Квант 2019, №1 · Страницы

3

ПЕТР

ЛЕОНИДОВИЧ

Даже кратко трудно рассказать о жизни и судьбе П.Л.Капицы. Его отец Леонид Петрович Капица произошел из польскомолдавского шляхетского рода Капиц- Мислевских. Он закончил Николаевскую военно-инженерную академию и стал военно-морским инженером, строителем портовых сооружений, одним из создателей укреплений Кронштадского военно-морского порта, имел чин генерал-майора инженерного корпуса. Умер он в 1920 году. Мать Капицы Ольга Иеронимовна Стебницкая, дочь военного картографа, главного геодезиста Кавказа, окончила знаменитые женские Бестужевские курсы. Она стала специалистом по детской литературе и фольклору, преподавала в Ленинградском педагогическом институте имени А.И.Герцена. Умерла она в 1937 году. Безмятежные детство и отрочество Капицы были украшены летними путешествиями по Европе с матерью или отцом. В 18 лет, закончив Кронштадское реальное училище, Капица поступает на электромеханический факультет Петербургского политехнического института, созданный и руководимый физиком А.Ф.Иоффе. Он вскоре привлек талантливого второкурсника к научной работе в физической лаборатории. Интересно, что свои первые летние каникулы в 1913 году Капица проводит с братом Леонидом, студентом-географом, на русском Севере, на Соловках и на побережье Кольского полуострова, собирая этнографические материалы. Появляется первая журнальная работа – научнопопулярная статья «Рыбий жир». Но уже во вторые каникулы его интересует не этнография, а инженерные вопросы строительства кораблей. И он проводит эти каникулы в Шотландии, живет в семье предпринимателя-кораблестроителя и по примеру Петра Великого осваивает рабочие профессии корабела. Из-за разыгравшейся мировой войны он смог вернуться в Россию только в 1915 году и немедленно зачислился добровольцем – шофером и механиком в санитарный фронтовой отряд. К учебному году он возвращается на учебу на третий курс

КАПИЦА

института. В это время он знакомится с 18- летней Надеждой Кирилловной Черносвитовой, дочерью крупного политика, члена ЦК партии кадетов, расстрелянного в 1918 году. Она становится его невестой. Девушка живет в Шанхае, в семье своего брата, сотрудника Русско-Азиатского банка, и учится в шанхайской русской гимназии. Летом 1916 года Капица едет в Шанхай и привозит невесту в Россию. В имении отца невесты состоялась свадьба. В это же время публикуются две первые научные работы молодого студента, одна – теоретическая, другая – экспериментальная. Экспериментальная особенно интересна. В ней Капица излагает созданный им метод изготовления очень тонких металлических нитей. Метод заключался в стрельбе вверх из устройства, похожего на мальчишескую рогатку, кусочком затвердевающего расплавленного металла, который по мере полета и превращался в застывшую тончайшую, но прочную нить. Богато событиями для Капицы лето 1917 года – практика в радиотелеграфном отделении завода-концерна «Сименс и Гальске» и рождение сына Иеронима. Еще полтора года учебы и научной работы, и Капица – инженер-электрик, преподаватель Политехнического института и научный сотрудник Физико-технического института (в лаборатории А.Ф.Иоффе). Наступает зима 1919-20 года. В течение месяца эпидемия гриппа («испанка») уносит отца, сына и жену с новорожденной дочерью. Спасение от удара судьбы – только в научной работе и нежной опеке матери. Не оставляют и друзья. С самым близким другом, Николаем Николаевичем Семеновым, Капица рассчитывает взаимодействие атомов с сильно неоднородным магнитным полем и обсуждает идею экспериментальной установки для изучения этого взаимодействия. Но публикация этой работы не состоялась – в России еще не было своего физического журнала, а добраться до европейских научных журналов не представлялось возможным. Поставить реальный эксперимент было невозможно из-за отсутствия необходимого оборудования. В 1922 году аналогичную работу выполняют

4

КВАНТ 2019/№1

немецкие физики О.Штерн и В.Герлах и публикуют свои результаты, сыгравшие важную роль в становлении квантовой атомной физики. В 1943 году Штерн стал нобелевским лауреатом «за …измерение магнитного момента протона», а раздел «опыты Штерна и Герлаха» включен во все современные учебные программы вузовских курсов физики. Чтобы спасти Капицу от развивающейся депрессии, А.Ф.Иоффе включает его в состав комиссии Российской академии наук, направляемой, по предложению В.И.Ленина, в страны Западной Европы для восстановления научных связей, приобретения приборов и научной литературы. Вот как высоко ценило фундаментальную науку и понимало ее необходимость тогдашнее руководство страны, разрушенной революциями и гражданской войной. Перед отъездом Капицы и был написан тот самый парный портрет двух друзей. При посещении Кембриджской лаборатории 27-летний инженер П.Л.Капица обращается к ее руководителю, знаменитому физику Э.Резерфорду, с просьбой взять

Эрнест Резерфорд

его на стажировку. Тот, естественно, отказывает, мотивируя это отсутствием свободных вакансий и опасностью риска брать на работу к себе неизвестного человека, да еще и из Советской России. Тогда Капица задает Резерфорду вопрос: «А какой процент ошибки вы допускаете в своих экспериментах?» Резерфорд не понимает, к чему этот вопрос, но отвечает: «Ну, обычно, три-четыре процента». А Капица в ответ: «У вас 30 сотрудников, пусть будет 31, это и будет три процента. Можете рискнуть». Ошеломленный остроумием и находчивостью Капицы, Резерфорд берет его к себе на стажировку и никогда потом об этом не пожалеет. Уже через два года Капица создает импульсный генератор для получения магнитных полей. Физическая суть этой работы проста – заряженный большим зарядом аккумулятор разряжается через маленький соленоид. Сила тока в соленоиде при этом достигает десятков тысяч ампер, а рождаемое им магнитное поле – десятков тесла, что в десять тысяч раз больше индукции магнитного поля Земли. Разряд был импульсным, длился сотые доли секунды, и соленоид не успевал нагреться до разрушающей температуры. Но за это время можно было успеть зафиксировать все, что происходит с заряженными частицами в магнитном поле. Любопытно, что это были альфа-частицы, т.е. ядра атомов гелия. А через несколько лет Капица начинает опыты именно с жидким гелием, опыты, которые его прославили. Капица становится доктором Кембриджского университета, заместителем Э.Резерфорда. Создает в Кембридже физический семинар, получивший впоследствии название «клуб Капицы», где в неформальной обстановке обсуждаются проблемы не только физики. Между делом Капица становится чемпионом по шахматам графства Кембриджшир. Капица быстро прославился среди ученых Кембриджа своей эксцентричностью. Именно он придумал Резерфорду прозвище «крокодил». Оно вскоре стало широко применяемым и, по-видимому, понравилось самому прообразу. Когда в 1933 году

5

ПЕТР

ЛЕОНИДОВИЧ

было закончено строительство Мондовской лаборатории для Капицы, то при ее торжественном открытии выяснилось, что солидный входной ключ представлял собой фигуру крокодила, открывающего замок, а в вестибюле лаборатории всех встречал барельеф, на котором был изображен крокодил. Резерфорд промолчал, а почти все присутствовавшие одобрили подобную вольность, особенно Нильс Бор. Вот еще одна черта эксцентричности Капицы. Огромным удовольствием для него была бешеная езда на мощном автомобиле. Его нормой была скорость 60 миль в час (около 110 км/ч), тогда как разрешенный максимум был 40 миль в час. Когда однажды перепуганный пассажир, священник и историк Симпсон, обратил внимание Капицы на показания спидометра, он ответил, что это специально переделанный для него прибор и что он показывает не английские мили, а русские километры. А перед опасным поворотом приговаривал: «Молитесь, Симпсон, молитесь богу!» Искренняя дружба связывала П.Л.Капицу с Н.Н.Семеновым еще со студенческих времен. До преклонных лет они и в письмах, и в живом общении называли друг друга «Петька» и «Колька». После отъезда Капицы в Кембридж они не виделись несколько лет. В 1926 году Семенов командируется в Англию и Францию. В Кембридже он встречается с другом «Петькой» и знакомит его со своей женой. А в Париже жена Семенова знакомит Капицу со своей гимназической подругой Анной Алексеевной Крыловой, дочерью крупного ученого, математика и кораблестроителя А.Н.Крылова. Гражданская война разрушила его семью – погибли два сына (деникинские офицеры), а жена с дочерью эмигрировали во Францию. В свои 23 года Анна успела много пережить и тосковала в Париже по своей родине и окружавшей ее с детства обстановке русской научной культуры. У нее оказалось много общего с молодым русским физиком. В 1927 году Петр Капица и Анна Крылова соединили свои судьбы. Они прожили вмести 57 лет. Анна Алексе-

КАПИЦА

Анна Алексеевна и Петр Леонидович (Париж, 1927 г.) евна не только сумела создать Капице прочно обеспеченный семейный «тыл», но и была главной его моральной опорой во всех невзгодах, во всех несправедливостях жизни. В Кембридже рождается их сын Сергей (1928–2012), тоже физик, но получивший бульшую известность как популяризатор науки, создатель и в течение почти 40 лет бессменный ведущий знаменитой научнопопулярной телепередачи «Очевидное – невероятное». Сегодня в Москве наряду с улицей Академика Капицы есть и улица Сергея Капицы. Через три года рождается второй сын Андрей (1931–2011), географ, исследователь последнего в ХХ веке крупного географического открытия – существования огромного подледного озера в Антарктиде, инициатор создания и первый директор Тихоокеанского института географии Дальневосточного научного центра АН СССР. Научные интересы Капицы все больше сосредотачиваются на получении жидкого гелия и изучении его свойств. Его инженерный талант и умение привлекают внимание многих промышленных фирм – его приглашают для консультаций, в том числе и в военно-промышленные организации. Консультации щедро оплачиваются. Капица становится материально обеспеченным человеком. С одной из таких консультаций связан знаменитый, нет, не анекдот, а рассказ о реальном событии. При оговоренной оплате за консультацию в тысячу фунтов стерлингов Капица осматривает непонятно по какой причине неработающий агрегат. Он знакомится с черте-

6

КВАНТ 2019/№1

жами, внимательно исследует все узлы агрегата и вдруг наносит сильный удар в один из узлов машины. Машина заработала и продолжала исправно работать. Заказчики заявили: «За что же платить 1000 фунтов?» Капица ответил: «За удар – один фунт, а 999 фунтов за то, что нужно было знать, куда ударить». И вдруг все изменилось. В один из ежегодных приездов на летний отдых и чтение лекций в Москве, Ленинграде и Харькове в 1934 году его заграничная виза аннулируется и он лишается международного паспорта. Формальной причиной этого стали его консультации «буржуазным» фирмам, в том числе и военно-промышленным. Жена уезжает к оставшимся в Кембридже с бабушкой сыновьям. А Капица занимает непримиримую позицию и заявляет, что если ему не обеспечат то же самое научное оборудование, которое он организовал в Кембридже, то он оставляет физику и идет работать рядовым инженером в биологический институт к великому И.П.Павлову. Резерфорд взбешен этим поступком советского правительства и инициирует осудительную кампанию в прессе. Правительство СССР струсило и издает постановление о создании для Капицы специального института и закупке в Англии у Резерфорда оборудования кембриджской лаборатории. Резерфорд идет Капице навстречу, согласившись на продажу оборудования, так сказать, по себестоимости, и кроме того направляет в Москву двух инженеров для его наладки. В Москве на выбранном Капицей месте – на Воробьевых горах, на высоком берегу Москвы-реки – строится новый академический Институт физических проблем с необходимыми службами и коттеджем для Капицы и его семьи. Капица становится директором своего института на необычных условиях полной самостоятельности в вопросах управления институтом. В нем вначале числилось всего лишь 15 научных сотрудников, зато больше 100 инженеров и техников и только 3 сотрудника для управления. В институте нет отдела кадров, Капица сам знакомится с каждым

новым сотрудником – от ведущих ученых до дворника. Например, увольняет троих дворников-бездельников и заменяет их одним, но за тройную оплату, благо так называемая финансовая дисциплина его не касается. Главного бухгалтера у него нет, он сам ведает распределением средств, есть только счетовод-кассир. На должность своего помощника он находит Ольгу Александровну Стецкую, сотрудницу Н.К.Крупской, вхожую во все властные кабинеты и к тому же имевшую мужем видного партийного деятеля. Долгие годы она освобождала Капицу от всех хлопотных дел, связанных с различными «инстанциями». А.Ф.Иоффе делает Капице «царский» подарок, отдав одного из двух братьевстеклодувов Петушковых, необычайных умельцев по работе со стеклом (а в экспериментах с жидким гелием это было, ох, как необходимо). Главным экспериментатором у Капицы становится Александр Иосифович Шальников, будущий академик (1979), трижды лауреат Государственных (Сталинских) премий СССР, автор многих экспериментальных открытий, в которых проявлялись квантовая сущность явлений сверхтекучести, сверхпроводимости, фононного газа в кристаллах, особенности полупроводников и многое другое. А Петр Леонидович Капица, руководитель и постановщик этих работ, стал не только классиком естествознания, но и ученым, находящимся на переднем крае современной физики. Для теоретического осмысливания своих экспериментальных достижений Капица приглашает и делает заведующим теоретическим отделом института молодого, но уже ставшего европейски известным физика-теоретика Льва Давыдовича Ландау (1908–1968), будущего лауреата Нобелевской премии «за пионерские теории конденсированных сред и особенно жидкого гелия». Важную роль сыграл организованный Капицей еженедельный семинар по физике, получивший неофициальное имя «капишник». На семинаре обсуждались не только работы института, но и все важнейшие новые научные работы по физике как

7

ПЕТР

ЛЕОНИДОВИЧ

Лев Давыдович Ландау в нашей стране, так и за рубежом. Семинар всегда вел сам Капица и вел его необычайно организованно – основной доклад и выступления были строго ограничены во времени и прерывались «на полуслове» в случае нарушения регламента. Председательствующий своими вопросами обострял самую сущность обсуждаемой проблемы. И в то же время «климат» этих семинаров был неизменно благоприятный, уважительный. И никогда на семинарах не было псевдофилософских обсуждений проблем физики или амбициозных выступлений с нападками на коллег. Выяснялась только подтверждаемая экспериментом научная истина. В 30-е годы Капица прежде всего заканчивает свои работы по турбодетандеру, которые предопределили развитие во всем мире современных установок разделения воздуха на азот, кислород, аргон и гелий. Жидкий кислород стал одним из важнейших стратегических материалов в военные годы. Ведь сталь для танковой брони с добавками тугоплавких металлов (вольфрама и др.) можно было получить только с использованием в мартеновских печах кислородного дутья, позволяющего достичь более высокой температуры плавления такой стали. И он прилагает большие усилия для внедрения своего детища в промышленность – нашлось много противников из среды научных чиновников, желающих внедрять свои собственные изобретения и бесчестно искажавших эффективность турбодетандера. Но факт успеш-

КАПИЦА

ного применения турбодетандеров во всем мире повлиял на руководство страны, и в 1941 году Капица в числе первых ученых становится лауреатом Сталинской премии первой степени за свой турбодетандер, а в 1943 году назначается начальником «Главкислорода» – Главного управления кислородной промышленности при СНК СССР, на должность выше наркомовской. В 1945 году он становится Героем Социалистического Труда. Но эта инженерная и организационная деятельность была для Капицы в значительной степени вынужденной в связи с событиями тех лет. Капица понимал, что в грядущей войне решающую роль будут играть танковые сражения. Основные научные интересы Капицы были сосредоточены в другой области. Имея с помощью своего турбодетандера необходимое количество жидкого гелия, он развернул работы по изучению его свойств. В 1937 году было сделано фундаментальное открытие. В чрезвычайно изящных экспериментах, изучая протекание жидкого гелия через узкие щели, Капица установил, что при температуре ниже 2,19 К исчезает его вязкость. Происходит фазовый переход (второго рода) гелия-I в гелий-II, обладающий рядом необычных свойств и прежде всего отсутствием вязкости, т.е. сверхтекучестью. Скачком меняются теплоемкость и ряд других тепловых характеристик гелия. Эти эксперименты были не просто изящными, они были очень трудными. Достаточно отметить, что на первых порах только два человека могли перелить сверхтекучий жидкий гелий из дьюаровского сосуда в пробирку – сам Капица и его главный экспериментатор Шальников, причем у Шальникова это получалось даже лучше. Капице было ясно, что объяснение таких странных свойств гелия лежит за пределами классических представлений о веществе. И действительно, первая теория сверхтекучести была создана Л.Д.Ландау в 1941 году как квантово-механическая теория. На основе экспериментов Капицы и теории Ландау родилась физика квантовых жидкостей как макроскопическое проявление квантового поведения частиц.

8

КВАНТ 2019/№1

В 1945 году грянула «атомная эра». В августе этого года США отомстили японскому народу за нападение японской авиации (без объявления войны) на американскую военно-морскую базу на Гавайях в декабре 1941 года. Но месть была слишком неадекватной. Тогда погибло 2403 человека и было ранено 1178. А в Хиросиме и Нагасаки почти мгновенно погибли больше 100000 человек, и еще 200000 в течение нескольких лет умирали вследствие лучевого поражения. Кроме идеи отмщения, эта акция носила очевидный характер устрашения СССР. Советским физикам стало ясно, что в вопросе использования ядерной энергии они сильно отстали от зарубежных ученых. В 1946 году был создан специальный Государственный комитет – без названия, а просто №1 – под начальствованием Л.П.Берии. Первоначально в него входили только два физика – Капица и Курчатов. Но, в отличие от Курчатова, Капице не был доверен высший государственный секрет – получение нашей разведкой подробных (и, главное, достоверных) сведений не только принципиальных схем ядерных бомб, но и чертежей ее основных узлов. Ничего не зная об этом, Капица, движимый патриотическими чувствами, разрабатывает рассчитанный на два года проект развертывания всех работ, необходимых, по его мнению, для создания ядерного оружия. Капица удивляется, почему его проект даже не обсуждается. Он не подозревает того, что Сталин и Берия твердо решили довериться данным разведки и скопировать американскую бомбу. А Курчатову ясно, что это сможет значительно ускорить создание советской бомбы, и, самое главное, ему понятно, что после атомных бомбардировок никакого секрета уже нет. Конструкции отдельных узлов бомбы уже не имеют принципиального значения. Главная трудность состоит в наработке необходимого количества ядерного «топлива» – изотопа урана-235 и плутония. В данных разведки Курчатов усмотрел сведения о гигантских заводах, сооруженных для этих целей в США, и понял, что это и есть основное поле деятельности

Государственного комитета. Но Капица о масштабах этих работ не догадывается, он думает о создании физики бомбы. Уязвленный тем, что руководитель комитета Берия в физике ничего не понимает, он пишет Сталину письмо о его безграмотности, сравнивая Берию с дирижером, который пытается руководить оркестром, даже не зная нотной грамоты. Сталин показывает письмо Берии, и тот, взбешенный, обещает стереть великого физика «в лагерную пыль». Сталин же говорит Берии, что снимет Капицу в наказание со всех постов, но трогать его не надо. И на другой день Капица – уже не член Государственного комитета, не начальник «Главкислорода», не директор Института физических проблем. Он – просто академик и профессор МГУ. У него отбирают оборудованный им по своему вкусу коттедж во дворе института, поскольку для прохода во двор нужен спецпропуск, который у него попросту забирают. Но Сталин оставляет ему академическую дачу в поселке Николина гора неподалеку от Звенигорода. Президент Академии наук СССР С.И.Вавилов делает все, что может. Он обеспечивает дачный сарай, который вскоре прозвали «избой физических проблем», несколькими станками, материалами, рабочими и инженером. В «избе» работа с жидким гелием, конечно, была невозможна. И Капица переключается на совсем другие дела – создание мощных сверхвысокочастотных генераторов импульсного и непрерывного действия и изучение свойств плазмы, получающейся при действии таких генераторов на газовый разряд, в частности на изучение природы шаровой молнии, которую он смог получить в лабораторных условиях. Генераторы Капицы легли в основу устройств, оказавшихся совершенно необходимыми в современных работах по овладению термоядерной энергией в токамаках. Для осуществления этих работ оказалось крайне важным то, что Капица был удивительно «рукастым» физиком-экспериментатором. Недаром еще Резерфорд назвал его мастером «золотые руки». Капица умел делать все – паять схемы,

9

ПЕТР

ЛЕОНИДОВИЧ

работать на станках, выдувать стеклянные сосуды, сооружать сложные установки. Он обучил рукоделию своих сыновей, и они на сухопутной Николиной горе и малюсенькой там Москве-реке сделали прекрасную морскую яхту и совершали на ней потом интересные путешествия. К Капице на Николину гору приезжают друзья и коллеги, работает, хоть и не регулярно, ставший нелегальным «капишник». Блестяще продолжается его педагогическая деятельность на физико-техническом факультете МГУ. Но в 1950 году, придравшись к пустяшному поводу, его отстраняют от руководства кафедрой на физтехе и чтения там лекций. А директорствовать в Институте физических проблем соглашается один из сподвижников И.В.Курчатова, будущий президент Академии наук СССР А.П.Александров, которому Капица так и не простил его согласия на этот пост. Впрочем, Александров сохранил все направления исследований, которыми руководил Капица, и в особенности теоретический отдел, возглавляемый Л.Д.Ландау. Так проходит восемь лет. Как по мановению волшебной палочки, все изменилось после смерти Сталина и падения Берии. Капица вновь становится директором Института физических проблем и главным редактором самого авторитетного научного журнала – «Журнала экспериментальной и теоретической физики». Наряду с И.Е.Таммом, только более резко, он в Академии наук борется за восстановление в СССР биологической науки, разрушенной псевдонаучной деятельностью Т.Д.Лысенко и его последователей. Возобновляется полноценная работа «капишника», который становится не только центром физической науки, но и культурным центром Москвы, когда на его заседаниях научная тема заменяется выступлениями артистов, писателей, поэтов. И на такие «капишники» стремилась попасть «вся Москва». В этих случаях приходилось организовывать радиотрансляцию из зала заседаний по всем помещениям здания – они были заполнены гостями.

КАПИЦА

В 1974 году в дни своего восьмидесятилетия Капица становится дважды Героем Социалистического Труда. А в 1978 году его, наконец, настигла давно заслуженная Нобелевская премия «за базовые исследования и открытия в области низких температур». Характерно, что, необычайно щедрый в жизни, Капица не отдал ни копейки из полученной премии государству. Капица любил Россию, он никогда не соглашался покинуть ее, несмотря на неоднократные предложения многих научных мировых центров. Но он активно не любил российские правительства: ни сталинское, ни хрущевское, ни брежневское. Он никак не мог примириться, например, с тем, что для получения каких-либо пустяшных материалов или деталей нужно обивать пороги, а, главное, терять месяцы, тогда как «в Англии у меня на это ушло бы два дня», как он пишет в одном из писем правительственным деятелям. Так, в эпоху становления своего института Капица обратился в один из наркоматов с просьбой об инструментах и измерительных приборах. Ему предложили оформить заявку «на будущий год»… Капица не доверял телефону, во-первых, из-за возможного прослушивания органами, а во-вторых, из-за трудности обоснования своей позиции вследствие вынужденной краткости тогдашних телефонных разговоров (особенно, по кремлевской «вертушке»). Он предпочитал письменные объяснения. Руководителям советского государства он написал свыше

П.Л.Капица у доски

10

КВАНТ 2019/№1

П.Л.Капица за рабочим столом

300 (!) писем, из них 50 – И.В.Сталину. Иногда были и ответы. В архиве Капицы хранится такое письмо: «тов. Капица! Все Ваши письма получил. В письмах много поучительного – думаю как-нибудь встретиться с Вами и побеседовать об этом. Что касается книги Л.Гумилевского «Русские инженеры», то она очень интересна и будет издана в скором времени. И.Сталин. 6 апреля 46 г.». Были и ответы действием. П.Л.Капица неоднократно вступался в 30-е годы за арестованных или подвергавшихся травле ученых. По крайней мере в трех случаях письма Капицы оказались для них спасением. В 1936 году внезапно прекратилась развернувшаяся в прессе кампания травли выдающегося математика академика Н.Н.Лузина. Арестованного физика-теоретика В.А.Фока освободили через несколько дней. Труднее всего оказалась борьба Капицы за освобождение Л.Д.Ландау. Он был арестован за участие в группе, распространявшей листовки с антисоветским содержанием. И хотя его участие в этой группе было лишь формальным, на уровне разговоров, он был обвинен в шпионаже в пользу Германии. Требуя от него подтверждения такого чудовищного обвинения, Ландау был подвергнут особо изощренной пытке голодом. Из соседнего санатория приносили столовую ложку необычайно вкусной еды, и это было все за целый день. Ему грозила смерть, но он упорно не давал никаких ложных показаний. В защиту Ландау Ка-

пица написал несколько десятков писем, ручался «за его примерное поведение» и, наконец, поехал в Кремль и заявил, что, если Ландау не освободят, он прекращает заниматься наукой. На другой день Ландау был освобожден. В 1970-е годы, когда разгорелась травля академика А.Д.Сахарова, Капица был единственным, кто открыто восстал против исключения Сахарова из Академии наук. На заседании Президиума Академии с участием партийного начальства он нашел нужные слова: «Аналогичный позорный инцидент уже был. В 1933 году фашисты исключили из берлинской академии Альберта Эйнштейна». Наверное, после этого выступления многим академикам стало в глубине души неловко за свое непротивление начальственному нажиму. На даче Капицы неоднократно бывали и сам Сахаров, и Солженицын, и многие другие представители культуры, деятельность которых не одобрялась властью. Вообще, гуманитарные интересы Капицы были очень широкими. Он хорошо знал европейские памятники культуры. Вернувшись в Россию, он только после войны смог найти время для экскурсии по «Золотому кольцу», как впоследствии стали называть такие поездки. Его сопровождали искусствоведы, и он прошел с ними основательный курс истории древнерусской культуры. В те годы все памятники старины Владимира, Суздаля и других городов, а особенно великая церковь Покрова на Нерли, были в запустении. Потрясенный красотой древних храмов, Капица обращается в правительство не просто с письмом. Свое обращение он назвал «Меморандум о памятниках старины Владимирской области». Это было подробное описание запустения, в котором находились памятники культуры, и в то же время детальная программа того, что необходимо сделать для восстановления и сохранения этих памятников. Весть о присуждении Нобелевской премии застала Капицу в академическом санатории в Узком, на окраине Москвы, где он отдыхал вместе с женой. Налетевшим через час корреспондентам на вопрос о том,

11

ПЕТР

ЛЕОНИДОВИЧ

какие свои достижения он считает наиболее значительными, Капица сказал, что для ученого всегда наиболее важна та работа, которой он занимается в данный момент. «У меня такая работа относится к термоядерному синтезу», – добавил он. И в своей Нобелевской лекции он, допустив вольность, продолжил эту тему. Вопреки уставу Нобелевского фонда, лекция не была посвящена работам, отмеченным премией. Она называлась «Плазма и термоядерная реакция». Капица сказал, что сверхнизкими температурами он занимался очень давно, в дни научной молодости. А сейчас, наоборот, его волнуют сверхвысокие температуры, которые необходимы для инициирования и поддерживания термоядерной реакции изотопов водорода. Крайности сомкнулись. («Les extremes se touchent», – привел он знаменитое французское выражение.) Тем более, что жидкий гелий, за работы с которым присуждена награда, нужен и в этом деле для охлаждения обмоток сверхсильных магнитов, удерживающих раскаленную плазму. И он закончил лекцию словами: «Хорошо известно, что в данное время управляемая термоядерная реакция представляет большой практический интерес, так как этот процесс мог бы наиболее эффективно решить проблему глобального энергетического кризиса, связанного с истощением запасов ископаемого сырья, используемого теперь как источник энергии». Сегодня, через 40 с лишним лет, эти пророческие слова претворяются в жизнь мировым научным сообществом и правительствами ведущих стран мира, в том числе и России. Очень важной была педагогическая деятельность Капицы. В 1945 году он был одним из главных инициаторов создания для подготовки физиков вуза нового типа, где обучение велось бы не только в стенах учебного заведения, а большей частью – в лабораториях научно-исследовательских институтов, где преподавателями должны быть ведущие ученые. И такой вуз был создан. Вначале это был секретный (атомно-ракетный) физико-технический факультет МГУ, а в 1951 году он стал Физикотехническим институтом, знаменитым

КАПИЦА

Физтехом. Капица возглавил там кафедру общей и экспериментальной физики. В первые годы лекции по этому предмету читали по очереди сам Капица и Ландау. Теоретик Ландау излагал теоретические основы очередной темы, а на следующей лекции Капица рассказывал об экспериментальных и исторических основах этого раздела физики. Это было потрясающе интересно. Студенты после предыдущего занятия стремглав неслись по коридорам Физтеха, чтобы успеть занять места поближе к замечательным лекторам. В книге «П.Л.Капица. Эксперимент. Теория. Практика» (М.: Наука, 1974) собраны статьи и выступления Капицы по самым разным темам. Книга позволяет понять необычайный дар Капицы рассказывать о самых сложных проблемах науки доходчиво и интересно. Его сын, С.П.Капица, получил от отца часть этого дара и на Физтехе принял эстафету преподавания физики, став профессором кафедры общей физики и ее заведующим. Знаменитый английский физик Поль Дирак был большим другом Капицы. Он неоднократно приезжал в Советский Союз увидеться с ним и с другим своим другом, И.Е.Таммом. В свой последний приезд в 1973 году Дирак часто бывал у Капицы на даче (И.Е.Тамма уже не стало). И когда Капица рассказал очередную историю из своей жизни, а рассказчик он был замечательный, Дирак не удержался от эмоционального: «Капица! Какая замечательная жизнь, я завидую Вам». Действительно, жизнь Капицы – яркий пример беззаветного служения науке и бесстрашия перед лицом невежества и властности. Даже в самые мрачные времена советского изоляционизма Капица всегда отстаивал принципы интернационализма в науке. «Я твердо верю в интернациональность науки и верю в то, что настоящая наука должна быть вне всяких политических страстей и борьбы, как бы ее туда ни стремились вовлечь» (из письма Молотову от 7 мая 1935 г.). Скончался Петр Леонидович Капица от инфаркта 8 апреля 1984 года, немного не дожив до своего девяностолетия.

Г. Ф. Вороной и геометрия чисел

Н.ДОЛБИЛИН

ВЭТОЙ СТАТЬЕ МЫ ПОСТАРАЕМСЯ описать общие контуры геометрии чисел – науки, которой Георгий Феодосьевич посвятил самые глубокие свои работы. Одна из них – о плотнейших упаковках шаров в многомерных пространствах – появилась на последнем году жизни. Другая – по теории параллелоэдров – была опубликована уже посмертно. Перенесемся в 1904 год, когда в живописном немецком городе Гейдельберге состоялся третий Международный конгресс математиков. На этот конгресс пригласили выступить с докладом и Георгия Феодосьевича Вороного и Генриха Минковского (1864–1909), одного из крупнейших геометров XIX века. «Приглашенный доклад» на международном конгрессе – это очень престижное предложение, которого удостаиваются математики, добившиеся выдающихся результатов. Минковский за 8 лет до этого, в 1896 году, опубликовал знаменитую работу «Геометрия чисел» ( по-немецки «Geometrie der Zahlen»), в которой заложил основы новой области математики – геометрии чисел. Основная идея этой науки, находящейся на стыке геометрии и теории чисел, состоит в том, что в теории чисел есть немало задач, которые можно переформулировать на геометрическом языке, после чего задача становится более прозрачной и появляется возможность применять геометрические методы для ее решения. Самая известная, пожалуй, геометрическая теорема, которая помогает решать задачи по теории чисел, – это теорема Минковского о центрально-симметричном выпуклом теле (фигуре).

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20190102

Рассмотрим на плоскости прямоугольную систему координат x, y и множество всех целых точек, т.е. точек, у которых обе координаты – целые числа. Это множество называется квадратной решеткой (рис.1).

Рис. 1

Далее, фигура F называется выпуклой, если для любых двух точек A и B из F соединяющий их отрезок > AB @ целиком принадлежит фигуре. Фигура F имеет центр симметрии, т.е. такую точку $O ^{F}$, если для всякой точки X  F симметричная ей относительно O точка X c также принадлежит фигуре F. Фигура с центром симметрии называется центральносимметричной. Например, круг является выпуклой центрально-симметричной фигурой, а треугольник – выпуклой, но не центральносимметричной. Знаменитая теорема Минковского утверждает: Пусть центр симметрии O расположен в точке решетки. Тогда если площадь фигуры $s^{F} t 4 2^{2}$, то внутри или на границе фигуры содержится хотя бы одна пара симметричных относительно O точек решетки, отличных от точки О.

17

Г.Ф.ВОРОНОЙ

И

Хотя применение метода Вороного для больших размерностей связано с огромными вычислениями, которые трудно реализовать даже на современных вычислительных машинах, метод Вороного был и остается единственным методом решения этой задачи, который годится для пространств любой размерности.

ГЕОМЕТРИЯ

ЧИСЕЛ

рехугольник или шестиугольник) является параллелогоном. Все типы трехмерных параллелоэдров, а их оказалось пять, были найдены Федоровым (рис.5; см. также «Калейдоскоп «Кванта»). На рисунке 5 фигура I – куб, II – шестиугольная призма, III – ромбододекаэдр, IV – вытянутый додекаэдр, V – усе-

Параллелоэдры

Последний мемуар Вороного, как было сказано, посвящен теории параллелоэдров. Параллелоэдр – это выпуклый многогранник, копиями которого, прикладываемыми друг к другу по целым граням, можно заполнить пространство без пропусков и попарных перекрытий; при этом предполагается, что параллелоэдры не только конгруэнтны, но и параллельны друг другу, т.е. получаются друг из друга параллельными переносами. В силу параллельности многогранников друг другу и их прилегания по целым граням, каждая грань параллелоэдра имеет равную и параллельную ей противоположную грань. Отсюда и название параллелоэдр, т.е. параллелогранник, которое дал им великий кристаллограф Евграф Степанович Федоров (1857–1919). Федоров начал изучать параллелоэдры в 1885 году из-за их значимости в кристаллографии. Действительно, разбиение пространства на параллелоэдры хорошо моделирует структуру кристалла, которая, как известно, периодическая в трех измерениях. Двумерный аналог параллелоэдров называют параллелогоном. Параллелогон – это выпуклый многоугольник, параллельными копиями которого можно замостить плоскость, прилагая их друг к другу по целым сторонам. Поэтому параллелогон – это многоугольник с четным числом сторон, у которого каждая сторона имеет равную и параллельную пару. Параллелогон, как легко показать, является центрально-симметричным многоугольником с четырьмя сторонами (т.е. параллелограммом) или с шестью сторонами. Легко видеть, что верно и обратное: любой центрально-симметричный многоугольник одного из этих двух типов (четы-

Рис. 5

ченный октаэдр. На самом деле, точнее было бы говорить здесь не о пяти параллелоэдрах, а о пяти комбинаторных типах параллелоэдров. Как показали российские математики А.Д.Александров (1912– 1999) и Б.А.Венков (1900–1964), каждый тип помимо указанного параллелоэдра содержит многогранники, устроенные точно так же, как и указанный представитель, у которых, подчеркнем, все грани центрально-симметричны. Это означает, например, что в тип I помимо куба входят также и все параллелепипеды. А в тип II входят все призмы с центрально-симметричными шестиугольными основаниями и боковыми гранямипараллелограммами.

18

КВАНТ 2019/№1

При выводе всех пяти типов параллелоэдров Федоров предполагал, что параллелоэдр – обязательно центрально-симметричный. Несмотря на имевшиеся аргументы в пользу этого предположения, строгого доказательства у Федорова не было. В отличие от двухмерного случая, доказательство центральной симметричности трехмерного параллелоэдра не так просто. Г.Минковский после работы Федорова о параллелоэдрах заинтересовался этим классом многогранников, причем произвольной размерности. Попытка доказать центральную симметричность параллелоэдра привела Минковского к открытию одной из самых прекрасных теорем в теории выпуклых многогранников – теоремы о существовании и единственности выпуклого многогранника с данными направлениями граней и их площадями. Из этой сложно доказываемой теоремы Минковский легко вывел следующие первые два свойства параллелоэдров, к которым позже было добавлено третье (Б.Н.Делоне): 1) параллелоэдр – центрально-симметричный многогранник; 2) все грани параллелоэдра – центрально-симметричные многоугольники; 3) проекция параллелоэдра вдоль любого его ребра на перпендикулярную к нему плоскость есть либо параллелограмм, либо центрально-симметричный шестиугольник. Причем все три свойства верны для параллелоэдров любой размерности. Разумеется, для параллелоэдров размерности d t 4 свойства 2) и 3) должны быть отредактированы. Так, в условии 2) должно быть: «все грани размерности d – 1 – центрально-симметричные многогранники»; а в условии 3) речь должна идти о проекции параллелоэдра вдоль любой его d 2 -мерной грани на перпендикулярную к ней плоскость. Значительно позже, в 1954 году, Б.А.Венков доказал, что эти три условия являются не только необходимыми, но и достаточными: любой выпуклый многогранник, удовлетворяющий условиям 1)–3), является параллелоэдром.

Параллелоэдры Вороного

Как устроены параллелоэдры в пространствах произвольной размерности? Как найти все параллелоэдры, точнее все комбинаторные типы параллелоэдров? Именно этой проблеме был посвящен последний мемуар Вороного. В нем Георгий Феодосьевич построил теорию параллелоэдров особого вида, называемых теперь параллелоэдрами Вороного. Пусть / – произвольная решетка (рис. 6,а). Областью Вороного данной точки А в решетке / называется множество $V_{A}$

Рис. 6

всех точек Х плоскости, которые находятся от точки A  / не дальше, чем от остальных точек В решетки /:

XA d XB для всех B  /, B z A.

Для того чтобы построить область Вороного, в принципе нужно соединить данную точку А с каждой точкой B  / и провести срединный перпендикуляр к отрезку > AB @. Срединный перпендикуляр делит плоскость на две полуплоскости. Полуплоскость, содержащая точку А, состоит из тех точек Х плоскости, которые расположены к А ближе, чем к В. Та часть плоскости, которая принадлежит всем таким полуплоскостям (пересечение полуплоскостей), и есть область Вороного для точки А. Согласно определению, область Вороного есть пересечение бесконечного числа полуплоскостей. В действительности же в построении области Вороного участвуют лишь конечное число срединных перпендикуляров, соответствующих относительно близким к А точкам В из /. Другими словами, область Вороного $V_{A}$ есть выпуклый многоугольник, образованный несколькими срединными перпендикуляра-

19

Г.Ф.ВОРОНОЙ

И

ми. Если построить теперь область Вороного $V_{B}$ для каждой точки В решетки /, то очевидно получим равные и параллельные друг другу многоугольники, которые заполняют плоскость без пропусков и перекрытий (рис.6,б). Таким образом, согласно определению, область Вороного точки для решетки на плоскости есть параллелогон. Совершенно аналогично, для решетки в пространстве область Вороного есть трехмерный многогранник – параллелоэдр, называемый в наше время параллелоэдром Вороного. Надо сказать, что идея области Вороного для дискретных множеств восходит к временам Декарта (1596–1650). В XIX веке концепцию области Вороного в двумерном случае активно использовал знаменитый немецкий математик Дирихле и на протяжении более века эти области назывались областями Дирихле. Но самые глубокие результаты об этих областях, причем для произвольной размерности, были получены Г.Ф.Вороным, и в настоящее время эти области называют в его честь. Невозможно в рамках статьи описать теорию параллелоэдров, построенную Вороным. Скажем, что она, в частности, содержит метод нахождения всех типов параллелоэдров Вороного для любой размерности. Как соотносится решение этой более узкой задачи к задаче нахождения типов всех параллелоэдров вообще? Дело в том, что не каждый параллелоэдр является параллелоэдром Вороного. Так, среди параллелограммов только прямоугольники являются областями Вороного (рис.7,а). Центрально-симметричный шестиугольник является областью Вороного тогда и только тогда, когда он вписан в окружность (рис.7,б). Тем не менее, для

Рис. 7

ГЕОМЕТРИЯ

ЧИСЕЛ

пространств размерности d = 2, 3 и 4 найдены все типы параллелоэдров. Число типов для этих размерностей равно 2, 5 и 52 соответственно, причем установлено, что каждый из этих типов может быть реализован как область Вороного. Георгий Феодосьевич предположил, что это верно для параллелоэдров любой размерности d, т.е. любой параллелоэдр размерности d устроен так же, как некоторый параллелоэдр Вороного. Для тех, кто знаком с понятием аффинного преобразования, уточним смысл гипотезы Вороного: для всякого параллелоэдра существует аффинное преобразование, которое переводит этот параллелоэдр в некоторый параллелоэдр Вороного. Если гипотеза подтвердится, то метод Вороного, при помощи которого можно перечислить все типы параллелоэдров Вороного, решает также вопрос и о перечислении типов всех параллелоэдров вообще. Если же гипотеза Вороного неверна, то общая проблема описания всех параллелоэдров остается открытой. Этой гипотезе посвящена значительная часть мемуара Вороного. В частности, в нем Вороной доказал гипотезу для очень важного класса параллелоэдров, так называемых примитивных. Однако, несмотря на усилия многих математиков, проблема остается нерешенной на протяжении века для всех размерностей $d \ge 5$. Загадочное на первый взгляд упоминание в «Калейдоскопе «Кванта» о «не менее 110244» типах пятимерных параллелоэдров означает, что, с одной стороны, найдены все 110244 типа пятимерных параллелоэдров Вороного. А с другой стороны, всех типов может быть и больше, так как не известно, есть ли еще какиелибо пятимерные параллелоэдры иного строения. На пути решения проблемы Вороной предложил совершенно замечательную конструкцию – так называемый «подъем диаграммы Вороного на параболоид». Пусть X – дискретное множество точек на плоскости ( x, y ) и нам нужно построить «диаграмму Вороного», т.е. сетку из

20

КВАНТ 2019/№1

областей Вороного относительно этих точек. Рассмотрим функцию $z ( x, y ) = = x^{2} + y^{2}$. Ее графиком будет поверхность – параболоид вращения, который получается вращением параболы вокруг своей оси. «Поднимем» каждую точку $X из^{X}$ на параболоид. Проведем в каждой «поднятой» точке X c плоскость, касательную к параболоиду. Касательные плоскости вырезают многогранник, описанный около параболоида (рис.8). Вороной заметил, что если спроектировать этот многогранник на плоскость, то проекции граней совпадают с областями Вороного. Тем самым, задача построения диаграммы Вороного для данного множества сводится к построению выпуклого многогранника. Этот подход широко используется в совре-

Рис. 8

менной вычислительной геометрии и компьютерной графике. Заметим, что диаграмма Вороного тесно связана с другой важной сеткой – разбиением Делоне (рис.9). Напомним, что разбиение Делоне плоскости также однозначно задается множеством X (см. статью «Многогранный Делоне» в «Кванте» №1, 2 за 2010 г.). Между диаграммой Вороного и разбиением Делоне имеется соответствие дуальности:

Рис. 9

– каждой области Вороного $V_{A}$ соответствует вершина разбиения Делоне, которая является центром А этой области; – ребру е диаграммы Вороного, разделяющему области $V_{A}$ и $V_{B}$, соответствует ребро АВ в разбиении Делоне; – вершине v в диаграмме Вороного соответствует ячейка Делоне, вершины которой суть центры областей Вороного, сходящихся в v.

Рисунок Я.Кучериненко

Заключая очерк об одном из самых крупных математиков, когда-либо работавших в теории чисел, подчеркнем, что глубокие идеи Георгия Феодосьевича Вороного не только оказывают влияние на современную теорию чисел, но и играют большую роль во многих науках и приложениях.

22

КВАН T 2019/№1

двигатели перестали работать. На какое максимальное расстояние s от поверхности Луны удалится ракета? Радиус Луны $R_{Л} | 2,5$ тыс.км, ускорение свободного падения вблизи поверхности Луны $g_{Л} | 1,6$ м $с^{2}$. Д.Мороз

Ф2550. Не поджатая однородная пружина имеет длину L, которая много больше диаметра D ее витков. Диаметр D, в свою очередь, много больше диаметра проволоки, из которой сделана пружина. Эта пружина имеет жесткость на растяжение (или сжатие) k. Однако растягиваться такая пружина не может, так как внутрь нее помещена нерастяжимая гибкая нить, а вот изгибаться может. Пружину изогнули так, что ее концевые витки соприкоснулись, т.е. пружину свернули в кольцо. Какую работу пришлось совершить для этого? Н.Год

Ф2551. Коэффициент трения шайбы о плоскую поверхность равен P. Эту поверхность расположили так, что она образует с горизонталью угол D, для которого tg D P, и закрепили. Шайбу, масса которой m, толкнули так, что все ее точки приобрели одинаковую начальную скорость $v_{0}$, направленную вдоль наклонной поверхности, причем угол $M_{0}$ между направлением начальной скорости и направлением наискорейшего спуска по поверхности такой, что cos $M_{0} 0,5$. В тот момент, когда угол $M_{1}$ между направлением скорости движения шайбы и направлением наискорейшего спуска стал таким, что cos $M_{1} 0,5$, шайба оказалась на том же горизонтальном уровне, что и в момент старта. Какое количество теплоты Q выделилось за счет трения между шайбой и поверхностью к этому моменту? Какова длина L пути, который к этому моменту прошла шайба? Какой будет установившаяся через большое время скорость v движения шайбы? С.Негурочка

Ф2552. Струя воды с объемным расходом $E м^{3}$ с падает на плоскую поверхность

перпендикулярно ей. Перед соприкосновением с поверхностью вода движется со скоростью v. Уровень воды на поверхности на большом расстоянии от места падения струи равен H. Воду можно считать маловязкой. Как зависит радиус углубления R на поверхности воды от указанных в условии задачи параметров? При каком соотношении между параметрами углубление не возникает? На фотографии

Рис. 2

(рис.2), найденной в интернете (http:// staff.civil.uq.edu.au/h.chanson/pictures/ eviergrnd.jpg), приведен пример такого явления. П.Январский

Решения задач М2530–М2533, Ф2537–Ф2540

M2530. Решение этой задачи см. в статье «Высоты треугольника и обратный ход».

M2531. Пусть k – натуральное число и $1 d_{0} d_{1}$ … $d_{m} 4k$ – все положительные делители числа 4k. Докажите, что найдется i  {1,…,m} такое, что $d_{i} d_{i} 1 2$.

Предположим противное – нужного i не нашлось. Тогда если d и d + 2 – делители числа 4k, то и d + 1 – тоже. Заметим, что если a – делитель числа 4k, причем a не делится на 4, то 2a – тоже делитель числа 4k. Пользуясь указанными свойствами, начав с пары 1, 2, будем находить у числа 4k

КАЛЕЙДОСКОП «КВАНТА»

Несложно показать, что копиями любого треугольника и любого четырехугольника (даже невыпуклого) можно замостить плоскость (см. верхний ряд рисунков). Сложнее показать, что ни одним выпуклым многоугольником с семью и более сторонами нельзя замостить плоскость и что только три семейства выпуклых шестиугольников допускают такое замощение. Самый сложный случай – пятиугольники. К концу XX века было найдено 14 семейств выпуклых пятиугольников, замощающих плоскость, еще одно, 15-е семейство обнаружено в 2015 году (см. «Калейдоскоп «Кванта» №5 за 2017 г.); а доказательства, что это все семейства, до сих пор нет.

ществует всего два семейства двумерных параллелоэдров – параллелограммы и центрально-симметричные шестиугольники. В трехмерном пространстве параллелоэдры были классифицированы Е.Федоровым в 1885 году. Существует пять семейств трехмерных параллелоэдров с разными комбинаторными типами. Наиболее «правильные» представители семейств – куб, правильная шестиугольная призма с равными ребрами, ромбододекаэдр, удлиненный ромбододекаэдр, усеченный октаэдр (см. рисунки справа). Все остальные получаются из них аффинными преобразованиями, а также операциями «удлинения» параллельных ребер.

Для многих выпуклых многоугольников, которыми можно замостить плоскость, необходимо, чтобы некоторые их копии были повернуты или отражены относительно некоторой прямой. Исключениями являются параллелограммы и центрально-симметричные шестиугольники; ими можно замостить плоскость, используя только параллельные переносы (см. нижний ряд рисунков). В произвольной размерности выпуклый многогранник, копиями которого можно заполнить все пространство, используя только параллельные переносы, называется параллелоэдром. Таким образом, су-

С ростом размерности число семейств растет очень быстро. Если в четырехмерном пространстве ровно 52 семейства параллелоэдров, то в более высоких размерностях даже точное их количество неизвестно. Известно лишь, что в пятимерном пространстве существует не менее 110 244 различных семейств параллелоэдров, а в шестимерном – не менее полумиллиарда. Справа изображены также развертки всех пяти трехмерных параллелоэдров. Сможете ли вы собрать соответствующие замощения для каждого из них? Материал подготовил А.Гарбер

Рисунки М.Панова

Замощения параллелоэдрами

35

«КВАНТ»

ДЛЯ

М ЛАДШИХ

ШК О ЛЬНИК О В

Добрыня и куча камней

В.КЛЕПЦЫН

НА МАТЕМАТИЧЕСКОМ КРУЖКЕ УЧИ- тель только что закончил записывать условие задачи: Есть куча из 1001 камня. Каждый раз, когда богатырь Добрыня делит кучу камней на две, царь платит ему столько монет, каково произведение количеств камней в двух получившихся кучах. Как должен действовать Добрыня, чтобы получить как можно больше?

И сразу ученики заспорили. – Ясно, что первым делом нужно поделить кучу почти пополам: тогда Добрыня сразу получит аж 500•501 монет. Потом меньшие кучи поделим еще пополам и т.д. А нам нужно будет весь этот заработок сложить. Только вот как? – сказала Женя. – А кто тебе сказал, что этот путь самый выгодный? Пару раз сорвет куш, а потом будет он у тебя, скажем, десятимонетные кучки пополам делить, по 25 монет за раз получая. А у меня Добрыня по одному камню брать будет. Тысяча монет на первом ходу, 999 на втором, 998 на третьем… Тише едешь – дальше будешь! – ответил ей основательный Мика. – Это что же, нам сейчас нужно будет все это складывать, чтобы сравнить? – Перспектива вычислять сумму тысячи слагаемых Женю явно не обрадовала. – Не торопитесь, – вмешался учитель. – Вы еще не «вжились» в задачу. Не спеши-

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20190104

те отвечать именно на заданный вопрос, попробуйте ее «покрутить» и поэкспериментировать, поймите, что происходит. – Поэкспериментируешь тут, когда каждый раз тысячу чисел складывать надо, – не согласилась Женя. – Правильно. Поэтому для начала измените задачу. Число 1001 слишком большое, возьмите число поменьше и разберитесь с ним. А там, глядишь, и на исходный вопрос ответите. – Один – замечательное число! Один камень в куче, делать ничего не надо, красота! Правда, и заработать у Добрыни не выйдет, – откликнулся на это предложение Мика. – Два камня принесут Добрыне одну монету, тут без вариантов. А если их три, то 2 + 1 = 3 монеты, – подхватила эстафету обрадовавшаяся Женя.

– Пусть теперь камней четыре. Если Добрыня поделит их пополам, а потом кучки опять пополам, как ты предлагаешь, то заработает 2 ˜ 2 1 ˜ 1 1 ˜ 1 4 1 1 6 монет, – продолжил Мика. – А если будет оттаскивать по одному камню, как предлагаешь ты, то 3 + 2 + 1 = = 6. Опять 6 монет! – удивилась Женя. – А других вариантов нет. Смотрим на 5 камней? – Смотрим! Если их поделить как 5 = = 2 + 3, то Добрыня заработает 2 ˜ 3 6 монет первым ходом, а потом одну монету за кучку из 2 камней и три монеты за кучку

38

КВАН T 2019/№1

2 (Е.Горский). На доске написаны по возрастанию два натуральных числа x и y (x d y). Петя записывает на бумажке $x^{2}$, а затем заменяет числа на доске числами x и y – x, записывая их по возрастанию. С новыми числами на доске он проделывает ту же операцию и т.д., пока одно из чисел на доске не станет нулем. Чему будет в этот момент равна сумма чисел на бумажке? 3 (Е.Горский, С.Дориченко). На доске написаны натуральные числа x, y и z. Петя пишет на бумажку произведение двух из них, а на доске уменьшает третье число на 1. С новыми

тремя числами на доске он делает ту же операцию и т.д., пока одно из чисел на доске не станет нулем. Чему в этот момент равна сумма чисел на бумажке? Подсказка к задачам 2 и 3: придумайте геометрическую интерпретацию подсчета. Рекомендуем для дальнейшего изучения статью Е.Бакаева «Мальчики, девочки, таблицы, графы…» («Квант» №3 за 2015 г.), в которой также обсуждается геометрический подход к подобным комбинаторным задачам. (Прим. ред.)

К О НК УРС И МЕ НИ А .П.С АВИНА

Мы продолжаем очередной конкурс по решению математических задач. Они рассчитаны в первую очередь на учащихся 7–9 классов, но мы будем рады участию школьников всех возрастов. Конкурс проводится совместно с журналом «Квантик». Высылайте решения задач, с которыми справитесь, электронной почтой по адресу: savin.contest@gmail.com или обычной почтой по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» (с пометкой «Конкурс имени А.П.Савина»). Кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором вы учитесь, а также обратный почтовый адрес. Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в таком случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы. Задания, решения и результаты публикуются на сайте sites.google.com/view/savin-contest Желаем успеха!

17. Есть 5 карточек с числами 3, 4, 5, 6, 7. Сколько из них можно сложить пятизначных чисел, делящихся на 55? (Карточку «6» нельзя переворачивать и использовать как «9».) П.Кожевников

18. Петя и Вася купили по конструктору «Собери тетраэдр». В конструкторе 4 треугольника – будущие грани тетраэдра. По дороге Петя потерял один треугольник. Заметив это дома, он побежал с остатками своего конструктора к Васе. Сравнивая детали, они обнаружили, что среди четырех Васиных треугольников есть три таких же, как у Пети. «Отлично, теперь я знаю, какой треугольник я потерял!» – воскликнул Петя. «Вот только почему цены конструкторов отличаются?» – задумался он. А могло ли быть так, что у ребят конструкторы отличались одним треугольником, но из каждого конструктора можно было собрать свой тетраэдр? Л.Емельянов

19. а) Найдутся ли 100 различных натуральных чисел, среднее арифметическое любых нескольких из которых – натуральное? б) А если добавить условие, что любые два числа из этих ста должны быть взаимно просты? П.Кожевников

20. Дан клетчатый квадрат 100 u 100. Некоторые его клетки можно закрыть. Будем говорить, что доминошки 1 u 2 расположены в нем разрешенным образом, если каждая занимает ровно две незакрытые клетки и никакие две доминошки не имеют общего отрезка границы (но у доминошек могут быть общие вершины). Какое наименьшее количество клеток можно закрыть, чтобы: а) 2; б) 100 доминошек нельзя было расположить разрешенным образом? Е.Бакаев

ОЛИМПИАДЫ

XL Турнир городов

ЗАДАЧИ ОСЕННЕГО ТУРА (2018 ГОД)

Базовый вариант

8–9 классы

$1. (4)^{1}$ Окружность, проходящая через вершину B прямого угла и середину гипотенузы прямоугольного треугольника ABC, пересекает катеты этого треугольника в точках M и N. Оказалось, что AC = 2MN. Докажите, что M и N – середины катетов треугольника ABC. М.Евдокимов

2. (4) Найдите все натуральные n, удовлетворяющие условию: числа 1, 2, 3, …, 2n можно разбить на пары так, что если сложить числа в каждой паре и результаты перемножить, то получится квадрат натурального числа. Фольклор

3. Клетчатый прямоугольник размера 7 u 14 разрезали по линиям сетки на квадраты 2 u 2 и уголки из трех клеток. Могло ли квадратов получиться: а) (1) столько же, сколько уголков; б) (3) больше, чем уголков? М.Евдокимов

4. (5) У Насти есть пять одинаковых с виду монет, среди которых три настоящие – они весят одинаково – и две фальшивые: одна тяжелее настоящей, а вторая на столько же легче настоящей. Эксперт по просьбе Насти сделает на двухчашечных весах без гирь три взвешивания, которые она укажет, после чего сообщит Насте результаты. Может ли Настя выбрать взвешивания так, чтобы по их результатам гарантированно определить обе фальшивые монеты и указать, какая из них более тяжелая, а какая более легкая? Р.Женодаров

1 В скобках после номера задачи указано число баллов, присуждавшихся за ее полное решение. Итог подводился по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты (баллы за пункты одной задачи суммируются).

5. (5) Назовем девятизначное число красивым, если все его цифры различны. Докажите, что существует по крайней мере 1000 красивых чисел, каждое из которых делится на 37. М.Евдокимов

10–11 классы

1. (3) Можно ли внутри правильного пятиугольника разместить отрезок, который из всех вершин виден под одним и тем же углом? (Углом, под которым виден из точки A отрезок XY, называется угол XAY.) Е.Бакаев, С.Дворянинов

2. (4) См. задачу 2 для 8–9 классов. 3. (5) В параллелограмме ABCD угол А острый. На стороне AB отмечена такая точка N, что CN = AB. Оказалось, что описанная окружность треугольника CBN касается прямой AD. Докажите, что она касается ее в точке D. М.Евдокимов

3. (5) Назовем девятизначное число красивым, если все его цифры различны. Докажите, что существует по крайней мере 2018 красивых чисел, каждое из которых делится на 37. М.Евдокимов

4. (5) См. задачу М2538 «Задачника «Кванта».

Сложный вариант

8–9 классы

1. (5) В треугольнике ABC точка M – середина стороны BC, точка E – произвольная точка внутри стороны AC. Известно, что BE t 2 AM. Докажите, что треугольник ABC тупоугольный. Н.Седрякян 2. (6) См. задачу М2534 «Задачника «Кванта».

2. (8) См. задачу М2535 «Задачника «Кванта».

3. (8) Доска 7 u 7 либо пустая, либо на ней лежит «по клеткам» невидимый корабль

51

ОЛИМПИАДЫ

2 u 2. Разрешается расположить в некоторых клетках доски по детектору, а потом одновременно их включить. Включенный детектор сигнализирует, если его клетка занята кораблем. Какого наименьшего числа детекторов хватит, чтобы по их показаниям гарантированно определить, есть ли на доске корабль, и если да, то какие клетки он занимает? Р.Женодаров

5. (8) Равнобокая трапеция ABCD с основаниями AD и BC вписана в окружность с центром O. Прямая BO пересекает отрезок AD в точке E. Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$ – центры окружностей, описанных около треугольников ABE и DBE соответственно. Докажите, что точки $O_{1}, O_{2}, O, C$ лежат на одной окружности. А.Заславский

6. а) (7) См. задачу М2539, а «Задачника «Кванта». б) (3) См. задачу М2539, б «Задачника «Кванта».

7. В виртуальном компьютерном государстве не менее двух городов. Некоторые пары городов соединены дорогой, причем из любого города можно добраться по дорогам до любого другого (здесь и далее переходить с дороги на дорогу разрешается только в городах). Если при этом невозможно, начав движение из какого-то города и не проходя дважды по одной и той же дороге, вернуться в этот город, государство называется простым, иначе – сложным. Петя и Вася играют в такую игру. В начале игры Петя указывает на каждой дороге направление, в котором по ней можно двигаться, и помещает в один из городов туриста. Далее за ход Петя перемещает туриста по дороге в разрешенном направлении в соседний город, а Вася в ответ меняет направление одной из дорог, входящей или выходящей из города, куда попал турист. Вася победит, если в какой-то момент Петя не сможет сделать ход. Докажите, что: а) (5) в простом государстве Петя может играть так, чтобы не проиграть, как бы ни играл Вася; б) (7) в сложном государстве Вася может гарантировать себе победу, как бы ни играл Петя. М.Дидин

10–11 классы

1. (5) См. задачу М2534 «Задачника «Кванта».

2. (7) В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC с центром описанной окружности O проведены высоты $AH_{a}$ и $BH_{b}$. Точки X и Y симметричны точкам $H_{a}$ и $H_{b}$ относительно середин сторон BC и CA соответственно. Докажите, что прямая CO делит отрезок XY пополам. Фольклор

3. а) (6) См. задачу М2539, а «Задачника «Кванта». б) (2) См. задачу М2539, б «Задачника «Кванта».

4. (8) См. задачу М2536 «Задачника «Кванта».

5. (8) Три медианы треугольника разделили его углы на шесть углов, среди которых ровно k больше 30q. Каково наибольшее возможное значение k? Н.Седракян 6. (9) См. задачу М2537 «Задачника «Кванта».

6. Рокфеллер и Маркс играют в такую игру. Имеется n > 1 городов, во всех одно и то же число жителей. Сначала у каждого жителя есть ровно одна монета (монеты одинаковы). За ход Рокфеллер выбирает по одному жителю из каждого города, а Маркс перераспределяет между ними их деньги произвольным образом с единственным условием, чтобы распределение не осталось таким, каким только что было. Рокфеллер выиграет, если в какой-то момент в каждом городе будет хотя бы один человек без денег. Докажите, что Рокфеллер может действовать так, чтобы всегда выигрывать, как бы ни играл Маркс, если в каждом городе: а) (10) ровно 2n жителей; б) (4) ровно 2n – 1 жителей. Г.Погудин Публикацию подготовили С.Дориченко, Л.Медников, А.Семёнов

ИНФОРМАЦИЯ

Заочная физико-техническая школа при МФТИ

Заочная физико-техническая школа (ЗФТШ) Московского физико-технического института (государственного университета) (МФТИ) проводит набор в 8–11 классы учащихся 7–10 классов общеобразовательных учреждений (школ, лицеев, гимназий и т.п.), расположенных на территории Российской Федерации. ЗФТШ работает в сфере профильного дополнительного образования детей с 1966 года. За прошедшие годы школу окончили более 100 тысяч учащихся; практически все ее выпускники поступают в ведущие вузы страны, а каждый второй студент МФТИ – ее бывший ученик. Научно-методическое руководство школой осуществляет Московский физико-технический институт. Обучение в школе ведется по четырем предметам научно-технической направленности – физике, математике, информатике и химии. В 8 классе изучаются только физика и математика. В 9–11 классах к этим предметам добавляются «Математические основы информатики и ИКТ» (информатика) и химия. Учащиеся могут по своему выбору изучать один, два, три или четыре предмета. Количество заданий в год по классам и по предметам представлено в таблице:

Задания составляют опытные преподаватели кафедр общей физики и высшей математики МФТИ, а также выпускники МФТИ и другие специалисты, имеющие большой опыт работы с одаренными школьниками. Задания содержат теоретический материал, разбор характер-

ных примеров и задач по соответствующей теме и 8–12 контрольных вопросов и задач для самостоятельного решения. Это и простые задачи, и более сложные. Примеры заданий можно посмотреть на сайте ЗФТШ. Цель нашей школы – помочь учащимся 8–11 классов общеобразовательных учреждений, интересующимся предметами научно-технической направленности, углубить и систематизировать свои знания по этим предметам, а также способствовать их профессиональному самоопределению. Программы ЗФТШ являются профильными дополнительными общеразвивающими программами и едины для всех отделений. Набор в 8, 9, 10 и 11 классы на 2019/20 учебный год проводится на заочное (онлайн), очное и очно-заочное отделения. Полная программа обучения рассчитана на 4 года – с 8-го по 11-й класс включительно, но начать обучение можно с любого из указанных классов. Согласно положению о ЗФТШ учащийся может обучаться только на одном отделении ЗФТШ. Учащиеся всех отделений, успешно справившиеся с программой ЗФТШ, по окончании 11 класса получают Свидетельство об окончании школы с итоговыми оценками по изучавшимся в 11-м классе предметам. Свидетельство учитывается при поступлении в МФТИ в соответствии с правилами приема в МФТИ и Порядком учета индивидуальных достижений поступающих (https://pk.mipt.ru/bachelor/ 2019_ID/). Ученикам всех отделений будет предложено участвовать в физико-математической олимпиаде «ФИЗТЕХ–2020», которая проводится на базе МФТИ и в ряде городов России в феврале или начале марта, в других очных и заочных олимпиадах МФТИ и его факультетов. Для учащихся и руководителей факультативных групп работает online-лекторий по физике, математике и химии по программе ЗФТШ. Лекции читают преподаватели МФТИ (как правило, авторы заданий). Подробнее об этих мероприятиях можно прочитать на сайте ЗФТШ. Обучение в ЗФТШ бесплатное. Для учащихся, проживающих за пределами Российской Федерации, возможно только платное обучение на заочном, онлайн и очно-заочном отделениях. Заочное отделение (индивидуальное заочное обучение)

53

ИНФОРМАЦИЯ

Тел./факс: (495) 408-51-45, e-mail: zftsh@mail.mipt.ru Прием на заочное отделение проводится на конкурсной основе по результатам выполнения вступительных заданий по выбранным для изучения предметам. ЗФТШ постепенно переходит на работу на онлайн-платформе. Поэтому: школьники, поступающие в 8 и 9 классы заочного отделения, выполняют вступительное задание на сайте https://zftsh.online/; школьники, поступающие в 10 и 11 классы заочного отделения, вступительное задание выполняют в тетради, оформляют в соответствии с нашими требованиями (см. ниже) и высылают Почтой России не позднее 1 марта 2019 года.

Обучение на платформе zftsh.online Ученик в течение учебного года в соответствии с программой получает в личном кабинете на сайте https://zftsh.online/ доступ к заданиям по изучаемым предметам. Ученик выполняет на сайте задания с помощью встроенного редактора или путем прикрепления фотографий работ, выполненных в тетради. Работы по истечении срока выполнения проверяют на сайте закрепленные за учеником преподаватели ЗФТШ. Как только работа проверена, ученик видит свою работу с рецензией и авторскими решениями контрольной части задания.

Как проходит обучение для 10 и 11 классов В течение учебного года в соответствии с программой ЗФТШ ученик получает (берет в личном кабинете на сайте http:// www.school.mipt.ru/) по каждой теме задания по изучаемым предметам. Выполняет их, оформляет в школьной тетради и высылает в ЗФТШ Почтой России. Проверенные работы вместе с авторскими решениями этих заданий высылаются обратно также Почтой России. Обучение в обоих случаях проводится по одним и тем же программам и заданиям, выпускники получают одинаковые Свидетельства об окончании, работы учащихся проверяют студенты, аспиранты и выпускники МФТИ. Отличие только в способе отправки заданий.

Правила оформления вступительного задания для поступающих в 10 и 11 классы Вступительные задания по выбранным предметам ученик выполняет самостоятельно в одной школьной тетради на русском языке, сохраняя тот же порядок задач, что и в задании. Тетрадь нужно выслать в конверте простой

бандеролью или простым письмом. На лицевую сторону тетради наклейте заполненный бланк (его также можно заполнить в электронном виде на сайте ЗФТШ, а затем распечатать):

(таблица заполняется методистом ЗФТШ)

1. Республика, край, область __________ 2. Фамилия, имя, отчество ____________ _____________________________________________________________ 3. Класс, в котором учитесь ___________ 4. Если вы уже учитесь в ЗФТШ, напишите свой личный номер ___________ 5. Предметы, по которым выполнены задания (отметьте галочками) □ физика □ математика □ информатика □ химия 6. Номер и/или название школы _________ 7. Вид школы (обычная, лицей, гимназия, центр образования и т.п.) ________________ 8. Ф. И. О. учителей по физике __________________________ по математике ______________________ по информатике _____________________ по химии __________________________ 9. Подробный домашний адрес (с указанием индекса), телефон, e-mail ___________ 10. Имя, отчество и № телефона одного из родителей ____________________________

На конкурс ежегодно приходит более 5 тысяч вступительных работ. Пожалуйста, обратите внимание на правильность заполнения бланка! Будьте аккуратны! На внутреннюю сторону обложки тетради наклейте справку из школы, в которой учитесь, с указанием класса. Для получения ответа на вступительное задание и для отправки вам первых заданий обязательно вложите в тетрадь два одинаковых конверта размером 160 u 230 мм. На каждый конверт наклейте марки на сумму 50 руб. На конвертах четко напишите свой домашний адрес. Тетрадь с выполненными заданиями высылайте на адрес ЗФТШ не позднее 1 марта 2019

54

КВ АН T 2019/№1

года. Проверенные вступительные работы обратно не высылаются. Все присланные в ЗФТШ работы регистрируются. Информацию о получении работ можно увидеть на сайте ЗФТШ в разделе «Вступительные задания». Решение приемной комиссии будет выслано в июле 2019 года.

Вниманию школьников, уже обучающихся на заочном отделении ЗФТШ Если школьник уже обучается в ЗФТШ и хочет добавить на следующий год еще предмет, необходимо выполнить и прислать в ЗФТШ вступительное задание по этому предмету. На бланке обязательно укажите свой личный номер. Учащимся, обучающимся на платформе zftsh.online, для добавления предмета необходимо выполнить вступительное задание по этому предмету на сайте https://zftsh.online/ Решение приемной комиссии в таких случаях не высылается, а дополнительный предмет становится доступным учащемуся в личном кабинете в случае положительного решения приемной комиссии.

Очно-заочное отделение (обучение в факультативных группах) Тел.: (498) 744-63-51, e-mail: fakultativ@mipt.ru Факультативные группы могут быть организованы в любом общеобразовательном учреждении двумя, тремя или четырьмя преподавателями – физики, математики, информатики и химии, в отдельных случаях разрешается обучение по одному предмету. Руководители факультатива принимают в него учащихся, успешно выполнивших вступительное задание ЗФТШ. Группа (не менее 7 человек) принимается в ЗФТШ по заявлению директора на бланке общеобразовательного учреждения (образец можно посмотреть в разделе «очно-заочное отделение» сайта ЗФТШ), в котором должны быть указаны фамилии, имена, отчества руководителей факультативной группы по предметам и поименный алфавитный список обучающихся (Ф.И.О. в алфавитном порядке полностью с указанием класса текущего учебного года и итоговых оценок за вступительное задание по выбранным предметам), адрес, телефон, факс и e-mail школы. Заявление можно выслать обычной почтой, вложив конверт для ответа о приеме в ЗФТШ с обратным адресом одного из руководителей на адрес ЗФТШ (с пометкой «Факультатив»),

или выслать в отсканированном виде (с подписями и печатью) на e-mail: fakultativ@mipt.ru до 25 мая 2019 года на адрес ЗФТШ (с пометкой «Факультатив»). Тетради с работами учащихся проверяются учителями физики, математики, информатики и химии, в ЗФТШ не высылаются. Работа руководителей факультативов может оплачиваться общеобразовательным учреждением как руководство профильными факультативными занятиями по предоставлении ЗФТШ соответствующих сведений. Руководители, работающие с учащимися, будут в течение учебного года получать учебнометодические материалы (программы по физике, математике, химии и информатике, задания по темам программ, решения заданий с краткими рекомендациями по оценке работ учащихся); приглашаться на курсы повышения квалификации учителей физики и математики, проводимые на базе МФТИ. Работы учащихся проверяют и оценивают руководители факультативных групп, а в ЗФТШ ими высылаются ведомости с итоговыми оценками по каждому заданию и итоговая ведомость (11 класс) за год, образец есть на сайте ЗФТШ.

Очное отделение (заочное обучение с посещением очных консультаций) Тел.: (925) 755-55-80, e-mail: zftsh@mail.mipt.ru Для учащихся Москвы и Московской области по программе ЗФТШ работают вечерние консультационные пункты. Набор в них проводится в сентябре в два $этапа:_{i}$ заочный этап – тестирование на сайте $http://zftsh.online/,_{i}$ очный этап – устные экзамены. Более подробная информация о наборе на очное отделение размещается на сайте ЗФТШ в начале сентября. Занятия с учащимися очного отделения проводятся в учебных корпусах МФТИ в городах Долгопрудный и Жуковский.

Контакты ЗФТШ

Почтовый адрес: Институтский пер., д.9, г. Долгопрудный, Московская область, 141700, ЗФТШ Тел./факс: (495) 408-51-45 – заочное отделение, (498) 744-63-51 – очно-заочное отделение, (498) 744-65-83 и (925) 755-55-80 – очное отделение. E-mail: zftsh@mail.mipt.ru – заочное и очное отделения, fakultativ@mipt.ru – очно-заочное отделение.

55

ИНФОРМАЦИЯ

Сайт: www.school.mipt.ru ВК: https://vk.com/club1032617

Очное отделение при ФАЛТ МФТИ в Жуковском E-mail: vftsh@mail.ru ВК: https://vk.com/vftshfalt

УЗФТШ Для школьников Украины работает УЗФТШ при ФТННЦ НАН Украины (обучение платное). Желающим поступить туда следует высылать работы по адресу: 03680, Украина, г. Киев, б-р Вернадского, д. 36, ГСП, УЗФТШ. Тел.: 8(10-38-044) 424-30-25, 8(10-38-044) 422-95-64 E-mail: ftcsch@imp.kiev.ua Сайт УЗФТШ: www.mfti.in.ua

Ниже приводятся вступительные задания по физике, математике, информатике и химии. Номера задач, обязательных для выполнения (для поступления на заочное и очно-заочное отделения), и максимальные баллы приводятся в таблице (номера классов указаны на текущий 2018/19 учебный год):

Вступительные задания

Ф ИЗИ К А

1. Автомобиль ехал шестую часть пути со скоростью $v_{1} 40$ км ч, треть пути – со скоростью $v_{2} 60$ км ч, а оставшуюся поло-

вину пути – со скоростью $v_{3} 100$ км ч. Найдите среднюю скорость автомобиля. 2. U-образная трубка с вертикально расположенными коленами частично заполнена ртутью. В правое колено долили слой масла высотой $H_{1} = 10$ см. Какой высоты слой воды надо долить в левое колено, чтобы ртуть в обоих коленах расположилась на одном горизонтальном уровне? Плотность масла $U_{1} 0,9$ г $см^{3}$, плотность воды $U_{2} 1$ г $см^{3}$. Жидкости не перемешиваются и из трубки не выливаются. 3. Высоко в горах в горном озере на глубине Н = 3 м полное давление равно р = = 100 кПа. Чему равно атмосферное давление вблизи озера? Принять g 10 м $с^{2}$, плотность воды U 1 г $см^{3}. 4.$ Однородная балка длиной l и массой $m_{1} = 200$ кг лежит горизонтально, опираясь концами на две опоры. К балке на расстоянии l 3 от левого конца подвешен груз массой $m_{2} = 300$ кг. С какой силой балка действует на левую опору? 5. Шарик висит на нити. После погружения шарика полностью в воду сила натяжения нити уменьшилась на 13%. Найдите плотность материала шарика. Плотность воды U 1 г $см^{3}. 6.$ В калориметре содержится $m_{1} = = 200$ г воды при температуре $t_{1} 20 q C$. В воду бросили $m_{2} = 30$ г мокрого снега. В калориметре установилась температура T 10 q C. Найдите массу воды в снеге. Удельная теплоемкость воды c 4200 Дж к㠘 К. Удельная теплота плавления льда O 335 кДж кг. 7. Три резистора сопротивлениями R, 5R и 6R соединены последовательно и включены в сеть напряжением U. Идеальный вольтметр, подсоединенный к резистору сопротивлением R, показывает V = = 2 B. Найдите напряжение U. 8. В пустую стеклянную бутылку массой $m_{1} = 600$ г и вместимостью V = 0,8 л наливают $m_{2} = 450$ г воды и опускают в ведро с водой. Бутылка стала плавать, почти полностью погрузившись в воду. Найдите плотность стекла. Плотность воды U 1 г $см^{3}. 9.$ Стальной шарик брошен с балкона вертикально вверх. Через время $t_{1} = 1$ с шарик достиг верхней точки траектории.

58

КВ АН T 2019/№1

автомата:

40 1440 140 1420 2014 1921 4014 214 2119. Приведите возможные примеры таких пятизначных чисел. 8 (2 б.). Определите значения целочисленных переменных a и b после выполнения фрагмента программы: a:=2468; b:=(a mod 1000)*10; a:=a div 1000+b {div и mod – операции, вычисляющие результат деления нацело первого аргумента на второй и остаток от деления соответственно}. 9 (2 б.). Исполнитель Чертежник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии. Чертежник может выполнять команду Сместиться на $(a,^{b)}$ (где a, b – целые числа), перемещающую Чертежника из точки с координатами (x, y) в точку с координатами x a, y b. Если числа a, b положительные, значение соответствующей координаты увеличивается, если отрицательные – уменьшается. Чертежнику был дан для исполнения следующий алгоритм: Повтори 4 раза. Сместиться на (–2, –4). Сместиться на (3, 3). Сместиться на (1, –2). Конец Какую команду надо выполнить Чертежнику, чтобы вернуться в исходную точку, из которой он начал движение? 10 (3 б.). На вход программе подается последовательность натуральных чисел. Признак конца ввода – ноль. Напишите программу, которая находит сумму чисел, которые делятся на 7 и последняя цифра которых равна 3. Числа не превосходят 10000. Массивы не использовать. 11 (2 б.). Какие из перечисленных ниже слов удовлетворяют условию ( ™ последняя буква согласная o первая буква гласная) & третья буква согласная? Ответ надо обосновать. Индюк, кошка, козел, кобыла, корова, обезьяна, слон, собака. 12 (2 б.). Сколько значащих нулей в двоичной записи шестнадцатеричного числа $C2B1,3A_{16}$? Ноль называется значащим, если удаление его из записи числа ведет к изменению значения числа. Приведите решение задачи.

13 (4 б.). Напишите на языке программирования Паскаль или в виде блок-схемы алгоритм, позволяющий вычислить сумму всех делителей введенного натурального числа. 14 (4 б.). Напишите на языке программирования Паскаль или С либо в виде блоксхемы алгоритм, определяющий количество различных корней в обобщенном квадратном уравнении. На вход алгоритму подаются коэффициенты a, b, c, на выходе нужно вывести количество различных корней.

ХИ М ИЯ

1 (3 балла). а) (1 б.) Какие массы 25%-го и 5%-го растворов сульфата магния нужно смешать, чтобы получить 40 г 20%-го раствора? б) (2 б.) Является ли приготовленный раствор насыщенным при 20 q C если растворимость сульфата магния при 20 q C составляет 35,1 г на 100 г воды? Ответ подтвердите расчетами. 2 (5 б.). Газ, полученный при полном термическом разложении 31,6 г перманганата калия, смешали с газом, полученном при взаимодействии 13 г цинка и 50 г раствора серной кислоты с массовой долей кислоты 19,6%. Смесь взорвали. Определите, какой газ оказался в избытке, и рассчитайте его объем в пересчете на н.у. 3 (10 б.). Даны вещества: раствор гидроксида калия, оксид алюминия, соляная кислота, карбонат натрия кристаллический, углекислый газ, вода. Напишите уравнения не менее десяти возможных реакций между ними. 4 (4 б.). Осуществите цепочку превращений:

+NaOH +NaOH $Cr 2 SO 4_{3}$  o A  o B o

+H 2 SO 4 +H 2 SO 4  o A  $o Cr_{2} SO_{4} 3$.

5 (4 б.). Смешали 140 г 20%-го раствора гидроксида натрия и 294 г 10%-го раствора ортофосфорной кислоты. Вычислите массовые доли веществ в растворе после реакции. 6 (4 б.). Цинк полностью растворили в концентрированном растворе гидроксида калия. Образовавшийся прозрачный раствор выпарили, а затем прокалили. Твердый остаток растворили в необходимом количестве