Квант 2021, №2 · Страницы

Тепловое расширение

Е.СОКОЛОВ

ПРИ НАГРЕВАНИИ ТЕЛА РАСШИряются, с этим согласны все. (Из этого правила есть важное исключение. Вода в диапазоне от 0 q С до 4 q С при нагревании сжимается. Благодаря этому наши водоемы не промерзают зимой до дна.) Многие даже могут привести формулу для изменения длины стержня при нагревании: $l l_{0} 1 D' t$. Но вот в вопросе о том, как изменяется при нагревании форма тела, единодушия уже нет (рис. 1).

Рис. 1. Тепловое расширение кольца: а) начальная форма кольца; б и в) «разбухание» и «растяжение»

Некоторые представляют тепловое расширение как «разбухание» нагреваемого предмета во все стороны (см.рис. 1,б), а другие – как его «растяжение» во все стороны (см.рис. 1,в). Наверное, первые, когда делают рисунок, представляют себе расплывающееся чернильное пятно, а вторые – растягивающуюся во все стороны резиновую пленку. Возникает вопрос: а какая из этих картинок правильно передает изменение формы тела при тепловом расширении? Общеизвестная формула не дает нам ответа на этот вопрос: она говорит нам только о длинах стержней и ничего не говорит о радиусах и толщинах колец. Чтобы научиться отвечать на подобные вопросы, нам надо постараться сформулировать закон теплового расширения в об-

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210202

щем виде. А именно, надо сформулировать его для такой геометрической фигуры и таким образом, чтобы результаты для колец, окружностей, треугольников и т. д. получались бы из него автоматически, как частные случаи. Сделать это несложно. Обратимся к свойству нагретых тел, которое знакомо каждому, кто выпиливал лобзиком. Если мы в пластине, нагретой до 20 q C, вырежем тонкой-тонкой пилочкой круг, то круг легко выпадет из пластины. Это означает, что, став свободным, круг не увеличил свои размеры. И если, наоборот, мы захотим вставить его назад, то он легко вставится и полностью займет свое старое место. Иными словами, став свободным, круг и не уменьшил свои размеры. Получается, что состояние тела при заданной температуре одинаково независимо от того, было ли оно нагрето как отдельная фигура или в составе пластины. И это будет не только при температуре 20 q C, но и при 37 q C, и при 156 q C и при любых других температурах. Следовательно, все фигуры одинаково расширяются независимо от того, нагреваются они сами по себе или в составе пластины. Это наблюдение позволяет нам в качестве общего случая нагреваемого тела взять бесконечную плоскость: рисуя на ней различные фигуры, мы, зная, как передвигаются точки плоскости, всегда найдем, как передвигаются точки нарисованных фигур и как при этом изменяются их формы. Осталась сделать последний шаг – из общеизвестного закона об увеличении длин стержней получить закон движения точек бесконечной плоскости. Это также делается несложно: любые две точки плоскости мы можем считать концами нарисованного бесконечно тонкого стержня, поэтому расстояние между ними определяется формулой $l l_{0} 1 D' t$.

11

ТЕПЛОВОЕ

Свойство 3. При тепловом расширении фигуры, нарисованные на плоскости, превращаются в подобные им фигуры. Это свойство вытекает из двух первых свойств. Оно говорит нам, что при изменении температуры отдельные области плоскости могут перемещаться и поворачиваться (относительно внешних тел, например поверхности стола), увеличивать и уменьшать свои размеры, но их форма не изменяется. Их этого свойства также следует, что рисунок 1,в правильно иллюстрирует изменение формы кольца при тепловом расширении. Их двух первых свойств вытекает также еще одно, самое демократичное свойство теплового расширения. Свойство 4. Все «внутренние» наблюдатели (наблюдатели, сидящие на нагреваемой плоскости) воспринимают тепловое расширение совершенно одинаково – как изотропное расширение Вселенной. А именно, каждая видимая ими точка плоскости удалятся от них со скоростью, прямо пропорциональной расстоянию до нее. Действительно, если наблюдатель не видит окружающего внешнего мира, например поверхности стола, на котором лежит пластина, то он не замечает ни своего сдвига относительно стола, ни своего поворота. Он видит только удаляющиеся от него точки нагреваемой пластины, углы между которыми остаются постоянными. А это и есть картина изотропного расширения Вселенной. Обсудим теперь «внешнюю» геометрию теплового расширения, т. е. выясним, как видит тепловое расширение плоскости наблюдатель, находящийся вне пластины. Свойство 5 (технологическое). Внешний наблюдатель может восстановить новое положение любой точки нагретого тела, если ему задано новое положение хотя бы одного отрезка. Более обобщенно – по одному отрезку и его образу можно восстановить всю картину теплового расширения. Действительно, пусть на поверхности стола нам задан отрезок AB и его образ A c B c (рис. 4,а). Построим образ произвольной точки C. Для этого соединим ее с

РАСШИРЕНИЕ

Рис. 4

концами исходного отрезка, чтобы получилась единая фигура – треугольник. Коэффициент линейного расширения нам известен (это отношение длины образа отрезка к длине самого отрезка), поэтому мы можем построить «нагретый» треугольник. А так как нам известно положение одной из его сторон (это образ исходного отрезка), то мы можем правильно разместить «нагретый» треугольник на поверхности стола. При этом полностью определяется и новое положение точки C.

Упражнение 2. На рисунке 4,б показано, как относительно поверхности стола расположен отрезок AB и его образ A c B c. Постройте образ отрезка CD.

Свойство 6 (параметры свершившегося теплового расширения). Свершившееся тепловое расширение имеет два универсальных параметра (они одинаковы для всех геометрических фигур): коэффициент линейного расширения k и угол поворота M. Эти параметры однозначно определяются, если для некоторого отрезка задан его образ. Действительно, если картина теплового расширения полностью восстанавливается по известному образу единственного отрезка, то параметры, задающие образ отрезка, являются и параметрами, полностью задающими свершившееся движение. Образ отрезка задается тремя параметрами: вектором смещения одного из концов начального отрезка, растяжением отрезка в k раз и его поворотом на некоторый угол M. Первый параметр, вектор смещения одного из концов, не является универсальным – для каждой точки он свой (см.рис. 4), а вот два последних параметра являются одинаковыми для всех отрезков, поэтому мы можем взять их в качестве параметров свершившегося движения.

Упражнение 3. То, что коэффициент линейного расширения одинаков для всех отрезков, по-

13

ТЕПЛОВОЕ

Рис. 6

ленному перемещению. Если, например, положить на ровный стол вплотную друг к другу квадратную и прямоугольную пластины (рис. 6, а) и нагреть их, то после охлаждения пластин до прежней температуры они оказываются смещенными относительно исходного положения. Определите величину результирующего смещения точки A и величину зазора, образовавшегося между пластинами, в описанном опыте. Для расчетов примите, что сторона квадрата увеличивается при нагреве на ’ a 1 мм. Задача 3. Три диска расположены в одну линию так, что расстояния между соседними дисками равны d 0,5 мм (рис. 6,б). При нагревании радиус каждого диска увеличивается на ’ a 1 мм. На сколько смещается при нагревании крайняя точка A самого правого диска? Вы поняли, в чем состоит «хитрость» этих задач? При тепловых движениях сами тела, а с ними и их неподвижные точки могут изменяться по ходу действия. Так, в задаче 2 квадрат и прямоугольник при нагреве ведут себя как один большой прямоугольник, а неподвижной точкой при нагреве является центр этого большого прямоугольника – точка O (рис. 7,а). При охлаждении квадрат и прямоугольник сжимаются уже как отдельные фигуры, и неподвижными точками являются их индивидуальные центры (рис. 7,б). А в задаче 3, наоборот, диски сначала нагревались «индивидуально», а затем – как одно большое тело.

Рис. 7

РАСШИРЕНИЕ

Но мы возвращаемся к нашему главному вопросу. В рассмотренных трех задачах соображения симметрии сразу указывали нам на неподвижные точки. Это были геометрические центры тел правильной формы. А какое условие определяет неподвижную точку в общем случае?

Общее условие, определяющее неподвижную точку

Кажется, все очень просто – в общем случае слова «геометрический центр системы тел» следует заменить словами «центр масс системы тел». Ведь тепловое расширение тел – это результат взаимодействия его атомов. А из механики известно, что внутренние взаимодействия между частями тела не могут привести к перемещению его центра масс. Таким образом, мы сформулировали условие нахождения неподвижной точки для абсолютно свободных тел, которые при нагревании не взаимодействуют с окружающими телами. Расширение таких тел мы могли бы наблюдать на борту межпланетной космической станции. Но хотелось бы получить аналогичное условие и для более реальных случаев, например для случаев, когда нагреваемое тело лежит на некоторой поверхности, как это было в рассмотренных задачах. Такое тело уже нельзя назвать абсолютно свободным телом – при сдвигах его частей на эти части действуют силы трения. Но у него есть одно свойство, которое делает его очень похожим на абсолютно свободное тело, – оно все-таки может выполнить свободное тепловое расширение (деформацию, подчиняющуюся основному принципу), если выберет подходящую неподвижную точку. Будем называть такие тела $квазисвободными^{1}$.

1 Квази (от лат. quasi) – почти, якобы, словно. Квазитермины – рабочие понятия профессиональных физиков (квазинейтральность, квазиравновесие, квазичастицы и т.д.). У этих понятий есть одна особенность – «они не оченьто по душе уму, воспитанному на математической логике» (М.Планк). Так что работе с такими понятиями надо специально учиться.

15

ТЕПЛОВОЕ

Рис. 9

тальных плоскостей так, что линия раздела плоскостей проходит ровно посередине пластины (рис. 9,а). Левая полуплоскость гладкая $( P_{1} 0 ),$ правая плоскость шершавая $( P_{2}$! 0). Пластину нагревают так, что ее боковой размер (расстояние между точками A и B) увеличивается на ’ a = 1 мм. Найдите смещения точек А и В при условии, что увеличение размеров пластины гораздо меньше ее размеров. А каковы были бы смещения этих точек при фантастическом расширении пластины, например при увеличении ее размеров в 16 раз? Задача 7. На прямой угол, образованный гладкой $( P_{1}$ 0) и шершавой $( P_{2}$! 0) плоскостями, кладут квадратную пластину (рис. 9, б). При нагревании размер пластины увеличивается на ’ a = 1 мм. На сколько смещаются при этом вершины квадрата – точки A и B? Размеры указаны на рисунке. Задачу решите в предположении, что увеличение размеров пластины гораздо меньше ее размеров.

Упоры

Движения тел при тепловом расширении становятся более разнообразными, если на их пути встречаются упоры. Упорами мы будем называть такие преграды, которые некоторым образом ограничивают движение тела, однако оставляют ему возможность выполнить свободное тепловое расширение. Задача 8. Квадратную пластину, лежащую на ровной поверхности стола (рис. 10,а), ограничивают с боков упорами $Г_{1}$ и $Г_{2}$ (гвоздиками). После этого пластину нагревают. Когда пластина остынет до прежней температуры, она оказывается смещенной относительно исходного положения. Определите величину результирующего смещения крайней

РАСШИРЕНИЕ

Рис. 10

точки пластины – точки A. Для расчетов примите, что сторона квадрата увеличивается при нагреве на ’ a = 1 мм и что трение в точках контактов пластины и гвоздиков отсутствует. Задача 9. Решите аналогичную задачу для диска, движение которого ограничено двумя упорами, составляющими угол 60q (рис. 10,б). Считайте, что радиус диска при нагревании увеличивался на ’ a 1 мм. Бывает, что наличие упоров приводит не только к смещению, но и к повороту тела! Задача 10. Квадратную пластину закрепляют на оси $Г_{1}$, проходящей рядом с серединой нижней стороны, а рядом с серединой боковой стороны вбивают упор $Г_{2}$ (рис. 11,а). На какой угол повернется пластина при нагреве, если известно, что ее размеры увеличиваются при нагревании на 0,2%? Трение между пластиной, осью и упором отсутствует. Решение. Упор $Г_{2}$ делает невозможным простое расширение пластины – боковая сторона «наезжает» на него (рис. 11,б). Однако если пластина немного повернется (рис. 11,в), то расширение станет возможным.

Рис. 11

17

ТЕПЛОВОЕ

каждый из упоров с одной и той же силой $F_{1}$ 61H, «прямоугольник» (рис. 13,б) давит на упор AB с силой $F_{2}$ 51H, а на упор BC с силой $F_{3}$ 31H. С какой силой давит на каждый упор «маленький квадрат» (рис. 13,в)? С какой силой давит на каждый упор «двойной квадрат» (рис. 13,г)? Трение между боками пластин и упорами отсутствует.

Неизотропное тепловое расширение

Если вы решили две предыдущие задачи, то, несомненно, вы научились мысленно разрезать геометрические фигуры и складывать из них новые. Это умение вам очень пригодится при решении нашей последней задачи. Задача 14. Квадратная пластинка, сделанная из анизотропного материала, при нагревании до некоторой температуры расширяется в вертикальном направлении на 15,4%, а в горизонтальном направлении на 2,2%. На рисунке 14,а направле-

Рис. 14

ние наилучшего расширения материала показано прямыми линиями. Из этой пластинки вырезают прямоугольную пластину таким образом, что направление наилучшего расширения составляет угол 45q с основанием пластины, и нагревают ее до той же температуры (рис. 14,б). На сколько процентов увеличатся при нагреве длины боковых сторон прямоугольной пластины? На сколько процентов увеличится площадь пластины?

РАСШИРЕНИЕ

Указание. Анизотропными называются материалы, у которых физические свойства разные в разных направлениях.

Заключение

Мы вполне допускаем, что после прочтения статьи у вдумчивого читателя могут возникнуть законные вопросы. –Вы знаете, я не сомневаюсь в правильности полученных выше ответов. Но вот та логика, которую вы использовали при решении задач, кажется очень необычной. В ваших задачах неодушевленные пластины сами выбирают неподвижные точки, неподвижный упор приводит во вращение расширяющийся квадрат, скорости порождают силы и эти силы направлены против скоростей. Все это очень непохоже на наш обычный Мир. Это не Мир Ньютона, в котором силы порождают изменения скоростей. Это и не Мир Аристотеля, в котором силы порождают скорости, направленные по силам. Это совсем иной Мир. – Вы правы, в наших рассуждениях многое было непривычным. Но в них нет ошибок. Представьте себе механический кукольный театр, сделанный искусным механиком. Куклы в этом театре движутся, танцуют, встречаются и расстаются. Движение кукол управляется десятком пружин и стержней, спрятанных мастером за декорациями. И, конечно, если мы вглядимся в работу механизма, то найдем здесь и законы Ньютона, и закон Гука, и наши обычные рассуждения. Но мы, люди, обладаем и иной способностью. Мы можем забыть о механизмах и видеть перед собой только героев увлекательной пьесы, прекрасных дам и галантных кавалеров, которые живут по своим собственным законам. По законам, которые мы не найдем в механике, но которые мы очень часто находим в жизни.

25

ЗАДАЧНИК

Эта задача совсем простая, и мы оставляем ее решение читателю. Несколько сложнее следующая задача. Задача 2 (С.Токарев). При каком наибольшем n можно $за^{k}$ взвешиваний гарантированно найти среди n весов более легкие неисправные весы? Ответ: $при^{n} 3^{k} 2$. Решение. Пусть при первом взвешивании на каждую чашу весов A ставится по x других весов и еще y весов остается. Тогда если одна из чаш перевесит, то неисправными могут быть либо весы на другой чаше, либо весы A, т.е. всего остается x + 1 подозрительных весов. Аналогично, если в первом взвешивании получено равновесие, то остается y 1 подозрительных весов. Поскольку в обоих случаях появляются заведомо исправные весы, все дальнейшие взвешивания можно проводить на них, как в стандартной задаче поиска фальшивой монеты. Соответственно, необходимым и достаточным условием возможности найти неисправные весы за оставшиеся k 1 взвешиваний будет выполнение неравенств $x 1 d 3^{k} 1, y 1 d 3^{k} 1$, что и дает приведенный выше ответ. Интересно также, что если разрешить сложные взвешивания, при которых на чаши одних весов ставится по несколько других весов, на чаши которых также ставятся весы, и т.д. (в одном сложном взвешивании получаются результаты со всех участвующих в них весов, кроме тех, на чашах которых ничего не стоит), то двух взвешиваний достаточно, чтобы найти одни неисправные весы среди любого количества весов, большего двух. Описание алгоритма для произвольного n довольно сложно, поэтому ограничимся примером для n 15. Поставим на чаши весов A весы $B_{1}$ и $B_{2}$, затем на чаши весов $B_{1}$ поставим весы $C_{1}$ и $C_{2}$, а на чаши весов $B_{2}$ – весы $C_{3}$ и $C_{4}$, наконец, на чаши весов $C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}$ поставим соответственно весы $D_{1}$ и $D_{2}, D_{3}$ и $D_{4}, D_{5}$ и $D_{6}, D_{7}$ и $D_{8}$. Очевидно, что если весы A показывают равновесие, то они и будут неисправными. В противном случае все весы на более тяжелой чаше, пусть это чаша с весами $B_{2}$, правильные, тогда по-

«КВАНТА»

смотрим на показания весов $B_{1}$. Аналогично получаем, что все весы на перевесившей чаше (а при равновесии на обеих) этих весов заведомо правильны, и смотрим показания весов на другой чаше, пусть это весы $C_{1}$. Снова получаем, что неисправными могут быть только более легкие из весов $D_{1}, D_{2}$, т.е. после первого взвешивания остается не более четырех подозрительных весов. Определить следующим взвешиванием, какие из них неисправны, не представляет труда.

Решение задачи М2628. Отличие задачи М2628 в том, что неизвестно, в какую сторону вес испорченных весов отличается от веса правильных. Как мы увидим, это делает задачу существенно труднее. Ответ: при n 13. Предположим, что испорченные весы можно найти за три взвешивания при $каком-нибудь^{n} t 14$. Понятно, что при любом взвешивании нет смысла сравнивать разные количества весов, иначе чаша с большим числом весов перевесит и это не даст никакой информации. После каждого взвешивания все весы будут разбиты на две группы: в одной будут заведомо настоящие, во второй – подозрительные, про которые пока непонятно, настоящие они или нет. Докажем, что нет смысла проводить второе и третье взвешивания на подозрительных весах. Допустим, мы сделали такое взвешивание на весах X. Поменяем местами их с какими-нибудь настоящими (не важно, где они находятся, на весах или нет). Если X настоящие, то результат взвешивания не изменится. Если же X испорченные, то они могли показывать такой же результат, как и после замены. Значит, в любом случае набор подозрительных весов либо останется прежним (в том числе не изменится информация, легче или тяжелей могут быть каждые из весов), либо из него будут удалены весы X. Таким образом, можно считать, что второе и третье взвешивания проводились на настоящих весах. Если при первом взвешивании мы положили на каждую чашу не более четырех весов, то рассмотрим случай, когда было

26

КВАН T 2021/№2

равновесие. В этом случае весы на чашах настоящие, а подозрительными являются те, на которых проводили взвешивание, и не менее n – 9 не участвовавших в нем, т.е. всего не меньше шести весов. Значит, есть не менее 12 возможностей того, какие это весы и в какую сторону их вес отличается от настоящих. Во втором и в третьем взвешиваниях должны участвовать все подозрительные весы, кроме, может быть, одних, иначе мы не сможем отличить двое весов, не участвовавших во взвешиваниях, а испорченные могут оказаться среди них. Это значит, что после второго и третьего взвешиваний мы максимум у одних весов не смогли бы узнать, легче или тяжелей они настоящих, т.е. должны уметь различать не менее 11 ситуаций. Однако каждое взвешивание может иметь максимум три исхода, поэтому более девяти различных ситуаций мы различить не сможем. Если же при первом взвешивании мы сравнивали не менее чем по пять весов с каждой стороны, то может оказаться, что одна из чаш перевесила. Тогда число подозрительных весов после первого взвешивания больше девяти и различить их за два взвешивания не получится. Теперь покажем, как за три взвешивания найти испорченные весы при n 13. Как понятно из оценки, первым взвешиванием нужно положить на чаши некоторых весов по четверо весов. Если весы оказались в равновесии, то на них сравнивались настоящие весы, а подозрительными являются те, на которых проводилось взвешивание, и четверо весов, не участвовавших в нем. Для второго взвешивания возьмем настоящие весы, на одну их чашу положим трое настоящих весов, а на другую – трое подозрительных. Если подозрительные оказались легче или тяжелей, то испорченные весы среди них и мы знаем, в какую сторону их вес отличается от настоящих. Тогда, сравнив третьим взвешиванием любые двое из них на настоящих весах, мы выявим испорченные. Если же при втором взвешивании весы показали равновесие, то испорченные весы среди двух оставшихся подозрительных. Тогда сравним на настоящих весах одни из них с

настоящими и выясним, какие именно являются испорченными. Если при первом взвешивании перевесила одна из чаш, то подозрительные весы либо на ней и они тяжелей настоящих (будем называть все весы на этой чаше тяжелыми), либо на другой чаше и они легче (будем называть их легкими), либо те, на которых проводили взвешивание. Для второго взвешивания возьмем настоящие весы, на одну их чашу положим двое тяжелых весов и двое легких, а на другую – одни тяжелые, одни легкие и двое настоящих. Если одна из чаш перевесила, например первая, то подозрительными остаются двое тяжелых весов на ней и легкие на другой чаше. Тогда сравним двое подозрительных тяжелых весов на настоящих весах и либо обнаружим испорченные весы среди них, либо это будут подозрительные легкие. Аналогично разбирается случай, если при втором взвешивании перевесила вторая чаша. Если же весы показали равновесие, то взвешиваемые весы настоящие, а подозрительными остаются трое весов. Третьим взвешиванием сравним на настоящих весах оставшиеся подозрительные тяжелые и легкие весы на одной чаше с двумя настоящими на другой. В случае неравенства в зависимости от результата понятно, какие из них испорченные, а в случае равенства испорченными являются те, на которых проводилось первое взвешивание. Следует, однако, отметить, что, в отличие от большинства задач на взвешивания, в этой задаче число весов ограничено не только сверху, но и снизу. Так, при n 3 никакое число взвешиваний не гарантирует нахождения неисправных весов! Действительно, пусть, например, весы A и B правильные, весы C неисправные и более тяжелые, а при взвешивании на них получилось, что A! B. Сделав взвешивания на других весах (больше делать все равно нечего), мы получим также, что C! A и C! B. Такую же систему неравенств мы могли бы получить, если бы весы B были неисправными и более легкими. Теперь единственное, что нам остается, это повторять взвешивания на подозри-

28

КВАН T 2021/№2

число, для которого вопрос содержателен, т.е. ни при каком n найти неисправные весы за два взвешивания нельзя! Действительно, пусть при первом взвешивании на чашах стоит по x весов и левая чаша перевесила. Тогда неисправными могут быть x левых весов (более тяжелые), x правых (более легкие) и весы, на которых делалось взвешивание (любые). Найти среди них неисправные одним взвешиванием можно только при x 1, причем для этого надо иметь не меньше трех правильных весов (почему?). Однако, в этом случае n t 6 и при равновесии в первом взве-

Погода в пустыне Сахара

С.ВАРЛАМОВ

В «Кванте» № 11–12 за 2020 год приведено решение задачи Ф2624, основанное на предположении, что поглощение тепла воздухом и остывание воздуха происходят по очереди. Здесь же будет рассмотрена несколько иная картина теплообмена, возможно – более реалистичная. Напомним условие задачи: Суточный «ход» температуры воздуха летом на высоте 2 м (стандартная высота для метеорологических измерений) составляет в $Сахаре^{30} \infty$. Максимальная температура $+^{40} \infty^{C}$. Погода устойчивая, небо безоблачное. Оцените толщину слоя воздуха над поверхностью пустыни, вовлекаемого в конвекцию в течение суток. Солнечная постоянная равна 1370 Вт $м^{2}$. Теперь – решение. Тепловые явления, происходящие в атмосфере Земли, весьма сложны. Большое количество факторов определяют направления и мощности тепловых потоков. В атмосферных процессах задействованы все известные процессы теплопередачи: излучение, фазовые переходы (испарение-конденсация), теплопроводность и конвекция. Картина взаимного обмена теплотой

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210204

шивании остается не менее четырех подозрительных весов, из которых невозможно найти неисправные одним взвешиванием. В заключение предлагаем читателю подумать над следующими вопросами. 1. Верно ли что неисправные весы можно найти за три взвешивания при всех $4 d^{n} d 13$? 2. При каких n можно найти среди n весов неисправные $за^{k}$ взвешиваний? 3. Как изменится ответ на предыдущий вопрос, если надо не только найти неисправные весы, но и выяснить, легче они настоящих или тяжелее?

между атмосферой и поверхностью (твердой или жидкой) зависит от места на поверхности Земли, она меняется даже в течение суток и уж тем более за длительные промежутки времени (между зимой и летом). Если в воздухе имеются облака, то излучение, идущее и от Солнца и от поверхности Земли, рассеивается и перехватывается облаками. Конкретно в Сахаре существуют и субтропические области, и области, в которых годами не выпадают осадки. Будем считать, что нас интересует ситуация в пустынных районах Сахары, где влажность воздуха весьма мала и никакой конденсированной воды на поверхности нет. Поэтому испарение воды, которое играет важную роль в других случаях, здесь не участвует по причине отсутствия вещества для испарения. Итак, время – лето, когда Солнце бывает в зените, ветра нет. Днем при солнечном освещении теплота передается от поверхности атмосферному воздуху, который, прогреваясь снизу, участвует в конвекции. Ночью подогрев снизу прекращается, и конвекция замедляется. Согласно условию задачи нужно оценить толщину приземного слоя воздуха, который за дневное время суток прогревается на величину порядка 30 градусов. На рисунке 1 показаны основные направления, в которых «путешествует» энергия, попавшая с излучением Солнца на Землю. В подписи к рисунку указано, что величи-

29

ЗАДАЧНИК

«КВАНТА»

метру поверхности достается мощность, равная примерно 1 кВт $м^{2}$. С учетом альбедо поглощается соответственно 700 Вт $м^{2}$. В течение светлого времени суток поглощение солнечного света сначала растет и достигает максимальной величины 700 Вт $м^{2}$ в середине дня, а затем уменьшается до нуля. При этом температура поверхности в дневное время достигает $+ 70 \infty C$. Мощность, приходящаяся на единицу площади, зависит от угла падения солнечных лучей. Средняя за светлое время суток, за12 часов, мощность равна

S

Ú sin M ◊ d M

3

0,7 ◊ $10 ◊^{0}$

Рис. 1. Тепловой баланс Земли (март 2000 – май 2004). Все тепловые потоки (в Вт $м^{2} )$ усреднены по времени и по поверхности Земли. (Источник: K.T.Trenberth, J.Fasullo, J.T.Kiehl. Earth’s global energy budget. – Bull. Amer. Meteor. Soc., 90 (2009), 311–323.)

ны тепловых потоков усреднены не только по поверхности Земли, но и по времени, т.е. приведенная картина не относится напрямую к ситуации, которую мы намерены рассмотреть. Но «локально» и по времени и по участку поверхности при устойчивой погоде тоже выполняется условие «баланса». Это означает, что сколько в среднем за сутки Земля получает от Солнца, ровно столько же и отдает в Космос. Над Сахарой облаков нет, поэтому доля солнечной энергии, добирающейся через прозрачную (в видимом диапазоне длин волн) атмосферу, составляет в полдень примерно 1000 Вт $м^{2}$. Значительная часть падающего на Землю излучения сразу отражается поверхностью пустыни. Средняя величина альбедо песка или скалистых плоскогорий Сахары (которые занимают большую часть ее поверхности) равна примерно 30%. Если Солнце в зените (солнечный свет перпендикулярно падает на поверхность), то каждому квадратному

=

S

Вт $м^{2} =$

1,4 ◊ $10^{3}$ Вт $м^{2} ª 446$ Вт $м^{2}. S$

Термометр, работающий на поглощении теплового излучения тел и направленный днем или ночью вверх (в чистое небо), показывает среднюю температуру $- 30 \infty C$. Эта температура определяет средний по времени за сутки (примерно одинаковый днем и ночью) тепловой поток от атмосферы к поверхности Земли. Величина этого потока, приходящаяся на единицу площади поверхности, равна примерно $V T^{4} = 5,67$ ◊ $10^{-} 8$ Вт $м^{2}$ ◊ $К^{4}$ ¥

(

)

¥ $( 273 - 30 ) К^{4} ª 200$ Вт $м^{2}$. Полученная оценка несколько меньше величины соответствующего усредненного потока энергии, указанного на рисунке 1 (т.е. 333 Вт $м^{2} ).$ Вместе эти два потока теплоты «к поверхности» дают за дневное время величину мощности примерно 446 Вт $м^{2} + 200$ Вт $м^{2} = 646$ Вт $м^{2}$. Средняя мощность, уходящая «от поверхности» посредством излучения, в дневное время соответствует излучению поверх-

4

Я надеюсь … побудить геометров ближе подойти к исследованию природы, а жадных до естественной науки – сначала выучиться геометрии. Исаак Ньютон

Книга природы написана треугольниками, окружностями и другими геометрическими фигурами, без которых человек не может понять в ней ни единого слова. Галилео Галилей

История науки дает нам много примеров применения чистой геометрии и пользы, приносимой ею. Пьер Симон Лаплас

…нужно ясно понимать, как геометрия световых лучей связана с создаваемыми ими для наблюдателя изображениями испускающих эти лучи объектов. Владимир Арнольд

А так ли хорошо знакомы вам

?

физика u геометрия

Да-да, не удивляйтесь, что привычный «плюс» заменен на иной математический знак, – ведь разговор пойдет не просто о сложении усилий двух научных областей, а именно об их умножении. Конечно, в школьной практике геометрические построения и формулы часто воспринимаются лишь как полезное подспорье при изучении физических проблем, особенно в кинематике, статике и оптике, да еще, пожалуй, в астрономии. Но даже в этих ограничениях можно заметить, как «оживают» задачи, как их условия становятся более наглядными, а решения – и рациональными и несравнимо изящными. Геометрия, сочетающая живое созерцание и строгую логику, пропитывает физику, порой открывая в ней новое, гармоничное измерение. Эта теснейшая связь длится не одно тысячелетие и блестяще воплощается во множестве научных открытий и инженерных решений. Попробуем и мы выбрать из россыпи примеров те, что отражают эффективное взаимопроникновение наук, прибегая сегодня к помощи ПЛАНИМЕ- ТРИИ. А выход в пространство совершим в следующий раз.

Вопросы и задачи

1. Когда нижний конец вплотную приставленной к стене лестницы отодвинули на 2 м от стены, верхний конец лестницы опустился вниз на 1 5 часть ее длины. Какова длина $лестницы?^{2.}$ В круглом бассейне плавает дельфин. Начав движение от стенки бассейна, он поплыл строго на север. Наткнувшись через 12 м на борт бассейна, он повернул на запад. Проплыв еще 5 м, он вновь наткнулся на стенку. Чему равен диаметр $бассейна?^{3.}$ Как найти угол между часовой и минутной стрелками в 12 ч $20 мин?^{4.}$ Земной шар и апельсин обтянуты обручами по наибольшему обхвату. Если удлинить каждый обруч на 1 м, то они отодвинутся от поверхности тел и образуют зазоры. Какой из них будет $больше?^{5.}$ Диск радиусом R обкатывает изнутри неподвижный обруч радиусом 2R. Пусть центр диска совершит один оборот вокруг оси обруча. Сколько раз обернется диск за это время вокруг своей $оси?^{6.}$ При движении доски на круглых катках она сохраняет горизонтальное положение и остается на одной и той же высоте. Можно ли осуществить такое движение, пользуясь некруглыми $катками?^{7.}$ В условиях предыдущей задачи скорость верхней точки каждого круглого катка равна 1 м с. С какой скоростью перемещаются точки касания доски с $катками?^{8.}$ Совпадает ли центр тяжести контура треугольника с центром тяжести его площади? Для примера рассмотрите равнобедренный треугольник с большой высотой и малым $основанием.^{9.}$ Однородная доска находится в равновесии в прямом двугранном угле с гладкими стенками. Как расположена доска? Устойчиво ли ее $равновесие?^{10.}$ По законам, установленным Кеплером, тело, брошенное с поверхности Зем-

ли, должно было бы двигаться по эллипсу, однако мы считаем его траекторию параболической. $Почему?^{11.}$ Отчего солнечное затмение не наблюдается каждое новолуние, а лунное – каждое $полнолуние?^{12.}$ Диаметр источника света 20 см, расстояние от его центра до экрана 2 м. На каком наименьшем расстоянии от экрана нужно поместить центр мяча диаметром 8 см, чтобы он не отбрасывал тень на экран, а давал только полутень? Прямая, проходящая через центры источника света и мяча, перпендикулярна плоскости $экрана.^{13.}$ В большой комнате в форме правильного шестиугольника с зеркальными стенами находится маленький человек. Постройте геометрическое место точек, из которых человек может видеть свои первые изображения во всех $зеркалах.^{14.}$ Два плоских зеркала составляют двугранный угол 120q. В биссекторной плоскости расположен точечный источник света. Расстояние между первыми мнимыми изображениями источника равно l. Чему будет равно расстояние между изображениями, если двугранный угол уменьшить в два раза?

Микроопыт

Пользуясь только линейкой без делений, найдите построением положение центра тяжести однородной пластинки, изображенной на рисунке.

Любопытно, что…

…названия геометрических фигур первоначально означали конкретные предметы. Так, «ромб» произошел от имеющего некруглую форму бубна, «трапеция» – от стола, «линия» – от льняной нити. …уяснить природу затмений древнему греку Анаксимену помогла догадка, что Луна и Солнце – два шара, движущиеся в одной плоскости. …еще один древнегреческий ученый Фалес придумал геометрический способ измерения расстояний до корабля в море с берега. Сейчас для этой цели используется работающая по тому же принципу стереотруба.

…еще в третьем веке до новой эры Архимед доказывал новые математические факты с помощью свойств центра масс. Например, этим способом им была выведена теорема о пересечении в одной точке трех медиан треугольника. … теория конических сечений, возникшая в рамках «чистой математики» и разработанная в деталях древними греками, нашла важнейшие приложения в XVII веке в трудах Ньютона и Кеплера по небесной механике. …установив закон движения тела, брошенного под углом к горизонту, Галилей его долго не публиковал, понимая, что этот результат получен в приближении «плоской Земли», а какой будет форма траектории в случае достаточно больших скоростей, он не знал. … соотношения между расстояниями в пространстве изучаются в геометрии, а свойства времени – в хронометрии. Поэтому та кинематика, которую начинают изучать в школе, и представляет собой не что иное как объединение этих наук, или «геометрию пространства – времени». … современные средства исследований позволили надежно установить, что огромные постройки давностью в несколько тысяч лет, подобные Стоунхенджу, подчинялись строгим геометрическим соотношениям и использовались нашими предками для астрономических наблюдений.

Что читать в «Кванте» по теме «Физика u планиметрия»

(публикации последних лет)

1. «Геометрия световых лучей» – 2013, №1, с.55; 2. «Оптическое изображение и проективная плоскость» – 2014, Приложение №3, с.90; 3. «Калейдоскоп «Кванта» – 2015, № 2, 4 и 2016, № 5/6, с.32; 4. «Нахождение центра масс проволочного треугольника» – 2018, №1, с.31; 5. «Законы механики и параметры эллипса» – 2018, №5, с.32; 6. «Законы отражения и преломления света» – 2019, №1, с.42; 7. «Квант» для младших школьников», задача 1 – 2020, №2, с.27; 8. «Об укладке блинов, котлет и апельсинов» – 2020, №4, с. 38.

Материал подготовил А.Леонович

ШКОЛА В «КВАНТЕ»

Где достать поляризованный свет?

М.СТАРШОВ

НЕДАВНО В ОДНОМ ИЗ МЕТОДИЧЕских физических журналов мне встретилась такая наукообразная фраза: «… весьма непросто создать натурные источники частично поляризованного света». Возможно, натурныe источники создавать и не нужно. И не потому, что это непросто, а потому, что они нас окружают постоянно. Известно, например, что поляризованный свет «знают», узнают и используют пчелы. И можно догадаться, что Природа предоставляет им как раз частично поляризованный свет. Гораздо реже можно встретить полностью поляризованный, как говорят оптики, линейно или плоско поляризованный свет. И скорее всего это окажется свет, созданный человеком. Нельзя не восхищаться призмой Николя, придуманной и изготовленной шотландцем Уильямом Николем в 1828 году. Чтобы сделать это устройство, надо было почти все знать о поляризации света, а главное – понимать, что этих приборов хорошо бы иметь два. Тогда можно не только всех убедить, что они работают, но и действительно заставить их работать. Однако ученый изготовил вторую призму, очень похожую на первую, только в 1839 году. Не странно ли? Итак, призма Николя, или просто николь, из обычного света делает практически полностью поляризованный свет. На нее падает свет с колебаниями в любой плоскости, содержащей направление распространения пучка света, а пропускает она только колебания в одной плоскости, если говорить «на пальцах». Вторая такая же призма может убедить наблюдателя, что из первой свет вышел именно поляризованным.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210205

Это красиво и замечательно, только призмы эти делаются из редких, а значит, очень дорогих кристаллов исландского шпата. А вот лет двадцать назад, когда я начинал работать в смене одаренных детей «Созвездие», в отряде юных любителей физики был замечательный мальчик Дима из города Ртищево. На одной из своих лекций я рассказывал о поляризации света, способах получения и применения такого света. Когда лекция закончилась, все мальчишки побежали играть в футбол, а этот Дима пошел по территории детского лагеря, вдоль старых заброшенных корпусов, изредка нагибаясь до земли. Потом отправился к электрику, попросил немного изоляционной ленты, которой он соединил собранные кусочки старого оконного стекла. Было забавно наблюдать, как он предлагал то одному, то другому товарищу посмотреть через его самоделку на небо: «Вот так посмотри, а теперь поверни так! Ну, видишь, как небо меняется?» Это он сделал так называемую стопу Столетова, которая очень просто и недорого позволяет получить или обнаружить линейно поляризованный свет. И вот, Дима убедился, что небо посылает нам свет в различной степени поляризации в зависимости от положения солнца. Честно говоря, для такого эксперимента можно вообще ничего не делать руками, достаточно открыть глаза, гуляя по городу или на природе. Вот передо мной здание школы (фото на рисунке 1), но почему такие разные стекла в его окнах: одни какие-то серенькие, а другие совсем черные, как будто и не стекла вовсе? Взглянув с любопытством на похожие окна одного парижского дворца в лучах заходящего солнца, молодой француз Этьен Малюс в начале XIX века и открыл для человечества поляризацию отраженного света. Блики на воде или на дорогом лимузине и вообще блеск тоже говорят о поляризации отраженного света. Правда, это не касается металлических ручек и других частей машины, «работают» только краска и стекло (с металлами все сложнее). Кто станет физиком или конструктором, возможно, будет этим пользоваться.

36

КВАН T 2021/№2

Рис. 1

С уверенностью процентов на 99 можно утверждать, что среди преданных читателей журнала «Квант» нет ни одного, кто бы не пользовался ежедневно поляризованным светом. Набирая этот текст, останавливаюсь, чтобы исправить ошибку в слове, беру в руки только что сфотографированную стопу Столетова (фото на рисунке 2) и смотрю сквозь нее на экран жидко-кристаллического монитора своего ноутбука. Вижу текст и начинаю поворачивать коробочку вокруг направления на экран. Неожиданно картинка слабеет, мутнеет и темнеет, букв не вижу совсем. При дальнейшем повороте все восстанавливается. Нетрудно догадаться, что от экрана к нам идет поляризованный свет, а стопа это проверяет.

Рис. 2

Но можно поступить даже проще, достаточно раздобыть кусочек ровного чистого стекла размером в половину тетрадного листа или даже меньше. Держа его сбоку от монитора на уровне глаз, поворачиваю так, чтобы видеть на нем отражение экрана, как в зеркале. Медленно перемещаю руку со стеклом вперед и вверх, не теряя отражение экрана. А изображение вдруг слабеет, почти до исчезновения. Продолжаю движение в том же стиле – изображение снова появляется. И опять пропадает, когда стекло оказывается на уровне экрана и глаз, только с левой моей стороны. Не прикольно ли? Я бы на вашем месте немедленно принялся искать стекло, чтобы проверить прочитанное. Если возьмете зеркало вместо стекла, такого эффекта не получите. Зеркальный слой – это металл, амальгама с высоким коэффициентом отражения, а его защищающее стекло отражает слабо, и глаз изменений не чувствует. А может быть, куда ни глянь, всюду увидишь частично поляризованный свет? И какие красивые наблюдения можно с ним проводить!

Вниманию наших читателей

Подписаться на журнал «Квант» можно с любого номера в любом почтовом отделении. Наш подписной индекс в каталоге «Пресса $России»_{–} 90964.$ Купить журнал «Квант» возможно в магазине «Математическая книга» издательства МЦНМО (адрес интернетмагазина: biblio.mccme.ru), а также в московских книжных магазинах «Библиоглобус», «Молодая гвардия», «Московский дом книги» и в редакции журнала. Архив вышедших номеров журнала «Квант» имеется на сайте http:// kvant.ras.ru

41

О ЛИМ П И А Д Ы

XLII Турнир городов

Задачи осеннего тура

Базовый вариант

8–9 классы $1. (3)^{1}$ На окружности отмечено 100 точек. Может ли при этом оказаться ровно 1000 прямоугольных треугольников, все вершины которых – отмеченные точки? С.Дворянинов

2. Группа из восьми теннисистов раз в год разыгрывала кубок по олимпийской системе (игроки по жребию делятся на 4 пары; выигравшие делятся по жребию на две пары, играющие в полуфинале; их победители играют финальную партию). Через несколько лет оказалось, что каждый с каждым сыграл ровно один раз. Докажите, что а) (2) каждый побывал в полуфинале более одного раза; б) (3) каждый побывал в финале. Б.Френкин

3. (5) В куче n камней, играют двое. За ход можно взять из кучи количество камней, либо равное простому делителю текущего числа камней в куче, либо равное 1. Выигрывает взявший последний камень. При каких n начинающий может играть так, чтобы всегда выигрывать, как бы ни играл его соперник? Ф.Ивлев

4. (5) Дан равносторонний треугольник со стороной d и точка P, расстояния от которой до вершин треугольника равны положительным числам a, b и с. Докажите, что найдется равносторонний треугольник со стороной a и точка Q, расстояния от которой до вершин этого треугольника равны b, с и d. А.Эвнин

5. (5) Директор зоопарка приобрел восемь слонов с номерами 1, 2, …, 8. Какие у них были массы, он забыл, но запомнил, что

1 В скобках после номера задачи указано число баллов, присуждавшихся за ее полное решение. Итог подводился по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты (баллы за пункты одной задачи суммируются).

масса каждого слона, начиная с третьего, равнялась сумме масс двух предыдущих. Вдруг до директора дошел слух, что один слон похудел. Как ему за два взвешивания на чашечных весах без гирь найти этого слона или убедиться, что это всего лишь слух? (Ему известно, что ни один слон не потолстел, а похудеть мог максимум один.) А.Грибалко

10–11 классы 1. (3) Каждый из квадратных трехчленов P x, Q x и P x Q x с действительными коэффициентами имеет кратный корень. Обязательно ли все эти корни совпадают? Б.Френкин

2. (4) На прямой отметили точки $X_{1}$, … $, X_{10}$ (именно в таком порядке) и построили на отрезках $X_{1} X_{2}, X_{2} X_{3}$, … $, X_{9} X_{10}$ как на основаниях равнобедренные треугольники с углом D при вершинах. Оказалось, что все эти вершины лежат на полуокружности с диаметром $X_{1} X_{10}$. Найдите D. Е. Бакаев

3. (5) Натуральное число N кратно 2020. В его десятичной записи все цифры различны, причем если любые две из них поменять местами, получится число, не кратное 2020. При каком количестве цифр в десятичной записи числа N такое возможно? С.Токарев

4. (5) Стороны треугольника разделены основаниями биссектрис на два отрезка каждая. Обязательно ли из шести образовавшихся отрезков можно составить два треугольника? Л.Емельянов

5. По кругу лежит 101 монета, каждая массой 10 г или 11 г. Докажите, что найдется монета, для которой суммарная масса k монет слева от нее равна суммарной массе k монет справа от нее, если а) (3) k 50; б) (3) k 49. А.Грибалко

42

К В А Н T 2021/№2

Сложный вариант

8–9 классы 1. (4) Для всякого ли выпуклого четырехугольника найдется окружность, пересекающая каждую его сторону в двух внутренних точках? А.Перепечко

2. (7) См. задачу М2630 «Задачника «Кванта». 3. Петя и Вася играют в такую игру. Каждым ходом Петя называет какое-то целое число, а Вася записывает на доску либо названное число, либо сумму этого числа и всех ранее написанных чисел. Всегда ли Петя сможет добиться того, чтобы в какой-то момент на доске среди написанных чисел было а) (3) хотя бы сто чисел 5; б) (4) хотя бы сто чисел 10? А.Аржанцев

3. (7) Пентамино «крест» состоит из пяти квадратиков 1 u 1 (четыре квадратика примыкают по стороне к пятому). Можно ли из шахматной доски 8 u 8 вырезать, не обязательно по клеткам, девять таких крестов? (На рисунке показано, как можно вырезать три креста.) А.Грибалко

4. (8) Существуют ли 100 таких натуральных чисел, среди которых нет одинаковых, что куб одного из них равен сумме кубов остальных? М.Евдокимов

5. (10) См. задачу М2633а «Задачника «Кванта». 7. 6 6 См. задачу М2631 «Задачника «Кванта».

10–11 классы 1. (4) Даны n натуральных чисел. Боря для каждой пары этих чисел записал на черную доску их среднее арифметическое, а на белую доску – их среднее геометрическое, и для каждой пары хотя бы одно из этих двух средних было целым. Докажите, что хотя бы на одной из досок все числа целые. Б.Френкин

2. (5) Барон Мюнхгаузен придумал теорему: если многочлен $x^{n} ax^{n} 1 bx^{n} 2$ … имеет n натуральных корней, то на плоскости найдутся a прямых, у которых ровно b точек пересечения друг с другом. Не ошибается ли барон? Ф.Ивлев

3. (6) Окружности D и E с центрами в точках A и B соответственно пересекаются в точках C и D. Отрезок AB пересекает окружности D и E в точках K и L соответственно. Луч DK вторично пересекает окружность E в точке N, а луч DL вторично пересекает окружность D в точке M. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырехугольника KLMN совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC. К.Кноп

4. (7) См. задачу М2633а «Задачника «Кванта». 5. (7) Существует ли прямоугольник, который можно разрезать на 100 прямоугольников, которые все ему подобны, но среди которых нет двух одинаковых? М.Мурашкин

5. (10) См. задачу М2632 «Задачника «Кванта». 7. (12) Белая фигура «жук» стоит в угловой клетке доски 1000 u n, где n – нечетное натуральное число, большее 2020. В двух ближайших к ней углах доски стоят два черных шахматных слона. При каждом ходе жук или переходит на клетку, соседнюю по стороне, или ходит как шахматный конь. Жук хочет достичь противоположного угла доски, не проходя через клетки, занятые или атакованные слоном, и побывав на каждой из остальных клеток ровно по одному разу. Покажите, что количество путей, по которым может пройти жук, не зависит от n. Н.Белухов

Материал подготовили Е. Бакаев, А. Грибалко, С. Дориченко, А. Заславский, П. Кожевников, А. Кушнир, Л. Медников, В. Ретинский, Е. Рябов, М. Скопенков, А. Тертерян, И. Фролов, Б. Френкин, Е. Хинко, А. Шаповалов

44

КВАНТ 2021/№2

8 класс Задача 1. Часы (10 баллов) На часах в некоторый момент времени угол между часовой и минутной стрелками составил D 60 q. Определите, через сколько минут угол между стрелками в следующий раз может снова оказаться равным D. Положение стрелок на рисунке 4 – условное. В.Яворский Рис. 4

Задача 2. Соревнование калориметров (10 баллов) В два калориметра положили по куску льда и в течение $W_{к} 10$ мин стали нагревать их содержимое с одинаковой мощностью. Известно, что первый кусок льда легче второго на ’ m 100 г. На рисунке 5 приведена

Рис. 5

зависимость разности температур t в калориметрах от времени W. К сожалению, шкала оси разности температур не сохранились, а изломам графика соответствуют времена $W_{1}, W_{2}, W_{3}, W_{4}$. Объясните, какие физические процессы соответствуют каждому линейному участку графика. Определите: 1) мощность P нагревателя; 2) массы $m_{1}$ и $m_{2}$ кусков льда; 3) начальные и конечные температуры кусков льда; 4) разность температур ’ t в момент времени $W_{1}$. Справочные данные: удельная теплоемкость льда $c_{л} 2100$ Дж к㠘 qC, удельная теплоемкость воды $c_{в} 4200$ Дж к㠘 qC, удельная теплота плавления льда O 330 кДж кг. А.Евсеев

Задача 3. Неразрывность (10 баллов) При каких значениях массы груза M возможно равновесие системы, приведенной на рисун-

ке 6, если m 4,0 кг? Горизонтальный рычаг массой 2m разделен на 8 одинаковых участков. Нить выдерживает макси- Рис. 6 мальное натяжение $T_{0} 25$ Н. Ускорение g 10 Н кг. М.Замятнин

Задача 4. Физика в медицине (20 баллов) Для измерения некоторых технических характеристик медицинского шприца экспериментатор Глюк собрал установку, изображенную на рисунке 7. Исследуемый шприц он закрепил в вертикальном положении. Вместо иглы к нему присоединил тонкую гибкую трубку, второй конец которой соединил с отверстием в дне цилиндрического сосуда. Затем Глюк измерил разность уровней ’ h воды в сосуде и шприце, при которой поршень шприца начинал двигаться вверх в процессе $плав-^{Рис.} 7$ ного подъема сосуда. Оказалось, что величина ’ h зависит от массы $m_{г}$ груза, закрепленного на верхнем упоре поршня. Результаты измерений зависимости ’ $h m_{г}$ он представил в таблице, в которой также приведена величина ’ $h_{x}$ для груза неизвестной массы $m_{x}$. Определите площадь S поршня и силу трения скольжения $F_{тр}$ между поршнем и стенкой шприца. Для этого: 1) выведите теоретическую зависимость ’ $h m_{г}$; 2) постройте график экспериментальной зависимости ’ $h m_{г}$; 3) с помощью графика определите $F_{тр}$ и S; 4) найдите, чему равна неизвестная масса $m_{x}$ груза в шестой строке таблицы.

Примечание. Массой поршня можно пренебречь; воздушная прослойка между поршнем и водой в шприце отсутствует; плотность воды U 1,0 ˜ $10^{3}$ кг $м^{3}$; ускорение g 10 Н кг.

М.Чжан, С.Кармазин

47

О ЛИМ П И А Д Ы

сы конуса внутрь него помещают небольшие кусочки пластилина.

Рис. 13

положным стенкам которого изнутри приклеены плоские зеркала. На боковой стенке ящика закреплен лазер, луч которого, многократно отразившись от зеркал, попадает на фотоэлемент, двигаясь все время в одной горизонтальной плоскости. При падении конуса внутрь ящика луч лазера гарантированно перекрывается и напряжение на фотоэлементе изменяется. Расстояние от луча верхнего лазера до плоскости, образуемой лучами нижнего лазера, равно 23,0 r 0,5 см. Фотоэлементы соединены в электрическую цепь последовательно друг с другом и подключены к USB-осциллографу, который преобразует значение суммарного напряжения на фотоэлементах в цифровой вид и передает в ноутбук. На ноутбуке установлена программа, отображающая график зависимости напряжения от времени с точностью до 0,5 мс. С помощью $полученного^{Рис.} 14$ графика можно определить время движения конуса между двумя пересечениями лучей лазеров. Для определения массы конуса 9 используются электронные весы 1. Для изменения мас-

Порядок проведения измерений 1. Внутрь конуса помещается некоторое количество пластилина и на электронных весах определяется общая масса конуса с пластилином. 2. Конус размещают острием вниз на расстоянии примерно 60–70 см над верхним лазером и отпускают. Расстояние в 60–70 см гарантирует, что при подлете конуса к верхнему лазеру его движение будет практически равномерным. 3. В окне программы по зависимости суммарного напряжения от времени (рис.14) определяются и заносятся в таблицу: $T_{1}, T_{2}$ – времена начала и окончания первого провала; $T_{3}, T_{4}$ – времена начала и окончания второго провала; $U_{0}$ – постоянный уровень напряжения; $U_{1}, U_{2}$ – уровни напряжений, соответствующие первому и второму провалам.

50

К В А Н T 2021/№2

трудное, травматичное для ледяного покрова. Лед примерзает к берегу – земля по мере наступления зимних холодов остывает быстрее, чем вода, и лед в контакте с ней схватывается быстрее. Здесь он неподвижен. А вдали от берега продолжаются приливноотливные колебания льда вместе с поднимающейся и опускающейся по два раза в сутки водой. Правда, сплошной ледовый покров немного сковывает эти движения: в большинстве районов Белого моря, где сделаны фотографии, представленные в статье и на четвертой странице обложки журнала, размах колебаний снижается на десяток-другой сантиметров, но при высотах приливов 1,5– 2 м это снижение почти незаметно. А дальше судьба льда может складываться очень поразному, в зависимости от множества местных условий: от высоты прилива, рельефа прибрежного морского дна, морских течений, температуры воздуха и т.д. Относительно тонкий лед может проявлять некоторую эластичность, но более толстый лед будет ломаться под давлением приливной волны, образуя трещины, идущие вдоль берега. Через эти трещины вода может заливать поверхность прибрежного или, как его называют, припайного льда. Если же напор приливной волны достаточно сильный, то лед начинает крошиться вблизи разлома, образуются льдины, которые могут быть выброшены на поверхность припайного льда, загнаны под нее или встать дыбом, образуя так называемые ропаки (отдельные льдины, стоящие вертикально или наклонно) или же целые береговые гребни. В некоторых случаях (например, при наличии течений) вдоль берега образуются незамерзающие полыньи. Наверное, эти процессы можно в какой-то мере сравнить с формированием рельефа

Рис. 2

Рис. 3

земной поверхности, только происходящим за гораздо более короткие времена. Но самые интересные формы зимнего морского рельефа образуются вокруг камней, лежащих на мелководье, обнажающихся в малую воду и скрывающихся под ее поверхностью во время подъема уровня моря. При наступлении сильных морозов, когда лед успевает замерзнуть за те несколько часов, пока камни скрыты под водой, с наступлением отлива он будет опускаться и ломаться о макушки камней. Лед словно раскроется лепестками вокруг камня (рис. 2). Через образовавшиеся вокруг камня трещины на поверхность льда будут заливаться новые порции воды, создавая вокруг камня прекрасный «каток». При сильных морозах вода, испаряющаяся из этих трещин, будет конденсироваться на камне и окруживших его ледяных лепестках, приводя к нарастанию слоя льда (так называемый сублимационный лед). Высота такого шатра может достигать человеческого роста (рис. 3) или даже больше. А в ледяных пещерках в стенах-лепестках шатра встречаются вмерзшие в них водоросли (рис. 4). И вот вся поверхность морского залива покрывается этими гигантскими «кротовинами», сверкающими на зимнем солнце…

Рис. 4

57

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

XLII ТУРНИР ГОРОДОВ Задачи осеннего тура

Базовый вариант

8–9 классы

1. Не может. Треугольник прямоугольный тогда и только тогда, когда некоторые две его вершины – диаметрально противоположные точки его описанной окружности. Каждой паре диаметрально противоположных точек соответствуют ровно 98 прямоугольных треугольников, для разных пар они различны. Поэтому общее количество прямоугольных треугольников делится на 98, но 1000 не делится на 98. 2. По условию каждый сыграл 7 партий, а всего было сыграно 8 ˜ 7: 2 28 партий. Поскольку каждый год играется 7 партий, кубок разыгрывался 4 раза. а) Игрок, сыгравший в полуфинале не более одного раза, за 4 года сыграл не более 3 3 ˜ 1 6 партий, что противоречит условию. б) Всего в четырех финалах было 2 ˜ 4 8 мест. Если кто-то не играл в финале, то кто-то другой должен был сыграть в финале как минимум дважды. Но тогда он сыграл не меньше 2 ˜ 3 2 ˜ 1 8 партий, что противоречит условию. 3. При n, не кратном 4. Стратегия: каждый раз оставлять в куче кратное 4 число камней. При n 4k 1 надо взять один камень, при n 4k 2 – два камня; при n 4k 3 надо взять p камней, где p – простой делитель числа n вида 4q 3 (такой есть, иначе все простые делители n имеют вид 4m 1, а произведение чисел такого вида тоже имеет такой вид и не равно 4k 3). Противник из кучи с кратным 4 числом камней не может взять число камней, кратное 4 (это будет не простое число), поэтому начинающий и дальше может играть по стратегии. 4. Пусть A, B, C – вершины данного треугольника такие, что AP a, BP b, CP c. Пусть F – образ точки P при повороте вокруг A на 60q, переводящем C в B. Тогда треугольник APF – равносторонний со стороной a, и отрезок FB является образом отрезка PC при этом повороте, откуда FB PC c. При этом AB d, PB b, а значит, треугольник APF вместе с точкой B образуют нужную конфигурацию. 5. Мысленно расположим слонов в виде таблицы, как на рисунке 22. Первым взвешиванием сравниваем друг с другом две первые строки, вторым – два первых столбца. За первое взвешивание мы найдем строку, где должен быть похудевший Рис. 22

РЕШЕНИЯ

слон, если он есть, а за второе – столбец. На пересечении этих строки и столбца и будет похудевший слон (если в пересечении окажется пустая клетка, то никто из слонов не похудел).

10–11 классы

1. Обязательно. Предположим противное: P x и Q x имеют кратные корни a и b соответственно, a z b. Если ветви графиков y P x и y Q x направлены в одну сторону, то трехчлен P x Q x не имеет корней (все его значения одного знака и ненулевые). Если ветви графиков y P x и y Q x направлены в разные стороны, то в точках a и b трехчлен P x Q x принимает значения разных знаков, что невозможно для трехчлена с кратным корнем. Противоречие. 2. 18q. Пусть построены треугольники $X_{1} A_{1} X_{2}$, … $..., X_{9} A_{9} X_{10}$ (рис.23), а $точки_{1}^{B}$, … $,_{9}^{B}$ симмет-

Рис. 23

ричны точкам $A_{1}$, … $, A_{9}$ соответственно (относительно прямой $X_{1} X_{10} ).$ Очевидно, точка $X_{i}$ лежит на хорде $B_{i} 1 A_{i}$ и на хорде $B_{i} A_{i} 1 (i 2,$ …, 9), поскольку при отражении возникают вертикальные углы (угол при основании равнобедренного треугольника и такой же угол отраженного соседнего треугольника). Поэтому

‘ $X_{1}^{B} 1 A 2$

‘ $A 2_{3}^{B} A_{4}$

‘ $A_{4}^{B} 5 A_{6}$

‘ $A_{6}^{B} 7 A_{8}$

‘ $A_{8}^{B} 9 X_{10}$

D.

Следовательно, 5D равно половине дуги $X_{1} X_{10}$, т.е. 90q. 3. При 6 цифрах. Если в числе седьмая цифра справа – это a, а третья справа – это b, то, меняя их местами, мы изменим число на b ˜ $10^{6} a$ ˜ $10^{6} a$ ˜ $10^{2} b$ ˜ $10^{2} b a$ ˜ $10^{4} 1$ ˜ 100. Значит, при такой замене делимость на 2020 20 ˜ 101 не испортится, по-