Квант 2019, №6 · Страницы

11

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

Наш телезритель Пинот Хукк спрашивает: что не так с суммой, если мы переставляем слагаемые? Ответить на этот вопрос нам поможет наш постоянный эксперт по вопросам адекватности дятел Спятел. – Привет, друзья! Вот и опять мы встретились по разные стороны телеэкрана! – Скажите, пожалуйста, маэстро, откуда вообще у Пинота Хукка могло появиться беспокойство о сумме, в которой мы меняем порядок слагаемых? Неужели наш телезритель не знает элементарных фактов школьной программы? – Видите ли, жизнь присутствует и за рамками школьной программы, – объяснил дятел Спятел. – Многочисленные примеры говорят нам, что порядок при суммировании важен. Вот, допустим, этот ваш Пинот Хукк пришел в магазин… – Прошу прощения, не хотите ли вы сказать, что при покупке мороженого и шоколадки мы заплатим не столько же, сколько при покупке шоколадки и мороженого? – Вы спортивный и энергичный, за словом в карман не лезете, да и вообще постоянно перебиваете и ведете себя нагло, к тому же речь идет о совсем небольшой покупке, поэтому, думаю, что если покупать будете вы, в обоих случаях цена

ШКОЛЬНИКОВ

покупки будет одна и та же. Но представьте, что вы пришли в ювелирный магазин и хотите купить… ну скажем, коробочку для перстня. Коробочка стоит всего 100 рублей, однако в последний момент вы говорите: «так и быть, давайте я куплю еще и перстень за 100 000». Таким образом, всего за 100 тысяч 100 рублей вы становитесь счастливым обладателем перстня в коробочке. Если же вы станете покупать эти предметы в другом порядке – сперва выберете перстень, а потом согласитесь «да-да, упакуйте, пожалуйста», то цена покупки может оказаться больше, например 100 тысяч 500 рублей! – Я думаю, такие аномалии случаются нечасто. – Не скажите, очень даже часто. Вот вам еще пример: на рынке продаются яблоки и апельсины; те и другие по 100 рублей за килограмм. Вы берете одно яблоко (приблизительно 10 рублей за 100 граммов) и одну тонну апельсинов (100 тысяч рублей). Итого 100 010 рублей. Если же вы берете тонну апельсинов, да еще просите добавить туда одно яблоко, «они ведь по одной цене», то получите то же самое, скорее всего, «всего лишь» за 100 000 рублей. – Я понял вас, по-видимому, мы имеем здесь дело с коммерческим сложением, которое имеет свои нюансы и не всегда подчиняется математическим законам. Но может ли сумма измениться, если речь идет о чистой математике? – Вы, конечно, слышали о вакуумных квантовых флуктуациях? – неожиданно спросил дятел Спятел. – Да, – без запинки ответил Горгулий, – сейчас это очень модная тема, все о них слышали. Но специально для нашего телезрителя Пинота Хукка стоит пояснить. – Вот, есть у вас пустое пространство, полнейший вакуум. Короче, такой нольпреноль. Неожиданно буквально из ниоткуда появляется, скажем, электрон в паре с позитроном. А через мгновение они тихомирно аннигилируют, вместо того чтобы разлететься в разные стороны. – Да-да, удивительно и очень интересно, – согласился Горгулий, смачно зев-

З АДА Ч НИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: math@kvant.ras.ru и phys@kvant.ras.ru соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2562 – М2564, М2565а предлагались на заключительном этапе XLV Всероссийской олимпиады школьников по математике. Задачи Ф2569–Ф2572 предлагались на Интернет-олимпиаде СУНЦ в 2018/19 учебном году. Автор задач – С.Варламов.

Задачи М2562–М2565, Ф2569–Ф2572

M2562. Каждой точке A плоскости сопоставлено вещественное число f ( A ). Известно, что если M – точка пересечения медиан треугольника ABC, то f ( M ) = = f ( A ) + f ( B ) + f ( C ). Докажите, что f ( A ) = 0 для всех точек A. А.Голованов

M2563. Паша и Вова играют в следующую игру, делая ходы по очереди. Начинает Паша. Изначально перед мальчиками лежит большой кусок пластилина. За один ход Паша может разрезать любой из имеющихся кусков пластилина на три части. Вова своим ходом выбирает любые два куска и слепляет их вместе. Паша побеждает, если в некоторый момент среди имеющихся кусков пластилина окажется 100 кусков одинаковой массы. Может ли Вова помешать Паше победить? Р.Ефремов, Д.Белов

M2564. Дан остроугольный треугольник ABC, в котором AC < BC (рис. 1). Окружность проходит через точки A и B и пересекает отрезки CA и CB повторно в точках $A_{1}$ и $B_{1}$ соответственно. Описанные окружности треугольников ABC и $A_{1} B_{1} C$ пересекаются повторно в точке P. Отрезки $AB_{1}$ и $BA_{1}$ пересекаются в точке S. Точки Q и R симметричны S относительно пря-

Рис. 1

мых CA и CB. Докажите, что точки P, Q, R и C лежат на одной окружности. Д.Прокопенко

$M2565^{*}$. а) Даны n монет попарно различных масс и n чашечных весов, n > 2. При каждом взвешивании разрешается выбрать какие-то одни весы, положить на их чаши по одной монете, посмотреть на показания весов и затем снять монеты обратно. Какие-то одни из весов (неизвестно, какие) испорчены и могут выдавать случайным образом как правильный, так и неправильный результат. За какое наименьшее количество взвешиваний мож-

22

КВА НT 2019/№6

наблюдаемо и многократно воспето поэтами, а радио-, ИК, УФ, рентгеновское и гамма-излучения уверенно регистрируются приборами. Однако общая теория относительности (ОТО) предсказывает и гравитационные волны, которые должны возникать при колебаниях форм массивных звезд. Принципиально важно и практически заманчиво научиться регистрировать эти волны. Ведь в принципе, например, любой студент, ускоренно перемещаясь из лекционного зала в буфет, изменяет распределение масс во Вселенной. Человечество уже почти сто лет изучает возможность зарегистрировать на Земле гравитационные волны, идущие к нам из мирового пространства. Детекторы, использованные Дж.Вебером (шестидесятые годы прошлого века) могли «почувствовать» деформацию принимающего устройства с точностью до $10^{16}$ м – в десять раз меньше радиуса протона! В опытах В.Б.Брагинского (конец прошлого – начало нынешнего века) порог чувствительности плотности потока энергии достигал $10^{9}$ Вт $м^{2}$. А сравнительно недавно следящая система зарегистрировала гравитационные волны от двойной черной дыры общей массой почти в сотню масс нашего Солнца, удаленной от нас на 400 мегапарсеков (1 парсек = 3 ˜ $10^{16}$ м). Конечно, обе ее части вращались вокруг общего центра масс (например, как Земля и Луна) с громадной и все возрастающей скоростью порядка скорости света («порядка» ни в коем случае не означает «равной»). А поскольку расстояние между ними изменялось, возникала сильная приливная деформация этих звезд и окружающего пространства, что и породило гравитационные волны (рис.2). И если колебания капли воды характеризуются не только набором частот, но и форм – чего уж тут ждать от звезд! Среди спектра этих колебаний важную роль играют квадрупольные моды. В результате слияния образовалась единая черная дыра массой в $62 0_{⊙}$ (где $0_{⊙} 2$ ˜ $10^{30}$ кг – масса Солнца ), на излучение гравитационных волн ушла энергия $3 0_{⊙} c^{2}$ (где c 3 ˜ $10^{8}$ м с – скорость света), а максимальное значение гравитационной «светимости» достигло 3,6 ˜ $10^{49}$ Вт, что эквивалентно мощности в $200 0_{⊙} c^{2}$ джо-

Рис. 2. Слияние пары черных дыр. Верхний ряд – последовательные фазы процесса. Средний – соответствующие колебания напряженности гравитационной волны (условные единицы), полученные в результате численных исследований на основе ОТО. Внизу – изменение со временем расстояния r между звездами и их относительной скорости ’ v (отнесенной к скорости света)

улей в секунду. Конечно, до Земли дошел лишь очень слабый «звук». Один из исследователей сравнил трудности выделения нужных сигналов с попыткой расслышать шепот приятеля на другом конце шумного кафе. Пожалуй, и это сравнение недостаточно яркое – «услышать» гравитационный сигнал при помощи одного детектора еще труднее. Итак, в двух точках США на расстоянии приблизительно 3000 км друг от друга были установлены два детектора. Гравитационная волна должна была пройти этот путь приблизительно за 10 микросекунд в предположении, что ее скорость равна скорости света. Основываясь на этом, из громадного множества шумов удалось выделить два похожих сигнала, сдвинутых во времени относительно друг друга на известную величину запаздывания (рис.3). Частота зарегистрированных колебаний лежала в пределах 35–250 Гц. При этом надежность эксперимента считается очень высокой: вероятность ложного срабатывания приборов оценивается как одно событие в 203 тысячи лет.

…начало судостроения восходит задолго до всякой письменности и всякой истории… Алексей Крылов

Можно сравнить сопротивление тел между собой и находить те, которые приспособлены к продолжению своего движения в сопротивляющейся среде. Исаак Ньютон

…всюду в угольных районах…паровые машины везут уголь! Сами по себе везут, без помощи четвероногих! Евгений Тарле

…многие с незапамятных времен смотрели на ракету как на один из способов воздухоплавания. Константин Циолковский

А так ли хорошо знакомы вам

?

физика+техника

Как можно было бы человеку заниматься строительством и обрабатывать различные материалы – а именно об этом шла речь в наших предыдущих физико-технических выпусках, – если бы не было возможности перемещать разнообразные грузы да и передвигаться самому? Вот и пришлось ему ломать голову над поиском приспособлений, позволяющих перевозить больше и быстрее, иными словами – решать ТРАНСПОРТНЫЕ ЗАДАЧИ. Многие столетия нас выручали колесные повозки, весла и паруса – с их помощью удавалось осваивать огромные пространства и даже открывать новые континенты. Но вот на смену «лошадиным силам» и попутным ветрам пришли новые машины, значительно более мощные и скорые. Активно «впитывая» достижения науки, транспортная техника буквально за два последних века кардинально изменила представления о земных масштабах и времени достижения любой точки нашей планеты. Сегодня нас уже не удивить дронами и беспилотными автомобилями, судами на подводных крыльях и воздушной подушке, самолетами на солнечных батареях и туристскими полетами по околоземным орбитам. Что будет завтра? Попробуем представить себе наше транспортное будущее, правда, отталкиваясь пока только от хорошо известных средств передвижения.

Вопросы и задачи

1. Наши далекие предки пользовались на грунтовых дорогах арбами – повозками с большими колесами. В чем преимущество такого вида транспорта? 2. Как легче сдвинуть с места арбу – прилагая силу к ее корпусу или к верхней части обода колеса? 3. Велосипедист легко развивает силу тяги 100 Н. Сила трения не превышает 50 Н. Казалось бы, за несколько часов можно развить вторую космическую скорость, однако это невозможно. Почему? 4. Зачем на автомобильных шинах делают рельефный рисунок (протектор)? С какой целью он содержит и поперечные и продольные полосы? 5. При движении по песку или снегу рекомендуют давление воздуха в шинах автомобиля уменьшить. Для чего? 6. Каков смысл установки крыльев на гоночных автомобилях? 7. Чтобы сдвинуть с места тяжелый железнодорожный состав, машинист сначала дает задний ход. Почему? Если же резко тронуть вперед состав, то в какой части поезда может произойти разрыв сцепок? 8. Зачем парусным яхтам большой киль? 9. Почему у колесных кораблей движитель – колесо – не погружалось в воду целиком, в то время как у современных кораблей винт полностью погружен в воду?

10. Судно перешло из реки в море. Мощность двигателей не изменились. А осталась ли прежней скорость судна относительно воды? 11. Можно ли применять паруса и руль для управления полетом воздушного шара? 12. Вертолет, стоящий на горизонтальной поверхности земли, поднялся и завис на небольшой высоте. Когда вертолет действовал на землю с большей силой? 13. Изменяется ли при полете с включенным двигателем и расходуя топливо положение центра тяжести самолета в системе отсчета, связанной с его корпусом? 14. Почему при равномерном горизонтальном полете тяжело нагруженный самолет движется медленнее ненагруженного? 15. Отчего с повышением температуры воздуха мощность воздушных реактивных двигателей уменьшается? 16. Ракета летит с работающим двигателем, причем скорость ракеты больше скорости вылета реактивной струи из двигателя. Увеличивается ли при этом скорость ракеты?

Микроопыт

Наверняка при езде на велосипеде вы обращали внимание на используемые в нем простые механизмы – руль, педали, цепную передачу. В каких из них и в чем добиваются выигрыша?

Любопытно, что…

…изобретению колеса предшествовало длительное овладение вращательным движением – от верчения деревянной палочки для получения огня, использования гончарного круга и подъемных приспособлений до применения круглого бревна при перевозке тяжестей. …уже мореплаватели Древнего Египта умели управлять силой ветра: паруса их судов постепенно приняли оптимальную по тем временам форму. …Ньютону, занимавшемуся, в том числе, и аэродинамикой, удалось установить квадратичную зависимость силы сопротивления среды от скорости, так важную впоследствии для дозвуковой авиации. При бульших скоростях эта зависимость становиться кубической, что было подмечено артиллеристами около ста лет назад, когда самолеты еще только начали обгонять птиц.

…появление локомотива – паровой машины на рельсах – и изобретение парохода в начале XIX века произвели форменную революцию в транспортной технике. …при транспортировке огромного камня для пьедестала «Медного всадника» в Петербурге использовались подкладываемые под него чугунные шары – прообразы будущих шарикоподшипников, получивших распространение лишь в 80-х годах XIX века. Благодаря этому трение скольжения было заменено в десятки раз меньшим трением качения. …Д.И.Менделеев, без пилота совершивший полет на воздушном шаре, утверждал, что покорение атмосферы будет осуществляться с помощью аэростатов, а не машин тяжелее воздуха. К.Э.Циолковский до начала занятий теорией ракетного движения разрабатывал принципы построения цельнометаллического дирижабля. …инженеры Массачусетского технологического института создали двухместный летающий автомобиль. По земле он движется со сложенными крыльями, а в воздухе развивает скорость до 185 километров в час с полезной нагрузкой до 195 килограммов. …менее года назад лодка-робот, управляемая автопилотом, пересекла Атлантический океан. Бортовую электронику питали установленные на палубе солнечные батареи, а движителем был парус в форме трапеции.

…идею устанавливаемого на беспилотник прибора, позволяющего отследить опасное сближение с другими машинами, его создатели позаимствовали…у саранчи. Этим насекомым удается не сталкиваться ни между собой, ни с попавшимися на их пути птицами – и это несмотря на то, что в стаях саранчи плотность особей достигает 80 миллионов на квадратный километр!

Что читать в «Кванте» о транспорте

(публикации последних лет)

1. «Как воздух сопротивляется движению тела» – 2015, №1, с.35; 2. «Ракета на водяном паре…» – 2016, Приложение №2, с.87; 3. «Движение автомобилей и живых существ…» – 2017, №1, с.36; 4. «Какой бывает колея» – 2017, №7, с.21; 5. «Потеря управляемости» – 2018, №7, с.2.

Материал подготовил А.Леонович

27

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

КРУЖОК

Рис. 3

Рисунок 3 объясняет, зачем в формулировке теоремы использован модуль. Из изложенного выше сразу следует такое утверждение. Теорема 2. Высоты треугольника являются биссектрисами (или внешними биссектрисами) его ортотреугольника, т.е. треугольника, образованного основаниями высот. В обозначениях нашего чертежа это означает, что ‘ $C_{1} A_{1} A$ ‘ $B_{1} A_{1} A$, ‘ $A_{1} B_{1} B$ ‘ $C_{1} B_{1} B$ и ‘ $B_{1} C_{1} C$ ‘ $A_{1} C_{1} C$. Мы советуем доказать этот факт самостоятельно. Давайте разберем, как уже один этот факт может помочь справиться с не очень простой задачей. Рассмотрим задачу из Британской математической олимпиады 2012 года (автор – Dr. David Monk). Задача 1. Дан остроугольный треугольник ABC. Пусть D, E и F – основания высот, опущенных из вершин A, B и C соответственно. Докажите, что DE DF d BC, и найдите треугольники, для которых выполняется равенство. Решение. На рисунке 4 отмечены (уже известные нам) равные углы. Кроме того, раз есть сумма отрезков, хотелось бы «выпрямить» конфигурацию, отложив их на одной прямой. Также ясно, что потребуется неравенство треугольника. Отсюда мы и получаем решение. Пусть F c – образ F при отражении относительно BC. Заметим, что так как ‘ BFC ‘ BEC ‘ BF c C 90 q, то BFECF c вписан в окружность с диаметром BC. Отметим, что ‘ EDC ‘ FDB (по теореме 2), а также ‘ BDF c ‘ BDF из соображений симметрии. Следовательно, E, D и F c лежат на одной прямой. Также из симметрии можно заметить, что DF DF c, следовательно, F c E ED DF. Осталось доказать, что EF c d BC. Действительно, BC – диаметр, а следовательно, длиннейшая хорда окружности.

Рис. 4

Заметим, что равенство достигается тогда и только тогда, когда F c E – тоже диаметр, следовательно, D – центр окружности, тогда BD = DC, поэтому AD – медиана и высота треугольника. Значит, ’ ABC – равнобедренный. Вернемся к теореме 1. Рассмотрим в качестве одного из ее многочисленных применений задачу Санкт-Петербургской олимпиады школьников (автор – С.Л.Берлов). Задача 2. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты $AA_{1}$ и $BB_{1}$. Биссектриса внешнего угла при вершине C пересекает прямые AB и $A_{1} B_{1}$ в точках L и K соответственно (рис.5). Оказалось, что CL = = 2CK. Найдите угол C треугольника.

Рис. 5

Решение. Докажем, что ’ $KB_{1} C_{»}$ ’ LBC. Действительно, ‘ $B_{1} CK$ ‘ BCL (рис.6), так как CL – биссектриса внешнего угла при

Рис. 6

вершине C. Видим, что ‘ $KB_{1} C 180 q$ ‘ $A_{1} B_{1} C 180 q$ ‘ ABC (по теореме 1), 180 q ‘ ABC ‘ CBL. Следовательно, ’ $KB_{1} C_{»}$ ’ LBC по двум углам. Из подобия треугольников следует равенство отноше-

31

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Рис. 13

Знание этого факта может очень помочь при решении задач. Например, рассмотрим задачу из Московской устной олимпиады по геометрии (автор – А.А.Заславский). Задача 11. B остроугольном треугольнике ровно один из углов равен 60q. Докажите, что прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку пересечения медиан треугольника, отсекает от него равносторонний треугольник (рис.14).

Рис. 14

Решение. По доказанному ранее, ортоцентр, точка пересечения медиан и центр описанной окружности лежат на одной прямой, поэтому прямая, данная в условии содержит точку пересечения высот. Обозначим вершины треугольника A, B и C, ‘ BAC 60 q. Пусть H – ортоцентр треугольника, O – центр его описанной окружности, K, L – точки пересечения OH с AB и

Рис. 15

КРУЖОК

AC соответственно (рис.15). Тогда, по теореме 7, AH 2 R cos ‘ BAC R AO. Следовательно, ’ OAH равнобедренный, откуда ‘ AOK ‘ AHL. Так как, по доказанному ранее, ‘ BAO ‘ CAH, то ’ AHL ’ AOK по стороне и двум углам. Значит, AK = AL. Следовательно, ’ KAL равнобедренный, а значит (так как ‘ A 60 q ), и равносторонний. Как всегда, теперь вам предстоит решить еще одну задачу уже самостоятельно. Задача 12. В треугольнике ABC высоты или их продолжения пересекаются в точке H, а R – радиус его описанной окружности. Докажите, что если ‘ A d ‘ B d ‘ C, то AH BH t 2 R.

В заключение приведем несколько задач для самостоятельного решения, ключевые идеи которых связаны с нашим главным чертежом. Задача 13. Докажите, что в прямоугольном треугольнике ортоцентр треугольника, образованного точками касания сторон с вписанной окружностью, лежит на высоте, проведенной из прямого угла. Задача 14. В треугольнике ABC известно, что – $C = 60 \infty$, – $A = 45 \infty$. Пусть M – середина BC, H – ортоцентр. Докажите, что прямая MH проходит через середину дуги AB описанной окружности треугольника ABC. Задача 15. В треугольнике ABC точка $H_{1}$ симметрична ортоцентру H относительно вершины C, а точка $C_{1}$ симметрична точке C относительно середины стороны AB. Докажите, что центр O окружности, описанной около треугольника ABC, является серединой отрезка $H_{1} C_{1}$. Задача 16. В треугольнике ABC проведены высоты $AA_{1}$ и $BB_{1}$. Оказалось, что точка C¢, симметричная точке C относительно середины отрезка $A_{1} B_{1}$, лежит на прямой AB. Докажите, что описанная окружность треугольника $A_{1} B_{1}$ C¢ касается прямой AB. Задача 17. В остроугольном треугольнике ABC провели высоты $BB_{1}$ и $CC_{1}$. Описанная окружность треугольника $AB_{1} C_{1}$ пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке K, отличной от A. Докажите, что прямая KH проходит через $A_{0}$, где $A_{0}$ – середина BC, H – ортоцентр треугольника.

Н АМ ПИШУТ

В статье В.Расторгуева «Четырьмя различными способами» в «Кванте» №12 за 2018 год был дан пример несимметричной фигуры, которую можно разрезать на 2 равные части 4 различными способами. Покажем, как построить несколько более простой пример. Рассмотрим параллелограмм, составленный из 4 равнобедренных прямоугольных треугольников (рис.1). Для удобства разрежем его

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 1

на 16 меньших одинаковых треугольников. Все разрезы будут проходить по их границам. На рисунках 2–5 показано, как разрезать параллелограмм на 2 равные части — красную

Рис. 9

Теперь исправим пример так, чтобы исходная фигура потеряла симметричность. Заменим боковые стороны, как показано на рисунках 8 и 9. Каждый треугольник превратится в трехклеточный уголок (рис.10 и 11).

Рис. 2

Рис. 10

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 11

Итоговый пример изображен на рисунке 12. Разрезы проводятся аналогично рисункам 2–5 по границам уголков.

Рис. 5 и зеленую. Правда, на рисунке 5 части несвязные. Да и сам параллелограмм не подходит под условия задачи, потому что у него есть центр симметрии. Исправим пример следующим образом. Основания треугольников, у которых эти основания снизу, заменим на части, показанные на рисунке 6. Аналогично поступим с верхними основаниями (рис.7). Тогда при таком же разрезании, как на рисунке 5, части будут получаться связными.

Рис. 12

В.Дорофеев

ИНФОРМАЦИЯ

ДНИ ФИЗИКИ В ДУБНЕ

В середине апреля в подмосковной Дубне прошел VI Всероссийский научный фестиваль «Дни физики». Его организовали и провели Объединенный институт ядерных исследований, Учебно-научный центр ОИЯИ и Межшкольный физико-математический факультатив. На несколько дней Дом культуры «Мир» превратился в одну большую лабораторию: в малом зале демонстрировались опыты, в большом и выставочном залах проходил квест «Периодический закон». Затем состоялись традиционные математический праздник и мастер-классы, а День космонавтики был отмечен запуском ракет на Молодежной поляне. Ученики старших классов демонстрировали и объясняли посетителям различные физические закономерности на ими же сконструированном оборудовании. Эти эксперименты, всегда яркие, а иногда неожиданные и заставляющие задуматься, неизменно привлекают большое количество зрителей – от дошкольного до пенсионного возраста. Привлекательны они и для участников, поскольку, судя по их отзывам, нигде, кроме Дубны, в таком формате эти мероприятия не проводятся. Кроме того, иногородние участники смогли познакомиться с Дубной, пройдя увлекательный квест по городу и побывав в Музее истории науки и техники ОИЯИ, и поиграли в интеллектуальную игру «Что? Где? Когда?» Вот несколько фрагментов из интервью, взятых у участников фестиваля. Председатель оргкомитета фестиваля М.В.Жабицкий (ОИЯИ): Так много гостей у нас не было никогда, в этом году к нам приехали шесть команд. Это неоднократно

участвовавшие московская гимназия № 1514, физмат-лицей из Санкт-Петербурга, команда из Брянска. Впервые приехали ребята из Волгограда, Глазова и подмосковной Истры. Из дубненских команд всегда активно участвуют ребята из физмат-факультативов УНЦ ОИЯИ и лицея «Дубна». Все эксперименты, представленные ребятами, непростые. Мы всегда приветствуем опыты, связанные по тематике с физикой частиц или физикой ядра. В год юбилея открытия Периодического закона наш традиционный квест для участников Дней физики посвящен этому событию. Ребята получают карту – Периодическую таблицу – и, проходя станции в большом зале ДК, решают разные задания по истории, географии, даже лингвистические задания, узнают, какую роль химические элементы играют в нашей повседневной жизни, какие из них были синтезированы в Дубне, а в конце получают заслуженный приз. Учитель физики М.В.Акимова (лицей №1 г.Волгограда): Мы участвуем в фестивале впервые, а узнала я о Днях физики полтора года назад на проводимой УНЦ ОИЯИ школе учителей физики (после которой я попала еще и на школу в ЦЕРН). Мы отправили сюда две работы, которые подготовили мои девочки, и ждали решения. Когда узнали, что обе работы прошли, дети были очень рады. У нас физико-математический лицей, и физика с математикой преподаются углубленно, по физике ведется еще и проектная работа. Мы участвуем в областных фестивалях, конкурсах. А здесь – больше исследовательская работа, красивые эксперименты. Мы готовили их около четырех месяцев.

34

КВ АН T 2019/№6

Ольга Голикова (Волгоград): Наш проект «Медленный танец» основан на идее Джеффа Либермана – американского изобретателя и художника. Все дело в стробоскопическом эффекте. Цветок, прикрепленный к соленоиду с катушками, быстро вибрирует, а светодиодная лента, запрограммированная специальным чипом, мерцает с частотой 80 Гц, чего наши глаза не замечают. Нам кажется, что освещение постоянное, а часть движений цветка мы просто не видим – возникает ощущение, что он танцует медленный танец. Экспериментальной физикой со школьниками Дубны занимается И.А.Ломаченков (УНЦ ОИЯИ): Мы вынесли семь экспериментов на сегодняшние Дни физики. На самом деле их значительно больше, но многие мы уже показывали на предыдущих праздниках и повторяться не хотелось. Два опыта проводятся с ускорителями, что, с одной стороны, интересно, а с другой, они связаны с тематикой ОИЯИ, подчеркивают, в каком направлении работает Институт. Опыт, связанный с электромагнетизмом, показывал Иван Пачколин (лицей №15 г.Глазова): Я демонстрирую модель генератора Фарадея. Учусь в восьмом классе, это физико-математический класс, и планирую поступать в физический или технический вуз. До начала демонстрации опытов для зрителей мы сами смотрели, что другие команды подготовили. Некоторые эксперименты меня заинтересовали. В Днях физики мы участвуем впервые, но обязательно приедем еще. Восторженную реакцию малышей вызвали химические опыты «Пенная вечеринка» от студентов МФТИ.

Дарья Плащинская: Я учусь на первом курсе биофизического факультета. Мы готовились к этим опытам, некоторые реактивы нашли сами, некоторые дал наш лаборант, который даже обрадовался, что мы сами немножко наукой позанимаемся и детям чтото продемонстрируем. Мы много репетировали. Кажется, получилось. <Судя по эмоциям детей – еще как получилось!> Моя напарница Маша сюда приезжает уже несколько лет, она в восторге от праздника, очень любит Дубну. И мне город очень понравился, а любое мероприятие, связанное с наукой, тем более с моим родом деятельности, – это интересно. С нами еще ребята приехали, они помогают проводить квест. Мы обязательно и в следующем году приедем. У истоков Дней физики в Дубне стоял член редколлегии журнала «Квант» преподаватель Межшкольного факультатива А.А.Леонович. На этом празднике он вместе с Универсальной библиотекой ОИЯИ представлял три свои книги из серии «Простая наука для детей»: «Физика без формул», «Чудеса техники», «Бионика: подсказано природой». Книги можно было получить, выиграв в блиц-викторине «Физика на вырост», которая привлекла много детей. А.А.Леонович: Издательство АСТ <выпускающее книги серии «Простая наука для детей»> заинтересовано в популяризации своей работы, а где, как не на наших Днях физики, можно получить эти книги. Просто так мы их не дарим – нужно ответить на вопросы викторины, рассчитанной на детей до шестого класса, т.е. еще не начавших изучать физику в школе.

35

ЭКЗ АМ Е НАЦИОНН ЫЕ

Второй год приходит на праздник со своей младшей дочерью Боряна Калинова (ОИЯИ): Хочу сказать слова благодарности организаторам, потому что устроить все это – огромный труд! У детей надолго останется в памяти встреча с «живой» наукой, когда все можно потрогать руками, а что-то и применить в жизни. Нам понравилось, мы очень довольны. Моя дочь Рада учится во втором классе, но она смотрит образовательные передачи на телеканале «Да Винчи» и здесь некоторые эксперименты – с жидкостями, с ракетой на сжатом воздухе – смотрела с понимаем. Говорит: «это я уже знаю». Год от года все больше зрителей привлекают зрелищные химические и физические

МА ТЕ РИА ЛЫ

опыты, проводимые Д.К.Дрябловым (Лаборатория физики высоких энергий ОИЯИ) и А.Е.Злотниковой (Музей истории науки и техники ОИЯИ). В этот раз программа их шоу стала еще обширнее: от простых, но эффектных обесцвечивания йода с помощью аскорбиновой кислоты и создания киношной «крови» до вызывающих восторг заполненного большого зала Дома культуры гигантской «зубной пасты» для слона, «горящей» руки и азотного «взрыва». Праздник прошел. Вы не были на нем? Обязательно приходите в следующем году!

Материал подготовила О.Тарантина, фото представила Е.Пузынина

ЭКЗ АМ Е НАЦИОНН ЫЕ МА ТЕ РИА ЛЫ

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Национальный исследовательский университет «МИЭТ» на протяжении многих лет проводит для старшеклассников олимпиады по математике, физике и информатике, которые пользуются большой популярностью среди школьников страны. С 2015 года в заочной (дистанционной) форме проводится олимпиада школьников «РИТМ МИЭТ». Ежегодно в 9 секциях этой олимпиады принимают участие более 2000 человек. В 2018 году университет организовал очную Физико-математическую олимпиаду МИЭТ, которая проходит в нескольких десятках городов России и стран СНГ. С 2019 года также проводится олимпиада школьников «Электронный наномир». Ниже приведены задачи по физике, предлагавшиеся на заключительном туре заочной олимпиады «РИТМ МИЭТ», а также варианты по физике для учащихся 10 и 11 классов очной Физико-математической олимпиады МИЭТ.

Интернет-олимпиада «РИТМ МИЭТ»

ФИЗИКА

1. Мальчик, бросая камень со скоростью $v_{0} 20$ м с с крыши дома, определил максимальную горизонтальную дальность полета. Спустившись на землю и повторив броски камня с той же начальной скоростью $v_{0}$, он заметил, что максимальная горизонтальная дальность полета камня уменьшилась в n 3 2 раза. На какой высоте находится крыша дома? 2. Два одинаковых ящика высотой h = = 0,5 м каждый стоят на поверхности пола. Между ящиками вертикально вставлена жесткая легкая доска длиной l = 1,5 м, как показано на рисунке 1. К верхнему концу доски приложили горизонтальную силу F и стали постепенно ее увеличивать. При F = = 100 Н один из ящиков пришел в поступательное движение. Чему равен вес каждого

38

КВ АН T 2019/№6

легкая тележка? б) Какое количество теплоты выделилось при ударе? 3. При изобарном расширении идеального газа его объем увеличился на $'^{V} = 3$ л, а температура изменилась на G 30%. Чему равен первоначальный объем газа? 4. Небольшой заряженный шарик, подвешенный на легкой нерастяжимой нити, после начального толчка движется по окружности в вертикальной плоскости. В момент времени, когда нить составляла угол D с вертикалью, включили однородное электрическое поле, направленное вертикально (рис.9). После включения поля ки-

те: а) скорость второго тела после соударения; б) количество теплоты, выделившееся при ударе. 3. При изотермическом расширении идеального газа его объем увеличился на $'^{V} = = 3$ л, а давление изменилось на G 30%. Чему равен первоначальный объем газа? 4. Небольшой заряженный шарик, подвешенный на легкой нерастяжимой нити, после начального толчка движется по окружности в вертикальной плоскости. В момент времени, когда нить составляла угол D с вертикалью, включили однородное электрическое поле, направленное вертикально (рис.10). После включения поля ки-

Рис. 9

нетическая энергия шарика в нижней точке траектории увеличилась на ’ $W_{1} = 0,1$ мДж, а в верхней точке траектории уменьшилась на ’ $W_{2} = 0,3$ мДж по сравнению со значениями кинетической энергии в этих точках до включения поля. Определите угол D. Трением и сопротивлением воздуха пренебречь. 5. Энергия конденсатора емкостью С = = 2 нФ, включенного в идеальный колебательный контур, достигает при колебаниях максимального значения W m = 0,1 мкДж через промежутки времени W = 1 мкс. Определите амплитуду колебаний тока в контуре.

Вариант 2 1. Брусок массой m = 200 г прижимают к вертикальной стене с силой F = 8 Н, направленной под углом D 60 q к вертикали, как показано на рисунке 8. При этом брусок движется вверх с постоянной скоростью. Определите коэффициент трения P между бруском и стеной. Ускорение свободного падения g 10 м $с^{2}. 2.$ Тело $массой_{1}^{m} = 1$ кг налетело со скоростью $v_{1} 10$ м с на покоящееся тело $массой_{2}^{m} = 2$ кг и остановилось. Определи-

Рис. 10

нетическая энергия шарика в нижней точке траектории уменьшилась на ’ $W_{1} = = 0,6$ мДж, а в верхней точке траектории увеличилась на ’ $W_{2} = 0,1$ мДж по сравнению со значениями кинетической энергии в этих точках до включения поля. Определите угол D. Трением и сопротивлением воздуха пренебречь. 5. В идеальном колебательном контуре, состоящем из конденсатора емкостью С = = 0,01 мкФ и катушки, происходят гармонические колебания. Энергия конденсатора изменяется от максимального значения до нуля за время W = 1 мкс. Определите индуктивность катушки. Публикацию подготовили Г.Гайдуков, И.Горбатый

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

ЗАДАЧИ

(см. «Квант» №5)

1. Не надо перекладывать ни одной спички! Можно просто повернуть лист бумаги на $180\infty$. Получится $число^{8281}$ (рис.1), которое является полным квадратом $( 8281 = 91^{2} ).$

Рис. 1

2. 77. Пусть у девочек по x тетрадей. Маша использовала 7 + 7 ( x - 7 ) наклеек, а Света – 11 + 11 ( x - 11 ). Так как все наклейки использованы, то 7 + 7 ( x - 7 ) = 11 + 11 ( x - 11 ). Решив это уравнение, получим $x =^{17}$. Значит, в каждом наборе было по 7 + 7 ( 17 - 7 ) = 77 наклеек. 3. См. пример на рисунке 2.

Рис. 2

4. Антон. Какую-то камеру X они проехали в порядке Б, А, В, а камеру Y – в порядке В, А, Б. Предположим, что камеру X они проехали раньше. Предположим, что Антон не падал. Так как он самый быстрый и уже впереди Вовы, то он далее всегда будет впереди Вовы и ситуация «В, А, Б» не возникнет. Противоречие. Случай, когда Y они проехали раньше, чем X, рассматривается аналогично.

КАЛЕЙДОСКОП «КВАНТА»

Вопросы и задачи

1. Большому колесу легче, чем маленькому, преодолевать бугры и камни на дороге. (Кроме того, с увеличением радиуса колеса уменьшается коэффициент трения качения.) 2. За верхнюю часть колес легче: больше вращающий момент (плечо силы равно диаметру колеса, в первом же случае – его радиусу). 3. Сила, с которой велосипедист может давить на педали, непостоянна: она максимальна на старте и становится равной нулю при такой скорости, когда период вращения педалей сравнивается со

временем реакции велосипедиста (периодом нажатия на педаль и отпускания педали). После этого скорость уже не может возрастать. 4. Протектор служит для увеличения сцепления колеса с полотном дороги. Поперечные полосы нужны для ускорения автомобиля в прямом направлении, продольные (и расположенные под углом) препятствуют боковому смещению. Помимо этого, бороздки помогают в борьбе с аквапланированием, поскольку дают возможность воде вытекать вбок. 5. Если шины слегка спущены, то площадь соприкосновения с грунтом возрастает. Давление на грунт при этом уменьшается, как и глубина следа, – меньше вероятность застрять. 6. Чтобы сильнее прижать автомобиль к дороге на больших скоростях. При этом повышается устойчивость машины. 7. После подачи состава назад гораздо легче сдвигать его вперед, последовательно приводя в движение вагоны. Если же резко трогать состав с натянутыми сцепками вперед, может произойти разрыв ближайших к локомотиву сцепок, где их натяжение наибольшее. 8. Чтобы предупредить опрокидывание яхты при больших наклонах. Еще одно назначение киля – противодействовать боковому смещению (дрейфу) судна. 9. Заметим, что вращение в этих двух случаях происходит во взаимно перпендикулярных плоскостях. В первом случае колесо могло отбрасывать воду назад только нижней своей частью, во втором – поверхностью всех лопастей винта. 10. При переходе в море уменьшается глубина погружения судна, соответственно уменьшается сопротивление воды движению. При прежней мощности двигателя скорость судна относительно воды вырастает (молчаливо мы полагаем одинаковой вязкость речной и морской воды). 11. Нельзя, так как скорость движения воздушного шара равна скорости ветра. 12. В обоих случаях сила давления одинакова. Вертолет действует на воздух с силой, равной своей силе тяжести, а воздух передает действие этой силы на землю. 13. Баки с горючим располагаются в самолете так, что центры его тяжести с топливом и без топлива совпадают. 14. При дополнительной нагрузке необходимо увеличить угол атаки крыльев, чтобы повысить подъемную силу. Однако при этом возрастает и лобовое сопротивление, из-за чего скорость самолета становится меньше. 15. С ростом температуры уменьшается плотность, а значит, и массовый расход воздуха, поступающего в двигатель.

45

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

ющие те же два ряда (рис.12,а). Но число стрелок нечетно, поэтому найдется стрелка без пары. Пусть, например, такая стрелка горизонтальна и ведет из i-го столбца в i 1 -й (рис.12,б). В

РЕШЕНИЯ

Заметим, что после раскрытия скобок получается алгебраическая сумма S ста чисел 400, ста чисел 399,…, ста двоек и ста единиц, причем ровно перед половиной этих чисел стоит знак минус. Назовем числа от 1 до 200 маленькими, а остальные – большими. Если бы разрешалось брать из кучек произвольные камни, то максимальное значение S, очевидно, достигается, когда все большие числа входят в S со знаком плюс, а все маленькие – со знаком минус. Такая сумма равна $100 400 399^{…} 201 200 199^{…} 1$

$= 100 400 200 399 199^{…} 201 1$

Рис. 12

i 1 -м столбце тоже есть единица. Поскольку у первой стрелки нет пары, вторая стрелка может вести только в i 2 -й столбец (двойка в i 1 -м столбце уже занята). В i 2 -м столбце тоже есть единица, и стрелка из нее может вести только в i 3 -й столбец (двойки в i 1 -м и i 2 -м столбцах уже заняты). Продолжая, дойдем до единицы в n-м столбце, откуда стрелке идти уже некуда. Противоречие. 6. 150q. Пусть высота BM треугольника ABC пересекается с прямой AK в точке O (рис.13). Тогда ‘ COM ‘ AOM 60 q. Значит, ‘ AOC 120 q и ‘ COB 120 q. Следовательно, треугольники BOC и KOC равны по двум сторонам и углу,

Рис. 13 лежащему против большей из них (так называемый четвертый признак равенства треугольников). Поэтому OB = OK, т.е. треугольник BOK равнобедренный с углом 120q при вершине O. Поэтому ‘ OKB 30 q, а ‘ AKB 150 q. 7. 3920000. Оценка. Будем считать, что камни в кучках лежат один на другом, причем из выбранных кучек Петя берет верхние (на данный момент) камни. Пронумеруем камни в каждой кучке снизу вверх числами от 1 до 400. Тогда число очков, которое Петя получает на каждом ходу, равно разности номеров удаляемых камней. В результате он получит сумму вида $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}^{…}$ … $a_{39999} a_{40000}$, где $a_{i}$ – номера соответствующих камней.

100 ˜ $200^{2}$. Заметим, однако, что каждое большое число хотя бы один раз войдет в сумму со знаком минус: это произойдет, например, в тот момент, когда Петя в первый раз удалит камень с этим номером. Аналогично, каждое из 200 маленьких чисел хотя бы один раз войдет в сумму со знаком плюс (в тот момент, когда Петя удалит последний камень с этим номером). Поэтому максимальный результат Пети не превышает 99 ˜ $400 399^{…} 201 99$ ˜ $200 199^{…} 1$

$400 399^{…} 201 200 199^{…} 1$

98 ˜ $200^{2}$. Пример. Добиться указанного результата можно, например, так. За первые 200 ходов Петя забирает по 200 камней из первых двух кучек (при этом 200 больших чисел – каждое по разу – получают знак минус). За следующие 200 ходов он снимает 200 верхних камней из третьей кучки и 200 нижних из первой кучки, далее по 200 камней из второй и четвертой, третьей и шестой,…, 98-й и 100-й кучек (при этом все числа входят с «правильными» знаками). Наконец, остается по 200 нижних камней в последних двух кучках, которые и снимаются за последние 200 ходов (и возникает 200 знаков плюс перед числами с 200 по 1).

10–11 классы

1. Пусть исходное число имеет вид AB, причем A при делении на 7 дает остаток r. Возьмем такую цифру a, что 2r + a делится на 7 (она, очевидно, найдется). Будем делить число вида Aa … aB на 7 в столбик. Когда мы закончим делить A, останется остаток r. На следующем шаге мы будем делить на 7 число 10 r a 7 r 2 r a r, снова получается остаток r. На следующих шагах это повторяется, пока мы не дойдем до деления на 7 числа rB, которое делится на 7 по условию. 5. а) Не может; б) может. а) Пусть единичный квадрат ABCD – проекция