Квант 2022, №7 · Страницы

3

КЕЛЬВИН И СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ

вина. А когда в 1960 году Международный комитет мер и весов утверждил для предпочтительного применения Международную систему единиц (СИ), градус Кельвина стал одной из семи основных единиц этой системы. И он стал называться не «градус кельвина» ( q К ), а просто «кельвин» (К). Остановимся кратко на вопросах об утверждении систем единиц и их «именных» названиях. Сегодня почти 30 единиц измерения физических величин имеют «имена». В системе СИ среди 7 основных единиц – это кельвин и ампер, а 5 других основных единиц – не именные метр, килограмм, секунда, моль и кандела. Их названия установились стихийно и произошли от латинских корней во французском произношении. Стремление называть единицы измерения каким-либо житейским словом возникло на заре человеческой истории. Такими были, например, единицы длины локоть, пядь, фут, ярд, поприще. Трудно установить происхождение таких мер, как грамм, фунт, пуд, секунда, минута, час. Естественно, что эти названия возникали и устанавливались в сравнительно небольшом ареале проживания одного народа или даже племени и затем распространялись на государства, объединявшие разные народы. И очень часто в государстве существовало одновременно несколько единиц измерения одной и той же величины. Конечно, это затрудняло общение людей, живших в разных местностях. Так было поначалу и с денежными единицами. Но в этом случае государственные власти устанавливали (хотя и не сразу) единые единицы и их названия. Например, в огромной Римской империи была одна главная золотая единица – ауреус и три серебряные монеты понижающегося достоинства. На другие единицы измерения государственные власти обращали мало внимания. Юлий Цезарь сделал такие попытки для единиц веса и длины, но не смог довести их до конца. Преуспел он только в установлении единого календаря, который и получил его имя. А после падения

Рима в средневековой Европе настала полная анархия в этом вопросе. Шедевром неразберихи, пожалуй, можно считать существование во Франции вплоть до XIX века свыше тысячи (!) различных единиц длины. Например, длина отреза ткани измерялась в единицах, представляющих ширину ткацкого станка данной местности, а площадь пахотного участка – днями, необходимыми для вспашки крестьянином этой земли. До наших дней сохранилось только одно старое название – лье. В России еще был по сравнению с такой анархией относительный порядок. Заботами царей-реформаторов от Ивана III до Екатерины II остались только 8 единиц – ладонь, пядь, локоть, фут, шаг, аршин, маховая сажень и косая сажень. Одной из забот Французской академии наук стала работа по унификации единиц измерений, и в первую очередь единиц длины. В Академию наук в составе астрономического института входило Бюро долгот, которое и занималось этим вопросом. Было предложено много разных вариантов, например – длина некоторого стандартного маятника и целый ряд астрономических вариантов. Но успех был достигнут только в 1795 году, когда Бюро долгот, получившее название Палаты мер и весов, возглавили несколько ученых, в том числе выдающийся французский ученый, математик, астроном и физик Пьер-Симон Лаплас. Лапласом в качестве единицы длины была окончательно выбрана астрономическая, точнее «общеземная», единица – одна сорокамиллионная часть земного меридиана, проходящего через Париж. И эта единица была названа метром (от древнегреческого PHWURQ – мера, измеритель). Палата мер и весов привлекла ученых к измерению (угловому) участка земного меридиана, к установлению вещественного эталона метра и соответственно – к выражению всех прежних единиц длины, площади и объема через метр. Были установлены и единицы веса (массы) и времени. Появилась система единиц МКС – метр, килограмм, секунда. Но интересно, что к окончательной (законодательной) установке единых единиц Фран-

5

КЕЛЬВИН И СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ

физике. Привлекает отсутствие во многих формулах «лишних» коэффициентов $H_{0}$ и $P_{0}$. И сам Гаусс, и Максвелл сразу обратили внимание на то, что в гауссовой системе в формулах, где присутствовали электрический заряд и магнитные величины, появился размерный коэффициент, равный 3 ˜ $10^{10}$ см c. Именно такую величину имело уточненное значение скорости света в вакууме, которую надежно измерили в середине ХIХ века. И именно Максвелл связал электромагнетизм с волновым движением, предсказав существование электромагнитных волн. Однако практика и родившаяся новая наука «электротехника» настоятельно требовали выделения электрических единиц в особую систему. Кроме того, в капельном томсоновском гальванометре электрический заряд плохо сохранялся. Защитить наэлектризованную воду от потери или приобретения других заряженных частиц, и прежде всего электронов, оказалось невозможным. Томсон пришел к выводу, что эталонировать нужно не электростатическую величину – заряд, а электродинамическую величину – силу тока. Для многих проводящих предметов сила, действующая на этот предмет со стороны магнитов, кусков железа или его окислов, оказалась сравнимой с силой тяжести, когда по предмету шел ток, получаемый тогда от гальванических элементов. В 1848 году Томсон разработал конструкцию и своими руками создал прибор, который получил имя «магнитные весы». В этом приборе можно было добиться неподвижного нахождения провода с током в магнитном поле под действием противодействующих сил – силы тяжести и магнитной силы Ампера. Усовершенствованная конструкция магнитных весов Томсона и сейчас является эталоном единицы силы тока «ампер» в международной современной системе единиц СИ. Ситуация малости многих единиц в системе СГС по сравнению с практическими величинами сложилась не только в электромагнетизме. В технической механике стала употребляться единица силы к㠘 м $с^{2}$,

равная $10^{5}$ дин. Такими единицами и их десятками выражались те силы, с которыми обычно человек имеет дело. Долгое время эта единица измерения силы не имела специального названия, пока наконец в 1948 году не получила от Международного комитета мер и весов торжественное имя ньютон. В теплотехнике величины энергии и мощности, с которыми связаны человеческая жизнь и деятельность, тоже оказались равными сотням миллионов и миллиардам эргов или единиц мощности системы СГС. Все эти неудобства в механике, теплотехнике и электротехнике стали приводить к появлению в разных странах разных единиц и по названию и по отношению к единицам гауссовой системы. Усложнилось преподавание физики и новых научно-технических дисциплин. На повестку дня встала необходимость реформ. В России с ее аршином и фунтом переход к единой системе единиц возглавил великий Д.И.Менделеев. С 1893 года он был директором российской главной палаты мер и весов. Неслучайно подмосковный поселок, где сейчас находится Всероссийский научно-исследовательский институт физико-технических и радиотехнических измерений, носит название Менделеево. В Англии, где этот переход возглавлял У.Томсон, положение было особенно трудным, и по сути переход не закончился до сих пор. Англичане, а вслед за ними и весь мир измеряют экраны телевизоров не в сантиметрах, а в дюймах, а мощности автомобилей не в киловаттах, а в лошадиных силах. Первыми одумались химики и для своих нужд ввели особую энергетическую единицу – калорию (равную 41,87 ˜ $10^{6}$ эрг). Эта единица означает энергию, необходимую для того, чтобы повысить на 1 q С температуру одного литра воды. Она удобна для выражения количества теплоты, выделяющегося в химических реакциях. Теплотехники, создававшие транспортные двигатели, быстро примкнули к химикам. А для мощности двигателей по-прежнему использовали удобную единицу – лошадиную силу (1 л.с. равна 736 ˜ $10^{7}$ единиц

6

КВАНТ 2022/№7

мощности СГСЭ-системы). А когда с единицами электромагнетизма стали разбираться электротехники, единицей измерения энергии, как механической, так и электрической и тепловой, был выбран предложенный Карлом Вильгельмом Сименсом джоуль, а единицей мощности – ватт. Но как ни странно, калория не ушла в небытие до сих пор. Дольше всего она удерживается в пищевой промышленности. На современных упаковках пищевых продуктов имеется двойная энергетическая характеристика – в килоджоулях и в килокалориях, причем первая называется энергетической ценностью, а вторая – калорийностью или пищевой ценностью. Это, безусловно, связано с медициной, где все советы по борьбе с перееданием приводятся в виде таблиц, в которых в интернете и сейчас еще частенько присутствуют килокалории. Так они и фиксируются в памяти у большинства людей, безоговорочно верящих медицине. Хорошей нормой энергетической ценности питания и сейчас многие считают легко запоминающиеся 2000 килокалорий в сутки для тех, кто ведет малоподвижный образ жизни. У калории есть и небольшое преимущество перед джоулем – удельная теплоемкость воды почти в точности равна 1 кал 㠘 град. Мне вспоминается, как 60 лет назад после введения в нашей стране закона о предпочтительном употреблении системы СИ почтенный профессор нашего вуза в беседе с провинциальными учеными возмущался: «Что же мы теперь будем покупать джоулейные булочки, а не калорийные?» Был такой продукт – вкусные сдобные булочки с изюмом. А по поводу замены слова «вес», неправильно употребляемого вместо термина «масса», он же говорил: «Не взвешивать будем, а взмассировать, не весы будут, а массы?» Значительные трудности были и при переходе от атмосферы, как единицы давления, к паскалю. В те же 60-е годы у нас на разных кафедрах применялись как атмосферы, так и метры водяного столба (в гидравлике, например). А тут – приказ переориентироваться на паскали. И вот бедные студенты на разных занятиях на разных ка-

федрах по-разному должны были вычислять и измерять давление. Как же происходил этот переход к единой международной системе единиц? Все началось в 1875 году, когда по инициативе Французской академии наук в Париже, а точнее в пригороде Парижа в Севре, где находилась французская Палата мер и весов, собрались представители 20 государств. И 20 мая 1875 года была подписана Международная конвенция по мерам и весам, в которой было заявлено о создании Международного бюро по весам и измерениям, вскоре получившее название Международного комитета по весам и мерам. Конвенция была подписана 18 участниками, имевшими полномочия от своих правительств. От России конвенцию подписал советник посольства Григорий Окунев «от имени императора Александра II». Согласно конвенции, 18 членов комитета должны ежегодно собираться для отчетов об организации метрологических исследований в странах-участницах; для отчетов о деятельности региональных Палат мер и весов; для выработки рекомендаций генеральным конференциям по мерам и весам. На этих конференциях раз в 4 года должны обсуждаться и утверждаться положения о рекомендуемых изменениях в системах единиц и должен избираться на 4 года руководитель Международного комитета. С тех пор за почти 150 лет состоялось 26 Генеральных конференций. Некоторые 4-летия были пропущены, в том числе и по причинам мировых войн. Среди выбираемых руководителей комитета были ученые-метрологи из разных стран. В течение 20 лет, с 1915 по 1936 год, роль руководителя исполнял швейцарский ученый Шарль Гийом, который в 1920 году стал лауреатом Нобелевской премии за создание сплавов, обладающих очень малым коэффициентом температурного расширения, необходимых для эталонов длины. С начала 2013 года организацию возглавляет французский ученый Мартин Милри. Несколько последних конференций были посвящены изменению и уточнению эталонов длины, времени и массы. Теперь это уже не предметы, хранящиеся в Севре, а описа-

8

КВАНТ 2022/№7

Университет в Глазго находится время для организации музыкального студенческого общества. После окончания математического отделения кембриджского Тринити-колледжа Уильям поступает в Коллеж де Франс (Сорбонну), в физическую лабораторию, где получает навыки, необходимые для экспериментальных физических работ. Но он не бросает и теорию, где теперь его интересы сосредотачиваются на самом передовом тогда крае физики – электричестве и магнетизме. В первых своих физических публикациях он разрабатывает метод изображений для решения электростатических задач, вошедший вскоре во все классические курсы физики. На эти (и другие) его работы обращают внимание в университете Глазго. Томсон возвращается в родной город, защищает диссертацию и начинает создавать хорошо оборудованную физическую лабораторию. В это время освобождается профессорская должность заведующего кафедрой теоретической физики и Томсону предлагают принять участие в конкурсе. В 1846 году 22-летний ученый становится профессором и заведующим кафедрой. И он проработал в этой должности 53 года. Тоже своеобразный рекорд! Томсон продолжает посещать Тринитиколледж в Кембридже, где знакомится с Джоулем. Талант Джоуля, его гениальные идеи и обаяние личности так увлекают Томсона, что он надолго становится адептом науки о преобразованиях теплоты. Он

изобретает название этой новой науки – термодинамика. Джоуль всего на 6 лет старше Томсона, но он уже пришел к своему великому выводу о единстве понятия энергии в механике, теплоте и электричестве и подтвердил сохранение этой величины точными измерениями. Изучая газовые процессы, Джоуль сформулировал закон, получивший название первого закона (начала) термодинамики. Томсон с азартом включился в совместные работы и вскоре экспериментально обнаружил эффект, казавшийся нарушением этого закона. При расширении сжатого газа в вакуумное пространство, если все сосуды хорошо теплоизолированы, температура не должна изменяться, поскольку не изменяется энергия. Но если расширение происходит достаточно медленно (через пористую перегородку), то температура меняется, причем иногда понижается, а иногда даже повышается. Оказалось, что все дело в неидеальности газов. При расширении меняются силы взаимодействия между молекулами газов, которыми обычно пренебрегалось. Явление вскоре получило название «эффект Джоуля–Томсона» и с тех пор широко применяется для охлаждения газов и доведения их до жидкого состояния. Так, интересное применение этот эффект нашел в газовой промышленности. Поступающий из скважины природный газ всегда содержит много водяного пара. Если этот газ пустить в газопровод, водяные пары сконденсируются и активно пойдет процесс ржавления металла. Поэтому эту конденсацию нужно проводить еще на промысле, сразу после добычи. Благодаря Джоулю и Томсону Тринитиколледж наряду с Берлинским университетом превращается в мировой центр развития физической науки. Вскоре Томсон формулирует здесь свое эпохальное открытие – понятие термодинамической температуры (ее часто называют абсолютной). Для сохранения традиций он связы-

10

КВАНТ 2022/№7

Сэр Томсон оказалось, что у него уже есть все эти докторские степени от других университетов. «Вакантной» оставалась только степень доктора медицины. И Кельвин вдобавок к своим многочисленным наградам становится почетным доктором медицины Гейдельбергского университета. Откуда взялся титул «барон Кельвин Ларгский»? Обычаи английского королевского дома требовали присвоения наследственного титула, т.е. титула, передающегося по наследсту старшему в роде,

Меандр реки Кельвин

только тогда, когда есть какое-то наследство, прежде всего в виде земельных угодий. Конечно, у профессора Томсона никакой земельной собственности не было. Он предпочитал иметь квартиру в университетском кампусе, как и многие другие университетские преподаватели. Однако когда в соответствии с университетским уставом он по возрасту перестал бы быть профессором-преподавателем, а стал бы «всего лишь» почетным профессором, то ему не разрешалось бы жить в кампусе. И что же делает Кельвин? В кампусе у него друзья, там прошла вся жизнь. И хотя у него было уже собственное роскошное жилье, он не хочет надолго покидать родные места и зачисляется …студентом университета, который имеет право жить в кампусе. И становится самым старым в истории высшей школы студентом. И в этом весь Кельвин! Когда надо было за 7 лет до этого решать вопрос о титуле, он не очень волновался по этому поводу и шутя предложил титул «лорд Кабель», поскольку его заслуги перед короной и Англией в осуществлении прокладки трансатлантического кабеля и были главной мотивировкой награды. Томсон в это время уже задумал построить собственный дом, чтобы проводить в нем каникулярное время. Он выбрал место изумительной красоты в устье реки Ларгс в 50 киломметрах от Глазго. И однажды у него в университетской квартире собрались друзья, чтобы помочь в решении проблемы конкретного имени для титула. Был жаркий летний день и вся компания отправилась купаться в пруду на университетской территории. А этот пруд был образован маленькой речкой со старинным названием Кельвин, почти что ручейком в летнее время. Ручей Кельвин, вновь вытекая из пруда, впадал неподалеку в глав-

11

КЕЛЬВИН И СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ

ную водную артерию Глазго – реку Клайд. Освеженная после купания дочь одного из друзей Кельвина предложила: «А почему бы не выбрать для титула $слово^{Кельвин?}$ Оно ведь старинное и такое красивое!» Всем очень понравилось. Дело стало за малым – купить землю там, где было задумано строить дом. Вопроса о средствах для покупки земли не было. Томсон был в это время достаточно обеспечен доходами от директорства в телеграфной компании и от своих патентов. Правда, много средств он тратил на покупку оборудования для университетской физической лаборатории. Но и оставалось немало. Во всяком случае на покупку земли и даже на строительство замка хватало. И проблема с титулом была решена. Так неприметная речка Кельвин стала прообразом единицы термодинамической температуры. В последнее десятилетие века лорд Кельвин не только пожинал плоды своего многолетнего научного творчества, но и вел деятельную жизнь. Например, был председателем международной Ниагарской комиссии, одобрившей в конце концов проект ниагарской гидростанции, представленный группой инженеров с участием сербско-американского электротехника Никола Тесла. В Шотландии Кельвин курировал строительство гидростанции для обеспечения электроэнергией одного из первых в мире заводов по производству алюминия. В палате лордов он не пропускает заседаний и выступает по вопросам развития высшего естественно-научного об-

Гальванометр Кельвина

разования и переходу в Англии к метрической системе измерений. Два года он возглавляет Лондонское королевское общество и выступает с принципиально важными докладами. Всего за жизнь Кельвин написал 20 книг, больше 600 научных статей и получил 70 патентов на различные приборы – высокоточные амперметры и вольтметры, навигационный компас и корабельный измеритель скорости, уже упомянутый капельный генератор электрического заряда, приборы для телеграфии и демонстрационные установки для лекций. Несмотря на тяжелые личные события (смерть отца, когда Томсону не было еще и 40 лет, смерть жены, с которой он прожил 18 лет), он оставался доброжелательным по отношению к своим коллегам и студентам. Его не покидало чувство юмора. Для Кельвина было большое счастье иметь друга, который восхищался им, но при этом критиковал и поддерживал. Это был знаменитый физик и математик Джордж Стокс, профессор Кембриджского университета. Он был старше на 5 лет и прожил ровно столько же, сколько Кельвин. Их дружба длилась 60 лет и ничто не омрачало ее. Они часто встречались в Кембридже и переписывались. Сохранились сотни (!) писем Кельвина Стоксу. Кельвин прожил счастливую жизнь. Самым главным в ней была работа, жизнь в науке. Еще во время учебы в Кембридже он составил расписание, оно сохранилось в музее Кельвина: «В 5 ч. утра встать и разжечь камин, до 8.15 чтение научной литературы, до 13 ч. посещение занятий, до 16 ч. решение задач и написание статей, после обеда и до 19 ч. посещение церкви, до 20.30 прогулка (по возможности при любой погоде), в 21.00 сон». Такому распорядку он старался следовать всю жизнь. И только болезнь в два последних года жизни подкосила его. Кельвин скончался 17 декабря 1907 года в своем шотландском доме. К сожалению, этот дом не сохранился, после Кельвина в нем никто не жил – у него не осталось никаких наследников. Но благодарные ему физики восстановили этот дом в Берлине, где сейчас находится дом-музей Кельвина

13

КЕЛЬВИН И СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ

ческой температуры существенно только для очень большого числа частиц в системе. Бессмысленно говорить о температуре атомных электронов или ядерных частиц. Кельвин первым ввел еще в 1848 году понятие абсолютного нуля термодинамической температуры, который он, экстраполируя газовые законы, определил как величину, обратную термическому коэффициенту расширения газа, приходящемуся на один градус Цельсия: 1 0,00366 | 273,2 .Таким образом, по шкале Цельсия абсолютный ноль равен 273,2 q C и, наоборот, 0 q C соответствует 273,2 К. Сегодня значение абсолютного нуля уточнено до 273,15 q C, а 1 К определяется как температура, которая приводит к изменению энергии, приходящейся на одну степень свободы частицы, на 1,3806 ˜ $10^{23}$ Дж (значение постоянной Больцмана). Эталонирование кельвина связано с измерением точной температуры тройной точки воды заданного изотопного состава (приблизительно 0,008 q C ). Введение Кельвином понятия термодинамической температуры сыграло огромную роль а развитии термодинамики. Самая низкая температура на Земле составляет 184 К (– 89 q C ). Она зафиксирована в 1983 году на российской антарктической станции «Восток» неподалеку от Южного полюса. Среди южных полярников родилось даже присловье «Восток – дело холодное», перефразирующее суховское «Восток – дело тонкое» (из «Белого солнца пустыни»). Чуть выше температура была зафиксирована в сибирском «полюсе холода» вблизи Верхоянска. Самая низкая температура планет и спутников Солнечной системы – это 36,6 К на поверхности Тритона, спутника Нептуна, и 43 К на поверхности Плутона. Интересно, что в глубоких кратерах Луны, куда никогда не заглядывает Солнце, температура, по-видимому, еще ниже. Оценка самой низкой температуры газа в Галактике составляет примерно 1 К (в темном облаке туманности «Бумеранг» в 5000 световых лет от Земли). А «температура» реликтового излучения соответствует 2,725 К. В лабораторных условиях с 1911 года самой низкой

Барон Кельвин Лангрский температурой была температура сжижения гелия – примерно 4 К. Но современная наука изобрела много способов достижения еще более низких температур. Осенью 2021 года достигнута рекордно низкая температура 3,8 ˜ $10^{11}$ К. И это не предел! В термодинамике Кельвин сделал немало и кроме своего эпохального открытия. Это и эффект Джоуля–Томсона для реальных газов, и термоэлектрический эффект Томсона. Занимался он и молекулярной физикой, экспериментально измеряя давление под изогнутой поверхностью жидкостей из-за поверхностного натяжения. Рассматривая неустойчивость движения большого количества связанных капель жидкости, он вместе с Гельмгольцем установил возможность появления так называемых «турбулентных облаков», грандиозных облачных и пенных морских вихрей, действительно наблюдаемых в природе. Интересно, что зоркие глаза художников замечали такие облака и включали их в свои пейзажные композиции

15

КЕЛЬВИН И СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ

«Век пара» стал изменяться и превращаться в «век электричества». Появление радио, открытие электрона и рентгеновского излучения Кельвин считал закономерными следствиями электродинамики. И он не предполагал, что эти открытия могут серьезно повлиять на развитие цивилизации. Влюбленный в физику и покоренный ее успехами, Кельвин был уверен, что термодинамика и электродинамика – это вершинные достижения человеческого понимания природы и что наука должна заниматься претворением этих достижений в технику на благо улучшения условий жизни. Но все-таки кое-что его смущало. Так, 27 апреля 1900 года на лекции в Королевском институте он повторил то, что уже опубликовал в статье, озаглавленной «Тучи 19-го века над динамической теорией». Вот его слова: «Красота и ясность динамической теории, согласно которой теплота и свет являются формами движения (энергии), в настоящее время омрачена двумя тучами. Первая из них – это вопрос о том, как может Земля двигаться сквозь упругую среду, какой по существу является светоносный эфир? Второе – это доктрина Максвелла–Больцмана о распределении энергии, которая не согласуется с надежными измерениями теплового излучения тел». И пессимистическое заключение: «Простейший путь просто в том, чтобы не обращать внимания на существование этих туч». Ссылаясь на статьи и выступления Кельвина, ряд физиков в европейских университетах заявляли о конце физики как развивающейся науки. «Все главное уже сделано, осталось только делать все более точные измерения», – именно так сказал молодому Максу Планку один из профессоров Мюнхенского университета, с которым Планк консультировался по поводу выбора темы для диссертации. К счастью для науки, Планк не внял совету маститого профессора и занялся теоретической термодинамикой. Результат этого выбора известен. Но ведь и Генрих Герц, первым получивший на опыте электромагнитное излучение, вскоре после этого открытия читая лекцию студентам, на вопрос, каким может быть применение этого излучения,

ответил: «А никаким!» Но всего лишь через несколько лет появилось радио. И еще пример. Альберт Эйнштейн после рождения в 1905 году $формулы^{E} mc^{2}$ написал в одной из статей: «Нет ни малейших признаков того, что атомная энергия когда-нибудь станет доступна людям. Это значило бы, что человек научился расщеплять атом». Слова Кельвина о двух «тучах», омрачающих стройное здание физической науки, были основаны на блестящем знании физики, которую он развивал. И его гениальность проявилась в том, что именно из этих «туч» родилась современная физика, которая не только не завершена, но и концакрая не видно ее завершению. «Светоносный эфир», колебаниями которого считались электромагнитные волны, после опытов Майкельсона и создания теории относительности оказался ненужным и вскоре был забыт. Осталось только образное упоминание этого слова как синонима радиосвязи. Затруднение с теорией теплового излучения (вторая «туча») получило даже пугающее название «ультрафиолетовая катастрофа». Но уже в самом конце 1900 года блестящая работа Планка показала, что никакой катастрофы нет. Родились квантовые представления об излучении. Кельвин не дожил до торжества квантовой теории и создания квантовой механики. Кто знает, не раскаялся бы он в своих словах и мыслях, которые так активно проповедовал в конце жизни. Об этой трагедии в научном пути Кельвина сказал один из его биографов Ч.Уотсон в 1969 году: «В первую половину его карьеры Томсон казался неспособным ошибиться, во вторую – неспособным на правоту». Кто-то сказал: «Есть два вида предсказателей. Одни не знают, о чем говорят. Другие не знают, что они не знают, о чем говорят». Кельвин явно принадлежал к предсказателям второй группы, он не успел узнать того, что опровергало его суждения. И перефразируя Пушкина, можно сказать, что гениальные люди и ошибаются по–гениальному. Гениальные ошибки могут иметь следствиями и гениальные открытия.

23

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Возможно, вы узнали знаменитую последовательность Туэ–Морса.

Последовательность Туэ–Морса

Последовательность Туэ–Морса содержится в OEIS под номером A010060. Энциклопедия использует более распространенный вариант последовательности, в котором вместо A и B фигурируют числа 0 и 1. Последовательность Туэ–Морса получается последовательным приписыванием к уже имеющемуся фрагменту второго такого же, но в котором все элементы заменены на противоположные (0 на 1, 1 на 0). Стартуем с 0:

0

01

0110

01101001

0110100110010110…

Эта последовательность самоподобная: она совпадает с собственной подпоследовательностью, состоящей из каждого второго члена (равно как и со второй подпоследовательностью 1001…, но уже с заменой элементов на противоположные):

0110100110010110 …

0 1 1 0 1 0 0 1 …

Это наблюдение подсказывает другой способ получить последовательность: начать со строки нулей и многократно произвести подстановку 0 o 01, 1 o 10. Еще один способ получить ту же последовательность – подсчитать количество единиц в двоичной записи числа n и взять остаток от деления этого числа на 2. Так вы получите n-й член последовательности Туэ–Морса (подумайте, почему). Этот подход подсказывает и то, как построить аналог последовательности Туэ–Морса, состоящий уже из чисел 0, 1, 2. Нужно сложить цифры в троичной записи числа n и взять остаток от деления на 3 (получится 012120201… – последовательность A053838 в OEIS); аналогично для записи в системе счисления с любым другим основанием. Можно описать эти обобщенные последовательности Туэ–Морса и на языке подстановок (подумайте, как).

МИР

Одно из свойств последовательности Туэ– Морса – то, что никакой ее фрагмент не повторяется больше двух раз подряд, в то же время не подряд идущие повторения возможны. Это свойство привело к переоткрытию последовательности с неожиданной стороны. Будущий чемпион мира по шахматам и математик Макс Эйве указал, что если 0 и 1 в последовательности Туэ–Морса соответствуют каким-то различным последовательностям ходов, возвращающим позицию на доске к исходной, то эта последовательность позволит продолжать партию бесконечно долго. Напомним, что в начале XX века в шахматах действовало правило, согласно которому ничья объявлялась при троекратном повторении одной и той же последовательности ходов подряд. Чтобы конструкция Эйве перестала работать, современные правила требуют завершить партию при троекратном повторении любой позиции. Еще одно приложение последовательности Туэ–Морса, с одной стороны, красивое, а с другой – интересное, возникает, если попытаться нарисовать ломаную, состоящую из звеньев одинаковой длины, по следующим правилам. Когда в последовательности Туэ–Морса встречается 0, рисуем звено и поворачиваем на 60q налево; когда встречается 1, остаемся на месте и меняем направление рисования следующего звена на 180q. Таким образом, после первого звена следует поворот налево на 60q, после второго – поворот направо на 120q (на 60q налево и еще на 180q ) и т.д. Нарисуйте хотя бы полтора десятка звеньев. Что получается? Заметим, что последовательность Туэ- Морса возникает также в спортивном программировании. Заинтересовавшийся читатель может найти и другие многочисленные приложения последовательности Туэ–Морса, обратившись на oeis.org. Мы же вернемся к стрелкам. В статье [3] доказано, что честный порядок выстрелов действительно описывается последовательностью Туэ–Морса. Для этого сперва показано, что если сгруппировать члены последовательности по парам, то в каждой паре будет два разных значения (AB BA BA AB…), а затем доказано по индукции свойство самоподобия.

45

О ЛИМПИА ДЫ

Рис. 3

циллографа показывает, что при частоте входного переменного тока 20 кГц с амплитудой $I_{0} 10$ мА среднее значение тока $I_{2cp}$, текущего через резистор $R_{21}$, не равно нулю и составляет около 0,9 мА (рис. 3). В свою очередь, это означает, что средняя скорость «вибролодки» должна быть $v_{cp} a Z_{в} I_{2cp} I_{0}$, а в данном конкретном случае при амплитуде 5 см и частоте 1 Гц это будет 28 мм с. Другими словами, за одно колебание несбалансированного груза лодка перемещается больше, чем на половину амплитуды колебаний. Это, разумеется, произошло при сравнительно большом среднем значении коэффициента сопротивления среды $O_{сp} | 1,7$ кг с. При таком коэффициенте сопротивления лодка, двигаясь с начальной скоростью 1 м с,

останавливается, пройдя расстояние всего лишь 5,8 см. Как средняя скорость изменится при других значениях коэффициента сопротивления? А что изменится, если колебания несбалансированного тела не гармонические? И вообще, возможно ли такое вибрационное перемещение «через стенку», если среда есть, колебания не гармонические, а коэффициенты сопротивления при движении лодки туда и обратно одни и те же? Вопросов много. Один из способов ответить на эти вопросы и не только на эти – не спешить с изготовлением и испытанием «виброходов», «вибролодок», «вибролетов» и других непонятных устройств, а обратиться за помощью к динамическим аналогиям.

О ЛИМПИА ДЫ

Заключительный этап XLVIII Всероссийской олимпиады школьников по математике

Олимпиада проходила 17–25 апреля 2022 года в городе Саранске.

Условия задач

9 класс

1. Назовем главными делителями составного числа n два наибольших его натуральных делителя, отличных от n. Составные натуральные числа a и b таковы, что главные делители числа a совпадают с главными делителями числа b. Докажите, что a b. А.Голованов 2. См. задачу М2702 «Задачника «Кванта».

2. В строку выписаны 200 натуральных чисел. Среди любых двух соседних чисел строки правое либо в 9 раз больше левого, либо в 2 раза меньше левого. Может ли сумма всех этих 200 чисел равняться $24^{2022}$? О.Подлипский, И.Богданов

47

О ЛИМПИА ДЫ

какую-нибудь прямую, которая касается графика синуса как выше оси абсцисс (Ox), так и ниже (и, возможно, имеет еще несколько точек пересечения)? А.Кузнецов

3. На плоскости фиксирован остроугольный треугольник ABC с наибольшей стороной BC. Пусть PQ – произвольный диаметр его описанной окружности, причем точка P лежит на меньшей дуге AB, а точка Q – на меньшей дуге AC. Точки X, Y и Z – основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямую AB, из точки Q на прямую AC и из точки A на прямую PQ. Докажите, что центр описанной окружности треугольника XYZ лежит на фиксированной окружности (не зависящей от выбора точек P и Q). И.Кухарчук, М.Дидин

4. См. задачу М2705 «Задачника «Кванта». 5. См. задачу 5 для 10 класса. 6. Дано натуральное число n. Саша утверждает, что для любых n лучей в пространстве, никакие два из которых не имеют общих точек, он сможет отметить на этих лучах k точек, лежащих на одной сфере. При каком наибольшем k его утверждение верно? А.Кузнецов

5. См. задачу 8 для 10 класса. 8. Из каждой вершины треугольника ABC провели внутрь него два луча, красный и синий, симметричные относительно биссектрисы соответствующего угла. Около треугольников, образованных при пересечении лучей одного цвета, описали окружности. Докажите, что если описанная окружность треугольника ABC касается одной из этих окружностей, то она касается и другой. А.Кузнецов, И.Фролов

Победители олимпиады

9 класс

Сапрунов Егор – Санкт-Петербург, Югов Михаил – Санкт-Петербург, Парамонов Дмитрий – Санкт-Петербург, Часовских Иван – Химки Московской области, Дмитриев Лев – Санкт-Петербург, Иванов Максим – Пензенская область, Никитин Федор – Санкт-Петербург, Уткин Евгений – Саратов, Ленская Наталия – Москва, Садыков Артем – Челябинск;

10 класс

Гнусов Александр – Киров, Прозоров Павел – Санкт-Петербург, Мишуков Николай – Санкт-Петербург, Хисамутдинов Эльдар – Санкт-Петербург, Аккая Тимур – Санкт-Петербург, Гонтарь Дмитрий – Санкт-Петербург, Копосов Тимофей – Санкт-Петербург, Лахтин Антон – Свердловская область, Факанова Виктория – Москва, Климчук Александр – Москва, Латариа Мириан – Москва;

11 класс

Туревский Максим – Санкт-Петербург, Коротченко Таисия – Санкт-Петербург, Бахарев Иван – Санкт-Петербург, Мустафин Денис – Москва, Почепцов Игорь – Москва, Кузнецов Роман – Санкт-Петербург, Романов Владимир – Удмуртская Республика, Шарафетдинова Галия – Казань, Юсупова Ралина – Казань, Курин Виталий – Москва, Пескин Максим – Москва, Федоров Александр – Москва, Доценко Владислав – Москва.

Публикацию подготовили Н.Агаханов, М.Антипов, А.Антропов, С.Берлов, И.Богданов, Д.Бродский, А.Голованов, М.Дидин, К.Кноп, П.Кожевников, П.Козлов, Д.Крачун, С.Кудря, А.Кузнецов, Ю.Кузьменко, Е.Молчанов, Ф.Петров, О.Подлипский, К.Сухов, Д.Терёшин, И.Фролов, А.Храбров, Д.Храмцов, Г.Челноков, О.Южаков

51

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ

Рис. 13

магнитное поле. Магнитный поток через контуры линейно увеличивается со временем: $)_{1} 2 H t, ) 2 3 H t$, где H 0,004 В. Определите ток I в проволоке на общей границе контуров.

Вариант 2

1. Из одной точки горизонтальной поверхности одновременно с одинаковыми по величине скоростями $v_{0}^{15} м^{с}$ бросают два груза. Первый груз бросают вертикально, а второй под углом D 30 q к горизонту. Сколько времени первый груз будет двигаться прямолинейно, если он привязан ко второму легкой нитью длиной $l^{3}$ м? Ускорение свободного падения g 10 м $с^{2}$. Сопротивлением воздуха пренебречь. 2. Груз, подвешенный на легкой пружине, сместили из положения равновесия по вертикали и без толчка отпустили. Он начал опускаться с ускорением $a g^{4}$ и через время $T^{2} c$ вернулся в исходную точку. Определите путь, пройденный грузом за это время. Ускорение свободного падения g 10 м $с^{2}$. Сопротивлением воздуха пренебречь.

МАТЕРИАЛЫ

3. Одноатомный идеальный газ совершает циклический процесс 1–2–3–4 (рис. 14), состоящий из двух изобар и двух адиабат. При изобарическом расширении газа его внутрен- Рис. 14 няя энергия увеличивается на ’ U, а при изобарическом сжатии над газом совершается работа A. Определите КПД цикла. 4. Точечные $заряды^{3q,} q$ и Q расположены на одной прямой вдали от других заряженных тел так, что электрическая сила, действующая на каждый заряд, равна нулю. Определите отношение Q q. 5. Проводники электрической схемы (рис. 15) лежат в одной плоскости. Вектор индукции магнитного поля перпендикулярен этой плоскости, а модуль вектора индукции В увеличивается со временем t по закону B E t, где $E^{15} Тл^{c}$. Площадь каждого из двух смежных конту- Рис. 15 ров $S 10 см^{2}$. Определите напряжение на резисторе R, если: а) ключ K разомкнут; б) ключ K замкнут.

Публикацию подготовили Г. Гайдуков, И. Горбатый, И. Федоренко

Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

Профильный экзамен по физике

$В^{2022}$ году в связи с продолжающимся распространением коронавирусной инфекции профильный экзамен (дополнительное вступительное испытание) по физике в МГУ и его Севастопольском филиале проводился в дистанционном формате на портале https: exam.distant.msu.ru

Для участия в экзамене предъявлялись следующие технические требования к рабочему месту испытуемого. 1) Наличие ноутбука (желательно), персонального компьютера, смартфона или планшета со стабильным интернет-соединением (без прерываний на протяжении испытания и минимальной скоростью $от^{5}$ Мбит $с).^{2)}$ При подключении