Квант 2023, №11-12 · Страницы

3

И

СНОВА

ПРЕМИЯ

ЗА

ЛАЗЕРНЫЕ

Ференц Краус, Анн Л’Юилье, Пьер Агостини пример: аттосекунда во столько же раз меньше секунды, во сколько раз сама секунда меньше возраста Вселенной (проверьте сами, приняв условный возраст Вселенной в 13,8 миллиардов лет). Физики же скажут подругому. Известно, что за одну наносекунду свет проходит расстояние 30 сантиметров, а за одну пикосекунду – 0,3 миллиметра. Примем условный размер атома легкого элемента за 0,1 нанометра. Свет пройдет такое расстояние за 0,3 аттосекунды. Можно сказать, что если нанометр – пространственная характеристика атома, то аттосекунда – его временнбя характеристика. Одно из самых главных средств «общения» с элементами микромира, электронами атомов и молекул – это свет, точнее, электромагнитное излучение. Оно взаимодействует с электроном, передавая ему энергию, и электрон меняет свое состояние. Атомный электрон, например, переходит в область пространства, более удаленную от ядра. Говоря языком квантовой механики, плотность вероятности его нахождения имеет максимум на большем расстоянии от ядра. Наглядное, но слишком грубое истолкование ситуации – электрон переходит на более удаленную орбиту. Электрон может совсем удалиться из атома (фотоионизация) или даже покинуть вещество (внешний фотоэлектрический эффект). Есть и более сложные случаи. Например, возбуждаемый электромагнитным излучением элек-

ИНСТРУМЕНТЫ

трон выбивает другой электрон из атома, занимая его место. Фотоионизация происходит при этом, так сказать, в два приема (эффект Оже). Все эти процессы имеют, как и всё в микромире, не обязательный, а вероятностный характер. А для практических целей важно уметь рассчитывать эти вероятности. Используя квазиклассическую (боровскую) модель атомного электрона и соотношения неопределенностей, можно оценить порядок длины волны излучения, которое нужно для возбуждения электрона. Эта длина волны имеет порядок $10^{8}$ м, т.е. относится к диапазону крайне жесткого ультрафиолетового или мягкого рентгеновского излучения. Но получить мощный «луч» с высокой степенью когерентности (согласованности всех квантов) можно только с помощью лазеров инфракрасного диапазона. Не следует думать, что результатом опытов будут фотографии электрона. Нет, конечно. Электрон, вылетевший из атома или молекулы, попадает в прибор, который измерит его энергию и определит направление его полета. А соответствующая математическая обработка укажет, из какого места атома он вылетел, когда на него подействовал короткий импульс излучения. Возможно, что компьютерная обработка результатов многих измерений параметров электронов позволит создать нечто вроде изображения электрона в атоме. Здесь просматри-

4

КВАНТ 2023/№11-12

вается аналогия с «фотографией черной дыры», которую несколько лет назад усердно перепечатывала пресса. Конечно, это не было фотографией в обычном понимании этого слова. Это был результат огромного количества отдельных наблюдений и измерений параметров излучения, исходящего из пространства около черной дыры. Физики-лазерщики больше 30 лет назад начали заниматься проблемой, как превратить лазерное инфракрасное излучение в ультрафиолетовое с сохранением когерентности и мощности излучения (числа фотонов, падающих в единицу времени на единицу площади). Задача состояла в том, как из «длинной» инфракрасной синусоиды вырезать ее малую часть, которая сама уже будет представлять очень малую длину ультрафиолетовой синусоиды и будет действовать чрезвычайно короткое время. Образно говоря, нужно было создать «затвор», который включал бы свет на это невообразимо малое время воздействия излучения на электрон. И примерно 25 лет назад такие лазерные инструменты были созданы. Был достигнут временной интервал действия излучения в несколько десятков фемтосекунд. Эти инструменты кроме самих лазеров содержали многие другие оптические устройства (поляризаторы, зеркала, дифракционные решетки и др.) и стоили недешево. В 1999 году Нобелевскую премию по химии «за исследования переходных состояний во время химических реакций с использованием фемтосекундной техники» получил (всю премию целиком) Ахмед Зевейл, египетско-американский химик, профессор Калифорнийского технологического университета, имеющий 16 самых престижных для химика премий и медалей, почетный доктор шести университетов (в том числе Бакинского государственного университета). Египет считает его своим национальным героем. Еще бы! Зевейл – единственный Нобелевский лауреат египетского происхождения в научных областях (физика, химия, физиология и медицина). Он – основатель фемтохимии, раздела химической динамики, изучающего молекулярные процессы в их реальном времени фемтосекундных временны c х интервалов.

Фемтосекундные лазерные установки уже нашли применение в создании новых технологий получения нанометровых масок для полупроводниковой литографии. Широкое поле применения открывается перед фемтосекундными технологиями в медицине, например – для изготовления высококачественных стентов в сосудистой хирургии. Физики вначале не нашли области применения фемтосекундных лазеров, в которых эксперимент дал бы возможность выявить какие-либо новые теоретические положения для взаимодействия атомов и молекул между собой. Для того чтобы «заглянуть» внутрь атома, нужны были более короткие импульсы излучения, аттосекундные. И физики-лазерщики продолжали совершенствовать фемтосекундные лазерные устройства. Переход к аттосекундным импульсам был впервые сделан французским физиком Анн Л’Юилье, руководившей лабораторией во французском центре ядерных исследований. В 1987 году она открыла интересное явление. Когда мощный инфракрасный лазерный луч пропускался через инертный газ (аргон), то появлялось излучение на больших частотах – «радуга», состоящая из отрезков волн более высоких частот, вплоть до жестких ультрафиолетовых лучей. Это излучение было довольно слабым, и его раньше никто не замечал. Л’Юилье удалось это сделать потому, что в ее опытах газ помещался внутрь тончайших трубочек (волокон) кварцевого стекла, где и фокусировался лазерный луч. Это делалось для того, чтобы исключить взаимодействие излучения с разными атомами – оставить взаимодействие только с атомами аргона. А аргон был выбран из-за сравнительной простоты и сферической симметрии его электронной конфигурации $( 1s^{2} 2s^{2} 2p^{6} 3s^{2} 3p^{6} ).$ К ее удивлению, эти неизвестно откуда взявшиеся волны имели одинаковую интенсивность, начиная с 5-й по 33-ю частоту. Канадский физик-теоретик Пол Коркум создал теорию происхождения этих коротковолновых излучений. Эта теория содержала, кроме классических представлений о появления обертонов (гармоник) в стоячих

5

И

Пол Коркум

СНОВА

ПРЕМИЯ

ЗА

ЛАЗЕРНЫЕ

волнах, квантовые представления о туннельном механизме взаимодействия электрона с суммарным электрическим полем – ядра и электромагнитного излучения. А в 1994 году Л’Юилье стала соавтором полностью квантовой теории этого процесса. Но потребовалось больше десяти лет, чтобы разобраться с теоретическими вопросами и понять, как использовать рождаемые атомными электронами высокочастотные гармоники для получения достаточно мощного аттосекундного импульса. Исследование шло по различным путям. При этом применялись разные методы интерференции либо этих гармоник, либо их сложения с исходным лучом. Каждая такая установка представляла собой сложную (и очень дорогую) оптическую систему. Даже популярный разбор и обсуждение такой системы выходит за рамки данной статьи. Между различными группами исследователей началось негласное соревнование за получение сверхкоротких импульсов электромагнитного излучения. Начали появляться и практические результаты этих работ. На рубеже 2000 года Л’Юилье впервые удалось преодолеть фемтосекундный барьер. В ее исследовательской группе был получен и надежно измерен импульс длительностью 0,67 фемтометра, что стало именоваться как 670 аттометров. А в 2001 году сразу в двух группах исследователей были получены аттосекундные импульсы. Франко-американской группой Пьера Агостини была получена серия импульсов длительностью по 250 аттосекунд каждый. И в этом же году в Венском технологичес-

ИНСТРУМЕНТЫ

ком университете немецкий физик венгерского происхождения Ференц Краус при участии Пола Коркума получил мощный импульс длительностью 650 аттосекунд и применил его для изучения динамики электрона при его вылете из атома. В 2003 году вперед «вырвалась» снова группа Л’Юилье – длительность рожденного импульса составила 170 нм. Прошло двадцать лет, и сегодня речь идет уже о получении импульсов в 20 аттосекунд. Стали рождаться аттофизика и аттохимия, включившие и все исследования, которые велись и ведутся с фемтосекундными импульсами. Ведь 650 аттосекунд, например, можно понимать и как 0,65 фемтосекунд. Первый интересный результат, полученный недавно, заключался в том, что было измерено, насколько в эффекте Оже время отрыва от атома вторичного электрона больше, чем время фотоионизации первичного электрона. Оказалось что эта разность составляет 21 r 1 аттосекунд. Но основное применение фемтосекундных и аттосекундных импульсов – это изучение динамики электронов при химических реакциях, структуры промежуточных комплексных состояний молекул. Сегодня ставится вопрос о возможности такого электронного или фотонного воздействия на этот промежуточный комплекс, чтобы его развал происходил в определенном направлении. Другими словами, возникает возможность управления глубинной сущностью атомных и молекулярных процессов, вмешательства в «интимный» атомно-молекулярный электронный мир, который природа сделала сугубо вероятностным, точно не определяемым. И это не противоречит квантовому принципу о невозможности точного наблюдения за объектами микромира без разрушения структуры, в которой объекты находятся. Во всех фемтои аттосекундных воздействиях системы преобразуются – электрон вылетает из атома, молекулы меняют свою структуру. Но при этом можно получить более точную информацию об отдельных моментах динамического процесса. Во всех материалах о нынешней Нобелевской премии приводится аналогия со сверх-

9

И

СНОВА

ПРЕМИЯ

ЗА

ЛАЗЕРНЫЕ

ской академии наук, а потом грянула пандемия и политические осложнения последних лет. Работы затормозились, прервалось снабжение лазерных установок необходимыми материалами и деталями. И тем более теперь нет возможности приобрести аттосекундные лазерные установки. 3 октября этого года, в день присуждения Нобелевской премии по физике, Александр Сергеев, наш главный физик-лазерщик, сказал: «Эту премию мы давно ждали. Но меня расстроило то, что в команде нет Пола Коркума. Это великий канадский ученый, который понял, откуда берется аттосекундный импульс, и открыл обратное соударение, т.е. сделал принципиальное открытие в этом направлении. Но все ученые, получившие Нобелевскую премию, очень ее достойны». Год назад, в сентябре 2022 года академик Сергеев снял свою кандидатуру с очередных выборов Президента РАН и был назначен научным руководителем новой для России мощной научной организации – Национального центра физики и математики (НЦФМ). В программе первых задач этого Центра есть и работы по аттосекундной физике. Лазерная база уже есть. В Сарове, где располагается НЦФМ, действует одна из самых мощ-

ИНСТРУМЕНТЫ

ных научных организаций в нашей стране – Российский федеральный ядерный центр– Всероссийский научно-исследовательский институт экспериментальной физики (РФЯЦ-ВНИИЭФ) со своим научным городком и 25-тысячным научным коллективом. Этой осенью на работу туда пришли первые магистры из расположенного в Сарове нового филиала МГУ имени М.В.Ломоносова. Их выпускные магистерские работы и намечаемая научная деятельность посвящены аттофизике. За аттофизикой – будущее. Это, прежде всего, дальнейшее развитие фемтосекундных технологий, а значит, новые материалы, новые медицинские препараты и лекарства, новые более быстродействующие электронные устройства и еще многое, что трудно заранее предсказать. А если немного пофантазировать, то можно представить, что аттофизика прокладывает путь к генерации зептосекундных $( 10^{21}$ с) и йотосекундных $( 10^{24}$ с) импульсов излучения, с помощью которых можно будет «заглянуть» уже не в атом, а в атомное ядро и «увидеть», как таинственные кварки объединяются тройками в протоны и нейтроны и в чем заключается механизм ядерных превращений.

Первое здание Национального центра физики и математики

21

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Все числа, которые можно получить таким образом, называются зажигательными (изначально по-английски – fusible). В частности, к зажигательным относятся упомянутые выше числа 1, 1 2, 3 4, 2 и 3 2, а также 0. Что можно сказать про множество всех зажигательных чисел? Поскольку каждое зажигательное число получается из 0 и 1 в результате конечного числа операций сложения и деления на 2, то все зажигательные числа – двоичнорациональные, т.е. представимы в $виде^{m}. 2^{k}$; здесь и далее k и m – целые неотрицательные числа. Количество зажигательных чисел бесконечно, но счетно. Несложно доказать следующие факты (попробуйте). Утверждение 1. Все числа вида $1 2^{k}$ – зажигательные. Утверждение 2. Все числа вида $m 1 2^{k}$ – зажигательные.

Утверждение 3. Любое двоично-рациональное число представимо в виде разности двух чисел вида $m 1 2^{k}$.

Если разрешить использовать в качестве начала отсчета времени не обязательно момент поджигания первого фитиля, а еще и момент догорания какого-то из фитилей, то станет возможно отмерить всевозможные разности зажигательных чисел (в частности, число 1 4, упомянутое выше). Все такие числа тоже двоично-рациональные, а утверждение 3 гарантирует, что при таких условиях можно отмерить интервал длительностью в любое двоично-рациональное число. Вернемся к отсчету времени от поджигания первого фитиля и к множеству зажигательных чисел. Оно исследовано в работе [1]. В OEIS задача о зажигательных числах непосредственно представлена последовательностью A188545, n-й член кото-

Зажигательные числа

МИР

рой равен $log_{2} f n n$, где f n – наименьшее зажигательное число, превышающее n. Эта последовательность начинается со значений 1, 3, 10, и на рисунке действительно можно видеть отрезки 0;0 $2^{1}$ и

1;1 $2^{3}$, не содержащие зажигательных чисел. Промежуток от 2 до $2 2^{10}$ на этом рисунке увидеть уже нельзя, а следующий член последовательности (он соответствует n 3 ) невероятно, колоссально, ужасающе велик – поменьше знаменитого числа Грэма и некоторых других ужасно больших чисел, но гораздо больше, например,

100 гуголплекса $( 10^{10} ).$ Иными словами, между числом 3 и следующим зажигательным числом невероятно маленький промежуток. Плотность зажигательных чисел нарастает очень быстро при продвижении по числовой оси. Присмотримся повнимательнее к зажигательным числам на отрезке > 0;1. Утверждение 4. Указанные в утверждении 1 числа вида $1 2^{k}$ составляют все зажигательные числа на отрезке > 0;1 – других нет. Доказательство. Рассмотрим все возможные случаи. Пусть для определенности всегда x t y t 0. Если $x 1 2^{k}$ и y 0, то $x y 1 2 1 2^{k} 1$.

Если x

$1 2^{k}$ и y

$1 2^{l}$ при k t l! 0, то $x y 1 2 3 2 2^{k} 1 2^{l} 1 t 1$. Если x t 1, то x y 1 2 t 1. Стало быть, операция x y 1 2 либо приводит к числу именно вида $1 2^{k}$, либо выводит нас за пределы отрезка > 0;1. Что и требовалось доказать. Таким образом, на отрезке > 0;1 имеется бесконечное множество зажигательных

23

РЕЦЕНЗИИ, БИБЛИОГРАФИЯ

число более высокого ранга всегда больше (например, число 5 третьего ранга больше, чем миллион первого ранга, но меньше, чем число 6 третьего ранга). Такое множество уже относится к ординалу Z ˜ Z, или $Z^{2}$. Такой же тип имеет множество «слов» из двух «букв» из бесконечного алфавита, и такой же тип имеет множество зажигательных чисел на отрезке > 0; 3 2 или > 1; 3 2. В [1] доказано, что множество всех зажигательных чисел вполне упорядоченное

$Z^{N}$ и его порядковый тип – ординал $H_{0} Z Z$. Иными словами, с точки зрения ординалов, зажигательных чисел довольно много, куда «больше», чем, скажем, натуральных.

Подробнее об ординалах можно прочитать, например, в книге [2]. Обобщение результатов работы [1] на случай функции $x_{1}^{…} x_{n} 1 n$ вместо x y 1 2 рассмотрено в статье [3]; именно ее авторы предложили русскоязычный термин «зажигательные числа».

Литература

1. J.Erickson, G.Nivasch, J.Xu. Fusible numbers and Peano arithmetic. – Logical Methods in Computer Science, vol. 18, 2022, issue 3, p. 1–26. 2. Н.К.Верещагин и А.Шень. Начала теории множеств. – М.: МЦНМО, 2017. 3. A.I.Bufetov, G.Nivasch, F.Pakhomov. Generalized fusible numbers and their ordinals. – Annals of Pure and Applied Logic, vol. 175, 2023, issue 1, part A.

РЕЦЕНЗИИ, БИБЛИОГРАФИЯ

Математики, которые играли в математику

Книга, о которой пойдет речь, представляет собой сборник $статей.^{1}$ В первой части собраны статьи о Джоне Хортоне Конвее, а в остальные части входят статьи его самого, сгруппированные по темам:

x Вокруг арифметики x Универсальные квадратичные формы x На плоскости и в пространстве x Квантовая механика и свобода воли x Игры Конвея

Читатели журнала «Квант» уже знакомы с играми Конвея по статье В. Клепцына, опубликованной в «Кванте» №5 за 2020 год, она так и называется «Игры Джона Конвея». И если вы пока еще не играли, то немедленно поиграйте. А книга расскажет подробнее и о жизни Конвея, и о его математике. Вы узнаете о становлении ученого, попробуете на вкус математические изюминки, окунетесь в философские размышления о свободе воли, просто поиграете в математику. И конечно, ближе познакомитесь с Конвеем.

который играл в математику Сборник статей под редакцией А.В.Устинова. — М.: МЦНМО, 2023.

1 Человек,

Больше других своих результатов Конвей выделял два: теорему о свободе воли и построение сюрреальных чисел. Об этих числах есть прекрасная книга Дональда Кнута. А вот

25

РЕЦЕНЗИИ, БИБЛИОГРАФИЯ

Дональд Кнут многим известен как автор многотомника «Искусство программирования» и создатель системы ТЕХ для верстки математических текстов. Полвека назад за обедом Конвей рассказал Кнуту о сюрреальных числах. В это множество входят не только привычные нам действительные числа, но и много других, которые условно можно назвать «бесконечностями». Для них определены операции сложения, умножения, извлечения корня (как бы вы определили корень бесконечной степени из бесконечности?)… У Кнута была только идея, которую Конвей набросал на салфетке. Кнут захотел самостоятельно ее развить и написать книгу об этом — книгу, которая открывала бы кухню математического $творчества.^{2}$ По сюжету юноша и девушка на необитаемом острове нашли скрижаль с аксиомами: «Вначале земля была пуста и безвидна, и Дж.Х.Конвей начал творить числа. Конвей сказал: “Да будут два правила, которые рождают все числа, большие и маленькие. Да будет первое правило: Каждому числу соответствуют два множества ранее сотворенных чисел, так что в левом множестве нет ни одного элемента, больше или равного какому-нибудь элементу в правом множестве. Да будет второе правило: Одно число меньше или равно другому, если и только если в левом множестве первого числа нет ни одного элемента, больше или равного второму числу, и в правом множестве второго числа нет ни одного элемента, меньше или равного первому числу”. И Конвей испытал эти два правила, которые он придумал, и они были хороши». Герои книги уясняют аксиомы, пытаются выводить из них следствия, совершают ошибки, обдумывают их и делают выводы, строят гипотезы и изучают их… — идет живой процесс математического исследования. Кнут снял в гостинице номер на неделю и начал работу. Каждый день он по кирпичикам строил свою математику, наблюдал за

2 Д.Кнут. Сюрреальные числа — М.: БИНОМ.

Лаборатория знаний, 2014.

процессом, отмечал вопросы, сомнения и ошибки, которые возникали по дороге, записывал, как он с ними справлялся. И каждый вечер на этом материале писал книгу. Кнут планировал написать ее за 7 дней, но справился за 6, увидел, что получилось хорошо, и на седьмой день отдыхал. С карандашом и бумагой каждый читатель может, работая вместе с героями Кнута, открыть эти сюрреальные числа для себя самостоятельно. Книга подойдет увлеченным старшеклассникам, которым математика интересна сама по себе, а не только как инструмент для решения задач из других областей. Вряд ли ее можно одолеть за неделю, но это прекрасный вариант, например, летнего чтения — понемногу каждый день. Материала книги хватит на полгода или даже год занятий в математическом кружке не олимпиадного, а исследовательского направления. Н.Шихова

Задачи по математике и физике

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: math@kvant.ras.ru и phys@kvant.ras.ru соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2770 – М2772 предлагалась на XLV Турнире городов, задача М2774 предлагалась на Южно-российской математической олимпиаде «Ассара», а задачи М2776 и М2777 предлагались на июньских учебно-тренировочных сборах кандидатов в команду на Международную математическую олимпиаду. Задачи Ф2777–Ф2784 предлагались участникам отборочных туров олимпиады «Физтех- 2024». Автор этих задач – В.Плис.

Задачи М2770–М2777, Ф2777–Ф2784

M2770. В квадратном листе бумаги площади 1 проделали дыру в форме треугольника (вершины дыры не выходят на границу листа). Докажите, что из оставшейся бумаги можно вырезать треугольник площади$^{1}$ 6. А.Юран

M2771. Для какого наибольшего N существует N-значное число со следующим свойством: в его десятичной записи среди любых нескольких подряд идущих цифр какая-то цифра встречается ровно один раз? А.Глебов

M2772. В белых клетках шахматной $доски^{100} u^{100}$ стоят 100 слонов, среди которых есть белые и черные. Они могут делать ходы в любом порядке и бить слонов противоположного цвета. Какого наименьшего числа ходов заведомо достаточно, чтобы на доске остался один слон? А.Грибалко

Рис. 1

M2773. Окружность Z лежит внутри окружности: и касается ее внутренним образом в точке T (рис. 1). Пусть XY –

переменная хорда окружности:, касающаяся Z. Обозначим X c и Y c середины дуг TY и TX, не содержащих точек X и Y соответственно. Докажите, что всевозможные прямые X c Y c проходят через фиксированную точку. Ф.Петров

M2774. В клетчатом квадрате 50 u 50 каждая клетка покрашена в один из 100 данных цветов так, что все цвета присутствуют и из квадрата нельзя вырезать одноцветную доминошку (т.е. прямоугольник 1 u 2 ). Галия хочет перекрасить все клетки одного из цветов в другой цвет (из данных 100 цветов) так, чтобы по-прежнему нельзя было вырезать одноцветную доминошку. Верно ли, что Галия наверняка сможет это сделать? Г.Шарафетдинова

M2775. Существует ли бесконечная периодическая последовательность цифр, для которой выполнено условие: для любого натурального n из этой последовательности цифр можно вырезать (как подслово) натуральное число, делящееся $на^{2} n$? П.Кожевников

M2776*. В стране ходят n валют, пронумерованных от 1 до n; в каждой валюте возможны лишь целые неотрицательные

Мой дом построен по законам самой строгой архитектуры. Сам Евклид мог бы поучиться, познавая геометрию моих сот. Пчела («Тысяча и одна ночь»)

Тело, висящее как гибкая цепь, в перевернутом состоянии имеет форму арки. Роберт Гук

Любой звук, произведенный в здании, довольно долго раздается по окончании звучания источника; вследствие многократных отра-

жений, он несколько раз обходит кругом здания… Роберт Вуд Симметрия… есть идея, с помощью которой человек веками пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство. Герман Вейль Сначала, когда мы взяли модель собора, сделанного из настоящих спичек, и настоящую Землю, то все было отлично и устойчиво. Но потом, когда мы увеличили собор, то должны увеличить и Землю!.. Ричард Фейнман

А так ли хорошо знакомы вам

?

ФИЗИКА + АРХИТЕКТУРА

Когда заходит речь об архитектуре, как правило, в памяти возникает прежде всего целый ряд гармоничных, классических, можно сказать, сувенирных образов – дворцов, усадеб, соборов. Но это всего одна, эстетическая сторона такой многообразной области человеческой деятельности, как зодчество. Другая, может быть не столь возвышенная, земная ее сторона – это воплощение замыслов архитекторов, требующее основательной инженерно-технической подготовки, знания статики и акустики, геодезии и гидравлики, материаловедения и светотехники. Какая же это уникальная профессия – архитектор! И чтобы освоить ее, придется научиться не только чертить и рисовать, но и развивать пространственное воображение – а это геометрия, уметь вычислять – а это алгебра и математический анализ, да и решать физические – куда уж без этого! – задачи. Их же немало разбросано по всем разделам школьного курса физики, требуется лишь должная выборка.

Вопросы и задачи

1. Почему в жарких странах, например в Иране, традиционные постройки размещают $группами?^{2.}$ Высокие здания с проемами на первых этажах непригодны для ветреных районов. Отчего?

2. При проектировании железнодорожного моста один конец его стальной фермы закрепляли, а второй помещали на передвигающуюся тележку. В чем смысл такой $операции?^{4.}$ Плотность используемого для теплоизоляции пенопласта меняется в широких пределах в зависимости от объема его пор. А зависит ли теплопроводность пенопласта от его $плотности?^{5.}$ Почему вытяжку в кухне располагают у $потолка?^{6.}$ Хорошо ли инфракрасные лучи проходят через стекло? А ультрафиолетовые? Какое это имеет значение, если стекло используют при постройке $зданий?^{7.}$ Почему нефтехранилища на крупных предприятиях почти всегда делают цилиндрическими (а иногда даже шарообразными), а не в виде, например, куба, что технологически было бы гораздо $удобнее?^{8.}$ Несколько одинаковых пирамидок с квадратным основанием изготовлены из материала плотностью 1,5 г $см^{3}$. Из них можно собрать кубик с длиной ребер 4 см так, что внутри него не будет полостей. Какова масса одной $пирамидки?^{9.}$ Останкинская телебашня высотой 540 метров имеет массу (без фундамента) более 30 тысяч тонн, а ее верхушка в ветреную погоду колеблется с амплитудой несколько метров. Что же придает башне устойчивость?

10. Эйфелева башня высотой 300 метров имеет массу 7200 тонн. Какую массу будет иметь модель этой башни высотой 30 сантиметров, сделанная из вещества, плотность которого в 3 раза меньше плотности материала $башни?^{11.}$ Построенный почти 2000 лет назад купол римского Пантеона имеет диаметр 43,2 метра, а его вес 4535 тонн. Как удалось распределить в нем внутреннее $давление?^{12.}$ В 1985 году во время сильного землетрясения в Мехико разрушались здания высотой в 7–8 этажей, хотя оставались целыми здания в 4–5 и 10–12 этажей. Чем это можно объяснить?

Микроопыт

Сможете ли вы (очень осторожно!) поставить стол ножками на четыре сырых куриных яйца? Предварительно для устойчивости вертикального положения яиц их надо снабдить снизу резиновыми или пластилиновыми колечками. Если, надеемся, опыт удался, то что он подтвердил?

Любопытно, что…

… развитие городов требовало постройки сооружений для подвода и отвода воды. Задолго до новой эры в городе Мохенджо-Даро на берегу Инда имелись водопровод и канализация для сброса дождевой воды, а Греция славилась публичными банями с совершенной сантехнической системой. … Галилею удалось понять, что прочность материалов изменяется не в прямой пропорции с их размерами. Он был настолько потрясен своим открытием, что счел его столь же важным, как и открытие законов движения. … знакомый школьникам по одному из газовых законов французский физик Эдм Мариотт занимался еще и теорией изгиба балок, внеся поправки в исследования Галилея, а проектируя водопровод для Версальского дворца, изучал прочность труб на разрыв. … великий английский ученый Роберт Гук был и талантливым зодчим – по его проектам был возведен ряд общественных зданий. А важное открытие, касающееся использования цепных кривых в архитек- туре (см. эпиграф), было сделано им в 1671 году. … выдающийся физик Джон Рэлей показал в 1877 году, что задачу о колебаниях сложной системы можно свести к исследованию колебаний с одной степенью свободы. Усовершенствованный позже, этот метод получил большое применение в решении задач теорий сооружений. … строители и архитекторы издавна и с охотой возводят дома на песке. А в 1885 году английский физик Осборн Рейнольдс объяснил, когда и почему песчинки приходят в состояние наиплотнейшего расположения и грунт приобретает все свойства твердого тела. … использование арочных конструкций позволило к концу XlX века создавать гигантские сооружения. Например, к Парижской всемирной выставке 1889 года был построен Дворец машин – в те времена самое большое по пролету здание, занимающее в плане 421 u 115 метров. … один из узнаваемых архитектурных символов Москвы – 150-метровая башня, построенная по проекту инженера и ученого В.Г. Шухова. Ее конструкция состоит из шести секций, собранных из прямых стальных балок, расположенных по образующим гиперболоидов. … за несколько последних десятилетий сложилась отрасль новой архитектуры, занимающейся теорией и практикой проектирования и строительства жилой среды в космическом пространстве. Прежде всего, это разработки концепции орбитальных станций и кораблей для исследования Луны и Марса.

Что читать в «Кванте» о союзе физики и архитектуры

(публикации последних лет) 1. «Аплодисменты здесь тихие» – 2016, №3, с. 34; 2. Калейдоскоп «Кванта» – 2019, №2, с. 32; 3. «Шуховские башни» – 2022, №3, с. 2; 4. «Башня Толи Втулкина» – 2022, №9, с. 26; 5. «Фризы» – 2023, №2, с. 2.

Материал подготовил А. Леонович

КОНК УРС ИМ Е НИ А .П.С АВИНА

Мы продолжаем очередной конкурс по решению математических задач. Задания рассчитаны в основном на учащихся начиная с 8–9 класса, а более младшим школьникам советуем попробовать свои силы в конкурсе журнала «Квантик» (см. сайт kvantik.com). Высылайте решения задач, с которыми справитесь, по адресу: savin.contest@gmail.com. Кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором учитесь. Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в таком случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы. Задания, решения и результаты публикуются на сайте sites.google.com/view/savin-contest Желаем успеха!

9. В полдень из пункта А в пункт Б выехали велосипедисты Алеша и Вася, а навстречу им из пункта Б в пункт А – велосипедисты Боря и Гриша. Каждый ехал с какой-то постоянной скоростью. Спустя какое-то время все четверо одновременно встретились, после чего Алеша и Гриша поехали в пункт А, Боря – в пункт Б, а Вася – в один из этих пунктов, причем он приехал четвертым (позже всех). Каким по счету приехал Гриша? Т.Казицына, Б.Френкин

10. На шахматной доске 8 u 8 на клетке c4 стоит фишка. Сколько есть способов поставить на доску 9 не бьющих друг друга ладей? (Ладья бьет клетки в своей строке и в своем столбце, но не бьет через фишку.) П.Кожевников

11. Перед вами и зрителями выложат несколько монет. Вам по секрету скажут про каждую монету, какая у нее масса, а зрителям откроют лишь, что масса каждой монеты 2 г или 3 г, а вместе их масса N г. Всегда ли вы сможете сделать перед зрителями всего одно взвешивание на чашечных весах без гирь, после которого они тоже поймут про все монеты, какая у какой монеты масса? Ответьте на вопрос задачи: а) для N 77, б) для всех N. А.Грибалко

12. В ряд написаны 9 единиц. Можно ли между некоторыми из этих единиц поста-

вить три плюса так, чтобы полученное в результате число было полным квадратом? Ответ положителен:

111 11 11 11

144

$12^{2}$.

Пусть теперь в строку написаны 2023 единицы. Можно ли между некоторыми из этих единиц поставить k плюсов так, чтобы полученное в результате число было полным квадратом? Решите задачу для: а) k 6; б) k 5. С.Костин

13. Барон Мюнхгаузен утверждает, что ему удалось придумать конечную арифметическую прогрессию, у которой первый член, разность и количество членов равны по модулю, а сумма всех членов равна 2023. Не обманывает ли барон? (Конечная арифметическая прогрессия – это такая последовательность чисел $a_{1}, a_{2},_{3}^{a},^{…},_{n}^{a}$, в которой разность $d^{a} k^{a} k_{1}$ между соседними числами одинакова для всех k от $2 до^{n;}$ она называется разностью прогрессии.) С.Костин

14. По кругу стоят 7 диванов, на них сидит всего 50 человек, на каждом диване – хотя бы один человек. Каждый сказал: «На следующем по часовой стрелке диване ровно половина людей выше меня ростом, а ровно половина – ниже». Какое наибольшее число людей могло сказать правду? Т.Казицына

40

КВАН T 2023/№111-12

15. Внутри квадрата со стороной, равной диагонали прямоугольника$^{1}$ $u^{3}$ клеточки, отметили три угла – красный, синий и зеленый, как показано на рисунке 1. Чему Рис. 1 равна их сумма?

Рис. 2

К.Кноп

16. Квадрат 2023 u 2023 покрашен в красный цвет. Два игрока ходят по очереди. Первый игрок при своем ходе любую фигуру в виде буквы T или в виде буквы Z, если все клетки этой фигуры красные, может перекрасить в желтый цвет. Второй игрок при своем ходе любую фигуру в виде буквы L или в виде буквы P, если все клетки этой фигуры красные, может перекрасить в желтый цвет. Все перечисленные фигуры изображены на рисунке 2 (каждую из них можно произвольно поворачивать и переворачивать). Проигрывает тот из игроков, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре? С.Костин

ИТОГИ КОНКУРСА ИМЕНИ А.П.САВИНА 2022/23 УЧЕБНОГО ГОДА

Победители

Лучшие результаты показали Чалык Павел – Балаково Саратовской области, гимназия 2, 11 кл., Часовских Иван – Химки Московской области, школа 14, 9 кл., команда 9А класса Академического лицея (Магнитогорск):

Полуэктов Дмитрий, Фахрутдинов Тимур, Новиков Александр, Викторов Михаил.

Призеры

Также высоких результатов достигли Белов Лев – Москва, школа $1547,^{8}$ кл., Приходько Тамара – Красноярск, школа 3, 10 кл., Савин Михаил – Протвино Московской области, Лицей, 9 кл.

Поздравляем!

Победителям и призерам высланы дипломы журнала «Квант» и призы от издательства МЦНМО. Помимо этого, призы получили также наиболее активные участники конкурса.

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ

Квант для младших школьников

Задачи

(см. «Квант» №10)

1. Решение показано на рисунке 1.

Рис. 1

2. Пронумеруем монеты по кругу числами от 1 до 8 и сравним пары (1, 5) и (3, 7). 1) Если весы оказались в равновесии, то обе фальшивые монеты либо на весах, либо не участвуют во взвешивании. В любом случае они имеют номера одной четности и не могут быть соседними. 2) В случае неравенства обе монеты на более тяжелой чаше настоящие. Будем считать, что это пара (1, 5). Тогда сравним группы (2, 3, 4) и (6, 7, 8). Если они весят одинаково, то фальшивые монеты оказались на разных чашах и не являются соседними. Если же одна из групп тяжелей, например (2, 3, 4), то обе фальшивые монеты находятся на другой чаше, при этом монета 7 точно фальшивая, поэтому фальшивые монеты лежат рядом. 3. При n 15. Оценка. Коробку можно разделить семью прямыми, для каждой есть два количества конфет с разных сторон от нее. Значит, можно отделить не более 14 различных количеств конфет, поэтому конфет не больше 15.

Рис. 2

Пример показан на рисунке 2. 4. Петя. Заметим, что после каждого хода количество фишек в вершинах либо увеличивается на 1, либо уменьшается на 1, поэтому перед ходом Пети всегда будет нечетное количество свободных вершин. Следовательно, среди блоков пус-

тых вершин будет хотя бы один нечетной длины. Если у Пети есть возможность сходить так, чтобы забрать призовые фишки, то он делает такой ход. Если же такой возможности нет, то Петя ставит фишку в крайнюю вершину нечетного блока, делая его четным (первый ход – в любую вершину). После такого хода Вася тоже не сможет сходить так, чтобы забрать призовые фишки. Таким образом, Вася будет иметь возможность брать призовые фишки только после ходов Пети, когда и тот берет призовые фишки. Это значит, что у Пети их всегда будет не меньше, чем у Васи, поэтому он первым соберет 100 призовых фишек.

Задачи

(см. «Квант» №11-12)

1. 9871. Наибольшее четырехзначное число с различными цифрами начинается с 987. Но тогда последняя цифра должна равняться 1. При этом 9 8 1, 8 7 1, 7 8 – 1, 1 9 – 8. 2. Не может. Каждая фигурка – это прямоугольник или уголок, на рисунке 3 показаны все возможные виды

Рис. 3

их раскрасок. Так как все грани куба одноцветны, то прямоугольники, у которых цвет центральной клетки отличается от цвета двух других клеток, не могут участвовать в оклейке. На оставшихся фигурках суммарно по 15 белых и черных клеток, этого недостаточно для четырех граней. Следовательно, у куба три белых и три черных грани. 3. При 4 мудрецах. Пусть всего мудрецов N и им достались числа от 1 до N. Будем называть мудрецов в соответствии с числами на их лбах. В самом начале у мудреца 1 есть два варианта, какое у него может быть число: 1 или N + 1. Также два варианта есть у мудреца N: 0 или N. Остальные мудрецы сразу понимают, какие числа у них на лбах. При N 4, если первым будет говорить мудрец 1 или 4, то он не сможет назвать свое число. Если жребий выпадет первым говорить мудрецу 2, то после этого мудрец 4 уже не сможет определить свое число. Действительно, даже если ему придется говорить после мудрецов 1 и 3, то он не

51

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

отбрасывания клетки с числом 0 оставшаяся часть прямоугольника режется на доминошки 1 u 2, в каждой из которых сумма нулевая). Остался случай, когда есть четная сторона. Если хотя бы одна из сторон не больше 98, то выбираем прямоугольник так, чтобы он лежал внутри нижних 98 строк. В этом прямоугольнике сумма нулевая (например, потому что он делится на доминошки). Осталось рассмотреть только случаи, когда есть четная сторона и обе стороны не меньше 99. Тем самым, прямоугольник имеет размеры 100 u 100 или 99 u 100. В первом случае выбираем все клетки, во втором случае выбираем все клетки, кроме нижней строки.

Калейдоскоп «Кванта»

Вопросы и задачи

1. Постройки должны быть адаптированы к местному климату. Так, дома строят группами, чтобы они отбрасывали друг на друга тень. 2. Ветер, попадающий на здание, частично прогоняется через нижний просвет. При этом скорость ветра возрастает, порой достигая напора, сбивающего людей. 3. Таким образом учитывалось изменение длины фермы при нагревании и охлаждении. 4. Чем больше плотность пенопласта, тем больше его теплопроводность. У материала с небольшой плотностью больше пор, занимаемых воздухом, поэтому он обладает меньшей теплопроводностью. 5. Чтобы выходили наружу более горячие газы, образующиеся в процессе приготовления пищи. 6. Тем самым можно избежать потерь энергии за счет конвекции воздуха между стенами. 7. Инфракрасное излучение значительно хуже проходит через стекло, чем видимое. Благодаря этому тепло, излучаемое нагретыми в комнате телами, удерживается в помещении. (Правда, надо учитывать размеры окон современных зданий.) Ультрафиолетовые лучи, увы, не пропускаются обычными стеклами, а они уничтожают бактерии и необходимы для нормального развития организма человека. 8. При одной и той же вместительности хранилища цилиндрической (а тем более шарообразной) формы требуют значительно меньшего расхода материала оболочки, чем кубические. Легко догадаться, когда этот расход будет минимальным. 9. Каждый элемент такой конструкции опирается на смещенные в сторону другие элементы под ним. При этом максимальное давление на пол достигается не в центре, а на окружности, расположенной между центром и периметром структуры.

РЕШЕНИЯ

10. Давление пропорционально отношению массы пирамиды к площади ее основания. Масса пропорциональна кубу линейных размеров, площадь – квадрату. Значит, отношение давлений равно отношению линейных размеров, в данном случае 140 м: 0,14 м 1000. 11. Масса сплошного кубика будет равна 96 граммам. Пирамидок же может быть три или шесть (рис. 7). В первом случае масса одной

Рис. 7

пирамидки составит 32 грамма, во втором – 16 граммов. 12. Внутри телебашни натянуты тросы, прижимающие кольца, образующие башню, друг к другу и к фундаменту. 13. Отношение масс оригинала и модели равно произведению отношения их плотностей на отношение кубов их линейных размеров. Из чего следует, что масса модели в 3 миллиарда раз меньше массы башни и составляет 2,4 грамма. 14. Исходя из нагрузки, приходящейся на самый низ колонны, где она сжата более всего и испытывает максимальную деформацию. 15. Строение купола помогает снизить давление, поскольку его верхняя часть значительно тоньше, чем нижняя (рис. 8). Кстати, он до сих пор

Рис. 8

является самым крупным в мире неармированным бетонным куполом. 16. У зданий высотой 7–8 этажей собственная (резонансная) частота колебаний совпала с частотой сейсмических волн, тогда как у более низких и более высоких зданий собственные