Квант 2021, №9 · Страницы

3

ВРЕМЯ

ЖИЗНИ

ШИПУЧЕЙ

ТАБЛЕТКИ

русные вакцины часто хранят в холодильнике, чтобы они на холоде медленнее «старились». Если стаканчик с уже разведенным эпоксидным клеем поместить в сосуд с жидким азотом, то клей быстро не полимеризуется, он замерзнет, но долго будет сохранять свои функциональные свойства, если потом его вытащить из азота и разморозить. С этим хорошо знакомы некоторые бережливые физики-экспериментаторы и их лаборанты. Кто-то скажет, что это же очевидно. При нагревании веществ скорости молекул или атомов увеличиваются, частицы, которые взаимодействуют друг с другом, чаще сталкиваются и реакции идут быстрее. В действительности все происходит намного сложнее и интереснее. Температурная зависимость скорости процессов совсем (кардинально) другая! И разобраться в этом вопросе нам поможет изучение одной химической реакции, вернее – прямые измерения зависимости ее скорости от температуры среды. Рассмотрим химическую реакцию растворения в воде лимонной кислоты $( C_{6} H_{8} O_{7} )$ и питьевой соды (гидрокарбонат натрия $NaHCO_{3} ).$ Судя по сообщениям из интернета, это самая любимая реакция у школьников, знатоков химии. Именно с ее помощью удается получать простым способом газированный напиток, похожий на лимонад. В сети представлено великое множество рецептов и опытов с лимонной кислотой и питьевой содой, порой очень забавных и поучительных. Для приготовления стакана шипучки (газировки) надо смешать примерно половину чайной ложки лимонной кислоты и чуть меньше половины чайной ложки питьевой соды, залить смесь водой, не забыв добавить и растворить немного сахарного песка или фруктового сиропа для вкуса. К месту сказать, что отцом современной индустрии безалкогольных напитков принято считать протестантского священника, философа, большого любителя химии и ученого по призванию Джозефа Пристли (1733–1804). Рядом с Лидсом (Англия), где он жил и служил пастором, находился пивоваренный завод, откуда Пристли по-

В

СТАКАНЕ

ВОДЫ

Джозеф Пристли лучал для своих любительских опытов углекислый газ в нужных ему количествах (этот газ образовывался от брожения пивного сусла в бочках). Наблюдательный священник-химик заметил, что если собирать углекислый газ над водой, то часть газа растворяется в жидкости, что придает ей приятный терпкий привкус. Таким образом Пристли получил (и первым закупорил в бутылку) напиток типа сельтерской или содовой воды. А в истории науки он более известен как ученый, открывший кислород (независимо это открытие сделал шведский химик Карл Вильгельм Шееле, 1742–1786). Пристли открыл также или впервые получил и изучал такие газы, как закись азота, хлористый водород, аммиак, фтористый кремний, диоксид серы и окись углерода. Его работы с газами немало способствовали развитию химической науки. Позднее Джозеф Пристли написал монографию «История учения об электричестве» – труд, за который он был избран почетным членом ряда академий, в том числе Петербургской Академии наук (1780). Но вернемся к газировке. Конечно, Пристли вряд ли догадывался, какую важную

4

КВАНТ 2021/№9

роль будут играть потом в жизни людей шипучие газированные напитки. И не мог предвидеть, что 24 апреля даже празднуется Всемирный день газировки. Как сказал один астроном, «открытие нового кулинарного рецепта для человечества бывает порой более важным, чем обнаружение на небе новой звезды». Химическое уравнение реакции питьевой соды с лимонной кислотой в воде записывается так:

3NaHCO 3 C 6 H 8 O 7

$3CO_{2} 3H_{2} O Na_{3} C_{6} H_{5} O_{7}$. (1)

В реакции образуется цитрат натрия, углекислый газ и вода. Цитрат натрия $( Na_{3} C_{6} H_{5} O_{7} )$ применяется как вкусовая добавка (Е331) в составе газированных напитков и в других продуктах, а также как одна из необходимых составляющих при переливании крови – для предотвращения свертывания донорской крови и ее компонентов. Когда сухая таблетка опускается в воду, реакция идет достаточно быстро с образованием волшебных пузырьков газа на поверхности таблетки и стакана, которые, всплывая, к тому же шипят, покидая водную поверхность. Часть углекислого газа успевает раствориться в воде. Активная зона реакции находится на поверхности таблетки, именно там рождаются пузырьки углекислого газа. Когда таблетка растворится полностью, выделение пузырьков почти совсем прекращается. Свойство вещества препятствовать свертыванию крови бывает иногда крайне важным в медицине при лечении тяжелых недугов (например, когда происходит образование сгустков тромбов в мелких сосудах легких при коронавирусной инфекции или в других случаях). Реакция питьевой соды с лимонной кислотой часто используется фармацевтами и химиками-технологами в шипучих таблетках для транспорта разных лекарственных препаратов с водой к пациенту, в том числе антиагрегантов и антикоагулянтов. Лекарственный порошок, растворимый в воде (микрокристаллы витамина С и др.), и водонерастворимый или слабо раство-

римый порошок (например, аспирин) прессуются в единую таблетку с питьевой содой и лимонной кислотой (и некоторыми другими добавками). Такие таблетки помещают в легкую герметичную для воды и ее паров многослойную бумажно-полимерную упаковку (иногда алюминизированную с внутренней стороны), защищающую спрессованную смесь порошка от воздействия атмосферной влаги, случайных капель воды и яркого света. Если вскрыть упаковку и бросить таблетку в стакан с водой, то за короткое время получается раствор или взвесь лекарства в слабо газированном напитке. Так устроены многие шипучие препараты лекарств, например шипучий аспирин-C фирмы Bayer или хорошо известное лекарство АЦЦ Лонг в форме таблеток, применяемых при заболевании органов дыхания. Аналогично устроены таблетки для быстрого приготовления безалкогольных шипучих тонизирующих напитков (энерготоников), витаминов и так далее. Часто в рецептуре шипучих лекарств лимонная кислота и питьевая сода даже не указываются, так как эти вещества и продукты их реакции в воде выполняют только вспомогательную роль. Простые наблюдения показывают, что время растворения таблетки шипучего аспирина в стакане с водой однозначно зависит от температуры воды – оно резко уменьшается с ростом температуры. Попробуем измерить и изучить эту температурную зависимость. При соблюдении некоторых правил это удается сделать довольно точно и не очень сложно. Запасемся часами с секундной стрелкой (механическими или электронными) с четким (внятным) циферблатом и термометром для измерения температуры воды. А лучше двумя или тремя термометрами, позволяющими точнее измерять температуру и холодной и горячей воды в стакане (в разных температурных диапазонах). Прежде чем проводить намеченные измерения, нам следует подготовиться к этой работе. Не обсуждая все подробности, заметим, что нам надо научиться приготавливать в сосуде, например в стакане, воду с заданной, но разной температурой, быть уверенным, что в объеме температура воды

7

ВРЕМЯ

ЖИЗНИ

ШИПУЧЕЙ

ТАБЛЕТКИ

В

СТАКАНЕ

ВОДЫ

ную температуру, а обратную ей величину $1^{T}$. В результате мы получим график, показанный на рисунке 2,в. Правая группа точек графика расположена практически на прямой линии, которая на рисунке изображена пунктиром. А это означает, что температурная зависимость $константы^{k} ( k_{\sim} v )$ скорости растворения шипучей таблетки в воде в этом температурном диапазоне ведет себя как экспонента:

k

A exp $T_{a} T$

$A exp_{a}^{E}$

RT. (2)

Но это есть не что иное как знаменитое уравнение Аррениуса, $где^{k}$ – константа скорости $реакции,^{А}$ – постоянная Аррениуса, характеризующая каждую конкретную $реакцию,_{a}^{E} RT_{a}$ – еще одна постоянная, характерная для каждой реакции и называемая энергией активации или температурой $активации_{a}^{T}$ для температурной шкалы $энергий,^{R}$ – универсальная газовая постоянная. Заметим, что в кинетике принято рассматривать не саму скорость реакции, а ее величину, нормированную на объем реагирующих веществ или на площадь поверхности образца, если, как в нашем случае, реакция идет на поверхности (на границе раздела фаз). Эта нормированная скорость и называется константой скорости $реакции^{k.}$ При фиксированных условиях опыта или какоголибо химического процесса скорость реакции со временем обычно уменьшается, так как реагирующие вещества расходуются в ходе реакции. Соотношение между скоростью реакции и температурой впервые (1889 г.) установил шведский физико-химик Сванте Аррениус (1859–1927), Нобелевский лауреат по химии за 1903 год. Плодотворная идея Аррениуса, которая «сидит» в его уравнении (2), состоит в том, что «…молекулы, сталкиваясь, не реагируют, если не обладают определенным минимумом энергии, иначе говоря, энергией активации. При малой энергии активации реакции проходят очень быстро, а при высокой энергии активации химический процесс может протекать с бесконечно малой скоростью и длиться вечность. Если же в последнем случае поднять температуру настолько, что группа молекул приобретет необходи-

Сванте Август Аррениус мую энергию активации, то скорость реакции может резко повыситься, и даже все закончиться взрывом…». Это мы процитировали отрывок из книги «Краткая история химии» (М.: Мир, 1983) известного ученого, популяризатора и писателя-фантаста А.Азимова. В случае растворения шипучей таблетки аспирина в воде энергия активации из опыта получилась равной около 6900 К в температурной шкале или 57,4 кДж моль в общепринятых единицах. В атомных единицах эта величина соответствует значению около 0,6 эВ. Относительная погрешность результата наших $измерений_{a}^{E}$ для рассматриваемой реакции, как следует из учета разброса точек вблизи прямой на рисунке 2,в, менее 2%. Уравнение Аррениуса в истории науки занимает особое место. Оно часто используется в современных научных исследованиях в разных областях физики и химической кинетики, в технологических приложениях, например при ускоренных испытаниях долговечности интегральных схем или изучении разного рода процессов диффу-

Изобретая логарифмическую линейку

ДВ.КЛЕПЦЫН

О КАК МИНИМУМ 1960-Х ГОДОВ логарифмическая линейка была непременной принадлежностью инженера. Она позволяла быстро выполнять различные действия – умножать, возводить в степень и многое другое, что сейчас для нас делает компьютер, калькулятор или иногда даже приложение на телефоне. А как она была устроена? Давайте разберемся наиболее надежным способом: придумаем ее сами – а заодно научимся с ней обращаться. Начнем с гораздо более простого вопроса: а как бы нам сделать что-нибудь, что позволяло бы одним движением складывать (небольшие) числа? Представим себе, что мы взяли две (настоящие, деревянные!) линейки, причем на одной из них шкала у верхней границы (как это обычно бывает), а на другой у нижней (а вот так почти никогда не бывает, но можно же и самим перенести деления с одной линейки на другую). Приложим их друг к другу так, чтобы совпали нули – тогда шкалы на них совпадают (рис.1). Сдвинем теперь одну из них, нижнюю, вправо – скажем, на 2 см. Что будет тогда напротив отметки 3 см на той же линейке? Эта отметка на расстоянии в 3 см от нуля на нижней линейке – который сам находится на расстоянии в 2 см от нуля на верхней. Значит, всего эта отметка находится на расстоянии 2 см 3 см 5 см от нуля на верхней линейке, и напротив отметки в 3 см мы видим отметку 5 см. Ура! Всего лишь с помощью абзаца рассуждений и двух линеек мы научились механически складывать 2 3 и получать в ответе 5. Но лиха беда начало! А как складывать двузначные числа? Да точно так же. На линейке ведь обычно есть

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210902

Рис. 1. Сложение с помощью двух линеек

не только сантиметровая, но и миллиметровая шкала. И можно сказать, что 16 27 43, можно, что 16 мм 27 мм 43 мм, а можно, что 1 см 6 мм 2 см 7 мм 4 см 3 мм (см. рис.1). Ну хорошо. Мы научились механически, сдвигом линейки, складывать однои двузначные числа. Но умножать-то труднее! Как бы нам и эту операцию переложить на нашего механического помощника? Давайте сначала представим себе, что мы хотим умножать друг на друга не любые числа, а только 10, 100, 1000 и так далее. Не то чтобы это было очень сложно: когда мы умножаем друг на друга числа вида «единица и сколько-то нулей», нам нужно просто сложить количество нулей: скажем, 100 u 1000 100000. Постойте, сложить? Так это мы уже умеем! Давайте опять возьмем нашу линейку и вместо деления «1 см» поставим 10, вместо деления «2 см» поставим 100,

18

КВАН T 2021/№9

Рис. 2

следовательно, четырехугольник ABEO вписанный. Аналогично, CFOD вписанный. Отсюда, с использованием параллельности AB P CD, получаем ‘ OFE ‘ ODC ‘ OBA ‘ OEA. Но из равенства ‘ OFE ‘ OEA следует касание окружности (EOF) и прямой AE. Аналогично доказываем касание окружности (EOF) и прямой DF. Задача решена. Возможен и другой подход к решению (в котором вообще не используются точки B и C), основанный на таких соображениях: радикальная ось окружностей (AOD) и (EOF) – это средняя линия трапеции AEFD, поэтому она проходит через O; с другой стороны, радикальная ось делит пополам отрезок общей касательной, заключенный между точками касания. А.Кузнецов

M2655. Дана бесконечная клетчатая плоскость. Учительница и класс из 30 учеников играют в игру, делая ходы по очереди – сначала учительница, затем по очереди все ученики, затем снова учительница и т.д. За один ход можно покрасить единичный отрезок, являющийся границей между двумя соседними клетками. Дважды красить отрезки нельзя. Учительница побеждает, если после хода одного из 31 игроков найдется клетчатый прямоугольник 1 u 2 или 2 u 1 такой, что у него вся граница покрашена, а единичный отрезок внутри него не покрашен. Докажите, что учительница сможет победить.

Пусть учительница выберет квадрат K размера 100 u 100 и будет закрашивать от-

резки его границы, если это возможно. Пусть перед n-м ее ходом все эти отрезки закрашены. Тогда n d 401, поскольку всего на границе 400 отрезков. К этому моменту всего закрашено не более чем 30 ˜ 400 отрезков, поэтому хотя бы один отрезок внутри квадрата K не закрашен. Каждым следующим ходом учительница будет закрашивать один из отрезков внутри K. Спустя несколько ходов все отрезки внутри K будут закрашены. Тогда перед ходом игрока, который закрасит последний из таких отрезков, найдется искомый прямоугольник 1 u 2, и учительница победит. М.Дидин, А.Кузнецов

M2656. Возрастающая последовательность натуральных чисел $a_{1} a_{2}$ … такова, что при каждом n! 100 число $a_{n}$ равно наименьшему натуральному числу, большему $a_{n} 1$ и не делящемуся ни на одно из чисел $a_{1}, a_{2}$, … $, a_{n} 1$. Докажите, что в такой последовательности лишь конечное число составных чисел.

Положим $A a_{n}$. Докажем, что все числа $a_{m}$, большие чем $A^{2}$, – простые числа. Предположим противное. Тогда $a_{m}$ имеет делитель d такой, что $a d a_{m}$. Согласно определению $a_{m}, d$ не является ни одним из $a_{1}, a_{2}$, … $, a_{m} 1$. Значит, $a_{k} d a_{k} 1$ для какого-то k  ^ 100,101, …, m 1 . Раз d не было выбрано в качестве $a_{k} 1$, оно делится на какое-то $a_{i}, i$  ^ 1,2, …, k . Но тогда и $a_{m}$ делится на $a_{i}$. Противоречие. П.Кожевников

M2657*. Натуральные числа n! 20 и k! 1 таковы, что n делится на $k^{2}$. Докажите, что найдутся натуральные числа a, b и c такие, что n ab bc ca.

Заметим, что из равенства $n a^{2} a b a c$ следует равенство n ab bc ca. Поэтому для решения задачи достаточно найти такое натуральное a, что число $n a^{2}$ раскладывается в произведение двух натуральных чисел x и y, больших a (тогда можно положить b x a и c y a ). Согласно условию, $n lp^{2}$ для некоторых простого p и натурального l.

ИГРЫ И ГОЛОВОЛОМКИ

Неисчерпаемый танграм

(начало см. на 2-й с. обл.)

В «Кванте» танграм уже неоднократно обсуждался (см., например, статью А.П.Савина «Задачи на разрезание» в «Кванте» №7 за 1987 г. и статью А.Панова «Загадка фигуры №51» в №12 за 1982 г.), но эта игра-головоломка настолько богата, что рассказывать о ней можно снова и снова. В танграме не просто семь элементов, а глубоко продуманная система, которая содержит ряд закономерностей и выявляет несколько уровней понимания отношений между ними. Площади элементов являются степенями двойки. Если площадь маленького треугольника принять за 1, то площади трех средних фигур равны 2, а площади больших треугольников равны 4 (рис.1). Суммарная площадь всех элементов тоже степень двойки – она равна 16.

Рис. 1

Три средних элемента – квадрат, параллелограмм и треугольник – представляют собой все возможные комбинации двух маленьких треугольников. Если мы хотим, чтобы стороны фигур точно подходили по длине, то гипотенузу маленького треугольника надо прикладывать к катету среднего треугольника, а гипотенузу среднего треугольника – к катету большого. Если проделать это последовательно, то каждый раз равнобедренный прямоугольный треугольник будет удваиваться (рис.2). Подключая остальные элементы танграма, этот процесс можно продолжить. Как сложить самый большой треугольник на рисунке 2?

Рис. 3

Аналогично можно построить и последовательность удваивающихся квадратов. Как из всех элементов танграма сложить самый большой квадрат на рисунке 3? Параллелограмм, входящий в набор танграма, отличается от остальных элементов: его свойства меняются при переворачивании (рис.4). Чтобы убедиться в этом,

Рис. 4

сложите большой квадрат из всех элементов, потом выньте параллелограмм, переверните его и попробуйте положить обратно – он не встанет на свое место, т.е. это будет уже другой параллелограмм. С этим связаны трудности при сборке некоторых фигур, поскольку иногда необходимо перевернуть параллелограмм. На этом же, кстати, «погорели» производители магнитного танграма: они приклеили магнит только с одной стороны параллелограмма и, тем самым, обеднили возможности сборки.

Рис. 5

Попробуйте по аналогии с рядами треугольников и квадратов построить из всех фигур танграма самый большой параллелограмм на рисунке 5.

(Продолжение следует)

А.Ковальджи

Рис. 2

24

КВАНТ 2021/№9

Что такое шпунтик?

С.ДВОРЯНИНОВ

ДА, ИМЕННО ЭТОТ ВОПРОС МОЖЕТ возникнуть у читателей замечательной книжки Николая Носова «Приключения Незнайки и его друзей». Герои этой сказки носят говорящие имена. Каждое имя указывает на характер персонажа или на род его занятий. Пилюлькин – врач Цветочного города, Тюбик – художник, Гусля – музыкант (гусли – это старинный музыкальный инструмент). Все ясно про Ворчуна и Молчуна. О любителях сладкого говорят имена Пончик и Сиропчик. Два друга Винтик и Шпунтик – изобретатели, мастера на все руки: и по металлу могут работать, и по дереву. С винтиком все понятно – это цилиндр с резьбой, который заворачивают и отворачивают отверткой, он служит для соединения различных деталей. Есть еще винт-пропеллер у самолета, гребной винт у моторной лодки. А вот со шпунтиком в повседневной жизни мы имеем дело не часто. Это уменьшительное слово происходит, очевидно, от слова шпунт. Вот о нем и поговорим. Заметим сразу, что винтик – это отдельный предмет, он может существовать сам по себе. В упомянутой книжке потом появляются Шурупчик и Гвоздик. Можно подумать, что автор мог бы назвать коротышку Болтиком. Но корень этого слова – болт, и тогда сразу вспоминается глагол болтать, существительное болтун, имеющие негативный смысловой оттенок. Болтик не годится, и поэтому появился Шпунтик. Шпунт – это выступ на ребре доски, который входит в соответствующий ему паз другой доски, который тоже называется шпунтом (рис.1). Доска со шпунтом называется шпунтованной. Такими досками настилают пол. Пол из отдельных досок в результате получается цельным. Даже если уложенные доски немного рассохнутся, то и в этом случае сквозных щелей не получится. Часто и сам этот способ соединения деталей назы-

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210903

Рис. 1

вают шпунтом (немецкое слово Spund означает пробка, затычка). Примечательно, что в наши дни на деле со шпунтом знакомы многие дети, играющие в лего (рис.2). Компания LEGO Group появилась в 1932 году. Ее основателем стал датчанин Оле Кирк Кристиансен, в то время работавший бригадиром плотников и столяров. Вот он и догадался сделать шпунтовое соединение основой столь популярной ныне игрушки. Производственные мощности фирмы расположены в разных странах. Главный завод находится в Дании, где в цехах длиной до полукилометра стоят ряды автоматов, штампующих около 21 млрд кубиков в год. На это уходит порядка 60 тонн пластика в день. Хорошо известно, что «Буратино» Алексея Толстого – это вариант книги Карло Коллоди про Пиноккио. Так и Винтик со Шпунтиком подтолкнули писателя Станислава Сахарнова написать свою сказку про двух других друзей-мастеров. В 1959 году была издана книжка «Гак и Буртик в стране бездельников», герои которой возвращаются в свою родную страну не на воздушном

Рис. 2

25

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

Рис. 3

Рис. 4

шаре, а на построенной ими ракете. Имя Гак созвучно гайдаровским Чуку и Геку, а откуда Буртик? Предлагаем вам разобраться с этим самостоятельно.

В поисках оптимальных построений

(из мемуаров барона Мюнхгаузена)

ДРУЗЬЯ МОИ, ВЫ, БЕЗУСЛОВНО, наслышаны о моей любви к геометрии! А в геометрии – к задачам на построение. А в задачах на построение – к построениям наименьшим числом линий. Такие построе-

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210904

ШКОЛЬНИКОВ

Рис. 5

Не надо думать, что шпунт распространился только на детские игрушки. С 1910 года в строительстве применяется шпунт Ларсена (рис.3). Все шпунтины здесь одинаковы, одна соединяется с другой замком, подобно тому как разомкнутые кольца соединяются в цепь любой длины. Если цепь натянута, то ни одно кольцо извлечь нельзя. Шпунтом Ларсена укрепляют берега водоемов, насыпей, котлованов, он образует прочную вертикальную стенку (рис.4). При этом соединение отдельных шпунтин похоже на соединение кусочков пазла, когда один въезжает в другой (рис.5). Такие пазлы появились в 1909 году.

ния часто называют оптимальными. Еще одна моя страсть – это путешествия на Луну! Во время таких путешествий я охотно рассказываю местным жителям о красивых задачах и теоремах геометрии, обучаю их оптимальным построениям. Так, во время первого путешествия на Луну мы занимались построениями с помощью одной линии. Напомню, что задачи на построение выполняются циркулем и линейкой без делений, а линией называется прямая, луч, отрезок, окружность или ее частичка в виде засечки. Из построений одной линией жителям Луны особенно понравилась такая задача: на прямой l отложен угол, равный D (рис.1), и надо одной линией построить угол, равный данному. Мы вместе

Посмотрим на чертеж с разных сторон

В древности было принято представлять факты элементарной геометрии в виде чертежей, без текста. В таком же ключе написана очень популярная среди школьников книжка А. Акопяна «Геометрия в картинках» (МЦНМО, 2017). Многие преподаватели используют в своей практике решение задач по готовым чертежам. Но некоторые чертежи можно интерпретировать по-разному, т.е. на одном и том же чертеже можно увидеть различные факты. Приведем ряд примеров, начав с самых простых. Обоснования сформулированных фактов в большинстве случаев понятны из пометок на чертежах, но иногда потребуют кратких $комментариев.^{1.}$ а) Средние линии треугольника разбивают его на четыре равных треугольника, подобных исходному с коэффициентом 0,5. б) Если через каждую вершину треугольника провести прямую, параллельную противолежащей стороне, то точки попарного пересечения прямых образуют треугольник, подобный исходному с коэффициентом 2.

Такой треугольник иногда называют «удвоенным».

2. а) Точка Н – точка пересечения высот (ортоцентр) треугольника АВС. б) Точки А, В и С – ортоцентры треугольников ВНС, АНС и АНВ соответственно.

Четверку точек А, В, С и Н называют орто- центрической.

3. а) Ортоцентр Н остроугольного треугольника АВС является точкой пересечения биссектрис (центром вписанной окружности) его ортотреугольника A 1 B 1 C 1. б) Вершины А, В и С остроугольного треугольника являются центрами вневпи-

санных окружностей для его ортотреугольника$^{A}$ $1^{B} 1^{C} 1$.

Равенство углов, которые обозначены одинаковыми буквами, следует из того, что четырехугольники$^{ABA}$ $1^{B} 1,^{BCB} 1^{C} 1 и^{CAC} 1^{A} 1$ являются вписанными. Используется также, что биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника перпендикулярны.

4. а) Если P и Q – точки касания вневписанной окружности треугольника АВС с продолжениями сторон АВ и АС, то отрезки АР и AQ равны полупериметру треугольника АВС. б) Пусть P и Q – точки касания окружности, вписанной в угол с вершиной А, тогда периметр треугольника, отсекаемого от угла касательной к окружности, проходящей между точками А и Р, не зависит от выбора касательной.

Для доказательства используется равенство отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки.

5. а) Точки пересечения продолжений биссектрис треугольника АВС с его описанной окружностью являются вершинами треугольника A 1 B 1 C 1, в котором прямые A 1 A, B 1 B и C 1 C содержат высоты. б) Точки пересечения продолжений высот остроугольного треугольника A 1 B 1 C 1 с его описанной окружностью являются вершина-

Апельсины, канализационные люки и разрезание длинного прямоугольника

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

А. АКОПЯН

К праздничному столу апельсины часто режут круглыми дольками (рис.1). Обычно все дольки имеют одинаковую толщину, но задумывались ли вы, какие из этих долек содержат больше кожуры: те, которые относятся к той части, что ближе к центру апельсина, или те, которые ближе к краю? Оказывается, что если долька не является «шляпкой», то количество кожуры не зависит от того, к какой части апельсина она относится (конечно, мы считаем апельсин шаром). На рисунке 2 срезаны две дольки апельсина одинаковой толщины. Как вы думаете, на какой из долек больше кожуры? Рассмотрим разрез (сечение) апельсина плоскостью. Пусть радиус апельсина (с кожурой) $равен^{R,}$ а радиус внутренней части апельсина (апельсина без кожуры) $равен^{r}$ (рис.3). $Пусть^{d}$ — расстояние от центра апельсина до плоскости разреза. Найдем пло-

Рис. 1

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210906

Рис. 2

d

Рис. 3

щадь желтого кольца, т.е. той части разреза, которая принадлежит кожуре. Обозначим радиусы кругов в разрезе $апельсина_{1}^{r} и_{1}^{R}. Площадь^{S}$ желтого кольца равняется разности площадей большого и маленького кругов, т.е. $S_{1}^{R} 2 S_{1}^{r} 2. C$ другой стороны, по теореме Пифагора $R_{1}^{2} R^{2} d^{2}$, а $r_{1}^{2} r^{2} d^{2}$. Подставив эти выражения в формулу $для^{S,}$ получим, $что^{S} S^{R} 2^{r} 2$, т.е. зависит только от радиусов апельсина с кожурой и без кожуры. Из этого следует, что $если^{h}$ – толщина дольки апельсина, то объем кожуры в ней будет равен $S^{h} R^{2} r^{2}$. Объяснить это можно, например, с помощью принципа Кавальери: объемы двух тел с равными по площади сечениями всех общих секущих их плоскостей, параллельных данной плоскости, равны (рис.4). Действительно, по принципу Кавальери, объем кожуры в дольке $толщины^{h}$ будет равен объему параллелепипеда (или цилиндра) с площадью основания $S^{R} 2^{r} 2$ и высотой h, т.е. $S h R^{2} r^{2}$.

ЛА Б ОРАТОРИЯ «КВАНТА»

сти, т.е. соответствующий конус является цилиндром, а секущие сферы – плоскостями, перпендикулярными его оси. Другой интересный и давно известный случай получается, когда точка O лежит на сфере: и касательный конус с вершиной в ней вырождается в плоскость (рис.9). Предположив, что радиус большей секущей сферы равен r, а меньшей 0, получаем, что площадь высекаемой на: шапочки равна площади высекаемого на плоскости круга, т.е. $S r^{2}$. Неожиданно замечательная формула, не правда ли?

Рис. 9

ЛА Б ОРАТОРИЯ

«КВАНТА»

Загадка плоского стекла

Л.АШКИНАЗИ

И он показал Харберту прибор, заменивший ему линзу. Это были два стекла, снятые с часов инженера и Спилета. Наполнив их водой и скрепив их края с помощью глины, Сайрес Смит сделал настоящее зажигательное стекло, которое сосредоточило лучи солнца на охапке сухого мха и воспламенило его. Жюль Верн. Таинственный остров

Мы видим мир через оконное стекло и на вопрос, искажает ли это стекло картинку, улыбнемся и ответим – конечно, нет. А теперь посмотрим на ситуацию более внимательно, начав со школьного учебника. Все мы знаем, что такое линза. Объектив фотоаппарата и микроскопа – это линзы, лупа и очки – тоже линзы, и даже на передней панели радиостанции (рис.1 и 2) мы видим линзы. При этом одна относится к более редкой категории «асферической оптики», впрочем, такое бывает и в очках – видели на рецептах слово «цилиндр»? Увеличивать, уменьшать, отдалять, приближать, переворачивать – все, что ухитряется делать линза с изображениями, ей удается потому, что луч света, проходящий через линзу, попадает на

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210907

Рис. 1

Рис. 2

переднюю и заднюю ее поверхности, наклоненные к оси линзы, под разными углами – рисунок 3, ситуация 1, луч 1. Кроме, разумеется, случая, когда луч проходит через центр линзы и, в первом приближении, падает на обе поверхности под одинаковыми углами.

44

Рис. 3

КВАНТ 2021/№9

Тогда он не поворачивается и, соответственно, не смещается – ситуация 1, луч 2. Если же у нас не линза, а плоский лист стекла, то углы наклона поверхностей к оси одинаковы и поворот луча, который происходит при входе из воздуха в стекло, в точности компенсируется поворотом в противоположную сторону при выходе – ситуация 2, луч 3. В результате при прохождении луча через плоское стекло он просто смещается вбок и радостно летит себе дальше. Кроме, разумеется, ситуации, когда он падает на поверхность по нормали, т.е. перпендикулярно. Тогда он не поворачивается и, соответственно, не смещается – ситуация 2, луч 4. Поэтому иногда говорят и пишут, что плоский лист прозрачного материала не изменяет того, что

мы видим. Действительно, достаточно посмотреть в окно, чтобы в этом убедиться. Однажды слушатели задали мне вопрос – а искажает ли изображение иллюминатор? Причем такой, в котором стекло не плоское, а выпуклое. Попутно заметим, что такое стекло выдерживает большее давление, нежели плоское, если это давление – с выпуклой стороны. Например, как в случае иллюминатора батискафа. Это ситуация 3, где штриховой линией показано, как стекло деформируется при давлении, и видно, что все слои «работают на сжатие». В отличие от ситуации 4, когда все слои «работают на растяжение». Стекла, как и многие другие материалы, выдерживают «на сжатие» большие нагрузки, нежели «на растяжение». Заметим, прежде всего, что выпуклый иллюминатор может быть устроен по-разному. Если толщина «по радиусу» в пределах иллюминатора одинакова, то сами радиусы оказываются различными, их разность как раз равна толщине линзы. А центры, из которых, прочерчены радиусы, совпадают – ситуация 5. Другой вариант – радиусы одинаковы, но прочерчены из разных центров – ситуация 6. Точки «равного наклона» а и б в первом случае расположены на одном радиусе, а во втором – на одном и том же расстоянии от оси. Реальная геометрия иллюминатора зависит от технологии изготовления, а таких технологий несколько. В частности, если лист размягчается и изгибается на оправке, то это ситуация 5, а если иллюминатор штампуется, размещаясь между двумя формами – пуансоном и матрицей, то скорее всего это ситуация 6. Однако ни в том, ни в другом случае луч, пришедший в точку а, совершенно не обязан попадать в точку б! Так будет вести себя только тот луч, который показан на рисунке, а другие лучи, пришедшие в точку а с разных направлений, прибудут на вторую поверхность не в точку б, а в другие точки с другими наклонами. Иными словами, изогнутый лист оптически ведет себя не как плоский лист, т.е. заведомо искажает изображение. Но обычное плоское оконное стекло, с которого мы начали разговор, оно-то ведет себя хорошо? Посмотрим на ситуацию повнимательнее. Пусть у нас есть плоский прозрачный лист, по одну сторону от него, причем вплотную или близко к нему, находится объект ОБ, а наблюдение ведется с противоположной сто-

45

ЛА Б ОРАТОРИЯ

Рис. 4

роны – ситуация 7. Объект мы наблюдаем благодаря тому, что в наш прибор (глаз, фотоаппарат и др.) попадает либо собственное излучение объекта, либо рассеянное им излучение других источников. То, где мы видим объект, определяется именно этими лучами – мозг получает сигнал от глаз и восстанавливает ход лучей и говорит, что объект находится там, где пересекаются продолжения лучей, пришедших в глаз. Вот почему лупа и «увеличивает» – лучи, идущие от близко расположенного к ней объекта, расходятся веером, а их продолжения пересекаются на большем расстоянии от оси и объект ОБ кажется увеличенным. Но это, конечно, только изображение ИЗ (его еще называют «мнимым») – ситуация 8. Из ситуации 7 на рисунке 3 ясно, что лучи света, исходящие от объекта более широким веером, после преломления в плоском стекле расходятся еще шире, а их продолжения пересекаются ближе к наблюдателю. Продолжения лучей группы С пересекаются в точке C¢, продолжения лучей группы В – в точке B¢, продолжения лучей группы А – в точке A¢. Таким образом, чем более широкий веер лучей мы перехватываем, тем ближе нам будет казаться объект. Правда, эта «лупа» будет слабая, причем плохая – поскольку она будет собирать лучи всех групп, то изображение будет размытым. Чем ближе глаз или объектив фотоаппарата будет находиться к объекту, тем более широкий веер

«КВАНТА»

лучей мы перехватим и тем ближе нам будет казаться объект. Эффект будет ослабевать при удалении объекта от стекла, поскольку при фиксированном размере зрачка изображение далекого объекта формируется более узким пучком лучей. На рисунке 4 показан реальный эксперимент – черная линейка фотографировалась при приближении аппарата к объекту с расстояний от 25 см до 0,5 см через слой воды (коэффициент преломления 1,33, толщина 4 см) и через слой стекла (коэффициент преломления 1,5, толщина 4,5 см). Мы видим, что линейка, видимая через воздух, от кадра к кадру в обоих случаях кажется шире – потому, что она рассматривается фотоаппаратом с все меньшего расстояния. Линейка, видимая через воду или через стекло, естественно, тоже увеличивается, но она увеличивается сильнее. Причем для стекла (вверху) эффект больше, чем для воды (внизу). Другими словами, толстый плоский слой воды или стекла работает как лупа, но плохая – слабая и дающая размытое изображение. Мораль этой истории такова. Некоторые физические задачи кажутся нам простыми потому, что мы решаем их для каких-то, принимаемых «по умолчанию», условий. Но для других условий ответ может оказаться совсем другим. Так, мир, рассматриваемый через толстое стекло, может быть совсем не похож на мир за окном.

ОЛИМ П ИАД Ы

Избранные задачи XXVI Турнира имени А.П. Савина

1 (6–8 классы). Суду предъявлено 100 одинаковых с виду монет, среди которых есть фальшивые. Суд знает, что все настоящие монеты весят одинаково, фальшивые – тоже одинаково, но легче настоящих. Адвокат знает, какие монеты на самом деле фальшивые. Он отвечает на вопросы суда и доказывает свои ответы, проводя взвешивания на чашечных весах без гирь. Однако адвокат связан обязательством не разглашать ни про какую монету, фальшивая она или настоящая: он не имеет права делать взвешивания, из которых такую информацию можно логически вывести. а) Суду стало известно, что число фальшивых монет равно 22, 66 или 88. Как адвокату доказать, что их 66, не нарушая обязательств? б) Суду стало известно, что число фальшивых монет равно 20 или 80. Как адвокату доказать, что их 20, не нарушая обязательств? А.Шаповалов

2 (5–8 кл.). На каждой грани куба красными чернилами провели одну или обе диагонали. Оказалось, что при этом не образовалось ни одного треугольника с красными сторонами. Какое наибольшее число диагоналей могло быть проведено? М.Евдокимов

3 (6–8 кл.). а) В банке сидят 13 пауков. Известно, что в каждой их паре хотя бы один обидел другого и что каждый паук обидел всех обидчиков своих обидчиков. Докажите, что каждый обидел каждого. б) В банке сидят несколько (более одного) пауков. Известно, что в каждой их паре хотя бы один обидел другого и что каждый паук обидел всех обидчиков своих обидчиков. При каком наименьшем количестве пауков можно утверждать, что каждый обидел каждого? С.Токарев

4 (5–8 кл.). Петя написал в строку 100 раз номер своей квартиры через пробел. Маша должна поставить между каждыми двумя числами знаки арифметических действий, а там, где захочет, – скобки. Она утверждает, еще не зная номера Петиной квартиры, что сможет получить в ответе любое натуральное число от 1 до 2021. Права ли она? Д.Шноль

5 (7–8 кл.). К кабинке канатной дороги, идущей на гору, подошли n 2 гнома массами 1, 2, 1, 2, 3, 4, …, n стоунов. Смотрителя нет, а в автоматическом режиме как вверх, так и вниз кабинка ходит с двумя или с тремя пассажирами, при этом пассажиры сидят на двух скамьях так, чтобы массы на скамьях были одинаковыми. При каких n! 2 они все смогут подняться на гору? А.Шаповалов

6 (8 кл.). На заборе написаны три различных целых числа. Известно, что: x одно из чисел равно полусумме двух других; x квадрат одного из чисел равен произведению двух других; x одно из чисел равно 2021. Найдите два других числа. Н.Наконечный, И.Раскина

7 (7–8 кл.). В прямоугольнике ABCD, отличном от квадрата, на биссектрису угла A опущен перпендикуляр CH. Докажите, что BH больше четверти периметра прямоугольника. А.Пешнин 8 (8 кл.). Решите в натуральных числах уравнение m! n! $m^{n}$. А.Грибалко 9 (8 кл.). Лист формата A4 перегнули сначала по линии BE так, что точка C совпала с точкой F на стороне AB, а затем по линии GH так, что точка D совпала с F (см.

49

Э КЗАМ Е НА Ц ИОНН ЫЕ

2. Сила трения покоя не зависит от угла D. 3) С ростом угла наклона модуль силы трения покоя уменьшается. 4) Коэффициент трения скольжения меньше 0,4. 5) Когда угол наклона меньше 0,1 рад, брусок скользит по наклонной плоскости. 6. Деревянный шарик плавает в керосине. Как изменятся масса вытесненной жидкости и глубина погружения шарика в жидкость, если он будет плавать в воде? Для каждой величины определите соответствующий характер изменения: 1) увеличится; 2) уменьшится; 3) не изменится. Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться. 7. На рисунке 3 показан график зависимости координаты x тела, движущегося вдоль оси х, от времени t (парабола). Графики А) и Б) на рисунке 4 представляют собой зависимости физических ве- Рис. 3 личин, характеризующих движение этого тела, от времени t. Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

ГРАФИКИ

Рис. 4

ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ 1) проекция перемещения тела на ось х 2) проекция ускорения тела на ось х 3) кинетическая энергия тела 4) модуль скорости тела

МАТ Е РИАЛ Ы

8. На рисунке 5 показано изменение состояния идеального газа в количестве 4 моль. Какая температура соответствует состоянию 2? Рис. 5 9. Рабочее тело тепловой машины за цикл получает от нагревателя количество теплоты, равное 100 Дж, и совершает работу 40 Дж. Каков КПД тепловой машины? 10. В закрытом сосуде под поршнем находится влажный воздух при температуре 100 q C. Парциальное давление водяного пара в сосуде равно 60 кПа. Какова (в процентах) относительная влажность воздуха в сосуде? 11. Идеальный газ переводят из состояния 1 в состояние 3 так, как показано на графике зависимости давления газа р от объема V (рис.6). Масса газа в процессе не изменяется. Из приведенного ниже списка выберите два правильных утверждения, характеризующих отраженные на графике процессы. 1) Плотность газа ми- Рис. 6 нимальна в состоянии 1. 2) В ходе процесса 1–2–3 среднеквадратичная скорость теплового движения молекул газа увеличивается в 3 раза. 3) В процессе 2–3 абсолютная температура газа изохорно уменьшилась в 1,5 раза. 4) В процессе 1–2 абсолютная температура газа изобарно увеличилась в 2 раза. 5) Абсолютная температура газа максимальна в состоянии 3. 12. В цилиндре под поршнем находится твердое вещество массой m. Цилиндр поместили в печь. На рисунке 7 схематично

Рис. 7

52

КВАНТ 2021/№9

ления реостата. Погрешности измерения силы тока в цепи и напряжения на источнике равны половине цены деления амперметра и вольтметра. Каково по результатам этих измерений напряжение на источнике? Ответ запишите в виде (_____ r _____) В.

В бланк ответов № 1 перенесите только числа, не разделяя их пробелом или другим знаком.

23. Ученик изучает свободные электромагнитные колебания. В его распоряжении имеются пять аналогичных колебательных контуров с различными катушками индуктивности и конденсаторами, характеристики которых указаны в таблице. Какие два колеба-

Рис. 14

тельных контура (запишите в ответ их номера) необходимо взять ученику для того, чтобы на опыте исследовать зависимость периода свободных колебаний силы тока, протекающего в катушке, от электроемкости конденсатора? 24. На рисунке 14 представлена диаграмма Герцшпрунга–Рессела. Выберите все верные утверждения о звездах. 1) «Жизненный цикл» звезды спектрального класса G главной последовательности более длительный, чем звезды спектрального класса B главной последовательности. 2) Средняя плотность сверхгигантов существенно больше средней плотности белых карликов. 3) Для главной последовательности светимость звезд спектрального класса G ниже светимости звезд спектрального класса B. 4) Средняя плотность гигантов существенно меньше средней плотности белых карликов. 5) Чем ниже температура поверхности звезды, тем меньше ее абсолютная звездная величина.