Квант 2018, №5 · Страницы

3

ВЫПУКЛЫЙ

АНАЛИЗ

Мы будем опираться на свойства точек и прямых, которые уточняют постулаты Евклида. 1) Через две различные точки A и B плоскости $E^{2}$ проходит единственная прямая; причем если |AB| = |AC| + |CB|, то точка C лежит на этой прямой. В этом случае будем также говорить, что

Рис. 1. Точка C лежит на отрезке [AB ], |AB | = = |AC | + |CB |, а точки C c и C cc не лежат, так как AB AC c C c B и AB AC cc C cc B

точка C лежит между A и B. Множество точек, лежащих между A и B, вместе с самими точками A и B будем называть отрезком с граничными точками A и B. Такой отрезок будем обозначать [AB] (рис.1). Понятие отрезка позволяет дать основное для нас определение – выпуклого множества. Множество C называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками A и B из C весь отрезок [AB] принадлежит C. Мы определили геометрическую фигуру – отрезок. Определим еще две геометрические фигуры. Окружностью с центром в точке O радиуса r > 0 называется совокупность всех точек, удаленных от O на расстояние r. Круг B O, r состоит из всех точек, удаленных от O не более чем на r (обозначение B от Ball – шар). Согласно определению, отрезок выпукл. Круг тоже выпукл (докажите!), а вот окружность нет: если соединить любые две различные точки на окружности отрезком, то все точки этого отрезка, кроме концов, окружности не принадлежат. Здесь разумно разобраться в том, что такое граница множества (в том числе выпуклого). Не граничные, внутренние точки множества обладают тем свойством, что любую такую точку можно сделать центром круга, пусть очень маленького, но который целиком лежит в множестве. А граничная точка, наоборот, этим свойством не обладает: любой круг с центром

НА

ПЛОСКОСТИ

в граничной точке имеет и общие точки со множеством, и точки, не принадлежащие множеству. Граница выпуклого множества (т.е. множество его граничных точек) – это нечто вроде сплошного забора, отделяющего множество от остальной части плоскости. Далее мы рассматриваем только выпуклые множества, в которые включена их граница. Такие множества называют замкнутыми выпуклыми множествами на плоскости $E^{2}$. Разберем простой пример. Внутренними точками круга B O, r являются все его точки, не лежащие на соответствующей окружности. Действительно, если расстояние от точки A до O меньше r, |OA| < r, то A является внутренней точкой $круга^{B} O,^{r}$ по неравенству треугольника. Доказательство того, что окружность является границей круга, не так очевидно, как кажется на первый взгляд. Попробуем доказать, что точки окружности не являются внутренними точками круга. Выберем точку A на окружности, |OA| = r, и возьмем любой маленький круг с центром в A. Как доказать, что в нем найдутся точки не из $B^{O},^{r}$? Например, так: проведем луч OA. Казалось бы, он должен «протыкать» окружность в точке A, т.е. для любого числа x > r на луче OA должны найтись нужные нам точки на расстоянии x от O. Это соображение наводит нас на второе свойство точек и прямых на плоскости, которое нам понадобится в доказательствах. Оно уточняет второй и третий постулаты Евклида. 2) Точка O на прямой делит точки этой прямой на две выпуклые совокупности, называемые лучами с вершиной в O. При этом (a) если A и B принадлежат разным лучам, то O лежит в отрезке [AB] и (б) каждый из лучей неотличим от совокупности неотрицательных вещественных чисел, если каждой точке луча поставить в соответствие расстояние от нее до вершины луча O (рис.2).

Рис. 2. Точки A и B лежат на разных лучах относительно точки O

5

ВЫПУКЛЫЙ

АНАЛИЗ

му R называют еще вещественной прямой. Нам осталось обсудить еще одно свойство евклидовой плоскости, которого у Евклида не было, но им он многократно пользуется в своей книге. Как мы уже сказали, точка на прямой делит последнюю на две выпуклые совокупности, называемые лучами. Точно так же мы постулируем следующее. 3) Прямая на плоскости,обозначим ее l, делит точки плоскости на две выпуклые совокупности, называемые полуплоскостями с границей l, и при этом, если A и B принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок [AB] пересекается с l (рис.3). Каждая из полуплоскостей определяется

Рис. 3. Точки A и B лежат в разных полуплоскостях относительно прямой l, а точки A и D – в одной

любой своей точкой, которая не лежит на l (на рисунке 3 – точкой A (или D) и точкой B). В конце XIX века немецкий математик Мориц Паш, изучая аксиоматику Евклида, обнаружил, что Евклид многократно пользуется одним утверждением, но никак его не доказывает. Вот это утверждение. Утверждение. Если прямая на плоскости $E^{2}$ пересекает одну сторону треугольника во внутренней точке и при этом не проходит через противоположную стороне вершину, то она пересекает еще одну сторону треугольника во внутренней точке (рис.4). В 1882 Пашу удалось показать, что это утверждение никоим образом не может

Рис. 4. Иллюстрация аксиомы Паша

НА

ПЛОСКОСТИ

быть выведено из постулатов Евклида. С тех пор это утверждение называют аксиомой Паша. Без аксиомы Паша невозможно определить понятие полуплоскости, так как невозможно доказать, что если точки A и B лежат с одной стороны от l и точки B и C лежат с одной стороны от l, то точки A и C тоже лежат с одной стороны от l. Позднее, уже в XX веке, В.Шмелева (Wanda Szmielew) и Л.Штерба (Leslaw Szczerba) дали полный ответ на вопрос о том, как будет устроена геометрия на плоскости, если отказаться от аксиомы Паша [4]. Аксиома Паша напрямую связана с выпуклостью. Поэтому в этой статье мы будем пользоваться тремя сформулированными постулатами, и аксиома Паша легко вытекает из третьего постулата. А теперь, когда мы уточнили постулаты Евклида, сформулированные в третьем веке до нашей эры, перенесемся в девятнадцатый и двадцатый века эры «нашей» и докажем все основополагающие теоремы выпуклой геометрии. Основы теории выпуклости (не только на плоскости или в трехмерном пространстве, но и в пространстве большего числа измерений) заложил выдающийся математик конца XIX – начала XX веков Герман Минковский (1864–1909). Теория выпуклости базируется на теоремах отделимости. Для того чтобы сформулировать эти теоремы, необходимо определить само понятие отделимости. Говорят, что прямая l отделяет множество $C_{1}$ от множества $C_{2}$, если $C_{1}$ лежит в одной полуплоскости с границей l, а $C_{2}$ – в другой. Скажем, что прямая l строго отделяет множество C от точки A, если она отделяет C от A, причем A не принадлежит разделяющей прямой l, и множество C с ней не пересекается. Теорема 1 (теорема отделимости). Непустое замкнутое выпуклое подмножество евклидовой плоскости $E^{2}$ можно строго отделить от точки, ему не принадлежащей. При доказательстве этой теоремы мы будем пользоваться таким свойством замкнутых множеств: если D – замкнутое

6

КВАН T 2018/№5

множество и точка A не принадлежит D, тогда в D существует (хотя бы одна) ближайшая к ней точка B. Для выпуклых замкнутых множеств верен и более сильный факт (который, впрочем, нам не потребуется): если множество C не только замкнуто, но еще и выпукло, то ближайшая к A точка в C единственна.

С такого рода результатами о существовании различных геометрических точек и фигур математики постоянно сталкиваются. Многие из них основываются на теореме Вейерштрасса о существовании минимума и максимума у непрерывной функции на компакте. Она относится к разделу математики, возникшему в XX веке. До середины девятнадцатого века существование точек, подобных точке B, считалось очевидным и не доказывалось.

Доказательство теоремы отделимости (теоремы 1). Итак, существует точка B – ближайшая к A точка из C. Проведем прямую l, проходящую через любую внутреннюю точку C отрезка [AB], перпендикулярно этому отрезку (рис.5). Докажем,

Рис. 5. Иллюстрация к доказательству теоремы отделимости

что прямая l строго отделяет точку A от множества C. Доказательство будем проводить, как принято говорить, «от противного». По построению, точки A и B принадлежат разным полуплоскостям относительно $l и^{B}$  C. Предположим, что утверждение нашей теоремы неверно и существует (гипотетическая) точка X  C из той же полуплоскости, что A, и покажем, как прийти к противоречию. Если такая гипотетическая точка X в множестве C есть, то по третьему свойству плоскости о выпуклости полуплоскостей на отрезке [BX] найдется точка Y, принадлежащая l. Ввиду

того что точки B и X принадлежат C, точка Y принадлежит этому множеству по определению выпуклости. Точка Y не может совпадать с точкой C – если бы точка Y совпала с C, то она была бы к A ближе, чем B, что противоречит свойству точки B. Поэтому точки B, C и Y образуют прямоугольный треугольник BCY и [BY] – его гипотенуза. Пусть [CZ] – высота $'^{BCY}$, опущенная из C на гипотенузу. Очевидно, Z  C. Итак, если гипотетическая точка X  C существует, то существуют и определенные выше точки Y и Z. Здесь мы и приходим к противоречию: в силу того что высота, проведенная из прямого угла, меньше катета, получаем |ZC| < |BC|. Откуда из неравенства треугольника получаем |AZ| < < |AC| + |CZ| < |AC| + |BC| = |AB|, т.е. точка Z ближе к A, чем точка B. Но Z  C. Противоречие доказывает теорему. Одно из важнейших свойств выпуклых объектов – это возможность их двойственного описания. Само понятие двойственности в математике связано обычно с некоторым преобразованием множеств (или функций) в другой «двойственный» объект. Двойственным объектом для выпуклого множества является поляра этого множества. Введем на плоскости декартову систему координат. Тогда полярой множества C называется новое множество точек

C q

^ p; q | px qy d 1 при всех x; y  C `.

Отметим, что для любой пары чисел p; q z 0;0 множество всех таких точек x; y на плоскости, удовлетворяющих неравенству px qy d 1, образует полуплоскость относительно прямой px + qy = = 1, содержащую начало координат. Таким образом, поляра множества описывает все такие полуплоскости, которые содержат C. Лемма. Поляра D q любого (не обязательно выпуклого или замкнутого) множества D является выпуклым замкнутым множеством, содержащим начало координат. Доказательство. Зафиксируем точку x; y и рассмотрим замкнутую полуплос-

8

КВАН T 2018/№5

(1905–1988), подводящая некоторый итог бурно развивающейся теории. У нас в тридцатые годы стали популярны школьные кружки. Появилась популярная литература для школьников. Назовем имена замечательных ученых – Лазаря Ароновича Люстерника (1899–1981) и Льва Генриховича Шнирельмана (1905– 1938), посвятивших выпуклой геометрии и статьи и популярные брошюры, а также хотим назвать студента мехмата Давида Шклярского, совершившего переворот в кружковой деятельности. Он построил свой кружок не на докладах, а на решениях задач, очень многие из которых были из выпуклой геометрии. Стимулом для Минковского создавать теорию выпуклых множеств была, как это ни покажется странным, теория чисел. Читатель может прочесть статью [6] в «Кванте», в которой утверждение о том, что простое число представимо в виде суммы двух квадратов, лишь если при делении на четыре оно дает в остатке единицу (одна из первых замечательных теорем теории чисел), доказывается по Минковскому с помощью свойств выпуклости.

Доказательство теоремы о биполяре в своей основе содержит идею, заложенную в теореме Минковского. Доказательство теоремы о биполяре (теоремы 2). Согласно теореме Минковского, выпуклое замкнутое множество C совпадает с пересечением полуплоскостей, его содержащих. Поэтому если C содержит начало координат, а полуплоскость содержит C, то полуплоскость тоже должна содержать начало координат. Все полуплоскости, содержащие начало координат, делятся на два важных типа. 1. Полуплоскости, не содержащие начало на граничной прямой. В этом случае граничная прямая может быть задана равенством px + qy = 1 (при подходящем выборе p и q), а сама полуплоскость задается неравенством px qy d 1. 2. Полуплоскости, содержащие начало на граничной прямой. В этом случае граничная прямая может быть задана равенством px + qy = 0 (при подходящем выборе p и q), а сама полуплоскость задается неравенством px qy d 0. Таким образом, поляра C q есть в точности множество всех полуплоскостей первого типа, содержащих C. По определению,

биполяра есть множество C qq ^ x; y: px qy d 1 для всех p; q  C q `. Тем самым, биполяра C qq содержит такие точки x; y, которые лежат в каждой полуплоскости первого типа из C. Каждая такая полуплоскость содержит C. Поэтому C  C qq. Однако, формально, равенство C = C qq еще не доказано, так как по теореме Минковского множество C совпадает с пересечением всех полуплоскостей, его содержащих, а биполяра C qq есть пересечение только полуплоскостей первого типа. Тем не менее, не использовав полуплоскости второго типа, мы не приобрели ни одной новой точки. Действительно, если точка x; y не лежит в C, то ее можно строго отделить от C, причем разделяющая прямая не может содержать начало координат, так как оно лежит в C. Таким образом, C = C qq. Обратное утверждение – если C = C qq, то множеств C является выпуклым и замкнутым – доказывается очень просто. Действительно, биполяра есть поляра множества D = C q, а значит, выпукла и замкнута.

Литература 1. Начала Евклида. Книги I–VI. – М.-Л.: ГИТТЛ, 1948 («Классики естествознания»). 2. T.Bonnesen, W.Fenchel. Theorie der Konvexen Kцrper. – Teubner, Leipzig, 1934. 3. Г.Г.Магарил-Ильяев, В.М.Тихомиров. Выпуклый анализ и его приложения. – М.: Либроком, 2016. 4. L.W.Szczerba and W.Szmielew. On the Euclidean geometry without the Pasch axiom. – Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. Astronom. Phys. 18 (1970), 659–666. 5. Н.Васильев. Сложение фигур. – «Квант», 1976, №4. 6. В.Тихомиров. Теорема Ферма–Эйлера о двух квадратах. – «Квант», 1991, №10.

(Окончание следует)

11

ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ВЗАИМО Д ЕЙСТВИЕ В Д ИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СРЕ Д АХ

делить величины сил втягивания твердого (а) и жидкого (б) диэлектриков в область с более сильным полем. В случае жидкого диэлектрика величину эффекта можно оценить по степени нарушения установившегося первоначально равенства уровней в двух сообщающихся сосудах. Если события разворачиваются не в воздухе, а в среде с проницаемостью, большей проницаемости помещенного в нее тела, то диэлектрик выталкивается в область слабого поля. На рисунке 6 представлена

Рис. 7

Рис. 6

схема эксперимента, иллюстрирующего такое выталкивание. Вертикальное всплывание пузырьков воздуха вверх в дистиллированной воде ( H = 81) в присутствии поля сменяется их отклонением в сторону от заряженного шарика. Отметим, что знак заряда шарика, создающего неоднородное поле, роли не играет. Смена направления силы, действующей на диэлектрический объект, в зависимости от соотношения его проницаемости $( H_{1} )$ и проницаемости среды $( H_{2} ),$ в которую он помещен, хорошо демонстрирует эксперимент с парафиновым $( H_{1} = 2 )$ шариком. При нахождении шарика в воздухе $( H_{1} > H_{2} ª 1 )$ силы в разных точках его поверхности всегда направлены во внешнюю сторону и максимальны в ближайших к заряженному металлическому шарику частях поверхности. В результате возникает эффект притяжения диэлектрика к зарядам, создающим поле (рис.7,а). Если же поместить оба шарика в ацетон $( H_{1} < H_{2} ª 21 ),$ то притяжение сменяется отталкиванием (рис.7,б). Проведенный в примере 4 анализ позволяет нам понять такое своеобразное поведение шарика – силы, действующие на него, определяются поляризационными зарядами как самого шарика, так и окружающей среды. А изменение направления результирующей силы связано со сменой знака суммарного поляризационного заряда на границе тела со средой. При нахождении шарика в однородном поле (например, плоского конденсатора) силы в различных точках его поверхности уравновешиваются и никакого смещения шарика в обоих случаях наблюдаться не будет. В общем случае в неоднородной среде (или в присутствии отдельных фрагментов однородных диэлектриков) невозможно установить сколь-нибудь простые выражения для сил, действующих даже на точечные заряды. Более того, присутствие около заряженных тел диэлектрических объектов не должно обязательно приводить к ослаблению сил, действующих на тела (тем более в H раз), а может даже способствовать их увеличению. Рассмотрим пример, подтверждающий это. Пример 5. Как изменится сила взаимодействия между двумя точечными зарядами в воздухе, если между ними поместить диэлектрический шарик? Мы уже знаем, что сила электростатического взаимодействия между зарядами никак не изменится, а останется равной кулоновской. А вот результирующие силы, действующие на заряды, изменятся – именно их и имеют обычно в виду, задавая приведенный в условии вопрос. Даже в случае максимального упрощения условия задачи, когда заряды равны по величине и расположены симметрично относительно

16

КВАН T 2018/№5

KLMN и ABC, значит, X лежит на прямой KL. Аналогично, X лежит на прямой MN, что противоречит параллельности KL и MN. Значит, плоскость KLMN параллельна прямой AC, откуда KL P AC P MN. Теперь докажем такую лемму. Лемма. Пусть в тетраэдре ABCD выполнено AB < BC и CD < AD. Тогда в нем не может быть сечения, являющегося равнобокой трапецией и параллельного ребру AC (или BD). Доказательство. Предположим противное – пусть нашлось такое сечение KLMN, что вершины K, L, M, N лежат на ребрах AB, BC, CD, DA соответственно, и KLMN – равнобокая трапеция, KL P MN P AC. Далее обозначим через P, Q, R середины отрезков KL, AC, MN соответственно (см. рисунок), и пусть B c, P c, D c, R c – проекции соответственно точек B, P, D, R на прямую AC. Так как AB < BC, то AB c B c C, поэтому точка B c лежит на луче QA. Поскольку точка P лежит на отрезке QB, точка P c лежит на отрезке QB c и, следовательно, P c лежит на луче QA. Аналогично, из условия CD < AD следует, что R c лежит на луче QC. Отсюда, в частности, видим, что точки P c и R c не могут совпадать. Прямая PR является осью симметрии равнобокой трапеции KLMN, отсюда PR A KL и, значит, PR A AC. Но в таком случае проекции P c и R c на прямую AC должны совпадать. Противоречие. Лемма доказана. В тетраэдре ABCD условно назовем пару скрещивающихся ребер AB и CD первой парой, пару AC и BD – второй парой и

пару AD и BC – третьей парой. Предположим, что у нас есть тетраэдр, в котором любое ребро из первой пары короче, чем любое ребро из второй пары, а любое ребро из второй пары в свою очередь короче любого ребра из третьей пары. Тогда из леммы следует, что в таком тетраэдре ни для какого ребра нет сечения, являющегося равнобокой трапецией и параллельного этому ребру. Нужные нам тетраэдры существуют. Например, подходит равногранный (вписанный в прямоугольный параллелепипед) тетраэдр ABCD, в котором AB = CD < AC = BD < AD = BC. Можно обобщить нашу лемму и доказать следующие необходимые и достаточные условия существования сечения, являющегося равнобокой трапецией и параллельного ребру AC. Такое сечение существует в точности в следующих случаях: 1) AB = BC и AD = DC; 2) AB < BC, AD < < DC и BD не перпендикулярно AC; 3) AB > BC, AD > DC и BD не перпендикулярно AC. (В случае AC A BD существуют прямоугольные сечения, параллельные AC.) Пользуясь этим, можно указать и другие классы тетраэдров, в которых нет сечения в форме равнобокой трапеции. Например: пирамида ABCD, в основании которой лежит правильный треугольник ABC, а боковые ребра AD, BD, CD не равны друг другу; ортоцентрический тетраэдр ABCD (т.е. в котором AB A CD, AC A BD, AD A BC ) без равных ребер. В.Лецко, П.Кожевников

$M2500^{*}$. Решение этой задачи будет опубликовано позже.

M2501. Пусть даны натуральные числа $a_{1}, a_{2}$, … $, a_{n}$, удовлетворяющие условию: для любых 1 £ i < j £ n число j – i делится на НОД $a_{i}, a_{j}$. Докажите, что найдется натуральное N такое, что N + i делится на $a_{i}$ для всех i = 1, 2, …, n.

(

)

Обозначим через P множество простых чисел, на которые делится хотя бы одно из чисел $a_{1}, a_{2}$, … $, a_{n}$. Рассмотрим некоторое простое число p  P. Среди чисел $a_{1}, a_{2}$, … $, a_{n}$ выберем то, которое делится

ШКОЛА В «КВАНТЕ»

На том стоим!

Л.АШКИНАЗИ

– Вы знаете, Адам, новость – на каждого гражданина давит столб воздуха силою в двести четырнадцать кило! – Нет, – сказал Козлевич, – а что? – Как что! Это научно-медицинский факт. И мне это стало с недавнего времени тяжело. Вы только подумайте! Двести четырнадцать кило! Давят круглые сутки, в особенности по ночам. Ильф и Петров. Золотой теленок

БЫВАЮТ ТАКИЕ ВОПРОСЫ, ЧТО ИХ ДА- же задавать как-то странно. Например, почему реакция опоры N равна силе тяжести mg. Если человек посещал уроки физики и занимался на них физикой, а не общением в соцсетях, то он как минимум ответит – по третьему закону Ньютона. И ошибется, причем подобная ошибка, даже если само уравнение написано правильно, обойдется ему на ЕГЭ в один тестовый балл, т.е. в два, а может быть, даже и в три тех баллов, за которые он, собственно, борется. Ошибется потому, что третий закон говорит о силах, приложенных к разным телам, а N и mg приложены к одному телу. Более внимательный школьник ответит правильнее – по второму и третьему законам Ньютона, и даже проделает соответствующий вывод. Школьник, который еще более дотошен, сумеет получить соотношение между N и mg, если опора сама имеет ускорение a. Впрочем, и его можно запутать, спросив, что будет, если у опоры ускорение направлено вниз и по величине больше g. Воспользовавшись его растерянностью, сообщим, что физика отличается от математики тем, что в ней ни одна задача не может быть решена до конца. Потому, что физика – одна из так называемых естественных наук, т.е. наука, непосредственно относящаяся к природе, рассматривающая процессы, происходящие или предположительно происходящие в природе. Кстати, математика тоже частично относится к природе, но опосредовано, через естественные науки. А реальные физические задачи могут быть решены только для некоторых условий и с некоторой точностью. Если же мы изначально

оговорим, какие законы считаем соблюдающимися, и договоримся пренебрегать всем остальным, иными словами, сведем физику к некоторой ограниченной модели, то тогда станут возможны точные и окончательные решения. Именно так мы всегда поступаем в школе с физикой и химией, создавая не вполне правильное представление об этих науках. Обратимся к нашей конкретной задаче про N и про mg. Вот вопрос, который должен возникать: почему при выводе пресловутого равенства N = mg мы не учитываем давление воздуха р? И не вздумайте что-то говорить про «мало» и «пренебрегаем» – сила, с которой воздух на земле, если не лезть в горы, давит на поверхность, составляет около 10 Н на каждый квадратный сантиметр, или около 2000 Н вертикально сверху на стоящего и 20000 Н на горизонтально лежащего человека. (Остап Бендер явно знал школьную физику.) Напомним, что 2000 и 20000 Н – это вес тела массой в 200 и 2000 кг соответственно. Получается, что, когда вы спите, на вас стоит примерно половина слона или два медведя – как вам больше нравится. В школьном учебнике рассматривается вопрос о механических напряжениях в твердом теле, жидкости и газе, и в хорошем учебнике даже объяснено, почему напряжения в газе и жидкости называют давлением. Конечно, это надо было бы сделать яснее, обсудив применимость понятия «давление» для разных случаев, но сейчас речь не об этом, а о том, почему мы не учитываем силу Архимеда при выводе формулы N = mg. Ответ на вопрос известен: потому, что воздух примерно на три порядка легче воды, а металлов – примерно на четыре порядка. Тут еще можно вспомнить старую шутку про то, что тяжелее: килограмм гвоздей или килограмм ваты, и попросить дать численную оценку. Кстати, при попытке это сделать часто забывают, что «истинный объем» ваты – тот, который должен войти в силу Архимеда, – сильно отличается от геометрического, внешнего объема, от, так сказать, объема подушки. Упоминание закона Архимеда для тел, «мирно спящих», т.е. лежащих на столах, может – и должно было бы! – указать читателю на ключевой момент.

27

ШКОЛА

Однако наши приключения только начинаются. Прежде всего стоит спросить, глубока ли и широка ли щель – та, которая имеется под мирно спящем на столе телом. Это зависит от механическах свойств и рельефа поверхности соприкасающихся тел. Когда мы кладем реальное шероховатое тело, то сначала оно касается другого тела одной точкой, потом, чуть повернувшись, второй, затем, еще чуть повернувшись, третьей, а еще чуть опускается, расширяя площади так называемого истинного контакта вокруг этих точек, причем итоговая суммарная площадь всех контактных площадок должна быть такой, чтобы материал выдерживал вес верхнего тела. Заметим, что при соприкосновении могли возникнуть еще контактные области, кроме первых трех. И что деформировались оба тела, причем распределение деформаций зависело от характеристик шероховатости и твердости обеих поверхностей. Если мы кладем, например, стальной куб с ребром 10 см, масса которого примерно 8 кг, а вес 80 Н, на стальную поверхность, то площадь истинного контакта при прочности материала 5 ˜ $10^{8}$ Н $м^{2}$ составит, как легко посчитать, $0,16 мм^{2}$. Это ничтожно малая доля – 16 миллионных! – от геометрической площади контакта, которая составляет $10000 мм^{2}$. Ситуация, когда площадь истинного контакта составляет малую долю от геометрической, является для техники постоянной и вездесущей. И она влечет множество разных проблем. Так, если через контакт нужно передавать тепло или электрический ток, им приходится протискиваться через эти маленькие пятнышки. При передаче тепла это влечет увеличение перепада температур между деталями или, при фиксированном перепаде температур, уменьшение потока тепла. При протекании электрического тока маленькие контактные площадки из-за высокой плотности тока в них перегреваются, контакты могут свариваться, плавиться, даже испаряться. И это еще только начало проблем. Например, именно поведение контактов определяет сухое трение и химические процессы, идущие на контакте твердых тел. Но сейчас нас интересует щель под телом, которое лежит на поверхности. Для твердых материалов оная щель, как мы уже понимаем, занимает почти все пространство под

В

«КВАНТЕ»

телом. Про мягкие тела поговорим чуть позже, а сейчас вопрос: как у этой щели дела с толщиной, пролезет ли туда молекула? Оптические поверхности имеют идеальную поверхность с точностью 0,1 0,01 O, т.е. от 1/10 до 1/100 длины волны видимого света – от 50 до 5 нм. Это чудовищно мало: если учесть, что при нормальном давлении расстояние между молекулами в газе порядка 3 нм, и привести в соприкосновение такие поверхности, то в щели по ширине смогут расположиться от 20 до 2 молекул. Однако этого вполне достаточно для давления – молекулы мечутся, как безумные, за секунду сталкиваясь со стенками от 6 до 60 миллиардов раз, и благополучно передают им импульс. Попутно заметим, что в некотором смысле (например, для движения вдоль щели) они ведут себя, как при «высоком вакууме» – сталкиваются в основном со стенками, а не друг с другом. Кстати, когда в книгах заводят речь о диффузии в твердых телах, рассказ начинают с того, что исследователи сначала надолго прижимают свинец к золоту, а потом изучают, проникли ли атомы золота в свинец и наоборот. Но почему берут именно эти металлы? От каких свойств металлов зависит количество проникших атомов? В частности, от тех, от которых зависит площадь истинного контакта, площадь «пятнышек». А она тем больше, чем металл тяжелее, если он просто лежит, а не прижат дополнительной силой, и чем он мягче – мягкий металл прижимается плотнее, по большей площади. А что произойдет, если одно из веществ настолько мягкое, что площадь истинного контакта оказывается сравнимой с геометрической? Тогда тела прижимаются друг к другу весьма большими силами атмосферного давления, и рассоединить их должно быть трудно. Почему же нам легко удается отделить от стола прижатую к нему резинку? Ответ – потому, что она вся мягкая, при прижатии она деформируется вся, отчасти распластывается, и отделяем мы ее понемногу, плавно уменьшая геометрическую площадь контакта, а не всю сразу. Вот если бы мы сделали жесткую деталь с тонким мягким покрытием и прижали этим покрытием к жесткой поверхности, то отделить ее от этой поверхности стало бы труднее. Например, говорят, что подводную лодку может «при-

28

КВАН T 2018/№5

сосать» к дну. Это образное описание эффекта, возникающего при таких характеристиках грунта, что корпус плотно прилегает к нему, вода из щели вытесняется, а давление сверху остается (в воде на глубине 100 м это уже 10 атм). Теперь мы перенесемся в далекое прошлое, в конец позапрошлого века. Жил да был в Швеции инженер Карл Эдвард Йохансон, и придумал он в 1896 году новый способ создания эталонных размеров. Странное словосочетание, правда? Дело в том, что для высокоточного измерения размеров очень полезно использовать какие-то эталоны, т.е. что-то, имеющее точно известный размер. Придумал он следующее –выпускать наборы пластинок очень точной длины, причем обработанных так, чтобы две пластинки, если их плотно прижать друг к другу и слегка сдвинуть одну по другой, «притереть», как принято говорить в технике, слипались. На фото на рисунке 1 показаны две плитки Иогансо-

Рис. 1

на, в 30 и 40 мм, которые держит автор этой статьи. О создателе этих плиток и истории создания вы легко найдете информацию в интернете. Просто спросите Гугла «плитки Иогансона», а лучше «gauge Johansson». Карл Эдвард прекрасно понимал, какую замечательную вещь он придумал, запатентовал и выпускал – посмотрите хотя бы на эмблему его фирмы, на которой внизу изображен земной шар (фото на рисунке 2). Делал он их, понятное дело, из стали. Нынче выпускают и стальные, и из карбида вольфрама, и из керамики. У всех материалов свои преимущества: стальные дешевле, карбид-вольфрамовые меньше истира-

ются при использовании, а у керамических меньше тепловое расширение. Забавно, что за все эти годы как-то никто и не разобрался, почему эти плитки слипаются. В основном произносятся слова про ван-дер-ваальсовы силы и про поверхностное натяжение. Поверхностное натяжение может удержать на воде во- Рис. 2 домерку и иголку, но не стограммовую железку на весу в воздухе, а для того чтобы «заработало» межмолекулярное притяжение (ван-дер-ваальсовы силы), поверхности должны сблизиться на межатомное расстояние, причем по всей площади. В зарубежных источниках, правда, упоминается атмосферное давление, но лишь как один из факторов, и не главный. Плитки Иогансона (их называют также «концевые меры») прижимает друг к другу именно атмосферное давление, а ничтожного количества влаги (и, возможно, масла), всегда имеющегося на поверхности, оказывается достаточно, чтобы не пустить в щель атмосферу. А если качество поверхностей немного хуже, на них приходится подышать – понятно зачем? Но этим дело не кончается, это только первый слой задачи. Атмосферное давление на вертикальные поверхности действует горизонтально, а гравитация – как обычно, вертикально. Поэтому, чтобы удержать плитку от падения, нужно… сухое трение. Однако в упрощенной модели мира трение бывает только или сухое, или по жидкой смазке. Реальная ситуация может быть сложнее. Например, когда машина едет по мокрой мостовой, реализуется смешанное трение – вода успевает (хорошо, если успевает) выдавиться из зоны контакта (и долететь до прохожих). А когда мы «притираем» плитки, мы как раз и выдавливаем воду с некоторых участков, на которых реализуется непосредственный контакт плиток и то самое сухое трение. Поэтому вода, с одной стороны, не пускает атмосферу в щель, а с другой – не исключает сухого трения на некоторых участках. Однако и это еще не все. Вода или иная жидкость, заполняющая зазор, контактиру-

36

КВАН T 2018/№5

секает $AC_{1}$ в точке Q. Поскольку $A_{1} A P C_{1} C$, то по теореме об изогоналях вторая изогональ к BQ должна быть параллельна $A_{1} A$. Но биссектриса угла ABC перпендикулярна внешним биссектрисам, поэтому она параллельна прямым $A_{1} A$ и $C_{1} C$ и является второй изогональю к BQ. Тогда изогональ BQ тоже должна совпасть с биссектрисой угла ABC, т.е. точка Q лежит на биссектрисе угла ABC. Следующая задача предлагалась на Международную олимпиаду 2007 года (ShortList), но не вошла в основной список. Задача 11. Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке P (рис.16). Точка Q

Рис. 17

Добавление

Рис. 16

лежит между параллельными прямыми BC и AD так, что ‘ AQD ‘ CQB и прямая CD разделяет точки P и Q. Докажите, что ‘ BQP ‘ DAQ. Решение. По теореме об изогоналях для угла CQD, изогональ QT к лучу QP должна быть параллельна AD. Но тогда ‘ BQP ‘ AQT ‘ DAQ, что и требовалось доказать. Следующая задача была в 2011/12 учебном году на региональном этапе Всероссийской олимпиады в 10 классе под №8, т.е. считалась самой сложной. Задача 12. В трапеции ABCD боковая сторона CD перпендикулярна основаниям, O – точка пересечения диагоналей (рис. 17,а). На описанной окружности треугольника OCD взята точка S, диаметрально противоположная точке O. Докажите, что ‘ BSC ‘ ASD. Решение. Предположим, что углы BSC и ASD не равны. Рассмотрим точку E на стороне AD такую, что ‘ BSC ‘ ESD (рис. 17,б). Пусть AD пересекает CE в точке $O_{1}$. Тогда, по теореме об изогоналях, $SO_{1}$ и SH – изогонали. Вспомним, что высота SH и диаметр SO описанной окружности треугольника CSD – тоже изогонали угла CSD. Следовательно, точка $O_{1}$ совпадает с точкой O, точка E совпадет с A, и ‘ BSC ‘ ASD.

Приведем еще одно обобщение основной теоремы – из книги А.В.Акопяна, А.А.Заславского «Геометрические свойства кривых второго порядка» [6]. Теорема. Пусть в треугольнике ABC даны две пары изогонально сопряженных точек X, X c и Y, Y c (рис.18). Тогда точки

Рис. 18

пересечения XY с X c Y c и XY c с X c Y тоже изогонально сопряжены. Доказательство. Рассмотрим угол XBX c, Y и Y c – точки на изогоналях угла XBX c ( ‘ ABX ‘ CBX c и ‘ ABY ‘ CBY c, следовательно, BY и BY c – изогонали в ‘ XBX c ), а X и X c – точки на сторонах угла XBX c. Точки Z и Z c – пересечение прямых X c Y и Y c X, Y c X c и XY. По теореме об изогоналях, BZ и BZ c – изогонали угла XBX c, а также и угла ABC. Аналогично, AZ, AZ c и CZ, CZ c – изогонали в углах BAC и BCA соответственно. Следовательно, точки Z и Z c изогонально сопряжены.

37

ЛА Б О Р АТО РИЯ

Существуют и другие идеи доказательства основной теоремы. Например, в докладе А.Куликовой на ММКШ [1] использовались двойные отношения точек и свойства центрального проектирования, что позволило сильно сократить доказательство. И.Фролов сообщил нам, что после полярного преобразования с центром O теорема об изогоналях превращается в следующий факт: Пусть в четырехугольнике KLMN биссектрисы углов между парами прямых KL и MN, KM и LN параллельны (это условие эквивалентно вписанности четырехугольника). Тогда им параллельна и биссектриса угла между прямыми KN и ML. От П.Кожевникова мы узнали, что при подходящей центральной проекции в пространстве точка O уйдет на бесконечность, а пары прямых OA и OD, OB и OC, OP и OQ (рис.19) станут параллельными прямыми, симметричными относительно фиксированной прямой (прямой Гаусса), которая проходит через середины отрезков AD, BC, PQ.

«КВАНТА»

Рис. 19

Список литературы

1. Московская математическая конференция школьников (ММКШ). (https://www.mccme.ru /circles/oim/mmks/notes.htm) 2. П.Кожевников. Изогонально сопряженные точки. – «Квант», 2016, №1. 3. Д.Прокопенко. Изогональное сопряжение и педальные треугольники. – «Квант», 2017, №9. 4. Сайт Олимпиады по геометрии имени И.Ф.Шарыгина: geometry.ru. 5. А.В.Акопян. Геометрия в картинках. – М., 2017. 6. А.В.Акопян, А.А.Заславский. Геометрические свойства кривых второго порядка. – М.: МЦНМО, 2007.

ЛА Б О Р АТО РИЯ «КВАНТА»

Маятник Капицы

С.ДВОРЯНИНОВ

Удивление – мать познания. Приписывается Аристотелю

СЕЙЧАС МЫ РАССКАЖЕМ ОБ ОДНОМ ИН- тересном физическом явлении. Более того – оно удивительно, и на этом основании попало в книгу В.И.Арнольда «Математическое понимание природы. Очерки удивительных физических явлений и их понимание математиками (с рисунками автора)». Речь пойдет о маятнике. Обычно маятник рисуют так, как показано на рисунке 1. На длинной нити подвешено небольшое тело, которое совершает колебания. Такой маятник называют математическим. Нижнее положение равновесия маятника устойчиво. Вместо нити можно взять стержень – у нас будет именно такой маятник. А теперь перевернем маят- Рис. 1 ник, заставим его стоять, как пишет Арнольд, «вверх ногами» (рис.2). У такого маятника прежняя точка подвеса превращается в точку опоры, но мы по традиции будем называть ее точкой подвеса. Хорошо известно, что поставить такой маятник вертикально не удается – или влево, или впра- Рис. 2 во он обязательно упадет. Если все же получится зафиксировать его в вертикальном положении, то малейшее сотрясе-

38

КВАН T 2018/№5

ние опоры или дуновение воздуха приведет к опрокидыванию маятника. Это есть следствие и проявление неустойчивости верхнего положения равновесия перевернутого маятника. Академик и будущий нобелевский лауреат Петр Леонидович Капица (в 2019 году исполнится 125 со дня его рождения) проделал такой эксперимент. Он заставил точку подвеса совершать быстрые колебания вдоль вертикали. Что могло быть источником таких колебаний? Время было послевоенное, небогатое, но в семье Капицы была электрическая швейная машинка, стало быть, имелся электромотор. Точка подвеса должна совершать поступательное движение вверхвниз, а электромотор создает вращательное движение. Как одно превратить в другое – давно и хорошо известно. Например, у паровоза поступательное движение поршня в цилиндре кривошипно-шатунным механизмом преобразуется во вращение колес. Схема конструкции маятника Капицы изображена на рисунке 3. На оси электромотора

Рис. 3

1 эксцентрично насажен шариковый подшипник 2, к его обойме присоединена тяга 3, которая приводит в колебание рычаг 4. Один конец рычага вращается относительно неподвижной оси, а на другом подвешивается стержень маятника 5 так, что он может свободно качаться. Маятник с вибрирующей точкой подвеса устойчиво стоял вверх ногами. Попытка отклонить его в сторону приводила к тому, что он начинал качаться около вертикали влево-вправо, но не падал. Задача рассмотрения такого маятника возникла в связи с теорией ускорителей. При разработке нового проекта требовалось определить, будет ли движение ускоряемой частицы по кольцу огромного диаметра устойчивым. Оказалось, что круговое движение частицы в ускорителе описывается тем же дифференциальным уравнением, кото-

рое соответствует движению перевернутого маятника. П.Л.Капица предложил экспериментально проверить устойчивость, рассмотрев конструкцию с перевернутым маятником. Ясно, что эксперимент с маятником стоит во много-много раз дешевле, чем строительство ускорителя. Запись рассказа В.И.Арнольда об этом маятнике вы можете посмотреть на сайте «Математические этюды» (http:// etudes.ru). У него не было электрической швейной машинки, и поэтому в качестве источника вертикальных колебаний маятника Владимир Игоревич использовал электробритву вибрационного типа «Нева». Маятник крепился к язычку электробритвы с помощью цангового зажима для карандаша. Хорошо известно, что лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать. А еще лучше подержать в руках. Удивительно, но убедиться на опыте в принципиальной возможности стабильности перевернутого маятника при соответствующей вибрации точки подвеса вы можете почти мгновенно, не вставая изза своего письменного стола. Все необходимое для проведения эксперимента у вас есть под рукой. Возьмите деревянную (или пластмассовую) линейку с дыркой на конце и положите ее на гладкий полированный стол. В дырку поместите незаточенный карандаш и быстробыстро, словно скрипач смычком, перемещайте карандаш туда-сюда по направлению, не совпадающим с направлением линейки (рис.4). Вы сразу увидите, как линейка

Рис. 4

начнет поворачиваться и расположится на прямой, вдоль которой вибрирует точка подвеса нашего маятника. Можно поэкспериментировать, меняя массу и длину такого маятника, а также амплитуду и частоту колебаний его точки подвеса.

40

КВ А НT 2018/№5

СЛОЖНЫЙ ВАРИАНТ

8–9 классы

1. (4) В строку выписаны 39 чисел, не равных нулю. Сумма любых двух соседних чисел положительна, а сумма всех чисел отрицательна. Каков знак произведения всех чисел? Б.Френкин

2. (5) У Аладдина есть несколько одинаковых слитков золота, и иногда он просит джинна увеличить их количество. Джинн добавляет тысячу таких же слитков, но после этого берет за услугу ровно половину от получившейся общей массы золота. Мог ли Аладдин оказаться в выигрыше после десяти таких просьб, если ни один слиток не пришлось распиливать? А.Перепечко

3. (6) См. задачу М2511 «Задачника «Кванта».

4. (6) См. задачу М2510 «Задачника «Кванта».

5. (8) На улице дома стоят друг напротив друга, всего 50 пар. На правой стороне улицы расположены дома с четными натуральными номерами, на левой – с нечетными натуральными номерами, номера возрастают от начала улицы к концу на каждой стороне, но идут не обязательно подряд (возможны пропуски). Для каждого дома на правой стороне улицы нашли разность между его номером и номером дома напротив, и оказалось, что все найденные числа различны. Наибольший номер дома на улице равен n. Найдите наименьшее возможное значение n. М.Дидин

6. (10) В стране рыцарей (всегда говорят правду) и лжецов (всегда лгут) за круглым столом сидят в вершинах правильного десятиугольника 10 человек, среди которых есть лжецы. Путешественник может встать кудато и спросить сидящих: «Каково расстояние от меня до ближайшего лжеца из вас?» После этого каждый отвечает ему. Какое минимальное количество вопросов должен задать путешественник так, чтобы гарантированно узнать, кто за столом лжецы? (Посторонних рядом нет, на стол вставать нельзя.

Людей считайте точками. Все, включая путешественника, могут точно измерить любое расстояние.) М.Дидин

7. (12) См. задачу М2513 «Задачника «Кванта».

10–11 классы

1. (4) См. задачу 2 сложного варианта для 8–9 классов.

2. (5) См. задачу М2511 «Задачника «Кванта».

3. (6) В таблице 10 u 10 записано 100 различных чисел. За ход можно выбрать любой составленный из клеток прямоугольник и переставить все числа в нем симметрично относительно его центра («повернуть прямоугольник на 180q »). Всегда ли за 99 ходов можно добиться, чтобы числа возрастали в каждой строке слева направо и в каждом столбце – снизу вверх? А.Шаповалов

4. Правильный треугольник, лежащий в плоскости D, ортогонально спроектировали на непараллельную ей плоскость E, полученный треугольник ортогонально спроектировали на плоскость J и получили снова правильный треугольник. Докажите, что: а) (4) угол между плоскостями D и E равен углу между плоскостями E и J; б) (4) плоскость E пересекает плоскости D и J по перпендикулярным друг другу прямым. Л.Емельянов

5. (10) См. задачу М2513 «Задачника «Кванта».

6. (10) Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Лучи BA и CD пересекаются в точке P. Прямая, проходящая через P и параллельная касательной к окружности в точке D, пересекает в точках U и V касательные, проведенные к окружности в точках A и B. Докажите, что окружности, описанные около треугольника CUV и четырехугольника ABCD, касаются. А.Заславский

7. (12) Король решил поощрить группу из n мудрецов. Их поставят в ряд друг за другом (чтобы все смотрели в одном направ-

41

ОЛИМПИАДЫ

лении), на каждого наденут черную или белую шляпу. Каждый будет видеть шляпы всех впереди стоящих. Мудрецы по очереди (от последнего к первому) назовут цвет (белый или черный) и натуральное число по своему выбору. В конце подсчитывается число мудрецов, которые назвали цвет, совпадающий с цветом своей шляпы: ровно столько дней всей группе будут платить надбавку к жалованью. Мудрецам разрешили договориться заранее, как отвечать. При этом мудрецы знают, что ровно k из них безумны (кто именно – им неизвестно). Безумный мудрец называет белый или черный цвет и число вне зависимости от договоренностей. Какое максимальное число дней с надбавкой к жалованью могут гарантировать группе мудрецы, независимо от местонахождения безумных в очереди? И.Митрофанов

Устный тур для 11 класса

1. Хозяйка испекла квадратный торт и отрезала от него несколько кусков. Первый разрез проведен параллельно стороне исходного квадрата от края до края. Следующий разрез проведен в оставшейся части от края до края перпендикулярно предыдущему разрезу, далее – аналогично (сколько-то раз). Все отрезанные куски имеют равную площадь. Может ли оставшаяся часть торта быть квадратом? Б.Френкин

2. Пусть X – некоторая фиксированная точка на стороне AC треугольника ABC (X отлична от A и C). Произвольная окруж-

ность, проходящая через X и B, пересекает отрезок AC и описанную окружность треугольника ABC в точках P и Q, отличных от X и B. Докажите, что все возможные прямые PQ проходят через одну точку. М.Панов

3. 16 карточек с целыми числами от 1 до 16 разложены лицевой стороной вниз в виде таблицы 4 u 4 так, что карточки, на которых записаны соседние числа, лежат рядом (соприкасаются по стороне). Какое наименьшее число карточек нужно одновременно перевернуть, чтобы наверняка определить местоположение всех чисел (как бы ни были разложены карточки)? М.Евдокимов

4. Имеется натуральное 1001-значное число A, а 1001-значное число Z – то же число A, записанное от конца к началу (например, для четырехзначных чисел это могли быть 7432 и 2347). Известно, что A > Z. При каком A частное A/Z будет наименьшим (но строго больше 1)? А.Толпыго

5. Можно ли расположить в пространстве пять сфер так, чтобы для каждой из сфер можно было провести через ее центр касательную плоскость к остальным четырем сферам? Сферы могут пересекаться и не обязаны иметь одинаковый радиус. М.Мурашкин

6. См. задачу М2512 «Задачника «Кванта». Публикацию подготовили С.Дориченко, Л.Медников

Московская физическая олимпиада школьников 2018 года

Второй теоретический тур

7 класс

1. Активный пенсионер Николай Васильевич купил в магазине катушку клейкой ленты (скотча) без заводской этикетки. Его заинтересовали вопросы: какова длина L этой ленты и чему равна толщина d пленки, из которой лента изготовлена? Николай Васильевич сфотографировал катушку клейкой ленты вместе с линейкой, приложенной в самом широком месте катушки (рис.1). После этого он показал фотографию своим друзьям, задал им свои вопросы и через некоторое время получил ответы – они приведены в таблице. При этом один из друзей честно признался, что длину скотча он узнал

42

КВ А НT 2018/№5

времени между соседними кадрами W = = 16 мс. Оцените начальную скорость мяча для гольфа. Мяч движется перпендикулярно направлению вашего взгляда. Высота гольфиста 1,8 м. А.Бычков

Рис. 1

у продавца в магазине, а затем вычислил толщину при помощи фотографии. Кто из друзей Николая Васильевича правильно ответил на вопросы? Чему равны длина ленты и толщина пленки? Примечание: мкм – это микрон, т.е. одна миллионная часть метра. П.Крюков

2. Хронофотография – это разновидность фотографии, позволяющая фиксировать движение какого-либо объекта при помощи фотосъемки отдельных фаз движения. При этом кадры делаются последовательно через равные короткие интервалы времени. Перед вами (рис.2) хронофотография гольфиста, совершающего удар по мячу. Промежуток

3. Две одинаковые коробки плотно заполнили доверху красными и белыми кубиками одинакового размера. В первой коробке красных кубиков на 26 больше, чем белых, и средняя плотность содержимого коробки равна 6,6 г $см^{3}$. Средняя плотность содержимого второй коробки равна 7,5 г $см^{3}$. Объем коробки 1 л, масса красного кубика 52 г, белого – 127 г. Кубиков какого цвета во второй коробке больше и на сколько штук? А.Бычков

4. Пристань B расположена ниже пристани A по течению реки. Между A и B курсируют лодка и катер. Лодка стартует из A одновременно с катером, стартующим из B. Когда лодка подходит к пристани B, она разворачивается, затрачивая на разворот пренебрежимо малое время, и идет обратно, доходит до пристани A, разворачивается и так далее. Катер движется аналогичным образом. Первая встреча катера и лодки произошла через 1 час после начала движения. Когда катер после первой встречи подошел к пристани A, лодка прошла 3 5 расстояния между A и B. Вторая встреча катера и лодки произошла у пристани B, куда они прибыли одновременно. 1) Через какое время после начала движения катер подошел к пристани A? 2) Через какое время после первой встречи произошла вторая встреча? 3) Через какое время после второй встречи произойдет третья встреча? П.Крюков

8 класс

Рис. 2

1. В лаборатории у юного химика в двух стаканах хранились две жидкости разного объема: в одном – синяя, а в другом – красная. Однажды химик смешал половину синей и половину красной жидкости в колбе, получив смесь с плотностью $U_{1}$. Остатки жидкостей из стаканов он смешал во второй и третьей колбах, при этом плотность смеси во второй колбе оказалась равной $U_{2}$, а в

43

ОЛИМПИАДЫ

третьей – $U_{3}$. Найдите отношение объемов трех получившихся смесей и запишите условие, которому должны удовлетворять плотности этих смесей. Считайте, что при смешивании жидкостей их объемы складываются. А.Бычков

2. В последние годы стали популярны выставки, на которых демонстрируют простейшие механизмы, якобы сделанные по чертежам Леонардо да Винчи. На фотографиях (рис.3) показан экспонат одной из

Рис. 3

таких выставок: он называется червячная передача. Какой выигрыш в силе (без учета трения) дает это устройство? Считайте, что длина ворота (от ручки до горизонтальной оси) в два раза больше диаметра барабана, на который наматывается веревка. П.Крюков

3. В широком поддоне с вертикальными стенками, который частично заполнен водой, стоит доверху наполненный водой стакан. Два цилиндрических груза удерживаются в равновесии с помощью системы блоков и нитей, как показано на рисунке 4. На

Рис. 4

правом грузе стоит маленький перегрузок массой ’ m. При этом левый груз касается поверхности воды своей нижней гранью, а правый груз – верхней. Площадь горизонтального поперечного сечения левого груза S, а правого 2S. С правого груза очень медленно снимают перегрузок, после чего левый груз оказывается частично погруженным в воду. 1) На сколько изменится высота уровня воды в поддоне? 2) Какая масса воды перельется из стакана в поддон? 3) Какой вид имеет зависимость глубины погружения в воду левого груза от массы перегрузка? Блоки невесомы, нить невесома и нерастяжима, трения нет. Вода из поддона не выливается. А.Бычков

4. Очень толстый слой льда имеет температуру 0 q C. Полярник решил провести эксперимент. Для этого он сделал во льду небольшую лунку и накрыл ее слоем теплоизолятора, в который была вставлена тонкая трубка. Через эту трубку полярник очень медленно заливал в лунку неизвестную горячую жидкость с удельной теплоемкостью c и плотностью U. Жидкость плавила лед, и глубина лунки увеличивалась. Полярник обнаружил, что существует некоторое минимальное значение начальной температуры жидкости $t_{0}$, при котором в лунку можно залить сколь угодно большое количество жидкости и лед будет продолжать плавиться. При этом поверхность образующейся воды никогда не поднимется до верхнего края лунки. Найдите это минимальное значение $t_{0}$. Удельная теплота плавления льда O, а также плотности воды и льда $U_{в}$ и $U_{л}$ известны. М.Ромашка 9 класс

5. Материальная точка начинает двигаться прямолинейно вдоль оси х. Автоматизированная экспериментальная установка очень точно измеряет координату точки через каждую миллисекунду и передает эти данные компьютеру для обработки. Компьютер каждую миллисекунду рассчитывает среднюю путевую скорость $v_{cp}$ точки за все время, прошедшее от начала движения до текущего

44

КВ А НT 2018/№5

момента, и строит график зависимости $v_{cp}$ от времени t (рис.5). Однако в момент времени $t_{0} = 10$ с экспериментальная уста-

Рис. 5

новка сломалась и перестала передавать компьютеру данные, а материальная точка продолжала двигаться. Определите максимально возможное значение времени t, до которого убывающий участок графика после 8 с (пунктирная линия на рисунке) мог быть прямолинейным. М.Ромашка

2. Дед, бабка, внучка, Жучка, Мурка и мышка-норушка хотят вытянуть репку. Репка является однородным шаром радиусом R, на вершине которого расположены многочисленные прочные невесомые длинные листья, за которые репку можно вытягивать. Репка погружена в землю наполовину. Известно, что дед может тянуть с максимальной силой F, бабка может тянуть вдвое слабее, внучка – вдвое слабее бабки, Жучка – вдвое слабее внучки, Мурка – вдвое слабее Жучки, а мышка-норушка – вдвое слабее Мурки. Какова максимально возможная масса репки, если известно, что ее удалось вытянуть? Как должны были герои сказки тянуть такую репку для того, чтобы все же вытянуть ее? Считайте, что репка уже созрела, ее корешки отсохли и она держится в плотно слежавшейся земле только благодаря собственному весу. При вытягивании репка не может вращаться вокруг своей оси симметрии. Н.Трушников

3. Сопротивление каждого из резисторов в цепи, схема которой изображена на рисунке 6, одинаково и равно 3 Ом. Напряжение между полюсами идеального источника равно 6 В. Все амперметры идеальные, в центре шестиугольника контакта между проводами

нет. Найдите показания всех амперметров. А.Бычков

4. Гуляя по улице в солнечный день, школьник увидел ровную горизонтальную площадку, на которой стояло много вертикальных $ци-_{Рис.} 6$ линдрических столбов одинаковой высоты, но разного диаметра. Школьник заметил, что столбы разного диаметра отбрасывают «полные» тени разной длины, несмотря на то что все они имеют одинаковую высоту. Он понял: это происходит из-за того, что солнце не является точечным источником света, а имеет угловой размер D | 0,5 q | 0,01 рад. Заинтересовавшись, школьник стал измерять диаметры столбов d и длины L их теней, а затем построил график зависимости L d – этот

Рис. 7

график показан на рисунке 7. Определите с помощью этого графика высоту столбов. М.Ромашка 10 класс

1. На фотографии (рис.8), сделанной камерой мобильного телефона, представлен вращающийся пропеллер самолета. Наблюдаемый эффект «смазывания» изображения обусловлен способом обработки светового потока матрицей фотокамеры. Во время срабатывания фотокамеры матрица «захватывает» не всю снимаемую сцену целиком одновременно, а происходит очень быстрое поэтапное сканирование кадра в направлении слева направо (с точки зрения фотографа). В результате в память фотокамеры последовательно попадают узкие вертикальные «полоски» изображения, причем «ли-

45

ОЛИМПИАДЫ

Была высказана догадка, что эти частицы появились при распаде одной единственной частицы и что она сначала распалась на три частицы, а затем одна из трех образовавшихся частиц распалась на две частицы. Установите, верна ли эта гипотеза, и если да, то определите, через какое время после первого распада произошел второй распад. Считайте, что частицы движутся свободно. И.Воробьев

Рис. 8

ния сканирования» движется с постоянной скоростью. 1) В каком направлении вращается пропеллер с точки зрения фотографа? 2) Сколько лопастей у пропеллера? 3) Оцените, сколько оборотов в секунду делает пропеллер, если процесс получения всего изображения занял 1/8 секунды. А.Бычков

2. Регистрирующая аппаратура установила положения элементарных частиц A, B, C и D в некоторый момент, а также их перемещения за время W, считая с этого момента (перемещения показаны на рисунке 9 отрезками). Массы частиц C и D одинаковы.

Рис. 9

3. Клин массой M = 250 г с углом D 30 q при основании покоится на гладкой горизонтальной плоскости. На клин положили брусок массой m = 100 г и ударом сообщили ему некоторую скорость, направленную вверх вдоль наклонной поверхности клина. Найдите, какое количество теплоты Q выделилось в результате трения бруска о клин, если известно, что максимальная высота, на которую поднялся брусок от своего начального положения, равна h = 20 см. Коэффициент трения бруска о наклонную поверхность клина P = 0,6. Ускорение свободного падения примите равным g 10 м $с^{2}$. С.Чесноков

4. На горизонтальном участке поля Вася очистил от чистого белого снега площадку размером 1 м u 1 м. Под лучами весеннего солнца черная земля прогревается и нагревает расположенный над ней воздух. Тепловая мощность, получаемая воздухом от площадки, равна W = 0,3 кВт, поскольку солнце зимой находится довольно низко над горизонтом. В безветренную и сухую погоду при температуре воздуха $T_{0} = 273$ К и давлении возле поверхности земли $p 10^{5}$ Па столб теплого воздуха, поднимающийся над площадкой, имеет на высоте h = 10 м температуру $T_{1} = 275$ К и поперечное сечение $S 2 м^{2}$. Температура окружающего воздуха не зависит от высоты и равна $T_{0}$. Молярная масса воздуха М = 29 г/моль, его молярная теплоемкость при постоянном давлении $C_{p} 7 R 2$. 1) Оцените, с какой скоростью поднимается поток воздуха на высоте h, если процесс уже установился. 2) Оцените, на какую высоту поднялся бы теплый воздух, если бы отсутствовал теплообмен между теплым воздухом и окружающим его холодным воздухом.

53

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

2. В нашем примере фигура не является многоугольником, в ней есть дырка. Существуют ли фигуры с требуемым свойством без дырок, нам неизвестно.

КОНКУРС ИМЕНИ А.П.САВИНА

(см. «Квант» №3)

25. а,б) Не всегда. а) Петя может раскрасить доску в шахматном порядке и на черных клетках написать А, а на белых – Б. На соседних клетках стоят разные буквы, поэтому как бы Вася ни обошел доску, буквы будут чередоваться: АБАБ…АБАБ. Всего клеток четное число, поэтому последняя и первая буквы разные. Значит, последовательность справа налево читается по-другому. б) Сначала поставим буквы в шахматном порядке так, что букв А на одну больше, чем букв Б. Буквы чередуются при любом обходе и получается строка АБА…АБА. Выберем любую пару клеток с разными буквами и поменяем буквы местами. Тогда при любом обходе получается строка, которая отличается от АБА…АБА в двух местах: в одном А заменено на Б, в другом – Б на А. Эти места не будут симметричны друг другу, поэтому строка слева направо и справа налево читается по-разному. 26. а) Пусть дан прямоугольник ABCD, точку пересечения его диагоналей обозначим O. Точки, в которые перейдут вершины, обозначим A¢ $,^{B¢},^{C¢},^{D¢}$ соответственно. При симметрии относительно BD точка A переходит $в^{A¢}, C$ – в C¢, O – в себя (рис.2).

Рис. 3

ABA ¢ D ¢ CDC ¢ B ¢ (рис.3). Тогда ABCD и A ¢ B ¢ C ¢ D ¢ – равные прямоугольники. Правильный восьмиугольник симметричен относительно своих диагоналей, которые соединяют противоположные вершины, значит, вершина A при симметрии относительно BD перейдет в A¢, C – в C¢, а вершины B и D при симметрии относительно AC перейдут, соответственно, $в^{B¢} и^{D¢}$. в) Не могут. В решении пункта а) мы доказали, что диагонали A ¢ B ¢ C ¢ D ¢ равны диагоналям ABCD. А у подобных, но не равных, фигур, соответствующие отрезки должны быть разной длины. 27. Петина история не может быть правдой. Предположим, что Петя прав. Пусть он делил число k на m. Если при делении на m число k дает остаток x, то по условию задачи $k^{2}$ дает остаток 2x. Тогда число $k^{2} - 2 k$ дает остаток 2x – 2x = 0, т.е. делится на m. Аналогично, $k^{3} - 3 k$ делится на m:

$k^{2} -_{2} k$ ⋮ $m_{,} k^{3} -_{3} k$ ⋮ m.

Теперь будем последовательно понижать степень k в этих выражениях. Сначала избавимся от $k^{3}$: число $k^{3} - 3 k - k k^{2} - 2 k = 2 k^{2} - 3 k$ делится на m как разность чисел, кратных m. Итак, мы перешли к новой паре выражений:

(

) (

)

$k^{2} -_{2} k$ ⋮ $m_{,} 2 k^{2} -_{3} k$ ⋮ m.

Затем избавимся от $k^{2}$ в одном из выражений.

Рис. 2

Значит, AC = A ¢ C ¢. Точка O – середина AC, следовательно, это также и середина A ¢ C ¢. Те же рассуждения можно провести для диагонали BD. Таким образом, в четырехугольнике A ¢ B ¢ C ¢ D ¢ диагонали равны (они равны диагоналям прямоугольника ABCD) и их середины совпадают (это точка O). Из этого следует, что A ¢ B ¢ C ¢ D ¢ – прямоугольник. б) Могут. Рассмотрим правильный восьмиугольник

(

) (

)

Рассмотрим разность $2 k^{2} - 3 k - 2 k^{2} - 2 k = k$, она делится на m как разность чисел, кратных m. Значит, k делится на m, а по условию k дает ненулевой остаток. Противоречие. Получается, Петя ошибся. Колина история может быть правдой. Например, если он делил на 21 степени числа 3: число 3 делится на 21 с остатком $3, 3^{3} = 27$, что дает остаток 6, а $3^{2} = 9$. Этот пример можно обобщить: вместо 3 можно брать любое число вида 3 + 21n, где n – целое. 28. 10-значных чисел с суммой цифр 9 на одно больше, чем 9-значных чисел с суммой цифр 10.