Задача F315

Условие

Проволочная спираль, присоединенная к городской осветительной сети, нагревается электрическим током. Половину спирали начинают охлаждать (например, водой). Как

это отразится на количестве тепла, выделяемого этой половиной спирали? Другой половиной? Всей спиралью? Напряжение сети считать неизменным.

В. Д. Горбунова

Решение

Проволочная спираль, присоединная к городской осветительной семи, наревается электрическим током. Половину спирали начинают охлаждать (например, водой). Как это отразится на количестве металла, выделаемого этой половиной спирали? Все спиралы? Напряжение семи считать неизменным.

Рис. 14.

Рис. 15.

Обозначим сопротивление каждой половины спирали до начала охлаждения через $R$ (рис. 14). Так как сопротивление металлов зависит от температуры (увеличивается при нагревании и уменьшается при охлаждения), то охлаждение одной из половин спирали приведет к уменьшению сопротивления этой половины до некоторой величины $R_1 < R$. Поскольку напряжение сети $U$ неизменено, это вызовет увеличение силы тока в цепи и, следовательно, дополнительное нагревание другой половины спирали. Сопротивление этой половины увеличится истанет равным $R_2 > R$ (рис. 15).

Новое значение силы тока в цепи $I = \frac{U}{R_1 + R_2}$ будет больше прежнего $I_0 = \frac{U}{2R}$. Действительно, предположим обратное, что $I \leqslant I_0$. тогда сопротивление неохлаждаемой половины спирали остаются прежним или уменьшится ($R_2 \leqslant R$), а сопротивление охлаждаемой половины $R_1 < R$. Следовательно, общее сопротивление $R_1 + R_2 < 2R$ и новое значение тока $I > I_0$, что противоречит нашему предположению.

Итак, $I > I_0$, и поэтому выделяемая во всей цепи мощность (то есть количество теплы в единицу времени) $P = IU$ увеличится.

Так как $I > I_0$ и $R_2 > R$, то количество теплы $P_2 = I^2 R_2$, выделяемое в неохлаждаемой половине, также увеличится.

Мощность $P_1 = I^2 R_1 = \frac{U^2 R_1}{(R_1 + R_2)^2}$, выделяемая в охлаждаемой половине, наоборот, уменьшится сначала мощность $P_0 = I^2 R = \frac{U^2}{4R}$. Покажем это.

Найдем отношение $P_0/P_1$:

$$\frac{P_0}{P_1} = \frac{U^2}{4R} : \frac{U^2 R_1}{(R_1 + R_2)^2} = \frac{(R_1 + R_2)^2}{4R_1 R_2}.$$

Очевидно, что

$$\frac{(R_1 + R_2)^2}{4R_1 R} > \frac{(R_1 + R_2)^2}{4R_1 R_2},$$

а посленее выражение больше или равно 1, так как среднее геометрическое двух величины $(\sqrt{R_1/R_2})$ не превышает среднего арифметического $(\frac{R_1 + R_2}{2})$.

Таким образом, действительно $P_1 < P_0$, то есть мощность, выделяемая в охлаждаемой половине спирали, уменьшится.