Квант 2023, №10 · Страницы

6

К В АНT 2023/№10

цвет b, но нет ребер, окрашенных в цвет a. Рассмотрим максимальный по длине путь (без повторяющихся ребер), начинающийся в x, в котором чередуются ребра цвета b и ребра цвета a. Так как как из каждой вершины выходит не более одного ребра данного цвета, такой путь единственный. Если мы поменяем цвета a и b ребер вдоль этого пути, то получим другую раскраску ребер графа G без вершины v, которая снова использует только цвета 1, 2, …, m. При этом в соответствующей стопке $S_{x}$ a-карта заменяется на b-карту из колоды. Если путь не заканчивается в вершине, соседней с v, то никакая другая стопка не изменяется (т.е. чертик пропустил свой ход). Допустим, что путь всетаки заканчивается в соседней с v вершиной, и обозначим ее y. Тогда y – это не x, потому что из x не выходит ребер цвета a и выходит только одно ребро цвета b. Если G – двудольный граф, то длина рассматриваемого пути четна, поскольку в противном случае этот путь вместе с ребром vx и ребром vy создали бы цикл нечетной длины. Следовательно, поскольку путь начинался с ребра цвета b, он должен заканчиваться ребром цвета a. Смена цветов вдоль пути соответствует замене в стопке $S_{y}$ b-карты на a-карту из колоды. Мы видим, что смена цветов ребер вдоль пути в двудольном графе соответствует ходу игрока, за которым следует ход чертика Кёнига. Если G не является двудольным, то последнее ребро нашего пути может быть окрашено либо в цвет a, либо в цвет b и, следовательно, смена цветов ребер вдоль пути соответствует ходу игрока, за которым следует ход чертика Визинга. Предположим теперь, что одна из теорем неверна. Рассмотрим граф с минимальным числом вершин, для которого теорема неверна. Поскольку граф только с одной вершиной не имеет ребер, его можно раскрасить в ноль цветов. Следовательно, G имеет по крайней мере две вершины. Пусть v – вершина степени k и в G нет вершин степени больше k (так что k – максималь-

ная степень вершин в G). Из условия минимальности на G следует, что удаление вершины v приведет к графу, который может быть раскрашен с использованием m цветов, где m равно k для теоремы Кёнига и m равно k 1 для теоремы Визинга. Тогда для каждого соседа x из v в стопке $S_{x}$ есть m 1 d карт, где d – количество соседей x. Поскольку d d k, это не менее m 1 k карт, т.е. по крайней мере одна карта для теоремы Кёнига и по крайней мере две карты для теоремы Визинга. Сыграв в k-игру, игрок соберет выигрышный набор из k карт разного достоинства, взяв по одной карте из каждой стопки. Тогда раскраска ребер, исходящих из v, в цвета с номерами этих карт даст реберную раскраску G с использованием m цветов. Противоречие. Следовательно, обе теоремы верны!

Литература

1. D.Kцnig. Grafok es matrixok. – Matematikai es Fizikai Lapok, vol.38, 1931, p.116–119. 2. В.Г.Визинг. Об оценке хроматического класса р-графа. Дискретный анализ. – Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1964, т.3, с.25–30. 3. M.Stiebitz, D.Scheide, B.Toft and L.M.Favr- holdt. Graph Edge Coloring: Vizing’s Theorem and Goldberg’s Conjecture. – Wiley, 2012. 4. A. Ehrenfeucht, V. Faber and H. A. Kierstead. A new method of proving theorems on chromatic index. – Discrete Mathematics, vol. 52, 1984, no.2–3, p.159–164. 5. A.Schrijver. Combinatorial Optimization: Polyhedra and Efficiency. Vol.A. – Springer Verlag, 2003. 6. P.Hall. On representatives of subsets. – Journal of the London Mathematical Society, vol.10, 1935, p.26–30. 7. М.Башмаков. Паросочетания и транспортные сети. – «Квант», 1970, №4. 8. L.Rabern. A game generalizing Hall’s theorem. – Discrete Mathematics, vol.320, 2014, p.87–91; arXiv:1204.0139.

8

КВАНТ 2023/№10

ются между металлическими пластинами. На поверхность этих деталей наносятся проводящие пленки, которые и выполняют роль пластин. Впрочем, с точки зрения основной формулы для емкости, это не имеет значения. Что касается второго способа, то H зависит от всего на свете, например от температуры, поэтому конденсатор с диэлектриком можно использовать как термометр. Но управлять конденсатором через температуру неудобно – слишком медленны будут изменения (как и насколько их можно ускорить – хорошая задача, но слегка выходящая за порог школы). Можете подумать, от каких параметров зависит эффективность датчика (три параметра можно назвать сразу). Для современной электроники наиболее естественно применить для управления электрическое напряжение. И тут нам повезло – есть вещества, у которых H зависит от напряженности поля. Это – сегнетоэлектрики, и есть конденсаторы с таким диэлектриком – вариконды, предназначенные именно для управления емкостью. Причем возможны две ситуации: когда в конечном итоге конденсатором управляет (прямо или через напряжение) человек и когда управляющий сигнал создается устройством, схемой. Во втором случае стабильность параметров этих конденсаторов (например, при изменении температуры) может быть не менее важна, чем для постоянных конденсаторов. Если же управляет человек, ситуация может быть проще, временная стабильность и слабая зависимость от температуры могут быть менее важны. Потому, что мы все равно собираемся при работе изменять их параметры (конечно, если шкала размечена с высокой точностью, то возникнет проблема – деления шкалы перестанут соответствовать тому, что на них написано). Зато у переменных конденсаторов появляются новые параметры. У них параметр «емкость» – это не одно значение, а два: минимальное и максимальное. Далее, важны плавность регулирования – наличие и величина скачков и вид зависимости сопротивления от перемещения – линейная

Рис. 1. Переменный конденсатор, пластины – части круга, секторы

или какая-то иная. Кроме этих параметров, для переменных конденсаторов могут быть существенны, естественно, износ трущихся поверхностей, устойчивость контакта при вибрации и ударах. Ну и, конечно, все общие проблемы – зависимость от условий эксплуатации (температура, давление, влажность), срок службы, надежность, вес, размеры, стоимость (и это не весь список). На рисунке 1 показан переменный конденсатор, у которого пластины являются секторами, их радиус постоянен. Поэтому площадь «накрытия» пластин зависит от угла поворота линейно, а емкость – примерно линейно. Кстати, почему сказано «примерно», т.е. почему и насколько нелинейно? Причем «почему» вы легко сообразите, а вот посчитать удастся лишь очень приблизительно.

П

Н

Рис. 2. Справа – два переменных конденсатора на одной оси вращения

9

ПЕРЕМЕННОСТЬ

На рисунке 2 представлены два переменных конденсатора, емкость которых изменяется при вращении оси, на которой закреплены пластины. У левого конденсатора – подвижные (П) более тонкие пластины «наезжают» на толстую неподвижную (Н), т.е. изменяется $площадь^{S,}$ которая входит в формулу емкости конденсатора. Обратите внимание на форму пластин правого конденсатора – это не секторы, как в предыдущем случае, т.е. конструктор явно хотел получить какую-то другую зависимость емкости от угла поворота. Как вы думаете, какую и зачем? (Подсказка – вспомните формулу Томпсона.) На рисунке 3 мы видим два комплекта по 4 конденсатора в каждом. Нижние (на картинке) конденсаторы, у которых все подвижные пластины (12 штук) установлены на общем валу, обычные конденсаторы с изменением площади перекрытия пластин. У верхних конденсаторов неподвижные пластины обозначены Н (они у них общие с нижними конденсаторами), а подвижные обозначены П. Это – подстроечные конденсаторы, их еще называют «триммеры», от $английского^{trim}$ – приводить в порядок (подстроечные резисторы тоже так называют). Емкость триммеров изменяется весьма редко, обычно при первоначальной наладке аппаратуры, а возможно – при ремонте и замене каких-то деталей (например, электронных ламп). Триммеры на рисунке 3 отличаются тем, что у них изменяется не площадь накрытия пластин, а зазор между ними.

Н

П

П

Н

Рис. 3. Конденсаторы – четыре обычных, четыре подстроечных (триммеры)

Рис. 4. Подстроечный конденсатор, верхняя пластина – подвижная

Вообще, ситуация изменения зазора – довольно редкая, поэтому приведем еще один пример. У конденсатора на рисунке 4 верхняя пластина приближается к нижней при завинчивании винта. У всего «подстроечного» есть несколько важных отличий от просто «переменного». У него по окончании наладки должно фиксироваться значение (или само по себе, или специальной деталью), и в дальнейшем оно не должно меняться само. Но к триммерам не предъявляется требований по возможности многократного изменения значения емкости или сопротивления и необходимый диапазон изменения обычно меньше. Для всех переменных конденсаторов важна плавность изменения емкости, она определяется плавностью вращения винта или оси (для оси – качеством подшипников). В простой школьной модели трения, когда максимальная сила трения покоя равна силе трения движения, при перемещении скачков нет. На самом деле все сложнее, и на практике скачки могут быть, поскольку максимальное трение покоя больше. Если вам случалось передвигать что-то тяжелое, то вы сталкивались с тем, что стронуть с места труднее, чем тащить (тут рядом лежит почти школьная задача – почему кантовать легче, чем тащить). Но системы передачи движения в переменных конденсаторах конструируются так, чтобы обеспечивать плавность перемеще-

11

ПЕРЕМЕННОСТЬ

если пространство между пластинами не содержит диэлектрика, есть риск касания пластин – это определяется точностью изготовления, жесткостью пластин и вибрациями. Поэтому расстояние между пластинами должно выбираться так, чтобы при эксплуатации они не могли соприкоснуться. Если же конденсатор предназначен для работы с высокими напряжениями, это расстояние зависит еще и от напряжения. Пусть, например, пробивная прочность воздуха 30 кВ см, а возможное отклонение пластин 0,5 мм. Тогда делать зазор меньше 1 мм ни при каких напряжениях нельзя, но при напряжении, например, 3 кВ придется делать зазор 2 мм. Чтобы избежать проблем при касании пластин, иногда в зазор между пластинами вводят тонкую пленку диэлектрика. Если пленка тонкая, на емкость она не влияет, но от касаний противоположных пластин защищает. В некоторых задачниках попадается задача – чему равна емкость конденсатора, в котором между пластинами находится дополнительная проводящая или диэлектрическая пластина, все поверхности параллельны, краевыми эффектами пренебречь. Эта задачи тривиальна, но что делать, если дополнительная пластина наклонена? И кстати, как введенная пластина влияет на электропрочность, т.е. на пробивное напряжение? Все вместе – это

Рис. 5. Подстроечный конденсатор с диэлектриком

большая задача, некоторые ее части просты, некоторые довольно сложны. Существуют переменные конденсаторы, у которых все пространство между пластинами заполнено диэлектриком, как в конденсаторах постоянной емкости. Но есть между ними различие, которое не сказывается на емкости, – в переменных конденсаторах пластины и диэлектрик все-таки не могут быть соединены пайкой или напылением, не могут быть единым телом, они же должны друг по другу скользить. На рисунке 5 изображен подстроечный конденсатор с диэлектриком, слева в сборе, справа в разобранном состоянии, причем верхняя (подвижная) деталь показана два раза – вверху в стандартном положении, внизу – в перевернутом. Видно, что одна из обкладок – металлический слой, нанесенный на поверхность неподвижной детали, а вторая обкладка не видна – она нанесена на наружную поверхность подвижной детали, но закрыта краской. Конденсаторы с твердыми диэлектриками при прочих равных условиях имеют большее допустимое напряжение, потому что электропрочность диэлектриков больше, чем у воздуха, а сопротивление достаточно велико, чтобы пренебрегать токами утечек. Но, во-первых, не всегда, во-вторых, про электропрочность диэлектриков мы знаем далеко не все, в-третьих, у

12

К В АНT 2023/№10

Рис. 6. Подстроечные конденсаторы с цилиндрическими обкладками, вверху – самоделка, внизу – фабричный. У самодельных – левый в положении максимальной емкости, а с правого блок подвижных обкладок вообще снят

постоянного конденсатора с диэлектриком есть переходной слой между пластиной и диэлектриком, а у переменного конденсатора с диэлектриком там просто маленький, микронный, но воздушный зазор. И в этой компании каждый ведет себя сложнее другого. Так что скучать без задач – настоящих физических задач – вам не придется. До этого момента мы рассматривали конденсаторы, у которых были плоские пластины. Но ими мир конденсаторов не исчерпывается. Вообще говоря, любые два проводника могут (если человек с паяльником прикажет) стать конденсатором; помните понятие «взаимная емкость»? И даже один проводник может это делать; помните понятие «емкость уединенного тела»? Более того, в высоковольтной тех-

нике такие уединенные тела бывают. Но история техники устроена так, что удобнее работать не с какими угодно телами, а с цилиндрическими. На рисунке 6 изображены подстроечные конденсаторы с цилиндрическими обкладками, которые перемещаются при вращении. Если вы каким-то чудом помните уравнение для электрического поля между цилиндрическими электродами, то формулу для емкости получите мгновенно. Разумеется, краевыми эффектами пренебрегаем, а их учет – задача решаемая, но не школьная; мы можем получить только оценку. На рисунке 7 мы видим два примера другой реализации цилиндрической геометрии. Один из электродов – цилиндр, другой – винт (естественно, тоже цилиндрический), соосный с цилиндром, при вращении винт перемещается вдоль оси. Здесь есть принципиальное, с точки зрения электростатики, отличие от предшествующих примеров. Размеры винта и его расположение таковы, что все изменение емкости происходит в зоне краевых эффектов. Поэтому «школьный» расчет, который вообще здесь возможен, при этих конкретных размерах не получается. Однако работать этим конденсаторам данное обстоятельство не мешает. Кстати, есть два вопроса. Первый: как можно было бы сделать цилиндрический конденсатор с винтом, работающий не за счет краевых эффектов? Второй: как в этом случае можно было бы реализовать нелинейную зависимость емкости от угла

Рис. 7. Подстроечный цилиндрический конденсатор с винтом, две реализации

15

ПЕРЕМЕННОСТЬ

дуктивность. (Обратите внимание на изменение шага витков – как вы думаете, зачем это сделано?) У этой конструкции есть проблемное место – именно этот контакт. Как вы знаете, скользящий контакт может нехорошо себя вести при работе с большими токами. Второй способ – перемещение витков. Это самый древний путь, ему около века. Кажется, что проще всего использовать в качестве индуктивности нечто вроде пружины – при ее сжатии витки сближаются, индуктивность увеличивается. Однако такие конструкции не использовались – сделать, чтобы витки были закреплены и перемещались управляемо, сложно, а если оставить их свободными, такая индуктивность будет отзываться на вибрации и удары и вообще зависеть от положения аппаратуры в пространстве. Возможен вариант, когда катушка разделялась на две, они располагались на одной оси и могли сближаться и отдаляться одна от другой. Но получил применение вариант c двумя катушками – одна внутри другой, катушки включались последовательно и внутренняя вращалась (рис. 14). Если направление тока в витках катушек совпадало, то индуктивность увеличивалась, если катушка поворачивалась на 180q и токи текли навстречу, то индуктивность существенно уменьшалась. Эта ситуация реализовывалась без переключателей и контактов, что в случае больших токов может быть существенно. В ситуации двух катушек на одной оси для изменения направления тока был бы нужен

переключатель. Если решать эту задачу не вращением катушек, а их сближением и удалением, то диапазон изменения индуктивности получался меньше, а габариты – больше. Варианты с изменением магнитной проницаемости – третий способ – можно разделить на две группы. Магнитная проницаемость ферромагнетиков зависит от напряженности магнитного поля, и на рисунке 15 показан пример использования этой зависимости. Возможен, однако, и другой вариант – некий аналог конденсатора с

М

С

М

С

Рис. 15. Переменная индуктивность: М – постоянный магнит, С – соленоид на ферромагнитном сердечнике. Вверху – магнит отведен от соленоида, внизу – приближен. Для перемещения вращают любой из двух винтов – слева и справа

Рис. 14. Варианты с двумя катушками: слева – 1926 года, справа – более поздний

подвижным диэлектриком, причем распространены два варианта конструкции. Один – просто катушка, внутрь которой вводится ферромагнитный сердечник. В другом варианте – это катушка, которая уже была окружена со всех сторон ферромагнетиком, но вдоль оси имелся канал и в него ввинчивался дополнительный ферромагнитный винт, что увеличивало индуктивность. Этот вариант показан на рисунке 16 – катушка вставляется в кольцевой канал.

Задачи по математике и физике

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: math@kvant.ras.ru и phys@kvant.ras.ru соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи M2766, М2768 предлагались на учебно-тренировочных сборах кандидатов в команду на Международную математическую олимпиаду. Задача Ф2773 предлагалась на Международной олимпиаде школьников «Туймаада» в 2023 году, а задачи Ф2774-Ф2776 – в 2022 году.

Задачи М2766–М2769, Ф2773–Ф2776

M2766. Дано натуральное число n. Поле для «Мастер-судоку» представляет $собой^{n} n 1 2$ клеток $квадрата^{n} u^{n}$, лежащих на главной диагонали либо под ней. Мастер загадывает n клеток этого поля, по одной в каждом столбце, и сообщает ученику про каждую строку, сколько загаданных клеток лежит в ней (ученик также в курсе, что в каждом столбце ровно одна загаданная клетка). Ученик должен иметь возможность по этой информации наверняка восстановить клетки, загаданные Мастером. Сколько различных таких судоку может составить Мастер? Т.Амдеберхан, М.Руби, Ф.Петров

M2767. Несложно доказать, что в прямоугольном треугольнике сумма радиусов вписанной и трех вневписанных окружностей равна периметру. Докажите, что верно и обратное утверждение. И.Вайнштейн

M2768*. Дано натуральное число n. Попарно различные ненулевые целые числа $a_{1},^{…}, a n$ таковы, что число $x_{1}^{a} x_{2}^{a} …^{…} x^{a} n$ делится на $число_{1}^{a} a_{2}^{…} a n$ при любом $целом^{x.}$ Найдите наибольшее возможное значение a n. Ф.Петров, К.Сухов

M2769*. Вписанная окружность: треугольника ABC касается сторон BC, CA и

Рис. 1

AB в точках D, E и F соответственно (рис. 1). Пусть окружность Z касается отрезков CA и AB в точках Q и R соответственно, а точки M и N выбраны на отрезках AB и AC соответственно так, что отрезки CM и BN касаются Z. Биссектрисы углов NBC и MCB пересекают соответственно отрезки DE и DF в точках K и L. Докажите, что прямые RK и QL пересекаются на Z. Чан Куанг Хунг (Вьетнам)

Ф2773. Невесомая пружина имеет большое число витков, но изначально только N? 1 витков могут деформироваться, а остальные – скреплены между собой. Груз на этой пружине совершает свободные

КОНКУРС ИМЕНИ А.П.САВИНА

Мы продолжаем очередной конкурс по решению математических задач. Задания рассчитаны в основном на учащихся начиная с 8–9 класса, а более младшим школьникам советуем попробовать свои силы в конкурсе журнала «Квантик» (см. сайт kvantik.com). Высылайте решения задач, с которыми справитесь, по адресу: savin.contest@gmail.com. Кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором учитесь. Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в таком случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы. Задания, решения и результаты публикуются на сайте sites.google.com/view/savin-contest Желаем успеха!

5. Пятнадцать бочек поставили в виде треугольника (рис. 1) и обтянули кольцевым обручем. Шестнадцать бочек постави-

Рис. 4

Рис. 2

Рис. 1

ли в виде квадрата 4 u 4 (рис. 2) и тоже обтянули кольцевым обручем. Сравните длины этих обручей. П.Кожевников

6. Имеются стакан кофе, наполненный $на^{2} 3,$ и такой же стакан молока, наполненный $на^{2} 3$. Разрешается переливать любое количество жидкости туда и обратно, тщательно ее перемешивая, но нельзя ничего выливать. Можно ли получить в одном из стаканов напиток, составленный из молока и кофе в пропорции 1:1? Е.Смирнов

7. Вася нарисовал фигуру в виде квадрата 15 u 15, в котором вырезаны четыре отверстия в виде квадратов $3 u 3 (рис.^{3).}$

Рис. 3

Эту фигуру Вася разрезал на фигурки, каждая из которых одного из трех типов $(рис.^{4).}$ Известно, что фигурок типов $2 и^{3}$ в разрезании поровну. Сколько в разрезании фигурок каждого типа? С.Костин

8. a) Петя и Вася играют в такую игру. Петя пишет на доске любое целое число. Вася не видит доску, и его цель – угадать, какое число сейчас на доске. За один ход Вася называет свою догадку, и если она неправильная (т.е. не совпадает с числом на доске в момент произнесения догадки), то Петя увеличивает число на доске на 1, после чего Вася пытается угадать снова. Всегда ли Вася может действовать так, чтобы гарантированно угадать число за конечное количество ходов? б) Такая же игра и тот же вопрос, но теперь Петя после каждого хода может изменить число на 1 по своему усмотрению (увеличить или убавить на 1; не менять число нельзя). в) Такая же игра и тот же вопрос, но теперь Петя увеличивает число на 1, когда Васина догадка меньше числа, которое сейчас на доске, и уменьшает число на 1, если Васина догадка больше. А.Гаек (ученик 11 класса)

ШКОЛА В «КВАНТЕ»

Теорема о трех плоскостях

Ю.БЛИНКОВ

ВСТАТЬЕ БУДЕТ РАССМОТРЕНО одно важное утверждение, которое можно формулировать и использовать сразу после изучения аксиом стереометрии. Отметим, что в виде теоремы оно встречается только в книге [1] и привязано к теме «Параллельность прямой и плоскости». Иногда это утверждение встречается (в упрощенной или другой формулировке) в виде задач (см, например, [2], [3], [4]), но внимание на нем не акцентируется. Мы постараемся частично восполнить этот пробел. Итак, формулировка. Теорема о трех плоскостях. Если три плоскости пересекаются по трем различным прямым, то эти три прямые либо параллельны друг другу, либо пересекаются в одной точке. Доказательство. Пусть плоскости D и E пересекаются по прямой c, E и J – по прямой a, D и J – по прямой b. Поскольку каждая пара прямых (например, a и b) лежит в одной плоскости, то они либо пересекаются, либо параллельны. Если никакие две из указанных прямых не пересекаются (рис. 1), то они попарно параллельны и условие теоремы выполняется. Пусть какие-то две из прямых пересекаются, например, a и b пересекаются в точке C (рис. 2). Тогда точка C принадлежит плоскостям E и J, поскольку принадлежит их

Рис. 2

пересечению (прямой a). С другой стороны, эта точка принадлежит плоскостям D и J, так как она лежит на прямой b. Следовательно, точка C принадлежит все трем плоскостям, в частности, принадлежит пересечению D и E, т.е. прямой с. Итак, прямые a, b и c либо параллельны, либо пересекаются в одной точке, что и требовалось доказать. Обратим внимание, что в доказательстве использовалось лишь то, что две плоскости пересекаются по прямой. Рассмотрим применение доказанной теоремы. Начнем с построения сечений. Решим следующую задачу. Задача 1. а) Верно ли выполнено построение сечения тетраэдра на рисунке 3? б) Постройте сечение тетраэдра PABC, проходящее через середины ребер PA, PC и AB. Решение. а) Рассмотрим три плоскости: PAС, ABC и плоскость сечения. По теореме о трех плоскостях прямые их попарного пересечения либо параллельны, либо пересекаются в одной точке. Остается заметить, что на данном чертеже не выполняется ни то, ни другое. Таким образом, построение выполнено неверно. б) Пусть M, K и N – указанные середины ребер (рис. 4). Рассмотрим три плоскости:

Рис. 1

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20231003

Рис. 3

Рис. 4

29

ШКОЛА

Упражнение 5. Докажите этот факт.

Сформулированное утверждение также можно считать одним из случаев теоремы о трех плоскостях, если принять, что две параллельные плоскости пересекаются по бесконечно удаленной прямой. Теперь вспомним второй признак параллельности плоскостей. Задача 5. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Решение. Обозначим плоскости D и E, а прямые, в них лежащие, a, b и a c, b c соответственно, тогда a P a c, b P b c. Пусть а пересекается с b в точке O. Докажем, что D P E. Рассмотрим плоскость, содержащую а и a c, а также плоскости D и E. Если плоскости D и E пересекаются, то по прямой с, параллельной а и a c (см. задачу 2). Рассмотрев плоскость, проходящую через прямые b и b c, получим, что прямая с также параллельна прямым b и b c, т.е. через точку O проходят две прямые, параллельные прямой с. Противоречие. Теперь рассмотрим утверждение, связанное с параллельностью прямой и плоскости. Отметим, что теорема о трех плоскостях позволяет изучать параллельность плоскостей и параллельность прямой и плоскости независимо друг от друга, т.е. порядок изучения тем можно менять в зависимости от целей и вкусов учителя. Задача 6. Если прямая параллельна двум пересекающимся плоскостям, то она параллельна их линии пересечения. Решение. Обозначим плоскости через D и E (рис. 7), прямую их пересечения – через с, а данную прямую – через x. Рассмотрим произвольную плоскость J, проходящую че-

Рис. 7

В

«КВАНТЕ»

рез прямую x и пересекающую D и E. Пусть она пересекает эти плоскости по прямым a и b соответственно. Поскольку прямая x параллельна D и E, то она параллельна прямым a и b (докажите!). Применив теорему о трех плоскостях к плоскостям D, E и J, получим, что прямые a, b и c параллельны, откуда, учитывая транзитивность параллельности, и следует параллельность прямых c и x. Теперь перейдем к менее стандартным утверждениям. В некоторых случаях увидеть эти три плоскости не так просто. Следующая задача взята из задачника [5]. Задача 7. Треугольники ABC и $A_{1} B_{1} C_{1}$ не лежат в одной плоскости (рис. 8). Извест-

Рис. 8

но, что прямые AB и $A_{1} B_{1}$, BС и $B_{1} C_{1}$, AС и $A_{1} C_{1}$ попарно пересекаются. Докажите, что прямые $AA_{1}, BB_{1}$ и $CC_{1}$ пересекаются в одной точке или параллельны. Решение. Воспользуемся тем, что две пересекающиеся прямые задают плоскость. Рассмотрим три плоскости, заданные парами прямых: AB и $A_{1} B_{1}$, BС и $B_{1} C_{1}$, AС и $A_{1} C_{1}$. Тогда по теореме о трех плоскостях прямые $AA_{1}, BB_{1}$ и $CC_{1}$ их попарного пересечения пересекаются в одной точке или параллельны, что и требовалось. Отметим, что пересечение прямых при решении задачи 7 мы используем только для того, чтобы они образовывали плоскость, т.е. условие задачи остается верным, если какие-то из этих пар прямых параллельны. Кроме того, эти прямые пересекаются в трех

30

КВАН T 2023/№10

точках, лежащих на одной прямой, так как они принадлежат прямой пересечения плоскостей указанных треугольников. И, наконец, нельзя не отметить связь этого утверждения с теоремой Дезарга (см., например, [2]). Теперь рассмотрим задачу В.В.Произволова с Турнира городов 2009 года. Задача 8. В пространстве (но не в одной плоскости) расположены шесть различных

ношения.

Отметим, что, как и в задаче 7, взаимное расположение прямых мы использовали для задания плоскости. В следующей олимпиадной задаче (предложил В.А.Лецко), мы используем этот прием еще раз. Задача 9. Все грани выпуклого шестигранника – четырехугольники. Докажите, что если у такого многогранника найдется пара пересекающихся диагоналей, то у него найдется еще одна такая пара. Решение. Пусть диагонали $AC_{1}$ и $BD_{1}$ шестигранника $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ пересекают-

Рис. 9

точек: A, B, C, D, E и F (рис. 9). Известно, что отрезки AB и DE, BC и EF, CD и FA попарно параллельны. Докажите, что эти же отрезки и попарно равны. Решение. Рассмотрим три плоскости, заданные парами параллельных прямых: (ABDE), (BCEF), (CDFA). Они пересекаются по прямым (BE), (CF) и (AD). Тогда эти три прямые либо параллельны, либо пересекаются в одной точке. В первом случае (если он возможен) из параллельности (BE) и (AD) и параллельности (AB) и (DE) следует, что ABED – параллелограмм, т.е. AB = DE, и аналогично для других пар отрезков. Во втором случае имеем пространственный шестиугольник с попарно параллельными противоположными сторонами и пересекающимися в одной точке главными диагоналями. Тогда из подобия нескольких пар треугольников следует, что противоположные стороны еще и равны, т.е. коэффициент подобия не может быть отличным от единицы (докажите!).

ся (рис. 10). Тогда точки $A, B, C_{1}$ и $D_{1}$ лежат в одной плоскости D, т.е. прямые AB и $C_{1} D_{1}$ параллельны или пересекаются. Рассмотрим еще две плоскости: $AA_{1} B_{1} B$ и $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$. Тогда по теореме о трех плоскостях прямая $A_{1} B_{1}$ параллельна прямым AB и $C_{1} D_{1}$ в первом случае и проходит через точку их пересечения во втором. Проведя аналогичные рассуждения для плоскостей D, ABCD и $DCC_{1} D_{1}$, получим, что CD также параллельна AB и $C_{1} D_{1}$ в первом случае и проходит через точку их пересечения во втором. Следовательно, $A_{1} B_{1}$ и CD либо параллельны, либо пересекаются, т.е. точки $A_{1}, B_{1}, C$ и D лежат в одной плоскости, а диагонали $A_{1} C$ и $B_{1} D$ пересекаются как диагонали выпуклого четырехугольника, что и требовалось. Продолжение этого сюжета – задача 5 (также предложенная В.А.Лецко) из задач для самостоятельного решения.

Упражнения

Задачи для самостоятельного решения

6. а) Докажите, что первый случай в решении задачи 8 невозможен. б) Используя подобие и метод от противного, доведите решение задачи 8 до конца во втором случае.

7. Решите задачу 8, используя второй признак параллельности плоскостей или векторные соот-

Рис. 10

1. Сечением пирамиды PABCD, проходящим через точки A и D, является трапеция с основанием AD. Определите вид четырехугольника ABCD, лежащего в основании пирамиды. 2. В пространстве проведены три прямые, не лежащие в одной плоскости, но при этом никакие две не являются скрещивающимися. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку