Квант 2024, №11-12 · Страницы

3

НЕОЖИДАННОЕ РЕШЕНИЕ НОБЕЛЕВСКОГО КОМИТЕТА

И еще. Завещание Альфреда Нобеля четко определило, что премии должны присуждаться за достижения, приносящие пользу человечеству, и, по смыслу текста завещания, не когда-либо в будущем, а уже в год присуждения премии. А работы по информатике в этом смысле имеют большое преимущество перед физическими исследованиями. Например, для работ по экспериментальным лазерным инструментам для создания аттосекундных световых импульсов, удостоенных прошлогодней Нобелевской премии по физике, невозможно даже ориентировочно представить сроки их применения в каких-либо устройствах, улучшающих жизненные условия людей. А результаты работ по искусственному интеллекту – вот они, у всех в руках, или на столах, или в карманах. За последние пару десятков лет исследования по искусственному интеллекту и его применению стали столь многочисленны, что Нобелевский комитет по физике, решив обратиться к этой отрасли науки, был в большом затруднении – слишком много хороших и уже внедренных работ. И при выборе лауреатов он выбрал критерием связь работ по информатике с физикой и из большого числа номинантов выделил тех, которые в своих работах использовали конкретные физические идеи. Оба лауреата по первым своим работам были физиками.

Альфред Нобель

Лауреаты

Джон Джозеф Хопфилд – американский ученый, физик, молекулярный биолог, биофизик, исследователь искусственного интеллекта. Он родился в 1933 году в Чикаго, в семье физиков. Его отец Ян Юзеф Хмелевский родился и вырос в Польше, но получил образование и защитил докторскую диссертацию по физике в США. Он сменил имя и фамилию и стал американским гражданином Джоном Джозефом Хопфилдом – они с сыном полные тезки. Мать Джона Хопфилда младшего – тоже физик. Они преподавали в разных университетах Америки, а Джон Хопфилд старший стал известным спектроскопистом. В 1933 году его пригласили организовать на международной выставке в Чикаго показ американской науки. Там и родился будущий нобелевский лауреат. Семья была научной, «физической», и это определило судьбу сына. Для высшего образования он выбрал удивительный колледж в маленьком городке северо-западного американского штата Пенсильвания. Мало кто слышал в России об этом Суорворт-колледже. Это очень маленький частный вуз, там на четырех курсах обучается всего лишь 1700 студентов. Но пять выпускников этого колледжа стали нобелевскими лауреатами! По физиологии и медицине, по химии, по экономике и двое – по физике. Это – свидетельство очень разносторонней подготовки в этом колледже и, конечно, высокой квалификации его преподавателей. Джон Хопфилд учился на нескольких факультетах одновременно, но бакалаврскую выпускную работу в 1954 году защищал по физике. По старинной традиции, эта степень называлась «бакалавр искусств» по физике. Он продолжил свое образование в Корнельском университете вблизи Нью-

4

КВАНТ 2024/№11-12

Джон Хопфилд

Йорка и в 1958 году стал доктором философии по физике. Темой диссертации Хопфилда была квантово-механическая теория вклада экситонов в комплексную диэлектрическую проницаемость кристаллов. (Экситон – это квазичастица, представляющая собой электронное возбуждение, распространяющееся по кристаллу без переноса заряда и массы. Для полупроводниковых кристаллов это, фактически, комплекс электрона проводимости и дырки.) Свои работы по физике твердого тела он продолжил в Bell Laboratories, занимаясь оптическими свойствами полупроводников. Но затем увлекся биологией, биофизикой и биохимией и стал преподавать не физику, а биологию и химию. В 1974 году в Калифорнийском университете Хопфилд представил интересную и важную работу «Механизм исправления ошибок в биохимических реакциях», чтобы объяснить точность репликации ДНК. А с 1980 года его главным интересом стало теоретическое исследование работы головного мозга, его нейронной сети. Этим работам Хопфилд отдал больше 40 лет жизни. К анализу работы мозга он применил кибернетические методы. В 1982 году появилась его статья «Нейронные сети и физические системы с возникающими коллективными вычислительными возможностями». В этой

работе Хопфилд нейронную сеть мозга теоретически моделировал физической системой, в которой элементы взаимодействовали между собой так, чтобы общая энергия взаимодействия стремилась к минимальному значению. В качестве примера Хопфилд приводит коллектив атомов ферромагнетика, в котором атомы влияют друг на друга так, чтобы их спины «выстраивались» параллельно. Тогда энергия взаимодействия будет минимальной. Элементы любой системы можно теоретически наделить некоторой активностью взаимодействия, аналогичной энергии. Сеть таких элементов имеет формальное сходство с нейронной сетью головного мозга, в которой аксоны, эти отростки нейронов, пересекаются в синапсах, где и происходит передача сигнала – информации. Эта теоретическая модель заключалась в алгоритмах и программах построения структуры («архитектуры») массива данных, который вводится в вычислительную машину. Взаимодействие этих данных можно представить как сеть. Поэтому эта теоретическая модель получила название «сеть Хопфилда». И можно сделать обучающие программы, которые будут заставлять машину находить минимальное значение общей характеристики активности взаимодействия узловых элементов сетей. Идеи Хопфилда дали толчок разработке разных вариантов алгоритмов обработки данных («искусственных нейронных сетей») для различных конкретных случаев получения результатов. В этих алгоритмах существенным стало предложенное Хопфилдом использование состояния системы, получившееся в данной задаче, для последующей обработки, т.е. машинное обучение и самообучение машины. Хопфилд ввел для этого явления понятие «ассоциативная память» – как элемент

5

НЕОЖИДАННОЕ РЕШЕНИЕ НОБЕЛЕВСКОГО КОМИТЕТА

машинного обучения. Тем самым, идеи искусственного интеллекта получили возможность конкретного воплощения. Сам Хопфилд принял активное участие в разработке алгоритмов для получения высококачественных изображений, в проблемах машинного перевода и др. В 80-е годы прошлого века исследователи не имели возможности применить идеи искусственного интеллекта к задачам с большим объемом вводимых данных, например к задачам экономики. У тог- Джеффри Хинтон дашних машин не хватало мощности для обработки таких объемов данных. Только через 20 лет появились достаточно мощные компьютеры. И работы Хопфилда и его последователей стали существенной частью современного внедрения искусственного интеллекта. А интересы самого Хопфилда все больше смещались в область биофизических и биохимических исследований работы естественных нейронных сетей головного мозга. С 1997 года Хопфилд работает в Принстонском университете и с 2005 года занимает должность заслуженного профессора (по биологии). Он прекрасный преподаватель и в свои 90 с лишним лет продолжает свою педагогическую деятельность. В 2007 году он выступил в Лондоне с замечательной публичной лекцией «Как мы можем думать так быстро? От нейронов к мозговым вычислениям». Джон Хопфилд был удостоен многих наград – медалей и премий, в том числе в 2001 году медали Дирака от международного центра теоретической физики «за важный вклад во впечатляюще широкий спектр научных дисциплин», а в 2005 году – Всемирной премии Альберта Эйнштейна в области наук о жизни, как лидирующего теоретика-биолога. Теперь он стал и Нобелевским лауреатом по физике.

Джеффри Хинтон – британо-канадский ученый, компьютерщик, психолог-когнитивист. Он родился в 1947 году в семье известных лондонцев. Дядя его бабушки, так сказать, двоюродный прадед, Джордж Эверест был географом и главным топографом Индии. Это он «открыл» гималайские вершины и определил их высоту. В его честь самую высокую сухопутную вершину земного шара Джомолунгму называют также Эверестом. Отец Джеффри – энтомолог, мать – писательница. Двоюродная сестра – физик-ядерщик, одна из очень немногих женщин-ученых, участвовавших в американском Манхэттенском проекте (создании атомной бомбы). Родители мальчика поощряли его интерес к математике и естественным наукам. Он помнил материнский наказ: «Будь академиком или неудачником». Он стал академиком. Ученую степень бакалавра Хинтон получил в Кембриджском университете, однако не по математике и не по физике, а по экспериментальной психологии. В 31 год в Эдинбургском университете он стал доктором наук – защитил диссертацию по искусственному интеллекту. И с тех пор вот уже 45 лет только этим и занимается. Работал он в разных университетах, но в конце концов осел в Канаде, став профессором факультета компьютер-

6

КВАНТ 2024/№11-12

ных наук университета канадского города Торонто, а также канадским гражданином. Он основал там небольшую компьютерную компанию. Джеффри Хинтон значительно улучшил нейросеть Хопфилда, введя туда распределение активностей каждого синапса, зависящего от вводимых данных, по вероятностному закону, аналогичному физическому закону распределения микрочастиц по энергиям. Поскольку этот физический закон впервые был сформулирован Людвигом Больцманом, нейросеть Хинтона получила имя «машина Больцмана». Вот именно эту связь нейросети Хинтона с физикой и имел в виду Нобелевский комитет, присуждая ему премию по физике. Машина Больцмана сама, без участия человека, могла оценивать и структурировать вводимые данные. И кроме этого, во всех своих нейросетях Хинтон применяет алгоритм обратного распространения ошибок как самый важный элемент машинного обучения и самообучения. Хинтон не раз говорил, что эту идею изобрел не он, а другие исследователи еще в 70-е годы. Но воплотил эту идею в конкретные, «глубинные» нейросети именно Хинтон и его коллеги. Его знаменитая, наиболее цитируемая статья была опубликована в 1986 году и называлась «Learning representation by back-propagating errors». Есть много различных русских переводов этого названия, но понятно, что в статье речь шла об алгоритме обратного распространения ошибок. Хинтон с сотрудниками, участвуя в общеканадском проекте «Искусственный интеллект, робототехника и общество», создал научные программы, которые он назвал «Нейронные обучения и адаптивное восприятие» и «Обучение в машинах и в мозгах». Он продолжает и сейчас активно работать в этом направлении и получил неофициальный титул «крестный отец искусственного интеллекта». А официальное признание в компьютерном мире было закреплено присуждением ему (совместно с двумя другими учеными) в 2018 году премии Алана Тьюринга «за концептуальные и инженерные прорывы, сделавшие

глубинные нейросети краеугольным компонентом в вычислительной технике». В 2004 году компания Google, возглавившая мировой процесс по созданию искусственного интеллекта, выделила грант компании Хинтона а в 2013 году купила эту компанию. Хинтон стал при этом вицепрезидентом компании Google по направлению нейросетей, не прекращая работ по глубинным нейросетям в университете Торонто. Однако в 2023 году он вышел из компании Google в связи с невозможностью свободно говорить о рисках работ по искусственному интеллекту.

Искусственный интеллект и его риски

Международный термин, обозначающий искусственный интеллект, звучит немного по-другому. Международное (английское) наименование – AI. Artificial Intelligence. Не углубляясь в тонкости перевода, заметим только, что в толковых словарях, как в электронных, так и в «бумажных», существует разноголосица в трактовке терминов интеллектуальность, интеллект, интеллигентность, интеллигент. Под интеллектом чаще всего понимают разум, способность рассуждать. Но вот несколько определений для употребления русскоязычного термина искусственный интеллект, или ИИ (из Википедии): ИИ – научное направление, в рамках которого ставятся и решаются задачи аппаратного или программного моделирования тех видов человеческой деятельности, которые традиционно считаются интеллектуальными; ИИ – направление в информатике и информационных технологиях, задачей которого является воссоздание с помощью вычислительных систем и иных устройств разумных рассуждений и действий; ИИ – способность системы правильно интерпретировать внешние данные, извлекать уроки из таких данных и использовать полученные знания для достижения конкретных целей и решения задач при помощи гибкой адаптации. Эти и подобные им определения раскрывают содержание искусственного интел-

8

КВАНТ 2024/№11-12

ет очень высокий уровень абстракции и огромное число перебора всех доступных вариантов (по некоторым оценкам, больше числа атомов во Вселенной). Однако в 2017 году машинная программа победила китайского игрока Ке Цзе, занимавшего первую позицию в неофициальном рейтинге игроков в «го». Почему компьютерщики тратят много времени на разработку игровых алгоритмов искусственного интеллекта? Одна из причин – финансовая, поскольку матчи человека с машиной привлекают много зрителей и спонсоров. Другая – психологическая. Широко разрекламированные факты победы искусственного интеллекта над человеком способствуют большему интересу к его внедрению у лиц, обладающих властью и финансами. Во всяком случае, вот уже несколько лет в мире наблюдается бум интереса к внедрению глубоких нейронных сетей, это – один из синонимов искусственного интеллекта. Другой, совсем далекий от сути дела синоним – «цифрование». Но пока еще основные затраты вкладываются в разработку алгоритмов общения человека с компьютером. Мы уже привыкли общаться с компьютером (и особенно со смартфоном), как с человеком, задавать ему вопросы, иной раз не очень даже четко их формулируя, разговаривать с ним («Элиза» и «Алиса») и ждать разумного ответа. И мы не удивляемся, когда видим, как, например, на автомобильном заводе у конвейера стоит не человек, а робот. Он осторожно берет деталь и аккуратно прилаживает ее на нужное место. Мы мало удивляемся, когда видим, как люди с ограниченными физическими возможностями возвращаются к полноценной жизни с помощью умных роботов. И возможно, через десять-двадцать лет на улицах городов и на шоссейных дорогах большинство автомобилей будут «беспилотными» и будут вежливо уступать дорогу машинам, где за рулем сидит человек. Разработки последних лет получили имя ChatGPT, или просто GPT-3, GPT-4, GPT5. «Chat» в переводе не нуждается, а «GPT» – это Generative Pre-trainеd

Transformer (генеративный предварительно обученный преобразователь). Именно эти разработки применяются в последних моделях смартфонов, количество экземпляров которых уже исчисляется миллиардами и приносит огромные прибыли фирмам-изготовителям и самим разработчикам. А вот остальные позиции применения искусственного интеллекта из приведенного списка находятся в стадии разработок в различных научных центрах (на первом месте – центры компаний Google и YouTube). По некоторым оценкам, только за счет внедрения систем AI (ИИ) в промышленность и транспорт мировой ВВП должен увеличиться к 2030 году больше чем на 4%. В сравнении с другими странами наша страна по затратам на развитие работ по искусственному интеллекту находится на десятом месте. Ее опережают не только США и КНР, но и такие страны, как Индия и Канада. Однако в последние годы ситуация начала резко изменяться. В 2021 году при Правительстве РФ был создан «Национальный центр искусственного интеллекта», который координирует все работы, ведущиеся по этому направлению. Большой грант (7 миллиардов рублей) распределен этим центром между шестью ведущими научными организациями. Это: i Сколковский институт науки и техники (Москва); i Московский физико-технический институт; i институт системного программирования РАН (Москва); i университет Иннополис (Татарстан); i высшая школа экономики (Москва); i университет ИТМО (Санкт-Петербург). В этом, 2024 году Минфин вместе со Сбербанком запустили пилотный проект по использованию ИИ в бюджетном процессе (расчет госбюджета на 2025-27 годы). Намечается перелом (правительственные задания) в отношении внедрения уже разработанных систем ИИ в отдельные производственные проекты.

9

НЕОЖИДАННОЕ РЕШЕНИЕ НОБЕЛЕВСКОГО КОМИТЕТА

Но все это пока – планы, проекты, наметки. В чем же дело? В чем причина отставания России в этом вопросе от ведущих стран мира? Есть несколько причин. Главное – это нехватка хорошо подготовленных специалистов по информационным технологиям и нехватка суперкомпьютеров, без которых нельзя вести работы в этом направлении. Но, пожалуй, основная причина – это скептическое отношение больше 50% (согласно социальным исследованиям) российского предпринимательского сообщества к искусственному интеллекту, как к модной новинке, которая никогда не заменит выработки решений человеком, а не машиной. Следует признать, что это недоверие имеет глубокие корни и характерно не только для России. Ведь действительно, если рассматривать искусственный интеллект не как помощника, а как полноправного партнера человеческой жизни, то сразу же возникает ряд вопросов. Один из них – уменьшение количества рабочих мест в производительной сфере и сфере обслуживания. Все меньше и меньше нужно будет людей, которые работают физически (т.е. руками). А где зарабатывать на жизнь? Какое-то количество работников нужно будет для развертывания работ по искусственному интеллекту. Но какая-то часть людей будет просто не способна к такой работе, где важны уже не умелые и трудолюбивые руки, а развитые мозги. Следующая проблема – это образование. Образование должно стать таким, чтобы оно развивало мозг и способность к обучению. В настоящее время это происходит в отдельных школах, у отдельных учителей. Но в большинстве своем вся система массового школьного образования не учит самостоятельному мышлению, а скорее отучает от него. Да и вузовская система в какой-то степени тоже. И это не только российская проблема. Это проблема общемировая. Об этом нужно думать уже сейчас и предпринимать какие-то шаги. Так, на социологическом факультете МГУ имени М.В. Ломоносова одна из тем выпускных бакалаврских работ посвящена

проблеме изменения образовательной системы в эпоху внедрения искусственного интеллекта. Начало положено. Но есть еще один глобальный вопрос, связанный с массовым внедрением искусственного интеллекта. В марте 2023 года Илон Маск возглавил организацию получения подписей под открытым письмом правительствам всех стран. Письмо озаглавлено «Приостановить гигантские эксперименты с искусственным интеллектом». Помимо конкретного предложения остановить на полгода работы по созданию более мощных систем искусственного интеллекта, чем GPT-4, в письме говорится о рисках искусственного интеллекта, таких, как «устаревание человечества» и «потеря контроля над обществом в целом». Письмо подписали несколько тысяч ученых, занимающихся проблемами вычислительной техники и искусственного интеллекта, в том числе оба будущих нобелевских лауреата по физике 2024 года. После присуждения премии Джон Хопфилд сказал: «Как физика, меня очень нервирует то, что неподконтрольно». А Джеффри Хинтон оставил пост вице-президента Google «для того, чтобы иметь возможность свободно высказываться о рисках по искусственному интеллекту». Джон Хопфилд сравнил современные разработки ИИ с открытием деления урана в 1938 году. Еще недавно каза лось, что история поставила точку на рисках этого открытия и что в конечном счете оно принесло человечеству благо экологически чистого получения энергии. Но сейчас в этом вопросе весы истории снова зашатались. Оказалось, что «контроля над обществом в целом» не существует. А может быть, все не так страшно. И даже только один факт резкого усиления качества человеческого общения после создания и внедрения системы GPT-4 на весах истории станет важнее рисков искусственного интеллекта. Хочется так думать.

18

КВАНТ 2024/№11-12

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: math@kvant.ras.ru и phys@kvant.ras.ru соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задачи М2818–М2820, М2821а, М2822 предлагались на XLVI Турнире городов, задачи М2823, М2824 — на III Южно-Российской математической олимпиаде «Ассара», задача М2825 предлагалась на олимпиаде Sirius Mathematical Olympiad. Задачи Ф2825–Ф2832 предлагались на различных этапах олимпиады «Физтех» текущего года.

Задачи М2818–М2825, Ф2825–Ф2832

M2818. Натуральное число M представили в виде произведения простых сомножителей. Затем каждый из них увеличили на 1, и произведение стало равно N. Оказалось, что N делится на M. Докажите, что если теперь разложить N на простые множители и каждый из них увеличить на 1, то полученное произведение будет делиться на N. А.Грибалко

клетки более одного раза, то будет сделано не более 2024 ходов. А.Грибалко

M2819. У 10 детей есть несколько мешков с конфетами. Дети начинают делить конфеты между собой. Каждый по очереди забирает из каждого мешка свою долю и уходит. Доля вычисляется так: делим текущее число конфет в каждом мешке на число оставшихся детей (включая себя), если нацело не поделилось – округляем до целого в меньшую сторону. Может ли всем достаться разное количество конфет, если: а) мешков всего 8; б) мешков всего 9? А.Глебов

M2821. Дорогой на плоскости будем называть прямую, по которой можно двигаться только в одну сторону. а) Петя и Вася по очереди проводят дороги, начинает Петя. Разрешается проводить только горизонтальную или вертикальную дорогу; направление на дороге выбирает тот, кто проводит дорогу (при создании этой дороги). Всегда ли Вася может действовать так, чтобы после любого его хода можно было проехать по правилам от любого перекрестка дорог до любого другого, как бы ни действовал Петя? б) Пусть на плоскости проведены несколько (конечное множество) дорог, любые две из которых пересекаются. При каком наименьшем m всегда можно добавить m дорог и сделать так, чтобы можно было проехать от любого перекрестка до любого другого? А.Перепечко

M2820. Назовем ходы коня, при которых он смещается на две клетки по горизонтали и на одну по вертикали, горизонтальными, а остальные – вертикальными. Требуется поставить коня на одну из клеток доски 46 u 46, после чего чередовать его горизонтальные и вертикальные ходы. Докажите, что если запрещено посещать

M2822. На стол положили (с перекрытиями) несколько одинаковых салфеток, имеющих форму единичного круга. Всегда ли можно вбить в стол несколько точечных гвоздей так, что все салфетки будут прибиты, причем одинаковым количеством гвоздей? В.Дольников, П.Кожевников

20

КВАНТ 2024/№11-12

Ф2830. Заряд Q распределен равномерно по площади непроводящей сферы радиусом R. В первом опыте на расстоянии 2R от центра сферы поместили маленький шарик с зарядом q. Сила, с которой поле заряженной сферы действовало на шарик, равнялась $F_{1}$. Во втором опыте шарик удалили, а такой же заряд q равномерно распределили по длине тонкого непроводящего стержня длиной R. Этот стержень расположили на прямой, проходящей через центр заряженной сферы. Ближайшая к центру сферы точка стержня находилась на расстоянии 2R от центра сферы. Найдите силу $F_{2}$, с которой поле сферы действовало на заряженный стержень. Все опыты проводились в вакууме вдали от других тел. Все силы, кроме кулоновских, считайте пренебрежимо малыми. В.Плис

Ф2831. Приводное колесо велосипедной динамо-машинки прижимается сбоку к шине колеса велосипеда. Диаметр этого приводного колеса d. Якорь динамо-машинки, содержащий N витков каждый площадью S, вращается в однородном магнитном поле с индукцией B. С какой по величине скоростью v должен ехать велосипедист, чтобы лампочка в фаре велосипеда, рассчитанная на действующее значение напряжения U, светилась нормальным накалом при работе динамо-машинки? Сопротивления проводов ротора и лампочки (при номинальном напряжении на ней) одинаковы. В.Плис

Ф2832. Три когерентных монохроматических синфазных излучателя расположены в вакууме вдали от других тел в вершинах равностороннего треугольника со стороной а. Излучатели работают на частоте Q 100 МГц. При какой наименьшей длине стороны треугольника в дальней зоне на продолжении любой стороны треугольника волны трех источников гасят друг друга? Скорость электромагнитных волн в вакууме c 3 ˜ $10^{8}$ м с. С.Варламов, В.Плис

Решения задач М2806–М2809, Ф2813–Ф2816

M2806. Можно ли нарисовать на плоскости замкнутую 20-звенную ломаную и пронумеровать ее звенья числами 1, 2, 3, …, 20 в порядке обхода так, чтобы для каждого натурального i = 1, 2, 3, …, 10 звенья с номерами i и 10 + i пересекали друг друга и не пересекали остальные звенья?

Ответ: нельзя. Предположим противное, и пусть $A_{1} A_{2}$ … $A_{20}$ – данная ломаная. Пусть A – точка пересечения звеньев $A_{1} A_{2}$ и $A_{11} A_{12}$. Из условия следует, что первые 10 звеньев ломаной не имеют общих точек, кроме концов, тогда у нас образуется замкнутая несамопересекающая ломаная $AA_{2} A_{3} A_{4}$ … $A_{11} A$, назовем эту ломаную C (рис. 1). При этом

Рис. 1

вершины $A_{1}$ и $A_{12}$ окажутся либо одновременно внутри, либо одновременно снаружи контура C. Далее, звено $A_{12} A_{13}$ пересекает контур C ровно один раз, значит, вершины $A_{12}$ и $A_{13}$ лежат в разных частях плоскости относительно контура C: одна внутри, другая снаружи. Аналогично рассуждаем с парами вершин $A_{13}$ и $A_{14}, A_{14}$ и $A_{15}$, …, $A_{20}$ и $A_{1}$. Получается, что $A_{12}, A_{14}$, …, $A_{20}$ лежат в одной части плоскости относительно контура C, а $A_{13}, A_{15}$, …, $A_{19}, A_{1}$ – в другой. Но это противоречит нашему предыдущему выводу о том, что $A_{1}$ и $A_{12}$ находятся в одной части плоскости относительно C. Этим завершается решение. Приведем схему другого решения. Воспользуемся следующей известной теоремой о раскраске областей (в которой фактически обобщаются понятия «вне» и «внутри» для самопересекающихся ломаных).

28

КВАНТ 2024/№11-12

Поэтому за один период движения бусинка трижды достигает максимального расстояния $r_{0}$, и трижды – минимального $r_{0} 3$. Таким образом, траектория за полный оборот вокруг оси отверстия трижды проходит от окружности с радиусом $r_{0}$ до окружности с радиусом $r_{0} 3$ и обратно, причем вблизи общих точек с большей окружностью бусинка движется по радиусу (траектория касается радиуса), в общих точках с меньшей окружностью радиальная скорость бусинки обращается в ноль при ненулевой угловой скорости – бусинка движется перпендикулярно радиусу и ее траектория касается меньшей окружности в общих точках. По этим сведениям можно достаточно корректно изобразить вид траектории (рис. 3). А.Аполонский, К.Парфенов

Вариации на тему одной геометрической задачи

Н.НИКОЛОВ (СОФИЯ), А.ИВАНОВ (ПЛЕВЕН)

В этой статье мы обсудим сюжет, связанный с геометрической задачей М2809, предлагавшейся на 73-й Болгарской национальной олимпиаде.

Рассмотрим такую несложную конструкцию. Пусть точки M и N расположены соответственно на сторонах AC и BC треугольника ABC (рис. 1). Пусть отрезки AN и BM пересекаются в точке O. Далее будем использовать стандартные обозначения элементов треугольника: BC = a, AC = b, ‘ ACB J. Кроме того, положим CM = m, CN = n, ‘ AOM T.

Рис. 3

Рис. 1

Начнем со следующей задачи, которая в принципе доступна ученикам 7–8 классов. Задача 1. Пусть ‘ ACB 90 q, а также пусть известно, что AM = BC и CM = BN. Найдите ‘ A OM.

Упражнение 1. Выясните, каков ответ в задаче 1 в предельных случаях AC = BC и AC = 2BC.

Решение. Достроим треугольник AMB до параллелограмма AMBP (рис. 2). Тогда BC

Рис. 2

32

КВАНТ 2024/№11–12

КОНКУРС ИМЕНИ А.П.САВИНА

Мы продолжаем очередной конкурс по решению математических задач. Задания рассчитаны в основном на учащихся начиная с 8–9 класса, а более младшим школьникам советуем попробовать свои силы в конкурсе журнала «Квантик» (см. сайт kvantik.com). Высылайте решения задач, с которыми справитесь, по адресу: savin.contest@gmail.com. Кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором учитесь. Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в таком случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно, начиная с любого тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы. Задания, решения и результаты публикуются на сайте sites.google.com/view/savin-contest Желаем успеха!

9. Из клетчатой скатерти со стороной клетки 1 вырезали прямоугольник со сторонами, параллельными сторонам клеток, как на рисунке. Суммарная площадь белой части прямоугольника равна 10. Найдите его периметр. Г.Караваев

10. Можно ли число 202420242024202420242024 представить в виде суммы шести натуральных чисел, каждое из которых записывается а) только цифрами 0 и 4; б) только цифрами 4? Е.Бакаев

11. Миша смотрел «Что? Где? Когда?» и выписывал счет, начиная с 0:0 и до конца игры (в каждом раунде разыгрывается одно очко; игра заканчивается, когда зрители или знатоки наберут 6 очков). Если у зрителей было больше очков, Миша делал запись синей ручкой, если очков было больше у знатоков — красной ручкой, а если была ничья – зеленой. Могло ли оказаться, что красных, синих и зеленых записей было поровну? М.Евдокимов

12. Можно ли всю поверхность какогонибудь выпуклого многогранника оклеить в один слой одним правильным десятиугольником и несколькими квадратами? Е.Бакаев

13. В комнате находится 50 лампочек. К каждой лампочке подсоединены два выключателя, каждый либо включен, либо выключен. Лампочка горит только тогда, когда оба выключателя, подсоединенных

к ней, включены. Сначала в комнате горело 15 лампочек, а когда все 100 выключателей переключили, стало гореть 24 лампочки. Сколько выключателей теперь надо переключить, чтобы зажглись все лампочки? Г.Караваев

14. а) Дан треугольник площади 4. В нем отмечают точку и соединяют с вершинами, при этом получаются три треугольника. Если их площади равны 1, 1, 2, то назовем такую точку хорошей. Рассмотрим треугольник с вершинами в трех хороших точках. 1) Докажите, что он подобен исходному треугольнику. 2) Найдите его площадь. б) Дан треугольник площади 6. В нем отмечают точку и соединяют с вершинами, при этом получаются три треугольника. Если их площади равны 1, 2, 3, то назовем такую точку хорошей. Найдите площадь выпуклого шестиугольника с вершинами в шести хороших точках. Е.Бакаев

15. Федя разложил перед собой 16 лотерейных билетов и продает их по 1000 рублей за каждый. Два из них выигрышные – купивший получит стоимость билета и еще 1000 рублей выигрыша. Федя сегодня добрый, поэтому за 100 рублей ему можно задать любой вопрос, который допускает ответ «да» или «нет», и он честно на него ответит. Можно ли, задав несколько таких вопросов, гарантированно заработать а) 1200 рублей; б) 1300 рублей? Ф.Ивлев

16. На прямой отмечено несколько точек. Известно, что для любых отмеченных точек A, B, C таких, что B на отрезке AC, выполняется $AB BC d^{3}$. Какое наибольшее количество точек может быть отмечено? Е.Бакаев

35

«КВАНТ»

ДЛЯ

МЛАДШИХ

– Ну как же, с именем Пифагора связана знаменитая теорема, – объяснил дятел Спятел. – В любом прямоугольном треугольнике с катетами a и b и гипотенузой c выполняется равенство

$a^{2} b^{2} c^{2}$. – Не может быть! – воскликнул Кузька. – В любом прямоугольном треугольнике? – В любом! – подтвердил дятел Спятел. – Я должен это проверить! Дайте мне ваши флажки! – сказал Кузька и убежал за рулеткой. Бусенька, дятел Спятел и Огрыза положили на стол свои флажки, и Кузька принялся за измерения, бегая с рулеткой от одного флажка к другому. Время от времени он откладывал рулетку и кружился на одном месте, словно танцевал. – Все-таки это завораживающее зрелище, когда Кузька что-то вычисляет, – похвалила Бусенька. – Эти его приемы счета на лапах порою выглядят как настоящий балет. – Готово! – доложил Кузька, – я все проверил. Диагноз ясен: вы слишком увлекаетесь авторитетами. Теорема Пифагора неверна! – Как неверна? Почему неверна? – хором спросили Бусенька и дятел Спятел. – Кажется, кто-то из нас спятил, – предположила Огрыза. – Я очень аккуратно вычислил стороны ваших флажков в миллиметрах и для каждого из них подсчитал величину $c^{2} a^{2} b^{2}$. Для бусенькиного флажка эта величина равна 220, для огрызиного – 265, а для флажка дятла Спятла – 317. Все с удивлением смотрели на Кузьку. – Забавно, – сказал, наконец, дятел Спятел. – Я заплатил за свой флажок как раз 3 рубля 17 копеек. – А я за свой 2 рубля 65 копеек, – сказала Огрыза. – А я за свой, – театрально закатив глаза, медленно произнесла Бусенька, – 2 рубля 20 копеек! Теперь уже Кузька смотрел на остальных, как на новые ворота. – Мистика какая-то, – сказал он. – По крайней мере, из твоих вычислений ясно, что наши флажки – это не прямоугольные треугольники, – сказала Бусень-

ШКОЛЬНИКОВ

ка. – Угол, который мы считали прямым, на самом деле чуть-чуть $больше^{90q}$. На глаз разница практически незаметна. Интересно, как коллега Спрудль назначает цену? – По площади, – сказала Огрыза. – Он при мне измерил катеты флажка, перемножил их, поделил на 2 и сообщил: «Площадь флажка столько-то квадратных сантиметров», а потом вычислил цену флажка, умножив площадь на цену одного квадратного сантиметра. – Но ведь флажок непрямоугольный, – возмутился дятел Спятел, – его площадь меньше половины произведения сторон! Значит, он завысил площадь, а вместе с ней и цену! – Может, он ошибается, потому что думает, что флажки у него прямоугольные, – предположила Бусенька. – А то, что все его ошибки в его пользу, – это рефлекс, который он вырабатывал годами. Как он выкраивает флажки? С помощью угольника? – Ааааа… Кажется, я знаю как! – догадался дятел Спятел. – С помощью египетского треугольника! Точнее, не египетского, а древнешумерского! – Древне… какого? – не понял Кузька. – Древнешумерского! Горгулий завязал на старой веревке 71 узелок и продал ее коллеге Спрудлю по цене антиквариата. Будто бы это древний инструмент для построения прямых углов. Узелки завязаны через равные расстояния. Совмещая первый узел с последним, мы строим с помощью веревки треугольник со сторонами 20, 21 и 29. – $20^{2} 21^{2} 29^{2}$, – быстро подсчитал Кузька. – Это же настоящий прямоугольный треугольник! Он древний? – Очень древний, – подтвердила Бусенька, – и довольно-таки шумерский. Вот только мне кажется, что очень неудобно все время совмещать первый и последний узел. Почему бы не связать концы веревки в том месте, где совмещаются узлы? – Действительно неудобно, – согласилась Огрыза. – Видимо, коллега Спрудль так и сделал. Но если при этом он совместил крайние узлы, то у него получился двойной или даже тройной узел – очень неуклюжая конструкция.

НАШИ НА Б Л Ю ДЕНИЯ

Про барометр и не только

С.ДВОРЯНИНОВ

А для низкой жизни были числа, Как домашний, подъяремный скот, Потому что все оттенки смысла Умное число передает.

анероид. Величина атмосферного давления приведена в двух разных единицах – в миллиметрах ртутного столба и в сотнях паскалей. Наличие двух шкал на приборе – явление не уникальное. На рисунке 3 вверху черным цветом показано значение скорости в милях за один час, красным – в более привычных нам километрах в час. На внешней шкале рисунка внизу указаны те значения, которые наиболее популярны на данной территории или в данной стране.

Приведенные строки поэта Николая Гумилева как эпиграф встречаются в очень многих книгах. Главное то, что слова эти верно

Рис 1. Барометр на Главном здании Московского государственного университета выражают роль чисел и соответствующих им величин в жизни человека. Пример – на рисунке 1. Присмотримся внимательнее к прибору для измерения атмосферного давления (рис. 2). Читаем его название – барометр-

Рис. 2. Барометр-анероид

Рис. 3. Спидометр с двумя шкалами

Значение температуры на рисунке 4 приведено в градусах Цельсия и в градусах Фаренгейта. Весы безмен (рис. 5) одновременно показывают массу взвешиваемого груза в килограммах и фунтах.

Рис. 4. Термометры с двумя шкалами

41

НАШИ

НА Б Л Ю ДЕНИЯ

Рис. 5. На шкалах безмена приведены килограммы и фунты

Но вот что интересно. На спидометре и на безмене мы видим цифру ноль. Ноль есть и на термометре на рисунке 4. А вот на барометре и на медицинском термометре (рис. 6) ноль отсутствует. Почему? Более того, на шкале барометра-анероида мы видим слова шторм, дождь, ветер, переменно, ясно, сушь, в.сушь

Рис. 6. Медицинский термометр

Что здесь означает сокращение «в.»? Для чего на шкале барометра пишут поясняющие слова? На шкалах других приборов никаких слов нет. Попробуем ответить на эти вопросы. Атмосферное давление – величина переменная. Оно зависит от места на земле и от времени (и еще от высоты, конечно). Например, 4 декабря 1954 года в Москве был зафиксирован рекорд атмосферного давления – 767 мм рт. ст. А 4 декабря 2022 года этот рекорд был побит. Другой пример – 23 ноября 1970 года давление было 720 мм рт. ст. и оно считалось рекордным для этого дня. Но 23 ноября 2023 года давление упало (т.е. уменьшилось) до 719,7 мм рт. ст. Как мы видим, размах атмосферного давления не превосходит 60 мм рт. ст. Это меньше 10% от нормального давления 745–755 мм рт. ст. Как следствие, обычный (не метеозависимый) человек не ощущает колебаний атмосферного давления, и поэтому числа на шкале барометра ему ничего не говорят. Вот потому-то и пишутся на барометре поясняющие слова! А те числовые показания давления, которые не наблюдается в природе, не пишутся вовсе. Аналогично, на медицинском термометре не нужны показания выше 42 градусов. При высокой температуре белок крови сворачивается, что смертельно опасно. Другая крайность – низкая температура. Значения ниже 32 градусов несовместимы с жизнью человека.

47

Э КЗАМЕНА Ц ИОНН Ы Е

Рис. 11

Известна графическая зависимость потенциала M электрического поля внутри диэлектрика от расстояния x от центра полого шара в интервале изменений x от R 3 до 2 R 3 (рис. 11). Здесь $M_{0}$ – потенциал в некоторой точке вне шара. Потенциал в бесконечно удаленной точке принят равным нулю. 1) Считая известными r, R, Q, H, найдите аналитическое выражение (в виде формулы) для потенциала внутри диэлектрика при x R 4. 2) Используя график, найдите численное значение H. 4. Две катушки с индуктивностями $L_{1} L$ и $L_{2} 4 L$ и числами витков $n_{1} n$ и $n_{2} 2 n$ помещены во внешние однородные магнитные поля с постоянными во времени индукциями (рис. 12). Площадь витка каждой

Рис. 12

катушки S. Индукции внешних полей направлены перпендикулярно плоскостям витков катушек. Катушки находятся достаточно далеко друг от друга. Омическое сопротивление катушек и соединительных проводов пренебрежимо мало. Вначале тока в катушках нет. 1) С какой скоростью (по модулю) начнет изменяться ток в катушках, если в катушке с индуктивностью $L_{1}$ индукция внешнего поля начнет возрастать со скоростью ’ B ’ t D ( D! 0 ), а во второй катушке внешнее поле останется неизменным? 2) За некоторое время индукция внешнего поля в катушке с индуктивностью $L_{1}$ умень-

МАТЕРИАЛ Ы

шилась от $B_{0}$ до $B_{0} 2$, не изменив направления, а в катушке с индуктивностью $L_{2}$ индукция внешнего поля уменьшилась от $2B_{0}$ до $2 B_{0} 3$, не изменив направления. Внешние поля в катушках изменялись неравномерно. Найдите ток (по модулю) в катушках к концу изменения внешних полей. Ответ дайте с числовым коэффициентом в виде обыкновенной дроби. 5. В стене сделана небольшая выемка, внутри которой находится маленькая лампочка так, что прямой свет от лампочки на стену не попадает (рис. 13). Справа от лам-

Рис. 13

почки на некотором расстоянии h расположена тонкая собирающая линза с фокусным расстоянием F h 2. Главная оптическая ось линзы горизонтальна и проходит через лампочку. Радиус линзы r = 3 см. Справа от линзы на расстоянии l 2 h 3 расположено параллельно стене плоское зеркало З. Считайте, что свет, идущий мимо линзы, проходит плоскость линзы беспрепятственно. Размеры стены и зеркала намного больше размеров линзы. 1) Найдите площадь неосвещенной части зеркала. 2) Найдите площадь неосвещенной части стены. Ответы дайте в $см^{2}$ в виде JS, где J – целое число или простая обыкновенная дробь.

Публикацию по математике подготовили Н.Агаханов, И.Богданов, И.Глухов, А.Головко, М.Голубев, С.Городецкий, В.Дубинская, П.Останин, О.Подлипский, С.Саулин, А.Скубачевский, Д.Терёшин; по физике – В.Бабинцев, В.Плис, В.Усков, В.Чивилёв, И.Юдин, Ю.Юрьев