Квант 2025, №5-06 · Страницы

4

КВАНТ 2025/№5–6

Ирина Александровна Тюлина

Горимир Горимирович Черный

Ирина Александровна Тюлина ушла на фронт добровольцем в 1941 году со второго курса механико-математического факультета МГУ. Пройдя курсы медсестер, участвовала в битве за Москву, воевала на 2-м Белорусском фронте в Белоруссии, Польше. Войну закончила в Германии на реке Эльбе. Была награждена орденами и медалями. После войны Ирина Александровна вернулась на мехмат и успешно его окончила. Стала ученым-механиком, специалистом по истории и методологии механики.

санных на основе дневников, которые он вел в течение войны. Горимир Горимирович награжден многими орденами и медалями. После войны он стал ученым с мировым именем, академиком, создал научную школу в области гидроаэромеханики и газовой динамики.

Горимир Горимирович Черный начал войну студентом МГУ, вступив в народное ополчение. Участвовал в битве за Москву под Ельней и Вязьмой, где его дивизия была почти полностью уничтожена. Попал в окружение, был сильно контужен и в марте 1942 года оказался на оккупированной немцами территории. Период жизни в оккупации Горимир Горимирович описывает короткой фразой «я выживал – и выжил». Долгие месяцы скитаний, попытки выйти к своим, партизанская работа против немцев. Затем снова присоединился к действующей армии. Победу встретил в «ликующей Праге». Его тяжелый путь к победе описан в воспоминаниях «Военные годы», напи-

Давид Оскарович Шклярский, закончив в июне 1941 года с отличием Московский университет, вместо предполагавшейся аспирантуры был направлен на работу в Центральный аэрогидродинамический институт имени Н.Е.Жуковского. Однако добился отправки добровольцем в действующую армию. В январе 1942 он писал: «Сейчас прекрасный зимний день, погода совсем по Пушкину — мороз и солнце, день чудесный. Может быть от этого у меня светлое и хорошее настроение… Кончится война, и я опять буду заниматься математикой, которую за время войны я совсем не забыл». В феврале 1942 его отправили за линию фронта в партизанский отряд, откуда он не вернулся. Погиб в июне 1942 года. Будучи школьником, Давид Оскарович получил первую премию на второй Московской математической олимпиаде. В 1938-1941 годах студентом руководил работой математических кружков в Московском университете. Он сильно перестроил содержание работы кружков и их

6

К В АНT 2025/№5–6

учитывали совместных деформаций ствола и движущегося в нем снаряда… …Буквально за два месяца удалось создать фундамент теории малых упругопластических деформаций и доказать, что простейшая деформационная теория пластичности физически достоверна для простых (пропорциональных) нагружений… Главным теоретическим итогом этих исследований стало создание так называемого «метода упругих решений конкретных задач». Все эти общие теоремы и методы были созданы для того, чтобы разобраться в явлениях, происходящих в артиллерийском снаряде при движении по каналу ствола. Они помогли обосновать возможность нового подхода к изготовлению артснарядов и коренным образом изменить, упростить и удешевить их проектирование и расчет, а главное – производство и военную приемку… …«Снарядный голод» резко пошел на убыль, вскоре появился даже избыток снарядов. Только тогда у военного командования появилась возможность организовывать крупномасштабные операции типа Сталинградского артиллерийского кольца». В 1942 году А.А. Ильюшин был удостоен Сталинской премии.

дольно-вращательного движения снаряда. Им была определена оптимальная крутизна нарезки ствола орудия для обеспечения наибольшей меткости стрельбы и расширения тактических возможностей применения артиллерийского орудия. За свои работы по устойчивости движения и аналитической механике Николай Гурьевич был удостоен Ленинской премии (посмертно).

Николай Гурьевич Четаев во время войны решил задачу об устойчивости про-

Андрей Николаевич Колмогоров в первые годы войны был академиком-секретарем АН СССР. Он много времени уделял организации работы академии, но также работал над математическими задачами, возникающими в теории стрельбы. Андрей Николаевич считал важным не только выстроить математически строгую теорию стрельбы (существующую он считал неудовлетворительной), но и выйти на практическое применение. Можно сказать, довести теорию до конкретных чисел. А это приводило к очень непростым вычислительным задачам, которые нужно было решить в кратчайшие сроки. Одной из идей, предложенных Колмогоровым, была стрельба с искусственным рассеиванием. Коротко ее можно описать так. Рассмотрим задачу определения системы стрельбы, которая при заданном чис-

Николай Гурьевич Четаев

Андрей Николаевич Колмогоров

Квантовое туннелирование

(к 125-летию квантовой физики и 100-летию квантовой механики)

Л. БЕЛОПУХОВ

ТАК В ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ принято называть эффект, который получил имя туннельный. Энциклопедическое определение туннельного эффекта таково: проникновение микрочастицы в область потенциального барьера, когда полная механическая энергия частицы меньше высоты потенциального барьера. В одномерном случае на графике зависимости энергии от координаты это будет выглядеть так, как будто на пути частицы оказывается гора, которую она преодолевает в «туннеле», проходя сквозь гору и оказываясь на ее другом склоне. На самом деле, конечно, никакой горы нет. Она появляется только на графике. А в действительности в опытах, где обнаруживается такой эффект, частица в своем движении подходит к точке, где на нее действует сила, отбрасывающая ее назад, и, согласно законам классической физики, останавливается, а затем изменяет знак своей скорости. Одним словом, частица отражается словно бы от невидимой стены. Эту невидимую стену писатели-фантасты назвали силовым барьером. Но оказалось, что в микромире это не так, вернее – не совсем так. Поток микрочастиц в этой ситуации ведет себя таким образом, что часть потока действительно отражается. Но часть потока оказывается каким-то таинственным способом в области силового барьера и даже за барьером, если он имеет конечную протяженность.

DOI: https: doi.org 10.4213 kvant20250502

Особенно необычно состояние частиц в области барьера. Силовой барьер в микрофизике целесообразнее рассматривать как потенциальный барьер, т.е. такую зависимость потенциальной энергии частицы от расстояния, которая соответствует силам, не позволяющим ей проникнуть в область барьера. Если Е – полная механическая энергия, по закону сохранения одна и та же до барьера и за барьером, а $U_{0}$ – высота прямоугольного барьера, т.е. значение потенциальной энергии взаимодействия частицы с силами, действующими в области барьера, то кинетическая энергия частицы в области барьера $E_{к} E U_{0}$. И если $U_{0}$! $E, то_{к}^{E} 0$ – кинетическая энергия отрицательная, а скорость мнимая. Как это можно представить? Как принято в современной микрофизике – чисто виртуально, т.е. не ища никакого реального (наглядного) образа поведе-

Выезд из туннеля современного обтекаемого локомотива

10

Сэр Джозеф Джон Томсон

К В $АНT_{2025/№5–6}$

ния частицы в этой области. При этом если барьер имеет конечную протяженность, она называется шириной барьера, то за барьером частица попадает в область, где снова ее полная энергия больше потенциальной и кинетическая энергия положительна. Частица вновь реализуется и продолжает свое движение. По отношению к потоку частиц это означает, что часть потока не отразилась, а прошла сквозь барьер – как бы по воображаемому туннелю. Отсюда и названия «туннельный эффект», «туннелирование». А по отношению к отдельной частице математический формализм позволяет ввести величину вероятности преодоления барьера как отношение числа частиц ’ N, прошедших барьер, к числу частиц N, подошедших к барьеру: W ’ N N. Эту вероятность можно назвать коэффициентом прозрачности барьера. Не существует никакого экспериментального способа проследить за движением отдельной частицы в области барьера, например – за ее траекторией. И объяснения

туннельного эффекта в классической физике просто не существует. Под объяснением понимается создание и обсуждение наглядной модели явления. Но ведь само явление-то существует! Его заметили и начали изучать независимо от рождения квантовой физики. В начале ХХ века, в связи с бурным развитием радиоэлектроники, физики много внимания уделяли детальному изучению газовых разрядов. И в 1901 году молодой ученый Роберт Эрхарт в лаборатории Дж.Дж.Томсона в Кембридже получил неожиданные результаты в поведении ионов при газовом разряде между двумя близко расположенными электродами. Томсон предположил, что это не ошибка эксперимента, а какое-то новое явление. Практическая работа по созданию радиоламп отвлекла физиков от исследования непонятного явления. Эти исследования продолжились только в 1911 году аспирантом Томсона Францем Розером. В 1914 году он обнаружил выделение электронов (эмиссию) из катода, когда эмиссия не могла происходить из-за наличия близко расположенного другого электрода, заряженного отрицательно (в условиях глубокого вакуума). Явление было названо автоэмиссией, и никакого объяснения ему тогда не было дано. Физики Кавендишской лаборатории увлеклись в это время созданием планетарной модели атома и первыми ядерными реакциями. Но и в ядерной физике тоже были необъяснимые явления. Одно из них – вероятностный характер радиоактивных превращений ядер. Теоретическое объяснение этих непонятных явлений, связанных с наличием потенциального барьера, появилось только после создания квантовой механики в 1925 году. Немецкий физик Фридрих Хунд, российские физики Леонид Мандельштам, Михаил Леонтович и Георгий Гамов, американские физики Рональд Гёнри и Эдвард Кондон почти одновременно и независимо друг от друга применили к задачам с потенциальным барьером волновую квантовую механику, только что созданную тогда Эдвином Шрёдингером. А один из

12

К В $АНT_{2025/№5–6}$

Луи де Бройль

Предвестьем квантовой механики была гипотеза Луи де Бройля о волновых свойствах материи, высказанная им в 1923 году. К этому времени эйнштейновская гипотеза о квантовых свойствах излучения, сформулированная им еще в 1905 году, уже обрела всеобщее признание, особенно после ее блестящего применения А.Комптоном для объяснения взаимодействия электромагнитного излучения со свободными электронами. Согласно этой гипотезе, электромагнитную волну излучения можно рассматривать и как объект, имеющий корпускулярные (квантовые) механические характеристики – импульс р и энергию Е, связанные с длиной волны O соотношениями $p h O,^{E} hc O$, где h – постоянная Планка, с – скорость света в вакууме. Таким образом, электромагнитное излучение обладает двойственной природой (дуализм). В одних явлениях более существенны волновые свойства, в других – корпускулярные (квантовые). Но то, что подобный дуализм свойственен не только электромагнитному излучению, а каждо-

му материальному объекту, было далеко не сразу признано физиками. А это и есть сущность гипотезы де Бройля. Любой объект, имеющий импульс р, обладает в то же время некими волновыми свойствами, характеризующимися длиной волны O h p. И действительно, вскоре после опубликования статьи де Бройля и защиты им в 1924 году диссертации на эту тему, в опытах американских физиков Джозефа Дэвиссона и Лестера Джермера в 1925 году было открыто волновое явление дифракции электронов на кристаллах. В 1930 году это явление было более подробно исследовано английским физиком Джорджем Томсоном, сыном знаменитого Дж.Дж.Томсона, «открывшего» электрон в 1897 году. Началась эра электронной микроскопии. Джозеф Дэвиссон и Джордж Томсон стали нобелевскими лауреатами в 1937 году. Заметим, что Дж.Дж.Томсон старший был не только замечательным физиком, но и великим педагогом. Сам нобелевский лауреат (1906 г.), он воспитал семь нобелевских лауреатов, включая и своего сына. Но в 1924 году мало кого из физиков интересовала проблема дуализма. Одним из заинтересовавшихся был профессор теоретической физики Цюрихского университета Эдвин Шрёдингер. Ему показалась интересной идея де Бройля, высказанная им в своей диссертации, о том, что траекторию движения электрона на стационарной атомной орбите можно представить как некую стоячую волну. Используя условие стационарности стоячей волны на длине орбиты электрона и свой постулат о волновых свойств электрона, де Бройль получил для атома водорода те самые дискретные значения энергий электрона, которые за 10 лет до этого вывел Нильс Бор в своей теории и которые так хорошо подтверждались опытом. Шрёдингер стал искать уравнение, решением которого была бы эта стоячая волна. Это было нелегкой задачей. Сначала он потерпел неудачу, пытаясь представить эту стоячую волну как пространственное волнообразное распределение заряда электрона. Осенью 1925 года у Шрёдингера обострился туберкулез, и он уехал лечить его

13

К В АНТО В ОЕ

Нильс Бор

ТУННЕЛИРО В АНИЕ

в самый знаменитый альпийский курортсанаторий Ароза. В биографиях Шрёдингера иногда пишут, что он жил «в горной хижине». Так и рисуется образ средневекового отшельника. Ничего подобного. Не хижина, а комфортабельное шале. Не отшельник, а в сопровождении молодой спутницы, которая даже что-то понимала в физике. Одним словом, были все условия и для работы, и для отдыха. Там и создал тогда Шрёдингер свое знаменитое уравнение, означающее рождение новой теории, которую он назвал «волновой теорией механики атомов и молекул». Первой ее проверкой тоже было сравнение с опытными данными о спектре атома водорода. И это было не просто сравнение теории с опытом. Теория предсказывала более точные значения, которые позже получили опытное подтверждение. Окрыленный успехом, Шрёдингер послал в немецкий физический журнал статью с результатами своей работы (она была опубликована в 1926 году). Так что же колеблется в дебройлевской волне? Шрёдингер отказался от поисков наглядного образа этого колеблющегося объекта. Он просто назвал его, выбрав греческую букву, которая до этого не

употреблялась в физике, – букву \ («пси»). В дебройлевской волне колеблется \ -функция. Следовательно, она и является аргументом в уравнении Шрёдингера. В это же время немецкие физики-теоретики во главе с Вернером Гейзенбергом и Максом Борном разработали теорию, которую они назвали матричной квантовой механикой. Шрёдингер показал, что его теория дает такие же результаты, как и эта теория. С тех пор уравнение Шрёдингера считается главным содержанием $волновой^{квантовой}$ механики. Несколько позднее под влиянием Нильса Бора \ -функции был придан вероятностный смысл. Поскольку она, как решение дифференциального волнового уравнения, является комплексной величиной, а вероятность W – величина действительная, то «офизичивание» \ -функции таково: квадрат модуля \ -функции есть плотность вероятности нахождения частицы в данной точке в данный момент времени. Вероятностная трактовка \ -функции позволяет задать граничные и начальные условия для ее определения в качестве решения уравнения Шрёдингера. На одном из приведенных здесь графиков представлено решение в простейшем случае: $<_{1}$ и $<_{3}$ для областей до и после барьера и $<_{2}$ для области внутри барьера. Отношение квадратов < -функций

Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер

16

К В $АНT_{2025/№5–6}$

вплоть до синтеза ядер железа. Продукты реакции (ядра и частицы) обладают большей кинетической энергией, чем исходные ядра. Наиболее важными в природе являются реакции синтеза ядер гелия из ядер изотопов водорода. Эти реакции и представляют собой сущность звезд как источников энергии. В звездах, правда, идут и другие ядерные реакции с образованием других элементов периодической системы с выделением энергии. (При синтезе более тяжелых ядер реакции уже эндотермические, т.е. требуют затраты энергии.) В первые годы после второй мировой войны на земле произошло событие особой важности – 1 ноября 1952 года на атолле Эниветок (Маршалловы острова Тихого океана) была осуществлена звездная реакция синтеза гелия из изотопов водорода – дейтерия и трития. Это был взрыв – прообраз будущих водородных бомб. В военных целях это устройство, правда, использовать было нельзя – оно имело массу 82 тонны и размером было с двухэтажный дом. Основную массу устройства представляла теплозащита, вернее, «холодозащита» жидких изотопов водорода от закипания с помощью жидкого азота. Главным конструктором этого устройства был выдающийся американский ученый и инженер Эдвард Теллер. Меньше чем через год, 12 августа 1953 года на Семипалатинском полигоне в Казахстане (СССР) было взорвано устройство, пригодное для военного использования, его масса составляла всего 7 тонн. А энергия этого взрыва была эквивалентна 400 килотоннам тротила. Здесь не место обсуждать, как это удалось. Отметим только, что своим рождением это устройство (бомба) целиком было обязано научному и инженерному таланту академика А.Н. Сахарова. Началась гонка вооружений. Испытательный взрыв самой страшной бомбы 30 октября 1961 года (по прозвищам «царьбомба» или «кузькина мать») был эквивалентен по своей энергии взрыву 58 мегатонн тротила (железнодорожный состав с

вагонами тротила длиной 30 тысяч километров!). И для этого было заложено в бомбу всего чуть больше 800 кг изотопов водорода. Отвлечемся от страшного характера этих достижений военной науки и техники. И хотя сегодня еще существуют в ядерных арсеналах США и России по полторы тысячи водородных бомб, но вероятность их страшного использования невелика и их продолжают потихоньку демонтировать. За 30 лет ядерные арсеналы уменьшились более чем в 10 раз. Еще до создания бомб, в 1950-51 годы А.Д.Сахаров вместе с И.Е.Таммом разработали принцип стационарной ядерной реакции синтеза как почти неиссякаемого источника «мирной» энергии. Она получила название термоядерной реакции. Почему? Более правильным было бы назвать ее температурноядерной. Для того чтобы двум ядрам изотопов водорода (например, дейтону, т.е. ядру дейтерия, с тритоном, т.е. ядром трития) соединиться, им нужно сблизиться на расстояние 2 фм ( 2 ˜ $10^{15}$ м). Только тогда «включатся» могучие ядерные силы и своим мощным притяжением придадут частицам скорости порядка 5 ˜ $10^{6}$ м с. Когда частиц много и они имеют такую среднюю скорость, это означает, что температура всей массы частиц будет порядка сотен миллионов и даже миллиарда кельвинов. По-видимому, именно такова температура внутренних слоев Солнца. Но на пути столкновения частиц, двух ядер дейтерия или ядра дейтерия с ядром трития, стоит потенциальный барьер кулоновских сил отталкивания. Расчеты показали, что если ядра изотопов водорода будут иметь среднюю энергию, соответствующую температуре в 20 миллионов градусов, то этот барьер частично преодолим. Вероятность туннельного эффекта будет уже достаточной для того, чтобы частицы сблизились до 2 фм и произошло слияние ядер с появлением ядра гелия и нейтрона. А вот у них средняя энергия будет уже много больше – она будет соответствовать миллиарду кельвинов.

17

К В АНТО В ОЕ

Площадка ИТЭР (вид сверху)

ТУННЕЛИРО В АНИЕ

А 20 миллионов кельвинов – это как раз та температура, которую имеет плазма «огненного шара» уранового или плутониевого ядерного взрыва. Поэтому в каждой водородной бомбе водородный «заряд» окружен слоями урана или плутония. Можно образно назвать этот урановый заряд «спичкой» для «поджигания» главного заряда – изотопов водорода. Но не простой спичкой, а «квантовой», использующей квантовый туннельный эффект. Сейчас приближается к завершению самый гигантский (по масштабам и по затратам) научный «прибор» – ИТЭР, международный термоядерный экспериментальный реактор. По проекту в импульсном режиме в течение 400 секунд на нем должна выделяться энергия в 500 МэВ при затрате на «спичку» энергии 50 Мэв, в 10 раз меньшей. «Спичкой» в этом случае являются ускоренные электрическим полем струи дейтериево-тритиевой плазмы – это так называемые гиротроны, изобретенные и изготовленные в России, которая является полноправным участником этого грандиозного эксперимента (10% расходов на изготовление отдельных элементов). А продукты реакции синтеза, ядра атомов гелия и нейтроны будут отдавать свою энергию теплоносителю. В будущем, уже не экспериментальном, а действующем, реакторе водяной пар, получающий эту энергию, будет в турбо-

генераторах рождать электрический ток. Но до этого еще далеко, по некоторым оценкам до создания первой термоядерной «электростанции» пройдет не меньше 50 лет. Тем более, что в 2021 году обнаружились серьезные дефекты в материалах труб, по которым циркулирует жидкий гелий, создающий в обмотках электромагнитов низкую температуру для их сверхпроводящего состояния. Это, по-видимому, приведет к задержке пуска ИТЭР на несколько лет. Подчеркнем, что без туннельного эффекта реактор не смог бы работать. Но становится все яснее, что туннельный эффект играет заметную роль не только в ядерной физике. Например, его роль оказалась очень важной в кинетике многих химических реакций. Велика роль этого эффекта и в полупроводниковых явлениях и приборах – туннельных диодах, вентильном фотоэффекте, светодиодах, эффекте Джозефсона и других. А туннельный эффект невозможно понять и применять без квантовой механики. Год 2025 – год столетнего юбилея этой науки, которую без преувеличения можно считать одним из самых значительных научных достижений двадцатого века. Именно так охарактеризовал значение квантовой механики нобелевский лауреат, российский физик-теоретик Лев Ландау в своем интервью в 1962 году.

Задачи по математике и физике

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электронным адресам: math@kvant.ras.ru и phys@kvant.ras.ru соответственно или по почтовому адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант». Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с решением этой задачи присылайте по тем же адресам. Задача М2842 предлагалась на региональном этапе XVII Олимпиады имени Л.Эйлера, задачи М2844 а,б и М2845 — на XLIV Турнире городов, а задачи М2846–М2849 – на заключительном этапе LI Всероссийской олимпиады школьников по математике. Задачи Ф2849–Ф2856 предлагались на заключительном этапе LVIII Всероссийской олимпиады школьников по физике.

Задачи М2842–М2849, Ф2849–Ф2856

M2842. На доску записали несколько (больше одного) последовательных натуральных чисел. Могло ли так случиться, что и сумма всех четных выписанных чисел равна квадрату натурального числа, и сумма всех нечетных выписанных чисел равна квадрату натурального числа? А.Кузнецов

M2843. Пусть A c, B c, C c – середины сторон BC, CA, AB соответственно в правильном треугольнике ABC (рис. 1). На продолжении отрезка A c B c за B c взята точка D, а на продолжении отрезка A c C c за C c взята точка E так, что отрезок DE проходит через точку A. Отрезки B c E и C c D пересекаются в точке X.

а) Докажите, что точки X, A c, B c, C c лежат на одной окружности. б) Докажите, что отрезки A c X, CE, BD и B c C c пересекаются в одной точке. К.Байрак, ученик 11 класса

M2844. Хозяйка достала кусок мяса из холодильника, вокруг нее собрались котята. Раз в минуту хозяйка отрезает кусочек мяса и скармливает его одному из котят (на свой выбор), причем каждый кусочек должен составлять одну и ту же долю куска, от которого его отрезают. Через некоторое время хозяйка убирает остаток мяса в холодильник. Может ли хозяйка скормить котятам поровну мяса, если всего котят а) двое; б) трое; в*) четверо? А.Кушнир, В.Ретинский

M2845. В трехмерном координатном пространстве рассмотрим множество всех кубов с целочисленными координатами вершин. Докажите, что в этом множестве существует такое бесконечное подмножество K, что любые два разных куба из K не имеют параллельных ребер. М.Малкин, М.Мееров

Рис. 1

M2846. Петя и Вася играют в игру на изначально пустой клетчатой таблице 100 u 100, делая ходы по очереди. Начинает Петя. За свой ход игрок вписывает в

20

КВАН T 2025/№5–6

Рис. 3

одинаковы и равны P. Доска движется с постоянным горизонтальным ускорением a, направленным перпендикулярно линии контакта с цилиндром. Ускорение свободного падения равно g. При каких значениях ускорения a доски цилиндр не будет поворачиваться вокруг горизонтальной оси, если коэффициент трения P может принимать любые значения больше нуля? А.Ившин, Е.Васенин, А.Вергунов

Ф2852. На шероховатой горизонтальной поверхности стола находится система, состоящая из призмы массой m, снабженной легким блоком, и бруска массой M = 2m (рис. 4). Боковая поверхность призмы

Рис. 4

является гладкой, а угол между гранью, на которой находится брусок, и поверхностью стола равен D (sin D 3 5 ). К бруску привязана легкая нерастяжимая нить, перекинутая через блок, к противоположному концу которой приложена горизонтальная сила F. Известно, что ускорение призмы не зависит от величины этой силы. 1) Определите возможные значения коэффициента трения P между призмой и поверхностью стола. 2) Для каждого из полученных в пункте 1 значений P найдите ускорение призмы a. Ускорение свободного падения равно g. Наклонный отрезок нити параллелен левой боковой грани призмы. Трение в оси блока отсутствует. И.Юдин

Ф2853. На рисунке 5 приведен фрагмент графика зависимости от времени W средней мощности $N_{cp}$, равной отношению суммарного количества теплоты, переданного слит-

Рис. 5

ку серебра массой m = 50 г, ко времени его теплообмена с внешними телами. Через некоторое время после начала теплообмена температура слитка в состоянии A увеличилась до $t_{A} 40 q C$, а спустя еще 2,2 мин (в состоянии B) она вновь оказалась равна $t_{A}$. Удельная теплоемкость серебра c 240 Дж к㠘 q С. 1) Восстановите координатные оси графика и их масштаб, если известно, что начало оси времени нагрева совпадает с началом оси $N_{cp}$. 2) Найдите начальную температуру $t_{0}$ слитка серебра (при W 0 ). 3) Найдите температуры слитка, средние и мгновенные мощности теплообмена с внешними телами в состояниях, соответствующих точкам C и D. М.Замятнин, А.Вергунов

Ф2854. Из тонкой непроводящей плоской пластины вырезали пять фигур разной формы и размера. Каждую из них зарядили электрическим зарядом с постоянной, положительной и одинаковой для всех фигур поверхностной плотностью. Первая фигура представляет собой квадрат со стороной 2a, от которого с одного из углов отрезали квадрат со стороной a (рис. 6). Мо- Рис. 6 дуль напряженности электрического поля, созданного в точке O зарядами на поверхности такой фигуры, равен $E_{0}$. 1) Чему равно отношение $E c E_{0}$, где E c – модуль напряженности электрического

Это письмо так длинно, потому что у меня не было времени написать его короче. Блез Паскаль

Открылась бездна, звезд полна; Звездам числа нет, бездне – дна. Михаил Ломоносов

Конечный человек не отваживается рассматривать бесконечное как нечто данное и доступное его привычной интуиции. Карл Фридрих Гаусс

Если сообщить … телу бесконечно малое количество теплоты, то спрашивается, какое действие оно произведет… Рудольф Клаузиус

Есть только две бесконечные вещи: Вселенная и глупость. Хотя на счет Вселенной я не вполне уверен. Альберт Эйнштейн

… почему малейшего избытка или нехватки положительных или отрицательных зарядов достаточно, чтобы произвести заметное электрическое действие? Ричард Фейнман

Дайте-ка я покрупнее нарисую бесконечно малые треугольники. Из лекции

А так ли хорошо знакомы вам

БОЛЬШОЕ И МАЛОЕ в ФИЗИКЕ

?

Размышления над микроскопически малым и безгранично большим – от атомов до Вселенной – издревле волновали умы не только ученых. Неотъемлемые элементы картины мира влекли таинственностью и замысловатостью и до сих пор не всем удается с ними подружиться, что порой приводит к казусам и парадоксам. Однако наука не только «оседлала» их, но и сделала рабочим инструментом, в том числе для школьников. Без них не замостить путь к продолжению учебы – так что постигайте премудрости нуля и бесконечности, ведь где только они не дают о себе знать при освоении точных дисциплин!

Вопросы и задачи

1. Оцените расстояние до линии горизонта, считая рост человека h = 1,8 м, а радиус Земли $R_{З} 6400 км.^{2.}$ Почему мы практически не ощущаем вращения $Земли?^{3.}$ На какую долю изменится сила тяжести при подъеме на высоту h = 1 км? Радиус $Земли_{З}^{R} 6400 км.^{4.}$ Шарик массой m падает на Землю с высоты h и после упругого удара под- нимается на ту же высоту. Его импульс изменился, а энергия сохранилась. Как это $объяснить?^{5.}$ Найдите потенциальную энергию материальной точки массой m на различных расстояниях r от центра Земли $( r t_{З}^{R} ).$ Величину потенциальной энергии на бесконечности считать равной $нулю.^{6.}$ Влияют ли скорость вращения Земли вокруг своей оси, ее форма и распределение массы по объему на величину ее ускорения под действием притяжения $Солнца?^{7.}$ Лодке массой m сообщили скорость $v_{0}$. Найдите расстояние, пройденное ею до остановки, если на нее действует сила сопротивления среды, пропорциональная скорости. Сколько это займет $времени?^{8.}$ Можно ли натянуть веревку горизонтально так, чтобы она не $провисала?^{9.}$ Чему должна быть равна теплоемкость идеального газа в изотермическом и адиабатическом $процессах?^{10.}$ Оцените, сколько электронов проходит через поперечное сечение нити накала за одну секунду при силе тока в лампочке карманного фонарика, равной 0,3 A. С чем можно сравнить полученную величину?

11. На луче OA расположено бесконечное множество точечных зарядов величи-

ной q так, что расстояние между очередными двумя соседними зарядами удваивается. Определите потенциал поля в точке O (начало луча), где заряда $нет.^{12.}$ Электрическая цепочка состоит из бесконечного числа одинаковых звеньев, содержащих три резистора сопротивлением r. Определите $сопротивление^{R}$ между точками A и B.

13. Что имеется в виду, когда говорят, что основным свойством линзы считается получение с ее помощью параллельного пучка лучей, если их источник расположен в фокусе $линзы?^{14.}$ Дно водоема глубиной H = 2 м рассматривают, глядя вертикально вниз. Какой будет кажущаяся глубина водоема? Показатель преломления воды n 4 3.

Микроопыт

Проведите пластмассовой расческой по сухим волосам и пронесите ее вблизи мелких обрезков бумаги или фольги; при этом они «подпрыгивают», притягиваясь к наэлектризованной расческе. Не противоречит ли это закону взаимодействия зарядов – ведь обрезки были электрически нейтральны?

Любопытно, что…

…беспечное обращение с понятием бесконечности завело древнегреческих ученых в тупик, что привело к его изгнанию из науки более чем на два тысячелетия. …несмотря на уже выстроенное в XVII веке Ньютоном и Лейбницем здание анализа бесконечно малых, оно до начала XIX века было окутано мистическим туманом. Рассеял его француз Огюстен Коши, дав производной определение, использующее понятие предела.

…примером модели твердого тела при описании многих явлений служит материальная точка. Однако даже самый маленький объект нельзя считать материальной точкой, если он вращается. …чтобы примерно представить себе малость атомов, можно взять бильярдный шар. Он будет больше атомов, из которых состоит, во сколько же раз, во сколько сам он меньше Земли. …отношение силы электростатического отталкивания друг от друга двух протонов к силе гравитационного притяжения между ними равно астрономической величине – $10^{36}$. …слияние черных дыр, произошедшее 1,3 миллиарда лет назад, привело к гигантскому энергетическому всплеску. Он был зарегистрирован на Земле в 2015 году гравитационно-волновой обсерваторией, хотя энергия достигшего ее сигнала была в $10^{51}$ раз меньше энергии волны при ее рождении. …сообщить телу сколь угодно большую скорость, увы, не удастся даже прикладывая неограниченно большие усилия. Второй постулат теории относительности ставит предел: ни при каких условиях скорость тела не может превысить скорость света в вакууме. …важнейший результат так называемой теории петлевой квантовой гравитации – в том, что наше пространство не непрерывно, не бесконечно делимо, а состоит из «атомов пространства». Они чрезвычайно мелки: в миллиард миллиардов раз меньше самого маленького атомного ядра.

Что читать в «Кванте» о большом и малом в физике

(публикации последних лет)

1. «Задачи по физике – смысл условий» – 2017, №6, с.34; 2. «Численные значения: зачем и почему они нужны» – 2019, №4, c.2; 3. «Проблемы конденсатора» – 2022, №9, c.2; 4. «Малые составляющие атмосферы и парниковый эффект» – 2023, №8, с.2; 5. «И снова премия за лазерные инструменты» – 2023, №11 12, с.2.

Материал подготовил А.Леонович

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

Испытания для барона М.

К.КНОП

ВСАМОМ СТАНДАРТНОМ СЮЖЕТЕ задач о взвешиваниях есть весы (или иной прибор) и задана какая-то информация о неизвестных объектах (монетах). Например, говорится, сколько среди них «фальшивых» монет, а также сообщается, легче ли они, чем настоящие монеты (или сказано, что могут быть не только легче, но и тяжелее). Однако есть отдельный класс задач, в котором ко всему этому прибавляется мощнейший инструмент – честнейший эксперт барон М., который знает все необходимое про все монеты. Главная трудность – барон должен строго доказать всю известную ему информацию с помощью взвешиваний. А так как весы – традиционный символ Фемиды, то второй персонаж в таких задачах – судья. Судье известна часть информации из условия задачи, но не вся информация, известная эксперту. Какие же испытания предстоят барону в таких доказательных упражнениях? Какая математика стоит за этим? Не претендуя на полный охват всех возможных задач, остановимся на некоторых из них.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20250504

Испытание 1. Неинтересное У барона М. имеются 12 монет. Половина из них имеет массу 4 г, а другая половина – 5 г. Судья знает эту информацию, но не знает, какие именно монеты сколько весят. Сможет ли барон за одно взвешивание доказать судье массу каждой монеты? Указание. Все легкие монеты вместе весят 24 г, а пять тяжелых – 25 г. Испытание 2. Малоинтересное У барона М. имеются 6 монет по 4 г, 5 монет по 5 г и 4 монеты по 6 г. Как ему доказать судье массу каждой монеты за одно взвешивание? Указание. На каждую чашу весов нужно положить ровно по 24 г. Испытание 3. Восемь гирь, одно взвешивание Барон предъявил суду 8 гирь. Он знает массу каждой гири, а судья знает только то, что массы гирь – последовательные целые числа от 1 до 8. Барону разрешено продемонстрировать всего одно взвешивание. Как ему доказать судье массу какойнибудь одной гири? Предоставим слово эксперту – барону М. – Ваша честь, я кладу на левую чашу весов 5 гирь, а на правую – две. Вы видите, что весы в равновесии? Значит, масса моих 5 гирь такая же, как у других двух. Но масса любых двух гирь из имеющихся не более 7 + 8 = 15 г, а любых пяти гирь – не менее 1 + 2 + 3 + 4 + + 5 = 15 г, значит, равенство возможно, только когда на каждой чаше ровно 15 г, т.е. на

39

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

левой чаше действительно лежат гири массой от 1 до 5 г, а на правой – гири 7 и 8 г. А это значит, что единственная невзвешенная гиря должна иметь массу 6 г! Испытание 4. Шесть гирь, два взвешивания Барон предъявил суду 6 гирь. Он знает массу каждой гири, а судья знает только то, что массы гирь – последовательные целые числа от 1 до 6. Как барону следует проделать два взвешивания, чтобы доказать судье массу каждой гири? Барон предложил такие два взвешивания: 1 + 2 + 3 = 6, 1 + 6 < 3 + 5. Почему результаты этих двух взвешиваний являются доказательством? На месте судьи мы должны убедиться, что никакая нетождественная перестановка чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 не может дать такие же два результата. Давайте анализировать. Первое взвешивание говорит, что масса какой-то из гирь такая же, как у других трех гирь вместе. Но ведь масса трех самых маленьких гирь не меньше 1 + 2 + 3 г, а самой большой гири – не больше 6 г. Равенство достигается, только когда на правой чаше лежит гиря 6 г, а на левой – гири 1, 2, 3 г в каком-то порядке. Тем самым, итог этого взвешивания позволяет судье распределить все гирьки на три множества {1, 2, 3}, {6} и остаток {4,5}. Перестановки теперь возможны только внутри каждого множества, но не между множествами. А что происходит во втором взвешивании? На левой чаше весов – гиря 6 г (уже определенная) и одна из гирь первого множества, а на правой – по одной гире из первого и последнего множеств. Левая чаша легче. И что? Будем перебирать все оставшиеся варианты? Нет. Снова применим анализ, основанный на неравенствах: на левой чаше не менее 7 г, потому что там сумма масс гири 6 и одной из гирь 1–3. На правой чаше не более 8 г, потому что на ней сумма масс одной из гирь 4–5 и одной из гирь 1–3. Значит, правая чаша может быть тяжелее левой только в том случае, когда на ней 8 г, а на левой 7 г. Иначе говоря, масса неизвестной гирьки на левой чаше 1 г, а массы гирек на правой чаше 3 г и 5 г (понятно, у какой какая масса, потому что они из разных множеств!). Значит, массы гирек 1, 3, 5 уже доказаны. Но тогда

КРУЖОК

доказаны и массы двух остальных, так как они остались единственными неопознанными в своих множествах. Задача 1. Как за два взвешивания доказать суду правильность масс для такого набора из восьми гирь: 10, 20, 25, 30, 35, 201, 203, 207 г? Испытание 5. Девять гирек, два взвешивания. Оценка В этот раз у барона целых 9 гирек, массы которых ему известны. Существует ли такой набор гирь, про который он сможет доказать судье их массы за два взвешивания? Речь барона в суде надолго запомнится всем любителям логических рассуждений. – Ваша честь! Вы поставили меня не просто перед трудной задачей – нет, она не трудна. Она неразрешима! Давайте мысленно представим, что я мог бы сейчас сделать? Вот я кладу какие-то гири на весы, взвешиваю, мы с вами смотрим результат. Потом делаем то же с другим набором гирь. Иначе говоря, каждой из гирь я присваиваю двузначную «метку» от 00 до 22, показывающую, в каком взвешивании я клал ее на левую чашу (1), на правую (2) или не использовал (0). Чтобы результаты взвешиваний доказали массу каждой гири, все метки должны быть различными – ведь две гири с одинаковыми метками неразличимы. Итак, мои взвешивания обязаны быть такими (я указываю метки гирь, а не их массы!): 10 11 12? 20 21 22, 01 11 21? 02 12 22. Но давайте посмотрим на возможные результаты. Если результатом взвешиваний будут два равновесия – то при парном обмене гирь 10 с 01, 20 с 02 и 12 с 21 первое взвешивание «перейдет» во второе, и наоборот. Иначе говоря, мы не сможем однозначно выяснить, какая гиря соответствует какой из меток. Тот же обмен гирь с сохранением результатов будет и при двух одинаковых неравновесиях. Далее, если получились два разных неравенства, то можно рассмотреть парный обмен 01 с 20, 10 с 02 и 11 с 22 – оба неравенства сохранятся, и мы снова не сможем опознать массу. Если в первом взвешивании было равенство, а во втором – одно из неравенств, то аналогичный эффект даст обмен 10 с 20, 11 с 21 и 12 с 22. И, наконец, если равновесие было только во втором взвешивании, то

40

КВАНТ 2025/№5–6

применяется обмен 01 с 02, 11 с 12 и 21 с 22. Таким образом, для всех возможных исходов у нас нет возможности гарантированно опознать все девять монет. Задача 2. Если бы вместо чашечных весов у барона М. были весы со стрелкой, смог ли бы барон М. доказать суду массу каждой гири за три взвешивания? Испытание 6. Сорок пять гирек, два взвешивания. «Разделяй и властвуй» На следующем заседании судья был обескуражен: барон М. притащил целый ящик с гирями. В описи ящика, заверенной секретарем суда, значилось, что там есть одна гиря массой 9 г, две гири массой по 8 г, три гири массой по 7 г, …, девять гирь по 1 г. «Сколько же взвешиваний вам нужно, чтобы все это доказать?» – спросил судья. – «Всего два», – с достоинством дворянина ответил барон М. Как ему действовать? Секрет манипуляций барона очень прост: k гирек массой по (10 – k) г равны по массе (10 – k) гирькам массой по k г. Поэтому если на одну чашу весов положить 9 + 8 + 7 самых легких гирек, а на другую 1 + 2 + 3 самых тяжелых, то на весах будет равновесие – и оно позволит барону разделить все гирьки на три множества {1, 2, 3}, {4, 5, 6} и {7, 8, 9}. Аналогично, если вторым взвешиванием взвесить 9 + 6 + 3 гири масс 1, 4 и 7 г с 7 + 4 + 1 гирями масс 3, 6 и 9 г соответственно, то равенство в этом взвешивании позволит установить точно массы всех гирь внутри всех множеств (2, 5 и 8 установятся методом исключения, аналогично тому, как 2 и 4 определялись в задаче о шести гирьках). Задача 3. Существует ли набор из еще большего числа гирек, для которого барон М. смог бы доказать судье массы всех гирек за два взвешивания? Испытание 7. Три взвешивания, 19 гирек. Транснеравенство Когда судья и барон встретились в следующий раз, у барона в руках был целый набор гирь, опись к которому удостоверяла, что тут находятся гирьки массой от 1 до 19 г, по одной каждой массы. «Даю вам всего три взвешивания, дорогой барон!» – провозгласил судья, ударяя по столу своим молоточком. Барон молча написал на каждой гирьке число от 1 до 19 (которое, вероятнее всего,

должно было означать ее массу), положил перед собой листок, на котором были написаны числа 12, 7 и 3, поклонился и приступил к взвешиваниям:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8 + 10 + 13 = = 16 + 18 + 19,

1 + 2 + 3 + 6 + 9 + 11 + 16 = = 8 + 10 + 13 + 17,

1 + 4 + 6 + 8 + 12 + 18 = = 3 + 7 + 11 + 13 + 15. Судья и все остальные присутствующие смотрели на барона, затаив дыхание, но ничегошеньки не понимали. Наконец, судья не выдержал: – Что вы делаете, барон? До сих пор вы хотя бы выглядели разумным человеком – клали самые тяжелые гири на одну чашу весов, самые легкие на другую. Как вы собираетесь что-то доказать нам? – Ваша честь! Давайте доведем опыт до конца. Для этого, – тут барон перевел взгляд на листок, – умножим все числа в первом равенстве на 12, во втором на 7, а в третьем на 3 и сложим все это вместе. – Сказав это, барон стал медленно выписывать выражение

$22 m_{1} 19 m_{2} 16 m_{3} 15 m_{4} 12 m_{5} 10 m_{6} 9 m_{7} 8 m_{8} 7 m_{9}^{5} m_{10}^{4} m_{11} 3 m_{12} 2 m_{13}^{3m} 15 5 m_{16} 7 m_{17} 9 m_{18} 12 m_{19}$.

– Вы, разумеется, не можете знать массу гирьки, которую я назвал «1», равно как и все остальные массы. Но вы видите, что в левой части равенства коэффициенты монотонно убывают. Согласно $транснеравенству^{1}$, наименьшее возможное значение левой части равно

22 ˜ 1 19 ˜ 2 16 ˜ 3 15 ˜ 4 12 ˜ 5 10 ˜ 6 9 ˜ 7 8 ˜ 8 7 ˜ 9 5 ˜ 10 4 ˜ 11 3 ˜ 12 2 ˜ 13 634.

1 Подробнее о транснеравенстве (rearrangement inequality) можно узнать, например, из книги А.В.Арбита «Неравенства и основные способы их доказательства» (приложение к журналу «Квант» №3 за 2016 г.) или из книги «Элементы математики в задачах. Через олимпиады и кружки – к профессии» под редакцией А.А.Заславского и др.

41

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

Однако в правой части коэффициенты монотонно возрастают, поэтому наибольшее возможное значение ее равно

12 ˜ 19 9 ˜ 18 7 ˜ 17 5 ˜ 16 3 ˜ 15

Как и в предыдущих задачах, равенство означает, что одновременно достигаются все равенства $m_{i} i$. – Да, вижу, что вы снова правы, дорогой барон! Задача 4. Массы скольких гирек барон М. смог бы доказать, если разрешить не три, а четыре взвешивания? Следующие три испытания барону достались в одном и том же деле, поэтому мы не стали их нумеровать по-разному. Испытание $8-1.^{2}$ Восемнадцать монет двух масс. Система неравенств Казалось, никакие фокусы со взвешиваниями уже не могут удивить судью. Но… барон предъявил 18 монет, про которые судья знал только то, что массы некоторых из них по 10 г, а остальные – по 11 г, и брался доказать это всего за три взвешивания. – Но как, барон?! Ладно, за одно взвешивание вам удастся доказать мне одну тяжелую монету и одну легкую. За следующее взвешивание – если вы добавите на легкую чашу две тяжелые, а на чашу с тяжелой монетой – две легкие, то результат взвешивания изменится, а значит, вы сможете доказать массу еще 2 тяжелых и 2 легких монет. За третье взвешивание – еще 4 + 4, итого 7 тяжелых и 7 легких. Но у вас ведь их не по 7, а по 9 штук каждого вида! – Здесь нет ничего невозможного, ваша честь! Давайте только сначала разложим монеты по кучкам. В две первые кучки я положу по 2 монеты и буду доказывать, что в одной из них лежат 2 тяжелые, а в другой 2 легкие (обозначу их «2т» и «2л»). В две следующие – по 3 монеты («3т» и «3л»), а в две последние – по 4 («4т» и «4л») и сделаю следующие взвешивания: 2т + 3л < 2л + 3т, 3т + 4л < 3л + 4т, 4т + 2л + 3л < 4л + 2т + 3т.

2 В простом случае 14 монет эта задача предлагалась на VII Всесоюзной олимпиаде, а также была помещена в «Задачник «Кванта» (М212). Автор задачи про 18 монет и следующей задачи про 12 + 12 монет – С.Токарев.

КРУЖОК

– Да, барон, я вижу результаты взвешиваний. Но что именно они доказывают? – Вы слишком нетерпеливы, ваша честь. Мне будет нужно совсем немножко алгебры. Пусть x – разница в массах между кучками «2т» и «2л», а y и z – разницы между кучками «3т» и «3л» и «4т» и «4л» соответственно. Это ведь не слишком сложно? – Нет. Продолжайте! – Далее, x, y, z – целые числа. Первое взвешивание показало, что x < y, второе – что y < z, а третье – что z < x + y. Понятно, почему? – Да. – Давайте заменим строгие неравенства между целыми числами на нестрогие: x 1 d y, y 1 d z, z 1 d x y. Я хочу вывести из этого, что x = 2, y = 3, z = 4. Как только это будет доказано, станет понятно, что масса каждой кучки ровно такая, как я утверждаю, – ведь разность между массами пары монет не превышает 1, а значит, для двух пар разность всегда не больше 2, для трех пар – не больше 3, а для четырех – не больше 4, и равенства достигаются лишь в том случае, если в одних кучках только тяжелые монеты, а в других только легкие. Верно? – Согласен. – Ну, давайте умножим первое неравенство на 2, второе на 4, третье на 3 – и сложим все. Получим 9 d x y z. Это фактически означает одновременное выполнение равенств x = 2, y = 3, z = 4. У меня все, ваша честь! Испытание 8-2. Две дюжины монет. Еще одна система неравенств Про очередные 24 монеты, предъявленные бароном, судье было известно, что массы 12 из них по 10 г, а остальных 12 – по 11 г. Однако неугомонный барон снова доказал массы каждой монеты всего за три взвешивания! Как? Проследим аккуратно за рассуждениями барона из предыдущего решения. Вначале он раскладывал монетки в кучки, а затем рассматривал разность масс между кучками, доказывая, что для каждой кучки эта разность равна количеству монет в ней. Отсюда, конечно, следует все необходимое. Поэтому давайте сразу посмотрим, что поменяется в значениях величин x, y, z, если общее количество монет теперь равно 24, а неравенства

42

КВАНТ 2025/№5–6

x < y, y < z, z < x + y будут доказаны с помощью взвешиваний? Ясно, что в этой задаче x y z d 12, и целью барона является доказать равенство в последнем неравенстве. Если точнее, барону следует показать, что x = 3, y = 4, z = 5, т.е. разбить монетки на кучки именно таких размеров. К сожалению, приведенная система неравенств имеет неединственное решение – например, годится также z = 5, y = 4, z = 2 с суммой 11. Как же мог действовать барон, если его предыдущее решение не срабатывает? Оказывается, все равно барон действует точно так же! Ведь если общая масса всех монет четная, то и величина x + y + z должна быть четной, а значит, не может быть равна 11. Например, можно действовать в духе предыдущей замены строгих неравенств нестрогими: x 1 d y, y 1 d z, z 2 d x y. В последнем неравенстве появилась 2 вместо 1, потому что в нем на весах выложены все монеты с четной общей массой 12 11 10, и если одна чаша перевесила, то разность между чашами не менее 2. Ну а теперь если умножить первое на 2, второе на 4, а третье на 3, то после суммирования получим x y z t 12, что и требовалось. Испытание 8-3. Два раза по тридцать монет, 4 взвешивания Сколько монет удалось бы предъявить барону (с доказательством), если разрешить ему делать четыре взвешивания вместо трех? Ясно, например, что из предыдущих решений немедленно следует способ для 20 + 20 монет: четвертым взвешиванием барон кладет на одну чашу весов 9 уже опознанных как легкие и 11 неизвестных, а на другую – 9 опознанных тяжелых и 11 неизвестных. Если первая чаша оказывается тяжелее, то 11 неизвестных монет на ней должны быть тяжелыми, а 11 неизвестных монет с другой чаши – легкими, потому что неизвестных тяжелых монет всего 20 – 9 = 11, и если бы они разложились на разные чаши, то весы бы оказались в равновесии. Можно ли больше? Да, вполне. Покажем способ для 30 + 30 монет, для которого их необходимо разбить на кучки 3 + 3, 7 + 7, 9 + 9 и 11 + 11. Каждая пара кучек с одинаковым количеством раскладывается на разные чаши весов, и если разности их масс

равны x, y, z, t, то проводятся взвешивания, демонстрирующие выполнение системы неравенств z < x + y, x + y < t, t < x + z, x + t < y + z. Аналогично рассуждениям из предыдущих задач, строгие неравенства здесь можно заменить нестрогими, причем в последнем неравенстве минимально возможная разность частей будет равна 2: x y z t 1, t x z t 1, x z t t 1, y z x t t 2. Если теперь первое умножить на 8, второе на 10, третье на 6, четвертое на 3 и сложить все – получим неравенство x y z t t 30, которое и доказывает все необходимое. Замечание. Последовательность значений (10 + 10 и 30 + 30), найденная бароном в испытаниях 8-1 и 8-3, разумеется, не заканчивается на четырех взвешиваниях. Известно (доказано компьютерным перебором), что она продолжается: 114 + 114 – для пяти взвешиваний и 454 + 454 – для шести (https: oeis.org A280432). Эта последовательность тесно связана с такой алгебраической конструкцией, как матрицы Адамара. Как мы увидели на примерах, задачи о взвешиваниях, в которых участвует эксперт, намного менее комбинаторны (по духу и содержанию) и намного более алгебраичны, чем классические задачи об отыскании фальшивых монет. Зато в них гораздо больше нераскрытых секретов – например, почти ни для каких сложных задач из последних испытаний пока не удается беспереборно доказать не только точные (верхние) оценки, но и такие, которые бы были близки к точным.

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ

Тепловые свойства воды

С.ВАРЛАМОВ

ВМОЛЕКУЛАХ ВОДЫ ЭЛЕКТРИЧЕСкие заряды распределены так, что на атоме кислорода «неуравновешенный» заряд отрицательный, а на присоединенных к этому атому кислорода двух атомах водорода «неуравновешенные» заряды положительные и в два раза меньшие по величине, чем на атоме кислорода. Иными словами, электрические заряды распределены по молекуле воды неравномерно, а суммарный заряд молекулы равен нулю. Образно говоря, молекула воды представляет собой электрический диполь, в котором один отрицательный заряд ( 2 G ) на кислороде и два положительных разнесенных в пространстве заряда ( G ) на атомах водорода расположены в углах равнобедренного треугольника с углом между равными сторонами 104,5q (рис. 1). Заряды разных знаков притягиваются друг к другу, и упорядоченному расположению таких зарядов (плюс к минусу) соответствует минимальная потенциальная энергия. Глубина потенциальной ямы, которую обеспечивает один моль водородных связей (по данным справочников), равна примерно 21 кДж моль. Твердая (да и жидкая) вода представляет собой систему сетку молекул, связанных так называемыми водородными связями. Одна молекула образует со своими ближайшими

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20250505

Рис. 1

Рис. 2

соседками четыре такие связи. На рисунке 2 показано схематически такое расположение молекул, а водородные связи изображены пунктирными отрезками. На самом деле, конечно же, структура пространственная, а не расположенная (как на рисунке) в одной плоскости, но суть дела таким рисунком всетаки отражается. В твердой фазе (в структуре льда) все водородные связи задействованы. Следовательно, один моль молекул воды, входящий в состав конденсированного вещества льда, при абсолютном нуле температуры находится в потенциальной яме глубиной примерно

21 ˜ 4 2 кДж моль U

42 U кДж моль.

Вторую часть потенциальной энергии взаимодействия, обозначенную буквой U, обеспечивают не ближайшие соседи, между которыми установлены водородные связи, а далеко расположенные друг от друга молекулы. Это так называемое Ван-дер-Ваальсовое взаимодействие. Кроме того, этот моль молекул воды имеет тепловую энергию, равную С ˜ T, где C – молярная теплоемкость льда, а T – его температура. А в жидкой воде существуют так называемые кластеры, состоящие из большого числа молекул, в которых структура такая же, как и у льда, но на границах кластеров «включены» уже не все водородные связи. И по мере роста температуры воды доля включенных

45

ОЛИМПИАДЫ

ющие общей глубины потенциальной ямы. Считаем, что Ван-дер-Ваальсовая составляющая U не изменяется, поскольку плотность воды изменяется совсем мало (на 4%). Например, при температуре 0 q С теплота испарения на моль воды $Q_{0}$, согласно приведенной выше таблице, равна 45 кДж моль. Вычислим эту теплоту испарения $Q_{0}$, используя ранее выведенные формулы:

0,857 ˜ 42 U 4,5 R ˜ 273 К $Q_{0} 3 1 R$ ˜ 273 К, откуда $Q_{0} | 45$ кДж моль. Тоже прекрасное совпадение! Можно попробовать применить эту же модель для воды при температуре, близкой к критической (374 q С ), например, при температуре 370 q С 643 К. При таких условиях плотность воды уже в два с половиной раза меньше, чем при 277 К. А это означает, что вклад Ван-дер-Ваальсовой составляющей стал в $2,5^{2} | 6$ раз меньше. Молярная

теплота испарения (согласно данным таблицы) стала равной примерно 7,9 кДж моль. Таким образом,

x ˜ 42 1,6 0,5 R ˜ 643 К 7,9

0, откуда найдется доля x оставшихся «в работе» водородных связей: x = 0,21. Это означает, что от прежнего (в составе холодного льда) количества водородных связей на один моль молекул осталась примерно лишь пятая часть. Иными словами, в среднем на одну молекулу при этих условиях приходится меньше одной водородной связи (критическая температура близка!). Предлагаемое в модели, описывающей тепловые свойства воды, разделение потенциальной энергии взаимодействия молекул на две части позволяет, как видно из приведенных вычислений, получить хорошее соответствие предсказаний модели и экспериментальных данных в широком диапазоне температур от весьма низких до близких к критической.

ОЛИМПИАДЫ

Заключительный этап LI Всероссийской олимпиады школьников по математике

Заключительный этап LI Всероссийской математической олимпиады проходил с 16 по 22 апреля 2025 года на Федеральной территории «Сириус». Участники отметили, что оргкомитет при поддержке традиционных партнеров Всероссийской олимпиады добился очень высокого качества проведения олимпиады. «Сириус» собрал около 500 лучших юных математиков страны, также в онлайн-режиме в олимпиаде приняли участие шестеро школьников из Китая, в этом году — представители провинции Сычуань. Дипломами победителя или призера были награждены представители 29 регионов России, всего 221 участник олимпиады. В следующих трех таблицах отражена успешность решения задач (учтены результаты всех российских участников; решившим задачу здесь считается участник, набравший по этой задаче не меньше 5 баллов из 7 возможных).

9 класс

10 класс

46

11 класс

КВАНТ 2025/№5–6

Границы баллов, необходимых для того, чтобы стать победителем или призером, показаны еще в одной таблице.

ных треугольника не имели общего отрезка границы? С.Берлов

2. Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке E. Точки касания описанных окружностей треугольников ABE и CDE с их общими внешними касательными лежат на окружности Z. Точки касания описанных окружностей треугольников ADE и BCE с их общими внешними касательными лежат на окружности J. Докажите, что центры окружностей Z и J совпадают. А.Терёшин

3. См. задачу М2848 «Задачника «Кванта».

По традиции, в конце олимпиады среди участников был проведен опрос, в котором ребята указали наиболее понравившиеся задачи. В этом задачном «конкурсе красоты» в 9 и 10 классе победила одна и та же задача по теории чисел (задача 3, автор – Таисия Коротченко), в 11 классе лучшей была признана задача по стереометрии (задача 2, автор – Александр Терёшин). Также призовые места заняли следующие задачи: в 9 классе – задачи 4 (2 место) и 5 (3 место), в 10 классе – задачи 7 (2 место) и 1 (3 место), в 11 классе – задачи 4 (2 место) и 8 (3 место). Ниже приводятся условия задач и список победителей заключительного этапа LI Всероссийской олимпиады школьников по математике.

9 класс 1. На прямоугольном листе бумаги провели несколько отрезков, параллельных его сторонам. Эти отрезки разбили лист на несколько прямоугольников, внутри которых нет проведенных линий. Петя хочет провести в каждом из прямоугольников разбиения одну диагональ, разбив его на два треугольника, и окрасить каждый треугольник либо в черный, либо в белый цвет. Верно ли, что он обязательно сможет это сделать так, чтобы никакие два одноцвет-

Условия задач

4. Шахматного короля поставили на клетку доски 8 u 8 и сделали им 64 хода так, что он побывал на всех клетках и вернулся в исходную клетку. В каждый момент времени вычислялось расстояние от центра клетки, в которой находился король, до центра всей доски. Назовем сделанный ход приятным, если в результате хода это расстояние стало меньше, чем было до хода. Найдите наибольшее возможное количество приятных ходов. (Шахматный король за один ход передвигается на клетку, соседнюю по стороне или по углу.) С.Токарев

5. Пусть $P_{1} x$ и $P_{2} x$ – приведенные квадратные трехчлены, а точки $A_{1}$ и $A_{2}$ – соответственно вершины парабол $y P_{1} x$ и $y P_{2} x$. Через m g x будем обозначать наименьшее значение функции g x. Известно, что разности $m P_{1} P_{2} x m P_{1} x$ и $m P_{2} P_{1} x m P_{2} x$ оказались равными положительными числами. Найдите угол между прямой $A_{1} A_{2}$ и прямой, содержащей ось Ox. Н.Агаханов

6. Петя выбрал 100 попарно различных положительных чисел, меньших 1, и расставил их по кругу. Затем он проделывает с ними операции. За одну операцию можно взять три стоящих подряд (именно в таком порядке) числа a, b, c и заменить число b на a b c. При каком наибольшем k Петя мог выбрать исходные числа и сделать несколь-

47

ОЛИМПИАДЫ

ко операций так, чтобы после них среди чисел оказалось k целых? С.Берлов

7. В строку выписаны числа 1, 2, 3, …, 60 (ровно в таком порядке). Игорь и Руслан по очереди ставят знаки «+», «–» и « u » между ними, начинает Игорь; за ход каждый ставит один знак. Когда между каждыми двумя соседними числами поставлен знак, вычисляется значение полученного выражения. Если оно делится на 3, то победа присуждается Игорю, иначе – Руслану. Кто из игроков может выиграть, независимо от действий соперника? И.Ефремов

8. На периметре треугольника ABC выбраны точки $D_{1}, D_{2}, E_{1}, E_{2}, F_{1}, F_{2}$ так, что при обходе периметра точки встречаются в порядке $A, F_{1}, F_{2}, B, D_{1}, D_{2}, C, E_{1}, E_{2}$. Оказалось, что $AD_{1} AD_{2} BE_{1} BE_{2} CF_{1} CF_{2}$. Докажите, что периметры треугольников, образованных тройками прямых $AD_{1}, BE_{1}, CF_{1}$ и $AD_{2}, BE_{2}, CF_{2}$, равны. К.Бельский

10 класс 1. См. задачу М2846 «Задачника «Кванта».

2. Внутри треугольника ABC отмечена точка P. На отрезке AB отмечена точка Q, а на отрезке AC – точка R так, что описанные окружности треугольников BPQ и CPR касаются прямой AP. Через точки B и C провели прямые, проходящие через центр описанной окружности треугольника BPC, а через точки Q и R – прямые, проходящие через центр описанной окружности треугольника PQR. Докажите, что существует окружность, которая касается четырех проведенных прямых. А.Терёшин, А.Кузнецов

3. См. задачу М2848 «Задачника «Кванта».

4. На плоскости отмечены $10^{6}$ точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и проведены все отрезки между ними. Гриша поставил на каждом проведенном отрезке вещественное число, по модулю не превосходящее 1, и для каждой шестерки отмеченных точек посчитал сумму чисел на

всех 15 отрезках, соединяющих их. Оказалось, что каждая такая сумма по модулю не меньше числа C, при этом среди таких сумм есть как положительная, так и отрицательная. При каком наибольшем C это возможно? Г.Челноков

5. Дано натуральное число n. Натуральные числа 1, 2, …, n выписывают на доске в строчку в некотором порядке. У каждых двух стоящих рядом чисел вычисляют их НОД (наибольший общий делитель) и записывают этот НОД на листке. Какое наибольшее количество различных чисел может быть среди всех n – 1 выписанных на листке чисел? И.Богданов

6. При каком наименьшем k для любого многочлена f x степени 100 с вещественными коэффициентами найдется такой многочлен g x степени не выше k с вещественными коэффициентами, что графики y f x и y g x имеют ровно 100 общих точек? А.Кузнецов

7. В программу соревнования входит 25 видов спорта, в каждом из которых определяется один победитель, получающий золотую медаль. В соревновании участвуют 25 спортсменов, каждый – во всех 25 видах спорта. Имеется 25 экспертов, каждый из которых должен сделать прогноз, сколько золотых медалей получит каждый спортсмен, при этом в его прогнозе количества медалей должны являться целыми неотрицательными числами с суммой 25. Эксперта признают компетентным, если он верно угадает количество золотых медалей хотя бы у одного спортсмена. При каком наибольшем k эксперты могут сделать такие прогнозы, что хотя бы k из них будут признаны компетентными независимо от исхода соревнования? М.Федотова

11 класс

8. См. задачу 8 для 9 класса.

9. На доску выписали 777 попарно различных комплексных чисел. Оказалось, что можно ровно 760 способами выбрать два числа a

48

КВАНТ 2025/№5–6

и b, записанных на доске, так, чтобы выполнялось равенство $a^{2} b^{2} 1 2 ab$. Способы, которые отличаются перестановкой чисел, считаются одинаковыми. Докажите, что можно выбрать такие два числа c и d, записанных на доске, что $c^{2} d^{2} 2025 2 cd$. А.Кузнецов

увеличивает каждое из них на 1. Ребята ходят по очереди, начинает Петя. Докажите, что Вася сможет действовать так, чтобы после каждого его хода среди 100 выписанных чисел было не менее пяти положительных, как бы ни играл Петя. С.Берлов

2. См. задачу М2847 «Задачника «Кванта».

3. Четырехугольник ABCD, в котором нет параллельных сторон, вписан в окружность:. В треугольники DAB, ABC, BCD, CDA вписаны окружности $Z_{a}, Z_{b}, Z_{c}, Z_{d}$ соответственно. Проведены общие внешние касательные к окружностям $Z_{a}$ и $Z_{b}, Z_{b}$ и $Z_{c}, Z_{c}$ и $Z_{d}, Z_{d}$ и $Z_{a}$, не содержащие сторон четырехугольника ABCD. Четырехугольник, последовательные стороны которого лежат на четырех проведенных прямых (именно в таком порядке), вписан в окружность *. Докажите, что прямые, соединяющие центры окружностей $Z_{a}$ и $Z_{c}, Z_{b}$ и $Z_{d}$,: и *, пересекаются в одной точке. А.Кузнецов

4. Пару многочленов F x, y и G x, y с целыми коэффициентами назовем важной, если из делимости на 100 обеих разностей F a, b F c, d и G a, b G c, d, где a, b, c, d – целые, следует, что числа a – c и b – d делятся на 100. Существует ли такая важная пара многочленов P x, y, Q x, y, что пара многочленов P x, y xy и Q x, y xy также является важной? А.Голованов

5. См. задачу М2849 «Задачника «Кванта».

6. См. задачу 5 для 10 класса.

7. По кругу выписаны 100 единиц. Петя и Вася играют в игру, каждый делает по $10^{10}$ ходов. Петя каждым своим ходом выбирает 9 стоящих подряд чисел и уменьшает каждое из них на 2. Вася каждым своим ходом выбирает 10 стоящих подряд чисел и

9 класс

8. Пусть f: ¡ o ¡ – непрерывная функция. Хордой будем называть отрезок целой длины, параллельный оси абсцисс, концы которого лежат на графике функции f. Известно, что у графика функции f ровно N хорд, причем среди них есть хорда длины 2025. Найдите наименьшее возможное значение N. А.Кузнецов

Победители олимпиады

Аксенова Елизавета – Санкт-Петербург, Главатских Максим – Республика Татарстан, Ровинский Кирилл – Москва, Буровик Нелли – Санкт-Петербург;

10 класс

Кравченко Роман – Санкт-Петербург, Шишко Андрей – Москва,

Соколов Анатолий – Московская область, Прокудина Арина – Челябинская область;

11 класс

Часовских Иван – Московская область, Коптилин Ратибор – Новосибирская область, Гришко Дмитрий – Москва, Патрушев Василий – Приморский край, Замоторин Илья – Санкт-Петербург.

Публикацию подготовили Н.Агаханов, И.Богданов, П.Кожевников, А.Кузнецов, О.Подлипский, К.Сухов