Квант 2020, №7 · Страницы

3

КОСМИЧЕСКИЕ

ЛУЧИ

И

За пределами Млечного Пути. Активные ядра галактик

Млечный Путь – лишь одна из многочисленных галактик нашей Вселенной. Галактики различаются по внешнему виду, по размеру, по интенсивности звездообразования, по соотношению старых и молодых звезд. По этим признакам их и классифицируют астрономы. Но галактики различаются еще и характеристиками своей центральной части (это тоже важный признак для классификации галактик). Центральная часть отличается от других областей галактики повышенной концентрацией звезд и межзвездного вещества – газа и пыли. Эта часть галактики компактна. Ее называют ядром галактики. Причиной сгущения вещества в ядре галактики является гравитация. Однако не у всех галактик есть ядра. Их нет у небольших по массе галактик, так как там недостаточно гравитации для сгущения вещества в центре. В большинстве галактик основная часть энергии излучается звездами, и излучение галактического ядра – это тоже излучение составляющих его звезд. Такие галактические ядра называются стационарными или неактивными. Но существует небольшое количество галактик, в которых из ядра вырывается огромный поток энергии, как если бы в центре галактики светило сто миллионов или даже сто миллиардов Солнц. Излучение из ядра переменное – оно резко уменьшается и потом резко возрастает, причем за короткий промежуток времени (часы, месяцы, годы). При этом энергия ядра излучается в различных диапазонах – радио-, рентгеновском, ультрафиолетовом, инфракрасном и гамма-диапазоне. Из ядра выбрасываются порции плазмы, вблизи него быстро движутся облака газа. Эти процессы невозможно объяснить высокой плотностью звезд и межзвездного вещества. Такие ядра называются активными или нестационарными. Галактик с активными ядрами немного, примерно 1% от общего количества галактик. Их подразделяют на несколько типов

ИССЛЕДОВАНИЕ

КОСМОСА

в зависимости от того, как проявляется активность ядра. Например, самым мощным излучением обладают квазары, галактики с мощным радиоизлучением из ядра называются радиогалактиками. Мы не будем касаться классификации активных ядер, так как она не важна для нашего исследования. А суть его состоит в следующем. Поскольку в активных галактических ядрах выделяется огромное количество энергии, то там, возможно, и протекают процессы, в которых космические лучи приобретают ультравысокие энергии. Вылетев из области, где частицы ускорялись, космические лучи покидают пределы своей галактики и, преодолев огромные расстояния в космосе, достигают Земли. Можно ли исследовать активные ядра, регистрируя на Земле эти космические лучи, пусть частицы и проделали гигантский путь в космосе? В этом исследовании важно ответить на такие вопросы: откуда в активных галактических ядрах берется колоссальная энергия; как там ускоряются частицы; что происходит с частицами, когда они летят в межгалактическом пространстве.

Что является источником энергии активного галактического ядра

В настоящее время доминирует гипотеза, что активность ядра обусловлена сверхмассивной черной дырой в центре галактики. Черная дыра — это объект с такой сильной гравитацией, что из него не может вырваться даже свет. Как это может быть? Для того чтобы преодолеть силу притяжения небесного тела, тела должны иметь вторую космическую скорость. Для черных дыр вторая космическая скорость больше скорости света. Но в природе ничто не движется быстрее света, поэтому из черных дыр ничего не выходит наружу. Так как из них не выходит даже свет, черные дыры – темные, они невидимы для наблюдателя. На больших расстояниях от черной дыры ее притяжение очень мало и не отличается от притяжения звезд. Лишь начиная с какого-то расстояния, все, попавшее в гра-

5

КОСМИЧЕСКИЕ

ЛУЧИ

И

ИССЛЕДОВАНИЕ

КОСМОСА

ним, с каким из них совпадает измеренный спектр, и найдем, где ускорялись космические лучи. Так мы «заглянем» в окрестности черной дыры и увидим, как там ускоряются частицы. Но этот простой ход мысли неверный, и вот почему.

Рис. 1. Схематический график исходного степенного спектра космических лучей в логарифмическом масштабе. Показаны две кривые с разными показателями спектра

степенной, но показатель степени другой: D | 0 2,1. Показатель степени 0 – это вариант ускорения, когда при любых энергиях число частиц в одинаковых интервалах энергии одинаковое. Степенные энергетические спектры с разными показателями $D_{1}$ и $D_{2} ( D_{1} < D_{2} )$ схематически показаны на рисунке 1. Когда частицы ускоряются в магнитосфере черной дыры, почти все они набирают примерно одну и ту же энергию. Такой энергетический спектр называется моноэнергетическим, он показан на рисунке 2. Итак, космические лучи, ускоренные в разных зонах, имеют разные энергетические спектры. Самый простой ход мысли дальше мог бы быть таким. Измерим энергетический спектр космических лучей на Земле и сравним его с теоретическими спектрами (изображенными на рисунках 1, 2). Выяс-

Рис. 2. Схематический график исходного моноэнергетического спектра космических лучей в логарифмическом масштабе

Что происходит с космическими лучами, когда они летят во Вселенной Покинув свой «ускоритель» – активное ядро галактики, космические лучи затем вылетают из своей галактики. Те из частиц, которые достигают Земли, преодолевают расстояния в десятки и сотни миллионов световых лет. Это огромные расстояния. Их проходят за десятки и сотни миллионов лет фотоны, а они летят с самой большой скоростью в природе. Что происходит с космическими лучами, когда они летят во Вселенной? Галактики распределены во Вселенной редко, на больших расстояниях друг от друга, и их размеры очень малы по вселенским масштабам. Поэтому весь или практически весь путь космических лучей пролегает по межгалактическому пространству. Глаз, не вооруженный приборами, воспринимает межгалактическое пространство как абсолютно пустое и темное. Но это не так. В межгалактическом пространстве летят фотоны разных энергий. Одни из них излучены звездами в галактиках. Другие остались от времен рождения Вселенной, и эти фотоны так и называются – реликтовые. (Есть в межгалактическом пространстве молекулы газа и пыли и магнитные поля, но о них мы рассказывать не будем.) Космические частицы взаимодействуют с фотонами, и это приводит к двум эффектам. Первый эффект – это изменение исходной формы спектра космических лучей, а именно: в спектре у Земли по сравнению с исходным спектром не достает частиц самых высоких энергий, около $10^{20}$ эВ и выше. Происходит это по следующей причине. Когда космические лучи самых высоких энергий летят на Землю с достаточно боль-

6

КВАНТ 2020/№7

ших расстояний, они на длинном пути успевают взаимодействовать с реликтовыми фотонами. В этих взаимодействиях космические лучи теряют энергию на рождение других элементарных частиц. А космические лучи меньших энергий практически не взаимодействуют с реликтовыми фотонами, так как их энергии недостаточно для производства других частиц. Потратив часть энергии во Вселенной, частицы ультравысоких энергий переходят в ряды космических лучей с меньшими энергиями. В результате их энергетический спектр изменяется по сравнению с исходным спектром. Значит, чтобы ответить на вопрос, где вблизи сверхмассивной черной дыры ускоряются частицы, недостаточно сопоставлять измеренный спектр космических лучей с теоретическими исходными спектрами. Но пролет космических лучей по межгалактическому пространству приводит к еще одному эффекту. Он состоит в следующем. Элементарные частицы, которые рождаются во взаимодействиях частиц с реликтовыми фотонами, живут недолго и дают начало электронам, позитронам и квантам. Они в свою очередь взаимодействуют с фотонами, порождая новые и новые электроны, позитроны и кванты. Число частиц растет лавинообразно, и в космосе возникает гигантский каскад из частиц, которые продолжают взаимодействовать с межгалактическими фотонами. Частицы в каскаде расходятся настолько далеко друг от друга, что расстояние между ними превышает размеры Солнечной системы. (Рожденные элементарные частицы дают начало и нейтрино, но они летят по Вселенной, не взаимодействуя.) Рождение межгалактических каскадов – это второй эффект, появляющийся в результате взаимодействий космических лучей с фотонами в космосе. Для нашего исследования наибольший интерес представляют каскадные кванты. Кроме них в межгалактическом пространстве существуют фотоны различных энергий, и все эти фотоны и кванты составляют

внегалактический фон. Его измеряют приборами, размещенными на борту спутников. Основная часть внегалактического фона – это излучение отдельных источников, которые находятся так далеко от нас или же так слабы, что не видны приборами. Возможно, что во внегалактический фон вносят вклад и другие процессы. Например, частицы темной материи, распадаясь, тоже дают начало квантам. Исследуя внегалактический фон, можно определить его компоненты и долю в нем каскадного излучения. Оказывается, что доля каскадного излучения зависит от того, в какой зоне сверхмассивной черной дыры ускорялись космические лучи. А зная и каскадное излучение, и спектр космических лучей на Земле, можно выяснить, где и как были ускорены частицы. (Напомним, что в каждой зоне они ускоряются своим способом.) Теперь физики исследуют частицы ультравысоких энергий на Земле и в космосе. Спектр космических лучей измеряют на Земле, а внегалактический фон – в космосе. Анализируя данные этих измерений, физики исследуют процессы в окрестности сверхмассивных черных дыр.

Заключение Космические лучи были открыты более ста лет назад, в 1910-х годах. Много лет ушло на понимание взаимодействий космических лучей с земной атмосферой, понимание того, что частицы разных энергий имеют разное происхождение: космические лучи низких энергий выбрасываются Солнцем, более энергичные рождаются в нашей Галактике. Ученые предполагают, что источники космических лучей ультравысоких энергий – это активные ядра галактик. В их центрах находятся сверхмассивные черные дыры, в окрестности которых частицы приобретают огромную энергию. Исследование этих источников космических лучей требует создания новых приборов для измерений в космосе. Оно требует понимания, какие процессы возмож-

7

КОСМИЧЕСКИЕ

ЛУЧИ

И

ны в активных ядрах галактик и в межгалактическом пространстве. Для моделирования этих процессов требуются усовершенствованные компьютеры. Мы не сможем попасть в окрестность сверхмассивной черной дыры и непосредственно исследовать протекающие там процессы. Уточнить понимание того, что там происходит, помогает изучение космических лучей и внегалактического излучения, компьютерное моделирование того, как ускоряются частицы и как они летят в межгалактическом пространстве, и сопоставление полученных результатов.

Приложения

Магнитное поле аккреционного диска Межзвездный газ пронизан магнитным полем, оно присутствует во всех звездах. Почти все вещество в звездах и в межзвездной среде ионизовано и состоит преимущественно из заряженных частиц. Вследствие этого в космосе магнитное поле вморожено в среду: силовая линия магнитного поля как бы прикреплена к тем заряженным частицам, которые находились на ней в начальный момент, и когда частицы перемещаются, они увлекают линию за собой. Газ, падающий на черную дыру и формирующий аккреционный диск, увлекает за собой магнитное поле, поэтому диск намагничивается. А если плотность газа возрастает, т.е. газ сжимается, то силовые линии сгущаются и магнитное поле усиливается. Поэтому поле аккреционного диска может быть намного больше, чем поле, пронизывающее межзвездный газ и вещество звезд.

Способы ускорения частиц вблизи сверхмассивных черных дыр Из школьного курса физики известно, что заряженные частицы приобретают энергию в электрическом поле. (Простейший случай: частица с зарядом q, пройдя расстояние L в однородном электростатическом поле с напряженностью E, приобрета-

ИССЛЕДОВАНИЕ

КОСМОСА

ет энергию E qEL .) Этот механизм ускорения работает и в космосе. Магнитное поле в аккреционном диске неоднородно из-за неоднородной плотности газа. Диск вращается, и его магнитное поле индуцирует электрические поля как в самом диске, так и в магнитосфере черной дыры. Они и ускоряют заряженные частицы. При некоторых условиях индуцированное электрическое поле может ускорять частицы до ультравысоких энергий. Еще один механизм ускорения частиц в космосе связан с неоднородностями магнитного поля, и в нем не участвует электрическое поле. Впервые возможность такого ускорения частиц понял и рассмотрел итальянский физик Ферми, поэтому этот механизм называется механизмом Ферми. Вблизи сверхмассивных черных дыр механизм Ферми работает в джете, который вырывается из аккреционного диска. Частицы в джете ускоряются так. Джет сформирован из вещества аккреционного диска. В джете сгустки плазмы выбрасываются из диска по двум воронкообразным каналам вдоль его оси вращения. Толщина аккреционных дисков вокруг сверхмассивных черных дыр неодинакова, она зависит от характеристик черной дыры. В зависимости от толщины диска сгустки летят сквозь него месяцы и годы. Все это время сгустки взаимодействуют с боками канала (с веществом диска) и с излучением диска (ведь аккреционный диск ярко светится в разных диапазонах, он наполнен тепловыми, оптическими, радиои другими фотонами). В результате взаимодействия с веществом и излучением на поверхности сгустка возбуждаются волны разных типов, в том числе ударные волны. Поясним, что это такое. Участок поверхности сгустка испытывает удар и получает толчок. Под действием толчка участок плазмы начинает двигаться по сгустку, приводя в движение лежащие впереди плазменные слои. Граница между плазмой, движущейся вдоль сгустка, и неподвижной относительно сгустка – резкая. Она называется фронтом ударной

8

КВАНТ 2020/№7

волны. На этой границе скачком возрастают плотность, давление, температура и скорость плазмы. Ударная волна заставляет плазму в сгустке упорядоченно двигаться, а на фронте происходит интенсивное превращение энергии упорядоченного движения плазмы в энергию хаотического движения частиц. И если частица оказалась на фронте ударной волны, она приобретает энергию, т.е. ускоряется. Что происходит дальше? Частица уносится потоком плазмы от фронта ударной волны «вниз по течению». Если частица вернется на фронт ударной волны, ее энергия увеличится еще больше. А может ли частица возвратиться? Да, и даже не один раз. Происходит это так. В сгусток плазмы вморожено магнитное поле, оно неоднородно из-за неоднородной плотности сгустка. В некоторых областях неоднородное магнитное поле направлено так, что отклоняет летящую частицу по направлению к фронту ударной волны, и частица возвращается на фронт. Отклонение частицы пропорционально величине поля и обратно пропорционально энергии частицы – чем она больше, тем слабее отклонение. Поэтому частица возвращается на фронт ударной волны до тех

Рис. 3. Блуждания частицы вблизи фронта ударной волны. Фронт показан вертикальной пунктирной линией, частица изображена черным кружком, линии со стрелками – это векторы скорости частицы. Отклонения в неоднородном магнитном поле дают возможность частице многократно пересекать ударный фронт и ускоряться

пор, пока не наберет такую энергию, когда магнитные поля в сгустке уже не отклонят ее назад. Движение частицы в неоднородном магнитном поле вблизи фронта ударной волны схематически показано на рисунке 3. При любом из этих способов ускорения частица одновременно и набирает, и теряет энергию. Энергетические потери возникают, когда частица находится в области, пронизанной магнитным полем с искривленными силовыми линиями. Дело в том, что если силовая линия изгибается, то у частицы появляется составляющая скорости, перпендикулярная магнитному полю. И тогда траектория частицы искривляется под действием силы Лоренца. Частица, которая движется по искривленной траектории, излучает энергию, и энергия самой частицы уменьшается. Силовые линии могут быть прямолинейными, но лишь на ограниченных отрезках. И даже если частица двигалась вдоль прямой силовой линии, потери энергии все равно будут, и вот почему. Участок, где линия прямолинейна, кончается, и дальше силовая линия изгибается. А в поле с такими силовыми линиями траектория частицы искривляется, частица, двигаясь, излучает энергию и ее энергия падает. Вблизи сверхмассивных черных дыр частицы все-таки ускоряются до ультравысоких энергий. Это показал теоретический анализ процессов, в которых частица одновременно набирает и теряет энергию. Оба способа ускорения частиц вблизи черной дыры – посредством индуцированного электрического поля и посредством механизма Ферми – были выявлены теоретически, «на бумаге». Какой из них важнее в природе – покажут наблюдения.

Окружности Карлейля, или Как решать квадратные уравнения циркулем и линейкой

К.КНОП

КАЗАЛОСЬ БЫ, КАКАЯ МОЖЕТ быть связь между квадратными уравнениями и геометрическими инструментами – циркулем и линейкой? Однако эта связь есть, и ее исследование с разных сторон – увлекательнейшая задача, тесно связанная и с геометрией, и с алгеброй. А при чем тут Томас Карлейль? Согласно Википедии, это британский писатель, публицист, историк и философ, автор многотомных сочинений «Французская революция» (1837), «Герои, почитание героев и героическое в истории» (1841), «История жизни Фридриха II Прусского» (1858–1865). О его занятиях математикой практически ничего не известно, и тем не менее, в честь него назван класс окружностей, помогающих решать квадратные уравнения. А теперь – обо всем по порядку.

Что мы подразумеваем под решением уравнений циркулем и линейкой?

В школьных учебниках геометрии есть какие-то упоминания о возможности построения квадратичных иррациональностей с помощью геометрических инструментов, но в основном не в виде практических алгоритмов построения, а в качестве теоремы существования. Единственный школьный пример конкретного алго-

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20200702

Томас Карлейль. Портрет работы Дэниэла Маклиса ритма, как-то связанного с квадратными уравнениями, – построение среднего геометрического. Давайте и мы тоже начнем с этой задачи. Задача 1. Даны отрезки a и b. Построй- те отрезок, равный ab. Решение. Отложим на одной прямой

13

ОК Р УЖНОСТИ

КА Р ЛЕЙЛЯ,

наты cos 72 q; sin 72 q, cos 72 q; sin 72 q, cos144 q; sin144 q и cos144 q; sin 144 q, т.е. углы AOB и AOE равны 72 градусам. а углы AOC и AOD – 144 градусам. А это и означает, что они являются вершинами правильного пятиугольника. Доказательство правильности построения на этом завершено.

О сложности построений и «геометрографии» Эмиля Лемуана

Француз Эмиль Мишель Гиацинт Лемуан по праву считается одним из отцов современной «геометрии треугольника». Вероятно, вы слышали о точке Лемуана в треугольнике или об окружностях Лемуана. Он же в 1892 году опубликовал работу «Геометрография, или искусство геометрических конструкций» («L a Gйomйtrographie ou l’art des constructions gйomйtriques»), в которой впервые предложил сравнивать различные геометрические построения по количеству требуемых элементарных операций (а лучшим построением считать то, на которое тратится меньшее число операций). Оптимальным («геометрографическим») способом Лемуан называет самый экономный из известных алгоритмов построения. Элементарных операций Лемуан насчитал пять: $S_{1}$ – приложить линейку к определенной точке; $S_{2}$ – провести прямую линию; $C_{1}$ – поставить ножку циркуля в определенную точку; $C_{2}$ –изменить радиус циркуля, поставив ножку с карандашом в определенную точку; $C_{3}$ –провести циркулем окружность. При этом Лемуан считал циркуль устойчивым, т.е. после проведения окружности сохраняющим выставленный радиус. Таким образом, следующая окружность того же радиуса, по Лемуану, требует уже не трех операций: $C_{1} C_{2} C_{3}$, а всего двух: $C_{1} C_{3}$. Сосчитаем, например, количество операций в построении корней уравнения с помощью окружности Карлейля, показанном на рисунке 5. Оси координат и точки $A, B_{1}$ и $B_{2}$ заданы. Построение серединного

ИЛИ

КАК

$Р_{ЕШАТЬ}...$

перпендикуляра к отрезку $OB_{1}$ – это две окружности равных радиусов и одна прямая, т.е. $2 C_{1} C_{2} 2 C_{3} 2 S_{1} S_{2}$. Следующий серединный перпендикуляр – это $2 C_{1} 2 C_{3} 2 S_{1} S_{2}$, потому что мы строим его, не меняя радиуса циркуля. Тем самым, мы построили центр, затратив 15 элементарных операций. И наконец, сама окружность Карлейля – это еще $C_{1} C_{2} C_{3}$. Итого «сложность» построения $5 C_{1} 2 C_{2} 5 C_{3} 4 S_{1} 2 S_{2}$ равна 18.

Упражнение 1. Придумайте другой способ построения окружности Карлейля, имеющий сложность 17 или меньше.

Подсказка. Центр этой окружности – середина отрезка, одним из концов которого является $B_{1}$. Постройте сначала второй конец этого отрезка.

Современная компьютерная игра-головоломка Euclidea (www.euclidea.xyz) также требует от решателей задач найти самое экономное построение, но, в отличие от Лемуана, не подсчитывает предварительные операции $S_{1}, C_{1}$ и $C_{2}$, а считает только количество проведенных линий (т.е. $S_{2} C_{3}$ в терминологии Лемуана). С точки зрения Euclidea, построение окружности Карлейля имеет сложность 7.

Можно ли отыскать корни квадратного уравнения с меньшей сложностью? Когда автор начинал писать эту статью, он предполагал, что этот вопрос будет повешен в качестве финальной улыбки Чеширского Кота и оставлен читателю для самостоятельного решения. Однако планы немножко поменялись, и сейчас я хочу показать более экономный способ, а читателям предложить обдумать, нельзя ли найти еще лучший. Во-первых, откажемся от оси ординат. Зачем она нужна, если все корни мы ищем на оси абсцисс? Пусть у нас есть всего одна ось, а на ней – четыре известные точки O 0, E 1, S X Y и P XY. Последние две точки соответствуют коэффициентам того уравнения, которое мы хотим решить. Рисунок 7 соответствует ситуации, когда 0 XY 1 X Y, но это не очень кри-

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МИ Р

Математическая «археология»:

Задачи первой советской олимпиады школьников по математике

Д.ФОМИН

НА ПРОТЯЖЕНИИ МНОГИХ ЛЕТ всем, кто когда-либо интересовался задачами Ленинградских математических олимпиад (ЛМО), было хорошо известно, что варианты первых ЛМО пропали во время войны и блокады или попросту не были сохранены. Да и в первые послевоенные годы эта печальная судьба не обошла северную столицу – пожалуй, только задачи олимпиад второй половины 1950-х годов удалось найти в более или менее полных вариантах (да и то не для каждого года и не для каждого класса). С одной стороны, это можно понять. Вполне вероятно, что в те годы эти новомодные соревнования не воспринимались как нечто заслуживавшее особого внимания. Тем более, что разные революционные (в полном смысле этого слова) инициативы в образовании сваливались на головы учителей и школьников буквально каждый день. Зачастую не проходило и квартала или двух, как все отменялось, приходили новые министры, директора и другие руководящие энтузиасты, которые изобретали и внедряли совершенно другие способы обучения, новаторские идеи по выявлению молодых дарований, подъему социалистической науки на небывалый уровень и так далее. Не исключено, что многие профессора-организаторы олимпиады не считали нужным хра-

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20200703

нить все эти многочисленные списки задач, которые – чего уж тут греха таить – поначалу почти ничем особенно и не отличались от обыденных задач школьной программы. С другой стороны, надо отметить, что в те годы и в Ленинграде и в Москве нашлись энтузиасты, которые уже тогда интуитивно понимали, как важно сохранить для истории эти первые олимпиадные задачи, материалы первых кружков. Они аккуратно сберегали эти тексты в своих архивах, а затем публиковали первые статьи и сборники задач, посвященные математическим соревнованиям. Среди москвичей здесь в первую очередь стоит упомянуть Ростислава Николаевича Бончковского (1905–1942) и Иоасафа Ивановича Чистякова (1870–1942). Что касается Ленинграда, то известно, например, что руководители кружков Дворца пионеров Михаил Львович Вержбинский (1909–1962) и Марк Константинович Гавурин (1911–1992) бережно собирали комплекты олимпиадных задач и материалы занятий со школьниками (см. [7]). Но затем они ушли на фронт, а уж что приключилось с их архивами, теперь, наверное, никому не известно. Дочка М.Л.Вержбинского написала в своих воспоминаниях об отце, что во время блокадных зим изза нехватки дров на растопку порубили хранившуюся в их квартире уникальную мебель фирмы «Чиппендейл». Что уж тут

17

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

говорить о каких-то бумажках с никому не нужными формулами. В 1941 году Ленинградский университет был эвакуирован в Елабугу, а потом в Саратов; многие профессора, аспиранты и студенты ушли на фронт, их записи и архивы пропали – или в блокадном Ленинграде, или во время многочисленных переездов. Когда в конце 1980-х годов я попытался разыскать задачи олимпиад тех далеких довоенных лет, то всеобщий консенсус был таков – «это безнадежно». Да и результаты моих раскопок в Государственной публичной библиотеке (ныне Российская национальная библиотека), в документах и отчетах Дворца пионеров и в более чем тридцати личных архивах привели меня к тому же печальному выводу. В первом издании сборника Ленинградских математических олимпиад ([6]) я примерно так и написал, что, мол, найти задачи довоенных олимпиад представляется крайне маловероятным, реальных шансов на это нет. Тут необходимо упомянуть, что в 1984 году, к пятидесятилетию первой олимпиады, в журнале «Математика в школе» была опубликована любопытная статья Н.М.Матвеева и С.Е.Рукшина [5], в которой авторы, в частности, цитировали воспоминания $С.В.Валландера^{1}$, а затем сообщали нам, что «история сохранила первую задачу первой олимпиады». При этом в статье отсутствовала точная атрибуция этого утверждения. Вот условие приведенной там задачи: Задача про кубик. Сколько существует различных способов раскрасить грани кубика шестью цветами? (Два способа раскраски называются различными, если их нельзя совместить поворотом кубика.) Когда я прочитал этот текст вскоре после его публикации, то моя первая реакция была – какой приятный сюрприз! Мало того, что удалось найти задачу первой ЛМО, так еще и задачка-то сама весьма

1 Сергей Васильевич Валландер – победитель первой ЛМО, в будущем доктор физ.-мат. наук, член-корр. АН СССР, декан математико-механического факультета ЛГУ в 1965–1973 гг.

МИ Р

симпатичная и не стандартная, совершенно не похожая на подавляющее большинство других задач математических соревнований тех лет, которые выглядят так, как будто их только что переписали из школьного учебника. Полюбовавшись на задачу, я немного призадумался, поскольку у меня возникло ощущение, что где-то я ее уже видел. И в самом деле, открыв сборник [3], я тут же обнаружил эту задачу… в варианте первой Московской математической олимпиады 1935 года. Могли ли москвичи использовать задачу с ленинградской олимпиады предыдущего года? Нечего даже и говорить, что в наше время это было бы абсолютно невозможно. Но тогда, в эпоху самых первых математических соревнований, во времена, когда скорость распространения узкоспециализированной технической информации была крайне невелика, подобные вопросы, конечно же, не воспринимались столь серьезно. Трудно было утверждать что-либо наверняка, хотя мне и показалось, что это (т.е. повторное использование уже опубликованной задачи) все же маловероятно – если даже и допустить, что москвичам так понравилась эта задача, что им без нее никак было не обойтись, то вполне достаточно было бы слегка видоизменить ее условие; сделать это было бы совсем несложно. Поэтому у меня возникла – впрочем, ни на чем не основанная – гипотеза, что за давностью лет произошло этакое непроизвольное «наложение» варианта ММО-1935 на воспоминания об ЛМО-1934. В кратких воспоминаниях другой участницы первой олимпиады М.Л.Александровой ([4]) приводились некоторые дан-

18

КВАНТ 2020/№7

ные про организацию самого соревнования, но, увы, задач олимпиады она не помнила. Ясно было, что однозначно разрешить это небольшое и, вообще говоря, не очень существенное разночтение не представлялось возможным. Оставалось только надеяться, что когда наши отдаленные потомки изобретут машину времени, то один из них посетит Ленинград весной 1934 года, и тогда благодарное человечество наконецто получит в свое распоряжение полный список задач первой в мировой истории городской математической олимпиады. Однако, почти тридцать лет спустя, при подготовке переиздания сборника ЛМО я предпринял дополнительные поиски в интернете – в основном с целью разыскать какие-либо фотографии тех лет. И довольно скоро (в январе 2020 года), почти по чистой случайности, я натолкнулся на выпуск сборника «Математическое просвещение», изданного в Москве в 1935 году. В этой книжке была опубликована статья И.И.Чистякова [2] под длинным официозным названием «Математическая олимпиада Ленинградского государственного университета им. А.С.Бубнова». Нечего и говорить, что я был приятно ошеломлен и обрадован. Во-первых, Чистяков указывал точную дату олимпиады (среда, 18 апреля). Во-вторых, он более подробно описал схему организации олимпиады, а также сообщил, сколько именно школьников приняло участие во втором и третьем (заключительном) туре – 307 и 48 человек соответственно. В-третьих, и это было самое важное, в приложении к этой заметке были перечислены одиннадцать задач олимпиады. Впервые за много лет были найдены хотя бы некоторые задачи первой в СССР математической олимпиады! Вопрос об атрибуции в статье был также полностью опущен, но в данном случае речь шла о работе, написанной по горячим следам только что прошедшего соревнования. Естественно было предположить, что либо сам автор статьи, либо редакция сборника получили список задач непос-

редственно от организаторов первой ЛМО – в частности, с января 1935 года главный «идеолог» Ленинградской олимпиады Борис Николаевич Делоне уже жил и работал в Москве (в связи с переездом туда Математического института Академии наук СССР). К сожалению, в статье не было указано, какие именно из этих задач относятся к первому (тренировочному), второму или третьему туру олимпиады. Задача про раскраску кубика отсутствовала (что, однако, ничего не означало, ибо из текста явствовало, что приложение содержало лишь набор из нескольких избранных задач олимпиады). Однако сам факт обнаружения этой заметки послужил для меня толчком к дальнейшим поискам. Не прошло и нескольких месяцев, как в середине мая 2020 года (хоть какой-то прок от печального короновирусного карантина), продолжая «блуждать» по просторам мировой сети, я обнаружил там копию журнала «Математика и физика в средней школе» (предшественника журнала «Математика в школе») за 1934 год, в котором была опубликована аналогичная статья того же автора [1]. Название этой статьи было более лапидарным («Итоги Ленинградской математической олимпиады»), и за исключением некоторых малосущественных деталей она практически не отличалась от статьи [2]. Однако в этой версии сразу за основным текстом следовало приложение, содержавшее комплект задач третьего тура ЛМО-1934! В уже упомянутых выше воспоминаниях М.Л.Александрова написала, что каждый участник заключительного тура олимпиады получил две задачи – первая по алгебре, вторая по геометрии. Именно так и выглядит это приложение к статье [1] – оно состоит из восьми вариантов по две задачи. Необходимо указать, что по непонятной причине (не поместилась? потеряна? случайно пропущена при наборе?) отсутствует задача 5(a) – впрочем, не исключено, что эта задача содержится в списке из приложения к статье [2] – см. ниже задачи 1934.X, 1934.Y и 1934.Z.

19

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Теоретически возможно, что это все еще не полный набор всех вариантов. Мне лично верится с трудом в то, что жюри приготовило по отдельному варианту для каждого из 48 участников, тем более что их количество не было заранее известно. Идея многовариантной олимпиады состояла в том, чтобы исключить возможность списывания – даже тогда, на самой первой олимпиаде, на это уже обращали внимание, что, впрочем, и не удивительно. Однако восьми вариантов вполне должно было хватать – Александрова вспоминает, что участников рассадили в несколько аудиторий Главного здания университета. Видимо, организаторы хотели гарантировать, чтобы в каждом помещении сидели школьники с разными вариантами условий – тогда такая организация проведения устного тура выглядит вполне разумно. Конечно, существует ненулевая вероятность того, что количество вариантов могло быть и больше, скажем десять или двенадцать. Но в таком случае, однако, было бы трудно объяснить, почему публикация не содержала полный комплект задач. Что касается задачи о раскраске кубика, то нельзя полностью исключить, что она была включена в рассылавшийся по школам список тренировочных задач, на основе решения которых школы формировали свои «команды» на второй тур (этот школьный этап был вполне заслуженно назван первым туром ЛМО-1934). Такое предположение теоретически могло бы объяснить воспоминания одного из участников, что эта задача была самой первой задачей олимпиады. Я, однако, честно сознаюсь, что эта гипотеза не кажется мне правдоподобной. В статье [2] упомянуто, что список задач первого тура состоял из «90 задач из различных разделов алгебры, геометрии и тригонометрии»; кстати, многие из них также перечислены в приложении к этой статье под заголовком «Упражнения для учащихся», другой список тренировочных задач приведен в предыдущем выпуске (1934, №3) того же журнала «Математика и физика в средней школе»; ни одной нестандартной задачи в этих списках нет.

МИ Р

Если же речь шла о втором туре олимпиады, то он, как и третий тур, был составлен по многовариантному методу, что опятьтаки исключало возможность использования такой задачи. Не исключено, однако, что вопрос про кубик был одной из дополнительных задач, которые предлагались школьникам, решившим все задачи основного варианта. Как бы то ни было, теперь мы можем с достаточно серьезным основанием заявить, что вопрос о задачах основных вариантов заключительного тура первой в истории городской математической олимпиады практически разрешен. Любители математических соревнований, наконецто, могут ознакомиться со многими задачами Ленинградской математической олимпиады 1934 года. И кто знает, может быть, среди тех, кто читает эти строки, найдутся потомки ленинградских школьников, учителей, студентов или профессоров, в чьих давно забытых семейных архивах до сих пор хранятся задачи или фотографии с олимпиад других довоенных лет. Будем надеяться, что нам не придется ждать еще почти девяносто лет до следующей публикации, посвященной истории Ленинградских городских математических олимпиад. Впрочем, на худой конец, у нас всегда остается вариант с машиной времени.

---

А теперь – задачи третьего тура первой ЛМО (набор из восьми вариантов, перечисленных в статье [1]). В некоторых местах мною исправлены опечатки и заменена устаревшая терминология.

Третий тур. 10-й класс. 1934 год

1934.01. (a) Покажите, что если а, b, c – стороны треугольника, то корни уравнения $b^{2} x^{2} b^{2} c^{2} a^{2} x c^{2} 0$ будут $мнимые^{2}$. (б) Треугольник скользит по своей плоскости так, что две его стороны все время

2 Т.е. эти корни не могут быть вещественны-

ми числами.

27

ЗАДАЧНИК

Рис. 2

«КВАНТА»

ловию покоится, то линейная скорость точки второго колеса, связанной в данный момент с первым, равна нулю, скорость его центра $v_{1}$ равна скорости рычага в этой точке: $v_{1} 2 r Z$. Поэтому это колесо должно вращаться с такой угловой скоростью Z 2, что

2 r Z Z 2 r

Рис. 3

как показано на рисунке 3. Проследим за вращением точки А четного (шестого колеса) и точки В нечетного (пятого колеса). Пусть после рассматриваемого момента времени прошел малый интервал времени ’ t. Тогда рычаг повернулся на угол ‘M Z’ t по часовой стрелке. На такой же угол по отношению к рычагу (ведь колеса имеют угловую скорость Z относительно рычага) повернутся и колеса: четное колесо – по часовой стрелке, нечетное колесо – против часовой стрелки. На рисунке 4

Рис. 4

показано положение рычага и колес в этот момент времени, а углы поворота рычага и колес изображены дугами. Из этого рисунка заключаем, что четное колесо повернется по отношению к своему начальному положению на угол 2’M по часовой стрелке, а нечетное не повернется вообще. Это значит, что угловые скорости четного колеса и рычага складываются и дают удвоенную угловую скорость, а угловые скорости нечетного колеса и рычага вычитаются. Таким образом, при вращении рычага по часовой стрелке (при условии, что первое колесо закреплено) все четные колеса, а значит и шестое, будут вращаться вокруг своей оси по часовой стрелке с угловой скоростью 2Z, нечетные же колеса вообще не будут вращаться вокруг своей оси. Возможно также другое решение – без перехода в систему отсчета, связанную с рычагом. Поскольку первое колесо по ус-

0, и $Z_{2}$

2 Z.

Отсюда находим линейную скорость точки второго колеса, которая контактирует с третьим колесом: $v_{23} 2 Z r Z_{2} r 4 Z r$. Скорость центра третьего колеса $v_{3}$ равна скорости рычага в той точке, где находится центр третьего колеса: $v_{3} 4 r Z$. Из двух последних формул видим, что и центр третьего колеса и его точка, касающаяся второго, имеют одинаковые скорости. Следовательно, третье колесо не вращается: $Z_{3} 0$. Поэтому и его точка, касающаяся четвертого колеса, имеет такую же линейную скорость: $v_{34} 4 Z r$. Значит, такую же скорость имеет и точка четвертого колеса, касающаяся третьего. С другой стороны, линейная скорость центра четвертого колеса $v_{4}$ равна линейной скорости рычага в той точке, где находится центр четвертого колеса: $v_{4} 6 Z r$. Следовательно, четвертое колесо должно вращаться с такой угловой скоростью $Z_{4}$, что $6 Z r Z_{4} r 4 Z r$, и $Z_{4} 2 Z$. И так далее. Из этой цепочки равенств видим, что угловая скорость всех нечетных колес равна нулю, а всех четных равна 2Z.

Ф2607. Инженеры-взрывотехники проводят испытание новых видов взрывчатки в открытом снизу толстостенном цилиндрическом «колоколе» массой М и радиусом R, стоящем на земле. Внутри

29

ЗАДАЧНИК

Отсюда находим суммарный импульс осколков, ушедших в землю:

P

$R^{2} 2 mE$

$4 R^{2} h^{2}$

.

Такой же импульс (но направленный вверх) получит колокол, следовательно, по закону сохранения импульса его скорость сразу после взрыва заряда будет равна

V

$R^{2} 2 mE$

$4 R^{2} h^{2} M$

(здесь мы пренебрегли массой осколков, застрявших в колоколе). Высоту подъема колокола теперь можно найти по закону сохранения энергии:

H

$V^{2} 2 g$

$mER^{4}$

$16 R^{2} h^{2}$

2

.

$M^{2} g$

Ф2608. Рассмотрим модель передачи вращения между двумя параллельными осями, основанную на трении. Два одинаковых конуса – ведущий и ведомый – прижимаются друг к другу по образующей (рис.1). Ведущий конус вращается с постоянной угловой скоростью Z, к его оси приложен момент внешних сил М. С какой угловой скоростью вращается ведомый конус? Конусы прижаты друг к другу равномерно по образующей с силой N. Угол при вершине конусов D, коэффициент трения между конусами P, высота конусов h.

За счет силы трения ведущий конус разгонит ведомый до какой-то угловой скорости и в стационарном режиме вращения угловые скорости обоих конусов не будут ме-

Рис. 1

«КВАНТА»

няться. Но поскольку линейные скорости разных точек на поверхности каждого конуса разные, между касающимися друг друга точками конусов есть проскальзывание и должны действовать силы трения скольжения. Действительно, точки ведущего конуса, находящиеся дальше от его оси, имеют бульшие линейные скорости и должны опережать точки ведомого конуса, с которыми они контактируют. А точки ведущего конуса, находящиеся ближе к его оси, имеют меньшие линейные скорости и должны отставать от точек ведомого конуса, с которыми они контактируют. А это значит, что в разных точках поверхности каждого конуса сила трения действует по-разному. На ведущий конус действует тормозящая сила трения со стороны ведомого конуса в тех его точках, которые опережают точки ведомого, и разгоняющая сила трения в тех его точках, которые отстают от точек ведомого. Однако суммарная сила трения, действующая на ведущий конус, должна быть тормозящей, поскольку он вращается равномерно при действии на него момента внешних сил. Из условия равенства момента внешних сил и момента суммарной силы трения можно найти точки конусов, имеющие одинаковые линейные скорости (сечение равных скоростей). Итак, пусть сечение равных скоростей находится на расстоянии $h_{0}$ от вершины ведущего конуса (показано пунктиром на рисунке 2), сила нормальной реакции, действующая между конусами, равна N. Рассмотрим тонкий слой ведущего конуса толщиной ’ x, лежащий на расстоянии x от

Рис. 2

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Задачи

. Вовочка написал в тетрадке числа от 1 до 13. Пять из них он умножил на 3, остальные на 7 и все произведения сложил. Могло ли у него в результате получиться 433? Н.Чернятьев

1

. В Стране Равных Возможностей во всех коробках одинаковое количество конфет. Каждый из 18 жителей этой страны, приглашая на свой день рождения гостей, покупает одну такую

2. Клетки доски 5 u 5 закрашены в коробку и делит поровну конфеты на всех, включая себя. За год один из жителей съел на днях рождения 39 конфет, двое – по 25, четверо – по 84, еще четверо – по 95 и семеро – по 65 конфет. Больше всех гостей пригласил Ваня. Сколько гостей было на Ванином дне рождения? И.Раскина шахматном порядке, причем угловые клетки черные. Миша разрезал эту доску по сторонам клеток на пять пятиклеточных фигурок. Могло ли так оказаться, что более чем в половине фигурок больше половины клеток белые? Н.Чернятьев

3

4

Задачи 1 и 2 предлагались на Костромском Турнире юных математиков, задача 3 – на Турнире математических боев имени А.П.Савина, задача 4 – на Математическом празднике.

Иллюстрации Д.Гришуковой

. Три стороны четырехугольника равны, а его углы, образованные этими сторонами, равны 90q и 150q. Найдите два других угла этого четырехугольника. М.Волчкевич

Насильственное движение тела…, брошенного не перпендикулярно к горизонту, никогда не имеет ни одной части, которая была бы совершенно прямой. Никколо Тарталья

…мы получим бесконечное количество различных точек… они опишут требуемую кривую линию. Рене Декарт

…график функции – кривая, начерченная свободным влечением руки. Леонард Эйлер

Высь, ширь, глубь. Лишь три координаты. Мимо них, где путь? Засов закрыт. Валерий Брюсов

…мы освободили понятие графика от всего случайного. Андрей Колмогоров

Это один способ описать движение <табличный – А. Л.>. Есть и другой способ – графический. Ричард Фейнман

А так ли хорошо знакома вам

?

Физика на языке функций и графиков

Еще наши очень далекие предки понимали, что окружающие их явления взаимосвязаны. Но как эту связь точно выразить? Даже в Древней Греции ученые, вплотную подойдя к понятию функциональной зависимости, не смогли его сформулировать. Потребовалось еще почти полторы тысячи лет, чтобы изучение соответствий между переменными величинами, исследование траекторий движущихся точек, введение координат и буквенных обозначений привели математиков к возможности записать законы природы в виде функций, а также изобразить их графически. Тем самым физике (да и не только ей!) была оказана неоценимая услуга, значительно укрепившая ее исследовательский потенциал. Увы, школьники зачастую пренебрегают применением графиков. А зря! Графики расширяют наши представления о физических процессах, делают их наглядными, а порой заметно облегчают решение задач. Попробуем в этом выпуске «Калейдоскопа» убедить вас в этом.

Вопросы и задачи

1. Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Через какое время они встретились, если автомобиль, выехавший из пункта А, доехал до пункта В через 9 часов после встречи, а автомобиль, выехавший из В, прибыл в А через 4 часа после встречи?

2. От движущегося поезда отцепляют последний вагон, но поезд продолжает двигаться с той же скоростью. Считая, что вагон движется с постоянным ускорением, найдите, во сколько раз путь, пройденный вагоном до его остановки, меньше пути, пройденного поездом к этому $моменту.^{3.}$ За пятую секунду прямолинейного движения с постоянным ускорением тело проходит путь s = 5 м и останавливается. Какой путь проходит тело за вторую секунду этого $движения?^{4.}$ Концы стержня АВ длиной l скользят, не отрываясь, по вертикальной стене и горизонтальному полу. Найдите траекторию точки С – середины стержня, считая, что в начальный момент стержень располагался, полностью прилегая к $стене.^{5.}$ Шарик, находящийся на расстоянии L от вертикальной стенки и на высоте H от горизонтального пола, бросают горизонтально по направлению к стенке. При какой минимальной начальной скорости шарик после упругого удара отскочит от стенки дальше, чем на $L?^{6.}$ Кубик со стороной a и плотностью $U_{к}$ плавает на поверхности жидкости, плотность которой $U_{ж}$. Изобразите график силы, действующей на кубик, в зависимости от глубины $погружения.^{7.}$ Начертите примерный график зависимости плотности воды данной массы от

температуры, изменяющейся в пределах от 0 до $8 q C.^{8.}$ С постоянной массой идеального газа проводят процесс, в котором давление прямо пропорционально объему. Постройте графики этого процесса в координатах $p, V, p, T, V, T.^{9.}$ Для схем включения реостата, изображенных на рисунке, постройте графики зависимости сопротивления цепи между точками А и В от сопротивления r правой части реостата (до $ползунка).^{10.}$ Какая зависимость связывает частоту и длину электромагнитной волны, например при настройке радиоприемника?

Микроопыт

Оберните цилиндрическую свечу 2-3 раза листом бумаги (можно взять и батон колбасы в оболочке) и разрежьте наискосок острым ножом. Как вы думаете, график какой функции получится по краю разреза при развертывании бумаги?

Любопытно, что…

…античная наука оставила будущим поколениям совсем мало кривых. Главные из них – окружность, а также эллипс, гипербола и парабола, появившиеся в трудах древнегреческого ученого Аполлония Пергского. …с именем французского математика и физика (и экономиста!) XIV века Никола Оресма связана одна из первых попыток построения системы прямолинейных координат. …неоднократно издававшийся трактат Оресма, возможно, оказал влияние на будущих ученых, в том числе и Декарта, ясно выразившего идею функциональной зависимости переменных величин и геометрического выражения этой зависимости, т.е. графика функции. …задача о нахождении перемещения, совершаемого при равноускоренном движении, впервые была решена графическим методом в XVII веке Галилео Галилеем.

…Галилей полагал, что цепная линия, по которой провисают гибкие нерастяжимые нити и свободно подвешенные цепочки, совпадает с параболой. Это утверждение было опровергнуто Гюйгенсом, который также выяснил, что циклоида, а не окружность, как считал Галилей, обладает тем свойством, что тело, скользящее по ней без трения, совершает колебания с периодом, не зависящим от начального положения. …по гиперболам движутся вокруг Солнца кометы, залетевшие издалека в Солнечную систему, и D -частицы, пролетающие мимо атомного ядра при его бомбардировке; закон радиоактивного распада отражает экспоненциальный характер этого процесса; по логарифмическим спиралям закручены многие галактики, в том числе и наша. Наблюдать «живьем» эти зависимости практически невозможно… …а вот в некоторых случаях графики функций видны, можно сказать, воочию. Так, металлическая линейка, сжатая с концов, изгибается по синусоиде (еще пример – в Микроопыте). В узкой щели, образованной двумя вертикальными стеклянными пластинками, опущенными в воду, четко вырисовывается гипербола свободной поверхности жидкости. Наклонив наполненный водой до середины цилиндрический стеклянный стакан, мы получим эллипс. Таких примеров немало, попробуйте их обнаружить вокруг себя.

Что читать в «Кванте» на эту тему (публикации последних лет) 1. «Когда помогают графики» – 2014, №1, с.47; 2. «Размышляем, решая задачу» – 2017, №9, с.31; 3. «Средняя скорость прямолинейного движения» – 2018, №2, с.48; 4. «И снова котенок на лестнице» – 2018, №4, с.36; 5. «Господин Великий Косинус» – 2019, №1, с.39; 6. «Кофе с экспонентами» – 2019, №7, с.25; 7. «Как выглядит график синуса» – 2020, №3, с.38; №4, с.11.

Материал подготовил А.Леонович

НАШИ НАБЛЮДЕНИЯ

Своенравный волчок

М.СТАРШОВ

ЭТА ПРОСТЕНЬКАЯ КОНСТРУКЦИЯ под названием спиннер (рис.1), можно сказать, колесом прошла по свету, и кто-то даже назвал ее «обязательной офисной игрушкой в 2017 году». В самом деле, некоторое время спиннер имел и бездумно любовался его завораживающим вращением едва ли не каждый молодой человек примерно до четвертьвекового возраста. Но мода всегда непостоянна, и сейчас трудно вспомнить, когда последний раз видел спиннер у кого-нибудь в руках. Один такой волчок перешел по наследству от внука к деду, а тот и начал искать игрушке новое применение. Прежде всего были очевидны гироскопические способности вертушки. Поэтому возникла идея заставить ее вращаться не в руках, а на какой-то опоре. Действительно, спиннер хорошо чувствует себя, например, на вертикально закрепленном отрезке стержня от шариковой авторучки

Рис. 1

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20200705

(пока хватает его вращательной инерции). Затем из канцелярской скрепки большого размера было согнуто миниатюрное подобие вилки переднего колеса велосипеда. В таком захвате игрушка хорошо вращалась. Но главное, можно было ощутить давление на пальцы при изменении направления ее оси вращения. Понятно же, гироскоп! А вчера пришла мысль прикрепить вертушку к линейке и подвесить сооружение на ниточке (рис.2). Получилось интересно, линейка поворачивалась. Но быстро захотелось от линейки избавиться или, по крайней мере, сделать ее полегче.

Рис. 2

В «полезном мусоре» нашлась полосочка гетинакса с продольными прорезями. Через одну из них маленьким винтиком спиннер был прижат к гетинаксу, а за вторую прорезь все это подвешивалось на тонкой нитке (рис.3). И вот здесь-то и происходит самое интересное – при быстром вращении спиннера пластинка начинает медленно раскручиваться вокруг вертикальной оси. Направление этого поворота зависит от направления вращения самого волчка, и больше того – при изменении направления вращения меняется характер поворота пластинки. В одном случае это простой медленный поворот, а в другом пластинка поворачивается скачками градусов по тридцать, своеобразными квантами. Со временем эта скорость несколько возрастает, $а^{Рис.} 3$

42

КВ АН T 2020/№7

после остановки волчка меняется ее направление – это, видимо, раскручивается нитка. Такое поведение кажется неожиданным для гироскопа, ведь на ракетах используется именно сохранение ориентации оси вращения гироскопа… Сегодня цена этой игрушки настолько упала, что мировые производители наверняка утратили к ней интерес и массовое производство прекратилось. А жаль, было бы интересно поиграть с этим волчком, только с

заменой трех грузов одним тяжелым кольцом, чтобы волчок стал ближе к обычному гироскопу. Полезно и поломать голову над тем, откуда берется сила, поворачивающая ось висящего на нити волчка (так сказать, призрак центробежной силы). И как проявляется в этом опыте закон сохранения момента количества движения системы. Подумайте обо всем этом!

НА М П ИШ УТ

Параллелограмм замечательных точек

К.КОЗЕРЕНКО

СУЩЕСТВУЕТ ОГРОМНОЕ МНОЖЕство замечательных точек, связанных с треугольником, более 30000 из них уже включены в известную энциклопедию Encyclopedia of Triangle Centers (ETC) Кларка Кимберлинга (Clark Kimberling). Конечно, многие точки интересны не только сами

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20200706

по себе, но в связи с другими замечательными точками. Здесь мы опишем весьма регулярную конструкцию из многих замечательных точек (см. рисунок). Она во многом резюмирует известные факты и результаты из статьи К.Козеренко и П.Факанова «Птолемеева ось треугольника» («Квант» №2 за 2017 г.). Используем обозначения: АВС – произвольный треугольник, М – его центр масс, т.е. точка пересечения медиан $AA_{m}, BB_{m}, CC_{m}$, Н – ортоцентр, О – центр описанной окружности, Е – центр окружности девяти точек. Хорошо известно, что четыре перечисленные точки лежат на одной прямой (прямая Эйлера), при этом Е – середина ОН, а М делит отрезок ОН в отношении ОМ: МН 1: 2. Это следует, например, из гомотетии

46

КВ АН T 2020/№7

F. Докажите, что треугольник MCD подобен треугольнику MFE. 4. Найдите наименьшее натуральное число, у которого ровно 15 различных делителей, включая число 1 и само число. 5. Найдите количество четырехзначных натуральных чисел, в десятичной записи которых используется ровно две различные цифры. 6. Решите уравнение $x^{2} 2 x 8 x 3$.

10 класс

1. Найдите все корни уравнения $x^{4} 7 x^{2} 2 x 2 0$, если известно, что число 2 1 является одним из его корней. 2. Из коробки, содержащей монеты по 5 копеек и по 10 копеек, монету в 10 копеек можно вынуть с вероятностью 5 7. После того как в коробку добавили несколько монет по 5 копеек, вероятность выбора монеты в 10 копеек из коробки стала равной 4 11. Чему равно наименьшее число монет по 5 копеек, которые добавлялись в коробку? 3. Даны две непересекающиеся окружности, ни одна из которых не лежит внутри другой. Две внешние касательные к этим окружностям пересекаются с двумя внутренними касательными в четырех точках. Докажите, что эти четыре точки и центры окружностей расположены на одной окружности. 4. При каждом натуральном n найдите сумму

S n

2 ˜ $2^{0} 3$ ˜ $2^{1} 4$ ˜ $2^{2}$ … n 1 ˜ $2^{n} 1$.

5. Прямоугольник P расположен на клетчатой бумаге так, что его горизонтальные стороны и вертикальные стороны расположены на линиях сетки, а длины сторон равны 9 и 15 шагов сетки. Найдите количество всех других прямоугольников, расположенных внутри прямоугольника P, со сторонами, расположенными на линиях сетки, и не имеющих общих точек со сторонами прямоугольника P. 6. Найдите наименьшее натуральное число, у которого ровно 24 различных делителя, включая число 1 и само число.

11 класс

1. Вася задумал два натуральных числа, умножил их сумму на 8, а затем вычел из полученного числа квадрат одного из заду-

манных чисел. Оказалось, что результат этих действий на 47 меньше произведения задуманных чисел. Какие числа задумал Вася? 2. Найдите все корни уравнения $x^{4} 8 x^{3} 19 x^{2} 12 x 2 0$, если известно, что число 2 + 3 является одним из его корней. 3. Трапеция ABCD с основаниями AD и BC описана вокруг окружности, а ее боковые стороны AB и CD касаются окружности в точках K и L соответственно. Найдите отношение оснований трапеции, если известно, что $AK : KB k_{1}, DL : LC k_{2}. 4.$ Из коробки, содержащей монеты по 5 копеек и по 10 копеек, монету в 10 копеек

4 7 можно вынуть с вероятностью. После того как в коробку добавили несколько монет по 10 копеек, вероятность выбора монеты в 10 копеек из коробки стала равной

7. Чему 9 равно наименьшее число монет по 10 копеек, которые добавлялись в коробку? 5. Найдите все корни уравнения

3 x 2. 4 6. Решением уравнения $x_{1} x_{2} x_{3} x_{4}$ cos 2 x cos n в натуральных числах называется упорядоченный набор $x_{1} ; x_{2} ; x_{3} ; x_{4}$ четырех натуральных чисел, сумма которых равна n. Найдите, сколько всего различных решений в натуральных числах имеет уравнение $x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} 100$.

Физическое отделение

7 класс 1. Определите скорость движения кончиков минутной и часовой стрелок стенных стрелочных часов (необходимые параметры задайте самостоятельно). 2. Определите диаметр Солнца. Известно, что Луна, радиус которой 1700 км, находящаяся на расстоянии 380000 км, имеет такой же видимый размер, как и Солнце. Радиус орбиты Земли 150 млн км. 3. Велосипедист и пешеход одновременно отправились в соседний город. В середине пути велосипедист проколол колесо и потратил час на его замену. В итоге в соседний город они прибыли одновременно. Чему равно расстояние между городами? Скорость велосипедиста 15 км ч, пешехода 6 км ч.

51

ЭКЗ А М ЕНАЦИОНН Ы Е

М А Т ЕРИАЛ Ы

4. В баллоне находилось $N_{1}$ атомов гелия и $N_{2}$ молекул водорода. При повышении температуры на D 20% половина молекул водорода покинула баллон и давление в баллоне увеличилось на E 10%. Найдите отношение $N_{2} N_{1}. 5.$ После размыкания ключа K в схеме, изображенной на рисунке 8, показания амперметра изменились в n 12 раз. Определите сопротивление амперметра, если сопротивление каждого резистора R 100 Ом, а сопротивление источника постоянного $на-^{Рис.} 8$ пряжения пренебрежимо мало.

Вариант 2 1. Поезд движется с постоянной скоростью v 40 км ч. Найдите длину поезда, если в момент времени $t_{1} 0$ его локомотив поравнялся с километровым знаком $x_{1} 106$ км, а в момент времени $t_{2} 216$ с его последний вагон проскочил мимо знака $x_{2} 108$ км. 2. Грузы массами 3m, m и M соединены в систему, как показано на рисунке 9, с помощью двух невесомых нерастяжимых нитей и невесомого блока, который состоит из жестко соединенных соосных цилиндров радиусами r и R 2r. Одна нить плотно намотана на цилиндр радиусом R (много круговых витков в один слой), а другая перекинута через цилиндр радиусом $r. Определите:_{Рис.} 9$ а) отношение M m, при котором система будет в равновесии; б) ускорение груза массой М при M m. Трением в осях блоков и проскальзыванием нитей пренебречь. Ускорение свободного падения равно g. 3. Груз массой m 100 г, подвешенный на пружине, удерживают в положении, когда пружина растянута на ’ $x_{1} 7$ см, а ее ось вертикальна. После того как груз без толчка отпустили, он стал совершать колебания, при которых максимальное сжатие пружины составило ’ $x_{2} 3$ см. Определите жесткость k пружины. 4. Над идеальным газом совершают процесс 1–2–3, в котором зависимость давления газа р от его температуры Т имеет вид, показанный на рисунке 10. Во сколько раз максимальный объем газа в этом процессе больше минимального?

Рис. 10

5. Из приведенных значений сопротивления: 120 Ом, 140 Ом, 160 Ом, 180 Ом, 200 Ом, 220 Ом выберите наиболее близкое к эквивалентному сопротивлению цепи, изображенной на рисунке 11, где R = 100 Ом. Выбор ответа обоснуйте.

Рис. 11

11 класс

Вариант 1 1. Тележка налетает на покоящийся брусок. Через время $t_{1} 1$ с после столкновения брусок останавливается, а еще через время $t_{2} 3 c$ на него вновь налетает тележка. Определите скорость тележки $v_{т}$ между столкновениями, если тележка между столкновениями движется равномерно, а брусок равнозамедленно с ускорением a 2 м $с^{2}. 2.$ На горизонтальном столе находится брусок массой m 1 кг, соединенный с грузом массой 2m с помощью двух невесомых нерастяжимых нитей и двух невесомых блоков, как показано на рисунке 12. Прямолинейные отрезки нити у подвижного блока вертикальны, нить, прикрепленная к бруску, горизонтальна. Коэффи- Рис. 12 циент трения бруска по столу P 0,4. а) Определите ускорение бруска массой m. б) Какую горизонтальную силу нужно приложить к бруску, чтобы груз поднимался с постоянной скоростью? Ускорение свободного падения g 10 м $с^{2}. 3.$ В баллоне находилось $N_{1}$ атомов гелия и $N_{2}$ молекул водорода. При повышении темпе-

53

ЭКЗ А М ЕНАЦИОНН Ы Е

но, что в момент времени, когда напряжение на катушке станет равным U 3 В, энергия магнитного поля катушки будет равна W 2,25 мкДж.

Олимпиада «Электронный наномир»

Избранные задачи

10 класс

1. а) Камень бросают вертикально вверх со скоростью 5 м с. Определите путь, пройденный камнем за первую секунду полета. б) Определите начальную скорость камня, брошенного с балкона вертикально вверх, если при трехкратном увеличении этой скорости путь, пройденный камнем за первую секунду полета, остается неизменным. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения g 10 м $с^{2}. 2.$ Костя Иночкин забежал в кабинет физики и при помощи суперклея закрепил в двух одинаковых ящиках три каких-то предмета. Потом взвесил ящики на пружинных весах – масса каждого из них оказалась равной 3 кг. Костя уронил ящики с нулевой начальной скоростью. Один из них начал падать с ускорением g, а другой – с ускорением 1,5g. Какие предметы и как Костя закрепил в ящиках? Какова масса пустого ящика? 3. По горизонтальным рельсам без трения движется тележка. Дождь увеличивает массу тележки с быстротой P ’ m ’ t 2 кг с. В начальный момент масса тележки М 50 кг, а ее скорость $v_{0} 5$ м с. С какой скоростью и с каким ускорением будет двигаться тележка в момент времени, когда ее масса увеличится вдвое? Капли дождя падают вертикально. 4. Объем одного моля одноатомного идеального газа медленно увеличили в 2 раза в процессе 1–2 (рис.19). График этого процесса в коор-

Рис. 19

М А Т ЕРИАЛ Ы

динатах T–V (T – температура, V – объем) совпадает с участком параболы, проходящей через начало координат и достигающей максимума в точке 2 при температуре $T_{2} 400$ К. Определите: а) температуру $T_{1}$ газа в состоянии 1; б) количество теплоты Q, полученное газом в этом процессе. Универсальная газовая постоянная R 8,31 Дж К ˜ моль. 5. В однородном электрическом поле, вектор напряженности которого направлен горизонтально, на двух шелковых нитях, закрепленных в одной точке, висят два маленьких шарика. Заряд каждого шарика q, масса m, одна нить длиннее другой в 2 раза. В положении равновесия длинная нить вертикальна, а короткая отклонена от вертикали на угол 90q. Определите величину вектора напряженности однородного электрического поля. Ускорение свободного падения равно g.

11 класс

1. С каким ускорением движется электрон в однородном электрическом поле напряженностью E 100 В м? Определите начальную скорость электрона, направленную вдоль силовой линии этого поля, если при ее трехкратном увеличении путь, пройденный электроном за первую микросекунду, остается неизменным. Отношение элементарного заряда к массе электрона e m 1,76 ˜ $10^{11}$ Кл кг. 2. Два протона сближаются, двигаясь в одной плоскости. На большом расстоянии электрическое взаимодействие протонов пренебрежимо мало, их скорости одинаковы по величине и направлены взаимно перпендикулярно. В процессе сближения и разлета протонов на большое расстояние вектор скорости одного из них повернулся на угол D 60 q. Во сколько раз изменилась величина скорости этого протона? Считать, что скорости протонов малы по сравнению со скоростью света в вакууме. 3. На тонкую пластиковую трубочку массой m и длиной l нанесены заряды q и q, локализованные у ее концов. Трубочка без трения может скользить по диэлектрическому кольцу радиусом R, который значительно превышает l (рис.20). В центре кольца закреплен положительный точечный заряд Q. В начальный момент времени трубочка покоится. Определите: а) величину $силы,^{Рис.} 20$

54

КВ АН T 2020/№7

с которой заряд Q действует на трубочку; б) ускорение трубочки. Коэффициент пропорциональности в законе Кулона равен k. Силу тяжести не учитывать. 4. В 1975 году Брайан Киббл, сотрудник Национальной физической лаборатории Великобритании, сконструировал весы, которые, используя сверхточные измерения тока и напряжения, позволили воспроизводить эталон массы. Упрощенная схема процесса состоит в следующем. На первом этапе груз массой m крепится к перемычке П-образной проволочной рамки, расположенной в вертикальной плоскости (рис.21,а). Перемычка может без трения скользить в вертикальном направлении. Постоянные магниты создают магнитное поле, вектор магнитной индукции которого перпендикулярен плоскости рамки. В проводящем контуре устанавливают ток, при котором магнитная сила уравновешивает силу тяжести груза (массой перемычки пренебрегаем), и фиксируют его величину I. На втором этапе груз массой m убирают, а перемычку перемещают в магнитном поле с постоянной скоростью v и фиксируют показания U вольт-

Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

Профильный экзамен по физике

В 2020 году в связи с риском распространения коронавирусной инфекции профильный экзамен (дополнительное вступительное испытание) по физике в МГУ и его Севастопольском филиале проводился в дистанционном формате на портале https: exam.distant.msu.ru Для участия в экзамене предъявлялись следующие технические требования к рабочему месту испытуемого. 1) Наличие ноутбука (желательно), персонального компьютера, смартфона или планшета со стабильным интернетсоединением (без прерываний на протяжении

Рис. 21

метра, который включают в цепь вместо амперметра (рис.21,б). Найдите массу m, если в опытах получены следующие значения: I 10,0 А, U 0,049 В, v 0,05 м с, ускорение свободного падения g 9,80 м $с^{2}$. Изменится ли результат, если магнитное поле будет неоднородным?

Публикацию подготовили Г.Гайдуков, И.Горбатый, А.Спиридонов испытания и минимальной скоростью от 5 Мбит/с). 2) При подключении к видеоконференции с помощью смартфона или планшета любого типа для получения задания обязательно использование второго устройства, например компьютера, иного смартфона/планшета. 3) Необходимо также наличие браузера Google Chrome или Mozilla Firefox последних версий и сканирующего или фотографирующего устройства для сканирования или фотографирования экзаменационной работы с последующей загрузкой на портал экзамена. Руководство МГУ в 2020 году приняло решение сократить как объем заданий для профильного экзамена, так и время их выполнения. В итоге типовое задание по физике в этом году охватывало три основных раздела программы для поступающих в МГУ: 1) механику, 2) молекулярную физику и термодинамику, 3) электродинамику. По каждому разделу программы абитуриенту предлагались краткий вопрос по теории и дополняющая его задача. На выполнение всего задания отводилось три астрономических часа. Ниже приводятся задания профильного экзамена 2020 года.

55

ЭКЗ А М ЕНАЦИОНН Ы Е

Механика

1. Дайте определение кинетической энергии материальной точки и определение потенциальной энергии механической $системы.^{Задача.}$ На гладкой горизонтальной поверхности вплотную к вертикальной стенке стоит брусок массой M 0,8 кг, в котором сделано гладкое углубление полусферической формы радиусом R 0,2 м (рис.1). Из точки A из состояния покоя начинает соскальзывать маленькая шайба массой m 0,2 кг. Найдите максимальную высоту h относительно нижней точки полусферы, на которую поднимется шайба при ее последующем движении. 2. Что такое инерциальные системы отсчета? Сформулируйте первый закон Ньютона.

M

Рис. 1

Рис. 2

Задача. На гладкой наклонной плоскости лежат два бруска массами m 100 г и $m_{1} 3 m$. Нижний брусок прикреплен к одному из концов легкой пружины, другой конец которой приделан к неподвижной опоре (рис.2). Определите максимальное расстояние $x_{max}$, на которое можно сместить бруски вниз по наклонной плоскости, чтобы после того, как их отпустят из состояния покоя, в процессе движения верхний брусок не отрывался от нижнего. Наклонная плоскость образует с горизонтом угол D 30 q. Жесткость пружины k 200 Н м. Модуль ускорения свободного падения считайте равным g 10 м $с^{2}$.

М А Т ЕРИАЛ Ы

2. Дайте определение удельной теплоты парообразования. Как зависит температура кипения от $давления?^{Задача.}$ В сосуде находится воздух с относительной влажностью M 80% при температуре Т 373 K. Объем сосуда V 10 л. Воздух в сосуде изотермически сжимают, уменьшая его объем в два раза. Найдите массу m сконденсировавшейся при этом воды. Универсальную газовую постоянную примите равной R 8,3 Дж К ˜ моль, а нормальное атмосферное давление $p_{0} 10^{5}$ Па. Молярная масса воды 0 18 г моль. Объемом сконденсировавшейся воды можно пренебречь.

Электродинамика

1. Сформулируйте закон электромагнитной индукции и правило $Ленца.^{Задача.}$ В электрической схеме, представленной на рисунке 3, конденсатор электроемкостью С 1 мкФ сначала заряжается от источника с ЭДС E 10 В. Затем ключ переводят из положения 1 в положение 2. Какое количество теплоты $Q_{L}$ выделится за все время возникших затухающих колебаний на катушке, если она изготовлена из медной проволоки длиной l 10 м и сечением $S 1 мм^{2}$? Сопротивление резистора R 1,7 Ом. Удельное сопротивление меди примите равным U 1,7 ˜ $10^{8}$ Ом ˜ м. 2. Дайте определение магнитного потока. Сформулируйте закон электромагнитной индукции.

Молекулярная физика и термодинамика

1. Что такое внутренняя энергия термодинамической системы? Какими способами можно изменить внутреннюю $энергию?^{Задача.}$ В вертикальном цилиндрическом сосуде под легким подвижным поршнем находится некоторое количество одноатомного идеального газа. В положении равновесия поршень удерживается в сосуде атмосферным давлением. При этом расстояние от поршня до дна сосуда равно $h_{0} 1$ м. Поддерживая температуру газа постоянной, сверху на поршень медленно насыпают песок массой m 1 кг. Найдите количество теплоты Q, которое необходимо сообщить газу, чтобы вернуть поршень в первоначальное положение. Трение поршня о стенки сосуда считайте пренебрежимо малым, ускорение свободного примите равным g 10 м $с^{2}$.

Рис. 3

Рис. 4

Задача. Квадратную проволочную рамку двигают с постоянной скоростью, перпендикулярной одной из сторон рамки. В некоторый момент времени рамка входит в область, занимаемую однородным магнитным полем, вектор индукции которого перпендикулярен плоскости рамки, причем ее скорость перпендикулярна прямой, ограничивающей область магнитного поля (рис.4). Какое количество теплоты Q выделится в рамке за время, в течение которого она полностью окажется в магнитном поле? Сторона рамки a 10 см, сопротивление рамки R 1 Ом, модуль скорости рамки v 1 м с, магнитная индукция B 1 Тл. Публикацию подготовил С.Чесноков