Квант 2024, №1 · Страницы

4

КВАНТ 2024/№1

них квадрат расстояния будет строго равен Dt. Радиус-вектор в декартовой системе координат выражается через координаты x, y и z следующим образом: $r^{2} x^{2} y^{2} z^{2}$. В силу равной вероятности движения броуновской частицы в любом из трех ортогональных направлений, средние значения квадратов координат x, y и z будут равны друг другу. В соответствии с этим,

$r_{n}^{2}$

$3 x_{n}^{2}$

$3 y_{n}^{2}$

$3 z_{n}^{2}$

Dt, или, например,

$x_{n}^{2}$

$D_{x} t$, где $D_{x} D 3 vl 3$ – коэффициент диффузии броуновских частиц в направлении оси х, характеризующий смещение частиц вдоль этой оси за счет хаотического движения. Как было показано, усредненный по большому числу броуновских частиц квадрат расстояния, на которое пробная частица смещается за счет случайного (броуновского) движения, меняется линейным образом от времени. Причем темп увеличения $r_{n}^{2}$ пропорционален средней тепловой скорости движения частиц и длине свободного пробега. Увеличение одной из этих величин приводит к увеличению смещения частицы от своего начального положения. Отметим, что по усредненному квадрату расстояния можно найти параметр диффузии в броуновских системах, а с его помощью – тепловую скорость движения броуновских частиц и среднюю длину свободного пробега. Примечательным примером проявления закономерностей случайного блуждания может служить задача о расселении человечества в будущем в нашей Галактике. Подобное расселение, если оно когда-либо начнется, скорее всего, будет проходить по следующей схеме. Космические межзвездные корабли отправятся по разным направлениям к ближайшим звездам. Достигнув и освоив экзопланеты этих звезд, люди отправятся дальше к соседним звездам. Выбор мар-

шрутов при этом будет осуществляться с учетом минимизации затрат на время полета и на топливо, т.е. по кратчайшим межзвездным путям. Из-за слабой упорядоченности звезд в Галактике траектории звездолетов будут иметь вид ломаных линий, характерных для движения броуновских частиц. В соответствии с законом случайного блуждания, звездолеты будут улетать все дальше и дальше от Солнца, причем квадрат их удаления от Солнца должен быть пропорционален времени освоения Галактики человечеством. Авторы данной статьи решили проверить подобную броуновскую модель расселения человечества в Галактике с помощью карты распределения звезд нашей Галактики, полученной на основе наблюдений космического телескопа оптического диапазона Европейского космического агентства Gaia (Global Astrometric Interferometer for Astrophysic). Главная задача телескопа – составление подробной карты распределения звезд нашей Галактики. В настоящее время по данным Gaia составлена самая детализированная трехмерная карта Млечного пути, содержащая информацию о точном положении и передвижении 1,8 миллиардов звезд. Каталог звезд Gaia предоставляет следующую информацию о каждой звезде: i id – это номер звезды в каталоге; i D – прямое восхождение, угол в плоскости небесного экватора между кругом склонений звезды и направлением на точку весеннего равноденствия (это одна из координат второй экваториальной системы, которая используется для описания положения объектов на небесной сфере); i G – склонение, угол между направлением на звезду и плоскостью небесного экватора (это другая координата второй экваториальной системы); i parallax – изменение видимого положения звезды относительно удаленного фона в зависимости от положения наблюдателя (измеряется в угловых секундах, причем чем меньше параллакс, тем дальше звезда). Для моделирования движения звездолета в Галактике удобнее использовать систему координат, в которой основной плос-

15

ЗАДАЧНИК

образовалось k обычных и одна исключительная группа, то взвешиваний мы провели 100 k. Этап 2. Осталось выяснить, какие монеты совпадают с эталоном, – это позволит ответить на вопрос о большинстве. Про все монеты исключительной группы мы это уже знаем. Для каждой из k обычных групп, если в ней 2t монет, на нее требуется t + 1 взвешиваний. Значит, если в исключительной группе y монет, то нам нужно еще 101 y 2 k d 50 k взвешиваний. Итого мы справимся за 100 k 50 k 150 взвешиваний. Оценка По любому алгоритму взвешиваний мы, действуя «со стороны весов», укажем, какие (возможные!) результаты они могут показывать, чтобы требуемое не удалось менее чем за 150 взвешиваний. Время от времени мы будем объявлять какую-то монету отброшенной, называя ее при этом либо слишком тяжелой, либо слишком легкой. Это означает, что слишком тяжелая монета тяжелее каждой, кроме объявленных слишком тяжелыми ранее (аналогично со слишком легкой). Это не будет противоречить результатам уже сделанных взвешиваний и автоматически определит результат любого дальнейшего взвешивания любой монеты с отброшенной, так что такие действия неинформативны, и мы считаем, что их не происходит. Ясно, что отброшенные монеты не принадлежат большинству. Все неотброшенные (активные) монеты будут делиться на группы равных монет (про которые больше ничего не известно) и пары монет; в каждой паре монеты сравнивались и одна оказалась тяжелее другой, а больше про эти монеты ничего не известно. Исходно есть 101 группа по одной монете. Обозначим через d суммарное количество пар и монет в группах в настоящий момент. Если монета a из пары (для определенности более тяжелая в паре) сравнивается с активной монетой b, мы говорим, что a тяжелее b и объявляем a слишком тяжелой (а ее бывшую парную – группой из одной

«КВАНТА»

монеты). При этом мы сопоставляем монете a два взвешивания, не дающих информации об оставшихся активными монетах: взвешивание из ее бывшей пары, а также текущее. (Если обе взвешиваемые монеты из пар, то в качестве a выбирается одна из них произвольно.) Осталось разобраться со взвешиваниями, в которых участвуют монеты из групп (ясно, что из разных). Пока d! 51, каждая из этих групп будет состоять из одной монеты, и при таком взвешивании весы будут отвечать, что монеты не равны, создавая из них пару. Только при этой операции значение d уменьшается на 1, при всех остальных оно остается неизменным. Это закончится, когда d станет равным 51. Начиная с этого момента, если сравниваются монеты из разных групп, то весы говорят, что они равны. При этом d остается равным 51. Если еще не организовалось группы из 51 монеты, возможны две ситуации: а) монеты в каждой группе имеют свой вес, все остальные монеты различны (и большинства нет), б) монеты во всех группах весят поровну, и в каждой паре вес одной из монет равен тому же (большинство есть, так как d t 51 ). Значит, нельзя определить требуемое. Когда же группа из 51 монеты образуется, это значит, что d 51; следовательно, кроме этой группы, активных монет нет. Для того чтобы эта группа образовалась, потребовалось 50 взвешиваний пар монет из этой группы. Кроме них, каждой отброшенной монете (коих 50) сопоставлено еще по два взвешивания. Итого произошло хотя бы 150 взвешиваний. К.Кноп

M2766. Дано натуральное число n. Поле для «Мастер-судоку» представляет собой n n 1 2 клеток квадрата n u n, лежащих на главной диагонали либо под ней. Мастер загадывает n клеток этого поля, по одной в каждом столбце, и сообщает ученику про каждую строку, сколько загаданных клеток лежит в ней (ученик также в курсе, что в каждом столбце

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

Обрученные многогранники

Н.ДАУРЦЕВА, К.СТОРОЖУК

Часть первая: практика

Кто любит практику, тот в искусстве достигнет знания. Альбрехт Дюрер

В книге польского математика Гуго Штейнгауза «Математический калейдоскоп» описывается любопытная модель додекаэдра [1]. Модель представляет из себя развертки двух половинок додекаэдра, их можно вырезать из плотного картона. Для демонстрации необходимо сложить вместе эти две половинки и перетянуть их упругим растягивающимся «обручем» – канцелярской резинкой. Если подбросить эту конструкцию, то обруч, укорачиваясь, стянет модель в объемное тело. Стать еще короче обруч уже не может, поэтому он остается на поверхности. Об этой модели интересно и наглядно написано в разделе «Модели» сайта «Математические этюды» [2]. Линия, по которой прилегает обруч после складывания, $является^{геодезической.}$ О геодезических линиях на многогранниках можно прочитать на страницах «Кванта» в статье [3] и в разделе «Этюды» сайта «Математические этюды» [4]. На других правильных многогранниках также есть замкнутые геодезические (зеленые линии на рисунке 1), это наводит на мысль, что и для них можно придумать модели, аналогичные модели Штейнгауза. Начнем с куба. Многие бывают удивлены, узнав, что существует плоское шестиуголь-

Рис. 1

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20240103

ное сечение куба. Соответствующая линия является геодезической, на нее и ляжет обруч в нашей модели. Однако провести полную аналогию с моделью Штейнгауза, составив куб из пары трехлепестковых половинок, невозможно – квадраты, соединенные всего лишь точкой, рассыпаются. Можно заменить проблемную вершину небольшой треугольной площадкой. Две одинаковые детали такой модели удобно выполнить, используя упаковку из-под йогурта. Разрежем коробку по ребрам, не доходя до вершины (рис. 2). Скрепим две

Рис. 2

заготовки обручем, как показано на рисунке, получив нечто похожее на «летающую тарелку». Можно слегка выгнуть ее в одну из сторон для фиксации. Если уронить такую заготовку горизонтально на стол, она волшебным образом превратится в куб. Красным цветом на рисунке 2 обозначен обруч на расплющенной модели, а зеленым цветом – на сложенном (не до конца) кубе. Можно предложить другую модель, складывающуюся из плоских частей развертки куба. Для этого сложим и скрепим две Г-образные детали так, как показано на рисунке 3. Подбросим эту модель – она сложится в куб! Тетраэдр и октаэдр также можно опоясать плоским обручем-геодезической. Модели для

Рис. 3

этих тел устроены аналогично моделям додекаэдра и куба. На рисунке 4 изображены модели в процессе складывания. Модели для тетраэдра и октаэдра складываются несколько хуже, они часто замирают недособранными. Простую модель складывающегося икосаэдра нам при-

52

К В А НT 2024/№1

1. Найдите отношение количеств вещества в газообразном состоянии в верхней и нижней частях цилиндра до нагревания. 2) Определите конечное давление в сосуде р. Ответ выразите через $p_{атм}$ (нормальное атмосферное давление) с числовым коэффициентом в виде обыкновенной дроби. 3. Три проводящие плоские мелкие сетки находятся друг напротив друга на расстояниях d и d 3 (рис. 11). Размеры сеток значи-

2. Найдите скорость возрастания тока в катушке индуктивностью L сразу после замыкания ключа. 3) Какой заряд протечет через резистор сопротивлением 2R при замкнутом ключе? Ответы дайте с числовыми коэффициентами в виде обыкновенных дробей. 5. Оптическая система состоит из двух призм с показателями преломления $n_{1}$ и $n_{2}$ и находится в воздухе с показателем преломления $n_{в} 1,0$. Точечный источник света S расположен на расстоянии a 200 см от системы и рассматривается наблюдателем так, что источник и глаз наблюдателя находятся на прямой, перпендикулярной наружным поверхностям призм (рис. 13). Угол

Рис. 11

тельно больше d. Изначально сетки не заряжены. К сеткам подсоединили источники с напряжениями $U_{1}^{2} U$ и $U_{2} U$. Частица массой m и зарядом q! 0 движется по направлению к сеткам и перпендикулярно сеткам, имея скорость $v_{0}$ на расстоянии от сеток, намного большем их размеров. Частица пролетает через сетки, не отклоняясь от прямолинейной траектории. Заряд q намного меньше модуля зарядов сеток. 1) Найдите модуль ускорения частицы в области между сетками 2 и 3. 2) Найдите разность $K_{3} K_{2}$, где $K_{2}$ и $K_{3}$ – кинетические энергии частицы при пролете сеток 2 и 3. 3) Найдите скорость частицы в точке А на $расстоянии^{2} d 3$ от сетки 2. 4. Параметры цепи указаны на рисунке 12, все элементы идеальные. Ключ разомкнут, режим в цепи установился. Затем ключ замыкают. 1) Найдите ток $I_{20}$ через резистор сопротивлением 2R при разомкнутом ключе.

Рис. 12

Рис. 13

$D^{0,05}$ рад можно считать малым, толщина h 9 см. Толщина призмы с показателем преломления $n_{2}$ на прямой «источник–глаз» намного меньше h. Отражения в системе не учитывать. 1) Считая $n_{1} n_{в} 1,0, n_{2} 1,6$, найдите, на какой угол отклонится системой луч, идущий от источника перпендикулярно левой грани системы. 2) Считая $n_{1} n_{в} 1,0, n_{2} 1,6$, найдите расстояние между источником и его изображением, которое будет видеть наблюдатель. 3) Считая $n_{1} 1,8, n_{2} 1,6$, найдите, на каком расстоянии от источника будет его изображение, которое увидит наблюдатель. Публикацию подготовили В.Бабинцев, Л.Колдунов, В.Плис, В.Усков, В.Чивилёв, И.Юдин, Ю.Юрьев