Квант 2023, №1 · Страницы

4

КВАНТ 2023/№1

Рис. 5

Рис. 6

конструкция точно воспроизведет ваш исходный треугольник. При этом моя конструкция докажет, что при трисекции углов вашего треугольника вы найдете в середине мой равносторонний треугольник. На рисунке 5 показаны шесть треугольников, которые мы построим вокруг равностороннего треугольника. Этот рисунок выглядит как обломки только что построенного треугольника – и действительно, склеив должным образом эти обломки, мы построим ваш треугольник. Однако нужно понимать, что шесть новых треугольников будут определяться, исходя из моего равностороннего треугольника, с помощью предложенных вами $значений^{A,} B,^{C.}$ Рисунок 4,в – наша цель, а не отправная точка. При построении шести новых треугольников сначала определим их форму, а затем размеры. Чтобы определить форму, зафиксируем углы. Положим $D ‘^{A} 3, E ‘^{B} 3$ и $J ‘^{C} 3$. Введем также следующие обозначения: если T – произвольный угол, то T обозначает T 60 q, а T обозначает T 120 q. Так что, например, все три внутренних угла равностороннего треугольника (равные 60q ) можно обозначить 0. Зафиксируем углы, как показано на рисунке 5. (Можете проверить, что сумма углов в каждом треугольнике равна 180q .) Чтобы теперь зафиксировать размер каждого треугольника, примыкающего к равностороннему, сделаем длину одной из сторон такой, как у равностороннего треугольника. Эти стороны показаны на рисунке красным цветом. Далее, зафиксируем размеры трех тупоугольных треугольников; я покажу, как это сделать для самого правого из них, и вы сможете применить подобный метод к двум другим. Через вершину тупого угла проведем две прямые, пересекающие самую длинную сторону треугольника под углом E (что близко к перпендикулярности), и зафиксируем размер треугольника так, чтобы отрезки от вершины до этой стороны имели такую же длину, как сторона равностороннего треугольника $(рис.^{6).}$ Определив таким образом размеры всех треугольников, я теперь утверждаю, что два закрашенных треугольника (рис. 7) равны – один является зеркальным отражением другого. Как можно видеть, это действительно так, поскольку у них два равных угла ( D и E ) и равная сторона (на рисунке красная, равная стороне правильного треугольника). Поэтому смежные стороны этих двух треугольников равны по длине. Применив такое рассуждение шесть раз, мы получим, что все смежные стороны на рисунке равны друг другу, и тем самым установим, что шесть треугольников точно прилегают к моему равностороннему треугольнику, если только сумма углов при каждой внутренней вершине $равна^{360}$ гра-

Рис. 7

11

АЛЬБЕДО

И

ПАРНИКОВЫЙ

Истинное альбедо, или ламбертово альбедо, совпадающее с коэффициентом диффузного отражения, – это отношение потока, рассеянного плоским элементом поверхности во всех направлениях, к падающему на него потоку. Если поверхность освещается и наблюдается вертикально, то такое истинное альбедо называют нормальным. Нормальное альбедо чистого снега составляет около 1,0, а древесного угля – около 0,04. Значение альбедо зависит от спектра падающего излучения и от свойств поверхности. Поэтому отдельно измеряют альбедо для разных спектральных диапазонов (оптическое, ультрафиолетовое, инфракрасное), поддиапазонов (визуальное, фотографическое) и даже для отдельных длин волн (монохроматическое альбедо). В астрономии часто используют геометрическое, или плоское, альбедо – отношение освещенности у Земли, создаваемой планетой в полной фазе, к освещенности, которую создал бы плоский абсолютно белый экран того же

ЭФФЕКТ

размера, что и планета, отнесенный на ее место и расположенный перпендикулярно лучу зрения и солнечным лучам. Визуальное геометрическое альбедо Луны 0,12, Земли 0,367. В принципе, геометрическое альбедо может быть больше единицы (частично зеркальное отражение). Например, геометрическое альбедо Энцелада (спутник Сатурна) составляет 1,38. Для расчета энергетического баланса планет используется сферическое альбедо, или альбедо Бонда, введенное в 1861 году американским астрономом Дж. Бондом (1825–1865). Это отношение отраженного всей планетой потока излучения к падающему на нее потоку. Бондовское альбедо Земли 0,306, у лишенной атмосферы Луны оно 0,067, у Марса 0,25, у покрытой облаками Венеры 0,77, а у покрытого снегом Энцелада 0,99.

В самом деле, Венера ближе всех к Солнцу, но и альбедо по Бонду у нее самое большое (77%), поэтому она поглощает сравнительно мало тепла. Земля находит-

Альбедо – доля солнечного света, отраженная поверхностью. Показан диапазон значений альбедо типичных поверхностей на Земле, а также альбедо Бонда некоторых космических тел

14

КВАНТ 2023/№1

спектра планеты два «горба»: часть звездного света она отражает в оптическом диапазоне, а другую часть поглощает и переизлучает в инфракрасном диапазоне. Относительная площадь под этими двумя горбами как раз и определяется степенью отражения света, т.е. альбедо. Посмотрим на две ближайшие к нам планеты – Меркурий и Венеру. На первый взгляд, ситуация парадоксальная. Венера отражает почти 80% солнечного света и лишь около 20% поглощает, а Меркурий почти ничего не отражает, а все поглощает. К тому же Венера дальше от Солнца, чем

Меркурий; на единицу ее облачной поверхности падает в 3,4 раза меньше солнечного света. С учетом разницы в альбедо каждый квадратный метр твердой поверхности Меркурия получает почти в 16 раз больше солнечного тепла, чем такой же участок на Венере. И тем не менее, на всей твердой поверхности Венеры адские условия – огромная температура (олово и свинец плавятся!), а Меркурий прохладнее. На полюсах там антарктический холод, а на экваторе средняя температура 67 q С. Конечно, днем поверхность Меркурия нагревается до 430 q С, а ночью остывает до

Спектры отраженного атмосферой и поглощенного земной поверхностью солнечного излучения и вклад отдельных компонентов атмосферы в поглощение

15

АЛЬБЕ Д О

И

ПАРНИКОВЫЙ

170 q С. Но уже на глубине 1,5–2 метров суточные колебания сглаживаются, и мы можем говорить о средней температуре поверхности 67 q С. Жарковато, конечно, но жить можно. А в средних широтах Меркурия вообще комнатная температура. В чем же дело? Почему близкий к Солнцу и охотно поглощающий его лучи Меркурий нагрет до комнатной температуры, а Венера, более далекая от Солнца и активно отражающая его лучи, раскалена как печь? Как объяснит это физика? Оказывается, все дело в парниковом эффекте. Рассмотрим его на примере Земли. Атмосфера Земли почти прозрачна: она пропускает 80% приходящего солнечного света. «Убежать» в космос в результате конвекции воздух не может – планета не отпускает его. Значит, охлаждаться она может только в виде инфракрасного излучения. А если ИК-излучение остается запертым, то оно нагревает те слои атмосферы, которые его не выпускают. Эти слои сами становятся источником тепла и частично направляют его обратно к поверхности. Некоторая часть излучения уходит в космос, но основная его доля возвращается к поверхности Земли и греет ее до тех пор, пока не установится термодинамическое равновесие. А как оно устанавливается?

Несмотря на относительную удаленность от Солнца (указана в астрономических единицах) и высокое альбедо, температура поверхности Венеры в результате парникового эффекта значительно выше средней температуры поверхности Меркурия

ЭФФЕКТ

Садовый парник прозрачен для солнечного света, но с трудом выпускает инфракрасное излучение

Температура растет, и максимум в спектре смещается (закон Вина) до тех пор, пока не найдет в атмосфере «окно прозрачности», сквозь которое ИК-лучи уйдут в космос. Баланс тепловых потоков устанавливается, но при более высокой температуре, чем могло бы быть при отсутствии атмосферы. Это и есть парниковый эффект. В своей жизни мы довольно часто сталкиваемся с парниковым эффектом. И не только в виде садового парника или толстой шубы, которую надевают в морозный день, чтобы согреться (хотя сама шуба не выделяет, а лишь удерживает тепло). Как раз эти примеры не демонстрируют чистый парниковый эффект, поскольку в них уменьшается как лучистый, так и конвективный отвод тепла. Гораздо ближе к описанному эффекту пример ясной морозной ночи. При сухом воздухе и безоблачном небе (например, в пустыне) после захода солнца земля быстро остывает, а влажный воздух и облака сглаживают суточные колебания температуры. К сожалению, этот эффект хорошо знаком астрономам: ясные звездные ночи бывают особенно холодными, что делает работу у телескопа весьма некомфортной. Именно пары воды в атмосфере служат главным препятствием для уносящего тепло ИКизлучения. У Луны нет атмосферы, а значит, нет и парникового эффекта. На ее поверхности

16

КВАНТ 2023/№1

Потоки тепла у Земли. Указаны средние потоки лучистого тепла на единицу поверхности термодинамическое равновесие устанавливается в явном виде, никакого обмена излучением между атмосферой и твердой поверхностью нет. То же и у Меркурия. У Марса атмосфера разреженная, но всетаки ее парниковый эффект добавляет свои 8 q С. А Земле он добавляет почти 40 q С. Если бы у нашей планеты не было такой плотной атмосферы, температура Земли была бы $на^{40} q^{С} ниже.^{Сегодня}$ она составляет по всему земному шару в среднем $15 q^{С}$, а было бы $25 q^{С}$. Все океаны замерзли бы, поверхность Земли от снега стала бы белой, альбедо повысилось бы, и температура упала бы еще ниже. В общем – страшное дело! Хорошо, что парниковый эффект в нашей атмосфере работает и греет нас. Но гораздо сильнее он работает на Венере – более чем $на^{500} q$ С

Влияние парникового эффекта на среднюю температуру планеты поднимает среднюю венерианскую температуру. Жарковато. Но надо бы проверить, есть ли там жизнь. А вдруг?!

Задачи по математике и физике

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: math@kvant.ras.ru и phys@kvant.ras.ru соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам.

Задачи М2730–М2733, Ф2737–Ф2740 M2730. На каждой клетке доски 3 u 6 лежит по одной монетке. Известно, что какие-то две монетки, лежащие на соседних по стороне клетках, фальшивые, т.е. весят поровну, но легче настоящих, а остальные – настоящие. Как найти обе фальшивые монеты за три взвешивания на двухчашечных рычажных весах без гирь? К.Кноп

M2731. В ряд написаны 2023 натуральных числа. Первое число равно 12, а каждое число, начиная с третьего, либо равно произведению двух предыдущих чисел, либо равно предыдущему числу, увеличенному на 4. Какое наибольшее количество точных квадратов может быть среди данных 2023 чисел? По мотивам Британской математической олимпиады

M2732. Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. Отложим на лучах AC и BC, соответственно, отрезки $AC_{a}$ и $BC_{b}$, равные по длине AB (рис. 1). Пусть $O_{c}$ – центр окружности $( CC_{a} C_{b} ).$ Аналогично определим точки $O_{a}$ и $O_{b}$. Докажите, что точка O является ортоцентром треугольника $O_{a} O_{b} O_{c}$. А.Заславский

M2733. Дан выпуклый 51-угольник. Для каждой его вершины и каждой диагонали, не содержащей эту вершину, отметим крас-

Рис. 1

ным точку, симметричную вершине относительно середины диагонали. Докажите, что строго внутри многоугольника лежит не более 20400 красных точек. П.Кожевников

Ф2737. Имеется поджатая пружина – такая пружина начинает изменять свою длину только при некотором пороговом значении растягивающей силы. Пружину подвешивают вертикально. Ее длина при двух различных массах подвешиваемых грузов M 1 и M 2 равна L 1 и L 2 соответственно. При этом все витки пружины уже разжаты. Длина ненагруженной пружины L 0 меньше L 1 и L 2, масса пружины равна m. Определите коэффициент упругости пружины, величину силы поджатия и зависимость длины пружины от величины растя-

24

k 3

КВАН T 2023/№1

2mhж ’ $x^{2}$

2 ˜ 0,02 ˜ 4 ˜ 3,4 Нм | 0,00138

| 400 Н м.

Теперь для каждой резинки рассчитаем, на какую высоту она взлетит, если ее растянуть на ’ x 7 см:

h 1

$k_{1}$ ’ $x^{2} 2$ mж

100 ˜ $0,07^{2}$ м | 3,6 м, 2 ˜ 0,02 ˜ 3,4 h 2

$k_{2}$ ’ $x^{2} 2$ mж

250 ˜ $0,07^{2}$ м | 9 м, 2 ˜ 0,02 ˜ 3,4 h 3

$k_{3}$ ’ $x^{2} 2$ mж

400 ˜ $0,07^{2}$ м | 14,4 м. 2 ˜ 0,02 ˜ 3,4

А.Иванов

Ф2722. В сосуде при температуре 0 q С находятся жидкая вода и ее пар. Оцените количество ударов, которые за одну секунду испытывает одна молекула, находящаяся на поверхности воды, со стороны молекул, входящих в состав пара. Давление насыщенного пара при этой температуре равно 611 Па.

Зная объем, занимаемый одним молем воды: V 18 ˜ $10^{6} м^{3}$, и количество молекул в одном моле вещества: $N N_{A} 6$ ˜ $10^{23}$, можно найти характерный объем молекулы воды: $D^{3} V N$ и ее размер: D | 3 ˜ $10^{10}$ м. Площадь на поверхности воды, которая приходится на одну молекулу, равна примерно $10^{19} м^{2}$. Среднюю скорость поступательного движения молекул воды v в состоянии пара найдем из соотношения $0 v^{2} 2 3 RT 2$. Отсюда v 615 м с. Ударившись о поверхность воды, молекула пара в большинстве случаев отскакивает от этой поверхности примерно c такой же скоростью. Следовательно, удар молекул одного моля воды о поверхность приводит к передаче этой поверхности максимального по величине импульса 2 0 v | 22 Н ˜ с моль. Поскольку давление насыщенного пара равно 611 Па, то это означает, что на площадь в $1 м^{2}$ в 1 секунду приходится удар 611 22 | 27,6

молей молекул. Умножив эту величину на число Авогадро и на площадь, занимаемую одной молекулой на поверхности жидкой воды, получим, что за одну секунду эта молекула испытывает 1,65 млн ударов. Это значение получено в предположении, что каждый удар при величине скорости молекулы 615 м с сопровождается передачей поверхности максимального импульса. Если учесть, что угол, который составляет скорость падающей молекулы с поверхностью, может принимать значения от 0 до 90 градусов, то количество ударов должно быть больше. Значит, в качестве оценки можно выбрать примерно вдвое большую величину. Это означает, что число ударов об одну молекулу, находящуюся на поверхности раздела «конденсированное вещество – пар», составляет величину порядка 3 ˜ $10^{6}$ в секунду. С.Ударов

Ф2723. С одним килограммом воды $( H_{2} O )$ провели процесс, который состоит из двух участков. На первом участке при постоянном давлении $p 10^{5}$ Па температура поднялась от 0 q C до 200 q C. На втором участке при постоянной температуре давление уменьшилось до $10^{3}$ Па. Каково изменение внутренней энергии воды в этом процессе? Какую работу совершила вода, действуя на внешние тела на каждом из этих участков?

Если считать, что теплоемкость воды в жидком состоянии примерно постоянна и равна 4200 Дж к㠘 К, то для нагрева воды от 0 q C до 100 q C потребовалось 0,42 МДж энергии. Поскольку изменение объема воды составило всего 4%, так как плотность воды при 100 q C равна 960 кг $м^{3}$, то на этом участке была совершена работа $10^{5}$ ˜ 0,04 ˜ $10^{3}$ Дж | 4 Дж. А вся остальная энергия пошла на изменение внутренней энергии воды, что составило | 0,42 МДж. Затем произошло испарение воды, для чего потребовались еще 2,3 МДж энергии. При этом была совершена работа против сил внешнего давления, равная 1000 18 RT Дж 0,172 МДж, а на изменение внутренней энергии пошло 2,3 0,172 МДж 2,128 МДж. Потом вода

33

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

Сто замков и сто ключей

С.ДОРИЧЕНКО

Сэру Майкрофту Холмсу Прошу прощения за это тревожное письмо, но Шерлок Холмс сейчас в ужасном состоянии. Отсутствие дел, способных занять его ум, крайне пагубно сказалось на его здоровье. Моему другу совершенно необходима сложная задача. Если преступный мир уже не способен отвечать на такие вызовы, то, быть может, спасительной станет какая-то логическая загадка, достойная этого великого ума? С надеждой, Доктор Ватсон

Доктору Джону Ватсону Я бесконечно благодарен Вам за заботу о моем брате. Сейчас я как раз занят одной математической задачей и пока не смог ее решить. Она не вполне криминалистическая, но вызов тут бросает сам Мориарти. Быть может, это заинтересует Шерлока? Условие прилагаю. Искренне Ваш, Майкрофт Холмс

---

– Итак, Ватсон, имеются 100 одинаковых с виду замков и 100 ключей от них, сваленные в кучу? – Да, причем к каждому замку подходит ровно один ключ. И требуется выяснить, какой замок каким ключом открывается. – Что ж, занятие малоприятное, но, имея запас времени и некоторое терпение, сделать это нетрудно. Выложим замки в ряд и начнем проверять ключи… – Но в худшем случае это 10000 проверок! Даже если тратить на одну проверку секунды четыре, это 40 тысяч секунд – больше 11 часов! – Сразу видно, мой друг, что вас неважно учили математике. Вы что же, собираетесь вставлять каждый ключ в каждый замок? – Разумеется, ведь может все время не везти.

ШКОЛЬНИКОВ

– Но первый ключ достаточно вставить 99 раз: если он так и не подошел, то он от последнего замка. – Пожалуй. Значит, всего 9900 проверок? – Снова мимо. Мы отбросим найденную пару «ключ-замок», и для второго ключа хватит 98 проверок. – И правда. А третий ключ придется проверять не больше 97 раз и так далее. Получается жуткая сумма: 99 98 … 2 1 0. Странно, сотый ключ у меня требует 0 проверок? – Конечно, его замок определится автоматически. – А чему же равна эта сумма? – По легенде, маленький Гаусс вычислил ее почти мгновенно с помощью небольшой хитрости. Он взял две такие суммы и разбил слагаемые на 100 пар 99 0, 98 1, 97 2, …, 0 99, каждая пара дает 99. Значит, исходная сумма равна $50 ˜^{99}$, это 4950 проверок. По четыре секунды на проверку – ровно пять с половиной часов. А теперь оставьте меня – право, эти пустяки лишь ухудшают мое состояние. – Но Холмс, в своем дневнике Мориарти утверждает, будто нашел способ распределить ключи быстрее, чем за 4950 проверок, причем с гарантией! Правда, излагать он его не стал – мол, способ столь сложен, что в дневнике просто не хватит места… – Ох уж эта его страсть к дешевым эффектам. Быстрее, чем за 4950 проверок? Холмс погрузился в долгое молчание. Невероятно, но спустя какое-то время лицо его начало оживать, а в глазах появился знакомый блеск. – Очень занятно, Ватсон. Мориарти был профессором математики, но, похоже, тут он ошибся. И я это докажу! – Докажете? Как же это можно доказать? Вдруг у него был хитроумный, никому не известный способ… – Ватсон, а вы хорошо знакомы с математическими доказательствами? Дайте-ка я вас проверю. Согласны ли вы с тем, что сначала надо найти хоть одну подходящую пару «замок-ключ»? – Эээ… пожалуй, да, так как совершенно не видно, как тут еще можно действо-

34

КВАН T 2023/№1

вать. Постойте… Но тогда все ясно! Первую пару при полном невезении не найти быстрее, чем за 99 проверок, вторую – за 98, … И вот она, наша сумма, это минимум! – Сразу попались. Почему нельзя вставлять разные ключи в разные замки, сделать много таких проверок, а потом вдруг понять сразу про несколько ключей и замков, что к чему подходит? – Это кажется неправдоподобным… – Гарантируете, что точно не выйдет? – Право, не знаю. – Тогда у вас еще нет доказательства. – Как же быть? – Попробуем рассуждать по порядку. Интуиция подсказывает мне, что алгоритма, гарантирующего успех быстрее, чем за 4950 попыток, не существует. А этот дьявол Мориарти утверждает, что алгоритм есть. Что ж, допустим, профессор прав. И загоним его в ловушку – мысленно, разумеется. – Но ведь для этого надо предложить ему, пусть даже мысленно, набор ключей и замков, да так, чтобы он не справился? – Именно этим мы и займемся. Представьте, мы выдали ему замки и ключи. Профессор берет какой-то ключ и вставля-

ет в какой-то замок… Если он угадал, мы тут же меняем внутренность этого замка с каким-то другим так, чтобы ключ не подошел. – Мы джентльмены, а не шулеры, и не станем… – Ватсон, мы лишь проверяем, что алгоритм работает во всех случаях. Поэтому такая подмена вполне законна – замки ведь неразличимы, и профессору мог попасться замок с другой внутренностью. – А дальше? – Он проверяет какую-то следующую пару «ключ-замок». А мы снова, если нужно, меняем внутренности замков между собой так, чтобы и этот ключ не подошел – лишь бы все предыдущие проверки не изменили результата… – Но ведь так нельзя делать до бесконечности, в какой-то момент очередной ключ уже точно подойдет. – Вы правы. Но постойте! А зачем тогда этот ключ проверять? – Простите, Холмс, я не понял. – Мориарти же не дурак. У него есть записи всех совершенных им проверок. Пока ни один ключ ни разу не подошел. И вот он вставляет ключ Х в замок Y, и – о ужас – мы не можем ничего поменять

35

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

местами, не испортив предыдущих результатов, чтобы ключ не подошел. Но тогда это поймет и сам Мориарти! – Но как, Холмс? – Он может мысленно перебрать все возможные соответствия замков и ключей. И раз нет соответствия, сохраняющего результаты предыдущих проверок, при котором ключ X и замок Y не подходят друг к другу, он это обнаружит. – А почему такого соответствия нет? – Иначе мы бы его нашли и сделали бы результат очередной проверки отрицательным. – Немного мудрено… – Зря сомневаетесь, Ватсон. Но если хотите – мы тогда просто подскажем профессору по-джентльменски, что он угадал и эту проверку может не делать. – Но зачем, Холмс? – Я чувствую, что это важно для доказательства! Ведь теперь мы вправе считать, что алгоритм профессора таков: он делает много проверок, результаты всегда отрицательны, и в какой-то момент вдруг понимает про все ключи, какой от какого замка! – Про все ключи? – Ну да. Может, сначала про какой-то один ключ или несколько сразу. Когда про какие-то ключи ему становится все ясно, он их не проверяет, а действует далее по своему алгоритму, делая лишь те проверки, которые могут дать отрицательный результат. А мы будем этот отрицательный результат обеспечивать. Пока он не поймет все про все ключи. – А потом? – Ваши предложения, мой друг? – Ни малейших идей. – Похоже, мы движемся с вами в одном направлении… Тогда у меня просьба – разработайте пока для профессора удобный и компактный способ записи результатов его проверок, а я еще немного подумаю. Холмс откинулся на спинку кресла и затянулся трубкой. Прошло около получаса, как вдруг… – Эврика! Ватсон, мне все ясно. А как дела у вас? – Как врач, регулярно делающий записи

ШКОЛЬНИКОВ

о состоянии своих больных, я подумал было, что можно заносить подряд все проверки в книгу. Но если экономить место, лучше, пожалуй, занумеровать ключи и замки и нарисовать большую $таблицу,^{100} u^{100}$ клеток. А при проверке, скажем, пары «6-й ключ, 75-й замок», ставить в 6-й строке на 75-м месте плюс, если ключ подошел, и минус – если не подошел. – Браво, Ватсон. Этот способ крайне удобен. Только напомню, что Мориарти все время ставит минусы. Он поставит их меньше, чем 4950 штук, и внезапно все поймет, верно? – Да, по окончании работы алгоритма он просто расставит все плюсы. Шерлок Холмс поморщился. – Эти плюсы, они же могут образовать довольно хаотическую картину… Ничего, мы ее сейчас упорядочим. Ведь эти 100 плюсов расположены по одному в каждом столбце и в каждой строке. Но заметьте, Ватсон – в нашей таблице можно переставлять строки и столбцы, и ничего не испортится – если соответственно переставлять ключи и замки, не так ли? – Пожалуй, да. – Тогда отыщем плюс в первом столбце и переставим строку с этим плюсом на самый верх, затем найдем плюс во втором столбце и поставим строку с этим плюсом прямо под первой строкой и так далее. – Вы хотите, чтобы плюсы аккуратно выстроились по диагонали? – Да. Это не обязательно, но так решение будет особенно наглядным. Итак, в таблицу ставят меньше 4950 минусов, после чего плюсы однозначно выстраиваются по диагонали, никаких других вариантов. Но что такое 4950? Сколько всего клеток в таблице? – Таблица у нас 100 u 100, всего 10000 клеток. – А сколько клеток на диагонали? – Разумеется, 100. – Значит, остается 9900 клеток для минусов, которых меньше 4950 – меньше половины от числа оставшихся клеток! – К чему вы клоните, Холмс? – Надо разбить клетки на пары симметричных относительно диагонали! Вот, я

41

КОНКУРС

ИМЕНИ

Доказательство полностью аналогично доказательству утверждения 2, и мы предлагаем читателям провести его самостоятельно или прочитать, например, в статье [3]. Также предлагаем самостоятельно разобраться со случаем, когда начальная скорость частиц больше второй космической. Авторы благодарны членам редколлегии «Кванта» за замечания, позволившие улучшить первоначальную версию статьи.

А.П.САВИНА

Литература

1. А.А.Заславский, А.В.Акопян. Геометрические свойства кривых второго порядка (2-е изд., дополн.). – М.: МЦНМО, 2011. 2. D.L.Goodstein, I.R.Goodstein. Feynman’s Lost Lecture: The Motion of Planets Around the Sun. – Norton, 1996. 3. Бутиков Е.И. Огибающая семейства эллиптических орбит и баллистических траекторий. – Компьютерные инструменты в образовании, №3, с. 50–65, 2016.

КОНКУРС ИМЕНИ А.П.САВИНА

Мы продолжаем конкурс по решению математических задач. Задания рассчитаны в основном на учащихся начиная с 8–9 классов, а более младшим школьникам советуем попробовать свои силы в конкурсе журнала «Квантик» (см. сайт kvantik.com). Высылайте решения задач, с которыми справитесь, электронной почтой по адресу: savin.contest@gmail.com. Кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором вы учитесь. Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в таком случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы. Задания, решения и результаты публикуются на сайте sites.google.com/view/savin-contest Желаем успеха!

17. Квантик написал на каждой грани куба целое число (все шесть чисел различны). Потом в каждой вершине он написал сумму чисел на трех содержащих эту вершину гранях. Ноутик выписал полученные восемь сумм в ряд по возрастанию. Могло ли получиться так, что все разности между соседними числами в этом ряду одинаковы? С.Полозков

18. На острове в разных местах есть пристань, крепость и деревня. Расстояние по прямой от пристани до крепости равно 3 км, от крепости до деревни – тоже 3 км. Петя получил достоверные сведения, что на острове зарыт клад. Известны расстояния по прямой до клада от пристани, крепости и деревни. Петя нашел такое место, но не обнаружил ни клада, ни следов предыдущих раскопок. Сколько километров от пристани до деревни? Б.Френкин

19. Равносторонний треугольник со стороной n разделили отрезками на равносторонние треугольники со стороной 1. Пусть X n – общее количество получившихся треугольников. $Например,^{X} 2 5$ (один треугольник со стороной 2 и четыре со стороной 1), а $X_{4}^{27}$ (см. рисунок). Найдите: а) X 10; б) общую формулу для X n. Е.Бакаев

20. На все черные клетки шахматной доски поставлены короли. Каждым ходом один из них сдвигается на свободную по стороне или диагонали клетку. За какое наименьшее суммарное число ходов все короли могут снова оказаться на черных клетках и при этом ни один король не попадет в клетку, на которой стоял изначально? И.Акулич

ИНФОРМАЦИЯ

ЗАОЧНАЯ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКАЯ ШКОЛА МФТИ

Заочная физико-техническая школа (ЗФТШ) Московского физико-технического института (национального исследовательского университета) (МФТИ) проводит набор учащихся 7–10 классов общеобразовательных учреждений (школ, лицеев, гимназий и т. п.) для обучения в 8–11 классах на 2023 24 учебный год. ЗФТШ работает в сфере профильного дополнительного образования детей с 1966 года. Задания составляют опытные преподаватели кафедр общей физики, высшей математики, департамента химии и лаборатории геномной инженерии МФТИ, а также другие специалисты, имеющие большой опыт работы с одаренными школьниками. Обучение в ЗФТШ ведется по физике, математике, информатике, химии и биологии (шесть заданий в год по каждому предмету). Полная программа рассчитана на 4 года – с 8-го по 11-й классы включительно, но начать обучение можно с любого из указанных классов. В ЗФТШ работают три отделения: заочное, очное и очно-заочное. Обучение на всех отделениях ведется по единым программам естественнонаучного профиля. Учащиеся по окончании 11 класса получают свидетельство. Также выпускники могут добавить дополнительные баллы при поступлении в МФТИ (подробная информация имеется на сайте Приемной комиссии МФТИ https: pk.mipt.ru в разделе «Перечень засчитываемых олимпиад»). Для учащихся и руководителей факультативных групп работает online-лекторий по программам ЗФТШ. Лекции читают преподаватели МФТИ. Вступительные испытания на все отделения пройдут с 1 марта по 31 мая 2023 года в формате онлайн-олимпиады на сайте https: zftsh.online (при регистрации необходимо прикрепить справку из школы). Поступать можно для обучения одному или нескольким предметам. На выполнение каждого вступительного задания дается 4 часа. Решение приемной комиссии будет известно после 5 июня 2023 года. Обучение для школьников, проживающих в Российской Федерации, в рамках плана приема бесплатное. Для школьников, проживающих за пределами РФ или не прошедших по конкурсу, возможно только платное обучение. ОЧНОЕ ОТДЕЛЕНИЕ (заочное обучение с посещением очных консультаций) Телефон: (925) 755-55-80 Группа ВК: https: vk.com vftsh Для учащихся Москвы и Московской области по программе ЗФТШ работают вечерние консультационные пункты. Занятия с учащимися проводятся в учебных корпусах МФТИ в городах Долгопрудный и Жуковский Московской области, а также в школе

№ 2107 города Москвы. Ведут занятия студенты, аспиранты и выпускники МФТИ. Выбирая это отделение, учащийся должен объективно оценить свои возможности один раз в неделю посещать очные занятия продолжительностью 1 ч. 30 мин. в 8-10 классах и 2 ч. 15 мин. в 11 классе по каждому предмету.

ОЧНО-ЗАОЧНОЕ ОТДЕЛЕНИЕ (обучение в факультативных группах) Телефон: (498) 744-63-51 Факультативные группы могут быть организованы в любом общеобразовательном учреждении по одному или нескольким предметам. Группы формируют учителя на основании списков школьников, успешно справившихся со вступительной олимпиадой ЗФТШ. Занятия проходят на базе общеобразовательных учебных заведений под руководством учителей. Выбирая это отделение, учащемуся следует сначала уточнить у своих школьных учителей, работает ли в данном учебном заведении факультатив ЗФТШ по интересующим его предметам. Если такого факультатива нет и не планируется его организация, то поступление в ЗФТШ возможно только на заочное отделение. Обучение в ЗФТШ для государственных общеобразовательных учебных учреждений бесплатное. Для учащихся, проживающих за пределами Российской Федерации, возможно только платное обучение.

ЗАОЧНОЕ ОТДЕЛЕНИЕ (индивидуальное заочное обучение) Телефон:(495) 408-51-45 Это отделение для тех школьников, у кого нет возможности посещать очные занятия в городах Долгопрудном или Жуковском Московской области или в школе № 2107 города Москвы, и для тех, в чьих школах нет факультативных групп, работающих по программам ЗФТШ. Обучение ведется индивидуально. Учащиеся заочного отделения самостоятельно изучают теоретическую часть каждого задания, выполняют на платформе zftsh.online тесты и задачи и в установленные сроки отправляют все, что удалось решить, на проверку. За каждым учеником закрепляется преподаватель (студент, аспирант или выпускник МФТИ), осуществляющий проверку и рецензирование работ учащихся. После проверки учащимся становятся доступны авторские решения. Контакты Телефоны: (495) 408-51-45 – заочное отделение (925) 755-55-80 – очное отделение (498) 744-63-51 – очно-заочное отделение E-mail: edu@zftsh.online Web: https: zftsh.online Очное отделение при ФАЛТ МФТИ в Жуковском – E-mail: vftsh@mail.ru ВК: https: vk.com vftshfalt Ждем вас в ЗФТШ!

44

К В А НT 2023/№1

откуда

T T C

1 2 R 2 r

$1. 2 D^{1} 2$

Здесь D – угол, под которым диаметр Солнца виден с расстояния r. Вполне понятно, что с приближением к Солнцу равновесная температура частицы T растет. Но – опять открытие: эта температура не зависит от размеров тела! И еще: для ее определения не обязательно знать кон-

Эволюция параметров частицы, отнесенных к их характерным значениям: индекс 0 – начальные условия; $T^{C}$ и $v^{C}$ – температура «поверхности» Солнца и вторая космическая скорость для Солнца; ПП – участок плавления материала частицы K – начало кипения материала частицы; * – точка поворота частицы. Штриховые участки кривых соответствуют случаю гипотетического массивного тела, способного долететь до поверхности Солнца. Обратная стрелка на кривой температуры – начало возврата частицы

станту V. И еще: уравнение энергетического равновесия (5) предполагает, что излучение с поверхности частицы изотропно, т.е. одинаково во всех направлениях. Поэтому его суммарный вектор потока импульса равен нулю и не вошел в уравнение (1). Однако, температура частицы, постепенно повышаясь с приближением к Солнцу, может достичь температуры плавления $T_{пл}$ (участок ПП на рисунке). Масса частицы начинает заметно уменьшаться за счет испарения атомов с ее поверхности (кривая m r ). По окончании плавления температура образовавшейся капли растет, и если она достигнет точки кипения $T_{к}$ (точка K), масса капли резко упадает за счет испарения. Но если частице повезет и она не закипит, то до ее окончательного исчезновения силы гравитации и светового давления успеют сравняться, капля начнет удаляться от Солнца, проходя участки охлаждения, отвердевания и вновь охлаждения до первоначального значения $T_{0}$ на орбите Плутона. Качественно картина изменения всех трех физических величин представлена на рисунке. Это обычный путь научного поиска – попытаться предвидеть результат до начала вычислений. Но теперь ясно, что в уравнении (1) в общем случае должна быть записана функция $a t^{\sim} m^{1} 3 t$ – переменный радиус частицы; локальное значение температуры – кусочно-непрерывная функция; отрезок траектории, на котором ее значение постоянно, зависит от скорости плавления. Таким образом, эволюция всех трех характеристик движения капли a, r, T должна описываться системой уравнений, вообще говоря (как выражаются математики), нелинейной и нестационарной. Конечно, выписывать и решать такие системы уравнений – слишком утомительно для научно-популярного чтения. Однако, почему бы не сделать несколько оценок масштабов явления. Например, плотность потока энергии с поверхности Солнца равна q

$V T_{C}^{4}$

5,67 ˜ $10^{8}$ Дж $м^{2}$ ˜ с ˜ $К^{4}$ ˜ $5800^{4} К^{4} |$

| 6 ˜ $10^{7}$ Дж $м^{2}$ ˜ с.