Квант 2018, №12 · Страницы

3

ГЕОРГИЙ

ФЕОДОСЬЕВИЧ

Дом Вороного в Журавке творчеству М.Е.Салтыкова-Щедрина. Однако его гимназический учитель математики, который сам был страстным почитателем творчества Щедрина, сумел передать это отношение и студенту Вороному, своему бывшему ученику. В 1884 году профессор Киевского университета, известный математик В.П.Ермаков начал издавать «Журнал элементарной математики». В нем он предложил несколько тем для ученических работ по математике. На одну из них, а именно на тему «Разложение многочленов на множители, основанное на свойствах корней квадратных уравнений», была представлена единственная работа. Ее автором был Вороной. Работа понравилась Ермакову, и он опубликовал ее в своем журнале в 1885 году. В том же году Вороной закончил гимназию и поступил в Петербургский университет.

Учеба в Петербургском университете

Из дневника мы знаем, с каким огромным желанием и настойчивостью Георгий приступил к изучению математических курсов, которые «все более увлекали» его. Он приучился вставать около 5 утра и приступал к занятиям, которые продолжались до вечера. У Георгия была при себе иголка, которой он укалывал себя, чтобы острой болью сбить накатывавшуюся время от времени волну усталости. В бытовом отношении жизнь студента Вороного складывалась непросто. Материальной помощи, которую мог оказать

ВОРОНОЙ

отец, явно не хватало. А после выхода отца в отставку в 1887 году и эта помощь сократилась. Так как университетскую стипендию Вороной начал получать лишь на последнем курсе, то он был вынужден давать за небольшие деньги уроки. Уроки его выматывали, а тяжелые условия в общежитии дополнительно осложняли и отдых и занятия математикой. В этих условиях Вороной сконцентрировал все силы и волю на математике. «Главное, что меня занимает, есть ли у меня достаточно способностей», – пишет он в дневнике. К счастью, математических способностей у Вороного было в избытке, а «постоянно усиливающаяся страсть к математике» захватила его всецело. В «моменты, когда ум охватывает идею, которая раньше как мячик ускользала, я забываю, что я существую», – записывает в дневнике Вороной в 1887 году. Там же: «моими последними успехами я обязан привычке мыслить без пера и бумаги. Все предложения, доказанные мною, возникали совершенно независимо. …Я надеюсь, что эта привычка мыслить таким образом сослужит мне службу». Чтобы дополнительно развить математические способности, Вороной устраивал себе математический тренинг: последовательно решал трудные учебные задачи на вычисление сложных интегралов и симметрических функций, на интегрирование дифференциальных уравнений. К счастью, в Петербургском университете в то время действовала блестящая математическая школа гениального математика Пафнутия Львовича Чебышёва (1821–1894), знаменитая Петербургская школа теории чисел. Чебышёв и его выдающиеся ученики А.А.Марков (старший), А.М.Ляпунов, А.Н.Коркин и др. поддерживали очень высокий уровень математического образования в Петербургском университете. Научным руководителем Вороного стал академик Андрей Андреевич Марков. Под его руководством Вороной исследовал бернуллиевы числа, названные так еще в XVIII веке в честь представителя знаменитой математической династии Якова Бер-

7

КОНКУРС

ИМЕНИ

хе. Вороной и сам отчетливо понимал, что напряженная работа отрицательно сказывается на здоровье, но оставить исследования было выше его сил. «Только моя жена знает, что математика является для меня главной целью жизни, она для меня – все», – записал он в дневнике. Лето 1908 года Георгий Феодосьевич провел в родной Журавке, несмотря на рекомендации врачей поехать на лечение в Карлсбад. К началу учебного года ему становится легче, и он возвращается в Варшаву. В начале сентября пишет, как оказалось, последнее письмо академику В.А.Стеклову, в котором кратко сообщает

А.П.САВИНА

о своих исследованиях по теории параллелоэдров, а также выражает желание перейти в Петербургский университет. Однако в октябре наступило резкое обострение болезни. В последний месяц жизни, страдая от болей, прикованный к постели, Вороной сумел записать «Заметки по поводу последней теоремы Ферма». Через две недели, 7(20) ноября 1908 года, в возрасте сорока лет Георгий Феодосьевич Вороной скончался. Похоронен по завещанию в его любимой Журавке.

(Продолжение следует)

КОНКУРС ИМЕНИ А.П.САВИНА

Мы продолжаем очередной конкурс по решению математических $задач.^{Они}$ рассчитаны в первую очередь на учащихся 7–9 классов, но мы будем рады участию школьников всех возрастов. Конкурс проводится совместно с журналом «Квантик». Высылайте решения задач, с которыми справитесь, электронной почтой по адресу: savin.contest@gmail.com или обычной почтой по адресу: $119296 Москва,^{Ленинский}$ проспект, 64-А, «Квант» (с пометкой «Конкурс имени А.П.Савина»). Кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором вы учитесь, а также обратный почтовый адрес. Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в таком случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы. Задания, решения и результаты публикуются на сайте sites.google.com/view/savin-contest Желаем успеха!

13. Можно ли рассадить за круглым столом через равные промежутки между людьми а) 20, б) 19 молчунов и несколько болтунов так, чтобы напротив каждого молчуна сидел болтун и чтобы никакие два болтуна не сидели рядом? А.Ковальджи

14. Окружность пересекает стороны треугольника в 6 точках (см. рисунок). а) Докажите, что если a = b и c = d, то e = f.

б) Докажите, что если b = c и d = e, то f = a. Е.Бакаев

15. Пусть A – наименьшее, а B – наибольшее из восьмизначных чисел, в записи которых присутствует каждая из цифр 1, 2, …, 8 и которые делятся на 137. Докажите, что A + B делится на 73. С.Костин

16. Обозначим как $P_{N}$ число способов выбрать из N различных предметов любое количество предметов, дающее остаток 1 при делении на 3, а как $Q_{N}$ – число способов выбрать из N различных предметов любое количество предметов, дающее остаток 2 при делении на 3. Докажите, что $P_{N}$ и $Q_{N}$ отличаются не больше чем на 1. Е.Бакаев

Физика звука

И.ЕСИПОВ

АКУСТИКА – ЭТО РАЗДЕЛ ФИЗИКИ, ИЗУ- чающий возбуждение, распространение, прием звуковых волн, а также их взаимодействие со средой. Особенностью звуковых волн, отличающих их от электромагнитных или гравитационных, является то, что они могут распространяться только в сплошной упругой среде. Звук окружает нас повсюду: в атмосфере, под водой, под землей, в биологических средах и материалах и даже в космосе. Только звук может распространяться в земных структурах и под водой без существенного затухания, поэтому он широко используется в исследованиях природных сред. Обычно мы называем звуком то, что мы слышим. Принято считать, что диапазон частот слышимого нами звука лежит в пределах от 20 Гц до 20 кГц. Это соответствует 20–20000 колебаний в секунду. Звуковые волны, частота колебаний которых выходит за этот диапазон, получили свои специальные названия. Ультразвуком называют звуковые волны, частота колебаний которых выше 20 кГц. Технологически развитый диапазон применения ультразвука лежит в пределах об 20 кГц до 100 МГц. Более высокочастотная область ультразвука получила название гиперзвук. Звуковые волны гиперзвуковых частот могут распространяться только в кристаллах с малым поглощением звука, таких, как монокристаллы кварца, сапфира, ниобата лития, железо-иттриевого граната и др. Гиперзвук используется при обработке больших массивов информации, в том числе оптических изображений, и исследовании строения твердых тел. Этим занимается наука акустоэлектроника. Диапазон, в котором гиперзвук возбуждается искусственным, контролируемым образом, ограничивает-

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20181202

ся частотами порядка 10 ГГЦ, что связано с высоким затуханием. При столь высоких частотах длина волны такого звука будет уже соизмеримой с межатомным расстоянием в кристалле. В таком случае мы уже не можем считать кристалл сплошной средой. Звуковые волны, частота которых ниже 20 Гц, называют инфразвуком. Затухание инфразвука невелико, и поэтому инфразвуковые волны активно используются для исследования океана и структуры земли. Звуки взрывов вулканов могут обогнуть весь земной шар, низкочастотный подводный звук распространяется через океаны на тысячи километров. Далее мы обсудим современные идеи и новые акустические технологии исследования и освоения окружающего мира. Часто акустические методы не имеют альтернативы и поэтому оказываются наиболее эффективными для решения той или иной важной задачи.

Звук и инфразвук в исследовании природы

Исследование океана. Звуковые волны распространяются в природе – в атмосфере, океане, под землей – по своеобразным каналам. Открытие подводного звукового канала было сделано в нашей стране в 1946 году, когда ученые вместе с военными моряками испытывали в Японском море акустическую аппаратуру для проведения измерений подводного звука от взрыва американской атомной бомбы на атолле Бикини. В процессе испытаний регистрировался уровень акустического сигнала от взрывов глубинных бомб в зависимости от расстояния. Неожиданно выяснилось, что для дистанций больше 50 км уровень зарегистрированных сигналов стал очень слабо меняться с расстоянием и звуки взрывов глубинных бомб были хорошо

9

ФИЗИКА

слышны и на дистанции 600 км, когда опыт был прекращен. Ожидалось, что для большого океана далеко от берега акустический сигнал должен распространяться по сферическому закону от точечного источника, каким можно было считать глубинную бомбу. В таком случае интенсивность звука должна быть обратно пропорциональной площади сферы, охватывающей источник, т.е. должна была уменьшаться обратно пропорционально квадрату расстояния, пройденного звуком. Объяснение этому интересному эффекту дал Л.М. Бреховских – впоследствии академик и лауреат Государственной премии СССР. Он обратил внимание на то, что температура воды быстро падает до глубины 100–200 м, а затем принимает постоянное значение около 4 q C. Падение температуры приводит к уменьшению ско-

ЗВУКА

рости распространения звука, а рост давления с глубиной приводит к увеличению этой скорости. Таким образом, в зависимости скорости распространения звука от глубины оказывается минимум, в котором и концентрируется акустическая энергия. На рисунке 1 видно, что если поместить излучатель на уровень минимума скорости звука, то звуковые лучи, выходящие из излучателя, в результате рефракции будут удерживаться вблизи этого минимума. В итоге часть звуковых лучей, вышедших из источника под не очень крутыми углами, остаются при распространении в слое толщиной в несколько сот метров. Такой слой представляет собой подводный акустический волновод, или подводный звуковой канал. Стоит отметить, что эффект акустического волновода использовался средневеко-

Рис. 1. Схематическое изображение распространения сигнала в подводном звуковом канале. Слева – профиль скорости звука в зависимости от глубины. Источник и приемник звука расположены на оси канала, соответствующей минимальной скорости звука. Лучи в результате рефракции звука совершают циклические осцилляции. Цифры над лучами указывают угол выхода луча из источника. В нижней части рисунка показаны две серии осциллограмм зарегистрированных сигналов, отличающихся температурными условиями в приповерхностной части канала

10

КВАНТ 2018/№12

выми мастерами при создании «шепчущих» галерей. Такие галереи имеют кривые или замкнутые стены. Если вы вблизи такой стены говорите шепотом, то звуковые лучи концентрируются около нее и на расстоянии в несколько десятков метров можно отчетливо слышать ваш шепот, находясь также около стены. Такие шепчущие галереи есть в соборах Святого Павла в Лондоне и Святого Петра в Риме, в Храме Неба под Пекином и, возможно, где-то еще. Характер распространения звука в акустическом волноводе аналогичен распространению лазерного излучения в оптическом волноводе. В настоящее время особенности распространения звука в подводном акустическом волноводе используются для термометрии океана. Океан можно рассматривать как гигантский, занимающий огромную площадь термометр. Следя за изменениями температуры глубинных слоев океана, можно следить за потеплением климата. Дело в том, что масштабные климатические изменения надежно определить чрезвычайно трудно из-за больших флуктуаций во времени и пространстве. Огромные массы воды в океане усредняют эти флуктуации. Определить среднюю температуру глубинных слоев океана на масштабах в несколько тысяч километров можно только акустическими методами, электромагнитные волны в морской воде не распространяются на заметное расстояние. Скорость распространения звука увеличивается с ростом температуры. На рисунке 1 внизу показаны две серии зарегистрированных акустических импульсов, отличающихся тем, что во второй серии верхние слои океана имели несколько более высокую температуру, чем в первой. Как видно, сигналы, распространяющиеся по красному лучу, который максимально близко подходит к нагретой поверхности океана, приходят несколько раньше, чем сигналы, распространяющиеся по другим лучам. Для дистанции 250 км эти изменения во времени распространения могут составлять доли секунды. По другим лучам изменений во времени распространения нет. Таким образом, из такого опыта можно

узнать, на сколько градусов и на какую глубину прогрелась вода в океане. Ясно, что чем больше дистанция распространения звука, тем выше чувствительность этого метода. Звук пробегает 250 км в океане за 167 с, что соответствует скорости распространения около 1500 м/с. Заметим, что первыми приходят наиболее быстрые сигналы, распространяющиеся по наиболее крутым лучам, лежащим в слоях океана с большей скоростью распространения. А наиболее интенсивные сигналы приходят последними по пологим лучам, находящимся в окрестности оси подводного звукового канала, где скорость распространения минимальна. Такая особенность распространения звука используется для дистанционного мониторинга теплопереноса в океане, что важно для прогнозирования климата. Океан формирует погоду на земле. Северный Ледовитый океан является кухней погоды для Европы и существенной части Азии. Распределенная по всему океану система излучателей и приемников звука может решать самые разнообразные задачи. Среди них можно выделить измерение времени распространения сигналов на протяженных трассах для определения содержания тепла и циркуляции океанических вод как на масштабах всего океана, так и в отдельных его частях; обеспечение подводного позиционирования и навигации подо льдом; мониторинг динамики льда, землетрясений и перемещения морских животных при пассивном прослушивании акватории океана. Все эти процедуры система может выполнять в реальном времени. Исследование атмосферы. Распространение звука в атмосфере подчиняется тем же самым законам, что и распространение звука в океане, с той разницей, что скорость распространения звука в воздухе в нормальных условиях у поверхности земли составляет 340 м/с. Это существенно меньше скорости звука в воде. На рисунке 2 представлена схема звуковых лучей, выходящих из источника звука в атмосфере. Как видно, в присутствии ветра лучи по-разному ведут себя в зависимости от направления распространения.

11

ФИЗИКА

ЗВУКА

Рис. 2. Схема звуковых лучей, выходящих из источника звука в атмосфере в присутствии ветра

Поток воздуха увеличивает скорость распространения звука по ветру и несколько снижает ее в противоположном направлении. Как правило, приземный поток воздуха или ветер увеличивает свою скорость с высотой. Скорость распространения звука по ветру на большой высоте больше, чем у земли, поэтому фронт звуковой волны при подъеме вверх заворачивается и волна направляется вниз, где скорость меньше. Возникает рефракция звука. Благодаря этому в приповерхностном слое атмосферы образуется звуковой волновод, в котором концентрируется звук, и на поверхности земли можно регистрировать акустические сигналы, которые распространялись на высоте в несколько десятков километров. Эффект рефракции при распространении против ветра приводит к тому, что звук быстро уходит на большую высоту (десятки километров). Поэтому мы плохо слышим против ветра и хорошо по ветру. Приземный звуковой волновод может образоваться не только в результате ветра. В тихий безветренный морозный день гдето за городом можно далеко слышать лай собак или шум машины. В такую погоду в приземной атмосфере возможна так называемая температурная инверсия. Обычно температура воздуха понижается с высотой, но в морозный день температура у поверхности земли, особенно в низине, может быть ниже, чем на некоторой высоте. Минимальная температура в приземном слое воздуха соответствует минимуму

скорости распространения звука. Таким образом, температурная инверсия обеспечивает волноводное распространение звука у поверхности земли. На рисунке 3 показано распределение температуры с высотой в атмосфере. Как видно, эта характеристика, как и в океане, имеет слоистую структуру. В областях нижней границы стратосферы (тропопауза) и нижней границы термосферы (мезопауза) температура, а следовательно, и скорость распространения звука достигают минимума. Здесь выполняются усло-

Рис. 3. Стратификация температуры в атмосфере. Изменение давления показано в гектапаскалях (1 гПа = 100 Па). В областях тропопаузы и мезопаузы температура, а следовательно, и скорость распространения звука достигают минимума. Здесь находятся атмосферные звуковые каналы

12

КВАНТ 2018/№12

вия для существования атмосферных звуковых каналов. Звуковые волны от извержений вулканов или наземных взрывов распространяются по этим каналам на огромные расстояния и даже могут обогнуть Земной шар. Поэтому средняя атмосфера (от 20 до 120 км высоты) является хорошим проводником инфразвука. Это свойство атмосферы позволило ученым разработать методику инфразвукового зондирования атмосферы, базирующейся на явлении рассеяния акустических импульсов на слоистых неоднородностях скорости ветра и температуры атмосферы вплоть до высот нижней термосферы порядка 140 км. С помощью такой методики можно определить флуктуации скорости ветра в диапазоне высот от верхней стратосферы до нижней термосферы (90–140 км). Сейсмические волны в земле. Аналогичным образом распространяются сейсмические волны в земле. Они могут быть как естественного происхождения, так и искусственные. В качестве естественных источников сейсмических волн мы можем назвать землетрясения, извержения вулканов, горные обвалы. Искусственным образом сейсмические волны возбуждаются наиболее эффективно взрывом или специальными многотонными вибраторами. Если в океане и атмосфере распространяются только продольные звуковые волны (в жидкостях и газах отсутствует сдвиговая упругость), то сейсмические волны могут быть как продольные, так и поперечные. Поперечные волны, в зависимости от плоскости колебаний, могут иметь разную поляризацию. Скорость распространения поперечных волн, как правило, в 2–3 раза меньше скорости распространения продольных. Наличие сейсмических волн двух типов расширяет возможности сейсмического зондирования в сравнении с зондированием океана или атмосферы. Центральной задачей сейсмического зондирования является исследование структуры земли и поиск полезных ископаемых. Обе эти задачи требуют выполнения противоречивых подходов. С одной стороны, интересно заглянуть как можно глубже под поверхность земли. Этого можно

достичь, понижая частоту сейсмического излучения. С понижением частоты снижаются потери, связанные с затуханием, и звуковые волны распространяются дальше. С другой стороны, уменьшение частоты ведет к росту длины излучаемой волны, а это снижает разрешающую способность дистанционного метода зондирования. Всё возрастающие требования к качеству разведки полезных ископаемых заставляют искать способы повышения разрешающей способности, а следовательно, и точности сейсморазведки. Разрешить возникшее противоречие удалось за счет развития методов приема сейсмических сигналов. Известно, что чем больше приемная антенна, тем выше ее пространственное разрешение. Если принимать сигналы большим количеством приемников, объединенных в единую сеть, то можно повысить пространственную точность дистанционного зондирования. Но для этого требуется сложная обработка сигналов от многих сотен или даже тысяч приемников. Современная сейсморазведка обеспечивает достаточную точность зондирования, чтобы определить продуктивные залежи полезных ископаемых, например нефти или газа, на глубинах более 10 км. Современные технологии обеспечивают прохождение скважины горизонтально вдоль пласта, чтобы повысить эффективность добычи нефти. Толщина пласта составляет порядка 10 м на глубине несколько километров. При этом длина скважины может быть более 10 км. Точность прокладки скважины соизмерима с точностью выведения ракеты на траекторию к межпланетному полету. Для зондирования структур земли используют естественные низкочастотные сейсмические сигналы от землетрясений или даже приливных волн, вызванных движением Луны. На рисунке 4 показан пример результатов такого зондирования на глубину более 50 км. Он свидетельствует о том, что в структуре земли есть не только горизонтальные слои, но и крупные вертикальные разломы, которые могут доходить до мантии. Знание особенностей распространения

13

ФИЗИКА

ЗВУКА

предел прочности метеороида. Это разрушение (взрыв) сопровождалось вспышкой яркости излучения в течение пяти секунд. Максимум яркости наблюдался на высоте 23,3 км южнее Челябинска. Примерный эффективный диаметр метеороида равен 18 м, а его масса 11000 тонн. Семнадцать станций зарегистрировали ударную волну этого взрыва. Последующий анализ позволил оценить эквивалент мощности взрыва в 2-3 кт тринитротолуола.

Современные проблемы применения медицинского ультразвука

Рис. 4. Вертикальный сейсмический разрез строения верхних слоев земли

низкочастотного звука в океане, атмосфере и земле позволило разработать и создать эффективную международную систему контроля за выполнением договора о всеобщем запрещении ядерных испытаний. Существует специальная схема расположения станций на земле и в океане, осуществляющих постоянный мониторинг и регистрирующих сейсмические, гидроакустические и инфразвуковые сигналы в атмосфере. Эти станции объединены в общую сеть и поэтому могут определить место и время события, приведшего к появлению того или иного сигнала. Примером такой эффективности является обнаружение взрыва метеороида в небе над Челябинском 15 февраля 2013 года. Метеороид вошел в атмосферу под углом 20q со скоростью 18 км/с. По мере полета в атмосфере скорость метеороида уменьшалась и происходил его нагрев. Перед ним возникла ударная волна, в которой воздух был сильно сжат и разогрет. Метеороид разрушился, когда разность давлений на фронте ударной волны и на противоположной его стороне превысила

Ультразвук мегагерцового диапазона частот достаточно хорошо распространяется в биологических тканях. Как известно, живые организмы почти на 90% состоят из воды. Поэтому скорость распространения звука в таких условиях близка к 1500 м/с, что соответствует скорости распространения звука в воде. Длина волны ультразвука на частоте 1 МГЦ равна при этом 1,5 мм, что обеспечивает достаточно высокое пространственное разрешение ультразвуковых методов. Хорошо известно применение ультразвука в медицине для диагностики и исследования внутренних органов и суставов (УЗИ). Менее известны успехи в области ультразвуковой хирургии, хотя и здесь есть существенные результаты. Прежде всего это дробление и удаление камней из почек с помощью фокусированного воздействия ударными волнами – так называемая литотрипсия. Начиная с 1980-х годов литотрипсия является наиболее распространенной процедурой для удаления камней из почек. Другим быстро развивающимся направлением исследований является терапевтическое направление применения ультразвука, основное преимущество которого – лечебное воздействие внутри тела без повреждения окружающей ткани. Широкие возможности различных видов ультразвуковой терапии были продемонстрированы экспериментально, а некоторые из них уже нашли применение в клинической практике. Одним из примеров является интенсивный фокусированный ультразвук.

14

КВАНТ 2018/№12

Рисунок 5 иллюстрирует основную идею применения фокусированного ультразвука. Акустическая интенсивность вблизи излучающего преобразователя достаточно низка, так что ткани не повреждаются. В

Рис. 5. Схема ультразвукового воздействия на биологические ткани. Пучок интенсивного фокусированного ультразвука используется для локализованного разрушения опухоли или остановки внутреннего кровотечения без повреждения окружающей ткани. Акустическая энергия, излучаемая ультразвуковым преобразователем, концентрируется в объем, примерно равный объему рисового зерна

фокальной области интенсивность заметно возрастает, и нагрев за счет поглощения волны достаточен для теплового разрушения белков ткани. Это позволяет неинвазивно «прижечь» место внутреннего кровотечения или вызвать некроз опухолевых тканей в глубоко расположенных областях человеческого тела. Наиболее перспективными, с точки зрения расширения применения ультразвуковых методов в медицине, являются гемостазис (остановка кровотечения), хирургия и стимуляция иммунного отклика. Можно также упомянуть ультразвуковой контроль и интенсификацию транспорта лекарств. Экспериментально было показано, что ультразвук может улучшать транспорт лекарств и генов через биологические барьеры: клетки, ткани и тромбы. Укажем на некоторые основные проблемы, которые нуждаются в решении для успешного применения интенсивного ультразвука в практике. Одной из важных задач является получение больших значений амплитуды акустической волны в фокусе с учетом струк-

туры человеческого тела. Усиление ультразвуковой волны при фокусировке необходимо для обеспечения высокой интенсивности в небольшой фокальной области, чтобы не повредить остальные участки ткани на пути распространения ультразвука. Ультразвуковой ожог кожи является одним из характерных побочных эффектов при применении интенсивного ультразвука, поскольку в коже коэффициент поглощения ультразвука в несколько раз выше, чем в ткани. Поэтому на этом участке акустическая интенсивность должна быть как можно более низкой. Такую процедуру возможно реализовать, применяя многоэлементные ультразвуковые антенны, излучение которых будет согласовано со структурой тела, по которой должно пройти излучение. Важными также являются технические разработки по созданию хорошего акустического согласования ультразвукового излучателя с телом. Дело в том, что ультразвуковые излучатели делаются, как правило, из пьезоэлектрической керамики. И для того чтобы обеспечить наилучшую передачу звуковой энергии в человеческое тело, нужно согласовать условия прохождения звука от твердой пьезокерамики к мягким биологическим тканям. Для этого применяют специальные контактные смазки или жидкости. Например, по сравнению с вогнутыми источниками плоские УЗ преобразователи гораздо труднее сделать фокусирующими, но зато для них легче

Рис. 6. Схема ультразвукового транскраниального воздействия на мозг

15

ФИЗИКА

обеспечить согласование при непосредственном контакте с кожей. Поглощение в костях еще сильнее, вот почему важно минимизировать попадание на них ультразвука. Соответствующая технология предполагает использование многоэлементных фазированных антенн для осуществления электронной фокусировки. На рисунке 6 показано схематическое изображение такой антенны для фокусировки ультразвукового излучения в мозг через кости черепа. Мозг является тем органом, где применение терапии с использованием фокусированного ультразвука имеет свои особенности. Принципиальной трудностью здесь является тот факт, что ультразвуковые волны плохо проходят сквозь черепную коробку из-за поглощения в кости и отражения на ее границах. Кроме того, кости черепа неоднородны по толщине и характеризуются более высокой (по сравнению с расположенными за ними мягкими тканями) скоростью звука, что приводит к трудно предсказуемым эффектам рефракции. Решение проблемы ультразвукового воздействия и визуализации через толстые кости черепа возможно при использовании разработанных в последнее время методов волновой физики, связанных с компенсацией потерь и аберраций при распространении волн в неоднородной среде. В основе лежит голографический принцип, согласно которому распределение характеристик волнового поля на некоторой поверхности в этом поле содержит информацию о всей трехмерной структуре поля, а также принцип обратимости недиссипативных волновых процессов во времени и связанный с этим метод обращения волнового фронта. Метод обращения волнового фронта, применяемый в радиолокации и при исследовании структуры подводных акустических каналов в океане, предполагает использование пробной волны, которая, проходя по неоднородной среде, регистрируется многоэлементной антенной. Зарегистрированный сигнал имеет сложную пространственную и временнэю структуру, что отражает многолучевое распространение через неоднородную среду. Если на

ЗВУКА

антенне обратить во времени фазовые задержки зарегистрированного сигнала и излучить сигнал с такой сложной пространственно-временнуй фазовой модуляцией, то излученный сигнал, проходя в обратном порядке через те же самые неоднородности среды, соберется, т.е. сфокусируется в точку излучения пробного сигнала. Для реализации такого подхода необходимо использовать многоэлементные приемо-излучающие антенны, управляемые мощными вычислительными процессорами, обеспечивающими в реальном времени сложную многоканальную обработку сигналов. Обратим внимание на еще одну особенность, требующую учета при применении интенсивного фокусированного ультразвука, – это акустическая нелинейность. Дело в том, что в уже использующихся в практике системах ультразвуковой хирургии уровни акустической интенсивности в области фокуса достигают 10000– 30000 Вт $см^{2}$. При таких интенсивностях волна ведет себя нелинейным образом. Скорость распространения звуковой волны становится зависящей от ее фазы: волна в области сжатия имеет большую скорость распространения, чем в области разрежения. Поэтому в синусоидальной волне фаза сжатия догоняет фазу разрежения – в волне образуются разрывы и волна превращается в пилообразную, что в спектральном представлении соответствует обогащению монохроматического ультразвукового излучения высшими гармониками. Обогащение спектра излученного сигнала сказывается и на процессе дифракции. Дифракция и, соответственно, фокусировка ультразвукового излучения становятся нелинейными, т.е. амплитуднозависимыми процессами. Расстояние, на котором образуется разрыв в плоской гармонической волне с характерной для медицинских приложений частотой 1,5 МГц, составляет всего 3–5 мм. Этот масштаб соизмерим с размерами фокальной области ультразвукового пучка, поэтому при описании акустических полей таких систем безусловно необходимо учитывать нелинейные эффекты.

НА Ш И ИН Т ЕРВЬ Ю

Интервью с Р.К.Гординым

Шестнадцатого ноября этого года исполнилось семьдесят лет выдающемуся учителю математики Рафаилу Калмановичу Гордину. Почти вся педагогическая карьера Рафаила Калмановича связана с московской школой №57. В нее он пришел в марте 1974 года и с тех пор занимается обучением талантливых детей в математических классах. Десятки его выпускников стали профессорами математики и работают в ведущих университетах по всему миру: в России, США, Канаде, Великобритании, Франции, Израиле и других странах. Многие его ученики, работающие в других областях науки, образования, в сфере высоких технологий, достигли больших успехов тоже в немалой степени благодаря урокам Рафаила Калмановича. Звания Рафаила Калмановича можно перечислять долго – он Заслуженный учитель РФ, Соросовский учитель, неоднократный лауреат грантов Москвы в области образования, лауреат гранта Фонда некоммерческих программ «Династия», премии Президента России и премии фонда «Династия» «За выдающиеся заслуги в образовании в сфере естествознания». За последние два десятилетия Рафаил Калманович создал компьютерную базу из более чем

10000 задач по математике, которой пользуется множество учителей и школьников (zadachi.mccme.ru). Кроме того, он написал несколько задачников по математике. Учительская биография Рафаила Калмановича пришлась на разные и порой противоречивые времена. Неизменными оставались его профессионализм, достоинство и уважительное отношения к детям. Всем подросткам, с которыми он работал (а это были не только будущие математики – ведь он преподавал и в биологических классах, и даже в торговоэкономическом техникуме), Рафаил Калманович прививал большую любовь к математике. А еще для многих из нас, его учеников, Рафаил Калманович стал первым школьным учителем, который обращался к нам на «Вы» и относился, как к взрослым людям, – благодарность за это ощущается даже спустя десятки лет после окончания школы. Вопрос: «А как бы на это отреагировал Рафаил Калманович?» неслучайно возникает в наших головах в различных непростых ситуациях. Ведь мы все учились у него не только математике, но и отношению к жизни. Ученики Рафаила Калмановича

РТам было 10 задач, я что-то написал и забыл про это. Вдруг мне приходит письмо: «Вас приглашают на второй тур. Все оплачивается». Мне в этот момент было 13 лет, родители не хотели меня одного отпускать в Сибирь. Но все же отпустили. Я поехал и замечательно провел два месяца. Там были известные ученые: Алексей Андреевич Ляпунов, Михаил Алексеевич Лаврентьев, Андрей Михайлович Будкер, Анатолий Иванович Мальцев. Нас водили по институтам, показывали синхрофазотрон на встречных пучках в Институте ядерной физики. Проводились субботники, мы строили школу, ходили в походы и на экскурсии. А как только я приехал, прошел второй тур олимпиады. После него, конечно, оставили всех, кого пригласили, – не отправлять же сразу назад. И я тоже остался, хотя никаких особых успехов у меня не было. И на третьем туре я что-то решил, но уже по математике, а не по

АЗГОВОР ПРОИСХОДИЛ В ДЕНЬ ПРАЗД- нования 50-летия набора первых математических классов в 57 школе. – Рафаил Калманович, расскажите, пожалуйста, про учебу в школе и университете. Как вы выбирали вуз? Думали ли вы тогда о профессии учителя? – Я жил в городе Новогрудке в Гродненской области. Школьником я любил читать журнал «Наука и жизнь», его выписывали соседи. В 63-м году я учился в 7 классе, и мне попался выпуск журнала, в котором были помещены условия олимпиады. Тогда – это были времена Хрущева – решено было создать научный центр в Сибири, Сибирское отделение Академии наук, и построить Академгородок. При Новосибирском университете сделали и школу (сегодня это СУНЦ НГУ). Организовали Всесибирскую математическую олимпиаду. Я прочитал задачи по физике (по математике я не сделал ничего).

17

НА Ш И

физике. И получил третью премию – не бог весть что, но самое главное – меня приняли в этот интернат, т.е. готовы были оставить, чтобы я учился в этой школе. Отец всю жизнь вспоминал: «Какую ты глупость сделал, что уехал». – А ваши родители были готовы к тому, что вы останетесь, будете жить и учиться в школе так далеко? – Да, родители были готовы, но я сказал «нет» и уехал домой. Потом я перескочил через 8 класс. И во время моей учебы в школе появилась 11-летка. Я не стал учиться в 11 классе, после 10 класса сдал все экзамены – так что учился я 9 лет вместо 11. Потом уже участвовал в разных олимпиадах, но больших успехов у меня не было. Но я стал победителем Белорусской олимпиады, которая проводилась специально для отбора в университет. И меня приняли – но мне еще пришлось сдавать экзамены. Математику я сдал нормально, а по физике мне попался такой билет! Я совершенно не знал, что там говорить – насыщенные пары… Мне нужно было спокойно ставить двойку. Я что-то начал экзаменаторам говорить, они отвечают: «Мы сейчас отведем вас в лабораторию, и вы увидите, что происходит на самом деле». В общем, поскольку я был в списке победителей олимпиады, поставили мне 4. Первые года два – два с половиной я учился хорошо, получал одни пятерки – кроме истории КПСС, а потом как-то расслабился, увлекся музыкой, битлами. Один

ИН Т ЕРВЬ Ю

спецкурс вел Владимир Геннадьевич Спринджук – был такой математик, к сожалению, он рано умер. Он занимался теоретикочисловыми проблемами, решил проблему Малера, довольно известный человек в своей области. Я у него занимался аналитическими функциями в p-адических полях, написал диплом на эту тему. Он хотел взять меня в аспирантуру. Потом наступило время распределения. Распределение зависело от среднего балла. У меня был средний балл около 4,5 – не блестящий, но это считалось очень хорошо. Я шел примерно в первых пяти десятках (из 250 человек). На распределении присутствовал ректор, академик Севченко Антон Никифорович, страшный антисемит, он специально приходил, чтобы не дай бог какогонибудь еврея не взяли куда-нибудь, кроме школы. Могли бы отправить меня в какойнибудь НИИ, что-нибудь считать – нет, надо было обязательно распределить меня в школу. Но в конечном счете получилось хорошо. Севченко был занят в это время чем-то другим. И тут привели меня. Я сажусь, он все еще продолжает другой разговор, потом смотрит: «Кто это?» Читает фамилию, имя и отчество и уже не смотрит в мою сторону: «В Министерство просвещения». В Министерстве просвещения я был одним из первых, и мне предложили на выбор несколько хороших, по их мнению, мест (рядом с Минском, сказали, что оттуда можно будет ездить в университет, чтобы заниматься в аспиранту-

18

КВАНТ 2018/№12

ре). Я отказался и попросил отправить меня в родной Новогрудок. Мне сказали: «Да, пожалуйста, никаких проблем», – и я уехал туда. В Новогрудке было два техникума, один из них – торгово-экономический. Я пришел туда и три года отработал там, был классным руководителем. В техникум поступали в основном девочки из деревень, потому что специальность хорошая – либо ты товаровед (у меня была группа «товаровед продовольственных товаров»), либо ты бухгалтер. У меня в группе был только один мальчик – его звали Леня Кернога. Я его научил играть на бас-гитаре, а в математике ничему не научил. Он играл нормально, у нас был ансамбль; сам я в нем не выступал, но учил их – и они играли на танцах. Удивительно, что среди этих детей попадались очень способные. – А как вы оттуда попали в Москву и начали работать в 57 школе? – Я еще пытался поступать в аспирантуру (кажется, даже два раза). Из этого, конечно, ничего не вышло, и даже Спринджук мне помочь не смог, хотя он и пытался что-то сделать. В результате я переехал в Москву – потому что женился. Отец моей жены был военнослужащий, он призывался из Москвы и по тогдашнему закону должен был на пенсию вернуться в Москву. Вся семья приехала в Москву, и я тоже. Но нужно было искать работу. Друг моего отца познакомил меня с Александром Семеновичем Кронродом, который в то время занимался компьютерным распознаванием рентгеновских снимков легких. На этой почве Кронрод был знаком с другом моего отца. И этот друг попросил устроить меня на работу – куданибудь в вычислительный центр. Хотя я очень плохо программировал. Мне даже в университете поставили зачет за то, что я дал слово никогда не заниматься программированием. Но нужно же мне было где-то работать, я уже был согласен на все. Кронрод взялся меня устраивать, я к нему каждое утро приезжал на работу, он звонил в разные места, договаривался, и я ехал в эти разные места, со мной разговаривали, но никуда не брали. Так повторялось несколько раз и продолжалось уже месяц. В результате я ему как-то сказал: «Я готов на любую работу,

даже в школу». «В школу? Ну это, извините, очень тяжело. Я должен принять у вас экзамен. Вы согласны сдавать?» Мы разговаривали вечером по телефону, и он спрашивает: «Сейчас можете приехать?» Где-то в десять часов вечера я поехал к нему сдавать экзамен. С первого раза не сдал: что-то решил, что-то не решил. Он дал мне задачи на дом и сказал: «Решите – звоните». Утром я встал и решил все, кроме одной задачи – доказать, что не существует функции, разрывной во всех иррациональных точках и непрерывной во всех рациональных точках. Я тогда не знал ничего этого. Я ему позвонил и сказал, что могу решить все, но не могу решить эту задачу. Он ответил: «Правильно, так и должно быть». Я приехал к нему и рассказал решения остальных задач. Он сказал: «Хорошо, теперь я вас рекомендую», – и дал мне телефон Николая Николаевича Константинова. Я позвонил, мы встретились с Колей, и он меня повез в 179 школу. Там не было места, не было часов, но как-то он и Кронрод уговорили директора, чтобы меня взяли хоть на какие-то часы. Мне дали несколько часов – математический анализ. Это был ноябрь 1973 года. Я приходил со студентами на уроки анализа [в 179 школе, как и в некоторых других матшколах, на часть уроков приходят недавние выпускники и принимают решения задач у школьников]. Я там был «переростком» – мне было уже 24 года, а они все пятикурсники. Я долго не мог понять, что происходит – ведь человеку со стороны то, что делается на уроках анализа в школах типа 57 и 179, совершенно непонятно. Но постепенно я привык, потом мне стали давать замены – уроки алгебры и геометрии. Я даже получал какие-то деньги, очень небольшие – рублей 30 в месяц. Так прошло несколько месяцев, и вдруг в феврале 1974 года мне звонит Коля и говорит, что в 57 школе образовалась вакансия, повисло 17 часов. Коля меня привел туда, со мной поговорили директор школы Нина Евгеньевна Лапушкина и завуч Лев Нилович Бухман. Мне все равно устроили экзамен. Пригласили на него Елену Георгиевну Глаголеву. Она математик, работала у И.М. Гельфанда и при этом занималась препода-

19

НА Ш И

ванием – в том числе и теорией преподавания. Я поговорил с ней, и она осталась довольна. Меня взяли, я был счастлив: у меня есть работа! Ученики были замечательные – особенно 7 класс. Там учились Марк Спиваковский, Роман Смоленский, Михаил Бершадский – они потом стали выдающимися математиками, сейчас в коридоре школы висят плакаты с их биографиями. Еще мне дали 8 класс и 9 биологический, тоже замечательный. Дети из всех трех классов были такие прекрасные, так хорошо ко мне относились и хорошо себя вели – а в 179 школе у меня все было ужасно с дисциплиной, я ходил туда, как на каторгу. Но уйти оттуда я не мог, приходилось работать и там, и там. Школы рядом, поэтому мне ставили уроки в один день в разных школах, и я за перемену успевал перейти из одной школы в другую. Так продолжалось пару месяцев. Наступил конец учебного года, мне никто не предлагает ничего. Я спросил у Льва Ниловича, что будет на следующий год. Он ответил: «Никаких вопросов, конечно, оставайтесь здесь. Мы вам дадим и классное руководство». Я счастлив и доволен и думаю, как мне уйти теперь из 179 школы (тяжело работать и там, и там). И тут меня вызывает к себе директор 179 школы и говорит: «Мы подумали, поспрашивали о вас – и родителей, и детей. Мнения разные. Одни говорят, что вы не поддерживаете дисциплину, очень тяжело на уроках – шумно. А некоторые говорят, что даете хорошие задачи. Мы решили рискнуть и предложить вам часы и классное руководство». Я ей говорю: «Спасибо, но мне уже не нужно». Как она разозлилась – боже мой! Она мне сказала: «Если б вы знали, сколько мне пришлось пережить, чтобы вас сюда пристроить!» Действительно – я могу себе представить, что это было. Меня брали на маленькую нагрузку, и Кронрод ходил, уговаривал ее, и Коля уговаривал. А я взял и наплевал на это. Но у меня действительно в этот момент уже была работа в 57 школе – и все равно с ее точки зрения я был неблагодарным. Потом она это мне припомнила. У меня не было квартиры, и я пытался найти где-то квартиру, вступить в какой-то кооператив. Она мне сказала: «Если бы вы оста-

ИН Т ЕРВЬ Ю

лись, то я бы вам устроила квартиру!» Но мне все-таки пришлось те два класса, которые у меня были (9 и 10), довести до конца. Так что в 179 школе я проработал еще год. Потом в 179 школе все наладилось. Там были мои замечательные ученики и друзья братья Дацковские – мы с ними подружились. Один сейчас математик, он профессор в университете Филадельфии, второй физик. Когда я был в Америке в 1990 году, я с ними встречался. С этим классом на самом деле все было хорошо, там были хорошие дети. В результате с 6 марта 1974 года я работаю в 57 школе. Мне здесь страшно понравилось. Мгновенно, сразу, как только я сюда пришел. – Расскажите, пожалуйста, про особенности 57 школы. – Я пришел на все готовое, и сам долгое время не понимал, как устроено преподавание в этих школах – в 57, в 179, в 91, куда меня тоже Николай Николаевич водил. Он меня водил на кружок. Тогда маткружки были на Моховой улице, в старом здании МГУ. Я не понимал, как начальство ко всему этому относится. Как это – столько народу приходит на уроки (сразу много человек принимает задачи в одном классе). Все это было для меня очень странно, но я постепенно к этому привык. Мне в 57 школе достались очень хорошие классы: 7 и 8 математические и 9 биологический. С ними никогда не было проблем, они очень хотели учиться. Мне при этом очень хотелось им что-то рассказать – а я многого не знал, я три года, можно сказать, ничего не делал. Пришлось и ночами сидеть, решать задачи, привыкать ко всему этому. Первое время было довольно тяжело, пока я в это вошел. Слава богу, была замечательная дисциплина – это очень много значит, когда тебя слушают, тебе помогают. Можно было ошибиться – тебя поправят, причем все это было очень доброжелательно. Я и до сих пор ошибаюсь. Подсказывают. Я считаю, что мне жутко повезло. Ведь я мог и не попасть сюда. Уже теща нашла мне работу в вечерней школе – на 24 часа, 4 раза в неделю. Я уже был готов туда пойти – если бы не Кронрод, не его экзамен и не Константинов. Вечерняя школа – это было бы хуже.

20

КВАНТ 2018/№12

А если бы не было никаких знакомых – как бы я узнал о том, что есть такие школы? – В первую очередь нам – вашим ученикам – повезло. – Не знаю, как вам – мне точно повезло! – Как вы ведете уроки – по какой программе, по каким учебникам? Расскажите немного о системе листочков. – Я скорее придерживаюсь программы для математических классов, а по учебнику почти ничего не задаю. Мне нравится самому составлять листочки, я их даю ученикам и называю номера задач из этого листочка, которые нужно решить. Иногда прошу прочитать что-то из учебника. Но это бывает редко даже в геометрии, а в алгебре еще реже. Когда мы готовимся к экзамену в 9 классе, то по крайней мере сначала придерживаемся учебника. Например, по геометрии используется учебник Погорелова – из него берется аксиоматика. Нужно ведь договориться об основах. А задачи я даю из листочков. Конечно, мои уроки отличаются от уроков анализа, на которых много преподавателей одновременно принимают задачи. Но я ходил, смотрел, кто что делает, вызывал к доске – в общем, как-то приспосабливался. Главный принцип листочков – от простого к сложному. Конечно, я старался подбирать красивые задачи, которые решаются с удовольствием. Я хотел, чтобы задачи было интересно решать. Бывают ведь такие задачи, что даже условие до конца читать не хочется. Я старался, чтобы таких не было. Хотя сказать, что у меня совсем не было громоздких задач, нельзя – громоздкие задачи тоже нужно уметь решать. Но все-таки их было не так много. – Кто из коллег оказал на вас влияние? Во-первых, конечно, Кронрод. Он заставлял меня решать задачи по анализу. Он потом захотел, чтобы я к нему поступал в аспирантуру. Но сам он не мог формально быть мои научным руководителем: он работал в научно-исследовательском институте, занимался нефтью (компьютерные расчеты для взрыва и распространения волны). Тем не менее, он меня прикрепил к аспирантуре. Сначала это был Всесоюзный заочный педагогический институт. Там я прошел курсы

английского языка и философии, сдал кандидатский минимум. Потом он же прикрепил меня к аспирантуре Педагогического института. Я там был сначала у заведующего кафедрой Щеголькова, после мне дали другого научного руководителя – Дмитрия Абрамовича Райкова, это очень известный профессор педагогического института. Потом он неожиданно умер, и меня перебросили к Мееру Феликсовичу Бокштейну – крупному специалисту по алгебраической топологии. Но в какой-то момент математика в моей планировавшейся диссертации все же перешла в методику. Я что-то написал, но это было неудачно – читавшие не могли понять, где там психология. И в результате я бросил аспирантуру (хотя кандидатские минимумы я все сдал). Но зато я научился печатать на пишущей машинке. – Это была вторая половина 70-х годов? – Да, где-то 75-й, 76-й годы. У меня свалилась гора с плеч – не нужна мне никакая диссертация! И я стал заниматься только школой. И к вопросу о том, кто оказал на меня влияние: я познакомился (не помню, как) с Игорем Федоровичем Шарыгиным – он на меня сильно повлиял. И еще Арнольд Яковлевич Блох. То есть три человека – Кронрод, Шарыгин и Блох. Никого из них, увы, уже нет.А также очень многому меня научил Борис Петрович Гейдман. – Бывало ли когда-то так, что вы учились чему-то у своих учеников? – Так все время происходит! Обязательно кто-нибудь что-то скажет интересное. Игорь Пухов (он погиб, очень жалко его), он дважды получал медали на международных олимпиадах, – он так решал задачи! Он смотрел-смотрел, а потом тихим голосом выдавал решения – причем всегда такие красивые! Конечно, очень многому я научился у детей. И сейчас иногда школьники придумывают какое-то решение – я его сразу записываю и запоминаю. Сегодня на открытом уроке я рассказывал оригинальные (по крайней мере, с моей точки зрения – я до этого их никогда не видел) решения задач, которые придумали наши ученики – либо во время уроков, либо во время решения домашних заданий.

21

НА Ш И

– Расскажите, пожалуйста, про базу задач по геометрии (zadachi.mccme.ru). – В 1991 году ко мне пришел выпускник 81-го года Миша Бузиниер и сказал, что они с товарищами хотят написать программу, с помощью которой можно было бы искать задачи по разным критериям. Миша сказал, что у них было несколько семинаров, что Леша Канель написал книжечку, в которой изложил теоретические основы того, как должна быть устроена подобная система: что нужно знать про задачу, чтобы ее найти, что самое интересное, как это все с его точки зрения должно быть устроено. Они такую программу написали, но ее нужно заполнить задачами, и они обратились ко мне – чтобы было хотя бы 100 задач. – Только по геометрии? – Да. Они хотели проверить, работает ли система, интересно это или нет. Я заинтересовался и с удовольствием этим занимался. Сделал, проверили – да, действительно както хорошо (но медленно) это работало. Медленно, потому что, в частности, это был редактор ChiWriter (теперь он не используется). Программа загружалась чуть ли не 5 минут, но работала и находила задачи по атрибутам, которые я расставлял. Потом сделали еще 600 задач. На это ушел год, наверное. Все работает. Проблема была в том, чтобы рисовать картинки. Сам код программы при этом писали Миша Бузиниер и Сережа Трифонов, еще в этом участвовали Дима Тейблюм и многие другие. А наполнением базы задачами сначала занимался только я. Потом, когда все это стало развиваться (и было около 1000 задач), стал участвовать Володя Протасов, ученик Шарыгина – теперь он профессор в Независимом московском университете. Шарыгин тоже загорелся – он сам не участвовал, но очень хорошо относился к идее базы задач. Эту программу даже пытались продавать, были какие-то выставки и лекции, об этой базе писали книжки. Так продолжалось несколько лет. Потом все как-то вдруг заглохло. Затем появился редактор TeX, стал развиваться интернет, и у кого-то возникла идея – почему бы не перевести базу в TeX. Дима Школьник написал программу, которая документ из ChiWriter’а переводит в TeX. У

ИН Т ЕРВЬ Ю

этой программы были, конечно, жуткие погрешности, так что потом приходилось править вручную. Потом появился Миша Раскин, который вообще сделал все это идеально. Стало уже 3000 задач, 5000 задач. Сегодня у нас больше 10000 задач, и база работает идеально. Я там мгновенно нахожу все, что мне нужно. Я знаю, что очень много людей этой базой пользуется: в среднем в сутки у нас примерно 500 обращений (уникальных пользователей, конечно, меньше, но 500 раз в день та или иная задача из базы запрашивается). Для неразвлекательной программы это, кажется, нормально. Конечно, нам присылают отзывы, находят ошибки, опечатки. Мы мгновенно реагируем, исправляем. Теперь этим занимается Миша Панов – рисует картинки, когда у него есть время. Забиваю в базу задачи по-прежнему только я. Самая большая проблема – это картинки, сейчас они есть только примерно у 20% задач. Но добавлять картинки тяжело – нужно, чтобы 10-20 человек сидели месяц и все это писали. Когда у нас была практика в школе, Миша вел кружок по MetaPost’у, учил детей рисовать – и дети сделали рисунки, по 40-50 задач каждый. Конечно, Миша и сейчас ведет кружок, но туда ходит всего несколько человек. Иногда я выбираю задачи из системы, а он к ним рисует картинки. Получается, что рисунки прибавляются, но я ввожу новые задачи с большей скоростью, чем рисуются задачи к старым. К сожалению, такой разрыв есть. Мне эта система нравится. Я бы с ней с удовольствием работал: она идеально подходит для того, чтобы подобрать задачи к кружку, к уроку, к контрольной работе. – Значит, основной смысл базы в том, что она позволяет искать задачи по теме? – По теме, по сложности, по разным атрибутам (например, задача на доказательство, на построение, на вычисление, на геометрическое место точек, на геометрические неравенства, на максимумы и минимумы, красивая задача, «пожалуй, красивая», олимпиадная, учебная, громоздкая…). Конечно, выписывается граф решения – какие факты, объекты и методы используются; как задачи связаны друг с другом – предки, потомки, аналоги; все это мгновенно отыскивается. Есть возможность распечатать только усло-

22

КВАНТ 2018/№12

вие, или условие с решением, или только решение, или условие с ответом (все это можно делать с картинками или без них). Вывод можно получить в TeX’е или в pdf’е. Можно распечатать готовый листок с набором задач. Кроме того, Миша Панов ввел туда все мои учебные листки – и по алгебре, и по геометрии (отдельно по планиметрии, отдельно по стереометрии). У него там масса чертежей, книги, на которые я ссылаюсь, – в них можно войти прямо из этой системы. Так что у этой системы очень много разных возможностей! Еще много всего для этой системы сделал Вадик Радионов. – Вы преподаете в 57 школе больше 40 лет. Можете ли вы сравнить учеников того времени и нынешних – что у них общее, в чем разница? – Принципиальной разницы нет. Это абсолютно те же самые дети. Ну, конечно, раньше была более или менее монополия – было несколько школ, у нас были большие конкурсы, до 15 человек на место, а в последние годы – 4-5 человек на место. По-моему, конкурс понижается в связи с тем, что стало много специализированных школ. Концентрация очень сильных людей в классе сейчас меньше, но все равно они есть. Так что принципиальной разницы я не вижу – разве что концентрация поменялась. – Ваши ученики побеждали на олимпиадах, есть крупные ученые, бизнесмены, кто-то вернулся работать в школу. Что вы считаете самым большим своим успехом? – Трудно сказать. Не то, что вы сказали. Не большие математики – они, конечно, есть, но это совершенно не моя заслуга, это понятно. Если и есть какая-то моя заслуга, то это не те, кто стали выдающимися профессиональными математиками, а те, кто выбрали другую профессию, но математика им помогла достичь чего-то. Это важнее. Возьмем, например, Сашу Кузнецова, сейчас он член-корреспондент Российской академии наук. Какое я мог на него оказать влияние? – Показали красоту математики. – Он и без меня все это видел и знал. – Вы можете что-то пожелать школьникам, которые читают это интервью? Есть

ли у вас какое-то пожелание для тех, кто интересуется математикой, физикой? – Если они читают «Квант», то мои пожелания ничего не значат – они уже на правильном пути. А если не читают – то они не прочитают это интервью. – У вас есть задача для читателей? – Вот красивая задача – она, правда, известная, но и условие, и решение у нее красивые. В окружности проведен диаметр, внутри еще две окружности – каждая из трех окружностей касается двух других. Через точку касания проведена хорда (см. рисунок). Докажите, что отмеченные красным кусочки равны. – Чем вы занимаетесь в свободное время? – Если есть свободные время и силы – сажусь за компьютер, начинаю вводить задачи в систему. Получается, что база задач – это мое хобби. Три или четыре часа я могу вводить задачи, потом просто читаю новости в интернете. – Можно, наверное, сказать, что база задач доставляет вам удовольствие? – Конечно! Особенно если какая-то красивая задача… А их необозримое количество – хватит работы на 100 лет 100 людям. Удивительная вещь: казалось бы, число идей конечное, число конфигураций конечное. Но каждый год появляются совершенно роскошные оригинальные задачи. Это просто неисчерпаемый источник! Интервью взял В.Кондратьев, фото предоставил В.Алексеев

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: math@kvant.ras.ru и phys@kvant.ras.ru соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2538, М2539 предлагались на XL Турнире городов. Задача M2541 предлагалась на заочном туре XIV олимпиады по геометрии имени И.Ф.Шарыгина.

Задачи М2538–М2541, Ф2545–Ф2548

M2538. Петя расставляет 500 королей на клетках доски 100 u 50 так, чтобы они не били друг друга. А Вася расставляет 500 королей на белых клетках (в шахматной раскраске) доски 100 u 100 так, чтобы они не били друг друга. У кого больше способов это сделать? Е.Бакаев

M2539. а) Докажите, что любое число вида 3k – 2, где k – целое, может быть представлено в виде суммы одного квадрата и двух кубов целых чисел. б) Докажите, что любое целое число может быть представлено в виде суммы одного квадрата и трех кубов целых чисел. Н.Седракян

M2540. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты $AH_{a}, BH_{b}, CH_{c}$.

Рис. 1

Пусть $H_{ab}$ – проекция точки $H_{a}$ на прямую АC (рис.1). Аналогично определим точки $H_{ac}, H_{ba}, H_{bc}, H_{ca}, H_{cb}$. Докажите, что шесть точек $H_{ab}, H_{ac}, H_{ba}, H_{bc}, H_{ca}, H_{cb}$ лежат на одной окружности, центр которой совпадает с центром масс треугольного контура $H_{a} H_{b} H_{c}$, сделанного из однородной проволоки. И.Вайнштейн

$M2541^{*}$. Плоскость разбита на выпуклые семиугольники единичного диаметра. Докажите, что любой круг радиуса 200 пересекает не менее миллиарда из этих семиугольников. (Диаметр многоугольника – это максимум среди расстояний между парами его вершин.) А.Канель-Белов

Ф2545. Два сплошных шарика разных размеров из одного химически чистого вещества находятся в космосе вдали от других массивных тел и взаимодействуют друг с другом только гравитационным способом. Они вращаются вокруг общего центра масс, делая один оборот за время одного урока Т = 45 мин. Какой может быть минимальная плотность материала, из которого сделаны шарики? Какому металлу такая плотность соответствует? А.Буров, Е.Шалимова

Ф2546. Имеется «четверть бесконечная» решетка с квадратными ячейками, состоя-

31

«КВАНТ»

Д ЛЯ

МЛ АД Ш И Х

Ш К ОЛЬ НИК О В

Задачи

На конференции присутствовали представители двух конкурирующих фирм «Индекс» и «Зугл» Алексей, Борис и Владимир. Представители одной и той же компании всегда говорят правду друг другу и врут конкурентам. Алексей сказал Борису: «Я из фирмы

«Индекс». Борис ответил: «О! Вы с Владимиром работаете в одной фирме!» Можно ли по этому диалогу определить, где работает Владимир? М.Евдокимов

На шахматной доске закрашены несколько клеток, как показано на

рисунке. Сколькими способами можно поставить 8 не бьющих друг друга ладей на незакрашенные клетки? Е.Бакаев

Илья совершенно не любит задачи на скорость и не помнит ни одной формулы. Когда его спросили, какое расстояние проедет поезд, он попробовал и перемножить данные скорость и время, и сложить их, и даже поделить скорость на время. «У меня всегда получается одно и то же число! Наверное, это и есть правильный ответ!» – воскликнул Илья. Докажите, что выполнять арифметические действия Илья тоже не умеет. А.Антропов

Иллюстрации Д.Гришуковой

Разрежьте проволочный каркас куба на две части, из которых можно спаять каркасы двух кубов. Проволоку сгибать можно. С.Токарев

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6–8 классов. Задачи 1 и 3 предлагались на XLI Турнире имени М.В.Ломоносова, задачи 2 и 4 – на XXIV Турнире математических боев имени А.П.Савина.

40

КВАН T 2018/№12

Что будет происходить, если вещество состоит не из отдельных атомов или ионов, а из многоатомных молекул – как, например, твердые водород, кислород, азот, галогены? Ничего ужасного, просто диффундировать будут не отдельные атомы, а, естественно, молекулы. А если эти молекулярные кристаллы состоят из молекул, которые сами состоят из разных атомов – например, $H_{2} O, CO_{2}$, окислы азота, многие органические вещества? Опять же, ничего принципиально нового – хотя мы уже имеем дело с разными атомами, но они составляют молекулы, которые ведут себя, как целое. Картина существенно меняется, когда вещество состоит из разных атомов, не связанных в молекулы. Тогда каждый атом может диффундировать, причем разные атомы диффундируют по-разному. Но при этом диффузия каждого зависит от диффузии остальных. Рассмотрим часто встречающийся случай, когда у нас имеется матрица и малая примесь. Однако и этот случай не прост, потому что есть несколько путей диффузии. Атом примеси может диффундировать, скажем так, сам по себе, прыгая из одного положения между атомами основного вещества в другое – как диффундировала бы мышь в человеческой толпе. Но он может диффундировать, пользуясь вакансиями, т.е. пустыми местами в решетке. Причем вакансии диффундируют сами по себе, это один из механизмов самодиффузии. Таким образом, диффузия примеси оказывается связана с самодиффузией материала матрицы. Но этим дело не исчерпывается. На диффузию начинают влиять свойства, которые принято называть химическими. Если одно вещество диффундирует в другое и в какойто зоне концентрация превосходит предел растворимости, то появляется новая фаза, т.е. образуется соединение. Иногда это отдельные участки, так называемые включения второй фазы, а иногда это сплошные слои. Включения второй фазы существенно изменяют механические свойства вещества, а сплошные слои влияют на дальнейшие процессы диффузии. Как уже говорилось, в матрице – если только это не идеальный монокристалл, причем при абсолютном нуле – есть дислокации, нарушения. Вакансии – это только один из их типов, но есть и другие, чьи концентрация

и подвижность растут с ростом температуры. Дислокации некоторых типов создают возможности для диффузии примесей, причем эти возможности сложным образом зависят от температуры. В поликристаллах ко всей этой картине добавляются границы между кристаллами, так называемые межзеренные границы. И они тоже могут являться путями диффузии примесей. Границы между кристаллами – это их поверхности. А диффузия по поверхности идет легче, чем по объему, потому что атом на поверхности имеет меньше связей с другими атомами, нежели атом в объеме, и ему легче разорвать часть этих связей, чтобы переместиться в новое положение. Поверхностная диффузия стала важна для техники, когда в 60-е годы прошлого века вошла в моду порошковая металлургия. Важна она и поныне хотя бы потому, что позволяет спеканием порошков (а это поверхностная диффузия) получать материалы, которые невозможно получить другими методами. В ближайшие десятилетия роль поверхностной диффузии и вообще поверхностных эффектов будет только возрастать – чем меньше объект, тем больше отношение поверхности к объему, а значит, тем существеннее роль именно поверхности.

Вопрос 5. Подумайте, почему.

Как делаются элементарные, но дающие правильные ответы расчеты, касающиеся диффузии, а также какие нетривиальные эффекты возникают, когда свинец прижат к золоту и оставлен в покое на какое-то время, вы можете узнать из двух замечательных книжек: Гегузин Я.Е. «Очерки о диффузии в кристаллах» и Бокштейн Б.С. «Атомы блуждают по кристаллу» (Библиотечка «Квант», вып. 28). Насчет именно свинца и золота – шутка. В этих книжках рассказано о многих экспериментах; в интернете они есть на многих сайтах. Диффундируйте и наслаждайтесь. До сего момента речь шла о диффузии в твердом теле. Диффузия в жидкостях и газах, конечно, возможна, но тут есть свои особенности. Главная – движение потоков, течения в жидкости, сквозняки и ветер в атмосфере. Они тоже переносят вещество, и в обычных условиях гораздо эффективнее, чем диффузия. Поэтому пример «диффу-