Квант 2021, №7 · Страницы

Термоэлектричество:

от дуги Алессандро Вольта до феррожидкостных термоэлектрических генераторов

А.ВАРЛАМОВ, С.ШАРАПОВ, Ю.ШИКИНА

Современного человека трудно удивить вопросами, что такое электричество или как происходит передача тепла – каждый имеет по этим поводам свое мнение. Кто – теоретическое, основанное на изучении физики, а большинство – памятуя незабываемые ощущения от удара током в процессе починки розетки при неотключенном напряжении на щитке или от случайного прикосновения к раскаленному утюгу. Но, конечно, гораздо меньшее число читателей знакомо с явлением термоэлектричества. В древнегреческой мифологии важное место занимают кентавры – дикие, смертные существа с головой и торсом человека на теле лошади, обитатели гор и лесных чащ. Явление термоэлектричества подобно кентавру – здесь электрическое напряжение между краями образца возникает в результате его неравномерного нагрева.

Диспут между Луиджи Гальвани и Алессандро Вольта История открытия и последующего изучения термоэлектpичества насчитывает более двух веков и начинается с дискуссии между Луиджи Гальвани и Алессандро Вольта. В середине XVIII века популярной темой в науке стало изучения электрических явлений, в том числе и животного электричества, например порождаемого электрическими скатами. Ввиду этого, профессор Болонского университета физиолог Луиджи Гальвани стал изучать, что происходит с препарированной лягушкой при пропускании через нее тока. В результате много-

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210702

численных экспериментов Гальвани убедился, что каждый раз, когда он, прикасаясь к нервам лягушки присоединенным к электрической машине проводником, извлекал из нее искру, лягушку охватывала судорожная дрожь. Далее Гальвани продолжил свои опыты и обнаружил такие же сокращения при соединении мышц и нервов только что препарированной лягушки металлической дугой (рис.1). При этом особое внимание Гальвани привлекло то обстоятельство, что сокращение мышц лягушки оказывается значительно более сильным, если металлическая дуга составлена последовательно из двух различных металлов: например, железа и меди (или, что гораздо лучше, серебра). Эти эксперименты привели знаменитого итальянца к заключению, что электричество свойственно самому животному: от нервов к мышцам как бы протекает флюид и образуется цепь (как при разряде лейденской банки).

Рис. 1. Луиджи Гальвани обнаружил сокращения мышц препарированной лягушки при их соединении металлической дугой

9

ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСТВО:

ОТ

Рис. 2. Эскизы инструментов, которыми пользовался Алессандро Вольта в экспериментах с лягушками. Мемуар о животном электричестве, 14 мая 1792 года (Архив А.Вольты, лист К13, Ломбардская академия наук и литературы)

Профессор Павийского университета физик и химик Алессандро Вольта относился с недоверием к так называемому животному электричеству. И тем не менее, по настоянию коллег, он повторяет описанные в работе Гальвани опыты (рис.2). В результате его скептицизм стал рассеиваться, и $3 апреля^{1792}$ года он пишет Гальвани: «Итак, вот я наконец обращен. С тех пор как я стал сам очевидцем и наблюдал эти чудеса, я, пожалуй, перешел от недоверия к фанатизму». В публичной лекции $5 мая^{1792}$ года Вольта рассказывает об опытах Гальвани, превозносит их, но вместе с тем высказывает мысль, что лягушка может представлять собою лишь измерительный прибор, электрометр, в десятки раз более чувствительный, чем уже давно существующий электрометр с золотыми листочками. Вольта настойчиво привлекает внимание к одной физической особенности опытов Гальвани: для того чтобы вызвать сокращение мышц, образующие дугу металлы должны быть различными. Он спрашивает: действительно ли металлические проводники служат лишь для того, чтобы, соприкасаясь друг другом, установить связь, предоставляющую электрическому флюиду путь, по которому тот естественно стремится перейти из одного места в другое? Действительно ли их роль чисто пассивна или же они являются активными агентами, приводящими в движение электрический заряд? В даль-

ДУГИ

АЛЕССАНДРО

ВОЛЬТА…

Рис. 3. Алессандро Вольта использует в качестве дуги проводник из одного металла, но помещает концы мышцы лягушки и концы проводника в сосуды с холодной и горячей водой. На правом рисунке вместо мышцы лягушки изображен вольтметр

нейших своих опытах Вольта показывает, что мышца, по существу, не участвует в создании самого явления, ее сокращение есть эффект протекания заряда, генерируемого контактом двух различных металлов. Таким образом, фактически он открывает явление, которое связано с контактной разностью потенциалов. В своих сомнениях Вольта идет далее. В качестве дуги он пробует использовать проводник из одного металла, но помещает концы мышцы лягушки и концы дуги в сосуды с холодной и горячей водой (рис.3). Мышца сокращается и в этом эксперименте, что позволяет ученому объяснить протекание электрического флюида (заряда) неравномерным нагревом металлического проводника. Связь между электрическим током и разностью температур обнаружена! В процессе экспериментов с металлической дугой Вольта осознал, что прохождение тока по мышце лягушки есть не что иное как его протекание в кислотной среде. В результате он создал свою знаменитую батарею, так называемый вольтов столб – последовательность чередующихся пластин из двух металлов (например, свинца и меди), разделенных пропитанной кислотой (уксусом) тканью. На этом же принципе работают батареи и сегодня.

Йенская школа и открытие Иоганна Зеебека Томас Иоганн Зеебек, немецко-эстонский физик, химик и врач, родился $в^{1770}$ году в ганзейском городке Ревель (ныне

11

ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСТВО:

ОТ

таблице лидирующее положение висмут $( S_{B} 73$ мкВ К ), а вторым сурьма $( S_{A} 47$ мкВ К ), создаваемое напряжение составит около 36 мВ. Таким образом, чтобы заменить две обычные пальчиковые батарейки, используемые в компьютерных мышках, пультах и многих других гаджетах, пришлось бы соединить 80 таких термопар и поддерживать между их электродами разность температур в 300 °С. Это уж слишком!

Дальнейшая судьба открытия Зеебека Термоэлектричество довольно быстро нашло свое применение, во всяком случае в физических лабораториях. Так, известный всем закон Ома был открыт и описан Георгом Симоном Омом в двух $статьях,^{1826} и^{1827}$ годов. После опубликования первой статьи Ому посоветовали отказаться от гальванической батареи, поскольку за время измерения электродвижущая сила такого источника существенно изменялась. Более точные результаты измерений для второй статьи уже были получены благодаря использованию как раз термоэлектрического источника тока (пара медь – висмут), способного поддерживать постоянное напряжение. Далее исследования открытого Зеебеком явления продолжились $в^{1830-е}$ годы в работах Жана Пельтье, где был обнаружен обратный термоэлектрический эффект: нагревание или охлаждение стыка двух проводников при протекании через него электрического тока. Его суть несколькими годами позже исследовал российский физик немецкого происхождения, один из основоположников электротехники Генрих Фридрих Эмиль Ленц. Он поместил каплю воды в углубление на стыке двух стержней из висмута и сурьмы (с сопротивлением R) и обнаружил, что при протекании электрического тока (I) в одном направлении капля превращалась в лед, при смене же направления на противоположное лед таял. Этот простой и впечатляющий эксперимент показал, что при протекании через контакт двух различных металлов тока, помимо известного джоулева тепла $( I^{2} R ),$ выделяется или погло-

ДУГИ

АЛЕССАНДРО

ВОЛЬТА…

щается дополнительное тепло, пропорциональное первой степени тока. Последнее получило название тепла Пельтье. Да, а что же термоэлектричество? Вплоть до середины 30-х годов XX века не существовало понимания на микроскопическом уровне устройства и металлов. Для создания соответствующей теории было необходимо как минимум вначале понять структуру составляющих их атомов, а необходимый для этого математический и понятийный аппарат – квантовая механика – был сформулирован только в конце 20-х годов. Тем не менее, на феноменологическом уровне понимание явления термоэлектричества продвигалось вперед. Во второй половине XIX века в работах Гиббса, Больцмана и других ученых развивается новая область физики – статистическая механика, изучающая системы большого числа частиц. Возможность описывать их свойства с помощью классической механики иллюзорна: не только решить, но и даже выписать уравнения классической механики для большого количества частиц не представляется возможным. Взамен ученые обнаруживают для таких системы совершенно новые, так называемые статистические закономерности. Они понимают, что для необходимого описания свойств здесь лишняя информация (координаты, скорости всех частиц) просто не нужна. Следует научиться задавать Природе новые вопросы и понять, как получить на них ответы. В числе прочих новых понятий Джозайя Уиллард Гиббс $в^{1875}$ году вводит химический потенциал P – энергию, которую следует затратить для добавления в систему большого числа частиц еще одной частицы. В условиях равновесия эта величина остается постоянной по всему объему системы – иначе бы частицы перетекали с одного места на другое. Понятие химического потенциала легко обобщить и на случай пребывания системы во внешнем поле, под которым мы в дальнейшем будем подразумевать электрическое поле с потенциалом M. Для этого к химическому потенциалу P нужно просто добавить соответствующую потенциальную энергию частицы с

17

ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСТВО:

ОТ

ДУГИ

АЛЕССАНДРО

ВОЛЬТА…

тались неэффективными для использования рассеиваемого тепла. Совсем недавно новый импульс поискам пригодных для практических применений термоэлектрических материалов придали исследования ионных жидкостей. Последние представляют собой расплавленные соли, жидкие как при комнатной температуре, так и при температурах намного выше 100 q С (некоторые могут превышать и 300 q С ). В отличие от жидких электролитов, наряду с большими коэффициентами Зеебека ионные жидкости обладают высокой электропроводностью, что обеспечивает их высокую эффективность ( ZT | 2 ). Таким образом, ионные жидкости являются перспективными кандидатами для утилизации тепловых потерь (рис.7). Например, для преобразования тепла выхлопной трубы автомобиля в электроэнергию, которой будет достаточно для работы кондиционера, охлаждающего его салон. Коэффициент Зеебека жидких электролитов может быть также увеличен посредством введения в их объем магнитных наночастиц (феррожидкость). Их медленный дрейф под воздействием разности температур и взаимодействие с электрода-

Таблица 3. Термоэлектрическая добротность наиболее перспективных термоэлектрических материалов

так и на использование низкоразмерных систем. Наноструктурирование термоэлектрических материалов на основе полупроводников, снижающее теплопроводность решетки при увеличении коэффициента Зеебека, привело к заметным улучшениям в преобразовании тепловой энергии в электрическую. Однако даже самые перспективные материалы пока не смогли преодолеть минимальное $требование^{ZT} 4$ (см. таблицу 3). Кроме того, созданные на сегодняшний день наноструктурированные материалы имеют ряд технологических, экологических и экономических недостатков, таких как ограниченные размеры, немалые затраты на производство и содержание редких и токсичных материалов. Термоэлектричество в электролитах и ферромагнитных жидкостях. Ученые продолжают искать экологически чистые и экономичные новые типы термоэлектрических материалов, таких как полимеры, ионные проводники и др. Одним из таких объектов недавно стали жидкие электролиты. Оказывается, что значения коэффициента Зеебека у них обычно на порядок больше $(^{S} | 0,5$ мВ К ), чем у полупроводниковых, даже наноструктурированных материалов. Кроме того, они состоят из доступных и нетоксичных элементов. К сожалению, электрическая проводимость таких жидкостей на несколько порядков меньше, чем у легированных полупроводников, поэтому жидкие электролиты счи-

Рис. 7. Значения коэффициента Зеебека для различных классов термоэлектрических материалов

18

КВАНТ 2021/№7

ми улучшают термоэлектрические свойства жидкости. Имеющееся понимание термоэлектрохимической природы сложных жидкостей еще далеко от полноты. Однако в этой захватывающей области ведутся активные экспериментальные и теоретические исследования, обещающие долгожданные применения в утилизации тепловых потерь, наносящих вред не только экономический, но и экологии окружающей нас среды. Упомянутые выше феррожидкости являются рабочим телом для термоэлектрических генераторов нового поколения, разрабатываемых в настоящее время учеными консорциума MAGENTA нескольких европейских лабораторий.

Несколько слов о применениях Термоэлектрические устройства имеют широчайшую область применений, начиная от выработки электроэнергии и заканчивая термоэлектрическими приемниками излучения. Надежность и простота термоэлектрических устройств позволяет использовать их даже тогда, когда традиционные источники энергии более эффективны. Помимо термопар достаточно широко используются устройства, работающие на принципе эффекта Пельтье: охладители для различных продуктов, начиная от оптоэлектроники, небольшие холодильники, системы охлаждения обогрева сидений в автомобилях. В качестве рабочего материала в таких устройствах, как правило, используется полупроводниковая пара $Bi_{2} Te_{3} –Sb_{2} Te_{3}$. Жюль Верн в своем романе «Двадцать тысяч лье под водой», который вышел $в^{1870}$ году, обсуждал возможность того, что источником энергии для «Наутилуса»

могла бы быть термоэлектрическая батарея, работающая за счет разности температур воды на разных глубинах. Современные атомные подводные лодки, как мы знаем, используют более традиционные паровые турбины. Но вот на космических аппаратах, которые направляются в глубины космоса, действительно стоят термоэлектрические источники энергии. Дело в том, что за пределами планеты Марс солнечный свет слишком слаб для питания космического корабля солнечными батареями. Поэтому необходимая для функционирования бортовых систем электроэнергия обеспечивается путем преобразования тепла, выделяющегося при радиоактивном распаде $Pu^{238}$, в электричество с использованием термоэлектрических пар. Такие радиоизотопные термоэлектрические генераторы использовались НАСА в различных миссиях, таких как «Аполлон», «Пионер», «Викинг», «Вояджер», «Галилео» и «Кассини». Источники питания для «Вояджера» без движущихся частей все еще работают, что позволяет космическому кораблю продолжать научные исследования после более чем 35 лет эксплуатации. Радиоизотопный термоэлектрический источник электроэнергии массой 45 кг, дающий мощность $в^{110}$ Вт, стоит и на недавно начавшем изучать Марс марсоходе «Perseverance».

Авторы благодарят за поддержку программу исследований и инноваций Европейского союза Horizon 2020, грантовое соглашение №731976 (MAGENTA), а также выражают признательность Ломбардской академии наук и литературы (Милан) за любезное предоставление факсимиле из архива трудов Алессандро Вольты.

Вниманию наших читателей

Подписаться на журнал «Квант» можно с любого номера в любом почтовом отделении. Наш подписной индекс в каталоге «Пресса $России»_{–} 90964.$ Купить журнал «Квант» возможно в магазине «Математическая книга» издательства МЦНМО (адрес интернет-магазина: biblio.mccme.ru), а также в московских книжных магазинах «Библио-глобус», «Молодая гвардия», «Московский дом книги» и в редакции журнала. Архив вышедших номеров журнала «Квант» имеется на сайте http://kvant.ras.ru

НИКОЛАЙ НИКОЛАЕВИЧ КОНСТАНТИНОВ

(02.01.1932 – 03.07.2021)

Ушел из жизни Николай Николаевич Константинов. Математик, физик, учитель, выдающийся организатор, сделавший невероятно много для математического образования. Это он с соратниками начинал в Москве матклассы и ввел систему обучения по листочкам. Он придумал многопредметный Турнир имени М.В. Ломоносова, Международный математический Турнир городов и его Летнюю конференцию, Независимый московский университет. Ездил со студентами и школьниками в трудовые лагеря, где работа сочеталась с занятиями наукой. И все это лишь часть длинного списка идей и проектов Н.Н. Константинова, изменивших наш мир. Он очень любил и ценил общение, его интереснейшие рассказы на самые разные темы (математика, биология, музыка, жизнь…) собирали множество слушателей. Сейчас остались книги, статьи, интервью… Николай Николаевич больше 50 лет проработал в школе, сам был автором ярких задач по математике и физике. Он писал:

«Я не знаю большей радости, чем ясные математические рассуждения. Они бывают безумно красивыми, но только в том случае, если в них нет ошибок. Мне жалко людей, которые не знают этой красоты. И я пытаюсь открыть глаза тем, кто ее не видит, поэтому занимаюсь преподаванием. В основе лежит доброта – слова из басни Крылова: “Кто добр, тому избытки в тягость, коль он их с ближним не делит”. Но не все могут понять эту красоту, и тех, кто не может, мне жалко. Хотя, конечно, им в некоторых случаях доступна другая красота – в музыке, в картинах и т.п. Эта другая красота сравнима с математической, и так же, как в математике, она противоречит выпендрежу, оригинальничанию, нарушению внутренней естественности. Всякое такое нарушение подобно ошибке в решении задачи». Николай Николаевич помог огромному количеству людей найти себя. Многие единомышленники и ученики Н.Н. Константинова продолжают сейчас его дела. Светлая память!

31

« КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

Мешает ли птицам попутный ветер

Н.КОНСТАНТИНОВ

Когда я уже научился читать, мне попалась книжка о путешественниках – какая именно книжка, я забыл, а запомнил из нее только один эпизод. Путешественники разбили лагерь в лесу рядом с озером, на которое села для отдыха во время перелета стая диких гусей. Наступил вечер, и охотиться было уже невозможно. – Завтра будет славная охота, – сказал один. – А ты не думаешь, что на рассвете птицы улетят? – сказал другой. – Не улетят, ведь ветер северный, для гусей попутный. Птицы не летают с попутным ветром, так как он задувает им под маховые перья крыльев. Этот разговор показался мне странным. Я бы на месте птиц радовался попутному ветру – на нем можно лететь быстро, быстрее ветра. Но я был маленький, и все, что написано в книгах, было для меня истиной. Так что я запомнил только, что я чего-то не понял. Прошло двадцать пять лет. Я учился в аспирантуре, моим руководителем был Алексей Андреевич Ляпунов – известный математик, который в это время глубоко интересовался кибернетикой и математическими подходами к биологии. Он был связан научными интересами и личной дружбой с нашим крупным биофизиком, одним из основателей науки биофизики – Николаем Владимировичем Тимофеевым- Ресовским. По совету Алексея Андреевича я посетил семинар по биофизике, проводившийся Николаем Владимировичем на биостанции Миассово на Урале. История, рассказанная Николаем Владимировичем, заставила меня вспомнить прочитанную в

Опубликовано в «Кванте» №6 за 2009 год.

ШКОЛЬНИКОВ

детстве книжку. Оказывается, было время (и я как раз его застал), когда из статьи в статью, из книги в книгу повторялась одна и та же мысль – что попутный ветер задувает птицам под крылья. И группа биологов, в их числе Тимофеев-Ресовский, в нескольких публикациях разъяснили биологам ошибочность этой мысли и рассказали о принципе относительности Галилея. Еще один эпизод напомнил мне, что некоторые старшеклассники в наше время еще не доросли до понимания картины мира, возникшей после открытий Галилея. Стройотряд из студентов и школьников работал летом на Беломорской биостанции МГУ (я был уже учителем). Мы возвращались с одной морской экскурсии на теплоходе «Научный». Группа ребят попросила у капитана разрешения сидеть не на теплоходе, а в шлюпке, которая тянулась за теплоходом на буксире (там было куда приятнее). А за шлюпкой, на расстоянии примерно трех метров от нее, тянулся еще маленький ялик, в котором никто не сидел. И вот самый молодой из нас, Леша Кувшинов, который тогда перешел в десятый класс, захотел пересесть в ялик. А сделать это на ходу было, по-моему, невозможно. По крайней мере, очень трудно: даже если подтянуть ялик к шлюпке, то пересесть на него и не перевернуться было немыслимо. Но Леша придумал другой способ: «Я высоко подпрыгну, а пока буду опускаться, ялик окажется уже подо мной». И тут все старшеклассники (а это были все матшкольники, и с ними шутки плохи) стали наперебой объяснять Леше принцип относительности Галилея. Землю, говорили они, можно считать инерциальной системой отсчета. Это означает, что если на тело не действуют внешние силы (или, точнее, если все силы, действующие на тело, компенсируют друг друга), то оно сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения относительно Земли. Конечно, бывают такие ситуации, в которых систему отсчета, связанную с Землей, нельзя считать инерциальной. Наглядный пример тому – маятник

Не делайте неправды в суде, в мере, в весе и в измерении… Библия

Измеряй все доступное измерению и делай недоступное измерению доступным. Галилео Галилей

… естественные солнечные сутки, принимаемые при обыденном измерении времени за равные, на самом деле между собой не равны. Исаак Ньютон

Каждая величина известна лишь в той мере, в которой ее можно измерить. Уильям Томсон

В природе мера и вес суть главные орудия познания. Наука начинается тогда, когда начинают измерять. Дмитрий Менделеев

В этом процессе перехода от качественных соотношений к количественным заключается важнейший этап научной мысли. На нем основано как понятие об измерении, так и сам процесс измерения физических величин. Леонид Мандельштам

Многие физики думают, что единственным определением любого понятия является способ его измерения. Ричард Фейнман

Встала на весы…спешат!

Фольклор

?

А так ли хорошо знакомы вам физические измерения

Насколько же первостепенное значение придавали измерениям выдающиеся ученые! И действительно, измерения – неотъемлемый атрибут физики. С первых же шагов ее изучения в школе нас приобщают к таким терминам, как единица измерения, цена деления, погрешность, поясняют различие между процедурами прямых и косвенных измерений, учат оформлять результаты лабораторных работ. Правда, коекому лабораторные работы кажутся занятием излишним и скучным, но многим, склонным трудиться не только головой, но и руками, их в школе явно не хватает. Попытаемся, хоть отчасти, восполнить этот недостаток и провести несколько измерений, пользуясь иногда, что называется, подручными средствами. Возможно, при всей внешней простоте, эти практические действия побудят вас продвинуться дальше в освоении понятия «измерение». Тогда – ждем вас в следующем выпуске «Калейдоскопа».

Задачи-измерения

1. Измерьте сначала с помощью линейки свой рост, отметив его на косяке двери, затем – расстояние между концами пальцев распростертых рук, воспользовавшись стеной. Сравните результаты ваших измерений. Что вы заметите?

2. Выдвиньте прямую руку перед собой и, раздвинув указательный и средний пальцы, изобразите букву V. Таким образом астрономы-любители могут измерять интересующие их углы. Почему? 3. На прямоугольном столе лежит закрытый спичечный коробок. Удастся ли вам с помощью линейки и карандаша измерить расстояние между двумя самыми удаленными его точками? 4. Как определить длину окружности (а значит, и диаметр) футбольного мяча, располагая деревянной линейкой? 5. Можно ли найти объем одной конкретной из кучки фасолины, если у вас имеется только мензурка? 6. Закрытая тонкостенная бутылка прямоугольной формы с плоским дном частично заполнена водой. Как, не открывая бутылку и имея лишь линейку, определить ее вместимость? 7. Попробуйте найти внутренний объем сосуда неправильный формы, пользуясь весами и набором гирь. 8. Сможете ли вы (следуя Архимеду) взвесить слона? 9. Как определить с помощью динамометра массу кубика, вес которого больше предела измерений динамометра, но не более чем вдвое?

10. Известно, что вес тела на Луне в 6 раз меньше, чем на Земле. Какие измерительные приборы надо взять с собой на Луну, чтобы проверить этот факт экспериментально? 11. Два одинаковых бытовых термометра различаются лишь формой емкостей: у одного она шарообразная, у другого цилиндрическая. Какой из этих термометров быстрее «откликается» на изменение температуры и почему? 12. Как измерить сопротивление данного амперметра, если имеется другой амперметр, сопротивление которого известно? 13. Как измерить сопротивление данного вольтметра, если имеется другой вольтметр, сопротивление которого известно? 14. Как в солнечный день определить с помощью линейки высоту здания или дерева, не влезая на них?

Любопытно, что…

… за точностью и достоверностью измерений следили с древнейших времен. Так, в грамоте князя Всеволода (XII век) были упомянуты наказания для нарушителей единства измерений вплоть до смертельной казни. … жители Древнего Египта располагали разбитыми на части мерными веревками, которые использовали в качестве линеек и циркулей. С их помощью египтяне могли приближенно измерять длину любого отрезка или величину любого угла. … разнообразные, пусть и ориентировочные, измерения можно выполнять буквально голыми руками, если знать собственные размеры: ширину ногтя какогонибудь пальца, длину среднего сустава указательного, расстояние между концами большого пальца и мизинца растопыренной пятерни, «свой» метр – от конца вытянутой в сторону руки да края плеча другой и так далее. … точные измерения температуры, проведенные Дж. Джоулем в многократных экспериментах, позволили установить неочевидную долгое время связь между механической работой, теплотой и изменением энергии. Все эти физические величины сегодня имеют общую единицу измерения – джоуль.

… термометры и барометры, изначально основанные на одних и тех же физических принципах – на уравнении состояния газа, – были практически неотличимы друг от друга. Впервые, кстати, на это обстоятельство обратил внимание физиков знаменитый юморист Марк Твен. … согласно теории относительности при равномерном движении тел их длины сокращаются и замедляется ритм, в котором протекают все процессы. Однако эти изменения можно измерить только с помощью покоящихся приборов. Как только приборы приходят в движение вместе с объектами наблюдений, они оказываются «бессильными» заметить подобные перемены. … выполненные в конце XX века измерения скорости звука в воздухе потребовали внести важные поправки в справочники. Дело в том, что в прежних экспериментах допускались неопределенности, не учитывающие новейшие значения констант и параметров, описывающих свойства воздуха, а также сомнительные результаты перевода единиц измерения из одной системы в другую. … современные методы измерений необыкновенно расширили диапазон исследуемых величин. Так, сегодня можно находить расстояния, отличающихся друг от друга примерно на 40 порядков – от межгалактических масштабов до размеров элементарных частиц.

Что читать в «Кванте» о физических измерениях

(публикации последних лет)

1. «Рычажные весы» – 2015, Приложение №3, с.52; 2. «Разрешающая способность измерительных приборов» – 2015, Приложение №3, с.191; 3. «Как студент магнитное поле измерял» – 2016, Приложение №2, с.113; 4. «Рождение гравитационно-волновой астрономии» – 2018, №3, с.14; 5. «Джеймс Джоуль» – 2018, №7, с.10; 6. «Премия за лазерные инструменты» – 2019, №3, с.2.

Материал подготовил А.Леонович

34

КВАН T 2021/№7

Фуко. В инерциальной системе отсчета плоскость, в которой колеблется маятник, остается постоянной, а в действительности, скажем, если опыт поставлен в Москве, плоскость колебаний медленно поворачивается. Другой пример – реки, текущие в северном полушарии, подмывают правый берег. А если бы система, связанная с Землей, была инерциальной, оба берега были бы равноправны. Но это все довольно тонкие эффекты, наблюдаемые либо при очень точных измерениях, либо за очень большие промежутки времени. В нашем же случае систему отсчета, связанную с Землей, вполне можно считать инерциальной. Значит, и любую другую систему отсчета, которая движется относительно Земли равномерно и прямолинейно, также можно считать инерциальной. Наша шлюпка как раз и есть такая система отсчета. И тогда, по принципу относительности Галилея, все законы физики в системе шлюпки выглядят так же, как и в системе, связанной с Землей. И подпрыгнув в шлюпке ты опустишься в ту же точку шлюпки, из которой стартовал, как это было бы и на берегу. Тут один из наших ребят возразил, что если на твердой почве, т.е. на берегу, выстрелить вертикально вверх, то снаряд не упадет в ту же точку, из которой стартовал, даже если воздух полностью неподвижен относительно Земли. Это дей-

ствительно так, но это еще один случай, демонстрирующий неинерциальность земной системы отсчета. Поскольку эффект незначительный, в нашем опыте его можно не учитывать. Однако Лешу все эти объяснения не убедили. Приводили ему и рассуждения Галилея, объяснявшего своим современникам, что если дуэль на пистолетах происходит в трюме движущегося корабля, то ни один из дуэлянтов, смотрит ли он от кормы к носу корабля или наоборот, не имеет преимуществ. И напоминали, как он, Леша, едучи в поезде на Биостанцию, играл в вагоне в мяч и мяч двигался по отношению к вагону так же, как он двигался бы на неподвижной земле при тех же ударах по нему. Но все было бесполезно. Леша непременно хотел подпрыгнуть, а мы возражали, так как шлюпка в результате удара могла дать течь. Но в конце концов уступили, и Леша подпрыгнул. Он, как и должно было быть, опустился в исходную точку (а лодка так качнулась, что набрала некоторое количество воды). Леша надолго задумался. И, наверное, запомнил принцип относительности Галилея навсегда. Воспользуюсь случаем, чтобы показать на примерах, как поверхностно зачастую школьники учат уроки. Однажды один студент ехал на Беломорскую биостанцию. Он приехал на поезде в Пояконду, откуда его должны были доставить к месту на катере. Подошел к берегу в три часа ночи (ночи белые), до прихода катера было еще далеко. Кругом ни души. Он положил на землю свой тяжелый рюкзак и пошел осматривать окрестности. А когда вернулся, рюкзака не было. О воровстве не могло быть и речи – поселок крохотный, и жители даже

35

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

дверей не запирают. Студент сел на камень и предался тяжелым размышлениям о превратностях жизни. «А что это там в море плавает?» – подумал студент. «Нет, не плавает, а, пожалуй, стоит на месте». Пригляделся. «Да это же мой рюкзак!» – догадался студент. Благо были на нем сапоги – дошел до рюкзака по мелководью. Забыл студент, что в море бывают приливы. А ведь учил это в школе, и, возможно, даже получил пятерку за отлично вызубренный урок. Но в том-то и дело, что можно вызубрить и не задуматься. Другой случай – опять же на Белом море. Группа туристов пошла погулять, а один из них, Саша Кодряну, остался у костра, чтобы приготовить чай. Это был очень толковый школьник, только что заработавший первую премию на Всесоюзной математической олимпиаде. Он пошел к колодцу, а рядом море – вода в нем такая прозрачная и так красиво играет на солнце. И он набрал в ведро морской воды. Забыл он, что вода в море соленая, а ведь наверняка знал об этом. Но это были знания для отметки, а не для жизни. Вода (соленая) закипела как раз к возвращению уставшей группы. Получается, что школьные знания могут оказаться бесполезными. Это бывает, если они не связываются с жизненными наблюдениями. У человека должны быть две «школы» – одна на улице и дома, другая – в школе, и они должны быть связаны. Но так бывает не всегда. Вот идет человек по городу, ему пятнадцать лет, и у него стопроцентное зрение. Но он ничего не видит. Он не заметил, что голуби и вороны – это разные птицы. Не заметил, что у троллейбусов на крыше рога (они понаучному называются пантографы). Он никогда не видел радуги, не замечал, что у кучевых облаков нижние поверхности обычно ровные. Все это я не выдумал – это результаты наблюдений. Спросил я как-то своих кружковцев, бывает ли так, что Луна и Солнце видны на небе одновременно. Один сказал, что он однажды это видел, остальные ничего такого не замечали, а некоторые вообще удивились, что Луну можно увидеть днем.

ШКОЛЬНИКОВ

Но… вернемся к птицам. Меня всегда учили, что записные книжки Леонардо да Винчи изобилуют гениальными догадками. И вот недавно я, наконец, решил почитать эти книжки, которые, разумеется, давно изданы в солидных академических издательствах. В «Избранных произведениях» Леонардо да Винчи (М.: Издательство АН СССР, 1955) есть глава «О летании и движении тел в воздухе». Это подробное исследование, в котором много интересных наблюдений и прекрасных рисунков. Но понимать его очень трудно, порой невозможно. Ведь Леонардо писал для себя, не заботясь о том, чтобы разъяснять смысл употребляемых терминов. В этой главе есть раздел «Почему перелетные птицы летают против течения ветра?» Я в этом тексте не смог разобраться, но вывод очевидно не верен. На рисунках показано, как птицы взлетают – действительно всегда против ветра. А когда они уже высоко, то не видно, куда дует ветер. Можно предположить, что это и привело к ошибке. Надо заметить, что Леонардо постоянно ссылается на законы статики, открытые еще Архимедом (Архимеда он изучал по полному собранию сочинений, которое, как известно из его записных книжек, было ему доступно). Но для изучения полета недостаточно статики. А динамики, как науки, тогда еще не было, и Леонардо там, где не хватало знаний, постоянно использовал интуитивные догадки. Так, всю жизнь он пытался создать летательный аппарат, но это ему не удалось. Потребовались четыре столетия развития науки и техники, чтобы человек поднялся, наконец, в воздух. Итак, мне кажется, я догадался, откуда у биологов возникла ошибочная мысль о том, что попутный ветер мешает птицам летать. Она возникла из трудов Леонардо да Винчи. А удерживалась эта идея в головах некоторых людей потому, что в знании физики эти люди не перевалили через эпоху Галилея. Но не будем упрекать Леонардо в том, что он не опередил следовавшего за ним гения…

36

КВАН T 2021/№7

Фантастика и реальность

С.ДВОРЯНИНОВ

Вы помните, как в книге Н.Н. Носова «Незнайка на Луне» ее герои представляли строение Луны? Они считали Луну пустотелой, и поэтому Знайка так мечтал о новых путешествиях: «Хорошо бы построить большой межпланетный корабль, взять значительный запас пищи и воздуха и устроить длительную экспедицию на Луну. Надо полагать, что во внешней оболочке Луны имеются отверстия в виде пещер или кратеров потухших вулканов. Сквозь эти отверстия можно будет проникнуть внутрь Луны и увидеть ее центральное ядро. Если это ядро существует, а оно без сомнения существует, то лунные коротышки живут на его поверхности. Между внешней оболочкой и центральным ядром Луны, наверно, сохранилось достаточное количество воздуха, поэтому условия жизни на поверхности ядра должны быть вполне благоприятными для коротышек». Но для жизни на такой Луне коротышкам непременно потребовалась бы энергия. Как же ее можно получить? Давайте продолжим фантазии Знайки. Каждое тело массой m, находящееся на высоте h над поверхностью Земли, обладает потенциальной энергией $W_{=}^{mgh}$. Так и каждый камень на внешней оболочке Луны обладает потенциальной энергией относительно лунного ядра. Погрузили камень в корзину с веревкой, а веревку намотали на ротор электрогенератора – и все! Корзина поехала вниз, ротор завертелся, электрическая энергия по проводам потекла куда надо. (По этому же принципу действуют и гири

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210703

старинных часов – их потенциальная энергия заставляет работать часовой механизм.) Конечно, одной корзиной не обойтись, несколько корзин надо разместить на кольцевой ленте – подобно обычному транспортеру (аналогичным образом закреплены ступени эскалатора в метро). Вы скажете: Знайка, Незнайка, пустотелая Луна – несерьезно это, детские фантазии! А вот и нет. Сказанное об использовании потенциальной энергии уже давно реализовано в конструкции водных фуникулеров для подъема людей на гору. Только в этом случае вместо камней используют воду, а вместо корзины для камней – бак под вагончиком фуникулера. Подобно обычному фуникулеру, два вагончика водного фуникулура связаны тросом. На вершине горы в специальный бак одного из вагончиков заливают воду, а внизу из бака другого вагончика воду выливают. При этом равновесие нарушается, и верхний вагон перевешивает нижний. Затем тормоза отпускают, и вагончики поехали: тяжелый с водой – вниз, легкий без воды – верх. Вот и все. Первые такие фуникулеры были построены почти полтора века назад, некоторые действуют до сих пор. Что же, получается вечный двигатель? Нет, конечно. Кончится вода на вершине горы – фуникулер нечем будет заправлять. А оказывается вода на вершине за счет энергии Солнца – вода на земле испаряется, поднимается вверх и в виде дождя или снега падает на вершину горы.

45

М АТЕ М АТИЧЕСКИЙ

К Р У Ж ОК

Рис. 15

Рис. 13

I

Рис. 16

Рис. 14

5. Касательные, проведенные в вершинах A и C к описанной окружности треугольника ABC, пересекаются в точке P. Тогда прямая BP симметрична медиане BM относительно биссектрисы угла ABC (рис.14). Прямую BP и называют симедианой треугольника. О многих интересных свойствах симедианы можно прочитать в замечательных статьях [1], [2].

Трудный пример Под занавес давайте рассмотрим такую непростую задачу с Всероссийской олимпиады, в которой переплетается сразу несколько классических сюжетов: 6. В треугольнике ABC (AB BC) точка I – центр вписанной окружности, M – середина стороны AC, N – середина дуги ABC описанной окружности (рис.15). Докажите, что ‘ IMA ‘ INB. Медиана IM треугольника AIC видна сразу. А как быть с отрезком IN? В каком треугольнике отрезок IN мог бы быть медианой? Намекнуть на нужное направление поиска может тот факт, что BN является внешней биссектрисой угла B треугольника ABC, ведь точка N – середина дуги ABC. Поэтому давайте дополним рисунок центра- ми вневписанных окружностей треугольника ABC – точками $I_{a}, I_{b}, I_{c}$ (рис.16). Тогда точки A, B и C в треугольнике $I_{a} I_{b} I_{c}$ являются основаниями высот (почему?). Следовательно, описанная окружность треугольника ABC в треугольнике $I_{a} I_{b} I_{c}$ проходит через основания высот, т.е. является окружностью девяти точек этого треугольника. Как известно, окружность девяти точек проходит и через середины сторон треугольника. Откуда заключаем, что точка N является серединой отрезка $I_{a} I_{c}$. Теперь у нас возникают два подобных треугольника AIC и $I_{a} II_{c}$, медианы IM и IN которых и дают желаемое равенство углов. Прочитав решение выше, читатель, скорее всего, справедливо возмутится: «Как до такого решения можно было догадаться?» На это заметим, что данная задача, трудная сама по себе, послужила толчком к созданию отдельного эффектного и эффективного метода решения задач, которому посвящена увлекательная статья [3].

Упражнения

В качестве первого упражнения приглашаем читателя проследить «решение» одной из самых красивых задач элементарной геометрии нашим методом.

1 (задача о бабочке). Через середину M хорды PQ окружности провели две произвольные хорды AB и CD (рис.17). Отрезки PM и AC пересе-

46

КВА НT 2021/№7

Рис. 17

каются в точке E, а отрезки BD и MQ – в точке F. Докажите, что EM = MF. Доказательство в духе древних греков приведено на рисунках18–20. Эстетическая глубина этой задачи заставляет искать все новые и новые

Рис. 18

Рис. 20

Рис. 21

Рис. 19

решения. Большую коллекцию различных доказательств, завораживающие вариации и обобщения содержатся в замечательной статье [4], которая рекомендуется к прочтению всем любителям геометрии!

2. Дан вписанный четырехугольник ABCD (рис.21). Продолжения его противоположных сторон пересекаются в точках P и Q. Пусть K и N – середины диагоналей. Докажите, что сумма углов PKQ и PNQ равна 180q. 3. Касательная в точке A к описанной окружности треугольника ABC пересекает продолжение стороны BC за точку B в точке K (рис.22); L – середина AC, а точка M – середина отрезка AB. Докажите, что ‘ AKM ‘ CKL. 4. В равнобедренном треугольнике ABC из середины H основания BC опущен перпендикуляр HE на боковую сторону AC (рис.23); M – середина отрезка HE. Докажите, что прямые AM и BE перпендикулярны. 5. Дан треугольник ABC (рис.24). Обозначим через M середину стороны AC, а через P – середину отрезка CM. Описанная окружность треугольника ABP пересекает сторону BC во внутренней точке Q. Докажите, что ‘ ABM ‘ MQP.

Рис. 22

Рис. 23

Рис. 25

Рис. 24

47

М АТЕ М АТИЧЕСКИЙ

Рис. 26

Рис. 27

К Р У Ж ОК

6. Дан вписанный четырехугольник ABCD (рис.25). Противоположные стороны AB и CD при продолжении пересекаются в точке P, стороны BC и AD – в точке Q. Докажите, что биссектрисы углов BPC и BQA пересекаются на прямой, проходящей через середины AC и BD. 7. Прямая l перпендикулярна одной из медиан треугольника (рис.26). Серединные перпендикуляры к сторонам этого треугольника пересекают прямую l в трех точках. Докажите, что одна из них является серединой отрезка, образованного двумя оставшимися. 8. Пусть M – середина стороны BC остроугольного треугольника ABC; точка O – центр описанной окружности (рис.27); P и Q – основания перпендикуляров, опущенных из точки M на стороны AC и AB. Докажите, что медиана ML треугольника PMQ параллельна прямой AO. 9. В окружность: вписан остроугольный треугольник ABC, в котором AB! BC (рис.28). Пусть P и Q – середины меньшей и большей дуг AC окружности: соответственно, а M – основание перпендикуляра, опущенного из точки Q на отрезок AB. Докажите, что окружность, описанная около треугольника BMC, делит пополам отрезок BP. 10. Пусть P – произвольная точка описанной окружности треугольника ABC, точки X и Y – проекции точки P на прямые AB и AC, а точки N, M – середины отрезков XY и BC соответственно (рис.29). Докажите, что ‘ PNM 90 q.

Заключение В статье мы обсудили трудные задачи, придумали несколько новых – и все это на базе одного приема, в основе которого лежит идея преобразования подобия. Об этом (и многом другом!) можно прочитать в замечательной книге И. М. Яглома «Геометрические преобразования» [6].

Рис. 28

Литература

1. Ю.Блинков. Симедиана. – «Квант», 2015, №2. 2. А.Карлюченко, Г.Филипповский. О касательных, проведенных в двух вершинах треугольника. – https: geometry.ru articles symmedian_f_k.pdf 3. А.Полянский. Из пушки по воробьям. – «Квант», 2012, №2. 4. В.Протасов. О двух велосипедистах и вишневой косточке. – «Квант», 2008, №8. 5. А.Спивак. Десять бабочек. – https: geometry.ru articles spivak_butterfly.pdf 6. И.Яглом. Геометрические преобразования. Том 1. – https: math.ru lib bib-mat-kr 7

Рис. 29

ОЛИМ П ИА ДЫ

Заключительный этап XLVII Всероссийской олимпиады школьников по математике

Заключительный этап Всероссийской математической олимпиады школьников прошел в Тюмени с 16 по 23 апреля 2021 года. Напомним, что предыдущий заключительный этап состоялся ровно два года назад, а в 2020 году заключительный этап не проводился из-за пандемии. Эти обстоятельства повлияли на структуру отбора на заключительный этап этого года; в частности, все школьники невыпускных классов, набравшие на региональном этапе 2020 года количество баллов, необходимое для прохода на заключительный этап, были автоматически приглашены в Тюмень в 2021 году. Все это отразилось на количестве участников олимпиады – оно составило 516 человек, что почти в полтора раза превосходит обычные для последних лет цифры. Пандемия внесла и другие коррективы. Программа этого года для участников олимпиады была намного короче, чем обычно: показ работ и закрытие прошли уже в дистанционном формате, а некоторые делегации покидали Тюмень почти сразу после окончания второго тура. Олимпиада проводилось на базе Тюменского индустриального университета. Организаторы старались и работали слаженно. В программу олимпиады были традиционно включены научно-популярные лекции представителей ведущих университетов страны. Олимпиада порадовала прежде всего тем, что она состоялась, причем в полноценном очном формате. И школьники, и руководители делегаций соскучились по мероприятиям такого уровня и по задачам такой сложности. К слову, варианты заданий этого года оказались далеко не самыми простыми даже в сравнении с заключительными этапами прошлых лет. Оценить количественно трудность задач олимпиады может помочь следующая таблица (решившим задачу здесь считаем участника, получившего за эту задачу 5, 6 или 7 баллов из 7 возможных).

9 класс

10 класс

11 класс

Ниже приведены условия задач и список победителей заключительного этапа XLVII Всероссийской олимпиады школьников по математике.

Условия задач 9 класс 1. На окружности отмечено 1000 точек, каждая окрашена в один из k цветов. Оказалось, что среди любых пяти попарно пересекающихся отрезков, концами которых являются 10 различных отмеченных точек, найдутся хотя бы три отрезка, у каждого из которых концы имеют разные цвета. При каком наименьшем k это возможно? С.Берлов

2. Пусть n – натуральное число. Целое число $a_{>} 2$ назовем n-разложимым, если $a_{-}^{n} 2^{n}$ делится на каждое число вида $a_{+}^{d} 2^{d}$, где d – натуральный делитель n, отличный от n.

51

ОЛИ М П ИА ДЫ

Победители олимпиады 9 класс Згонник Илья – Санкт-Петербург, Кузнецов Роман – Санкт-Петербург, Лопатин Егор – Санкт-Петербург, Гизатуллин Тимур – Республика Татарстан, Федоров Василий – Санкт-Петербург, Климчук Александр – Москва, Лаврова Вера – Санкт-Петербург, Габитов Булат – Республика Татарстан, Французов Церен – Санкт-Петербург, Прозоров Павел – Санкт-Петербург;

10 класс

Шарафетдинова Галия – Республика Татарстан, Почепцов Игорь – Москва, Романов Владимир – Удмуртская республика, Галатенко Дмитрий – Москва, Нагибин Всеволод – Новосибирская область, Казанцева Татьяна – Московская область, Загоскин Егор – Кировская область, Трошкин Кирилл – Челябинская область, Шамсутдинов Данис – Республика Татарстан, Афанасьев Максим – Москва;

11 класс Филатов Андрей – Москва, Аникин Сергей – Москва, Коротченко Таисия – Санкт-Петербург, Власов Алексей – Ульяновская область, Туревский Максим – Санкт-Петербург, Бидва Максим – Москва.

Кроме того, следующие участники получили специальные призы:

9 класс Сущенков Дмитрий (Санкт-Петербург) – за оригинальное решение задачи 3, Прозорова Мария (Москва), Дик Кирилл (Ярославская область) – за решение трудной задачи 8;

11 класс Коротченко Таисия (Санкт-Петербург), Васильев Дмитрий (Санкт-Петербург)– за оригинальное решение сложной задачи по геометрии, Сибгатуллин Данил (Москва) – за оригинальное решение сложной задачи по теории чисел, Нагибин Ярослав (Новосибирская область) – за элементарное решение задачи.

Публикацию подготовили Н.Агаханов, И.Богданов, П.Кожевников, О.Подлипский, Д.Терёшин

Всероссийская олимпиада по физике имени Дж.К.Максвелла

Заключительный этап

Теоретический тур 7 класс Задача 1. Навигатор Экспериментатор Глюк выехал на автомобиле на вокзал, расстояние до которого s 10 км. Первую часть пути он ехал со скоростью $v_{1}$, а затем со скоростью $v_{2}$. Бортовой навигатор показывал не только маршрут, но и предполагаемое расчетное время до приезда на вокзал. Что любопытно, надпись «Осталось $W_{0} 12$ мин 00 с» появлялась трижды: в моменты времени $W_{1} 0$ мин 30 с, $W_{2} 3$ мин 00 с, $W_{3} 12$ мин 00 с. Определите по этим данным $v_{1}, v_{2}$, а также время всего движения W. Показания навигатора Глюка рассчитывались как отношение оставшегося пути к средней скорости автомобиля на пройденном к этому моменту времени расстоянии. Д.Рубцов

Задача 2. Качаем пресс Для того чтобы подвешенный за верхний поршень гидравлический пресс оставался в покое, к его нижнему поршню необходимо прикладывать вертикальную силу $F_{1} 50$ Н (рис.1,а). Если пресс перевернуть и подвесить за другой поршень, то для его равновесия к нижнему поршню нужно будет приложить вертикальную силу $F_{2} 200$ Н (рис.1,б).

52

КВ А НT 2021/№7

Рис. 1

Определите, в какую сторону направлены силы $F_{1}$ и $F_{2}$. Найдите, во сколько раз отличаются площади поршней и чему равна масса m пресса. Массой поршней и жидкости внутри пресса можно пренебречь. Трения в системе нет, g 10 H кг. М.Замятнин

Задача 3. Зыбкое равновесие На рисунке 2 представлена система, состоящая из двух однородных стержней массой m, шарнирно закрепленных на опорах, и

Рис. 2

легких нитей, перекинутых через блоки. На нижнем стержне стоят два человека массой 3m каждый, с помощью нитей удерживающие систему в равновесии. Определите силы давления людей на нижний стержень и силы натяжения нитей. Участки нитей, не касающиеся блоков, вертикальны. Стержни горизонтальны, и каждый из них разделен на равные отрезки. Трение в шарнирах и осях блоков отсутствует. М.Замятин

Задача 4. Лишние калории Теоретик Баг с помощью неподвижного блока поднял на высоту h 10 м оборудование общей массой $m_{1} 1000$ кг. Для компенсации потерь энергии, затраченной на подъем груза, ему потребовалось употребить с едой на 500 килокалорий больше, чем в обычный рабочий день, проведенный на стуле за компьютером. На следующий день Баг заметил несколько ящиков общей мас-

сой $m_{2} 240$ кг, которые он вчера забыл поднять. Проявив сообразительность, он, используя тот же блок, для движения веревки применил электродвигатель с КПД $K_{д}$ 70%. Баг определил, что для подъема груза массой $m_{2}$ электродвигатель потребил 10 Вт ˜ ч электроэнергии. Чему равны КПД $K_{б}$ блока и K самого Бага? Коэффициент g 10 H кг, 1 калория равна 4,2 Дж.

Примечание. КПД человека равен отношению совершенной им работы к потребленной им для этого энергии.

П.Гусихин, А.Заяц

8 класс Задача 1. Средняя скорость Танк n-ю часть всего пути ехал по болотистой местности со скоростью $v_{1} 8$ км ч. Затем n-ю часть всего времени он ехал по шоссе со скоростью $v_{2} 32$ км ч. Наконец, оставшийся участок пути он двигался по проселочной дороге со скоростью, равной средней скорости $v_{cp}$ на всем пути. Вычислите $v_{cp}$. При каких значениях n такое движение возможно? В.Слободянин

Задача 2. Скрытая масса К левому концу неоднородного стержня, шарнирно закрепленного на неподвижной опоре, подвешен груз массой $m_{1}$, а к правому концу стержня подвешен груз массой $m_{2} 4,0$ кг. Система находится в равновесии. Затем груз массой $m_{2}$ убрали, на его место перенесли груз массой $m_{1}$, а на левый конец подвесили груз массой $m_{3} 2,5$ кг, и система снова оказалась в равновесии. Определите, при каких значениях массы $m_{1}$ это возможно. Известно, что центр масс стержня находится справа от точки опоры. В.Слободянин

Задача 3. Три плитки и одна кастрюля Воду комнатной температуры $t_{0} 20 q C$ нагревали в кастрюле в течение 10 мин последовательно на трех разных плитках, причем перенос с одной плитки на другую происходил быстро. Значения температуры t воды в разные моменты времени W занесли в таблицу, но затем на нее случайно пролили варенье и часть данных пропала. Остались только 3 точки, которые нанесли на график (рис.3). Известно, что точки 1, 2 и 3 относятся к моментам нагрева на первой,

53

ОЛИ М П ИА ДЫ

Рис. 4

Примечание. Тепловые потери и теплоемкость кастрюли пренебрежимо малы, удельная теплоемкость воды c 4200 Дж к㠘 q С.

А.Евсеев

Рис. 3

второй и третьей плитках соответственно. Также сохранилась информация, что третья плитка в два раза мощнее первой и что за все время нагрева вода получила 1100 кДж теплоты. 1) Определите конечную температуру воды. 2) Найдите массу воды. 3) Какую мощность могла иметь вторая плитка? 4) Какое время длился нагрев кастрюли на второй плитке?

Задача 4. 8 резисторов В электрической цепи, представленной на рисунке 4, сопротивления резисторов $R_{1} R_{2} R_{3} R_{4} R$, а $R_{5} R_{6} R_{7} R_{8} 2R$. Определите сопротивление между клеммами A и B при замкнутом и при разомкнутом ключе K. Определите силу тока через замкнутый ключ при подключении к клеммам A и B идеального источника с напряжением U. В.Слободянин

Публикацию подготовил В.Слободянин

Заключительный этап LV Всероссийской олимпиады школьников по физике

В этом году заключительный этап Всероссийской олимпиады школьников по физике проходил в городе Тюмени. На олимпиаду прибыли как лидеры регионального этапа текущего года (250 человек), так и те, кто должен был участвовать в заключительном этапе прошлого года (140 человек). Ниже приводятся условия задач теоретического тура и список участников, получивших дипломы победителей олимпиады.

Теоретический тур

Жюри за работой

9 класс Задача 1. Маленький плот От прямого берега реки оттолкнули небольшой круглый плот, сообщив ему в направлении, перпендикулярном берегу, скорость, равную по модулю скорости течения

55

ОЛИ М П ИА ДЫ

тивления гораздо больше сопротивлений амперметров. М.Замятнин

10 класс Задача 1. Ползущая полоска При использовании специальной технологии обработки полимерных материалов можно добиться анизотропии свойств их поверхности. Например, движение полоски из полиэтилена по горизонтальной поверхности стола в направлении AB характеризуется коэффициентом трения $P_{1}$, а движение в направлении BA – коэффициентом трения $P_{2} P_{1}$ (рис.5). Если подвергнуть лежащую на столе

Рис. 5

полоску длиной l циклическому нагреваниюохлаждению, то можно заметить, что полоска перемещается по поверхности стола. 1) В каком направлении (AB или BA) сместится полоска при большом количестве циклов? 2) На какое расстояние переместится полоска за N циклов нагревания-охлаждения, если разность максимальной и минимальной температур в цикле равна ’ T? Ответ запишите в виде формулы. 3) Вычислите, на какое расстояние переместится полоска длиной l 20 см за N 100 циклов нагревания-охлаждения при изменении ее температуры на ’ T 80 q C. Значения коэффициентов трения: $P_{1} 0,15, P_{2} 0,05.$ Считайте, что при изменении температуры полиэтилена на ’ T его длина изменяется на величину ’ l D l ’ T, где l – длина полоски при комнатной температуре, D 2 ˜ $10^{4} q C^{1}$ – коэффициент температурного расширения полиэтилена. Полоска имеет постоянную толщину, не изгибается и прижимается к столу равномерно всей поверхностью. Нагревание и охлаждение происходят медленно. А.Аполонский

Задача 2. Газовая батарея На вход гладкой прямолинейной трубы постоянного сечения S, ось которой горизон-

тальна, поступает идеальный многоатомный газ, движущийся со скоростью $v_{1}$. Давление газа на входе в трубу $p_{1}$, плотность $U_{1}$. Давление газа на выходе из трубы $p_{2} p_{1}$ ’ p. Определите: 1) плотность $U_{2}$ и скорость $v_{2}$ газа на выходе из трубы; 2) отношение температур газа $T_{2} T_{1}$ на выходе и на входе соответственно; 3) тепловую мощность N, выделяемую трубой в окружающую среду. Считайте, что в любом сечении трубы плотность и давление газа постоянны и не зависят от времени. Вязким трением можно пренебречь. А.Уймин

Задача 3. Что измеряют омметром? В соответствии с одной из моделей омметра он состоит из идеального источника постоянного напряжения E (с нулевым внутренним сопротивлением) и соединенных с ним последовательно резистора сопротивлением r и идеального амперметра (рис.6). При подключении исследуемого резистора к клеммам A и B встроенный амперметр показывает

Рис. 6

Рис. 7

силу тока, которая затем пересчитывается в величину измеряемого сопротивления и отображается на индикаторе омметра. Если подключить к выводам такого омметра диод, вольт-амперная характеристика которого приведена на рисунке 7, то он покажет сопротивление $R_{д} 6$ кОм. Если к этому диоду добавить последовательно резистор сопротивлением R 20 кОм и измерить сопротивление получившейся пары омметром, то он покажет $R_{1} 30$ кОм. Если вместо резистора и диода подключить к омметру идеальную батарейку с напряжением $U_{б} 3$ В (полярность подключения неизвестна!), то он покажет отрицательное сопротивление $R_{б} 7,5$ кОм $( R_{б} 0 ).$ По этим данным определите: 1) величину напряжения E внутреннего источника омметра;

57

ОЛИ М П ИА ДЫ

акции выделяется тепло с мощностью N 5 кВт. Для регулирования температуры в реактор через трубки с маленькими отверстиями, проложенными на дне реактора, продувается воздух (рис.10). Дав- Рис. 10 ление воздуха, подающегося в реактор, можно считать равным атмосферному $p_{0} 10^{5}$ Па, температуру – равной температуре помещения $T_{0} 22 q C$. Определите объемный расход воздуха q, необходимый для поддержания в реакторе температуры $T T_{к}$, где $T_{к} 100 q C$ – температура кипения водного раствора при атмосферном давлении. Считайте $T_{к} T$ ≪ $T_{к}$. Определите численное значение q для T 95 q C. Молярная теплота испарения при температуре T для воды известна: O 40 кДж моль. Давление насыщенного водяного пара вблизи $T_{к}$ меняется практически линейно с коэффициентом D 3,5 кПа q C. Давление насыщенного пара над раствором в точности соответствует давлению насыщенного водяного пара. Теплотой, идущей на нагрев воздуха, можно пренебречь. Перепад давлений на отводящей из реактора газ трубке пренебрежимо мал. В отсутствие подачи воздуха в реактор теплообмена с окружающей средой нет. И.Юдин

(точка O) под углом D 60 q к стороне квадрата, помещают маленькую гладкую диэлектрическую шайбу массой m с зарядом q 0. Шайбу отпускают без начальной скорости. Определите величину и направление ускорения шайбы сразу после того, как ее отпустили. Через какое время шайба впервые окажется на минимальном расстоянии от центра пластины? Силы тяжести нет, пластина закреплена. А.Уймин

Задача 3. Пластина с шайбой 1) Тонкий стержень из диэлектрика равномерно заряжен с линейной плотностью заряда O. Точка A расположена на расстоянии h от стержня и равноудалена от его концов (рис.11). Стержень виден из точки A под углом 2M. Определите напряженность электрического поля в точке A. 2) Тонкая диэлектри- Рис. 11 ческая квадратная пластина с длиной стороны L равномерно заряжена с поверхностной плотностью V! 0 (рис.12). В точку A, смещенную в плоскости пластины на малое расстояние r ≪ L относительно ее центра Рис. 12

2. Какой станет индуктивность кольца $L_{2}$ радиусом R при помещении его внутрь сверхпроводящего кольца с вдвое большими геометрическими размерами? Плоскости и центры колец во втором случае также совпадают. А.Аполонский

Задача 4. Виток в витке Индуктивность кольца радиусом R, сделанного из тонкой проволоки, равна L. 1) Найдите индуктивность проволочного кольца, у которого все геометрические размеры в 2 раза больше. Если в плоскости кольца радиусом R поместить сверхпроводящее колечко с вдвое меньшими геометрическими размерами так, чтобы плоскости колец и их центры совпадали (рис.13), то индуктивность кольца радиусом R оказывается равной $L_{1}$.

Рис. 13

Задача 5. Прозрачный слой В шаре радиусом 2R из оптически прозрачного материала имеется сферическая полость радиусом R (рис.14). Центры шара и полости совпадают. Внутри полости воздух. Из воздуха снаружи на поверхность шара падает луч света. При каких значениях угла падения луча на поверхность Рис. 14