Квант 2023, №9 · Страницы

5

КИРХГОФ (К 200-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ)

Кирхгоф и Бунзен становятся коллегами по работе и большими друзьями на много лет вперед. Этой дружбе не помешала разница их возрастов и внешностей – Бунзен на голову выше и на аршин шире в плечах, его масса раза в два больше. Попробуйте представить их научные споры! К сожалению, не сохранилось свидетельств об этих спорах. Но в них родилась истина – был создан метод спектрального анализа химических элементов и их соединений. Кирхгоф больше 150 лет назад дал чеканную формулировку этого метода исследования: «Твердое тело при высокой температуре, окруженное разреженным газом при более низкой температуре, излучает свет в непрерывном спектре с промежутками на дискретных длинах волн, положение которых зависит от химического состава газа». Эти промежутки (темные линии на фоне сплошного цветного спектра) называются фраунгоферовыми линиями Они были открыты еще в 1802 году английским физиком и химиком Уильямом Волластоном и исследованы и описаны немецким физиком Йозефом Фраунгофером в 1814 году. Но именно Кирхгоф

объяснил их происхождение, тот факт, что они являются как бы визитной карточкой химического элемента или соединения. В 1852 году Бунзен был приглашен в Гейдельбергский университет, где в это время происходило превращение прославленного гуманитарного университета в математический и естественнонаучный европейский центр. Кирхгоф и Бунзен стали профессорами этого университета. Кирхгоф проработал в нем 20 лет, там им были сделаны важные работы по спектральному анализу. Прежде всего он тщательно изучил фраунгоферовы линии солнечной короны и определил наличие на Солнце многих химических элементов, в частности натрия, магния, цинка, железа, меди. Вместе с Бунзеном им в водах минеральных источников (в немецком городе Бад-Дюркхайме, знаменитом своим климатом, лечебными водами и винами) были открыты такие элементы, как рубидий и цезий. Названия им были даны по цветам спектра – «насыщенно красный» и «сине-голубой». Кирхгоф вначале использовал только призматический спектр в видимой области. Он понимал, что важно иметь очень

Спектр поглощения Солнца и фраунгоферовы линии

8

КВАНТ 2023/№9

Кирхгофа, поскольку для него а 1. А для любых других тел закон пронимает вид r ar. Зная коэффициенты поглощения (поглощательные способности) тел, можно находить энергетические характеристики их излучения (испускательные способности). Нужно лишь хорошо измерить испускательную способность r абсолютно черного тела, проведя тщательные измерения энергии солнечного излучения в различных диапазонах длин волн ‘O. Но это будет только часть работы. Ведь температура излучателя (солнца) при этом фиксирована (порядка 6000 К). А как быть с опытами при других температурах? И Кирхгоф после многих опытов создает замечательно простую модель лабораторного абсолютно черного тела – полость (пещеру) с очень маленьким отверстием. Свет, попадающий в полость через это отверстие, практически не будет выходить обратно, а будет, многократно отражаясь от стенок полости, «метаться» внутри и постепенно поглощаться этими стенками. Это означает, что поглощательная способность такого устройства равна единице для всех длин волн и температур. И если устройство будет нагрето, то тепловое излучение внутренних стенок полости в небольшой доле будет обязательно выходить из отверстия. Его энергетическая характеристика r O, T будет достаточно близкой к испускательной способности абсолютно черного тела. Современному человеку это изобретение кажется очень простым – вспоминается пример из школьного учебника о том, что окна комнат снаружи выглядят темными, хотя внутри в комнатах достаточно светло. Но ведь и изобретение колеса кажется на первый взгляд очень простым. Однако понадобились тысячи лет, чтобы какой-то безвестный гений шумерского народа, глядя на вращающийся гончарный круг, догадался насадить такие круги на ось и сделать первую телегу. Или, говоря по-современному, – соединить вращательное движение с поступательным. Кирхгоф хорошо понимал главное практическое применение своего закона – использование знания зависимости испуска-

Кирхгоф в Гейдельберге (уже с бородой) тельной способности от температуры для бесконтактного (телеметрического) измерения высоких температур (оптическая пирометрия) В то же время ему было ясно, что для этого нужно создавать экспериментальную базу, различную для излучений в видимом, ультрафиолетовом и инфракрасном диапазонах. А для ее создания необходимы немалые средства. Кирхгоф не стал заниматься исследованием зависимости испускательной способности абсолютно черного тела от длины волны излучения и от температуры. Но прошло 30 лет, и эти исследования развернулись в нескольких университетских центрах. Нашлись спонсоры, выделившие необходимые средства. Этими спонсорами были крупные металлургические корпорации и стекольная промышленность. В конце 19-го века началось производство новых видов стали для химических заводов (нержавеющих) и для военных целей (броневых). Небольшие добавки редких и редкоземельных элементов, вводимые в расплав для этих сталей, требовали точного знания температуры расплава.

10

КВАНТ 2023/№9

будущие физики-экспериментаторы. Самым талантливым из них (по мнению самого Кирхгофа) был русский физик Александр Григорьевич Столетов (1839– 1896), основавший первую в России научную физическую лабораторию при Московском университете. Он дважды работал в лаборатории Кирхгофа (еще в Гейдельберге) и под его руководством подготовил докторскую диссертацию по электрическим и магнитным свойствам веществ. Кирхгоф был дважды женат. Первый раз он женился в 30-летнем возрасте, когда стал профессором Гейдельбергского университета. Но в 1869 году жена умерла, оставив пятерых детей (от четырех до четырнадцати лет). И Кирхгоф был вынужден сам воспитывать детей. Положение осложнялось тем, что в это время он уже потерял подвижность. Второй раз Кирхгоф женился в 1872 году. Жена окру-

жила его и его детей вниманием и заботой, обеспечив ему возможность еще 15 лет успешно продолжать теоретические работы, преподавать, писать научные статьи и учебники и руководить кафедрой математической физики. Кирхгоф скончался в Берлине 17 октября 1887 года. Память о нем сохраняется в названиях улиц в Берлине, Гейдельберге и Бад-Дюркнхайме, а также в именах лунного кратера и астероида. Но главная память – законы, которым научная общественность присвоила имя Кирхгофа и внесла во все серьезные учебники физики, химии и электротехники. Восстанавливается память о нем и в его родном бывшем немецком Кёнигсберге, ныне российском городе Калининграде, и в Балтийском федеральном университете имени Иммануила Канта.

КОНКУРС ИМЕНИ А.П.САВИНА

Мы начинаем очередной конкурс по решению математических задач. Задания рассчитаны в основном на учащихся начиная с 8–9 класса, а более младшим школьникам советуем попробовать свои силы в конкурсе журнала «Квантик» (см. сайт kvantik.com). Высылайте решения задач, с которыми справитесь, по адресу: savin.contest@gmail.com. Кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором учитесь. Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в таком случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы. Задания, решения и результаты публикуются на сайте sites.google.com/view/savin-contest Желаем успеха!

1. Чему может равняться сумма наименьшего и наибольшего из углов одного треугольника? Укажите множество возможных значений.

Е.Бакаев

2. У Фелониуса Грю живут 33 миньона, все они весят одинаково. Однажды один из них стащил у Грю банан и съел его, но Грю не знает, кто это сделал. У него есть большие чашечные весы без гирь, на которых он может взвешивать любое количество миньонов. Однако если миньоны оказываются на одной чаше весов, они ссорятся и больше на одну чашу одновременно их ставить нельзя. Как Грю за четыре взвешивания найти воришку, если после съеденного банана он весит больше остальных?

А.Грибалко

3. Каменщик выложил стенку без дырок и полостей из одинаковых кирпичей 1 u 1 u 2. Но некоторые кирпичи он положил вдоль, некоторые поперек, некоторые вертикально, т.е. длинное ребро кирпича параллельно одному из трех направлений. Могло ли оказаться, что кирпичей каждого из трех типов поровну, если размеры стенки: а) 3 u 8 u 10; б) 3 u 9 u 10?

М.Евдокимов

4. Таблица 100 u 100 заполнена целыми числами. Для каждой пары 1 d i d 100, 1 d j d 100 найдется прямоугольник i u j с нулевой суммой чисел. Какое наименьшее количество нулей может быть в таблице?

Е.Бакаев

13

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

телей $s_{n}^{2} 1$ и $s_{n} 2$ следует, что $s_{n} 2$ – целое число.

Периодичность последовательностей Сомоса

Пусть $m p_{1} J^{1} p_{2} J^{2}$ … $p_{l} J^{l}$ – каноническое разложение числа m на простые множители. Тогда периодичность последовательности по модулю m равносильна тому, что последовательность периодична по каждому из модулей вида $p_{i} J^{i} (i 1, 2,$ …, l). Поэтому в дальнейшем ограничимся рассмотрением модулей, которые являются степенями простого числа. Задача 13. Последовательность ^ $a_{n}$ периодически повторяется по каждому из модулей $p_{i} J^{i} (i 1, 2,$ …, l). Докажите, что последовательность ^ $a_{n}$ будет периодической и по модулю $m p_{1} J^{1} p_{2} J^{2}$ … $p_{l} J^{l}$. Попробуем выяснить, как ведет себя произвольная последовательность Сомос-4 по модулю p J, где p – простое число и J t 1. Будем далее предполагать, что ^ $s_{n}$ – это целочисленная последовательность. Если все элементы последовательности делятся на простое p, то от ^ $s_{n}$ имеет смысл перейти к последовательности $s_{n} p^{k}$, где k – максимально возможная степень p, на которую делятся все числа $s_{n}$. Такой переход равносилен изменению начальных условий, рекуррентное соотношение, задающее последовательность, при этом не изменится. Эту операцию можно проделать для всех простых чисел p. В итоге получится последовательность, все элементы которой не имеют общих делителей. Будем называть такие последовательности примитивными. Теорему 2 мы докажем в следующей, немного более общей формулировке. Теорема 6. Пусть p – простое число, J t 1 и ^ $s_{n}$ – примитивная последовательность Сомос-4, удовлетворяющая рекуррентному соотношению (1), в котором DE, p 1. Тогда остатки, которые элементы последовательности ^ $s_{n}$ дают при делении на p J, периодически повторяются. Из равенства (32) следует, что для того, чтобы значение величины T было коррек-

^

`

СОМОСА

тно определено по модулю p J J t 1, достаточно, чтобы в последовательности ^ $s_{n}$ нашлось три подряд идущих члена $s_{n} 1, s_{n}, s_{n} 1$, взаимно простых с p. Оказывается, что для примитивных последовательностей (при дополнительном условии на коэффициент E ) это всегда возможно. Следующее утверждение представляет собой модификацию леммы 1. Лемма 2. Пусть p – простое число и ^ $s_{n}$ – примитивная последовательность Сомос-4, удовлетворяющая рекуррентному соотношению (1) с целыми коэффициентами такими, что DE, p 1. Тогда в этой последовательности всегда можно выбрать три подряд идущих элемента, взаимно простых с p. Доказательство. Отметим сначала, что в последовательности ^ $s_{n}$ не может быть двух подряд идущих элементов, кратных p. Действительно, если $p s_{n} 2$ и $p s_{n} 1$, то из уравнения (1) и условия E, p 1 следует, что $p s_{n}$. Повторяя это рассуждение, мы получаем, что все элементы последовательности ^ $s_{n}$ делятся на p. Таким образом, сделанное предположение противоречит условию примитивности последовательности ^ s n . Если найдутся два числа, кратные p, у которых номера отличаются на три, то снова приходим к противоречию. Действительно, если $p s_{n} 2$ и $p s_{n} 1$, то из уравнения (1) и условия E, p 1 следует, что $p s_{n}$. Значит, два подряд идущих элемента $s_{n}$ и $s_{n} 1$ делятся на p, что, как мы уже доказали, невозможно. Предположим, что в последовательности ^ $s_{n}$ найдутся два элемента, кратных p и идущих через один. Если $p s_{n} 2$ и $p s_{n}$, то из уравнения (1) и условия D, p 1 сле- дует, что $p s_{n} 1 s_{n} 1$. Тогда p делит $s_{n}$ и один из соседних элементов, что снова приводит к противоречию: на p делятся либо два соседних элемента последовательности, либо два элемента, номера которых отличаются на три. Из доказанных утверждений следует, что номера двух элементов последователь-

Задачи по математике и физике

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: math@kvant.ras.ru и phys@kvant.ras.ru соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задача M2762 (для произвольного n) предлагалась на 19-й Международной Жаутыковской олимпиаде. Задачи Ф2769-Ф2772 предлагались на заключительном этапе LVI Всероссийской олимпиады школьников по физике.

Задачи М2762–М2765, Ф2769–Ф2772

M2762. Сумма n 100 ненулевых вещественных чисел (не обязательно различных) равна нулю. Для каждого из способов выбрать несколько (не менее одного) из этих чисел подсчитали сумму выбранных чисел и все полученные суммы выписали в строку в невозрастающем порядке. Первое число в строке равно S. Найдите наименьшее возможное значение второго числа в строке. А.Голованов

M2763. Дано натуральное число k t 2. Докажите, что натуральные числа с четной суммой цифр дают все возможные остатки при делении на k. П.Козлов, И.Богданов

M2764. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BE, CF (рис.1). Пусть

Рис. 1

O – центр описанной окружности. Точки M и N выбраны на стороне BC так, что BM CN. Прямая BE пересекает окружность (MBF) вторично в точке P, а прямая CF пересекает окружность (NCE) вторично в точке Q. Докажите, что прямые PF, QE и AO пересекаются в одной точке. Люу Донг (Вьетнам)

M2765*. Даны 101 монета и двухчашечные весы. За одно взвешивание можно сравнить веса двух монет. Назовем большинством подмножество из 51 монеты одинакового веса. За какое наименьшее количество взвешиваний можно с гарантией определить, существует ли среди данных монет большинство? К.Кноп

Ф2769. У кубического тонкостенного аквариума ( a u a u a ) разбилась боковая стенка. Новую стенку ( a u a ) решили прижать пружинными фиксаторами. Первую пружину жесткостью 2k закрепили у середины верхнего ребра новой стенки, а вторую пружину жесткостью k – у середины нижнего ребра. После этого аквариум придвинули к вертикальной стене (рис.2). Все поверхности в местах контакта новой стенки с аквариумом плоские и гладкие. Новая стенка жесткая, полностью перекрывает прилегающие боковые стенки и дно и параллельна плоскости стены. Сила трения в месте контакта стенки со столом пренебре-

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

Платные весы

А.ГРИБАЛКО, А.ЗАСЛАВСКИЙ

ОСЕНЬЮ 2022 ГОДА НА ТУРНИРЕ городов была предложена (немного в другой формулировке) следующая задача. Задача 1. Есть 8 внешне одинаковых монет, из которых одна фальшивая. Все настоящие монеты весят одинаково, а фальшивая отличается от них по весу неизвестно в какую сторону. Есть чашечные весы, за каждое взвешивание на которых надо уплатить одну монету. При этом если уплачена настоящая монета, весы показывают правильный результат, а если фальшивая – случайный. Можно ли найти и не потратить 5 настоящих монет? Решение. Пусть монетам присвоены номера от 1 до 8. Заплатим за первое взвешивание монету 8 и положим на одну чашу монеты 1 и 2, а на другую – 3 и 4. Если чаши остались в равновесии, то эти четыре монеты настоящие. Действительно, если монета 8 настоящая, то весы показывают верный результат и, значит, фальшивая монета не может быть среди взвешиваемых. Если же монета 8 фальшивая, то вообще все остальные монеты настоящие. Тогда вторым взвешиванием сравним монеты 1 и 5, заплатив монетой 7. Если весы в равновесии, то монета 5 тоже настоящая, в противном случае фальшивой может быть либо монета 5, либо монета 7, т.е. монета 6 заведомо настоящая. Пусть теперь в первом взвешивании одна из чаш, например с монетами 1 и 2, перевесила. Тогда монеты 5, 6, 7 точно настоящие. Сравним теперь монеты 1 и 2, заплатив за взвешивание монетой 4. Если весы в равновесии, то монеты 1 и 2 настоящие. Если же одна из них перевесила, то настоящими являются более легкая монета и монета 3. Во всех случаях мы получаем пять заведомо настоящих монет. Найти приведенное решение не очень сложно, но у читателей может возникнуть вопрос: почему в условии задачи даны именно числа 8 и 5? Понять это можно, решив следующее упражнение.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20230902

Упражнение 1. Сколько настоящих монет можно найти, если вначале есть 4, 5,…, 9 монет?

Из упражнения 1 видно, что если вначале есть $n d^{8}$ монет, то можно найти хотя бы n 3 настоящие монеты, а при $n^{9}$ это становится невозможным. Естественно предположить, что и при $n !^{9}$ «потеряно» будет не меньше четырех монет. В связи с этим возникает следующий вопрос. Задача 2. Для каждого k найдите наибольшее n, при котором можно из имеющихся вначале n монет найти n k настоящих. Прежде чем решать эту задачу, рассмотрим более простой ее аналог, когда известно, в какую сторону вес фальшивой монеты отличается от веса настоящей. Для определенности предположим, что фальшивая монета легче настоящей. Аналогично разбирается случай, когда фальшивая монета может быть как легче, так и тяжелее настоящей, но для каждой из имеющихся монет известно, в какую сторону от настоящей может отличаться ее вес. Сделаем несколько предварительных замечаний. 1. При планировании очередного взвешивания можно считать, что во всех предыдущих взвешиваниях были уплачены настоящие монеты. Действительно, если, руководствуясь этим предположением, мы определили какие-то монеты как настоящие, то эти монеты будут настоящими и в случае, когда фальшивая монета была когда-то уплачена. 2. За каждое взвешивание надо платить подозрительной монетой (т.е. такой, про которую еще не ясно, фальшивая она или настоящая). Действительно, если про какую-то монету точно известно, что она фальшивая, то дальнейшие взвешивания вообще не нужны, а если монета заведомо настоящая, то, заплатив вместо нее подозрительную, мы по предыдущему замечанию сможем определить не меньше новых настоящих монет, но сохраним уже имеющуюся. 3. Число сделанных взвешиваний не может превышать $k^{1}$. Действительно, после k взвешиваний у нас останется всего n k монет, среди которых может оказаться фальшивая. Посмотрим теперь, как меняется число подозрительных монет при очередном взве-

11. Отчего корпус виолончели намного больше, чем у скрипки? 12. Зачем полый корпус скрипки, виолончели, гитары делают фигурным? 13. Почему струнные музыкальные инструменты надо перенастраивать после внесения с мороза в теплое помещение? 14. Если струна музыкального инструмента начинает издавать ненормально низкий звук, настройщик увеличивает ее натяжение. Как этим способом удается добиться нужной частоты колебаний? 15. Гитарист перебирает струны и отпускает их, после чего каждая струна свободно колеблется и звучит на своей частоте. А вот скрипач постоянно ведет смычком по струне, как же она тогда колеблется? 16. Для чего смычки струнных инструментов перед игрой натирают канифолью?

Микроопыт

Потрите мокрым пальцем по ободку бокала или стакана. При определенной скорости обращения вы можете заставить стакан «петь». Что вызывает этот звук? Как он изменится, если налить в стакан воду?

Любопытно, что…

…по легенде, в незапамятные времена около древнеегипетского города Фивы каждое утро на рассвете огромная статуя, известная под именем колосса Мемнона, издавала тон ля первой октавы, и музыканты приходили к ней настраивать свои инструменты. …Пифагор экспериментально обнаружил связь между высотой музыкального тона и длиной струны либо флейты, его издающих, и что гармоничность совместного звучания определяется простым рациональным отношением длин этих инструментов. Так Пифагор открыл первый закон математической физики. …нотный стан, заслуга изобретения которого в начале XI века принадлежит итальянскому монаху Гвидо д’Ареццо, – это первый в истории график, так как на нем по вертикали указывается изменение высоты звука, а по горизонтали слева направо – течение времени. …наиболее существенный вклад в решение задачи о колеблющейся струне внес Леонард Эйлер, начиная с его работы$^{1739}$ года «Опыт новой теории музыки», в которой он придал проблеме музыкальной гаммы точный смысл. …Бетховен, оглохнув, слушал игру на рояле, приставив к нему одним концом свою трость, другой конец которой держал у зубов. …Альберт Эйнштейн любил играть не только на скрипке, но также исполнял на рояле произведения Баха, Вивальди и Моцарта. По словам современников, он легко переносил негативные оценки своих научных теорий, однако очень обижался, если кто-то критиковал его стиль игры на скрипке. …первый отечественный электромузыкальный инструмент – терменвокс – был сконструирован $в^{1920}$ году российским физиком Львом Терменом. Высотой и громкостью звука в этом устройстве можно было управлять, меняя положение рук исполнителя относительно антенн прибора. …в XX веке произошла самая настоящая революция в средствах записи, передачи и воспроизведения музыки. От механических инструментов – шарманок и музыкальных часов – через граммофоны, магнитофоны – до цифровых аудиоустройств. Как, например, встроенный в наушники микрокомпьютер с искусственным интеллектом или программа, подбирающая для пользователя музыку, похожую на ту, что он слушал ранее.

Что читать в «Кванте» о союзе физики и музыки

(публикации последних лет)

1. «Алло! Вы меня слышите?» – 2015, Приложение №1, с.111; 2. «Аплодисменты здесь тихие» – 2016, №3, с.34; 3. «Почему плохо кричать против ветра» – 2020, №5, с.25; 4. «Бум и шшш…» – 2022, №11 12, с.42.

Материал подготовил А.Леонович

36

Рис. 2. Сигнал и его клиппирование

КВАНТ 2023/№9

В этой статье будет рассказано, как мы сделали настоящую педаль гитарного эффекта своими руками. Мы выбрали эффект дисторшн $(англ.^{distortion}$ – искажение). Этот эффект меняет вид исходного сигнала, а точнее его форму (рис.2). Оригинальный сигнал, он же исходный, представляет собой обычную синусоиду. Далее происходит клиппирование, т.е. искажение исходного сигнала. Амплитуда обработанного сигнала превышает допустимое значение напряжения. Синусоида теперь будто не влезает в окошко. Сигнал искажается, набор частот увеличивается. Звук получается более агрессивным. Существует два вида клиппирования: жесткое клиппирование – результат эффекта дисторшн, и мягкое – результат эффекта овердрайв $(англ.^{overdrive}$ – перегруз).

Создание нашей педали началось с поиска подходящей схемы. На просторах интернета мы раздобыли инструкцию по созданию педали эффекта Fuzz (рис.3). Первую плату пришлось забраковать, так как один из транзисторов оказался неисправным, к тому же мы придумали, как значительно упростить схему, используя вместо транзисторного каскада микросхему. Вторая попытка увенчалась успехом, конструкция заработала и нам удалось услышать теплый хрустящий перегруз (клиппированный сигнал). Но теперь нас не устраивал внешний вид схемы (рис.4), и мы решили перенести ее с картонки на настоящую монтажную (печатную) плату. Печатная плата (рис.5) была изготовлена химическим негативным методом, а точнее –

Рис. 4. Первый прототип платы на картонке

Рис. 3. Модифицированная схема педали гитарного эффекта Fuzz

37

ЛАБОРАТОРИЯ

Рис. 5. Плата в процессе изготовления методом лазерно-утюжной технологии

более удобным для домашних условий методом лазерно-утюжной технологии. Первым делом мы спроектировали трафарет будущей печатной платы в системе автоматизированного проектирования Altium Designer. Далее был напечатан полученный рисуноктрафарет нашей платы на глянцевой бумаге от журнала на лазерном принтере (отсюда слово «лазерный» в названии метода). На заранее подготовленный лист стеклотексто-

Рис. 6. Готовая педаль

«КВАНТА»

лита с помощью утюга был перенесен рисунок с трафарета. Подготовка стеклотекстолита заключалась в очистке поверхности абразивом и последующем обезжиривании. Далее следовал перенос тонера с трафарета на поверхность заготовки, после чего бумагу удалили водой и ватным диском. Процесс травления проходил в растворе перекиси водорода и лимонной кислоты с добавлением поваренной соли, которая является катализатором в данной реакции. Процесс занял около 30–40 минут. В результате вся лишняя медь была вытравлена, а то, что было под рисунком, осталось нетронутым. Получился проводящий рисунок, который и является схемой. Дальнейший монтаж элементов оказался сплошным удовольствием. После того, как мы убедились в работоспособности схемы, пришло время создания корпуса. Мы решили выполнить его в черном цвете и выбрали квадратную форму. В качестве материалов были использованы дерево и пластик, поэтому внутренности педали непременно нужно было экранировать. Для этого мы обклеили корпус изнутри алюминиевой клейкой лентой. Во избежание наводок и появления паразитной емкости отдельные куски ленты были соединены друг с другом проводником (каплей припоя). Так была создана наша любимая Фузик- 2000 (рис.6).

ОЛИМПИАДЫ

Избранные задачи XXVIII Турнира имени А.П.Савина

1 (7–8 класс). По кругу выстроили 28 учеников и случайным образом раздали им номера от 1 до 28. Каждый ответил «Да» или «Нет» на вопрос «Делится ли твой номер на номер соседа слева?». Верных ответов оказалось больше, чем неверных. Какое наибольшее количество учеников могло ответить «Да»? А.Шаповалов

2 (5–8 класс). Какое наименьшее число коней можно поставить на шахматной доске так, чтобы на любую свободную клетку можно было переместить одного из них, сделав не более двух ходов? М.Евдокимов

3 (7–8 класс). У Малыша было 100 осей на подставке, на каждую из которых было надето по 20 колец. При этом на 50 осях были только белые кольца, а еще на 50 – только черные. Пришел Карлсон и все перемешал в произвольном порядке. Докажите, что Малыш сможет восстановить порядок, используя дополнительно еще одну ось, если перемещать кольца можно только по одному между осями, а на каждую ось можно надеть максимум 20 колец. В.Новиков

Назовем ежом фигуру, состоящую из семи кубиков (центрального и шести соседних с ним). Оказалось, что в каждом еже белых кубиков больше, чем черных. Докажите, что и в каком-то кубе 2 u 2 u 2 белых кубиков больше, чем черных. М.Евдокимов

7 (6–8 класс). В лесу нечетное количество домов, некоторые из них соединены дорожками. В каждом доме живет гном. Гномы считаются соседями, если их дома соединены дорожкой. Однажды гномы совершили обмены и переехали в другие дома. При этом оказалось, что снова в каждом доме живет гном, и теперь гномы являются соседями в том и только в том случае, если раньше они ими не были. Докажите, что ровно один гном не сменил место жительства. А.Грибалко

8 (7–8 класс). Правильный шестиугольник разрезан более чем на 100 равносторонних шестиугольников, каждый из которых окрашен в белый или черный цвет. Верно ли, что найдутся два шестиугольника, граничащих по стороне или части стороны, которые окрашены в один цвет? М.Евдокимов

4 (7–8 класс). Дан прямоугольный треугольник ABC. Пусть Z – окружность, проходящая через вершину C и касающаяся гипотенузы AB в точке B. Докажите, что расстояние от точки A до окружности Z больше, чем расстояние от точки C до прямой AB. И.Кухарчук, А.Ершов

9 (6 класс). В течение года ученики класса сходили на N олимпиад. Каждые двое участвовали в разном количестве олимпиад, при этом каждый из них был на олимпиаде, на которой не был второй. Какое наибольшее число учеников может быть в этом классе? В.Буфеев, О.Манжина

5 (5–6 класс). В двух комнатах находилось по нескольку человек, каждый из которых либо рыцарь, либо лжец. Время от времени кто-нибудь из них переходил из одной комнаты в другую и, уже находясь в комнате, произносил: «Сейчас в этой комнате лжецов больше, чем рыцарей». Могло ли оказаться, что каждый человек совершил ровно один переход из комнаты в комнату? Н.Чернятьев

10 (7–8 класс). Цифры от 0 до 9 зашифрованы в каком-то порядке буквами от A до J. За один вопрос разрешается назвать несколько различных букв и узнать зашифрованную запись их суммы. Например, если A 5, B 6, C 1, то можно, назвав A и B, узнать, что их сумма равна CC. Саша предполагает, что цифры зашифрованы по порядку, т.е. A 0, B 1 и т.д. Может ли он, задав три вопроса, подтвердить или опровергнуть свою гипотезу? А.Грибалко, А.Заславский

6 (5–7 класс). Из 64 белых и черных единичных кубиков сложен куб 4 u 4 u 4.

39

ОЛИМПИАДЫ

11 (6–8 класс). Клетки прямоугольной таблицы m u n покрашены в три цвета: синий, красный, зеленый. За один ход можно выбрать три клетки, образующие уголок, и одновременно перекрасить их следующим образом: синие клетки – в красный цвет, красные – в зеленый, зеленые – в синий. При каких m и n можно сделать таблицу одноцветной, независимо от первоначальной раскраски? О.Манжина

12 (6–8 класс). а) Есть 54 уголка, которые представляют собой два отрезка длины 1, соединенные в концах под прямым углом. Из них собрали каркас куба с ребром длины 3, каждая грань которого разбита на единичные квадраты. Докажите, что если каждый уголок находится целиком на одной из граней куба, то на каких-то двух гранях уголков поровну. б) Та же задача для 96 уголков и куба с ребром длины 4. А.Грибалко

13 (8 класс). На клетчатом поле 111 u 111 находится невидимый корабль 11 u 11. Разрешается производить выстрел в любую клетку. Если выстрел попал в корабль, то он считается уничтоженным и игра заканчивается. Если же выстрел был неточен, то после него корабль смещается на одну клетку по горизонтали или по вертикали (в пределах

доски). Можно ли за несколько выстрелов гарантированно уничтожить корабль? А.Грибалко

14 (8 класс). Вневписанная окружность с центром в точке $I_{a}$ касается катета AB прямоугольного треугольника ABC в точке $A_{0}$. Вневписанная окружность с центром в точке $I_{c}$ касается катета CB в точке C 0. Прямые $I_{a} A 0$ и $I_{c} C 0$ пересекают гипотенузу AC в точках $A_{1}$ и $C_{1}$, а друг друга – в точке P. Докажите, что середина AC лежит на вневписанной окружности треугольника $A_{1} PC_{1}$. Д.Швецов

15 (8 класс). Внутри равностороннего треугольника отметили 2022 точки и выписали все расстояния от этих точек до сторон треугольника. Могут ли выписанные числа образовывать в некотором порядке арифметическую прогрессию? А.Грибалко

16 (6–8 класс). На столе по кругу лежат 20 неразличимых на вид монет. Известно, что ровно две из них фальшивые. Настоящие монеты весят одинаково, фальшивые тоже, но они легче настоящих. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь определить, лежат фальшивые монеты рядом или нет? А.Грибалко, К.Кноп, Н.Чернятьев

Подробную информацию о турнире можно найти на сайте tursavina.ru Публикацию подготовил А.Грибалко

Заключительный этап LVI Всероссийской олимпиады школьников по физике

Теоретический тур

9 класс

Задача 1. Отрыв См. задачу Ф2765 «Задачника «Кванта». Задача 2. Аквариум на пружинах См. задачу Ф2769 «Задачника «Кванта». Задача 3. Холодильник В тонкостенном цилиндрическом сосуде с внутренним радиусом R под поршнем находится столб воды высотой $h_{1}$ при температуре $t_{0} 0 q C$. Поршень и дно цилиндра теплоизолированные. Мощность тепловых потерь через боковые стенки пропорциональна площади контакта и разности температур содержимого сосуда и окружающей среды: N D S ’ t, где D – известная константа. Цилиндр вертикально ставят в холодильник, начальная температура в котором $t_{1} 0 q C$. Далее температуру в холодильнике изменяют так, что поршень цилиндра перемещается с постоянной скоростью. Лед, образующийся в цилиндре, не мешает свободному движению поршня. Более того, лед не всплывает над поверхностью воды, а упирается в пор-

42

КВА НT 2023/№9

Рис. 5

положительный заряд с постоянной поверхностной плотностью V. Центр непроводящего шара радиусом $R = r_{1}, r_{2}$ совпадает с центром кольца (рис.5). Шар равномерно заряжен по объему положительным зарядом Q. 1) В каких пределах изменяется модуль электрического поля на поверхности шара? 2) При каких значениях V вектор напряженности результирующего поля в точках на поверхности шара, удаленных от плоскости кольца на расстояние больше чем 0,1R, можно считать направленным вдоль оси вращения системы? Заряд Q считайте известным. Примечание. Ответы на каждый из вопросов задачи должны быть упрощены с учетом приближения $R = r_{1}, r_{2}$. Г.Расторгуев

Задача 3. Кружатся диски См. задачу Ф2772 «Задачника «Кванта». Задача 4. Адиабатическая анизотропия См. задачу Ф2771 «Задачника «Кванта». Задача 5. Туда-сюда На плоской доске, образующей с горизонтом угол D 30,0 q, находится маленькая шайба (рис.6). Коэффициент трения между

стижением основания доски соответственно. 2) Определите скорости шайбы u и $v_{1}$ в верхней точке траектории и прямо перед повторным достижением основания доски соответственно. 3) Определите время t, через которое шайба повторно достигает основания доски. Примечание. Ответ на каждый из вопросов задачи должен быть как рассчитан, так и выражен аналитически через заданные в условии величины. А.Уймин

Победители олимпиады

9 класс

Рис. 6

шайбой и доской P tg D. Вблизи основания доски шайбе сообщают скорость $v_{0} 8,00$ м с, и она движется по доске, пока снова не достигнет основания. Основание доски горизонтальное. Известно, что в моменты старта и повторного достижения основания доски вектор скорости шайбы образовывал углы $M_{0} 60,0 q$ и $M_{1} 159,3 q$ соответственно с положительным направлением оси y, направленной вверх по доске. Ускорение свободного падения g 9,80 м $с^{2}$. Шайба не вращается. 1) Определите ускорения шайбы $a_{0}$ и $a_{1}$ в момент старта и прямо перед повторным до-

Агеев Я. – Московская область, Авдеев Ф. – Москва, Кривощёков Е. – Алтайский край, Сируляев А. – Москва, Сиволапов А. – Московская область, Айрапетян В. – Московская область, Рыбаков В. – Санкт-Петербург, Науменя А. – Калининградская область, Руковчук П. – Московская область, Шнейдерман М. – Москва, Лаврентьев В. – Санкт-Петербург, Смекалин С. – Приморский край;

10 класс

Быстров М. – Московская область, Гаранов И. – Москва, Снигирь К. – Москва, Кротков Я. – Москва,

43

ОЛИМПИАДЫ

Бахвалов А. – Московская область, Чайка М. – Москва, Прохоров П. – Москва, Прохорченко М. – Московская область, Жиганов Г. – Свердловская область;

11 класс

Потапов Е. – Москва (10 класс), Бобков В. – Москва (10 класс), Душанин А. – Московская область, Доля В. – Московская область, Ившин А. – Московская область, Мякутин И. – Москва, Ершов А. – Московская область, Гаврилов Д. – Московская область, Бурцев Р. – Московская область.

Публикацию подготовил В.Слободянин

XXIX и XXX Международные олимпиады школьников «Туймаада»

ER

T IO NA

NA L O

$LY M P I A_{D}$ ”

T UY

MA A

D

A ”

В июле прошлого, 2022 года Международная олимпиада «Туймаада» по физике, математике, информатике и химии проходила дистанционно, а в июле нынешнего, 2023 года – снова в очном формате. Участники олимпиады по физике соревновались, как обычно, в двух лигах: старшей и младшей (жюри распределяет участников по лигам в зависимости от их возраста и класса). Согласно программе олимпиады по физике, участникам могут быть предложены задачи на любые темы, содержащиеся в углубленной школьной программе. Авторы оригинальных задач (как теоретических, так и экспериментальных) могут присылать их методической комиссии (achudn@mail.ru) – лучшие задачи войдут в итоговый комплект и будут опубликованы после олимпиады в образовательных журналах. Статья подготовлена на основании следующих методических пособий:

IN T

Физика

А.В.Чудновский, Р.Е.Аванесян., С.Д.Варламов, А.И.Власов, М.М.Ермилов, А.И.Манаков. XXIX Международная олимпиада «Туймаада». Физика. Теоретический тур. Методическое пособие под ред. А.В.Чудновского – М.-Якутск, 2022; А.В.Чудновский, Р.Е.Аванесян, А.Б.Акимов, С.Д.Варламов, А.И.Власов, М.М.Ермилов, В.В.Ефимов, С.И. Кошоридзе. XXХ Международная олимпиада «Туймаада». Физика. Теоретический тур. Методическое пособие под ред. А.В. Чудновского – М.- Якутск, 2023.

44

КВА НT 2023/№9

Ниже представлены теоретические задачи для старшей лиги.

Теоретический тур 2022 года

Задача 1. Центр масс загружаемой платформы Платформа массой M 2000 кг и длиной L 80 м движется без трения с начальной скоростью $v_{0}^{1}$ м с. Когда платформа уже на 3 4 своей длины проехала загрузочный люк, тот открылся и из него начал сыпаться щебень с расходом $P^{100}$ кг с. Найдите скорость $v_{c} t$ центра масс системы, состоящей из платформы и высыпавшегося щебня, в зависимости от времени после открытия люка. Приведите ответ в общем виде и для указанных численных данных. А.Манаков, А.Чудновский

Задача 2. Раскручивание резинового кольца Тонкое кольцо из резины плотностью $U^{1500}$ кг $м^{3}$ надели на шершавый цилиндр немного большего диаметра так, что кольцо растянулось и в нем возникло механическое напряжение T 6 кПа. До какой максимальной линейной скорости v можно раскрутить кольцо, вращая цилиндр вокруг своей оси? Другие тела с кольцом не взаимодействуют. А.Чудновский

Задача 3. Адиабатное падение тяжелого поршня Тяжелый поршень начинает адиабатное падение в вертикальном цилиндре, заполненном одноатомным идеальным газом (над поршнем вакуум). Отношение начальной силы давления газа на поршень к силе тяжести поршня является малой величиной M 0 01.

1. Оцените отношение $h H_{min} H_{0}$ минимальной высоты $H_{min}$ поршня над дном сосуда к начальной высоте $H_{0}$. 2) Оцените отношение $P p_{max} p_{0}$ максимального давления $p_{max}$ газа в цилиндре к начальному $p_{0}$. 3) Оцените отношение $t T_{max} T_{0}$ максимальной температуры $T_{max}$ газа в цилиндре к начальной $T_{0}$. А.Власов

Задача 4. Нагрев электромоста Из разных кусков нихромовой проволоки, покрытой одинаковой изоляцией одной и той же толщины, изготовили пять резисторов, соединили их по мостовой схеме (рис.1) и

Рис. 1

подключили к источнику постоянного напряжения. В каждом из четырех описанных ниже опытов найдите разность между максимальной и минимальной температурами резисторов, если температура центрального резистора в тот же момент времени была выше комнатной на ’ $T_{5}^{10}$ мК. В качестве ответа укажите численные значения, округленные до целого числа милликельвинов. 1) Диаметры всех кусков проволоки одинаковы, а длины пропорциональны номерам резисторов. Измерение всех температур производится через малое время после замыкания цепи. 2) Диаметры всех кусков проволоки одинаковы, а длины пропорциональны номерам резисторов. Измерение всех температур производится через большое время после замыкания цепи. 3) Длины всех кусков проволоки одинаковы, а диаметры пропорциональны номерам резисторов. Измерение всех температур производится через малое время после замыкания цепи. 4) Длины всех кусков проволоки одинаковы, а диаметры пропорциональны номерам резисторов. Измерение всех температур производится через большое время после замыкания цепи. С.Варламов

46

КВА НT 2023/№9

амплитуду А колебаний груза после увеличения числа свободных витков на ’ N? 1. Оцените (приблизительно) время t, прошедшее с момента освобождения первого из изначально скрепленных витков до момента завершения колебаний с амплитудой A. А.Власов

Задача 4. Урановый шар Урановый шар теплопроводностью k и радиусом R, помещенный в поток воды при температуре $T_{0}$, облучается потоком нейтронов так, что в результате реакции деления ядер выделяется объемная мощность q. Найдите зависимость установившей температуры T шара от расстояния r до его центра. А.Чудновский

Задача 5. Газовый тройник Маленький симметричный тройник соединяет три одинаковых сосуда с разреженным гелием. Все трубки тройника симметрично заполнены пористым материалом, пронизанным множеством параллельных каналов, диаметр которых много меньше длины свободного пробега молекул. В центре тройника имеется свободное от пористого материала небольшое пространство. Попадание молекулы в канал с любой стороны означает, что у молекулы есть определенная вероятность вылететь из этого канала назад через то же отверстие и дополнительная к ней вероятность вылететь через противоположное отверстие этого канала, причем эти вероятности не зависят от температуры и одинаковы для всех каналов. Изначально гелий во всех трех сосудах имел давление $p_{0}$ и некоторую одну и ту же температуру. Затем, поддерживая прежнюю температуру в первом сосуде и внутри тройника, повысили температуру во втором сосуде в два раза, а в третьем – в три раза. Какие давления $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ и $p_{4}$ установятся соответственно в трех сосудах и в свободном пространстве внутри тройника через большое время? С.Варламов

Задача 6. Заряженные многогранники 1) На гранях непроводящего куба с ребром a равномерно распределены заряды q, 2q, 3q, 4q, 5q и 6q, причем сумма зарядов на каждой паре противоположных граней равна 7q. Найдите модуль напряженности $E_{1}$ электрического поля в центре куба. 2) По одной грани правильного тетраэрда равномерно распределен заряд с поверхностной плотностью $V_{1}$, а по остальным трем граням – с поверхностной плотностью $V_{3}$. Найдите модуль напряженности $E_{2}$ электрического поля в центре тетраэдра. С.Варламов, М.Ермилов

Задача 7. Растекание потока На круглую пластину, имеющую малую толщину h и изготовленную из материала с удельным сопротивлением U, падает однородный поток заряженных частиц общей силой тока $I_{0}$. Цилиндрическая граница пластины заземлена и имеет нулевой потенциал. Найдите потенциал $M_{0}$ в центре пластины и тепловую мощность $P_{0}$, выделяющуюся в пластине. М.Ермилов

Задача 8. Ртутное зеркало телескопа Знаменитый американский физик-экспериментатор Роберт Вуд в 1908 году построил оригинальный телескоп-рефлектор. На дне колодца в одном из коровников он установил в качестве зеркала телескопа вращающееся вокруг вертикальной оси блюдо со ртутью и наблюдал звездное небо через отверстие в крыше. С помощью такого зеркала в одном из своих опытов он получил на фотопластинке изображение Луны диаметром d 3 5 см. С какой угловой скоростью Z в этом опыте вращалось блюдо со ртутью? Лунный диск с Земли виден под углом J 0 5 q. Ускорение свободного падения g 9 8 м $с^{2}$. В.Ефимов

Публикацию подготовили А.Чудновский,

Ю.Григорьев, Е.Неустроев

49

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

Рис. 1

жирной линии он распадается на пять прямоугольников размером 1 u 3. 4. Поскольку разных фигурок разное количество, какая-то фигурка использована больше остальных. Назовем ее главной. Если фигурок любой другой формы хотя бы на две меньше, то каждый пленник видит, какая фигурка главная. Если все нарисуют ее, среди них будут и угадавшие верно. Пусть это не так и, например, главная фигурка – квадрат, следующая по числу – круг, причем кругов ровно на один меньше, чем квадратов. Тогда пленники с квадратами на лбу будут видеть одинаковое количество кругов и квадратов и не смогут определить наверняка главную фигурку (остальные, как и раньше, будут видеть, какая фигурка главная, и могут нарисовать ее). Для этого случая есть несколько спасительных алгоритмов. Первый – из двух кандидатов в главные фигурки назвать ближайшую по часовой стрелке. Докажем, что хоть кто-то угадает. Будем учитывать только квадраты и круги, игнорируя остальных пленников. Может ли после каждого квадрата по часовой стрелке следовать круг? Нет, так как квадратов больше. Тот пленник с квадратом, после которого по часовой стрелке следует квадрат, угадает и всех спасет. Работает и противоположный алгоритм: из двух кандидатов в главные фигурки называть не ту, которая ближе всего по часовой стрелке. Для доказательства тоже рассмотрим лишь круги и квадраты. Как минимум в одном месте после пленника с квадратом следует по часовой стрелке пленник с кругом. Этот пленник с квадратом верно нарисует свою фигурку.

Калейдоскоп «Кванта»

Вопросы и задачи

1. Предмет, стоящий на трех ножках, не будет дрожать на любом, даже кривом полу, а стоящий на четырех – может трястись. А поскольку во время концертов рояль передвигают по сцене, то его устойчивость, отсутствие вибрации играют существенную роль.

РЕШЕНИЯ

2. Волны от двух ветвей камертона интерферируют на погашение. 3. Частоту камертона легко определить по высоте его тона, проигрывая ноты на музыкальном инструменте, например на баяне, и сравнивая их высоты. 4. Колебания воздуха внутри барабана, возбуждаемые первой мембраной, действуют на вторую. Но ее колебания сначала тормозят воздух в барабане, а значит, и первую мембрану, которая приостанавливается, затем начинает снова колебаться, но уже в противотакт с соседкой, отбирая у нее энергию. Мембраны меняются ролями, пока колебания не затухнут. 5. Язык удлинили, при этом увеличив его массу. Ударяя по колоколу, он начинал двигаться медленнее и уже не в фазе с самим колоколом. Звон был восстановлен. 6. Звук, порождаемый шагами марширующих солдат и оркестром, требует некоторого времени на свое распространение. Скорость же звука в воздухе на много порядков меньше скорости света. 7. Волны, излучаемые басами и барабанами, имеют большую длину волны и, дифрагируя, могут огибать более длинные объекты по сравнению с волнами, излучаемыми флейтами и кларнетами. 8. Звуковые волны, излучаемые разными источниками, некогерентны, поэтому они не интерферируют и не сливаются. 9. Высота тона зависит также от того, насколько сильно вдувается в трубу воздух, подобно тому, как в струне она обуславливается силой ее натяжения. 10. На скрипке можно извлекать множество звуков, зажимая струны в тех или иных местах пальцами, тем самым меняя их длину. В арфе или пианино длина струн неизменна, но зато в них достаточно велико число струн различной длины. 11. Струны виолончели длиннее, массивнее и не так туго натянуты, как у скрипки, поэтому колеблются они медленней, чем скрипичные. Эти невысокие длинноволновые музыкальные тона требуют большего резонирующего объема. 12. Чтобы набор собственных частот инструмента был как можно богаче. 13. Струны на морозе уменьшаются в длине. 14. При натяжении струны увеличивается сила упругости. А это приводит к росту частоты колебаний. 15. Смычок то сцепляется со струной, то отрывается от нее. В моменты скольжения она может свободно колебаться. 16. Чтобы увеличить трение смычка о струну и улучшить условия возбуждения ее колебаний.

56

КВАНТ 2023/№9

сумма всех чисел в таблице по модулю 3 не меняется. Если хотя бы одно из чисел m или n делится на 3, то возьмем таблицу, в которой одно число равно 1, а все остальные – нули. В конце мы должны получить таблицу из одинаковых чисел, т.е. сумма чисел должна стать кратна 3. Но в начальной позиции сумма равна 1, поэтому сделать это не получится. Пусть оба числа m и n не делятся на 3. Докажем, что в этом случае таблицу всегда можно сделать одноцветной. Вычислим сумму чисел в исходной позиции. Заметим, что какой бы остаток при делении на 3 она ни давала, можно заполнить таблицу либо нулями, либо единицами, либо двойками и получить сумму с тем же остатком. Это позволяет сразу выбрать цвет, в который мы будем перекрашивать таблицу. Сначала перекрасим в нужный цвет нижнюю строку, используя уголки, которые занимают в ней одну клетку. После этого аналогично перекрасим вторую снизу строку, затем третью и т.д. до предпоследней. Для покраски верхней строки будем действовать следующим образом. Возьмем уголок, занимающий левую верхнюю клетку и две клетки в предпоследней строке, и перекрасим его несколько раз, чтобы левая верхняя клетка стала нужного цвета. Затем возьмем уголок, занимающий вторую клетку в верхней строке и те же две клетки в предпоследней, и с его помощью вернем этим двум клеткам нужный цвет. В итоге мы перекрасим верхнюю левую клетку, не испортив раскраску предыдущей строки. Двигаясь так слева направо, перекрасим все клетки верхней строки, кроме последней, а она автоматически окажется нужного цвета. 12. а) Предположим, что на всех гранях разное количество уголков. На каждой грани 24 единичных отрезка, из которых 12 принадлежат только этой грани. Значит, каждая грань содержит от 6 до 12 уголков. На этом отрезке семь чисел, их сумма равна 6 7 8 9 10 11 12 63, а так как всего уголков 54, то «лишним» является число 9. Поставим каркас куба на стол так, чтобы внизу оказалась грань, на которой 12 уголков. Они покрывают целиком ребра этой грани, поэтому нижний ряд из 12 вертикальных отрезков на боковых гранях составлен из 12 уголков, горизонтальные стороны которых находятся над этим рядом. Тогда и второй ряд на боковых гранях составлен таким же способом, а значит, и третий тоже. Но это означает, что на всех боковых гранях по девять уголков. Противоречие. б) Поставим каркас куба на стол одной гранью к

нам. Покрасим все вертикальные отрезки в синий цвет, все отрезки, которые идут слева направо, – в красный, а все, которые идут спереди назад, – в зеленый. Каждый уголок состоит из отрезков двух разных цветов. Пусть сине-зеленых уголков x, сине-красных – y, а краснозеленых – z. Тогда всего на каркасе x y синих отрезков, y z красных и z x зеленых, а так как отрезков всех цветов поровну, то x y y z z x. Значит, x y z, т.е. уголков всех типов поровну, а именно, по 96: 3 32. Предположим, что на всех гранях разное количество уголков. На каждой грани 40 единичных отрезков, из которых 24 принадлежат только этой грани. Значит, каждая грань содержит от 12 до 20 уголков. Из доказанного выше следует, что на парах противоположных граней количества уголков должны принадлежать одной из пар 12, 20, 13, 19, 14, 18 или 15, 17. Рассмотрим две грани с самым маленьким количеством уголков. Они находятся в разных парах, поэтому имеют общее ребро. Без ограничения общности будем считать, что это ребро синее. На этих двух гранях не больше 13 14 27 уголков, каждый из них содержит один синий отрезок. При этом они должны содержать все внутренние синие отрезки граней и общее ребро, а это суммарно 28 отрезков. Противоречие. 13. Можно. Пронумеруем строки поля числами от 1 до 111 снизу вверх, а столбцы – слева направо. Начнем с 11-й строки и будем двигаться вверх, делая в каждой строке десять выстрелов в столбцы 11, 21, …, 101. Предположим, что, действуя так, мы не попадем в корабль. Выстрелы по одной строке мы делаем с шагом 10, а корабль перемещается только на одну клетку, поэтому для каждой строки есть хотя бы один выстрел, который производится в столбец, где находится корабль. В такой момент для выстрела по 11-й строке корабль должен быть полностью выше этой строки, а для выстрела по 101-й строке – полностью ниже. Значит, есть две соседние строки, для которых при таком выстреле корабль сначала находится выше первой из них, а потом ниже второй. Для этого корабль должен сместиться вниз не менее 11 раз. Тогда такие выстрелы не могут быть произведены в один столбец, поскольку в один и тот же столбец делается каждый десятый выстрел. Значит, выстрел по второй строке должен быть правее, причем хотя бы на 20 клеток, однако для этого корабль должен сместиться еще хотя бы десять раз по горизонтали, а за это время мы перейдем уже на строку выше. Противоречие.