Квант 2020, №4 · Страницы

3

ИСТОЧНИКИ

ры которых (коэффициент трения, упругость, прочность и т.д.) определяют экспериментально, а потом пытаются связать эти параметры между собой, продвигаясь к чаемому пониманию устройства нашего мира. Иногда это можно, на качественном уровне, сделать и в школе.

Вопрос 2. Какой коэффициент трения больше – твердого материала по твердому или того же твердого по мягкому? Как выглядит зависимость диэлектрической проницаемости от частоты для неполярной жидкости (например, жидкий аргон) и полярной (например, вода)?

Эквивалентная схема – что это?

Сейчас прибегнем к промежуточной модели и введем понятие внутреннего сопротивления источника электроэнергии. Подключим наш источник к переменному сопротивлению, измерим зависимость выходного напряжения и тока в нагрузке от сопротивления и построим график зависимости напряжения от тока (рис.1). Эта

Рис. 1

зависимость называется нагрузочной характеристикой или вольт-амперной характеристикой. Во многих случаях (например, для гальванических источников – батареек и аккумуляторов) она близка к прямой. А раз так, то возникает мысль – представить источник эквивалентной схемой из идеального источника ЭДС и сопротивления. Эквивалентная схема – это

ЭЛЕКТРИЧЕСТВА

схема из идеальных в каком-то смысле элементов, которая ведет себя примерно так же, как реальное устройство. Почему вообще эквивалентные схемы получили широкое распространение? Причина этого «случайна»: люди поздно создали компьютеры. Дело в том, что компьютеру можно сообщать информацию о компонентах схемы в любой форме и можно написать программу, которая – если эта информация полна и непротиворечива – сделает расчет схемы. Но если зависимости, которые характеризуют элементы, например вольт-амперные характеристики, нелинейные, то объем вычислений оказывается слишком велик для расчетов вручную. Поэтому и возникло когда-то понятие эквивалентных схем. На заре физики электричества, когда люди о том, как течет вода, хоть что-то знали, а электричество было совсем внове, для рассмотрения электричества при преподавании применялась «гидродинамическая аналогия» – протекание тока рассматривали как течение воды. Со временем ситуация инвертировалась – для описания гидродинамики стали использовать электрические схемы, тоже в некотором смысле эквивалентные. Для расширения кругозора можно спросить в интернете эквивалентные схемы гидравлических систем или эквивалентные схемы электромоторов. Теперь вернемся к нагрузочной характеристике, сделаем несколько замечаний и зададим вопросы. Замечание первое – крайние точки называются напряжением холостого хода и током короткого замыкания, их связь с параметрами эквивалентной схемы очевидна – ее можно увидеть на рисунке. Замечание второе – понятие внутреннего сопротивления создано для описания нагрузочной характеристики, и оно соответствует именно линейной модели. Если мы хотим использовать его расширительно и

4

КВАН T 2020/№4

вычислять его для разных участков реальной характеристики, то оно окажется для них несколько различным.

Вопрос 3. Если вольт-амперная характеристика при малых токах выпукла вниз, а при больших – вверх, как на рисунке 1, то при каких токах внутреннее сопротивление окажется больше и при каких меньше? И еще – можно ли использовать понятие внутреннего сопротивления для определения тепловыделения внутри источника электроэнергии?

Замечание третье – вы, наверное, заметили, что здесь используется термин «источник электроэнергии» Лишь один раз мелькнуло «источник ЭДС», и это было не случайно. В школе вы вперемежку используете выражения «источник ЭДС» и «источник тока». В физике, а точнее в ее инженерно-физической области, которая называется ТОЭ – Теоретические Основы Электротехники (некоторые студенты вздрогнули), эти два термина означают некоторые идеализированные источники электроэнергии. А именно, «источник ЭДС» – это такой, у которого на выходных клеммах всегда одно и то же напряжение (именно это имелось в виду выше, там, где он единственный раз был упомянут). А «источник тока» – это такой, через клеммы которого и через внешнюю цепь протекает всегда один и тот же ток.

Вопрос 4. Объясните, почему это не всегда возможно. Подумайте, в каких условиях работает такая модель, и придумайте модель реального источника с использованием не источника ЭДС (как выше), а источника тока.

А теперь попробуем выйти за пределы концов нагрузочной прямой. Ведь не зря же мы назвали ее прямой, а не отрезком (это, конечно, шутка). Но сначала еще один, чисто школьный, вопрос: как вдоль нашей прямой – которая пока что отрезок – меняются мощность источника, мощность в нагрузке и коэффициент полезного действия? Если пользоваться моделью с источником ЭДС, как на рисунке 1, то мощность, создаваемая источником, растет с током от Р = 0 до $P = EI = E^{2} / r.$ Мощность в нагрузке проходит через максимум при сопротивлении нагрузки R = r,

а мощность, выделяющаяся в источнике, растет как $rI^{2}$, т.е. всю дорогу – не спалите источник! Ну, а КПД соответственно падает от 100% до 0. При согласованной нагрузке это 50%. Все эти ответы можно дать без вычислений, просто посмотрев на схему и немного подумав. А теперь – «поверх барьеров»! Что будет с нагрузочной характеристикой, если ток будет больше тока короткого замыкания или будет течь в обратную сторону? Вы все (ну, почти все) делаете это, а некоторые – ежедневно. Разумеется, для того чтобы пропустить через нагрузку ток в обратную сторону, нужен еще один источник напряжения, причем не какой попало. Какой же? И как его включить? А чтобы пропустить через нагрузку ток, больший тока короткого замыкания, тоже нужен дополнительный источник, причем тут его и включать надо иначе, и требований к нему будет не одно, а два. Ток в обратную сторону – это просто режим заряда. А почему аккумуляторы заряжаются, а батарейки или совсем нет или очень плохо, читайте в интернете, ключевое слово – деполяризатор. Так вот, чтобы ток через нагрузку тек в обратную сторону, в нагрузку включаем источник с большей ЭДС, чем у основного источника, причем навстречу. А чтобы тек ток, больший тока короткого замыкания, в нагрузку включаем источник с большей ЭДС, чем у основного, причем такой, чтобы $(E_{1} + E_{2} ) / (r_{1} + r_{2} ) > E_{1} / r_{1}$.

Об устройстве батарейки

Пришла пора спросить, от чего зависят параметры E и r. Когда мы опускаем проводник (в частности, металл) в электролит, ионы из металла начинают переходить в раствор и обратно. Эти потоки зависят, в частности, от прочности решетки проводника, концентрации ионов в растворе и температуры. При переходе ионов электрод заряжается и возникает разность потенциалов между электродом и раствором, образуется двойной электрический слой. В итоге устанавливается такая разность потенциалов, чтобы потоки сравнялись и возникло динамическое равновесие.

5

ИСТОЧНИКИ

Если опустить в этот же электролит другой проводник, то у него появляется свой потенциал относительно электролита, отличающийся от того, который появился на первом электроде. Таким образом возникла разность потенциалов между электродами, мы изобрели гальванический элемент. Чтобы расширить образование и поразиться человеческой изобретательности, можно набрать в интернете резервные гальванические элементы. Кстати, вы даже из школьного учебника знаете, что бывают элементы с двумя разными электролитами, разделенными полупроницаемой мембраной; так что здесь дана сильно упрощенная картина. Что касается внутреннего сопротивления, то оно связано, как обычно, с сопротивлением среды, по которой вынужден течь ток. Это – электролит, т.е. то, что находится между электродами (и выводы, но их сопротивление обычно пренебрежимо мало). Впрочем, раз нагрузочная характеристика не линейна, то сопротивление не постоянно, а само сложно зависит от тока. Причем если мы произнесли слова «двойной электрический слой», значит, мы признали, что среда неоднородна. Внутреннее сопротивление, как ему и положено (помните $R = \rho L S$ ?) действительно уменьшается при уменьшении толщины и увеличении площади слоя. Но оно уменьшается и при увеличении шероховатости электродов, а это говорит о большом вкладе в сопротивление именно прикатодного слоя, того самого двойного слоя. В общем, поле для исследований у вас будет – причем эта область физики очень и очень востребована техникой. Химические источники электрической энергии создают на своих клеммах разность потенциалов, а вокруг них, соответственно, появляется электрическое поле. В электростатике эти вещи неразделимы – у заряда есть поле, силовые линии (при всей условности этого понятия) кончаются и начинаются на зарядах. Вне электростатики может быть и не так – если контур пронизывает переменный магнитный поток, то в контуре возникает электрическое

ЭЛЕКТРИЧЕСТВА

поле, его силовые линии замкнуты, они не начинаются и не кончаются на зарядах. Разумеется, такое поле не потенциально – запустив в этот контур заряд или просто поместив в него замкнутый проводник, мы извлечем из него энергию.

Вопрос 5. Откуда, кстати, она возьмется?

Пусть источник электроэнергии имеет разность потенциалов между клеммами E при I = 0, т.е. при отсутствии потребления, в режиме холостого хода. Будет ли на клеммах заряд? Иногда уточняют – избыточный заряд, чтобы не услышать, что «какие-то заряды есть всегда – протоны и электроны в атомах». Естественно, клеммы будут заряжены зарядом Q = EC, где C – емкость между клеммами, пропорциональная размеру клемм D. Когда мы соединим клеммы сопротивлением R, по нему и по ним потечет ток. Если ток будет не бесконечно мал, то напряжение между клеммами уменьшится: U < E, уменьшится и заряд. Разность зарядов сбросится через это самое сопротивление в виде импульсного тока, длительность этого импульса будет порядка $\tau =$ max ( RC, D c ), где c – скорость света, R – сопротивление клемм и нагрузки, оно не включает сопротивление источника r. Иными словами, обмен зарядами между клеммами произойдет, даже если мы разорвем цепь источника, т.е. сделаем r неограниченно большим. Казалось бы, экзотическая ситуация? Да, но абсолютно реальная, например – оксфордский электрический звонок. Если сильно упрощать ситуацию, то это – маятник, шарик на конце нити колеблется, поочередно касаясь контактов высоковольтной батареи и в момент касания заряжающийся от них. При этом внутреннее сопротивление батареи огромно, средний ток потребления ничтожно мал (устройство работает от одной батареи больше века), но время заряда весьма мало, поэтому в импульсе ток значителен. При большом сопротивлении батареи заряд касающегося клемм шарика происходит не током «батареи», а током накопленного на клеммах заряда. Вот оценка параметров: $E = 10^{3} B, C = 10^{-} 12$ Ф $, Q = 10^{-} 9$ Кл,

6

КВАН T 2020/№4

$\tau = 3 \cdot 10^{-} 11 c, I_{max} = Q \tau = 30 A$, однако средний ток равен отношению Q к периоду колебания T = 1 c, т.е. $10^{-} 9 A$.

Необычные источники

Однако не все источники электрической энергии имеют нагрузочную характеристику, похожую на прямую, есть и совершенно другие ситуации. В частности, иначе ведут себя источники электрической энергии, использующие энергию, выделяющуюся при радиоактивном распаде. Распадающийся атом – сам по себе преобразователь видов энергии, т.е. внутриядерную энергию он преобразует в механическую энергию, точнее в кинетическую энергию, продуктов распада плюс потенциальную, если они заряжены, плюс электромагнитную, если это кванты. Далее есть несколько вариантов преобразования, один из них – через тепло. Частицы тормозятся в среде, энергия преобразуется в тепло (часть – в разрушение межатомных связей), а дальше есть много разных способов, самый распространенный – через термоэлектричество (РИТЭГ), возможны и другие. Общие обзоры этих методов есть в интернете. Рассмотрим не тепловые пути превращения энергии радиоактивного распада в электричество. Возьмем две пластины из проводника, нанесем на одну из них радиоактивный изотоп, поместим эти пластины в вакуум, сделав от них выводы. В некоторой ситуации между выводами начнет расти напряжение. Быстро ли оно будет расти и какой величины достигнет? Расти оно будет, только если при распаде вылетают заряженные частицы $( \alpha$ или $\beta )$ и попадают на вторую пластину. Скорость роста пропорциональна количеству распадов за единицу времени, заряду частиц и обратно пропорциональна емкости: U = Q / C, а $\Delta U / \Delta t = \Delta Q / (C\Delta t) = I / C,$ где I – ток этих частиц. Расти U будет до тех пор, пока что-то не прекратит этот ток или не возникнет ток утечки по оболочке, или не произойдет вакуумный пробой либо пробой по воздуху. Но если все сконструировано правильно, то утечек и пробоев не

будет, а напряжение между электродами постепенно увеличится до такого, что заряженные частицы просто перестанут долетать до второго электрода. Это произойдет именно тогда, когда напряжение, умноженное на их заряд, сравняется с их исходной энергией (рис.2; здесь сплошная линия – идеализация, штриховая линия –

Рис. 2

ближе к реальности, e – заряд, E – энергия, $I_{max}$ – ток заряженных частиц). Теперь мы можем сообразить, какой будет нагрузочная кривая для атомной батареи именно такой конструкции – мы оговариваем это потому, что реальные атомные батареи устроены иначе, и далее расскажем, как именно. Но пока – вот эта принципиальная конструкция, предложенная Генри Мозли более 100 лет назад. (Для расширения кругозора можно попробовать найти в интернете статью Пять фотографий Генри Мозли и прочитать ее.) А нагрузочная кривая будет совершенно фантастической – просто горизонтальная прямая от нуля тока до максимального, когда все заряженные частицы имеют строго одну энергию и долетают куда надо, и спад до нуля при достижении критического значения тормозящего напряжения. Потому что ток, больший тока заряженных продуктов распада, получить из атомной батареи простейшей конструкции нельзя. Реально энергии частиц немного различаются хотя бы потому, что не все распадающиеся атомы лежат на поверхности, некоторым заряженным частицам приходится пробираться к поверхности и часть энергии при этом остается на пластине – источнике частиц. Кроме того, не все заряженные частицы летят перпендикулярно поверхностям электродов, а для того чтобы не допустить до пересечения зазора частицу, вылетевшую под углом, нужно меньшее тормозящее поле. Поэтому реальная зависимость станет менее категоричной.

7

ИСТОЧНИКИ

Однако это только начало биографии атомных батарей или, как их еще называют, изотопных батарей. Вся применяемая людьми электротехника использует вполне определенный диапазон напряжений и токов. Вы редко встретите напряжения больше 20–30 кВ, потому что при этих напряжениях возникают серьезные проблемы с изоляцией, а если это вакуумные приборы и электроны имеют в них высокую энергию, еще и возникает рентгеновское излучение. Другими словами, если надо все это использовать, есть электронные приборы с напряжением 300 кВ и более и есть линии электропередач 500 кВ и более – но это промышленность, а не быт, хотя и очень важные для цивилизации, но узкие области. Что касается тока, то тоже особо большие токи не слишком удобны – растет сечение проводов. Так что если для какого-то применения нужна определенная мощность, то сочетания напряжения и тока могут быть разные, определяется это экономикой, схемными возможностями, традицией и т.д. Но в общем и целом, то сочетание напряжения и тока, которые могли бы давать атомные батареи тривиальной конструкции, категорически неудобны. Хорошо бы иметь напряжение порядка на три-четыре меньше, а ток, соответственно, больше. Путей решения этой проблемы предложено несколько, причем важно понимать две принципиальные вещи. Чем лучше мы используем ту большую энергию, с которой вылетают частицы, тем выше будет КПД. Другое ограничение – малогабаритное устройство не может иметь на выходных клеммах высокое напряжение, иначе произойдет пробой. Малогабаритное устройство с высоким КПД должно как-то использовать высокую энергию частиц внутри себя, во что-то ее преобразовывая. Посмотрим, какие варианты предложены. Первый – заряженные частицы попадают в пленку полупроводника, где они тормозятся и отдают свою энергию электронам. Само по себе это просто увеличивало бы проводимость, поэтому пленка не однородна, это p–n-переход с двумя, как ему и положено, выводами. Тормозящиеся

ЭЛЕКТРИЧЕСТВА

в p–n-переходе быстрые первичные электроны порождают электронно-дырочные пары, поле перехода растаскивает электроны и дырки в разные стороны, на выводах накапливаются заряды, и, подсоединив к выводам нагрузку, мы получим ток. Один электрон с энергией в килоэлектронвольты порождает тысячи пар, каждая имеет в тысячи раз меньшую энергию, но зато их в тысячу раз больше – это и обеспечит увеличение тока. Правда, при отборе тока электронам приходится пробираться сквозь слой полупроводника, и вольт-амперная характеристика приобретает черты того варианта, что был у батареек – при отборе тока напряжение заметно падает. Проблем у такой конструкции несколько, и одна – общая со всеми атомными батареями. А именно, выбор изотопа и его количества. Период полураспада – это темп падения мощности со временем и срок службы батареи; количество изотопа и энергия продуктов распада – это мощность батареи, ее опасность для окружающих, а если она будет летать в космосе – то это последствия прибытия на Землю с разрушением в атмосфере и заражением (уже были прецеденты) и ее опасность для окружающих устройств. Например, полупроводниковые приборы не любят, когда их облучают. Естественно, есть еще общетехнические проблемы – вес, габариты, стоимость, срок службы, надежность, иногда ремонтопригодность, патентная чистота. Патентная чистота важна, если собираются производить и легально продавать приборы. Вес и габариты – если это носимая, возимая, бортовая аппаратура летательного средства. Самое интересное – срок службы и надежность, потому что иногда лучше срок службы 10000 часов с надежностью 0,9, а иногда лучше 5000 и 0,95 или 1000 и 0,99… (подумайте, когда и почему). Еще одна проблема, которую тоже можно назвать общетехнической, – это принципиальная конструкция, оптимизация параметров, выбор материалов и размеров. Например, в данном случае нужно выбрать оптимальную толщину слоя, со-

9

ИСТОЧНИКИ

ние вообще уменьшает КПД, а у фотоэлементов он не слишком велик. Известны варианты конструкций (некоторые реально использующиеся, некоторые на уровне первых лабораторных образцов) с полетом заряженных частиц через вакуум, причем «плоскость прилета» сделана гибкой. В этом случае при попадании на нее заряженных частиц она изгибается, и если в итоге касается «плоскости вылета», то заряд сбрасывается обратно. В итоге мы получаем генератор не постоянного, а переменного напряжения – что тоже для чего-то может пригодиться. Периодически изгибающаяся консоль может быть использована как механический двигатель, а если сама консоль сделана из пьезоэлектрика – то как еще один источник напряжения, такая идея предлагалась. Во всех случаях остаются в силе соображения, изложенные выше, – или высокое напряжение, но тогда значительные габариты, или малые габариты, но тогда низкий КПД. В последнем случае он становится еще меньше из-за наличия второго преобразования. Пьезокристалл – это еще один источник электроэнергии. Точнее – преобразователь работы в электрическую энергию и обратно, т.е. электроэнергии в перемещение. Сопротивление пьезокристалла весьма велико, поэтому мощность его, как преобразователя механической работы в электрическую мощность, мала. Обычно он применяется либо как источник высокого напряжения и малой мощности, например в зажигалках, либо как датчик перемещений – там мощность не столь важна. В обратном направлении – как способ создания малых перемещений. Это – генераторы ультразвука и устройства для точного перемещения объектов в микроскопии и оптике. Отдельная область применения – использование механического резонанса в кристалле. Принципиальное отличие вольт-амперной характеристики атомных батарей от обычных, химических, состоит в том, что атомные батареи переносят заряженные частицы и этот поток ограничен в принципе. Его можно прекратить, подав на выво-

ЭЛЕКТРИЧЕСТВА

ды соответствующее напряжение, но ни сменить его направление, ни пропустить через атомную батарею ток, больший тока короткого замыкания, невозможно (если, конечно, мы не подадим напряжение, большее напряжения вакуумного пробоя – но при этом мы батарею выведем из строя).

В кабинете физики Существуют и другие источники электрической энергии, переносящие заряды, это – солнечные батареи, генератор Ван де Граафа и электрофорная машина, коечто из этого может быть в школе. Солнечная батарея – это p–n-переход, генерация электронно-дырочных пар производится не высокоэнергетичной заряженной частицей, а квантом света. Поскольку солнечный свет на земле бесплатен и его много, люди давно и упорно пытаются добывать электроэнергию прямо из него. Сейчас из всей энергии, используемой человечеством, примерно 2% получают от таких батарей. Это немного, но цифра устойчиво растет, причем в ближайшие годы рост ускорится – потому что электричество, получаемое этим способом, сравняется по стоимости с «обычным» и это увеличит приток инвестиций. Соответственно, вольт-амперная характеристика солнечной батареи похожа на характеристику атомной батареи. На рисунке 6 представлен пример характеристик при разной освещенности. Генератор Ван де Граафа – это источник весьма высоких, до 25 МВ, напряжений при малых токах, хотя усовершенствован-

Рис. 6

10

КВАН T 2020/№4

ная модификация, пеллетрон, выдает до 0,5 мА. Исторически его использовали для физических экспериментов, например для питания линейных ускорителей, сейчас – наверное, только в учебных целях. Генератор содержит диэлектрическую кольцевую ленту, натянутую между двумя роликами и расположенную вертикально – нечто вроде вертикального эскалатора. У нижнего конца расположен источник умеренно высокого напряжения, который ионизует воздух. Ионы налипают на ленту и переносятся ею наверх. Наверху заряд снимается с ленты и переносится на проводящий шар большого диаметра.

Вопрос 7. Чем ограничено максимальное напряжение генератора Ван де Граафа, за счет чего накапливается в нем энергия и что происходит с ионами, доставленными лентой наверх?

Существует еще несколько устройств, в которых высокое напряжение создается за счет работы по перемещению зарядов. Вот три примера, два из которых вам, скорее всего, известны. Первый – капельница Кельвина. Попробуйте догадаться, как она работает, посмотрев на рисунок 7. Устройство примитивно – две металлические банки внизу, два металлических кольца выше, два провода и труба с раздвоением, из которой капает.

Рис. 7

Оказывается, принципиальный момент здесь – случайная несимметрия по заряду. Например, одну банку двигали по столу, другую нет, первая и электризовалась. А дальше что происходит? Например, левая зарядилась минусом. Тогда правое кольцо тоже заряжается минусом, правый конец трубы – плюсом, капли из него и правая банка – плюсом, причем чем дальше, тем больше. Но вот вопрос – чем ограничено напряжение? Близкие по принципу работы родственники этого прелестного устройства – электрофорная машина и ее предшественница машина Гольца. Заметим, что при обсуждении работы электрофорных машин часто начинаются споры, важна ли для их работы электризация трением. Из источников в интернете можно сделать вывод, что электризация трением сделает более быстрым процесс накопления заряда. И в более старых конструкциях она действительно применялась. В более поздних конструкциях, рассчитанных не на достижение наибольших напряжений, а предназначенных для демонстрации эффекта, стали обходиться без этого. Электризацию трением серьезно исследовал М.И.Корнфельд (публикации в журнале «Физика твердого тела»), а популярное изложение есть в журнале «Квант» (№6 за 1985 г.).

Напоследок заметим, что источники электричества есть у живых организмов, например — у некоторых рыб. Люди такие источники, кажется, не применяют, а рыбы — вполне. Они используют их для локации и как оружие. И есть еще один источник электричества, причем мы сами живем внутри этого источника — это атмосфера. В этом случае мы можем указать на некоторые процессы, благодаря которым работает такая батарейка. Перенос зарядов осуществляется в атмосфере аэрозолями — каплями воды, кристаллами льда. А их заставляют двигаться потоки воздуха и гравитация.

Еще раз о графике синуса

Е.БАКАЕВ

В статье П.Панова (см. «Квант» № 3) обсуждается, как выглядит график sin ( 314x ), состоящий из точек с абсциссами, кратными $10^{-} 3$. Естественно обобщить этот вопрос и выяснить, как выглядит график sin ( ax ), если отмечаются только его точки с абсциссами, кратными d. Здесь же мы рассмотрим другой подход к этой задаче. Для простоты мы тоже возьмем частный случай, но другой: a = d = 1. Построим график: на рисунке 1 изображены точки, соответствующие значениям sin x для целых x от 0 до 50. Но размеры графика и, соответственно, масштаб осей можно выбирать по-разному. Например, вот первые 1000 точек sin x для натуральных x (рис.2) и первые 10000 точек (рис.3). Получается, что a и d это не единственные параметры, от которых зависит, что мы увидим на графике, – важен еще масштаб осей.

Рис. 1

Рис. 3

Графики друг на друга не похожи: на одном вырисовывается узор из шестиугольников, а на другом возникает переплетение линий, похожих на синусы. А ведь они устроены одинаково, просто график с 1000 точками это растянутая в ширину 1 10 часть графика с 10000 точками (при этом растягивании сами точки не вытягиваются в овалы, а по-прежнему остаются круглыми). В этом можно убедиться, посмотрев на график на рисунке 2 сбоку под острым углом. Тем не менее графики выглядят поразному, потому что при таком растягивании расстояние между многими парами точек увеличивается, и точки, которые на рисунке 3 кажутся близкими, на рисунке 2 могут такими не казаться. Такой вопрос был поставлен в книге Гилберта Стрэнга [1]. Более подробно он разобран в статье Нормана Ричерта «Strang’s Strange Figures» [2]. Наш подход будет во многом следовать этим источникам. Но будет и отличаться.

Прямая, намотанная на цилиндр

Рис. 2

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20200402

Чтобы сделать дальнейшие рассуждения и вычисления более простыми, перейдем от синусов к рассмотрению прямых. Для этого представим себе цилиндр. Если на прозрачной пленке нарисовать прямую и намотать пленку на прозрачный цилиндр

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: math@kvant.ras.ru и phys@kvant.ras.ru соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2598 – М2601 предлагались на весеннем туре XLI Турнира городов. Задачи Ф2605–Ф2608 предлагались на заключительном туре Инженерной олимпиады школьников в 2019/20 учебном году. Автор задач – С.Муравьев.

Задачи М2598–М2601, Ф2605–Ф2608

M2598. Может ли в сечении какого-то тетраэдра двумя разными плоскостями получиться два квадрата: один – со стороной не больше 1, а другой – со стороной не меньше 100? М.Евдокимов

M2599. К Ивану на день рождения пришли 2N гостей. У Ивана есть N черных и N белых цилиндров. Он хочет устроить бал: надеть на гостей цилиндры и выстроить их в хороводы (один или несколько) так, чтобы в каждом хороводе было хотя бы два человека и люди в цилиндрах одного цвета не стояли в хороводе рядом. Докажите, что Иван может устроить бал ровно (2N)! различными способами. (Цилиндры одного цвета неразличимы; все гости различимы.) Г.Погудин

M2600. Дан вписанный четырехугольник ABCD. Окружности с диаметрами AB и CD пересекаются в двух точках X 1 и Y 1. Окружности с диаметрами ВС и АD пересекаются в двух точках X 2 и Y 2. Окружности с диаметрами AС и ВD пересекаются в двух точках $X_{3}$ и $Y_{3}$. Докажите, что прямые $X 1 Y 1, X 2 Y 2, X_{3} Y_{3}$ пересекаются в одной точке. М.Дидин

M2601. Глеб задумал натуральные числа N и a, где a < N. Число a он написал на доске. Затем Глеб стал проделывать такую операцию: делить N с остатком на последнее выписанное на доску число и полученный остаток от деления также записывать на доску. Когда на доске появилось число 0, он остановился. Мог ли Глеб изначально выбрать такие N и a, чтобы сумма выписанных на доске чисел была больше 100N? И.Митрофанов

Ф2605. Два маленьких шарика – легкий от пинг-понга и тяжелый каучуковый – бросают вместе на пол с высоты h (шарик от пинг-понга – сверху, каучуковый – снизу; рис.1). Шарики падают на землю, и каучуковый шарик отражается от земли. Считая, что все столкновения шариков упругие, что между шариками есть небольшой зазор и шарик от пингпонга много легче $каучуково-_{Рис.} 1$ го шарика, найдите, на какую высоту подпрыгнет шарик от пинг-понга. Размеры шариков много меньше высоты h. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ф2606. Шесть одинаковых зацепляющихся зубчатых колес связаны рычагом, вращающемся с угловой скоростью $\omega$ относи-

18

КВАН T 2020/№4

в которой биссектриса внутреннего угла многоугольника горизонтальна. М.Скопенков

М2587. В каждой клетке полоски длины 100 стоит по фишке. Можно за 1 рубль поменять местами любые две соседние фишки, а также можно бесплатно поменять местами любые две фишки, между которыми стоят а) ровно три фишки; б) ровно четыре фишки. За какое наименьшее количество рублей можно переставить фишки в обратном порядке?

Ответ: а) за 50 рублей; б) за 61 рубль. Занумеруем клетки по порядку от 1 до 100, а текущим номером фишки будем считать номер клетки, на которой она стоит. а) Оценка. Пусть фишки переставили в обратном порядке. Тогда каждая фишка должна была поменять четность своего номера. Но заметим, что бесплатная операция не меняет четность номеров фишек, а платная операция меняет ее у двух фишек. Поэтому потребуется сделать не менее 100 2 = 50 операций. Пример. Предварительно заметим, что бесплатная операция не меняет остаток номера фишки при делении на 4 и, наоборот, можно бесплатно переставить в любом порядке 25 фишек, номера которых дают один и тот же остаток при делении на 4. Выполним 49 обменов: 2–3, 4–5, 6–7, 8– 9, …, 98–99. Затем бесплатными операциями фишку 1 переставим на клетку 5, а фишку 100 – на клетку 4, после чего поменяем их местами за 1 рубль. Теперь каждая фишка заняла клетку с номером нужного остатка при делении на 4, для того чтобы бесплатными операциями переставить их в порядке, обратном к исходному. б) В этом пункте бесплатная операция не меняет остаток номера клетки при делении на 5. Наоборот, можно бесплатно переставить в любом порядке 20 фишек, номера которых дают один и тот же остаток при делении на 5. Для решения удобна следующая модель: разложим фишки в 5 кучек по 20 фишек, в кучку номер 0 – фишки с остатком 0 при делении на 5, в кучку номер 1 – фишки с остатком 1 при делении на 5

и так далее. Расположим кучки фишек по кругу – сначала кучка 0, потом – 1, и так далее до 4 (см. рисунок). Теперь платная операция представляет собой обмен пары фишек из соседних кучек. Бесплатные операции можем больше не рассматривать (бесплатная операция «перемешивает» фишки внутри одной кучки). Нам требуется переложить все фишки из кучки 0 в кучку 4 и, наоборот, из кучки 4 в кучку 0, а также переложить все фишки из кучки 1 в кучку 3 и, наоборот, из кучки 3 в кучку 1; фишки из кучки 2 должны в итоге остаться в той же кучке. Оценка. Каждая фишка из кучки 0 должна участвовать хотя бы в одном обмене между кучками, чтобы добраться до кучки 4. Аналогично для фишек кучки 4. Каждая фишка из кучки 1 должна участвовать хотя бы в двух обменах, чтобы добраться до кучки 3. Аналогично для фишек кучки 3. Значит, потребуется не менее ( 20 + 20 + 40 + 40 ) 2 = 60 обменов. Но если в доказанной оценке будет достигаться равенство (т.е. будет сделано ровно 60 обменов), то фишкам из кучки 1 придется идти через кучку 2, поэтому хотя бы одна фишка из кучки 2 будет участвовать в обмене. Следовательно, необходимо больше 60 обменов. Пример. Сделаем 20 обменов, меняющих местами фишки из кучек 0 и 4. Далее, обозначим по-новому фишки, которые вначале были в кучке 1: 1.1, 1.2, …, 1.20, и аналогично занумеруем фишки в кучках 2 и 3. Выполним последовательно 41 обмен: 2.1–1.1, 1.1–3.1, 3.1–1.2, 1.2–3.2, 3.2–1.3, 1.3–3.3, 3.3–1.4,…, 1.20–3.20, 3.20–2.1. Нетрудно убедиться, что все фишки из кучки 2 остались в итоге в той же кучке, а фишки из кучек 1 и 3 поменялись местами. Е.Бакаев

М2588*. Точка M лежит внутри выпуклого четырехугольника ABCD на одинаковом расстоянии от прямых AB и CD и

23

«КВАНТ»

Д ЛЯ

М Л АД Ш И Х

Ш К О ЛЬ НИК О В

Примеры и контрпримеры

А.КАНУННИКОВ

Об одном признаке делимости Начнем с такого примера. Хорошо известен признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Верен аналогичный признак делимости на 9. Например, 145287 кратно 9, так как $1 + 4 + 5 +^{2} + 8 + 7 = ( 1 + 8 ) + ( 4 + 5 ) + (^{2} + 7 ) = = 3 \cdot 9$ кратно 9. Справедлив ли аналогичный признак делимости на 27? Возьмем, к примеру, наименьшее число с суммой цифр 27: 999. Легко видеть, что оно кратно 27 (достаточно разделить его на 9 и получить число 111, кратное 3). Возьмем другой пример: 11…11 (27 единиц). Разделив его на 3, получим число из 9 блоков 037:

111 111 … 111: 3 = 37 037 … 037.

Сумма цифр полученного частного равна $( 3 + 7 ) \cdot 9$ и кратна 9, значит, само частное делится на 9, а тогда исходное число из 27 единиц делится на 27. Мы разобрали два примера, но даже если бы нашли миллион подтверждающих примеров, мы бы не доказали признак. Напротив, число 9981 показывает, что наш признак неверен: хотя 9 + 9 + 8 + 1 = 27, но 9981 не кратно 27, так как 9981: 9 = 112 не кратно 3. Число 9981 опровергает неверный признак делимости на 27. Вообще, пример, который опровергает какое-то утверждение, называется контрпримером. Приведем шуточную «теорему»: в математике нет терминов, в названии которых пять согласных идут подряд. Само слово «контрпример» является контрпримером к этой «теореме».

2*. Признак делимости на 27 с суммой цифр неверен в десятичной системе счисления. Подумайте, почему в ней верны признаки делимости на 3 и 9, и попробуйте понять, в каких системах счисления верен аналогичный признак делимости на 27.

Об одном признаке равенства треугольников Перейдем к геометрии. Вполне очевидно, что если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис.1). Это утверждение называется первым признаком равенства треугольников. Коротко говорят так: треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Давайте подумаем, а будет ли верен аналогичный признак, если слова «между ними» заменить словами «не между ними» (рис.2.) В подтверждение этой гипотезы говорит известный факт, что прямоугольные треугольники равны по катету и гипотенузе: прямой угол лежит

Рис. 1

Упражнения 1. Найдите самый маленький контрпример к «признаку делимости на 27», т.е. такое наименьшее натуральное число, не кратное 27, сумма цифр которого кратна 27.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20200403

Рис. 2

25

«КВАНТ»

Д ЛЯ

М Л АД Ш И Х

по очереди, делится ли оно на 2; на 3;… на 9. На все восемь вопросов Дима ответил верно, причем ответов «да» и «нет» было поровну. а) Можете ли вы теперь ответить верно хотя бы на один из вопросов учительницы, не зная самого числа? б) А хотя бы на два вопроса? Конечно, если мы можем ответить на два вопроса, то и на один тем более. Поэтому, «по законам жанра», скорее всего, ответ в пункте а) – да, а в пункте б) – нет. Разумеется, это не гарантированно. Но согласитесь, было бы странным задавать два вопроса, если даже на один мы однозначно ответить не можем. Начнем с того, что попробуем придумать пример к пункту а). Напрашивается проверить ответ на первый вопрос учительницы – про делимость написанного (и неизвестного нам) числа N на 2. Если ответ «нет», то число нечетно и поэтому не делится также ни на 4, ни на 6, ни на 8. Поскольку ответов «делится» и «не делится» поровну, значит, на оставшиеся четыре числа 3, 5, 7, 9 число N должно делиться. Но тогда оно делится на $3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$ и никак не двузначное. Полученное противоречие показывает, что число N точно делится на 2, так что ответ в пункте а) утвердительный. Перейдем к пункту б). Интуиция нам подсказывает, что ответ «нет», но мы этого точно не знаем. Назовем двузначное число хорошим, если учительница могла его написать на доске, т.е. если оно делится ровно на четыре числа от 2 до 9. В пункте а) мы доказали, что всякое хорошее число четное. Будем пытаться доказать ответ «да» в пункте б), т.е. найти число от 3 до 9, на которое точно делится или точно не делится каждое хорошее число. Найдется ли, к примеру, хорошее число, кратное 9? Если да, то оно также кратно 3, а еще 2, а тогда и 6. Уже 4 делителя: 2, 3, 6, 9. Наименьшее такое число 18 – оно и вправду хорошее. Попробуем теперь найти хорошее число, кратное 8. Оно автоматически делится на 2 и 4 – уже три делителя. Если оно делится на 3, то тогда и на 6 – уже пять делителей. Но оно может делиться на 5: 40 – хорошее число с делителями 2, 4, 5, 8.

Ш К О ЛЬ НИК О В

Примеры чисел 18 и 40 показывают, что нельзя однозначно ответить, делится ли хорошее число на 3, 4, 5, 6, 8, 9 или нет: всякий раз ответы для чисел 18 и 40 разные. Нам осталось определиться с семеркой: 18 и 40 на 7 не делятся. Существует ли хорошее число, кратное 7? Да, легко привести пример, взяв вместо числа $40 = 8 \cdot 5$ число $56 = 8 \cdot 7$. Вот мы и доказали, что ответ к пункту б) – «нет». Задача 3. а) Может ли работа фирмы за любые пять месяцев быть прибыльной, а за весь год – убыточной? б) Может ли такое положение продолжаться в течение шести лет? (Иными словами, по итогам любых пяти подряд идущих месяцев фирма получает прибыль, а по итогам каждого из шести лет – терпит убыток.) На первый взгляд, такого быть не может, но давайте не спешить с выводами. В пункте б) отрезок в шесть лет указан «для отвода глаз». На самом деле, описанная ситуация невозможна даже в течение пяти лет – ведь такой отрезок времени делится на 12 отрезков по пять месяцев и все они прибыльные по условию. Итак, в пункте б) ответ «нет». Перейдем к пункту а), еще не зная, приведут ли наши размышления к примеру или к опровержению. Переформулируем вопрос на математическом языке: может ли сумма 12 чисел быть отрицательной, в то время как сумма 5 любых подряд идущих из них положительна? Если да, то сумма первых десяти чисел положительна, а тогда сумма двух последних отрицательна. С другой стороны, верно симметричное заключение: сумма первых двух чисел отрицательна, а десяти остальных – положительна. Наконец, рассмотрев крайние пятерки чисел, получим, что сумма двух чисел в середине отрицательна. Для приведения примера учтем еще, что 1-е и 12-е числа участвуют каждое только в одной пятерке, так что переложим на них «основную ответственность за убыток». Из этих соображений уже несложно придумать пример:

$- 5, 0,^{2,} 2,^{2,} - 1, -^{2,} 2,^{2,} 2, 0, - 5$.

26

КВАН T 2020/№4

Вся сумма равна $- 2$. Аккуратно проверьте каждую пятерку подряд идущих чисел.

Кто больше, или «Оценка + пример»

Очень часто в задачах нужно не только привести пример, но и доказать его оптимальность в каком-то смысле (наибольшее число, наименьшее время работы и т. д.). Соответственно, решения таких задач состоят из двух частей. Когда мы приводим пример, нам нужно только показать, что он удовлетворяет условию. При доказательстве же оптимальности недостаточно привести несколько контрпримеров, мол, у нас лучше не получилось. Необходимо доказать, что ни у кого лучше не получится! Задача 4. В пять горшочков, стоящих в ряд, Кролик налил три килограмма меда (не обязательно в каждый и не обязательно поровну). Винни-Пух может взять любые два горшочка, стоящие рядом. Какое наибольшее количество меда сможет гарантированно съесть Винни-Пух? Если Кролик разольет мед поровну, то Пуху достанется 6 5 кг. Но Кролик может поступить хитрее: разлить по килограмму в горшочки 1, 3 и 5, и тогда Пух возьмет 1 кг. Может ли экономный Кролик спасти еще больше меда? Перебрав варианты, приходим к гипотезе, что нет. Докажем это и заодно покажем, как можно прийти к ответу 1 кг, если мы сразу не догадались до хитроумного способа Кролика. Пусть Пух может гарантированно забрать только x кг и не больше. Это значит, что как бы ни разливал Кролик мед, в каждой паре горшочков $( 1,^{2} ), (^{2,} 3 ), ( 3, 4 ), ( 4, 5 )$ не более x кг, причем в какой-то паре ровно x кг. Сложив содержимое пар ( 1, 2 ), ( 3, 4 ) и добавив 5-й горшочек (в котором тоже не более x кг), получим, что общая масса не более 3x кг (рис.5). Но по

Рис. 5

условию она равна 3 кг. Итак, $3 \le 3x$, т.е. $x \ge 1$. Значит, Кролик может не надеяться спасти больше двух килограммов меда. Кстати, из этого рассуждения получается и выше приведенный пример, и его единственность. Именно, чтобы x был равен 1, необходимо, чтобы в 5-м горшочке меду было ровно 1 кг. Но тогда, симметрично, и в 1-м горшочке ровно 1 кг. Теперь ясно, что во 2-м и 4-м горшочках должно быть пусто, а в 3-м – 1 кг.

Упражнение 5. Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама – за 2, сын – за 5, а бабушка – за 10 минут. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. Если переходят двое, то они идут с меньшей из их скоростей. Двигаться по мосту без фонарика нельзя. Светить издали нельзя. Носить друг друга на руках нельзя. За какое наименьшее время семья сможет перейти мост?

КОНКУ РС ИМ Е НИ А. П. С АВИНА

Мы завершаем очередной конкурс по решению математических задач. Они рассчитаны в первую очередь на учащихся 7–9 классов, но мы будем рады участию школьников всех возрастов. Конкурс проводится совместно с журналом «Квантик». Высылайте решения задач, с которыми справитесь, электронной почтой по адресу: savin.contest@gmail.com или обычной почтой по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант» (с пометкой «Конкурс имени А.П.Савина»). Кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором вы учитесь, а также обратный почтовый адрес. Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в таком случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы. Задания, решения и результаты публикуются на сайте sites.google.com/view/savin-contest Желаем успеха!

29. Положительные числа x и y таковы, что 1 > 3 2 + 5 4 +…………………………. 2017 2016 + 2019 2018 + 2020 + x

1

>

.

3

2 +

4 +

5………………………….

2016 +

2017 2019 2018 + 2020 + y

Что больше: x или y?

C.Дворянинов

30. На доске написаны числа 1, 2, ……, 2020. Какое наименьшее количество чисел надо стереть, чтобы для любых двух оставшихся чисел a и b сумма a + + b не делилась на разность a – b? Фольклор

31. В окружность вписан 1000-угольник, его вершины покрашены поочередно в красный и синий цвета. Каково наибольшее возможное количество красных вершин, углы при которых меньше $179^\circ$? Б.Френкин

32. Рассмотрим плоскость с декартовыми координатами. Можно ли разделить ее на многоугольники так, чтобы строго внутри каждого многоугольника была точка с целыми координатами, а также чтобы а) площадь каждого многоугольника была меньше 0,9; б) существовало такое d, что у каждого многоугольника диаметр меньше d, а площадь меньше 0,9; в) существовало такое d, что у каждого многоугольника диаметр меньше d, а площадь меньше 1? (Диаметром многоугольника называется наибольшее из расстояний между двумя точками на его границе. Например, диаметр квадрата со стороной 1 равен 2 .) Е.Бакаев

Вниманию наших читателей

Начиная с 2017 года журнал «Квант» стал ежемесячным и в год выходит 12 номеров журнала. Подписаться на наш журнал можно с любого номера в любом почтовом отделении. Наш подписной индекс в каталоге «Пресса России» – 90964. Купить журнал «Квант» возможно в магазине «Математическая книга» издательства МЦМНО (адрес интернет-магазина: biblio.mccme.ru), а также в московских книжных магазинах «Библио-глобус», «Молодая гвардия», «Московский дом книги» и в редакции журнала. Архив вышедших номеров журнала «Квант» имеется на сайте http://kvant.ras.ru

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ

Дышите на здоровье!

А.МИНЕЕВ

ВДАННОЙ СТАТЬЕ РЕЧЬ ПОЙДЕТ О воздействии на человека кислорода и углекислого газа – по отдельности и вместе. Некоторую настоящую интригу придает взгляд на проблему как извне – со стороны вдыхаемого воздуха, так и изнутри – внутри самого организма. Или, более научно, как со стороны внешнего дыхания – обмена между атмосферой и клетками в легких, так и внутреннего дыхания – процессы в клетках и тканях организма. Среднее значение давления земной атмосферы на уровне моря примерно равно $p_{атм} = 760$ мм рт. ст. На долю кислорода приходится 160 мм рт. ст. или приблизительно 21%. Кислород частично усваивается организмом, углекислый газ образуется в результате химических реакций окисления. Состав вдыхаемого и выдыхаемого воздуха приведен в таблице.

Таблица 1. Состав вдыхаемого и выдыхаемого воздуха

Чем интересны эти цифры? Азот и аргон не используются организмом человека (являются инертными). Степень усвоения кислорода невелика, около 0,25. После вдоха организм выдыхает обратно основную часть кислорода. Углекислый газ практически отсутствует во вдыхаемом воздухе и активно образуется при окислительных реакциях в организме. Процент поглощения организмом кислорода (21% – 16% = 5%) оказывается близким к проценту образования углекислого газа (4%).

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20200405

Инертность азота и аргона при обменных процессах в организме привела к соблазну вообще отказаться от них в условиях длительного пребывания в замкнутом пространстве. По этому пути пошли американские астронавты в первых космических полетах, перейдя на дыхание чистым кислородом. При этом давление в случае использования только $O_{2}$ было существенно ниже атмосферного и составляло 260–280 мм рт. ст. Однако по мере увеличения длительности космических полетов в такой чисто кислородной атмосфере у астронавтов стали появляться проблемы с дыхательными путями. К тому же, чисто кислородная атмосфера пожароопасна. Российские космонавты с самого начала использовали состав воздуха, близкий к земному, что потребовало более сложной системы регенерации воздуха. В настоящее время при полетах в космосе и в плавании на подводных лодках используется земной состав атмосферы.

Взгляд снаружи

Диапазон концентрации кислорода в воздухе, пригодный для жизни. Диапазон содержания кислорода в воздухе $p_{O} 2$, при котором возможна жизнедеятельность человека в течение длительного времени, ограничен значениями

$90 - 100$ мм рт. ст. $< p_{O} 2 < 400 - 450$ мм рт. ст.

Нижняя граница соответствует началу кислородного голодания, верхняя – началу кислородного отравления. В процентном отношении наступление кислородного голодания у здорового человека наступает уже при содержании $O_{2}$ в воздухе $p_{O} 2 p_{атм}$ менее 14% (при $p_{атм} = 760$ мм рт. ст.). Эти данные соответствуют диапазону жизнедеятельности человека на уровне моря. По мере подъема в горы давление снижается, что наглядно отражают кривые атмосферного давления и парциального давления кислорода (рис.1). Видно, что начиная с высот 4,5–5 км давление кислорода становится ниже допустимой нижней границы давления в 90 мм рт. ст. При этом давление воздуха в альвеолах составляет 105–110 мм рт. ст., что также близко к нижней границе. По мере уменьшения давления кислорода до уровня

9. Можно ли силу 8Н разложить на две по 5Н каждая? А на две по 9Н каждая? 10. Брусок покоится на наклонной плоскости. Как графически найти точку приложения нормальной реакции опоры? 11. Закрытый вагон движется по горизонтальной поверхности с постоянным ускорением а. К полу вагона привязан на нити шарик, заполненный гелием. Куда отклонится нить? 12. Тело брошено под углом к горизонту. Как меняется во время его движения мощность силы тяжести? Сопротивление воздуха не учитывать. 13. В результате сложения электрических полей с напряженностями $E_{1}$ и $E_{2}$ получено поле Е. Равна ли энергия поля Е сумме энергий полей $E_{1}$ и $E_{2}$? 14. Является ли стрелка компаса, указывающая направление магнитной индукции поля Земли, вектором? 15. Вблизи Москвы вертикальная компонента магнитной индукции поля Земли $B_{в}$ составляет примерно 93% от полной индукции В. Какой процент от полной индукции составляет горизонтальная компонента $B_{г}$? 16. Человек идет со скоростью v навстречу зеркалу, горизонтальная плоскость которого движется вверх со скоростью u. Какова скорость изображения человека в зеркале? 17. Как будет ориентироваться относительно Солнца спутник сферической формы, одна половина которого зеркальная, а другая покрыта черными термобатареями?

Микроопыт

Постарайтесь как можно сильнее ударить ногой по покоящемуся мячу (естественно, в большом спортзале или на стадионе). Как связана скорость бьющей ноги v со скоростью отлетевшего мяча u? Какие допущения вам придется сделать для этой оценки?

ципа постоянства количества движения (импульса тела) ученый странным для него образом посчитал скорость не векторной, а скалярной величиной, что стало причиной ошибочности правил, образующих декартову теорию соударений. …уже в 1669 году Гюйгенс уточнил, что при взаимодействии тел сохраняется не арифметическая, а геометрическая сумма количеств движения, и вывел законы столкновения упругих тел. …в учебниках физики на английском языке различают два понятия: velocity – скорость (векторная величина) и speed – быстрота движения (скалярная величина). Второй термин образует корень слова «спидометр». …разделить физические величины на скалярные и векторные предложил ирландский математик и механик У.Гамильтон, разработав особые правила действий с векторами. Новое исчисление оказалось удивительно подходящим для формулировки теории электромагнетизма Максвелла, а в дальнейшем было развито американским физиком Дж.Гиббсом и английским ученым О.Хевисайдом. …теория скользящих векторов, применяемая в задачах, где приходится принимать в расчет не только массу, но и размеры тела, широко используется в статике, в строительной механике, в кинематике и динамике твердого тела. …векторы, связанные с вращением, направление которых определяется знаменитым «правилом буравчика», – это момент силы, угловые скорость и ускорение. А еще один вектор – момент количества движения – «проник» из механики в теорию элементарных частиц, став одной из важнейших их характеристик, называемой спином.

Что читать в «Кванте» о векторах в физике

(публикации последних лет)

Любопытно, что…

…еще в конце ХVI века голландский инженер и математик Симон Стевин осознал векторный характер силы и предложил способ изображения сил с помощью линий и правило геометрического их сложения. …в начале XVII века Галилей, исследуя поведение тел, брошенных под углом к горизонту, выдвигает фундаментальный принцип – закон сложения перемещений. …в изданном в 1644 году трактате Декарта «Начала философии» в формулировке прин-

1. «Геометрия скользящих векторов» – 2014, Приложение №4, с.114; 2. «Поле и линии поля» – 2015, №2, с.35; 3. «Скорость и ускорение» – 2016, Приложение №4, с.6; 4. «Как не быть мазилой» – 2018, №7, с.37; 5. «Господин Великий Косинус» – 2019, №1, с.39; 6. «Относительность движения в задачах кинематики» – 2019, №2, с.43; 7. «Относительность движения в задачах динамики» – 2019, №4, с.40.

Материал подготовил А.Леонович

35

ФИЗИЧЕСКИЙ

Рис. 3. Узкая щель («опасная точка»). Для проплыва через щель было необходимо снять акваланг, поэтому каждого ребенка спасали два дайвера

сти проплыва через щель показаны на рисунке 3. Спасателям пришлось непрерывно откачивать воду из пещеры. Поэтому в ней находилось большое количество спасателей, помогавших откачивать воду и готовить детей к выходу. В этой ситуации оказались важны все отмеченные выше особенности поведения кислорода и углекислого газа в замкнутом объеме. Для борьбы с постепенным уменьшением количества кислорода в пещере была организована доставка кислорода с помощью специального трубопровода. Было решено, что накопление углекислого газа в пещере представляет существенно большую опасность, чем нехватка кислорода. Закачкой кислорода по трубопроводу в верхнюю часть пещеры вытесняли углекислый газ. Учитывалось также расслоение воздуха на фракции – $CO_{2}$ скапливался в нижней части пещеры. Вот почему дети и тренер скрылись в верхней ее части. Поиски ребят и подготовительные работы заняли почти две недели. За это время известный изобретатель и организатор исследований Илон Маск (космические корабли, электрокары) успел из запчастей к ракете изготовить миниатюрную подводную лодку на одного человека и доставить ее в Таиланд. Но из-за узкой щели от ее использования отказались. Ситуация с каждым днем становилась все более сложной. Необходимо было постоянное присутствие людей, занятых на откачке воды из пещеры (иначе пещера полностью

ФАКУЛЬТАТИВ

заполнилась бы водой) и установке труб для подачи кислорода. Более десятка аквалангистов доставляли в пещеру воду, еду и кислородные баллоны. Там постоянно присутствовали врачи и те, кто готовили спасательную операцию. При дыхании этих взрослых спасателей состав воздуха ухудшался еще стремительнее. Наступил момент, когда из-за накопления углекислого газа дальше ждать было нельзя. Множество кислородных баллонов было расставлено по всему маршруту из пещеры к выходу (каждый баллон рассчитан на работу только в течение часа). Тысяча спасателей снаружи, включая сто дайверов, начали операцию. В первый день 13 дайверов спасли четырех подростков. Во второй день 18 дайверов (и 70 аквалангистов сопровождения) спасли еще четверых. Наконец, в третий день были спасены оставшиеся четверо детей и их тренер, а также 4 человека, остававшиеся в пещере. Молодцы!

Взгляд изнутри

На уровне клеток организма состав воздушной среды совершенно иной. Содержание кислорода в клетках организма около 1– 2% (исключение – эритроциты, в которых может содержаться до 96–98% кислорода), углекислого газа в клетках около 6%. Если концентрации $CO_{2}$ в клетках уменьшается, то появляется все больше проблем с дыханием. На рисунке 4 приведена зависимость характерного времени, в течение которого человек (не рекордсмен) способен задержать дыхание, частоты пульса и степени

Рис. 4. Характерная зависимость времени задержки дыхания (секунды), частоты пульса (количество ударов в минуту) и степени ухудшения кровоснабжения (проценты) от концентрации углекислого газа в крови

36

КВА НT 2020/№4

ухудшения кровоснабжения органов от концентрации углекислого газа. Общий вывод таков: при уменьшении концентрации $CO_{2}$ время задержки дыхания уменьшается и, если она приближается к 3%, клетки гибнут; быстро растет частота пульса; ухудшается кровоснабжение органов. В результате желательная концентрация $CO_{2}$ в клетках должна быть 6% и даже немного больше. Примерное содержание кислорода и углекислого газа в различных частях организма человека, приведенное в таблице 3, подтверждает вышеуказанные цифры.

Таблица 3. Содержание кислорода и углекислого газа

оплетены сетью капилляров (рис.5). Через стенки альвеол (их диаметр около 0,3 мм, количество альвеол в легких человека около миллиарда, а общая поверхность приблизительно $100 м^{2} )$ осуществляется газообмен: кислород переходит в кровь и примерно столько же углекислого газа из крови поступает в легкие. Более точно, в среднем за сутки из альвеолярного воздуха в кровь поступает 500 литров кислорода и выделяется 430 литров углекислого газа из крови в альвеолярный воздух. Более подробно о свойствах альвеол рассказано в книге К.Ю.Богданова «Физик в гостях у биолога» (Библиотечка «Квант», выпуски 49, 133).

Что первично для организма: $O_{2}$ или $CO_{2}$?

В легких происходит обмен кислорода и углекислого газа между альвеолами и кровью. Альвеолы – концевые образования в легких, имеющие вид пузырьков, которые

Рис. 5. Вид альвеолы, опутанной капиллярами. Показаны пути поступления кислорода в эритроциты и выхода углекислого газа из эритроцитов

Помните известный парадокс: что было раньше – курица или яйцо? Он не разрешим, если не привлекать во внимание процесс эволюции и образование новых видов. Но если привлечь, то у яйца оказывается некоторый приоритет, он древнее. Так, еще динозавры откладывали яйца, а птицы произошли от одной из ветвей динозавров. Получается, что яйцо древнее птицы и в этом, эволюционном, смысле первично… В нашем случае проблема выбора – что первично (иными словами, что запускает процессы в человеческом организме): кислород или углекислый газ – решается следующим образом. Раньше первичным считался кислород – ведь он основной источник энергии, дающий толчок всем процессам в организме. Но сейчас маятник выбора качнулся в сторону углекислого газа. Постепенно пришли к выводу, что первичным, запускающим, механизмом является накопление в организме углекислого газа. Накопление $CO_{2}$ в организме в ходе расщепления в клетках жиров и белков дает сигнал мозгу о том, что углекислый газ нужно выводить из клеток – он «садится» на эритроциты и перемещается к альвеолам легких. На освободившиеся места в «поезде» эритроцитов «усаживается» $O_{2}$ и разносится по организму. Поэтому современный взгляд на процесс дыхания таков: сначала выдыхается углекислый газ, а потом вдыхается кислород. При этом вместе с углекислым газом выдыхаются и излишки кислорода.

37

ФИЗИЧЕСКИЙ

Для дыхания необходимы оба газа, попеременно «седлающие» эритроциты. При этом венозная кровь окрашена с помощью углекислого газа в темно-красный цвет, а артериальная кровь с помощью кислорода – в яркокрасный. Среднее соотношение между количеством углекислого газа и кислорода в организме здорового человека примерно 3:1 (6% $CO_{2}$ и 2% $O_{2} ).$ Взаимодействие «снаружи» и «изнутри». Итак, углекислый газ необходим для жизнедеятельности человека. Важно и поддержание определенного уровня $CO_{2}$ в организме. А его недостаток и избыток вредны. Слишком высокое накопление $CO_{2}$ возможно в плохо проветриваемых помещениях: при большом проценте (более 0,08–0,1%) его уровень в организме также растет (последствия этой ситуации обсуждались выше). Нехватка углекислого газа в крови (менее 4%) тоже опасна (см. рис.4). В каких случаях может возникнуть такая нехватка? Типичный пример – учащенное дыхание: слишком много $CO_{2}$ выдыхается и мало остается в организме. При недостатке углекислого газа кислород прочно «прикреплен» к эритроцитам. И даже когда кислорода в крови много, он оказывается связанным и плохо поступает в ткани организма. Если в такой ситуации дышать еще чаще, то это только усугубит ситуацию. Что делать? Движение, гимнастика, спорт на воздухе или в хорошо проветриваемом помещении – все это увеличивает содержание $CO_{2}$. Капилляры расширяются и даже образуются новые сети капилляров, кровоток усиливается, кислород лучше отделяется от гемоглобина и поступает в клетки… Приведем еще один пример важности более редкого дыхания. Стайерам во время бега рекомендуют в случае, когда уже не хватает сил, как можно дольше задержать дыхание для того, чтобы открылось «второе дыхание» и он мог бежать дальше. Оказание первой помощи. Дыхание «рот в рот». При оказании первой доврачебной помощи человеку в случае исчезновения дыхания одним из действенных методов является искусственное дыхание методом «рот в рот» вместе с непрямым массажем сердца. В рот пострадавшего через марлю или носовой платок спасатель должен выдыхать

ФАКУЛЬТАТИВ

воздух с частотой 12–15 раз в минуту. Казалось бы, это бессмысленно. Ведь в начале статьи мы много раз повторяли, каков должен быть состав вдыхаемого воздуха (21% кислорода и 0,4% углекислого газа). А тут выходит, что пострадавший вынужден принудительно получать воздух «на выдохе» (16% $O_{2}$ и 4% $CO_{2} ).$ Тем не менее, оказывается, что и в выдыхаемом воздухе еще есть остатки кислорода в концентрации, превышающей минимально допустимую (16% > > 13–14%). А большая концентрация $CO_{2}$ оказывается полезной для стимуляции центра головного мозга, который вызывает дыхательный рефлекс, приводящий к раскрытию альвеол. В этой ситуации имеется некоторая аналогия с поведением спасателя при остановке сердца: он должен повернуть пострадавшего на спину и нанести ему удар ребром руки по грудной клетке. Цель – сотрясение грудной клетки, что должно привести к запуску остановившегося сердца. Так что роль $CO_{2}$ при остановке дыхания несколько иная, чем при обычном, спокойном дыхании. Способы увеличения концентрации выдыхаемого углекислого газа. Человек в повседневной жизни «в автоматическом режиме» делает примерно 15 циклов вдох-выдох в минуту (каждый цикл имеет длительность приблизительно 4 секунды). Обычное отношение длительности вдоха и выдоха 1: 1,3. Смысл основных дыхательных гимнастик заключается в повышении содержания в крови углекислого газа за счет задержки, ослабления, замедления или искусственного затруднения дыхания. При этом повышение концентрации $CO_{2}$ (до определенного предела, около 8%) улучшает усвоение кислорода организмом человека. В разных методиках это достигается или за счет задержки дыхания после вдоха либо после выдоха, или за счет удлиненного выдоха, или за счет удлиненного вдоха, или их комбинаций. Иными словами, нужно, чтобы фаза выдоха существенно превышала вдох. Наиболее последовательной из современных методик является система Бутейко – поверхностное дыхание с задержкой. Она направлена на уменьшение потребления кислорода и насыщение организма углекислым газом. По этой системе усилием воли вдох

ОЛИМПИАДЫ

XLI Турнир городов

Задачи весеннего тура

Базовый вариант

8–9 классы

$1. (4)^{1}$

Карта Квадрландии представляет собой квадрат $6 \times 6$ клеток. Каждая клетка – либо королевство, либо спорная территория. Королевств всего 27, а спорных территорий 9. На спорную территорию претендуют все королевства по соседству и только они (т.е. клетки, соседние со спорной по стороне или вершине). Может ли быть, что на каждые две спорные территории претендует разное число королевств? М.Евдокимов

2. (4) Какое наибольшее количество различных целых чисел можно выписать в ряд так, чтобы сумма каждых 11 подряд идущих чисел равнялась 100 или 101? Е.Бакаев

3. (4) На диагонали AC ромба ABCD построен параллелограмм APQC так, что точка B лежит внутри него, а сторона AP равна стороне ромба. Докажите, что B – точка пересечения высот треугольника DPQ. Е.Бакаев

4. (5). Целое число n таково, что уравнение $x^{2} + y^{2} + z^{2} - xy - yz - zx = n$ имеет решение в целых числах x, y, z. Докажите, что тогда и уравнение $x^{2} + y^{2} - xy = n$ имеет решение в целых числах x, y. А.Юран

5. (5) На доске $8 \times 8$ в клетках a1 и c3 стоят две одинаковые фишки (см. рисунок). Петя и Вася ходят по очереди, начинает Петя. В свой ход игрок выбирает любую фишку и сдвигает ее либо по вертикали вверх, либо по горизонтали вправо на любое число клеток. Выиграет тот, кто сделает ход в клетку h8.

1 В скобках после номера задачи указано число баллов, присуждавшихся за ее полное решение. Итог подводился по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты (баллы за разные пункты одной задачи суммируются).

Кто из игроков может действовать так, чтобы всегда выигрывать, как бы ни играл соперник? В одной клетке может стоять только одна фишка, прыгать через фишку нельзя. В.Ковальджи

10–11 классы

1. (4) Можно ли в каждую клетку $таблицы^{40} \times^{41}$ записать по целому числу так, чтобы число в каждой клетке равнялось количеству тех соседних с ней по стороне клеток, в которых написано такое же число? А.Грибалко

2. (4) Обсуждая в классе зимние каникулы, Саша сказал: «Теперь, после того как я слетал в Аддис-Абебу, я встречал Новый год во всех возможных полусферах Земли, кроме одной!» В каком минимальном количестве мест встречал Новый год Саша? Места, где Саша встречал Новый год, считайте точками на сфере. Точки на границе полусферы считаются не принадлежащими этой полусфере. И.Думанский, Р.Крутовский

3. (5) По кругу стоят буквы A и B, всего 41 буква. Можно заменять ABA на B и наоборот, а также BAB на A и наоборот. Верно ли, что из любого начального расположения можно получить такими операциями круг, на котором стоит ровно одна буква? М.Дидин

4. Существует ли непостоянный многочлен p ( x ) с действительными коэффициентами, который можно представить в виде суммы a ( x ) + b ( x ), где a ( x ) и b ( x ) – квадраты многочленов с действительными коэффициентами,

44

КВ А НT 2020/№4

а) (2) ровно одним способом; б) (3) ровно двумя способами? Способы, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми. С.Маркелов

окружности в точках A и C пересекаются в точке K. Докажите, что угол KDA прямой. А.Юран

5. (5) Даны две окружности, пересекающиеся в точках P и Q. Произвольная прямая l, проходящая через Q, повторно пересекает окружности в точках A и B. Прямые, касающиеся окружностей в точках A и B, пересекаются в точке C, а биссектриса угла CPQ пересекает прямую AB в точке D. Докажите, что все точки D, которые можно так получить, выбирая по-разному прямую l, лежат на одной и той же окружности. А.Заславский

6. (9) У Пети есть колода из 36 карт (4 масти по 9 карт в каждой). Он выбирает из нее половину карт, какие хочет, и отдает Васе, а вторую половину оставляет себе. Далее каждым ходом игроки по очереди выкладывают на стол по одной карте (по своему выбору, в открытом виде); начинает Петя. Если в ответ на ход Пети Вася смог выложить карту той же масти или того же достоинства, Вася зарабатывает 1 очко. Какое наибольшее количество очков он может гарантированно заработать? М.Евдокимов

Сложный вариант 8–9 классы

7. (12) См. задачу М2601 «Задачника «Кванта».

8. (4) Существует ли число, делящееся на 2020, в котором всех цифр 0, 1, 2, …, 9 поровну? М.Евдокимов

9. (5) Три богатыря бьются со Змеем Горынычем. Илья Муромец каждым своим ударом отрубает Змею половину всех голов и еще одну, Добрыня Никитич – треть всех голов и еще две, Алеша Попович – четверть всех голов и еще три. Богатыри бьют по одному в каком хотят порядке, отрубая каждым ударом целое число голов. Если ни один богатырь не может ударить (число голов получается нецелым), Змей съедает всех троих. Смогут ли богатыри отрубить все головы 41!-головому Змею? (Напомним, $что^{41!} =^{1} \cdot^{2} \cdot^{3} \cdot$ … $\cdot^{41}.)$ А.Заславский

10. Существует ли вписанный в окружность N-угольник, у которого нет одинаковых по длине сторон, а все углы выражаются целым числом градусов, если а) (4) N = 19; б) (3) N = 20? М.Малкин

11. (8) Для каких N можно расставить в клетках квадрата $N \times N$ действительные числа так, чтобы среди всевозможных сумм чисел на парах соседних по стороне клеток встречались все целые числа от $1 до^{2} ( N -^{1} ) N$ включительно (ровно по одному разу)? М.Дидин

12. (9) Трапеция ABCD вписана в окружность. Ее основание AB в 3 раза больше основания CD. Касательные к описанной

10–11 классы

1. (4) На плоскости даны две параболы: $y = x^{2}$ и $y = x^{2} -^{1}$. Пусть U – множество всех точек плоскости, лежащих между параболами (включая точки на самих параболах). Существует ли отрезок длины более $10^{6}$, целиком содержащийся в U? А.Толпыго

2. (5) Алеша задумал натуральные числа a, b, c, а потом решил найти такие натуральные x, y, z, что a = НОК ( x, y ), b = НОК ( x, z ), c = НОК ( y, z ). Оказалось, что такие x, y, z существуют и определены однозначно. Алеша рассказал об этом Боре и сообщил ему только числа a и b. Докажите, что Боря может восстановить c. Б.Френкин

3. (8) См. задачу М2598 «Задачника «Кванта». 4. (9) См. задачу М2599 «Задачника «Кванта». 5. (9) См. задачу М2600 «Задачника «Кванта». 6. (10) На доске написаны 2n последовательных целых чисел. За ход можно разбить написанные числа на пары произвольным образом и каждую пару чисел заменить на их сумму и разность (не обязательно вычитать из большего числа меньшее, все замены происходят одновременно). Докажите, что на доске больше никогда не появятся 2n последовательных чисел. А.Грибалко

45

ОЛИМПИАДЫ

7. (12) Для каких k можно закрасить на белой клетчатой плоскости несколько клеток (конечное число, большее нуля) в черный цвет так, чтобы на любой клетчатой вертикали, горизонтали и диагонали либо было ровно k черных клеток, либо вовсе не было черных клеток? А.Динев, К.Гаров, Н.Белухов

Устный тур для 11 класса

1. В строку записано 2020 натуральных чисел. Каждое из них, начиная с третьего, делится и на предыдущее, и на сумму двух предыдущих. Какое наименьшее значение может принимать последнее число в строке? А.Грибалко

2. На высотах $AA_{0}, BB_{0}, CC_{0}$ остроугольного неравностороннего треугольника ABC отметили соответственно точки $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ так, что $AA_{1} = BB_{1} = CC_{1} = R,$ где R – радиус описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $A_{1} B_{1} C_{1}$ совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC. Е.Бакаев 3. На клетчатой плоскости отметили 40 клеток. Всегда ли найдется клетчатый прямоугольник, содержащий ровно 20 отмеченных клеток? М.Евдокимов 4. См. задачу М2603 «Задачника «Кванта» в следующем номере журнала.

5. На сфере радиуса 1 дан треугольник, стороны которого – дуги трех различных окружностей радиуса 1 с центром в центре сферы, имеющие длины меньше $\pi$, а площадь равна четверти площади сферы. Докажите, что четырьмя копиями такого треугольника можно покрыть всю сферу. А.Заславский

6. Дан бесконечный запас белых, синих и красных кубиков. По кругу расставляют любые N из них. Робот, став в любое место круга, идет по часовой стрелке и, пока не останется один кубик, постоянно повторяет такую операцию: уничтожает два ближайших кубика перед собой и ставит позади себя новый кубик того же цвета, если уничтоженные одинаковы, и третьего цвета, если уничтоженные двух разных цветов. Назовем расстановку кубиков хорошей, если цвет оставшегося в самом конце кубика не зависит от того, с какого места стартовал робот. Назовем N удачным, если при любом выборе N кубиков все их расстановки хорошие. Найдите все удачные N. И.Богданов

Материал подготовили Е.Бакаев, И.Богданов, С.Дориченко, М.Евдокимов, А.Заславский, П.Кожевников, М.Малкин, Л.Медников, В.Ретинский, Е.Рябов, А.Семенов, Б.Френкин, И.Фролов, А.Юран

LXXXIII Московская математическая олимпиада

1 марта 2020 года прошла очередная Московская математическая олимпиада (одновременно со сложным туром Турнира городов, многие задачи были общими). Приводим некоторые задачи олимпиады (в скобках после номера задачи указан класс, в котором она предлагалась). Все условия и решения см. на сайте olympiads.mccme.ru / mmo /

Избранные задачи

1. (8) Том написал на заборе из досок слово ММО, а Гек – число 2020. Ширина

каждой буквы и цифры 9 см, а ширина доски забора 5 см. Мог ли Гек испачкать меньше досок, чем Том? (Доски расположены вертикально, а слова и числа пишутся горизонтально. Цифры и буквы пишутся через равные промежутки.) Д.Мухин, А.Федулкин, И.Эльман

2. (8) На графике функции y = 1 x Миша отмечал подряд все точки с абсциссами 1, 2, 3, …, пока не устал. Потом пришла Маша и закрасила все прямоугольники, одна из вершин которых – это отмеченная точка, еще

51

ОЛИМПИАДЫ

ки стула над полом H = 72 см. Можно считать, что эта точка находится ровно над линией задних ножек. Какую минимальную силу $F_{3}$ нужно приложить к веревке, чтобы от пола оторвались левые ножки стула, если стул приставлен к планке правыми ножками? Ускорение свободного падения g = 10 м $с^{2}$. Правая и левая половинки стула симметричны. С.Варламов

Рис. 6

2. Резистор начинает плавиться (10 баллов) При пропускании тока через проволочный резистор он нагревается, при этом его температура в зависимости от протекающего тока изменяется нелинейно. При малых токах, составляющих для типичных резисторов величину порядка 10 мА, температура резистора T практически неотличима от температуры окружающей среды $T_{0}$. При увеличении тока до некоторого предельного значения $I_{max}$ резистор очень быстро (почти мгновенно) нагревается до очень высокой температуры и плавится (сгорает). Пусть сопротивление некоторого резистора при комнатной температуре и токе 1 мА равно 10 Ом. Известно, что значение предельного тока для этого резистора $I_{max} = 1,35$ А. Найдите сопротивление резистора и напряжение на нем при токе $0,8I_{max}$. Можно считать, что сопротивление резистора зависит от температуры линейно: $R ( T ) = R_{0} ( 1 + \alpha ( T - T_{0} ) )$, где $R_{0}$ – сопротивление резистора при температуре $T_{0}, \alpha$ – неизвестный коэффициент. Мощность теплоотдачи пропорциональна разности температур резистора и окружающей среды. Изменение сопротивления резистора не влияет на величину силы тока в цепи. П.Крюков

3. Регби (10 баллов) Регби – это командная игра с мячом. Цель игры – принести мяч в зачетное поле соперника, расположенное за линией ворот (рис. 6). Игрок с мячом может отдать передачу другому игроку своей команды, причем передачу нельзя делать вперед относительно воображаемой линии, параллельной линии ворот и проходящей через игрока (прямая a на рисунке). Пасовать можно только вбок или назад относительно этой линии. Игроки команды соперника имеют право остановить игрока с мячом. На рисун- ке представлен фрагмент поля с тремя регбистами: A и B – игроки из одной команды, C – игрок команды соперника. Игрок C вот-вот остановит игрока A, поэтому тот делает передачу игроку B. Чтобы сделать точную передачу, игрок A предварительно притормозил, и в момент броска его скорость направлена в сторону линии ворот и равна v = 2 м с. Пусть скорость игрока B равна 8 м / с при движении по любой траектории. Расположение игроков A, B и C на поле, показанное на рисунке, соответствует моменту броска. Можно считать, что мяч после броска игрока движется прямолинейно с постоянной скоростью. 1) С какой минимальной скоростью (относительно себя) должен бросить мяч игрок A, чтобы игрок B принял передачу и добежал до зачетного поля соперника за минимальное время? (2 балла) 2) Пусть игрок A отдает передачу «на ход» игроку B с относительной скоростью 6 м с. Игрок B принимает мяч в движении и добегает до линии ворот за время t. Докажите, что минимальное значение времени $t_{min}$ достигается в том случае, когда после броска игрока A мяч летит параллельно линии ворот. (4 балла) 3) Найдите время $t_{min}$. Утверждением из п. 2) можно пользоваться без доказательства. (4 балла) А. Бычков

4. Вова начинает расчеты (10 баллов) Вова с папой поехали на машине из Москвы в Санкт-Петербург. На трассе скорость их автомобиля была не более 110 км ч, но не менее 80 км ч. От скуки Вова решил снять видео на смартфон. В поле съемки попал джип, двигавшийся некоторое время по соседней полосе с той же скоростью, что и автомобиль Вовиного папы. И тут Вова обнаружил, что на экране его телефона радиаль-

53

ОЛИМПИАДЫ

10 класс

1. Измерение отклонений (10 баллов) Сопротивление терморезистора сильно зависит от температуры (рис. 12), поэтому его используют в точных измерителях отклоне-

Рис. 12

Рис. 13

ния температуры $\Delta T$ от заданного значения $T_{0}$. Схема измерителя показана на рисунке 13, терморезистор обозначен $R_{t}$. Сопротивление переменного резистора $R_{1}$ можно изменять в диапазоне от 0 до 900 Ом. Выводы подключают к идеальному источнику напряжением $U_{0} = 6$ В. Перед началом измерения отклонения $\Delta T$ от температуры $T_{0}$ измеритель калибруют, подбирая сопротивление резистора $R_{1}$ так, чтобы идеальный стрелочный милливольтметр показывал ноль. В дальнейшем при изменении температуры на $\Delta T$ сопротивление терморезистора изменяется, милливольтметр показывает напряжение U. 1) Для $T_{0} = 50 ^\circ C$ определите зависимость $U ( \Delta T )$, считая изменение сопротивления терморезистора малым. В области каких температур (высоких или низких) измеритель обеспечивает меньшую относительную погрешность измерения? (7 баллов)

Примечание. Может оказаться полезной при- $- 1$ ближенная формула $( 1 + x ) \approx 1 - x$, справедливая для малых х ( x 1 ).

2. В каком диапазоне температур может работать данный измеритель, если нежелательно, чтобы на терморезисторе выделялась тепловая мощность больше $P_{0} = 0,15$ Вт? (3 балла) П.Крюков

2. Мальчик с шариком (10 баллов) Мальчик Влад бегает по кругу, держа в руке конец нитки длиной 2 2 м, к другому концу которой прикреплен небольшой надувной шарик с гелием внутри. Один круг Влад пробегает за $2\pi$ секунд. Рука, держащая нить, движется по окружности радиусом 2 м. Шарик движется по окружности такого же радиуса на два метра выше руки по вертикали. С какой установившейся скоростью будет взлетать шарик, если нить отпустить? Можно считать, что сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости шарика, а радиус шарика много меньше длины нити. Ускорение свободного падения g = 10 м $с^{2}$. С.Варламов, П.Крюков

3. Эолипил (10 баллов) Эолипил (паровой двигатель, изобретенный в Древней Греции) представляет собой металлический котел с двумя трубками на крышке, на которых, как на оси, может вращаться турбина в виде полого шара с двумя одинаковыми Г-образными патрубками (соплами). В котел заливают воду, герметично закрывают его и ставят на огонь. Образовавшийся при кипении водяной пар по трубкам поступает в шар и выходит с большой скоростью через сопла, заставляя шар вращаться (рис. 14; взят из «Википедии»). Пусть мощность подвода тепла в воде равна Р = 1 кВт, площадь $сечения^{Рис.} 14$