Квант 2017, №12 · Страницы

3

АСТРОНОМИЯ

ВЕРНУЛАСЬ

Туманность Ориона – облако межзвездного газа ческом сантиметре. А насколько низкие плотности достижимы в «космической лаборатории»? Во время солнечного затмения мы видим сияющую корону Солнца; ее плотность $10^{8} - 10^{9} см^{-} 3$. На Земле это сверхвысокий вакуум, а в космосе – весьма ощутимая среда. Удаляясь от Солнца, мы видим, как солнечная корона, превращаясь в поток солнечного ветра, становится все менее и менее плотной. У орбиты Земли плотность солнечного ветра снижается до $10 см^{-} 3$. Примерно такую же плотность имеют облака межзвездного газа, а между этими облаками межзвездное пространство еще разреженнее – всего лишь $1 см^{-} 3$, а то и меньше. Это в миллиард раз меньше плотности самого высокого лабораторного вакуума. Атомы в таких условиях могут долго оставаться в одиночестве, не взаимодействуя с другими атомами. При этом проявляются их свойства, недоступные изучению в лаборатории, например возбужденные состояния с большим временем жизни. Переходы из таких состояний в состояния с меньшей энергией «запрещены», т.е. происходят крайне редко, поэтому соответствующие линии в спектре излучения тоже называют запрещенными. В лаборатории такой возбужденный атом обязательно столкнется с соседом и передаст ему энергию без излучения. А в разреженном космосе атом долго может ле-

В

ШКОЛУ

тать без столкновения, пока не излучит запрещенную линию. Поэтому именно в спектрах межзвездных облаков были обнаружены и изучены запрещенные переходы в атомах, что заметно продвинуло атомную физику. Но межзвездная среда – это еще не предел пустоты. Межгалактический газ в скоплениях галактик имеет плотность $10^{-} 4 - 10^{-} 2 см^{-} 3$, в пространстве между скоплениями вещества – еще меньше. А средняя концентрация атомов во Вселенной – около 3 ◊ $10^{-} 7 см^{-} 3$, иными словами – один атом (водорода) в кубометре пространства. Вот это астрономы и называют сверхвысоким вакуумом: в миллион миллиардов раз лучше, чем в лаборатории! Теперь обратимся к высоким плотностям. Изучать вещество при сильном сжатии очень важно – хотя бы для того, чтобы понять, как оно ведет себя в недрах Земли. Из природных материалов высокой плотности мы знакомы со свинцом ( 11 г $см^{3} ),$ золотом ( 19 г $см^{3} ),$ осмием ( 23 г $см^{3} ).$ Максимальные плотности и давления, достигнутые в лабораториях на прессах с алмазными наковальнями, близки к тем, которые мы имеем в ядре Земли. До условий, царящих в недрах планет-гигантов, лабораторные установки еще не дотягивают. Что уж говорить о ядре Солнца, где плазма сжата до плотности 150 г $см^{3}$ и мы имеем возможность изучать ее поведение, регистрируя приходящие оттуда нейтрино. А звезды постарше нашего Солнца, уже завершившие свою эволюцию, оставляют после себя остывающие ядра – белые карлики. Плотность их вещества с трудом укладывается в нашей фантазии: $10^{5} - 10^{8}$ г $см^{3}$. Это же 100 тонн в наперстке! И таких объектов вокруг нас много; астрономы изучают их уже второе столетие. Но остатки эволюции массивных звезд еще удивительнее – это нейтронные звезды, имеющие плотность $10^{13} - 10^{14}$ г $см^{3}$. Тут уже наша фантазия окончательно сдается – ведь это 100 млн тонн в наперстке! Никогда на Земле мы не получим вещество при такой плотности в макроскопических

4

КВАНТ 2017/№12

количествах. А изучать его в космосе вполне возможно. Обнаружены же тысячи нейтронных звезд, и мы можем следить за их поведением и наблюдать их поверхность. Кстати, вблизи их поверхности существуют фантастические магнитные поля с индукцией до $10^{11}$ Тс, тогда как в лаборатории мы может создавать лишь до $10^{4}$ Тс. Разрыв в 10 миллионов раз! Вряд ли в обозримое время его удастся преодолеть. А изучать поведение вещества в магнитных полях нейтронных звезд мы можем уже сегодня. И это поведение поистине удивляет. Например, атом водорода, помещенный в такое поле, из шарика превращается в ниточку (вспоминаем силу Лоренца). А если вычислить плотность массы магнитного поля с индукцией $B = 10^{11}$ Тс, то получим не менее удивительный результат: $R_{B} = B^{2} 2 M_{0} c^{2} = 40$ т $см^{3}$. Вы только подумайте: 40 тонн массы в каждом кубическом сантиметре пустоты, пронизанной магнитным полем! И эти условия доступны для изучения, космос дарит их нам. Нейтронные звезды с рекордными магнитными полями, так называемые магнитары, сейчас активно исследуются астрофизиками.

Еще один «космический бонус» для физики – это частицы высокой энергии, которые физики используют для зондирования внутренней структуры элементарных частиц и рождения новых их типов, ранее неизвестных ученым. Чем выше энергия частицы-ударника, тем интереснее результаты. Большой адронный коллайдер способен разгонять протоны до энергии $10^{13}$ эВ. Проект Очень большого адронного коллайдера (VLHC) предусматривает энергию $10^{14}$ эВ. Вряд ли в обозримое время будет создано что-либо более мощное. А из космоса в составе галактических космических лучей к нам прилетают протоны с энергией до $10^{20}$ эВ, в миллионы раз энергичнее тех, что разгоняет коллайдер. Ускоритель с такой энергией вообще нельзя построить на Земле, поскольку его размер был бы больше, чем у самой планеты. Не говоря уже о его стоимости. А из космоса быстрые частицы прилетают к нам бесплатно. Академик Яков Борисович Зельдович говорил, что Вселенная – это ускоритель для бедных. Но, как видим, и самые богатые не способны создать такой ускоритель, который бы конкурировал со Вселенной.

Крабовидная туманность. Это остаток взорвавшейся массивной звезды, в центре которого находятся ее сохранившееся ядро – нейтронная звезда

Физический «айсберг»: что мы знаем, а что предстоит узнать

(

)

5

АСТРОНОМИЯ

ВЕРНУЛАСЬ

И наконец, именно астрономия указала физикам на существование в природе двух таинственных сущностей – темной материи и темной энергии. Поисками темной материи (а точнее – темного вещества) активно заняты сейчас физики-экспериментаторы. Понять антигравитационную сущность темной энергии пытаются физики-теоретики. Без астрономических наблюдений мы бы никогда не узнали о существовании этих двух загадочных объектов природы, заполняющих Вселенную своей массой-энергией на 95%. Можно лишь восхищаться тем, что, наблюдая 2% массы Вселенной (звезды, межзвездный газ, планеты), астрономы смогли узнать о существовании и некоторых свойствах невидимых 98% массы Вселенной. Это открывает перед физикой захватывающую перспективу: изучение нашего мира, по сути, только начинается!

В

ШКОЛУ

астрономии. При этом космические условия ставят перед техникой небывалые задачи. Созданы зонды, работавшие на поверхности Титана при температуре $- 180 \infty$ С и на поверхности Венеры с температурой $+ 460 \infty$ С. Марсоход «Opportunity» (NASA) уже 14 лет путешествует без ремонта по Красной планете, а некоторые межпланетные аппараты в условиях высокой космической радиации исправно несут службу уже более 40 лет! Надежность и миниатюрность современной бытовой электроники в значительной степени обязана технологиям, развитым при создании этих космических зондов. Но астрономы не останавливаются на прямом исследовании планет Солнечной системы. За последние годы открыты тысячи планет у соседних звезд, и к некото-

Техника

Астрономия, как и другие ветви естествознания, использует самые современные технологии и сама стимулирует их развитие. Можно вспомнить, что запущенный в 1990 году на орбиту космический телескоп «Хаббл» сначала давал некачественные изображения, поскольку его объектив страдал сильной аберрацией. Для исправления этого недостатка и восстановления качества изображения были развиты мощные математические методы решения обратной задачи, в дальнейшем нашедшие применение в компьютерной томографии. Для улучшения качества изображений, полученных наземными оптическими телескопами, сейчас развиваются методы активной и адаптивной оптики. Результаты поразительны: испорченное неоднородной атмосферой Земли изображение космического объекта удается в реальном времени восстановить почти до идеального состояния, как будто бы телескоп работает за пределом атмосферы, а не на дне воздушного океана. Изучение Солнечной системы сегодня в значительной степени опирается на космонавтику и автоматические межпланетные зонды. Это стало неотъемлемой частью

Марсоход «Opportunity»

Межзвездный микрозонд со световым парусом

6

КВАНТ 2017/№12

рым из них тоже хотелось бы послать автоматических разведчиков. Еще недавно это казалось чистой фантазией, поскольку межзвездные перелеты требуют околосветовых скоростей. Но в этом направлении уже ведется практическая работа. Проект Breakthrough Starshot предполагает создание сверхмалого исследовательского аппарата, который отправится со скоростью 1/5 от скорости света к планетам ближайших звезд ( A Кентавра и др.) с помощью светового паруса, «надуваемого» излучением огромной системы лазеров, использующих адаптивную оптику. Это уже не фантазия, а практическая работа, объединившая в себе астрономию, космонавтику и нанотехнологии.

Математика

Казалось бы, связь математики с астрономией очевидна: математический аппарат – это инструмент естествознания. Действительно, в большинстве случаев в астрономии математика играет служебную роль: астроном, прочесывая небо телескопом, открывает новые объекты, а затем математика помогает ему вычислить орбиту обнаруженного тела. Но бывает и подругому. Французский математик Урбен Леверье (1811–1877), анализируя движение планеты Уран, случайно открытой Уильямом Гершелем (1738–1822), понял, что в Солнечной системе есть еще одно массивное тело, и предсказал существование новой планеты на периферии Солнечной системы. Основываясь на отклонении Урана от расчетной траектории, Леверье вычислил положение неизвестной планеты, и по его указанию астрономы тут же ее обнаружили: Нептун был открыт 23 сентября 1846 года, как говорили тогда, «на кончике пера». Повторялось ли подобное математическое чудо в истории астрономии? Пока нет. Даже попытка самого Леверье предсказать еще одну планету рядом с Солнцем, внутри орбиты Меркурия, оказалась безуспешной: планета Вулкан (так ее заранее назвали) не существует, а «неправильности» в движении Меркурия объяснила общая теория относительности Эйн-

штейна. Но, кажется, сейчас мы вновь стоим на пороге математического открытия большой планеты; на сей раз не на кончике пера, а на мониторе компьютера. Исследователи из Калифорнийского технологического института Майк Браун и Константин Батыгин в 2016 году опубликовали статью, в которой высказали гипотезу о существовании в Солнечной системе планеты массой более 10 земных и размером примерно с Нептун. Новая планета, которую исследователи называют Девятой планетой, может обращаться вокруг Солнца с периодом в десятки тысяч лет. На ее существование указывает анализ орбит обнаруженных за последние годы крупных астероидов и карликовых планет на далекой периферии Солнечной системы, в поясе Койпера. Их орбиты распределены не хаотично, а в определенном порядке. Математическое моделирование показало, что «дирижирует» их движением неизвестное массивное тело – Девятая планета.

Орбиты внешних тел Солнечной системы и предполагаемая орбита гипотетической Девятой планеты

Ее орбита приблизительно известна, но положение планеты на орбите математическая модель предсказать не может. Уже два года астрономы ищут эту планету, но задача непростая: из-за удаленности от Солнца Девятая планета должна выглядеть весьма тускло. Для ее поиска нужны самые зоркие телескопы, а они в дефиците. Но, как известно, кто ищет, тот всегда найдет.

(Продолжение следует)

8

КВАНТ 2017/№12

Рис. 1

это больше 1. Так можно ли сложить 10 треугольников? Во второй задаче требуется сложить из плоского листа бумаги поверхность тора – фигуры, похожей на бублик (рис.2).

Можно ли плоскую фигуру перевести в тор изометрическим преобразованием, которое сохраняет длины всех линий на поверхности? Как мы видели, участки плоскости можно изометрически преобразовать в цилиндр и в конус. Изометрическое преобразование куска плоскости в кусок сферы – мечта всех картографов! При этом плоские карты можно было бы переводить на глобус с сохранением всех расстояний. Но увы, это невозможно. Сфера даже локально не изометрична плоскости. Доказать это просто. Возьмем сферу радиуса 1, точку M на ней и рассмотрим множество всех точек сферы, удаленных от M на маленькое расстояние a. Расстояние на сфере – это длина дуги большого круга, проходящего через центр сферы. Из произвольной точки A этого множества опустим перпендикуляр AK на прямую OM (рис.3). Ясно, что его длина

Рис. 3

Рис. 2

Задача 2. Можно ли свернуть прямоугольный лист бумаги так, чтобы получить тор? (Рвать и растягивать бумагу запрещается, можно только сворачивать.) Прямоугольный лист легко свернуть в «трубочку», т.е. в цилиндр. Но дальше свернуть этот цилиндр в тор, и даже просто согнуть его, не получается. Силач может согнуть железную трубу, но поверхность трубы при этом растянется, так делать нельзя. Можно прямоугольный лист свернуть в конус (хотя при этом останется неиспользованный кусок). А в тор? На математическом языке эта задача звучит так:

r меньше, чем a (длина дуги AM). Наше множество – окружность радиуса r с центром K, ее длина равна 2 P r. Если кусок сферы можно изометрически отобразить на плоскость, то эта окружность перейдет в окружность радиуса a и длиной 2 P a. Длина окружности увеличилась, значит, это – не изометрия. Итак, сфера не изометрична плоскости. А тор? Доказать так же просто, как для сферы, не получается. Можно поэкспериментировать с велосипедной покрышкой. Вроде, никакой ее кусок не разворачивается на плоскость. И тем не менее… Как ни странно, между двумя этими задачами есть общее. За ними стоит одна и та же идея. Мы вернемся к ним в конце статьи, а сначала рассмотрим несколько важных примеров из геометрии, которые решаются с помощью выхода в пространство.

11

КОНКУРС

ИМЕНИ

approach», Elem. Math. 55 (2000), 45–62). Новое доказательство использовало выход в пространство! А его ключевое утверждение, которое мы предлагаем вам доказать, интересно само по себе (мы несколько изменили формулировку):

Упражнение 4 (A.Hrasko, 2000). На плоскости дана окружность, и внутри нее – вторая окружность. Кузнечик прыгает с одной окружности на другую и обратно с постоянной длиной прыжка. Получается ломаная $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}^{…}$, в которой все звенья равны, вершины с нечетными номерами лежат на первой окружности, с четными – на второй. Докажите, что отрезки $A_{1} A_{3}, A_{3} A_{5}, A_{5} A_{7}$, … касаются одного эллипса.

А.П.САВИНА

Указание. Проведем через вторую окружность произвольную сферу радиусом, большим радиуса окружности. Также проведем сферу с центром $A_{2k}$ и радиусом, равным длине прыжка. Докажите, что общая плоскость этих сфер проходит через фиксированную точку для всех k. Затем воспользуйтесь таким вспомогательным фактом. Вспомогательный факт (без доказательства). На плоскости A дана окружность и даны точки A и B вне плоскости, причем проекция A на A лежит внутри окружности. По окружности движется точка M, а через точку B проводится плоскость, перпендикулярная AM. Тогда она пересекает A по прямой, касающейся фиксированного эллипса.

(Продолжение следует)

КОНКУРС ИМЕНИ А.П.САВИНА

Мы продолжаем очередной конкурс по решению математических задач. Они рассчитаны в первую очередь на учащихся 7–9 классов, но мы будем рады участию школьников всех возрастов. Конкурс проводится совместно с журналом «Квантик». Высылайте решения задач, с которыми справитесь, электронной почтой по адресу: savin.contest@gmail.com или обычной почтой по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» (с пометкой «Конкурс имени А.П.Савина»). Кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором Вы учитесь, а также обратный почтовый адрес. Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в таком случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы.

13. Докажите, что произведение любых трех последовательных натуральных чисел является площадью некоторого прямоугольного треугольника, все стороны которого являются целыми числами. А.Бирюлин (ученик 5 класса)

14. На доске 12 s 12 некоторые клетки вымазали краской. Сколькими способами можно поставить 12 ладей так, чтобы они не били друг друга и ни одна ладья не испачкалась краской? П.Кожевников

15. Николаю Ивановичу, любителю занимательных задач, нравится наряжать игрушками-головоломками новогоднюю елку для внуков. Он приготовил из плотной бумаги правильный тетраэдр (тре- угольную пирамидку из равносторонних треугольников). Затем надрезал его, развернул и получил многоугольник-елочку (она составлена симметрично из трех равных половинок правильного шестиугольника. Как ему это удалось? А.Домашенко 16. В школьном химическом кабинете имеются двухчашечные весы с набором из n гирек массами 1 г, 2 г, …, n г. Коля разложил все эти гирьки по чашкам весов так, что они уравновесились. Петя хочет убрать часть гирек, но так, чтобы равновесие сохранилось. Какое наименьшее количество гирек ему потребуется снять, чтобы гарантированно добиться успеха (как бы ни были разложены гирьки по чашкам)? И.Акулич

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: math@kvant.ras.ru и phys@kvant.ras.ru соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2490, М2491а, б, в предлагались на XXXIX Турнире городов.

Задачи М2490–М2493, Ф2497–Ф2500

M2490. Было 100 дверей, у каждой свой ключ (отпирающий только эту дверь). Двери пронумерованы числами 1, 2, ……, 100, ключи тоже пронумерованы, но, возможно, с ошибками: номер ключа совпадает с номером двери или отличается на 1. За одну попытку можно выбрать любой ключ, любую дверь и проверить, подходит ли этот ключ к этой двери. Можно ли гарантированно узнать, какой ключ какую дверь открывает, сделав не более: а) 99 попыток; б) 75 попыток; в) 74 попыток? А.Лебедев, А.Шаповалов

M2491. Кусок сыра надо разрезать на части с соблюдением таких правил: 1) вначале режем сыр на 2 куска, затем один из них режем еще на 2 куска, затем один из трех кусков опять режем на 2 куска и т.д.; 2) после каждого разрезания части могут быть разными по весу, но отношение веса любой части к весу любой другой должно быть строго больше заданного числа R. а) Докажите, что при R = 0,5 можно резать сыр так, что процесс никогда не остановится (после любого числа разрезаний можно будет отрезать еще один кусок). б) Докажите, что если R > 0,5, то процесс резки когда-нибудь остановится.

в) На какое наибольшее число кусков можно разрезать сыр, если R = 0,6? г) Докажите, что если при данном R сыр можно разрезать на 11 кусков, то его также можно разрезать и на 12 кусков. А.Толпыго

M2492. В неравнобедренном треугольнике ABC проведены медианы $AA_{0}, BB_{0}, CC_{0}$ и высоты $AA_{1}, BB_{1}, CC_{1}$. Пусть $A_{2}$ – точка пересечения окружностей, описанных около треугольников $BA_{1} B_{0}$ и $CA_{1} C_{0}$, отличная от точки $A_{1}$. Аналогично определим точки $B_{2}$ и $C_{2}$. Докажите, что прямые $AA_{2}, BB_{2}, CC_{2}$ пересекаются в одной точке. Т.Ковалев, А.Львов (ученики 9 класса)

M2493. Внутри треугольника $A_{1} A_{2} A_{3}$ взяты точки $A_{4}, A_{5}$, … $, A_{n}$ так, что среди точек $A_{1}$, … $, A_{n}$ нет трех точек на одной прямой. Аналогично, внутри треугольника $B_{1} B_{2} B_{3}$ взяты точки $B_{4}, B_{5}$, … $, B_{n}$ так, что среди точек $B_{1}$, … $, B_{n}$ нет трех точек на одной прямой. Дан набор M трехэлементных подмножеств множества {1, 2,… …, n}. Пусть A – множество треугольников вида $A_{i} A_{j} A_{k}, i < j < k,$ где { i, j, k } Œ M, аналогично, B – множество треугольников вида $B_{i} B_{j} B_{k}, i < j < k,$ где { i, j, k } Œ M. Известно, что треугольники множества A образуют разбиение треугольника $A_{1} A_{2} A_{3}$. Докажите, что любая точка, лежащая внутри треугольника

15

ЗАДАЧНИК

роками, (2) никто не стоит между третьим и четвертым по росту игроками,……, (N) никто не стоит между двумя самыми низкими игроками. Докажите, что желание сэра Алекса можно осуществить.

Начнем с доказательства следующей леммы. Лемма. Пусть в шеренгу выстроены футболисты из N команд, в каждой из которых хотя бы N + 1 игрок. Тогда в шеренге можно оставить 2N футболистов по 2 из каждой команды так, что любые два игрока из одной команды будут стоять рядом. Доказательство. Индукция по N. База: при N = 1 утверждение очевидно. Сделаем переход от N – 1 к N. Занумеруем игроков в каждой команде числами 1, 2, … слева направо. Среди всех игроков с номером 2 выберем самого левого. Пусть это игрок $K_{2}$, играющий за команду K (здесь $K_{1}, K_{2}$, … – все игроки команды K, занумерованные слева направо). Теперь удалим из шеренги всех футболистов, стоящих левее $K_{2}$, и всю команду K полностью. Тогда из каждой оставшейся команды мы удалили не более одного игрока (могли удалить только игрока с номером 1, так как игроки с бульшими номерами находились правее $K_{2} ).$ По предположению индукции, для оставшегося ряда можно выбрать 2N – 2 игроков требуемым образом. Остается добавить к ним пару игроков $K_{1}$ и $K_{2}$. Перейдем к решению задачи. Разобьем футболистов на N команд следующим образом: в первую команду включим N + 1 самых высоких игроков, во вторую – следующих N + 1 по росту и т.д. По лемме, мы можем оставить по два футболиста из каждой команды так, чтобы они стояли рядом. Это и требуется в задаче, так как игроки из i-й команды являются ( 2 i - 1 ) -м и 2i-м игроками по росту среди оставленных. Задача решена. В завершение приведем следующую графическую интерпретацию этой задачи. Пусть n = N ( N + 1 ). Если в нашей шеренге на i-м слева месте стоит j-й по высоте игрок, то покрасим узел с координатами

«КВАНТА»

( i, j ). Таким образом, на решетке, полученной в пересечении горизонталей y = 1, y = 2, …, y = n и вертикалей x = 1, x = = 2, …, x = n, у нас будет покрашено n узлов, при этом на каждой горизонтали и вертикали покрашен ровно один узел (см. рисунок). Задачу теперь можно перефор- мулировать так: требуется выбрать N пар покрашенных узлов и соединить узлы в каждой паре отрезком так, чтобы проекции полученных N отрезков на координатные оси не пересекались. В.Ретинский

Ф2485. Тяжелый однородный бильярдный шар массой m «застрял» в горизонтальной решетке (рис.1), протянутой (для безопасности ламп) под потолком над игровым столом. При каком мини-

Рис. 1

мальном значении коэффициента трения M такое возможно? Радиус шара R, «шаг» решетки 2a, диаметр прутка решетки l. Ускорение свободного падения равно g.

20

КВАНТ 2017/№12

угольника $ACI_{c}$. Как известно, W равноудалена от $A, B, I, I_{c}$ (теорема о трезубце), в частности, W – середина $II_{c}$, следовательно, $CI = II_{c} = 2 IW$.

Упражнение 1. Докажите обратное утверждение: если CI = 2IW (или $CI II_{c} ),$ то  AIM 90 o.

Надо сказать, что такая формулировка задачи на олимпиаде появилась в последний момент. До этого в проекте варианта фигурировала немного другая задача. Задача 2 (С.Берлов). Периметр треугольника ABC равен 1. Точка I – центр вписанной окружности, точка M – середина стороны AC. Оказалось, что – AIM $= 90 \infty$. Найдите длину стороны AB. Ответ. 1/4. Первое решение. Одно из решений задачи 2 нетрудно получить из приведенного выше решения задачи 1. Действительно, так как I – середина $CI_{c}$, радиус $r_{c}$ вневписанной окружности вдвое больше радиуса r вписанной. Отсюда и из формул площади треугольника $S = pr = ( p - c ) r_{c}$ сразу получаем ответ: c = 1/4. Но у задачи 2 есть еще несколько решений. Приведем два из них. Второе решение. Пусть N – середина BC (рис.3). Так как MN P AB и – AIM $= 90 \infty$, то MI – биссектриса угла AMN. Поэтому прямая MN касается вписанной окружности треугольника. Значит, трапеция AMNB описана вокруг этой окружности, т.е. AB + MN = AM + BN,

Рис. 3

откуда, поскольку MN = AB/2, получаем AB = ( AC + BC ) 3.

Упражнение 2. Докажите, что из равенства AB AC BC 3 следует, что  AIM 90 o.

Третье решение. Пусть T – точка касания стороны AC с соответствующей вневписанной окружностью (рис.4). Извест-

Рис. 4

но, что BT P IM (это можно доказать, рассмотрев гомотетию, переводящую вписанную окружность во вневписанную). Следовательно, в треугольнике ABT прямая AI является биссектрисой и высотой, т.е. AB = AT = p – c, откуда легко следует AB = 1/4.

Упражнение 3. Докажите непосредственно, что средняя линия, параллельная AB, касается вписанной окружности тогда и только тогда, когда $r_{c} 2 r$. Указание. Примените гомотетию с центром в точке C.

Так почему же формулировка задачи была изменена прямо перед олимпиадой? Дело в том, что в 2010 году на Московской математической олимпиаде предлагалась следующая задача. Задача 3 (А.Заславский). В треугольнике ABC точка I – центр вписанной окружности, точки M, N – середины сторон AC, BC. Известно, что – AIM $= 90 \infty$. Докажите, что – BIN $= 90 \infty$. Легко видеть, что решение этой задачи практически совпадает со вторым из приведенных решений задачи 2.

21

ЗАДАЧНИК

Но и это еще не все! В 2014 году на Олимпиаде имени И.Ф.Шарыгина предлагалась такая задача. Задача 4 (А.Полянский).} Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC, M, N – середины дуг ABC и BAC описанной окружности. Докажите, что точки M, I, N лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда AC + + BC = 3AB. Решение. Докажем, что если точки M, I, N лежат на одной прямой, то AC + BC = = 3AB. Первый способ. Обозначим через $A_{1}, B_{1}$ и $C_{1}$ середины дуг BC, CA и AB, не содержащих других вершин треугольника ABC (рис.5,а). Так как $A_{1} N$ и $B_{1} M$ – диаметры, то $A_{1} B_{1}$ и MN равны и параллельны. Как известно, $A_{1} B_{1}$ ^ $CC_{1}$ и $CC_{2} = C_{2} I$. Из симметрии относительно серединного перпендикуляра к $CC_{1}$ имеем $CC_{2} = C_{1} I$,

Рис. 5

«КВАНТА»

следовательно, $CI = 2 IC_{1}$. Но из упражнения 1 и задачи 2 мы уже знаем, что последнее равенство равносильно требуемому. Второй способ. Пусть $I_{c}$ – центр вневписанной окружности, касающейся стороны AB (рис.5,б). Как известно, M и N являются центрами окружностей $A CI_{c}$ и $B CI_{c}$ (вариант теоремы о трезубце для середин дуг BAC и ABC). Следовательно, MN – серединный перпендикуляр к отрезку $CI_{c}$, т.е. I – середина $CI_{c}$. Мы снова получили условие, равносильное требуемому.

Упражнение 4. Проведите рассуждения в обратную сторону, доказав, что если AC + + BC = 3AB, то точки M, I, N лежат на одной прямой.

Подведем итог. Мы убедились, что следующие свойства треугольника ABC равносильны: i AB = ( AC + BC ) 3; i – AIM $= 90 \infty$, где M – середина AC; i – BIN $= 90 \infty$, где N – середина BC; i средняя линия, параллельная AB, касается вписанной окружности; i I – середина $CI_{c} ; i CI =$ 2IW, где W – середина дуги AB; i середины дуг ABC, BAC и точка I лежат на одной прямой. После этого уже не кажется удивительным многократное появление на олимпиадах задач про такие треугольники. Возможно, читателям удастся обнаружить у них новые свойства или найти новый, не менее интересный класс треугольников. P.S. Когда статья была уже написана, С.Берлов сообщил, что на одной из Санкт- Петербургских олимпиад предлагалась следующая задача. Задача 5 (С.Иванов). В треугольнике ABC I – центр вписанной окружности, M, N – середины сторон AC, BC. Известно, что – AIM + – BIN $= 180 ^\circ$. Докажите, что AC + BC = 3AB. Мы оставляем задачу 5 читателю для самостоятельного решения и надеемся, что наш рассказ поможет ее решить.

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Задачи

1. Из спичек сложено число 73 (см.

рисунок). Переложите две спички так, чтобы получился квадрат. Найдите два решения. С.Костин

разрезать на 6 равных клетчатых фигурок, не являющихся прямоугольниками. Приведите пример такого разрезания. Н.Агаханов, О.Подлипский

0,** + 0,** + 0,** + 0,** = 2 заменить звездочки различными цифрами от 1 до 9 так, чтобы получилось верное равенство? И.Богданов

Вырежьте из клетчатого квадрата 5 s 5 одну нецентральную клетку так, чтобы оставшуюся часть можно было

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6–8 классов. Задачи 2–4 предлагались на Муниципальном этапе Всероссийской олимпиады школьников по математике в Московской области.

Иллюстрации Д.Гришуковой

2. Можно ли в равенстве

Турнир лучников проводился по следующим правилам. С каждого участника собрали одинаковый взнос. Организаторы турнира забрали 1/3 от всех поступивших денег, а оставшиеся деньги пошли в призовой фонд турнира. Робин Гуд, победивший в турнире, получил 1/6 от призового фонда – больше каждого из остальных участников, однако оказался в убытке. Какое количество лучников могло участвовать в турнире? Приведите все возможные варианты и докажите, что других нет. О.Подлипский

25

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ

крейсера до носа и обратно к корме, если длина крейсера 306 м? 2. Пластина массой M подвешена за ее середину на резиновом шнуре. Вдоль шнура с высоты h на пластину падает плашмя шайба (шнур проходит через отверстие в шайбе) и прилипает к пластине. Масса шайбы m, жесткость шнура k. Какую максимальную скорость будет иметь пластина с шайбой при движении после удара? 3. Два одинаковых баллона наполнены одинаковым количеством гелия. Средняя квадратичная скорость атомов гелия в первом сосуде 1200 м/с, а во втором 2400 м/с. Какой будет средняя квадратичная скорость, если соединить баллоны трубкой? 4. Реактивный самолет с вертикальными взлетом и посадкой завис над землей, выбрасывая вниз струю газа со скоростью 1200 м/с. Какая масса газа выбрасывается в струе за секунду, если масса самолета 10 тонн? 5. Беспилотный космический корабль совершил посадку на далекой планете. При этом в корпусе корабля образовалось небольшое отверстие. Атмосфера планеты очень разряженная – настолько, что, пролетая через отверстие, молекулы не сталкиваются друг с другом. Давление атмосферы планеты $p_{0}$, а температура $T_{0}$. Какое давление p установится внутри корпуса корабля, если в нем поддерживается температура в два раза больше, чем снаружи? 6. В цилиндре под поршнем находится гелий. Во сколько раз изменится средняя квадратичная скорость его молекул, если объем газа увеличить в 1,5 раза и одновременно давление увеличить в 1,5 раза?

11 класс

1. Легкая соломинка массой m = 1 г и длиной L = 4 см плавает на поверхности воды. По одну сторону от соломинки налили мыльный раствор. С каким ускорением w начнет двигаться соломинка? Сопротивлением воды движению соломинки пренебречь. Коэффициенты поверхностного натяжения воды и мыльного раствора равны $S_{в} 7,4$ – $10^{2}$ Н м и $S_{мр} 4$ – $10^{2}$ Н м соответственно. 2. Саша один раз раздвинул пластины плоского конденсатора, которые все время

МАТЕРИАЛЫ

были подключены к источнику напряжения, а в другой раз они были отключены после первоначальной зарядки. В каком из этих двух случаев Саша совершил большую работу по раздвижению пластин? Ответ поясните. 3. Два небольших шарика массой m с зарядом q каждый соединены непроводящей нитью длиной 2l и лежат на гладком горизонтальном столе. В некоторый момент времени середина нити начинает двигаться с постоянной скоростью v, перпендикулярной направлению нити в начальный момент времени. Определите минимальное расстояние d, на которое сблизятся шарики. 4. Ракета влетает в неподвижное облако частиц с начальной скоростью $v_{0}$ и движется в нем с ускорением a. Частицы налипают на переднюю поверхность ракеты площадью S. Концентрация частиц n, масса каждой частицы m, а масса самой ракеты $M_{0}$. Определите силу реактивной тяги двигателей ракеты. 5. Маша сообщила равные отрицательные заряды двум металлическим шарам, имеющим разные диаметры, затем она соединила шары проводом большого сопротивления с последовательно включенным амперметром. Что покажет амперметр? Ответ поясните. 6. Два небольших шарика с зарядами $q_{1}$ и $q_{2}$ вначале двигались с одинаковыми по модулю и направлению скоростями по гладкому горизонтальному столу. После того как на некоторое время было включено однородное электрическое поле, вектор скорости первого шарика повернулся на 60o градусов, а модуль его скорости уменьшился в два раза. Второй шарик стал двигаться в перпендикулярном к первоначальному направлении. Определите модуль отношения заряда к массе для второго шарика, если для первого он равен $k_{1}$. Электростатическим взаимодействием шариков пренебречь. 7. Санки массой $M_{0}$ тянут так, что они движутся равномерно со скоростью $v_{0}$. При начавшемся снегопаде снежинки налипают на верхнюю поверхность санок площадью S. Концентрация снежинок n, масса каждой снежинки m, а их скорость у поверхности земли равна v. Определите, как должна зависеть от времени сила, с которой тянут санки, чтобы они продолжали двигаться с той же скоростью $v_{0}$. Коэффициент трения равен M.

27

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ

воду, потребовалось время t = 5 мин. В течение какого времени $t_{т}$ таял лед? Тепло к сосуду подводилось равномерно (пропорционально времени). Тепловые потери отсутствуют. Удельная теплота плавления льда L 2,5 – $10^{4}$ Дж кг. Удельная теплоемкость льда c 2,1 – $10^{3}$ Дж кг – К. 3. Проводящий шар радиусом 10 см имеет заряд $10^{8}$ Кл. Какова напряженность поля в точке, находящейся от поверхности шара на расстоянии 20 см? 4. Найдите отношение показания вольтметра $V_{2}$ к показанию вольтметра $V_{1}$ для схемы, изображенной на рисунке 6, если

МАТЕРИАЛЫ

A с горизонтом. Чему равно ускорение a бруска? 8. В закрытом откачанном цилиндре подвешен на пружине поршень, положение равновесия которого находится у дна цилиндра. В пространство под поршенем вводится некоторое количество газа. При температуре $T_{1}$ поршень поднят на $l_{1}$ от дна. Определите положение поршня $l_{2}$ при нагревании газа до температуры $T_{2}$.

КРИПТОГРАФИЯ

Межрегиональная олимпиада школьников по математике и криптографии

Избранные задачи

Рис. 6

$R_{1} = 10$ кОм, $R_{2} = 20$ кОм, $R_{3} = 80$ кОм, $R_{4} = 160$ кОм. 5. Проводник длиной L = 20 см с силой тока I = 50 А находится в однородном магнитном поле с индукцией В = 40 мТл. Какую работу совершит источник тока, если проводник переместится на s = 10 см перпендикулярно вектору магнитной индукции (вектор магнитной индукции перпендикулярен направлению тока в проводнике)? 6. Тело, двигаясь с постоянным ускорением, проходит последовательно два участка пути, причем время движения на обоих участках одинаково. При движении по первому участку длиною l скорость тела уменьшилась в n раз. Найдите длину второго участка. 7. Брусок массой M соединен с грузом массой m невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок (рис.7). Брусок скользит без трения по закрепленной наклонной плоскости, составляющей угол

Рис. 7

1 (10 класс). Найдите натуральное число х, не превосходящее 85, такое, что при делении чисел $x^{15}$ и $x^{23}$ на 85 в остатке получится 23 и 28 соответственно. 2 (8–9 классы). Найдите натуральное число х, не превосходящее 77, если известно, что остатки от деления числа $x^{2}$ на 77 и 96 равны 71 и 73 соответственно. 3 (8–9, 10 кл.). Шляпник решил отправить по почте Зайцу свой пароль от компьютера (слово из 7-ми букв). Перед отправкой он его зашифровал следующим образом (рис.8). Каждую букву слова он заменил пятизначной комбинацией в соответствии с таблицей 1 (считается, что Е=Ё). Данные $из^{Рис.} 8$

Таблица 1

НАШИ НАБЛЮДЕНИЯ

«Импрессионистическая» фотография

В.ПТУШЕНКО

ЕРКАЛЬНАЯ ГЛАДЬ ОЗЕРА (МОРЯ)»,

«З

«зеркало воды»… Подобные словосочетания часто можно встретить в художественных описаниях. Но и физически они тоже вполне верны: поверхность воды при больших углах падения света оказывается очень хорошим зеркалом. Однако это «зеркало» очень подвижное, легко изменяющее форму своей поверхности при малейшем ветре или течении. Отклонения от плоскости, называемые рябью или волнением, создают разнообразные искажения создаваемого этим «кривым зеркалом» изображения. Классический образ — «лунная дорожка». На фотографии, приведенной здесь наверху справа и на 4-й странице обложке журнала, – поверхность воды в слегка ветреный день. В этой не совсем спокойной воде отражается набережная – ограда, деревья, машины и стены, стоящих вдоль набережной домов. Строгий, реалистический надводный мир смотрится в свое «импрессионистическое» отражение. Если «перевернуть» это отражение вверх ногами, как это представлено здесь на фотографии внизу слева, то его не сразу и отличишь от настоящего пейзажа, разве что написанного рукой художникаимпрессиониста.

В подписи на обложке мы заверили читателя, что фотография не подвергалась никакой обработке. Впрочем, этот эффект вполне можно было бы назвать «аналоговой обработкой» изображения — хотя и произведенной с ним еще до съемки. После прогулки по берегу пройдемся мысленно по картинной галерее (см. ссылки). Если верить известному утверждению, что лучшие находки искусства это всегда «подсмотренное» в природе, то можно считать, что на сегодняшней «прогулке с физикой» мы встретили один из его источников.

http://s44.radikal.ru/i103/1209/85/ 62cb001bf8edt.jpg http://tigelclub.ru/images/mclass/ mc_rain.jpg http://muradeli.ru/wp-content/uploads/ 2015/11/Impressionizm.jpg https://artchive.ru/res/media/img/oy800/ work/03e/292955.jpeg

ИНФОРМАЦИЯ

ЗАОЧНАЯ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКАЯ ШКОЛА ПРИ МФТИ

Заочная физико-техническая школа (ЗФТШ) Московского физико-технического института (государственного университета) (МФТИ) проводит набор в 8 – 11 классы учащихся 7–10 классов общеобразовательных учреждений (школ, лицеев, гимназий и т.п.), расположенных на территории Российской Федерации. ЗФТШ работает в сфере профильного дополнительного образования детей с 1966 года. За прошедшие годы школу окончили более 100 тысяч учащихся; практически все ее выпускники поступают в ведущие вузы страны, а каждый второй студент МФТИ – ее бывший ученик. Научно-методическое руководство школой осуществляет Московский физико-технический институт. Обучение в школе ведется по четырем предметам научно-технической направленности – физике, математике, информатике и химии. В 8 классе изучаются только физика и математика. В 9–11 классах к этим предметам добавляются «Математические основы информатики и ИКТ» (информатика) и химия. Учащиеся могут по своему выбору изучать один, два, три или четыре предмета. Количество заданий в год по классам и по предметам представлено в таблице:

Цель нашей школы – помочь учащимся 8–11 классов общеобразовательных учреждений, интересующимся предметами научно-технической направленности, углубить и систематизировать свои знания по этим предметам, а также способствовать их профессиональному самоопределению. Набор в 8, 9, 10 и 11 классы на 2018/19 учебный год проводится на заочное, очное и очно-заочное отделения.

Программы ЗФТШ являются профильными дополнительными образовательными программами и едины для всех отделений. Полная программа обучения рассчитана на 4 года – с 8-го по 11-й класс включительно, но начать обучение можно с любого из указанных классов. Согласно положению о ЗФТШ, учащийся может обучаться только на одном отделении ЗФТШ. Учащиеся всех отделений, успешно справившиеся с программой ЗФТШ, по окончании 11 класса получают свидетельство об окончании школы с итоговыми оценками по изучавшимся в 11-м классе предметам. Свидетельство об окончании ЗФТШ учитывается при поступлении в МФТИ в соответствии с правилами приема в МФТИ и Порядком учета индивидуальных достижений поступающих (https://pk.mipt.ru/ bachelor/2018_ID/). Ученикам всех отделений будет предложено участвовать в физико-математической олимпиаде «ФИЗТЕХ-2019», которая проводится на базе МФТИ и в ряде городов России в феврале или начале марта, в других очных и заочных олимпиадах МФТИ и его факультетов. Для учащихся и руководителей факультативных групп работает online-лекторий по физике, математике и химии по программе ЗФТШ. Лекции читают преподаватели МФТИ (как правило, авторы заданий). Подробнее об этих мероприятиях можно прочитать на сайте ЗФТШ. Обучение в ЗФТШ бесплатное. Для учащихся, проживающих за пределами Российской Федерации, возможно только платное обучение на заочном и очнозаочном отделениях.

Заочное отделение (индивидуальное заочное обучение) Тел./факс: (495) 408-51-45, e-mail: zftsh@mail.mipt.ru Прием на заочное отделение проводится на конкурсной основе по результатам выполнения вступительного задания по выбранным для изучения предметам. В течение учебного года в соответствии с программой ЗФТШ ученик получает по каждой теме задания по изучаемым предметам, а затем – рекомендуемые авторские реше-

32

КВАНТ 2017/№12

ния этих заданий вместе с проверенной работой ученика. Задания составляют опытные преподаватели кафедр общей физики и высшей математики МФТИ, а также выпускники МФТИ и другие специалисты, имеющие большой опыт работы с одаренными школьниками. Задания содержат теоретический материал, разбор характерных примеров и задач по соответствующей теме и 8–12 контрольных вопросов и задач для самостоятельного решения. Это и простые задачи, и более сложные. Примеры заданий можно посмотреть на сайте ЗФТШ. Работы учащихся-заочников проверяют студенты, аспиранты и выпускники МФТИ (из них 80% – выпускники нашей школы). Вступительное задание по выбранным предметам ученик выполняет самостоятельно в одной школьной тетради на русском языке, сохраняя тот же порядок задач, что и в задании. Тетрадь нужно выслать в конверте простой бандеролью или простым письмом. На лицевую сторону тетради наклейте заполненный бланк (его можно заполнить в электронном виде на сайте ЗФТШ, а затем распечатать):

(таблица заполняется методистом ЗФТШ)

1. Республика, край, область_____________ 2. Фамилия, имя, отчество_______________ 3. Класс, в котором учитесь______________ 4. Если вы уже учитесь в ЗФТШ, напишите свой личный номер__________________

2. Предметы, по которым выполнены задания (отметьте галочками) □ физика □ математика □ информатика □ химия

3. Номер и/или название школы_________

7. Вид школы (обычная, лицей, гимназия, центр образования и т.п.)______________ 8. Ф.И.О. учителей по физике____________ по математике_______________________ по информатике______________________ по химии___________________________ 9. Подробный домашний адрес (с указанием индекса), телефон, e-mail______________ 10. Имя, отчество и № телефона одного из родителей__________________________

На конкурс ежегодно приходит более 5 тысяч вступительных работ. Пожалуйста, обратите внимание на правильность заполнения бланка! Будьте аккуратны! На внутреннюю сторону обложки тетради наклейте справку из школы, в которой учитесь, с указанием класса. Для получения ответа на вступительное задание и для отправки вам первых заданий обязательно вложите в тетрадь два одинаковых конверта размером 160 s 230 мм. Марки наклеивать не надо. На конвертах четко напишите свой домашний адрес. Тетрадь с выполненными заданиями высылайте на адрес ЗФТШ не позднее 1 марта 2018 года. Проверенные вступительные работы обратно не высылаются. Все присланные в ЗФТШ работы регистрируются. Информацию о получении работ можно увидеть на сайте ЗФТШ в разделе «Вступительные задания». Решение приемной комиссии будет выслано в июле 2018 года. Если школьник уже обучается в ЗФТШ и хочет добавить на следующий год еще предмет, необходимо выполнить и прислать в ЗФТШ вступительное задание по этому предмету. На бланке обязательно укажите свой личный номер. Решение приемной комиссии в этом случае не высылается, а дополнительный предмет становится доступным учащемуся в Личном кабинете в июле, в случае положительного решения приемной комиссии.

Очно-заочное отделение (обучение в факультативных группах) Тел.: (498) 744-63-51, e-mail:fakultativ@mipt.ru Факультативные группы могут быть организованы в любом общеобразовательном

33

ИНФОРМАЦИЯ

учреждении двумя, тремя или четырьмя преподавателями – физики, математики, информатики и химии, в отдельных случаях разрешается обучение по одному предмету. Руководители факультатива принимают в него учащихся, успешно выполнивших вступительное задание ЗФТШ. Группа (не менее 7 человек) принимается в ЗФТШ по заявлению директора, написанному на бланке общеобразовательного учреждения (образец можно посмотреть в разделе «очно-заочное отделение» сайта ЗФТШ), в котором должны быть указаны фамилии, имена, отчества руководителей факультативной группы по предметам и поименный алфавитный список обучающихся (Ф.И.О. в алфавитном порядке полностью с указанием класса текущего учебного года и итоговых оценок за вступительное задание по выбранным предметам), адрес, телефон, факс и e-mail школы. Заявление можно выслать обычной почтой, вложив конверт для ответа о приеме в ЗФТШ с обратным адресом одного из руководителей на адрес ЗФТШ (с пометкой «Факультатив»), или выслать в отсканированном виде (с подписями и печатью) на e-mail:fakultativ@mipt.ru до 25 мая 2018 года на адрес ЗФТШ (с пометкой «Факультатив»). Тетради с работами учащихся проверяются учителями физики, математики, информатики и химии и в ЗФТШ не высылаются. Работа руководителей факультативов может оплачиваться общеобразовательным учреждением как руководство профильными факультативными занятиями по предоставлении ЗФТШ соответствующих сведений. Руководители, работающие с учащимися, будут в течение учебного года получать учебно-методические материалы (программы по физике, математике, химии и информатике, задания по темам программ, решения заданий с краткими рекомендациями по оценке работ учащихся); приглашаться на курсы повышения квалификации учителей физики и математики, проводимые на базе МФТИ. Работы учащихся проверяют и оценивают руководители факультативных групп, а в ЗФТШ ими высылаются ведомости с итоговыми оценками по каждому

заданию и итоговая ведомость (11 класс) за год (образец есть на сайте ЗФТШ).

Очное отделение (заочное обучение с посещением очных консультаций) Тел.: (925) 755-55-80, e-mail: zftsh@mail.mipt.ru Для учащихся Москвы и Московской области по программе ЗФТШ работают вечерние консультационные пункты. Набор в них проводится в сентябре в два этапа: i заочный этап – тестирование на сайте http://zftsh.online/, i очный этап – устные экзамены. Более подробная информация о наборе на очное отделение размещается на сайте ЗФТШ в начале сентября. Занятия с учащимися очного отделения проводятся в учебных корпусах МФТИ в городах Долгопрудный и Жуковский.

Контакты ЗФТШ Почтовый адрес: 141700 Московская область, г.Долгопрудный, Институтский пер., д. 9, ЗФТШ Тел./факс: (495) 408-51-45 – заочное отделение, (498) 744-63-51 – очно-заочное отделение, (498) 744-65-83 и (925) 755-55- 80 – очное отделение E-mail: zftsh@mail.mipt.ru – заочное и очное отделения, fakultativ@mipt.ru – очнозаочное отделение Сайт: www.school.mipt.ru ВК: https://vk.com/club1032617

Для школьников Украины работает УЗФТШ при ФТННЦ НАН Украины (обучение платное). Желающим поступить туда следует высылать работы по адресу: 03680, Украина, г. Киев, б-р Вернадского, д. 36, ГСП, УЗФТШ Тел.: 8(10-38-044) 424-30-25, 8(10-38-044) 422-95-64 E-mail: ftcsch@imp.kiev.ua Сайт УЗФТШ: www.mfti.in.ua

Ниже приводятся задачи вступительных заданий по физике, математике, информатике и химии. Номера задач, обязательных для выполнения (для поступления на заочное и очно-заочное отделения), и максимальные баллы приводятся в таблице (номера классов указаны на текущий 2017/18 учебный год):

36

КВАНТ 2017/№12

изменение направления движения на m градусов по часовой стрелке. Запись

Повтори k [Команда1 Команда2]

4 (1 б.). В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, в банке не лимонад и не вода; стакан стоит между банкой и сосудом с молоком. В каком сосуде находится каждая из жидкостей? Ответ обоснуйте. 5 (1 б.). Сколько единиц в двоичной записи десятичного числа 438? Ответ обоснуйте. 6 (1 б.). Запишите по правилам синтаксиса языка программирования Паскаль следующее логическое высказывание: «Число X четное и не принадлежит отрезку [6; 8]». 7 (2 б.). Отметьте штриховкой на координатной плоскости область, в которой и только в которой выполняется приведенное логическое выражение (имеет значение true):

$(x <= 1)>(x^{2} + y^{2} <=$ 9) Если граница входит в область, то обозначайте ее сплошной линией, если не входит, то – штриховой. 8 (2 б.). Допустим ли следующий оператор присваивания при y=3? Если да, то выпишите тип и итоговое значение переменной «y», если нет, то напишите, почему.

y := round(5*9 Div y Mod 7/3/y) – – Trunc(0.724)

9 (2 б.). Исполнитель Черепашка перемещается на экране компьютера, оставляя след в виде линии. В каждый конкретный момент известно положение исполнителя и направление его движения. У исполнителя существуют две команды: Вперёд n (n – целое число) – вызывает передвижение Черепашки на n шагов в направлении движения. Направо m (m – целое число) – вызывает означает, что последовательность команд в скобках повторится k раз. Напишите программу для данного исполнителя, которая приведет к появлению на экране правильного треугольника (у которого все стороны равны). 10 (3 б.). На вход программе подается последовательность натуральных чисел. Признак конца ввода – ноль. Напишите программу, которая находит сумму чисел, которые делятся на 13 и последняя цифра которых равна 7. Числа не превосходят 10000. Массивы не использовать. 11 (2 б.). Какие из перечисленных ниже имен удовлетворяют данному условию? Ответ обоснуйте. ¬(¬ последняя буква гласная m первая буква согласная) & вторая буква согласная ИРИНА, АРТЁМ, СТЕПАН, МАРИЯ 12 (2 б.) Сколько значащих нулей в двоичной записи шестнадцатеричного числа $28FA,E4_{16}$? Ноль называется значащим, если удаление его из записи числа ведет к изменению значения числа. Приведите решение задачи. 13 (4 б.). Напишите на языке программирования Паскаль или в виде блок-схемы алгоритм, позволяющий вычислить сумму всех делителей введенного натурального числа. 14 (4 б.). Напишите на языке программирования Паскаль или С либо в виде блоксхемы алгоритм, определяющий количество различных корней в обобщенном квадратном уравнении. На вход алгоритму подаются коэффициенты a, b, c, на выходе нужно вывести количество различных корней.

ХИМИЯ

1 (5 б.). а) В воде массой 80 г растворили 20 г сульфата натрия. Какова массовая доля соли в полученном растворе? б) Какую массу воды нужно добавить к этому раствору, чтобы массовая доля соли стала равна 12,5%? в) Какие массы приготовленного 12,5%-го

37

ИНФОРМАЦИЯ

раствора и раствора с концентрацией сульфата натрия 20% следует смешать, чтобы приготовить 300 г 14%-го раствора? г) Какова молярная концентрация [моль/л] раствора сульфата натрия в приготовленном 14%-м растворе массой 300 г, если известно, что плотность этого раствора 1,13 г/мл? 2 (5 б.). Осуществите цепочку превращений:

Определите вещества А, Б, В, Г, Д. Укажите условия проведения реакций. 3 (5 б.). Какие из нижеперечисленных веществ будут взаимодействовать с раствором гидроксида натрия: Mg, Zn, $Cl_{2}, SiO_{2}$, Si, $Al_{2} O_{3}, KNO_{3}, CuSO_{4}$? Напишите уравнения возможных химических реакций и укажите условия их проведения. 4 (5 б.). При прокаливании смеси карбоната и гидрокарбоната натрия ее масса уменьшилась на 22,63%. Рассчитайте массовую долю карбоната натрия в исходной смеси. 5 (5 б.). В раствор голубого цвета опустили серебристо-серое простое вещество. Через некоторое время голубая окраска раствора исчезла и появилось нерастворимое в воде вещество красного цвета. Раствор отделили и добавляли к нему раствор щелочи до выпадения серо-зеленого осадка, который при воздействии на него пероксидом водорода стал бурым. Осадок высушили, прокалили и пропустили через него бесцветный газ без запаха. В результате наблюдали изменение бурой окраски вещества на темно-серую. Напишите уравнения всех описанных реакций и укажите условия их проведения. 6 (5 б.). Даны вещества: медь, кальций, оксид железа (III), оксид бария, оксид азота (II), оксид кремния (IV), оксид азота (V), сульфат меди, хлорид калия, карбонат магния. Выберите из этих веществ те, из которых можно в одну стадию получить гидроксид (кислоту или основание). Приведите примеры соответствующих реакций и укажите их тип. 7 (7 б.). Осуществите цепочку превращений:

8 (3 б.). Растворы хлорида алюминия и карбоната натрия слили. Выпавший белый аморфный осадок отделили и растворили в избытке щелочи. Затем к полученному раствору стали по каплям добавлять азотную кислоту до тех пор, пока не выпал белый аморфный осадок. Напишите уравнения описанных реакций. 9 (5 б.). Смесь Ba и BaO массой 44,3 г растворили в воде и получили 10%-й раствор гидроксида бария. При растворении выделилось 2,24 л газа (н.у.). В каком объеме воды растворили исходную смесь? 10 (5 б.). Термическое разложение карбоната кальция проводили при 881,3 o C и нормальном давлении. Через некоторое время выделилось 28,4 л газа, а масса твердого остатка составила 36,8 г. Определите массу исходного карбоната кальция, взятого для разложения. 11 (4 б.). Через раскаленный оксид меди пропустили аммиак. Образовавшийся при этом газ пропустили над нагретым магнием. Полученное твердое вещество растворили в горячей воде, а выделившийся при этом газ пропустили через раствор сульфата алюминия, в результате чего выпал белый осадок. Напишите уравнения описанных реакций. 12 (5 б.). Осуществите цепочку превращений:

13 (4 б.). Нагревание этилового спирта с концентрированной серной кислотой до 140 o C приводит к образованию смеси, состоящей из двух органических веществ с плотностью по водороду 18,26. Определите выход каждого компонента в полученной смеси в расчете на этиловый спирт, который прореагировал на 87%.