Квант 2022, №1 · Страницы

10

Рис. 10

КВАНТ 2022/№1

высоту h, через какое-то время мы будем вынуждены заменить и эту поверхность новой, и равносторонний треугольник заменится на квадрат, потом на правильный пятиугольник, шестиугольник и т.д. Так у нас возникает семейство поверхностей (рис. 10), у которых вверху правильный многоугольник; чем меньше высота, тем больше число его сторон. Будут ли эти поверхности иметь наименьшее сопротивление (при заданных высоте и радиусе снования)? Да, но только среди поверхностей, состоящих из отрезков, которые соединяют основание с верхней частью. И все они имеют меньшее сопротивление, чем поверхность Ньютона! Но, может быть, существуют выпуклые поверхности с еще меньшим сопротивлением? Численный счет показывает, что да, существуют. Среди них есть оптимальные – с наименьшим (в классе выпуклых поверхностей) сопротивлением. Мы пока

не можем их построить, но предполагаем кое-какие их свойства. В частности, они похожи на те поверхности, которые мы построили выше, и также имеют на вершине правильные многоугольники. Но оптимальные поверхности – более «гладкие». Чтобы придать понятию гладкости строгий смысл, нам придется объяснить некоторые термины. Гладкость означает, что поверхность не имеет заострений и ребер, т.е. в каждой точке можно провести единственную касательную плоскость. Вблизи точки касания данная плоскость хорошо приближает поверхность. При этом если непрерывно перемещать по поверхности точку касания, то плоскость тоже меняется непрерывно. Подведем итог: поверхность, которая в каждой точке имеет единственную касательную плоскость, непрерывно зависящую от точки, называется «поверхностью класса $C^{1}$ ». Но нам понадобится

20

КВАНТ 2022/№1

Рис. 3. Паровая машина Ньюкомена–Коули

сируется, и сила, равная произведению перепада давлений на площадь поршня, увеличивается при увеличении площади поршня, т.е. диаметра цилиндра. Поршень связан цепью с концом большого коромысла, представляющего собой двуплечий рычаг. Насос под нагрузкой связан цепью с противоположным концом коромысла. При рабочем ходе поршня вниз насос поднимает вверх порцию воды. Затем цилиндр снова заполняется паром, а поршень насоса опускается. Постоянное охлаждение и повторное нагревание рабочего цилиндра машины было очень расточительным и неэффективным, тем не менее, эти паровые машины позволяли откачивать воду с большей глубины, чем это было возможно при помощи лошадей. Отопление машин углем, добытым в той же шахте, которую машина обслуживала, оказалось выгодно, несмотря на чудовищную прожорливость установки. Машина Ньюкомена не была универсальным двигателем и могла работать только как насос. Попытки Ньюкомена использовать возвратно-поступательное движение поршня для вращения гребного колеса на судах оказались неудачными. Однако заслуга Ньюкомена в том, что он одним из первых реализовал «в железе» идею использования пара для получения механической работы. Далее русский техник Иван Иванович Ползунов (рис. 4) усовершенствовал машину Ньюкомена–Коули. Постройку сво-

Рис. 4. Памятник И.И. Ползунову в Великом Новгороде

Рис. 5. Действующий уменьшенный образец паровой машины Ползунова

39

ЗАДАЧНИК

Ф2679. Герой фильма «Марсианин» для управления своим движением в открытом космосе сделал в перчатке своего скафандра с помощью кусачек отверстие и, направляя струю вылетающего из отверстия воздуха, изменял свою скорость движения. Оцените величину силы, которая толкала этого героя, и ускорение, которое он приобретал. А также проанализируйте ситуацию, показанную на рисунке (кадр из фильма). Космонавт длительное время движется поступательно, разгоняясь.

Если площадь сечения отверстия $S 1 см^{2}$, а давление воздуха внутри скафандра $p 10^{5}$ Па, то оценка для силы получается такой:

F = Sp = 10 Н.

При массе космонавта (астронавта, марсианина) вместе со скафандром m 100 кг он будет приобретать ускорение, равное a

F m

0,1 м $с^{2}$ (всего-то!).

Это означает, что «швырять» космонавта из стороны в сторону в корабле, как это показано в фильме, такая сила уж точно не могла, и приобрести за несколько секунд скорость в несколько метров в секунду марсианин тоже не мог. При этом «расход» воздуха (в $м^{3}$ с ), равный произведению площади поперечного сечения отверстия на скорость звука в воздухе при температуре внутри скафандра (а это примерно 300 м с ), составлял бы $0,03 м^{3}$ с 30 л с. Иными словами, всего-то за одну секунду из отверстия вылетел бы воздух, объем которого в несколько раз больше объема воздуха внут-

«КВАНТА»

ри скафандра. И весьма маловероятно, что система подачи воздуха, хранящегося в сжатом виде в скафандре, могла обеспечивать такой расход воздуха. И наконец, в показанной на рисунке ситуации при таком расположении руки, струи воздуха и тела космонавта он обязательно должен был бы изменять свою угловую скорость, т.е. поступательное движение в этой ситуации невозможно. Так что и фильм фантастический, и физика в нем тоже фантастическая, т.е. нереальная. Д.Марсианин

43

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

ШКОЛЬНИКОВ

x досыпать до равновесия, т.е. если сейчас весы не в равновесии, то он может добавить песка на одну из чаш так, чтобы весы уравновесились. Конечно, каждое из этих действий он может совершить, только если для этого у него хватает песка. Как ему за два действия с весами получить кучку, в которой ровно 26 кг песка? Смешать две кучки песка, а также просто поставить что-то на весы действием не считается. М.Евдокимов

КОНК УРС ИМ Е НИ А .П.С АВИНА

Мы продолжаем конкурс по решению математических задач. Задания рассчитаны в основном на участников не младше 8–9 класса, а более младшим школьникам советуем попробовать свои силы в конкурсе журнала «Квантик» (см. сайт kvantik.com). Высылайте решения задач, с которыми справитесь, электронной почтой по адресу: savin.contest@gmail.com. Кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором вы учитесь, а также обратный почтовый адрес. Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в таком случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы. Задания, решения и результаты публикуются на сайте sites.google.com/view/savin-contest Желаем успеха!

17. И круг, и прямоугольник легко разрезать на любое количество одинаковых частей. Существует ли фигура с тем же свойством, у которой нет ни центра симметрии, ни оси симметрии? (Части должны быть одинаковы и по форме, и по площади.) Фольклор

18. а) В белом клетчатом квадрате 101 u 101 закрасили черным несколько клеток. Каждая пара соседних по стороне клеток бывает одного из трех типов: обе клетки белые, обе клетки черные или же клетки разного цвета. Может ли оказаться, что количество пар всех трех типов одинаковое? б) Тот же вопрос про квадрат 100 u 100. Н.Авилов

19. Правильный треугольник со стороной 3 и правильный треугольник со стороной 4 в пересечении дают выпуклый шес- тиугольник периметра 7. Докажите, что у треугольников соответствующие стороны параллельны. П.Кожевников

20. Последовательностью Фибоначчи называется последовательность чисел, в которой первые два числа равны 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих. Вот первые несколько чисел, Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,… а) Для каких n можно первые n чисел последовательности Фибоначчи разделить на две группы, содержащие поровну чисел, так, чтобы суммы чисел в этих группах были равны между собой? б) Для каких n можно первые n чисел последовательности Фибоначчи разделить более чем на две группы (не обязательно содержащие поровну чисел) так, чтобы суммы чисел в этих группах были равны между собой? И.Акулич

Квадраты вокруг параллельников и полупараллельников

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

Е.МОРОЗОВ, Ф.НИЛОВ

ВГЕОМЕТРИЧЕСКИХ КОНСТРУКциях зачастую оказывается интересным строить на сторонах произвольного многоугольника правильные многоугольники. Несмотря на то, что подобные построения рассматривали еще древние греки, некоторые новые результаты появляются и в наши дни. В классическом доказательстве Евклида теоремы Пифагора на сторонах прямоугольного треугольника строятся квадраты (рис. 1,а). Теорема Наполеона гласит, что если на сторонах произвольного треугольника построить правильные треугольники, то их центры также будут являться вершинами правильного треугольника (рис. 1,б). Французский задачный композитор Виктор Тебо заметил, что если построить на сторонах параллелограмма квадраты, то их центры будут образо-

вывать квадрат (рис. 1,в). Теорема фламандского математика Ван Обеля утверждает, что если взять центры квадратов, построенных на сторонах произвольного четырехугольника, то они будут являться вершинами четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны и имеют равную длину (рис. 1,г). Отметим, что на рисунках 1,б–г правильные треугольники и квадраты можно строить и во внутреннюю сторону, для них будут справедливы аналогичные утверждения. В этой статье мы будем надстраивать вокруг некоторых многоугольников бесконечное число слоев квадратов и изучать свойства полученной конструкции. Мы решим задачу М2629 (теорема 1 ниже) и докажем теоремы, анонсированные в статье [1]. Рассмотрим произвольный (зеленый) треугольник (рис. 2). На его сторонах во внешнюю

Рис. 2. Квадраты вокруг треугольника

Рис. 1. Надстройки из квадратов и правильных треугольников

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20220105

сторону построим белые квадраты. Некоторые из их вершин соединим отрезками, на них снова построим во внешнюю сторону белые квадраты и т. д. В промежутках между квадратами образовались треугольники и четырехугольники, которые окрасим так, чтобы многоугольники в одном слое были окрашены одинаково, а в разных – по-разному. Тогда справедлива следующая теорема. Теорема 1. а) Все окрашенные четырехугольники являются трапециями; б) площади всех многоугольников одного и того же цвета равны; в) отношения длин оснований одноцветных трапеций равны;

55

ОЛИМПИАДЫ

18-Я МЕЖДУНАРОДНАЯ ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНАЯ ОЛИМПИАДА ЮНИОРОВ (IJSO-2021)

Олимпиада юниоров в 2021 году проходила в Дубае (Объединенные Арабские Эмираты) в дистанционном формате. В состязании принимали участие 400 юношей и девушек более чем из 70 стран мира. По условиям олимпиады, участники должны быть не старше 15 лет. Олимпиада включала три тура: тестовый, теоретический и экспериментальный, в ходе которых участники выполняли задания по физике, химии и биологии. Золотые медали олимпиады завоевали все шесть членов российской команды: Вячеслав Бобков (школа 1589, город Москва), Даниил Гаврилов (Республиканский лицей для одаренных детей, город Саранск, Республика Мордовия), Григорий Зутлер (школа 179, город Москва), Иван Мякутин (школа 179, город Москва), Егор Потапов (Республиканский лицей для одаренных детей, город Саранск, Республика Мордовия),

Ярослав Шастин (Республиканский лицей для одаренных детей, город Саранск, Республика Мордовия). Подготовка российской сборной длилась более полугода. Она началась в мае с дистанционных домашних заданий, затем в июне в МФТИ прошли учебно-тренировочные сборы, в августе – смена в Образовательном центре «Сириус», сборы в октябре и установочные сборы в первой декаде декабря. Ниже приводятся вопросы теста и условия теоретических задач по физике.

Тест (30 очков)

Вопрос 1. Сигнальная сирена издает звук постоянной частоты и находится рядом с каруселью. Карусель вращается по часовой стрелке так, как показано на рисунке 1. Ниже приведены несколько утверждений о том, когда человек, катающийся на карусели, слышит звук максимальной или Рис. 1 минимальной частоты, а когда слышит исходную частоту звука самой сирены. 1) Человек слышит исходную высоту звука тогда, когда находится в точках на 12 и 6 часов. 2) Человек слышит исходную высоту звука тогда, когда находится в точках на 9 и 3 часа. 3) Самый высокий звук человек слышит в точке на 3 часа, а самый низкий звук – в точке на 9 часов. 4) Самый высокий звук человек слышит в точке на 9 часов, а самый низкий звук – в точке на 3 часа. Выберите верное утверждение: а) 1,4; b) 2,3; c) 1,3; d) 2,4. Вопрос 2. Луч света переходит из безграничной среды 1 в среду 4 (рис.2). Показатели преломления сред 1, 2, 3 и 4 равны 1,62, 1,60, 1,55 и 1,50 соответственно. Слева направо: Я.Шастин, Д.Гаврилов, Г.Зутлер, И.Мякутин, При каком угле падения луч бу-

Е.Потапов

58

КВАНТ 2022/№1

Часть В. Выстрел из пушки

Порох (нитроцеллюлоза) занимает 20% объема пушки диаметром 15,0 см и длиной 5,0 м и плотно зажат ядром того же диаметра. Когда порох поджигают, он мгновенно сгорает и становится идеальным газом при давлении 1000 атм. Когда ядро вылетает из пушки, температура газа уменьшается в три раза по сравнению с его начальной $температурой.^{В1.}$ Напишите формулу для давления газа $p_{2}$ в конце процесса, перед вылетом ядра из ствола пушки, через начальное давление $p_{1}$, начальный объем $V_{1}$, начальную температуру $T_{1}$, конечный объем $V_{2}$ и конечную температуру $T_{2}$. (0,5 $б.)^{В2.}$ Вычислите давление газа (численное значение в единицах СИ) на ядро, когда оно вылетает из пушки (запишите ответ с точностью до трех значащих цифр, т.е. две цифры после запятой). (1,5 $б.)^{В3.}$ Вычислите силу (численное значение в единицах СИ), действующую на ядро, когда оно вылетает из пушки (запишите ответ с точностью до трех значащих цифр, т.е. две цифры после запятой). (0,5 б.)

Задача 2. Багги и абра (5 баллов) Часть A. Багги

Рис. 9

А1. Изобразите на рисунке 9 все ВЕКТО- РЫ сил, действующих на багги. (1 $б.)^{А2.}$ Вычислите суммарную силу (численное значение в единицах СИ), препятствующую движению багги, направленную вдоль склона противоположно движению багги. (0,5 $б.)^{А3.}$ Вычислите минимальную мощность (численное значение в единицах СИ), развиваемую двигателем багги при движении вверх. (0,5 $б.)^{А4.}$ При движении вверх вдоль плоскости багги заглох. Найдите модуль ускорения (численное значение в единицах СИ). (0,5 $б.)^{А5.}$ Какое расстояние проедет багги до полной остановки после того, как он заглох (численное значение в единицах СИ)? (0,5 б.)

Часть B. Лодка абра

Багги – это транспортное средство, используемое в пустынях (рис.8). Рассмотрим такой автомобиль массой 200,0 кг, движущийся с постоянной скоростью 72 км ч по песчаной дюне, представляющей собой плоскость, образующую 30q с горизонтом. Сила трения качения со стороны песка направлена против направления движения автомобиля и пропорциональна нормальной силе реакции опоры, действующей на багги, с коэффициентом пропорциональности f 0,15.

В Дубае есть традиционный вид водного транспорта – лодка абра (рис.10). Длина лодки 6 м. Места, на которых сидят пассажиры, представляют собой две параллельные линии скамеек по обе стороны от вертикальной плоскости, разделяющей лодку в продольном направлении. Центр масс лодки лежит на вертикальной линии, проходящей точно через ее центр. Пассажиры могут садиться по обеим сторонам лодки. Когда пассажиры сидят, можно считать, что их центр

Рис. 8

Рис. 10

60

КВАНТ 2022/№1

Калейдоскоп «Кванта»

Вопросы и задачи

1. Облака вследствие конвекции поднимаются вверх, что воспринимается как падение самолета вниз. 2. Человек, помещенный в такую жидкость, всего лишь будет находиться в состоянии безразличного равновесия. Как в покое, так и при взлете с ускорением он не потеряет веса и будет сжат. 3. Верно, но не только в этой точке. И на космический корабль, движущийся по орбите, и на все находящиеся в нем тела действует только сила тяготения, поэтому они пребывают в состоянии невесомости. 4. Допустим, центр тяжести спортсмена находится на высоте около одного метра. Значит, прыгнув на 2 метра в высоту, он поднял свой центр тяжести всего на 1 метр! На Луне он, соответственно, сможет поднять его в шесть раз выше, т.е. прыгнуть на 7 метров. 5. Для того чтобы человек мог дышать, разница давлений внутри легких и снаружи должна быть около 0,1 атм. Значит, уже на глубине порядка 1 метра человек не сможет вдохнуть через выведенную в атмосферу трубку, так как сила, действующая на грудную клетку со стороны воды, будет очень большой. 6. Если есть направленная вверх архимедова сила, действующая на выделенный объем воздуха, то этот объем, в соответствии с третьим законом Ньютона, действует на остальной воздух вниз с силой, равной весу «вытесненного воздуха», т.е. своему собственному. Таким образом, он все же давит на нижележащие слои воздуха и на землю. 7. В буквальном смысле неверно. Шуба, в силу плохой теплопроводности, лишь сохраняет тепло человеческого тела. 8. Не противоречит. Если газ при нагревании совершал работу, он может отдать холодильнику меньшее количество теплоты, чем было затрачено на его нагревание. 9. Нет. Охлаждение идеального газа при расширении происходит тогда, когда он совершает работу. В данном случае этого нет, значит, внутренняя энергия газа и его температура не изменятся. 10. Процесс нагревания воздуха в комнате – изобарический. При этом увеличение внутренней энергии газа, происходящее за счет увеличения температуры, в точности равно ее убыли за счет уменьшения массы воздуха, частично выходящего наружу. Следовательно, внутренняя энер-

гия воздуха в комнате не изменится, но в ней станет теплее. 11. Нет. Направление касательной к силовой линии совпадает с направление силы, действующей на заряд, а значит, с направлением его ускорения. Траектория же движения заряда – это линия, направление касательной к которой совпадает с направлением скорости заряда. 12. «Зажигают» лампу вовсе не заряды, примчавшиеся к ней от выключателя, а изменение электрического поля в проводнике, распространяющееся со скоростью света. 13. Чтобы человек стал невидимым, показатель преломления всех тканей его тела должен стать равным единице. Значит, глаз такого человека не будет преломлять свет и не сможет фокусировать его на сетчатке. Кроме того, свет будет попадать на сетчатку со всех сторон, а не только через зрачок. И наконец, невидимая сетчатка не будет поглощать свет. Любой из перечисленных причин достаточно, чтобы невидимка оказался слепым.

Микроопыт

Даже если пренебречь трением о воздух, на восходящем участке траектории тело не «толкает», а тормозит сила тяжести. «Сила бросания», действующая на тело во время полета, – заблуждение, идущее еще от Аристотеля (см. эпиграф).

XLIII Турнир городов

Задачи осеннего тура

Базовый вариант

8–9 классы

1. Еще 4 раза. Так как сейчас 43-й турнир, то осенний тур n-го турнира проходит в году 46 ◊ 43 + n. Число 46 ◊ 43 + n делится на n тогда и только тогда, когда 46 ◊ 43 = 2 ◊ 23 ◊ 43 делится на n. У числа 2 ◊ 23 ◊ 43 есть 4 делителя, больших чем 43, – это 2 ◊ 23, 2 ◊ 43, 23 ◊ 43 и 2 ◊ 23 ◊ 43. Номер турнира N на 2021 - 43 = 1978 меньше номера года M, и так будет всегда. Поэтому M: N = 1 + 1978: N. Таким образом, требуется, чтобы число 1978 нацело делилось на номер очередного турнира. Но 1978 = 43 ◊ 23 ◊ 2, т.е. оно делится (из чисел, больших 43) на 46, 86, 989 и на само себя. Поэтому ответ: еще 4 раза – в 2024, 2064, 2967 и 3956 годах. 2. Их объемы равны 2, 3, 4, 24. Обозначим точку пересечения трех плоскостей, разрезающих куб, через A. Заметим, что объем любого из 8 полученных параллелепипедов ра-

61

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

вен произведению трех его ребер, выходящих из A. Пусть мы хотим найти объем какого-то белого параллелепипеда D. Перемножим объемы трех синих параллелепипедов, примыкающих к D. Мы получим произведение длин 9 отрезков: ребра параллелепипеда D, выходящие из A, будут входить в произведение по два раза, а ребра противоположного к D синего параллелепипеда E, выходящие из A, – по одному разу. Тогда, поделив полученное число на объем E, мы получим квадрат объема D. Таким образом, перемножая тройки чисел из условия и деля на четвертое, мы получим квадраты объемов белых параллелепипедов; останется извлечь корни. 3. 5 монет. Пример. Достанем по одной монете из каждого мешочка. Среди этих пяти монет есть монеты всех трех видов, поэтому какого-то вида есть только одна монета. Если она, например, золотая, то ее достали из мешочка с золотыми монетами. Действительно, для каждой монеты из «смешанного» мешочка есть парная из соответствующего «однородного» мешочка. Оценка. Пусть мы достали только 4 монеты (или меньше). Заметим, что не имеет смысла доставать больше одной монеты из одного и того же мешочка, так как они могут оказаться одинаковыми, а тогда никакой дополнительной информации мы не получим. Поэтому можно считать, что мы достали по одной монете из четырех разных мешочков. Тогда мы могли достать монеты З, З, С, Б, и в этом случае есть по крайней мере два варианта распределения соответствующих мешочков: З, Смеш, С, Смеш, Б и Смеш, З, Смеш, Б, С, не совпадающих ни в одной из позиций (последним указан мешочек, из которого монеты не доставались). 4. Рассмотрим группы равных сторон, расположенных подряд. Заметим, что на стыке таких групп находится острый угол n-угольника – угол при основании равнобедренного треугольника. Но в многоугольнике не может быть больше трех острых углов (сумма внешних углов равна $360\infty$, поэтому среди них не больше трех тупых), значит, этих групп не больше трех. Следовательно, среди каждых четырех сторон найдутся две из одной группы, т.е. равные. 5. Обязательно. Будем говорить, что шахматист A не слабее шахматиста B, если A выиграл и белыми, и черными не меньше партий, чем B. Предположим, что такой пары нет. Если у каких-то двух игроков одинаковое число побед белыми, один из них не слабее другого. То же верно, если у каких-то двух игроков одинако-

РЕШЕНИЯ

вое число побед черными. Значит, число побед белыми у всех разное и число побед черными – тоже. Отсюда следует, что количества побед белыми у 20 игроков равны числам 19, 18, …, 2, 1 и 0, и то же для количеств побед черными. Пусть 19 партий белыми выиграл A, а 19 партий черными выиграл другой шахматист B. Но тогда игру A с B, где A играл белыми, а B – черными, выиграли и A, и B. Такая ситуация невозможна, поэтому 19 партий белыми и черными выиграл один и тот же шахматист. Но тогда он не слабее всех остальных. Противоречие.

10–11 классы

1. Три числа. Оценка. Нетрудно понять, что число интересное в точности тогда, когда оно свободно от квадратов, т.е. в его разложении на простые каждое простое число появляется не больше одного раза. Теперь заметим, что числа, кратные четырем, не свободны от квадратов. Примеры: 1, 2, 3; 5, 6, 7. 3. Через 1515 минут. Занумеруем строки и столбцы числами от –1010 до 1010. Через n минут будут закрашены клетки, до которых хромая ладья (за ход сдвигается на соседнюю клетку) дойдет от одной из исходных клеток не более чем за n ходов. Пример. Закрасим клетки A 505; 0 и B 505; 0. За 1515 ходов ладья дойдет из B до любой клетки правой половины доски (клетки x; y с неотрицательным x): потребуется не более 505 ходов по горизонтали и не более 1010 по вертикали. Аналогично из A ладья дойдет до любой клетки левой половины. Оценка. Назовем расстоянием между клетками сумму расстояний между ними по вертикали и по горизонтали. Оно равно минимальному числу ходов, за которое хромая ладья сможет дойти из одной клетки в другую (и поэтому удовлетворяет «неравенству треугольника»). Пусть все клетки будут черными через 1514 минут. Противоположные угловые клетки не могут быть «обслужены» одной ладьей: расстояние между ними больше чем 2 ˜ 1514. Поэтому каждая ладья «обслужила» две угловые клетки с одной стороны, например ладья из клетки A – обе левые: 1010; r 1010, а ладья из клетки B – обе правые: 1010; r 1010. Но тогда вторая ладья не успела дойти ни до одной из клеток 0; r 1010: расстояние от такой клетки до противоположной угловой клетки равно 3030! 2 ˜ 1514. Аналогично и первая ладья не дошла до этих клеток. Противоречие. 4. Пусть AB 2, O и M – середины отрезков AB и YZ соответственно, H – ортоцентр треугольни-