобус

И.БОЯРИНОВ

СТОЛ, ЗА КОТОРЫМ БУРАТИНО ДЕЛАЛ уроки, стоял у окна. Это был самодельный стол, который смастерил Папа Карло. Он был большой – тянулся от стены до стены. И все на нем умещалось. На одном краю располагались колбы, пробирки и реактивы для химических опытов, на другом – микроскоп для биологических наблюдений. Посередине стола стоял глобус, Буратино любил его рассматривать. Иногда он воображал себя путешественником: вот его родная Италия, и он на корабле отплывает от ее берегов сначала в Средиземное море, потом через Гибралтар в океан… Другой раз ему представлялся полет на воздушном шаре – он чуть прищуривал глаза, потихоньку вращал глобус, и карта казалась ему реальной Землей, проплывавшей где-то далеко внизу. Вот и сейчас он смотрел на крутящийся перед ним глобус. – А что это у тебя глобус не в ту сторону крутится? – молвил Папа Карло. – Почему не в ту? Глобус на оси, может крутиться туда-сюда, подобно флюгеру. Вот когда мы заводим наши пружинные часы, мы вращаем ручку только в одну сторону.

Если бы и глобус следовало вращать только в одном направлении, то, наверное, на фабрике сделали бы соответствующий ограничитель. А так его нет. Глобус можно вращать как угодно, – возразил Буратино. – Глобус – да. Но глобус – это модель нашей планеты, а Земля вращается в определенном направлении! – А разве для вращения есть направление? Вот сейчас на оконном стекле по окружности ползает муха. Нам кажется, что она движется по часовой стрелке. Но для прохожего на улице муха перемещается против часовой стрелки. – Верно. Поэтому на оси вращения выбирают точку, относительно которой и определяют направление вращения. Люди давно заметили, что если мысленно продолжить ось Земли от Северного полюса вверх, то эта прямая дойдет до Полярной звезды. А теперь вообразим, что на этой звезде находится наблюдатель и смотрит на Землю. Наша планета будет казаться ему кругом. Он будет видеть почти все северное полушарие. Города предстанут маленькими точками, и каждая такая точка вследствие вращения Земли вокруг своей оси будет двигаться по окружности. А теперь скажи, как она движется для этого наблюдателя – по часовой стрелке или против? – задал вопрос Папа Карло. Буратино не стал спешить с ответом, а вырезал из бумаги круг, в его центре поставил букву N – это Северный полюс, а маленьким сапожком изобразил Италию. И тут Буратино задумался. Круг лежит на столе, смотрим на него сверху, со стороны Полярной звезды. Как же он крутится на самом деле? Куда движется Италия? По часовой стрелке, т.е. с востока на запад, или наоборот – с запада на восток? – от этих раздумий у Буратино даже слегка закружилась голова. – Давай усовершенствуем твою модель, – предложил Папа Карло, заметив испытываемые Буратино затруднения. С этими словами он вырезал из бумаги еще один неболь-

25

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

шой круг, закрасил его желтым карандашом и положил на стол. – Это у нас Солнце. – Получается, Солнце меньше Земли? Это же не так! – запротестовал Буратино. – А вот это для нашей модели не важно, – возразил Папа Карло и поставил на Аппенинский полуостров оловянного солдатика, повернув его лицом на восток. – Сейчас в Италии ночь. А теперь потихоньку поворачивай свой круг, чтобы солдатик не упал и чтобы во время восхода Солнце светило солдатику в глаза, а не в спину. Буратино начал этот неложный эксперимент. Вы тоже можете его проделать. – Чтобы Солнце взошло на востоке, я должен вращать круг против часовой стрелки, т.е. в направлении с запада на восток. Но если я сижу на стуле, а вращающийся глобус стоит на столе передо мной, то мне кажется, что города движутся слева направо. Все ясно! – радостно воскликнул Буратино. – Но мне еще давно показалось, что глобус у меня какой-то бракованный. Его ось наклонилась, как старое дерево, – сокрушенно сказал Буратино. – Нет-нет, глобус исправен, а наклон его оси напоминает, что ось вращения Земли наклонена к плоскости вращения (рис.1). Угол наклона равен примерно двадцати четырем градусам. – Понятно. Земля при своем вращении словно кланяется Солнцу, вот так, я нарисую

ШКОЛЬНИКОВ

для ясности, – и Буратино изобразил ось Земли в четырех точках земной орбиты (рис.2). – Нет, это неправильно. У тебя на рисунке ось меняет свое направление, а оно Рис. 2 постоянно. Ты помнишь свою игрушку – детский волчок? Раскрути его и поставь на картонку. Ты можешь картонку чуть наклонить, пытаясь отклонить ось волчка, но ось всегда будет сохранять свое первоначальное направление. Так и Земля является гигантским волчком. Поэтому если ты хочешь с помощью глобуса изобразить вращение Земли вокруг Солнца, то для этого удобнее использовать глобус не с круглой подставкой, а с прямоугольной. Такую подставку следует перемещать по кругу так, чтобы стороны основания все время оставались параллельными краям стола (рис.3). В этом случае

Рис. 3

ось глобуса, жестко связанная с подставкой, сохраняет свое направление в пространстве. Если такой подставки нет, можно приклеить к круглой подставке прямоугольник из картона. – Вот теперь я все уяснил. Глобус, т.е. Земля, вращается вокруг своей оси с запада на восток, при этом ось сохраняет свое направление, – с чувством исполненного долга произнес Буратино. – Ты помнишь слова Козьмы Пруткова: «Бросая в воду камешки, смотри на круги, ими образуемые; иначе такое бросание будет пустою забавою»? Так вот, вращая глобус, думай о вращении Земли вокруг Солнца; иначе такое вращение будет пустою тратою времени! – улыбнулся Папа Карло.

Рис. 1

ШКОЛА В «КВАНТЕ»

Как срочно доставить лекарство на воздушный шар

ного срока он начал чихать, кашлять, потеть… И немудрено: температура воздуха на такой высоте меньше 50 o C, а парацетамол (есть такие таблетки) весь вышел. Что делать? Не спускаться же – ведь в этом случае спор не выиграешь, полет будет прерван. И Отличник решил обратиться (конечно, по мобильнику) к Старому Приятелю: как бы доставить немедленно на воздушный шар хотя бы пару пакетов терафлю? Задумался Старый Приятель и стал в уме прикидывать уравнения динамики и решать их аналитически и численно.

В.ВЫШИНСКИЙ

1. Можно использовать дальнобойное орудие

Через полчаса мистер Вильям Болваниус, Джон Лунд и шотландец Том Бекас летели уже к таинственным пятнам на восемнадцати аэростатах. Они сидели в герметически закупоренном кубе… Джентльмены кутались в плащи и курили сигары. Термометр показывал ниже нуля… На третий день Джон Лунд заболел дифтеритом, а Тома Бекаса обуял сплин. А.П.Чехов, Летающие острова

Введем прямоугольную систему координат x, y, z (рис.1); обозначим u, v, w соответствующие компоненты скорости сна-

Однажды некий Отличник решил на спор провести каникулы на воздушном шаре, причем на высоте 22 километра, куда, бывало, залетали шары-зонды из дружественных стран. А заодно – решить все задачи по физике из школьных учебников. Да вот незадача – за неделю до истечения договор-

Рис. 1

ряда, так что $u^{2} v^{2} w^{2} V^{2}$ – квадрат модуля его скорости. Конечно, прежде всего разумно рассмотреть простейший случай одномерного (вертикального) движения, когда орудие находится точно под воздушным шаром. При этом u = w = 0, V = v. Тогда уравнение движения тела с постоянной массой m в поле тяготения с постоянным ускорением свободного падения (с постоянной напряженностью поля) g и с учетом аэродинамического сопротивления имеет вид m dv mg dt

F.

Но даже в этом случае решить уравнение не так-то просто, потому что аэродинамическое сопротивление снаряда F пропорционально коэффициенту сопротивления C, скоростно-

му напору

1 2 R v и площади поперечного 2

28

КВАНТ 2017/№11

Рис. 4

Рис. 5

350 м/с, когда сопротивление равно силе тяжести. Скорость выходит на «полку». По мере повышения плотности с уменьшением высоты равновесная скорость немного снижается.

энергии

2. Используем авиационную пушку

Установим пушку калибра 23 мм на самолете, у которого статический потолок 15,5 км, максимальная скорость полета 1050 км/ч, масса снаряда пушки 0,174 кг, скорость вылета 700 м/c. И тут возможны два сценария. • Самолет начинает стрелять, исчерпав скорость в наборе высоты. Результаты моделирования приведены на рисунке 5. Стрельба вверх производится с высоты 15,5 км. Штриховой линией нанесены результаты расчета без учета аэродинамического сопротивления. Как видно, для того чтобы снаряд достиг цели с нулевой скоростью, начать стрельбу можно с 12 км. • Самолет выходит на цель, разогнавшись до максимальной скорости 300 м/с на высоте 15 км, и стрельба производится с полупетли (рис.6). Пусть радиус петли 500 м, тогда, в соответствии с законом сохранения

$mv^{2} 2$ mg y const, на высоте 15,5 км самолет будет иметь скорость 140 м/с, которая добавится к скорости вылета снаряда. Результаты моделирования представлены на том же рисунке 6.

3. Можно использовать и зенитные ракеты…

Но тут задача несколько усложняется: появились тяга двигателя и изменение массы. Уравнение движения тела с переменной массой m в поле тяготения с постоянным g с учетом аэродинамического сопротивления и тяги двигателя имеет вид d m t v dt m t g f t

F.

На рисунке 7 качественно представлены изменение тяги двигателя в зависимости от времени f t и соответствующее изменение массы ракеты m t. При этом вводится еще одно важное понятие: удельная тяга. Это – характеристика реактивного двигателя, равная отношению создаваемой им тяги

29

ШКОЛА

В

«КВАНТЕ»

Для расчета были использованы следующие параметры: общее время работы твердотопливного двигателя 15 с, максимальная скорость полета 1000 м/с, тяга двигателя 52360 Н, диаметр ракеты 400 мм, масса 685 кг, удельная тяга 2500 Н – с кг, расход топлива 21 кг/c, масса топлива 315 кг. Величина коэффициента аэродинамического сопротивления взята в соответствии с рисунком 2. Результаты моделирования представлены на рисунке 8. Достижимая высота

Рис. 6

Рис. 8

более чем достаточна, придется даже тормозить. Результаты впечатляют!

Рис. 7

(Н) к массовому расходу топлива (кг/с), которая означает, сколько секунд данный двигатель сможет создавать тягу в 1 Н, истратив 1 кг топлива. Физик назвал бы эту величину удельным импульсом. Удельная тяга твердотопливных ракетных двигателей составляет 2500 3000 Н – с кг.

• • • Но что это?! Узнав о раздумьях Старого Приятеля (конечно, по мобильнику), Отличник на воздушном шаре внезапно выздоровел!

36

КВАНТ 2017/№11

Наши опыты с бусинками

$Нам^{1}$ удалось подобрать две подходящие цепочки пластиковых бус диаметром 3 мм и 5 мм – для украшения новогодних елок. Длины цепочек были 8 м и 15 м. Высота падения их из стакана составляла 2 м, линейная плотность обеих цепочек была L z 5 г/м. 1) Сначала мы провели опыт так, как он описан в интернете. Фонтан бусинок поднимается из стакана не сразу – сила растет по мере того, как нарастает импульс уже упавшей части. У нас получились практически одинаковые фонтаны для обеих цепочек. Высота наблюдаемого фонтана составляла от 10 до 20 см. Это около 10% от высоты, с которой падает цепочка. Полная длина цепочки влияет лишь на продолжительность наблюдения. В Кембриджском эксперименте высота фонтана была около 40 см. Существенно сказывается на высоте фонтана то, что уложенные в сосуд элементы цепочки цепляются друг за друга и дополнительно тормозят соскальзывание. У нас качество связок было неважным, бусы каждый раз нужно было аккуратно укладывать. 2) Затем мы видоизменили опыт. В новом варианте бусы не вылетали из стакана вверх, а соскальзывали с почти плоской тарелки

(рис.4). И все равно, через некоторое время поднимался фонтан – вверх и чуть вбок. Значит, дело не в необходимости вертикальной составляющей начальной скорости, а в резком изменении направления скорости – точнее, изменения направления (опрокидывания) импульса, в возникновении нормальной составляющей ускорения, или в другой трактовке – в возникновении центробежной силы (подобно рассмотренным примерам). Развитие фонтана в горизонтальном направлении связано с ускоренным поступательным движением бусинок вбок – прежде чем падать, они пролетают некоторое расстояние. Пренебрежение этим обстоятельством в школьных задачах о соскальзывании нити (цепочки) с края стола часто, и справедливо, подвергается критике. Чтобы оценить это расстояние, мы приближенно решили двумерное уравнение криволинейного движения с переменной массой – задача, необычная для школьников. Смещение вбок оказалось равным около 15 см. Это хорошо совпадает с экспериментом, однако ничего существенного для понимания сути явления такой результат не дает. Поэтому здесь мы и не будем усложнять расчеты, ограничившись описанием движения только вверх. 3) Следующее усложнение опыта понадобилось для того, чтобы отсечь первоначально возникшие соображения о влиянии обратной волны при ударе о землю. Этот эффект несомненно имеет место, но не в нашем случае. Мы проделали соответствующие оценки и измерения упругости нескольких цепочек и провели дополнительный опыт. Он состоял в том, что цепочки бросались с большой высоты (до 5 м) на разные подстилающие поверхности. Однако оказалось, что фонтан вполне может возникнуть, прежде чем конец цепочки ударится о поверхность земли. Здесь, при мягкой связи между звеньями, импульс отдачи теряется в неупругом ударе между отдельными шариками.

Модель и оценки

Рис. 4

1 Эксперименты проводились при участии

одиннадцатиклассника Физико-технического лицея 1 города Саратова Александра Крылова.

Когда соскальзывающая цепочка уже разогналась, то скорость ее в данный момент с хорошей точностью можно принять равной v 2 ax, где x – высота падения упавшей части, a – ускорение падения, отличающееся от ускорения свободного падения g. Расчет этого ускорения a не столь уж и сложен.

КОНКУРС

ИМЕНИ

Рис. 6

Вот и все объяснение явления фонтанирования. Существенным оказывается то, что в полете неразрывная, но несжимаемая и нерастяжимая цепочка дополнительно вытяги-

А.П.САВИНА

вается, чтобы «накопить» избыток длины за счет малого веса вытягиваемого конца цепочки (справа). Конечно, используемая нами модель является довольно упрощенной и обладает рядом недостатков. Так, не учтены потери энергии на работу по изгибанию цепочки. Не учтена и сила сопротивления воздуха, которая должна участвовать при расчете ускорения падения цепочки. При расчетах в итоге оказалась исключенной погонная масса цепочки в наших результатах, но она все-таки где-то должна проявиться. Например, слишком легкая цепочка (нить) начнет парить в воздухе и запутается – как запутывается леска слабо брошенного спиннинга. Но… здесь мы должны остановиться.

КОНКУРС ИМЕНИ А.П.САВИНА

Мы продолжаем очередной конкурс по решению математических задач. Они рассчитаны в первую очередь на учащихся 7–9 классов, но мы будем рады участию школьников всех возрастов. Конкурс проводится совместно с журналом «Квантик». Высылайте решения задач, с которыми справитесь, электронной почтой по адресу: savin.contest@gmail.com или обычной почтой по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» (с пометкой «Конкурс имени А.П.Савина»). Кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором Вы учитесь, а также обратный почтовый адрес. Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в таком случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы. Желаем успеха!

9. Несколько ребят пошли в лес по ягоды. Оказалось, что все собрали ягод поровну. Алеша нашел 1/9 всех собранных ягод черники и 1/11 всех собранных ягод брусники. Ягоды других видов ребята не собирали. Докажите, что Алеша собрал столько же ягод брусники, сколько и черники. Е.Бакаев

10. Есть два выпуклых многоугольника. У первого многоугольника вдвое больше острых углов, чем у второго тупых, а у второго втрое больше острых углов, чем у первого тупых. Также известно, что у каждого из них есть хотя бы один острый угол и что у этих многоугольников (одного или обоих) есть еще и прямые углы. а) Приведите пример, как такое может быть.

б) Сколько прямых углов у каждого из многоугольников? (Требуется найти все варианты и доказать, что других нет.) И.Акулич

11. Оказалось, что в группе по изучению французского языка для любых двух девочек есть ровно один мальчик, который нравится им обеим, и каждый мальчик нравится по крайней мере трем девочкам. Приведите пример такой группы, в которой учится больше одного мальчика. Ф.Нилов

12. Доска 12 ¥ 12 разрезана на трехклеточные уголки. Можно ли утверждать, что существует горизонтальный или вертикальный ряд клеток, который пересекается не менее чем: а) с 8 уголками; б) с 9 уголками; в) с 10 уголками? С.Костин

ОЛИМПИАДЫ

XLVIII Международная физическая олимпиада

С 16 по 24 июля 2017 года в городе Джокьякарте (республика Индонезия) прошла очередная, XLVIII Международная физическая олимпиада (МФО) школьников. В олимпиаде участвовали 390 школьников из 85 стран. Команду России в этом году представляли: Сергей Власенко (Воронеж), Станислав Крымский (Санкт-Петербург), Кирилл Паршуков (Республика Коми), Дмитрий Плотников (Москва), Василий Югов (Пермь). Приятно отметить, что все наши участники получили золотые медали. Ниже приводятся условия задач теоретического тура олимпиады.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ТУР

Задача 1. Темная материя

Фриц Цвики первым указал на существование темной материи. Он пришел к этому выводу, анализируя динамику скопления галактик Кома. Скопление (кластер) содержит около тысячи галактик. С помощью теоремы о вириале Цвики оценил полную массу скопления. Для систем, подобных Солнечной системе, в которой планеты вра-

щаются по круговым орбитам вокруг Солнца, теорема о вириале утверждает, что кинетическая энергия планет определяется потенциальной энергией гравитационного взаимодействия. В общем случае, для системы взаимодействующих частиц, теорема о вириале связывает усредненную по времени полную кинетическую энергию системы и усредненную по времени полную потенциальную энергию системы. Исследуя скорости галактик на периферии Кома-кластера, Цвики пришел к выводу, что полная масса кластера превышает массу входящих в него галактик, наблюдаемых визуально. Чтобы объяснить величины скоростей галактик на периферии кластера, недостаточно учесть гравитационное взаимодействие только с наблюдаемой материей (т.е. видимыми галактиками). Это означало, что в кластере содержится еще какая-то невидимая материя. Если учесть гравитационное взаимодействие с ней, то можно объяснить бульшие значения наблюдаемых скоростей. Эта невидимая материя и есть «темная материя». В дальнейшем будем считать, что масса каждой галактики равна сумма масс видимой материи и темной материи этой галактики. Оба вида материи движутся совместно. Считайте, что темная материя взаимодействует с видимой только гравитационно.

Сборная команда России и ее руководители. Слева направо: М.Н.Осин, В.А.Шевченко, С.Власенко, В.Югов, С.Крымский, Д.Плотников, К.Паршуков, Ф.М.Цыбров, А.А.Воронов

А. Скопление галактик Пусть кластер (скопление) состоит из большого числа N галактик и темной материи, распределенных однородно внутри сферы радиусом R. Полная масса кластера (т.е. и входящих галактик, и темной материи) M, а средняя масса галактики (состоящей из видимой и темной материи) m. А1. Пусть материя распределена в кластере однородно. Найдите полную гравитационную энергию кластера. Ответ выразите через M и R. (1 балл)

50

КВАНТ 2017/№11

11 класс

1. Доктор Ватсон провожал Генри Баскервиля на железнодорожной платформе вокзала Паддингтон. Стоя у начала 4-го вагона (нумерация вагонов начинается от локомотива), доктор определил, что начавший двигаться вагон прошел мимо него за $t_{1} = 4,7$ с, а весь поезд – за $t_{2} = 18,2$ с. Сколько вагонов было у поезда, отправившегося в Плимут (графство Девоншир)? Движение поезда считать равноускоренным. 2. В некоторой жидкости в состоянии безразличного равновесия плавает герметичный контейнер в форме параллелепипеда (рис.3). Его геометрические размеры

ри шарика превышает атмосферное в 1,3 раза. На какое расстояние сдвинется поршень, если шарик лопнет? 5. В электрической схеме, показанной на рисунке 5, осуществляют зарядку конденсаторов следующим образом: сначала за- Рис. 4 мыкают ключ $K_{1}$ и спустя некоторое время размыкают его. После этого замыкают ключ $K_{2}$. Определите напряжение, установивше-

Рис. 5

Рис. 3

a = 0,8 м, b = 0,5 м, c = 1,9 м. Сила гидростатического давления, действующая на верхнюю грань площадью $S_{верх} a s b$ равна $F_{1} = 5$ кН, а на боковую грань площадью $S_{бок} b s c$ равна $F_{2} = 40$ кН. Найдите массу контейнера. 3. В электрочайник из большой бочки с водой налили некоторое количество воды. Вода закипела через $t_{1} = 15$ мин после включения чайника. Сразу же после начала кипения в чайник добавили дополнительную порцию воды из той же бочки, после чего температура воды в чайнике понизилась на T 38 o C. Через $t_{2} = 18$ мин после этого вода снова закипела. Определите температуру воды в бочке. 4. Вертикальный цилиндр с теплопроводящими стенками закрыт невесомым поршнем площадью $S 375 см^{2}$, который может перемещаться без трения (рис.4). Внутри цилиндра находится воздух и воздушный шарик объемом $V 1436 см^{3}$. Давление внут- еся на первом конденсаторе. Параметры элементов схемы имеют следующие значения: электрические емкости $C_{1} = 74$ мкФ, $C_{2} = = 62$ мкФ, ЭДС источников напряжения $E_{1} = 7,8$ В и $E_{2} = 19,2$ В. 6. Студенты Политеха изобрели самоварящийся суп из влагозащищенного смартфона. Рецепт его прост: в термос наливается немного теплой воды, t 26 o C, и в нее опускается полностью заряженный смартфон массой $m_{см} = 126$ г, на котором запущен показ фильмов. Выделяющееся при этом тепло нагревает воду, а аккумуляторная батарея телефона с напряжением U = 3,7 В и емкостью q 1900 мA – ч полностью разряжается. Какое максимальное количество воды можно взять, чтобы суп все-таки «сварился» (вода дошла до кипения), а студенты получили Шнобелевскую премию? Средняя удельная теплоемкость материалов смартфона $c_{см} 0,6$ кДж кг – К, удельная теплоемкость воды $c_{в} 4,2$ кДж кг – К. Внимание! Не повторять – возможен взрыв! 7. В wi-fi адаптере MaxWi-MaxFi-2019 при переключении с 38 канала (частота 5095 МГц) на 12 канал (частота 2467 МГц) емкость колебательного контура его радио-

51

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ

передатчика изменяется на 2,9 пФ. Чему равна индуктивность этого контура? 8. Пока его спутники, залепив уши воском, направляли корабль параллельно берегу острова, привязанный к мачте Одиссей слушал пение сирен. Он обнаружил в их пении мощные колебания на частоте f = 21 Гц, которые влияли на бета-ритмы мозга и подавляли у моряков способность мыслить. Одиссей почувствовал, что его страдания минимальны, когда корабль находился точно напротив одной из сирен, и стали невыносимы, когда корабль проплыл d = 108 м и оказался на одинаковом расстоянии от обеих сирен. Но затем страдания вновь пропали, когда корабль проплывал мимо второй сирены. На каком расстоянии от берега с сиренами проплывал корабль Одиссея? Скорость звука в тот вечер была v = 338 м/с.

Заключительный тур

9–10 классы

1. Маленький каучуковый шарик движется между двумя массивными вертикальными стенками, соударяясь с ними. Одна из стенок неподвижна, а другая удаляется от нее с постоянной скоростью u = 100 см/с. Считая движение шарика все время горизонтальным, а удары абсолютно упругими, найдите его окончательную скорость, если начальная скорость шарика была $v_{0} = 2017$ см/с. (15 баллов) 2. Спутник запускают на полюсе Земли строго вертикально с первой космической скоростью. На какое максимальное расстояние от поверхности Земли удалится спутник? (Ускорение свободного падения у поверхности Земли g 10 м $с^{2}$, радиус Земли R = 6400 км.) (15 баллов) 3. Определите массу m гелия, которым нужно заполнить пустой воздушный шарик массой $m_{1} = 10$ г, чтобы шарик взлетел. Температуру и давление газа в шарике принять равными температуре и давлению воздуха. Молярная масса гелия $-_{г} 4$ г моль, молярная масса воздуха $-_{в} 29$ г моль. (15 баллов) 4. Тщательно очищенную воду можно переохладить до температуры ниже 0 o C. Однако если в нее бросить кристаллик льда, то вода немедленно начнет замерзать. Какая часть переохлажденной до 10 o C воды,

МАТЕРИАЛЫ

находящейся в термосе, замерзнет, если в нее бросить маленькую льдинку? Удельная теплоемкость воды c 4200 Дж кг – К, удельная теплота плавления льда L 330 кДж кг. (15 баллов) 5. Шесть резисторов сопротивлениями $R_{1} = 1$ Ом, $R_{2} = 2$ Ом, $R_{3} = 3$ Ом, $R_{4} = = 4$ Ом, $R_{5} = 5$ Ом и $R_{6} = 6$ Ом соединены последовательно и замкнуты кольцом. К получившейся цепи подключили источник постоянного напряжения так, что сопротивление цепи между его клеммами максимально. Напряжение источника U = 12 В. Найдите мощность, выделяющуюся на резисторе сопротивлением $R_{3}$. (25 баллов) 6. Посмотрев с края берега ручья вниз, Вовочка решил, что высоты его резиновых сапог хватит, чтобы перейти ручей вброд. Однако, совершив переправу, Вовочка замочил ноги по колено (H = 52 см). Оцените, какой высоты h сапоги у Вовочки. Глубину ручья считать постоянной, показатель преломления воды n = 1,33. (15 баллов)

11 класс

1. Электропоезд Сапсан, приближаясь к железнодорожной станции со скоростью v = = 216 км/ч, за полкилометра до нее подает предупредительный звуковой сигнал длительностью t = 5 с. Какова будет длительность сигнала $T с точки зрения пассажиров, стоящих на платформе? Скорость звука в воздухе c = 340 м/с. (10 баллов) 2. Деревянный куб с ребром l = 30 см плавает в озере. Плотность дерева R 750 кг $м^{3}$, плотность воды $R_{0} 1000$ кг $м^{3}$. Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы полностью вытащить куб из воды? (15 баллов) 3. На диаграмме (рис.6) изображен процесс нагревания неизменной массы одноатомного идеального газа. Определите КПД этого процесса. (20 баллов)

Рис. 6

52

КВАНТ 2017/№11

4. В вершинах квадрата со стороной a расположены четыре заряда: q, q, q, –q. Чему равны модуль напряженности E и потенциал J электрического поля в середине стороны квадрата, соединяющей положительный и отрицательный заряды? (q = = 2 нКл, а = 20 см). (15 баллов) 5. Вольтметр, подключенный к клеммам источника тока с ЭДС, равной 12 В, показывает напряжение $U_{1} = 9$ В. К клеммам источника подсоединяют еще один такой же вольтметр. Определите показания вольтметров. (Сопротивление источника ненулевое, сопротивление вольтметров конечное.) (20 баллов) 6. Рассеивающая линза дает изображение гвоздя, уменьшенное в 4 раза. Гвоздь расположен на главной оптической оси линзы шляпкой к линзе. Длина гвоздя l = 20 см, оптическая сила линзы D = –5 дптр. Найдите расстояние от оптического центра линзы до шляпки гвоздя. (20 баллов)

´ – эквиваленция А. NOT (A AND B) Б. (NOT A) XOR (NOT B) В. A AND NOT A AND B Г. (A ´ B) OR (A XOR B) 3. Дана логическая схема (рис.7). Выберите те наборы значений (один или несколько), при подаче которых на вход схемы на выходе будет значение 1.

ИНФОРМАТИКА

Отборочный тур

9–10 классы

1 этап

1. Экспериментируя с кодированием текстовой информации, школьник Сидор выполнил следующие действия: 1. Записал в первой строке название своего родного города прописными буквами кириллицы. 2. Под каждой буквой (во второй строке) написал ее ASCII-код. 3. Вычел из каждого кода значение самого маленького из записанных во 2-й строке чисел, результат записал под ним. В результате в третьей строке оказались записанными числа 3 20 0 20 4. В каком городе родился Сидор? Ответ – название города в именительном падеже. 2. Упорядочите логические выражения по возрастанию количества единиц в таблице истинности. Обозначения: NOT – отрицание AND – конъюнкция ОR – дизъюнкция XOR – исключающее ИЛИ Æ – импликация

Рис. 7

А. Х1=0; Х2=0; Х3=1; Х4=0 Б. Х1=1; Х2=1; Х3=0; Х4=1 В. Х1=0; Х2=0; Х3=0; Х4=1 Г. Х1=1; Х2=0; Х3=1; Х4=1 4. Определите количество натуральных чисел, которые одновременно удовлетворяют следующим условиям: 1) В 20ричной и в 7ричной системах счисления число двузначно. 2) В 3чной системе счисления число четырехзначно. 3) В двоичной записи числа не менее четырех единиц. 5. На рисунке 8 представлены пять рисунков. Они одинакового размера (200 на 200 пикселей) и представляют собой 24-разрядные точечные рисунки. Рисунки преобразо-

Рис. 8

вали в формат .JPG. Упорядочите файлы по возрастанию размера получаемых из них jpg-файлов.

53

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ

2 этап

1. Перед Новым годом Делфтского Яблокоеда (виртуальное существо, постоянный персонаж Политехнической олимпиады, обитает в одномерных и двумерных стеллажахмассивах) научили перемещаться по стеллажу по алгоритму Гирлянда. В приведенном ниже описании алгоритма (рис.9) команды ВНИЗ, ВПРАВО, ВЛЕВО означают перемещение в соседнюю ячейку в указанном

Рис. 9

направлении, остальные команды соответствуют правилам алгоритмического языка, применяемого на ЕГЭ и ОГЭ. Итак, яблокоеда сажают в произвольную ячейку двумерного стеллажа-массива, и он начинает движение. В каждой из посещенных ячеек он, естественно, съедает одно яблоко. Если в ходе движения Яблокоед пытается переместиться в несуществующую ячейку, происходит «прерывание»: лаборант-яблокоедовед ловит выпавшего из стеллажа Яблокоеда и уносит в клетку (вместе со всеми содержащимися в нем яблоками). А вот теперь вопрос. Ниже приведены числа. Какие из них ни при каком размере массива и ни при каком начальном расположении яблокоеда не могут быть количеством содержащихся внутри Яблокоеда в момент прерывания яблок? 1 5 9 14 2. Сказка. Довольно грустная. Один молодой лентяй-разгильдяй, далее Л-Р, получил в наследство от тетушки сад с кустами роз. Ежедневно на каждом из кустов распускалась одна роза. Ежедневно Л-Р срезал все распустившиеся розы, а также выкапывал один розовый куст. Все это он относил в расположенную неподалеку оптовую цве-

МАТЕРИАЛЫ

тоторговую фирму и продавал: розы по 10 руб. за штуку, а куст за 100 руб. Кустов становилось все меньше, и вот однажды Л-Р принес продавать последнюю розу и последний куст. Он, естественно, был печален, и его совсем не утешило сообщение сотрудника фирмы, что за время цветоторговли он заработал 57230 руб. Сколько дней длился бизнес Л-Р? 3. Ниже (рис.10) приведен алгоритм, описанный на псевдокоде. Операция mod означает вычисление остатка от деления первого операнда на второй (т.е. K mod L – это остаток от деления K на L). При вводе значения L = 11 и некоторого натурального значения К в ходе выполнения алгоритма были выведены числа 7, 5 и 0. Найдите наимень- шее возможное значение К. 4. Давным-давно, во времена пионеров, в одной из школ потребовалось в какой-то очень торжественный день выставить караул у зна- Рис. 10 мени. Караул должен представлять собой пару пионеров, причем обязательно одного роста. Сколько же пар часовых можно сформировать из N пионеров? Эту задачу директор школы поставил перед пионервожатым Мишей. Ясно, что ни один из пионеров не должен дежурить более одного раза и что найдутся неудачники, которым пары не нашлось… Миша решил воспользоваться данными о росте пионеров, имевшимися в медкабинете, чтобы вычислить возможное количество пар «часовых». Медсестра Клавдия Петровна любезно согласилась отсортировать медкарты по неубыванию роста и выписать данные о росте на бумажку. Тут бы Мише и остановиться… но он решил воспользоваться передовыми для того времени компьютерными технологиями и написал программу, работающую с массивом R (те самые отсортирован-

54

КВАНТ 2017/№11

ные по неубыванию роста пионеров), элементы которого пронумерованы от 1 до N. Для вашего удобства программу Миши мы перевели с древнего языка Алгол на псевдокод (рис.11). Вам не придется строить пио-

проезжать Главную вершину (ГДЕТОТАМ – ГДЕТОТА – ГДЕТОТ – ГДЕТОТУ – ГДЕТОТУТ). А вот чтобы приехать из ТУТ в ЗДЕСЬ – надо. А теперь задача: упорядочите эти пары вершин по возрастанию числа «транзитных» вершин на пути от первой ко второй. К примеру, чтобы доехать из КЕКС в ПУПС, надо проехать 7 «транзитных» вершин. А. ПРИЗРАК – ПРИЗНАК Б. КРУГ – КРОНА В. СИНУС – КОСИНУС Г. РАКЕТА – РАК Д. РАК – МРАК Е. ГРАМОТА – ГРАБИТЕЛЬ

11 класс

1 этап

Рис. 11

неров и караулить знамя. Ваша задача – определить, в какой строке программы Миши содержится ошибка, какой символ в ней надо заменить и на какой. Ответ – строка, содержащая ответы на эти вопросы, разделенные пробелами (например, если вы полагаете, что в строке 13 надо заменить А на 1, то пишите «13 А 1»). 5. В одной маленькой симпатичной стране есть отличная сеть государственных дорог, ведущих от столицы к самым разным точкам страны. Она похожа на снежинку. Непонятно? Ну тогда она похожа на нейрон. Все равно непонятно? Объясняем для блондинок: она представляет собой неориентированный связный граф без циклов. Вершины этого графа обозначаются строками символов, означающими последовательность указателей, которым надо следовать, чтобы добраться до данной вершины от Главной вершины (она находится у Центрального автовокзала и обозначения, естественно, не имеет). Чтобы добраться от Главной вершины до вершины ГДЕТОТАМ, надо свернуть на дорогу к вершине Г, доехав до Г, повернуть на ГД, из ГД ехать в ГДЕ и т.п. А чтобы доехать от ГДЕТОТАМ до Главной вершины, надо последовательно проехать ГДЕТО- ТА, ГДЕТОТ, ГДЕТО и т.п. Естественно, можно ездить по этим трассам из любой вершины в любую и, чтобы добраться из ГДЕТОТАМ в ГДЕТОТУТ, вовсе не нужно

1. Братья Ёксель и Пиксель придумали себе высокоинтеллектуальную игру. Сначала генератор случайных чисел выдавал два целых значения из интервала от 0 до 255, будем называть их байтами А и В. Далее Ёксель выбирал одну из трех поразрядных операций – И, ИЛИ, исключающее ИЛИ – и выполнял ее над числами А и В. Получалось число С. Затем Пиксель брал число С и переставлял в нем биты так, как считал нужным. Результатом этой операции было число D. А потом братья выполняли над числами C и D поразрядную операцию исключающее ИЛИ, назовем результат этого действия числом Z. И Пиксель записывал себе столько очков, сколько единиц в числе Z, а Ёксель – столько, сколько ноликов. Ввиду высокого интеллекта братьев, оба они всегда играли оптимально. И вскоре, едва взглянув на выпавшие числа, сразу записывали очки в табличку. Сколько баллов запишет себе Ёксель, если выпали числа 129 и 188? 2. Задумано натуральное число из диапазона от 1 до N. Имеются 3 высказывания. А = {Задуманное число кратно 5} B = {Задуманное число содержит цифру 5} С = {Задуманное число содержит цифру 1} Известно, что сообщение «Высказывание (B and not C) m A для задуманного числа ложно» содержит ровно 4 бита информации об этом числе. Найдите наименьшее значение N, при котором это возможно.

55

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ

Пояснение: m – импликация, and – конъюнкция, not – инверсия. 3. См. задачу 4 (первого этапа) для 9–10 классов. 4. См. задачу 5 (первого этапа) для 9–10 классов. 5. Боря сложил из карточек с буквами слово. Затем перевернул карточки и перемешал. Потом вынул наугад одну карточку, посмотрел на нее и сообщил своему коту Бейсику: «Это буква О!» Бейсик, который ранее видел сложенное слово, понял, что Боря дал ему примерно 1,32 бита информации. Какое из перечисленных ниже слов было сложено? ЛОМ КОЛОК КЛОН ОКО КОЛОКОЛ МОЛОКО

2 этап

1. См. задачу 1 (второго этапа) для 9–10 классов, но варианты значений следующие: 1 5 9 14 30 39 60 90. 2. Сколько чисел из интервала от 100 до 10000 (в десятичной системе счисления) являются палиндромами одновременно и в 3й, и в 7й системах счисления? (Палиндром – число, которое читается одинаково и слева направо, и справа налево; например, 12110, 1012, D16.) 3. См. задачу 5 (второго этапа) для 9–10 классов. 4. Вот алгоритм, описанный на псевдокоде (рис.12). Функция СлЧислоМежду возвращает целое случайное число из интервала

Рис. 12

МАТЕРИАЛЫ

[MIN, MAX] (все числа интервала, включая границы, равновероятны). Как видите, значение переменной MAX нам неизвестно (но заведомо корректно: 1 < MAX < 50). Однако известно, что при многократных выполнениях алгоритма максимальное значение приобретал элемент С[11]. Определите минимальное возможное количество элементов массива С, которые после выполнения алгоритма имеют значение 0. 5. Вот рецепт сырного салата. 1. Сварить вкрутую 3 яйца. 2. Весь имеющийся в доме сыр (в том числе старые подсыхающие кусочки) натереть на мелкой терке. 3. Мелко нарубить яйца, добавить их к натертому сыру. 4. Очистить и мелко нарезать 3 крупных зубчика чеснока, добавить к сырно-яичной смеси. 5. Добавить 300 г майонеза, перемешать, дать постоять 1 час. 6. Салат готов к употреблению. Как известно, кулинарный рецепт – это алгоритм приготовления блюда. Но данный алгоритм не обладает одним из существенных для алгоритма свойств. Каким именно? А. Детерминированность. Б. Однозначность. В. Конечность. Г. Массовость. Д. Дискретность.

Заключительный тур

9–10 классы 1 (15 баллов). Имеется подалгоритм (рис.13), получающий на вход 2 натураль-

Рис. 13

57

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ

Рис. 17

МАТЕРИАЛЫ

соответственно. На основе этих данных определите среднюю длину корабля. 6 (25 баллов). Делфтский яблокоед (ДЯ), специалист по многомерным массивам, столкнулся со следующей задачей. Имеется набор данных, представляющий собой N-мерный массив. Известен размер массива по каждому из измерений $M_{i}$, i=0…N – 1 (поскольку эти данные представляют собой массив, логичнее нумеровать их с нуля). Но содержимое многомерного массива, к сожалению, представлено в памяти в виде массива одномерного. Порядок элементов традиционный, в порядке возрастания индексов, начиная с левого (например, при N=2 и М={2,3} элементы исходного массива расположатся в таком порядке: [0,0], [0,1],[0,2], [1,0], [1,1], [1,2]). Требуется определить, каким будет индекс в этом одномерном массиве у элемента, который в многомерном массиве имеет индексы $T_{i}$, i=1…N. ДЯ быстренько разработал алгоритм подсчета номера в одномерном массиве (рис.19;

Рис. 18

5 (20 баллов). Поле для игры «Большой морской бой» представляет собой квадрат из $2^{N}$ на $2^{N}$ клеток. Корабли располагаются на игровом поле по правилам обычного «Морского боя»: по вертикали или по горизонтали, не соприкасаясь ни сторонами, ни углами. Имеются 4 варианта длины корабля. Были предложены 3 способа кодирования данных о расстановке кораблей. 1. Массив, отображающий состояние каждой клетки поля игры (свободна или занята кораблем). 2. Список кораблей: для каждого корабля хранятся координаты (X,Y) его левого верхнего угла, направление (по горизонтали или по вертикали) и номер варианта длины. 3. Список занятых клеток поля: для каждой занятой клетки хранятся ее координаты (X,Y). Все составные части данных во всех вариантах кодируются наименьшим возможным числом битов. Известно, что объем данных при кодировании по 1, 2 и 3 вариантам составит 128 кбайт, 23000 бит, 462500 байт

Рис. 19

для удобства строки пронумерованы). Однако тестирование показало, что алгоритм содержит ошибку. Вам предстоит ее найти и описать, как изменить алгоритм. При этом чем меньше изменений вы внесете в алгоритм – тем выше будет оценено ваше решение (если оно, конечно, будет верным).

Публикацию по математике подготовили И.Комарчев, А.Моисеев, С.Преображенский, Г.Шестакова;

по физике – Т.Андреева, М.Коробков, С.Старовойтов;

по информатике – Н.Иванова, Е.Крылова, А.Щукин