Квант 2023, №3 · Страницы

6

КВАНТ 2023/№3

было дано Э.Лоуренсом некоторое время спустя. Изотоп этого трансуранового элемент испытывает бета-распад с коротким временем жизни (периодом полураспада) около 3 суток. Он превращается в изотоп следующего, 94-го элемента в реакции радиоактивного превращения

$238 238 0_{93} Np o_{94} Pu o_{1} E$.

Эрнест Орландо Лоуренс кую лабораторию и оставался на этом посту до конца жизни (до 1958 г.). В августе 1958 года лаборатория стала носить имя Лоуренса, сокращенно ее называют LBL, и получила статус Национальной лаборатории США. В Берклиевской национальной лаборатории имени Э.Лоуренса сосредоточены прорывные работы по физике, астрономии, химии и биологии, так или иначе связанные с атомной и ядерной физикой. Среди сотрудников лаборатории (по данным на 2022 год) 16 нобелевских лауреатов. Девиз лаборатории – «Привнесение научных решений в мир». В создании атомной бомбы на первый план быстро вышли работы по получению сверхчистого изотопа урана-235, способного к эффективной реакции деления и получению второго делящегося элемента – трансуранового, как назвал его Лоуренс. На ускорителе разгонялись дейтроны, а мишенью были ядра изотопа урана-238. В ядерной реакции

$238 2 238 1_{92} U o_{1} H o_{93} Np 2_{0} n$

получается ядро атома нового элемента с числом протонов 93. Имя «нептуний» ему

Трансурановый элемент №94 и представлял главный интерес для создания атомной бомбы. Лоуренс впоследствии назвал его плутонием, завершая «планетный» ряд названий. Он, правда, не мог знать, что вскоре астрономы лишат Плутон звания планеты и переведут в группу планеткарликов. Быстро выяснилось, что 3 из 20 изотопов плутония обладают свойствами при попадании нейтрона испытывать деление с выделением большого количества энергии. Один из них, плутоний-239, оказался самым подходящим для использования в бомбе. Его сейчас называют «оружейным плутонием». Этот изотоп получается не в ускорителях, а в цикле ядерных реакций

$238 1 239 239 239 0_{92} U_{0} n o_{92} U,_{92} U o_{93} Np_{1} E$,

$239 239 0_{93} Np o_{94} Pu_{1} E$.

Большое количество медленных нейтронов, необходимых для первой реакции этого цикла, можно получить за счет реакции деления урана-235. Получением плутония стал заниматься Э.Ферми. Под его руководством в Металлургической лаборатории в Чикаго был сооружен первый в мире графитовый ядерный реактор. Работы по его созданию развернулись в декабре 1941 года, а уже через год реактор был запущен и стал вырабатывать первые ощутимые граммы плутония. А еще через три года в СССР физики вновь проделали весь этот путь – от получения первых атомов трансурановых элементов нептуния и плутония до промышленных реакторов, ставших фабриками оружейного плутония и мирными атомными электростанциями.

8

КВАНТ 2023/№3

Комиссии по атомной энергии США. Вместе с сотрудниками Берклиевской лаборатории Сиборг идентифицировал более 100 изотопов четырнадцати трансурановых элементов, разработав тончайшие методы изучения свойств этих изотопов. Он стал нобелевским лауреатом по химии 1951 года (вместе с Эдвином Макмилланом). И поэтому заслуженно элементу №106 было присвоено имя сиборгий (впервые при жизни ученого-открывателя). Получение новых элементов начиналось с атомов плутония, бомбардируемых альфа-частицами, разогнанными в циклотронах. Так был получен элемент №95 (америций). Его бомбардировка альфа-частицами дала следующий элемент – №96 (кюрий). Затем были синтезированы берклий (№97) и калифорний (№98). Эти 4 элемента нашли широкое применение и в научных исследованиях, и в самых различных областях (от военного дела до медицины). Сегодня их получают в реакциях с нейтронами на специально сооруженных для этой цели ядерных реакторах. При длительной работе реакторов потоки нейтронов постепенно, один за другим превращают плутоний в америций, америций – в кюрий, кюрий – в берклий, берклий – в калифорний. Главная трудность и огромный объем работ связаны с извлечением новых элементов из их смеси с продуктами деления урана в отработанном ядерном топливе реактора. Понятно, что себестоимость новых изотопов очень высокая. Так, например, один грамм калифорния стоит 60 миллионов долларов. Это – самый дорогой металл в мире. Для сравнения – грамм золота (в зависимости от конъюнктуры) имеет цену 40–50 долларов. Следующие элементы, №99 (эйнштейний), №100 (фермий), №101 (менделевий), №102 (нобелий) и №103 (лоуренсий), характерны тем, что у них нет долгоживущих изотопов. Максимальные периоды полураспада не превышают нескольких часов, а большинство изотопов имеют миллисекундные периоды полураспада. Это сильно затруднило изучение химических свойств изотопов и их спектров. По

Георгий Николаевич Флёров этим причинам их главное применение – это использование для синтеза последующих трансурановых элементов. Интересно, что эйнштейний и фермий были обнаружены впервые в осадках после испытания первого американского устройства прообраза водородной бомбы в 1952 году на атолле Эниветок в Тихом океане. И только через 10 лет ничтожное количество эйнштейния было получено на синхротроне в Беркли. Вторая группа трансурановых элементов, от №104 (резерфордий) до № 112 (коперниций), характерна тем, что они были синтезированы не на американском континенте, а в Европе – в Институте тяжелых ионов в Дармштадте и в Объединенном институте ядерных исследований в подмосковной Дубне. Идея получения всех этих элементов родилась в Дубненском институте (Г.Н.Флёров и Ю.Ц.Оганесян). Это – столкновение ядер элементов конца периодической системы с ядрами середины периодической системы, а именно висмута и хрома, свинца и железа, свинца и никеля. При этом важно, чтобы ядро одного из этих атомов было особенно крепким, имело большую энергию связи нуклонов, что следовало из теоретической оболочечной модели атомных ядер. Но для разгона

9

ТРАНСУРАНОВЫЕ

одного из ядер до нужной энергии при этом необходимы были мощные ускорители. Они и были построены в этих двух центрах, в Дармштадте – линейный, в Дубне – циклический. Идентификация новых ядер стала еще более трудной. Время их жизни было столь коротким, что идентификация, например получение характеристических рентгеновских спектров, не поспевала за их радиоактивным распадом. Нужно было разрабатывать специальные методы исследования для каждого элемента. Третий этап синтеза трансуранов, с №113 (нихоний) по №118 (оганесон) – это приоритетность Дубненского института (с участием для двух элементов ученых из Ливерморской национальной лаборатории США). Развивая оболочечную теорию ядер, Ю.Ц.Оганесян рассчитал, что наиболее подходящими ядрами для бомбардировок должны быть ядра изотопа кальция. Так и оказалось. И многие теоретические предсказания свойств новых элементов были подтверждены, например – плотность дармштадтия. Она оказалась самой большой плотностью для всех элементов, как и было предсказано, равной 34,8 г $см^{3}$. Особый интерес представляло получение 118-го элемента, оганесона, названного так в честь его создателя, академика Юрия Цолаковича Оганесяна. Внимательный читатель, возможно, обратил внима-

Юрий Цолакович Оганесян

ЭЛЕМЕНТЫ

ние на необычное для всех других трансурановых элементов окончание он у этого элемента. Дело в том, что у атома оганесона наружная, седьмая электронная оболочка имеет 8 электронов. Подобные наружные электронные оболочки имеют химически инертные атомы («благородные газы»). Все они (кроме гелия) имеют окончание он. Самый тяжелый благородный газ на Земле – это радон. Эти атомы мало подвержены соединению с другими атомами – они химически нейтральны. Они даже не могут объединиться в собственную молекулу, как это делают водород, кислород и азот. Теория однако предсказывала, что температура сжижения этого нового вещества будет примерно 350 К, а температура отвердевания еще ниже. При комнатной температуре вещество из оганесона теоретически должно быть не благородным газом, а «благородным» твердым телом, оганесоновым льдом. Правда, в 2007 году было синтезировано всего три (!) атома оганесона и проверить эти предсказания было невозможно. Но прошло много лет, научились получать уже заметные доли грамма этого элемента (бомбардировкой заряженными частицами мишени из калифорния), и теоретические предсказания сбываются. Может возникнуть вопрос: почему так трудно идентифицировать новые элементы и определять их физические и химические свойства? Казалось бы, что после открытия элемента и убежденности в его существовании нужно переходить к его массовому производству с использованием калифорниевой мишени (другие трансурановые изотопы не подходят из-за малого времени жизни). Но вспомните цену калифорния! Мишени из калифорння делают только лишь в двух местах – в США и в России. Дубненский институт имеет калифорниевую мишень, он ее бережет для

10

КВАНТ 2023/№3

получения новых, еще не открытых элементов. В двух следующих абзацах обсуждаются вопросы о порядке заполнения электронных атомных оболочек. Это особенно интересно тем, кто любит химию. Открытие 118-го элемента подвело некоторый итог заполнению периодической системы новыми элементами. Еще Лоуренс в 1947 году назвал элементы после актиния (№89) актиноидами, по аналогии с лантаноидами (элементами с №57 по №72). У 14 лантаноидов при неизменной наружной оболочке из двух 5s-электронов постепенно заполняется электронами внутренняя подоболочка 4f. У актиноидов при неизменной наружной оболочке из двух 7s-электронов четырнадцатью электронами заполняется внутренняя подоболочка 5f. Последний элемент, у которого она заполнена, это 102-й элемент – нобелий. Лоуренс предсказал, что у 103-го элемента останется неизменной наружная оболочка, состоящая из двух электронов, а начнет заполняться внутренняя оболочка 6d. Так и оказалось – это было подтверждено исследованием химических свойств 103-го элемента. Не потому ли его и назвали лоуренсием? В d-подоболочке может быть не больше 10 электронов, и 10 элементов, начиная с лоуренсия, сейчас принято называть сверхактиноидами (это слово тоже придумал Лоуренс). Последний из них – 112-й элемент, коперниций. Поэтому очень важно было знать, как поведет себя 113-й атомный электрон. Оказалось, что ему выгоднее стать в состояние 7р наружной седьмой оболочки, чем в состояния внутренних оболочек 5g или 6f. Изучение химических свойства 113-го элемента (нихония), проведенное в Дубне, надежно показало это. Полностью заполненной 7р-подоболочка стала у оганесона, 118-го элемента. Сегодня сверхактиноидами называют элементы с №103 по №118. А что же дальше? Последующие элементы продолжатель дела Лоуренса Гленн Сиборг назвал суперактиноидами. Дальнейшие синтезы покажут характер заполнения электронных оболочек у них. Но кроме этого

физиков волнует вопрос о теоретических предсказаниях особой устойчивости некоторых суперактиноидов, которые были названы «островом стабильности». Но вот уже 7 лет нет сведений о синтезе новых элементов. У кандидатов на места №119 и №120, об открытии которых промелькнули сообщения, слишком короткое время жизни, чтобы можно было сделать надежные выводы. В Дубне ждут полного ввода в строй нового мощного ускорителя – ионного коллайдера. Аналогичные проблемы существуют и в других мировых центрах синтеза трансурановых элементов. А нужно ли продолжать работы по синтезу трансуранов? Может быть, следует прекратить эти сверхдорогие исследования и ограничиться 118-ю элементами периодической системы? Есть несколько ответов на такой вопрос. Прежде всего, исследования эти развивают всю ядерную физику. Сегодня создается кварко-глюонная модель атомного ядра. Она должна прийти на смену оболочечной модели, на которой были основаны все сделанные синтезы. В ближайшие годы научное сообщество физиковядерщиков ждет открытия новых элементов, у которых найдутся долгоживущие изотопы. Тогда станет ясно, находятся ли на верном пути теоретики-ядерщики. Но не слишком ли велика плата за новый вариант теории ядра? Ведь все эксперименты ядерной физики очень дорого обходятся. Строительство гигантских ускорителей, трансурановые синтезы, проблема захоронения радиоактивных отходов – это многомиллиардные затраты. Однако напрашивается аналогия с освоением ближнего космоса и астрофизическими исследованиями Вселенной. Это ведь тоже стоит очень дорого. Но остановить развитие работ как в космических исследованиях, так и в ядерной физике невозможно. Кроме вопросов национально-государственного престижа, это необходимо для удовлетворения жажды узнать новое о том мире, в котором мы живем. Развитие прогресса с самого начала возникновения человечества определялось не только материальными потребностями. Жажда познания (или,

13

ТРАНСУРАНОВЫЕ

Один из дубненских ускорителей работы считались тогда сверхсекретными. А за месяц до этого в Москве представители 11 стран подписали Соглашение о создании ОИЯИ с целью «объединения их научного и ядерного потенциала для изучения фундаментальных свойств материи». Этот институт возник на базе Института ядерной физики АН СССР, находящегося в подмосковном городе Дубна, около Волги, вытекающей в этом месте из Московского моря (Иваньковского водохранилища). Там уже был ускоритель и под руководством В.И.Векслера велись работы по созданию протонного синхрофазотрона на 10 ГэВ, тогда самого крупного в мире. ОИЯИ, как коллаборация исследователей из многих стран, был создан по аналогии с появившимся Европейским центром (ЦЕРН) для стран, не вошедших в него. Финансовый вклад СССР составлял 50%, КНР 20%. Остальные 30% приходились на долю других 9 стран-учредителей, – Чехословакии, Польши, Румынии, Болгарии, Греции, Вьетнама, Египта, Кубы и Монголии. Первым директором института стал профессор Д.И.Блохинцев, создавший в подмосковном Обнинске Физикоэнергетический институт АН СССР и первую в мире атомную электростанцию. В первые же годы работы ОИЯИ были достигнуты успехи в понимании кварковой структуры адронов, хромодинамики («цветность» кварков), нейтринных ос-

ЭЛЕМЕНТЫ

цилляций и др. Это был передний край физики микромира. Была создана лаборатория ядерных реакций под руководством академика Г.Н.Флёрова, а затем – академика Ю.Ц.Оганесяна. Уже в 1957 году в этой лаборатории был достигнут успех – был синтезирован один из изотопов нобелия, 102-го элемента. За прошедшие 60 лет в лаборатории было открыто свыше 200 радиоактивных изотопов трансурановых элементов, созданы уникальные установки для определения их физических и химических характеристик. Теоретические разработки ученых лаборатории получили всемирное признание. Сегодня ОИЯИ – это комплекс из 7 крупных лабораторий, в которых работают более 1200 научных сотрудников, в том числе действительные члены и члены-корреспонденты Национальных академий наук, доктора и кандидаты наук, около 2000 техников и инженеров. Экспериментальная база – прежде всего, 5 исследовательских реакторов и 3 ускорителя. Заканчивается строительство единственного в мире ионного ускорителя-коллайдера. Сегодня (на 1января 2023 года) 13 государств финансируют ОИЯИ и их ученые работают в нем. Это – Азербайджан, Армения, Белоруссия, Вьетнам, Греция, Египет, Казахстан, Куба, Молдавия, Монголия, Российская Федерация, Словакия и Узбекистан. Директором института два года назад выбран российский физик, 45-летний академик Григорий Владимирович Трубников. Дубна уже давно получила статус наукограда. Высокий научный потенциал, которым обладает ОИЯИ, его экспериментальная база позволяют надеяться на дальнейшее раскрытие тайн атомного ядра. А синтез трансурановых элементов, которых нет в природе, – свидетельство могущества человеческой мысли, не боящейся дерзкого вмешательства в действия законов природы, управляющих нашим миром.

23

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

которых находится ровно одна вершина, причем корень находится в единственной неограниченной, «внешней» области. С другой стороны, для любого расположения непересекающихся окружностей на плоскости мы можем нарисовать вершину внутри каждой окружности, еще одну вершину – корень – снаружи, соединить ребром каждую пару вершин, отделенных друг от друга только одной любой окружностью, и получить дерево с корнем. Если считать эквивалентными расположения окружностей, которые получаются друг из друга их движением и изменением размеров, но без пересечений, то таким образом оказывается установлено взаимно однозначное соответствие между расположением n окружностей на плоскости (или на диске) и деревом с корнем на n 1 вершинах. Что же деревья без корня? Можно нарисовать на плоскости дерево и окружности так же, как в случае дерева с корнем, назначив любую вершину корнем. В этой конструкции, как и в случае дерева с корнем, две вершины соединены ребром тогда и только тогда, когда соответствующие им области разделены одной окружностью. В случае дерева с корнем снаружи всегда находится область, соответствующая вершине, которая ближе к корню, в случае же дерева без корня не должно быть разницы. Существует операция, которая преобразует плоскость, разделенную окружностями на регионы, как раз так, что сохраняется набор областей и отношение между ними «граничит через окружность», но при этом может сделать любую область внешней. Эта операция – инверсия плоскости относительно окружности. Таким образом, каждое дерево без корня с n 1 вершинами соответствует конфигурации n не пересекающихся окружностей на плоскости с точностью до инверсий, перемещений и изменений размеров (без возникновения пересечений). На рисунке 5,а показано действие одной такой инверсии. При инверсии меняются положение вершин и положение и размеры остальных окружностей, но поскольку конфигурация определена с точностью до

МИР

Рис. 5

этих преобразований, то это несущественно. Важно лишь, что одна или несколько окружностей «выворачиваются наизнанку». Или же можно дополнить плоскость бесконечно удаленной точкой (строго говоря, это необходимо, если мы рассматриваем все возможные инверсии) и через стереографическую проекцию свернуть плоскость в сферу, что вовсе устранит разницу между внутренностью и внешностью каждой окружности (рис. 5,б). Соответственно, последовательности A000055 и A000081 подсчитывают не только деревья без корня и с корнем, но и конфигурации окружностей на плоскости и на сфере соответственно. Но лишь непересекающихся. Конфигурации пересекающихся окружностей на плоскости – куда более сложная история, где в нашем распоряжении есть лишь компьютерный перебор; их подсчитывает последовательность A250001.

Список литературы

1. Ф.Харари, Э.Палмер. Перечисление графов. – М.: Мир, 1977. 2. Р.Стенли. Перечислительная комбинаторика, том 2. – М.: Мир, 2009. 3. N.J.A.Sloane, S.Plouffe. The Encyclopedia of Integer Sequences. – Academic Press, 1995. 4. М.Гарднер. Числа Каталана. – «Квант», 1978, №7.

Задачи по математике и физике

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: math@kvant.ras.ru и phys@kvant.ras.ru соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2738 – М2741 предлагались на региональном этапе XLIX Всероссийской олимпиады школьников по математике. Задачи Ф2745 – Ф2748 предлагались на региональном этапе LVII Всероссийской олимпиады школьников по физике.

Задачи М2738–М2741, Ф2745–Ф2748 М2738. Даны различные вещественные числа $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ и b. Оказалось, что уравнение

$x a_{1} x a_{2}$

$x a_{3}$ b имеет три различных вещественных корня $c_{1}, c_{2}, c_{3}$. Найдите корни уравнения

$x_{1}^{c} x_{2}^{c}$

$x_{3}^{c}$ b.

А.Антропов, К.Сухов

M2739. Дан остроугольный треугольник ABC, в котором AB BC (рис. 1). Пусть M и N – середины сторон AB и AC соответственно, а H – основание высоты, опущенной из вершины B. Вписанная окружность касается стороны AC в точке K. Прямая, проходящая через K и парал-

лельная MH, пересекает отрезок MN в точке P. Докажите, что в четырехугольник AMPK можно вписать окружность. П.Бибиков

M2740. Даны натуральные $числа^{a,} b, c$ такие, $что^{a}$! 1, b! c! 1, а $число^{abc} 1$ делится на $ab^{b} 1$. Докажите, что b делится $на^{a.}$ М.Антипов

M2741. Дано натуральное число k. Вдоль дороги стоят n столбов через равные промежутки. Миша покрасил их в k цветов и для каждой пары одноцветных столбов, между которыми нет других столбов того же цвета, вычислил расстояние между ними. Все эти расстояния оказались различны. При каком наибольшем n так могло оказаться? М.Тихомиров, Ф.Петров

Ф2745. На отдельно стоящих роликовых легких опорах, оси которых находятся на расстоянии l 9 м, лежит однородный рельс постоянного сечения. Ролики начинают вращаться, в результате чего рельс движется горизонтально с некоторой постоянной скоростью, как показано на рисунке 2 (масштаб не выдержан). Под опорами находятся динамометры. Зависимости по-

Рис. 1

Рис. 2

31

ЗАДАЧНИК

волны распространяются в каждом из материалов примерно в два раза медленнее продольных. Таким образом, в материале пластины даже поперечные волны распространяются быстрее продольных волн в стали примерно в полтора раза. Сначала рассмотрим модельную ситуацию, когда стальной предмет ударяется об абсолютно твердую поверхность. В этом случае сразу после соприкосновения с поверхностью возникает ударная волна, которая создает давление в стали, равное примерно $U uv_{cт} | 18$ ГПа. Эта величина меньше, чем микротвердость карбида бора, примерно в три раза и сопоставима с прочностью на сдвиг. Следовательно, при ударе пули о поверхность из карбида бора материал защитной пластины может раскалываться на части, но эти части приобретают примерно одинаковые скорости, а поскольку материал пластины (карбид бора) придет в движение в направлении движения пули, то относительная скорость движения пули и пластины становится меньше, поэтому и давление в ударной волне станет меньше, чем приведенная оценка 18 ГПа. Распространение и продольных и поперечных волн в материале пластины ведет к тому, что вовлеченная в движение масса материала пластины будет сопоставима и даже больше массы стали, которая уже «почувствовала» удар. Оценка этого соотношения масс основывается на предположении, что толщина пластины должна быть примерно такой же, как и продольный размер пули, т.е. L | 1 см. При этом за время полной остановки (по отношению к пластине) пули продольные волны в пластине успевают трижды пройти расстояние, равное толщине пластины, а поперечные волны успевают распространиться на расстояние, в 1,5 раза больше размера пули. Таким образом, за время остановки пули в движение приходит объем пластины, равный примерно $1,5^{2} S L^{3}$. Этот объем карбида бора имеет массу примерно в два раза большую, чем масса пули. Скорость движения такой суммарной массы уже в 3 раза меньше скорости пули. А если пластина имеет размеры 5 u 5 u 1 см, то ее масса равна примерно 320 г, и в таком случае

«КВАНТА»

после вовлечения в движение всей массы пластины скорость движения системы «пуля–пластина» уменьшается до величины 10 ˜ 500 320 м с | 15 м с. Эффект от такого удара сопоставим или просто такой же, как от попадания камня массой 320 г, летящего со скоростью 15 м с, на площадку размерами 5 u 5 см. Конечно, такой удар будет чувствительным, но не смертельным.

Ф2736. Замкнутая в кольцо веревка охватывает шкивы двух блоков с горизонтальными и параллельными друг другу осями симметрии. Сбоку веревка выглядит симметричной, повернутой на 90q восьмеркой ( f ). Оси расположены на расстоянии 2 метра друг от друга на одном горизонтальном уровне и радиусы шкивов одинаковы. В канавки шкивов сверху (над тонкой веревкой) положен длинный, длиной 3 метра, однородный прямой стержень круглого сечения. При медленном движении веревки (с постоянной по величине скоростью каждой ее точки в каждом месте на веревке) стержень смещается от одного положения до другого, причем по одному из шкивов стержень проскальзывает, а по другому шкиву стержень движется без проскальзывания. В момент остановки расстояния от концов стержня до ближайших точек касания стержня и шкива отличаются в полтора раза. После остановки стержень меняет направление скорости, и ситуация с проскальзыванием и непроскальзыванием по отношению к шкивам изменяется на противоположную. В некоторый момент скорость движения веревки увеличилась, и теперь стержень, двигаясь поступательно, совершает гармонические колебания с периодом 3 секунды. Каков коэффициент трения при скольжении стержня по шкиву? Каков максимальный коэффициент трения покоя?

При медленном движении веревки в момент остановки стержня силы трения, действующие на стержень со стороны шкивов, таковы, что одна из сил соответствует силе трения скольжения, а другая – силе трения покоя. Поскольку они (силы трения) в этот момент одинаковы, отношение ко-

32

КВАН T 2023/№3

эффициента трения покоя и коэффициента трения скольжения равно отношению расстояний от середины стержня до мест опоры стержня на шкивы. Это отношение равно 11 9, т.е. стержень от положения равновесия смещается то в одну, то в другую сторону на максимальное расстояние

10 см ˜

50 см 10 см 50 см 10 см

15 см.

Такое смещение во много раз меньше расстояния между осями шкивов (2 метра). Следовательно, колебания, которые возникли после увеличения скорости движения веревки, можно считать малыми. При быстром движении веревки проскаль-

зывание стержня происходит относительно обоих шкивов, поэтому коэффициент трения один и тот же: это коэффициент трения скольжения. Уравнение, описывающее малые колебания вблизи положения равновесия, дает связь между периодом колебаний и коэффициентом трения скольжения: квадрат угловой частоты колебаний $Z^{2}$ равен 2 P g D. В нашем случае Z 2 S T, где T 3 c, а D 2 м – расстояние между осями шкивов. Вычисления дают величину коэффициента трения скольжения, равную примерно 0,44. А коэффициент трения покоя больше этой величины в 11 9 раза, т.е. равен примерно 0,54.

К О НК УРС ИМ Е НИ А. П. С АВИНА

Мы продолжаем конкурс по решению математических задач. Задания рассчитаны в основном на учащихся начиная с 8–9 классов, а более младшим школьникам советуем попробовать свои силы в конкурсе журнала «Квантик» (см. сайт kvantik.com). Высылайте решения задач, с которыми справитесь, электронной почтой по адресу: savin.contest@gmail.com. Кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором вы учитесь. Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в таком случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы. Задания, решения и результаты публикуются на сайте sites.google.com/view/savin-contest Желаем успеха!

25. Можно ли покрасить все натуральные числа в три цвета так, чтобы сумма любых двух чисел разных цветов была покрашена в третий цвет? Ф.Нилов

26. В офис привезли много одинаковых четырехугольных столов, у каждого стола все стороны разной длины. Оказалось, что и 3 таких стола, и 4, и 5 можно поставить по кругу одинаковыми углами к центру так, чтобы между соседними столами не было зазора. Сколько таких столов можно поставить по кругу одинаковыми сторонами наружу и без зазоров между соседними столами? Укажите все варианты и докажите, что других нет. Е.Бакаев

27. Что больше – количество способов заполнить таблицу 2 u 100 числами 1, 2, … …200 (каждое число встречается один раз) так, чтобы сумма чисел в каждом из 102 рядов (строк и столбцов) была четной, или так, чтобы каждая такая сумма была нечетной? Е.Бакаев, П.Кожевников

28. а) Для каких натуральных n существует натуральное число k, которое ровно в n раз превышает количество своих цифр? б) Для каких натуральных n существуют два таких числа k? в) Может ли для какого-либо n существовать больше двух таких чисел k? И.Акулич

36

КВАН T 2023/№3

математической олимпиаде для школьников. В аннотации к сборнику, в частности, говорилось: «Задачи олимпиады, кроме прочного знания школьного курса математики, требуют смекалки и сообразительности. Поэтому для подготовки к олимпиаде выпускается настоящий сборник. Многие задачи, представленные в сборнике, предлагались на предыдущих олимпиадах и в конкурсах вечерней математической школы. В сборнике представлены как относительно легкие, так и более трудные задачи. В сборнике помещены также краткие примечания к задачам (как правило, не исчерпывающие решения, а лишь указания основной идеи)». Обратимся к одной из задач этого сборника. Задача 3. Даны полстакана воды и полстакана вина. Ложку воды перелили в вино, а затем ложку образовавшейся смеси перелили в воду. Чего в результате оказалось больше: воды в вине или вина в воде? Чуть дальше читаем пояснение: «В первый стакан долили столько же вина, сколько оттуда было отлито воды». Пойдем по времени еще дальше. $В^{1946}$ году в шестом выпуске Известий Академии педагогических наук была опубликована статья «Принципы отбора и составления арифметических задач». Ее автор – И.В.Арнольд. Здесь мы находим такой вариант задачи о смеси двух жидкостей. Задача 4. Из стакана с красным вином перелили в стакан, содержащий такое же количество белого, одну ложку. Перемешав, ложку смеси перелили обратно в первый стакан. Спрашивается, больше ли в итоге концентрация белого вина в красном в первом стакане или красного в белом – во втором? Для решения задачи достаточно задать себе вопрос: куда девалось то красное вино, которое вытеснено белым из первого стакана? Этот вопрос ориентирует на рассмотрение соответствующего рисунка. А рисунок подталкивает к таким ответам на две последние задачи. $Задача^{3:}$ вина в воде в первом стакане столько же, сколько воды в вине во втором стакане. Задача 4:

белого вина в красном столько же, сколько красного в белом. $В^{2008}$ году статья И.В.Арнольда была издана в виде отдельной книжки (М.: МЦНМО). Если внимательно читать эту книжку, то можно узнать, что происходит с объемом при смешивании: «Смесь двух одинаковых объемов воды и спирта занимает меньший объем, чем сумма объемов обоих смешиваемых веществ. Литр такой смеси имеет массу 936 г, между тем как литр чистого спирта имеет массу 729 г, а литр воды $–^{1}$ кг. Сколько нужно взять воды и спирта, чтобы получить литр смеси?» Итак, обе задачи о переливании – некорректны, а рисунок приводит к неверным ответам. В условиях задач ничего не сказано, как меняется объем при смешивании, а на самом деле объем смеси двух растворов не равен сумме объемов исходных растворов. В математике много красивых задач в стиле «пожалуйста, не вычисляйте!» Математика нисколько не обеднеет, если вопрос про кофе с молоком мы исключим из этого множества.

---

На самом деле задача про кофе и молоко – это адаптированная для младших школьников задача, которую старый пират Джон Сильвер из «Острова сокровищ» Р.Л.Стивенсона задал юнге Джиму Хоккинсу, заглянувшему к нему в камбуз: «Знаменитый капитан Флинт налил стакан рома и выпил половину. Напиток был крепок, и Флинт долил стакан водой.

37

НАШИ

НАБЛЮДЕНИЯ

Отпив треть содержимого, он вновь долил в стакан воду. Когда же старый пират отпил шестую часть стакана и в третий раз разбавил содержимое водой, то только тогда смог осушить стакан до дна. После этого Флинт задумался: чего он выпил больше – рома или воды?» Юный Джим Хоккинс быстро сложил три дроби и сказал, что поровну. Автор книги Стивенсон словами Сильвера похвалил Джима и заверил, что из него вырастет замечательный моряк. Заметим, что первое книжное издание «Острова сокровищ» $вышло^{140}$ лет на-

зад, в $ноябре^{1883}$ года. Тогда писатель Стивенсон не знал, что русский химик Дмитрий Иванович Менделеев изучал, как изменяется объем при смешивании спирта с водой. Первая глава магистерской диссертации Менделеева называлась так: «О сжатии, происходящем при образовании растворов». В русские переводы для детей задача про выпивку Флинта не вошла. А вот И.В.Арнольд читал по-английски и потому включил задачу про красное и белое в свою книгу. И учил решать ее правильно.

НАШИ НАБЛЮДЕНИЯ

Светлое отражение темного пятна

Морозный день. Холодно не только на улице, но и в подъездах зданий. В павильоне при входе в метро все стекла покрыты густым инеем. Этот иней можно растопить прикосновением руки, и тогда возникает удивительная картина: проплавленное «окно» в инее выглядит темным пятном на белом фоне. А в блестящем, как зеркало, мраморном подоконнике оно отражается… как светлое пятно на темном фоне! Не просто отражение, а «комплементарное отражение» – с заменой негативного изображения на позитивное. Этот эффект — результат игры прохождения и отражения света, свойств поверхностей, на которые он падает, а также расположения источников света. Полированная поверхность мрамора работает как нормальное зеркало: через более прозрачное «окошко» в инее на нее падает больше света, чем через матовую заиндевелую поверхность стекла. Поэтому рисунок ладони и отражается в ней как более светлое пятно. Этот свет падает сверху, со стороны светлого неба. Но когда мы смотрим непосредственно на стекло, наш взгляд устремлен сквозь это «окно», скорее, вниз, к земле или же к каким-то окружающим вход в метро строениям. А вот для заиндевелых матовых участков стекла это не проблема: с какой бы стороны к ним свет ни пришел, они все равно его рассеют во все стороны, в том числе и в нашу. Поэтому эти участки и выглядят более светлыми, чем прозрачный отпечаток ладони. В том, что дело именно в этом, можно легко убедиться, глянув на снимок, где одновременно присутствуют несколько следов от руки.

Видно, что те, которые расположены повыше и проецируются на небо (или хотя бы поближе к нему), те и светлее. Казалось бы, столь простые оптические явления, а какой необычный и красивый рисунок они создают! В.Птушенко

ШКОЛА В «КВАНТЕ»

Вспомогательные равносторонние треугольники

М.ВАСИЛЬЕВ, Т.КОРЧЕМКИНА

разность известных нам углов составляет 100 q 40 q 60 q. Мотивацией к построению вспомогательного равностороннего треугольника также служат равные «неудобно» расположенные отрезки AD и BC. Итак, построим теперь равносторонний треугольник ADE (рис. 1) и получим еще один угол в 40q при вершине A. Тогда

УМЕНИЕ ДЕЛАТЬ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ построения всегда являлось залогом успешного решения сложных геометрических задач. Не секрет, что очень непросто сформулировать точные и четкие инструкции для выбора и применения того или иного построения, однако зачастую в условии задачи присутствуют «маячки» – подсказки, позволяющие догадаться, какие дополнительные линии следует провести. Так, практика показывает, что медиану треугольника бывает полезно продлить на ее длину, а специальное добавление середин отрезков и последующее рассмотрение средних линий соответствующих треугольников помогают решить задачу. К таким типовым дополнительным построениям можно также смело отнести метод «спрямления суммы», стандартные построения в трапеции, метод вспомогательной окружности и др. Более сложным приемом, требующим большей изобретательности и появляющимся в олимпиадных задачах, является поиск и построение правильных многоугольников или их элементов. Эту идею заинтересованные читатели увидят, например, в статье Е.Бакаева и А.Блинкова «Вспомогательные квадраты» («Квант» № 4 за 2016 г.). Ниже мы покажем, в каких случаях равносторонние треугольники помогают решить задачу. Задача 1. В равнобедренном треугольнике ABC угол при вершине A равен 100q. На продолжении стороны AB за точку B отмечена такая точка D, что AD BC. Чему равен угол BCD? Решение. Как догадаться до нужного дополнительного построения? Заметим, что углы при основании BC равнобедренного треугольника ABC равны по 40q, а значит,

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20230305

Рис. 1

треугольники BAC и ACE равны по двум сторонам (AB AC, BC AE) и углу между ними ( ‘ ABC ‘ CAE ), следовательно, ‘ ACE ‘ BAC 100 q. Кроме того, по трем сторонам равны треугольники DAC и DEC, откуда ‘ ACD ‘ ECD 50 q и, наконец,

‘ BCD

‘ ACD ‘ ACB

50 q 40 q

10 q.

Как правило, что мы видим и на примере предыдущей задачи, после сделанного дополнительного построения завершающим шагом в решении является поиск равных треугольников. Задача 2. Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием BC отмечена такая точка M, что ‘ MBC 30 q, ‘ MCB 10 q. Найдите угол AMC, если ‘ BAC 80 q. Решение. Поскольку угол при вершине равнобедренного треугольника равен 80q, углы при основании будут равны 50q каждый. Отсюда можно вычислить углы ‘ MBA 20 q и ‘ MCA 40 q. Тот факт, что в условии дан равнобедренный треугольник, уже намекает на возможную пользу от построения треугольника равностороннего. Действительно, построив равносторонний треугольник ABD так, как показано на рисунке 2, получим ‘ CBD 60 q 50 q 10 q и равнобедренный треугольник DAC. В этом треугольнике угол при вершине равен

39

ШКОЛА

В

«КВАНТЕ»

B

A

M

L

M

C

B

Рис. 2

D

‘ BAC ‘ BAD 80 q 60 q 20 q, следовательно, ‘ DCA 80 q, и ‘ BCD 80 q 50 q 30 q. Таким образом, треугольники BMC и CDB равны по стороне BC и прилежащим к ней углам с градусными мерами 10q и 30q, что означает равенство сторон MC BD AC. Тогда в равнобедренном треугольнике ACM с углом в 40q при вершине искомый угол AMC равен 70q.

Упражнение 1. Найдите другой способ решения задачи 2, использующий равносторонний треугольник, построенный на AC. Не менее красивое решение задачи читатель узнает из статьи В.Прасолова «Диагонали правильного 18-угольника» («Квант» № 5 за 1995 г.).

Зачастую при первом взгляде на чертеж возникает несколько разумных идей для построения вспомогательного треугольника. Любопытно, однако, что почти всегда каждый из пришедших в голову способов позволяет (с разной степенью сложности) прийти к ответу. Это справедливо, например, для нескольких следующих задач. Задача 3. Внутри треугольника ABC отмечена такая точка M, что AM BM, ‘ MBA 10 q, ‘ MBC 20 q и ‘ MAC 40 q. Найдите угол MCA. Решение. Итак, какой же треугольник здесь может оказаться полезным (рис. 3)? С одной стороны, если построить равносторонний треугольник ABK с основанием AB так, чтобы точки M и C были внутри треугольника, то BC окажется биссектрисой, а ‘ CAK ‘ MAB ‘ MBA 10 q. Можно также использовать равные стороны AM и BM, построив равносторонние треугольники AMN или BML. В каждом из случаев помимо сторон, равных AM и MB, появляются и углы, равные данным в условии.

A

C

N

K

Рис. 3

На самом деле каждое из перечисленных выше построений помогает решить задачу, но мы остановимся подробнее на треугольнике AMN, поскольку попутно он приводит к дополнительным интересным фактам. Действительно, в силу условия и дополнительного построения можно вычислить угол ‘ BMN 360 q 180 q 2 ˜ 10 q – 60q 140 q. Поскольку также MN = AM = BM, треугольник MBN – равнобедренный, причем ‘ MBN 20 q ‘ MBC. А это означает, что точки B, C и N лежат на одной прямой! Рассмотрим теперь треугольник ANC. В нем ‘ ANC ‘ ANM ‘ MNB 60 q 20 q 80 q и ‘ ACN ‘ CAB ‘ ABC 30 q 50 q 80 q как внешний угол треугольника ABC. Таким образом, треугольник ANC равнобедренный, но тогда равнобедренным будет и треугольник ACM. Отсюда легко вычислить, что ‘ MCA 70 q.

Упражнение 2. Решите предыдущую задачу, пользуясь треугольником ABK.

Следующая задача давно уже вошла в математический фольклор и неоднократно появлялась на различных олимпиадах. Речь пойдет о равнобедренном треугольнике с углом при вершине в 20q и углами при основании по 80q. Его интересные свойства послужили источником для множества новых задач и исследований. С одной из таких удивительных задач можно познакомиться в статье К.Кнопа «История с геометрией, или Девять решений одной задачи» («Квант» № 3 за 1993 г.). Задача 4. В треугольнике ABC углы ABC и ACB равны 80q. На стороне AB отмечена

40

КВАН T 2023/№3

B

A

D

P

M

E

D

E

F

B

K

C

Рис. 4

такая точка P, что ‘ BPC 30 q. Докажите, что AP BC. Решение. Подсказкой к построению вспомогательного равностороннего треугольника служит то, что 80 q 60 q 20 q. В зависимости от того, как именно «отнять» угол в 60q, можно построить треугольники ABE, ACD или BCF (рис. 4). Опять же, каждый из этих треугольников приводит к решению задачи. Здесь мы приведем решение с помощью треугольника BCF. По трем сторонам равны треугольники ABF и ACF, значит, ‘ BAF ‘ CAF 10 q и ‘ ABF ‘ ACF 80 q 60 q 20 q. По свойству внешнего угла BPC треугольника APC получаем, что ‘ ACP 30 q 20 q 10 q. Таким образом, в треугольниках APC и CFA к стороне AC прилегают углы 10q и 20q, откуда следует равенство треугольников APC и CFA и AP CF BC.

Упражнение 3. Проведите до конца рассуждения, связанные с треугольниками ABE и ACD.

Задача 5 (Е.Бакаев, LXXIX Московская математическая олимпиада, 2016). На медиане AM треугольника ABC нашлась такая точка K, что AK BM. Кроме того, ‘ AMC 60 q. Докажите, что AC BK. Решение. Наличие угла 60q и множество равных отрезков однозначно намекают на построение вспомогательного равностороннего треугольника. Классическое решение предлагает продлить медиану AM и построить треугольник BMD (рис. 5), но равносторонний треугольник EMC также оказывается полезен. Действительно, вне зависимости от расположения точек K и E на AM, отрезки AE и KM равны либо как сумма, либо как разность длин отрезков ME AK и отрезка EK.

A

C

Рис. 5

Кроме того, по построению CE BM. Для равенства треугольников AEC и KMB не хватает только равенства углов AEC и BMK, но оба эти угла – смежные с углами в 60q, откуда ’ AEC ’ BMK и AC BK. Задача 6 (Е.Бакаев, LXXXII Московская математическая олимпиада, 2019). Внутри равнобедренного треугольника ABC отмечена точка K так, что ‘ KAC 30 q и AB BC CK. Найдите угол AKB. Решение. В этой задаче, опять же, есть несколько способов найти ответ с помощью равностороннего треугольника. Построение равностороннего треугольника ACL (рис. 6) превратит AK в биссектрису, медиану и высоту, а построение равносторонних треугольников ABP или BMC добавит и равнобедренные треугольники. Первые два способа мы оставляем читателю в качестве упражнения, с ними также можно ознакомиться в книге «LXXXII Московская математическая олим-

L

B

K

C

A

P

M

Рис. 6

41

ШКОЛА

пиада. Задачи и решения». Мы же рассмотрим решение, получаемое с помощью треугольника BMC. Пусть ‘ BAK D. Тогда в силу AB BC имеем ‘ ACB ‘ BAC 30 q D, и из треугольника ABC можно вычислить ‘ ABM ‘ ABC ‘ MBC 180 q 2 ˜ 30 q D 60 q 60 q 2 D. Далее, с учетом того, что треугольник BAM также равнобедренный, получаем

‘ CAM

‘ BAM ‘ BAC

1 ˜ 180 q 60 q 2 D D 30 q 2

30 q

‘ KAC.

Рассмотрим теперь треугольники AKC и AMC. Сторона AC для них – общая, также CK CM и по доказанному выше ‘ KAC ‘ MAC. Здесь мы воспользуемся известным утверждением, называемым четвертым признаком равенства треугольников или признаком полуравенства треугольников: если две стороны первого треугольника равны двум сторонам второго треугольника и угол, противолежащий одной из сторон первого треугольника, равен углу, противолежащему соответственно равной ей стороне второго треугольника, то либо эти треугольники равны, либо углы, противолежащие другим двум равным соответствующим сторонам, в сумме составляют 180q. Отсюда следует, что либо ‘ KCA ‘ MCA и ’ AKC ’ AMC, либо ‘ KCA ‘ MCA 180 q. Последнее невозможно, поскольку ‘ KCA ‘ MCA ‘ KCM ‘ MCB 60 q, а значит, ’ AKC ’ AMC и AK AM, откуда, в частности, следует, что треугольник AKM – также равносторонний. Тогда AK KM и треугольники ABK и MBK равны по трем сторонам, значит,

‘ AKB

‘ MKB

1 ˜ 360 q 60 q 2

В

«КВАНТЕ»

Точкой Торричелли треугольника называется точка, из которой три луча, направленные в вершины треугольника, образуют между собой углы в 120q. Задача 7 (точка Ферма–Торричелли). Найдите внутри треугольника ABC, у которого все углы меньше 120q, точку M, сумма расстояний от которой до трех вершин минимальна. Решение. Построим на каждой стороне треугольника ABC во внешнюю сторону вспомогательные равносторонние треугольники ACE, BCD и ABF (рис. 7). Пусть M – произвольная точка внутри треугольника ABC. Соединим теперь точку M с вершинами и построим равносторонний треугольник AMN. Покажем, что сумма расстояний от точки M до вершин исходного треугольника равна длине ломаной BMNE. Рассмотрим треугольники ANE и AMC. По построению AM AN, AC AE, а также ‘ MAC 60 q ‘ CAN ‘ EAN, откуда следует равенство рассматриваемых треугольников и их соответственных сторон MC и NE. Таким образом, AM BM CM BM MN NE. Такое построение позволяет также понять, чему равна та самая минимальная сумма расстояний. Действительно, для любой точки M выполнено неравенство BM MN NE t BE, причем равенство достигается тогда и только тогда, когда точки B, M, N и E лежат на одной прямой (в указанном порядке). Пусть теперь полученная конструкция такова, что точки M и N лежат на отрезке BE

F

E

A

N

150 q.

Вспомогательный равносторонний треугольник может оказаться полезным не только при решении задач. Так, с помощью этого метода можно обосновать построение точки Ферма–Торричелли, не прибегая к окружностям. Точкой Ферма называется точка плоскости, сумма расстояний от которой до вершин треугольника является минимальной.

M

C

B

Рис. 7

D

48

КВ А Н T 2023/№3

комнаты экспериментатора, если известно, что улитки всегда движутся прямолинейно с одинаковой скоростью u 12 см мин, плитки в ванной плотно прилегают краями друг к другу, а коврики одинаковые. А.Евсеев

Задача 2. Стадион МФТИ Беговые дорожки стадиона МФТИ – это 4 дорожки шириной d 1,22 м каждая (рис. 2). Дорожки состоят из двух прямо-

Рис. 2

линейных участков длиной l 84,39 м и двух участков в виде полуокружностей радиусом R. Радиус траектории атлета, или эффективный радиус, на первой дорожке $R_{1} 36,80$ м. 1) Найдите эффективную длину $L_{1}$ одного круга первой дорожки. 2) Определите, на каких расстояниях ’ $l_{12}$, ’ $l_{23}$, ’ $l_{34}$ должны располагаться линии стартов на различных дорожках на прямолинейных участках, чтобы длины дистанций в 3 круга совпадали при условии финиша на линии старта первой дорожки. 3) Какие значения может иметь средняя скорость атлета, пробежавшего 6 кругов по первой дорожке, если он определял время своего забега по стадионным часам (с точностью до минуты)? Стартовал атлет в 13:00, а финишировал в 13:13. Выразите максимальную и минимальную средние скорости и в км ч, и в м с. Примечание. Длина окружности радиусом R равна 2 S R, где S 3,1416. Д.Рубцов

Задача 3. Шоколад и карамель При производстве конфет в сосуд объемом V 16,0 л заливают горячий белый шоколад плотностью $U_{1} 1,20$ г $см^{3}$. Когда сосуд заполняется на 60%, в него вместо шоколада начинают заливать карамель плотностью $U_{2} 1,52$ г $см^{3}$ со скоростью P 0,60 л мин. Автоматика настроена на определение средней плотности содержимого сосуда, и когда средняя плотность превышает $U_{1}$ на 10%, подача карамели в сосуд прекращается. Изменением объема жидкостей при их смешивании можно пренебречь. Сколько минут происходила подача карамели? В.Слободянин

Задача 4. Догонялки Два автомобиля одновременно начинают движение из пункта A в пункт B по прямолинейной дороге. Известно, что первый автомобиль едет с постоянной скоростью $v_{1}$ не останавливаясь до пункта B. В пункте B он останавливается и ждет прибытия второго автомобиля. Второй автомобиль движется с постоянной скоростью $v_{2}$, меньшей чем $v_{1}$. Через некоторое время он останавливается и, когда первый автомобиль достигает пункта B, вновь продолжает движение с той же скоростью $v_{2}$. На рисунке 3 приведен график зависимости расстояния между автомобилями от времени вплоть до момента $t_{1} 4$ мин. В момент времени $t_{2} 14$ мин автомобили встретились. 1) Определите скорости автомобилей $v_{1}$ и $v_{2}$. 2) В течение какого времени ’ t второй автомобиль покоился? 3) Найдите расстояние L между пунктами A и B. А.Евсеев

Рис. 3

49

8 класс

ОЛИ МП ИА ДЫ

Задача 1. По трубе Два легких небольших упругих шарика движутся внутри закрытой с обоих концов гладкой массивной трубы, расположенной горизонтально. В тот момент времени, когда шарики находятся посередине трубы, их скорости относительно земли равны v и 2v, а трубу начинают двигать с постоянной скоростью 0,1v, как показано на рисунке 4. Длина трубы 2L.

Рис. 4

1. Через какой промежуток времени $W_{1}$ левый шарик первый раз столкнется с торцевой стенкой трубы? 2) Через какой промежуток времени $W_{2}$ правый шарик первый раз столкнется с торцевой стенкой трубы? 3) Через какой промежуток времени W шарики в первый раз столкнутся друг с другом? 4) Найдите скорости $u_{1}$ левого и $u_{2}$ правого шариков относительно земли непосредственно перед их первым соударением. Cоударения шариков с торцевыми стенками трубы считайте абсолютно упругими. Примечание. В результате абсолютно упругого удара скорость шарика относительно стенки остается такой же по величине, как до удара, но направленной противоположно. О.Инишева

Задача 2. Изогнутая трубка Изогнутая трубка постоянного сечения заполнена несмешивающимися жидкостями с разными плотностями, как показано на рисунке 5. В левом конце трубки, закрытом пробкой, заперт воздух под давлением $0,8p_{0}$, где $p_{0}$ – атмосферное давление, которое равно гидростатическому давлению столба жидкости плотностью U высотой 10h. Правый конец трубки открыт в атмосферу, система находится в состоянии равновесия. 1) Определите коэффициент k у плотности жидкости (см. рис. 5). 2) В каком направлении и на сколько сместится свободная поверхность жидкости

Рис. 5

в правом колене трубки в новом состоянии равновесия, если убрать пробку? А.Сеитов

Задача 3. Туда-сюда Экспериментатор Глюк провел эксперимент. Десятилитровую кастрюлю, заполненную наполовину водой комнатной температуры $t_{0} 20 q C$, Глюк поставили греться на электрической плитке. Через некоторое время в кастрюлю, не снимая ее с плиты, он долил воду комнатной температуры неизвестного объема. А спустя еще какое-то время воду такого же объема из кастрюли, также не снимая ее с плиты, вылил. Затем он дважды измерил температуру воды в кастрюле – через $W_{1} 8$ мин и $W_{2} 9$ мин с момента начала нагрева и получил значения $t_{1} 45 q C$ и $t_{2} 50 q C$. Всего плитка работала 10 мин. 1) Какую температуру $t_{к}$ имела бы вода в кастрюле к концу эксперимента, если бы по ходу нагрева ее масса не изменялась? 2) Определите наименьшее возможное значение массы $m_{min}$ воды, доливаемой Глюком в ходе эксперимента. 3) Найдите самый ранний от начала нагрева момент времени $W_{min}$, когда мог происходить забор воды из кастрюли. Тепловые потери и теплоемкость кастрюли пренебрежимо малы. Считайте, что при изменении массы воды ее температура изменяется мгновенно, а при добавлении воды она не выливается из кастрюли. Удельная тепло-

51

ОЛИ МП ИА ДЫ

Рис. 10

поршень кладут непроводящую гирю массой 1 кг, амперметр показывает силу тока $I_{1} 2,31$ А. Если же 3 таких гири положить на большой поршень, то амперметр покажет силу тока $I_{2} 2,1$ А. 1) Определите сопротивление амперметра $R_{A}$ при условии, что соединительные провода и поршни имеют пренебрежимо малое сопротивление. 2) Определите силу тока, который показывает амперметр, когда на поршнях отсутствуют грузы. 3) В каких пределах может меняться сила тока в собранной установке, если в распоряжении имеется широкий выбор грузов? Можно считать, что соединительная трубка имеет пренебрежимо малое сечение. Проводимость воды также очень мала. Плотность воды U 1000 кг $м^{3}$. А.Евсеев

Задача 4. Что так, что эдак Ваня и Маша провели 2 эксперимента. В первом эксперименте десятилитровую кастрюлю, заполненную наполовину водой комнатной температуры $t_{0} 20 q C$, грели на плитке мощностью P 1,4 кВт в течение W 10 мин. При этом через $W_{1} 5$ мин после начала эксперимента в кастрюлю, не снимая ее с плитки, долили некоторое количество воды комнатной температуры, а еще через $W_{2} 3$ мин, также не снимая кастрюлю с плитки, из нее столько же воды отлили. Во втором эксперименте при тех же начальных условиях отлив и долив поменяли местами, не меняя общее время эксперимента, моменты манипуляций и количество доливаемой и отливаемой воды. Конечная температура воды в кастрюле в обоих экспериментах совпала. 1) Какой была масса добавляемой в экспериментах воды?

2. Какую температуру имела вода в кастрюле в конце экспериментов? 3) Какого максимального значения достигала температура воды в кастрюле в каждом из проведенных экспериментов? Считайте, что долив и отлив воды происходят очень быстро. Тепловые потери и теплоемкость кастрюли пренебрежимо малы, а вода в процессе экспериментов не закипала. Удельная теплоемкость воды c 4,2 кДж к㠘 q С, плотность воды U 1000 кг $м^{3}$. А.Евсеев

Задача 5. Движение по спице Материальные точки B и C связаны нерастяжимыми нитями AB и BC (рис. 11). Точка C может скользить по неподвижной длинной вертикальной спице, на которой также закреплен конец A нити AB. В момент, показанный на рисунке, нить BC образует угол M 30 q с вертикалью и перпендикулярна нити AB, скорость точки C направлена вниз и равна v, тангенциальное ускорение точки B равно a W и точка B движется в плоскости рисунка. Нити натяну- Рис. 11 ты. Оказалось, что ускорение точки C в рассматриваемый момент равняется нулю. 1) Определите модуль скорости $v_{B}$ точки B в рассматриваемый момент. 2) Определите длину $l_{BC}$ нити BC. 3) Определите модуль ускорения $a_{B}$ точки B в рассматриваемый момент. А.Уймин

10 класс Задача 1. Зонд Экспериментатор Глюк сконструировал атмосферный зонд, состоящий из шара объемом $V 20 м^{3}$, заполненного гелием при давлении $p_{0} 100$ кПа и температуре $T_{0} 300$ К, и подвешенного к нему набора метеорологических датчиков. 1) При какой максимальной массе датчиков зонд сможет подняться на высоту 4 км? 2) На какую максимальную высоту сможет подняться такой шар без датчиков? График зависимости давления воздуха от высоты над поверхностью Земли представлен на рисунке 12. Считайте, что температу-

54

КВ А Н T 2023/№3

Зависимость величины показаний вольтметра от массы поставленного на платформу груза с учетом малости деформации балки может быть представлена в виде $U J m^{n}$, где n – целое число, J – коэффициент пропорциональности. 3) Определите n и J. 4) Теперь предположим, что недеформируемая линия проходит на расстоянии x d 4 от верхней поверхности балки. Рассчитайте в этом случае показания вольтметра при установке на платформу груза массой m. 5) Весы перенесли в более теплое помещение, из-за этого они нагрелись. В процессе нагрева весов балка изменила свою длину, ее относительная деформация составила $H_{3}$ (порядка величин $H_{1}$ и $H_{2} ).$ Изменением толщины и ширины балки можно пренебречь. Рассчитайте в этом случае показания вольтметра при установке на платформу груза массой m. (Недеформируемая линия проходит посередине балки.) При решении задачи считайте известными такие свеличины: E – напряжение источника питания; k – тензометрический коэффициент резисторов №1 и №2; m – масса груза, установленного на весы; D – коэффициент пропорциональности между радиусом кривизны балки в месте крепления резисторов и массой груза в минус первой степени; d – толщина деформируемой балки; $H_{3}$ – относительное удлинения балки при ее нагреве. Величину сопротивления резисторов $R_{0}$ считайте неизвестной. Ю.Черников

прикладывать к невращающейся гильзе для проталкивания ее через отверстие, от величины перемещения представлен на рисунке 20,б. Максимальное значение силы равно $F_{0}$. Эта сила нужна для преодоления силы сухого трения, причем нормальные силы реакции, действующие на участки поверхности гильзы со стороны стен отверстия, не зависят от скорости и угловой скорости гильзы. Поверхности гильзы и отверстия однородны и одинаковы по всей длине. Координата x 0 отвечает положению гильзы, которая только начала входить в плиту. 1) При каком минимальном значении $v_{0} v_{min}$ гильза пролетит через отверстие (начальная угловая скорость $Z_{0}$ всегда одна и та же)? 2) Чему будет равна при этом (при $v_{0} v_{min} )$ угловая скорость $Z_{1}$ вращения гильзы в момент, когда гильза окажется целиком внутри плиты? 3) Через какое время W от момента влета в отверстие при начальной скорости $v_{0} t v_{min}$ гильза окажется внутри плиты целиком? А.Аполонский

11 класс Задача 1. Вращающаяся гильза Тонкостенная цилиндрическая гильза массой m, вращающаяся с угловой скоростью $Z_{0}$ вокруг своей оси, влетает со скоростью $v_{0}$ в отверстие в стальной плите (рис. 20,a). Оси гильзы и отверстия совпадают, внешний радиус гильзы R равен радиусу отверстия, длина гильзы l равна толщине плиты. График зависимости силы, которую необходимо

Задача 2. Как измерить поверхностное натяжение? В поле тяжести на двух невесомых нерастяжимых нитях к горизонтальному стержню CD подвешена планка AB массой m и длиной L. Нити прикреплены к концам планки и располагаются вертикально (рис. 21,а). После погружения системы в неизвестную жидкость и последующего извлечения ее из жидкости в пространстве между нитями, планкой и стержнем сформировалась пленка жидкости, а сама система приобрела вид, представленный на рис. 21,б. При этом минимальное расстояние между нитями оказалось равным d, а расстояние между планкой и стержнем равным h. 1) Определите коэффициент поверхностного натяжения жидкости V. 2) Вычислите величину V при L 10 см, m 2 г, d 5 см, h 8,7 см. А.Аполонский

Рис. 20

Рис. 21

55

ОЛИ МП ИА ДЫ

Задача 3. Трапеция Лорда Кельвина В архиве лорда Кельвина была найдена диаграмма циклического процесса, проводимого с постоянным количеством идеального двухатомного газа, представляющая собой в координатах pV трапецию. От времени чернила выцвели и на рисунке 22 осталась видна лишь трапеция. Известно, что Рис. 22 теплоемкость в каждом из процессов ab, bc, cd, da была постоянна, причем $С_{bc} С_{da}$! $C_{ab} C_{cd}$. Также известно, что максимальная температура газа в цикле равна $T_{1} 400$ К, а температуры некоторой пары из точек a, b, c, d были одинаковы и равны $T_{2} 200$ К. 1) Пользуясь только циркулем и линейкой без делений, восстановите положения координатных осей p и V. Примечание. Описывать построение параллельных и перпендикулярных прямых, проходящих через заданную точку, деление отрезка пополам и подобные стандартные геометрические процедуры не обязательно. 2) Определите температуры $T_{a}, T_{b}, T_{c}, T_{d}$ в точках a, b, c, d соответственно. 3) Найдите КПД цикла K. А.Уймин

Задача 4. Цилиндр и нелинейная плотность заряда Диполь – жесткий стержень длиной H с зарядами q и q на концах – находится на оси тонкостенной цилиндрической трубки радиусом R и высотой H (рис. 23). На

трубку нанесен заряд с поверхностной плотностью V, которая зависит от расстояния x до плоскости нижнего основания по закону

V x

$V_{0} sin^{2}$

S x, 2 H где $V_{0}$! 0. Найдите направление и величину электростатической силы, действующей на диполь в положении, в котором его заряды q и q находятся в центре нижнего основания (точка O) и в центре верхнего основания (точка B) соответственно. К.Соломатин

Задача 5. Движение в скрещенных полях В скрещенных электрическом и магнитном полях движется маленькая частица массой m с положительным зарядом q. Вектор однородного электрического поля с напряженностью E направлен вдоль оси y (рис. 24).

Рис. 24

Вектор индукции магнитного поля направлен вдоль оси z, перпендикулярной плоскости xy, а его величина зависит только от координаты y по закону B D y. В начальный момент времени частица расположена в начале координат, а ее скорость равна нулю. При дальнейшем движении частица впервые остановилась в момент времени t T после начала движения. Силы тяжести нет. 1) Определите скорость частицы в момент, когда она направлена вдоль оси x. 2) Определите радиус кривизны траектории частицы в точке с координатой y. 3) Изобразите траекторию частицы за время движения T. 4) На каком расстоянии от точки старта окажется частица через время W 3 T 2? Примечание. При малых значениях ’ x справедлива формула ’ $x^{n}$

$nx^{n} 1$ ’ x. А.Уймин

Публикацию подготовил В.Слободянин

Рис. 23

58

КВАН T 2023/№3

ним из них занимает свое место король, перешедший двумя ходами с клетки c1 на c3), делается последний ход: король, сделавший когда-то самый первый ход, передвигается с клетки b1 на клетку c1. Всего 36 ходов. Эта задача является развитием задачи М2494 «Задачника «Кванта» (ее автор Р.Ефремов).

Региональный этап XLIX Всероссийской олимпиады школьников по математике

9 класс

1. Они затратили поровну времени. Между двумя моментами встречи каждый мальчик проехал половину асфальтового и половину песчаного участков, и они затратили на это поровну времени. Значит, на всю дорожку каждый из них затратил вдвое больше времени, т.е. тоже поровну. 2. Нельзя. Многоугольник, у которого площадь (измеренная в $см^{2} )$ численно равна периметру (измеренному в см), назовем хорошим. Заметим, что исходный треугольник – хороший: он прямоугольный с катетами 5 см и 12 см, поэтому его площадь равна $30 см^{2}$ и численно совпадает с его периметром, равным 5 12 13 30 см. Если какой-то многоугольник 3 разбит на хорошие многоугольники, то площадь 3, равная сумме площадей всех многоугольников разбиения, совпала бы численно с суммой периметров многоугольников разбиения. Но сумма этих периметров больше периметра 3 (на удвоенную сумму длин общих частей границ многоугольников разбиения). Получаем, что площадь 3 больше его периметра. Значит, никакой хороший многоугольник, в том числе данный треугольник, нельзя разрезать на несколько (больше одного) хороших многоугольников. 3. 2 n 1. Заметим, что в каждой вертикали и каждой горизонтали стоит ровно по одной ладье. Покажем сначала, что все 2n ладей не могли попасть в одну часть. Пусть A, B, C, D – угловые клетки доски (в порядке обхода против часовой стрелки; рис. 9). Из симметрии, A и C должны принадлежать разным частям, как и B и D. Это значит, что либо A и B, либо A и D лежат в одной части, а остальные две клетки – в другой. Пусть для определенности A и B лежат в части I. Тогда все граничные клетки между ними также должны лежать в части I; действительно, если какая-то такая клетка X лежит в части II, то в

Рис. 9

ней же лежит какой-то путь из X в C, а в части I лежит какой-то путь из A в B; но эти пути должны иметь общую клетку, что невозможно. Значит, вся горизонталь между клетками A и B лежит в части I, т.е. в ней должна быть хотя бы одна ладья. Аналогично, в части II тоже есть целая горизонталь (между C и D), а значит, есть ладья. Отсюда и следует требуемое. Осталось привести пример, когда в одной из частей расположено 2 n 1 ладей. Один из возможных примеров устроен так. Рассмотрим диагональ квадрата; в одну часть попадут клетки ниже нее, а также нижняя половина самой диагонали; остальные клетки попадут во вторую часть. Расставим 2 n 1 ладей в клетки непосредственно под диагональю; тогда они окажутся в одной части. Оставшуюся ладью поставим в пересечение оставшихся строки и столбца. На рисунке 8 указан такой пример при n 5. 5. Обозначим окружности с диаметрами AB и CD через $Z_{1}$ и $Z_{2}$ соответственно. Заметим, что точка S лежит на отрезке MN. Пусть прямые CS и DS пересекают l в точках P и Q соответственно (рис. 10). Поскольку CD – диаметр $Z_{2}$, имеем ‘ PSQ ‘ CSD 90 q. В прямоугольном треугольнике PSQ отрезок SM – высота, поэтому ‘ MSP 90 q ‘ SPM ‘ SQP. С другой стороны, поскольку NS NC, имеем ‘ SCD ‘ CSN ‘ MSP. Итак, ‘ SCD ‘ MSP ‘ SQP, т.е. точки P, Q, C и D лежат на одной окружности J c.

Рис. 10