Квант 2019, №5 · Страницы

3

Д.И.МЕНДЕЛЕЕВ И ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЭЛЕМЕНТОВ

знание атомных весов и наличие нескольких возможных валентностей у многих элементов. Периодичность по строкам и столбцам нарушалась. Но сама идея поисков периодичности при расположения элементов по строкам и столбцам была здравой и многообещающей. На родине Мейера, в городке Фарель в Нижней Саксонии, неподалеку от устья Эльбы установлен мемориал с тремя скульптурными портретами – Мейера, Менделеева и Канницаро. Английский химик Д.Ньюлендс тоже подметил некоторую закономерность в списке элементов. Он назвал эту закономерность «правилом октав». В начале списка Канницаро валентности повторялись через каждые шесть элементов, 2-й, 9-й и 16-й элементы имели валентность 1, а 3-й, 10-й и 16-й элементы имели валентность 2.Это походило на музыкальную октаву, в которой между тонами «до» расположено шесть других основных тонов. Правда, после кальция, занимавшего 17-е место в списке, это правило теряло свою обязательность. Опубликованная в 1865 году работа Ньюлендса не вызвала, однако, интереса у химиков и даже подверглась насмешкам на заседании Лондонского химического общества. Таким образом, у истоков создания периодической системы стояли четыре человека, однако создателем периодической системы элементов признан российский химик. Так что же сделал Д.И.Менделеев? Прежде всего, он руководствовался списком не из 28 элементов (Мейер) и не из 40 элементов (Канницаро), а из 67 элементов, смело оставив в этом списке места для трех, совершенно неизвестных в то время элементов, по его мнению обязанных находиться в определенных местах таблицы согласно их возможной валентности и возможному атомному весу. Это означает, что для самого автора периодичность уже была установленным законом, хотя он и озаглавил свою таблицу «опытом». В этом сказалась методологическая (философская) убежденность Менделеева в существовании цикличности в глобальных законах природы.

«Опыт системы элементов» (1869 г.)

В первом варианте своей таблицы Менделеев, в отличие от Мейера, элементы с одинаковой валентностью располагал не по вертикали (в столбах), а по горизонтали (в строках). Это не меняло сути дела, и уже во втором варианте таблицы в 1870 году он повернул таблицу на 90 градусов, и она приняла более привычный нам вид. Номера столбцов стали соответствовать «главным» валентностям элемента (с первого по седьмой) и называться группами, а строки получили название периодов, в которых содержалось либо 7, либо 17 элементов. Отличие от современных значений – 8 групп (или 18, как принято в наиболее современных вариантах периодической системы) и по 8 или 18 элементов в периоде – обусловлено тем, что в то время еще совершенно не были известны элементы, называемые сегодня благород-

4

КВАНТ 2019/№5

ными (инертными) газами. Только за 4 месяца до открытия Менделеева появились первые сообщения о гипотетическом солнечном газе, а на Земле гелий был открыт лишь через 27 лет после этого. И уже впоследствии состоялось открытие других благородных газов. Очень важным было то, что менделеевская таблица предсказала существование нескольких неизвестных тогда химических элементов, которые Менделеев назвал эка-алюминием, эка-кремнием и эка-бором. Через 6 лет после работы Менделеева французским химиком Лекоком де Буабодраном был открыт элемент, названный галлием. И хотя интересы Менделеева в это время уже сместились в другие области науки, он продолжал следить за научными публикациями по химии. Прочитав об открытии галлия, он тут же узнал в нем свой предугаданный эка-алюминий. Сообщение Менделеева об этом в письме французскому химику произвело настоящую сенсацию среди ученых. Тем более, что предсказания Менделеева о плотности и атомном весе этого элемента оказались даже более точными, чем первоначально опубликованные опытные данные. В десятках европейских лабораториях химики стали лихорадочно искать остальные предсказанные Менделеевым элементы и проверять у известных элементов сомнительные атомные веса и химические свойства. И уже через год шведский химик Ларс Нильсон открыл элемент, полностью соответствующий описанному Менделеевым эка-бору. Он назвал его в честь своей родины скандием. При жизни Менделеева был открыт элемент германий (эка-кремний) и началось открытие семейства благородных газов. Опубликованная Менделеевым в очередном издании своих «Основ химии» в 1905 году таблица периодической системы уже гораздо больше походила на современную. Окончательно эта таблица получила современный вид после работ по анализу рентгеновских спектров элементов Генри Мозли (1913 г.). Мозли понял, что не только валентность, определяемая числом электронов во внешней электрон-

Периодическая таблица элементов (1905 г.) ной оболочке атома, определяет положение элемента в той или иной группе. Большую роль играют и спектры, связанные с электронными переходами во внутренних оболочках (К-, L- и М-электронных оболочках). Гораздо резче, чем в оптических спектрах, в рентгеновских спектрах проявляется номер элемента в периодической системе. Сегодня мы знаем, что это и есть зарядовое число атомного ядра элемента. Это позволило Мозли уточнить расположение в периодической таблице многих редкоземельных элементов и предсказать, в свою очередь, открытие ряда тогда еще неизвестных элементов. И в наше время, когда на мощных ускорителях в нескольких мировых научных центрах (и прежде всего в Объединенном институте ядерных исследований в подмосковной Дубне) открыто уже 26 трансурановых элементов, каждый из них занимает положенную ему «клеточку» в периодической системе согласно атомному весу и строению электронных оболочек, определяемому по рентгеновским спектрам.

5

Д.И.МЕНДЕЛЕЕВ И ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЭЛЕМЕНТОВ

Очередным триумфом менделеевской таблицы стало открытие 118-го элемента, который занял место в группе благородных газов. И он получил имя, которое оканчивается не на «-ий», как у всех других трансурановых элементов, а на «-он», как это и положено всем элементам восьмой группы, кроме гелия. Имя это – «оганесон» – дано в 2018 году международным комитетом в честь руководителя работ в Дубне академика РАН Ю.Ц.Оганесяна. Второй раз элементу присвоено имя в честь здравствующего ученого (первым был американский физик Гленн Сиборг, определивший в 1941 году нептуний и плутоний). Среди названий трансурановых элементов 2 астрономических, 9 географических, а 15 названы в честь ученых. Так, 99-й элемент – это эйнштейний, 100-й – фермий, а 101-й элемент заслуженно носит имя «менделевий». Не подлежит сомнению и роль Менделеевской таблицы в открытии элементов радия и полония, за что Мария Склодовская-Кюри в 1911 году получила вторую Нобелевскую премию, на этот раз – по химии. Но наибольший триумф периодической системы – это ее теоретическое обоснование, сделанное в 1926 году Вольфгангом Паули на основе только что созданного тогда матричного представления квантовой механики. Это обоснование стало одним из первых доказательств справедливости квантовой механики, этого, по мнению многих ученых, величайшего достижения науки в ХХ веке.

Дмитрий Иванович Менделеев родился 27 января (8 февраля) 1834 года в Тобольске в семье директора гимназии и попечителя народных училищ Тобольской губернии Ивана Павловича Менделеева и Марии Дмитриевны Менделеевой, урожденной Кориильевой. В семье было 14 детей, но восемь из них умерли в младенчестве. Дмитрий был младшим сыном, «последышем», как он сам себя называл впоследствии. Иван Павлович вскоре после рождения младшего сына ослеп и, хоть зрение ему частично смогли восстановить московские хирурги, к работе он вернуться не

смог и скончался, когда сыну было чуть больше 10 лет. Воспитанием будущего ученого занималась его мать, происходившая из старинного сибирского рода купцов и промышленников. Она самостоятельно прошла полный гимназический курс и сыграла особую роль в жизни семьи, фактически став главным семейным педагогом. Мария Дмитриевна быстро поняла, что ее младший сын имеет выдающиеся способности, хотя в гимназии он увлекался математикой и физикой, а к гуманитарным предметам не испытывал интереса. Способности мальчика и его трудолюбие позволили ему закончить гимназический курс в 15 лет. Через год Мария Дмитриевна распродала имущество и отправилась с семьей сначала в Москву, а потом в Петербург, где тогда достаточно высоким был уровень естественно-научного образования, к которому стремился всей душой ее сын. Ей удается обеспечить досрочное (по возрасту) поступление сына в институт, а через год она умирает. В предисловии к одной из первых научных работ Дмитрий Менделеев пишет: «Это исследование посвящено памяти матери ее последышем. Она смогла его вырастить своим трудом и любовью, воспитывая примером, и, чтобы отдать науке выходца из Сибири, тратила последние средства и силы. Умирая, завещала: избегать самообольщения, настаивать в труде, а не в словах, терпеливо объяснять научную правду, ибо понимала, как при помощи науки, без насилия, любовно, но твердо устраняются предрассудки и ошибки и достигается свобода дальнейшего развития, общее благо и внутреннее благополучие. Заветы матери считаю священными». В 21 год Менделеев закончил физикоматематический факультет Главного педагогического института в Петербурге с золотой медалью и титулом «старший учитель». Два года он работал сначала в Симферополе, а потом в Одессе в гимназии при Ришельевском лицее преподавателем физики, математики и естественных наук. За это время он подготовил и с блеском защитил в Петербургском университете магистерскую диссертацию по хи-

6

КВАНТ 2019/№5

мической проблеме и стал приват-доцентом этого университета. В России тогда наступало новое время – эпоха отмены крепостного права, эпоха преобразований и организация регионального (земского) управления. Правительство Александра II понимало необходимость для этого подготовки просвещенных управленческих кадров, а значит, и развития образования и науки. Резкое увеличение финансирования университетов позволило Менделееву стать стипендиатом двухгодичной стажировки в научные учреждения Германии. За границей Менделеев не только изучал новейшие достижения химической науки и технологии. Он смог получить средства для создания лаборатории, в которой изучал физико-химические свойства газов и жидкостей, в частности зависимость температуры кипения жидкостей от давления и свойств насыщенного пара. Менделеев показал, что выше некоторой температуры ни при каком давлении не существует длительного процесса кипения жидкости и, соответственно, не существует явления постепенного сжижения газа. При некоторых температуре и давлении происходит одномоментное сгущение газа или расширение жидкости. Эти параметры впоследствии были названы «критическими», а само состояние вещества при этом – «критическим состоянием». Оказалось, что получение сжиженного газа с помощью сжатия возможно лишь при температуре ниже критической. Открытие Менделеева легло в основу всех будущих технологий получения сжиженных газов. Во время своей стажировки в Германии Менделеев только начал эти работы. Вернувшись в Россию, он не смог найти подходящее место и финансирование для продолжения работ по сжижению газов. Ведь он формально (по диссертации) был химик, но в химической науке еще не успел проявить себя должным образом. И Менделеев принимает решение отложить на время свои научные занятия. На основе своего обширного знания химии он создает остро необходимый тогда учебник «Органическая химия», а также переводит и

издает немецкий учебник «Химическая технология». Эти издания принесли Д.И.Менделееву известность в научных кругах. А полученная за них академическая Демидовская премия обеспечила некоторое материальное благополучие. Эта премия, между прочим, существует под несколько измененным названием и в наше время и присуждается за выдающиеся научные достижения. Среди недавних лауреатов этой премии такие выдающиеся ученые, как физики Ж.И.Алферов и В.А.Рубаков, математики Л.Д.Фаддеев и Б.В.Раушенбах, историк В.Л.Янин, биологи А.А.Баев и А.С.Спирин, химик И.И.Моисеев. Демидовская премия позволила Менделееву совершить путешествие по Европе вместе с молодой женой, Феозвой Никитичной Лещевой, его землячкой по Тобольску, падчерицей знаменитого тобольчанина (или «тоболяка», как больше нравится жителям этого города) Петра Павловича Ершова, официального автора «Конька-горбунка». Свое свадебное путешествие Менделеев вовсю использовал для общения с европейскими химиками и изучения всех новинок химической науки. По возвращении из европейской поездки Менделеев получил место штатного доцента органической химии Петербургского университета и одновременно профессорскую должность в Петербургском технологическом институте. Через два года после защиты докторской диссертации Менделеев становится профессором Петербургского университета по кафедре технической химии. В это время возникла острая необходимость создать новый учебник по неорганической химии, который бы отражал новейшие достижения бурно развивавшейся химической науки. Эта идея захватила Менделеева. Но в каком порядке излагать описания и химические свойства элементов? Ведь они так разнообразны. Хорошо изучив свойства всех известных тогда элементов, Менделеев составил картотеку и все время мысленно тасовал эту «колоду», пытаясь найти закономерности расположения элементов. Он знал о по-

7

Д.И.МЕНДЕЛЕЕВ И ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЭЛЕМЕНТОВ

добных попытках европейских химиков, но долгое время у него, как и у них, ничего не выходило. Получила распространение легенда, что решение проблемы пришло к нему во сне. Эту легенду сам Менделеев и создал, живописно описывая, как однажды после бессонной ночи ему в полусне явилось единственно возможное расположение элементов и он тут же записал его на первом попавшемся клочке бумаги. Психологи считают, что это был не сон, а промежуточное состояние между сном и бодрствованием, в котором мозг работает с особой активностью. Менделеев при этом добавлял, что ничего не видит в этом особенного, поскольку долгое время он непрерывно думал об этом, прежде чем решиться на окончательный вариант таблицы, где были вакантные места и где он смело изменял известные тогда атомные веса некоторых элементов, чтобы они заняли соответствующие места в строках и столбцах таблицы. Так, например, несмотря на то, что атомный вес элемента урана тогда считался равным всего лишь 60 условных единиц, Менделеев «присваивает» урану значение атомного веса в 4 раза большее (как оно и оказалось на самом деле) и помещает уран в то самое место таблицы, где он и должен находиться. Законный триумф и мировое признание, особенно после открытия предсказанных им элементов, не помешали Менделееву продолжать активно работать. Но его научные интересы сместились в другие области. Он вновь занялся изучением поведения газов при различных давлениях и для не очень высоких давлений переосмыслил открытый в 1834 году французским инженером и физиком Полем Клапейроном закон и ввел понятие универсальной газовой постоянной. С тех пор этот закон носит имя Менделеева–Клапейрона и называется уравнением состояния идеального газа. Но на этом Менделеев не успокоился и стал исследовать отклонения от этого закона. Он ввел понятие «реальные газы» и качественно описал отклонения поведения этих газов от «идеальности». Велики заслуги Менделеева в физической химии, химической технологии и смеж-

ных отраслях техники. Вот только некоторые из них: создание безопасного способа получения одного из вариантов бездымного (пироксилинового) пороха, обеспечившее широкое распространение его в мире («менделеевский» порох); разработка теории растворов, в частности определение наиболее оптимального соотношения компонентов в смеси различных жидкостей; изучение поверхностного натяжения жидкостей и доказательство его исчезновения в критическом состоянии вещества; исследование состава нефти и доказательство ее как биогенного, так и абиогенного происхождения; обоснование значения многих составляющих нефти как ценных химических продуктов и разработка методов извлечения из нефти этих продуктов (знаменитая фраза: «сжигать нефть – это все равно, что топить печку ассигнациями»). К этому впечатляющему «химическому» перечню можно добавить целый ряд других интересов и достижений Д.И.Менделеева. Например, метрологические исследования, руководство созданной им российской «Палатой мер и весов»; метеорологические исследования, изучение земной атмосферы и солнечной короны; участие в создании первых в мире ледоколов для освоения Арктики; написание 25 статей по проблемам промышленной экологии в энциклопедическом словаре Брокгауза и Эфрона. Но одно из менделеевских увлечений выделяется из общего ряда. Для полноценных наблюдений за солнечной короной во время полного солнечного затмения летом 1887 года Менделеев разрабатывает проект стратостата, равного которому тогда в мире не существовало (диаметром 20 м и объемом больше $3000 м^{2} ).$ Он делает это совместно с изобретателем и воздухоплавателем С.К.Джевецким. Вместе с Менделеевым должен был лететь пилот-аэронавт. Но когда выясняется, что в неожиданно наставшую дождливую погоду шар не сможет поднять двух человек, Менделеев решает, что он полетит один, и после необходимого инструктажа об управлении шаром поднимается в воздух. К сожалению, и на высоте солнце осталось

8

КВАНТ 2019/№5

скрытым за облаками и пришлось довольствоваться только изучением свойств земной атмосферы на различных высотах. При этом из-за отказа клапана шар поднялся выше облаков на незапланированную высоту 3,5 километра, но, увы, затмение уже закончилось. Менделеев сумел исправить клапан и благополучно приземлиться на расстоянии 100 километров от точки старта. Этот штрих менделеевской биографии иллюстрирует его необычайную смелость, проявившуюся не только в подвиге создания периодической таблицы. Менделеев был смел и принципиален во всех своих делах, в том числе и в отношениях с «властями предержащими». В конце ХIХ века в России властями стала проводиться политика «укрепления дисциплины и правопорядка» в обществе и прежде всего в университетах, где студенческая молодежь стала стремиться к реформам образования. Менделеев несколько раз обращался в «инстанции», заступаясь за исключаемых из университета «бунтовщиков». Результатом стало его увольнение из университета и отставка из почти всех комиссий, в которых он деятельно участвовал. Два раза Менделееву было отказано в избрании членом Российской академии наук, хотя он был уже членом нескольких десятков престижных академий и научных обществ всего мира. Дважды правительство настояло на отзыве представлений Менделеева на награждение Нобелевской премией, сделанных видными российскими химиками. И это, безусловно, повлияло на нобелевский комитет, так и не удостоивший Менделеева этой награды, к недоумению всего мирового химического сообщества. Важное место в жизни Менделеева в то время занимали еженедельные вечера, где собирались коллеги и друзья, в том числе художники И.Е.Репин, А.И.Куинджи, И.И.Шишкин и другие передвижники. В этом салоне непринужденно обсуждались все события научной и политической жизни общества. Жена Менделеева демонстративно не принимала участия в этих встречах. Семейные отношения станови-

лись все более сложными и безысходными. В конце 1876 года 42-летний Менделеев на одном из своих салонных вечеров знакомится с 16-летней Анной Ивановной Поповой (1860–1942). Молодая девушка выбрала необычную для того времени судьбу. Выросши в старозаветной семье донского казацкого атамана, она каким-то образом восприняла передовые идеи нарождавшейся русской интеллигенции, выбрав для себя путь просвещения народа. Тайно от отца (но с материнского благословления) она уехала в столицу, чтобы учиться на женских курсах (прообразе знаменитых «бестужевских курсов» – первого женского университета России). Она училась живописи, была принята в менделеевском салоне, чувствовала себя в нем свободно и непринужденно и, конечно, не могла не обратить внимания на его главу – знаменитого химика. И ни всемирная слава Менделеева, ни 26-летняя разница в возрасте не помешали ей наряду с безмерным уважением почувствовать любовь. А Дмитрий Иванович не мог не интересоваться Анечкой, как ее стали называть в салоне. Не желая быть причиной разрушения семьи, Аня «сбежала» в Италию. Узнав об отъезде, Менделеев бросил все и уехал вслед за Анной. Через месяц они возвратились вместе. После развода с первой женой жизнь Менделеева резко изменилась. Анна Ивановна была внимательной и заботливой женой и разделяла все взгляды своего мужа. В этом браке родилось четверо детей. Неподалеку от загородного подмосковного дома Менделеева была деревня Шахматово, где в летнее время жила семья дочери ректора Петербургского университета ботаника А.Н.Бекетова большого друга Д.И.Менделеева. И там познакомились старшая дочь Менделеева Любовь Дмитриевна и внук Бекетова, Александр Александрович Блок, будущий великий русский поэт. Они стали мужем и женой. В биографии многих знаменитых людей вплетаются и анекдотические истории. Присутствуют они и в биографии Менделеева. О легенде открытия, сделанного во сне, уже упоминалось. Другая притча о Менде-

9

Д.И.МЕНДЕЛЕЕВ И ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЭЛЕМЕНТОВ

лееве – об изобретении им, якобы, русской сорокаградусной водки. На самом деле введение государственного акциза на водку произошло еще в 1844 году, когда Менделееву не исполнилось и десяти лет. Впоследствии Менделеев много занимался теорией растворов. Этому была посвящена его докторская диссертация, в которой он установил, что существует некоторое оптимальное соотношение смешивания различных жидкостей, при котором плотность смеси максимальна. Но для этилового спирта и воды это было вовсе не 40%, а совершенно другая величина – две части спирта на одну часть воды, что безусловно не годилось для народного алкогольного продукта. А во Франции именно это соотношение было принято, на основе работ Менделеева, для французского абсента – смеси этилового спирта с настойкой из 14 трав. Но вот рассказы о Менделееве, как об известном мастере чемоданного дела, имели реальное основание. Еще в самом начале своей педагогической деятельности в Симферополе и Одессе его материальное положение было весьма тяжелым. И Менделеев нашел способ его поправить. Он изобрел особый лак, который делал фибровую основу чемодана очень прочной и в то же время легкой. Но кроме этого такой чемодан выглядел как очень дорогое кожаное изделие. Впоследствии это умение стало «хобби» ученого. Он с удовольствием отдыхал, делая чемоданы и раздаривая их знакомым. Однако самым хорошим отдыхом для Дмитрия Ивановича были шахматы. На своих домашних вечерах он большую часть времени проводил за шахматной доской, что не мешало ему участвовать в интересных беседах. А игроком он был очень сильным. Невозможно охарактеризовать деятельность Дмитрия Ивановича Менделеева и его достижения одним, даже самым емким определением. Химик Л.А.Чугаев в 1907 году написал о Менделееве так: «Знаменитый химик, первоклассный физик, плодотворный исследователь в области термодинамики, гидродинамики,

Портрет Д.И.Менделеева в мантии доктора права Эдинбургского университета, написанный И.Е.Репиным (1885 г.) метеорологии, геологии, в различных отделах химической технологии и других сопредельных с химией дисциплин, глубокий знаток химической промышленности и промышленности вообще, особенно русской, оригинальный мыслитель в области учения о народном хозяйстве, государственный ум, которому, к сожалению, не суждено было стать государственным человеком, но который видел и понимал задачи и будущность России лучше представителей нашей официальной власти». Дмитрий Иванович работал до последнего дня. Он скончался от воспаления легких 20 января 1907 года. Память о Менделееве сохраняется в названиях городов и поселков, многих географических и астрономических объектов и в многочисленных памятниках. А на мемориальном камне его могилы на Волковом кладбище Санкт-Петербурга достаточными оказались всего лишь три слова «Дмитрий Иванович Менделеев».

«КВАНТ» Д Л Я МЛ АДШИХ ШКО Л ЬНИКОВ

Задачи

Какое наименьшее количество спичек надо переложить, чтобы получить число, которое является полным квадратом? С.Костин

2. У одноклассниц Маши и Светы

3. Нарисуйте такую четырехзвенную ломаную, чтобы ее вершины не совпадали с вершинами данного треугольника и чтобы она через каждую из вершин треугольника проходила дважды. Д. Трущин

одинаковое количество тетрадей. Они купили одинаковые наборы наклеек с котиками. Маша наклеила на 7 тетрадей по одному котику, а на остальные

Антон, Боря и Вова участвовали в велопробеге по шоссе Каргополь- Медвежьегорск. Они стартовали в разное время, и каждый ехал с постоянной скоростью: Антон – быстрее Бори, а Боря – быстрее Вовы. В неко-

– по 7 котиков. Света наклеила на 11 тетрадей по одному котику, а на остальные – по 11 котиков. Сколько котиков было в наборе, если каждая девочка израсходовала весь набор? Фольклор торых точках шоссе были установлены видеокамеры. Каждая из них фиксировала порядок прохождения участниками этой точки. Оказалось, что любой порядок, в котором могли проехать Антон, Боря и Вова, был реализован в какой-то из точек. Известно, что кто-то один из троих падал. Кто именно? М.Хачатурян, Н.Медведь

Задачи 2–4 предлагались на XVII Московской устной олимпиаде по математике для 6–7 классов.

Иллюстрации Д.Гришуковой

1. Из спичек сложено число 1828.

40

КВА НT 2019/№5

Если же отрезки разного цвета, то их разделяет линия сетки – допустим, горизонтальная (см. пример на рисунке 6,д). Тогда отрезок с номером t переместился в верхнюю строку прямоугольника m u n, а отрезок t + 1 – в нижнюю, но в следующий столбец. Стороны прямоугольника m u n нечетные, поэтому верхняя строка раскрашена так же, как нижняя. А значит, отрезки с номерами t и t + 1 будут разного цвета. Итак, соседние отрезки одного цвета переходят на клетки одного цвета, а соседние отрезки разного цвета – на клетки разных цветов. Значит, все красные отрезки лежат в клетках одного цвета, а синие – в клетках другого. У прямоугольника m u n стороны нечетные, поэтому количество черных и белых клеток в шахматной раскраске отличается на 1. Тогда и количество синих и красных отрезков отличается на 1, что и требовалось доказать.

Задачи для самостоятельного решения

1. Как вы думаете, почему вершины квадратов сетки называют узлами? 2. Сколько чисел от 1 до 300 делятся на 5 или на 6? 3. Сколько из чисел a, 2a, 3a, …, ba делятся на b? 4 (к задаче 4). Сколько раз шар ударится о стенку AB до попадания в лузу?

5 (к задаче 4). Попадет ли шар в лузу, если выпустить его из вершины под углом 30q к стороне квадрата? 6. Дан прямоугольный бильярд со сторонами 1 и 2. Из его угла под углом 45q к стороне выпущен шар. Попадет ли он когда-нибудь в лузу? 7. В прямоугольном бильярде размером p u 2 q, где p и q – нечетные числа, сделаны лузы в каждом углу и в середине каждой стороны длины 2q. Из угла выпущен шарик под углом 45q к стороне. Докажите, что шарик обязательно попадет в одну из средних луз. 8. Параллелепипед a u b u c разбит на единичные кубики. Сколько точек на диагонали параллелепипеда являются вершинами кубиков? 9 (Д.Фомин, пример к утверждению задачи М1232). Хозяйка испекла для гостей пирог. За столом может оказаться либо p человек, либо q. Докажите, что хозяйка может заранее разрезать пирог на p q НОД p, q кусков так, чтобы в любом случае его можно было раздать поровну. 10 (А.Толпыго, устный тур Турнира городов, 2016 г.). Прямоугольник p u q, где p, q – натуральные взаимно простые числа, p < q, разбит на единичные квадратики. Из левого нижнего угла прямоугольника в его правый верхний угол проведена диагональ. Она отсекает треугольники от некоторых квадратиков. Найдите суммарный периметр всех этих треугольников.

ИТОГИ КОНКУРСА ИМЕНИ А.П.САВИНА 2018/19 УЧЕБНОГО ГОДА

ПОБЕДИТЕЛИ Лучших результатов добились школьники: Бирюлин Алексей – Москва, Курчатовская школа, 6 кл., Дренчева Мария – Болгария, София, Софийская математическая гимназия, 7 кл. и команда математической группы Центра «Успех» Гатчинского муниципального района Ленинградской области (руководитель Павлов Сергей Павлович): Маточинская Варвара – Гатчина, лицей 3, 7 кл., Тюков Даниил – Пригородная школа, 8 кл., Еронин Валерий – Сиверская гимназия, 8 кл., Дзюба Сергей – Гатчина, лицей 3, 8 кл., Кашенко Юлия – Гатчина, лицей 3, 9 кл., Кудяков Макар – Гатчина, лицей 3, 8 кл., Еремеев Семён – Гатчина, лицей 3, 9 кл.

ПРИЗЕРЫ Жюри конкурса также отмечает хорошие работы следующих школьников: Коноплев Максим – Москва, школа 1329, 8 кл., Крвавич Адриан – Великобритания, Лондон, Уимблдонский колледж, 8 кл., Линник Елена – Украина, Харьков, ХУВК 45 «Академическая гимназия», 10 кл., Саначев Иван – Москва, школа 1583, 3 кл.

Поздравляем! Победителям и призерам будут высланы дипломы журнала «Квант» и призы от издательства МЦНМО. Кроме того, призы также получат наиболее активные участники конкурса.

ОЛИМПИАДЫ

XL Турнир городов

ЗАДАЧИ ВЕСЕННЕГО ТУРА

Базовый вариант

8–9 классы

$1. (3)^{1}$ В ряд выписаны несколько натуральных чисел с суммой 20. Никакое число и никакая сумма нескольких подряд записанных чисел не равны 3. Могло ли быть выписано больше 10 чисел? А.Шаповалов

2. (4) По кругу лежат 2n + 1 монет орлом вверх. Двигаясь по часовой стрелке, делают 2n + 1 переворотов: переворачивают какуюто монету, одну монету пропускают и переворачивают следующую, две монеты пропускают и переворачивают следующую, три монеты пропускают и переворачивают следующую и т.д., наконец, пропускают 2n монет и переворачивают следующую. Докажите, что теперь ровно одна монета лежит решкой вверх. В.Расторгуев

3. (4) Произведение натуральных чисел m и n делится на их сумму. Докажите, что $m n d n^{2}$. Б.Френкин

4. (5) В прямоугольник ABCD вписывают равнобедренные треугольники с заданным углом D при вершине, противолежащей основанию, так, что эта вершина лежит на отрезке BC, а концы основания – на отрезках AB и CD. Докажите, что середины оснований у всех таких треугольников совпадают. И.Жижилкин

5. (5) Фокусник с помощником показывают фокус. В ряд стоят 12 закрытых пустых шкатулок. Фокусник уходит, а зритель на виду у помощника прячет по монетке в любые две шкатулки по своему выбору. Затем возвращается фокусник. Помощник

1 В скобках после номера задачи указано число баллов, присуждавшихся за ее полное решение. Итог подводился по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты (баллы за пункты одной задачи суммируются).

открывает одну шкатулку, в которой нет монетки. Далее фокусник указывает на 4 шкатулки, и их одновременно открывают. Цель фокусника – открыть обе шкатулки с монетками. Предложите способ, как договориться фокуснику с помощником, чтобы этот фокус всегда удавался. К.Кноп

10–11 классы

1. (4) Расстояния от некоторой точки внутри правильного шестиугольника до трех его последовательных вершин равны 1, 1 и 2 соответственно. Чему равна сторона этого шестиугольника? М.Евдокимов

2. (4) Натуральные числа a и b таковы, что $a^{n} 1 b^{n} 1$ делится на $a^{n} b^{n}$ для бесконечного множества различных натуральных n. Обязательно ли тогда a = b? Б.Френкин

3. (4) Докажите, что любой треугольник можно разрезать на 2019 четырехугольников, каждый из которых одновременно вписанный и описанный. Н.Седракян

4. (5) См. задачу 5 для 8–9 классов, только теперь в ряд стоят 13 закрытых пустых шкатулок. 5. (5) В ряд выписаны несколько натуральных чисел с суммой 2019. Никакое число и никакая сумма нескольких подряд записанных чисел не равны 40. Какое наибольшее количество чисел могло быть выписано? А.Шаповалов

Сложный вариант

8–9 классы

1. (5) Король вызвал двух мудрецов и объявил им задание: первый задумывает 7 различных натуральных чисел с суммой 100, тайно сообщает их королю, а второму мудрецу называет лишь четвертое по величине из этих чисел, после чего второй должен отгадать задуманные числа. У мудрецов нет возможности сговориться. Могут ли муд-

46

КВ А НT 2019/№5

рецы гарантированно справиться с заданием? М.Евдокимов

2. (7) См. задачу М2558 «Задачника «Кванта».

3. (7) См. задачу М2559а «Задачника «Кванта».

4. (8) Каждый отрезок с концами в вершинах правильного 100-угольника покрасили – в красный цвет, если между его концами четное число вершин, и в синий в противном случае (в частности, все стороны 100-угольника красные). В вершинах расставили числа, сумма квадратов которых равна 1, а на отрезках – произведения чисел в концах. Затем из суммы чисел на красных отрезках вычли сумму чисел на синих. Какое наибольшее число могло получиться? И.Богданов

5. (9) В клетках квадратной таблицы $n u n, где^{n}$! 1, требуется расставить различные целые числа от $1 до^{n} 2$ так, чтобы каждые два последовательных числа оказались в соседних по стороне клетках, а каждые два числа, дающие одинаковые остатки при делении на n, оказались в разных строках и в разных столбцах. При каких n это возможно? А.Грибалко

6. (9) Внутри равнобедренного треугольника ABC отмечена точка K так, что CK = = AB = BC и угол KAC равен 30q. Найдите угол AKB. Е.Бакаев

7. (12) Есть 100 кучек по 400 камней в каждой. За ход Петя выбирает две кучки, удаляет из них по одному камню и получает за это столько очков, каков теперь модуль разности числа камней в этих двух кучках. Петя должен удалить все камни. Какое наибольшее суммарное количество очков он может при этом получить? М.Дидин

Докажите, что существует такая цифра, что если ее впечатать в отмеченный промежуток любое число раз, то получится число, делящееся на 7. А.Галочкин

2. (6) См. задачу М2558 «Задачника «Кванта».

3. (7) См. задачу М2559б «Задачника «Кванта».

4. (8) См. задачу 5 сложного варианта для 8–9 классов.

5. Ортогональной проекцией тетраэдра на плоскость одной из его граней является трапеция площади 1. а) (4) Может ли ортогональной проекцией этого тетраэдра на плоскость другой его грани быть квадрат площади 1? б) (4) А квадрат площади 1 2019? М.Евдокимов

6. (8) Петя и Вася играют в игру. Для каждых пяти различных переменных из набора $x_{1}$, … $, x_{10}$ имеется единственная карточка, на которой записано их произведение. Петя и Вася по очереди берут по карточке, начинает Петя. По правилам игры, когда все карточки разобраны, Вася присваивает переменным значения как хочет, но так, что $0 d x_{1} d$ … $d x_{10}$. Может ли Вася гарантированно добиться того, чтобы сумма произведений на его карточках была больше, чем у Пети? И.Богданов

7. (12) См. задачу М2561 «Задачника «Кванта».

УСТНЫЙ ТУР ДЛЯ 11 КЛАССА

10–11 классы

1. В таблице n u n стоят все целые числа от $1 до^{n} 2$, по одному в клетке. В каждой строке числа возрастают слева направо, в каждом столбце – снизу вверх. Докажите, что наименьшая возможная сумма чисел на главной диагонали, идущей сверху слева вниз направо, равна $1^{2} 2^{2}$ … $n^{2}$. Б.Френкин

2. (5) На экране компьютера напечатано некоторое натуральное число, делящееся на 7, и отмечен курсором промежуток между какими-то двумя его соседними цифрами.

3. Луноход ездит по поверхности планеты, имеющей форму шара с длиной экватора 400 км. Планета считается полностью исследованной, если луноход побывал на

47

ОЛИМПИАДЫ

расстоянии по поверхности не более 50 км от каждой точки поверхности и вернулся на базу (в исходную точку). Может ли луноход полностью исследовать планету, преодолев не более 600 км? М.Евдокимов

2 xy yz zx. Докажите, что x, y и z – квадраты натуральных чисел. Ю.Маркелов

5. См. задачу М2560 «Задачника «Кванта».

6. Можно ли замостить плоскость параболами, среди которых нет равных? (Требуется, чтобы каждая точка плоскости принадлежала ровно одной параболе и чтобы ни одна парабола не переводилась ни в какую другую параболу движением.) А.Лопатников

7. Внутри треугольника ABC на биссектрисе угла A выбрана произвольная точка J. Лучи BJ и CJ пересекают стороны AC и AB в точках K и L соответственно. Касательная к описанной окружности треугольника AKL в точке A пересекает прямую BC в точке P. Докажите, что PA = PJ. П.Кожевников, А.Кузнецов

8. Про натуральные числа x, y и z известно, что НОД x, y, z 1 и $x^{2} y^{2} z^{2}$

Публикацию подготовили С.Дориченко, Л.Медников

LXXXII Московская математическая олимпиада

6 класс

$1 [4]^{1}, 2$ [5], 3 [6], 4 [6]. См. задачи 1, 2, 3, 4 раздела «Квант» для младших школьников» в «Кванте» №3.

5 [8]. Вокруг круглого озера через равные промежутки растут 2019 деревьев: 1009 сосен и 1010 елок. Докажите, что обязательно найдется дерево, рядом с которым растет сосна и с другой стороны от которого через одно дерево тоже растет сосна. Е.Бакаев

4 [6]. Имеются три кучки по 40 камней. Петя и Вася ходят по очереди, начинает Петя. За ход надо объединить две кучки, после чего разделить эти камни на четыре кучки. Кто не может сделать ход – проиграл. Кто из играющих (Петя или Вася) может выиграть, как бы ни играл соперник? А.Шаповалов

5 [9]. См. задачу 4 раздела «Квант» для младших школьников» в «Кванте» №4.

6 [8]. Каждая грань куба 6 u 6 u 6 разбита на клетки 1 u 1. Куб оклеили квадратами 2 u 2 так, что каждый квадрат накрывает ровно четыре клетки, никакие квадраты не совпадают и каждая клетка накрыта одинаковым числом квадратов. Какое наибольшее значение может принимать это одинаковое число? (Квадрат можно перегибать через ребро.) А.Шаповалов

6 [9]. В ряд лежат 100 монет, часть – вверх орлом, а остальные – вверх решкой. За одну операцию разрешается выбрать семь монет, лежащих через равные промежутки (т.е. семь монет, лежащих подряд, или семь монет, лежащих через одну, и т.д.), и все семь монет перевернуть. Докажите, что при помощи таких операций можно все монеты положить вверх орлом. С.Токарев, А.Шаповалов

7 класс

8 класс

1 [4], 2 [5], 3 [6]. См. задачи 1, 3, 2 раздела «Квант» для младших школьников» в «Кванте» №4.

1 В квадратных скобках указано число баллов, присуждавшееся за полное решение задачи. Баллы ставились только в 6 и 7 классах.

1. Все таверны в царстве принадлежат трем фирмам. В целях борьбы с монополиями царь Горох издал следующий указ: каждый день, если у некоторой фирмы оказывается более половины всех таверн и число ее таверн делится на 5, то у этой фирмы оста-

50

КВ А НT 2019/№5

стью двигался поршень в процессе заполнения, если его площадь $S 1 дм^{2}$? За какое время W объем пены в цилиндре увеличился до $V 7 дм^{2}$? М.Замятнин

Задача 3. Поршни Цилиндрические части закрепленного между двумя стенками сосуда, изображенного на рисунке 2, имеют длину l и площади сечения

Рис. 2

S и 2S. В сосуде находятся два поршня толщиной l 4 каждый, соединенные со стенками одинаковыми пружинами жесткостью k. Длина каждой пружины в недеформированном состоянии l. В зазор между поршнями через маленькую трубочку может закачиваться легкая жидкость, давление которой измеряется с помощью манометра. Трения между поршнями и стенками сосуда нет. Силы давления газа в системе можно не учитывать. Соприкасающиеся поверхности поршней шероховатые, поэтому жидкость свободно проникает между ними. Какое давление будет показывать манометр в момент, когда поршни отделятся друг от друга? Какой объем жидкости необходимо закачать через трубочку в сосуд, чтобы манометр показал давление: а) $p p_{0} 10$; б) $p p_{0} 3$? Здесь $p_{0} kl S$. А.Аполонский

Задача 4. Упругий цикл К пружине прикладывается направленная вдоль ее оси растягивающая сила F. На графике (рис.3) изображен циклический процесс 1–2–3–4–1, показывающий, как последовательно изменялась величина этой силы в зависимости от координаты x конца пружины, к которому она приложена. Известно, что абсолютное удлинение ’ l пружины за цикл достигало максимального значения ’ $l_{max} 12$ см, а работа силы F за цикл

Рис. 3

оказалась положительной и равной A = = 0,5 Дж. Определите минимальное абсолютное удлинение ’ $l_{min}$ пружины за цикл. Найдите жесткость k пружины и постройте качественный график зависимости координаты $x_{ц}$ центра пружины от координаты x конца, к которому приложена сила F. Длина пружины в недеформированном состоянии $l_{0} 20$ см. М.Замятнин

8 класс

Задача 1. UnCl Экспериментатор Глюк решил исследовать растворимость нового вещества – хлорида унобтания (UnCl). Для этого он стал добавлять с постоянным массовым расходом P порошок UnCl в мерный сосуд с $V_{0} = 100$ мл воды, постоянно помешивая раствор. На рисунке 4 изображен график зависимости плотности раствора UnCl от концентрации (массы растворенного вещества в литре воды), полученный британскими коллегами Глюка. При $концентрации_{0}^{n} 750$ г л хлорид унобтания перестает растворяться в воде. Плотность кристаллического нового вещества U 2,5 г $см^{3}$, плот- ность воды $U_{0}$

Рис. 4

1,0 г $см^{3}$.

51

ОЛИМПИАДЫ

1. Определите массу насыпанного порошка UnCl, когда объем содержимого мерного сосуда стал равен: а) 110 мл; б) 150 мл. 2) Определите массовый расход P (выразив его в г/с), если в начале эксперимента объем содержимого мерного сосуда увеличивался со скоростью 0,10 мл/с. А.Заяц

Задача 2. Вторая ступень На рисунке 5 приведена схема очень длинной подвесной лестницы. Массы каждой из

Рис. 5

двух первых ступеней равны m, а в последующих парах массы ступеней уменьшаются в два раза по отношению к предыдущим ( m 2, m 4, m 8, … ). Определите силы натяжения тросов $T_{1}, T_{2}$ и $T_{3}$, действующих на вторую ступень, считая все ступени однородными, а тросы легкими. На рисунке 5 каждая ступень разделена на четыре одинаковые части. М.Замятнин

Задача 3. Лед На столе стоит высокий цилиндрический сосуд с водой, в котором с помощью закрепленной на дне нити удерживается полностью погруженная в воду льдинка, а на поверхности воды плавает небольшой плотик с встроенным термометром (рис.6,а). Система находится в тепловом равновесии. В сосуд начинают добавлять горячую воду при темпера-

Рис. 6

туре $t_{1} 99 q C$ с массовым расходом P 2,0 г с. Считая процессы теплообмена быстрыми, постройте качественный график зависимости скорости подъема верхней границы столбика термометра относительно стола от времени, указав на нем характерные точки. Вода из сосуда не выливается. Потерями тепла, теплоемкостью термометра и плотика можно пренебречь. Площадь дна сосуда $S 20 см^{2}$. Вначале в сосуде было m = = 400 г воды, а сила натяжения нити равнялась T = 0,07 Н. Во время таяния лед не всплывал. На рисунке 6,б приведен укрупненный фрагмент шкалы термометра, к которой приложена линейка. Удельная теплоемкость воды $c_{0} 4200$ Дж к㠘 q С, удельная теплота плавления льда O 330 кДж кг, плотность льда U 0,9 г $см^{3}$, плотность воды $U_{0} 1,0$ г $см^{3}$, ускорение свободного падения g 10 Н кг. М.Замятнин

Задача 4. Мост В электрической цепи, содержащей источник постоянного тока $I_{0}$ (рис.7) на двух одинаковых резисторах выделяется мощ-

Рис. 7

ность P = 0,5 Вт, а на двух других – мощности 2P и P x. При этом через идеальный амперметр протекает ток силой $I_{A} = = 25$ мА. Определите значение мощности P x, сопротивления всех резисторов и напряжения на них. Найдите значение $I_{0}$ источника. Примечание. Источником постоянного тока называют активный элемент электрической цепи, через который протекает ток силой $I_{0}$ при подключении к нему резисторов с различными в широком диапазоне сопротивлениями. В.Слободянин

Публикацию подготовил В.Слободянин

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

ЗАДАЧИ

(см. «Квант» №4)

1. В первый чемодан надо посадить тварей весом 10, 4, 3 фунта; во второй – 9, 7, 2 фунта; в третий – 8, 6, 5 фунтов. Комментарий. Найти ответ (и доказать, что он единственен) можно следующим образом. Тварей с весами 10, 9 и 8 фунтов необходимо поместить в разные чемоданы (иначе один чемодан будет слишком тяжелым). Далее, чтобы никто не подрался, тварь весом 2 фунта необходимо поместить во второй из этих чемоданов, а тогда тварь весом 4 фунта – в первый. После этого нетрудно распределить и оставшихся тварей. $2. 120 \infty, 45 \infty, 15 \infty$. Заметим, что треугольник MAD тоже равен треугольнику MAB – по трем сторонам: сторона MA у них общая, AD = AB как стороны квадрата, MD = MB по условию (лежат напротив соответственных углов в равных треугольниках). Значит, – BAM = – MAD $= 90 \infty 2 = 45 \infty$. В точке M сходятся три соответственных угла равных треугольников, поэтому – AMB $= 360 \infty 3 = 120 \infty$. Сумма углов треугольника равна $180\infty$, поэтому, – ABM $= 180 \infty - 120 \infty - 45 \infty = 15 \infty. 3.$ Слоны едят только круглые арбузы. Выясним сначала, сколько арбузов ест на завтрак каждое из животных. По условию 5 слонов и 7 бегемотов съедают 31 арбуз, а 8 слонов и 4 бегемота – 28 арбузов. Мы видим, что если заменить трех бегемотов на трех слонов, то требуется на три арбуза меньше. Значит, 12 слонов съели бы 31 – 7 = 24 арбуза (т.е. каждый по 2), а 12 бегемотов съели бы 31 + 5 = 36 арбузов (т.е. каждый по 3). В первой группе бегемоты съели 7 ◊ 3 = 21 арбуз. Столько арбузов одной формы не было, значит, бегемоты едят арбузы любой формы, а привередливы слоны. Во второй группе слоны съели 8 ◊ 2 = 16 арбузов. Столько кубических арбузов не было, значит, слоны предпочитают именно круглые арбузы. 4. Примеры приведены на рисунке 1.

Рис. 1

Комментарии. 1. Сложность тут в том, что предлагается сложить фигуру довольно маленького периметра: даже если складывать многоугольник только из квадратов, то получится периметр не меньше 12 см, а надо еще добавить целых 19 треугольников. Из всех фигур, имеющих данную площадь, наименьший периметр имеет круг. Поэтому если такой многоугольник существует, то, видимо, он должен быть близок к кругу. Кстати, можно подсчитать, что периметр круга, равновеликого нашему многоугольнику, составляет примерно 14,7 см. Так что получить многоугольник еще меньшего периметра невозможно. 2. Угол при вершине квадрата – половина развернутого, а при вершине правильного треугольника – треть развернутого. Поэтому во внутренней вершине могут сходиться либо 6 треугольников, либо 3 треугольника и 2 квадрата, либо 4 квадрата (это помогает проверить, возможна ли в действительности нарисованная от руки картинка).

КОНКУРС ИМЕНИ А.П.САВИНА

(см. «Квант» №3) 25. Можно. Расставим числа так: 2, 4, 6,…, 100, 99, 97,……, 1 (сначала все четные числа в порядке возрастания, а потом нечетные в порядке убывания). На самом деле такая расстановка единственна (с точностью до поворота и направления обхода). 26. Верно. Отметим точки K и M на сторонах AC и BC так, что KM P AB (рис.2). Пусть серединный перпендикуляр к KM пересекает сторону AB в точке P. Теперь выберем на стороне AB точки L и N, симметричные относительно P. Тогда отрезки KM и LN будут основаниями искомой трапеции. Пара моментов в решении требуют дополнительного внимания. Во-первых, чтобы эта равнобокая трапеция не оказалась прямоугольником,

Рис. 2