Квант 2020, №6 · Страницы

3

КАЛЕЙДОСКОПЫ

Калейдоскопы в пространстве Лобачевского стали объектом интенсивных исследований начиная с 1965 года в связи с некоторыми проблемами теории групп. Их полное описание в любой размерности еще далеко от завершения. Имеется удивительный результат (принадлежащий автору статьи) о том, что при n t 30 в n-мерном пространстве Лобачевского вообще не существует калейдоскопов. Примеры таких калейдоскопов известны лишь при n d 8. Помимо уже упоминавшихся приложений калейдоскопов в геометрии (правильные многогранники), теории функций комплексного переменного и теории групп имеются не менее важные их приложения в теории чисел, теории алгебр Ли, алгебраической геометрии и других разделах математики. Следует, впрочем, сказать, что в серьезной математической литературе термин «калейдоскоп» не употребляется. Вместо этого говорят «дискретная группа, порожденная отражениями». В статье мы не имеем возможности говорить о приложениях калейдоскопов (за исключением связи сферических калейдоскопов с правильными многогранниками). Однако изучение калейдоскопов самих по себе составляет яркую страницу геометрии. Более полные сведения о калейдоскопах можно найти в обзорной статье [2].

1. Основное свойство калейдоскопов

Рассмотрим простейшую ситуацию – два зеркала, расположенные под некоторым углом D одно к другому. Если угол D не является целой частью S, то, как показано на рисунке 1,а, изображения предмета, помещенного между зеркалами, будут перекрываться, так что в одной точке мы будем видеть изображения двух разных а) б)

Рис. 1. Система из двух зеркал

точек. (На самом деле мы сможем увидеть в одной точке изображения двух разных точек не одновременно, а только перемещая точку зрения, но это не имеет отношения к нашему теоретическому обсуждению.) Если же угол D является целой частью S, как, например, на рисунке 1,б, то этого не происходит. Так как изображения каждой точки не выходят за пределы плоскости, перпендикулярной общей оси наших зеркал (именно такая плоскость и изображена на рисунке 1), то обнаруженное нами явление по существу двумерно. Можно говорить о зеркальном отражении плоских фигур относительно прямых, и рисунок 1 демонстрирует, что изображения, полученные многократными отражениями относительно сторон угла, не перекрываются тогда и только тогда, когда величина D этого угла является целой частью S. Более точно, если D S k, где k t 2 – натуральное число, то вся плоскость оказывается разбитой на 2k равных углов с общей вершиной, в каждом из которых получается одно изображение внутренности исходного угла. В половине из этих углов изображения являются зеркально обращенными, в другой половине, включающей сам исходный угол, – необращенными. Представим себе теперь выпуклый многоугольник, образованный зеркалами. В каком случае изображения, получаемые многократными отражениями внутренности многоугольника относительно его сторон, не будут перекрываться? Из предыдущего следует, что для этого необходимо, чтобы все углы многоугольника были целыми частями S. Можно показать, что это условие является и достаточным. Если оно выполнено, то вся плоскость оказывается разбитой на многоугольники, равные исходному, таким образом, что любые два многоугольника, имеющие общую сторону, симметричны относительно этой стороны. В каждом из многоугольников этого разбиения получается одно изображение внутренности исходного многоугольника. На рисунке 2 показано разбиение плоскости, получаемое из равностороннего треугольника. Именно это разбиение мы видим, глядя в обычный калейдоскоп.

8

КВАНТ 2020/№6

тить в указанных на рисунке вершинах атомы натрия Na и хлора Cl. Нетрудно также найти все калейдоскопы на трехмерной сфере. Все они представляют собой (сферические) треугольные пирамиды. Знак равенства в (6) заменяется в этом случае знаком «больше», подобно тому как при переходе от евклидовой плоскости к сфере сумма углов треугольника становится больше S.

5. Теорема Андреева

В пространстве Лобачевского знак равенства в (6) заменяется на знак «меньше». Нетрудно найти все многогранники Кокстера в пространстве Лобачевского, являющиеся треугольными пирамидами. Однако в этом случае они составляют лишь ничтожную часть всех многогранников Кокстера. Подобно тому как на плоскости Лобачевского существуют многоугольники Кокстера со сколь угодно большим (на самом деле любым) числом сторон, в пространстве Лобачевского существуют многогранники Кокстера со сколь угодно большим числом граней. Но в отличие от многоугольников они могут иметь весьма сложное комбинаторное строение. Поэтому получить их полное описание непросто. В той степени, в какой это вообще представляется возможным, это было сделано Е.М.Андреевым в 1970 году. Он доказал общую теорему, относящуюся не только к многогранникам Кокстера, но и ко всем выпуклым многогранникам, двугранные углы которых не превосходят S 2. Такие многогранники называются остроугольными (хотя они могут иметь и прямые двугранные углы). Как мы доказали в разделе 4 (доказательство не изменяется в случае пространства Лобачевского), всякий остроугольный многогранник является простым. Теорема Андреева дает необходимые и достаточные условия существования в пространстве Лобачевского остроугольного многогранника заданного комбинаторного строения, отличного от треугольной пирамиды, с заданными двугранными углами. Эти условия суть следующие:

1. если какие-либо три грани сходятся в одной вершине, то сумма углов между ними больше S (необходимость этого условия была доказана в разделе 4); 2) если какие-либо три грани попарно смежны, но не сходятся в одной вершине, то сумма углов между ними меньше S; 3) если какие-либо четыре грани смежны «по кругу» (как боковые грани четырехугольной призмы), то не все углы между ними равны S 2; 4) если многогранник является треугольной призмой, то не все углы, образуемые основаниями с боковыми гранями, равны S 2. Теорема Андреева в некотором смысле аналогична знаменитой теореме А.Д.Александрова о существовании евклидова многогранника с данной разверткой. Однако ее точного аналога в евклидовой геометрии нет (и не может быть). Это одна из специфических теорем геометрии Лобачевского, подобно признаку равенства треугольников по трем углам. С помощью теоремы Андреева нетрудно, например, доказать существование в пространстве Лобачевского «прямоугольных» многогранников (т.е. многогранников, все двугранные углы которых прямые) со сколь угодно большим числом граней. (Читатель вполне может сделать это самостоятельно.) Тем самым получим много разнообразных прямоугольных калейдоскопов в пространстве Лобачевского. Не имея возможности обсуждать это подробнее, заметим только, что начиная с конца прошлого века калейдоскопы в пространстве Лобачевского применялись к арифметике квадратичных форм, а в последние 15 лет они получили применение в трехмерной топологии.

Литература

1. Г.С.М. Кокстер. Введение в геометрию. – М.: Наука, 1966. 2. Э.Б.Винберг, О.В.Шварцман. Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. – М.: ВИНИТИ, 1988, т. 29. 3. Э.Б.Винберг. О неевклидовой геометрии Соросовский образовательный журнал, 1996, № 3.

Об ovo

А.ВАРЛАМОВ

Главное в том, что, как бы осторожно мы ни старались вбить яйцо в чашку, мы не можем изменить законов физики. Яйцо может не растечься, а у умелого кулинара никогда не растечется, но оно неизбежно будет падать по вертикали с ускорением силы тяжести. В.Похлебкин. Тайны хорошей кухни

ВПЕРЕВОДЕ С ЛАТЫНИ «AB OVO» буквально означает «от яйца». В переносном же смысле это выражение употребляют, когда хотят указать на изначальность, первичность чего-либо. Именно этот переносный смысл и вкладывали древние как основной в слова «ab ovo». Сами того не ведая, они тем самым разрешили в пользу яйца существующий с незапамятных времен софизм: что появилось раньше – курица или яйцо? Мы этот вопрос оставим в стороне, а займемся некоторыми физическими явлениями, избрав в качестве предмета исследования… куриное яйцо. Кто не помнит роковой причины раздора между Лилипутией и империей Блефуску, описанного в «Путешествиях Гулливера»? Ею стал указ императора Лилипутии, предписывающий всем подданным под страхом смертной казни разбивать яйца с острого конца. Гулливер полагал, что выбор конца, с которого следует разбивать яйцо, – дело хозяйское. С какого хочешь – с такого и разбивай. Мы полностью согласны с такой позицией, но все-таки зададимся вопросом: с какого конца яйцо легче разбить? Решение этой задачи поможет, например, выбрать правильную тактику при «сражениях на вареных яйцах», которые раньше часто возникали среди детей за пасхальным столом. Как правильно поступать: нападать на противника или ждать нападения самому;

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20200602

выбрать большое яйцо или маленькое; держать его острым или тупым концом к противнику? Вот основные вопросы тактики и стратегии в таком сражении. Бытует мнение, что выигрывает нападающий. Однако при равномерном движении яйца безразлично нападать самому или ждать нападения противника. Чтобы убедиться в этом, не надо бить яйца: достаточно вспомнить принцип относительности Галилея и «перейти» в систему отсчета, в которой нападающий покоится. В ней он из «агрессора» автоматически превращается в «пострадавшую сторону». Рассмотрим теперь сам процесс столкновения двух яиц. Мы будем считать, что яйца совершенно одинаковые и по размерам и по форме и что скорлупа у них «рассчитана» на одну и ту же предельную нагрузку. Сталкиваются яйца вдоль оси вращения, одно острым концом, другое тупым (рис.1). Предположим, что область

Рис. 1. Упругая фаза соударения двух яиц

соприкосновения яиц – это небольшой круг радиусом r. Не важно, будет ли граница плоской или выгнутой в какуюлибо сторону. Существенно, что согласно третьему закону Ньютона силы, действующие в процессе столкновения со стороны одного яйца на другое, равны по абсолютной величине и направлены в противоположные стороны. При передаче этой силы

13

ОБ

бидные электрические свойства. Яйцо – диэлектрик. Именно это свойство яичной скорлупы и использовал Майкл Фарадей для демонстрации явления электризации. Возьмите сырое яйцо и проделайте иглой в нем две дырочки – одну побольше, другую поменьше. Дуя в меньшую из них, вы можете выдуть все содержимое яйца и у вас в руках останется пустая целая скорлупа. Поднесите теперь к ней наэлектризованную эбонитовую палочку или обыкновенную пластмассовую расческу, которой вы только что причесались. Теперь, куда бы вы ни перемещали палочку или расческу, скорлупа, как собачонка на привязи, неотступно будет следовать за ними. С помощью пустой яичной скорлупы можно сконструировать модель реактивного автомобиля. Для этого достаточно заклеить большую дырку жевательной резинкой, заполнить скорлупу водой и установить ее на легчайшей тележке со свободно вращающимися колесиками (рис.4). Под яйцом следует положить ку-

Рис. 4. Реактивный движитель

сочек сухого спирта и поджечь его. Вода вскоре закипит, и вырывающиеся из малого отверстия пары, благодаря принципу реактивного движения, начнут разгонять тележку. …Мы уже рассказали, как отличить, не разбивая, вареное яйцо от сырого. А можно ли, не разбивая яйцо, узнать – свежее оно или нет? Оказывается, можно. Для этого достаточно опустить сырое яйцо в стакан с водой (рис.5). Свежее яйцо, которое было снесено всего несколько дней

OVO

Рис. 5. Чем старше яйцо, тем лучше оно плавает

назад, опускается на дно стакана. Яйцо, которое было снесено неделю назад, плавает в воде в вертикальном положении. Яйцо, которое было снесено по меньшей мере три недели назад, сразу же всплывет, часть его будет выступать из воды. Дело в том, что по мере старения яйца в нем происходят процессы разложения белка и желтка. Эти процессы сопровождаются выделением сероводорода, который частично улетучивается из яйца через мельчайшие поры в скорлупе, частично заполняет имеющуюся в яйце воздушную полость. Поэтому плотность яйца уменьшается. Но ведь не придешь же в магазин с кастрюлей воды, чтобы проверять свежие яйца или нет?! Можно поступить проще: посмотреть яйцо «на просвет»: если оно просвечивает – значит, свежее, если оно темное – значит, несвежее. Сероводород, выделяющийся в испорченном яйце, уменьшает его прозрачность. В прежние времена в магазинах даже стояли специальные аппараты – овоскопы, в которых имелись ячейки для размещения проверяемых яиц и включалась лампочка, позволявшая увидеть все испытуемые яйца на просвет. …В заключение попробуйте проделать следующий опыт-фокус. Возьмите две рюмки-подставки для яиц и придвиньте их вплотную друг к другу. В одну из них поставьте сваренное вкрутую яйцо. Сильно подуйте в зазор между яйцом и стенкой рюмки. Яйцо выпрыгнет из рюмки и перепрыгнет в соседнюю. Если фокус получится, постарайтесь его объяснить.

15

ИЗ

$И_{С} Т_{О}$ РИИ

вероятностным проблемам. До войны академиком А.Н. Колмогоровым и под его руководством было определено наивыгоднейшее рассеяние снарядов и созданы таблицы артиллерийской стрельбы, которые являются основой для ведения огня и обучения офицеров-артиллеристов. В начале войны очень острой стала проблема повышения эффективности стрельбы зенитных орудий. В качестве параметров, осложняющих решение этой задачи, можно назвать высокую маневренность цели, затрудняющую определение ее положения, особенно в ночных условиях, различие конфигураций самолетов, неточность в знании конуса разлета осколков снаряда и другие. Строгое решение этой задачи теории вероятностей приводит к сложным математическим выкладкам и к необходимости использования быстродействующей вычислительной техники, которая в то время отсутствовала. На основании ряда упрощающих предположений А.Н.Колмогоров предложил эффективную схему расчетов, доступную для использования в реальных условиях ведения боя. На базе этой теории, которой и в наши дни обучаются в военных академиях, были созданы таблицы зенитных стрельб. Расчеты были проведены в 1942-43 годах небольшой группой сотрудников, аспирантов и студентов, собранной и организованной А.Н. Колмогоровым в Москве. Им же в 1942 году были проведены расчеты траекторий авиационных бомб и созданы таблицы бомбометания с малых высот при малых скоростях самолета применительно к ночным бомбардировщикам типа У-2. Эти маленькие самолеты учебного типа, базировавшиеся на прифронтовых аэродромах, оказались грозным оружием подавления живой силы противника. Очень актуальная работа по наиболее выгодному размещению зенитных батарей в зоне обороны Москвы была проведена профессором Н.А.Глаголевым. Фундаментальный цикл работ был посвящен теории гироскопической навигации, созданию автопилотов (Б.В.Булгаков), совершенствованию и повышению

НА У К И

точности морских гироскопических приборов и приборов управления артиллерийским огнем на кораблях ВМФ (А.Ю.Ишлинский, Я.Н.Ройтенберг), созданию приборов управления огня и артиллерии (С.В.Бахвалов). Н.Г.Четаевым разрабатывалась общая теория устойчивости движения тел, в частности исследована устойчивость поступательно-вращательного движения снаряда и дано определение наивыгоднейшей крутизны нарезки ствола орудия. Им изучена также устойчивость движения самолета по взлетно-посадочной полосе. Применительно к полету ракет Н.Д.Моисеевым предложена и разработана техническая теория устойчивости движения. Важно отметить, что работы этого цикла заложили надежный фундамент теории управляемых движений, которая в последующем сыграла важную роль в космонавтике. В первые годы войны возникла очень серьезная проблема прочности артиллерийских снарядов. По существовавшим в то время нормам, корпуса снарядов изготавливались из легированной стали, со сложной технологией термообработки, снижающей до минимума пластические деформации снаряда. В то же время эвакуированная на восток промышленность не могла обеспечить поставку нужного количества стали и изготовление снарядов. На фронте чувствовался голод в снарядах. По заданию Артиллерийского комитета А.А.Ильюшин с сотрудниками (С.М.Попов и другие) провел обширное исследование и доказал, что пластические деформации корпуса снаряда не только допустимы, но и полезны. Это позволило после опытных артиллерийских стрельб, подтвердивших выводы ученого, перейти на массовое изготовление корпусов снарядов из простых сталей без термообработки и сталистного чугуна, что резко улучшило снабжение фронта снарядами. Были тщательно исследованы все стадии совместной работы снаряда и ствола, включая процесс врезания ведущего пояска. Методы расчета снарядов на прочность и некоторые расчетные формулы вошли в технологические нормы и в преподавание в военных

16

КВАНТ 2020/№6

академиях. В ходе этих исследований сформулировалось мощное направление теории пластичности с многочисленными приложениями к различным отраслям промышленности и техники, которое заняло ведущее положение в современной механике. Важно также отметить, что в те же трудные военные годы были созданы оригинальные экспериментальные установки. Ряд задач, относящихся к метанию снаряда и его взаимодействию с броней, рассмотрен Н.А.Слезкиным. Задача прочности тросов аэростатов воздушного заграждения и повышения эффективности их действия была решена Х.А.Рахматулиным. Это привело к созданию теории поперечного удара по гибкой растяжимой нити и к теории распространения упруго-пластических волн, которая получила широкое развитие после войны. Среди других задач, которыми занимался Х.А.Рахматулин для нужд оборонной промышленности и фронта, надо назвать аэродинамику бомб и снарядов, а также аэростатов заграждения, аэродинамику парашюта, включая особенно сложный режим раскрытия. Для повышения маневренности танков и самоходных орудий с длинными гусеницами М.А.Крейнесом в составе конструкторского бюро МВТУ им.Баумана была решена задача о создании схем сложных регулярных зубчатых механизмов, управляющих движением гусениц. Сложная задача создания эффективных методов дешифровки радиограмм и других донесений противника была решена в системе Военно-морского флота группой сотрудников мехмата (А.О.Гельфонд, Г.И.Двухшерстов, А.М.Пивоваров, В.Г.Чебан и другие). Академиком Н.Е.Кочиным на базе его теории круглого крыла был дан расчет движения самолета на малой высоте; аналогичной задачей занимался А.А.Космодемьянский. Л.И.Седов в составе ЦАГИ занимался задачами гидродинамики применительно к созданию торпедных катеров и гидросамолетов. Оригинальное исследование проведено им по низкому торпедированию с самолета с переходом тор-

педы из воздуха в воду; реализовано два изобретения (воздушный стабилизатор торпеды, автоматический замок крепления стабилизатора). Особенно следует отметить работу гуманистического направления, выполненную профессором мехмата, генерал-майором инженерных войск М.М.Филоненко-Бородичем. Речь идет о прочности ледового покрытия, применительно к «дороге жизни» осажденного Ленинграда. Даже этот беглый и неполный перечень дает представление о величии дел наших ученых, показывает, насколько серьезным и весомым был вклад ученых мехмата в победу, с каким напряжением сил и жаждой прямой отдачи фронту работали наши ученые во время войны. Сохранил и подготовил к печати С.Коновалов

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: math@kvant.ras.ru и phys@kvant.ras.ru соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задача М2607 предлагалась на заключительном этапе XII Олимпиады имени Л.Эйлера, задача М2608 – на XXIII Кубке памяти А.Н.Колмогорова. Задачи Ф2613–Ф2616 предлагались школьникам, окончившим восьмой класс, на летней олимпиаде СУНЦ МГУ. Автор задач – С.Варламов.

Задачи М2606–М2609, Ф2613–Ф2616

M2606. Три окружности $Z_{1}, Z_{2}, Z_{3}$ проходят через одну точку D и пересекаются вторично в точках A, E, F, как показано на рисунке 1. Известно, что $Z_{3}$ проходит

M2608. Из четырех реек сделали шарнирный выпуклый четырехугольник. Затем две точки на его противоположных сторонах соединили еще одной рейкой (рис.2),

Рис. 2

Рис. 1

через центр B окружности $Z_{2}$. Прямая EF вторично пересекает $Z_{1}$ в точке G. Докажите, что ‘ GAB 90 q. К.Кноп

M2607. Дано натуральное число n. Множество A, составленное из натуральных чисел, таково, что для любого натурального числа m d n во множестве A есть число, делящееся на m. Какое наименьшее значение может принимать сумма всех элементов множества A? А.Кузнецов но конструкция осталась нежесткой. Следует ли из этого, что данный четырехугольник – параллелограмм? А.Заславский M2609. Дано натуральное n t 2. Все клетки таблицы n u n красят в несколько цветов так, чтобы не нашлось квадрата 2 u 2, состоящего из четырех клеток одного и того же цвета. Пестрым путем длины k будем называть последовательность различных клеток $a_{1}, a_{2}$, … $, a_{k}$ такую, что для всех 1 d i d k 1 клетки $a_{i}$ и $a_{i} 1$ имеют общую сторону и раскрашены в разные цвета. При каком наибольшем k в таблице найдется пестрый путь длины k вне зависимости от раскраски клеток таблицы? Н.Белухов

18

КВАН T 2020/№6

Ф2613. Для изучения циклона, который со средней скоростью 20 км ч перемещался к северу, с одного аэродрома были направлены два беспилотных летательных аппарата – БПЛА – с разными полетными заданиями. Каждый аппарат должен был, оставаясь от центра циклона на расстоянии 20 км по горизонтали и двигаясь с постоянной скоростью относительно окружающего воздуха 20 м с на определенной высоте (одинаковой для обоих аппаратов), облетать центр циклона. Один аппарат – по часовой стрелке (если смотреть сверху), а второй – против часовой стрелки. В момент старта расстояние от аэродрома до центра циклона как раз равнялось 20 км. Через 15 часов полета оба БПЛА практически одновременно приземлились на одном аэродроме, расположенном севернее аэродрома, с которого они взлетали, причем все время полета каждый строго выполнял заложенную в память компьютера программу полета. Сколько кругов вокруг центра циклона совершил один из БПЛА, если второй все время двигался по отношению к земле по прямой линии и не совершил ни одного круга?

Как изменилась за это же время температура в сосуде слева?

Ф2614. Сосуды кубической формы заполнены морской водой, и начальная температура воды 0 q C в обоих сосудах одинакова. Длины ребер кубов относятся как 1:3. Боковые стенки и дно каждого сосуда имеют очень малые теплоемкости и ток не проводят – за исключением правых и левых стенок. А эти левые и правые стенки сделаны из тонких медных листов. На короткое время ключ в цепи (рис.3) замыкают и снова размыкают его. В сосуде справа температура воды за короткое время протекания тока поднялась на 1 градус.

Решения задач М2594–М2597, Ф2601–Ф2604

Рис. 3

Ф2615. К идеальной батарейке через переменный резистор подключен вольтметр. Он показывает напряжение U = 3В. Когда сопротивление переменного резистора уменьшили в три раза, вольтметр показал напряжение 2U = 6В. Что покажет вольтметр, если сопротивление резистора уменьшить еще в два раза?

Ф2616. Школьники создали систему телефонной связи с помощью нити и двух пластиковых стаканчиков (рис.4). Они

Рис. 4

использовали нить №20. Номер пряжи (нити) определяется количеством мотков, которые содержатся в 1 кг этой пряжи при длине нити в каждом мотке 1000 м. Длина телефонной линии L = 100 м. Сила натяжения нити F = 10 Н. С какой задержкой по времени в передаче звука работает такая телефонная линия?

M2594. Известно, что для некоторых x и y суммы sin x + cos y и sin y + cos x – положительные рациональные числа. Докажите, что найдутся такие натуральные числа m и n, что m sin x + n cos x – натуральное число. Пусть sin x cos y a и sin y cos x b. Тогда cos y a sin x и sin y b cos x. Возведем эти два равенства в квадрат и сложим их. В силу основного тригонометрического тождества получим $1 a^{2} b^{2} 2 a$ sin x 2 b cos x 1, т.е. 2 a sin x 2 b cos $x a^{2} b^{2}$. Пусть N – НОК знаменателей чисел a и b; тогда, умножив полученное равенство на $N^{2}$, получим требуемое. Н.Агаханов

M2595. а) Коля и Дима играют в игру на доске 8 ¥ 8, делая ходы по очереди, начинает Дима. Коля рисует в клетках кре-

32

КВАН T 2020/№6

Дверь распахнулась, и в Ам-бар вошли Бусенька и таракан Кузька. – Обожаю кататься на велосипеде, – тут же похвастался Кузька, снимая шлем. – Ты? На велосипеде? – не понял дятел Спятел. – Он раз в сто тебя выше, как ты можешь на нем кататься? – Легко! – сказал Кузька. – Я же не педали люблю крутить, а кататься. Запрыгиваю на колесо – и вперед! А педали крутит Бусенька. – Но как ты удерживаешься на колесе? – Держусь за спицу! Это настоящий аттракцион. Закручивает получше американских горок! – И рисунки получаются классные! – добавила Бусенька. – Мне кажется, кто-то из нас спятил, – удивилась Огрыза. – Какие еще рисунки? – Я качусь на велосипеде и при этом рисую! Красивые линии получаются. Огрыза схватилась за голову. – Все очень просто, – объяснила Бусенька, – я аккуратно еду на велосипеде вдоль стены, а Кузька сидит на ободе, держит фломастер и, вращаясь вместе с колесом, вычерчивает на стене линии! Получается

Рис. 1

очень здорово. Вот смотрите, я сфотографировала. Это называется циклоида (рис.1)! – Ой, какая хорошая линия, – воскликнула Огрыза, – жаль, вы не показали мне ее раньше. Был бы тогда у меня матрас в циклоидальную полосочку. – Кажется, кто-то еще спятил, – сообщил Кузька. – Все в порядке, – пояснил дятел Спятел. – Огрыза только что рассказывала мне, что собирается изготовить матрас и набить его опилками. Она уже сшила чехол, но у нее совсем нет опилок. – А много нужно опилок? – спросила Бусенька. – Думаю, килограммов 10 хватит, – сказала Огрыза. – Если опилок нет в продаже – мы их сами напилим! – вдруг оживился дятел Спятел. – У тебя случайно нет лишнего шкафа? – Не дам, – сказала Огрыза.

– У коллеги Спрудля есть отличная фанера! – вспомнила Бусенька. – Свежайшая, запах изумительный. Он делает ремонт в своем казино и собирается перегородить зал фанерной стенкой. Кажется, это то, что нам надо. – С коллегой Спрудлем невозможно иметь дело, – решительно возразила Огрыза. – Он тебя обсчитает, обвесит, а потом вместо репки подсунет гнилую брюкву! – И в итоге ты еще окажешься ему должна! – поддакнул Кузька. – Верно, – согласился дятел Спятел. – Но… мы не будем поступать так прямолинейно. Если по-настоящему заинтересовать коллегу Спрудля, то получится все, как вы сказали, только с балансом в нашу пользу! – Он же не наглухо перегородит свое казино, – предположила Бусенька, – останется дверной проем… Или арка… – Арка! – воскликнул дятел Спятел. – Мы предложим ему вырезать в новой стене проем в форме арки циклоиды! Он не устоит! – Нужно рассчитать площадь, чтобы из вырезанной части можно было напилить требуемое количество опилок, – подхватила Бусенька. – Сейчас рассчитаю, – деловая хватка у Огрызы была потрясающая. – Лист стеновой фанеры 1,5 м u 1,5 м имеет массу 32 килограмма, значит, нам нужно, сейчас, сейчас… $0,7 м^{2}$ фанеры. Остался пустячок – подобрать циклоиду, у которой площадь арки равна $0,7 м^{2}$. А подходящее велосипедное колесо для вычерчивании циклоиды я вам подберу из своих запасов. – Чем больше колесо, тем интереснее кататься, – прокомментировал Кузька. – Не надо больше. Мы же не фабрика по производству отходов! Мы всё точно вычислим. Ты не помнишь, – беззаботно спросил дятел Спятел Бусеньку, – по какой формуле считается площадь арки циклоиды, вычерчиваемой с помощью колеса $радиуса^{r?}$ – Сколько-то эр квадрат, – откликнулась Бусенька. – Ее еще в XVII веке нашли. Но я уже забыла. Придется заново выводить. Бусенька подошла к стенке. – Представим себе, что здесь стоит колесо $радиуса^{r.}$ Центр колеса находится в точке C, а в точке K обода этого колеса стоит Кузька (рис.2). Он крепко держится за спицу CK. Сейчас мы покатим колесо, и Кузька вычер-

33

МАТЕМАТИ Ч Е С КИ Й

Рис. 2

тит на стене циклоиду. Ширина арки циклоиды (расстояние KL) равна длине окружности, т.е. 2 S r. А самая высокая точка циклоиды получается в тот момент, когда колесо отъехало на расстояние $S^{r}$. Рассмотрим момент, когда колесо немного проехало, доехав до точки X, а спица, за которую держится Кузька, повернулась на угол M (рис.3). В этом случае длина дуги $KX равна^{rM}$ – и она же равна расстоянию, кото- Рис. 3 рое проехало колесо, т.е. $OX^{r} M$. Проведем через точку K горизонтальную прямую, пусть она пересекает во второй раз окружность в точке K c. Поместим в $точку^{K} c...$ кого бы? Нужен еще один доброволец. Кто хочет прокатиться? – Предлагаю поместить в эту точку Кузькиного приятеля Акзюка, – сказал дятел Спятел. – Какого еще Акзюка?! – не понял Кузька. – Я не знаю никакого Акзюка! – Конечно, – воскликнула Бусенька, – я могла бы и сама догадаться. Акзюк накарат! Итак, в точке K на ободе сидит Кузька, а в точке K c на другой половине обода сидит Акзюк. – Почему это он сидит? – вмешалась Огрыза. – Это Кузька сидит. А Акзюку, чтобы все время находиться в точке, симметричной Кузьке, придется бежать по вращающемуся колесу! – Ну и пусть бежит, – согласилась Бусенька, – он ведь у нас воображаемый. Как бы то ни было, Кузька вместе с точкой K описывает циклоиду, вместе с точкой K движется и точка K c, так что Акзюк тоже описывает некоторую линию. – Кажется, я где-то видел эту линию, – неуверенно сказал Кузька.

К РУЖ ОК

– Конечно, видел. Присмотримся, как мы нарисовали картинку. Мы фактически отложили $отрезок^{OX} длиной^{rM}$ вправо от $точки^{O,}$ поставили на точку X окружность, провели вертикальный диаметр XX c и от радиуса CX отложили угол XCK, равный M. Полученная точка K лежит на циклоиде. На нашей картинке $‘^{K} c^{CX} c ‘^{KCX} c S M$. Обозначим через O c самую высокую точку на нашей циклоиде. Тогда расстояние O c X c равно $S_{r}^{r} S M.$ Получается, что мы можем построить точку K c так: отложим от точки O c горизонтальный отрезок $O c X c длиной^{r} S M$, подвесим к точке X c колесо, а потом отложим в нашем колесе угол X c CK c, равный S M. – Значит, точка K c движется по циклоиде, которая получается, если катить влево по пунктирной прямой колесо, находящееся снизу от нее! – догадался дятел Спятел. – Я понял! – воскликнул Кузька, – «Акзюк» – это «Кузька» наоборот! – Да! Теперь считаем площадь. Нарисуем циклоиды, по которым двигались Кузька и Акзюк, получится фигура в виде лепестка. Ясно, что площадь полной арки циклоиды равна площади прямоугольника, в котором помещается половина арки, плюс площадь лепестка (рис.4).

Рис. 4

– С прямоугольником все понятно, – сказала Огрыза, – его площадь равна $2 S^{r} 2$. А как найти площадь лепестка? – Для этого применим настоящую средневековую магию! Напомню, в точке K на ободе колеса находится Кузька, а в точке K c на другой части обода – Акзюк. Когда колесо вращается, точка K поднимается выше, и отрезок KK c тоже перемещается вверх. Лепесток между циклоидами состоит из всевозможных отрезков KK c, построенных для всех положений точки K на восходящей ветви циклоиды. Ну так нарисуем где-нибудь в сторонке неподвижное колесо и аккуратненько перенесем все отрезки KK c по горизонтали так, чтобы их концы оказались

34

КВАН T 2020/№6

Рис. 5

на окружности (рис.5). Теперь все отрезки занимают круг, ограниченный нашим колесом. Значит, площадь лепестка равна площади круга. – Какое-то странное объяснение, – усомнился Кузька. – Это доказательство? Разве так можно рассуждать? – Тебя же предупредили: средневековая магия! – сказал дятел Спятел. – Без специальной подготовки даже не пытайся! – Если тебе кажется неубедительной идея разбивать лепесток на отрезки, давай разобьем его на горизонтальные планочки, – предложила Бусенька. – Сдвинутые планки уже не будут в точности совпадать с кругом, но чем мельче нарежем, тем меньше будет различие между кругом и фигурой, составленной из планочек (рис.6). Так что площадь лепестка все-таки равна площади круга. – Здорово, – сказал Кузька. – Кажется, я понял. Неужели уже в XVII веке люди были такими умными?

Рис. 6

– Нет, – сказал дятел Спятел. – Да, – сказала Бусенька. – Площадь арки циклоиды они находили еще ухищреннее. – Прекрасно, прекрасно, не расслабляемся! – вдруг оживилась Огрыза. – Итак, мы нашли площадь арки циклоиды, она равна $3 S^{r} 2$. Для нашей арки получается уравнение $3 S^{r} 2 0,7. Отсюда^{r}$ равно, эээ, $ммм...,^{r}$ равно 27 сантиметров! В бой! Через три дня друзья с большими усилиями уложили на кровать новый матрас.

НАМ П ИШ У Т

Еще раз о муравье на цилиндре

А.ЗАСЛАВСКИЙ муравья в противоположную точку B, лежащую на окружности верхнего основания цилиндра. В статье справедливо отмечается, что возможными кратчайшими путями являются путь, состоящий из образующей $цилиндра^{AA} c$ и диаметра $основания^{A} c^{B}$, а также путь, идущий по боковой поверхности цилиндра и изображающийся на ее развертке прямой линией. Длина первого пути равна h + 2,

В статье И.Акулича «Муравей на цилиндре» («Квант» №2 за 2020 г.) обсуждается такая задача: Дан цилиндр с радиусом основания 1 и высотой h. В точке A, лежащей на окружности нижнего основания цилиндра сидит муравей. Найдите кратчайший путь

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20200606

второго – $h^{2} S^{2}$. Эти значения совпадают

$при^{h}$

$S^{2} 1$. Для меньших значений h 4

(такие цилиндры будем называть низкими) короче будет первый путь, для больших (высокие цилиндры) – второй.

36

КВАН T 2020/№6

которых расстояние достигает максимального значения. При достаточно больших h точка B не будет наиболее удаленной от A. Действительно, для высоких цилиндров кратчайшее расстояние от A до A c равно h, а до противо- положной точки B – $h^{2} S^{2}$. Разность этих величин

$h^{2} S^{2} h$

$S^{2}$

$h^{2} S^{2} h$

$S^{2} 2 h$ при росте h стремится к нулю. Таким образом, при достаточно больших h расстояния от A до всех точек окружности верхнего основания примерно равны. Поэтому наиболее удаленная от A точка должна лежать достаточно близко к $центру^{O}$ верхнего

основания. Итак, до некоторого значения h наиболее удаленная от A точка совпадает с B, а затем она начинает двигаться в сторону $точки^{O.}$ Если наиболее удаленная точка единственная, то она лежит на отрезке BO. Но, возможно, существуют две такие точки, симметричные относительно этого отрезка. Автору не удалось найти точную зависимость положения наиболее удаленной точки от h. Возможно, это получится у читателей. В заключение рекомендуем читателям ознакомиться со статьей М.Н.Вялого «Кратчайшие пути по поверхности параллелепипеда» в «Математическом просвещении» (№9 за 2005 г). В ней задачи, аналогичные рассмотренным, решаются для поверхности прямоугольного параллелепипеда.

ОЛИМ П ИАД Ы

XII Международная олимпиада Romanian Master of Mathematics

В конце февраля в столице Румынии Бухаресте вот уже в двенадцатый раз прошла олимпиада Romanian Master of Mathematics (RMM). За годы проведения олимпиада Romanian Master зарекомендовала себя как одно из сложных математических соревнований для школьников во всем мире. Так и было задумано организаторами из математического общества Румынии. По их замыслу, RMM должна была стать аналогом главного математического соревнования, Международной математической олимпиады (IMO), для более узкого круга участников: на RMM ежегодно приглашаются команды около 20 стран, занимающих лидирующие позиции на IMO.

Команду России на RMM представляли:

Данила Дёмин (Сочи, 10 кл.), Иван Гайдай-Турлов (Москва, 11 кл.), Максим Туревский (Санкт-Петербург, 9 кл.), Данил Сибгатуллин (Казань, 10 кл.), Константин Мясников (Челябинск,11 кл.).

Слева направо: К.Мясников, М.Туревский. И.Гайдай-Турлов, Д.Сибгатуллин, Д.Дёмин

Наши ребята выступили очень успешно: среди 107 участников олимпиады десять лучших получили золотые медали, и все наши школьники попали в эту «золотую десятку». В командном зачете Россия заняла 1 место и завоевала переходящий главный приз – серебряную тарелку. За все двенадцать про-

40

К В АН T 2020/№6

конца реостата должен находиться его движок (рис.5), чтобы сопротивление между точками A и B было равно $R_{0} = 3$ Ом? Рис. 5 Ответ приведите в сантиметрах. 4. Мальчик, находящийся в точке M (рис.6), хочет пустить солнечный зайчик в

щенным водяным паром, справедливо уравнение pV = const, где p – давление пара, V – его объем. 3. При включении приборов по схеме, изображенной на рисунке 7,а, миллиамперметр показывает ток $I_{1} = 12$ мА, а вольтметр – напряжение $U_{1} = 9,6$ В. При включении тех же приборов по схеме на рисунке 7,б

Рис. 7

Рис. 6

окно девочки, т.е. в точку Д. Под каким углом E к горизонту он должен расположить плоское зеркальце, если расстояние МС между мальчиком и стеной дома равно высоте СД, на которой расположено окно девочки? Солнечные лучи падают под углом D 21 q к горизонту. Считайте, что мальчик располагает зеркальце у поверхности земли. Ответ приведите в градусах.

9 класс

1. Поезд начинает двигаться с постоянным ускорением и проходит начальный отрезок пути разгона, составляющий 1 9 часть от полного пути разгона, со средней скоростью $v_{cp} 10$ км ч. Какова скорость v поезда в конце пути разгона? Ответ приведите в км ч и округлите до целых. 2. Трубка с поперечным сечением $S 3,5 см^{2}$, заполненная водяным паром под давлением $p_{0} = 2$ кПа, запаяна с двух концов и расположена горизонтально. При этом находящийся в трубке поршень делит трубку на две равные части. Трубку ставят вертикально, в результате чего поршень смещается и объем под ним уменьшается в четыре раза. Найдите массу поршня m, если давление насыщенного водяного пара равно $2p_{0}$. Трением и толщиной поршня можно пренебречь. Температуру пара считайте постоянной. Ускорение свободного падения примите равным g 10 м $с^{2}$. Ответ приведите в килограммах. Указание. Для процессов, проводимых при постоянной температуре над ненасы- миллиамперметр показывает ток $I_{2} = 10$ мА, а вольтметр – напряжение $U_{2} = 12$ В. Определите сопротивление резистора R, считая напряжение между точками A и B неизменным. Ответ приведите в килоомах. 4. В ясный солнечный день рыба плывет в озере глубиной H = 1,5 м. Тень от рыбы на дне озера находится при этом на расстоянии l = 0,7 м от нее. На какой глубине h плывет рыба, если высота солнца над горизонтом составляет D 30 q? Показатель преломления воды n = 1,33. Ответ приведите с точностью до сантиметра.

10–11 классы

1. Задача. Брусок массой m скользит с постоянной скоростью по гладкому столу и совершает упругое соударение с бруском массой M, который прикреплен достаточно длинной пружиной к неподвижной стенке (рис.8). После удара брусок массой m движется в обратном направлении, а брусок массой M начинает совершать гармонические колебания. Известно, что через время, равное 7 12 периода колебаний, брусок массой M догнал брусок массой m. Найдите отношение n M m масс этих брусков.

Рис. 8