Квант 2023, №6 · Страницы

3

КУРЧАТОВ И СОВЕТСКИЙ АТОМНЫЙ ПРОЕКТ

твердость и решительность характера. В 1908 году семья перебралась в Симбирск, а в 1912 году переехала в Крым – у дочери, старшего ребенка в семье, обнаружился туберкулез легких, от которого она так и не излечилась в Крыму. У Игоря остался младший брат Борис (тоже будущий ученый, физик и радиохимик). Курчатовы жили на окраине Симферополя, неподалеку от гимназии, в которой стали учиться оба брата. В здании этой гимназии сейчас находится Симферопольская гимназия № 1 имени И.В.Курчатова. Отец ездил по Крыму, выполняя землемерные работы, и на каникулах брал с собой сыновей – в качестве своих помощников. Материальное положение семьи было трудным, особенно после начала мировой войны. Игорь старался хоть чтонибудь заработать и головой – репетиторством, и руками – в слесарной мастерской. Он стал готовить себя к инженерной деятельности. Учитель математики прочил ему большое будущее, но и преподаватель словесности поощрял его гуманитарные склонности. В Крыму менялась обстановка – то красные, то белые, то опять красные, то опять белые. Но при этом жизнь в Симферополе шла своим чередом. В 1918 году, в «красный» период, в Симферополе был создан

И.В.Курчатов в молодости (еще без бороды)

Таврический университет, где стали преподавать многие замечательные ученые. Дело а том, что в Крым в это время переехало из столиц много ученых, артистов, литераторов, спасавшихся от московского и петроградского голода и холода. Первым ректором университета был великий В.И.Вернадский, его сменил крупный химик академик А.А.Байков. В 1920 году Игорь Курчатов закончил гимназию с золотой медалью (правда, золота на медаль не нашлось, и он получил только свидетельство о награждении). Он поступил на физико-математический факультет университета. Там тогда преподавали физику академик А.Ф.Иоффе и его ученик И.Е.Тамм. За три года Курчатов проходит весь университетский курс и защищает дипломную работу. Но он пока мечтает не о физике, а о кораблестроении – он полюбил корабли, бывая с отцом на крымских берегах. Курчатов хочет стать корабелом и едет в Петроград. Его принимают на третий курс кораблестроительного факультета Политехнического института. Для заработка он устраивается на работу в метеорологическую лабораторию в Павловске и выполняет здесь свою первую научную работу «О радиоактивности снега». Он проявил при этом стремление делать измерения с предельно возможной точностью и надежностью результатов. Уж не эта ли работа определила его грядущий путь – стать физиком-ядерщиком? Но до этого еще далеко. А пока приходится оставить учебу в институте (вышло решение о запрете второго высшего образования). Курчатов приезжает к родителям в Крым, где его бывший профессор физики уговаривает ехать вместе с ним в Баку – ассистентом на кафедру физики Азербайджанского политехнического института. С сентября 1924 года Курчатов – в Баку. Ему уже нет надобности искать побочные заработки. Зарплаты ассистента хватает и на жизнь, и на книги, и на приличную одежду. Все свободное от педагогической работы время он отдает научной работе. Теперь он занимается физикой, электролизом в твердых телах, твердотельной диффузией. И приходит увлечение таинствен-

8

КВАНТ 2023/№6

вывозе оборудования накануне блокады не смог помочь с эвакуацией. Но поездка не состоялась. Курчатов прилетел в Казань уже в тифозной горячке и длительное время провел на больничной койке – сначала сыпняк, потом воспаление легких, затем нелады с сердцем. Все эти месяцы он не брился, и у него появилась замечательная борода «лопатой», которая тогда имела интенсивно черный цвет. С этого времени заочным «именем» Курчатова стало Борода. Так его уважительно и одновременно любовно впоследствии называли все – от рядовых сотрудников до маршалов и наркомов. Во время болезни ему пришлось узнать горестную весть. В блокадном Ленинграде умер его отец, а мать, эвакуированная по «Ледовой дороге», скончалась от сердечного приступа в Вологде. Выздоравливающий Курчатов подключается к военным заданиям, руководит работами по созданию брони нового типа (слоистой, или, как стали ее для секретности называть, «конструктивной»). Его требует к себе и военно-морской флот, и военная авиация. Но Иоффе не отпускает его из Казани, и Курчатов уже понимает причину этого. В институтском журнале регистрации командировок 9 января 1943 года появляется лаконичная запись: «Заведующего лабораторией И.В. Курчатова и члена-корреспондента АН СССР А.И.Алиханова полагать в командировке». Срок командировки, ее назначение и место не указаны. Началась новая жизнь Игоря Васильевича Курчатова. Процитируем Я.Голованова, автора замечательных биографий ученых: «Как мог понять он тогда, что станет ученым совершенно нового типа, склада характера и практики работы? Никто до него не объединял в себе, вернее, не сплавлял в себе воедино ученого, политика, государственного деятеля. Ни один физик до него не пользовался такой властью и не нес такую ответственность. Подобно древним полководцам, он основал огромную империю. Но символом ее был не меч, а щит. Это была атомная империя». В 1941-42 годах прекрасно работавший научный отдел управления внешней раз-

ведки получил подробные материалы о разворачивании атомных (ядерных) работ в США и Великобритании. Эти материалы легли на стол руководителя государственной безопасности страны Л.П.Берии. Вначале он не придавал им значения, но все же доложил о них И.В.Сталину, председателю Государственного комитета обороны (ГОКО) – высшего государственного органа во время войны). В это же время Сталин получил еще одно известие, не связанное с ведомством Берии. Сотрудник Курчатова, Георгий Николаевич Флёров, был мобилизован в начале войны на курсы Военно-воздушной академии и на фронте стал инженером авиационного полка по срочному ремонту поврежденных самолетов. Один из открывателей явления самопроизвольного деления урана, он чувствовал, что урановая проблема должна приобрести важнейшее значение, и писал об этом своим коллегам и друзьям. В 1942 году полк был отозван на переформирование в Воронеж, который еще не был захвачен немцами. И там первым делом Флёров отправился в университет и стал просматривать научные журналы последних лет, имевшиеся в университетской библиотеке. И его поразило, что начиная с осени 1940 года ни одной научной статьи по ядерной физике в английских и американских научных журналах нет. Флёров понимает, что прекратиться ядерные работы не могли. Значит, дело в другом – ядерная физика приобрела военное значение. Учитывая, что ядерная реакция деления урана была открыта немецкими радиохимиками, Флёрову стало ясно, что американские и английские физики договорились не печатать статей о своих работах, в которых они наверняка достигли каких-то успехов, чтобы скрыть их от немецких ученых. И он начинает писать письма о необходимости развертывания работ по ядерной физике и по урану. Пишет уже не только своим коллегам, но и в Президиум Академии наук, в правительство и, наконец, в Государственный комитет обороны. Уполномоченный ГОКО, отвечающий за научные работы для военных целей, председатель Всесоюзного ко-

10

КВАНТ 2023/№6

руководил до конца жизни. Сегодня это крупнейшее научное учреждение, и называется оно Национальный исследовательский центр «Курчатовский институт». Дальнейший путь И.В.Курчатова так тесно связан с советским атомным проектом, что трудно отделить вехи этого Проекта от деятельности его научного руководителя. На первой стадии Проекта решающими были даже не сами научные вопросы, а организация работ по всем направлениям. Основными направлениями работ были: i создание специальных геологических управлений для поисков урановых руд и организация работ по добыче этих руд на открываемых месторождениях; i создание технологий получения сверхчистого урана и постройка химических комбинатов для этой очистки; i научная разработка нескольких технологий извлечения из природного урана изотопа урана-235 и постройка комбинатов для этой цели; i создание технологии получения из природного урана искусственного делящегося элемента (плутония) и постройка соответствующих комбинатов; i создание специального конструкторского бюро для научных и технических работ по изготовлению самих «изделий», как во всех секретных документах стали именовать атомные (ядерные) бомбы; i создание специальной измерительной аппаратуры и полигона для испытаний ядерного оружия. По всем этим направлениям Курчатов подбирал наиболее компетентных и деятельных руководителей, административных и научных. И сам он стал не только физиком, но и геологом, и химиком, и строителем. Его слово было решающим при определении сроков выполнения работ и необходимости материальных и финансовых затрат. А затраты эти были необычно велики. Сверхвысокая степень очистки урана и плутония, малое содержание необходимого изотопа в природном уране требовали многократного (тысячекратного) повторения одних и тех же технологических операций. Заводские ли-

И.В.Курчатов и Н.Л.Духов нии каждой операции на комбинатах могли иметь километровую длину. Именно это предвидел Нильс Бор, когда в 1940 году считал неосуществимыми ядерные бомбы и ядерные электростанции. Но тем не менее, военно-промышленный потенциал и уровень развития науки в США смогли обеспечить преодоление этих трудностей. И этот факт, о котором Курчатов знал из данных разведки, поддерживал его веру в конечный успех. Приходится иной раз слышать о том, что «бомбу» сделали американцы, а Советский Союз украл секрет и скопировал ее. При этом ссылаются на интервью 1994 года с одним из создателей ядерного оружия Главным конструктором Ядерного центра с 1946 по 2001 год Ю.Б.Харитоном. Это было первое рассекречивание его имени и самого Центра, тогда называвшегося КБ-11, а ныне это Российский федеральный ядерный центр – Всероссийский научно-исследовательский институт экспериментальной физики. В интервью Харитон сказал: «Да, это была копия американской бомбы». Формально, с точки зрения конструктора, это было верно. В КБ-11 в 1946-49 годах разрабатывались два варианта бомбы. Разработка одного, плутони-

11

КУРЧАТОВ И СОВЕТСКИЙ АТОМНЫЙ ПРОЕКТ

Главный научный руководитель, Главный конструктор и Главный теоретик. Памятник И.В.Курчатову, Ю.Б.Харитону и Я.Б.Зельдовичу, разрывающим атом евого варианта (РДС-1), опиралась на данные, полученные разведкой от английского физика Клауса Фукса, работавшего несколько лет в американском ядерном центре в Лос-Аламосе, и еще от нескольких американских физиков. Другой вариант, урановый (РДС-2), был целиком разработан в КБ-11. Оба варианта были готовы к осени 1949 года, но Сталин принял решение все-таки первым испытать американский вариант, чтобы понапрасну не рисковать. Да, изделие РДС-1 было похоже на бомбу, уничтожившую 6 августа 1945 года Хиросиму. Но известен был только принцип и общая схема ее конструкции. Главный секрет, что такую бомбу можно сделать, перестал быть секретом в 1945 году. Но сотни секретов отдельных узлов конструкции требовали огромного труда для выполнения теоретических расчетов, инженерных проектов, создания макетов и их испытаний. Вот только один пример. Было известно, что инициирование взрыва должно производиться с помощью сходящейся сферической ударной волны от взрыва химического взрывчатого вещества, облегающего плутониевый шар. Плутоний имеет вначале докритическую плотность. Это означает, что отдельные случайно появляющиеся нейтроны не могут начать лавинный («цепной») процесс де-

ления ядер плутония и вылетают за пределы активной зоны, ничего не совершив. Чтобы обеспечить начало и развитие цепной реакции, плутоний нужно сильно сжать, дабы увеличить вероятность встречи нейтронов с атомными ядрами. В популярную литературу проник термин «критическая масса». А правильнее говорить о критической плотности. Сжатие плутония до критической плотности и производится взрывом сферического слоя взрывчатки. Но чтобы обеспечить равномерное обжатие плутониевого заряда, ударная волна должна иметь идеальную сферическую форму. А как произвести подрыв, чтобы это произошло? Ведь никто никогда таких зарядов не взрывал. Из сообщений Фукса было известно, что для этого нужно произвести подрыв одновременно в 32 точках сферы. Не зная, как это было вычислено, решили взять 32 отдельные призмочки из взрывчатки, тесно расположив их в сферическом слое, и одновременно электродетонаторами произвести подрыв. Но очень долго ничего не получалось. Волна не получалась сферической и вместо равномерно обжатого макетного алюминиевого шара получались самые разнообразные формы, очень занятные с точки зрения абстрактного искусства, но совершенно не годящиеся для бомбы. На полигоне в КБ-11 гремели взрывы, их было сделано уже несколько сотен. Курчатов ежедневно получал сведения о результатах этих работ, вернее об отсутствии нужных результатов. Руководитель этого направления И.А.Терлецкий, талантливый инженер из военного ведомства, придумал и просчитал оригинальную систему из 12 пятиугольных и 20 шестиугольных призм, составляющих общий сферический слой. И «юбилейный» тысячный взрыв показал – ударная волна получила наконец сферическую форму и макет плутониевого заряда после взрывного обжатия был идеальным шаром. Высшим шиком участников этих работ было прикурить от еще горячего после обжатия макета. И это только один эпизод из работы одной из 10 лабораторий КБ-11.

12

КВАНТ 2023/№6

В другой лаборатории, например, бились над решением проблемы одновременности подрыва 32 зарядов с необходимой наносекундной точностью. Отметим кстати, что помещение электродетонаторов в заготовленные на корпусе бомбы отверстия было заключительной операцией после установки бомбы в точке предстоящего испытательного взрыва на Семипалатинском полигоне 29 августа 1949 года. Эту операцию выполнил (в полном одиночестве, за два часа до намеченного момента взрыва) один из Главных конструкторов атомного проекта Кирилл Иванович Щёлкин. Известен такой курьезный факт. Когда изделие РДС-1 прибыло спецрейсом на полигон, соответствующее ведомство (не знавшее о назначении этого наисекретнейшего предмета) потребовало от получателя расписки о его получении. К.И.Щёлкин поставил свою подпись. И долго потом с него требовали объяснения, куда он дел полученное изделие. А сказать правду он не мог из-за страшной секретности тогда всех атомных дел. И, наконец, самое важное. По данным Фукса, делящимся материалом для первой американской бомбы был плутоний-94, которого в природе практически нет. Он может появиться в результате присоединения к ядру урана-238 нейтрона и двух последующих бета-распадов. Это может происходить в ядерном реакторе на медленных нейтронах, в котором применяется обогащенный уран (где содержание делящегося и дающего необходимый поток нейтронов изотопа урана-235 значительно по-

И.В.Курчатов, Ю.Б.Харитон и К.И.Щёлкин

вышено). Эта идея появилась в США (Э.Лоуренс, Э.Ферми) и была осуществлена в конце 1942 года. Курчатов знал об этом – между прочим, ему, единственному физику, было позволено ознакомиться с данными разведки, полученными через Фукса. Но эти данные были слишком скудными. Курчатову пришлось самостоятельно полностью разработать всю идею получения плутония и принципы работы ядерного реактора. И в отличие от ученых США, он с самого начала разрабатывал идею ядерного реактора не только как источника плутония, но в первую очередь как идею «мирного атома», идею использования урана как топлива для получения энергии. И не случайно именно в нашей стране в подмосковном Обнинске заработала первая в мире атомная (ядерная) электростанция – 26 июня 1954 года состоялся промышленный запуск этой электростанции. Курчатов поздравил всех присутствовавших в зале управления электростанции шутливым «С легким паром, друзья!». А за семь с половиной лет до этого, 26 декабря 1946 года на окраине Москвы, на территории Лаборатории №2 его рукой был запущен опытный реактор для получения плутония. Но, чтобы получить 20 кг плутония для первой бомбы, нужно было построить несколько грандиозных комбинатов. На одних заводах очищался и обогащался природный уран, на других сооружались реакторы для получения плутония. Это, пожалуй, стало главной заботой Курчатова на начальном этапе Атомного проекта. Важной задачей было и сооружение специального полигона для испытания бомбы и регистрирующих систем измерения всех видов излучений ядерного взрыва. Когда в 1946 году в Великобритании начались работы по созданию собственной английской ядерной бомбы, то из Лос- Аламоса, американского ядерного центра, приехало 20 специалистов, в том числе и Клаус Фукс. И понадобилось целых 6 лет, чтобы состоялось испытание первой английской бомбы. А в Советском Союзе это было сделано за два с половиной года. Да, действительно передача Фуксом сведений об американской бомбе помогла сократить

13

КУРЧАТОВ И СОВЕТСКИЙ АТОМНЫЙ ПРОЕКТ

сроки создания бомбы. Но насколько? В литературе можно найти самые разные оценки сокращения сроков – от одного года до десяти лет. А когда встал вопрос об урановой бомбе, сброшенной 8 августа 1945 года на Нагасаки, то о ней уже не было никаких данных разведки. А в ней многое уже было другим, не похожим на плутониевую бомбу, не говоря уже о проблеме получения сверхчистого изотопа урана-235. Испытание урановой бомбы, изделия РДС-2, состоялось на Семипалатинском полигоне 24 сентября 1951 года. И это был первый в нашей стране сброс ядерной бомбы с самолета (только что созданного тогда бомбардировщика ТУ), готовая урановая бомба почти два года ждала своего носителя. Так каково же все-таки в создании советского ядерного оружия значение сведений, полученных разведкой? Безусловно, некоторое время было сэкономлено. Но правдоподобно оценить это время нет никакой возможности. И думается, что главной помощью следует считать не сами отдельные детали, а сообщения о возникших огромных трудностях, как научно-технических, так и организационно-государственных, которые для решения проблемы необходимо было преодолеть. И то, что эти трудности были преодолены, вдохновляло Курчатова. А его горячая вера в успех дела заражала окружающих. Ознакомиться с материалами Фукса из физиков-ядерщиков мог только Курчатов. И ему пришлось, не доказывая этого никому, принять единоличное решение об ускоренном сооружении ядерных реакторов (опытного и промышленных) для получения плутония, И нужно было создать новую отрасль химической и металлургической технологий. Можно смело утверждать, что успех в этом был достигнут только благодаря воле и настойчивости Курчатова, благодаря его умению привлечь к руководству каждым направлением самых подходящих энергичных и знающих ученых, а также благодаря таланту и эрудиции самого Курчатова не только в физике, но и во многих областях химии и инженерного дела. Во время строительства атомных объектов его

И.В.Курчатов и А.Д.Сахаров рабочее место перемещалось на стройки, где он вникал во все детали проектирования, строительства и монтажа. Не говоря уж об испытаниях «изделий», на которых он всегда был главным научным руководителем. А их при его жизни было больше 50. Привлекая к проектированию водородной бомбы группу из Физического института АН СССР (И.Е. Тамм и А.Д. Сахаров), Курчатов уже тогда имел в виду будущее применение термоядерной реакции синтеза для получения электрической энергии, а не только для взрыва. Он организовал в Институте атомной энергии первые исследования в этом направлении (установка «Огра») и начал работы по созданию «Токамака». Эти работы были в 50-е годы строго засекречены. Но Курчатов возражал против этой секретности и добился разрешения в 1956 году выступить с докладом в Харуэлле (английском ядерном центре) о достижениях советских ученых в этом направлении. Этот доклад стал крупным событием не только в научном мире. Оказалось, что исследования в СССР намного опередили работы английских и американских ученых. Важным был поэтому и международный политический аспект этого рассекречивания. Курчатов в конце 50-х годов лучше всех понимал, что главная политическая задача выполнена, что создание арсенала ядерного оружия в СССР – это надежная гарантия того, чтобы холодная война не переросла в горячую. И он уже мог переключиться почти целиком на решение задачи о «приручении» ядерной реакции синтеза гелия из изотопов водорода, созданию термоядерной электростанции. С самого

14

КВАНТ 2023/№6

начала он добился того, что эти работы не были секретными, чтобы ученые всех стран смогли совместно решать эту труднейшую задачу, как это сейчас и делается в работе по созданию ИТЕР (международного термоядерного экспериментального реактора). Все, кому повезло общаться с Курчатовым, запомнили его как деятельного, никогда не устающего ученого и руководителя, невероятно доброжелательного ко всем, с кем ему приходилось работать, – от простого слесаря до министров и генералов. С одинаковым приветствием «Физкульт-привет!» обращался он и к высокопоставленным участникам правительственных совещаний, и к коллегам. Даже, например, и к нам, «зеленым» научным сотрудникам, только что с вузовской скамьи, когда общался с нами на испытательном ядерном полигоне под Семипалатинском. Вот несколько штрихов. Полигон, воскресный день, перерыв в испытаниях. Мы идем после завтрака в гостиницу. А навстречу нам стремительно идет, почти бежит Борода (так называли Курчатова заочно все). Он спешит на очередное совещание, несмотря на воскресное утро. «Физкульт-привет, мальчики!» – бросает он нам на ходу. И нам становится неловко за наше намерение в выходной день пойти прогуляться по зеленым плавням Иртыша. Научный центр полигона, наше рабочее место, где мы анализируем результаты ядерных испытаний. В сопровождении генералов и нашего научного руководителя входит Борода. Он в это время озабочен проблемой распознавания ядерных взрывов по их сейсмическому воздействию на земные недра – можно ли отличить это воздействие от природных землетрясений. А наша группа как раз этим занимается и в Москве, и на полигоне в период между испытаниями «изделий РДС». Несколько часов Курчатов без устали беседует с нами, знакомясь с результатами наших работ. И нас поражает, как быстро он вникает в самую суть наших изысканий, как мгновенно оценивает то, на что у нас уходило немало времени. И при этом не только не «возвышается» над нами, а каким-то не-

уловимым образом показывает, что мы его мысли и без него уже знали, а ему нужно лишь наше подтверждение. Вот эту необычайную доброжелательность к людям, особенно к молодым ученым, воспринимали от него и другие руководители Атомного проекта. Курчатов ушел из жизни 7 февраля 1960 года после третьего инсульта. Одной из причин трагедии стала, конечно, огромная интегральная доза радиации, которую он получил в своем общении с ураном, плутонием и радиоактивными продуктами их распада. Впрочем, тогда еще и не умели толком определять биологические дозы получаемой радиации. Другой причиной стали его разногласия с руководством страны по поводу увеличения энергии водородных бомб на испытаниях на Новоземельском ядерном полигоне. А Курчатов спешил с исследованиями по мирному использованию энергии термоядерной реакции синтеза водородных ядер. Одну из первых конструкций он назвал «ДОУ-3», что расшифровывалось «до третьего удара», поскольку два инсульта уже состоялись. Не успел. Прах Курчатова захоронен в Кремлевской стене. Его имя носят площади и улицы во многих городах России. Памятники ему установлены не только на родине, в городке Сим, или в Москве, но и во многих иных городах России и других стран, около ядерных электростанций. Город, возникший в казахстанской степи около Семипалатинска, бывший когда-то научным центром и штабом ядерных испытаний, носит гордое имя – город Курчатов. Сегодня там размещаются институты Казахстанского ядерного научного центра. В городе есть интереснейший музей истории ядерных испытаний на семипалатинском полигоне, в котором с уважением и любовью воссоздан кабинет, где Курчатов работал в периоды испытаний. Есть город Курчатов и в России – в Курской области, где работает одна из самых крупных в стране ядерных электростанций. В веках останется память об ученом, отдавшем жизнь созданию ядерного щита Родины, который спас в те годы мир от угрозы ядерной войны.

24

КВАНТ 2023/№6

а вторая бригада – 2 стола за час. Если они работает вместе, одновременно, то за каждый час делают 3 стола. На изготовление 36 столов у них уйдет 36: 3 = 12 часов. Задача решена. Толик посмотрел ответ в учебнике – задачу он решил верно. А раз так, то почему бы не решить еще задачу? Азарт! Задача 2. Вода из первой трубы заполняет бассейн за 20 часов, вода из второй трубы – за 30 часов. За сколько часов заполнит бассейн вода, вытекающая одновременно из обеих труб? – Так, есть бассейн, в нем вода, – начал размышлять Толик. – А какой бассейн – большой, маленький? Сколько литров вмещает? Пусть литров… Толик задумался. – Хорошо будет, если число литров разделится нацело и на 20, и на 30. Есть такое число, пусть бассейн вмещает 60 литров. Мало? Пусть это будет не бассейн, а аквариум, нет разницы, что заполнять. Тогда первая труба дает 60: 20 3 литра воды в час, вторая 60: 30 2 литра. Через обе трубы за час в бассейн попадают 3 2 5 литров воды. А полностью бассейн заполнится за 60: 5 12 часов. И эту задачу Толик решил верно. Тут пришло ему время удивиться. Что же получается? Он – второклассник, а умеет решать задачи за 5 класс! Он попытался прочитать то, что написано о решенных им задачах в учебнике. Но понять ничего не смог. Там были какие-то незнакомые ему дроби, а в первой задаче вся работа принималась за единицу… Когда Толик рассказал свои решения нашему учителю Ивану Петровичу, то получил задание сделать доклад на эту тему. Потом Иван Петрович пояснил, как довести решения Толика до совершенства, чтобы к решениям не было никаких претензий и замечаний. В первой задаче про две бригады все задание (или всю работу) надо разделить на 36 равных частей. Тогда первая бригада за час выполняет 1 часть этого задания, вторая – 2 части. При совместной работе они выполняют за один час 3 части задания. Всего частей работы 36, делим 36 на 3 и получаем 12 часов. Для чисел 36 и 18 число 36 является наименьшим общим кратным, обозначает-

ся НОК 36, 18. Это – наименьшее число, которое делится и на 36, и на 18. Во второй задаче объем бассейна мысленно надо разделить на 60 равных частей. Здесь число 60 – это НОК 20, 30. Школьные учебники учат в подобных задачах всю работу (или объем бассейна, или расстояние) принимать за единицу. Но такое математическое моделирование работы или объема неразумно, поскольку дальше школьникам приходится мучиться с обыкновенными дробями. Работу и объем следует делить на подходящее число частей. Именно так чаще всего поступают физики. Такой подход применим к задачам на работу, на бассейны, на движение. Задача 3. Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Они встретились через 40 минут после выхода. Через 32 минуты после встречи первый пришел в В. Через сколько минут поле встречи второй пешеход пришел в А? Первый (I) пешеход прошел отрезок СВ за 32 минуты, второй (II) пешеход – за 40 минут (см рисунок). Выберем подходящее число для моделирования этого отрезка СВ. Такое число – это НОК 40, 32 160. Будем считать, что отрезок СВ состоит из 160 (ста шестидесяти) равных кусочков (слово кусочек используем вместо слова часть). Тогда скорости пешеходов выражаются целыми числами. Скорость первого равна 160: 32 5 кусков в минуту, скорость второго 160: 40 4 куска в минуту. Расстояние от А до места встречи первый пешеход проходит за 40 мин, и оно равно 5 кус мин ˜ 40 мин 200 кус. Теперь находим, за какое время проходит это расстояние второй пешеход: 200 кус: 4 кус мин 50 мин. И эту задачу мы решили, используя только целые числа. Мы обошлись без дробей.

25

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

ШКОЛЬНИКОВ

Задачи

Дети посетили дельфинарий. Катя запомнила, что там было ровно 7 то ли выдр, то ли тюленей; Юра – что там было ровно 6 то ли морских котиков, то ли тюленей; Игорь – что там было ровно 5 то ли выдр,

воды 15 см было два острова (если острова «граничат по углу», то считаются отдельными островами), а при уровне воды 25 см все башенки оказались закрыты водой и стало 0 островов. Придумайте, какие башенки из кубиков можно поставить, чтобы количество островов было следующим:

В ответе напишите в каждой клетке квадрата 5 на 5, сколько кубиков на ней стоит.

то ли морских котиков; Сережа – что меньше всего там было то ли тюленей, то ли выдр. Никто из них не ошибся. Сколько выдр, тюленей и морских котиков было в дельфинарии?

Т.Голенищева-Кутузова, И.Ященко

Сережа выписал все натуральные числа от 1 до N и заметил, что ровно 40% из них

Т.Казицына

Посреди пустого бассейна стоит квадратная платформа $50^{u} 50$ сантиметров, расчерченная на клеточки $10^{u} 10$ см. На клетки платформы Лена ставит башенки из кубиков $10^{u} 10^{u} 10$ см. Потом Таня включает воду. Если высоты башенок были такие, как в таблице на рисунке, то при уровне воды 5 см был 1 остров, при уровне начинаются с единицы. Докажите, что и N начинается с единицы.

С.Губанов

М. Евдокимов

Задачи 1 и 2 предлагались на Математическом празднике, задачи 3 и 4 – на Московской устной олимпиаде.

Иллюстрации Д.Гришуковой

В выпуклом четырехугольнике ABCD равны стороны AB, BC и CD, а угол D равен сумме углов A и C. Чему равен угол DAC?

…пуская кровь на Яве новоприбывшим европейцам, я сделал наблюдение, что взятая из плечевой вены кровь имеет почти всегда поразительно яркую красную окраску. Это явление приковало все мое внимание. Юлиус Майер В моей книжке «О сохранении силы» я намеривался лишь дать критическую оценку и систематизировать факты в интересах физиологов… Герман Гельмгольц Сердце… сжимаясь и расширяясь поочередно для выгона и принятия крови, рождает пульс или бой, отзывающийся во всех боевых жилах тела. Владимир Даль

Пожалуй, ни один метод изучения магнитных свойств вещества не давал еще такую богатую информацию, как найденный Завойским резонансный. Петр Капица

Мы научились связывать технологии и биологию: искусственные слух и зрение – удел уже сотен тысяч людей. Дэвид Иглмен

Можно ли будет оживить тех, кого уже заморозили? Обри ди Грей

А так ли хорошо знакомы вам

ФИЗИКА + МЕДИЦИНА

Необычайно интенсивный прогресс медицины происходит на наших глазах, все более впитывая новейшие достижения не только цифровых технологий, но и фундаментальных физических открытий. Клиники порой напоминают интерьеры из фантастических фильмов о лабораториях будущего, поражая обилием диагностической и лечебной аппаратуры, а работающие с ней «люди в белых халатах» – ученых-исследователей. Рентгенография, лазерные скальпели, протонная терапия, УЗИ, МРТ… – этот список только пополняется, лишь подчеркивая возрастающую роль науки в благородном деле врачевания, сохранения здоровья и продления жизни человека. Нам всем так или иначе приходилось (и приходится!) обращаться к медикам. Попробуем взглянуть на область нашего с ними взаимодействия со ступенек школьного курса физики.

Вопросы и задачи

1. Почему при порезе пальца кровь вытекает равномерно, а не толчками, в такт биениям $сердца?^{2.}$ Отчего больных с высокой температурой при отсутствии лекарств раньше растирали водой, смешанной со спиртом, а не просто водой?

?

3. Почему нагретая медицинская банка «присасывается» к телу $человека?^{4.}$ Даже здоровые зубы начинают болеть от холодного мороженого. Чем это $объяснить?^{5.}$ Зачем стоматолог перед осмотром рта пациента прогревает $зеркальце?^{6.}$ Зубные врачи не рекомендуют есть очень горячую пищу. $Почему?^{7.}$ Почему мы дрожим от холода, а на коже появляются $«мурашки»?^{8.}$ Для чего проводят электроантисептирование – на время погружают овощи и фрукты в электростатическое $поле?^{9.}$ С какой целью пациентов некоторых клиник помещали внутрь клетки Фарадея – металлической сеточной конструкции, а сегодня ее используют для размещения магнитно-резонансного $томографа?^{10.}$ Во время операций тень от рук хирурга частично закрывает операционное поле. Как устранить такое неудобство?$^{11.}$ Какой физический смысл имеет выражение: «Из глаз посыпались искры»?$^{12.}$ Меняется ли расстояние наилучшего зрения у близоруких людей после надевания выписанных им очков?

13. Как будут выглядеть на специальном экране в рентгеновском кабинете кости человека и внутренние $полости?^{14.}$ Для получения рентгеновских лучей, применяемых в медицине, необходимо, чтобы поток электронов ударял в одну точку антикатода трубки, а не падал на него широким пучком. Почему?

Микроопыт

Из пузырька с широким горлышком капать лекарство неудобно. Попробуйте воспользоваться старой «хитростью»: вставьте в горлышко надломанную под прямым углом чистую (без головки) деревянную спичку. Получилось накапать? Как это объяснить?

Любопытно что…

… как минимум три тысячи лет назад появились искусственные части тела. На сегодня самая древняя известная из них – это протез стопы, сделанный из дерева и кожи и обнаруженный на древнеегипетской мумии. … придворный врач английских королей Уильям Гарвей, открывший в начале XVII века кровообращение, уподоблял человека миниатюрной модели Вселенной. Кровь, как и планеты, должна двигаться по кругу, в центре которого, подобно Солнцу, расположено сердце. … еще в середине XVIII века профессор физики Туринского и Парижского университетов аббат Нолле описывал интереснейший опыт: при малейшем повреждении кожи наэлектризованного человека из ранки начинала бить струйка мельчайших капелек крови. Осмыслить это явление удалось лишь через полтора столетия – после появления работы лорда Рэлея об устойчивости сильно заряженной капли, подверженной действию сил поверхностного натяжения. … многие известные физики были по образованию врачами. Например: один из создателей волновой теории света Томас Юнг; сформулировавшие закон сохранения энергии Юлиус Майер и Герман Гельмгольц; Жан Фуко, экспериментально доказавший вращение Земли вокруг своей оси…

… за обнаружением в 1944 году электронного парамагнитного резонанса (см. эпиграф) последовала цепочка открытий все новых разновидностей магнитных резонансов, что позволило получать трехмерное изображение, не нарушающее целостность объекта, и стало одним из важнейших методов диагностики в медицине. … искусственный кардиостимулятор – электрический прибор, помогающий сердцу биться с нужной частотой, – был впервые установлен пациенту еще в 1958 году. Сейчас во всем мире ежегодно людям имплантируют более миллиона кардиостимуляторов…. кальций, самый тяжелый из химических элементов, содержащихся в нашем организме, преимущественно локализуется в костях, что делает их ясно видимыми при рентгеновских исследованиях. Эта информация крайне важна для космонавтов, теряющих кальций в условиях невесомости, и для разработки для них специальных нагрузок на костную ткань. … успехи физики низких температур и созданные на ее основе новые технологии уже позволяют продлевать сроки хранения предназначенных для трансплантации органов и замораживать репродуктивные клетки. Правда, проблема кристаллизации воды, разрывающей клеточные структуры при более глубокой заморозке, еще не поддается решению. … недавно было изобретено «бионическое ухо», содержащее настроенную на радиоволны антенну, совмещенную с живыми клетками. Такое устройство не только расширяет слуховой диапазон, но и позволяет, например, проводить дистанционный контроль за состоянием протезов.

Что читать в «Кванте» о союзе физики и медицины

(публикации последних лет)

1. «Физика звука» – 2018, №12, с. 8; 2. «На перекрестке идей: история открытия магнитного резонанса» – 2019, №12, с. 2; 3. «Вирус», «маска» – где гарантия?» – 2020, №11/12, с. 2; 4. «Коронавирус на звездолете» – 2022, №2, с. 43.

Материал подготовил А.Леонович

ШКОЛА В «КВАНТЕ»

Лунная лыжня?

Е.ГЕРМАНЮК

ВОЗМОЖНО, МНОГИЕ ИЗ НАС ЗИмой хотя бы раз катались на лыжах, санях или сноуборде. Но, как выяснилось, кататься можно не только по снегу, но и по песку в жаркой пустыне. Тому подтверждением большое количество слайдов и видеороликов с лыжниками где-нибудь в пустыне Саудовской Аравии или каком-нибудь другом месте. Правда, это не спуск со снежных склонов. Но у многих получается это вполне удачно (рис. 1, 2). Глядя на все это, можно задаться вопросом: «А возможно ли такое, скажем, на Луне?» Ну, конечно, не съехать с высокой горы, а просто прокатиться на санях с лун-

Рис. 1

Рис. 2

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20230604

ной горки – такое возможно? Давайте порассуждаем, какие «за» и «против» есть в нашем распоряжении. Можно сказать, что лунные пейзажи чемто напоминают песчаные барханы в пустыне. Судя по фотоснимкам, сделанным астронавтами «Аполлонов», а также нашими «Луноходами» и луноходами других стран, есть много мест на поверхности Луны, где почти не встречаются крупные камни (рис. 3, 4). И если убрать с предполагаемого места спуска относительно крупные и мелкие камни, то сани, возможно, смогут ехать. Еще одно обстоятельство «за» – на Луне сила тяжести в 6 раз меньше, чем на Земле, а значит, сила трения в 6 раз меньше. Правда, при этом и скатывающая сила тоже меньше. Есть и неприятные моменты. Во-первых, лунный грунт, или реголит, абразивен. Это связано с формой мелких частиц реголита

Рис. 3

Рис. 4

37

ШКОЛА

Рис. 5

Рис. 6

(рис. 5, 6) и твердостью минералов, из которых он состоит. Советские ученые под руководством академика А.Виноградова выяснили, что лунный грунт состоит в основном из двуокиси кремния окиси титана, алюминия, железа, магния и кальция. Твердость же лунного грунта близка к его земному аналогу – андезито-базальтовому песку. Тем не менее, надо сказать, что износ (стирание) материала конструкций (полозьев саней) при скольжении по лунному реголиту на Луне будет происходить медленнее, чем если бы мы скользили по тому же лунному реголиту, но на Земле. Это связано с тем, что давление на грунт будет меньше земного опять же из-за меньшей силы тяжести. (Это

В

«КВАНТЕ»

Рис. 7

легко можно доказать на практическом примере. Если точить топорище на точильном станке и при этом слабо прижимать его к абразивному диску, то точить топор мы будем дольше, чем если бы мы прижимали топорище поплотней.) Во-вторых, еще одним неудобным моментом является то, что люди на Луне находятся в массивных неповоротливых скафандрах. (рис. 7). Так, общая масса скафандра для астронавтов «Аполлона» составляла более 90 кг. Вес человека в скафандре на Луне в 6 раз меньше, чем на Земле, но тем не менее массу и инерцию никто не отменял. Упадешь – встать будет не очень просто. Кроме того, центр тяжести человека в скафандре смещен относительно центра тяжести человека без скафандра. В результате этого космонавту приходится стоять с небольшим наклоном к поверхности Луны. Все это делает перемещение космонавта на лыжах практически невозможным и даже опасным. Хотя попробовать было бы интересно. А вот съехать с какого-то специально оборудованного склона на санях специальной конструкции, думается, вполне возможно, хотя и тоже небезопасно. Конструкция саней могла бы быть, например, такой, как на рисунке 8. Для того чтобы съехать с лунной горки (склона) на санях, космонавту, стоящему сзади, необходимо, как и на Земле, столкнуть сани с места (придать саням первоначальную скорость). При этом разгоняться сани будут значительно медленнее, чем на Земле, опять же из-за меньшей

46

КВАНТ 2023/№6

Из точки С проведены касательные СА и СВ к окружности с центром О. Точки $D,^{D} c$ симметричны относительно О. Из точки С опущен перпендикуляр СН на прямую DO. Окружности DAH $и^{D} c BH$ вторично пересекаются в точке Q. Докажите, что точки С, Н, Q лежат на одной прямой. Саша: Получилось нарисовать чертеж? Дима: Да, но точка Q не влезает на картинку (рис. 1).

Рис. 1

Саша: Может, она и не нужна. Докажем, что СН… Дима: Перпендикулярно линии центров синих окружностей. Или что центры синих окружностей равноудалены от зеленой прямой и лежат по одну сторону от нее. Саша: Эх, центры отмечать… Давай сначала сотрем с картинки что-нибудь лишнее. Дима: Что, кроме точки Q, тут лишнее? Саша: Зачем, например, на картинке красная окружность? Дима: Чтобы показать, что АО ВО, а углы САО, СВО прямые. Саша: Это можно и без окружности отметить. Кстати, не слишком ли много тут прямых углов: САО, СВО, СНО. Это наводит на мысль… Дима: Что стоит построить окружность с диаметром СО? Саша: А заодно стереть точку С и все выходящие из нее прямые (рис. 2).

Рис. 2

Дима: Давай вспомним, что нам нужно было в задаче. Надо отметить центры синих окружностей $T и^{T} c$. Чтобы построить T, нужны серединные перпендикуляры. Саша: Достаточно двух из трех серединных перпендикуляров. Какой из трех лишний?

Дима: Серединный перпендикуляр к DH полезен, чтобы посчитать расстояние от Т до DH. Серединный перпендикуляр к АН проходит через центр I красной окружности. А вот у серединного перпендикуляра к AD никаких интересных свойств я не вижу, его мы строить не будем. С $точкой^{T} c$ все аналогично. Саша: Если центры $T и^{T} c$ уже построены (рис. 3), синие окружности не нужны. Еще сотрем А и В.

Рис. 3

Дима: Если стереть А и В, куда мы будем опускать перпендикуляры из I? Саша: А и В – произвольные точки на красной окружности, такие, что АО ОВ. Дима: Значит, оранжевые прямые симметричны относительно $OD.^{1}$ Получается, что перпендикуляры к ним образуют равные углы с OD. Саша: Теперь спокойно стираем А и В вместе с оранжевыми прямыми. Заодно сотрем красную окружность, от нее нужно лишь равенство IO IH (рис. 4).

Рис. 4

Дима: Теперь видна осевая симметрия. Фиолетовые прямые симметричны относительно серединного перпендикуляра к ОН. Достаточно доказать, что середины $P,^{P} c$ отрезков $HD,^{HD} c$ симметричны относительно середины М отрезка ОН. Саша: Значит, фиолетовые и синие прямые, а также точки I, T, T c стираем (рис. 5).

48

КВАНТ 2023/№6

Дима: Ясно. Четырехугольник $DJI_{C} I_{A}$ вписанный, поскольку углы $JI_{C} D$ и $JI_{A} D$ равны. Задача решена! Саша: А не возникнет проблема с тем, что $I_{C}$ окажется не на отрезке ED? Дима: Нет, с самого начала ясно, что обе точки $I_{A}$ и $I_{C}$ лежат внутри красной окружности.$^{11}$ Саша: Ура, задача решена!

Примечания

Рис. 8

Дима: Чтобы построить J быстрее, можно вместо $медианы^{8}$ треугольника ENF взять $симедиану^{9}$ треугольника EBF. Тогда точки I, N и оранжевая прямая не нужны (рис. 8)! Саша: Как быстро построить симедиану? Дима: Симедиана хорошо пересекается с описанной $окружностью^{10}$:

JE BE

JF. BF

(1)

Саша: А что нам дают синие окружности и точка В? Если заменить BE на $I_{C} E$ и BF на $I_{A} F$, останется лишь равенство

$JE I_{C} E$

$JF. I_{A} F$

(2)

Или есть еще какое-то условие? Дима: Синие окружности пересекаются на красной. Стерев их, мы потеряем это условие. Саша: Может, это условие лишнее? Смотри, из (2) и равенства углов $JEI_{C}$ и $JFI_{A}$ следует подобие треугольников $JEI_{C}$ и $JFI_{A}$ (рис. 9)!

Рис. 9

1. Доказательство этого несложного факта оставим в качестве упражнения. 2. Завершение решения оставим читателям в качестве упражнения. 3. Лемма о трезубце. Пусть I – центр вписанной окружности треугольника АВС (рис. 10).

Рис. 10 Луч CI пересекает описанную окружность в точке Е. Тогда Е – центр описанной окружности треугольника ABI. 4. Полувписанная, зеленая, окружность (рис. 11) касается отрезков АВ и ВС и описан-

Рис. 11

ной окружности. Полувписанная окружность лежит внутри описанной. 5. Середина N дуги АВС, центр вписанной окружности I и точка касания J полувписанной и описанной окружностей лежат на одной прямой (см. рис. 11). Доказательство этого известного Диме, но неизвестного Саше факта будет сложным упражнением для читателей. Решение, а также большое количество родственных фактов, можно найти в сборнике «Математика в задачах» (М., МЦНМО, 2009, под ред. А.А.Заславского и др.).

49

РЕЦЕНЗИИ,

6. Докажите, что синие окружности пересекаются в центре I вписанной окружности. 7. Докажите, что EBNF – равнобокая трапеция. 8. Докажите, что оранжевая прямая содержит медиану треугольника ENF. 9. Симедиана треугольника – прямая, которая симметрична медиане относительно биссектрисы угла, проведенной из той же вершины. Докажите, что BJ – симедиана треугольника EBF (рис. 12). 10. Если симедиана треугольника EBF, проведенная из вершины В, пересекает описанную окружность в точке J (см. рис. 12), то выпол- няется равенство

JE BE

JF. Этот нетривиаль- BF

БИБЛИОГРАФИЯ

Рис. 12

ный факт известен Диме, но неизвестен Саше. Доказательство будет непростым упражнением для читателей. 11. Докажите, что обе точки $I_{A}$ и $I_{C}$ лежат внутри красной окружности.

РЕЦЕНЗИИ, БИБЛИОГРАФИЯ

В погоне за красотой геометрии

В школьных учебниках геометрия представляется иногда длинной вереницей теорем, размеренно вытекающих одна из другой. Но из книги Вольдемара Петровича Смилги, известного советского физика-теоретика и популяризатора науки, мы узнаем совсем-совсем другую историю – $настоящую.^{1}$ В «Началах» Евклида оформился аксиоматический метод: в основании геометрии лежит набор аксиом и постулатов; все остальные факты из них следуют. Один из постулатов Евклида, пятый, выглядел неуклюже, и многим казалось, что с ним что-то не так. Казалось, что в эту компанию он затесался по ошибке, что его можно доказать, вывести из остальных. Постулат дразнил: было впечатление, что еще немного, ничтожная мелочь — и доказательство дастся в руки.

1 Вольдемар Смилга. В погоне за красотой.

Приключения пятого постулата Евклида. – М.: Наука, 2019.

Но со временем возникло понимание, что в этой малости и заключается суть вопроса. Двигаясь зигзагами, история пятого постулата сделала крутой разворот. Николай Лобачев-

50

КВАН T 2023/№6

ский заменил его на противоположный и на этом пути пришел к созданию совсем другой геометрии. Поначалу она представлялась противоестественной. Но в XX веке стало ясно, что именно она описывает наш мир. Автор рассказывает нам и о роли неевклидовой геометрии в общей теории относительности – доступно и увлекательно На страницах книги мы встречаем творцов этой истории – с их чаяниями, сомнениями, метаниями, разочарованиями и упорством. Их вело стремление к красоте и желание выяс-

Евклидова геометрия царствовала в математике больше двух тысяч лет, но сейчас мы знаем: геометрий много. И дело даже не в том, что их много, – они составляют сообщество со сложными взаимоотношениями. Книга Алексея Брониславовача Сосинского, признанного популяризатора математики, как раз о том, как устроено это сообщество $геометрий.^{2}$ В этой книге геометрия – это особый математический объект, представляющий собой множество элементов с действующими на них группами преобразований. Такой подход сформулировал Феликс Клейн в «Эрлангенской программе». В этом смысле наша школьная, евклидова геометрия – это плоскость (или пространство), а преобразования – симметрии, повороты, параллельные переносы. Автор знакомит читателей с различными геометриями, обсуждает их устройство, но не только. Он показывает, как разные геометрии соотносятся друг с другом, в чем их родство и насколько оно близкое. Начинающий математик увидит и влияние алгебры на геометрию: как язык морфизмов позволяет нам посмотреть на все геометрии с высоты птичьего полета. И вместе с тем получит вкус к геометрическому подходу в работе с алгебраическими объектами. Как и положено учебной книге, все начинается с очень простых, игрушечных примеров, в которых можно познакомиться с основными понятиями на пальцах, поиграть с ними и привыкнуть к ним. После этого вводятся более формальные определения, и они сразу наполняются содержанием благодаря изученным примерам. Каждая глава завершается набором задач, чтобы читатель мог поработать самостоятельно. Это не набор упражнений на отработ-

2 А.Б.Сосинский. Геометрии. – М.: МЦНМО,

нить, как устроен этот мир на самом деле. Если бы не такие люди, мы бы до сих пор вслед за халдейскими магами познавали мир по внутренностям жертвенных животных. Впервые книга была издана в 1965 году; Андрей Смилга (сын автора, тоже физик) помог подготовить новое издание и добавил примечания, отражающие современные научные представления. Неважно, считаете вы себя математиком или гуманитарием, – вы с удовольствием ее прочтете.

А. Б. Сосинский ку типовых навыков, а творческие задачи – работа над ними научит читателя мыслить и работать как геометр. К некоторым задачам даны ответы и указания, но не ко всем. В первой половине книги читатель найдет больше помощи, чем во второй, когда предпочтительнее уже самостоятельная работа. Не только текст, но и рисунки в книге А.Б.Сосинского созданы мастерски и с любовью. Книга сначала появилась как записки лекций на английском языке для иностранных студентов НМУ, а на русский язык ее перевел Б.Р.Френкин. Большая часть книги доступна заинтересованному старшекласснику.

Н.Шихова

54

КВАН T 2023/№6

Победители олимпиады

9 класс Воинов Григорий – Санкт-Петербург, Кравченко Роман – Новороссийск, 8 кл., Прозоров Роман – Москва, Большаков Максим – Казань, 8 кл., Власов Алексей – Челябинск, Дмитриев Лев – Санкт- Петербург, Замоторин Илья – Санкт-Петербург, Белоцерковцев Александр – Санкт-Петербург;

10 класс Пистунов Григорий – Москва, Булгаков Дмитрий – Санкт-Петербург, Никитин Федор – Санкт-Петербург, Уткин Евгений – Саратов, Ким Петр – Москва, 7 кл., Сырцов Степан – Санкт-Петербург, Ленская Наталия – Москва, Бакаев Артемий – Москва,

Смирнов Илья – Ярославль, Черепанов Георгий – Вологда;

11 класс Гнусов Александр – Киров, Аккая Тимур – Санкт-Петербург, Згонник Илья – Санкт-Петербург, 10 кл., Коптилин Ратибор – Новосибирск, 9 кл., Кузнецов Роман – Санкт-Петербург, Постнов Иван – Москва, Хисамутдинов Эльдар – Санкт-Петербург, Мякутин Иван – Москва, Югов Михаил – Санкт-Петербург, 10 кл., Климчук Александр – Москва, Харко Николай – Челябинск, Червоненкис Борис – Москва, Бойко Артем – Санкт-Петербург, Кузнецов Никифор – Москва, Ананьев Дмитрий – Санкт-Петербург, Харитонов Михаил – Москва.

Публикацию подготовили Н.Агаханов, И.Богданов, П.Кожевников, А.Кузнецов, О.Подлипский, К.Сухов

ОТВЕТ Ы, У КА З АН ИЯ, Р ЕШЕН ИЯ

«Квант» для младших школьников

(см. «Квант» №5)

1. Рыбку 4 u 5 клеток. Раз за полминуты кот съел полрыбки, то за минуту он съест эту рыбку целиком. В маленькой рыбке 3 клетки, значит, за каждую минуту кот съедает по 3 клетки. За целое число минут будет съедено кратное трем число клеток. Суммарно во всех рыбках 3 4 16 12 13 20 68 клеток. Это число при делении на 3 дает остаток 2. Значит, после целого числа минут останется рыбка, количество клеток в которой при делении на 3 дает остаток 2. Такая рыбка всего одна — это рыбка с туловищем 4 u 5 клеток. Она и не будет съедена. 2. Возможны разные варианты, например: 2 4 79 158 1, 6 8 35 140 1, 4 5 72 360 1. 3. 90q. Рассмотрим треугольники AKS и LKS. Они равны по трем сторонам. Значит, равны углы KAS и KLS. В равнобедренном треугольнике ABC равны углы BAC и ACB. Прямые KL и AC параллельны, значит, равны углы ACB и KLB как соответ- ственные. Тогда

‘ SLB

‘ SLK ‘ KLB

‘ KAS ‘ ACB

‘ KAS ‘ BAC

‘ KAM

90 q.

4. Да, может. Заметим, что если взять из каждого мешка по монете, то их суммарная масса будет равна 7 8… 13 70 граммов. Назовем такой набор монет комплектом. Пусть в указанном царем мешке массы монет по x граммов каждая. Если взять 70 таких монет, то их масса равна 70x – такая же, как у x комплектов. Тем самым, если мудрец узнает, сколько комплектов нужно, чтобы уравновесить эти 70 монет, он ответит на вопрос царя. Пускай первым взвешиванием мудрец сравнит эти 70 монет и 10 комплектов. Если весы в равновесии, то x 10 и задача решена, если монеты перевесили, то x! 10, если перевесили комплекты, то x 10. Если мудрец знает, что x! 10, то за одно взвешивание он легко выяснит, равна ли масса монеты 11, 12 или 13 г. Действительно, теперь можно сравнить 70 монет и 12 комплектов. Если монеты перевесили, то x 13, если весы в равновесии, то x 12, если комплекты перевесили, то x 11.

55

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

Аналогичным образом мудрец может поступить в случае x 10: массы монет тогда могут быть по 7, 8 или 9 г, так что осталось сравнить 70 монет и 8 комплектов. Отметим, что при каждом взвешивании мудрец использует не более чем 70 12 монет из мешка, на который указал царь, и не более чем по 12 монет из остальных мешков. Так что монет в мешках ему хватит. Комментарии. 1. Если снять с обеих чашек весов одинаковый набор монет, то результат взвешивания не изменится. Пользуясь этим соображением, мудрец сможет решить задачу и когда в каждом мешке хотя бы по 70 8 62 монеты. 2. В решении используется лишь суммарная масса 7 монет. Поэтому аналогичным образом можно решить задачу не только для монет массой 7, 8,…, 13 граммов, но и для любого другого набора из семи различных масс (при достаточном количестве монет в мешках).

Конкурс имени А.П.Савина

(см. «Квант» №4)

29. 1:2. Обозначим точки, как показано на рисунке 1. Продлим луч AM и сторону DC до пересечения в точке E. Тогда треугольники ABM и ECM рав-

РЕШЕНИЯ

ные пары чисел дают разные суммы. Но для чисел Фибоначчи это так: среди четырех чисел этих двух пар есть наибольшее, оно уже не меньше суммы двух чисел другой пары, а вместе со вторым числом в своей паре – больше. Равенства a b c d и a c d b равносильны, поэтому уникальность всех попарных сумм будет следовать из уникальности всех попарных разностей (отметим, что так как в пару берутся две разные карточки, то на суммы есть еще дополнительное ограничение a z b, c z d ). Множество целых чисел, в котором все попарные разности уникальны, называют линейкой Голомба – см., например, Википедию. 31. Да во всех пунктах. Примеры приведены на рисунках 2–4.

Рис. 2. k = 4, n = 11

Рис. 3. k = 6, n = 13

Рис. 4. k = 8, n = 16

Рис. 1

ны, поэтому EC AB CD, а также ‘ CEM ‘ MAB ‘ MAF. Значит, треугольник AEF равнобедренный, AF EF. С другой стороны, в прямоугольном треугольнике AFD катет FD лежит против угла в 90 q: 3 30 q, значит, гипотенуза AF в два раза больше катета FD. Тогда 2 F D A F E F EC C F CD C F FD 2CF, откуда FD 2CF. 30. Можно взять числа 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89. Это 10 чисел последовательности Фибоначчи: очередное число получается как сумма двух предыдущих. Фокусник сможет отгадать числа с карточек зрителя, если любые две раз-

Конструкцию на рисунке 4 предложил В.Корсуков. Если в ней убрать одну из прямых, образующих с горизонталью $угол^{45q}$, то получим конструкцию с 7 звездами и 15 прямыми. Если, наоборот, добавить одну вертикальную или горизонтальную прямую (красную), то появится новая 9-я звезда (зеленая). Добавлять прямую можно четырежды, каждый раз появляется новая зеленая звезда (рис. 5). На $рисунке^{6}$ показано, как с помощью 16 прямых получить 11 звезд. В «Кванте» №4 за 2005 год в «Конкурсе имени А.П.Савина» была опубликована родственная задача: существует ли такая конфигурация прямых, в которой звезд получится больше, чем проведено прямых? В Энциклопедии целочисленных последовательностей (OEIS) опубликована последовательность