Задача F318

Условие

При каком $C_1$ емкость системы конденсатора, показанной на рисунке 3, равна: a) $C$; b) $kC$ ($k \neq 1$); b) $C_1$?

Б. Б. Буховцев

Решение

При каком $C_1$ емкость системы конденсаторов, показанной на рисунке 6, равна: a) $C$; б) $kC$ ($k \neq 1$); в) $C_1$?

Наозвемем последовательность
$$A_1A_2, A_2A_3, \dots, A_{t-1}A_t$$
ребер многоорганика путем
$$P = A_1A_2 \dots A_t$$
если на всех этих ребрах стрелки направлены в одну сторону: либо от $A_1$ к $A_2$, от $A_2$ к $A_3$, …, от $A_{t-1}$ к $A_t$, либо же от $A_t$ к $A_{t-1}$, от $A_{t-1}$ к $A_{t-2}$, …, от $A_2$ к $A_1$.

Так как по условию в каждую вершину многоорганика входит и из каждой выходим хотя бы одна стрелка, то любой путь можно удалить в обе стороны, присоединяя к его концам новые ребра.

Начав с произвольного ребра $A_1A_2$ многоорганика (оно, очень/no, является путем), будем последовательно стройить пути $A_1A_2A_3, A_1A_2A_3A_4$ и так далее, до тех пор, пока не получится такой путь, в котором одна из вершин встречает дважды: $A_s = A_t$, $1 \leq s < t$. Таким образом мы получим замкнутый путь $P_0 = A_sA_{s+1} \dots A_t$ (у него все вершины, кроме крайних, $A_s = A_t$, различны, рис. 4).

Так как многоорганик выпуклый, то путь $P_0$ делит его поверхность на две области $D$ и $D'$. Покажем, что в каждой области имеется по крайней мере одна грань, которая можно обойти по перimetру, двіяясь в соответствии с направлением стрелок на ее сторонах.

Возьемем область $D$; путь она состоит из $k_0 \geq 1$ граней многоорганика. Если $k_0 = 1$, то эта область (огранченная путь $P_0$) является нужной гранью. Если же $k_0 > 1$, то в области $D$ есть ребро $A_iB$, не входящее в путь $P_0$ (причем $A_i$ входит в $P_0$). Начав с этого ребра, будем стройить путь через вершину $B$ внутри области $D$ до тех пор, пока не получится путь, у которого одна из вершин встречает дважды (если мы выйдем на границу области $D$, то дальнейшее по путь $P_0$ возвращится к $A_i$). Так мы получим новый замкнутый путь $P_1$ (рис. 5). Путь $P_1$ лежит внутри области $D$ и не совпадает с $P_0$; значит, область, ограниченная путь $P_1$, состоит из $k_1 < k_0$ граней многоорганика. Если $k_1 = 1$, то $P_1$ ограничивает искому грань; если же $k_1 > 1$, то точно так же построим замкнутый путь $P_2$, ограничивающий область, которая состоит из $k_2 < k_1$ граней, и так далее. Так как все числа $k_i$ — натуральные и $k_{i+1} < k_i$, то за конечное число шагов мы получим замкнутый путь $P_0$, ограничивающийровно одну искому грань.

Вторую искому грань можно найти так же, расматривая $D'$ — вторую искому из области, на которой путь $P_0$ разделил наш многоорганик.

А. М. Зубков

◆ Пусть рассматриваемая система конденсаторов присоединена к источнику с напряжением $U$. Из сообщений симметрики следует, что заряды конденсаторов emкости $kC$ будут одинаковыми. Обозначим их через $Q$. Аналогично равны заряды $q$ конденсаторов emкости $C$. Заряд конденсатора $C_1$ обозначаем через $q_1$. Рассматриваемую зарядов отдельных конденсаторов (см. рис. 6).

Заряд $Q_x = Q + q$ системы конденсаторов связан с напряжением $U = U_2 + U_3 = \frac{q}{C} + \frac{Q}{kC}$, приложенным к системе, соответствием $Q_x = C_xU$, где $C_x$ — емкость системы, то есть
$$Q + q = C_x \left( \frac{q}{C} + \frac{Q}{kC} \right).$$

*) Решение задачи M314 будет опубликовано в следующем номере журнала.

46

Работа сил электростанческого поля по пересечению любого, а значит и единного, заряда по замкнутой траектории всегда равна нулю. Обойти, например, верхний контур (см. рис. 6) против часовой стрелки, получим

$$U_1 - U_2 + U_3 = \frac{q_1}{C_1} - \frac{q}{C} + \frac{Q}{kC} = 0.$$

Воспользуемся также законом сохранения заряда. Часть системы, показанная на рисунке 6 красным цветом (можно рассмотреть и участок, показанный снимм цветом), до присоединения системы к источнику была нейтральной. Так как эта часть изолирована, ее суммарный заряд остanetся равным нулю:

$$q + q_1 - Q = 0.$$

Из уравнения (1)—(3) следует, что

$$C_x = \frac{2kC + (1+k)C_1}{2C_1 + (1+k)C} C.$$

Отсюда легко получить, что

a) $C_x = C$ при $C_1 = -C$, что невозможно;
b) $C_x = kC$ ($k \neq 1$) при $C_1 = -kC$, что также невозможно;
b) $C_x = C_1$ при $C_1 = \sqrt{k} C.$