Квант 2018, №6 · Страницы

10

К В АН T 2018/№6

«Вот Квант, который построил Исаак…»

А.САВИН

Вот Квант, который построил Исаак, А вот ученица, Которая изредка любит хвалиться, Что все понимает на целой странице В Кванте, который построил Исаак.

Вот автор статьи – знаменитый ученый, Который писал ее так увлеченно Для этой без меры серьезной девицы, Которая изредка любит хвалиться, Что все понимает на целой странице В Кванте, который построил Исаак.

А вот рецензент – давний член редсовета, Который прочел сочинение это, Представив себя симпатичной девицей, Которая тщетно мурыжит страницу, Пытаясь понять то, о чем говорится В Кванте, который построил Исаак.

А это редактор, статью эту правивший, Лишь автора имя на месте оставивший, Чтоб даже тупейшая в мире девица Смогла хоть единожды в год похвалиться, Что все понимает на целой странице В Кванте, который построил Исаак.

А это художник в глубокой прострации Пытается выдумать те иллюстрации, Которые так очаруют девицу, Что сходу она прочитает страницу В Кванте, который построил Исаак.

Вот главный редактор – большой академик, Он правит (за это не требуя денег), Чтоб делалось все только так и вот так, Поскольку он есть этот самый Исаак, Который по уши влюбился в девицу, Которая пальчиком тычет в страницу, Пытаясь понять то, о чем говорится В Кванте, который построил Исаак.

17

НА М

Рассмотрим одно из простейших применений кинематической формулы. Пусть $C_{1}$ и $C_{2}$ – выпуклые ограниченные множества. Обозначим (как это сделано в уже упомянутой статье [5]) через $C_{1} C_{2}$ множество середин отрезков, один конец которых принадлежит $C_{1}$, а второй – $C_{2}$. Множество $C_{1} C_{2}$, конечно, выпукло. Задача 5. Докажите, что длина границы множества $C_{1} C_{2}$ есть полусумма длин границ множеств $C_{1}$ и $C_{2}$. Идея, заложенная в кинематической формуле, оказывается очень продуктивной в пространствах бульших размерностей. Например, в трехмерном случае средняя площадь проекции выпуклого множества на (двумерные) плоскости есть (с точностью до постоянного множителя) площадь его поверхности, а средняя длина его проекции на (одномерные) прямые есть (опять же, с точностью до некоторого множителя) коэффициент c при $r^{2}$ в трехмерной формуле Штейнера, о «физическом» смысле которого мы спрашивали ранее. В n-мерном пространстве этот под-

П И ШУ Т

ход позволяет построить серию смешанных объемов выпуклого тела, каждый из которых является новой дополнительной «физической» характеристикой тела наряду с его объемом и площадью поверхности.

Авторы выражают глубокую благодарность М.В.Козлову за ценные советы и замечания.

Литература 1. Начала Евклида. Книги I–VI. – М.-Л.: ГИТТЛ, 1948 («Классики естествознания»). 2. T.Bonnesen, W.Fenchel. Theorie der Konvexen Kцrper. – Teubner, Leipzig, 1934. 3. Г.Г.Магарил-Ильяев, В.М.Тихомиров. Выпуклый анализ и его приложения. – М.: Либроком, 2016. 4. L.W.Szczerba and W.Szmielew. On the Euclidean geometry without the Pasch axiom. – Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. Astronom. Phys. 18 (1970), 659–666. 5. Н.Васильев. Сложение фигур. – «Квант», 1976, №4. 6. В.Тихомиров. Теорема Ферма–Эйлера о двух квадратах. – «Квант», 1991, №10.

НА М П И ШУ Т

Вероятность и последняя цифра произведения

Наш читатель Е.Знак заметил и доказал, что цифра «1» обладает следующим интересным свойством: она не более вероятна, чем любая другая цифра, как последняя цифра произведения двух случайных натуральных чисел и она не менее вероятна, чем любая другая цифра, как последняя цифра степени случайного натурального числа со случайным натуральным показателем. Прежде всего надо определиться, в каком смысле говорится о случайных натуральных числах. Будем считать, что вероятность выбора числа с данной последней цифрой для всех цифр одинакова и равна 1/10. Аналогично, вероятность выбора числа с данным остатком при делении на 4 равна 1/4, и т.д. Такая договоренность вполне соответствует следующей модели выбора натурального числа: из данного большого количества N подряд идущих натуральных чисел с равной вероятностью выбирается одно так, что вероятность выбора конкретного числа равна 1/N. Таблица умножения остатков при делении на 10 (табл.1) позволяет легко непосредственно сосчи-

Таблица 1 тать вероятность того, что произведение двух случайных натуральных чисел оканчивается на данную цифру. В этой таблице меньше всего цифр «1», «3», «7», «9» – по четыре штуки,

(Продолжение см. на с. 29)

20

К В АН T 2018/№6

квантовой механики). На самом деле в середине 20-х годов, после создания квантовой механики, в России (и не только в России) пути математики и физики серьезно разошлись. Лучшие математики – современники Колмогорова – за очень немногими исключениями не знали даже математического языка теоретической физики. Новый язык теоретической физики начал создаваться примерно в 1925 году. Судя по тому, что писали физики того времени, решающим моментом в расхождении математики и физики было возникновение не теории относительности, ее роль была осознана позднее, а квантовой теории. В Москве, вероятно, один лишь Гельфанд выучил новую физику. Иногда физики участвовали и в работе его семинара; однако в конце 50-х годов Гельфанд полностью прекратил эту деятельность, и физики пропали с его семинара на целых двадцать лет. […]

Изучение физики

[…] Одновременно и независимо друг от друга мы [с Ю.И.Маниным] решили изучить квантовую физику (мой $брат^{6}$ говорил мне, что математики должны обязательно знать квантовую теорию). Сначала я пытался выучить квантовую теорию поля так же, как математики обычно учат новые вещи, и обнаружил, что эта задача совершенно невыполнима; возможно, такая попытка и вовсе глупа. Стиль, который мне очень нравится, – это стиль лекций Эйнштейна или лучших лекций Ландау. Я понял, что основой этой науки является естественность, – и ровно это же я ранее понял из чтения книг по топологии. Топологи того времени, такие как Жан-Пьер Серр, Рене Том или Джон Милнор, иногда в своих лекциях опускали определения, они просто говорили: «это определяется естественным образом». И вот я узнал этот стиль «естественности» в лекциях Эйнштейна и в лучших книгах Ландау. (Не все книги Ландау одинаково хороши, но собрание их всех очень ценно. Наши студенты, желающие заниматься теоретической

физикой, должны изучить все эти книги к 22 годам. Это основа для начала самостоятельной работы.) Мы с Маниным обсуждали различные парадоксы и неясности квантовой теории, к которым мы относились одинаково. Помню, как Манин говорил мне, что всякий математик эти неясности обнаружит, но что при этом было бы ошибкой остановиться и заняться критикой этих неясностей. Многие математики, включая моих учеников, испытывают серьезные трудности при изучении теоретической физики. Они пытаются учить ее так же, как математику: если они натыкаются на что-то непонятное, они останавливаются. Я могу с уверенностью сказать, что физики также натыкаются на множество непонятных вещей; тем не менее надо продолжать двигаться вперед, а продумывать эти непонятные вещи надо только выйдя на определенный уровень и достаточно поупражнявшись. Очень трудно выполнить программу Гильберта и переписать теоретическую физику в аксиоматическом стиле. Гильберт проделал важную работу после того, как Эйнштейн открыл общую теорию относительности: он понял, что уравнение Эйнштейна является уравнением Эйлера– Лагранжа для некоторого функционала. Таким образом он нашел подтверждение (для случая уравнения Эйнштейна) того общего принципа, что аксиомы всякой фундаментальной физической теории должны начинаться с принципа $Лагранжа^{7}$. Тем самым программа Гильберта оказалась полезна для него самого, коль скоро он применил ее таким образом. Однако же мне не нравятся попытки некоторых моих друзей – очень хороших специалистов по математической физике, работающих по программе Гильберта, – сделать физику строгой. Я думаю, что это невозможно. Можно доказать хорошую теорему здесь, хорошую теорему там о некоторой физической ситуации. Тем не менее, я уверен, что Ричард Фейнман был прав, когда говорил, что глобально этого добиться невозможно (иногда это могло бы получиться локально). Развитие физики проте-

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: math@kvant.ras.ru и phys@kvant.ras.ru соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2514–М2517 предлагались на заключительном этапе XLIV Всероссийской олимпиады школьников по математике.

Задачи М2514–М2517, Ф2521–Ф2524

M2514. Даны натуральные числа a и b. Докажите, что существует бесконечно много натуральных n таких, что число $a^{n} 1$ не делится на $n^{b} 1$. А.Голованов

M2515. В карточной игре каждой карте сопоставлено числовое значение от 1 до 100, причем каждая карта бьет меньшую, за одним исключением: 1 бьет 100. Игрок знает, что перед ним лежат рубашками вверх 100 карт с различными значениями. Крупье, знающий порядок этих карт, может про любую пару карт сообщить игроку, какая из них какую бьет. Докажите, что крупье может сделать сто таких сообщений, чтобы после этого игрок смог точно узнать значение каждой карты. И.Богданов, К.Кноп, Ю.Кузьменко

$M2516^{*}$. Изначально на доске записано натуральное число. Затем каждую секунду к текущему числу прибавляют произведение всех его ненулевых цифр. Докажите, что найдется натуральное a такое, что прибавление числа a случится бесконечное количество раз. Д.Крачун

$M2517^{*}$. На сторонах AB и AC треугольника ABC выбраны точки P и Q соответственно так, что PQ P BC (рис. 1). Отрезки BQ и CP пересекаются в точке O. Точка A c симметрична точке A относительно

Рис. 1

прямой BC. Отрезок A c O пересекает окружность Z, описанную около треугольника APQ, в точке S. Докажите, что окружность, описанная около треугольника BSC, касается окружности Z. А.Кузнецов Ф2521. В результате столкновения астероидов образовались два осколка, разлетающиеся с одинаковыми скоростями, направленными под углом M друг к другу. Найдите отношение полуосей орбиты первого осколка, если орбита второго оказалась круговой. Орбиты осколков лежат в одной плоскости. Д.Александров

Ф2522. На горизонтальной дороге перед красным светофором скопилась колонна

Музей математики под открытым небом «Математический парк» — вписанная в городское пространство коллекция арт-объектов, иллюстрирующих математические факты и понятия. Целью проекта является популяризация математики, пробуждение интереса и мотивации к занятиям этой наукой у детей и взрослых. Математический парк создан в городе Майкопе, в Республике Адыгея на базе Республиканской естественно-математической школы (РЕМШ). На протяжении вот уже 20 лет она готовит лучших школьников из республики Адыгея до уровня призеров и победителей Всероссийской олимпиады по различным предметам. Около 50 выпускников ежегодно поступают в лучшие столичные вузы. Красные дорожки во дворике РЕМШ иллюстрируют знаменитую задачу о Кёнигсбергских мостах, беседка – триангуляцию. Лист Мёбиуса (см. 1-ю страницу обложки), являющийся логотипом РЕМШ, выполнен из доломита. На его односторонней поверхности выгравированы три изображения всемирно известных археологических находок, обнаруженных в курганах Адыгеи: серебряный сосуд ритон, имеющий скульптурное окончание в виде крылатого коня пегаса, золотая бляха-накладка в виде лежащего оленя, нащитная золотая бляха в виде пантеры. Эти находки свидетельствуют о богатей-

шем историко-культурном наследии Адыгеи. Летящий олень, найденный в кургане в городе Майкопе, относится к древнейшей из известных культур, существовавших на территории современной России (конец IV– середина II тысячелетия до н.э.). Эта культура получила название майкопской. Додекаэдр – один из пяти правильных многогранников в трехмерном пространстве.

Идея скульптуры принадлежит Асе Еутых, члену Союза художников России, народному художнику Республики Адыгея, а исполнение – Татьяне Вагановой, дизайнеру, члену Союза художников России. Классическая геометрическая интерпретация теоремы Пифагора, с квадратами, пост-

27

ЗАДАЧНИК

на). Известно, что при выделении любого ребенка оставшихся 99 детей можно разбить на 33 группы по три человека так, чтобы в каждой группе все трое попарно дружили. Найдите наименьшее возможное количество пар дружащих детей.

Ответ: 198. Переведем задачу на язык графов, сопоставляя ребенку вершину, а дружбе – ребро. Тогда нам известно, что в данном графе на 100 вершинах при удалении любой вершины оставшиеся можно разбить на 33 тройки так, что в каждой тройке вершины попарно соединены. Требуется же найти минимальное возможное число ребер в таком графе. Для начала построим пример ровно с 198 ребрами. Разобьем 99 вершин, кроме вершины A, на 33 группы по 3 вершины. Соединим попарно вершины в каждой тройке; наконец, соединим A со всеми другими вершинами. Тогда условия задачи выполнены: при удалении A разбиение на тройки уже приведено, а при удалении любой другой вершины B в этом же разбиении достаточно заменить B на A. При этом в описанном графе всего 33 ˜ 3 99 198 ребер. Осталось доказать, что это количество – наименьшее. Назовем граф на 3k + 1 вершинах хорошим, если при удалении любой вершины остальные 3k вершин разбиваются на k троек попарно соединенных. Докажем индукцией по k, что в хорошем графе на 3k + 1 вершинах хотя бы 6k ребер; при k = 33 получим требуемую оценку. База при k = 1 несложна: так как при удалении любой вершины три остальные попарно соединены, любые две вершины должны быть соединены, т.е. число ребер равно $C_{4}^{2} 6$. Докажем переход индукции. Если из каждой вершины выходит хотя бы по 4 ребра, общее количество ребер не меньше 3 k 1 ˜ 4 2 2 3 k 1, что даже больше, чем требуемое 6k. В противном случае найдется вершина A, соединенная не более чем с тремя другими. Если удалить любую вершину, кроме A, то A попадет в какуюто тройку, а значит, она соединена хотя бы

«КВАНТА»

с двумя вершинами. Если удалить одну из этих вершин, у A останется не менее двух смежных, т.е. было их не меньше трех. Итак, A соединена ровно с тремя вершинами B, C и D. Тогда при удалении, скажем, B вершины A, C и D образуют тройку, т.е. C и D соединены; аналогично получаем, что B, C и D попарно соединены. Выбросим теперь из нашего графа вершины A, B, C и D, взамен добавив одну вершину X, соединенную со всеми, с кем была соединена хотя бы одна из вершин B, C и D. Заметим, что при этом количество ребер уменьшилось хотя бы на 6 (т.е. на количество ребер между A, B, C и D). Покажем, что полученный новый граф хороший; отсюда будет следовать переход индукции, ибо тогда в новом графе будет не менее 6 k 1 ребер, а значит, в исходном – не менее 6 k 1 6 6 k ребер. Пусть из нового графа удалена некоторая вершина Y z X. Если ее удалить из исходного графа, остальные вершины разобьются на тройки; пусть при этом вершина A окажется, для определенности, в тройке с B и C, а вершина D – в другой тройке. Тогда можно разбить новый граф так же, поместив вершину X в ту тройку, где была вершина D. Наконец, если удалить из нового графа вершину X, можно проделать ту же операцию, считая, что из исходного графа удалена вершина D (тогда A, B и C автоматически окажутся в одной тройке). Таким образом, переход индукции доказан. Отметим, что приведенный в задаче пример – не единственный. Рассуждение из второй части решения по сути показывает, что много различных оптимальных примеров можно построить следующим индуктивным образом. При k = 1 возьмем 4 вершины и соединим все пары ребрами. При переходе от k к k + 1 добавим три вершины B, C, D, соединим их попарно друг с другом, а также соединим их всех с какой-то уже имеющейся вершиной A. В таком примере всегда будет 6k ребер, и он будет удовлетворять условию задачи. С.Берлов, Н.Власова

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШК О ЛЬНИК О В

Задачи

Сколько целых чисел ближе к 15, чем к 20, и ближе к 8, чем к 3?

чашечных весах (см. рисунок). Какой мяч имеет массу 30 г?

Из куба 3 ¥ 3 ¥ 3 удалили 7 кубиков 1 ¥ 1 ¥ 1 так, что образовались три сквозных ответствия (см. рисунок). Как выглядит сечение этого «дырявого» куба

3. Пять мячей, массы которых 30 г,

50 г, 50 г, 50 г и 80 г, взвесили на

Эти задачи предназначены $прежде_{всего}$ учащимся 6–8 классов. Эти задачи предлагались на Международном математическом конкурсе-игре «Кенгуру» в 2018 году.

плоскостью, проходящей через центр куба и перпендикулярной одной из его диагоналей?

Иллюстрации Д.Гришуковой

На четырех рисунках показана правая рука, а на одном – левая. На каком рисунке показана левая рука?

ШКОЛА В «КВАНТЕ»

Где ошибка?

(Логика, комбинаторика, вероятность)

ВПРЕДЛАГАЕМЫХ ТЕКСТАХ МОГУТ БЫТЬ ошибки (как в условиях задач, так и в ответах и решениях). Попытайтесь их найти там, где они есть. Задача 1. На острове живут рыцари и лжецы. Как-то за круглым столом собралось 12 островитян. Каждый их них сказал: «Оба моих соседа – лжецы». Сколько лжецов было за столом? Ответ: 6. Решение. Все сидящие за столом не могли быть лжецами, так как тогда для каждого из них высказывание было бы верным. Значит, за столом был хотя бы один рыцарь. Его правый сосед – лжец, так как рыцарь сказал правду. Правый сосед лжеца – рыцарь, так как лжец солгал. Правый сосед этого рыцаря – лжец и так далее. Таким образом, рыцари и лжецы сидят через одного, следовательно, лжецов было 6. Рассуждение выглядит правдоподобным. Ошибок нет? Задача 2. Вася и Петя закрашивают по очереди клетки на доске размером 4 u 4 так, чтобы не образовывался $квадрат^{2} u^{2}$ из закрашенных клеток. Тот, кто не сможет сделать очередной ход, проигрывает. Начинает Петя. Кто из них сможет выиграть, как бы ни играл соперник? Ответ: Вася. Решение. Как бы ни играли Вася и Петя, они обязательно сделают в сумме 12 ходов. Тринадцатый ход должен будет сделать Петя, поэтому он проиграет. А почему обязательно 12 ходов? Задача 3. Дана клетчатая доска размером$^{4}$ $u^{4}$ с шахматной раскраской. За один шаг можно выбрать на этой доске произвольный квадрат размером 2 u 2 и изменить цвет каждой его клетки на противоположный. Можно ли за несколько шагов сделать так, чтобы все клетки доски оказались одного цвета? Ответ: нельзя. Решение. Заметим, что при перекрашивании любого квадрата 2 u 2 в любой строке

доски остаются две белые и две черные клетки. Следовательно, все клетки не могут оказаться одного цвета. Кажется, найден требуемый инвариант. Но не слишком ли просто? Задача 4. Рассматриваются «слова» длины 100, составленные только из букв A, B и C. Каких слов больше: тех, в которых каждый из фрагментов AB и AC встречается четное число раз, или тех, в которых каждый из таких фрагментов встречается нечетное число раз? Ответ: поровну. Решение. Рассмотрим слово, в котором оба фрагмента встречаются нечетное число раз. Заменим в нем первый из фрагментов на другой (AB на AC или наоборот). Получим слово, у которого оба фрагмента встречаются четное число раз. Это соответствие является взаимно однозначным, поэтому слов обоих видов одинаковое количество. Типичное рассуждение для подобных задач. Интересно, а можно ли было начать рассуждение со слов, в которых оба фрагмента встретятся четное число раз? Задача 5. Два приятеля пришли на базар. Веселый молодец продавал 20 котов по цене от 12 до 15 рублей и 20 мешков по цене от 30 копеек до 1 рубля. Докажите, что каждый из друзей может купить по коту в мешке так, чтобы они заплатили одинаковую сумму денег. Решение. Заметим, что наименьшая стоимость кота в мешке – 12 рублей 30 копеек, а наибольшая – 16 рублей. Следовательно, количество вариантов возможных стоимостей кота в мешке не превышает количества целых чисел на отрезке [1230; 1600], т.е. не больше 371. Вместе с тем, количество различных пар вида «кот–мешок» равно 20 ˜ 20 400. Следовательно, по принципу Дирихле найдутся две пары, имеющие одинаковую стоимость. С принципом Дирихле спорить трудно. А если все-таки попробовать? Задача 6. В турнире по круговой системе участвовали 8 шахматистов (каждый участник встретился с каждым один раз). За победу начислялось 1 очко, за ничью – 0,5 очка, за поражение – 0. В результате все участники набрали различное количество очков. Затем часть шахматистов была дисквалифицирована и результаты поедин-

37

НАШ И

НАБЛЮДЕН И Я

скорость света в любой системе координат равна с. Что же изменится в сравнении со случаем паруса на круговой орбите? Может изменится частота фотона, а значит, и его энергия и импульс – фотон «покраснеет» с удалением от гравитирующего его источника? А поэты…чту им ближайшая Проксима:

«Живет она, дошедшая от дедов, Особая сжигающая страсть: Влечет к себе туманность Андромеды Сквозь немоту космических пространств». (Наталья Образцова)

Но до Андромеды полтора миллиона световых лет! Здесь и субсветовые скорости аппарата маловаты: свет Андромеды, дошедший сейчас до нас, покинул ее, когда на Земле еще не было человечества. Но тут забрезжила надежда: астрофизики открыли в Пространстве «кротовые норы», через которые … А чтобы во всем этом разобраться, нужно поступить на Физтех или в МГУ и окончить их физические факультеты.

НАШ И НАБЛЮДЕН И Я

Гидроудар у нас дома

Ю.НОСОВ

ГОТОВЯСЬ К ЗАВТРАКУ, Я ВЫНУЛ ИЗ ХОЛО- дильника стеклянную банку консервов «Помидорчики в собственном соку» и понес ее к столу. Банка была почти полной – открыта накануне. Крышка чуть-чуть прикрывала банку без какого-либо уплотняющего поворота. Я держал банку за верхний край, но она, к моему ужасу, выскользнула из рук и упала. Банка стукнулась о ламинатный пол, но не разбилась, а все содержимое ее разлилось тут же. Что оставалось делать? Быстро, пока моя семья не пришла в кухню, я стал собирать с пола остатки «помидорчиков в собственном соку». Почти закончив работу, я с удовольствием посмотрел на чистый пол, НО! Подняв глаза вверх, я увидел страшную картину: белые стены кухни и потолок были забрызганы томатным соком и даже моя одежда, включая рубашку, была вся в красных пятнах. Почему же томатный сок, падая в банке с высоты не более 1,2–1,3 метра, после удара о пол взлетел до высоты 2,5 метра? Оказывается, в данном случае мы имеем дело с гидроударом. Гидравлическим ударом (гидроударом) называют скачок давления в какой-либо системе, заполненной жидкостью, вызванный быстрым изменением скорости по- тока этой жидкости. Количественно решить предложенную задачу нам вряд ли удастся. Однако качественные рассуждения привести можно. В нашем «опыте» сок в банке – это та жидкость, движение которой мгновенно останавливается при ударе банки о пол. Столкнувшись с преградой, поток жидкости по инерции продолжает течение с той скоростью, с которой двигался до появления преграды. Контактирующие с препятствием первые слои жидкости с той же скоростью уплотняются за счет поступления следующих слоев. Из-за постоянного нагнетания новых слоев потока давление жидкости стремительно возрастает (происходит гидроудар), и жидкость «ищет» способ это давление уменьшить. Итоговый результат для нас – резкое повышение давления в жидкости в момент удара приводит к взрывному выбросу содержимого банки.