Квант 2018, №3 · Страницы

НОВОСТИ НАУКИ

Рождение гравитационноволновой астрономии

Л.БЕЛОПУХОВ

В2017 ГОДУ НОБЕЛЕВСКУЮ ПРЕМИЮ ПО физике «за решающий вклад в развитие детектора LIGO (лазерно-интерферометрической гравитационно-волновой обсерватории) и наблюдение гравитационных волн» получили американские ученые Райнер Вайсс (Rainer Weiss), Барри Бэриш (Barry Barish) и Кип Торн (Kip Thorne). Миллиард триста миллионов лет назад на огромном расстоянии от Земли две солидные черные дыры в своем кружении по Вселенной сошлись на такое расстояние, что сила их гравитационного взаимодействия стала активно притягивать их друг к другу. Одна из них имела массу в 36 раз больше массы Солнца, другая – больше в 29 раз. Сближаясь, они вращались вокруг своего центра масс так, что двигались как бы по спирали. Скорость этого вращения стала в конце концов огромной – один оборот за несколько миллисекунд. И наконец, черные дыры слились, издав короткий, но страшной силы

Райнер Вайсс, Кип Торн и Барри Бэриш

энергетический всплеск. По энергии это было все равно, что взорвать одновременно $10^{32}$ мегатонных атомных бомб. Большая часть этой энергии представляла собой гравитационную волну. Со скоростью света она стала распространяться во все стороны. Крохотный кусочек этой энергии достался и Земле. Очень образно президент РАН А.М. Сергеев в одном из своих интервью назвал этот всплеск «воплем». Тем более что на Земле диапазон частот этого волнового всплеска случайно оказался как раз в районе акустических частот. Электроакустическая система может сделать сигнал не только видимым на экране, но и слышимым. Действительно – вопль! Известие об этом событии пришло на Землю 14 сентября 2015 года в 9 часов 50 минут 45 секунд по международному времени UTC (отличающемуся от московского времени на три часа назад). Оно было зафиксировано в США двумя установками коллаборации LIGO, находящимися на расстоянии 3000 км друг от друга. Научное объяснение рождения гравитационных волн дается ОТО – общей теорией относительности Эйнштейна. По сути своей это теория гравитации с учетом специальной теории относительности и с отказом от обязательности столь привычной нам евклидовой геометрии. Краткая суть ОТО – всякая масса искажает и «искривляет» вокруг себя геометрию, превращая ее в неевклидову (риманову). При этом пространство и время нельзя в общем случае отделять друг от друга и геометрию нужно рассматривать как геометрию четырехмерного мира,

15

НОВОС Т И

конкретные свойства которого определяются силами тяготения масс, находящихся в этом мире. Математическая сторона этой теории – уравнения гравитационного поля. Вот слова самого Эйнштейна в его замечательной популярной книге (написанной совместно с Л.Инфельдом) «Эволюция физики» (1938 г.): «Ньютонов закон тяготения связывает движение тела здесь и теперь с движением другого тела в то же самое время на далеком расстоянии… Наши новые законы суть структурные законы, описывающие изменение поля тяготения. Они связывают события, которые происходят теперь и здесь, с событиями, которые будут происходить или уже происходили в другое время и в других точках. Схематически можно сказать – переход от ньютонова закона тяготения к общей теории относительности до некоторой степени аналогичен переходу от законов электростатики и магнитостатики к теории Максвелла». Справедливость теории гравитации Эйнштейна была многократно доказана. Достаточно хотя бы того факта, что все точные расчеты траекторий движения космических аппаратов в околоземном и околосолнечном пространствах базируются не на простом ньютоновском законе тяготения, а на уравнениях общей теории относительности. А навигационные системы типов GPS, Глонасс и др. без использования уравнений ОТО давали бы ошибку в определении координаты земного объекта порядка 10 километров, а не 5 метров, как это достигнуто сейчас. ОТО совершенно необходима, когда речь идет об огромных массах (звезды, галактики и вся Вселенная). Кроме того, ОТО предсказывает явления, которые в ньютоновской теории отсутствуют. Именно к таким явлениям и относятся гравитационные волны. Как из уравнений Максвелла для электромагнитного поля обязательным следствием стало существование электромагнитных волн, так и из анализа гравитационных уравнений Эйнштейна вытекало, что должны существовать волны гравитации. Косвенные доказательства наличия гравитационных волн появились к концу ХХ века. Например, при слиянии двух нейтронных

НА У КИ

звезд (пульсаров) астрофизики зафиксировали значительное уменьшение суммарного момента импульса этой системы (Нобелевская премия по физике 1993 г.). Эта «пропажа» могла быть объяснена только потерей массы-энергии при слиянии звезд, уносом ее гравитационной волной. Другой пример – наличие так называемых гравитационных линз. Теоретики рассчитали, что гравитационная волна своим изменением метрики пространства-времени может исказить излучение какого-либо космического объекта, подобно тому как линза искажает ход световых лучей. И такие искажения астрономами были зафиксированы. Но прямых, «земных» экспериментальных доказательств существования гравитационных волн не было. Проблема заключается в слабости этого волнового сигнала, дошедшего до Земли. Энергия сигнала, достигшего Земли 14 сентября 2015 года, была по крайней мере в $10^{51}$ раз меньше энергии этой волны при ее рождении. Если провести аналогию со звуком от ударной взрывной волны, то это все равно, что взорвать одну миллионную долю грамма взрывчатого вещества на расстоянии десяти метров. Для человеческого уха это будет не «вопль» и даже не слабый треск – оно вообще никак не отреагирует на такой слабый звук. Однако попытки физиков поймать сигнал гравитационной волны начались еще в 60-е годы прошлого века. Первым идею поимки гравитационной волны высказал и попытался ее осуществить американский физик Дж. Вебер в 1969 году. Идея была простая – чувствительными датчиками измерить деформации массивных тел, которые должны происходить, когда гравитационная волна, искажая метрику пространства-времени, проходит сквозь эти тела. Телами были алюминиевые цилиндры массами по полторы тонны с поясами из десятков пьезоэлектрических датчиков деформаций. Чувствительность датчиков была необычайно большой – до $10^{-} 15$ м (размер атомных ядер). Вебер заявил, что он зафиксировал волны. Но это оказалось ошибкой. Скорее всего, это были сигналы от многочисленных помех – колебаний от посторонних источников, например от транспорта.

16

КВАНТ 2018/№3

По схеме Вебера подобные опыты стали производиться в ряде стран, в том числе и в России (В.Б.Брагинский, МГУ). Результат всюду был отрицательный, поскольку расчеты астрофизиков показывали, что деформации под действием гравитационной волны должны быть значительно меньше $10^{-} 15$ м. А датчиков, которые могли бы измерить такие малые величины, не существовало. В 60-е же годы появилась другая идея измерения таких малых деформаций – с использованием интерференции. Идея была выдвинута советскими физиками из МГУ М.Е.Герценштейном и В.И.Пустовойтом в 1962 году. Но на семинаре в Физическом институте АН СССР идея была раскритикована, а соответствующая статья не была рекомендована к печати. Через несколько лет идея использования интерферометрического метода возникла вновь, на этот раз в США. Райнер Вайсс в Массачусетском технологическом институте в 1967 году начал разрабатывать проект лазерного интерферометра, который смог бы преодолеть «шумы» от всех посторонних источников (тепловые, сейсмические, гравитационные источники помех, неустойчивость частоты лазерного излучения и даже возможные помехи от геомагнитных бурь и всплесков космического излучения). Он рассчитал, что интерферометр должен иметь колоссальные размеры – несколько километров. Именно дальнейшее развитие проекта Вайсса и привело к созданию LIGO – лазерно-интерферометрической гравитационно-волновой обсерватории, которой и суждено было совершить открытие. В 1968 году в Калифорнийском технологическом институте теоретик-астрофизик Кип Торн стал исследовать возможные источники гравитационных волн. Он выделил три источника – слияние двух черных дыр, слияние двойных пульсаров (нейтронных звезд) и последнюю стадию взрыва сверхновой звезды с образованием нейтронной звезды в ее центре. Он произвел оценки энергии гравитационных волн и смоделировал характер самого сигнала, приходящего на Землю. Это должен быть кусок нестандартной синусоиды с увеличивающимися амплитудой и частотой и резким прекращением сигнала. Дли-

тельность сигнала, его амплитуда и частота зависят от вида и энергии источника волны. Стало ясно, какой сигнал надо искать. В 1970 году в Калифорнию переехал из Шотландии физик Рональд Древер, работавший в университете в Глазго. Он построил по своему проекту интерференционный детектор одновременно с Вайссом. Они были не конкурентами, а соратниками и друзьями и с момента создания LIGO работали вместе. К сожалению, Р.Древер, скончавшийся в марте 2017 года, не дожил полгода до присуждения Нобелевской премии своему другу. Третьим нобелевским лауреатом стал физик-экспериментатор Барри Бэриш, работавший одним из руководителей Национальной лаборатории ускорителей имени Энрико Ферми «Фермилаб» (близ Чикаго), с 1993 года профессор Калифорнийского технологического иститут. Проект Вайсса и Древера развивался медленными темпами – слишком много научных и инженерных задач приходилось решать. И хотя за 15 лет работы группа Вайсса и Древера расширилась до 40 человек, этого было явно мало. Не доставало физика с инженерным мышлением и опытом организаторской и административной работы. Именно таким человеком был Бэриш. Он переработал проект с инженерных позиций и за несколько лет создал крупный международный коллектив – коллаборацию LIGO, куда привлек из разных стран (Италии, Германии, Японии, России) исследовательские группы, имеющие необходимый опыт. Его поистине бешеная энергия, характер, позволяющий срабатываться с людьми самых разных характеров, умение добиваться финансирования проекта обеспечили создание коллаборации. Сегодня в LIGO работают свыше 1200 исследователей из 110 научных организаций 18 стран. Российские участники – группа В.Б.Брагинского из МГУ и группа из Нижегородского Института прикладной физики РАН. По мнению руководителей проекта, Владимир Борисович Брагинский вложил огромный вклад в открытие гравитационных волн. К сожалению, он ушел из жизни 29 марта 2016 года. Бэриш стал директором LIGO в 1994 году и был им до 2005 года, когда он, оставаясь

17

НОВОС Т И

членом коллаборации, принял предложение возглавить руководство другим глобальным международным проектом США – созданием линейного суперколлайдера. Но Нобелевская награда от него не ушла. Она увенчала его более чем десятилетние усилия по доведению до конца лазерно-интерферометрического проекта. Под руководством Бэриша в 1994–1998 годах были построены две одинаковые обсерватории – в Хэнфорде и в Ливингстоне на расстоянии 3000 км друг от друга. К 2002 году там были установлены лазерные интерферометры. Но первые же измерения показали, что проект нуждается в серьезной переработке. Интерферометрическая система не смогла распознать события, которые были бы характерными для гравитационных волн. Теоретики под руководством Торна провели огромную работу по пересчету амплитуд возможных деформаций от гравитационных волн. Они оказались еще меньше, чем думали раньше, а именно порядка $10^{-} 20 - 10^{-} 21$ м. На первый взгляд, регистрация деформаций с такой точностью могла бы показаться невыполнимой. Ведь это все равно что измерять расстояние до ближайших звезд с погрешностью в одну десятую долю миллиметра. Но у руководителей проекта не опустились руки. Они оказались оптимистами, верящими в способности своего коллектива, А Барри Бэриш снова сумел добиться финансирования проекта. Началось обновление проекта. Применение более мощного лазера, создание группой В.Б.Брагинского улучшенной тройной системы подвеса зеркал, разработка математиками из МГУ программного обеспечения автоматической регистрации событий и многое другое потребовали еще десяти лет напряженной работы. В 2014 году началась регулярная, а потом и постоянная работа установок, прерываемая только остановками для воссоздания необходимого вакуума в трубах. Исследователи не дежурили непрерывно у экранов, чтобы поймать характерный сигнал. Система регистрировала множество сигналов, возникающих по самым разным причинам. Но они не были похожи на сигналы, рассчитан-

НА У КИ

ные Торном и другими астрофизиками. Если бы появился нужный сигнал, система сама переслала бы его на рабочую почту в несколько центров LIGO в европейских городах. Именно так и произошло 14 сентября 2015 года, когда впервые были зафиксированы гравитационные волны, – уже через полчаса все участники коллаборации получили сообщение об этом событии. Началась тщательная обработка сигнала и вычисление энергии черных дыр. Астрофизики стали проверять все данные об излучениях в этой области неба, откуда пришла волна, и действительно обнаружили мощные кратковременные электромагнитные излучения, которые можно было объяснить только втягиванием масс в две мощные сходящиеся черные дыры (ведь самих черных дыр увидеть нельзя). Вполне возможно, что без «подсказки» физиков из LIGO астрофизики проморгали бы эти излучения – они были очень кратковременными. Но теперь сошлись концы с концами, и событие, зафиксированное 14 сентября 2015 года, считается первым надежным доказательством существования не только гравитационных волн, но и черных дыр! Работа опознания длилась несколько месяцев, и 11 февраля 2016 года на прессконференции в ЦЕРНе в Женеве было объявлено об открытии гравитационных волн. В тот же день вышел из печати специальный выпуск самого авторитетного физического журнала Physical Review Letters, где было заявлено это открытие. За последние два года произошли еще четыре регистрации гравитационных волн. Особенно интересной была регистрация 17 августа 2017 года. В этот день впервые была зафиксирована гравитационная волна от слияния двух нейтронных звезд, и одновременно это событие наблюдалось астрономами как превращение двух звезд в одну. И тут уже Нобелевскому комитету по физике некуда было деваться. Открытие стало фактом, и оно было единодушно признано заслуживающим Нобелевской премии 2017 года. Она была присуждена американским физикам Райнеру Вайссу, Кипу Торну и Барри Бэришу. В денежном измерении половина премии присуждалась

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: math@kvant.ras.ru и phys@kvant.ras.ru соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2502–М2505 предлагались на региональном этапе XLIV Всероссийской олимпиады школьников по математике. Задачи Ф2509–Ф2512 предлагались на Всесибирской открытой олимпиаде школьников по физике 2018 года.

Задачи М2502–М2505, Ф2509–Ф2512

M2502. Петя и Вася по очереди выписывают на доску натуральные числа, не превосходящие 2018 (выписывать уже имеющееся число запрещено); начинает Петя. Если после хода игрока на доске оказываются три числа, образующих арифметическую прогрессию, этот игрок выигрывает. У кого из игроков есть стратегия, позволяющая ему гарантированно выиграть? М.Дидин, П.Кожевников

M2503. Дан треугольник ABC, в котором ‘ A ‘ C 30 q (рис.1). На его сторонах AB, BC и AC выбраны точки D, E и F соответственно так, что ‘ BFD ‘ BFE 60 q. Периметр треугольника ABC равен

Рис. 1

p, а периметр треугольника DEF равен $p_{1}$. Докажите, что $p d 2 p_{1}$. А.Кузнецов

M2504. Докажите, что найдется такое натуральное число n! $10^{2018}$, что сумма всех простых чисел, меньших n, взаимно проста с n. Р.Салимов

M2505. В компании 100 детей, некоторые дети дружат (дружба всегда взаимна). Известно, что при выделении любого ребенка оставшихся 99 детей можно разбить на 33 группы по три человека так, чтобы в каждой группе все трое попарно дружили. Найдите наименьшее возможное количество пар дружащих детей. С.Берлов, Н.Власова, Д.Храмцов

Ф2509. Открытый без крыши вагон (железнодорожники их называют полувагонами) высотой Н = 4,5 м движется с постоянной скоростью u = 6 м/с. Как только вагон проехал мимо грузчика, тот сразу попытался закинуть через заднюю стенку вагона небольшой мешок. Какую минимальную скорость v (в м/с) при этом необходимо сообщить мешку? Известно, что при забрасывании мешка грузчик «отпускает» его на высоте h = 1 м от уровня земли. Ускорение свободного падения g = 9,8 м $с^{2}$. Сопротивлением воздуха пренебречь. А.Киприянов

Ф2510. Горлышко бутылки с внутренним диаметром D = 1 см находится на расстоянии Н = 10 см ниже водопроводного крана, внутренний диаметр носика которого $D_{0} = 2$ см (рис.2). Центры горлышка бутылки и носика крана находятся на одной вертикали. При каком максималь-

20

КВАН T 2018/№3

Рис. 2

ном расходе воды $Q_{0}$ (в л/с) вся вода будет попадать в бутылку? Ускорение свободного падения g = 9,8 м $с^{2}$. Считать течение воды спокойным (ламинарным). Влиянием воздуха, вытесняемого из бутылки в процессе ее заполнения водой, пренебречь.$^{1}$ Д.Медведев

Ф2511. Имеются 10 одинаковых флаконов с жидкостью. Они хранятся внутри ящика, из которого тепло наружу не выходит. Для лучшего хранения каждый флакон надо на некоторое время нагреть до температуры $+ 90 \infty C$. Для этого взяли первый флакон и нагрели его до нужной температуры, затратив на это количество теплоты Q = 30 кДж. Затем поставили его внутрь ящика и подождали, пока температуры всех флаконов не выровнялись за счет теплообмена. Затем взяли второй флакон и проделали с ним ту же самую процедуру, включая последующее выравнивание температур, и так далее. Какое количество теплоты потребуется для прогрева десятого флакона? В.Боровков

Ф2512. Деревянный сосуд цилиндрической формы (рис.3) плавает в воде, погрузившись на 0,2 своей высоты, когда он пустой, и на 0,95 высоты, когда он заполнен водой. Во сколько раз плотность дерева, из которого изготовлен сосуд, меньше плотности воды? В.Баткин

Рис. 3

Решения задач М2490–М2492, Ф2497–Ф2500

M2490. Было 100 дверей, у каждой свой ключ (отпирающий только эту дверь).

1 Например, потому, что в боковой стенке

бутылки имеется отверстие для выпуска воздуха. (Прим. ред.)

Двери пронумерованы числами 1, 2, ……, 100, ключи тоже пронумерованы, но, возможно, с ошибками: номер ключа совпадает с номером двери или отличается на 1. За одну попытку можно выбрать любой ключ, любую дверь и проверить, подходит ли этот ключ к этой двери. Можно ли гарантированно узнать, какой ключ какую дверь открывает, сделав не более: а) 99 попыток; б) 75 попыток; в) 74 попыток?

Ответ. а), б) Можно; в) нельзя. а) Попробуем, подходит ли первый ключ к первой двери. Если да, то первый ключ опознан. Если нет, то он подходит ко второй двери, а к первой двери подходит второй ключ. В этом случае опознаны два ключа. Берем очередной слева неопознанный ключ, проверяем его на соответствующей ему двери, распознаем хотя бы один ключ. Если после 99 таких попыток останется нераспознанное, то это последний ключ и для него осталась только одна дверь. б) Попробуем, подходит ли третий ключ к третьей двери. Если он подходит, то с первыми двумя ключами мы сможем разобраться за одну попытку. Итого за две попытки опознаны первые три ключа. Если он не подошел, то попробуем, подходит ли он ко второй двери. Если да, то первый ключ может подойти только к первой двери, а второй – к третьей. Опять за две попытки опознаны три первых ключа. Если снова не подошел, то он подходит к четвертой двери. Первые два ключа могут обслужить только две двери, следовательно, третью дверь открывает четвертый ключ. С первыми двумя ключами и дверьми разберемся за одну попытку. В этом случае за три попытки опознаны четыре ключа. Повторяем процесс: пробуем третий слева неопознанный ключ к соответствующей двери. Распознаем за две попытки три ключа или за три попытки четыре ключа. Если мы уже не можем выполнить этот шаг, то осталось менее трех нераспознанных ключей. С двумя ключами разберемся за одну попытку, с одним – за ноль попыток.

22

КВАН T 2018/№3

прямой (тогда помимо точки O эти окружности действительно имеют еще одну общую точку – симметричную точке O относительно линии центров). Центр описанной окружности треугольника $B_{0} OB$ лежит на пересечении серединных перпендикуляров к отрезкам OB и $OB_{0}$ (рис.2).

Рис. 2

Гомотетия с центром O и коэффициентом 2 переведет центр окружности $B_{0} OB$ в точку B c пересечения AC и касательной к окружности, описанной около треугольника ABC, проведенной через точку B. Аналогично определяются точки A c и C c. Нам остается доказать, что точки A c, B c и C c лежат на одной прямой. Это можно сделать разными способами. Например, это следует из вырожденного случая теоремы Паскаля (для шестерки точек A, A, B, B, C, C). Другой способ – рассмотреть треугольник, образованный касательными AA c, BB c, CC c, и применить теорему Дезарга к этому треугольнику и треугольнику ABC. Задача решена. В заключение заметим, что задача может быть решена и вычислительно (например, с помощью теоремы Чевы в форме синусов), правда, совсем простого решения нам не известно. В качестве упражнения предлагаем доказать, что для равнобедренного (но не равностороннего треугольника) прямые $AA_{2}, BB_{2}, CC_{2}$ пересекаются в точке, симметричной точке пересечения медиан относительно основания. Т.Ковалев, А.Львов

Ф2497. В журнале «Физика в школе» было опубликовано такое условие задачи: «Свободно падающее с ускорением g = 10 м $с^{2}$ тело спустя некоторое вре-

мя после начала движения оказывается на высоте $h_{1} = 300$ м над землей, а еще через время ’ t = 10 с – на высоте $h_{2} = = 120$ м над землей. С какой высоты падало тело?» И был дан такой ответ: «H = 1531 м». Найдите две опечатки (по одному символу в каждой) в опубликованном материале.

Понятно, что приведенные числовые значения никоим образом друг другу не подходят. Предположим, что высоты $h_{1}$ и $h_{2}$ указаны правильные, тогда время ’ t никак не может быть равным 10 с. А вот если предположить, что в числе для ’ t между символами «1» и «0» пропущена запятая, т.е. время равно точно 1,0 с, тогда ответ должен получиться 1831 м. Ну вот, и вторая опечатка найдена: начальная высота приблизительно равна не 1531 м, а 1831 м! Иными словами, вместо символа «8» был ошибочно поставлен символ «5». У.Страшнов

Ф2498. Стенки пластиковой бутылки от сильно газированного напитка могут выдержать давление (изнутри) p = = 10 атм. В такую бутылку емкостью V = 1 л налили V/2 жидкого азота, закрыли бутылку пробкой и положили на асфальт, накрыв бутылку сверху пустым жестяным ведром емкостью 10 л и массой 1 кг. Через некоторое время произошел взрыв. Ведру достался 1% внутренней энергии газа внутри бутылки до взрыва. Оцените высоту подъема ведра над местом старта. Температура кипения жидкого азота при давлении p = 10 атм равна примерно T = 100 К. Плотность U жидкого азота примерно равна плотности воды U в = 1 г $см^{3}$.

Будем считать, что весь кислород, который входил в состав воздуха в бутылке, сконденсировался и в газообразном состоянии в бутылке в объеме 0,5 литра перед взрывом находился только азот. Этот азот после заливки в бутылку жидкого азота, естественно, охладился, и его вклад в суммарное давление перед взрывом был меньше атмосферного, поэтому этим вкладом можно пренебречь. Сжимаемостью

25

ЗАДАЧНИК

из частей, мы получим кусок не более половинки другой части, а это уже запрещено. Тем не менее, выход из положения есть. Утверждение 1. Если R 1 2, то сыр можно резать неограниченно, т.е. так, чтобы после любого числа разрезаний можно было сделать еще одно. Для доказательства, как часто бывает, нужно немного усилить утверждение. Утверждение 1 c. Если R 1 2, то сыр можно правильно разрезать на n частей, притом так, чтобы никакие две части не были равны по весу. Доказательство (по индукции). Разрезать на 2 неравные части можно. Пусть сыр уже правильно разрезан на k 1 частей: a > b > c > … > f. Разрежем наибольшую часть a пополам; имеем части b, c, …, f, a 2, a 2. Поскольку f! a 2! b 2,

( ) сыр разрезан правильно, причем получившиеся части – наименьшие. Правда, не выполнено индуктивное предположение: имеется две равные части. Однако поскольку в соотношении ( ) оба неравенства строгие, можно немного увеличить одну из двух последних частей, соответственно уменьшив другую так, чтобы неравенства сохранялись. Тем самым, индуктивный переход завершен. Рассмотрим теперь произвольное R, 1 2 R 1. Для начала докажем одно полезное утверждение. Утверждение 2. При правильном разрезании необходимо всегда резать самый большой кусок. Доказательство. Пусть a – наибольший кусок. Если мы режем какой-то кусок b, b d a, то один из получившихся кусков не больше b 2 d a 2, т.е. по крайней мере вдвое меньше куска a, который пока что остался целым. Противоречие. Заметим дополнительно, что отсюда видно: если имеется два одинаковых наибольших куска, то дальше резать сыр уже невозможно. На какое максимальное число кусков можно разрезать сыр при данном R? Оказывается, прежде всего, что справедлив

«КВАНТА»

любопытный факт: каково бы ни было R, максимальное число – четное. Точнее, справедливо такое утверждение. Утверждение 3. Если сыр можно правильно разрезать на (2n – 1) частей, то его можно правильно разрезать также и на 2n частей. Для доказательства введем понятие оптимального разрезания. Заметим для начала, что условие «отношение весов любых двух кусков должно быть больше R» достаточно проверить для наименьшего и наибольшего из имеющихся кусков; если для них оно верно, то для всех других оно выполнено автоматически. Пусть заданы какие-то натуральные s, r; допустим при этом, что сыр уже каким-то образом правильно разрезан на r кусков, и мы хотим сделать дополнительно еще s разрезаний, т.е. получить r s кусков. Разумеется, это можно сделать разными способами. Назовем способ разрезания оптимальным, если после каждого из s разрезаний одновременно выполнены два условия, а именно условие минимакса: наименьший из получившихся к этому моменту кусков не меньше, чем получающийся при любом другом способе правильного разрезания («минимальный кусок максимален», отсюда и понятие «минимакс»), условие максимина: наибольший из получившихся к этому моменту кусков не больше, чем получающийся при любом другом способе правильного разрезания. Очевидно, если эти условия выполнены одновременно, то на каждом шаге отношение веса наименьшего куска к весу наибольшего будет больше (или равно), чем при любом другом. Отсюда немедленно следует, что если правильный способ разрезания вообще существует, то оптимальный способ – тоже правильный. Прежде чем двигаться дальше, сделаем несколько замечаний об оптимальности как таковой. Прежде всего, важно помнить, что это определение зависит от выбора r и s; одно и то же разрезание может быть оптимальным для одного s и не быть таким для

26

КВАН T 2018/№3

другого (ниже мы приведем такие примеры). С другой стороны, понятие оптимальности не зависит от того, каково R: ведь в определении оптимальности число R не участвует. В чем же тогда выражается оптимальность? А вот в чем. Легко видеть, что как бы мы ни резали сыр, данное разрезание всегда будет правильным для маленьких R и неправильным – для больших. Можно сказать и точнее. Пусть кусок сыра произвольным образом, но с соблюдением правила (i) был разрезан на конечное число частей; вычислим всевозможные отношения весов кусков после первого, второго,……, последнего разрезания – это конечное число положительных чисел. Пусть $R_{0}$ – наименьшее из этих чисел. Тогда очевидно, что наше разрезание было правильным для любого $R R_{0}$ и неправильным – для всех остальных. (То же самое – если поначалу был не один кусок, а несколько.) Преимущество оптимального разрезания перед другими (его оптимальность) состоит в том, что для оптимального разрезания число $R_{0}$ – самое большое, какое только возможно. Таким образом, если нам требуется решить обратную задачу (число R не задано, но указан способ разрезания и требуется узнать, при каких R он правильный), то предпочтителен именно оптимальный способ: если какое-то R годится для другого способа, то оно годится и для оптимального (но не наоборот). И еще одно немаловажное замечание: определение оптимальности отнюдь не гарантирует ни существования, ни единственности: оптимальный способ разрезания может не существовать вообще или их может быть много. Пусть, например, имеется поначалу только один кусок сыра. Тогда его можно оптимально разрезать на два куска: оптимальным будет разрезание ровно пополам (отношение наименьшего куска к наибольшему равно 1, и больше оно уж никак не может быть). Но если мы собираемся резать сыр на три части, то такое разрезание не только не оптимально – оно довольно плохое, поскольку при втором разреза-

нии непременно один кусок окажется вдвое меньше другого. Более того, это означает, что оптимального разрезания в данном случае вообще не существует: ведь оптимальность должна выполняться как на первом шаге (разрезание на 2 части), так и на втором, а в данном случае требования оптимальности противоречат одно другому. Пример, когда существует много разных оптимальных разрезаний, постарайтесь придумать сами. Теперь вернемся к нашей задаче. Мы рассматриваем такую ситуацию: сыр уже удалось правильно разрезать на r кусков, и мы собираемся сделать еще s разрезов. Мы утверждаем, что если s d r, то для этого имеется оптимальный способ, который состоит в следующем: нужно последовательно делить каждый имеющийся кусок ровно пополам, начиная с наибольшего и далее в порядке убывания – сначала кусок a, потом b, потом с и так далее. Действительно, при таком способе, например, после двух разрезаний наибольший кусок есть c, а наименьший – b 2. Очевидно, что как бы мы ни делили, наибольший из оставшихся после двух разрезаний кусок будет либо равен c (если мы поделили куски a, b), либо больше его, так что способ является максиминным. Аналогично, очевидно, что какие бы куски мы ни резали, наименьший кусок всегда будет не больше b 2. Остальное несложно. Допустим, что сыр можно разрезать на ( 2 n - 1 ) частей; тогда в некоторый момент частей было n, и это были части $a t b t c t^{…} t f t g$. После этого мы делили правильно; следовательно, мы могли также применить (с этого момента) оптимальный способ и делить каждую часть ровно пополам. После 2 n 2 -го деления мы получили части: g, a 2 (две штуки), b 2 (две штуки), ……, f 2 (две штуки). Разделим теперь и часть g пополам; мы получили те же части, что n шагов назад, только каждая часть вдвое меньше и имеется в двух экземплярах. Ясно, что деление – правильное. Важное замечание: указанный способ правильного деления – в некотором смысле «наилучший», если мы не собираемся

К О НК УР С ИМЕНИ А .П. САВИНА

Мы продолжаем конкурс по решению математических задач. Они рассчитаны в первую очередь на учащихся 7–9 классов, но мы будем рады участию школьников всех возрастов. Конкурс проводится совместно с журналом «Квантик». Высылайте решения задач, с которыми справитесь, электронной почтой по адресу: savin.contest@gmail.com или обычной почтой по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» (с пометкой «Конкурс имени А.П.Савина»). Кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором вы учитесь, а также обратный почтовый адрес. Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в таком случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы. Задания, решения и результаты публикуются на сайте sites.google.com/view/savin-contest Желаем успеха!

25. а) Петя пишет в каждой клетке доски 100 ¥ 100 буквы А или Б так, чтобы букв А и Б было поровну. Затем Вася передвигает по этой доске фишку, сдвигая ее все время только в соседнюю по стороне клетку и каждый раз записывая, на какой букве она стоит. Всегда ли Вася может так поставить фишку и так обойти ею все клетки ровно по одному разу, чтобы полученная последовательность букв одинаково читалась слева направо и справа налево? б) То же самое, но доска 101 ¥ 101 и букв А на одну больше, чем букв Б. Г.Никитин

26. Каждую вершину прямоугольника (не квадрата) отразили симметрично относительно диагонали, не проходящей через эту вершину. Получили четыре точки. а) Докажите, что эти четыре точки образуют прямоугольник. б) Могут ли они быть вершинами прямоугольника, равного исходному? в) Могут ли они быть вершинами прямоугольника, подобного, но не равного исходному? С.Дворянинов

27. – Поделил я как-то одно натуральное число на другое с остатком, – рассказывал Петя Коле. – Когда же я поделил квадрат первого числа на второе, остаток оказался вдвое больше, чем был при первом делении. А когда я поделил куб первого числа на второе, остаток стал уже втрое больше. – Ну, это ты заливаешь, такого не может быть! – воскликнул Коля. – Вот со мной действительно была похожая история. Я тоже поделил одно натуральное число на другое с остатком. И когда я поделил куб первого числа на второе, остаток оказался вдвое больше первоначального, а когда поделил квадрат первого числа на второе, остаток стал втрое больше. – Теперь уже ты сочиняешь! – заявил Петя. Кто прав в каждом случае? И.Акулич

28. Каких натуральных чисел больше: 10-значных с суммой цифр 9 или 9-значных с суммой цифр 10? На сколько? С.Костин

ВНИМАНИЮ НАШИХ ЧИТАТЕЛЕЙ!

Открылась регистрация на XXIV Турнир математических боев имени А.П.Савина для школьников, закончивших 6–9 классы. Турнир пройдет с 26 июня по 2 июля 2018 года на базе отдыха «Берендеевы поляны» (Костромская область). Это лично-командное соревнование, основу мероприятия составляет турнир математических боев. В программу входят также различные математические состязания, интеллектуальные игры, культурные мероприятия. О порядке проведения турнира и регистрации можно прочитать по ссылке http://tursavin.ru/info.html

30

КВАН T 2018/№3

Канатоход Толи Втулкина

С.ДВОРЯНИНОВ

НА ПРОШЛОЙ НЕДЕЛЕ МЫ ВСЕМ КЛАС- сом ходили в цирк. Впечатлений – море! На обратном пути, конечно, обсуждали увиденное. Больше всего всех поразили канатоходцы. Кто-то вспомнил, что в 2012 году американский воздушный акробат Ник Валленда первым в мире перешел по канату над Ниагарским водопадом, а вскоре (без страховки) покорил и Гранд- Каньон. Несколькими годами позже, в 2016 году, знаменитый китайский канатоходец Адили Вуксор и его напарник, идя навстречу друг другу, преодолели 800 метров по натянутому тросу над рекой Хуанхэ. В этом шоу напарник Вуксора в момент встречи лег на канат, а канатоходец перешел через него, наступив ему на грудь. Сохранять равновесие человеку на канате помогает длинный шест. Канатоходец удерживает шест в горизонтальном положении перед собой. При наклоне влево следует этот шест отвести вправо. И наоборот: при наклоне вправо шест смещается влево. В итоге во время движения канатоходца центр тяжести системы «человек плюс шест» неизменно оказывается над канатом. Подобным же образом следует управлять шестом, реагируя на возможные порывы ветра. Но обычно канатоход-

цы выполняют свои трюки в тихую безветренную погоду. Иногда для удержания каната, по которому движется смельчак, используют дополнительные стабилизирующие канаты, препятствующие раскачиванию. По раскачивающемуся канату не то что идти опасно, на него и приземлиться-то, точнее «приканатиться», трудно. Даже птицы знают об этом и потому стараются усесться на ту часть провода, которая ближе к столбу – здесь амплитуда колебаний меньше. У каждого человека есть орган, который обеспечивает его равновесие. Название этого важного органа – вестибулярный аппарат. Он представляет собой систему каналов, наполненных жидкостью. При наклоне или повороте головы жидкость перетекает туда-сюда, нервные клетки реагируют на изменение давления и передают сигнал в головной мозг. Даже с закрытыми глазами мы понимаем, в каком положении находимся, и поэтому можем перемещаться в полной темноте. Но хождение по канату – не только развлечение или захватывающее зрелище. Легенды гласят, что для жителей гор умение ходить по канату было жизненной необходимостью. Представьте, что вам надо перебраться с одного края ущелья на другой. Или преодолеть бурную горную реку. Мост тут не построить. А вот натянуть канат, привязав его к деревьям или закрепив камнями, вполне возможно. Особую славу в мастерстве передвигаться по канату снискали жители Дагестанского села Цовкра. В интернете вы легко найдете и фото, и видео. Кто-то из мастеров этого искусства, двигаясь по канату, удерживает зубами поднос, а на нем – две полные чайные чашки. У друго-

31

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

го канатоходца завязаны глаза. А третий устроился … в тазике! Сидя в нем, с помощью ног он передвигается вперед. Но у всех в руках непременный шест-балансир. Из Цовкри вышло немало эквилибристов, выступавших по всему миру и принесших славу нашей стране. Потом кто-то из нас вспомнил и про популярные в горах современные канатные дороги. В основном они бывают двух видов. Одни – канатно-кресельные. На других, более мощных, на канатах подвешены целые вагоны, наподобие трамвайных. Только колеса находятся не внизу, а над вагоном, точнее – над канатом. И катятся они по канату, как по рельсу. И здесь уже каждый может прокатиться – либо в кресле, либо в вагончике. Вполне комфортно и без всякого риска. Но тут наш учитель Иван Петрович предложил нам подумать: а как еще мож-

ШК О ЛЬНИК О В

но передвигаться по канату? Скажем, над рекой. Срок работы над проектом – неделя. Задание не для всех, а для желающих. Через неделю на заседании школьного физического кружка мы защищали свои проекты. Я предложил каждому ступающему на канат давать в руку шарик, наполненный гелием (такие воздушные шарики сейчас часто можно увидеть). Были и другие разработки. Но лучшей все признали конструкцию Толи Втулкина. Принцип действия его конструкции понятен из рисунка. По канату (точнее, по металлическому тросу) едет небольшая двухколесная тележка (как велосипед). На каждом колесе – желоб, в котором располагается канат. А не падает тележка влево-вправо потому, что с ней жестко связан длинный стержень с грузом-балансиром на конце. Ясно, что при любом отклонении тележки от вертикальной плоскости груз-противовес поднимается вверх. В итоге центр тяжести всей системы поднимается вверх, следовательно, исходное положение равновесия тележки – устойчивое. Человек, находящийся на канате, должен держаться за этот стержень и одновременно толкать тележку вперед. Толик предложил и несложные расчеты, из которых следует, что, желая уменьшить вес груза, мы должны увеличить длину стержня. И наоборот. Если стержень короткий, то груз-противовес для обеспечения устойчивости должен быть достаточно большим. Этот противовес действует так же, как киль яхты, удерживающий ее от опрокидывания. – Так это же получается посох для движения по канату! Пожалуй, и пользоваться им не так уж сложно! – таков был итог нашего обсуждения. – Пожалуйста, – согласился с нами Толя. Хотите – говорите посох, хотите – канатоход!

47

ОЛИМПИАДЫ

доплыла до пристани, быстро развернулась и, с прежней относительно воды скоростью, поплыла вверх по течению, где снова встретила плот на расстоянии $s_{1} = 1100$ м от моста. Если бы с момента первой встречи с плотом лодка плыла с вдвое большей скоростью относительно воды, то их вторая встреча произошла бы на расстоянии $s_{2} = 600$ м от моста. Определите, во сколько раз скорость лодки больше скорости течения реки и на каком расстоянии от моста находится пристань.

Задача 3. Стержень Половина (по длине) длинного стержня имеет линейную плотность $O_{1} = 60$ г/дм, а вторая половина – $O_{2} = 20$ г/дм. Стержень разрезали поперек на две равные по массе части. Чему оказались равны средние линейные плотности получившихся частей? Примечание. Линейной плотностью протяженных тел O называют массу единицы их длины.

Задача 4. Окаменевшая жидкость Если в сосуд объемом $V_{0}$, доверху заполненный жидкостью, опускать камни плотностью U 2,2 г $см^{3}$, то в зависимости от их объема $V (V < V_{0} )$ средняя плотность содержимого сосуда будет изменяться так, как показано на рисунке 2. Определите объем сосуда $V_{0}$ и плотность жидкости $U_{0}$.

Задача 2. Проволока Длинная проволока состоит из трех частей, соединенных последовательно друг за другом. Первая часть длиной в четверть от длины всей проволоки имеет линейную плотность $O_{1} = 30$ г/дм. Вторая часть массой в треть от массы всей проволоки имеет линейную плотность $O_{2}$. Масса третьей части равна сумме масс первых двух. Определите среднюю линейную плотность $O_{cp}$ всей проволоки. Какая минимальная линейная плотность $O_{2}$ может быть у второй части проволоки? Примечание. Линейной плотностью протяженных тел O называют массу единицы их длины.

Задача 3. Жидкое равновесие Прямоугольный легкий сосуд с жидкостью массой m помещен на однородный рычаг массой 3m (рис.3). В жидкость опущено тело

Рис. 3

массой 2m, не касающееся дна сосуда и удерживаемое нитью, перекинутой через блок (рис.3). Груз какой массы $m_{x}$ необходимо подвесить к противоположному концу нити для равновесия всей системы? Трения в осях рычага и блока нет. Необходимые расстояния можно взять из рисунка.

Рис. 2

8 класс Задача 1. Ни два, ни полтора… Автомобиль проехал треть пути со скоростью v = 46 км/ч. Затем четверть времени всего движения он ехал со скоростью, в полтора раза превышающей среднюю на всем пути. На последнем участке автомобиль ехал со скоростью 2v. Определите максимальную скорость автомобиля.

Задача 4. Быстрее, но медленнее Чайник с водой при температуре $t_{0} 20 q C$ нагрелся на газовой горелке до $t_{1} 40 q C$ за время $W_{1} = 2$ мин. Желая ускорить нагрев, половину воды вылили, и еще через $W_{2} = 1$ мин температура воды достигла $t_{2} 55 q C$. Так как и это показалось медленным, вылили еще половину оставшейся воды, но при этом случайно задели кран горелки, вдвое убавив ее мощность. Через какое время $W_{3}$ чайник всетаки нагреется до $t_{3} 100 q C$? Потерями тепла в окружающую среду можно пренебречь.